MAT121 - Matematica Financiera

Cuaderno de Aprendizaje 2014

Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproduccin. Derechos reservados AIEP.

CUADERNO DE APRENDIZAJE

MATEMTICA FINANCIERA



Estimado Estudiante de AIEP, en este cuaderno de estudio, junto a cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Mdulo que cursas, encontrars Ejercicios Explicativos que reforzarn el aprendizaje que debes lograr. Esperamos que estas Ideas Claves, entregadas a modo de sntesis, te orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser. Mucho xito. Direccin de Desarrollo Curricular y Evaluacin VICERRECTORA ACADMICA AIEP



UNIDAD I: CONCEPTOS BSICOS FINANCIEROS Y MATEMTICOS.

APRENDIZAJE ESPERADO: 1. Reconoce las fuentes de informacin de tasas de inters. La matemtica financiera o ingeniera econmica se enfoca en el clculo de los factores que conforman el mercado financiero. La existencia de un mercado viene dada por la presencia de un bien escaso: en este caso el Capital, uno de los recursos bsicos y necesarios en toda actividad econmica. Por consiguiente, la matemtica financiera permite resolver problemas basados en operaciones de inversin, tal como determinar la rentabilidad de un proyecto de inversin, y de financiamiento; por ejemplo, saber cul es el inters que se debe pagar por la solicitud de un prstamo o capital a una institucin bancaria. De otra forma, la matemtica financiera se deriva de la matemtica aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o inters, a travs de mtodos de evaluacin que permiten tomar decisiones de inversin. De esta forma, la matemtica financiera tiene aplicacin prctica en la vida cotidiana de las personas y las empresas, por tanto, resulta relevante conocer y comprender la informacin financiera que se encuentra da a da en el mercado y de esta forma evaluar de mejor forma las decisiones financieras que se toman. Criterio 1.1. Define la importancia de la informacin financiera que se encuentra en el mercado. La informacin financiera es aquella de carcter peridico que se encuentra en los mercados tales como: tasa de inters, IPSA, IPC, UF, UTM, valor dlar, entre muchas otras, o sobre la posicin financiera de una organizacin o de alguna de sus actividades, incluyendo la presentacin de resultados, cifras de ventas, entre otros. Por consiguiente, conocer la informacin financiera es necesario, puesto que es utilizada por clientes internos de las empresas tales como: directores, gerentes, analistas y accionistas, principalmente, y clientes externos como proveedores, instituciones financieras y potenciales accionistas. Por medio de esta informacin, el usuario puede evaluar las condiciones actuales y futuras de la empresa y tomar decisiones de carcter econmico sobre la misma. La informacin financiera debe reunir 3 caractersticas bsicas: utilidad, confiabilidad y provisionalidad. Utilidad Su contenido informativo debe ser significativo, relevante, veraz, comparable y oportuno. Confiabilidad Deben ser consistentes, objetivos y verificables. Provisionalidad Contiene estimaciones para determinar la informacin que corresponde a cada periodo contable.



Si una persona desea ahorrar en forma extra para su jubilacin, ya sea por medio de una cuenta de ahorros, cuenta 2, APV, fondos mutuos o acciones. Dnde le recomendara usted que se informara, considerando la importancia de la informacin financiera que debe conseguir, es decir, debe obtener informacin relevante, veraz, objetiva, entre otras.

Ejercicio 1

Comente la importancia de la informacin financiera que se encuentra disponible en las distintas fuentes para una empresa que importa y exporta materiales.

Ejercicio 2

De acuerdo a la informacin financiera que se encuentra en diversos medios, es criterioso tomar decisiones en la evaluacin de un proyecto de exportacin de productos elaborados a la comunidad europea, Asia, China y Estados Unidos, sin considerar los movimientos de los ndices burstiles de estos pases. Comente su respuesta.

Ejercicio 3

Criterio 1.2. Identifica distintas fuentes de informacin financiera. En la actualidad la informacin financiera tanto nacional como internacional se puede encontrar en innumerables fuentes, tales como: estados financieros de las empresas, bancos, instituciones financieras, diarios, centros de estudios, internet, revistas especializadas, entre otros. Sin embargo, lo relevante es identificar el origen de esta informacin, es decir, si son fuentes de informacin primaria o secundaria. Las fuentes de informacin primaria hacen referencia a la informacin econmica que no se encuentra procesada o analizada, es decir, solamente se encuentra registrada, por ende, no se puede desprender conclusin o apreciacin alguna de ella, ejemplo de estas son las encuestas que realizan empresas de investigacin de mercado y opinin pblica. Por otra parte, las fuentes de informacin secundaria son aquellas que entregan datos o informacin financiera ya analizada y/o procesada, por lo que es posible interpretar y realizar conclusiones respecto a esta informacin.

Un grupo de estudiantes, para su proyecto de ttulo, deben realizar una evaluacin econmica y financiera para la implementacin de un restaurant de comida vegetariana en su comuna de residencia, para lo cual necesitan determinar con certeza los clientes potenciales de su futuro exitoso emprendimiento. De acuerdo a lo requerido por los estudiantes qu le recomienda usted? Basarse en informacin primaria o secundaria Por qu?

Ejercicio 1

De acuerdo a la siguiente lista, clasifique cul es informacin primaria y secundaria. Entrevistas a empresas, IPSA, diario financiero, ministerio de hacienda, instituto nacional de estadsticas, banco estado.

Ejercicio 2



Criterio 1.3. Discrimina la fuente de informacin segn el tipo de informacin financiera que requiera. Dentro de las fuentes de informacin financiera como se mencion, se encuentran los estados financieros de las empresas, el anlisis de estos permiten evaluar la situacin financiera actual y pasada de la organizacin, con el objetivo bsico de identificar las fortalezas y debilidades sobre la situacin financiera y los resultados de operacin de una entidad econmica. En forma general, para realizar un anlisis de los estados financieros, se requieren dos mtodos o tipos de anlisis, de manera tal de obtener la mayor informacin financiera suficiente, y as mejores elementos para la toma de decisiones de carcter financiero. Anlisis Vertical Se utiliza para analizar estados financieros como el Balance General y Estado de Resultados, comparando y analizando datos de un solo perodo. Anlisis Horizontal El mtodo de anlisis horizontal consiste en comparar cifras de un perodo contable respecto a aos anteriores, esta comparacin brinda criterios de relevancia para evaluar la situacin de la empresa; cuando mayor es la tendencia porcentual, significa que es ms relevante el cambio en alguna cuenta o cifra de los estados financieros1

.

Una empresa, en el ao 2007, tena activos fijos por $100 y en el ao 2008 esos activos llegaron a $120. Sin necesidad de hacer ninguna operacin aritmtica compleja, podemos determinar que los activos fijos tuvieron un incremento del 20% en el 2008 con respecto al 2007. Determine a qu tipo de anlisis financiero corresponde.

Ejercicio 1

Respuesta: Anlisis horizontal.

Qu anlisis es de gran importancia a la hora de establecer si una empresa tiene una distribucin de sus activos equitativa y de acuerdo a las necesidades financieras y operativas en el perodo.

Ejercicio 2

Respuesta: Anlisis vertical.

Seale si la siguiente informacin es verdadera o falsa y fundamente su respuesta. Se analiza el estado financiero actual de una empresa inmobiliaria con informacin de aos anteriores, por lo que lo anterior corresponde a un anlisis financiero vertical.

Ejercicio 3

Respuesta: Falso.

1 Rodrguez R, y Acanda R, (2009), Metodologa para realizar anlisis econmico financiero en una entidad econmica.



APRENDIZAJE ESPERADO: 2. Identifica las distintas tasas de inters del mercado, distinguiendo los componentes de la tasa de inters.

La tasa de inters es un monto de dinero que normalmente corresponde a un porcentaje de la operacin de dinero que se est realizando. Si se trata de un depsito, la tasa de inters expresa el pago que recibe la persona o empresa que deposita el dinero por colocar esa cantidad a disposicin del otro. Si se trata de un crdito, la tasa de inters es el monto que el deudor deber pagar a quien le presta por el uso de ese dinero. En el mercado existen diferentes tasas dependiendo el tipo de operacin financiera, dentro de las principales estn: tasa de inters simple, tasa de inters compuesta, tasa de inters efectiva, tasa de inters real, tasa de inters equivalente, tasa de inflacin, tasa interbancaria, tasa LIBOR, entre otras. En forma general, la tasa de inters simple est compuesta por el Inters (Monto menos Capital), Valor Actual o Capital y Perodo. En el caso de la tasa de inters compuesta, sus componentes son Monto, Capital y Perodo. Criterio 1.5. Reconoce el sentido de la tasa de inters, valor del dinero en el mercado. La tasa de inters es el valor del dinero en el mercado financiero. Al igual que el precio de cualquier producto, cuando hay ms liquidez en el mercado la tasa de referencia del mercado baja y cuando hay escasez, sube. Desde un punto de vista de poltica monetaria del Estado, una tasa de inters alta incentiva el ahorro y una tasa de inters baja incentiva el consumo. De ah la intervencin estatal por medio del Banco Central en Chile sobre los tipos de inters a fin de fomentar ya sea el ahorro o la expansin, de acuerdo a objetivos macroeconmicos perseguidos. Por tanto, la tasa de inters es el costo del uso del capital o la tasa de retorno del ahorro, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero". En trminos generales, a nivel individual, la tasa de inters (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible ganancia (oportunidad) de la utilizacin de una suma de dinero en una situacin y tiempo determinado. En este sentido, la tasa de inters es el precio del dinero, el cual se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en prstamo en una situacin determinada. De acuerdo a lo indicado, las tasas de inters tienen un impacto sobre el mercado, puesto que tasas bajas ayudan al crecimiento de la economa, porque facilitan el consumo y, por tanto, la demanda de productos. Mientras ms productos se consuman, ms crecimiento econmico. El lado negativo es que este consumo puede producir tendencias inflacionarias que son las que fomentan el cambio y la variacin en las tasas que determinan el mercado y este a su vez afecta de manera positiva o negativa donde si estas son altas favorecen el ahorro y frenan la inflacin, ya que el consumo disminuye al incrementarse el costo de las deudas. Pero al disminuir el consumo se frena el crecimiento y desarrollo econmico de un pas.



