Mate 1 La Rotonda

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C alculo y An alisisGabriel Larotonda20092.3Este libro naci o como unas notas para un curso de An alisis, y dea poco se fue convirtiendo en algo m as que unas notas. Trat e deconservar un estilo coloquial, sumado al rigor de deniciones yteoremas, sin evitar ning un tema, a un aquellos que suelen tener(inmerecida) fama de intratables. Pienso que todos los temas queaqu se estudian son accesibles para un estudiante de primer a no,que haya hecho un curso de c alculo en una variable real, y otro de algebra lineal, si se abordan de la manera adecuada. En lo posibleintent e evitar el uso de coordenadas, y aunque en muchos casos esnecesario volver a ellas para dar un sentido concreto a las ideasgeom etricas, puededecirsequeen general, conmodicacionesmenores, las pruebas se adaptan a un contexto m as amplio. Esafue mi intenci on al preparar las clases, y es la intenci on de estelibro: hacer accesiblestemas sutiles del an alisis y el c alculo enuna y varias variablesreales,y vincularestos temas de maneraintrnseca con la geometra del espacio, sin permitir que el uso decoordenadas oscurezca esta relaci on.AGRADECIMIENTOS:A Sam por su entusiasmoy apoyo constante,a mis hijospor darle color a los grises.ACristianCondeporhacerdeeditorycorrector enlassombras, en forma totalmente desinteresada.A Pablo Groissman porque cuando s olo haba unas notasen borrador, me hizo notar que las notas podan tener alg unvalor para los alumnos.4.Indice generalContenidos 51. C alculo en Rn91.1. Introducci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. N umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3. El espacio como n-uplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1. Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3. Entornos y conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.4. Lmites en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.5. Puntos de acumulaci on y conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.6. Conjuntos acotados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352. Funciones 372.1. Dominio, gr aco, imagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.1. Funcionesf : RnR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.2. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.3. Gr aco, curvas y supercies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.4. Lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2. Funciones F : RnRm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.1. Composici on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.2. Curvas y el lmite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4856INDICE GENERAL2.2.3. Lmite y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.1. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.2. Caracterizaci on de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.3. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553. Derivadas y Diferencial 573.1. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.1. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.2. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.3. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2. Plano tangente y Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.1.Algebra de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.2. Repaso de los teoremas en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2.3. Criterio de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.4. Funciones F : RnRm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3. Teoremas de Lagrange y Fermat en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4. NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874. Funci on inversa e implcita 914.1. Funci on Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.1. Funciones de clase Ck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1.2. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2. Supercies de nivel y funciones implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.2.1. Funci on implcita en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3. NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115. Taylor, extremos y multiplicadores de Lagrange 1135.1. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.1.1. Varias variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.2. Demostraci on alternativa de la f ormula de Taylor de orden 2 en Rn. . . . 1215.2. Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124INDICE GENERAL 75.2.1. Formas cuadr aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2.2. El Hessiano y los extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3. Extremos con restricciones, multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 1345.3.1. Extremos en una regi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3.2. Extremos en regiones con borde que se puede parametrizar . . . . . . . . 1345.3.3. Multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.3.4. Multiplicadores en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.3.5. Un ejemplo elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3.6. Varias ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406. Integrales en R 1416.1. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.1.1. Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.2. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.2.1. Intervalos innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.2.2. Convergencia condicional y absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.2.3. Criterios de comparaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3. NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627. Integrales m ultiples 1657.1. Integrales en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.1.1. Rect angulos y particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.1.2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.1.3. Integrales iteradas y el Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.2. Integrales en R3y Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.3.1. Medida de una regi on y Teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . 1847.4. NOTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868. Teorema de cambio de variables 1898.1. El m etodo de sustituci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.2. Particiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898INDICE GENERAL8.3. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.4. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.4.1. Cambio de variable en R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Captulo 1C alculo en Rn1.1. Introducci onEnestelibroqueremosestudiarproblemasqueinvolucrenvariasvariablesoinc ognitas,todas ellas n umeros reales. Como aprendimos en cursos de an alisis elementales, lo m as pr acticoes darle nombre a las variables y despu es pensar cu ales son las funciones que modelan el problema;estas funciones van a depender de esas variables. Es la estrategia de nombrar y conquistar.Por ejemplo, si queremos saber qu e forma debe que tener un te-rrenorectangularde area100m2paragastarla menor cantidadde alambre en su borde, al permetro lo llamamos P, el area A, yllamamos b a la base del rect angulo y a a su altura.abA = 100m2Entonces se tiene A = b.a = 100 y por otro lado P = 2a +2b. Despejando de la ecuaci ondel area nos queda una ecuaci on en una sola variable, P(a) = 2a +2.100a. Entonces aparece unafunci on P, de variable real a, a la cual le buscamos el mnimo. Es importante entender el dominiode la funci on, que es a >0. Por otro lado, para buscarle el mnimo, que hacamos? Simplemente lebusc abamos los extremos locales a P. Y para eso hace falta calcular la derivada de P! Hag amoslo:setieneP/(a) = 2 2100a2 .Igualandoacerosetienea2= 100, y comoadebeserunn umeropositivo, a = 10, y en consecuencia b = 10. Es decir el terreno debe ser cuadrado.Vemoscomopararesolverunproblemamuy simple, aparecenherramientasquenosonobvias. En primer lugar la noci on de dominio, que requiere entender un poco el conjunto de losn umeros reales. En segundo lugar la noci on de derivada, que si la pensamos un poquito era pensaren las rectas tangentes al gr aco de P, que a su vez se obtenan como lmite de rectas secantes.S, apareci o el lmite. Y todo para probar que el terrenito era cuadrado. En la pr oxim