Matematica Financiera

Programa de Computación, Diseño y ExtensiónMatemática Financiera

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Matemática Financiera


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© Matemática Financiera - Grupo IDATEdición a cargo del Programa de Computación e Informática.

Los derechos de edición, distribución y comercialización de esta obra son de exclusividad del Instituto Superior Tecnológico IDAT

Director Ejecutivo : Sr. Jaime Benavides Flores.Coordinador Académico : Ing. Eloy Sotelo Cruz.

Elaboración :

Diseño y Diagramación : Rogger´s Publicidad E.I.R.L. - J.A.O.


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Presentación


4


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CAPí

TULO

1

Nociones generales sobre finanzas¿Qué son las finanzas?

Un directivo financiero inteligente podría contestar: "ganar dinero". Pero esta conceptualización no refleja toda la complejidad de las deci-siones financieras. Por ejemplo, nadie, adquiriría una empresa que le produce satisfactorias ganancias, si a su vez no le ofrece liquidez para el pago de sus deudas: o nadie invertiría en un proyecto que le rinde la máxima rentabilidad, si tiene una alta posibilidad de perder.

Por ello, las finanzas significan mas que buscar rentabilidad: es un equilibrio de varios factores: la liquidez, el riego y la misma rentabilidad. Liquidez es la capacidad de pago a corto plazo; el riesgo, la posibilidad de perder; y, la rentabilidad, la capacidad de generar beneficios. Esta última incluye aspectos como el costo de oportunidad, el valor del dinero en el tiempo y, las ganancias y pérdidas originadas por la inflación.

El costo de oportunidad es el rendimiento que alguien deja de percibir por ocuparse de una actividad y se considera un costo no contable. Si un empresario joven desea no descapitalizar su empresa recién iniciada, no cobrando un sueldo, el mismo constituye un costo de oportunidad, aunque no lo contabilice como gasto. También es un costo de oportuni-dad lo que deja de percibir este mismo empresario cuándo utiliza en su empresa el préstamo sin intereses de su padre. Nótese que el préstamo pudo invertirse en un rendimiento alternativo financiero como bonos.


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El valor del dinero en el tiempo consiste en la apreciación de que un nuevo sol antes es mejor que un nuevo sol después, debido a que el nuevo sol recibido con anterioridad pudo ser invertido en un rendimiento alternativo. Es decir, es mejor 100 ahora que 100 dentro de un mes.

Lo que hay detrás del valor del dinero en el tiempo es que todo re-curso en el tiempo puede tener un rendimiento, es decir, todo proyecto tiene un costo de oportunidad. Debe anotarse que este costo de opor-tunidad no se refiere ni a la inflación ni al riesgo. Si se implemento un proyecto en un país seguro y sin inflación, el beneficio mínimo ¿podría ser cero? El alumno podrá dilucidar que éste debe, ser positivo y que todo inversionista desea una ganancia por su capital fuera de la erosión del dinero y el riesgo.

Entendido el problema del valor del dinero en el tiempo es posible dar una conclusión acerca de la rentabilidad: toda decisión financiera es una comparación de beneficios y costos expresados en tiempos iguales. Pero ¿cómo homogenizar costos y beneficios que se encuentran en distintos tiempos?, es decir ¿qué es mejor 100 ahora a 120 dentro de un año?. La respuesta supone entender los conceptos de valor futuro y valor actual, los cuales se desarrollarán más adelante en el curso y pueden calcularse a interés simple o compuesto.

Las ganancias por inflación se dan cuando los precios de los produc-tos que vendemos se incrementan más que el nivel general de precios y cuando procuramos mantener activos que se revalúan frente a la in-flación (por ejemplo activos fijos) con pasivos que no se revalúan (por ejemplo préstamos). Se generan pérdidas por inflación cuando sucede lo contrario.

Es importante entender algunos otros aspectos que permiten visualizar mejor las finanzas. Algunos mencionan que las finanzas representan una extensión de la contabilidad; otros que son una extensión de la econo-mía: y, finalmente, algunos sostienen que a través de ellas se practica la elusión tributaria.

La contabilidad ofrece un gran aporte a las finanzas en tanto disponi-bilidad ordenada de información y medio de control de las operaciones de la empresa. Sin embargo, la contabilidad, al menos la tradicional, se refiere al pasado y no incluye aspectos muy importantes como el costo de oportunidad, el valor del dinero en el tiempo y el riesgo. La exclusión del costo de oportunidad ha sido explicada en párrafos anteriores. Vea-mos los otros dos casos.

La contabilidad sólo incluye el valor del dinero en forma parcial porque toma con igual valor ingresos y gastos que se producen en diferentes tiempos: considera con igual valor ventas cobradas al cash con las co-bradas al crédito; o, gastos pagados al cash con los pagados a futuro.


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Análogamente, la contabilidad excluye el riesgo porque toma con igual valor utilidades de proyectos con riesgos distintos. Según ello, es posible que un negocio de una cadena de autoservicios (supongamos de relativo poco riesgo) arroje utilidades similares a las de un negocio de explotación petrolera (supongamos de mucho riesgo). El análisis de los estados financieros valoraría estas dos empresas por igual cuando en realidad la cadena de autoservicios sería mejor en la medida que se obtiene la misma rentabilidad con menor riesgo.

La economía aporta a las finanzas la perspectiva global del sistema económico y las herramientas para las principales proyecciones de las variables que la afectan. El directivo financiero debe entender las inte-rrelaciones entre los mercados de capitales y las empresas; cómo se interconecta la economía del país con la del resto del mundo: así como entender las proyecciones de la inflación, devaluación, tasa de interés, etc. Sin embargo, esta globalidad pierde de vista los pequeños detalles que también son importantes, como la conciliación de caja, la adminis-tración de tesorería, los inventarios, etc.

Debido a la gran presión tributaria que sufren las empresas peruanas, muchas directivas financieras se han dedicado a la elusión tributaría. Esta actividad es la opción de una alternativa entre varias con el fin de evitar legalmente pagar impuestos. La planificación financiera aporta a las finanzas la posibilidad de que las empresas no paguen excesivos tributos. Sin embargo, muchos creen que es la actividad principal en las finanzas, lo cual dista mucho de ser cierto.

Nociones generales de finanzasFinanzas

Es la disciplina que se ocupa del estudio y forma de obtención de fondos y de su aplicación de éstos, para maximizar la inversión de los accionistas.

Función de la dirección de finanzasPreséntalas siguientes funciones:

- Decisiones de inversión o presupuesto de capital. Se refiere a ¿Cuánto invertir y en qué activos hacerlo?

- Decisiones de financiamiento. Se refiere a ¿Cómo conseguir los fondos necesarios? A corto plazo: menor de 1 año. A mediano plazo: mayor de l año, y menor o igual que 5 años. A largo plazo: mayor a 5 años.


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- Decisiones de Operación o Resultados. Se refiere a la obtención de: ¿Beneficios o pérdidas en la empresa?

Importancia de las finanzasLas finanzas son importantes porque a través de ella el directivo

financiero logra maximizar el bienestar de los accionistas; para lo cual maximiza el valor de mercado común de la empresa.

Flujo de tesorería entre los mercados de capitales y las operaciones de la empresa

Donde:

1. Incremento de la tesorería mediante la venta de activos financieros a los inversionistas.

2. Tesorería invertida en operaciones de la empresa, y utilizada para comprar activos financieros.

3. Tesorería generada por las operaciones de empresa.

4. a Tesorería reinvertida

4 .b Tesorería restituida a los inversionistas.

El mercado financiero

MERCADO FINANCIERO

MERCADO DE DINERO MERCADO DE CAPITALES

La función financiera en la empresaLa función financiera se ocupa de la obtención de los fondos necesarios

para la consecución de las metas de la empresa (objetivo "liquidez"), y del destino o empleo más eficiente de esos fondos para maximizar resultados (objetivo "rentabilidad").


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LIQUIDEZ Vs. RENTABILIDAD

El sistema financiero de la empresaEl diseño del Sistema Financiero de la empresa, se muestra en el gráfico.

Se puede observar que a fin de cumplir con sus objetivos (que son los de la empresa), el ejecutivo tiene que planificar sus acciones, que no es otra cosa que integrarlas a la planificación de la empresa.

Estos planes, traducidos a nuevos soles, se convierten en el presu-puesto empresarial que es el resultado de los Presupuesto de Operación de la empresa en un periodo determinado y su traducción a estados financieros proyectados (Presupuesto Financiero).

Se debe controlar periódicamente el presupuesto y su ejecución con el fin de corregir errores y ajustar nuevamente el presupuesto

El aspecto financiero (disponibilidad de fondos) y el aspecto econó-mico (obtención de beneficios) son los dos importantes problemas que continuamente debe resolver el ejecutivo financiero en la empresa.

Consecuente con el objetivo rentabilidad, la dirección financiera deberé programar la adecuada utilización de los fondos disponibles a efectos de maximizar la tasa de remuneración del activo (rentabilidad global de la empresa) y definir la composición de las fuentes de financiación, opti-mizando la estructura del capital con el objeto de maximizar la tasa de remuneración del capital propio (tasa de beneficio de los propietarios).

Consecuente con el objetivo liquidez, deberá plantear el flujo de fon-dos teniendo en cuenta los principales ingresos de caja: capital social, endeudamiento, ventas al contado, cobro de créditos concedidos, etc., y los principales egresos de caja: adquisición de bienes, gastos de des-envolvimiento de todo el proceso (sueldos, gasto de producción, gastos de ventas, administración, financieros, etc.).

Quien maneja fondos debe decidir qué hacer con ellos; es decir, en qué tipo de activo emplearlos, para lo cual tiene una infinidad de posibi-lidades: desde dejarlos disponibles en caja o bancos hasta inmovilizarlos en bienes de uso.

Si se mantienen los fondos en efectivo se favorecerá la liquidez, pero ello no favorecerá la rentabilidad.

Si se invierten los fondos en bienes de uso, puede perjudicarse la liquidez, o por lo menos ello no será fuente inmediata de liquidez.

Estas situaciones se presentan en la empresa en todo momento, por lo que la "función financiera" está continuamente ante ese conflicto conocido como la alternativa.


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Se pone en marcha el presupuesto y, en su ejecución, se realiza la ge-neración (ingresos) y utilización (egresos) de fondos por la empresa.

Periódicamente, se recomienda hacer cada mes, el control para verifi-car si lo que se había planificado se está cumpliendo o se deben corregir errores y ajustar nuevamente los presupuestos.

Para el control financiero, el ejecutivo está prevenido de una serie de instrumentos que le van a permitir recomendar los ajustes indicados.

La línea punteada nos indica que el control realizado ha dado como respuesta la necesidad de efectuar correcciones y ajustes en los planes, y lógicamente, en los presupuestos, para poder continuar la operación de la empresa para el siguiente período.

Como se puede apreciar, el proceso es continuo y el sistema es cerrado y permite los ajustes necesarios.

Gráfico: el sistema financiero de la empresa


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Estructura del sistema financiero nacional


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Estructura del mercado de valores en el Perú (*)

*Según el Decreto Legislativo Nº 861

MECANISMOS, OPERACIONES E INSTRUMENTOS EN EL MERCADO DE VALORES

MECANISMOS OPERACIONES INSTRUMENTOS

RUEDA - Al Contado - Acciones Comunes - Al Plazo - Acciones de Trabajo

- De Reporte - Bonos - Certificados de Suscripción Preferente

MESA DE NEGOCIACION - Al Contado - Bonos (Públicos y Privados) - A Plazo - Certificados Diversos - De Reporte - Acciones no Inscritas - Doble Contado-Plazo - Letras Hipotecarias - Instrumentos de Corto Plazo (*)

MESA DE PRODUCTOS - Sport - Certificados de Depósitos de Productos - Futuro

(*) Aceptaciones bancarias, pagares bancarios, certificados del Banco Central de Reserva del Perú. Letras avaladas, letras simples (aceptadas y giradas)


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Estructura reguladora del sistema financiero nacional


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Herramientas y aplicaciones del análisis financiero empresarial


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17

CAPí

TULO

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Tasas, índices y porcentajesTanto por Ciento (T)

Se llama tanto por ciento al número considerado por cada ciento. Expresa centésimos de una cantidad cualquiera.

100PTC

Por ejemplo:

a. El a % = a / 100

b. El 5% = 5/ 100

c. El 6.5% = 6.5/ 100

d. El 12 ¼% = 12.25/ 100

Tasa Es el tanto por ciento expresado en tanto por uno.

rCPó100

TCP


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Por ejemplo:

a. El 12% = 12/ 100 = 0.12 En tasa.

b. El ¾% = 0.75 /100 = 0.0075 En tasa.

Problemas de aplicación de tanto por cientoLa producción de la Corporation IBM USA es de 8 millones de PC’s de

Pentium en el año 2005, en el año 2006 fue de 12.5 PC’s. ¿En que tanto por ciento se incremento en producción en el año 2006?

Por regla de tres:

PC’s 8’ ----------------- 100 % 4.5’ ----------------- X %

X = 4.5 * 100 = 56.25 % 8

Un inversionista a invertido $50 000 en la Bolsa de Valores de Lima en cierto tipo de títulos de valores y le queda en efectivo $120 000 ¿Qué tanto por ciento ha invertido de su Capital?

Por regla de tres:

$170 000 ----------------- 100 % $50 000 ----------------- X %

X = 50 000 * 100 = 29.41% 170 000

Porcentaje (P)Se llama porcentaje al resultado del cálculo de un tanto por ciento de

una cantidad cualquiera.

Por ejemplo:

a. El 4½ % de 5000 = S/. ......................

b. El 0.78 % de 12500 = S/. .....................

Problemas de aplicación de porcentajeUn agente vendedor de VOLVO gana el 2.5% de comisión sobre sus

ventas.¿Cual es la ganancia al vender un camión GX – 2000 en $150 000?


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$150 000 ----------------- 100% X ----------------- 2.5%

X = 150 000 * 2.5 = $3750 100

En la especialidad de C.I. se cuenta con 3000 alumnos, el 60% son hombres y el resto mujeres ¿Cuál es el numero de mujeres?

Por regla de tres:

Alumnos 3000 ----------------- 100% X ----------------- 40%

X = 3000 * 40 = 1200 mujeres 100

Problemas de aplicación del calculo de la baseRoberto Palacios compra una Pentium IBM al contado y obtiene una

rebaja de $32.50 ¿Cuál es el precio de venta de la PC si la rebajaron 5%?

Por regla de tres:

$32.50 ----------------- 5% $X ----------------- 100%

X = 32.50 * 100 = $650 5

El Grupo IDAT ha hecho una compra de PC’s Pentium IV IBM, ha-biendo recibido un lote de 50 unidades. Si todavía le falta entregar al instituto el 70%. ¿A cuantas unidades asciende el pedido?

Por regla de tres:

PC’s 50 ----------------- 30% X ----------------- 100%

X = 50 * 100 = 167 PC’s 30

Tejidos San Cristóbal produce diariamente camisas el 40% Small, el 20% médium, el 10% large y 1800 camisas XL. ¿Cuántas camisas pro-ducen en total diariamente?. Y ¿Cuántas camisas de cada talla?

Por regla de tres:


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Camisas 1800 ----------------- 30% X ----------------- 100%

X = 1800 * 100 = 6000 Camisas 30

Small : 0.40*6000 = 2400 Medium : 0.20*6000 = 1200 Large : 0.10*6000 = 600 XL 1800 TOTAL : 6000 Camisas

Elementos que intervienen en el tanto por ciento- Base.- Que es una cantidad cualquiera: C

- Tasa.- Es el número de centésimos de la base:

- T: en forma fraccionaria

- r: en forma decimal

- Porcentaje.- Es el resultado o total de centésimos sobre una can-tidad cualquiera: P

0

1

0

1100

t

t t

t

t

t

QJQ

QJQÍndice

Es un indicador que plantea una comparación, y expresa la variación de una variable hecho o fenómeno, ya sea en el tiempo o en el espacio res-pecto de un punto o momento de referencia llamado: Base de índice.

Los índices se expresan frecuentemente en términos porcentuales, e indican el comportamiento de una variable en forma más apropiada.

0

1

0

1100

t

t t

t

t

t

QJQ

QJQ

Índices de Base Fija0

1

0

1100

t

t t

t

t

t

QJQ

QJQ

Índices de Base Variable

Por regla de tres:


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Problemas de aplicación de índicesSobre la base de los datos de la Exportación de Productos Tradicionales

en el Perú, para el período Septiembre 2005 al mes de Septiembre 2006, expresados en millones de US dólares. Se pide calcular: a) Índices de base Septiembre 2005 =100, b) Índices de base Febrero 2006 =100, c) Índices de base variable.

Mes Millones deUS $

Índice de Base Fija

(Sep-05 = 100)

Índice de Base Fija

(Feb-06 = 100)

Índice de BaseVariable

Sep-05 1,127.74 Oct-05 1,070.27 Nov-05 1,122.55 Dic-05 1,566.35 En-06 1,050.44 Feb-06 1,101.25 Mar-06 1,321.88 Ab-06 1,419.11

May-06 1,494.32 Jun-06 1,609.59 Jul-06 1,871.46 Ago-06 1,494.97 Sep-06 1,760.57

Fuente: BCRP- Boletín Mes de Septiembre 2006

Porcentaje sucesivoSon los porcentajes que se obtiene sucesivamente.; tantos por ciento

de aumento o disminución, que se suman o restan respectivamente a una cantidad base.

Ejemplo:

El precio de costo de una PENTIUM IV IBM es de $ 1000 , y se recarga con el 15% y el 10%, y al venderse dicha PC se le hace una rebaja del 17%. ¿Cuál es el precio de venta de la PC?

Método I

Precio de costo $ 1000.00 Más el 15% 150.00 Sub total 1 1150.00 Más el 10% 115.00 Sub total 2 1265.00 Menos el 17% 215.05 Precio de venta $ 1049.95

0

1

0

1100

t

t t

t

t

t

QJQ

QJQ


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Método II

Precio de venta: $ 1000*1.15*1.10*0.83 = $ 1049.95

0

1

0

1100

t

t t

t

t

t

QJQ

QJQ

Porcentajes equivalentesEs el resultado de una política de recargos y rebajas que utiliza una

empresa para hacer creer que al comprador se le hace “extraordinarios descuentos”. Consecuentemente “no hay variación”.

Ejemplo:

Con los datos del ejemplo anterior, halle el porcentaje equivalente correspondiente a los aumentos y descuentos considerados.

1001n100

T100.......T100T100T100TE n321

3 1

(115 *110 * 83) 100 4.995%100

TE

Porcentaje sobre el precio de costo y el precio de venta

Se utilizan estos porcentajes en la actividad comercial compra - venta, para ver cuánto de rebaja puede hacerse sobre el precio de venta para hallar el precio de costo o también ¿cuánto debe aumentarse al precio de costo para hallar el precio de venta de un artículo determinado.

Sabemos que:

GPCPV

Fórmulas a utilizar:

)100()(

)100()(

)100()100(

)100()100(

TTPV

GTTPC

GT

PCPV

TPV

PC

)100()(

)100()(

)100()100(

)100()100(

TTPV

GTTPC

GT

PCPV

TPV

PC


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Problemas de aplicación sobre el precio de costo y el precio de venta

Un artículo es vendido en $ 3 000 ganando el 10%. Halar el precio de costo.

Por regla de tres:

$3 000 ----------------- 110% X ----------------- 100%

X = 3 000 * 100 = $2,727.27 110

¿En cuánto debe venderse una Pc que tiene un costo de $ 1000, para ganar el 25 del precio de venta?

Por regla de tres:

$1 000 ----------------- 75% ....... (100% -25%) X ----------------- 100%

X = 1 000 * 100 = $1,333.33 75

Precio de listaEs aquel que relaciona el precio de costo de una mercadería con su

precio de venta, y fija una ganancia sobre sus inversiones; recarga una utilidad funcional al precio de venta para obtener el precio de lista.

Esto permite hacer rebajas y obtener la utilidad fijada de antemano, sin perjuicio para el comerciante.

Fórmulas a utilizar:

)1(´)1(

)'1()1(

tt

PlPCtt

PCPl

Donde:

Pl : precio de lista. Pc : precio de compra. t : tasa de recargo sobre el precio de venta. t´ : tasa de rebaja sobre el precio de venta.


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Problemas de aplicación sobre el precio de listaHallar el precio de compra de un artículo que tiene un precio de lista

de $ 1500 y que esta con un recargo del 25% y se vende al público con una rebaja el 15%.

00.020,1$25.0115.01*1500Pc

Hallar el precio de costo de una Pc sabiendo que se vende con una rebaja del 10%, y se obtiene una ganancia neta del 20%., teniendo un precio de lista de $ 2500.

00.875,1$20.0110.01*2500Pc


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CAPí

TULO

3

Diagramas de tiempo - valor y flujo de caja

En la evaluación de inversiones, los flujos de efectivo, sean ingresos o egresos, pueden originarse en cualquier instante de un horizonte de tiempo determinado.

Sin embargo, para facilitar los cálculos, se considerará que todos los flujos ocurridos en su período de tiempo han sucedido al final de ese período. Estos flujos suelen presentarse en el denominado diagrama de tiempo - valor en la cual quedan registradas los ingresos, egresos, el sentido del tiempo (considerando el presente como el momento O), La tasa de evaluación y la incógnita a resolver.