Considerando el concepto valor del dinero en el tiempo Por qu se aplica una tasa de inters al solicitar un crdito bancario? Fundamente su respuesta.

Ejercicio 1

De acuerdo a las siguientes afirmaciones respecto de la tasa de inters, Cul es verdadera? Ejercicio 2

a) Es un porcentaje que se traduce en un monto de dinero, mediante el cual se paga por

el uso del dinero. b) Es contante en el tiempo. c) No afecta el crecimiento econmico de un pas. d) No expresa el pago que recibe la persona o empresa que deposita el dinero por poner

esa cantidad a disposicin del otro. Respuesta: A

De acuerdo a la siguiente definicin: se entiende por inversin cualquier sacrificio de recursos hoy, con la esperanza de recibir algn beneficio en el futuro. Analice cada uno de los componentes de la oracin respecto al valor del dinero en el tiempo: sacrificio o renuncia, recursos y beneficio.

Ejercicio 3

A modo de ejemplo para su anlisis: Se habla de hoy y el futuro, es decir, cualquier decisin que tomemos frente a estos recursos afectar un perodo definido el cual se denomina plazo de la inversin (ahorro) o el prstamo. Por lo tanto, el valor del dinero como recurso tiene sentido nicamente cuando este puede ser usado durante un perodo de tiempo.

Criterio 1.6. Reconoce distintas tasas de inters de mercado. Las tasas de inters son reflejo del valor del dinero en el tiempo y en el mercado. De acuerdo a esto existen diversas tasas, siendo las principales las que se esquematizan a continuacin.

Figura 2.1: Tasas de inters



Inters Es la cantidad pagada (dinero) por el uso del mismo, obtenido en prstamo o la cantidad producida por la inversin del capital. Es la cantidad de dinero adicional por la cual un inversionista estar dispuesto a prestar su dinero. En otras palabras, es la cantidad de dinero adicional que hace que dos cantidades de dinero sean equivalente en el tiempo.2

Adicionalmente, se puede indicar que el inters es la manifestacin del valor del dinero en el tiempo. Matemticamente, es la diferencia entre la cantidad final de dinero y la cantidad original.

Existen dos variantes del inters: Inters pagado, en el caso de solicitar prstamos. Inters ganado, en la eventualidad de generar dinero mediante ahorros o inversiones. Por tanto, el inters es el rendimiento dado en Pesos ($), por un determinado Capital o por una determinada Inversin cuando permanece por un determinado perodo de tiempo. Un modelo matemtico representativo del inters consiste en la siguiente ecuacin:

VF VA compensacin por aplazar pago= + Donde

:

VF = Valor futuro a pagar o monto (puede ser un dinero a pagar o ganancia) VA =Valor actual o capital (puede ser una deuda contrada o un dinero a ahorrar)

Compensacin por aplazar pago = Inters por la operacin bancaria. Tasa de inters Monto de dinero que se expresa en porcentaje (%), mediante el cual se paga por el uso del dinero por parte de quien lo haya recibido. Se simboliza con la letra (%)i . Otra forma de definirlo es como La razn del inters devengado al capital en la unidad de tiempo. En forma general, se determina bajo la siguiente formula:

15100 15%100

= = =

IntersiCapital perido

Ms all de su clculo, es importante tener en consideracin su significado e interpretar de ella su porcentaje y tiempo indicado.

2 C. Morales, Curso matemticas financieras, 2012.



Ejemplo a) Una tasa de inters del 20% anual, significa que se pagar 0,2 pesos por cada peso,

por cada ao. b) Una tasa del inters del 6% semestral, significa que se pagar 0,06 pesos por cada

peso, cada seis meses. c) Una tasa de inters del 4% bimensual, significa que se pagar 0,04 pesos por cada

peso, cada dos meses. Tasa de inters nominal Es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar la moneda por inflacin. As, la tasa de inters nominal no necesariamente significa un incremento en el poder adquisitivo. Ejemplo tpico son los depsitos en pesos a 30 das de los bancos o los crditos en pesos. Tasa de inflacin Se define como la medida del incremento sostenido en los precios de los bienes y servicios a lo largo del tiempo. Se calcula sobre el precio inmediatamente anterior, y por esta razn opera como una tasa de inters compuesto.3

Tasa de inters real Es aquella que denota un aumento del poder adquisitivo. Esto es, conservando el poder adquisitivo del dinero, existe un incremento en el monto a pagar o cobrar. Por lo tanto, esta tasa est ajustada a la inflacin existente en el pas. El ejemplo clsico es el de las tasas en UF + X% o tasas reflejadas como IPC + X%. Tasa de inters efectiva Es la tasa que mide el costo efectivo de un crdito o la rentabilidad efectiva de una inversin y resulta de capitalizar la tasa nominal. Cuando se hace referencia a la tasa efectiva se implica tcitamente el concepto de inters compuesto, que es en donde los intereses se capitalizan o se convierten en capital. En otras palabras, la tasa nominal es inherente al inters simple y la tasa efectiva es inherente al inters compuesto. Inters exacto Es un criterio para aplicar el inters simple. La aplicacin depende de la operacin comercial o financiera, tambin del sector econmico donde se realice la operacin o incluso de las costumbres comerciales. En este caso particular el inters se calcula tomando como base un ao de 365 das. Inters ordinario Al igual que el inters anterior, este es un criterio para aplicar el inters simple. A diferencia del inters exacto, este se calcula tomando como base un ao de 360 das. En los clculos de matemticas financieras se utiliza esta base, ya que se toma que el ao comercial est constituido por 360 das.

3 J. Garca, Matemticas financieras con ecuaciones de diferencia finita, Colombia, Pearson, 2008.



Tasa spot Es aquella tasa conocida e informada en el mercado al da de hoy. Tasa forward Es una tasa de inters a futuro no observable ni informada directamente en el mercado, pero que se puede calcular a partir de las tasas spots. Inters simple Es aquel que se calcula sobre un capital que permanece invariable o constante en el tiempo y el inters ganado (o pagado) se acumula solo al trmino de esta transaccin. Es importante destacar que en este tipo de inters no hay capitalizacin de intereses, en otras palabras, el inters ($) que se genera no forma parte del capital inicial para nuevamente generar nuevos intereses. Grficamente se representa de la siguiente forma:

Inters compuesto Aquel donde el capital inicial cambia al final de cada perodo debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto (debido a que involucra capital e inters), y sobre este monto se vuelven a calcular intereses, es decir, hay capitalizacin de los intereses. En trminos sencillos, en este tipo de inters, que es el ms utilizado en el sistema financiero, se genera inters sobre inters. En otras palabras, se asume reinversin de los intereses en perodos intermedios. Grficamente, se representa de la siguiente forma:

Tasas equivalentes Dos tasas de inters anuales con diferentes perodos de capitalizacin son equivalentes si al cabo de un ao producen el mismo inters y, por lo tanto, el mismo monto al trmino de un mismo lapso de tiempo, no importando el plazo de la inversin.



Indique en forma clara la diferencia entre el inters simple e inters compuesto. Ejercicio 1

El importe que cobra realmente una institucin bancaria por un crdito corresponde a: Ejercicio 2

a) Tasa de inters efectiva. b) Tasa nominal. c) Tasa de inters real. d) Tasa equivalente.

Respuesta: Tasa de inters efectiva.

Seale la tasa de inters que denota un incremento en el monto de dinero, pero que no ajusta la moneda por inflacin.

Ejercicio 3

APRENDIZAJE ESPERADO: 3. Distingue la utilidad de las distintas tasas de inters.

Como se mencion en el criterio 1.5, la tasa de inters tiene una utilidad fundamental en la economa del pas, pues es el elemento principal de la poltica monetaria. Al elevarla o disminuirla, el Banco Central regula el costo del crdito, y por ende, influye en el nivel de la actividad econmica. En otros trminos, las tasas condicionan el consumo presente y futuro. En resumen las tasas de inters son de suma utilidad en:

a) El nivel de ahorro: tasas elevadas incentivan el ahorro, por el contrario, tasas bajas lo desalientan.

b) La lucha contra la inflacin: los ingresos de las personas se destinan al ahorro o consumo. En consecuencia, el nivel de las tasas contribuyen en la estabilidad de los precios.

c) La inversin: tasas bajas fomentan la inversin, en tanto que altas tasas encaren los crditos.

d) Los movimientos internacionales de capital: si dos pases tienen igual nivel de riesgo, los capitales se dirigirn al que tiene mayor tasa de inters de captacin.

e) La asignacin de recursos: hace referencia a que las empresas solo desarrollan los proyectos cuya tasa de retorno (TIR) supera al costo del financiamiento, una tasa de inters ms elevada incrementa el nivel de exigencia, lo cual obliga a ejecutar nicamente los proyectos ms rentables.

