matdis-2011-6a

AlgoritmadanBilanganBulatAlgoritmadanBilanganBulat

MatematikaDiskret(TKE072107)

IwanSetiawanstwnatunsoed.ac.id

Pemutakhiranterakhir:13/01/12

Algoritma

Masalah

Kemiripansubstansimasalah

Pengurutan,pencarian,perutean,...

Masalahmempunyaiparameter

Instanceofaproblem(pemberiannilaiuntuksemuaparametermasalah)

Solusi(pemecahanmasalah)

Urutanlangkahlangkahuntukmemecahkanmasalah.

(denganmetodetertentu)

Proses:menjalankansepedamotor

Algoritma:panduanmenjalankansepedamotor

Langkahlangkah:1.siapkansepedamotor2.naiklahketempatduduknya3.kembalikanpenyangga4.masukkankuncikontak5.putarkuncikontakkeposision6.tekantombolstarter7....

Berikan1contohalgoritma!

Pembuatanmakanan,menjalankansepedamotor,menanaknasi,percobaankimia,...

AlgoritmaProgramPenjumlahan

1.Deklarasikanvariabela,b,danc

2.Bacavariabeladanbdarimasukan

3.Jumlahkanvariabeladanb,kemudiansimpanhasilnyakevariabelc

4.Tampilkanisivariabelckelayar

Adasebagianorangyangmemulaialgoritmadengankatamulaidandiakhiridenganselesaiuntukmenandaibahwalangkahlangkahdalamsebuahalgoritmadimulaiatautelahselesai.

Setiaplangkahalgoritmaharusdiikuti.

Bagaimanajikatidak?

NotasiAlgoritma

Kalimatdeskriptif

PROGRAMPenjumlahanDiberikanduabuahbilanganpositifadanb.Algoritmapenjumlahanakanmenjumlahkankeduabilangantersebutdanmenyimpanhasilnyakedalamsebuahvariabel.

ALGORITMA1.Deklarasikanvariabela,b,danc2.Bacavariabeladanbdarimasukan3.Jumlahkanvariabeladanb,kemudiansimpan

hasilnyakevariabelc4.Tampilkanisivariabelckelayar

Apayangdapatkitasimpulkandarikonsepalgoritmayang

sudahdibahas?

Menggunakankatakerja,aktif.

Bagaimanadenganpernyataanbersyarat?

Jika,maka...

Diagramalir?

Algoritmadalambentukdiagram,dengansimbolsimbolstandar.

MulaiatauSelesai

Proses

MasukanatauKeluaran

PengambilanKeputusan

ProsesTerdefinisi

Penghubung

AliranLangkah

Mulai

Deklarasia,b,c

Bacaadanb

c=a+b

Tampilkanc

Selesai

?

??

?

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Euclid_flowchart_1.png

Relatifsusahdigunakanuntukprogramdenganalgoritmayangpanjangdanrumit.

Pseudocode?

Kodeinformalsebuah(algoritma)program.

Lebihdekatkekodepemrograman,tapitidakspesifikkebahasapemrogramantertentu.

Tidakadastandarbaku

Gunakankatakuncipemrograman.

set,read,get,print,write,compute,run,ifthen,elseif,while,dowhile,for,goto,...

declarevariabela,bgeta,bif(btidaksamadengannol)then

computec=a/bprintc

elseprintNilaibtidakbolehnol

returnstatussukses

PROGRAMFahrenheitCelcius{ProgramuntukmencetaktabelkonversiFahrenheitkeCelciusdarixsampaiydengankenaikansebesarstep.Masukan:suhuawal,suhuakhir,stepKeluaran:tabelkonversisuhudalamCdanF}

DEKLARASIfahr,celc:realx,y,step:integer

ALGORITMAread(x,y,step)fahr xwhilefahrydo

celc=5/9*(fahr32)write(fahr,celc)fahr fahr+step

endwhile

Buatlahalgoritmadengankalimatdeskriptifuntukmencarielementerbesardarisebuahhimpunanyangberisinbuahelemenbilanganbulat!

a1,a

2,a

3,a

4,,a

n

AlgoritmadenganKalimatDeskriptif

a1,a

2,a

3,a

4,,a

n

1)Asumsikana1sebagaielementerbesarsementara.Simpana

1

kedalamvariabelmaks.

2)Bandingkanmaksdenganelemena2.Jikaa

2lebihbesardari

maks,makanilaimaksdigantidengana2.