Ejemplo 1:

Representar el diagrama de flujo de caja para una empresa que hoy tiene deudas de s/. 8 000 y s/.7 000 vencidas hace 30 y 60 días cada una respectivamente y además debe cancelar un préstamo en 3 cuotas mensuales de s/. 5 000 cada una. Las cuales vencen dentro de 30, 60 y 90 días respectivamente.

Solución:

7000 8000 5000 5000 5000

-60 -30 0 30 60 90 días

Por el valor cronológico del dinero a través del tiempo, no pueden efectuarse sumas o restas de flujos de efectivo ubicados en diferentes momentos de un horizonte temporal, ya que cada uno de ellos tiene un


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poder adquisitivo diferente, es decir, representan cantidades nominales, cuya comparación para efectos de cálculo debe efectuarse en una deter-minada fecha focal (fecha de evaluación). Para trasladar estas cantidades del momento en que se encuentran hasta la fecha focal, es necesario utilizar una tasa apropiada (de interés, de inflación, etc.).

Diagrama de flujo de cajaEl flujo de caja es el resultado de ingresos y desembolsos de efectivo

en un intervalo de tiempo dado, pudiendo ser evaluado en cualquier instante del tiempo en forma neta como la diferencia entre las entradas y los desembolsos:

FLUJO DE CAJA NETO- ENTRADAS DE EFECTIVO-DESEMBOLSOS DE EFECTIVO

Si los flujos de caja los representamos en un diagrama de tiempo valor lo convertimos en un diagrama de flujo de caja con las siguientes particularidades:

- Convención de fin de período: como los flujos de caja son el re-sultado de una corriente de ingresos y pagos de efectivo, para efectos de evaluación se considerará que ellos ocurren al fin de un período de interés.

- El tiempo o momento 0 corresponde al presente y el momento 1 el final de un período de interés. Se escogerá una unidad de tiempo conveniente:

Mes, trimestre, semestre, año, etc. La tasa de interés debe coincidir con la unidad de tiempo. Un determinado momento futuro se expresará con un número positivo, mientras que un determinado momento pasado se expresará con un número negativo.

- Son flujos de caja positivos: los ingresos, las utilidades, los beneficios, las rentas percibidas, etc.

- Son flujos de caja negativos: las inversiones, los desembolsos, los costos, los gastos, las rentas pagadas, etc.

- Los flujos de caja positivos serán indicados con flechas hacia arriba y a la inversa, los flujos de caja negativos serán indicados con flechas hacia abajo.

- Los diagramas de flujo de caja en algún punto de evaluación pueden ser presentados en forma bruta (ingresos y egresos) o en forma neta (ingresos- egresos).


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- Las representaciones de los flujos de caja pueden ser efectuados desde el punto de vista de la entidad financiadora o del prestatario, de acuerdo a la característica del problema.

Ejemplo 2

Represente en un diagrama de flujo de caja neto la siguiente informa-ción : A fines del año 1994 hemos comprado una camioneta en $6 000 la cual ha tenido un costo de mantenimiento anual de $500 durante 3 años y al final de su tercer año de vida efectuamos su venta por $2 000.

Solución:

Año Entrada Desembolsos Flujo de caja1994 0 6 000 - 6 0001995 0 500 -5001996 0 500 -5001997 2 000 500 1 500

1500 91 92 93 94

0 1 2 3 días

Ejemplo 3

Dibuje un flujo de caja que muestra ingresos de s/. 1 000, 5 000, y 2 000 en los momentos 0.1 y 5 respectivamente y un egreso de s/. 4 000 en el momento 3.

Solución:

1000 5000 2000

0 1 2 3 4 5 años 4000

Flujo de caja convencionalConsiste en un desembolso inicial seguido de una serie de ingresos

de efectivo. Por ejemplo: una empresa puede invertir hoy s/. 8 000 y pronosticar entradas de efectivo de s/. 4 000 al final de los próximos cuatro trimestres.

4000 4000 4000 4000

0 1 2 3 4 trim 8000


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Flujo de caja no convencionalEs cualquier patrón de flujo de caja, en el cual a un desembolso inicial

le siguen entradas y desembolsos intermitentes. Ello puede suceder, por ejemplo, en la compra de un activo fijo que requiera un desembolso de efectivo de s/. 10 000 y generar entradas de s/. 15 000 durante dos años: en el tercer año necesita una reparación evaluada en s/. 4000, durante las cuales sigue generando ingresos de s/. 15000 durante el cuarto y quinto año.

15000 15000 15000 15000

0 1 2 3 4 5 años 1000 4000


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CAPí

TULO

4

El valor del dinero en el tiempo: el interés simpleEl valor del dinero en el tiempo

El dinero tiene un valor en el tiempo, debido a que el poder de compra o poder adquisitivo de un Nuevo Sol cambia a lo largo del tiempo.

El hecho de que el dinero tenga un valor en el tiempo, significa que iguales cantidades de nuevos soles, en distintos puntos en el tiempo tienen diferente valor, siempre y cuando la tasa de interés a la cual se descuenta sea mayor que cero.

InterésSe llama interés a la utilidad o ganancia producida por un préstamo,

depósito o inversión; mediante una operación: comercial, bancaria o financiera.

La tasa de interés que se paga por una suma de dinero se expresa generalmente como el porcentaje que debe pagarse por su uso durante un periodo de tiempo. Existen dos tipos de interés: el interés simple y el interés compuesto.

- Interés Simple.- Cuando la ganancia obtenida se calcula entre la fecha de inicio de la operación, y la fecha de liquidación fijada al préstamo o inversión toma el nombre de INTERÉS SIMPLE.


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- Interés Compuesto.- Cuando la ganancia se calcula al final de cada periodo (años, semestres, etc.), y luego se suma al capital para formar uno nuevo y por consiguiente mayor, se seguirá produciendo utilidades en el periodo siguiente, entonces se llama: INTERÉS COMPUESTO.

Interés simpleElementos que intervienen en el cálculo

a. Capital.- Es la cantidad prestada, depositada o invertida: P

b. Tiempo.- Es el periodo mediante el cual se ha prestado el capital, depositado o que permanece invertido; lo cual representamos por n* Cada una de las subdivisiones del año lo representamos por m. y cada uno de los períodos lo representamos por n.

Periodos Semestres Trimestres Cuatrimestre Bimestre Meses Quincenas Semanas Díasm 2 3 4 6 12 24 52 360

c. Tasa (Tipo de interés o Tanto por ciento).- Es la ganancia estable-cida por cada 100 soles de capital en la unidad de tiempo; la cual puede ser: anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal, semanal o diaria.

Se representa literalmente por “i” o “T”

Calculo del interés simple

*.. niPI

Interés simple con variaciones en las tasas de interés

Cuando la tasa de interés dada no es anual, para poder emplear la formula basta convertir dicha tasa.

Por ejemplo:

a. 3% mensual = 36% anual.

b. 4% bimestral = 24% anual.

c. 4.25% semestral = 8.5% anual.


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Monto capital stock final o valor futuro- Monto (S).- Es la suma del capital o stock inicial (P) mas los inte-

reses.

).1( *niPS

- Capital (P).- Es la suma restada depositada o invertida, Llamada también capital inicial, stock inicial o valor presente.

*1/1 inSP

- Stock Futuro Valor futuro (M).- Es el valor inicial o capital inicial llevado al futuro.

Interés simple Interés Simple.- La relación fundamental es:

Interés Stock inicial en efectivo Tasa de interés Horizonte temporal I = (P. i) n

Donde (i ) es UN COCIENTE, para el AÑO, Mes o DÍA, según el caso y expresa en TANTO POR UNO.

Así, suponemos que se desea calcular el interés (i) por un capital de S/. 1’000,000 en 2 años a la tasa del 85% anual:

Primera forma de cálculo Segunda forma de cálculo

I = 1'000,000 x 0.85 x 2 I = S/. 1'700,000

I = 1' 000, 000 x x 2

I = S/. 1'700,000

85100

Otro ejemplo (Con meses)

Calcular el interés (i) por un capital de S/. 2'000,000 en 5 meses a la tasa del 96% anual:

Primera forma de cálculo Segunda forma de cálculo Tercera forma de cálculo

I = 2'000,000 x 0.08 x 5I = S/. 800,000

I = 2'000,000 x x 5

I = S/. 800,000I = 2'000,000 x x 5 S/. 800,000

0.9612 96

1200


32

Ultimo ejemplo (con días)

Calcular el interés (i) por un capital de S/. 1'500,000 en 46 días a la tasa del 99% anual.

Primera forma de calculo Segunda forma de cálculo Tercera forma de cálculo

I=1'500,000 x 0.0025 X 46 i = s/. 172, 500

I = l'500,000 x x 46

I = s/. 172,500

I=l'500,000 x x46

i = s/. 172.500

0.90360

0.9036000

PREFERIMOS LA PRIMERA FORMA (Tasa en tanto por uno)

No memorice fórmulas para calcular (i), (n) (p)Sí usted sabe despejar, use la formula fundamental I = (P. i. n) y despeje.

Periodo de tiempo comprendido entre dos fechas

De acuerdo al sistema legal vigente, si una persona deposita y re-tira de su cuenta en un banco una determinada cantidad de dinero en el mismo día no habrá ganado interés alguno. Lo contrarío supondría percibir interés por horas, minutos, segundos, etc. situación que puede corresponder al cálculo del interés continuo y no contempla en el sis-tema financiero. Para percibir interés es necesario que el dinero haya permanecido en la institución financiera como mínimo un día, transcu-rrido entre dos fechas consecutivas, la primera de las cuales se excluye y la misma se incluye, operación conocida como el “método de los días terminales”. Por ejemplo un depósito efectuado el 3 de abril y retirado si 4 del mismo mes habrá percibido interés correspondiente a un día, contado del 3 al 4.

excluido incluido

3/4 4/4 1 dia

En el cálculo del período de tiempo comprendido entre dos fechas, para excluir el primer día podemos efectuar lo siguiente:


33

a. Depósitos y retiros producidos en el propio mes: restar al día deretiro el día de depósito. Por ejemplo, para un depósito del 3 de abril, retirado al 26 del mismo mes, se contabilizara 23 días (26 - 3 = 23).

b. Depósitos y retiros producidos en periodos que incluyen más de un mes: restar al numero de días del primer mes de los días transcurridos desde que se efectuó el depósito (incluido día) y adicionar los días de los meses siguientes incluyendo el día de retiro, Por ejemplo para un depósito del 26 de mayo, retirado el 7 de junio, se contabilizarás 12 días (5 de mayo y 7 de junio).

Ejemplo 1

¿Cuántos días de interés se habrá acumulado entre el 3 de junio y el 18 de septiembre del mismo año, fechas de depósito y cancelación de un importe ahorrado en un banco?

Solución:

MES DÍAS DÍAS TRANSCURRIDOS EN EL MES

JunioJulio Agosto Septiembre

30303130

27 excluye el 3 de junio (30 - 3 = 27) 31 incluye los 31 días31 incluye los 31 días18 incluye el 18 de septiembre-----

107 días

Año bancario según BCRPDe acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Perú,

el año bancario es un período de 360 días. El adjetivo anual y el término año cuando no estén asociados a fechas específicas, harán referencia a un año bancario. En general los siguientes términos harán referencia a los siguientes periodos de tiempo:

Termino Periodo en días

Año 360

Semestre 180

Cuatrimestre 120

Trimestre 90

Bimestre 60

Mes 30

Quincena 15

Día 1


34

Número de unidades de tiempo en un año bancario

Unidad Número

Año 1

Semestre 2

Cuatrimestre 3

Trimestre 4

Bimestre 6

Mes 12

Quincena 24

Día 360

Ejemplo 2

Si la tasa anual de interés simple es del 18% anual. ¿Cuál será la tasa para el periodo comprendido entre el 1 de enero de 1995 y el 1 de enero de 1996?

Solución:

Entre las fechas referidas han transcurrido 365 días, Por regla de tres simple:

18% ————————————— 360 días x% ————————————— 365 días

x = 18.25 %

Ejemplo 3

El interés simple de un capital inicial de S/. 1 000 colocado durante un año a una tasa del 24% anual puede calcularse alternativamente con diferentes tiempos y tasas proporcionales.

Solución:

Años I = 1 000 x 0,24 x 1 = 240Semestres I = 1 000 x 0,12 x 2 = 240Cuatrimestres I = 1 000 x 0,08 x 3 = 240Trimestres I = 1 000 x 0,06 x 4 = 240Bimestres I = 1 000 x 0,04 x 6 = 240Meses 1 = 1 000 x 0,02 x 12 = 240Quincenas I = 1 000 x 0,01 x 24 = 240Días I = 1 000 x 0,0006 x X 360 = 240


35

Variaciones en la tasa de interés

Cuando en el mercado se producen variaciones de tasas, la fórmula debe modificarse para incluir dichas variaciones durante los periodos de tiempo de vigencia de la tasa.

Siendo i1 , i2, i3, i4, .... , im las tasas de interés vigente durante n1, n2, n3, n4, ..... , nm periodos respectivamente, tenemos:

1144332211

44332211

............................{.......................

nininininiPInPinPinPinPinPiI mm

m

kkk niPI

1.

La fórmula calcula el interés simple con variaciones de tasa.

Inclusión y exclusión de días cuando se producen variaciones de tasas

¿Cómo debe calcularse el interés cuando se producen variaciones de tasa?

Supongamos que el 15 de junio, cuando la tasa de interés simple mensual fue 4%, una persona deposita en su cuenta de ahorros S/.10,000 y los retiró el 16 de junio, fecha en que la tasa subió a 5%. ¿Qué tasa de interés debe aplicarse al depósito?

i=4% i=5%

0 1 2 15/06 16/06 17/06 P=10,000

En el gráfico observamos que del 15 al 16 de junio la persona gano un día de interés a la tasa del 4%. La percepción de la tasa del 5% corresponderá a los depósitos efectuados a partir del día 16 de junio.


36

Ejemplo 1

Calcule el interés simple de un capital de S/.5000 colocado en una institución financiera desde el 3 de marzo al 15 de mayo del mismo año, a una tasa del 2% mensual.

Solución:

I = ? I = Pin P = 5000 I = 5000 x 0,02 x 73/30 i = 0,02 I = 243.33 n = 73 días

Ejemplo 2

¿Qué capital colocado a una tasa anual del 30% producirá un in-terés simple de S/.1000 en el periodo comprendido entre el 10 de abril y 30 de junio.

Solución:

P =? P = I/(in) I = 1000 P = 1000 / (0,30 x 72/360) i = 0,30 P = 16666,67 n = 72 días

Ejemplo 3

¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el finan-ciamiento a 45 días, sobre un articulo cuyo precio de contado es de S/. 2000 y al crédito sin cuota inicial será de S/.2300?

Solución:

I = ? i = I/(Pn) I = 300 i = 300 / (2000 x 45/30) P = 2000 i = 0,10 = 10% N = 45 días

Ejemplo 4

¿En cuánto tiempo podrá duplicarse un capital a una tasa de interés simple del 5% mensual?

Solución:

n =? n = I/(Pi) I = 1 n = 1/0,05 P = 1 n = 20 i = 0,05

Habiendo ingresado i mensual el resultado hallado para n es mensual.


37

Ejemplo 5

Calcular:

a. El interés simple de un depósito de ahorro de s/. 5 000 colocado en el Banco Norte del 6 de julio al 30 de septiembre del mismo año ganando una tasa anual de interés simple del 36%. La tasa anual bajó al 24% a partir del 16 de julio y al 21% a partir del 16 de septiembre.

b. Con la misma información calcule nuevamente el interés, con-siderando que el banco abona los intereses en la libreta de ahorros cada fin de mes (capitalización).

Solución:

a. Interés simple del 6 de julio al 30 de septiembre.

36% 24% 21%

6/7 16/7 16/9 30/9 10d 62d 14d n 86d

VARIACIÓN DE TASAS

A partir de I Días Acum.

6 Julio i1 36 % n1 10 10

16 Julio i2 24 % n2 62 72

16 Septiembre i3 21 % n3 14 86

30 Septiembre

Cálculo de interés simple del 6 de julio al 30 de septiembre.

I =5000[(0,36 x 10/360) + (0,24 x 62/360) + (0,21 x 14/360)] I = 5000 [0,0595] = 297,5

b. Interés simple del 6 de julio al 30 de septiembre1 con abono de interés cada fin de mes.

Cuando los intereses simples se abonan mensualmente como lo hacen los bancos para los depósitos de ahorros, éstos se capitalizan y sobre los nuevos capitales se calculan los intereses simples.


38

Julio I = 5 000 [0, 36 x 10/360 + 0,24 x 15/360] = 100 Agosto I = 5 100 [0,24 x 31/360] = 105.40 Septiembre I = 5 205,4 [0,24 x 16/360 + 0,21 x 14/360] = 98.04

Interés Total = 100 + 105.40 + 98.04 = 303,44

A partir de / a i Días

6 de Julio / 16 de Julio 36 % 10

16 de Julio / 31 de Julio 24 % 15

31 de Julio / 31 de Agosto 24 % 31

31 de Agosto / 16 de Septiembre 24 % 16

16 de Septiembre / 30 de Septiembre 21 % 14

30 de Septiembre 86

El conjunto de estas operaciones a interés simple constituye una de interés compuesto.

I = P1 in1 + P2 in2 + P3 in3 + ……. + P mm in ( 1 )

Cada sumando de la expresión anterior representa una operación de interés simple, donde:

Los numeralesVariaciones en el principal (numerales)

Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc., cambia constantemente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el cálculo del interés simple se efectúa usando numerales, Numeral es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número 36 días de permanencia de ese saldo sin movimiento. A una fecha determinada (fin de mes, trimestre, etc.) se obtiene el interés simple multiplicando la sumatoria de los numerales por la tasa diaria de interés.

La siguiente ecuación muestra el movimiento de una cuenta de ahorros durante un período de tiempo:


39

P1, P2, P3, …… son saldos del capital original. n1, n2, n3, ……. son saldos días de permanencia de los saldos P1, P2, P3 …

De ( 1 ) :

I = i [ P1 n1 + P2 n2 + P3 n3 + P4 n4 + ……. Pm inm

Cada sumando de la expresión entre corchetes es un numeral.

m

kkk npiI

1.

La fórmula calcula el interés simple aplicando numerales.

Ejemplo

Una persona abre una libreta de ahorros el 1 de junio con S/. 1 100 y efectúa a partir de esa fecha durante todo el mes de junio las operacio-nes detalladas en el cuadro siguiente. ¿Qué interés habrá acumulado al 01de julio, si la tasa mensual de interés simple fue del 4%?

Depósitos Retiros

1 junio 1,1006 junio +20010 junio +10023 junio +6026 junio +48028 junio +100 Al 01 de Julio

4 junio -18 junio -27 junio -

150 300 630

Solución:

P1 = 1100 n1 =3 (4 – 1) I = 0.04/30[(1100 x 3) + (950 x 2) + (1150 x 4) + (1200 x 8) + (950 x 5) + (1010 x 3) + (1490 x 1) + (860 x 5) + (960 x 3)]

I = 0,04/30 [32,810] I = 0,001333333 x 32810 I = 43.75

(1 100 – 150) P2 = 950 n2 =2 (6 – 4) ( 950 + 200) P3 = 1150 n3 =4 (10 – 6) (1 150 – 100) P4 = 1250 n4 =8 (18 – 10) (1 250 – 300) P5 = 950 n5 =5 (23 – 18) ( 950 – 60) P6 = 1010 n6 =3 (26 – 23) (1 010 – 480) P7 = 1490 n7 =1 (27 – 26) (1 490 – 630) P8 = 860 n8 =3 (28 – 27) ( 860 – 100) P9 = 960 n9 =3 (01/07 – 25/06


40

Día D/R Importe

MovimientoSaldo acreedor(Pm)

Días(nm)

∑ kk nP .Numeralesacreedores

DEBE(Cargar / Retiro)

HABER(Deposito / Abonar)

01.0604.0606.0610.0618.0623.0626.0627.0628.06

DRDDRDDRD

1 100,0150,0200,0100,0300,060,0480,0630,0100,0

0,0150,00,00,0300,00,00,0630,00,0

1 100,00,0200,0100,00,060,0480,00,0100,0

1 100,0950,01 150,01 250,0950,01 010,01 490,0860,0960,0

324853113

3 3001 9004 60010 0004 7503 0301 4908602880

01.07 Totales 30 32 810

Multiplicador fijo 10,04/30 x 32810 = 43.75 ( ∑= kK iPiI )

01.07 1 43,75 0,0 43.751003.75S=P+IS=960+3.75S=1 003.75

Cálculo del interés simple a través de numerales

D = Deposito, R = Retiro; I = Interés

Procedimiento bancario de cálculo de interés simple a través de numerales1. Registramos los depósitos y retiros de ahorros, abonando o car-

gando respectivamente en la columna Movimiento y establécenos los saldos acreedores de acuerdo a las fechas en que se hayan efectuado estos movimientos.