Criterio 1.8. Reconoce el sentido del valor del dinero en el tiempo. La expresin No es lo mismo un milln de pesos hoy, que un milln de pesos dentro de un ao, se utiliza para explicar que el poseedor del dinero espera que se le recompense por no utilizar su dinero y ponerlo a disposicin de otro por un tiempo. No es igual recibir la misma cantidad de dinero hoy que un tiempo despus; es decir, no se puede decir que dichos valores sean equivalentes. El Inters es el monto de dinero que hace equivalente el valor de aquel en el tiempo, es decir, el inters permite hacer equivalente cifras de dinero en el tiempo.



El concepto de inters es de uso amplio en el sector comercial y financiero, esto ha conducido a que tenga mltiples acepciones, entre otras: valor del dinero en el tiempo, valor recibido o entregado por el uso del dinero, utilidad o ganancia que genera un capital, precio que se paga por el uso del dinero, rendimiento de una inversin. Por qu no es igual recibir $1.000.000 hoy, a recibirlo dentro de un ao? Las razones que explican por qu dos cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor en el tiempo, son:

a) Prdida del poder adquisitivo del dinero, ocasionado por el incremento sostenido de los precios inflacin-. Con el mismo dinero, en general, se podrn adquirir mayor cantidad de bienes y servicios hoy que dentro de un ao.

b) Costo de oportunidad, debido a la capacidad que tiene el dinero de generar dinero. Disponiendo del milln de pesos hoy, estos se podrn invertir obtenido rendimientos que permitirn tener despus de un ao una cantidad mayor.

c) Riesgo, puesto que ms vale tener asegurado el milln hoy, y no la promesa de recibir el dinero dentro de un ao.

En conclusin, el que posee una cantidad de dinero solo estar dispuesto a entregarla en prstamo, si se le entrega un monto de dinero adicional que compense la prdida de valor, el rendimiento por renunciar a su uso y el riesgo de recibir la cantidad un tiempo despus.

De las siguientes opciones cul elegira? Ejercicio 1

a) Tener $100.000 hoy. b) Obtener $100.000 dentro de un ao.

Respuesta$100.000 vale ms hoy que dentro de un ao.

:


a) Tener $900.000 hoy. b) Obtener $1.000.000 dentro de un ao.

Respuesta$900.000 vale ms hoy que tener $1.000.000 dentro de un ao, debido al costo de oportunidad, inflacin y riesgo. De otra forma, un $ hoy puede invertirse para comenzar a ganar rentabilidad inmediatamente.

:


a) Tener $1.000.000 hoy. b) Obtener $1.000.000 dentro de un ao.

Respuesta$1.000.000 vale ms hoy que tener $1.000.000 dentro de un ao, debido al costo de oportunidad, inflacin y riesgo. Dicho de otra manera, una persona que tiene $1.000.000 hoy, estar dispuesta a invertir esa cantidad (y dejar de consumir hoy) siempre que al cabo de un perodo reciba $1.000.000 ms como premio que compense su sacrificio (tasa de rentabilidad)

:



APRENDIZAJE ESPERADO: 4. Resuelve problemas propios del mundo cotidiano y la especialidad, que impliquen operar con razones y proporciones, con ayuda de calculadora cientfica.

En la vida cotidiana muchas veces se trabaja con cantidades exactas, por ejemplo, nmero de notebook vendidos en la semana en una empresa. Sin embargo, en variadas ocasiones se necesita relacionar o comprar estas cifras, o quizs tomar solo una parte de un total de elementos. Para lo cual es necesario conocer y comprender los conceptos de razones y proporciones, trminos aplicados en las matemticas financieras.

Criterio 1.10. Aplica el concepto de razn en la resolucin de problemas. La Razn o Relacin de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Esta comparacin puede indicarse de cuatro formas distintas:

1. :a b 2. a b

3. ab

4. La razn entre a y b . De modo general, se puede decir que: una razn es un cuociente entre dos cantidades. El valor de ese cuociente se llama valor de la razn.

Si se tiene dos cantidades a y b , se dice a es a b y se escribe ab

.

Al trmino a se le llama antecedente y al trmino b se le denomina consecuente.

Una nueva empresa de consultora constituida por alumnos emprendedores de AIEP est formada por un equipo de 24 profesionales hombres de distintas especialidades, la razn de mujeres y hombres es 3: 4 respectivamente. Determine el nmero de profesionales totales que conforman la empresa.

Ejercicio 1

Solucin

34

324 4

3 24 72 18 4 4

MujeresRaznHombres

MujeresRaznHombres

Mujeres mujeres

= =

= =

= = =

:

Por tanto, el nmero totales de profesionales que componen la empresa son:

24 hom 18 42 bres mujeres personas+ =



Ignacio, por las ltimas compras que ha realizado, se percat de que su tarjeta de crdito bancaria ha disminuido su cupo disponible a $320.000, alcanzando una deuda de $1.468.000. Establezca la razn entre el dinero disponible en la tarjeta de crdito y la deuda actual.

Ejercicio 2

Solucin

:

$320.000 $1.468.000

$320.000 / 4.000$1.468.000

80367

Cupo disponibleDeuda tarjeta crdito

CDRaznDTC

Razn

=

=

= =

=

Una deuda bancaria de $22.000.000 se debe cancelar entre Juan, Pedro y Miguel, los que deben aportar dinero en la razn 2: 3: 5. Determine la cantidad aportada por cada uno de los amigos para liquidar la deuda.

Ejercicio 3

Solucin

:

2 3 5235

= = =

===

Juan Pedro Miguel K

Juan kPedro kMiguel k

2 3 5 $22.000.00010 $22.000.000

$2.200.000

k k kk

k

+ + =

=

=

Por tanto, cada uno de los integrantes pag:

2 2 $2.200.000 $4.400.0003 3 $2.200.000 $6.600.000

$11.000.0005 5 $2.200.000$22.000.000

Juan kPedro k

Miguel k

= = == = =

= = =



Criterio 1.11. Interpreta razones en el marco de casos dados.

Una empresa tiene $34.349.000 en dinero lquido y $24.839.000 en deudas. Establezca la razn entre el dinero lquido y deudas de la empresa e interprete.

Ejercicio 1

Solucin

:

$34.349.000 1,38$24.839.000

Dinero LquidoRaznDeudas

Razn

=

= =

Esta razn nos indica que por cada $1 de deuda que tiene la empresa, la compaa cuenta con $1,38 de respaldo en dinero lquido

Un ejecutivo bancario dentro de su cartera de clientes tiene una morosidad de un 25%. Interprete este resultado. Suponga que son 9 los morosos Cul es la cartera de clientes?

Ejercicio 2

Solucin

Significa que de cada 100 clientes 25 mantienen deudas impagas

: 25 0,25 100 25%

100= = .

Pero si en realidad son 9 morosos de 36 cmo llego al 25%? 9 1 0,25 100 25%36 4

= = =

Una persona desea comprar un vehculo 0 kilmetro por lo que ha realizado 2 cotizaciones en automotoras distintas. Los valores de las cotizaciones son: Automotora 1: $6.750.000 y Automotora 2: $5.431.250. Establezca la razn entre la cotizacin de la automotora 1 y la 2 e interprete.

Ejercicio 3

Solucin

:

$6.750.000 1,24$5.431.250

Razn = =

Significa que el precio del vehculo de la automotora 1 es 1,24 veces ms caro que el valor entregado por la automotora 2. Comprobacin:

$6.750.000 1,24$5.431.250$6.750.000 1,24 $5.431.250$6.750.000 $6.750.000

=

=

=



Criterio 1.12. Aplica propiedades y el teorema fundamental de las proporciones en el clculo del trmino desconocido de una proporcin. Una proporcin no es ms que una ecuacin en la cual los miembros son razones. En otras palabras, cuando dos razones se igualan una a otra se forma una proporcin. La proporcin podr escribirse de las siguientes formas:

15 : 20 3: 415 320 4

=

=

Estas son las ms comunes y se leen "15 es a 20 como 3 es a 4". En otras palabras, 15 tiene la misma relacin con 20 que 3 la tiene con 4. Los trminos de una proporcin se denominan Medios y Extremos.

a cb d=

Teorema fundamental: En toda proporcin, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a c a d b cb d= =

Clculo del trmino desconocido de una proporcin Conociendo tres trminos cualesquiera de una proporcin, es siempre posible calcular el cuarto trmino.

