Matbor 2013 - Mozaik Kiadó · 2013. 10. 21. · Peller József, Reiman István, Urbán János,...

2013/2

A MATEMATIKA TANÍTÁSA 2013. október

2 MOZAIK KIADÓ

A MATEMATIKATANÍTÁSAmódszertani folyóirat

Szerkesztõség:Fõszerkesztõ:

Dr. Kosztolányi József

Szerkesztõség címe:6723 Szeged, Debreceni u. 3/BTel.: (62) 470-101,FAX: (62) 554-666

Kiadó:MOZAIK Kiadó Kft.Felelõs kiadó:

Török ZoltánTördelõszerkesztõ:

Kovács AttilaBorítóterv:

Szõke András

Megjelenik évente 4 alkalommal.

A Matematika Tanításában meg-jelenõ valamennyi cikket szer-zõi jog védi. Másolásuk bármi-lyen formában kizárólaga kiadó elõzetes írásbeli enge-délyével történhet.

Közlési feltételek:A közlésre szánt kéziratokat e-mailen a [email protected]

címre küldjék meg. A kéziratok lehetõleg ne haladják meg a 6-8oldalt (oldalanként 30 sorban 66 leütés).

Kérjük, a kézirathoz csatoljanak egy rövid magyar nyelvû ki-vonatot és egy angol nyelvû Abstract-ot!

A rajzokat, ábrákat, táblázatokat és fényképeket külön fáj-lokban is kérjük mellékelni. (A szövegrészben pedig zárójelbenutaljanak rá.)

Kérjük, hogy a szövegbeli idézések név- és évszámjelölésseltörténjenek, míg a tanulmányok végén a felsorolt irodalmak al-fabetikus sorrendben készüljenek.

Kérjük szerzõtársainkat, hogy a kéziratok beküldésével egyi-dejûleg szíveskedjenek közölni pontos címüket, munkahelyü-ket és beosztásukat.

TARTALOMGondolod, hogy egyre megy? —

A tudós tanár, Szendrei Julianna emlékéreSzabóné Dr. Szitányi Judit, adjunktus, Budapest

Emlékezés dr. Tóber ErnõreCzapáry Endre, nyug. középiskolai tanár

Tangramok a Pitagorasz-tételbizonyításainak játékos tanításához

Simonné Papp Ágnes, PhD hallgató, Szeged

Nyílt végû és vizsgálódással megoldható feladatoka matematikaórán

Barczi Krisztina, PhD hallgató, Debrecen,középiskolai tanár, Eger

Informatikai eszközökkel támogatottmatematikatanítás — tapasztalatok

Budai László, tanár, Budapest

Reprezentációk a százalékszámítás tanításábanDr. Ambrus Gabriella, egyetemi adjunktus, Budapest

Dr. Anke Wagner, Ludwigsburg

Jelentés a 2013. évi Beke Manó Emlékdíjakodaítélésérõl

Feladatrovat tanároknak

2013. október A MATEMATIKA TANÍTÁSA

MOZAIK KIADÓ 3

z elmúlt idõszak a matematika tanításá-ban sok szomorú hírt hozott. Olyan óri-ásokat veszítettünk el, mint Pálmay Ló-

ránt, Urbán János, Fried Ervin. Ebben az évbenjanuár 13-án elhunyt Szendrei Julianna is.

Úgy lenne helyénvaló, ha most valami tárgy-szerû, életrajzi adatokban bõvelkedõ megemlé-kezés következne. Ez az írás azonban inkábbegy személyes nekrológ lesz. Nem is lehet más,fõleg személyes érintettségem okán, hiszen so-hasem olyan módon néztem fel rá, mint a tu-dósra, tanulmányok és könyvek szerzõjére, tan-tervíróra, híres hazai és nemzetközi matemati-ka-didaktikai társaságok kulcsemberére vagya Tanítóképzõ Matematika Tanszékének veze-tõjére. Inkább azt az embert tiszteltem, aki na-gyon is valóságos, gondolatainak egy részét írá-sos formában publikálja, más részét elõadásokonhozza nyilvánosságra, de többségét tetteivelvagy személyes beszélgetések során közvetíti.Másrészt olyannyira sokoldalú személyiség volt,hogy ha munkásságát egy idõrendi vagy témaszerinti láncra fûzve próbálnánk bemutatni, azkeveset árulna el az emberrõl.

1990-ben ismertem meg Szendrei Juliannát.Amikor a Tanítóképzõbe hívott tanítani, azt meg-döbbentõ indokkal tette. Azt mondta, õ a mun-katársait a tekintetük alapján választja és az énnézésem megtetszett neki. Az együtt töltött éveksorán még sokszor elõfordult, hogy valami olyatmondott, amit az adott pillanatban nem érez-tem odavalónak, azonban késõbb megláttam azértelmét. Ezek után sohasem csodálkoztam azon,ha egy gondolatát nem sikerült azonnal átlát-nom. Tudtam és tudom, hogy a megfelelõ idõ-ben értelmet nyernek majd. Tanításában ugyan-ezt a módszert alkalmazta. Egy ideig látszólagrendszertelenül, nehezen követhetõen vezetteaz órát, de egy idõ után összeállt a kép, fényderült az elhintett megjegyzések, próbálkozásokértelmére. Hirtelen értelmet nyert az, ami eddig

parttalannak, teljesen összefüggéstelennek lát-szott.

Próbáltam megfejteni bonyolult személyisé-gét, de nehéz megfogalmazni, milyen is volt õvalójában. Inkább azt, hogy milyen nem volt.Russel így fogalmaz, amikor a matematika mû-vészi erejérõl ír. „A matematikát, ha helyesenfogjuk fel, nemcsak igazság, hanem egyszer-smind magasrendû szépség is jellemzi: hideg ésszigorú, a szobrászatéhoz hasonló szépség, melynem fordul gyöngébb természetünk egyetlenrészéhez sem, s amely nélkülözi a festészet ésa zene elkápráztató kellékeit, viszont fensége-sen tiszta, és oly szigorú tökélyre képes, ami-lyent csak a legnagyobb mûvészet tud felmutat-ni.” Ez a felfogás tökéletes ellentéte annak, amitJuli a matematika tanításában képviselt. Sze-rette a matematikát, egyfajta mûvészetnek te-kintette, de a hideg szigorúságot elutasította, éslegfõképpen azt, hogy a matematika az „erõ-sebb természetûek” privilégiuma. Minden erejé-vel arra törekedett, hogy a matematika emberiarcát mutassa. Tudatában volt annak, hogy a ri-deg szépség sokakat riaszt. Õ maga is igyekezettmindig emberi mivoltát mutatni, bár tehette

Gondolod, hogy egyre megy? —A tudós tanár Szendrei Julianna emlékére

A


4 MOZAIK KIADÓ

volna, soha nem éreztette tudásbeli, szakmaifölényét, tekintélyét. Tudta, hogy ez félelmet,kisebbségi érzést, esetleg szorongást eredmé-nyez. Egy alkalommal a tanításról beszélgettünk.Ekkor ajánlotta Bruno Bettelheim „Az elég jószülõ” címû könyvét azzal, hogy nem kell töké-letes tanárnak lenni, megfelel, ha valaki elég jóabban, amit csinál.

Bár kiválóan tudta a matematikát, a mate-matika tanításán kívül ezer más is érdekelte.Sõt, hogy éppen matematikatanár lett, az rész-ben a véletlenen múlt. Eredetileg diplomataakart lenni, de mást kellett választania. „Kinyi-tottam a felvételi tájékoztatót, megkerestem azta szakot, ahova a legtöbbet vették fel abban azévben, és nekem még valahogy ment. És akkoreszembe jutott, hogy én jól tudom a matemati-kát, meg jól tudok magyarázni.” (Én õket nemtudom megtanítani tanítani, beszélgetés KnauszImrével, Taní-Tani online folyóirat, 2008/3. 3—11.)Remek diplomáciai érzékét késõbb azért módjá-ban állt használni itthon és külföldön egyaránt.

Szerteágazó érdeklõdésének helyet találta matematika tanításán és kutatásán belül is.Törekedett arra, hogy bemutassa a matematikaés a hétköznapok kapcsolatát. Soha nem vetettfel problémát öncélúan. „Nem csak az a felada-tunk, hogy elképzelhetõ legyen a feladat, hanem,hogy a gyerekek közben el is képzeljék. Ha va-lódi életbõl vett adat miatt asszociálnak valami-re, azt meg kell hallgatnom. Nem mondhatom,hogy ez nem tartozik ide, mert akkor elzároma gyerektõl a matekot és az iskolán kívül nemfogja használni, csak az órán, és így feleslegesaz óra.” — jegyezte fel egy tanítványa egy szemi-náriumon.

Legfontosabb munkája a „Gondolod, hogyegyre megy?” címû könyve volt, amit 2005-benírt meg. Ebben összegzi életének és kutatásai-nak évtizedes tapasztalatait, kiderülnek belõlea matematika tanításáról alkotott gondolatai.„…valahány évesnek kell lenni, amíg az emberrájön, hogy na akkor most már tényleg meg kellírni, mert már meg tudom írni.” A párbeszédesforma nagyon jól illeszkedik mondanivalójáhozés személyiségéhez. Bár a könyv alapvetõena matematika tanításáról szól, a figyelmes olva-só képet kaphat sokszínû tudásáról is.

Legszívesebben a geometriát tanította. Óráihíresek voltak érdekes ötleteirõl, hosszan tartókonstrukciós feladatairól, valamint a képzõmû-vészet és a geometria kapcsolatának bemutatá-sáról, ahol nagyon szívesen elemezték Escherképeit. Kristályformák c. munkája a téma irántiérdeklõdését mutatja. A másik nagy kedvencea valószínûség-számítás volt. Az Országos Peda-gógiai Intézetben tagja volt a Varga Tamás ve-zette munkacsoportnak, ahol kidolgozták a komp-lex matematikatanítási kísérletet. A valószínû-ség-számítás tanítása a magyar közoktatásbaekkor került be elõször. Az elsõ munkalapok ésa Kapcsolat címû folyóiratok tanulmányozásalátni engedi, hogy ebben a témában rengeteg jóötletet, príma tevékenységet köszönhetünk neki.Közösen gondolkodva próbálták azt a szakadé-kot áthidalni, ami a valószínûségi szemléletfej-lesztés és a valószínûség számítása között érez-hetõ.

Az OPI-ban eltöltött éveknek köszönhettebarátságát Varga Tamással, akit talán a legna-gyobb példaképének tartott. Komoly erõfeszíté-seket tett azért, hogy Varga Tamás szellemi ha-gyatékát megõrizze. Nemzetközi és hazai konfe-renciákat, kiállítást szervezett, kiadványokat szer-kesztett. De a hétköznapokon is, amikor a taní-tásról beszélgettünk, minden alkalommal szóbahozta, hogy Tamás mit gondolt az adott témáról.

Szeretett játszani. Hitte, hogy a játék leheta matematikatanítás része. Errõl tanúskodnaka „Matek-játék a napköziben és otthon”, „A já-ték matematikája”, „Játsszunk matematikát!”vagy a „Matematika Mindenkinek” c. munkái.De nem csak a matematikai játékokat szerette.Szívesen játszott pszichodrámát is, amit olyany-nyira megszeretett, hogy kitanulta a drámacso-port vezetésének mesterségét. Ez nagyon illetthozzá. Önmagát jó diagnosztának minõsítette,ami igaz volt. Hamar átlátta az emberek tulaj-donságait, motivációit. Ezt a képességét a taní-tásban jól tudta alkalmazni.