2. Registramos los días de permanencia de la cuenta con ultimo movi-miento. Por ejemplo, el saldo inicial acreedor de S/.l 100 ha permanecido tres días con dicho importe, desde el 1 al 3 de junio inclusive, ya que a partir del día 4 la cuenta registra un nuevo saldo acreedor de S/.950.

3. Calculamos los numerales: multiplicando los saldos acreedo-res Pk por los días nk que la cuenta ha permanecido con ese saldo, y obtenemos la sumatoria de las operaciones acumuladas durante el mes; incluyendo el último día del mes, esta cantidad así obtenida de S/.32 810 viene a representar los numerales que servirán para el cálculo del interés.

4. Hallando el interés del mes, multiplicando la tasa diaria por los numerales acreedores:


41

Interés = (0,04 / 30) (32 810) = 43.75

El importe de S/.43.75 es el interés ganado por el ahorrista durante el mes de junio y está disponible a partir del primer día útil del mes siguiente.

Cuando la institución financiera abona los intereses del mes en la libreta de ahorros como el desarrollado en el presente ejemplo, se está produciendo el proceso de capitalización, combinándose el interés simple con el interés compuesto.

Numerales con variaciones de tasasCuando existen variaciones de tasas, el calculo del interés simple a

través de numerales debe efectuarse por tramos durante los periodos de tiempo que la tasa tuvo vigencia. Se muestra su aplicación a través del siguiente ejemplo.

Ejemplo

El 1 de septiembre cuando la tasa mensual era de 3%, una persona abrió una libreta as ahorros con un importe de S/. 2 000 y a partir de esta fecha efectuó los siguientes depósitos: S/.500, 300 y 400 el 6, 9 y 20 de septiembre; asimismo retiró : S/.600 y 200 el 6 y 25 del mismo mes. Si la tasa bajó al 2% a partir del 16 de septiembre y la entidad financiera abona los intereses simples en la cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente, ¿Cuál es el importe disponible del cliente el 1 de octubre?

Solución:

Cálculo de interés simple con variación de tasas a través de nume-rales.

DíaDRI

Importe

Movimiento (Pk) Saldo acreedor(Haber – Debe)

Días(nk)

NumeralesAcreedores(Pk - nk)

TasaDiaria(ik)

InterésDebe Haber

01.0906.0906.0909.0916.0920.0925.09

DDRDCDR

2 0005006003000400200

006000000200

2 000500030004000

2 0002 500 1 9002 2002 2002 6002 400

5037456

10 0000-5 70015 4008 80013 00014 400

0,001000,001000,001000,001000,000660,000660,00066

10,000,005,7015,405,878,679,60

01.10 Totales 30 55.2601.10 I 55.24 0.0 55,24 2 455,24

D = depósito; R = retiro; I = interés; C = cambio de tasa


42

Lista de fórmulas a interés simple

*PinI …………………………………………………. (1) Interés Simple

*inIP …………………………………………………. (2) Capital inicial

*PnIi …………………………………………………. (3) Tasa de Interés

PiIn …………………………………………………. (4) Tiempo

1**

kknikPI

…………………………………………. (5) Interés simple con

Variaciones de tasas

*)*.........*2*2*1*1( nkikniniPI1PS …………………………………………………. (6) Monto

*)1( inPS (7) Monto

*1/

nPSi …………………………………………………. (8) Tasa de interés

iPSn 1/* …………………………………………………. (9) Tiempo

*).........3*32*21*11( iknknininiPS ……………. (10) Monto con variaciones de tasas

*)*....*3*3*2*2*1*11 nkiknininiSP (11) Valor Presente

con variación de tasas

*)]1/(1[ inSP ……………………………………………. (12) Capital Inicial


43

Problemas de interés simpleI. Interés simple

1. Hallar el interés simple de S/.5.000 colocados durante 7 días al 38% anual.

2. ¿De qué interés simple podrá disponer el 20 de Junio, si el 17 de Mayo se invirtió S/. 6,000 a una tasa anual del 24%?

3. Cuál es el interés simple de S/.4.000 en 9 meses al 40% anual?

4. ¿Cuánto habrá ganado un capital de S/.l 1.000 en 1 año, 2 meses y 26 días al 24%. anual de interés simple?

5. Calcular el interés simple de S/.2.000 al 2.5% mensual desde el 12 de Marzo al 15 de Junio del mismo año.

Principal

6. ¿Qué capital colocado el 30% anual ha producido S/.400 de interés simple al termino de 18 semanas?

7. ¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/.900 en tres trimestres al 27% anual?

8. Si deseo ganar un interés simple de S/.4.000 en el periodo comprendido entre el 5 de Julio al 31 de Agosto, ¿qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa mensual del 5%?

Tasa

9. ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual aplicada para que un capital de S/. 9,000 colocado a 3 años y 6 meses haya ganado S/. 7,000?

10. Un capital de S/. 3,000 ha producido un interés de S/. 70 durante 38 días, calcule la tasa anual de interés simple.

Tiempo

11. ¿En qué tiempo podré triplicar un capital a una tasa mensual de interés simple del 6%?

12. ¿En qué tiempo podrá quintuplicarse un capital colocado a interés simple percibiendo una tasa trimestral del 20%?

13. Durante qué tiempo habrá estado impuesto un capital de S/. 20,000 al 30% anual, si el interés simple producido es de S/.500.


44

14. Un capital de S/. 12,000 ha producido S/. 541,68 de interés simple al 12,5%. Determinar el tiempo de la operación.

15. Por cuánto tiempo ha estado impuesto un capital de S/10 000 para que a la tasa del 2% de interés simple mensual haya producido un interés de S/. 2000?

Interés simple con variaciones de tasas

16. ¿Que interés simple habrá ganado una inversión de S/ 6,000 colocada del 16 de abril al 30 de agosto del mismo año a una tasa mensual del 5%, la misma que vario el 19 de Mayo al 3.5% y posteriormente al 3% el 19 de agosto? ¿Cuál es la tasa acumulada? ¿Cuánto es el interés total en dicha operación?

17. Se ha suscrito un contrato de crédito por S/ 12,000 para pagarlo dentro de 12 meses con interés simple, a una tasa del 36% anual y sujeta a las variaciones del mercado. Si al vencimiento de dicho contrato las tasas mensuales fueron 36.5% durante 2 meses, 34% durante 3 meses, 37% durante 4 meses y 38.5% durante 3 meses ¿qué interés deberá cancelar al vencimiento del contrato? ¿Cuál es la tasa acumulada?

18. Una deuda de S/. 14,000 contraída el 15 de Julio para ser cancelada el 15 de Agosto, y pactada originalmente a una tasa anual de interés del 25%, sufre las siguientes variaciones a partir de las siguientes fechas: día 24 de Julio 3% mensual, día 26 de Julio 8% trimestral, día 5 de Agosto 6% semanal. ¿Qué interés se pagará al vencimiento?

Numerales

19. Una cuenta de ahorros abierta el 5 de Mayo con un depósito inicial de S/. 600 tuvo en ese mes el siguiente movimiento: Día 8, depósito dé S/. 200; día 18, retiro de S/. 500: día 24, depósito de S/. 600; día 24, retiro S/. 300. ¿Qué interés simple se acumula en 30 de Mayo percibiendo una tasa anual del 26%?

20. El 3 de Julio se abre una nueva cuenta de ahorros con S/. 3,000 y se efectúa depósito de S/. 600 y S/. 400 los días 9 y 17, y un retiro de S/.300 el día 27 de Julio. La tasa anual pactada fue de 30%, la cual bajo al 28% a partir del 17 de Julio. ¿Cuál fue el interés simple acumulado y cuál es el saldo disponible al 2 de Agosto?

21. Una cuenta de ahorros abierta el 3 de Marzo con S/. 1,500 ha tenido los siguientes movimientos:


45

03.03 depósito 1500 03.05 retiro 40005.03 depósito 230 06.05 retiro 10009.03 depósito 428 11.05 depósito 61525.03 retiró 100 17.05 depósito 38529.03 depósito 347 20.05 retiro 50006.04 depósito 861 02.06 depósito 14012.04 depósito 345 04.06 depósito 12315.04 retiro 500 08.06 depósito 61419.04 retiro 300 14.06 retiro 20027.04 depósito 128 18.06 retiro 5029.04 retiro 400 24.06 retiro 200

Si la entidad financiera abona los interés simples en la cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente, y la cuenta es cancelada el 1 de Julio. Calcule el importe disponible para el cliente de esa techa:

a. Utilizando una tasa anual del 49%.

b. Utilizando una tasa anual del 49%, la cual varió al 43% anual a partir del 17 de Abril y al 37% anual a partir del 1 de Junio.

Monto

22. Habiendo colocado en una cuenta de ahorros S/. 4,000 a una tasa anual de interés simple del 26%. cuánto se habrá acumulado:

a. Al cabo de 47 días.

b. Al cabo de 47 días abonado los interés al principal cada 30 días?

23. Un señor debía S/. 2,000 Conviniéndole retrasar la deuda por 16 días, acepto pagar un interés simple del 2% diario. ¿Qué monto debería cancelar transcurrido dicho plazo?

24. ¿Cuál es el monto simple que ha producido un capital de S/. 6,000 del 7 de Mayo al 27 de Julio del mismo año a una tasa mensual del 3%?

25. El 26 de Julio, el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 6,000. Calcule su monto al 29 de Octubre aplicando una tasa mensual de interés simple del 4%, considerando que la entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin de mes.

Monto con variaciones de tasas

26. Una inversión de S/. 10,000 colocada a interés simple durante 6 meses rindió una tasa mensual del 4% anual y el último mes rindió una tasa del 13%. ¿Cuál fue monto acumulado?


46

27. Calcule el monto simple de un depósito de ahorro dé S/. 6,000 colocado el 10 de septiembre y cancelado el 2 de octubre. Las tasas anuales han sido: 32% a partir del 2 de septiembre, 30% a partir del 17 de septiembre y 27% a partir del 2 de octubre.

28. Un articulo cuyo precio de contado es S/. 3,000 se vende con una cuota inicial de S/. 900 y, sobre el saldo cancelare dentro de 90 días, se cobran las siguientes tasas: 25% anual durante 7 días, 2% diario durante 14 días, 15% semestral durante 16 días, 10% trimestral durante 26.

¿Que monto simple deberá cancelarse al vencimiento del plazo?

Tasas de interés

29. Una máquina tiene un precio al contado de S/. 6,000. La Empresa Ricky S.A. pacta con su proveedor adquirir la máquina pagando una cuota inicial de S/. 3.000 y el saldo dentro de 46 días devengando una tasa de interés simple del 4% mensual sobre el precio de contado. ¿Cuál rué la tasa mensual de interés simple que pagó Ricky S. A.?

30. Un paquete accionario es adquirido el 28 de Junio en S/. 25,000 y vendido el 29 de Julio, recibiéndose en esta fecha un importe neto de S/. 27,000. Calcule la tasa mensual de interés simple de la operación.

31. Un artefacto electrodoméstico tiene un precio al contado de S/. 4,000. pero puede adquirirse al crédito con una cuota inicial de S/. 2,000 y aceptando una letra de S/. 3,200 a 60 días. ¿Cuál es la tasa anual de interés simple cargada en este financiamiento?

32. ¿A qué tasa mensual un capital de S/. 12 000 se habrá convertido en un monto de S/. 14.000 si dicho capital original fue colocado a interés simple durante 4 meses?

33. Un articulo cuyo precio al contado es de S/.150 es vendido con "Tarjeta de Crédito" para pagar S/. 157,30 dentro de 44 días. ¿Qué tasa mensual de interés simple se cargó al crédito?

34. ¿A qué tasa mensual se invirtió un capital de S/.3 000 a interés simple de 22 de Mayo cuyo monto al 19 de Julio fue S/.3 500?

Tiempo

35. Un capital de S/. 6,000 se ha incrementado en un 16% por razón de interés simple al 26% anual, hallar el tiempo de la operación.


47

36. ¿En cuántos días la inversión de S/. 8,000 se convertirá en un monto simple de S/. 8, 933,34 percibiendo una tasa de rentabilidad anual de 26%?

37. En cuantos días se triplicarán un capital colocándolo a una tasa de interés simple anual de 24%

38. La Empresa Inka recibió en S/. 6,000 al 27 de Julio por el descuento de un pagaré con valor nominal de S/.6 500, cuya tasa anual de interés simple fue del 24%. ¿Cuál fue la fecha de vencimiento?

Valor presente

39. ¿Qué importe debe ser invertido a una tasa de interés simple del 26% anual para capitalizar S/. 6,000 dentro de 46 días?

40. Un departamento ubicado en la Av.Sucre de Pueblo Libre es ofertado para su venta planteándose la siguiente alternativas:

a. $ 17 500 al contado.

b. $ 10 000 al contado y el saldo a 60 días con una letra de $ 7700.

c. $9 000 al contado y el saldo con dos letras, una de $ 6 000 a 30 días, y otra de $ 4 000 a 60 días.

d. $ 7 000 al contado y el saldo con tres letras de $ 5 000 con vencimiento a 30, 60 y 90 días respectivamente.

Si un cliente dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede percibir una tasa anual de interés simple de 26%, ¿Cuál es la oferta más conveniente?

41. La suma de un capital y sus intereses simples generados desde el 29 de Julio al 30 de Diciembre de un mismo año, a una tasa del 3% mensual, es de S/. 25 000. Determine el capital original.

42. ¿Que capital fue colocado una tasa de interés del 30% anual el mismo que al cabo de 39 días se convirtió en S/.6.000?

43. Se ha colocado un capital a una tasa de interés simple del 5% trimestral, habiéndose convertido en cuatro meses en S/.3.500. ¿Cual fue el importe de ese capital?

44. Encuentre el capital invertido a una tasa del 5% trimestral durante 88 días ha producido un monto simple de S/.600

45. Cierto capital y sus intereses hacen un total de S/.3.000. Si la tasa aplicada ha sido del 5% cuatrimestral, habiendo estado el capital durante 7 meses, ¿Cuál ha sido el interés simple y el capital que lo producido?


48

46. Calcule el valor presente, al interés simple de una letra cuyo valor nominal es S/. 12.000, la misma que se vence dentro de 90 días.

Utilice una tasa anual de 48%.

47. Cuanto debe invertirse hoy, ha interés simple, para acumular S/.30.000 dentro de 120 días en una institución de crédito que paga una tasa de 35% anual.

Valor presente de un pagare incluyendo gastos

48. Calcular el valor presente de un pagare con un valor nominal de S/. 12,000 descornando racionalmente a interés simple faltando 45 días para su vencimiento. La empresa financiera cobra una tasa anual del 38% y además carga S/.15 de gastos, S/.10 de portes y efectúa una retención del 6% sobre el préstamo neto. Efectúe la liquidación.

Ecuaciones de valor equivalente a interés simple

49. El día de hoy una empresa tiene una deuda de S/, 10,000, la misma que vencerá dentro de 40 días y otra deuda de S/. 15,000 con vencimiento dentro de 59 días. Propone a su acreedor cancelarlas con 2 pagos iguales dentro de 50 y 80 días respectivamente. ¿Cuál será el importe de cada pago si el acreedor requiere una tasa anual de interés simple del 26% y la evaluación debe efectuarse tomando una fecha focal el día 80?

50. Desarrolle el problema numero 49 tomando como fecha focal el día 50.

51. El 26 de Mayo la empresa TODORICO solicita un préstamo de S/. 6.000 para cancelarlo dentro de 90 días ha una tasa de interés simple anual del 27%. El 16 de Junio amortizo S/. 3,000 y el 11 de Julio amortizo S/. 2,500. ¿Cuál es la fecha de vencimiento y que importe debe cancelar al vencimiento del plazo?

Problemas combinados

52. Calcule el interés incluido en un monto de S/. 5,000 obtenido de un capital colocado ha una tasa anual del 28% de interés simple durante 90 días.

53. Dos capitales iguales son colocados: el primero en el banco del norte a una tasa del 26% anual durante 85 días, el segundo en el banco del sur durante 60 días y una tasa del 30% anual por ambas operaciones se recibió un interés simple de S/. 600. ¿Cuál fue el importe de cada capital?


49

CAPí

TULO

5

El descuentoUna operación de descuento consiste en obtener el pago anticipado de

Títulos-Valores: letra de cambio, pagaré, u otros documentos, mediante la cesión o endoso del derecho del poseedor a otra persona, general-mente una institución de crédito, la cual paga el importe del documento deduciendo los intereses anticipadamente, por el tiempo que falta para el vencimiento de la obligación. El descuento constituye la diferencia entre el monto de una deuda a su vencimiento y el importe recibido en el presente.

Es necesario distinguir los diferentes conceptos del término descuen-to aplicados en el sistema financiero y en las actividades comerciales y mercantiles.

Clases de descuento

Racional Bancario Comercial

Simple Compuesto Simple Compuesto Unitario Sucesivo

Simbología- D = Descuento.

- P = Valor presente/actual, valor líquido/o efectivo del documento. Es el valor que se cobra al ser descontado el documento.

- S = Valor nominal del documento, valor futuro/valor de la obliga-ción.


50

- n = Períodos de tiempo que faltan para el vencimiento del título-valor.(*)

- i = Tasa de interés por período de tiempo aplicable sobre P. d = Tasa de descuento por período de tiempo aplicable sobre S.

Las operaciones financieras de descuento consisten en anticipar el pago de títulos - valores, generalmente letras de cambio y pagarés, deduciendo anticipadamente los intereses por el tiempo que falta hasta el vencimiento de la obligación.

Cuando el descuento se efectúa sobre el valor actual del documento o importe efectivamente recibido por el descontante, se denomina racional, en este caso se da la igualdad entre interés y descuento pudiéndose aplicar las fórmulas del interés simple o compuesto según las tasas sean simples o efectivas.

Cuando el descuento se calcula sobre el valor nominal del título-valor, el cual constituye su valor futuro, se denomina bancario: este cálculo origina un importe líquido menor a su valor actual. La tasa d aplicada al valor nominal del documento es conocida como tasa adelantada.

El descuento comercial es la rebaja concedida sobre el precio de lista de un producto y puede ser unitario o sucesivo. En este último caso, los descuentos son concedidos en cada oportunidad sobre los saldos obtenidos previamente.

Documentos de créditoLos principales documentos de crédito son:

1. El RECIBO, constancia escrita que se otorga cuando nos entregan algún objeto o dinero. Pueden ser: Directos o indirectos y comer-ciales o de arrendamiento.

2. EL PAGARE, constituye una promesa de pago en una fecha deter-minada. En el intervienen el deudor y el acreedor.

Pueden ser comerciales o bancarios; además de nominales, a la orden o al portador.

3. LA LETRA DE CAMBIO, título valor por el cual el girador obliga al girado o aceptante al pago de un dinero a favor de un beneficiario a una fecha determinada.

Los plazos de pago pueden ser: a la vista, a días vista, a días fecha, a días fija.

(*) Plazo de Descuento (n).- Se cuenta desde la fecha de descuento (f/d) hasta la fecha de vencimiento (f/v).


51

4. EL CRÉDITO DOCUMENTARIO, instrumento que asegura el pago y/o financiación de operaciones comerciales (importaciones y ex-portaciones).

5 LA CARTA FIANZA, es la garantía escrita por el cual una persona se compromete a responder por las obligaciones de otra.

En una operación de descuento racional, el importe a recibir por el descontante es igual al valor presente del titulo valor calculo con una tasa i. El valor líquido coincide con el presente.

Descuento racional simpleEs una operación de descuento racional simple, el valor presente del

título - valor, se calcula a interés simple.

D = S - P Pero por:

inSP

1

Reemplazando en la ecuación original:

inSD

inSSD

111

1

El término entre corchetes de (*) es igual a:

inin

ininin

111

11

La ecuación (*) también puede expresarse:

inSinD

1

El descuento en esta ecuación puede interpretarse como el interés aplicando a un valor futuro (Sin), traído a valor presente al dividirlo por 1 + in


52

Equivalente del descuento racional simple y el interés simple

inininPD

ininpD

inPcomoSn

SD

PinI

1)1(

111)1(

)1(1

11

D = Pin D = I

El descuento racional simple efectuado sobre un valor futuro produce el mismo resultado que el interés aplicado sobre su valor presente.

Ejemplo:

Una letra de S/ 3 800 con vencimiento el 26 de febrero es descontada el 18 de enero a una tasa de interés simple anual del 24%.Calcule el importe del descuento racional.

Solución:

inSD

111

30.96

39360

24.01

113800

D

xD

D =? S= 3 800 i = 0.24/360 n=39

30.96

39360

24.01

113800

D

xD

D =? S= 3 800 i = 0.24/360 n=39


53

Descuento bancarioEl descuento bancario constituye el interés calculado sobre el valor

nominal o valor futuro (S) de un título - valor, importe a deducir del monto del documento para encontrar su valor líquido, el cual va a representar el verdadero importe financiado. La tasa de interés aplicada es conocida como tasa adelantada o tasa de descuento "d", la cual se diferencia de la tasa vencida "i" en que ésta se aplica sobre P, y aquélla sobre S. lo que origina un importe liquido menor al valor presente del documento.

Descuento bancario simpleEl descuento bancario simple es el producto del valor nominal del

documento, la tasa de descuento y el número de períodos que faltan para el vencimiento de la operación.