Se designa x como el trmino desconocido de la proporcin 34 28

x= , como el producto de los

medios es igual al producto de los extremos, se tiene:

3 28 84 214 4

x = = =

extremo

extremo

medio

medio



Calcule el trmino desconocido en la siguiente proporcin. Ejercicio 1

12 :15 26 : x= Solucin

:

12 261512 15 26

390 32,512

xx

x

=

=

= =

Cunto valen 850 ladrillos si mil de ellos cuestan $19.000? Ejercicio 2

Solucin

:

$19.000 1.000850

1.000 $19.000 850$19.000 850 $16.150

1.000

xx

x

=

=

= =

Al aplicar una vacuna contra la fiebre, la posibilidad de que los jvenes vacunados la tengan corresponde a la razn de 1 a 100.000, si se detectan 26 jvenes con la enfermedad Cuntos jvenes fueron vacunados?

Ejercicio 3

Solucin

:

1 26100.0001 100.000 26

2.600.000

xx

x jvenes fueron vacunados

=

= =



Criterio 1.13. Resuelve problemas contextualizados aplicando el concepto y teorema de las proporciones.

Camilo, Ana y Andrea ganan mensualmente $530.000, $625.000 y $750.000 respectivamente, y pagan los gastos comunes mes a mes en forma conjunta. Si durante el mes de mayo pagaron $476.000 cunto dinero debe aportar cada uno de los amigos para pagar los gastos comunes?

Ejercicio 1

Solucin

:

$530.000 $625.000 $750.000$530.000

$625.000$750.000

Camilo Ana Andrea k

Camilo kAna kAndrea k

= = =

==

=

$530.000 $625.000 $750.000 $476.000$1.905.000 $476.000

476.000 4761.905.000 1905

k k kk

k

+ + ==

= =

Por tanto, cada uno de los integrantes pag:

476$530.000 $132.4301905476 $625.000 $156.168

1905476 $187.402$750.000

1905 $476.000

Camilo

Ana

Andrea

= =

= =

= =



La produccin en toneladas de madera por hectrea aumenta con los kilogramos de fertilizante que se emplean, es decir,

Ejercicio 2

P k f= , donde P es la produccin, y f los kilos de fertilizante. Cuntas toneladas por hectrea se producen en un terreno que se abon con 550 kg. de fertilizante, si otra con condiciones semejantes produjo 130 toneladas por hectrea con 650 kg. de fertilizante? Solucin

El primer paso en este ejercicio es encontrar el valor

:

k , denominada constante de proporcionalidad

130P = Toneladas y 650f = kilogramos

As, 130 650k= 130 =0,2 650

k =

Teniendo el valor de k y el de f se obtiene la produccin de toneladas por hectrea: 0,2 550 110P kg= = Toneladas

Tres alumnos montan un escenario para realizar una obra de teatro en 4 horas y 40 minutos, cunto hubiera tardado el montaje entre cuatro alumnos?

Ejercicio 3

SolucinPara solucionar este ejercicio, lo primero es dejar el tiempo en una sola unidad, en este caso minutos.

:

1 60 min4

1 60 min 4 60 min 4

1 240 min

hora utoshoras x

hora x utos horasutos horasxhora

x utos

=

=

=

=

Por tanto, los tres alumnos demoraron 280 min utos , as 4 demorarn:

4 280 min3

280 min 3 4

210 min 3 30 min

alumnos utosalumnos x

utos alumnosxalumnos

x utos horas y utos

=

=

= =



APRENDIZAJE ESPERADO: 5. Realiza operaciones con potencias, races y logaritmo, con ayuda de calculadora cientfica. Se espera con este aprendizaje que los alumnos recuerden y practiquen ejercicios de potencia, races y logaritmo, conceptos que vern ms adelante en el contexto de la matemtica financiera aplicada, por lo que es de suma importancia su comprensin y aplicacin.

Criterio 1.15. Realiza operaciones combinadas con potencias, aplicando sus propiedades, utilizando calculadora cientfica. Una potencia es un producto de factores iguales. Est formada por la base y el exponente. Ejemplo:

3 2 2 2 82 = = Una potencia se puede representar en forma general como:

...........n a a aa = Donde;

expa Base n onente= = Propiedades fundamentales

I. :m

m n m nn

aa a aa

= = VII. 11aa

=

II. ( )nm m na a = VIII. 1b ba a =

III. ( ) pp pa b a b = IX. 1 1a b

ab ab

= =

IV. ( )mp q p m q ma b a b = X. 1n n

na bb aa

b

= =

V. 0 1a = XI. m n m na a a + =

VI. 1a a=

Base

Exponente



Determine el valor de

Ejercicio 1 2 316 4

Solucin

( ) ( )2 32 3 4 2 8 6 2 116 4 2 2 2 2 2 4 = = = =

:


Ejercicio 2

( )2 3 23 : 3 3 Solucin

( )2 3 2 2 3 2 5 2 5 ( 2) 5 2 7 71 13 : 3 3 3 3 3 3 3 3 33 2.187

+ = = = = = = =

:

El nmero de bacterias B en un cultivo in vitro est dado por

Ejercicio 3 100100 100tB = , siendo t el

tiempo en horas. Cul es el nmero de bacterias al cabo de 4 horas? Solucin

4 100 4 100 104100 100 100 100B += = =:

Criterio 1.16. Realiza operaciones combinadas con races, utilizando sus propiedades. Con ayuda de la calculadora cientfica. Llamamos raz n-sima de un nmero dado a al nmero b que elevado a n nos da a.

nn a b b a= = Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fraccin es el ndice del radical y el numerador de la fraccin es el exponente el radicando.

pn p na a=

Ejemplo: 33

13 3

25 2 5

8 2; 2 8

5 5

ya que

x x

= =

=

=

Propiedades Raz de un producto La raz n-sima de un producto es igual al producto de las races n-simas de los factores.

n n na b a b =

Ejemplo: 33 32 5 2 5 =



Raz de un cociente La raz n-sima de un cociente es igual al cociente de las races n-simas del dividendo y del divisor.

nn

n

a ab b=

Ejemplo: 5

55

2 23 3=

Raz de una potencia Para hallar la raz de una potencia, se calcula la raz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia dada.

( ) pn p na a= Ejemplo: ( )35 3 55 8 2 2= Raz de una raz La raz n-sima de la raz m-sima de un nmero es igual a la raz nm-sima de dicho nmero.

n m n ma a=

Ejemplo: 5 3 152 2=

4

3

2718

=

Ejercicio 1

Solucin

( )( )

333 94412 12 1212 4 4 8 43 3 2 2

327 3 3 3 32 3 2 1618 2 3 2 3

= = = = =

:



Determine

Ejercicio 2

d (tasa compuesta anual de depreciacin) si

( )3900 1 200d = Solucin

( )

( )

( )( )( ) ( )( )

3

3

3 3

3

1 3

900 1 2002001900

1 0,222222 /

1 0,222222

1 0,222222

1 0,6057070,605707 1

0,3942930,39429339,43%

d

d

d

d

d

ddd

dd

=

=

=

=

=

=

= = ==

:

Despeje

Ejercicio 3

i que corresponde a la tasa de inters del inters compuesto ( )1 nVF VA i= + Solucin

( )1 /n nVF iVA

= +

:

( )

( )

1

1

nnn

n

VF iVAVF iVA

//= +

= +

1n VFiVA

= , al ser una tasa se debe multiplicar por 100 para que el resultado quede en

porcentaje, por tanto, la tasa queda expresada; 1 100n VFiVA

=



Criterio 1.17. Realiza operaciones combinadas con logaritmo, utilizando sus propiedades, con ayuda de la calculadora cientfica. Se denomina logaritmo en base a del nmero N al exponente x al que se eleva la base para obtener el nmero, es decir:

( )log xa N x si y slo si a N= = Donde a es un nmero positivo diferente de 1 y N es positivo. Propiedades de los logaritmos

1. ( )log 1 0a = Quiere decir que el logaritmo de cualquier base de 1 es igual a cero.

2. ( ) ( )log logna ap n p=

Es decir, el logaritmo de la ensima potencia de un nmero es igual a n veces el logaritmo del nmero.

3. ln 1e e =

Existen ms propiedades de logaritmo, pero principalmente se utilizan estas en matemticas financieras.

En la prctica comn se utilizan dos tipos de logaritmos: naturales, cuya base es el nmero e =2,718281829, y los logaritmos comunes, cuya base es b =10.