Jelentõs számú didaktikai kutatása és írásaa tanulási nehézségek eredetének megfejtését ésleküzdését célozta. Például a „Tanulási nehéz-ségek a matematikában” vagy a „Matematikaifüveskönyv a differenciálásról”. Aktívan résztvett a Loránd Ferenc vezette KOMP-csoport


MOZAIK KIADÓ 5

munkájában is, mely az esélyegyenlõségért küz-dött. Úgy sejtette, hogy a tanulási nehézségekegyik fõ oka a nyelvben gyökerezik, ezért sokatfoglalkozott az anyanyelv és a matematikataní-tás kapcsolatával. Ebben a témában voltak mégkutatási ötletei, melyeket azonban már betegsé-ge miatt nem tudott megvalósítani.

Külön figyelmet szentelt a nagyon hátrányoshelyzetû tanulók segítésének, de nem csak azíróasztal mögül. Kereszty Zsuzsa a következõtörténetet mesélte errõl: „Mintegy húsz éve vit-tem el neked Timi matematika füzetét, kérve,hogy a gyerek hibái alapján segíts, hogy kellenetovábblendítenünk õt onnan, ahol a gondolko-dása megrekedt. (Timi annak a csenyétei isko-lának volt a növendéke, amelynek akkor a men-tora voltam — és Timi tanítóival együtt hármanvoltunk tanácstalanok.) A füzet kevés volt, a kö-vetkezõ héten felültél a vonatra, aznap együtttanultatok Timivel — és segítettél nekünk. A tisz-telet bennem nem abból származott, hogy meg-fejtetted azt a problémát, amelyet hárman semtudtunk — hanem abból, hogy ennek a gyerek-nek, a probléma megoldásának kedvéért 200kilométert utaztál.”

Tanításában és a szakma elõtt egyaránt na-gyon jó elõadó volt. Egyszerûen beszélt, hét-köznapi hasonlatokat alkalmazva. A Varga Ta-más Napokon vagy a Rátz László vándorgyûlé-seken mindig megtelt a terem az õ nevére. Hamegnézzük elõadásainak címét, azt láthatjuk,hogy mindegyik nagyon egyszerû és általános.Nem derül ki belõle, hogy mirõl fog beszélni.Például a rangos Országos NeveléstudományiKonferencián az „Értem-e, akit tanítok?” címpimaszul egyszerûnek tûnt, az elõadás mégis na-gyon komoly gondolatokat indított a hallgató-ságban.

Volt egy kedvenc feladata, mely így hang-zott: 32 Ft bélyeg kell egy olyan levélre, ame-lyik 250 grammnál nem lehet nehezebb. Móni-nak van egy 14 grammos borítékja. Hány da-rab 16 grammos rajzot tud ebben elküldeni, hanem akarja túllépni a 250 grammot? Ez a fel-adat egy 1993-as kutatás része volt. Azóta eza feladat lett az „orvosi ló”. Sok kontextusban,mindig más szempont alapján elemezte ezt

a problémát és a gyerekek megoldásait. Például„Az önreflexió szerepe és megoldási lehetõségeiaz egyéni fejlesztésben” c. cikkben (A tanításjobbításáért, 2005, Haxel Kiadó) a feladatot azönreflexió szempontjából vizsgálta. Jómagam há-rom alkalommal is részt vettem olyan elõadá-sán, amelyik kiindulópontja ez a feladat volt, deaz elõadások témája más és más. Egy alka-lommal a „pedagógiai egyezmény” bemutatá-sára használta fel a levél-problémát. Én akkortalálkoztam ezzel a kifejezéssel elõször, amit õelõszeretettel használt.

Komolyan foglalkoztatta a mértékváltás kér-dése. Ebben a témában sok jó elõadást hallhat-tak tõle a tanítók és a tanárok. 2012. október13-án a Matematikát tanítók klubján a mennyi-ségek mérésérõl esett szó. Ebben a témában itthangzott el legutolsó elõadása. Errõl szól utolsócikke is: Mumusunk — a mértékegység átváltástanítása (2012, Cherd-H, Debrecen. 173-180.),melyben azt kívánja bizonyítani, hogy a mér-tékegység átváltás tanítása az alsó tagozatonnem csak lehetetlennek tûnõ célkitûzés, hanemvalóban lehetetlen is. Így fogalmaz: „Igen soktudással rendelkezünk arról, hogy a mértékegy-ség átváltás témaköre miért tanítható olyan ala-csony hatásfokkal az iskolában. Szerencsés len-ne, ha a mindennapok iskolája a témakör taní-tása kapcsán az évtizedek során felhalmozódottjó gyakorlatokat követné: megelégedne egy jólmegértett szûk tudással a sok tanulói és tanítóikudarccal övezett illúziók helyett.”

Szendrei Julianna kiváló szakember volt, akijelentõs erõfeszítéseket tett a magyar matemati-katanítás jobbításáért. Távozása pótolhatatlanveszteség a szakmának. Az idõ múlásával egyrejobban fogjuk érezni, hogy mennyire hiányzika kollégáknak, tanítványoknak és a barátoknak.Akik ismertük, azzal vigasztalhatjuk magunkat,hogy szerencsések vagyunk, mert részese voltaz életünknek.

Szitányi Judit, 2013. szeptember


6 MOZAIK KIADÓ

z utóbbi hónapokban egymás után ér-keztek a szomorú hírek. A matematikaoktatásának kiváló képviselõi, a mate-

matika középiskolai oktatás gondozói, alakítói,Peller József, Reiman István, Urbán János,Pálmay Lóránt, Fried Ervinné, Reiman Istvánné,Szendrei Julianna, Oláh György — fájdalmaskimondani — befejezték életüket.

Most újabb szomorú hírrõl értesültünk. 77éves korában Nagykanizsán, hosszú szenvedésután elhunyt dr. Tóber Ernõ középiskolai ma-tematikatanár, a kedves, hûséges jó barát.

Mi jellemezte Tóber Ernõ életét, munkássá-gát? Egyetemi évei alatt — ahogyan egykori di-áktársaitól hallottam — feltûnt tehetségével, szor-galmával. Igényességét magával vitte középisko-lai tanári munkájába. Lelkiismeretesen tanított,tudós tanárhoz méltóan világos magyarázatai-val jól szolgálta a tehetséges tanulók szellemi

gondozását is. Külön ki kell emelni kifinomult,sokoldalú, alapos és precíz feladatmegoldó ké-pességét. Széles és alapos tárgyi tudásánakmegkoronázása volt az egyetemi doktori címmegszerzése. Az egyetemi felvételire, vagy a kö-zépiskolai tanulmányokra elõkészítõ feladat-gyûjteményei, szakkörei, elõadásai is bizonyí-tották, hogy kiváló szaktanárként tartottuk szá-mon Tóber Ernõ Tanár Urat. Felkészültségébõl,szaktudásából, önzetlen emberi tulajdonságai-ból adódóan személy szerint én is sokat tanul-tam Ernõ barátomtól. Hivatkozhatom a közép-iskoláknak írt matematika tankönyveimre, a fel-adatgyûjteményekre, amelyek felkért bírálója,lektora volt. A megoldásokat feladatonként nem-csak ellenõrizte, de hasznos tanácsaival, észre-vételeivel több esetben javította és csiszolta.

Emberi magatartását példamutatónak tartot-tuk. Egykori munkatársaival, barátaival együttelmondhatom, hogy kiváló kollégát, mélyen ér-zõ és gondolkodó, igazi humanistát veszítettünkel távozásával.

Kedves, felejthetetlen Ernõ barátom! Köszön-jük a sok-sok segítséget, amit tõled kaptunk.Nyugodjál békében! Emléked örökké él a szí-vünkben!

Czapáry Endrenyug. középiskolai tanár

Emlékezés dr. Tóber Ernõre

A


MOZAIK KIADÓ 7

Kirakós játékok

kétszemélyes játékok, a logikai, straté-giai társasjátékok, különbözõ gondol-kodtató feladványok mindig vonzóbbak

voltak a gyerekek — és a felnõttek — számára,mint az iskolai matematikatanulás, pedig ugyan-azokat a készségeket, képességeket használjukmindkettõhöz, és gyakran tapasztaljuk, hogy akiaz egyikben tehetséges, annak a másikban is le-het sikerélménye. Az egyszemélyes kirakós játé-kok is hasonló gondolkodást igényelnek, de ezekközött mindenki találhat neki való feladványt,amelyet meg tud oldani.

Ilyen kirakós játék az õsi kínai játék, a Tang-ram, amelynek lényege, hogy hét lapocska se-gítségével megadott formákat kell kirakni úgy,hogy mindig mind a hét lapot fel kell használni.Az egyik feladvány egy négyzet kirakása, ez anégyzet a játék dobozának formája is. A követ-kezõ ábrákon a Tangram darabjait láthatjuk.

A játékhoz minden feladvány egy síkbelialakzat, a feladvány megoldása pedig az alakzatfelosztása kisebb síkidomokra, amelyek mutat-ják a kirakás módját, mint az ábrán látható ma-dár esetében is.

Ez csak egy feladvány a sok közül. Sok fel-advány megtalálható az interneten is, de magunkis találhatunk ki új feladványokat, sõt a játékotonline is játszhatjuk például a

http://www.tablajatekos.hu/uj2001/2003/flash/!tangram.htmlwebhelyen.

Simonné Papp Ágnes

Tangramok a Pitagorasz-tételbizonyításainak játékos tanításához

A

1. ábraA Tangram darabjai (forrás: Wikipédia -

en.wikipedia.org/wiki/Tangram)


8 MOZAIK KIADÓ

Néhány további feladvány az internetrõl:

2. ábra

Feladványok a Tangram játékhoz

Ugyanezen az elven egy magyar játék is ké-szült, amelynek címe: Ezt rakd ki! (3. ábra)Ez a játék is hét mûanyag lapból áll, de ezek másalakúak, mint az elõbb bemutatott tangram da-rabjai. A játékhoz egy kis füzetkét adtak ki,amelyben 100 feladvány szerepel. Ezt a játékotJean Melrose Ezt Rakd Ki: A Hungarian Tang-ram címû cikkében nevezi a magyar tangramnak.A http://www.powerstrike.net/puzzles/index_matching.htm webcímen errõl és sok máskirakós játékról találhatunk képeket.

A tangramnak is vannak újabb változatai,például tojás vagy szív alakú tangramok. Ezek-rõl és a hozzájuk tartozó feladványokról ahttp://www.creativecrafthouse.com webcímenképeket találunk, de sok más tangram, kirakósjáték között Gál Péter: Ördöglakatok, pentomi-nók és társaik címû könyvében is megtalálha-tók. A könyv 1.1. fejezetében egy átdarabolásosbizonyítást is találunk a Pitagorasz-tételre, amelyitt nem szerepel. A szerzõ ezzel azt szemlélteti,hogy a tangramok akár geometriai tételek kor-

rekt matematikai bizonyítását is bemutathatják,hiszen ha két alakzat ugyanazokból a síkbeli da-rabokból tevõdik össze, akkor területük nyilvánegyenlõ. Nem meglepõ, hogy az alább leírtak-hoz képest egy hatodik, különbözõ bizonyításttalálunk a könyvben, hiszen a Pitagorasz-tételhíres arról, hogy közel 400 különbözõ ismert bi-zonyítása van.

3. ábraA magyar tangram

Kirakós játékPitagorasz tételének tanításához

itagorasz tételének tanításához egy kirakósjátékot készítettem három különbözõ vál-

tozatban, három különbözõ derékszögû három-szöghöz. A különbözõ alakzatokat színes dekor-gumiból vágtam ki. A három háromszög mére-tei:

5 cm, 12 cm, 13 cm;6 cm, 8 cm, 10 cm;5 cm, 5 cm, 5 2 cm.