S D

d P n

Por definición:

D = Sdn

De la fórmula (*) obtenemos:

dnDS

SnDd

sdDn

Ejemplo 1

Calcule el descuento bancario simple al 3 de marzo, sobre un docu-mento con valor nominal de S/. 5 000 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento mensual es del 5%

Solución:

D = ? D = Sdn S = 5 000 D = 5 000 x 0.05 x 43/30 D = 0,05/30 D = 358.33 N = 43

Ejemplo 2

Determine el valor nominal de un pagare cuyo importe del descuento bancario ha sido S/.500. La operación se ha efectuado con una tasa mensual de descuento simple del 5% en un período de 45 días


54

Solución:

S = ? S = D/dn D = 5 00 S = 5 00/( 0.05 x 45/30) d = 0,05/30 S = 6 666,66 n = 45

Ejemplo 3

Calcule la tasa de descuento bancario simple aplicada a un pagaré de valor nominal S/. 6 666,66 y cuyo descuento ha sido S/. 500 en un período de 45 días.

d = ? d = D/Sn d = 500/(6 666.66 x 45/30) d = 0,005

S = 6 666,66 D = 500 n = 45 / 30

Ejemplo 4

¿A cuántos días se ha efectuado el descuento bancario de un pagaré con valor nominal de S/. 4 000, utilizando una tasa de descuento simple mensual del 4%. si se recibió un importe líquido de S/. 3 500?

n = ? días n = D/Sd n = 500/(4 000 x 0.04/300) n = 93.75 n = 94 días aproximadamente

S = 4 000 d = 0.04 / 30 D = 500

Cálculo del valor liquidoP = S - D como D = Sdn P = S – Sdn

P = S (1 – d.n)

El valor líquido de un documento descontado bancariamente es el importe que recibe el descontante por el documento. En una operación de descuento bancario, el valor líquido es menor a su respectivo valor presente, porque ha sido obtenido aplicando una tasa de descuento sobre el monto o valor nominal del documento, el cual necesariamente es mayor al importe realmente recibido por el descontante.

Ejemplo

¿Cuál será el valor líquido a obtener por el descuento bancario de una letra con valor nominal de S/.2 000?. La letra se descontó 38 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple mensual del 5%.


55

Solución:

P = S (1 - dn) P = 2 000(1 - 0,05 x 38/30) P = 2 000 x 0,9366666667 P = 1 873,33

p = ? S = 2 000 d = 0,05/30 n = 38

Cálculo del valor nominalDespejamos S de (*)

dnPS

11

Ejemplo

¿Por qué monto deberá girarse una letra originada por una venta de un artículo al crédito cuyo precio de contado es SA 1 500? La financia-ción es de 60 días y sin cuota inicial. La letra se someterá al descuento bancario simple a una tasa de descuento mensual del 4%

Solución:

S = ? S = P [1 / (1 - dn)] S = 1 500 [ 1 / ( 1 - 0,04 x 2)] S = 1 630,43

P = 1 500 n = 2 meses d = 0,04

Descuento comercialEl descuento comercial es la rebaja concedida sobre el precio de lista

de un artículo. Se llama descuento unitario cuando se practica sólo una vez y descuento sucesivo cuando existe más de un descuento sobre el mismo artículo.

Simbología

Dc = Descuento Comercial D = Tasa de descuento expresada en tanto por uno. PL = Precio de lista PV = Precio de venta (rebajado)


56

Descuento comercial unitarioEs el resultado de aplicar por una sola vez una determinada tasa sobre

el precio de venta de un determinado artículo. Por ejemplo, el descuento de un artículo cuyo precio de ventas es S/.1 000 al que se le aplica una tasa del 10% será de S/.100 y el precio rebajado será S/.900.

Designado los importes por las siglas anotadas anteriormente, tene-mos el siguiente cuadro:

(i)PL

(2) d

(3) = (1)x(2) Dc

(4) = (1)-(3) PV

1 000 0,1 100 900

PL d PV(d) PL-PL(d) = PL(1-d)

De donde se infiere la siguiente fórmula de descuento comercial:

Y el precio rebajado: Dc = PL (d)

PV = PL (1-d)

Descuento comercial sucesivoCuando se aplican diferentes tasa de descuentos, e! primero sobre e!

precio original de venta y los siguientes sobre los precios ya rebajados, entonces se tienen descuentos sucesivos. El desarrollo de los descuentos sucesivos puede explicarse con el siguiente ejemplo. Suponga que un artículo tiene un precio de venta de S/. 1 000 a los que se aplican suce-sivamente descuentos del 10% y 5% entonces los cálculos serán:

(1)

PL

(2)

d,

(3)(l)x(2)Dc1

(4)ü)-(3)PV,

(5)

d2

(6)(4) x (5)

Dc2

(7)(4) - (6)

PV2

1000 0,1 100 900 0,05 45 855

PL d, PL(d, ) PL-PL(d,) =PL (1 -d, )

d2 PL(1 -d, )d, PV,-Dc2 =PL(1 -d, )(1 -d, )

El descuento comercial sucesivo total es igual a la diferencia del precio de venta original y el último precio rebajado:

De = PL - PVn

De = PL - PL(1 –d1)(1 –d2)……(1-dn)


57

Factorizando tenemos:

De = PL[1-(1-d,)(1-d2)....(1-dn)]

El término entre corchetes representa la tasa de descuento acumulada. Equivalente donde:

(1 - de) = (1 –d1)(1 – d2)…….(1 - dn) de = [1 – (1 – d1)(1 - dn)]

Precio de venta (último precio rebajado)El último precio rebajado después de haber otorgado un conjunto de

descuentos sucesivos se obtiene con la siguiente fórmula:

PVN=PL [(1 – d1) (1 – d2)…. (1 – dn)

Ejemplo 1

Por campaña de quincena, una tienda de autoservicios ofrece el des-cuento del 20% + 15% en todos los artículos para automóviles. Si un cliente compra una batería cuyo precio de lista es S/. 120

Calcule:

a. El descuento total.

b. La tasa de descuento acumulada.

c. El precio rebajado a pagar, (precio de venta).

d. Efectué la liquidación de la facturación.

Solución:

a. Descuento total

De = 120 [ 1 - (1 - 0,2) (1 - 0,15)] = 38,40

b. Tasa de descuento acumulada

d = [ 1 - (1 - 0,2) (1 - 0,15)] = 0.32 = 32%

c. Precio rebajado (precio de venta)

PV = 120 [(1 - 0,2) (1 - 0,15)] = 81,60

d. Facturación:Precio de venia 120,00Descuento 20% -24,00Subtotal 96,00Descuento 15% -14,40Total 81.60


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Ejemplo 2

Un equipo electrodoméstico comercializado por SIGA S.A. tiene un precio de S/.2 500. En la fecha que el cliente X acude para su compra encuentra que el equipo se ha incrementado en 25%, pero sobre este precio se otorga una rebaja en 10%.

a. ¿El conjunto de precios aumentó o disminuyó y en que porcentaje total?

b. Efectué la liquidación con los incrementos y rebajas.

Solución:

a. Tasa de descuento o (aumento) acumulada,

d = [1 -(1 +0.25)(1 -0.1)] = -0,125 = 12.5% de aumento.

El precio tiene un aumento neto del 12.5%.

b. Importe de la facturación

(2 500) 1,125 = 2 812,50

c. Facturación: Precio original Aumento 25% Subtotal Descuento 10%

2 500,00 625,00 3 125,00 -312,50

Total 2812,50

Ejercicios de aplicación1. Calcule el descuento bancario simple al 3 de mayo, sobre un do-

cumento con valor nominal de SA 8 00 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento mensual es del 4,5%.

2 Determine el valor nominal de un pagaré cuyo importe del des-cuento bancario ha sido SI. 1200.

La operación se ha efectuado con una tasa mensual de descuento simple del 4.5% en un periodo de 60 días.

3. Calcule la tasa de descuento bancario simple aplicada a un pagaré de valor nominal SI. 12 556.25 y cuyo descuento ha sido SA 1 200 en un periodo de 45 días.

4. ¿A cuántos días se ha efectuado el descuento bancario de un pagaré con valor nominal de SA 6 000, utilizando una tasa de descuento simple mensual del 5%, si se recibió un importe liquido de SA 4 800?


59

Cálculo de Valor Líquido.- El valor líquido de un título-valor banca-riamente es el importe que recibe el descontante por el documento. En una operación de descuento bancario, el valor líquido es menor a su respectivo valor presente, porque ha sido obtenido aplicando una tasa anticipada sobre el monto o valor nominal del documento, el cual necesariamente es mayor al importe realmente recibido por el descontante.

1. ¿Cuál será el valor líquido a obtener por el descuento bancario de una letra con valor nominal de SA 12 000? La letra se descontó 60 días antes de su vencimiento con una tasa de descuento simple mensual del 4%.

Cálculo de Valor Nominal

1 • ¿Porqué monto deberá girarse una letra originada por una venta de un artículo al crédito cuyo precio de contado es SA 15 O 800? La financiación es a 45 di as y sin cuota inicial. La letra se someterá al descuento bancario simple a una tasa de descuento mensual del 4.5%.

Mas ejercicios de aplicación

1. Por aniversario, la compañía Supermercados está concediendo descuentos del 20% + 10%, sobre los precios de venta de sus productos. Si la familia Martínez efectúa una compra de S/. 520:

a. ¿Cuál será el descuento total?

b. ¿Cuál es la tasa de descuento acumulada?

2. Cuál será la tasa de descuento comercial total, si una tienda concede sobre el precio de venta de su mercadería una rebaja del l0% + 8% + 5%?


60

Fórmulas de descuento simple

iSD

111 __________________ (1) Descuento racional simple

_________________ (2) Valor Presente de un título

*1 inSP

______________ (3) Valor futuro con retención y portesGiPS n ]1)1[(

'*)1( iiGSP ___________________ (4) Descuento bancario simple

*.. ndSD ______________________ (5) Valor futuro a partir del descuento

ndDS.

_________________________ (6) Tasa de descuento a partir del descuento

nSDd _______________________ (7) Tasa de descuento a partir del descuento

dSDn.

_________________________ (8) Cálculo del tiempo

*).( ndISP ___________________ (9) Cálculo del valor líquido

*.11

ndPS __________________ (10) Cálculo del valor nominal

)(* dPIDc ____________________ (11) Cálculo del descuento comercial unitario

)1(' dPIPR __________________ (12) Cálculo del precio rebajado

)]1)....(21)(11(1[ dnddPVDcn _ (13) Descuento comercial sucesivo

)]1)...(21)(11[(Pr dnddPVn __ (14) Cálculo del último precio rebajado


61

CAPí

TULO

6

Calculo racional o matemático a interés compuestoDefinición

La operación a interés compuesto es aquella en que los intereses simples se capitalizan, se incorporan al capital al fin de cada periodo de tiempo más o menos largo (en un mes), para que a su vez produzca intereses. Es esa operación concertada entre las partes que intervienen en el préstamo o crédito.

StockEs una cantidad de dinero de un momento dado de tiempo.

Stock inicialLlamado también capital, valor presente. Es la cantidad prestada,

depositada o invertida. Por ejemplo: Un depósito de S/. 10,000 en el Banco de Crédito hoy, durante 2 años en su cuenta de ahorro: P

Stock finalLlamado también valor futuro, monto o valor nominal. Es igual al

capital más los intereses.


62

Por ejemplo: Después de 2 años Ud. retira su dinero del Banco de Crédito, y como le ha estado abonando intereses periódicamente, Ud. cobrará una cantidad mayor: S o P.

FlujoEs una sucesión de cantidades de dinero a través del tiempo. Estas

cantidades pueden ser uniformes o no; en ambos casos son un flujo de efectivo. Cuando la serie es uniforme a intervalos regulares se le deno-mina: Flujo constante de efectivo.

100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 meses

Tasa de interés por períodoLlamada también: tasto por ciento (T) o tanto por uno (i).

Es la ganancia obtenida por cada S/. 100 de capital en la umdad de tiempo (diaria, semanal, quincenal, mensual, etc...).

TiempoLlamada también horizonte temporal, tiempo, plazo, número total de

períodos.

Es el periodo durarse el cual se ha prestado, depositado o invertido el capital. Lo cual representamos con n, que es igual a (n/m).

Las tasas de interésEn el mercado financiero, como en los otros mercados que componen

el sistema económico (mercados de bienes, de divisas y de trábalo), existe un precio que regula las cantidades demandadas y ofrecidas: el tipo de interés, que es reajustado por ¡a autoridad monetaria peruana: si Banco Centra! de Reserva.

Una vez, definida de esta manera, la tasa de interés deberá variar de acuerdo a la relativa abundancia o escasez de dinero en determinado período: mientras más escaso sea el dinero (situación de liquidez), la tasa de interés tenderá a ser alta y viceversa.

Sin embargo, es poco probable que en la vida real la tasa de interés varíe libremente. Así, en casi todas las economías del mundo, aún en las más liberales como en la de Estados Unidos, el organismo emisor se encarga de fijar el interés activo (aquél que cobran las instituciones financieras por los préstamos) y pasivo (el que paga N estas instituciones


63

a sus depositantes), constituyéndose de esta manera el tipo de interés en uno de los instrumentos de política económica más importante en manos del Estado.

Teóricamente, pues, un buen manejo de las políticas de tasas de inte-rés debería lograr el equilibrio de ahorro (cantidad de dinero disponible en manos del sistema financiero y consecuentemente, oferta de dinero) inversión (cantidades de dinero que solicitan los agentes económicos para la marcha productiva).

Si nos remontamos en el tiempo, veremos que el interés no fue siem-pre reconocido como un hecho legal. Es más, durante la Edad Media el cobro de intereses por un préstamo era considerado pecaminoso e inmoral por la filosofe dominante. Posteriormente, y a medida que el dinero era acumulado en manos de tos usureros y prestamistas, prin-cipalmente Hebreos, Italianos e Ingleses, los mismos que financiaban muchas actividades comerciales e industriales, la filosofía tuvo que dar paso a los hechos y aceptar como lícito el cobro de un precio por el uso del dinero.

Es pues un hecho que conforme la acumulación de capitales ha ido aumentando en las economías la importancia de las tasas de interés es cada vez mayor; prueba de ello son las formulaciones keynesianas, neoliberales y neoliberales acerca de la relación entre sector financiero y el sector real Un sector financiero muy desarrollado es síntoma de una economía muy desarrollada.

De acuerdo al período de capitalización y a la institución que se trate, la tasa aumenta, de manera que la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal

No obstante, ¡a misma tasa efectiva no es muy relevante en las deci-siones de ahorro, si se que no se la confronta con la tasa inflacionaria. Evidentemente es mejor gastar no y el dinero y no ahorrarlo, porque después de un año nuestro dinero habrá perdido su capacidad adquisitiva real, aun cuando ha ido ganando intereses.

Para lograr aumentar el ahorro es necesario entonces tener tasas de interés reales positivas, lo que se logra mediante tasas efectivas supe-riores a la inflación.

Las activas, las que se colocan por encima de aquéllas en el porcentaje que gana el banco, al sumarle los porcentajes por derecho de crédito, comisiones y otros gastos financieros.

A despecho de las teorías neoliberales, una alta tasa activa de interés tiende a desalentar la inversión, porque en la actualidad son muy pocas las actividades productivas que rinden buenas ganancias.


64

Rendimiento vs. Riesgo“A mayor tasa de rendimiento, mayor riesgo”

Tasa de Rendimiento (%)

Riesgo (R)

AHORRO COMÚN AHORRO EN CERTIFICADOS BANCARIOS INVERSIÓN

- En Bancos- En Financieras

En su propio negocio En otras empresas (Compra de acciones)

La tasa nominal y la tasa proporcional o periódica

Se dice que una tasa es nominal cuando:

ip = J/m

Donde:

ip = tasa proporcional o periódica.

j = tasa nominal.

m = # de períodos en el año.

a. Se aplica directamente a operaciones de interés simple.

b. Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) j/m veces en un año, para se expresada en otra unidad de tiempo equi-valente, en el interés simple; o como unidad de medida para ser capitalizada n veces en operaciones a interés compuesto. Donde ni es el número de capitalizaciones en el año.

La proporcionalidad de la tasa nominal anual puede efectuarse directa-mente a través de una regía de tres simple considerando el año bancario de 360 días. Por ejemplo ¿cuál será la tasa proporcional diaria y mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? La tasa diaria será 0,066% = (24/360) y la tasa mensual será 2% = 30(24/360).


65

Ejemplo:

Calcular la tasa proporcional o periódica:

a. Trimestral, a partir de una tasa nominal anual del 24%

b. Trimestral, a partir de una tasa nominal semestral del 12%

c. Mensual, a partir de una tasa nominal anual del 12%

d. De 18 días, a partir de una tasa nominal anual del 18%

e. De 88 días, a partir de una tasa nominal trimestral del 6%

f. Anual, a partir de una tasa nominal mensual del 2%

g. De 46 días, a partir de una tasa nominal bimestral del 6%

h. De 128 días, a partir de una tasa nominal mensual del 2%

Solución:

a. (0,24/360)90 = 0,06 = 6,0%

b. (0,12/180)90 = 0,06 = 6,00%

c. (0,12/90)30 = 0,04 = 4,00%

d. (0,18/360)18 = 0,009 = 0,90%

e. (0,06/90)=0,0586=5,8%

f. (0,02/30)=0,24=24%

g. (0,06/60)=0,046=24%

h. (0,02/30)=0,0856=8,53%

Las tasas de interés efectivas En los últimos años se ha generalizado el uso de ésta expresión,

con mayor incidencia en los tiempos de la hiperinflación y con singular preocupación por parte de los abogados, quienes debían emplearla en las cobranzas judiciales y que, lejos de conocer los secretos de estos cálculos, a duras penas comprendían el marco conceptual que los mis-mos encerraban.

Un interés efectivo es aquella tasa que, al margen de la modalidad de cómputo, permite que la cantidad inicial se convierta al cabo de un tiempo fijo en un monto final igual a la primera más dicho interés. Así, si habíamos de 50% cíe interés anual efectivo, habremos querido decir que 100 soles, en el plazo de un año, deben convertirse en 150 soles, no importa cuál es el interés nominal, ni si éste se computa mensualmente, diariamente o semestralmente.


66

Igualmente, un interés mensual efectivo de 3% implica que los 100 soles deben convertirse en 103 juegos de un mes.

Esto sería relativamente sencillo si los plazos se cumplieran en términos ¿qué ocurre si un depósito se pacta a un interés del 30% anual efectivo y se retira a los seis meses? S lid. Responde que hay que dividir la tasa convenida entre dos y que procede

pagar 15% está profundamente equivocado. La tasa correcta es

14.02% al semestre, que equivale a 30% al año.

Verifíquelo. Si Ud. paga 15% semestral se depósito de 100 de conver-tiré en 115 soles a los 6 meses; y, reinvertido a ¡a misma tasa, tendremos 115(1 +0.15} = S ? 132.25 en un año. En cambio a la tasa de 14.02 (redondeada), los mismos 114.02 en seis meses y a 114.02 (1 +0.1402) = 130 a fin de año.

Lo que sucede es que las tasas, como se ve, no se suman ni restan: se multiplican y dividen, empleando un Instrumento matemático que son los números índices, utilizan como la unidad. De ahí el número 1 que aparece en las fórmulas procedentes.

Puede Ud. hablar de tasas efectivas anuales, semestrales, diaria o con la periodicidad que venga en gana, que sepa compararlas. 3 querernos saber cuál es lo tosa anual efectiva que equivale a 3% mensual efectivo, tendremos que partir del 1 y acumular 12 veces el 3%. La fórmula ma-temática seria 1 .03 elevado a la duodécima potencia, igual a 1 .4258, es decir 42.58%.

Inversamente, sí nos preguntamos la tasa mensual efectiva que co-rresponde a un 80% efectiva anual, deberemos extraer la raíz duodécima de 1.80, que es 1.0502, o sea 5.02%.

En otras palabras, la tasa efectiva tiene la virtud de ser precisa, a diferencia de las tasas nominales que pueden ser engañosas. Podría-mos continuar los ejercicios, pero para tratarse dé una definición ya fue suficiente, ¡Ah!: no intente calcular raíces duodécimas si no cuenta por lo menos con una calculadora de bolsillo que contenga potencias y raíces.

La tasa efectiva es el verdadero rendimiento que produce un capital inicial en una operación financiera y para un plazo mayor a un período de capitalización, puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual capitalizable m veces en el año con la siguiente fórmula:

11 nmji


67

En la fórmula anterior, la relación j/m (que es la tasa efectiva del período) y n* deben estar referidas al mismo período de tiempo; por lo tanto, el plazo as i está dado por a*. Si ni v n* se refieren sólo a un período, entonces la tasa nominal y la tasa efectiva producen el mismo rendimiento.

La tasa efectiva i y la tasa nominal j, para diferentes unidades de tiempo

Unidades de Tiempo I JAnual TEA TNASemestral TES TNSCuatrimestral TEC TNCTrimestral TET TNTBimestral TEB TNBMensual TEM TNMQuincenal TEO TNQDiaria TED TND

Ejemplo de aplicación1. Calcule la TES para un depósito de ahorro que gana una TNA del

28% abonándose rama los intereses en la libreta de ahorros.