3)Ulangilangkahkeduauntukelemenelemenberikutnya(a3,a

4,

a5,...,a

n).

4)Berhentijikasudahtidakadalagielemenyangdibandingkan.Jadi,variabelmaksberisinilaidarielementerbesar.

maks

maks=a1


a1,a

2,a

3,a

4,,a

n


1



2lebihbesardari



4,

a5,...,a

n).


a2>maks?

maks=a1

maks=a1


a1,a

2,a

3,a

4,,a

n


1



2lebihbesardari



4,

a5,...,a

n).


a2>maks?Jikaya

maks=a2

PROGRAMCariElemenTerbesar{Programuntukmencarielementerbesardarisebuahhimpunanbilanganbulata

1,a

2,,a

n.Elementerbesarakandisimpandidalam

variabelmaks.Masukan:a

1,a

2,,a

n

Keluaran:maks}

DEKLARASIi:integermaks:integer

ALGORITMAmaks afori 2tondo

ifai>maksthenmaks a

i

endifendfor

procedureCariElemenTerbesar(input:a1,a

2,,a

n:integer,outputmaks:

integer){Prosedurmencarielementerbesardarisebuahhimpunanbilanganbulata

1,a

2,,a

n.Elementerbesarakandisimpandidalamvariabel

maks.Masukan:a

1,a

2,,a

n

Keluaran:maks}

Deklarasii:integer

Algoritmamaks afori 2 tondo

ifai>maksthenmaks a

i

endifendfor

Tajuk,deklarasi,algoritma.

Intinyaadalahmemudahkandeskripsialgoritmadalambentukterstrukturdan...

memudahkanpulasaatmelakukanpenulisankodeyangspesifik

kebahasapemrograman.

BeberapaContohAlgoritma

Buatlahalgoritmadalamkalimatdeskriptifdanpseudocodeuntukalgoritmaberikut.

1)Algoritmamempertukarkannilaidari2buahvariabel.

2)Algoritmamencarinilaitertentudidalamhimpunanelemen.

Algoritmapengurutan.

BilanganBulat(Integer)

Bilanganyangbulat:)(bukanpecahan,positifdannegatif)

Diskretataukontinyu?

BilanganbulatbanyakdibahaspadaTeoriBilangan.

Sifatpembagianbilanganbulatmelahirkankonsepbilanganprima,aritmatikamodulo,

danalgoritmaEuclidean.

SifatPembagianpadaBilanganBulat

Salahsatukonsepyangberguna.

Bilanganprima.(bilanganyanghanyahabisdibagioleh1dandirinyasendiri)

Sembarangbilanganbulatpositifdapatdinyatakansebagaihasil

perkaliansatuataulebihbilanganprima?

Definisisifatpembagian:

misaladanbadalah2buahbilanganbulatdengansyarata0.Kitadapatmenyatakanbahwaahabismembagibjikaterdapatbilanganbulatcsedemikiansehinggab=ac.

Notasi:a|bjikab=ac,cZdana0.

Jikabdibagidengana,makahasilpembagiannyaberupabilanganbulat.

Pernyataanahabismembagibdapatditulisdenganbkelipatana.

4|12karena12/4=3

Bulat,takbersisa

12=4x3

Apakah4|13?

HasilPembagianBilanganBulat

Jikahasilpembagianbilanganbulatdinyatakansebagaibulatpula,makasembarangbilanganbulatbiladibagidengansebuahbilanganbulatpositifakanselaluterdapat:

1)Hasilbagi

2)Sisapembagian

13dibagidengan4,akanmemberikanhasilbagi3,dansisa(hasilbagi)1.

Padakasus4|12,sisahasilbaginyaadalah0.

Sisahasilpembagianselalulebihbesaratausamadengannol,tetapilebih

kecildaripembagi.

0r

Misalmdannadalah2buahbilanganbulatdengansyaratn>0.Jikamdibagidengannmakaterdapat2buahbilanganbulatunikq(quotinent)danr(remainder),sedemikiansehingga:

m=nq+r

dengan0r

Notasiyangdigunakanuntukmengekspresikanhasilbagidansisaadalahdengan

menggunakanoperatormod.

q=mdivn,r=mmodn

Berapahasilbagidansisajika1987dibagidengan97?

Hasilbagi20,sisa47.

TuliskandalamekspresiTeoremaEuclidean!

1987=97.20+47

Tuliskandenganoperatordivdanmod!

1987div97=20

1987mod97=47

Sisapembagiantakbolehnegatif.

