BASIC STRUCTURE

BASIC STRUCTURE2.1 SETSHimpunanNotasi HimpunanMendeskripsikan HimpunanMetoda roster: Mendaftarkan semua anggota himpunanContoh 2.V: himpunan semua huruf vokal dapat dideskripsikan sebagai V = {a, e, i, o, u}.O: Himpunan semua bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10 dapat dideskripsikan sebagai 0 = {1, 3, 5, 7, 9}.Himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 100 dapat dideskripsikan sebagai {1, 2, 3, . . . , 99}.Notasi pembangun himpunanContoh 3.O: Himpunan semua bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10 dapat ditulis sebagai O = {x | x adalah bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10} atau O = {x Z+ | x ganjil dan x < 10}.Diagram VennHimpunan semesta: himpunan semua objek yang dibicarakan.Contoh 4.V: himpunan semua huruf vokal dapat dideskripsikan dengan diagram Venn.

Kesamaan HimpunanDefinisi 1Dua himpunan adalah sama jika dan hanya jika mereka memiliki anggota yang sama.

A,B: himpunanA dan B dikatakan sama, dinotasikan A = B,jika dan hanya jika x(x A x B).Himpunan Kosong dan SingletonHimpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, dinotasikan dengan atau { }.Himpunan dengan satu anggota disebut himpunan singleton.

Contoh 5.{}Himpunan vs Himpunan dari HimpunanContoh 6. {1,2} vs {{1},{2}} {} vs {{}} = {}

Himpunan BagianDefinisi 2.A, B: himpunan.A adalah himpunan bagian B, dinotasikan A B, jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B.A B: x ( x A x B)

Teorema 1. Untuk setiap himpunan S, berlaku S dan S S.Untuk menunjukkan A = B, tunjukkan A B dan B A.Himpunan bagian sejati A B:x x ( x A x B) x ( x B x A)Himpunan KuasaHimpunan kuasa P(S): himpunan semua himpunan bagian S.P(S) memuat S, .

Soal 1. Apakah himpunan kuasa dari {0, 1, 2}?

Contoh 7. Apakah P() dan P({})?P() = {}P({}) = {, {}}KardinalitasS: himpunan.Kardinalitas dari S, dinotasikan |S|, adalah banyaknya anggota S yang berbeda.Contoh 8.Misalkan A himpunan bilangan ganjil positif lebih kecil dari 10. Maka |A| = 5.Misalkan S himpunan alfabet. Maka |S| = 26.Himpunan hingga adalah himpunan dengan kardinalitas suatu bilangan bulat positif.Suatu himpunan dikatakan tak hingga jika himpunan tersebut bukan hingga.Hasil Kali KartesiusA,B: himpunanHasil kali Kartesius A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b), di mana a A dan b B.

A B = {(a, b) | a A b B}.

Soal 2.Apakah A x B = B x A?Himpunan dan Kuantifikasix S(P(x)) berarti x(x S P(x)).x S(P(x)) berarti x(x S P(x)).Soal 3.Apakah arti x R(x2 0) dan x Z(x2 = 1)?Himpunan KebenaranP: predikat, D: domainHimpunan kebenaran dari P adalah himpunan bagian dari D yang mengakibatkan P(x) benar.Himpunan kebenaran dari P(x) dinotasikan dengan{x D | P(x)}.Soal 4.Apakah himpunan kebenaran dari predikat P(x), Q(x), dan R(x), di mana domain adalah himpunan bilangan bulat dan P(x): |x| = 1, Q(x): x2 = 2, dan R(x): |x| = x.2.2 SET OPERATIONSOperasi HimpunanGabungan A B = { x | (x A) (x B)}Irisan A B = { x | (x A) (x B)}A, B dikatakan saling lepas jhj A B = Prinsip inklusi-eksklusi:|A B| = |A| + |B| |A B|.Selisih A B = {x | (x A) (x B)}Komplemen Ac atau = {x | x A} = U - AIdentitas Himpunan

Identitas Himpunan (2)

Bukti Identitas Himpunan Diagram Venn Himpunan bagian Ekivalensi logika Tabel keanggotaan