TES = ?

n = 6

j = 0,28

TES = (1 + j/mf-1

TES = (1 + 0.28/6 f-l = 0.146634963

TES = 14.6634963%

2. Calcule la TEA equivalente a una TNA del 24% capitalizable tri-mestralmente

TEA ?

j =2%

h = 360

f=90

TES = (1 + j)mf-1

TES = (1 + 0.24/4)360/90

TES = 14.663496 – 1

TES=26.247696%


68

Tasas equivalentesDos o mas tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de

tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. Por ejemplo, las siguientes tasas: TEM - 2.210445059% y TET = 6.778997237 % son equivalentes, porque ambas producen una TEA del 30%. Una tasa de interés i es equivalente a otra i si sus respectivas capitalizaciones realizadas durante un mismo horizonte temporal H producen el mismo resultado.

Tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva dada

La tasa equivalente o electiva periódica i' se obtiene de la relación de equivalencia de la fórmula anterior y puede ser calculada cuando se tiene come dato la tasa efectiva i.

(1+j/m)"- 1 =. i

(1 +j/m)f = 1+i

Si designamos a j/m - i' como la tasa equivalente, podemos despejar la incógnita i'

(1 + i)n = (1 + i)

I= (1 + i) 1/n - 1

En este caso:

- i ' = Tasa equivalente o efectiva periódica a calcular.

- i = Tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada como dato.

- f = Número de días del periodo de tiempo correspondiente a la tasa equivalente que se de n calcular.

- H = Número de días correspondientes al periodo de tiempo de la tasa efectiva i proporcionada como dalo. A una TEA le corresponde un H de 360; a ana TEM le corresponde un H de 30, etc.

Similar procedimiento se sigue con una TES, TET etc. Como n = H/' £ entonces la fórmula anterior queda expresada:

I= (1 + i) 1/h – 1

En la ecuación- anterior, f se expresa en el periodo de tiempo co-rrespondiente a la incógnita (tasa equivalente),' y H se expresa en el período de tiempo de la tasa efectiva proporcionada como ciato. Ambas variables deben referirse a una misma unidad de tiempo (días, meses,


69

trimestres, etc). Gráficamente puede observarse que f depende de i' y H depende de i.

I=(1+ i) 1/h – 1

Ejercicios de aplicación1. ¿A qué TEO debe colocarse un capital para obtener al fin de un

trimestre igual monto que si se hubiese colocado a una TEM del 5% ?

Solución:

Í = TEQ? (1+i)6 =(1+0.05)3

f=6 1+i=(1+0.05)3/6

l+i'=(l+0.05)3/í s i'= .-024695076 - 1

i =005 i'= 2.469507659%

H = 3

2. Calcule ¡a TEM a parar de una TEA. do! 28%.

Solución:

i'=TEM?

f=30

TEA = 0.28

TEM = (1 + TEA)™-! TEM = (H-0.28)3M<0-TEM = 0.020784728 TEM = 2.078472849%

3. Calcule la TET a partir de una TES del 12%

i'= TET? f=90 TES = 0.12 H = 180

Solución:

TET= (1+TESf-l TET= (1+0.12)""10-! TET = 0,058300524

TET = 1830052443%

4. Una acción en la Bolsa de Valoras tuvo una tasa de rentabilidad del 20% en 39 días a) ¿Cuánto fue su rentabilidad mensual? : b) ¿Cuál sería su rentabilidad proyectada trimestral de continuar la misma tendencia?

Rentabilidad Mensual

i'— TEM?


70

f=30

TE39d = 0.20 H-39

TEM = (3 i- 0.20}3"9 – 1

TEM = 0.150558355

TEM =¡5.05583558%

Rentabilidad proyectada trimestral

TET = ¿

H= 90

I396 = 0.20

F=39

TET = (1 + 0.20)90'3* - i

TET = 0.523091352

TET ='52.3091

Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva dada

La relación de equivalencia entre la tasa nominal con m capitaliza-ciones y la tasa efectiva, ambas para el mismo horizonte temporal, se estableces a partir de la fórmula.

I= (1+ j/m)n – 1

1+i = (1 + j/m)n

(1+i) 1/n – 1 =j/m

J= m[(1+i)1/n-1]

J= m[(1+i)1/n-1]

Habiéndose definido n = H/f entonces la fórmula anterior puede ex-presarse: j(m) - jn[(S + i)™ - i] E¡ subíndice (m) de j indica el número de veces que ésta se capitaliza anualmente cuando i es anual; 0or lo tanto, si i es mensual indicará el número de veces que j se capitaliza en un mes y así sucesivamente.


71

Ejercicios de aplicación1. ¿Cuál/será ia TNA con capitalización trimestral, equivalente a una

TEA del 28%?

Í=?TNA

i = 28%

m = 4

TNA = j(4) = 4[0 + 0.2S)1" - i] = 0.254636717

TNA = 25.46367136%

El término entre corchetes cuya solución es 0.063659179 = 6.365917939%, es la tasa periódica trimestral, la cual en el día 90 es una tasa efectiva trimestral, equivalente a una tasa nominal trimestral. Si esta tasa es capitalizada 4 veces dará lugar a una TEA y si es multiplicada por 4, como en el presente ejemplo, dará lugar a una TNA.

2. ¿Cuál será la TNS los capitalización trimestral, equivalen a una TEA del 3G%?

j = ? TOS

i = 30%

TNS = jfj, = 2fO + 0,30y4 -13 = 0 0677gQ072

TNS = 13.55799447%

3. ¿Cuál será. La TNA con capitalización mensual, equivalente a una TEA del 25%?

Solución:

J(12) = 1

f=l

H=12

TEA = O 25

m=12

j(12)=m[(1+TEA)f/h -1]

j(12)=12[(1+0.25)1/12 - 1]

J(12) =0.225231181 3

J(12) =22.52311*14%

TNA =22.52311814%


72

Factores que afectan a una tasa de interés efectiva

La tasa nominal es la tasa de interés simple y la tasa efectiva es la tasa a interés compuesto. Sin embargo, el concepto de tasa efectiva es más complejo. El concepto mencionado supone que:

Tasa efectiva = f (tasa nominal + capitalización)

Pero ello es una simplificación de la realidad. En el mundo real, la tasa efectiva está afectada por otros factores, tales como:

TE = F(TN + CAP + COM + DEV + RET + ESBPAR, etc)

Donde:

- TE es la tasa efectiva.

- TN es la tasa nominal.

- CAP son las comisiones. Estas pueden ser adicionales a la tasa y comisión flan. La comisión adicional a la tasa es la ganancia de líneas de crédito y tienen el efecto de un aumento de la tasa de interés. La comisión flan es aquellos cobrada por adelanto y una sola vez.

- DEV es la devolución.

- RET es la retención, el monto exigido como pasivo por el presta-mista como condición para la aprobación de un crédito.

- ESBPAR es el efecto sobre o bajo la par. Cuando un activo se cotiza en el mercado por debajo de su valor nominal, se encuentra bajo la par; cuando es igual, a la par; y cuando está por encima, es sobre la par.

La tasa efectiva, en general, incluye a todos los efectos financieros posibles.

El efecto de cada factor en la tasa efectiva, es el siguiente:

Tasa nominal y capitalizaciónSupongamos que se desea hallar la tasa afectiva anual de una ope-

ración, donde la tasa correspondiente es 120% capitalizable mensual-mente. A esta operación la llamamos base. Por lo tanto:

TE(%) = [(1+ 0.1)12 - 1] * 100=214%


73

120% + 94% = 214%

Tasa Nominal + Capitalización = Tasa Efectiva

Comisiones

Comisión adicional a la tasaLa comisión adicional a la tasa, tiene un efecto igual a una subida

de la tasa de interés. Supongamos la operación base con una comisión adicional a la tasa de 1%.

TE = (1 + TN + com.adicional)n - 1

TE (%) = [( 1 + 0.1+ 0.01)12 - 1] + 100 = 249.84 %

Comisión flatDebe tener cuidado en el cálculo de la tasa flan en la medida que se

cobra una sola vez y , por tanto, hallar su tasa equivalente no es una tarea fácil. Supongamos la operación base con una comisión flan de 1 %.

Si una persona se endeuda por S/ 1, sin comisión flan, al cabo de un año adeuda S/ 3.14, lo que equivale a una tasa efectiva de 214 %.

%214100*11

3.14 (%) TE

Pero si ahora reconocemos que existe una comisión flan, se recono-cería que en realidad no se ha recibido S/.1, sino S/ 1 menos la comisión flan de 0.01.

TE (%) = 217% 100*

01.0114.3(%)TE1

COMFLATPSTE

O también:

CFPCFPi

CFPCFI

CFPCFPS

CFPSTE 1

cfcfiiTE

1RcfPRcfPiTE

..

Donde:

i* = TEA = Tasa de Interés efectivo con comisión.

i = Tasa de interés del préstamo.

cf = Tasa de la comisión FLAT.


74

Devaluación o riesgo cambiarioEste factor afecta exclusivamente a las operaciones expresadas en

monedas extranjeras. Al incluir la devaluación en la tasa efectiva, esta quedara expresada en soles; y , por lo tanto, podrá comprarse con una tasa de moneda nacional.

Si la tasa activa afectiva en el Perú es 214% anual en soles y en Esta-dos Unidos es 8 % anual en dólares. ¿En qué pais el costo del dinero es mayor? Aun haciendo abstracción del riesgo, no se podría saber porque falta un dato: la devaluación de una moneda frente a otra.

Supongamos que alguien necesita un financiamiento de 100 dólares y esta analizando si opta por un crédito en moneda extranjera o uno nacional. La tasa de crédito en moneda extranjera es 8 % anual capita-lizable anualmente, la devaluación del sol frente al dólar es 10% anual, el tipo de cambio inicial es 10 soles, y la tasa activa en moneda nacional es 214% anual.

Es posible hallar las dos tasas efectivas: la del crédito en moneda extranjera expresada en moneda nacional y la del crédito en moneda nacional. De éste modo ambas tasas son compatibles.

En términos didácticos, por recibir un principal de US $100 el presta-tario deberá devolver US $108 al cabo de un año.

P = US$100 S = US$108

0 1 año

Sin embargo, esto convertido en soles es:

P = US$100 x 10 = S/ 1,000 S = US$108 x 11 = 1,188 0 1 año

¿Cuál es la tasa efectiva del crédito en moneda extranjera expresada en moneda nacional?

%8.181001000,1188,1(%) xTE

Es posible realizar este cálculo de manera más rápida, con fórmula:

( 1 + TEMN) = ( 1 + iMN) ( 1 + dev)

TEMN = ( 1 + iME) ( 1 + dev) - 1


75

Donde:

- iMN es el interés en moneda nacional.

- iME es el interés en moneda extranjera.

- dev es la devaluación.

Luego, es más costoso el crédito nacional que el extranjero.

Nótese que debe haber consistencia entre el periodo de la tasa de interés y la devaluación.

RetenciónEn algunas instituciones financieras se eleva desapercibidamente la

tasa efectiva mediante la retención. El prestamista retiene un monto que es devuelto en algún momento al prestatario.

Ejemplo:

Supongamos que se solicita un préstamo de S/.100, pero si exige una retención del 20 % del principal de la deuda. Por un crédito de S/.100 el prestatario devolverá al cabo de un año S/.314. (a una tasa de interés del 214%).

P=100 S=314Ret=20 Ret=20

Sin embargo, se le ha retenido S/.20 al inicio del año y se le devolverá esos S/.20 al final del año2 la tasa efectiva es:

%26810012010020314(%) xTE1

RETPRETSTE

O también:

rPPRxi

RETPI

RETPRETPRETSTE

riiTE

1*

Donde:

- i* = TE = Tasa interés efectiva con retención.

- i = Tasa de interés del préstamo.

- r = Tasa de la retención.


76

En el ejemplo:

%268100*20.01

14.2(%)*i

La fórmula sólo válida cuando hay un solo principal y un solo reembolso del crédito al banco. Cuando existe muchos reembolsos y retenciones en diferentes tiempos, la operación se convierte en un problema de tasa interna de retorno múltiple.

La tasa efectiva es importante porque permite la comparación de tasas.

Por ejemplo, se podrán comparar.

a. Dos tasas nominales con distintos períodos de capitalización.

b. La tasa de un operación sin comisión y otro con ella.

c. Una tasa en moneda nacional con otra extranjera.

d. Una operación que incluye una retención y otra que no.


77

CAPí

TULO

7

El valor presente o stock inicial y el valor final o stock finalLa capitalización- Formula nº 1- EL factor simple de capitalización (FSC).- Se usa

para transformar un stock inicial (P) en un stock final (S).

- Enunciado.- Sea un capital (P) que gana una tasa de interés (i) por período durante (n) períodos. Hallar la expresión del monto o stock (S) si final del último período.

Cuadro de capitalización

Período

Capital al comienzo del

período (a)

Interés por periodo.

i(b)

Monto a findel período

(*) + (b)

Expresión conveniente del

monto compuesto (a) + (b)

1 P P.i P + Pi P( l + i )

2 P( l + i ) P( l + i )i P( l + i ) + P( l + i )i P( l + i )2

3 P( 1+ i )2 P( l + i ) 2i P( l + i ) 2 + P( l + i) 2i P( l + i )3

4 P( l + i ) 3 P( l + i ) 3i P( l + i ) 3 + P( l + i) 3i P( l + i )4

.

...

.

...

n P( l + i ) n-1 P( l + i ) n-1 i P( l + i ) n-1 + P( l + i) n-1 i P( l + i )n


78

A fin del período n Donde:

S = P(1 + i)n

Donde:

niinFSC (1 )

Finalmente:

inS P . FSC

Transformación de un stock inicial (P) en stock final (S)

La actualización- FORMULA N° 2.- El factor simple de actualización (FSA).- Se usa

para transformar un stock final (S) en un stock inicial (P).

El valor presente resulta de despejar (P) de la formula que acaba-mos de deducir:

De la relación: S = P(1 + i)n

Se tiene:ni

SP)1(

1

Donde:n

in i

FSA)1(

1

Factor simple de actualización

Finalmente: inFSASP .

Transformación de un stock final (S) en un stock inicial (P)

Calculó de la tasa de interés (i) implícita en un stock final

A partir de las fórmulas: nin iPFSCPS )1()(

nin i

SFSASP1

)(También de:


79

Pedemos calcular: (2)1/ /1 nPSi

En (2), i corresponde al periodo de capitalización en el que se ha expresado n.

Ejemplo:

¿A que tasa efectiva mensual, un capital de S/. 1,000 se habrá con-vertido en un monto de S/. 1,100, si dicho capital original fue colocado a 3 meses?

Solución:

i=? mensual |

P=1,000 |

I=1,100 |

n=3 meses |

|

1/

1/ 3

/ 1

(1,100 /1,000) 10.03228011553.23%

ni S P

iii efectivomensual

Calculo del número de periodos (n) de capitalización para un stock final

De la ecuación (2) despejamos n:

(3))1ln(

)/ln(iPSn

En la formula (3) n es el numero de unidades de tiempo a la que hace referencia i. Por ejemplo, si i es mensual n es el número de meses. Si i es anual el número de años, etc.

Ejemplo: ¿En que tiempo se duplicara un capital a una tasa efectiva del 3% mensual?

Solución:

n=? |

S=2 |

P=1 |

i=0.03 |

)1ln()/ln(

iPSn

mesesn 44977772.2303.1ln1/2ln

30=703 días 44977772.23n


80

Interés devengado en cualquier período capital1zable

El interés compuesto tiene un crecimiento geométrico en el cual el interés de cualquier periodo después del segundo es mayor que el ge-nerado en el período anterior, entonces ¿cómo podríamos conocer, por ejemplo, los intereses generados por un determinado capital durante cada uno de los períodos capitalizables que estuvo impuesto?

Si el período k comienza en el momento n -1 y acaba en el momento n, para obtener el interés Ik generado en ese período, calculamos la di-ferencia de los intereses acumulados hasta el momento n y los intereses generados hasta el período anterior n -1.

11 nk iPiI

El segmento BC correspondiente al interés compuesto generado en el período k, se obtiene restando el interés generado hasta el momento n - 1 (segmentó AB), del interés generado hasta el momento n (seg-mento A B).

Ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto

En el interés compuesto dos capitales ubicados en diferentes momen-tos de un horizonte temporal son equivalentes si a una fecha determinada sus respectivos valores (descontados, capitalizados; o uno capitalizado y otro descontado, etc.) aplicando en todos los casos la misma tasa de interés, son iguales.

Calculo del interés compuesto

1

1 1nIi

P

1 1nI P i(1 ) 1n

IPi

ln 1

ln 1

IPn

i


81

El interés compuestoPor definición el interés es la diferencia entre el monto y su capital

inicial.

PSI

Reemplazando S en la ecuación anterior por su equivalente tenemos:

(1 )nI P i P

1 1nI P i (1)

De la ecuación (1) despejamos P, i y n

11 niIP 11

/1 n

PIi

iPI

n1ln

1ln

Ejemplo 1

Calcule el interés compuesto ganando en un trimestre por una in-versión de S/. 3,000, colocado a una tasa nominal del 18% anual con capitalización bimensual.

Solución: Dividiendo la tasa

I =? Trimestral |

P=3,000 |

i=0.03 |

n=3/2 bimestres |

Ejemplo 2

Para ganar un interés compuesto de S/. 500 en un plazo de 18 días. ¿Cuánto debe colocarse en una institución de crédito que para una tasa efectiva anual del 20% ?

Solución:

P =? |

I=500 |

i=0.2 |

n=18/360 |

1 nI P i 1 3 / 23,000 1.03 1I

3,000 1.045 1 3,000 0.045I136I

11/ niIP1009157.1/50012,1/500 360/18P

53.598,54P


82

Ejemplo 3

Calcule la tasa efectúa mensual cargada en la compra de un artefacto cuyo precio de contado es de S/.1000 pero financiado sin cuota inicial y con la letra a 45 días su importe es de S/.1250.

P =? |

I=500 |

i=0.2 |

n=18/360 |

Ejemplo 4

El cargo por intereses de un sobregiro bancario de S/.25,000, ha sido de S/.865. Si el banco cobra una tasa efectiva mensual de 4%, ¿Cuánto tiempo estuvo sobregirada la cuenta?

n=? |

P =25,000 |

I=865 |

i=0.04 |

1/

45 / 30

1 1

250 /1000 1 1 0.160416.04%

nIiP

ii

)1ln(

1ln

iPI

n

mesesn 8672682327.004.1ln

1000,25/865ln

diasn 26


83

niPF 1--------------------------------------------------------------- Monto

-------------------------------------------------------------- MontonmiPF /1

niFP

1------------------------------------------------------------------- Capital

-------------------------------------------------------------- CapitalnmmiFP ./1

1/ 1 nPFi ------------------------------------------------------------- Tasa

----------------------------- Numero de Periodo de Capitalización

ln

/5ln pn

------------------------------------------------------------- Interés ]1)1[( niPI

1)1(1

niP ------------------------------------------------------------- Capital

11/1[ /1 nPi --------------------------------------------------------- Tasa

ln)1/1ln( Pn ----------------------------------- Nro de Periodo de Capitalización

11 nk iPiI ---------------------------- Intereses de Devengado en el periodo K

})1()1()1{( 211

nkk

nz

n iiiPS ------------------ Monto con variación de Tasas

})1()1()1{( 211

nkk

nz

n iiiSP ----------- Valor Presente con variación de Tasas

Lista de Fórmulas


84


85

CAPí

TULO

8

Clasificación de las series o flujos de efectivoClasificación de los flujos de efectivos constantes (R)I. Temporales o plazos.

1. Vencidas.

R R R R R R ………………… R

0 1 2 3 4 5 6 n

P inFASR*

*

inFRCPA *

F inFCSR i

nFDFASR *

2. Anticipados.

R R R R R R R ....……………… R

0 1 2 3 4 5 6 n

P IFASiR )1(


86

3. Diferidos.

R R R ....……………… R

0 1 2 3 4 5 6 n n Donde : n = n + m P I

mIn FSAFASR ** I

nFCSRS *

4. Diferidos anticipados vencidos.

R R R R ....……. R

0 1 2 3 4 5 6 n-i n Donde : n = n + m n = n - m

P Im

In FSAFASR ** I

nFCSRS *

Capitalización de una serie o flujo uniforme- FORMULA N° 3.- El factor de Capitalización de la Serie (FCS): Se

usa para transformar una serie uniforme (R) en un stock final(S).

- Enunciando: Al final de cada uno de (n) períodos se deposita una cierta cantidad (R) en una Entidad Financiera que paga la tasa (i) por periodo. Hallar el monto al final del período n.

- Datos:

- Depósito : R

- Tasa : i

- Tiempo : n

- Incógnito: Monto: S

- Análisis: Para este problema se aplicará en forma sucesiva la pri-mera fórmula, para la cual es necesario hallar los montos parciales de cada "R" desde el momento de su depósito hasta el final del período n.

Observe en la gráfica que la última R se deposita al final del período n por lo que no gana intereses. Sin embargo su monto se puede representar por: R . (1 + i) °.