Ezek alapján három különbözõ készletet ál-lítottam össze. Minden készletben szerepel azadott derékszögû háromszög világoszöld szín-ben, négy példányban. Nevezzük a derékszögûháromszögek nagyobb befogóját a-nak, kisebbbefogóját b-nek, átfogóját c-nek. A készletekbenvan 5 (az egyenlõ szárú esetben 4) négyzet,amelyek különbözõ színûek. Az a oldalú négy-zet kék, a b oldalú négyzet sárga, a c oldalúnégyzet sötétzöld, az a + b oldalú négyzet sötét-

P


MOZAIK KIADÓ 9

barna, az a - b oldalú négyzet (ha van ilyen) pi-ros. Az egyenlõ szárú készletben nincs pirosnégyzet, hiszen a = b miatt a - b = 0. Ezen felülminden készlethez tartoznak még fehér, barnaés rózsaszín darabok, amelyek a különbözõ át-darabolási bizonyítások alapján egy eredetilega oldalú négyzet szétvágásával keletkezett dara-bok, és hasonlóképpen a ciklámen és barack-színû darabokat pedig egy-egy b oldalhosszúsá-gú négyzet szétvágásával kaptam.

A játék Pitagorasz tételének öt különbözõátdaraboláson alapuló bizonyítását mutatja beérdekes tangram-feladványok formájában. A gye-rekek a játékhoz kapnak egy feladatsort, ame-lyen a feladványok szerepelnek a felfedezendõtananyag megértését segítõ egyszerû kérdések-kel vegyítve. A tangramok kirakásához nemszükséges az átdarabolási bizonyítások mate-matikailag pontos megértése, a 7—8. osztályo-soknak elegendõ a bizonyítások közül egyetrészletesen megismerni, de a játékban a többitis kirakják, a kirakott ábra szemlélteti a bizo-nyítások alapötletét, tehát eközben is tanulnaka gyerekek. A játék használatának lehetõségeirekésõbb még visszatérek, most következzeneka bizonyítások és a hozzájuk tartozó kirakós já-tékok.

A Pitagorasz-tétel 1. bizonyítása

Pitagorasz tétele: Derékszögû háromszögbena befogók négyzetének összege egyenlõ az át-fogó négyzetével, azaz alkalmas jelölésekkel(a és b a befogók, c az átfogó hossza):

a2 + b2 = c2.

cb

a

A feladat az, hogy a bal oldalon látható a + boldalhosszúságú négyzettel egybevágó négyze-tet rakjunk ki a négy derékszögû háromszögbõl,és az a ill. a b oldalhosszúságú négyzetekbõl,majd a négy derékszögû háromszögbõl és a coldalhosszúságú négyzetbõl is:

b

b

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

Így a Pitagorasz-tétel legismertebb bizonyí-tását kapjuk, hiszen látható, hogy ugyanakkoraterületet tudtunk kirakni a két esetben úgy,hogy kicseréltük az a2 és b2 területû darabokategy c2 területû darabra. Ha tehát bizonyítjuk,hogy a kirakott négyzetek valóban négyzetek,


10 MOZAIK KIADÓ

és valóban egyenlõ a területük, akkor bebizo-nyítottuk a Pitagorasz-tételt. Az elsõ négyzet ese-tében ez könnyen belátható, hiszen ha a nagynégyzet oldalait a és b hosszú szakaszokrabontjuk az ábrának megfelelõen, és összekötjükaz osztópontokat, majd a két téglalapnak be-húzzuk egy-egy átlóját, akkor éppen a felsoroltalakzatokat kapjuk. A második négyzet eseté-ben ez úgy szokott megjelenni a matematika-órákon, hogy szintén felrajzolják a négyzetet,majd a megfelelõ osztópontokat is megszer-kesztik, és ezeket összekötik egymással úgy,hogy egy négyszöget kapnak középen, amelyrõlbe kell bizonyítani, hogy az egy c oldalhosszú-ságú négyzet. Az oldalak hossza könnyen lát-ható abból, hogy a levágott háromszögek ép-pen a vizsgált derékszögû háromszöggel egybe-vágóak, az pedig, hogy a négyszög szögei de-rékszögek, a szokásos jelölésekkel látszik abból,hogy az adott szögek nagysága 180º - a - b == 90º. A kirakó használatánál ez a kérdés for-dítva vetõdik fel: kiraktuk a négyzetet a megfe-lelõ darabokból, de valóban a + b oldalhosszú-ságú négyzet-e az, amit kaptunk? Ehhez azt kellbelátni, hogy az oldalai valóban egyenesek, az-az az összeillesztéseknél kapott szögek 180º-osak. Ez azonban látszik abból, hogy ezeknek

a szögeknek a nagysága a + b + 90º = 180º.Mindkét bizonyításnál kihasználtuk, hogy a há-romszög belsõ szögeinek összege 180º, és hogya négyzetek sarkain megjelenõ háromszögekderékszögûek, tehát a + b = 180º - 90º = 90º.Megjegyezzük, hogy ha a gyerekek tudják, hogy

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

akkor az elsõ ábra nem is feltétlenül szükségesa bizonyításhoz, algebrailag is felírhatjuk a lé-nyegét ezzel az összefüggéssel. A második áb-rán kapott terület-összefüggést is felírva azt kap-juk, hogy

4 ◊ (ab) : 2 + c2 = (a + b)2,azaz

2ab + c2 = (a + b)2.

A két összefüggésbõl látható, hogy

2ab + c2 = a2 + 2ab + b2,amibõl

a2 + b2 = c2.

4. ábraA játék darabjai(©Papp Ágnes)

5. ábraFeladványok megfejtése az 1. bizonyításhoz

(©Papp Ágnes)


MOZAIK KIADÓ 11


Ehhez a bizonyításhoz az

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

összefüggés ismerete szükséges, mert bebizo-nyítjuk, hogy 2ab + (a - b)2 = c2. Itt ugyanisa nevezetes azonosság szerinti behelyettesítésseléppen a bizonyítandó a2 + b2 = c2 állítást kap-juk. Mint már fentebb láttuk, 2ab = 4 ◊ (ab) : 2,ami éppen a négy egybevágó világoszöld de-rékszögû háromszög területének összege. Tehátazt kell bizonyítani, hogy a négy háromszög ésa piros négyzet együttes területe egyenlõ a sö-tétzöld négyzet területével. A feladat tehát az,hogy rakjuk ki a sötétzöld négyzetet a négy de-rékszögû háromszög és piros négyzet felhasz-nálásával. Az átdarabolás korrektsége a szögekalapján itt is könnyen belátható.

6. ábraFeladvány megfejtése a 2. bizonyításhoz

(©Papp Ágnes)


A 7. ábrán az ABC derékszögû háromszögoldalaira szerkesztett négyzetek az AA1B1B,BB2C2C és a CC3A3A. Átdarabolással bizonyít-juk, hogy AA1B1B területe egyenlõ a BB2C2Cés CC3A3A négyzetek területének összegével.Az AB oldalhoz tartozó magasság talppontja T,a CT egyenes T1 pontban metszi az A1B1 oldalt.A” a B2C2 oldalon, A’ az AA1, B’ a B1B oldalonvan, D a BB2-n. CD ª AB, BA” ^ AB, TA’ ª AC,TB’ ª CB. G pont a CD és BA” metszéspontja. Fa T1 pontból a TB’-re állított merõleges talp-pontja. E az A’ pontból a T1F-re állított merõle-ges talppontja, H a TT1 és az A’E szakaszokmetszéspontja. Ezekbõl következik, hogy az áb-rán minden szakasz párhuzamos az eredeti há-

romszög valamelyik oldalával vagy magasságá-val:

AB ª CD ª CG ª GD ª AT ªª TB ª A1B1 ª A1T1 ª T1B1;

BC ª TB’ ª C2B2 ª C2A” ª A”B2 ªª TF ª FB’ ª A’E ª A’H ª HE;

CA ª C3A3 ª C2C ª BB2 ª BD ªª DB2 ª A’T ª T1F ª T1E ª EF;

CT ª AA1 ª BB1 ª TT1 ª BA” ª AA’ ª A’A1 ªª BB’ ª B’B1 ª TH ª HT1 ª A”G ª GB.

A3

C3

C2

B2

B1A1

A’

A

A”

T

F

EH

DGC

B

B’

T1

A3

C3

C2

B2

B1A1

A’

A

A”

T

F

EH

DGC

B

B’

T1

7. ábra


12 MOZAIK KIADÓ

Bebizonyítjuk, hogy az ábrán azonos színneljelölt síkidomok egybevágók.

1. TAA’è és DGBè egybevágóak, mert mind-kettõ egybevágó az ATCè-gel. Mivel TA’ ª ACés AA’ ª CT, mert mindkettõ merõleges AB-re,AA’TC paralelogramma. Így TAA’è és ATCèvalóban egybevágóak, mert AA’ = CT, A’T = ACés A’AT¬ = ATC¬ = 90º. Mivel a C pontnál kétderékszög van, A, C és C2 egy egyenesen van-nak, így AC és BD is párhuzamosak, ezértABDC is paralelogramma, tehát az ABCè ésa DCBè is egybevágók. Az ABCè magasságaCT és DCBè magassága BG, tehát DGBè isegybevágó TAA’è-gel.

2. Hasonlóan bizonyítható, hogy a CBGèés a TB’Bè is egybevágó.

3. FT1B1B’ négyszög egybevágó CGA’C2négyszöggel, mert CT1B1G téglalapban CG == T1B1, CC2 = T1F = BC az ABC és a TT1F há-romszögek egybevágósága miatt (AB = TT1 ésa két háromszög megfelelõ szögei is egyenlõek,mert merõleges szárú szögek) és a két négyszögszögei is egyenlõek, mert párhuzamos szárúszögek. A két négyszögben ugyanis a megfelelõoldalak párhuzamosak. A további két megfelelõoldalpár egyenlõsége ezekbõl már következik.

4. Az A’A1T1H és A”GDB2 négyszögekbenis párhuzamosak a megfelelõ oldalak, így itt iselég bizonyítani, hogy A’A1 = GA” és A1T1 = GD.Az BB2A”è egybevágó az ABCè-gel, mertBB2 = BC és a megfelelõ szögek pedig egyen-lõk, mert merõleges szárú szögek. Ebbõl azon-ban következik, hogy AA1 = BA”. Mivel fentebbmár beláttuk, hogy AA’ = GB, ezért

A’A1 = AA1 - AA’ = BA” - BG = GA”.

Már láttuk, hogy AT = GD, de AA1T1T tégla-lapban AT = A1T1, tehát A1T1 = GD.

5. A CC3A3A négyszög egybevágó az A’EFTnégyszöggel. Mivel a megfelelõ oldalak itt ispárhuzamosak, a szögek valóban egyenlõek(derékszögek). CC3A3A egy négyzet, amely-

nek oldalai AC hosszúak. Már láttuk, hogyA’T = AC. Az ABCè és a TT1Fè egybevágók,mert AB = TT1 és ACB¬ = TFT1¬ = 90º, továb-bá CAB¬ = FTT1¬, mert merõleges szárú szö-gek: TF ª CB ^ AC fi TF ^ AC és AB ^ TT1.Az egybevágóságból következik, hogy TF = AC,tehát A’EFT is AC oldalhosszúságú négyzet.

Ezt a bizonyítást szemléltetik a következõfeladványok a kirakójátékban: rakjunk ki a fe-hér darabokból egy, a kék négyzettel egybevá-gó négyzetet, majd a fehér darabok és a sárganégyzet felhasználásával egy, a sötétzöld négy-zettel egybevágó négyzetet. A következõ képe-ken ezek megoldását láthatjuk (8. ábra).