Soal 5.Tunjukkan A B = A B.2.3 FUNCTIONSFungsiFungsi dari A ke B adalah pemasangan setiap anggota A ke tepat satu anggota B.Notasi. f: A B dan f (a) = bA disebut domain dan B disebut kodomain dari fb disebut peta dari a dan a disebut prapeta dari bRange atau peta dari f adalah himpunan peta dari semua anggota A, Range(f) = {y| x A f(x) = y} BContoh 9.Manakah yang merupakan fungsi?(1) A = B = Z, f(x) = x+10 (2) A = B = Z, f(x) = x2(3) A = B = R, f(x) = x (4) A = B = R, f(x) = 1/xTerminologiDua fungsi dikatakan sama jika mereka memiliki domain, kodomain, dan aturan pemetaan yang sama.Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif, jika dan hanya jika f (a) = f (b) mengakibatkan a = b untuk setiap a and b di domain f.Fungsi f dari A ke B dikatakan pada atau surjektif, jika dan hanya jika untuk setiap b B ada anggota a A sehingga f (a) = b.Fungsi f dikatakan korespondensi satu-satu atau bijektif, jika fungsi tersebut satu-satu dan pada.Contoh 10. Injektif, Surjektif, Bijektif 1.Apakah fungsi f(x) = x + 1 dari R ke R satu-satu?2.Apakah fungsi f(x) = x2 dari Z ke Z pada?3.Misalkan f fungsi dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4} dengan f (a) = 4, f (b) = 2, f (c) = 1, dan f (d) = 3. Apakah f bijektif?Invers dan KomposisiMisalkan f korespondensi satu-satu dari A ke B. Fungsi invers dari f adalah fungsi yang memetakan b B ke a A sedemikian sehingga f (a) = b.Fungsi invers dari f dinotasikan dengan f-1f-1(b) = a jhj f(a) = bCatatan. f-1(x) 1/f(x)

Jika f: A B dan g: C A, maka komposisi dari fungsi f dan g, f g: C B, adalah fg(x) = f(g(x))Beberapa Fungsi PentingFungsi identitas (x)=xf f 1 = f-1 f =

Fungsi floor memetakan bilangan real x ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.Notasi. x

Fungsi ceiling memetakan bilangan real x ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x.Notasi. x 2.4 SEQUENCES AND SUMMATIONSBarisanBarisan adalah fungsi dari himpunan bagian Z (biasanya {0, 1, 2, . . .} atau {1, 2, 3,..}) ke himpunan S. Notasi. an adalah peta dari n dan {an} barisan

Barisan aritmetika adalah barisan dalam bentuk a, a + d, a + 2d, . . . , a + nd, . . . dengan suku awal a dan beda d merupakan bilangan real.

Barisan geometri adalah barisan dalam bentuk a, ar, ar2, . . . , arn, . . . dengan suku awal a dan rasio r merupakan bilangan real.Relasi RecurrenceRelasi recurrence untuk barisan {an} adalah persamaan yang menyatakan an dalam satu atau lebih suku sebelumnya dalam barisan, yaitu, a0, a1, . . . , an1, untuk semua bilangan bulat n dengan n n0, di mana n0 bilangan bulat tak negatif.Suatu barisan disebut solusi dari relasi recurrence jika suku-sukunya memenuhi relasi recurrence tersebut.Soal 6.Apakah {an}, dengan an = 3n untuk setiap bilangan bulat tak negatif n, adalah solusi dari relasi recurrence an = 2an1 an2 for n = 2, 3, 4, . . . . ? Bagaimana dengan an = 2n dan an = 5?Contoh. Barisan FibonacciBarisan Fibonacci, f0, f1, f2, . . . , didefinisikan dengan kondisi awal f0 = 0, f1 = 1,

dan relasi recurrence fn = fn1 + fn2 untuk n = 2, 3, 4, . . . . Beberapa Barisan Penting

2.5 CARDINALITY OF SETS KardinalitasSuatu himpunan hingga jika kardinalitasnya adalah suatu bilangan bulat n. Dua himpunan A, B dikatakan memiliki kardinalitas yang sama, dinotasikan|A| = |B|, jhj terdapat korespondensi satu-satu dari A ke B. Himpunan tak hingga. Berapa kardinalitasnya? Apakah semua himpunan tak hingga memiliki kardinalitas yang sama? Himpunan TerhitungDefinisi.Suatu himpunan dikatakan terhitung jika himpunan tersebut hingga atau memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan bilangan bulat positif.Himpunan yang bukan terhitung dikatakan tak terhitung.Jika himpunan tak hingga S terhitung, kardinalitas dari S dinyatakan oleh 0 (aleph null), dan ditulis |S| = 0

Soal 7.Tunjukkan bahwa himpunan bilangan ganjil positif terhitung.