Los logaritmos base 10 se denominan logaritmos comunes y para identificarlos se utiliza el smbolo

10log log .L N N= =

Los logaritmos naturales (base e ) se simbolizan de la siguiente manera:

log log ln= = =n el nat N N N




Ejercicio 1

i (que representa la tasa de inters por periodo) si 31.000 (1 ) 3.000i + =

Solucin

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

3

0,366204

3.0001 / ln1.000

3.0003ln 1 ln1.000

3.000ln1.000ln 13

1,098612ln 13

ln 1 0,366204

1

1 1,4422491,442249 10,442249 44,22%

i

i

i

i

i

i e

iii

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

=

= =

:


Ejercicio 2

n (nmero de perodos) si n son meses y ( )1.000 1 0,05 5.000n + =

Solucin

( )( )

( )

log1.000 log 1 0,05 log5.000

log 1 0,05 log5.000 log1.000log(1,05) 3,698970 3,0000000,021189 0,698970

0,6989700,02118932,98739933

n

nnn

n

nn meses

+ + =

+ =

=

=

=

=

:



( )( )( )( )

1 0,18 1 10 0,18

1 0,18 1 1,8

1 0,18 1,8 1

1,18 2,8 / lnln1,18 ln 2,8

ln 2,8ln1,181,0296190,1655146,2207376,22

n

n

n

n

n

n

n

nn pagos trimestrales

+ =

+ =

+ = +

=

=

=

=

==


Ejercicio 3

n (nmero de perodos) si n est en trimestres y ( )1 0,18 1 100,18

n+ =

Solucin

:

De manera de comprender de forma ms didctica el uso de logaritmo se presenta la siguiente figura y las relaciones fundamentales para la resolucin de problemas de matemtica financiera:

Relaciones fundamentales:

. . .

x

x

x

I Lne xII y e x LnyIII LnM xLnM

=

= =



UNIDAD II: CLCULOS FINANCIEROS BSICOS

APRENDIZAJE ESPERADO: 6. Resuelve problemas cotidianos y de la especialidad con fundamentos de inters simple, demostrando capacidad para calcular, evaluar y decidir alternativas financieras en casos sencillos, con apoyo de calculadora cientfica. Es fundamental sealar que, desde el punto de vista terico, existen dos tipos de inters el Simple y el Compuesto. Pero dentro del contexto prctico el inters compuesto es el que se usa en todas las actividades econmicas, comerciales y financieras. El inters simple, por no capitalizar intereses, resulta siempre menor al inters compuesto, puesto que la base para su clculo permanece constante en el tiempo, a diferencia del inters compuesto. El inters simple es utilizado por el sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y prendarios. En este aprendizaje, se desarrollarn los conceptos bsicos del inters simple.

Conceptos fundamentales

Es importante, antes de ahondar en conceptos de ms especficos de matemticas financieras, que se comprenda el concepto de nmero de perodos en un ao y perodos de capitalizacin de los intereses.

Nmero de perodos:

El nmero de perodos pueden ser menor a un ao, es decir, das, meses, trimestres, semestres, bimestres o periodos bimensuales.

Es importante entender este tipo de pregunta: cuntos perodos mensuales hay en un ao? 12 perodos.

Cuntos perodos diarios existen en un ao? La respuesta es 360 o 365 si son das Comerciales o Das calendario (inters exacto).

Cuntos perodos trimestrales hay en un ao? 4 perodos.

Los perodos tambin pueden ser superiores a un ao, pueden ir desde un ao hasta INFINITO.

Nmero de perodos en un ao:

Normalmente los perodos se simbolizan con la letra n y en un ao se tiene los siguientes perodos:

Perodos en un ao

Perodos diarios n = 360 o 365

Perodos mensuales n = 12

Perodos trimestrales n = 4

Perodos semestrales n = 2

Perodos bimensuales n = 24

Perodos bimestrales n = 6



En ejercicios posteriores se ver que los anteriores perodos pueden ser de Capitalizacin de Intereses y ellos adquieren una connotacin muy importante.

Composicin de los perodos

1 ao 12 meses= 360 das comerciales=

1 mes 30 das=

1 trimestre 4 120 meses das= =

1 semestre 6 180 meses das= =

1 bimestre 2 60 meses das= =

Regla Fundamental de Matemtica Financiera

Siempre que se resuelva un problema de Matemticas Financieras, es absolutamente necesario poner en igualdad de condiciones, la tasa de inters y el perodo de capitalizacin de los intereses.

Por ejemplo, si el perodo de capitalizacin de los intereses est en trimestres, la Tasa de Inters debe estar en trimestres; si el perodo de capitalizacin de los Intereses est en meses, la Tasa de Inters debe estar tambin en meses.

Inters Simple

Es aquel que se paga al final de cada perodo y, por consiguiente, el capital prestado o invertido no vara y, por la misma razn, la cantidad recibida por inters siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalizacin de los intereses.

La falta de capitalizacin de los intereses implica que con el tiempo se perdera poder adquisitivo y al final de la operacin financiera, se obtendra una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no ser representativo del capital principal o inicial. El inters a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversin, depende de la cantidad tomada en prstamo o invertida y del tiempo que dure el prstamo o la inversin, el inters simple vara en forma proporcional al capital (VA o VP o C) y al tiempo (n).

En otros trminos se define el Inters Simple cuando los Intereses causados y no retirados NO ganan Inters sobre Inters.

Por lo tanto, el Inters Simple se puede calcular de acuerdo a la siguiente relacin:

I C i n=

Donde:

C = Capital, valor presente o valor actual.

i =Tasa de inters en tanto por uno y/o decimal.

n =Tiempo.



Tipos de Inters Simple

El inters se llama ordinario o comercial cuando se usa para su clculo 360 das al ao, mientras que ser exacto si se emplean 365 o 366 das dependiendo si el ao es o no bisiesto. En realidad, se puede afirmar que existen cuatro clases de inters simple, dependiendo si para el clculo se usan 30 das al mes, o los das que seale el calendario.

Ejemplo

Una persona recibe un prstamo por la suma de $200.000 para el mes de marzo, se cobra una tasa de inters de 20% anual simple. Calcular el inters (I), para cada una de las clases de inters simple.

I. Inters ordinario con tiempo exacto. En este caso, se supone un ao de 360 das y se toman los das que realmente tiene el mes segn el calendario. Este inters se conoce con el nombre de inters bancario; es un inters ms costoso y el que ms se utiliza.

20 31$200.000 $3.444,4100 360

I C i n

= = =

II. Inters ordinario con tiempo aproximado. En este caso, se supone un ao de 360 das y 30 das al mes. Se conoce con el nombre de inters comercial, se usa con frecuencia por facilitarse los clculos manuales por la posibilidad de hacer simplificaciones.

20 30$200.000 $3.333,3100 360

I C i n

= = =

III. Inters exacto con tiempo exacto. En este caso se utilizan 365 o 366 das al ao y mes segn calendario. Este inters se conoce comnmente con el nombre de inters racional, exacto o real, mientras que las otras clases de inters producen un error debido a las aproximaciones; el inters racional arroja un resultado exacto, lo cual es importante, cuando se hacen clculos sobre capitales grandes, porque las diferencias sern significativas cuando se usa otra clase de inters diferente al racional.

20 31$200.000 $3.397,26100 365

I C i n= = =

IV. Inters exacto con tiempo aproximado. Para el clculo de este inters se usa 365 o 366 das al ao y 30 das al mes. No se le conoce nombre, existe tericamente, no tiene utilizacin y es el ms barato de todos.

20 30$200.000 $3.287,67100 365

I C i n= = =

Desventajas del Inters Simple

Se puede indicar que existen tres desventajas bsicas:

a) Su aplicacin en el mundo de las finanzas es limitado.

b) No considera el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente, el valor final no es representativo del valor inicial.

c) No capitaliza los intereses no pagados en los perodos anteriores y, por consiguiente, pierden poder adquisitivo.



Criterio 2.1. Calcula monto utilizando inters simple con ayuda de la calculadora cientfica.

Se denomina Monto o Valor Futuro a la suma de capital inicial (valor presente o valor actual), ms el inters simple ganado, se simboliza mediante la letra M o VF . Por consiguiente:

( )1 100M C n i= +

Donde:

M =Monto o valor futuro.

C = Capital, valor actual o valor presente.

n =Perodo.

i =Tasa de inters en %.

Determine el monto de una inversin de $ 200.000, en 5 aos, a una tasa del 25% anual.

Ejercicio 1

Solucin:

Datos

$200.00025% 5 aos

Ci anualn

===

:

Reemplazando en la frmula de monto se obtiene:

( )( )

25$200.000 1 5100

$200.000 1 1,25

$200.000 2,25$450.000

M

M

MM

= +

= +

=

=



Un comerciante adquiere un lote de mercanca con valor de US$3,500 que acuerda liquidar mediante un pago inmediato de US$1,500 y pagos durante 4 meses por el resto. Acepta pagar 10% de inters anual simple sobre el saldo. Cunto deber pagar dentro de 4 meses?

Ejercicio 2

Solucin:

Datos

$3,500 $1,500 $2,00010%

4 14 12 3

C US US USi anual

n meses anual anual

= ==

= =

:


( )( )

1 10$2,000 13 100

$2,000 1 0,033333

$2,000 1,033333$2,066.67

M US

M US

M USM US

= +

= +

=

=

Una persona deposita $1.500.000 en un fondo mutuo que garantiza un rendimiento de 0,8% mensual. Si retira su depsito 24 das despus, Cunto recibir?

Ejercicio 3

Solucin:

Datos

$1.500.0000,8% 24 24 30 4 5

Ci mensualn das mes mesM

=

=

=

:


( )( )

4 0,8$1.500.000 15 100

$1.500.000 1 0,0064

$1.500.000 1,0064$1.509.600

M

M

MM

= +

= +

=

=



Criterio 2.2. Calcula capital e inters utilizando inters simple con ayuda de la calculadora cientfica.

El Capital, Valor Presente o Valor Actual, es la cantidad de dinero que invertida hoy a una tasa de inters dada producir el monto M . En otras palabras el capital es la suma de dinero prestada, invertida, ahorrada el da de hoy.

El Inters como se mencion, es el rendimiento dado en Pesos ($), por un determinado capital o por una determinada inversin cuando permanece por un determinado perodo de tiempo. Tambin el inters puede ser pagado por una deuda a una tasa acordada.