Ismét a területek átdarabolásával bizonyítjukPitagorasz tételét. Bizonyítandó, hogy az AA1B1Bnégyzet területe egyenlõ a BB2C2C és CC3A3Anégyzetek területének összegével. Ehhez belát-juk, hogy a két kisebb négyzet területének ösz-szege és a nagy négyzet területe egymássalegybevágó darabokból áll össze.

8. ábraFeladványok megfejtése a 3. bizonyításhoz

(©Papp Ágnes)


MOZAIK KIADÓ 13

Az A1, B1, B2, C2, C3, A3 pontok az elõzõbizonyításhoz hasonlóan a háromszög oldalairaszerkesztett négyzetek csúcsai. A2 az A1A egye-nes és a CC3 szakasz metszéspontja, B3 a B1Begyenes és a B2C2 szakasz metszéspontja. C1a B3 pontból az AB oldallal húzott párhuzamosés a CC2 oldal metszéspontja. A1S ª AC, Sa BC oldalon van, T az A1S és AB oldal met-széspontja, P2 az A pontból, P1 a B1 pontból azA1S-re állított merõleges talppontja. T1B1 = TBés T1S1 ª A1S.

A 9. ábra bal oldalán bejelöltük az ABC há-romszög hegyesszögeit és a velük egyenlõ szö-geket. Ezek alapján AA1P2è @ ABCè, mert szö-geik és átfogóik egyenlõk. HasonlóképpenB3BB2è @ ABCè, mert szögeik és a nagyobbbefogóik egyenlõk. Ebbõl következik, hogyAA1P2è @ B3BB2è.

Mivel AA1P2è @ ABCè, AP2 = AC, tehát azAP2SC négyszög négyzet, mert szögei derék-szögek és szomszédos oldalai egyenlõ hosszúak.Így AP2SC @ ACC3A3, és

ACC2è @ AP2Tè,

mert szögeik és nagyobb befogóik egyenlõk.Ebbõl látható, hogy AA2C3A3 @ ATSC, mert

úgy keletkeztek, hogy egybevágó négyzetekbõlvágtunk le egybevágó háromszögeket a megfe-lelõ oldalon. A1B1P1è @ ABCè, mert szögeik ésátfogóik egyenlõk. T1B1S1è @ TBSè, mert szö-geik egyenlõk és T1B1 = TB. Ezekbõl látható,

a

b

b

b

b

b

b

b

a aaa

a aa

a

a

a

a

A3

A2C3

C2C1

B2

B3

B1A1

AT

S

C

B

T1

P1P2

S1

A3

A2C3

C2C1

B2

B3

B1A1

AT

S

C

B

T1

P1P2

S1

9. ábra

10. ábraFeladványok megfejtése a 4. bizonyításhoz

(©Papp Ágnes)


14 MOZAIK KIADÓ

hogy A1T1S1P1 @ ATSC. Mivel AA2C3A3 @ ATSCés A1T1S1P1 @ ATSC, ezért

A1T1S1P1 @ AA2C3A3.

A B3BB2è @ ABCè egybevágóságból követke-zik, hogy B2B3 = AC, de mivel AP2SC négyzet,CS = AC, így B2B3 = CS, tehát SB = BC - SC == B2C2 - B2B3 = B3C2. Ezért TBSè @ C1B3C2è,mert szögeik és hosszabb befogóik egyenlõk.T1B1S1è @ TBSè és TBSè @ C1B3C2è, tehát

T1B1S1è @ C1B3C2è.

A fentiekbõl már belátható, hogy

CBB3C1 @ P1B1BT,

mert megfelelõ oldalaik párhuzamosak és egyen-lõ hosszúak, megfelelõ szögeik egyenlõk.


Az ötödik átdarabolási bizonyítás egy, a ha-sonló háromszögeket felhasználó algebrai bizo-nyítással hozható összefüggésbe.

c

b mp q

a

11. ábra

A derékszögû háromszög átfogóhoz tartozómagassága a háromszöget két hozzá hasonlóderékszögû háromszögre bontja. Mivel a ha-sonló háromszögek oldalainak aránya egyenlõ,a cq a= és b c

p b= . Ezekbõl következik, hogy

a2 = cq és b2 = cp. Ebbõl már következik Pita-gorasz tétele, mert a2 + b2 = cq + cp = c(q + p) == c ◊ c = c2. Viszont az is következik ebbõl, hogyaz a oldalú négyzet átdarabolható egy olyantéglalappá, amelynek oldalai q és c hosszúak,a b oldalú négyzet pedig olyan téglalappá,amelynek oldalai p és c hosszúak. Az ötödik bi-zonyítás, amelyhez kirakójátékot készítettünk,ezt az átdarabolást valósítja meg. A nagyobbbefogóra rajzolt négyzet átdarabolását a 12. áb-ra alapján az olvasóra bízzuk, mert ez az átda-rabolás hasonló a 3. bizonyításnál látott átdara-boláshoz.

A kisebb befogóra rajzolt négyzet átdarabo-lása függ a befogók arányától, de minden eset-ben azzal kezdõdik, hogy a 12. ábrán láthatómódon levágunk a négyzetbõl egy, az ABCè-hözhasonló háromszöget (ACA2), amelynek na-gyobb befogója a négyzet oldalával egyenlõhosszúságú, majd kettévágjuk ezt a háromszö-get az átfogójához tartozó magassággal. Ez a ma-gasság AT-vel egyenlõ hosszú, ami az AC befo-gó merõleges vetülete az átfogóra. Jelöljük itt isp-vel. A továbbiakban úgy daraboljuk a négy-zetet, hogy a levágott háromszög átfogójával

A3

C3

C2

A2 B2

B1A1

A’

A

A”

T

F

GC

p

B

B’

T1

A3

C3

C2

A2 B2

B1A1

A’

A

A”

T

F

GC

p

B

B’

T1

12. ábra


MOZAIK KIADÓ 15

(AA2) párhuzamosokat húzunk egymástól p tá-volságra mindaddig, míg ezek két ponton met-szik a négyzet kerületét, és így újabb darabotvágnak le belõle. A következõ ábrák (13. ábra)a négyzet feldarabolását mutatják több külön-bözõ esetben, azaz az eredeti háromszög befo-góinak arányától függõen. Az a, c, e, g esetek-ben az egyik befogó egész számú többszörösea másiknak, a g ábra az egyenlõ szárú esetetmutatja.

A 14. ábrán az eredeti háromszög ABC, ésCADC1 a b oldalhosszúságú négyzet. AB ésDC1 metszéspontja D1. „Csíkozzuk be” a há-romszöget az A1B1, A2B2, … AnBn egyenesek-kel, amelyek párhuzamosak az AB oldallal, és"i ŒN, 1 £ i £ n esetén Ai az AC oldalon van,Bi a BC oldalon van, és

AiAi + 1 = AA1 = DD1.

Így n db (n = [a : b]) egyenest veszünk fel(az ábrán éppen 3-at, de hogy látsszon, hogy eznem mindig így van, a 3. pontot mindenütt n-nel jelöltük). Ha a háromszög egyenlõ szárú,akkor csak egy ilyen egyenes lesz, és az éppenaz AC1 átló. "i ŒN, 1 £ i £ n esetén a CiEi sza-kaszok (a Ci pontok a BC befogón vannak, azEi pontok az AB átfogón) párhuzamosak az ACbefogóval, egymástól AC = b távolságra van-nak, és CiCi + 1 = CC1 = b. Legyen M az ABCèátfogóhoz tartozó magasságágának talppontja,CM az átfogóhoz tartozó magassága. FA, ED ésGB szakaszok párhuzamosak ezzel a magasság-gal, így merõlegesek az átfogóra. MCAè @ EADè,tehát ED = AM = p. Az FABG négyszög tehátéppen az a téglalap, amivé a CADC1 négyzetetát szeretnénk darabolni. Az egyenlõ távolságokés párhuzamosságok miatt FAA1è @ EDD1è ésEADè @ GB1Bè. Ebbõl az is látható, hogy

a) b)

c) d)

e) f)

g)

13. ábraA kisebb átfogóra rajzolt négyzet

feldarabolásai a befogók arányától függõen

A1

B1

C1D1=E1D2Dn

C2 E2

Cn En

B2

Bn

A

DE

M

BG

CF

A2An

14. ábra


16 MOZAIK KIADÓ

BB1 = B1B2 = ... = Bn - 1Bn = AD = AC == b = CC1 = C1C2 = ... = Cn - 1Cn.

Így CBn = CnB = CB - n ◊ b, tehát AnBnCè @@ EnBCnè. Ebbõl az is következik, hogy azAnAn - 1DnC1Bn ötszög (ha van ilyen — haa hosszabb befogó egész számú többszörösea rövidebbnek, akkor nincs) oldalai egyenlõhosszúak a HEn - 1EnCnB1 ötszög oldalainakhosszával. Mivel a megfelelõ oldalak párhuza-mosak is, a két ötszög egybevágó. Az említettalakzatokon kívül a CADC1 négyzet és azFABG téglalap n - 1 darab egybevágó parale-logrammából áll, tehát az átdarabolás megvaló-sult, a CADC1 négyzet és az FABG téglalap te-rülete egyenlõ.

A kirakós játék használataa matematikaórán

A fentebb leírt kirakós játék tehát színes la-pocskákból áll. A képeken lévõ lapocskákat2 mm vastag dekorgumiból vágtam ki. Termé-

szetesen még jobb lenne, ha fából vagy mû-anyagból készülne, és a darabok nagyobbak len-nének, így viszont van néhány egészen kicsi da-rab is (a dekorgumi elég drága, fõleg, ha a szí-nes játékot 15—20 példányban szeretnénk elké-szíteni, viszont karos vágógép segítségével köny-nyen vágható). A játék papírból is elkészíthetõ,de csak legalább 2—3 mm vastag lemezekbõlérdemes kivágni, mert a kartonpapír daraboktúl vékonyak, egymás tetejére csúsznak (és nemtartósak).

A legtöbb iskolában a gyerekek a 8. osztály-ban tanulnak elõször Pitagorasz tételérõl, dea 9. osztály tankönyveiben is szerepel. A ké-sõbbiekben is gyakran használják a matemati-kaórákon. A játékot tehát elsõsorban a 8. osz-tálynak ajánlom, de 9. osztályban is érdemeselõvenni, mert ekkor már bonyolultabb bizo-nyításokat is megérthetnek vagy megkonstruál-hatnak a gyerekek. A játékot akkor érdemesbevinni az osztályterembe, ha minden gyerek-nek tudunk adni egy készletet, és a játékra vanlegalább egy teljes tanórányi idõnk. Még jobb,ha 2—3 órát is el tudunk tölteni vele. Ezeken azórákon a kirakós játékon kívül marad idõ a ta-pasztalatok rövid lejegyzésére és a Pitagorasz-tétel ismertetésére is. Ezért akkor kell következ-nie, amikor már a Pitagorasz-tétel bevezetésétmár kellõen elõkészítettük, tehát a gyerekekbirtokában vannak a tétel és a bizonyítás leírá-sához szükséges alapvetõ algebrai ismeretek-nek, átismételtük a háromszögekrõl a legfon-tosabb tudnivalókat, a gyerekek tisztában van-nak a négyzetre emelés és a négyzetgyökvonáskapcsolatával, és gyakoroltuk a négyzetrácsonvaló terület-meghatározást. Ha nem csak egyóránk van a játékra, akkor kitérhetünk az egyenlõszárú esetre is, mert ott a feladványok köny-nyebbek, de feladat lehet belátni, hogy a többikészlet feladványainak speciális esetei. Ha errenincs idõ, akkor jó, ha minden gyerek olyan kész-letet kap, amely nem egyenlõ szárú esetet mu-tat be, de nem kell, hogy a készletek teljesenegyformák legyenek.