PembagiBersamaterBesar(PBB)

Duabuahbilanganbulatdapatmemilikifaktorpembagiyangsama.

FaktorpembagibersamayangpentingadalahfaktorPembagiBersamaterBesar(PBB).

(greatestcommondivisor,gcdataufaktorpersekutuanterbesar,FPB)

Bilangan45dan36memilikifaktorpembagiberapasaja?

Faktorpembagi45:1,3,5,9,15,45Faktorpembagi36:1,2,3,4,9,12,18,36

Faktorpembagibersama:1,3,9Jadi,PBB(45,36)=9

yangterbesar9

Misaladanbadalah2buahbilanganbulattidaknol.Pembagibersamaterbesar(PBB)dariadanbadalahbilanganbulatterbesardsedemikiansehinggad|adand|b.

Jadi,dapatkitanyatakanbahwaPBB(a,b)=d.

DefinisiPembagiBersamaTerbesar

SifatsifatPBBdapatdinyatakanpadaTeorema5.2padabukuteksedisiketiga,halaman185.

Misalmdannadalah2buahbilanganbulatdengansyaratn>0sedemikiansehingga:

m=nq+r,0r

AlgoritmaEuclidean

MencariPBBdari2BuahBilangan

UntukmencariPBBdari2buahbilanganbulatmdannadalahdengan:

1)mendaftarsemuapembagidarimasingmasingbilanganmdann,

2)memilihpembagipersekutuanyangmempunyainilaiterbesar.

Terdapatalgoritmayangmangkus/efektifuntukmencariPBB,yaitudengan

AlgoritmaEuclidean.

DidasarkanpadaTeoremaPBB(m,n)=PBB(n,r)yangdilakukanberturutturut.

(sampaikitatemukansisanol)

AlgoritmaEuclidan

1) Jikan=0maka

madalahPBB(m,n);

selesai.

tetapijikan0,

lanjutkankelangkah2.

2) Bagilahmdenganndengansisar.

3)Gantinilaimdengannilain,dannilaindengannilair,laluulangkembalilangkah1.

Catatan:jikamn,makatukardulunilaimdann.

?

??

?

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Euclid_flowchart_1.png

PBB(80,12)?

AlgoritmaEuclidan(1)

1) Jikan=0maka

madalahPBB(m,n);

selesai.

tetapijikan0,




m=80,n=12

80dibagi12,sisa8(r)

m=12,n=8

12dibagi8,sisa4(r)


1) Jikan=0maka

madalahPBB(m,n);

selesai.

tetapijikan0,




m=12,n=8

m=8,n=4

8dibagi4,sisa0(r)


1) Jikan=0maka

madalahPBB(m,n);

selesai.

tetapijikan0,




m=8,n=4

m=4,n=0


1) Jikan=0maka

madalahPBB(m,n);

selesai.

tetapijikan0,




m=4,n=0

Selesai!

PBB(80,12)=4

NotasipseudocodeuntukAlgoritmaEuclideandapatdilihatpadabukuteks

edisiketiga,halaman189.

Misaladanbadalah2buahbilanganbulatpositif,makaterdapatbilanganbulatmdannsedemikiansehinggaPBB(a,b)=ma+nb.

TeoremaKombinasiLanjar

PBB(80,12)=4m.80+n.12=4

(1).80+7.12=4

m=1dann=7

UntukmenemukankombinasilanjaradanbpadaPBB(a,b)adalahdenganmelakukan

pembagiansecaramundurpadaAlgoritmaEuclidean.

DuabuahbilanganbulatadanbdikatakanrelatifprimajikaPBB(a,b)=1.

DefinisiRelatifPrima

Apakahbilangan7dan11relatifprima?

Jikaadanbrelatifprimamakadenganteoremakombinasilanjardapatdinyatakan:

PBB(a,b)=ma+nb

1=ma+nb

ma+nb=1

AritmatikaModulo

Operatoryangdigunakanadalahmod.

hasilbagidansisa.

Misalaadalahbilanganbulatdanmadalahbilanganbulat>0.Operasiamodmmemberikansisajikaadibagidenganm.

Dengankatalain,amodm=r,sedemikiansehinggaa=mq+r,dengan0r

Notasi:amodm=r,sedemikiansehinggaa=mq+r,dengan0r

Bilanganadanbkongruendalammodulomjikakeduabilangantersebutmempunyaisisa(r)yangsamajikadibagidenganbilanganbulatpositifm.

amodm=rbmodm=r

ab(modm)

a / b(modm)

DefinisiKekongruenan

Misaladanbadalahbilanganbulat,danmadalahbilangan>0,makaab(modm)jikamhabismembagiab.