87

Por otro lado, la primera R depositada a fin del primer periodo se convierte al final del período (n) en R(1 + i)n-1. El exponente es (n - 1) por que la primera R se capitaliza, en realidad desde el principio del 2do período.

- Grafica:

R R R R R R

0 1 2 3 n R(1 + i)0

R(1 + i)1

R(1 + i)2

R(1 + i)n-1

sumar

El monto total (S) es la suma de los valores a fin de (n).

Obsérvese que una vez que todas las R están en un mismo momento futuro es cuando se procede a sumarlas.

Esta sucesión de términos del corchete es una progresión geométrica creciente de razón r = (1 + i)

Recordando que la formula para encontrar la suma de términos dis-puestos en progresión geométrica creciente es la siguiente:

S = R(1 + i)0 + R(1 + i)1 + R(1 + i)2 + … + R(1 + i)n-1

S = R[ (1) + (1 + i)1 + (1 + i)2 + … + (1 + i)n-1 ] ------------------------------------- (1)

1raarSuma

n

-------------------------------- (2)

Donde:

- a = Primer término : 1

- r = Razón : ( 1 + i )

- n = Numero de términos.

Reemplazando en (2)

ii

iiSuma

nn 1)1(1)1(

1)1)(1(


88

Se denota:

iiFSC

nin

1)1(

Factor de Capitalización de la Serie

Finalmente en (1):

inFCSRS .

Transformación de una serie a flujo uniforme (R) en un stock final (S)

Demostración de la suma de terminos en progresión geométrica

Ampliando lo referente a la progresión geométrica creciente en cuanto a la obtención de la formula se suma, se tiene:

Sea la P.G : a, ar, ar2, ar3, ar4, ….. arn-1

Cada término se encuentra multiplicando al termino anterior por la razon (r).

La suma es: S = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn-1 ----------------- (A)

Multiplicando por “r” ambos miembros de (A)

rS = ar + ar2 + ar3 + ar5 + … + arn-1 + arn ------------------------------ (B)

Restando, (B) – (A) se simplifica y se obtiene:

rS – S = arn - a

Despejando (S) sumatoria de los elementos:

1raarSuma

n

Que es la fórmula para sumar términos en progresión geométrica creciente. Se puede verificar la formula multiplicando por (1 + i) ambos miembros de la expresión (1) y luego restar miembro a miembro de la expresión (1). Finalmente despejar (S).

inFCS


89

El fondo de amortización o sinking fund- FÓRMULA N° 4.- El factor de depósito al fondo de amortización

(FDFA).- Se usa para transformar un stock final (S) en un flujo o serie uniforme (R). Resulta al despejar R en la formula N° 3, así:

De la relación:

inFCSRS .

inFCS

SR 1. (1)

También:

1)1(1. ni

SR

Donde:

1)1(1

nin i

FDFA

ObservacionesUn fondo de amortización es la cantidad que se va acumulando al

realizar depósitos ó pagos periódicos iguales ó desiguales y que ganan intereses.

Se usa generalmente con el fin de pagar una deuda a su vencimiento ó para hacer frente algún compromiso futuro.

Por ejemplo, se crea fondo de amortización para cancelar una hipo-teca, proveer dinero para pensión de vejez o para reemplazar un activo desgastado por el uso.

Sus características son:

1. El importe de los depósitos sirve para pago del capital.

2. La deuda permanece constante hasta que se completa el fondo.


90


91

CAPí

TULO

9

Actualización de series uniformes temporales y series perpetuasAmortización- FORMULA Nº 5.- El factor de actualización de la Serie (FAS)

Se usa para transformar un flujo constante o serie uniforme (R) en un Stock inicial (P)

- Enunciado: Al final de cada uno de los (n) periodos se recibe una cantidad R. Hallar su valor en el momento actual (P) a una tasa (i) de interés por período.

- Datos:

- Pagos : R

- Tasa : i

- Tiempo : n

- Incógnita: Valor presente : P

- Análisis: Obtendremos la formula para actualizar una serie uniforme trayendo al presente cada R en forma individual y luego sumar.


92

Gráfico:

R R R R R R

0 1 2 3 n

R(1 + i )-2R(1 + i )-1

R(1 + i )-3

R(1 + i )-n

SUMAR

Observe que todo es cuestión de traer al presente el valor de cada R desde el fin de cada periodo.

Una vez que todos los valores de “R” están a valor presente se pro-cede a sumarlos.

Entonces:

nn iiiiiRP

)1(1

)1(1...

)1(1

)1(1

)1(1

132 -------------- (1)

Esta sucesión de términos algebraicos constituyen una progresión geométrica decreciente donde:

La razón es:)1(

1i

r

El primer termino es:)1(

1i

a

El número de términos es: n = n

Por lo tanto, aplicando, la fórmula de suma de términos de una pro-gresión geométrica decreciente.

raraSuma

r

1


93

Obtenemos:n

nn

iii

i

iiiSuma)1(

1)1(

)1(11

)1(1*

)1(1

)1(1

Se denota: n

nin ii

iFAS)1(

1)1(

Factor de actualización de la serie

Finalmente en (1): inFASRP .

Transformación de un flujo constante o serie uniforme (R) en un stock inicial (P)

El alumno puede verificar la obtención del multiplicando por am-bos miembros de la expresión (1) y luego restar miembro a miembro con la misma expresión (1). Finalmente despejar (P).

La recuperación de un capital- FORMULA Nº 6.- El factor de recuperación de Capital (FRC).- Se

usa para transformar un stock inicial (P) en un flujo constante o serie uniforme (R).

Resulta de despejar R en la formula N.5, así:

)1(1

i

De la relación: ).( inFASRP

inFAS

PR 1. ------------------------------- (1)

Donde:1)1(

)1(.i

iiPRn

Aquí :1)1(

)1(n

nin i

iiFRC

Factor de recuperación de capital

Finalmente en (1)

inFRCPR .

Transformación de un stock (P) inicial en un flujo constante o serie uniforme (r)


94

Calculo del periodo (n) de un flujo constante de efectivo (r)

A partir de las fórmulas:

).( inFCSRS o ).( i

nFDFASR

).( inFASRP o ).( i

nFRCPR

Podemos calcular n, empleando el método de <<tanteo>> o despe-jándola directamente de cualquiera de las fórmulas señaladas anterior-mente.

1. Cálculo de n en función del FCS o FDFA.

Ya que el FCS y FDFA son recíprocos, el despeje de n a partir de sus fórmulas nos dará el mismo resultado.

iiRS

n ]1)1[(

RiRSi n)1(RSiiR n)1(

)ln()1ln(ln RSiinR RRSiin ln)ln()1ln(

)1ln(

1.ln

iR

iS

n (*)

2. Calculo de n en función del FRC o FAS.

Ya que el FRC y el FAS son recíprocos, el despeje de n a partir de sus fórmulas nos dará el mismo resultado:

1)1()1(

n

n

iiiPR

niiPR

)1(1

)/(1)1(1)/()1(

])1(1[

RPiiRPiiPiiR

n

n

n


95

Ejemplo:

1. ¿Cuántos depósitos de fin de mes de S/.500 serán necesarios ahorrar, para acumular un monto de S/.5,474.86 en un banco que paga una TNA del 24% con capitalización mensual?

Solución:

Planteando la ecuación de equivalencia o y despejando “n” en cualquiera de ellas llegamos a la fórmula (*) que se resuelve del siguiente modo.

n=? |

i=0,24 / 12 = 0.02 |

R=500 |

S=5,474.86 |

FCSRS . FDFASR .

)1ln(

1ln

iRSi

n

10)02.01ln(

1800

02.086.474,5ln x

n

2. ¿Con cuantas cuotas constantes trimestrales vencidas de S/.500 se podra amortizar un préstamo de S/. 5,000 por el cual se paga un TET del 6.1208%?

Solución:

Planteando la ecuación de equivalencia o y des-pejando “n” en cualquiera de ellas llegamos a la formula (**) que se resuelve del siguiente modo.

n=? |

i=0.061208 |

R=500 |

S=5,000 |

FASRP . FRCPR .

)1ln(

1ln

iRPi

n

93990757.15)061208.01ln(

500061208.0000,51ln X

n

Ya que no es aplicable pactar crédito a 15.94 trimestres la presente operación puede pactarse con 15 cuotas: 14 de S/.500 y la ultima de un importe mayor; o con 16 cuotas: 15 de S/.500 y la ultima de un importe menor. Adoptando esta última decisión la equivalencia financiera puede plantearse del siguiente modo.

0.061208 0.06120815 165,000 500. .

5,000 4818.02 0.3865376086181.98 0.3865376086

470.79

FAS X FSAX

XX


96

El diagrama de tiempo – valor del flujo de efectivo impropia o variable es el siguiente:

P=5000 i=0.061208 0 1 TRIM 2 TRIM 15 TRIM n=16 TRIM R=500 R=500 R=500 X=470.79

Cálculo de la tasa de interés (i) implícita en un flujo constante de efectivo (r)

Cuando en un flujo constante de efectivo se conocen P,R,S y n, ex-ceptuando la tasa efectiva periódica, entonces esta es posible hallarla planteando la ecuación de equivalencia y buscando el valor de la tasa aplicando aproximaciones sucesivas y la interpolación lineal.

Ejemplo:

Un artefacto electrodoméstico tiene un precio de contado de $ 1,500 y al crédito se ofrece con una cuota inicial de $ 300 y 12 cuotas unifor-mes de $ 130 c/u pagaderas cada fin de mes ¿Cuál es la TEM cargada en el financiamiento?

Solución:

i=? |

P=1,200 |

n=12 |

R=100 |

Por el método del “tanteo”, aproximaciones sucesivas o de la prueba-error; así como por la interpolación lineal.

12

12

*)1(*1*)1(130200,1

).(

iii

FASRP in

i VALOR 4% 1,220.0596

i* 1,200.0000

5% 1,152.2227

0596.220,12227.152,10000.200,12227.152,1

04.005.0*05.0 i

0429.0*i%29.4(%)*i


97

Problemas propuestosInterés compuesto

I. Monto

1. Calcular el monto a pagar dentro de 6 meses por un préstamo bancario de S/. 60 000 que devenga una tasa nominal del 37% con capitalización mensual.

2. Calcular el importe capitalizado de un depósito a plazo de S/.21 000 colocado durante 7 meses a una tasa nominal de 37% capitalizable diariamente.

3. Qué monto debe dejarse en letras con vencimiento dentro de 39 días, si después de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/. 25 000, sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual del 4%.

4. En el último semestre, la gasolina ha venido incrementándose en 3% cada 19 días en promedio. De mantenerse esta tendencia. ¿Cuánto costará un galón de gasolina dentro de un año, si el precio es hoy S/. 4.50?

5. Una persona abre una cuenta bancaria el 15 de mayo con S/. 2 000 percibiendo una tasa nominal mensual del 5% con capitalización diaria. El 3 de junio retira S/. 500, el 16 de junio retira S/. 300 y el 4 de julio deposita S/. 200. ¿Qué monto acumuló desde la fecha de su depósito inicial hasta el 25 de julio, fecha en que canceló la cuenta?

6. Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual gana una tasa de interés efectiva mensual del 3% sobre sus saldos acreedores y paga una tasa nominal mensual del 3% con capita-lización diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarios). Calcule el monto de la cuenta al 31 de agosto, cuyo movimiento fue el siguiente:

Fecha 04-08 06-08 09-08 12-08 13-08 15-08 31-08Depósito 1000000 5000 3000 30000 9000 15000

Retiro 2000 37000

Monto con Variaciones de Tasas

7. Se ha suscrito un contrato de crédito por S/.90 000 para cance-larlo dentro de 120 días, a la tasa efectiva mensual de mercado. Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva mensual ha sufrido las siguientes variaciones: 6% durante 48 días, 5.5% durante 9 días y 5% durante 63 días ¿Cuál es el monto a cancelar al vencimiento del crédito?


98

8. El 7 de julio, la empresa Agroexport S.A. compró en el Banco Platina un certificado de depósito a plazo (CDP) a 95 días por un importe de S/. 22 000, ganando una tasa nominal anual del 25% con ca-pitalización diaria; si el 2 de agosto la tasa bajó al 19% nominal anual (con la misma capitalización), ¿cuál fue el monto que recibió Agroexport al vencimiento del plazo del CDP?

II. Capital inicial. Valor presente

9. Aplicando una tasa efectiva del 5% mensual, calcule el valor presen-te de un capital final de S/. 3 000 que genera una tasa de interés nominal anual del 25% capitalizable mensualmente, durante un trimestre.

10. Hace 5 meses se colocó en un banco un capital al 4% efectivo mensual, lo que permitió acumular un monto de S/. 3 000. ¿Cuál fue el importe del capital original?

11. ¿Cuánto debo invertir hoy para acumular S/. 22 000 dentro de 120 días en una institución de crédito que paga una tasa nominal anual del 25% con capitalización diaria?

12. ¿Cual sería el precio de contacto de un articulo ofertado al crédito con una cuota inicial de S/. 3 000 y 5 cuotas de S/.600 cada una pagadera cada fin de mes? Se requiere ganar una tasa efectiva mensual del 4%.

13. En el proceso de adquisición de una máquina se tienen las siguientes alternativas:

a. Inicial de S/. 3 000 y 3 cuotas mensuales de S/ 3 000

b. Inicial de S/. 2 520 y 4 cuotas mensuales del mismo importe de la cuota inicial. ¿Cuál es la mejor oferta considerando un costo de oportunidad del 4% efectivo mensual?

Valor Presente con Variaciones de Tasas

14. El 25 de octubre se efectuó un depósito en un banco percibiendo una tasa efectiva mensual del 5%, la cual varió el 17 de noviem-bre al 5.2% y al 5.5% al 12 de diciembre. El día de hoy, 26 de diciembre, el saldo de la cuenta es de S/. 7 500. ¿Qué importe se depositó originalmente? ¿Cuál fue la tasa acumulada?

15. Calcular el valor presente de un monto de S/. 16 000 que se perci-birá dentro 32 días, si la vigencia de la tasa efectiva mensual será 12 días al 3% y 20 días al 2.5%.

16. Los flujos de caja y las inflaciones mensuales proyectadas por la empresa Agroexport S.A. se muestran en el cuadro adjunto. Calcule el valor presente de dichos flujos.


99

0 Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

Flujo de caja 2000 2000 2200 2400 2500

Inflación 2.00% 1.80% 1.60% 1.60% 1.65%

III. Tasas de interés

17. Después de 4 meses de haber colocado un capital de S/. 4 000 se obtuvo un monto de S/. 4 500. ¿A qué tasa de interés efectivo mensual se colocó el capital?

18. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono com-prado en S/. 3 000 y vendido al cabo de 95 días en S/. 3 415 20.

19. ¿A que tasa efectiva mensual una inversión de S/. 12 000 se con-virtió en un monto de S/. 13 150 22 si fue colocada durante 68 días?

20. La población de una ciudad se triplica cada 26 años. Asumiendo un crecimiento exponencial ¿Qué tasa de crecimiento promedio anual tiene?

21. La empresa Jacobs tiene en un banco una deuda de S/. 11 000 que vence dentro de 50 días, por la cual paga una tasa efectiva mensual del 4%. Además tiene otra deuda de S/. 16 000, por la cual paga una tasa efectiva mensual del 5%, la que vence dentro de 64 días. Jacobs propone pagar ambas deudas con el descuento de un pagaré con valor nominal de S/. 27 034, el mismo que vencerá dentro de 90 días. ¿Qué tasa efectiva mensual está cargando el banco Jacobs?

IV. Tiempo

22. Después de colocar un capital de S/. 2 000 a una tasa de interés efectivo del 5% mensual se ha obtenido un monto de S/. 2 500. ¿A qué tiempo se colocó el capital?

23. En cuántos días podré: a) triplicar y b) cuadruplicar un capital a tasa efectiva anual del 55%?

24. ¿Cuánto tiempo a partir del segundo depósito, será necesario que un depósito de S/. 2 000 efectuando hoy y un depósito de S/. 2 500 que efectuará dentro de 5 meses en un barco, ganando una tasa efectiva mensual del 5%,se convierten en S/. 6 000?

V. Interés

25. Calcule el interés que ha producido un capital de S/. 8 000 a una tasa efectiva mensual del 2% por el periodo comprendido entre el 4 de mayo y el 7 de julio del mismo año.


100

26. Calcular el interés bimestral que habrá ganado un depósito de ahorros de S/.6 000 colocado a una tasa nominal anual del 25% con capitalización trimestral.

Capital Inicial

27. Si deseo ganar un interés de S/. 2 000 al término de 3 meses. ¿Qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 2.5%?

28. La rentabilidad en 24 días de un paquete accionario adquirido en Bolsa fue de S/.600; dicho paquete accionario acumuló en 30 días una tasa de rentabilidad de! 4%. ¿Cuál fue su precio de adquisi-ción?

Tasa de Interés

29. ¿Qué tasa efectiva mensual debe aplicarse a un capital de S/ 6 000 para que produzca una ganancia de S/.900 durante 5 meses?

30. El 19 as febrero la compañía Mary's compró en Bolsa un paquete accionario en S/. 95 000, el cual vendió el 27 de marzo obteniendo una rentabilidad neta de S/.7 500. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual que obtuvo Mary's en esa operación.

Tiempo

31. ¿Cuántos días serán necesarios para que un capital de S/.11 000 produzca un interés de S/.2 000 a una tasa anual del 25% con capitalización mensual?

32. ¿En cuántos trimestres un capital de S/.6 000 habrá ganado un interés de S/.406 05 colocado a una tasa nominal del 23% con capitalización mensual?

Ecuaciones de valor equivalente

33. La empresa exportadora Tejidos de Alpaca S.A. ha conseguido la refinación de sus deudas vencidas y por vencer (según diagrama adjunto), pagando una tasa efectiva del 5% mensual. Calcule el importe a cancelar en el mes 3 que sustituya el total de sus obli-gaciones.

600 800 1400 X 800 750 600 0 1 2 3 4 5 6 Meses

34. Sustituir dos deudas de S/. 21 000 y S/.31 000 con vencimiento dentro de 3 y 5 respectivamente por un único pago con vencimiento a 4 meses, asumiendo una tasa anual del 60% con capitalización mensual.


101

35. El 19 de mayo, el Gerente Financiero de la Empresa Sur S.A. estaba revisando los compromisos de pago de la cuenta Caja - Banco para el mes de junio, y encontró la siguiente información de vencimientos pendientes con el Banco Indufin: día 21, S/.3 500 (pagare); día 22, S/.2 800 (letras); día 25, S/.7 300 (préstamo) y día 28 S/.4 500 (im-portaciones). Según información obtenida del flujo de caja, durante el mes de junio, el saldo proyectado será negativo, por lo que solicita al banco diferimiento de los pagos que vencen en junio, para el 17 de julio, aceptando pagar una tasa efectiva mensual del 6%. ¿Cuál es el importe que deberá cancelar Sur S.A. en esa fecha?

36. Prepare una alternativa de venta al crédito para una máquina cuyo precio al contado es S/. 11 000 bajo las siguientes condiciones: cuota inicial equivalente al 26% del precio de contado y 6 cuotas uniformes con vencimiento cada 30 días. La tasa efectiva mensual es del 6% sobre el saldo deudor.

37. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que está cargando el Banco Mercante por el funcionamiento de un préstamo de S/.21 000, el cual debe cancelarse con cuotas de S/.6 580 50 cada fin de mes durante cuatro meses?

38. En el proceso de adquisición de una maquinaria se han recibido las siguientes propuestas:

- Al contado por S/. 11 000

- Al crédito con una cuota inicial de S/.5 000 y 6 cuotas mensuales de S/.2 200

¿Qué opción aceptará usted el costo del dinero es del 5% efectivo mensual y no tiene restricciones de capital? Fundamente su res-puesta.

Capitalización de una serie temporal y fondo de amortización

Factor de Capitalización de la Serie

1. Juan Carlos desea saber a cuánto ascenderá el monto de sus anua-lidades durante 6 años, siendo cada anualidad de $ 200 anual, si se invierte a una tasa de interés del 15% anual.

2. ¿En cuánto se convertirá al cabo de 5 años un ahorro trimestral de S/. 300.00, en un banco que paga el 15% anual capitalizable trimestralmente?

3. Una persona deposita en una cuenta de ahorro al final de cada trimestre $ 100. ¿Qué monto acumulará durante 2 años si la tasa de interés es del 18% capitalizable trimestralmente?


102

4. ¿Qué monto puede acumularse durante 2 años depositando S/. 350 cada fin de mes, si la tasa de interés es del 24% capitalizable mensualmente?

5. ¿Cuál será el monto en una cuenta de ahorros si a fin de mes y durante 10 meses consecutivos se depósito S/. 1000 en un banco que paga una TEA del 15%?

Fondo de depósito al Fondo de Amortización

1. ¿Que suma debe depositar Daniel Santos en el Banco de Crédito cada año, si dentro de 5 años desea hacer un viaje a New York, para lo cual necesitará $ 3500, para pasaje y bolsa de viaje, si el banco abona un interés del 6% anual?

2. Se desea capitalizar $ 4500 durante 3 años. ¿Cuánto se tendrá que depositar mensualmente (a período vencido), en un banco que paga el 6% anual, capitalizable mensualmente?