A játékhoz érdemes egy feladatlapot is mel-lékelni, amelynek segítségével minden gyereksaját tempójában haladhat a feladványokkal.A kirakós feladványok között olyan feladatokvannak, amelyek újra rákérdeznek arra a nyil-vánvaló, de jelen esetben nagyon fontos tény-15. ábraFeladványok megfejtése az 5. bizonyításhoz


MOZAIK KIADÓ 17

re, hogy azoknak a daraboknak az összterülete,amelyekbõl ki tudunk rakni egy bizonyos alak-zatot, megegyezik az adott alakzat területével.A feladatokban a területeket a darabok színeiveljelöltük, tehát például Tvilágoszöld a készletbenszereplõ világoszöld darabok területeinek össze-gét jelenti. A feladatok a következõk:

1. A világoszöld háromszög derékszögû. Je-löljük a hosszabb befogóját a-val, rövidebb be-fogóját b-vel, átfogóját c-vel! Mekkora a területe(képlettel megadva)?

2. A világoszöld háromszög minden oldalá-hoz illessz egy négyzetet, amelynek az oldalaugyanakkora, mint az adott oldal!

3. Mekkora a sárga, a kék és a sötétzöld négy-zet területe?

4. A 4 világoszöld háromszögbõl, a sárga ésa kék négyzetbõl rakj ki egy a sötétbarna négy-zettel egybevágó négyzetet!

5. Mekkora a sötétbarna négyzet oldala?Mennyi (a + b)2? Mekkora a sötétbarna négyzetterülete?

6. Mekkora a négy világoszöld háromszögés a sötétzöld négyzet területe együttvéve?

7. Rakj ki a világoszöld háromszögekbõl ésa sötétzöld négyzetbõl egy olyan négyzetet, minta sötétbarna!

8. Bizonyítsd be, hogy amit kiraktál, az va-lóban négyzet (az oldalai valóban egyenesek ésnem töröttvonalak)!

9. Melyik a nagyobb terület? Tegyél ki relá-ciós jeleket!

a) Tvilágoszöld + Tkék ++ Tsárga ç Tvilágoszöld + Tsötétzöld

b) Tkék + Tsárga ç Tsötétzöldc) a2 + b2 ç c2

10. Rakj ki a világoszöld háromszögekbõlés a piros négyzetbõl egy olyan négyzetet, minta sötétzöld!

11. Mekkora a piros négyzet oldala? Meny-nyi (a - b)2? Mekkora a piros négyzet területe?

12. Melyik a nagyobb terület? Tegyél ki re-lációs jeleket!

a) Tvilágoszöld + Tpiros ç Tsötétzöldb) 24 ( )

2ab

a b⋅ + − ç c2

c) 2ab + a2 - 2ab + b2 ç c2d) a2 + b2 ç c2

13. Rakj ki a fehér lapokból egy olyan négy-zetet, mint a kék!

14. Rakj ki a fehér lapokból és a sárga négy-zetbõl egy olyan négyzetet, mint a sötétzöld!

15. Egészítsd ki az alábbi állításokat az elõbbifeladványok alapján úgy, hogy igazak legyenek!

a) Tfehér = ________b) Tfehér + ________ = Tsötétzöldc) Tkék + ________ = Tsötétzöldd) a2 + ____ = c2

16. Rakj ki a barackszínû lapokból egy olyannégyzetet, mint a sárga!

17. Rakj ki a barna lapokból egy olyan négy-zetet, mint a kék!

18. Rakj ki a barackszínû és a barna lapok-ból egy olyan négyzetet, mint a sötétzöld!

19. Rakj ki a ciklámenszínû lapokból egyolyan négyzetet, mint a sárga!

20. Írd a fenti négy feladványban szereplõterületek nevét a téglalapokba úgy, hogy min-den egyenlõség igaz legyen!

Tbarna + = Tsötétzöld= = =

+ Tsárga Tsötétzöld

21. Rakj ki a ciklámenszínû lapokból egyolyan téglalapot, amelynek egyik oldala akkora,mint a sötétzöld négyzet oldala!

22. Rakj ki a rózsaszínû lapokból egy olyannégyzetet, mint a kék!

23. Rakj ki a rózsaszínû lapokból egy olyantéglalapot, amelynek egyik oldala akkora, minta sötétzöld négyzet oldala!

24. Rakj ki a ciklámenszínû és a rózsaszínûlapokból egy olyan négyzetet, mint a sötétzöld!


18 MOZAIK KIADÓ

25. Írd a fenti négy feladványban szereplõterületek nevét a téglalapokba úgy, hogy min-den egyenlõség igaz legyen!

+ Tciklámen = Tsötétzöld= = =

Tkék + Tsötétzöld

Pitagorasz tételét többnyire számításokbanhasználjuk fel, általában hosszúságokat számo-lunk ki vele, ezért a késõbbiekben gyakran csakegy képletnek tekintjük, elfelejtkezünk eredetijelentésérõl és ezzel együtt a bizonyítás gondo-latmenetérõl is. Éppen ezért fontos, hogy máraz elején tudatosítsuk, hogy a tétel valójábanterületekrõl szól. Ez a játék és a hozzá kapcso-lódó kérdések segítenek ennek a szemléletnekaz elmélyítésében.

Dienes Zoltán Építsük fel a matematikát cí-mû mûvében kétféle matematikai gondolkodástkülönböztet meg: a konstrukciót és az analízist.A konstrukció az, amikor új fogalmat alkotunka meglévõ fogalmakra építve, az elemzés pedig,amikor ezekrõl a fogalmakról állítunk valamit,összefüggéseket állapítunk meg, logikusan gon-dolkodunk a magunkban felépített konstrukci-ókról. Dienes szerint a gyerekek mentális fejlõ-désében csak a Piaget által absztrakt mûveletekszakaszának nevezett idõszakban, tehát 12 éveskortól várhatjuk el, hogy képesek legyenek azelemzõ gondolkodásra, ezért a könyv arról szól,hogyan tehetjük a matematikatanulást a gyere-kek számára a konstruktív gondolkodás színte-révé, hogyan tanítsuk õket úgy, hogy a tananyagminden részletét a konstruktív gondolkodás se-gítségével közelíthessék meg. A bizonyításosfeladatok azonban elemzõ gondolkodást igé-nyelnek, így a 7. osztálytól kezdve egyre gyak-rabban várjuk el a gyerekektõl ezt a gondolko-dásmódot. Ugyanakkor az algebrai változók be-vezetésével egyre absztraktabban kell gondol-kodniuk. Amikor tételeket és azok bizonyításaittanítjuk a gyerekeknek, akkor szükségük van azelemzõ és az absztrakt gondolkodásra, ezért azelsõ tételeknél segítenünk kell a tanulóknak ezta gondolkodásmódot elsajátítani. (A verseny-feladatokban a bizonyítás igénye jóval hama-rabb megjelenik, de a gyerekek többségénéla 7—9. évfolyam feladata ennek kialakítása.A Pitagorasz-tétel bizonyítása az elsõ bizonyítá-

sok közé tartozik, amelyet a gyerekeknek megkell konstruálniuk, vagy legalább meg kell érte-niük. Így a játék segítséget adhat a konstruktívgondolkodásról az elemzõ gondolkodásra valóváltásban, mert a bizonyítást (absztrakt elemzést)szemlélteti egyszerû, konstruktív („felépítjük” a bi-zonyításhoz szükséges ábrákat) és nagyon konk-rét módon.

A játék továbbfejleszthetõ.A http://www.cut-the-knot.org/pythagoras web-oldalon például sok további bizonyítást olvas-hatunk, amelyek között akadnak bõven átdara-bolási bizonyítások is. Ezeket színes ábrákkal il-lusztrálták, amelyek alapján akár még érdeke-sebb kirakós feladványokat is kreálhatunk.

A játékot matematikaórákon volt alkalmamkipróbálni gyakorló gimnáziumban, normál ál-talános iskolában, és egy egyébként is átlag alattteljesítõ osztály képességek szerinti csoportbon-tással elõállt gyengébb csoportjában is. A gyere-kek mindig szívesen játszottak vele, az elsõ hárombizonyítás feladványait minden gyerek önállóanképes volt megoldani, és úgy gondolom, hogya fentebb leírt célok is megvalósultak a tanulóktöbbségénél minden csoportban.

Hivatkozások[1] Wikipédia: - en.wikipedia.org/wiki/Tangram[2] A 2. ábrán látható tangram-feladványok for-

rásai:http://www.davidson.edu/math/chartier/Pft/Tangram/tanpage.gif;tangrams-jodyandrea.blogspot.com;http://www.identifont.com/similar?6ML

[3] Jean Melrose: Ezt Rakd Ki: A HungarianTangram (Mathematics in School v27 n2p14-15 Mar 1998)

[4] http://www.creativecrafthouse.com[5] http://www.powerstrike.net/puzzles/index-

matching.htm[6] Gál Péter: Ördöglakatok, pentominók és tár-

saik. Typotex, Budapest, 2008[7] Bereznay Gyula: Pitagorasz tétele, Általános

iskolai szakköri füzetek. Tankönyvkiadó, Bu-dapest, 1970

[8] Elisha Scott Leomis: The PythagoreanProposition

[9] http://www.cut-the-knot.org/pythagoras[10] Dienes Zoltán: Építsük fel a matematikát,

SHL könyvek, SHL Hungary Kft., Budapest,1999


MOZAIK KIADÓ 19

1. Bevezetés

atematikaórán gyakran elhangzik a kér-dés: „Tanárnõ, ezt miért kell megta-nulni? Hol fogjuk ezt az életben hasz-

nálni?” Ezekkel a kérdésekkel a tanulók aka-ratlanul is rámutatnak néhány matematikataní-tással kapcsolatos problémára. Például: igen ke-vés nyílt végû feladatot oldunk meg az órákon,így kevesebb lehetõség jut kreatív tanulói tevé-kenységre, a problémamegoldó gondolkodásfejlesztésére. Ebben a cikkben két feladatot mu-tatunk be, amiket egy hosszabb kísérlet része-ként oldottak meg középiskolás tanulók. Az em-lített feladatok nyílt végû, illetve matematikaivizsgálódást igénylõ feladatok, amiket koopera-tív tanulásszervezési technikák felhasználásávaldolgoztunk fel.

2. Elméleti háttér

2.1. Nyílt problémák

A probléma fogalmára Robert Fisher (2002)meghatározását fogadjuk el, miszerint a prob-léma egy olyan feladat, ahol a következõ ele-mek vannak jelen: Adottságok — a kezdeti fel-tételek, kiindulási szituáció; Akadályok — példá-ul a megoldási út ismeretlensége; Célok — álta-lában a megoldás; Erõfeszítés — a módszer,amivel a problémát megoldjuk. Zárt feladatrólvagy problémáról akkor beszélünk, ha egyér-telmûen ismerjük a kezdeti feltételeket, a célt ésa megoldáshoz vezetõ utat is. Pl. Oldd mega megoldóképlet segítségével az x2 + 7x = -12másodfokú egyenletet!