Apakah17dan2kongruendalammodulo3?

Dengandefinisioperatormod,makaamodm=rdapatdituliskanar(modm)

Terdapatsifatsifatpengerjaanhitungpadaaritmatikamodulo,bacaTeorema5.5pada

bukuteksedisiketiga,halaman193.

InversiModulo

Inversidaripembagian?

KekongruenanLanjar

axb(modm)

BilanganPrima

Bilanganbulatpositifp(p>1)disebutbilanganprimajikapembaginya1danp.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...

Bilanganselainprimadisebutkomposit(composite.)

Teorifundamentalaritmatik:

Setiapbilanganbulatpositifyanglebihbesaratausamadengan2dapatdinyatakansebagai

perkaliansatuataulebihbilanganprima.

Bilanganprimadankompositdapatdinyatakansebagaiperkaliandari

satuataulebihfaktorprima.

Faktorprimadarisebuahbilanganselalulebihkecilatausamadenganakarkuadrat

daribilangantersebut.

Misalaadalahfaktorprimadarin,dengan1

Faktorprimadarinselalulebihkecilatausamadengann.

Teoremabilangankomposit:

jikanadalahbilangankomposit,makanmempunyaifaktorprimayanglebih

kecilatausamadengann.

Apakah199merupakanbilanganprimaataukomposit?

Teoremabilangankomposit:

jikanadalahbilangankomposit,makanmempunyaifaktorprimayanglebih

kecilatausamadengann.

Bilanganprimayang199?

Karena199tidakhabisdibagi2,3,5,7,11,dan13,maka199adalahbilanganprima.

Referensi

Daviduck,B.,IntroductiontoProgramminginC++:Algorithms,FlowchartsandPseudocode,2000

Kusuma,E.D.,PemrogramanDasar:Pendahuluan,Presentasi,2009

Munir,R.,AlgoritmadanPemrogramandalamBahasaPascaldanC,PenerbitInformatika,2009

Munir,R.,MatematikaDiskret,EdisiKetiga,PenerbitInformatika,2009

Salindia 1Salindia 2Salindia 3Salindia 4Salindia 5Salindia 6Salindia 7Salindia 8Salindia 9Salindia 10Salindia 11Salindia 12Salindia 13Salindia 14Salindia 15Salindia 16Salindia 17Salindia 18Salindia 19Salindia 20Salindia 21Salindia 22Salindia 23Salindia 24Salindia 25Salindia 26Salindia 27Salindia 28Salindia 29Salindia 30Salindia 31Salindia 32Salindia 33Salindia 34Salindia 35Salindia 36Salindia 37Salindia 38Salindia 39Salindia 40Salindia 41Salindia 42Salindia 43Salindia 44Salindia 45Salindia 46Salindia 47Salindia 48Salindia 49Salindia 50Salindia 51Salindia 52Salindia 53Salindia 54Salindia 55Salindia 56Salindia 57Salindia 58Salindia 59Salindia 60Salindia 61Salindia 62Salindia 63Salindia 64Salindia 65Salindia 66Salindia 67Salindia 68Salindia 69Salindia 70Salindia 71Salindia 72Salindia 73Salindia 74Salindia 75Salindia 76Salindia 77Salindia 78Salindia 79Salindia 80Salindia 81Salindia 82Salindia 83Salindia 84Salindia 85Salindia 86Salindia 87Salindia 88Salindia 89Salindia 90Salindia 91Salindia 92Salindia 93Salindia 94Salindia 95Salindia 96Salindia 97Salindia 98Salindia 99Salindia 100Salindia 101Salindia 102Salindia 103Salindia 104Salindia 105Salindia 106Salindia 107Salindia 108Salindia 109Salindia 110Salindia 111Salindia 112Salindia 113Salindia 114Salindia 115Salindia 116Salindia 117Salindia 118Salindia 119Salindia 120Salindia 121Salindia 122Salindia 123Salindia 124Salindia 125Salindia 126Salindia 127Salindia 128Salindia 129Salindia 130Salindia 131Salindia 132Salindia 133Salindia 134Salindia 135Salindia 136Salindia 137Salindia 138Salindia 139Salindia 140

matdis-2011-6a

Documents

Transcript of matdis-2011-6a