3. Calcule el importe de una renta constante que colocada al final de cada trimestre durante 5 años permita constituir un monto de $ 5000. La TNA aplicable es del 24% con capitalización mensual.

4. La empresa Solgas S.A.A. planea adquirir dentro de 9 meses un equipo de computación interconectado para toda su empresa a un costo de $ 5000. Para tal fin, la gerencia financiera de Solgas, puede colocar sus excedentes mensuales de caja (estimados en $ 2000) en una institución financiera que paga una TEM del 3%. ¿Qué importe constante de fin de mes deberá ahorrar para acumular los $ 5000, al fina del 9no mes?

5. Se planea reemplazar una máquina dentro de 6 meses, cuyo precio se estima que en dicha fecha será de $ 6000. ¿Qué importe cons-tante de fin de mes deberá depositarse durante ese plazo en un banco que paga una TEM del 5%, a fin de comprar dicha máquina con los ahorros capitalizados?

Fondo de depósito al Fondo de Amortización

1. ¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de S/. 4000 efec-tuando depósitos de S/. 500 cada fin de quincena, en un banco que paga una TNA del 24% anual con capitalización, mensual?

2. ¿Por cuántos meses una persona debe depositar S/. 300 cada fin de mes en un banco para acumular un monto de S/. 7500 en la fecha del último depósito, si percibe una TEM del 4%?

3. Una persona depositó en su cuenta de capitalización de una AFP, $ 150 cada fin de mes durante 15 años. Al finalizar este plazo, la AFP le informó que su fondo acumulado era de $ 8000. ¿Cuál fue el rendimiento efectivo anual de sus depósitos?


103

CAPí

TULO

10


104


105

CAPí

TULO

11

Circuito matemático – financiero


106

Factores múltiplesAplicación de los factores múltiples

Cualquier problema de equivalencia financiera se resuelve planteando una ecuación de valor equivalente aplicando factores financieros únicos o combinándolos para homogenizar los valores en el presente, futuro o en cualquier momento específico denominado “fecha focal”. Esto lo usaremos básicamente para evaluar proyectos de inversión, en la cual combinaremos adecuadamente los factores financieros.

Ejemplo de aplicación1. En base al flujo de caja de la empresa “El Diamante”, en miles de

dólares, se pide hallar el VAN (fecha focal el día 0), para lo cual considere un COK del 16% efectivo anual.

800 800 800 1200 1000 800 600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1000 500 600 700 Bimestres

Solución:

Primeramente se tiene que transformar el COK del 16% a una TEB.

Los valores pueden ser: P, F R o G.

TEB = 1.16^ (60/360)-1 = 0.025045157 = i

VAN = -1000 - (500+ 100FGUi3) FAS i

3 +800FAS i 3 * FSA i

3 +(1200 –

A C C E

200FGUi4)*FAS i

4*FSA i6

B D F

FGUi3 = 0.98351057..... A

FGUi4 = 1.46908453..... B

FAS i 3 = 2.85577400..... C

FAS i 4 = 3.76156502 ..... D

FSA i 3 = 0.92847669 ..... E

FSA i 6 = 0.86206897...... F

VAN = -1000 - (500+ 100FGUi3)FAS i

3 +800FAS i 3 * FSA i

3 +(1200 –

A C C E

200FGUi4)*FAS i

4*FSA i6 = $ 2,350.9660


107

Tasa de interés : 0.02504516 en tasan FSCi

n FSAi

n FDFAin FCSi

n FASin FRCi

n FGUin

1 1.02504516 0.97556678 1.00000000 1.00000000 0.97556678 1.02504516 0.000000002 1.05071757 0.95173054 0.49381615 2.02504516 1.92729731 0.51886131 0.493816153 1.07703296 0.92847669 0.32512261 3.07576273 2.85577400 0.35016776 0.983510574 1.10400742 0.90579101 0.24080164 4.15279569 3.76156502 0.26584679 1.469084535 1.13165746 0.88365962 0.19022969 5.25680311 4.64522464 0.21527484 1.950539786 1.16000000 0.86206897 0.15653223 6.38846057 5.50729361 0.18157739 2.427878607 1.18905238 0.84100584 0.13247734 7.54846057 6.34829945 0.15752250 2.901103758 1.21883238 0.82045736 0.11444904 8.73751295 7.16875681 0.13949420 3.370218519 1.24935823 0.80041094 0.10043846 9.95634533 7.96916775 0.12548362 3.8352266310 1.28064861 0.78085432 0.08924027 11.20570356 8.75002207 0.11428543 4.29613240

EN EXCEL:B C

Bimestre BNt6 0 -10007 1 -5008 2 -6009 3 -700

10 4 80011 5 80012 6 80013 7 120014 8 100015 9 80016 10 60017 TEB = 0.025045 =POTENCIA(1.16,60/360)-118 VAN = $2,350.97 =$C$6+VNA($C$17,$C$7:$C$16)

2. En base al flujo de caja de la empresa “Sol Gas”, en miles de dólares, se pide hallar el VAN (fecha focal el día 0), para lo cual considere un COK del 24%.

2000 2500 3000 3500 800 800 800

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8000 1000 1200 1400 Trimestres

Solución:

Primeramente se tiene que transformar el COK del 24% a una TET.

Los valores pueden ser: P, F R o G.


108

TET = 1.24^ (90/360)-1 = 0.055250146 = i

VAN = -8000 - (1000+ 200FGUi3)FAS i

3 +(2000 +500FGUi4)*FAS i

4*FSA i3

A C B D E

+800FAS i 3 * FSA i

7 = $ -1637. 9518

C F

FGUi3 = 0.96416537..... A

FGUi4 = 1.43283272..... B

FAS i 3 = 2.69667730 ..... C

FAS i 4 = 3.50312892..... D

FSA i 3 = 0.85100819 ..... E

FSA i 7 = 0.68629693...... F

Tasa de interés : 0.055250146 en tasan FSCi

n FSAi

n FDFAin FCSi

n FASin FRCi

n FGUin

1 1.05525015 0.94764261 1.00000000 1.00000000 0.94764261 1.05525015 0.000000002 1.11355287 0.89802651 0.48655878 2.05525015 1.84566912 0.54180892 0.486558783 1.17507683 0.85100819 0.31557657 3.16880302 2.69667730 0.37082672 0.964165374 1.24000000 0.80645162 0.23020895 4.34387985 3.50312892 0.28545909 1.432832725 1.30851018 0.76422791 0.17908695 5.58387984 4.26735683 0.23433709 1.892578876 1.38080555 0.72421493 0.14508755 6.89239002 4.99157176 0.20033770 2.343427007 1.45709526 0.68629693 0.12087228 8.27319557 5.67786869 0.17612242 2.785405318 1.53759999 0.65036421 0.10277185 9.73029084 6.32823290 0.15802200 3.218547019 1.62255261 0.61631283 0.08874775 11.26789083 6.94454573 0.14399790 3.6428902210 1.71219888 0.58404430 0.07757685 12.89044344 7.52859003 0.13282700 4.05847792


109

CAPí

TULO

12

Sistema de repago de deuda

Toda deuda contraída se paga en el tiempo convenido entre el presta-mista o institución financiera intermediaria y el solicitante del préstamo. Para lo cual se acuerda el Préstamo, la tasa de interés, el período de tiempo, si es a período anticipado o vencido, y las garantías.

Toda deuda esta compuesta por la amortización y los intereses, que conforman el flujo de pagos periódico, que tiene que pagar el deudor, pero para el caso de tarjetas de créditos, se le adiciona al flujo de pago periódico (mensual, bimestral, trimestral, etc..) los portes, las comisiones adicionales, etc...

Veremos los métodos de pagos más usuales el método americano, el alemán, el francés y del de cuotas crecientes.

Cada uno de ellos tiene características propias, las cual menciona-remos:

1. Método Americano.- Este método usan las empresas privadas o el estado cuando emiten bonos, para financiar algún proyecto de mediano o largo plazo. Se caracteriza por que en cada período se paga solamente los intereses, y en el último período se amortiza el total de la deuda.

2. Método Alemán.- Llamado también “al rebatir”, debido a que, a medida que vamos amortizando la deuda, el flujo de pago dis-minuye. Este método se caracteriza porque la amortización es constante.


110

3. Método Francés.- Llamado también de “cuotas periódicas cons-tantes”. Se caracteriza porque el flujo de pago es constante. Es el que usan los bancos para prestamos a personas o empresas, en la cual loas pagos van a ser iguales.

4. Método Creciente.- Este método se caracteriza porque la amorti-zación es creciente. Algunos bancos usan este método para apoyar a los clientes (personas o empresas) que inician un negocio.

Método francésEn el diagrama, supongamos que S/.1000 en un préstamo a recuperar

en un plazo de 4 trimestres a la taza de interés de 15% trimestral.

R R R R |----------|----------|----------|-----------|0 1 2 3 4

P=1000

RECUPERO EN UNA SOLA CUOTA

)(FSCPS4)1( iPS

4)15.01(1000S)749.1(1000S

749.1S

Este pago único contiene interés (I):

PSI1000749.1I

749I

RECUPERO EN 4 CUOTAS FIJAS VENCIDAS Usamos el FRC: Método FRANCES

)(FRCPR

1)1()1(

n

n

iiiPR

1)15.01()15.01(15.0100 4

4

R

)3500265364.0(1000R

27.350R

Este flujo de pagos vencidos también contiene intereses: (Llene UD. el Formulario)


111

(1) (2) (3) (4) (5)

TRIMn SALDO INTERÉS

(2)*0.15AMORTIZACIÓN(5) - (3)

CUOTASFIJAS

1 1000.00 350.272 350.273 350.274 350.27

1000.00

Conclusión: un Préstamo se puede recuperar con un STOCK FINAL o mediante un FLUJO de pago en cuotas Fijas

Capitalización del flujo (R)Es una entidad financiera:

“Plata que se cobra en plata que se representa. Ahí esta ca-pitalización”

Uso del FCS

)(FCSRS

iRS 1)11( 4

15.01)15.01(27.350

4

S

)99337466.4(27.350S1749S

HACIENDO EL CIRCUITO

S =1749 R R R R S=R (FCS) |-----------|----------|----------|-----------| S=R (FCS) 0 1 2 3 4

P=1000

R=P (FRC)

R=300.27

Hacia al futuro….


112

OS/.erve, que tiene dos caminos para llegar a S=1749.

1r°. De inmediato con el FSC.2d°. Previamente con el FRC y luego con el FCS.

Préstamo a recuperar en cuotas periódicas Ejemplo: Un préstamo de banco de S/. 600 se recupera en cuatro

pagos parciales a la tasa del 45% anual.

Presentar el método Alemán y Método Americano de recuperación de préstamos. Diseñamos un formato de trabajo llamado:

CUADRO DE INTERÉS Y AMORTIZACIONES

(1) (2) (3) (4) (5)PERIODOn

SALDO DEUDAAl inicio de “n”

INTERÉSSaldo x

AMORTIZACIÓN CUOTA

1 1000.00234

Esta son las 5 columnas fundamentales de un cuadro de Intereses y amortizaciones o cuadro de servicio de la deuda y merece explicación la columna amortización

Amortizar.- Es extinguir gradualmente la deuda. La suma de la columna amortización debe ser igual al préstamo otorgado. No importa que sean desiguales las cantidades parciales con tal que sumen el préstamo otorgado.

Hay un caso particular entre las cantidades parciales son iguales este el es el Método Alemán.

El método alemán Lo haremos en dos pasos para visualizar el proceso:

Primer Paso.- Observemos el llenado:

CUADRO DE INTERÉS Y AMORTIZACIÓN(1) (2) (3) (4) (5)PERIODOn


INTERÉSSaldo x 0.1125

AMORTIZACIÓNp/n

CUOTA(3) + (4)

1 600 1502 1503 1504 150


113

Las amortizaciones son iguales y se obtienen sencillamente dividiendo el préstamo (P) entre el numero de periodo (n).

Cada amortización al final de un periodo, reduce el saldo deudor al inicio del periodo siguiente.

El interés de cada periodo es el producto: saldo x 0.1125

Observación.- Respecto a las amortizaciones p/n =600/4, se puede escribir 600 x (1/4)=600 x (25%), hagan ésto porque los bancos suelen hablar así: “…y que amortización de 25% del préstamo cada 90 días…”

Segundo Paso.- Llenar le cuadro como indica el encabezamiento.

CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIÓN

(1) (2) (3) (4) (5)PERIODOn



AMORTIZACIÓNp/n

CUOTA(3) + (4)

1 600 67.50 150 217.502 450 50.63 150 200.633 300 33.73 150 183.754 150 16.88 150 166.88

Diagrama:

217.50 200.63 183.75 166.88 |--------------|--------------|-------------|--------------|0 1 2 3 4 Trimestral

P=600 i=11.25% Trimestral

¿Qué hemos hecho? Hemos transformado un Stock Inicial en Flujo. Recuerde Siempre los conceptos de Stock y Flujos

Este es el Cuadro de Intereses y amortizaciones más elemental que hay en Finanzas.

Cada cuota contiene intereses y amortizaciones y, con la ultima cuota se termina de pagar le deuda.

El método americanoSe caracteriza por que el deudor paga solamente intereses en cada

periodo, devolviendo íntegramente el préstamo conjuntamente con el último interés

Veamos:


114

CUADRO DE INTERESES Y AMORTIZACIÓN

(1) (2) (3) (4) (5)PERIODOn



AMORTIZACIÓNp/n

CUOTA(3) + (4)

1 600 67.50 - 67.502 600 67.50 - 67.503 600 67.50 - 67.504 600 67.50 600 667.50

Fíjese que como no se amortiza nada, el saldo deudor tampoco dis-minuye y sigue siendo 600 hasta el inicio de cuarto trimestres

Diagrama:

600.00 67.50 67. 50 67.50 67. 50 |--------------|--------------|-------------|--------------|0 1 2 3 4 Trimestral

P=600 i=11.25% trimestral

¿Qué hemos hecho? Hemos transferido un Stock Inicial en Flujo. Re-cuerde siempre los conceptos de STOCK y FLUJO. El método americano de devoluciones de préstamos por los negociantes por cuanto tienen todo capital en uso hasta el final del plazo.

Pero si la entidad financiera no desea correr riesgo de pago, entonces aplica el método alemán y se va recuperando su capital en partes y no el total al final.

Ejercicio de aplicaciónEn base a los datos que a continuación se mencionan. Se pide elabo-

rar los métodos del pago del servicio de la deuda: Americano, Alemán, Francés y el Creciente.

Datos

Préstamo : S/. 30,000Tasa de interés : 15.000000% efectiva anual TET = 0.035558 efectiva trimestral Períodos : 4 trimestres

1. Método Americano N° Deuda Amortización Interés Flujo de Pagos 0 30,000 - - -1 30,000 0 1066.74229 1066.74229 2 30,000 0 1066.74229 1066.74229 3 30,000 0 1066.74229 1066.74229 4 0 30,000 1066.74229 31066.74229

2. Método Alemán N° Deuda Amortización Interés Flujo de Pagos

30,000 - - -1 22,500 7500 1066.74229 8566.74229 2 15,000 7500 800.056718 8300.056718 3 7,500 7500 533.371145 8033.371145 4 0 7500 266.685573 7766.685573

3. Método Francés N° Deuda Amortización Interés Flujo de Pagos 0 30000.0000 - - -1 22888.3847 7111.6153 1066.7423 8178.3576 2 15523.8941 7364.4906 813.8669 8178.3576 3 7897.5364 7626.3577 551.9998 8178.3576 4 0.0000 7897.5364 280.8212 8178.3576

A trimestral = S/. 8,178.36 = PAGO(tasa,nper,Va)

4. Método Creciente N° Deuda Amortización Interés Flujo de Pagos 0 30000.0000 - - -1 28000.0000 2000.0000 1066.7423 3066.7423 2 24000.0000 4000.0000 995.6261 4995.6261 3 18000.0000 6000.0000 853.3938 6853.3938 4 10000.0000 8000.0000 640.0454 8640.0454

... OjO A1 = S/. 2,000.00 ... (1/10)*20000 A2 = S/. 4,000.00 ... (2/10)*20000 A3 = S/. 6,000.00 ... (3/10)*20000 A4 = S/. 8,000.00 ... (4/10)*20000


115

Datos

Préstamo : S/. 30,000Tasa de interés : 15.000000% efectiva anual TET = 0.035558 efectiva trimestral Períodos : 4 trimestres

1. Método Americano N° Deuda Amortización Interés Flujo de Pagos 0 30,000 - - -1 30,000 0 1066.74229 1066.74229 2 30,000 0 1066.74229 1066.74229 3 30,000 0 1066.74229 1066.74229 4 0 30,000 1066.74229 31066.74229

2. Método Alemán N° Deuda Amortización Interés Flujo de Pagos

30,000 - - -1 22,500 7500 1066.74229 8566.74229 2 15,000 7500 800.056718 8300.056718 3 7,500 7500 533.371145 8033.371145 4 0 7500 266.685573 7766.685573

3. Método Francés N° Deuda Amortización Interés Flujo de Pagos 0 30000.0000 - - -1 22888.3847 7111.6153 1066.7423 8178.3576 2 15523.8941 7364.4906 813.8669 8178.3576 3 7897.5364 7626.3577 551.9998 8178.3576 4 0.0000 7897.5364 280.8212 8178.3576

A trimestral = S/. 8,178.36 = PAGO(tasa,nper,Va)

4. Método Creciente N° Deuda Amortización Interés Flujo de Pagos 0 30000.0000 - - -1 28000.0000 2000.0000 1066.7423 3066.7423 2 24000.0000 4000.0000 995.6261 4995.6261 3 18000.0000 6000.0000 853.3938 6853.3938 4 10000.0000 8000.0000 640.0454 8640.0454

... OjO A1 = S/. 2,000.00 ... (1/10)*20000 A2 = S/. 4,000.00 ... (2/10)*20000 A3 = S/. 6,000.00 ... (3/10)*20000 A4 = S/. 8,000.00 ... (4/10)*20000

Ejercicio para ustedUn préstamo de S/. 900 se devolverá en tres cuotas mensuales a la

tasa de 42% anual.

Elabore el cuadro alemán y americano.

Cuadro de intereses y amortizaciones: Método Alemán.

(1) (2) (3) (4) (5)PERIODOn

SALDO DEUDAal inicio de “n”

INTERÉSSaldo x

AMORTIZACIÓN CUOTA(Rpta)331.50321.00310.50


116

(1) (2) (3) (4) (5)PERIODOn

SALDO DEUDAal inicio de “n”

INTERÉSSaldo x

AMORTIZACIÓN CUOTA(Rpta)31.5031.00931.50

Cuadro de intereses y amortizaciones: Método Americano

Corrección de los intereses por variación de las tasas

En una economía inflacionaria la tasa de intereses cambian en función de la tasa de inflación.

A continuación vamos a mostrar la técnica de corrección de un capital pendiente de cobro cuando cambia la tasa de intereses cualquier día.

EnunciadoSea un capital de S/..100 que gana una tasa de intereses del 4% en

30 días. Por tanto, la cobranza será de 104 dentro de un mes.

S=104 |-----------------------------------------------------------|

0 i=4% mensual 1 MES P=100

DIAGRAMA

Arbitrariamente elegimos un periodo de un mes.

Suponga que ese capital P=100 es un préstamo.

Tenga muy presente que el rendimiento del dinero 4% mensual.

Es una tasa efectiva.

Si faltando 14 días para el vencimiento, sube la tasa de interés al 6% mensual. ¿Cuánto (S´) debería cobrar el acreedor?

DIAGRAMA

14 días S´=? |-------------------------|

S=104 |----------------------------------------------------| 0 i=4% mensual 30 días


117

Los bancos suelen pactar con el cliente mantener fija la tasa de interés en plazos de 30, 60, 90 días, esto es, en el corto plazo, por los créditos que otorgan.

Pero, al margen de ello, y para ser preciso en cuanto al valor de mer-cado del dinero en el tiempo, la corrección matemática debe hacerse. Y hay dos métodos.

Primer método: Partiendo del Stock Inicial. P=100

Como la tasa de interés puede cambiar cualquier día, entonces ne-cesitamos una tasa diaria, pero, equivalente por cuanto el rendimiento de un capital se mide en términos efectivos.

En la forma conocida:nii ´)1(1

Para el 4% mensual i´=0.0013082 30´)1(04.01 iPara el 6% mensual i´=0.0019442 3´)1(08.01 i

Ahora, como durante 16 días ha estado vigente la tasa 4% y en los restantes días 14 días entra la nueva tasa, capitalizamos:

0019442.014

0013082.016 ]100[´ FSCFSCS

1416 )0019442.1]()0013082.1(100[´S93.104´S // ES EL VALOR CORREGIDO

Segundo método: Partiendo del Stock Final. S=104

Se actualiza 14 días a la tasa anterior para quitarle, por esos días, los intereses al 4% mensual que ya no van a funcionar y, luego se capitali-zamos esos mismos 14 días pero a la nueva tasa del 6% mensual.

0019442.014

0013082.014 ]104[´ FSCFSAS

1414 )0019442.1](

)0013082.1(1104[´S

93.104´S //. SALE LO MISMO

Este 2° método es preferido por las entidades financieras y comerciales cuando tiene que hacer estas correcciones por cuanto les importa es lo que le falta cobrar.