Nyílt feladatokról akkor beszélhetünk, (1) haaz adott problémára eddig még senki nem találtmegoldást; (2) ha a feladat megoldása többféle

is lehet, attól függõen, hogyan értelmezzük a fel-adatot; (3) ha az adott problémát többféle mód-szerrel is meg lehet oldani; (4) ha a feladatmegoldása során úgy érezzük, hogy lehetõségvan általánosításra is. (Ambrus G., 2000)

A nyílt végû matematika feladatok olyan tí-pusúak, amiknek lehet több megoldása, vagya megoldáshoz többféle úton el lehet jutni.A megoldások számától függetlenül a diákok-nak el kell magyarázniuk, hogyan jutottak ela válaszig és matematikai érvekkel kell alátá-masztaniuk a gondolatmenetük helyességét.A nyílt végû feladatok egy részét vizsgálódássalkell megoldani. Ilyenkor a tanulók mintákat fi-gyelnek meg és megpróbálják felismerni az ösz-szefüggést bizonyos megadott információk kö-zött. (Cooney, 2013)

A feladatok kiválasztásánál figyelembe kellvenni, hogy nemcsak a nyílt végû, hanem szinteminden szöveges matematikai problémánál fon-tos a megfogalmazás. A Wason-teszt is megmu-tatta, hogy egy feladat szövegezése nagymér-tékben befolyásolja a megoldó következtetésiképességét. (Devlin, 2000) Célszerû ezért úgyfogalmazni, hogy a tanulók ismert tárgyakat,fogalmakat találjanak a feladatban.

2.2. Kooperatív technikák

A matematika „megszerettetéséhez” fontosa jó munkalégkör kialakítása, a hatékony mun-kához elengedhetetlen a tanulók aktivitása is.(Ambrus A., 2004) Az egyik módszer a jó légkörkialakításához és a maximális tanulói aktivitásbiztosításához a kooperatív tanulásszervezési tech-nikák használata.

A kooperatív tanulás több, mint egyszerûcsoportmunka, mivel itt a következõ négy alap-elvnek mindig teljesülnie kell: 1. építõ egymásra

Barczi Krisztina

Nyílt végû és vizsgálódással megoldhatófeladatok a matematikaórán

M


20 MOZAIK KIADÓ

utaltság; 2. párhuzamos interakciók; 3. egyénifelelõsség; 4. egyenlõ részvétel. A kooperatívtanulásszervezési struktúrák összeállításánál azötletadók ezt a négy alapelvet szem elõtt tar-tották. (Kagan, 2001) A következõ részben be-mutatunk néhány ilyen struktúrát, amit a jelen-legi kísérlet során fel is használtunk.

2.3. Alkalmazott módszerek

• Gondolkozz — beszéld meg párban — ku-pac-tanács: ennek a módszernek az alkalmazá-sánál a diákok eleinte önállóan gondolkodnakegy adott probléma megoldásán. Ezt követõenpárban megbeszélik az ötleteiket, végül a cso-port egy csoportmegbeszélést tart és összeveti,valamint ellenõrzi az ötleteket.

• Feladatküldés: 1. lépés: minden csoport/diák (feladattól függ) kérdés(eke)t dolgoz ki —ezek lehetnek egy adott tananyagra vonatkozóismétlõ kérdések, lehetnek új feladatok, amiketa diákok találnak ki ...stb. 2. lépés: A csoportokelküldik egymásnak a feladatokat. 3. lépés:A csoportok válaszolnak.

• Szakértõi mozaik: Minden csoportbanmind a négy tanulónak van egy jele (ez lehet pl.betûjel), valamint minden csoport kap egy adotttémát, amin a tagoknak majd dolgozniuk kell.Fontos azonban, hogy a csoportoknak kiosztotttémák valahogyan összefüggjenek (matematiká-ban lehet általánosításra használni ezt a mód-szert, úgy, hogy az egyes csoportok különbözõeseteket vizsgálnak). A csoportok kapnak vala-mennyi idõt, hogy a saját feladatukat kidolgoz-zák, megbeszéljék és meggyõzõdjenek róla, hogya csoport minden tagja számára érthetõ a meg-oldás. Ezt követõen az azonos jelû tanulók ösz-szeülnek, új csoportokat alakítva. Ezekben az újcsoportokban mindenki beszámol a saját fel-adatáról, miközben a többiek jegyzeteket készí-tenek. A megbeszélés befejeztével a tanulókvisszatérnek eredeti csoportjaikba és összevetika szerzett információt. (Kagan, 2001)

3. Kutatási kérdés

Hogyan járul hozzá a nyílt végû problémákalkalmazása a matematikaórákon, kombinálvaa kooperatív technikákkal a matematikai gon-

dolkodás fejlõdéséhez, a gondolkodás örömé-nek átéléséhez?

4. A kísérlet

A következõkben bemutatásra kerülõ kétprobléma és feldolgozásuk egy hosszabb léleg-zetû fejlesztõ pedagógiai kísérlet része. A kísérletrésztvevõi 16—17 éves diákok, akik egy mûszakiszakirányú nyelvi elõkészítõ osztály 11. évfo-lyamára jártak. Ez a 16 tanuló a matematikátheti 4 órában tanulta, fõleg mûszaki és termé-szettudományos érdeklõdésûek, némelyikük ki-emelkedõ matematikai tehetség, de mindany-nyian szívesen foglalkoznak matematikával.

A kísérlet során a tanulók 5 tanterv-alapúnyílt végû és/vagy vizsgálódással megoldhatóproblémát dolgoztak fel kizárólag kooperatívtanulásszervezési technikákkal tervezett órákon.Az egyes problémák megoldására 2—3 tanításióra is jutott. A cél a problémák alapos megvi-tatása, körbejárása is volt.

5. Feladatok

5.1. Játék a gyufákkal

„Az asztalon hever 27 gyufaszál. Két játékosfelváltva vesz el 1 vagy 2 vagy 3 gyufaszálat.(Amíg van az asztalon gyufaszál, addig legalábbegyet el kell venni!) Az nyer, aki az utolsó gyu-faszálat elveszi. A feladat egy gyõzelmi stratégiakidolgozása a kezdõ, illetve a második játékosszempontjából.” (Ambrus A., 2004) Tantervi vo-natkozások: aritmetika, oszthatóság, osztási ma-radékok (visszafelé gondolkodás).

5.2. Gombok

Három gombot körben helyezünk el. A gom-bok színe lehet kék vagy piros. Ismételd a kö-vetkezõket és figyeld meg, mi történik: két egy-forma színû gomb közé helyezz egy piros gom-bot, két különbözõ közé egy kéket, majd távo-lítsd el az eredeti gombokat. Vizsgáld meg azösszes lehetséges kiindulási helyzetet (nrich).Kiterjesztés: Mi történik, ha eredetileg 4, 5 vagy6 gombod van? Tantervi vonatkozások: kombi-natorika, összes eset logikus felsorolása (sziszte-matikus gondolkodás).


MOZAIK KIADÓ 21

6. Az órák felépítése

Gyufák Gombok

A tanulók csoportba rendezése

Feladatmegértés Minden 4 fõs csoport megkaptaa játékszabályokat és két dobozgyufát.

A tanulók csoportonként megkaptáka feladat leírását. Az eredeti problémademonstrációját az nrcih.maths.orghonlapon a csoportmunka megkezdéseelõtt az egész osztály megnézte. A vizua-lizálás segítette a probléma megértését.

Feladatmegoldás(Gondolkozz — be-széld meg párban —kupac-tanács)

Nyerõ stratégia kidolgozása.A tanulók páronként kipróbáltáka játékot és megpróbáltak nyerõstratégiát megfogalmazni minda kezdõ lépést megtevõ, minda másodikként húzó játékos szá-mára.

Vizsgálat 3 gombra. A vizsgálat ésa szemléltetés megkönnyítése érdekébena tanulók kétszínû korongokat kaptak,így ki is tudták próbálni a konkrét elren-dezéseket.

Feladatvariáció(Gondolkozz — be-széld meg párban —kupac-tanács)

Változatlan játékszabályok melletta tanulóknak vesztési stratégiátkellett kidolgozniuk.Feladatküldés. Minden csoportegy, az eredetihez hasonló játékottalált ki, majd az új játékokat ki-cserélték egymás közt és ismétmegpróbáltak nyerõ stratégiát ki-dolgozni az adott játékra.

Vizsgálat több gombra. Különbözõ cso-portok különbözõ gombszámra vizsgáltáka minták változását és próbáltak valami-lyen észrevételt megfogalmazni.A Szakértõi mozaik segítségével a cso-portok megosztották egymással felfede-zéseiket. Miután a tanulók visszatértekeredeti csoportjaikba úgy, hogy mostmár több különbözõ gombszámú elren-dezés mintájára vonatkozó eredmény állta rendelkezésükre, próbáltak megfogal-mazni valamilyen általános észrevételt.

Diszkusszió(egész osztály-lyal), reflexió

Meggyõzõdtünk arról, hogy minden tanuló megértette a megoldásokat ésa megoldási menetet is. A további problémamegoldás szempontjából fontos,hogy visszatekintettünk a feladat megoldási folyamatára és felidéztük, hogymilyen nehézségekbe ütköztek a tanulók és hogyan sikerült leküzdeniük azo-kat. Pólya szerint „Azzal, hogy átnézik a kész megoldást, az eredményt ésa hozzávezetõ utat átvizsgálják, még egyszer végiggondolják, megszilárdítjáktudásukat, és fejlesztik feladatmegoldó készségüket.” (2000)

7. Megfigyelések, tapasztalatok,eredmények

Gyufák

A gyufás játéknál hamar rájöttek a tanulóka feladatvariáció lehetõségeire. Közvetlenül a fel-adat kiosztása után ilyen mondatok hangzottak

el: „Játszhatnánk 5-tel is.” vagy „Legközelebb10-zel játszunk.”

Az eredeti probléma megoldásánál sikerültrájönni, hogy visszafelé érdemes gondolkodnia nyerõ stratégia megtalálásához. Több tanulómegoldása között szerepel, hogy ha sikerül el-érni, hogy csak 4 db gyufa maradjon az aszta-


22 MOZAIK KIADÓ

lon úgy, hogy ekkor az ellenfél következzen, ak-kor már biztos a gyõzelem — ezt persze mindenpáros másként fogalmazta meg, de a lényegugyanaz volt. A 4 db gyufától visszafelé pró-bálták kitalálni, hogy mely számok a „nyerõk”.Néhány páros úgy közelítette meg a problémát,hogy megnézte, hány gyufának kell az asztalonmaradnia, miután õ húzott, mások azt vizsgál-ták, hogy hány gyufából lehet még nyerni, mi-elõtt õk húztak és volt, aki az egy körben kihú-zott gyufák számával próbált számolni. Példamegoldásokra:

„Arra kell törekedni, hogy az ellenfélnek le-gyenek a 4 többszörösei: 4, 8, 12, 16, 20, 24.”

„A végére 4 gyufaszálat kell hagyni az ellen-félnek. 24-tõl lefelé 4-re kell kiegészíteni a hú-zott szálakat. Ha az elején 3-at húz az ellenfél,akkor biztosan nyerni fog (ha tud játszani).”

„Az elején 3-mal kezdünk, majd a közepérelelassítunk egyre és próbáljuk a 4-et az ellenfél-nek tenni.”

„Az elején cél, hogy összegbe 3-at vegyünkle, utána mindig 4-et.”

A legtöbb tanuló az elsõ ötlet megtalálásáttartotta nehéznek. Azt írták, hogy ha már meg-találtak egy gondolatmenetet, azt könnyû voltkövetni. A feladat variált eseteinél hasonló mó-don folyt a megoldás.