Por tanto, las frmulas para determinar el Capital son:

( ) ;

1M I M CC Cn i i n i n

= = =

+

Las frmulas para determinar el Inters son:

; I C i n I M C= =

Una empresa constructora se fija como meta ganar un inters de $1.000.000 en un perodo de dos aos y medio. Cul debe ser el capital inicial a depositar, sabiendo que puede obtener una tasa del 1% trimestral?

Ejercicio 1

Solucin

Datos:

:

$1.000.0001% 2,5 10

1 4 2,5

2,5 4 10 1

Ii trimestraln aos trimestres

ao trimestresaos x trimestres

aos trimestresx trimestresao

=== =

= =

Reemplazando en la frmula de Capital IC

i n=

se obtiene:

$1.000.000 $1.000.000 $10.000.0001 0,110100

C = = =



Una persona obtiene un prstamo en un banco por $1.000 millones de pesos aceptando un cobro de una tasa de inters simple del 24% anual Cul es el inters generado al tercer ao?

Ejercicio 2

Solucin

Datos:

:

$1.000 24% 3

C millonesi anualn aos

=

=

=

Reemplazando en la frmula de Inters se obtiene:

24$1.000 3 $720100

I = =

A cunto ascienden los intereses ganados por un capital que invertido durante 8 meses al 4% de inters mensual alcanz un monto de US$3,000?

Ejercicio 3

Solucin

En este ejercicio se encuentran dos incgnitas Inters y Capital, por lo que se deben ocupar dos frmulas.

:

Datos:

??8 4%

$3,000

ICn mesesi mensualM US

=====

Reemplazando en las siguientes frmulas se obtiene:

( )

( )

1$3,000 $2,272.73

41 1 8100

$3,000 $2,272.73$727.27

M C i nM USC USi n

I M CI US USI US

= +

= = =+ +

= = =



Criterio 2.3. Calcula plazo y tasa de inters con ayuda de la calculadora cientfica. El plazo es el tiempo o perodo de tiempo durante el cual el dinero ha permanecido prestado y/o invertido. Las frmulas para su clculo son:

=I M CnC i C i

=

De la misma manera, la tasa de inters es el monto de dinero que se expresa en porcentaje (%), mediante el cual se paga por el uso del dinero por parte de quien lo haya recibido. Su frmula es:

I M CiC n C n

= =

En cuntos meses un capital de $200.000 genera un inters de $80.000 con una tasa de inters simple de un 5% semestral?

Ejercicio 1

Solucin

Datos:

:

? $200.000$80.0005%

$80.000 48 5%$200.0006 100

n mesesCIi semestral

n meses

====

= =

Una persona compr un equipo en enero del ao pasado en una sper oferta en $195.000 y lo vendi 17 meses despus en $256.000. Qu tasa de inters simple anual le rindi su inversin?

Ejercicio 2

Solucin

Datos:

:

$195.000$256.000

17 ?

CMn mesesi

=

=

=

=

(1 )M C n i= +

17$256.000 $195.000 112

i = +



$256.000 171$195.000 12

i = +

$256.000 171$195.000 12

i = +

171,31282051 112

i =

170,312820512

i =

12(0,3128205) 10017

i =

22,08%i =

Una persona compra un LED de ltima generacin en US$1,500. Paga un pie de US$800 y acuerda pagar los US$750 restantes tres meses despus. Qu tasa de inters simple pag?

Ejercicio 3

Solucin

Datos:

:

$1,500 $800 $7003 3 12

$750$750 $700 $50

$50 100 28,57% 3$70012

C US US USn mesesM USI US US US

USi anualUS

= == == =

= =



APRENDIZAJE ESPERADO: 7. Resuelve problemas cotidianos y de la especialidad, aplicando inters simple entorno al valor futuro y presente, recargo y descuento comercial, con apoyo de calculadora cientfica. El descuento es una operacin de crdito llevada a cabo principalmente por instituciones bancarias, que consta en que estas adquieren letras de cambio o pagars, de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengara el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. Con esta operacin se anticipa el valor actual del documento.4

Existen bsicamente dos formas de calcular el descuento:

1. El descuento comercial.

2. El descuento real o justo.

Las frmulas de clculo son:

y ,

min

descuento DD M d n M C DDondeM valor no al o monto original a pagod tasa de descuenton tiempo

=

= = +

=

=

=

Otra forma es;

1C d nD

d n

=

Para determinar la tasa de descuento la frmula es:

100

min

a

a

M MdM n

M valor no al o monto original a pagoM monto pagado anticipadon tiempo

= ==

=

El recargo comercial es un incremento de un porcentaje sobre el valor de un pago o cobro que se realiza, generalmente, por mora de los mismos con el fin de penalizar el incumplimiento en fecha de la obligacin asumida, tambin se aplica al pagar a crdito.

Por tanto, pagar con recargo es adicionarle al precio de contado una suma de dinero que representa en porcentaje la cantidad que se suma por mora en el pago.

Este concepto se representa como:

Pr Re argecio Total Valor al contado c o= +

4 A. Daz, Matemticas financieras, Mxico, McGraw-Hill, 2008.



Criterio 2.7. Calcula recargo y descuento comercial utilizando inters simple, con ayuda de la calculadora cientfica.

Si un banco realiza operaciones de descuento al 20% anual, y una persona debe pagar un pagar el da 15 de agosto de este ao por $185.000, este valor devengar intereses (descuento) durante los 2 meses en que se adelanta el valor del documento. Determine el descuento y el valor anticipado a pagar.

Ejercicio 1

Solucin

Datos:

:

( )

$185.0002020% 0,2

1002 2 12 1 6$185.000 0,2 1 6$6.166,67

D M d nM

d anual

n mesesDD

=

=

= = =

= = =

=

=

min $185.000 $6.166,67

$178.833,33

Valor no alDescuento

Valor anticipado

= =

=

Un comerciante cancela a un distribuidor una letra de $250.000 con 60 das de anticipacin y paga por ella $238.500 Qu tasa de descuento mensual le aplicaron?

Ejercicio 2

Solucin

Datos:

:

100

? $250.000$238.500

60 60 30 2

a

a

M MdM n

d mensualMMn das meses

= ===

= =

$250.000 $238.500 100$250.000 2

2,3%

d

d mensual

= =



Una computadora tiene un precio de $300.000, si se paga en efectivo tiene un descuento del 15%, y si se compra con tarjeta de crdito tiene un recargo del 20%. Determine el precio con recargo que tendr que cancelar el cliente si paga con tarjeta.

Ejercicio 3

Solucin

Datos:

:

arg 20% 20 100 0,2 arg $300.000 0,2 $60.000

Pr $300.000 $60.000Pr $360.000

Porcentaje rec oValor de rec o

ecio Totalecio Total

= = == =

= +=

APRENDIZAJE ESPERADO: 8. Resuelve problemas cotidianos y de la especialidad utilizando inters compuesto con ayuda de calculadora cientfica.

El inters compuesto, es aquel donde el capital cambia al final de cada perodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital denominado monto y sobre este monto volver a calcular intereses, es decir, hay capitalizacin de los intereses. En otras palabras, es una operacin financiera en la cual el capital aumenta al final de cada perodo por la suma de los intereses vencidos. La suma total obtenida al final se conoce con el nombre de monto compuesto o valor futuro. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le denomina inters compuesto. El inters compuesto es ms flexible y real, ya que valora perodo a perodo el dinero realmente comprometido en la operacin financiera y por tal motivo es el tipo de inters ms utilizado en las actividades econmicas. Por ltimo, es conveniente reafirmar que el inters compuesto se utiliza en la Ingeniera Econmica, Matemticas Financieras, Evaluacin de Proyectos y, en general, por todo el sistema financiero chileno.

Criterio 2.10. Calcula tasa efectiva y tasa nominal utilizando inters compuesto con ayuda de la calculadora cientfica.

Como se mencion, la tasa efectiva es aquella que mide el costo real de un crdito o la rentabilidad efectiva de una inversin y resulta de capitalizar la tasa nominal. De otra forma, cuando se realiza una operacin financiera, esta se pacta a una tasa de inters anual que rige durante el tiempo que dure la operacin, que se denomina tasa nominal de inters. Sin embargo, si el inters se capitaliza en forma semestral, trimestral, etc., la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, es posible determinar una tasa efectiva anual. Por lo tanto, dos tasas de inters anuales con diferentes perodos de capitalizacin sern equivalentes si al cabo de un ao producen el mismo inters compuesto.



La frmula para determinar la tasa efectiva es:

1 1 100m

eji

m = +

Donde:

int l n min

ei tasa efectivaj tasa de ers anua o alm nmero de periodos de capitalizacin al ao

=

==

La ecuacin para determinar la tasa nominal j conociendo la tasa efectiva es:

1

1 1 100100m

eij m = +

Donde:

int l n min

ei tasa efectivaj tasa de ers anua o alm nmero de periodos de capitalizacin al ao

=

==

Cul es la tasa efectiva de inters anual correspondiente a una tasa de inters anual nominal del 43,5% con capitalizacin mensual?