Gombok

Miután a csoportok megkapták a feladat le-írását, megpróbálták értelmezni. Annak ellené-re, hogy a feladatmagyarázatot interaktív táblásdemonstráció is kísérte, mégsem minden cso-port tudta elkezdeni a feladat megoldását. A ko-rongok segítségével próbálgatták a lehetõsége-ket, viszont az összes lehetõség logikus felsoro-lása és a megfigyelt minta leírása sok helyengondot okozott. Hosszabb idõ elteltével is úgytûnt, hogy a tanulók nagy része vaktában írja felaz egyes eseteket, ezért osztály diszkusszióra vál-tottunk. Elõször is meg kellett beszélni, hogy mi-vel a korongok körben helyezkednek el, a pkp,ppk és a kpp (p: piros korong; k: kék korong)jelölések ugyanahhoz az elrendezéshez tartoz-

nak. Közös javaslat alapján 3 korong eseténa mintákat a következõ módon gyûjtöttük ösz-sze:

ppp Æ ppp; kkk Æ ppp;ppk Æ pkk Æ ppk; kkp Æ ppk Æ kpp

A minták váltakozására vonatkozó észrevé-telt, miszerint: ha a korongok azonos színûek,akkor elõbb-utóbb mindhárom korong piroslesz, ha különbözõek, akkor ismétlõdik ugyanaza minta, együtt fogalmaztuk meg az osztállyal.

Most már mindenkinek volt ötlete, hogy ho-gyan jegyzeteljen. 2—2 csoport feladata 4 gomb,másik 2—2 csoporté pedig 5 gomb elhelyezke-dési lehetõségeinek vizsgálata volt. A feladatmegoldása közben a tanulóknak nagy segítsé-get jelentett, hogy konkrét tárgyakkal tudták ki-próbálni a lehetséges sorrendeket és elvégezniazokon a változtatásokat.

A kooperatív munkaforma alkalmazásakora tanulói aktivitás sokkal nagyobb volt, mint egyfrontális módszerrel szervezett órán. Ehhez per-sze hozzájárultak a felhasznált kooperatív struk-túrák, hiszen alkalmazásuk során a feladat sike-res megoldásához mindenki egyenlõ részvételé-re szükség volt. Még azok a tanulók is aktívandolgoztak, megfigyeltek, jegyzeteltek, ötleteltek,akiket egyébként nehéz rávenni, hogy részt ve-gyenek az órai diszkusszióban.

A tanulók közötti kommunikáció nyilván sok-kal élénkebb volt, mint általában. Érdekes volthallgatni, ahogyan próbálták egymásnak elma-gyarázni ötleteiket, ahogyan javítgatták egymásérveléseit és gyõzködték egymást saját igazuk-ról. A próbálkozások, ötletelések során egyre pon-tosabban fogalmaztak. Megtanulták türelmesenvégighallgatni egymást és értelmes vitákba isbelementek. Az egyik csoport tagjai a szükségesminimumra korlátozták az egymás közötti inter-akciót, bár ez lassította a munkatempót, a fel-adatmegoldást így is sikeresen teljesítették.

A feladatok megoldása után több tanuló írta,hogy jó volt csoportban dolgozni, hiszen így va-lakinek mindig volt ötlete, ami elõre vitte a prob-lémamegoldást, így ez sikerélménnyel zárult.


MOZAIK KIADÓ 23

Érezték, hogy képesek önállóan dolgozni, mitöbb, sikert is elérni.

A matematikaoktatás során érdemes azt istudatosítani a tanulókban, hogy a matematikanem egy merev ismeretekbõl álló rendszer, ha-nem valami olyan, amiben mindig fel lehet fe-dezni, észre lehet venni új összefüggéseket.(Szendrei, 2005) A tanulók számára ez akkor isizgalmas lehet, ha az összefüggés, amit felfedez-nek, csak számukra új. A vizsgálódással meg-oldható feladatok ezt jól demonstrálták. Adottismeretekbõl kellett létrehozniuk valami újat.Ahogy Szendrei Julianna könyvében is olvas-hatjuk: „Azt is át kellene az iskolai matematika-tanulás során élni, hogy a matematika alkotótevékenység”. A fenti problémák feldolgozása

kooperatív struktúrákkal jó módszernek bizo-nyult erre.

Nehézségek

A feladatok megoldása során felmerülõ ne-hézségek, amikkel a tanulók szembesültek, a kö-vetkezõk voltak: (1) a gyufás játék esetébena random próbálgatásról valamilyen rendszere-zett munkára váltás; (2) ne csak játék, hanemmegfigyelés legyen a gyufákkal való kísérlete-zés; (3) a gombok esetében kör alakú elrende-zésben az összes eset logikus, rendszerezett fel-sorolása; (4) a kör alakú elrendezésben a kü-lönbözõ esetek megkülönböztetése (pkk, kpk …stb.); (5) általános érvényû állítások megfogal-


24 MOZAIK KIADÓ

mazása; (6) elakadás esetén a tanár helyett a tár-saktól való segítségkérés.

Eredmények

A kooperatív módszerekkel feldolgozott órá-kat megelõzõen és azokat követõen is a tanulókmatematikatudást mérõ teszteket töltöttek ki. Azelõ- és az utóteszt feladatai között egyaránt talál-hatók olyanok, amelyeknek a megoldása visz-szafelé gondolkodást igényel (mint a gyufás já-ték), illetve, amihez mintamegfigyelés és általá-nosítás szükséges. Az alábbi diagramok a tanu-lók által elért pontszámokat mutatják meg azelõ- és az utóteszt ide vonatkozó feladatain.

8. Jövõbeni tervek

A fent említett órák egy összetettebb kísérletrészét képezik. A tapasztalat alapján minden-képp pozitív kimenetele volt a kísérlet eddig tel-jesített részének. A tanulók örömmel vettek részta kooperatív technikákkal szervezett órákon ésbátrabban fogtak bele ismeretlen feladatok meg-oldásába.

A módszer használata nyílt feladatokkal egy-bekötve mindenképpen színesíti a tanítási órá-kat. További kérdés lehet, hogyan alakítsunk átnéhány tanórai problémát úgy, hogy ne hát-ráltassuk a kötelezõ haladást, és szem elõtt tart-suk, hogy a matematikaórákon az érettségirefelkészítés is igen fontos szempont, viszont meg-ízleltessük a gyerekekkel a problémamegoldásszépségét.

A kísérlet folytatásaként a tanulók 1—2 he-tente részt vettek további kooperatív tanulás-szervezési technikákkal tervezett órákon.

A kutatás az Európai Unió és Magyarországtámogatásával a TÁMOP 4.2.4.A/2-11-1-2012-0001 azonosító számú „Nemzeti Kiválóság Prog-ram — Hazai hallgatói, illetve kutatói személyitámogatást biztosító rendszer kidolgozása ésmûködtetése konvergencia program” címû ki-emelt projekt keretei között valósult meg.

Irodalomjegyzék

[1] Ambrus András: Bevezetés a matematika di-daktikába. ELTE Eötvös kiadó, 2004.

[2] Ambrus Gabriella: „Nyitott” és „nyitható” fel-adatok a tanárképzéseben és a matematika-oktatásban. A Matematika tanítása 2000/1.

[3] Cooney, T.: Open-ended assessment in maths.http://books.heinemann.com/math/about_site.cfm, 2013.

[4] Devlin, Keith: The Math Gene. Basic Books,2000.

[5] Fisher, Robert: Hogyan tanítsuk gyermeke-inket gondolkodni? Mûszaki könyvkiadó, Bp.2002.

[6] http://nrich.maths.org/2048

[7] Kagan, Spencer: Kooperatív tanulás. Önko-net Kft, Bp. 2001.

[8] Pólya György: A gondolkodás iskolája. Ak-kord kiadó, 2000.

[9] Szendrei Julianna: Gondolod, hogy egyremegy? Typotex kiadó, Bp. 2005.


MOZAIK KIADÓ 25

Bevezetés

012. Ismeretes, hogy az elmúlt 10—15 év-ben hatalmas társadalmi, oktatáspolitikaiváltozások zajlottak le (és folyamatban is

vannak) Magyarországon. Ehhez természetesena pedagógusoknak is alkalmazkodniuk kell/kel-lett eszköz/módszer, illetve nem utolsó sorban —ami tapasztalataim szerint az egyik legkritiku-sabb pont szokott lenni — hozzáállás tekinteté-ben.

Az új módszerek (differenciált tanulásszerve-zés, kooperatív módszerek, projektmunkák, mo-duláris oktatás…) új eszközöket kívántak meg,ezek közül egyik az IKT. Ebbe a kategóriába sokminden beletartozhat: internet használata, ta-

nulói digitális táblák használata, interaktív tábla,különbözõ szoftverek, digitális adatbázisok (sdt,sulinovaadatbank…), projektor segítségül hívá-sa.

Az 5 tanévet felölelõ tapasztalataim alapve-tõen három, egymástól különbözõ eszköz/mód-szer tekintetében nem feltétlenül elkülönülõ sza-kaszra bonthatók: 1—4. évfolyamosok, 5—8. év-folyamosok, 9—12. évfolyamosok.

Informatika bevonása1—4. osztályokban

Az elsõ két tanévben egy falusi általános is-kolában tanítottam informatikát többek közt

Budai László

Informatikai eszközökkel támogatottmatematikatanítás — tapasztalatok

2

1. ábraIsland Chase Subtraction verseny alapmûveletek gyakorlására


26 MOZAIK KIADÓ

1—4. osztályos gyerekeknek. Itt megkérdezte atanítónõjük, mivel a gyerekek szemmel látható-an nagyon élvezik a számítógéppel való fogla-latoskodást, lenne-e lehetõség az informatika-órán játékos magyar, illetve matematika felada-tok nézésére. A válaszom természetesen igenvolt. Az elsõ program, amit megnéztünk, a min-den számítógépre feltelepített Ablak Zsiráf volt,mely tartalmazott pár matematikához köthetõgyakorló játékot (alapmûveletek végzése). Ezenkívül találtam még egy jól használható oldalt:http://gyakorolj.hu. Ezen a weblapon számosflash alapú, játékos gyakorló feladat elérhetõ,melyek szinte mindegyikét kipróbáltuk; vala-melyik jobban, valamelyik kevésbé jobban tet-szett a gyerekeknek. A gyerekek nagy kedvenceaz Island Chase Subtraction (1. ábra) nevû, ki-vonást gyakoroltató játék volt, melynek lénye-ge, hogy egy motorcsónakkal kell minél jobbhelyezést elérni úgy, hogy a csónak sebességea jó válaszok mennyiségétõl és gyorsaságátólfügg. A játékot hálózatban kell játszani, azaz nemgépi ellenfelek ellen, hanem a gyerekek egymásellen versenyezhetnek, ami plusz izgalmat adotta játékos tanuláshoz.

Mivel az informatikának véleményem szerintrendkívül sok köze van a matematikához, ígymire a gyerekek erre rájönnek általános iskolá-ban, már nem is kedvelik annyira az informati-kát (logikai mûveletek, algoritmizálás, progra-mozás, táblázatkezelés...). Nagyon szerencsésvolt ez az iskola olyan szempontból, hogy az1—4. osztályokban heti 2 tanóra informatika-oktatásra volt lehetõség. Ezért jutott bõven idõa Comenius Logo programozási nyelvben a Logokörnyezetet áttekinteni és még az elején meg-szerettetni a gyerekekkel, melyhez akaratlanul ispárosult a matematikatudásuk felhasználása ésezáltal a gondolkodásmódjuk fejlesztése. Gon-dolok itt a beépített játékokon kívül a ciklusokírására, egyszerûbb, illetve bonyolultabb alak-zatok kirajzolására, rekurzív ábrák készítésére,paraméterek alkalmazására, eljárások készítésé-re és azok különbözõ paraméterek melletti hívá-sára és még sorolhatnám. A program grafikuslehetõségeit elsõsorban az alapvetõ geometriai

ismeretekhez kapcsolódó szemléltetésben hasz-nálhatjuk ki (körüljárás, eltolás, elforgatás...).

Felhasználtam még továbbá egy gyakorlófeladatokat tartalmazó honlapot, mely rögtönkiértékeli a tanuló eredményeit. A honlap ahttp://www.erdcenter.hu/pub/ec/jatek/matekkicsi.html címen található, és a következõ témakö-röket tartalmazza: összeadás, kivonás, helyette-sítés, vegyes, szorzás és osztás.