Ejercicio 1

Solucin

Datos:

:

43,5%12

jm meses=

=

Reemplazando en 1 1 100m

eji

m = +

se tiene:

( )

( )[ ]

12

12

43,5%1 1 10012 100

1 0,03625 1 100

1,5331142 1 100

0,5331142 1 10053,3%

e

e

e

e

e

i

i

i

ii anual

= +

= + = =

=



Cul es la tasa efectiva de inters que se recibe de un depsito bancario de $100.000 acordado a un 18% de inters anual convertible mensualmente?

Ejercicio 2

Solucin

Datos:

:

$100.00018%12

Cjm meses

=

=

=

Para la resolucin de este ejercicio se debe conocer la frmula de monto para inters compuesto, reemplazando en ella se encuentra su resultado.

Para este tipo de ejercicio se utilizar la siguiente frmula de monto para inters compuesto:

1100

mjM Cm

= +

Reemplazando en la frmula anterior se obtiene:

1218%$100.00 112 100

M = +

( )( )

12$100.00 1 0,015

$100.00 1,195618$119.562

M

MM

= +

=

=

Calculado el monto se puede calcular el inters y la tasa efectiva de inters.

I M C=

Por lo tanto,

$119.562 $100.000$19.562

II=

=

Donde;

100IiC

=

$19.562 100$100.000

19,56%

IiC

i

= =

=

Por tanto, la tasa efectiva de inters es de 19,56%



Determine la tasa nominal

Ejercicio 3

j convertible semestralmente que produce un rendimiento del 27% anual.

Solucin

Datos:

:

?27% 2

e

ji anualm semestres

=

=

=

Reemplazando en 1

1 1 100100m

eij m = +

se obtiene:

( )( )

( )[ ]

1 2

1 2

27%2 1 1 100100

2 1 0,27 1 100

2 1,126943 1 100

2 0,126943 100

25,39%

j

j

j

j

j

= +

= +

=

= =

Criterio 2.11. Calcula tasa de inters simple, equivalente a una tasa de inters compuesto, con ayuda de la calculadora cientfica.

Para realizar esta equivalencia es necesario igualar los montos del inters simple e inters compuesto. Por tanto, se tiene:

Monto Inters Simple

fM C Capital final= =

( )1f iC C i n= +

Donde:

int

f

i

C MontoC Capitali tasa ers anualn nmero de aos

=

=

==

Si la capitalizacin no es anual la frmula queda de la siguiente forma:

1f i knC C ik

= +



Donde k es el nmero de perodos de capitalizacin en un ao. Por consiguiente:

Cuntos semestres hay en un ao? 2k =

Cuntos trimestres hay en un ao? 4k =

Cuntos meses hay en un ao? 12k =

Monto Inters compuesto

fM C Capital final= =

( )( )

1

1

5 4

9%

nf i

n kf i k

C C i

C C in aosk trimestres en un aoi compuesto

= +

= +

===

Donde:

int

f

i

C MontoC Capitali tasa ers anualn nmero de aos

=

=

=

=

Si la capitalizacin no es anual la frmula queda de la siguiente forma:

( )1n

kf i kC C i= +

Determine la tasa de inters simple equivalente al 9% compuesto con capitalizacin trimestral en 5 aos.

Ejercicio 1

Solucin

Datos:

:

5 4

9%

n aosk trimestres en un aoi compuesto

===

Igualando los fC de ambos intereses se tiene:

1 knik

+

( )1n

kki= +



514Simple

i +

( )5

41 0,09= +

54Simple

i

1,113738 1=

simplei =( )1,113738 1 4

5

simplei = 0,090991 100

simplei = 9,1%

Determine la tasa de inters simple equivalente al 15% de inters compuesto anual en 9 aos.

Ejercicio 2

Solucin

Datos:

:

9 15%

n aosi compuesto=

=

( )1 9Simplei+ ( )91 0,15= +

simplei3,517876 1 0,279764

9

= =

28%simplei =

Determine la tasa de inters simple equivalente al 10% compuesto con capitalizacin mensual en 3 aos.

Ejercicio 3

Solucin

Datos:

:

3 12 10%

n aosk meses en un aoi compuesto

===

3112Simple

i +

( )3121 0,1= +

Simplei ( )121,024114 13

=



Simplei 0,096455=

Simplei 9,6%=

Criterio 2.12. Calcula tasa de inters compuesto, equivalente a una tasa de inters simple, con ayuda de la calculadora cientfica.

Calcule la tasa de inters compuesto con capitalizacin cuatrimestral equivalente al 18% de inters simple en 7 aos.

Ejercicio 1

Solucin

Datos:

:

7 3

18%simple

n aosk cuatrimestres en un aoi

==

=

Reemplazando

( )

( ) ( ) ( )( )

73

7 33 7

37

71 1 0,183

1 1,42 /

1,42 1

16,2%

compuesta

compuesta

compuesta

compuesta

i

i

ii

+ = +

+ =

=

=

Determine la tasa de inters compuesto anual equivalente al 14% de inters simple a 8 aos.

Ejercicio 2

Solucin

Datos:

:

8 14%simple

n aosi=

=

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

8

188

18

1 1 0,14 8

1 2,12 /

2,12 1

0,098480 100

9,85%

compuesta

compuesta

compuesta

compuesta

compuesta

i

i

iii

+ = +

+ =

=

=

=



Calcule la tasa de inters compuesto con capitalizacin semestral equivalente al 15% de inters simple en 4 aos.

Ejercicio 3

Solucin

Datos:

:

4 2

15%simple

n aosk semestres en un aoi

==

=

Reemplazando

( )

( ) ( ) ( )( )

4 2

122

12

41 1 0,152

1 1,3 /

1,3 1

0,140175 100

14,02%

compuesta

compuesta

compuesta

compuesta

compuesta

i

i

iii

+ = +

+ =

=

=

=

APRENDIZAJE ESPERADO:

9. Opera con fundamentos de inters compuesto, demostrando capacidad para calcular, evaluar y decidir alternativas financieras en casos sencillos, con apoyo de calculadora cientfica. El objetivo de este aprendizaje es que el alumno comprenda, aplique los conceptos de inters compuesto y los diferencie respecto al inters simple, donde en este ltimo el capital inicial sobre el que se calculan los intereses permanece invariable. En cambio, en el inters compuesto, los intereses que se van generando se suman al capital original o principal en perodos establecidos y, a su vez, generan un nuevo inters adicional en el siguiente perodo.

Por tanto, en el inters compuesto se est en presencia de capitalizacin de los intereses.

Criterio 2.15. Calcula monto utilizando inters compuesto con ayuda de la calculadora cientfica.

Monto compuesto

Es el resultado que se obtiene al sumar al capital original el inters compuesto. Si se dispone de un capital C y se invierte en una institucin financiera y se desea conocer el monto M del cual se dispondr al final del perodo, solo debe agregarse el inters I generado.

La frmula del monto del inters compuesto es:

1n kiM C

k

= +



Es importante hacer hincapi en el periodo de capitalizacin ( k ), donde el inters puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral, bimestral, mensual, entre otros. Al nmero de veces que el inters se capitaliza durante un ao se le denomina frecuencia de conversin.

Por ejemplo, determine la frecuencia de conversin ( k ) de un depsito bancario que rinde un 7% de inters capitalizable trimestralmente.

Del ejemplo anterior se obtiene que la frecuencia de conversin es:

Nota importante: en Matemtica Financiera, cuando se omite el perodo de la tasa, siempre se est hablando de una tasa anual, en caso contrario, se debe indicar la capitalizacin de esta.

12 4 3 Un ao meses k

Un trimestre meses= = =

Determine el monto acumulado de $50.000 que se depositan en un fondo mutuo que rinde un 15% anual capitalizable mensualmente al cabo de dos aos.

Ejercicio 1

Solucin

Datos:

:

?$50.000

15%122

MCikn aos

=

=

=

=

=

Reemplazando en 1n kiM C

k

= +

se obtiene:

2 1215%$50.000 112 100

M

= +

2415%$50.000 11200

M = +

( )24$50.000 1,0125$50.000 1,347351$67.368

MMM

=

=

=



Una persona deposita $1.700.000 en el banco IXAEB durante 260 das a una tasa de inters compuesto anual del 7% capitalizable mensualmente cunto dinero retirar al trmino de los 260 das?

Ejercicio 2

Solucin

Datos:

:

$1.700.000260 260 30 12 7%

Cn das mesesk mesesi

=

= =

=

=


k

= +

se obtiene:

( )

260 30

260 30

7%$1.700.000 112 100

$1.700.000 1,005833$1.700.000 1,051701$1.787.891,4

M

MMM

= +

=

= =

Se invierte $100.000 a una tasa del 20% anual capitalizable bimestralmente. Determine el monto que se obtiene en 3 aos y 6 meses.

Ejercicio 3

Solucin

Datos:

:

( )

$100.00020% 6

6 3 6 3 6 21 2

Ci anualk bimestres en un ao

mesesn aos meses bimestres bimestresmeses

===

= = + =


k

= +

se obtiene:

( )

21

21

20%$100.000 16 100

$100.000 1,033333$100.000 1,990899$199.090

M

MMM

= +

=

=

=



Criterio 2.16. Calcula capital e inters utilizando inters compuesto con ayuda de la calculadora cientfica.

El valor actual o capital es el valor de un documento, bien o deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de inters.

La expresin valor actual significa el valor de un pago futuro en una fecha determinada antes del vencimiento.

Valor actual, valor en el momento presente de los beneficios o de los costos del futuro, actualizados al costo de oportunidad o de sustitucin del capital.5

La frmula de capital se deriva del monto a inters compuesto:

( )1 ,nM C i= + de donde se despeja :C

( )1 nMC

i=

+

La frmula de inters compuesto es:

( )1 1nI C i= + o I M C=

Determine la cantidad de dinero que recibe una compaa en calidad de prstamo si firm un documento por $650.000 que incluye capital e intereses a un 18% convertible trimestralmente y tiene vencimiento en 18 meses. Cunto paga de inters en los 18 meses?

Ejercicio 1

Solucin

Datos:

:

?$650.000

18%4 18 18 3 6

CMik trimestresn meses trimestres

==

=== = =

Reemplazando ( )1 n

MCi

=+

se obtiene:

( )6 6$650.000 $650.000 $650.000 $499.132

1,3022601,04518%14 100

$650.000 $499.132$150.868

C

I M CII

= = = = +

= = =

5 A. Mora, Matemticas financieras, Mxico, Alfaomega, 2009.



Una empresa constructora desea comprar un terreno evaluado en US$350,000, le piden que entregue un 40% de anticipo y el resto en dos aos y medio. Cunto debe depositar la empresa en el banco el da de hoy para poder garantizar la liquidacin de su deuda, si la tasa vigente es de un 30% anual capitalizable trimestralmente? Cunto pag de inters la constructora?

Ejercicio 2

Solucin

Datos:

:

( )

$350,000 0,6 $210,0004

6 2 6 2 4 10 3

30%

M Deuda US USk

mesesn aos meses trimestresmeses

i anual

= = =

=

= = + =

=

Reemplazando ( )1 n

MCi

=+

se obtiene:

( )10 10$210,000 $210,000 $101,891

1,0753014 100

US USC US= = = +

$210,000 $101,891$108,109

I M CI US USI US

= = =

Cunto se debe depositar en un banco si se desea tener un monto de $50.000 dentro de 3 aos y la tasa de inters ofrecida es de un 20% anual convertible semestralmente? Cunto es el inters ganado con esta tasa?

Ejercicio 3

Solucin

Datos:

:

( )

?$50.000

3 6 20% 2

CMn aos semestresi anualk semestres en un ao

==

=

==

Reemplazando ( )1 n

MCi

=+

se obtiene:



( )3 2 6$50.000 $50.000 $50.000 $28.224

1 0,1 1,7715612012 100

C = = = =+ +

$50.000 $28.224$21.776

I M CII

=

=

=

Criterio 2.17. Calcula plazo y tasa de inters con ayuda de la calculadora cientfica. Para determinar la frmula de plazo o tiempo, esta se deriva de la ecuacin de monto.

( )1 nM C i= + , luego

( )1 nM iC

= + , aplicando ln o log se obtiene:

( )ln ln 1M n iC

= +

Por tanto;

( )

ln

ln 1

MCn

i

=+

Para determinar la tasa de inters conociendo las otras variables, se despeja de la frmula de monto.

( )1 nM C i= + , luego

( )1 , nM i aplicando raz de nC

= +

1

1

n

n

M iCM iC

= +

=

Por tanto:

1 100n MiC

=

Al ser una tasa de inters se multiplica por 100, para que el resultado quede en porcentaje.



Determine la cantidad de aos que una persona deber dejar un depsito de $60.000 en una cuenta de ahorros que renta un 8% semestral, para obtener en el futuro $150.000.

Ejercicio 1

Solucin

Datos:

:

?$60.000

8% (1 2 )$150.000

n Cuntos aosCi semestral ao semestresM

=

=

= =

=

Reemplazando en ( )

ln

ln 1

MCn

i

=+

se obtiene:

( )( )( )

( )

$150.000ln$60.000

ln 1 8 100 2

ln 2,5ln 1 0,16

n

n

=+

=+

( )( )

ln 2,5ln 1,16

n =

0,916290 6,2 6 0,148402

n aos= =

Determine la tasa de inters anual, a la que deben invertirse $2.230.000 para que en 5 aos ms se obtenga un monto de $3.234.890.

Ejercicio 2

Solucin

Datos:

:

? $2.230.000$3.234.890

5

i anualCMn aos

=

=

=

=

Reemplazando en 1 100n MiC

=

se tiene:



5$3.234.890 1 100$2.230.000

i

=

( )5 1, 450623 1 100i = 7,7% i anual=

A qu tasa de inters se deben depositar $30.000 para disponer de $100.000 en un plazo de 5 aos. Considerando que los intereses se capitalizan trimestralmente.

Ejercicio 3

Solucin

Datos:

:

? $30.000$100.000

5 4 (4 )

i anualCMn aosk trimestres en un ao

=====

Reemplazando en 1 100n k MiC

=

se tiene:

5 4100.000 1 10030.000

i

=

( )20 3,333333 1 100i =

( )( )( )

1203,333333 1 100

1,062047 1 1000,062047 1006,20%

i

iii

=

=

= =



APRENDIZAJE ESPERADO: 10. Reconoce los distintos tipos de clculos financieros demostrando capacidad para evaluar y decidir alternativas financieras en casos sencillos. En este aprendizaje esperado se introduce al lector al concepto de anualidades, terminologa y tipos, permitindole reconocer, comprender y saber solucionar este tipo de clculo financiero, el cual se observa en forma diaria en la vida real.

Criterio 2.20. Identifica correctamente una anualidad para evaluar distintas alternativas.

Qu es una Anualidad?

Una anualidad es una serie de pagos iguales que se perciben a intervalos iguales o fijos de tiempo, incluso para perodos inferiores a un ao. Ejemplos de anualidades son:

1. Pago mensual por arriendo de una casa o departamento.

2. Pago mensual de una cuota en una tienda comercial.

3. Cobro mensual o quincenal de sueldos.

4. Pagos mensuales de una cuota de crdito bancario.

Terminologa

Perodo de pago o intervalo: es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.

Plazo: es el tiempo que pasa entre el inicio del primer perodo de pago y el final del ltimo.

Renta: es el nombre que se da al pago peridico que se hace.

Valor actual o capital de la anualidad: es el valor total de los pagos en el momento presente.

Monto: es el valor de todos los pagos al final de la operacin.

Esquemticamente una anualidad se observa de forma siguiente:

1 2 3 n

Plazo de la anualidad

Renta

Renta anual: suma de pagos efectuados en un ao

Pago Pago Pago Pago

Perodo de pago

La comprensin de las anualidades permitir:



1. Calcular el monto de una inversin cuando se hacen depsitos peridicos de una misma cantidad.

2. Calcular el pago peridico de una deuda.

3. Calcular el valor actual de una serie de flujos de efectivo.

4. Determinar el plazo para cancelar un compromiso financiero.

Tipos de anualidades

Conforme a los diferentes elementos que participan en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Por lo anterior, se clasifican de acuerdo con diversos criterios.6

Criterio

Tipos de Anualidades

1. Tiempo

Ciertas: las fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: letras de pago por la compra de un auto.

Contingentes o Perpetuas: las fechas del primer pago o del ltimo no se fijan de antemano, porque dependen de un hecho que no se sabe cundo ocurrir. Ejemplo: renta vitalicia a un cnyuge al fallecer el otro.

2. Intereses

Simples: cuando el perodo de pago coincide con el de capitalizacin de intereses. Ejemplo: pago de renta mensual y capitalizacin mensual de intereses.

Generales: el perodo de pago no coincide con el perodo de capitalizacin. Ejemplo: pago de renta semestral y capitalizacin mensual

3. Pagos

Vencidas u ordinaria: se trata de casos en los que los pagos se efectan a su vencimiento. Ejemplo: pago de luz, sueldos, entre otros.

Anticipadas: los pagos se realizan al principio de cada perodo. Ejemplo: pago de arriendo.

4. Iniciacin

Inmediatas: la realizacin de los cobros o pagos tiene lugar en el perodo que sigue inmediatamente a la formalizacin del trato. Ejemplo: compra a crdito de algn artculo, donde la primera cuota se paga en ese momento o un mes despus de adquirida (anticipada o vencida).

Diferidas: se acuerda que al adquirir algn artculo a crdito, la primera de las mensualidades se har, por ejemplo, 3 meses despus.

6 A. Daz, Matemticas financieras, Mxico, McGraw-Hill, 2008.



0 1 6 5 4 3 2

R R R R R R

0 1 6 5 4 3 2

R R R R R R

De acuerdo con las anteriores clasificaciones se pueden distinguir diversos tipos de anualidades:

De estos 16 tipos de anualidades, el ms comn es el de las simples, ciertas, vencidas e inmediatas.

A continuacin se presenta grficamente las anualidades ms utilizadas.

Anualidades ordinarias o vencidas: Son aquellas en las que el depsito, pago o renta y la liquidacin de intereses se realizan al final de cada perodo: pago de cuotas mensuales por crditos.

Anualidades anticipadas: Son aquellas en las que el depsito, pago y la liquidacin de intereses se hacen al principio de cada perodo: pago de arriendo.


Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reprod

MAT121 - Matematica Financiera

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