Nagyon fontosnak tartom megjegyezni a fen-tebb említett tényekkel kapcsolatban, hogy a sokellenvéleménnyel szemben én kifejezetten tá-mogatom a 6—10 éves korosztály informatikaoktatását. Ezt a konkrét tapasztalataim alapján,illetve az elmúlt 10—15 év társadalmi, oktatás-irányítási, matematikadidaktikai változások alap-ján merem kijelenteni. Természetesen nagyonfontos, sõt gyakorlatilag fõ szempont volt az,hogy az ilyen kicsi gyermekeknél ne menjena pszichomotorikus tényezõk rovására a szá-mítógépek bevonása (az írást, a számkörök bõ-vítését stb. ne csupán a számítógépre hagyat-kozva sajátítsa el), tehát a megfelelõ helyen ésidõben, a megfelelõ módszer alkalmazása sar-kalatos pont volt számomra.

GeoGebra az 5. osztályban

Mindezekkel párhuzamosan, rögtön 2008szeptemberében, elsõdleges érdeklõdési kö-römnek megfelelõen elindítottam egy kutatásta (halmozottan) hátrányos helyzetû tanulókravonatkozóan: arra voltam kíváncsi, hogy vajona GeoGebra bevonása a matematikához kap-csolódó tanítási-tanulási folyamatban milyen ha-tással lehet ezen tanulók matematikai képessé-geinek fejlõdésére. Ezt a vizsgálatot 2 különbö-zõ szempont alapján végeztem, melyek ered-ményeirõl beszámoltam A matematika tanítása19. évf. 2. sz. / 2011 számában. Az elsõ kutatásaz 5. évfolyamot célozta, a második a 8. évfo-lyamot (itt már összetettebb volt a kép, ugyanisekkor már egy nyolcosztályos gimnáziumbandolgoztam, ahol ugyancsak volt hozzáférésemHHH általános iskolai tanulókhoz az oktatásiintézmény összevont volta miatt).


MOZAIK KIADÓ 27

GeoGebra a 8. osztályban

A másik hosszabb távú kutatásom (szintén2008—2011) alkalmával a 8. évfolyamosokgondolkodási képességeinek fejlõdését vizsgál-tam, pontosabban a GeoGebrával való fejleszt-hetõséget. Az errõl készült cikkem mellékletkéntlesz csatolva, így az ehhez kapcsolódó tevé-kenységeket és eredményeket csak nagyvona-lakban ismertetem.

Felmerül a kérdés, hogy az elmúlt 10—15 évtársadalmi, oktatásirányítási, matematika-didak-tikai változásai milyen irányban befolyásoltáka matematika cél-, feladat- és követelmény-rendszerét. Alapvetõ kérdéssé vált, hogy a matanuló diáknak milyen tudásra lesz szüksége a jö-võben. A kérdésre adott válasz pedig a követ-kezõ: a társadalom a ma tanuló diáktól alkal-mazható tudást vár el. Mindezek szellemiségé-ben jöttek létre, és mai napig is jönnek létrea fentebb már tárgyalt régi-új eszközök, módsze-rek alkalmazása a fejlesztés hatékonyságánaknövelése érdekében. Ahhoz, hogy a tanuló meg-állja a helyét az életben a mai munkaviszonyokmellett, kreatív személyiséggel kell rendelkeznie,és nyitottnak kell lennie az újra, az élethosszigtartó tanulás következtében. Véleményem sze-rint ezt a megfelelõ és tudatos gondolkodás-fejlesztéssel (elemi és összetett gondolkodásimûveletek) igen hatékonyan lehet alakítani.

Miért jó a GeoGebra bevonása a tanítási-tanulási folyamatba? Egyrészt felgyorsítja a fo-galomalkotás, ismeretszerzés egyes fázisait, más-részt a tanulók számára érdekesen, figyelemfel-keltõen lehet gyakorlatiasságot kialakítani. Mun-kaforma szempontjából a GeoGebra differenci-álási lehetõségekkel is rendelkezik. Minden ed-diginél könnyebben és hatékonyabban fejleszt-hetõ a szaknyelv pontos használata és a bizo-nyítási igény felkeltése. A GeoGebra használa-tával elkerülhetõek a tanulóknál elõforduló, bi-zonyos gondolkodással kapcsolatos jellegzeteshibák (helytelen analógián alapuló…). Ami a leg-fontosabb azonban a fentebb leírtak tükrében,hogy a GeoGebra egy nagyon jó motivációsbázist teremt, felkelti a tanulóban az érdeklõdéstés tanulásra ösztönöz.

Az elért eredmények 8. évfolyamokra vonat-koznak a következõ témakörökben:

• Analízis és szintézis: háromszögek, négyszö-gek szerkesztése, megoldások diszkutálása.

• Általánosítás és specializálás: sokszög belsõszögeire vonatkozó összefüggések, négyszö-gek csoportosítása.

• Fogalomalkotás: a végtelen fogalmának mé-lyítése.

• Ítéletalkotás: Pitagorasz tétele.

Fontosnak tartom megjegyezni, hogy a kog-nitív tényezõk figyelembe vétele mellett az affek-tív (érzelmi, a matematikához való hozzáállásaa tanulóknak) és pszichomotorikus tényezõket(esztétikus, pontos, áttekinthetõ munka készíté-se, eszközök megfelelõ használata) is figyeltem.Mindezeket figyelembe véve a következtetéseima GeoGebra 8. évfolyamokon történõ haszná-latát illetõen:

• Motivációs bázis teremtése a tanulók szá-mára

• Szkémák egyéni kialakításának (asszimilá-ció, akkomodáció) segítése

• Kognitív képességek, gondolkodási folya-matok fejlõdésének elõsegítése (formálismûveletek szakasza)

• Affektív tényezõk javítása (a matematiká-hoz való pozitívabb hozzáállás, a számító-gép használata tanórán motiválja a tanu-lókat)

• Pszichomotorikus képességek fejlõdése

Az ActivInspire szoftver

Az oktatási intézmény, ahol jelenleg vagyok,közel 1 éve kapott pályázat útján 8 darab Pro-methean típusú interaktív táblát. Az ehhez tar-tozó szoftver neve ActivInspire (2. ábra).

A szoftver lehetõségeit jelenleg is tanuljuk,felfedezzük önállóan, illetve a pedagógus kollé-gákkal karöltve. A már jelenleg általam ismertfunkciói is igen impozánsnak mondhatóak.A szoftverrõl rengeteget lehetne mondani, meg-próbálom most kiemelni az általam már sikere-sen használt funkcióit.


28 MOZAIK KIADÓ

Alapvetõen egy új flipchart (így nevezi a szoft-ver a munkalapokat) létrehozására 3 lehetõségkínálkozik:

• Betöltünk egy, már meglévõt (3. ábra)• Betöltünk egy, már meglévõt, majd azt

igényeinkhez szabjuk.

• Teljesen a nulláról hozunk létre egy új flip-chartot.

Az elsõ lehetõségre kiváló rendszert találtakki: a bal oldali eszköztáron található egy forrás-böngészõ ikon, itt elérhetõ az összes, a prog-

2. ábra

Az ActivInspire nevû interaktív tábla-szoftver felépítése

3. ábra

Példa az ActivInspire beépített forrásainak egy lehetséges felhasználására — Erathoszthenészi-szita


MOZAIK KIADÓ 29

ramba integrált flipchart. Elsõdleges forráskénta http://www.prometheanplanet.com/, illetvea http://www.prometheanworld.com hivatalosweboldalakat említeném. Itt szinte minden napúj és új, mások által (vagy akár általunk is)publikált flipchartok tekinthetõk meg „tube”formában, illetve integrálhatóak a szoftver for-rásböngészõjébe. Ha még nem értünk annyiraa program lehetõségeinek kiaknázásához, akkora második flipchart-létrehozási lehetõség na-gyon hasznos: egy már teljesen komplett, mû-ködõ rendszert alapismeretekkel rendelkezve isátírhatunk (például kicseréljük a feladat szöve-gét). Eddig többnyire az elsõ két lehetõségethasználtam, ugyanis tapasztalataim szerint egyteljesen új ötletet megvalósító flipchart létreho-zása nagyon sok munkaidõt vesz igénybe, fõ-leg, ha hozzávesszük, hogy akár több munkaol-dalt is tartalmazhatnak.

A program azon kívül, hogy a szokványosmédia-elemeket tartalmazza (szövegek, képek,hangok, videók beszúrása), lehetõség van a flip-chartok viselkedésének minimális programozá-sára is: a beépített mûveletek (kitöltés, alakzatfelismerése, írás, szavazás…) bármelyikét hozzátudjuk rendelni az általunk felrakott gombokhoz.

A flipchartok szerkesztésénél továbbá érde-mes még kihasználni bizonyos képmanipulálósprogramokból (photoshop) már jól ismert réte-geket. Rengeteg olyan munkalap van, ahol mára feladat megoldását is tartalmazza a munkalap,csak más rétegen van, így az el van rejtve a sze-münk elõl, és mondjuk játékosan egy nagyítótföléje tartva jelenik meg.

Ha nagyon röviden kellene jellemeznema szoftvert, azt mondanám róla, hogy ez min-den porcikájában a játékos tanulásra helyezia hangsúlyt. Rengeteg beépített játék, hang, vi-deó, háttérkép… van benne, ami mind ezt azegy célt szolgálja: játékos tanulás.

Egyéb tapasztalatok

Számos informatikához kapcsolódó eszköz-rõl van már tapasztalatom, de azok nem olyan

mélyek kutatásmódszertan szempontjából, minta fentebb említettek, így azokról csak említéstteszek.

Elektronikus prezentációk

Azon kívül, hogy néha szoktam bevinni álta-lam készített prezentációkat (pl. matematika-történet), a tanulókkal is szoktam csináltatni né-mely témakörhöz kapcsolódóan. Ezt azért szok-tam tenni, mert ezzel is mélyül az adott anyag-hoz tartozó tudása, illetve kiderül számomra,hogy mennyire sikerült elsajátítania az adottanyagrészt. Ezt nem csak kifejezetten a hagyo-mányos prezentációkészítõ eszközökkel (micro-soft office powerpoint) szoktuk megvalósítani,hanem kitekintünk egyéb lehetõségekre is: prezi(4. ábra), speakflow, ppt plex. Mindez azt a szem-léletet erõsíti a tanulókban, hogy a tudományokfolyamatos fejlõdésben vannak (még a ma-tematika is), illetve hogy legyenek nyitottak azúj dolgok iránt.

MozaBook

Ennek használatát kifejezetten 6. osztálybanhasznosítom. Az oktatási intézmény külön meg-rendelése kell ennek használatához. Az egésztankönyv, illetve munkafüzet elektronikus for-mában is megtalálható, de nem statikus formá-ban, hanem dinamikusan: a feladatokat ki tud-juk tölteni, megjegyzéseket fûzhetünk, a képe-ket külön ki tudjuk nagyítani, a feladatokat kü-lön nagyméretben meg tudjuk jeleníteni…

Táblázatkezelõ rendszerek

Alapvetõen a Microsoft Office Exceljét szok-tam használni, de nem olyan gyakran: statiszti-kai feladatokban 8. osztályban, 5. osztálybana különbözõ diagramok prezentálására.

Tanulói laptopok

Három olyan osztály van, melyek beleke-rültek iskolánkban a tanulói laptop programba.

Matbor 2013 - Mozaik Kiadó · 2013. 10. 21. · Peller József, Reiman István, Urbán János,...

Documents

Transcript of Matbor 2013 - Mozaik Kiadó · 2013. 10. 21. · Peller József, Reiman István, Urbán János,...