Ya no interesa cuanto se dio de crédito ni las cuotas ya cobradas.

Sin embargo, el 1er. Método es utilizado por la entidades financieras en la corrección de los intereses de los ahorristas cuando cambia la tasa ofrecida.


118

Otra presentación del segundo método

El factor de corrección (FC)

La ecuación: 1414 )0019442.1](

)0013082.1(1104[´S

Se puede escribir: 30/1430/14 )06.01(*

)04.01(1104´S

1430 )04.0106.01(104´S

Entonces: )0089282.1(104´S

Donde: El paréntesis es EL FACTOR DE CORRECCIÓN //. 93.104´S

El Factor de Corrección

mn

vieja

nueva

ii )

11(

La ecuación: 1414 )0019442.1](

)0013082.1(1104[´S

Se puede escribir: 30/1430/14 )06.01(*

)04.01(1104´S

1430 )04.0106.01(104´S

Entonces: )0089282.1(104´S

Donde: El paréntesis es EL FACTOR DE CORRECCIÓN //. 93.104´S

El Factor de Corrección

mn

vieja

nueva

ii )

11(

Es muy útil para reparar tablas de factores de corrección para que el operador se limite a multiplicar.

Observe la fracción subradical: En el numerador va la tasa NUEVA y en el denominador la tasa VIEJA. Sacamos RAÍZ m=30 porque estamos trabajando con la tasa MENSUAL (si trabajamos con tasa trimestral, sacaríamos raíz m=90).

OJO: El exponente n=14 es el NUMERO DE DÍAS desde que cambio la tasa hasta el vencimiento del papel (letra, pagare, cuota).

Pueda parecerle difícil de recordar que tasa va arriba y que tasa va abajo, sobre todo cuando la tasa cambia varias veces antes del venci-miento. Le daré un Regla que NO SE OLVIDE NUNCA.

Piense así: “Arriba LA NUEVA, abajo LA VIEJA”

Aplicaciones en los ahorrosUna persona abrió una libreta de ahorros con la suma de S/.. 100,000

el día 9 de enero de 1992 (año bisiesto: 366 días). El banco capitaliza los intereses mensualmente.


119

A la Fecha Tasa de interés Tasa mensual Tasa diaria9 de enero 30% 2.5% 0.08234%18 de marzo 36% 3.0% 0.09858%24 de junio 33% 2.75% 0.09047%12 de septiembre 39% 3.25% 0.10667%

Recuerde: La tasa mensual es efectiva por cuanto eso es lo “exacta-mente” paga cada mes. Por ello la tasa diaria calculada es equivalente.

Se pide, calcular el monto a cobrar el día 20 de diciembre.

El numero de días.- Transcribimos lo que dice el profesor “… el interés es un pago que se hace por el uso del dinero. Para que el deudor pueda usar el préstamo es preciso que transcurra el tiempo. Si se hace hoy un préstamo y se devuelve mañana, en realidad el deudor no ha usado los fondos durante dos días, sino durante un día. En realidad esa es le costumbre entre los banqueros y hombres de negocios de los Estados Unidos e Inglaterra.En estos dos países, para determinar la duración del periodo de un préstamo, se “excluye” el “primer” día y se “incluye” el “ultimo”.

Así el Stock Final (S) o Monto a cobrar el 20 de diciembre:

0010667.099

0009047.080

0009858.098 ***000,100 FSCFSCFSC

Usando una calculadora que potencie:

Rp. S=139,269.73 //.


120

Caso de Aplicación:Se tiene un préstamo de S/. 80,000 otorgados el 15 de Noviembre

del 2005, a la TEA del 20%, a devolver en cuatro cuotas trimestrales constantes.

Se pide calcular racionalmente:

a. El importe de las cuotas constantes trimestrales de pago (A)

b. Desde el 25 de febrero del 2006 disminuye la tasa al 18% efectivo anual. Recalcule las cuotas trimestrales constantes del pago de la deuda, por la disminución de la tasa de interés.

Datos:P = S/. 80,000.00TEA = 20%n = 4 trimestresA trimestral = ?

Solucióna) Armada constante trimestral = ?

TET = 0.0466351394

A trimestral = $22,384.87

b) Calendario de pago trimestral:

15-Nov 13-Feb 14-May 12-Ago 10-Nov0 90 180 270 360 días

25/02/06Número de días desagiados: 78 168 258

Nro. de Pago anterior Factor de Pagos Pagos Trimestral Corrección Trimestrales1ro S/. 22,384.87 1.0000000000 S/. 22,384.872do S/. 22,384.87 0.9964147841 S/. 22,304.613ro S/. 22,384.87 0.9922939658 S/. 22,212.374to S/. 22,384.87 0.9881901897 S/. 22,120.51


121

CAPí

TULO

13

Capitalización continua de series discretas y series continuas

La capitalización continua de series discretas y series continuas, se utiliza en la ingeniería económica. Esto se usaba en el Perú por las instituciones financieras intermediarias en épocas cuando la inflación anual eran de dos, tres o cuatro dígitos, y un banco quería pagar a sus clientes un interés mayor que el de otro banco. Actualmente no se esta usando este tipo de intereses, ya que para eso se utiliza los neperianos e = 2.718281828.


122

Serie discreta con capitalización continua

Hablamos de una serie discreta cuando el pago del flujo constante de efectivo va desde el período mas pequeño que es el diario, hasta el mas grande que es el anual, y de capitalización continua porque en el calculo se utilizan los nepererianos (e = 2.718281828).

Ejercicios de aplicación1. Juan Carlos deposita en un Banco S/. 2,500 a una tasa de interés

del 10% capitalizable continuamente, si retira su dinero después de 5 años ¿cuánto retirará Juan Carlos?

Datos:

P = S/. 2500

j =10%=0.1 anual

n = 5 años

F=?

Solución:

F= P * FSCnj

F=2500 * e0.1*5

F= S/. 4121.80

2. ¿A cuánto equivale hoy un monto de S/. 8,000, que ha sido depo-sitado en el Banco de Crédito hace 3 años si la tasa de interés es del 12% capitalizable continuamente?

Datos:

P=?

j =12%=0.12 anual

n = 5 años

F = S/.8000

Solución:

P= F * FSAnj

P= 8000 / e0.12*5

F= S/. 4,390.49


123

Datos:

P=?

j =12%=0.12 anual

n = 5 años

F = S/.8000

Solución:

P= F * FSAnj

P= 8000 / e0.12*5

F= S/. 4,390.49

3. ¿Cuál es el valor presente de una serie uniforme de $ 400 anuales durante 10 años, si la tasa de interés es del 7% capitalizable con-tinuamente?

Datos:

P =?

i =7%=0.07 anual

n =10 años

R= $ 400 anuales

Solución:

P= R * FASni

P= 400 * (1- e(-0.0.7*10)) / (e(0.07) –1)

P= $ 2,777.15

4. ¿Cuál será el pago requerido trimestralmente para cancelar un préstamo de $ 2,500 durante 3 años, si la tasa de interés es del 8% capitalizable continuamente?

Datos:

P = $ 2500

j= 8%=0.08 anual = 0.02 trimestrales

n = 3 años =12 trimestres

A trim =?

Solución:

R= P * FRCnj

Atrim = 2500 * (e(0.02) –1)/ (1- e(0.0.2*12))

Atrim= $ 236.69


124

5. ¿Cuál es el valor presente de los siguientes flujos constantes de efectivo?

a. $4,400 anuales durante 30 años a una tasa de interés del 6% capitalizable continuamente?

Datos:

P =?

j = 6%=0.06 anual

n =30 años

R = $ 4,400 anual

Solución:

P= R * FASnj

P = 4400 ( 1 –e(-0.06*30))/ e0.06-1

P = $59,393.43

b. $24 mensuales durante 5 años a una tasa de interés del 12% capitalizable continuamente?

Datos:

P =?

j =12%=0.01 mensual

n = 5 años = 60 meses

R = $ 24 mensuales

Solución:

P = R * FASnj

P = 24 ( 1 –e(-0.01*60))/ e0.01-1

P = $1,077.45


125

6. ¿Cuál es el valor acumulado por cada una de las siguientes ren-tas?

a. $700 mensuales durante 5 años a una tasa de interés del 6% capitalizable continuamente?

Datos:

F = ?

j = 6%=0.06 mensual

n = 5 años =60 meses

R = $700 mensuales

Solución:

F= R* FCSnj

F 700 ( 1 –e(-0.06*60))/ e0.06-1

F = $8,57.88

b. $500 trimestrales durante 39 años a una tasa de interés del 8% capitalizable continuamente?

Datos:

F=?

j = 8%= 0.02 trimestrales

n =39 años = 56 trimestrales

R = $ 5,00 trimestrales

Solución:

F = R * FCSnj

F = 500 ( 1 –e(-0.02*56))/ e0.02-1

F = $ 535,765.93


126

7. Encontrar la serie de pagos uniformes anuales que serían equiva-lentes a la siguiente serie creciente, si la tasa de interés es del 9% capitalizable continuamente?

En nuevos soles

200 300 400 500 600 700

0 1 2 3 4 5 6 años

Solución:

R = (Vi + FGUnj ) FGU6

0.09= (1/e0.09 –1) - (6/e(0.09*6)-1)

R = (200+100 FGU60.09) FGU6

0.09 = 2.23….

R = S/. 423.88

Serie continua capitalización continua

Hablamos de una serie continua cuando el pago del flujo constante de efectivo es cada instante, esto se usa en la ingeniería económica, y se considera capitalización continua cuando en el calculo se utilizan los nepererianos (e = 2.718281828).

1. ¿Cuál es el valor presente de los siguientes flujos continuos de fondos?


Datos:

P =?

j = 6%=0.06 anual

n =8 años

R = $3,500

Solución:

P = R * FASnj

P = 3500 * (e0.06 * 8 -1/ (0.06 e(0.0.6*8))

P= $ 22,237.64


127

Datos:

P =?

j = 6%=0.06 anual

n =8 años

R = $3,500

Solución:

P = R * FASnj

P = 3500 * (e0.06 * 8 -1/ (0.06 e(0.0.6*8))

P= $ 22,237.64

b. $700 mensualmente durante 10 años a una tasa de interés del 9% capitalizable continuamente?

Datos:

P = ?

j = 9% anual = 0.0075 meses

n =10 años =120 meses

R = $700 mensual

Solución:

P = R * FASnj

P =700* (e0.0075* 120 -1/ (0.0075 e(0.0075*120))

P = $ 55,386.83

2. ¿Cuál es el valor acumulado por cada una de los siguientes flujos continuos de fondos?


Datos:

F= ?

R = $ 5,000 anual

j = 12%= 0.12

n =6 años

Solución:

F = R * FCSnj

F = 5000 (e(0.12*6) -1)/ 0.12

F = $ 43,934.72


128

b. $1,500 mensualmente durante 12.5 años a una tasa de interés del 6% capitalizable continuamente?

Datos:

F= ?

R = $ 1,500 mensuales

j =6% anual = 0.06 anual = 0.005 mensual

n =12.5 años = 150 meses

Solución:

F = R * FCSnj

F = 1500 (e(0.05*150) -1)/ 0.005

F = $ 335,100.01


129

CAPí

TULO

14

Tasas usadas en el sistema financiero nacionalTasa vencida

La tasa vencida i es el porcentaje a ser aplicado a un capital inicial, el cual se hace efectivo al vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional). Todas las fórmulas matemático- financieras, se basan en tasas vencidas.

Tasa adelantadaLa tasa adelantada d, nos permite conocer el precio que habrá de

pagarse por la percepción de una deuda antes de su vencimiento. La tasa adelantada determina en cuánto disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consideración el tiempo por transcurrir entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de su vencimiento. Matemáti-camente es aquella que multiplicada por el capital final S, lo disminuye, para encontrar el capital inicial P.

Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida

Si la tasa adelantada “d” se aplica sobre S y la tasa vencida “i” se aplica sobre P, entonces ¿qué tasa adelantada debe aplicarse a una


130

determinada operación para obtener un rendimiento equivalente a una tasa vencida dada?. Aplicando las fórmulas de actualización de un valor futuro (usando para el cálculo i) y, la del cálculo del valor presente a partir de un valor futuro (usando la tasa de descuento d), para 1 período de tiempo, podemos obtener una tasa “d” equivalente a “i“ previamente conocida:

P = S(1+i)-1

P = S(1-d)

Relacionando los factores (1+i)-1 y (1-d) encontraremos la equiva-lencia de “d”.

(1-d) = 1

(1+i)

1 = (1-d) (1+i)

1 = 1+ i – d – di

d + di = i

d = i

(1 + i)

Ejemplo 1

En una operación de descuento bancario a 90 días se requiere ganar una tasa trimestral del 4.5% ¿qué tasa adelanta equivalente debe apli-carse para los 90 días?

Solución:

d = ?

i = 0,045 d = 0,045 = 0,043060096 = 4,31%

1+ 0,045

d = ?

i = 0,045 d = 0,045 = 0,043060096 = 4,31%

1+ 0,045

Ejemplo 2

¿Qué tasa anual adelantada es equivalente a una TEA del 12%

Solución:

d =?

i = 0,12 d = 0,12 = 0,1071428571 = 10,71%

1 + 0.12

d =?

i = 0,12 d = 0,12 = 0,1071428571 = 10,71%

1 + 0.12


131

Tasa vencida (i) equivalente a una tasa adelantada (d)

d = i

(1+i)

i = d + di

i - di = d

i(1-d) = d

i = d

(1 – d)

Ejemplo 3

Una tasa adelantada del 12%, ¿a qué tasa efectiva de interés es equivalente?

Solución:

i =?

d = 0,12 i = 0,12 = 0,1363636364 = 13,64%

1 – 0,12

i =?

d = 0,12 i = 0,12 = 0,1363636364 = 13,64%

1 – 0,12

Ejemplo 4

Calcule la TET equivalente a una tasa adelantada del 36% capitalizable mensualmente.

Solución:

i = ?

d = 0, 36/12 1 + i = (1-d)-n

n = 3 i = (1-d)-n -1

i = (1 – 0,03)-3 -1 = 0,095682682

i = 9,57%

i = ?

d = 0, 36/12 1 + i = (1-d)-n

n = 3 i = (1-d)-n -1

i = (1 – 0,03)-3 -1 = 0,095682682

i = 9,57%

Factores de descuentoLos factores de descuento son tasa adelantadas porque se aplican

sobre los valores nominales de títulos - valores. En nuestro sistema fi-nanciero estos factores se obtienen a partir de una tasa efectiva vencida


132

dada. Los bancos suelen preparar “factores de descuento” para todos los días del año, de tal forma que los descuentos se obtienen multiplicando el valor nominal del documento por el factor correspondiente al período del descuento (días que faltan para su vencimiento)

Si partimos, por ejemplo de una TEM dada, podemos preparar factores de descuento para cualquier período de tiempo. Reemplazando en (55) i por una TEM tenemos:

d = i = (1 + TEM)n* -1

(1 + i) (1 + TEM)n*

Ejemplo 5

Calcule el factor de descuento y el descuento racional a efectuar a una letra de S/.10,000 cuyo vencimiento será dentro de 39 días. Aplique una TEM del 5%.

Solución:

d 39 = ?

TEM = 0,05? d = (1 +0.05)39/30 -1 = 0,06145756971

n* = 39/30 (1 + 0,05)39/30

D = S [factor de descuento]

D = 10,000[0,06145756971]

D = S/. 614,58

Idéntico resultado se obtiene con la fórmula del descuento racional compuesto donde se aplica una TEM del 5%:

D = S[1 – (1+ i )-n]

D = 10,000[1 – (1 + 0,05)-39/30] = S/. 614.58

Ejemplo 6

A partir de una TEM del 4% prepare los factores vencidos “i” y fac-tores de descuento “d” para los 10 primeros días del año.

Solución:

Los factores acumulados vencidos (tasas equivalentes) han sido calculados:

1er día 1,041/30 -1 = 0,001308212

2do día 1,042/30 -1 = 0,002618136


133

Los factores de descuentos acumulados han sido calculados:

1er día 1,041/30 -1 = 0,001306503

1.041/30

2do día 1,042/30 -1 = 0,002611299

1.042/30

Tabla de Factores de Descuento a una TEM del 4%

Día “i” “d”1 0.001308 0.0013062 0.002618 0.0026113456789

10

Ejemplo 7

Calcule el descuento racional a practicar a una letra de S/. 12,000 faltando 49 días para su vencimiento y cobrando una TEM del 4%.

Solución: D = 12,000 x 0,062051 = S/. 744.62

Tasa de interés convencional compensatorio

Ic es una tasa de interés compensatoria cuando constituye la contra-prestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. En operaciones bancarias, la tasa de interés convencional compensatoria está represen-tada por la tasa activa para las colocaciones y la tasa pasiva para las captaciones, que cobran o pagan respectivamente las instituciones del sistema financiero, en el proceso de intermediación del crédito.

Tasa de interés moratorioUna tasa de interés moratorio Im constituye la indemnización por

incumplimiento del deudor en el reembolso del capital y del interés compensatorio en las fechas convenidas. El interés moratorio se calcu-lará solamente sobre el monto de la deuda correspondiente a capital,


134

adicionalmente a la tasa de interés convencional compensatoria o a la tasa de interés legal, cuando se haya pactado.

El deudor incurre en mora a partir del día siguiente de la fecha de vencimiento de una cuota si ésta no fuese cancelada. La tasa de interés moratoria es fijada por el BCRP en términos efectivos mensuales y está normada por los siguientes artículos del Código Civil.

Art. 1242: El interés es compensatorio cuando constituye la contra-prestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien.

Es moratorio cuando tiene por finalidad indemnizar la mora en el pago.

Art. 1243: La tasa máxima del interés convencional compensatorio o moratorio, es fijada por el Banco Central de Reserva del Perú.

Cualquier exceso sobre la tasa máxima da lugar a la devolución o a la imputación al capital, a voluntad del deudor.

Tasa de interés total en mora (itm)Una deuda en mora, de acuerdo a ley, está afecta a una tasa efectiva

de interés compensatoria y paralelamente a una tasa efectiva de interés moratoria. El cálculo del interés total de una deuda en mora se obtiene con la siguiente fórmula:

ITM = P[(1 + ic)n* -1] + P[(1 + im)n* -1]

ITM = P[(1 + ic)n* + (1+ im)n* -2]

Ejemplo 8

El 21 de enero la empresa Lima Tours descontó un pagaré de S/. 50,000 con vencimiento dentro de 30 días a una TEM del 4%. Si el documento se cancela el 26 de febrero, ¿cuál es el importe de la deuda, considerando que la tasa de mora es el 15% de la tasa compensatoria? Efectúe la liquidación al 26 de febrero considerando gastos de portes de S/. 5,00.

Solución:

I = ?

P = S/. 50,000

Ic = 0.04

Im = 0.006

n* = 6/30


135

Ic = 50000[1.046/30-1] = 393.75

Im = 50000[1.0066/30-1] = 59.86

Liquidación al 26 de febrero

Documento vencidoInterés compensatorioInterés de moraPortes

S/.50,000.00

393.75 59.86 5.00

Deuda total S/.50,458.61

Ejemplo 9

Calcule el interés total en mora generado por una deuda de S/. 1,000 vencida hace 18 días. La TEM compensatoria es 5% y la TEM moratoria es 0,75%

Solución:

ITM = ? ITM = P[(1 +ic)n* + (1 + im)n*-2]

ic = 0,05 mensual ITM = 1,000 [(1,0518/30 + 1,007518/30 ) –2]

im = 0,0075 mensual ITM = 1,000[0,03420007]

n = 18/30 ITM = S/. 34.20

TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEXA partir del 11 de marzo de 1991 el BCRP utiliza la siguiente termino-

logía para las operaciones activas y pasivas que efectúan las entidades del sistema financiero nacional:

- TAMN: tasa activa en moneda nacional.

- TAMEX: tasa activa en moneda extranjera.

- TIPMN: tasa de interés pasiva en moneda nacional.

- TIPMEX: tasa de interés pasiva en moneda extranjera.

Las tasas activas se expresan en términos efectivos y las tasas pasivas en términos nominales con una frecuencia de capitalización determinada, de acuerdo con el tipo de operación realizada. Los ahorros capitalizan mensualmente y los depósitos a plazo capitalizan diariamente.

Para poder ver las tasas mencionadas vea la dirección de la Superin-tendencia de Banca y Seguros.


136

Tasa efectiva en soles de depósitos en moneda extranjera (dólares)

La rentabilidad o pérdida (rentabilidad negativa), originados por los depósitos de moneda extranjera en el sistema financiero, específicamente el dólar norteamericano, está en función de la tasa de interés que se perciba por la colocación de los dólares y la devaluación o revaluación del sol con relación a esa moneda.

La rentabilidad total implica el siguiente circuito:

- Capital inicial en moneda nacional

- Conversión de la moneda nacional en moneda extranjera a través de su compra al tipo de cambio de venta de los bancos.

- Depósito del capital inicial en moneda extranjera en una entidad financiera, ganando una tasa de interés.

- Percepción de los intereses en moneda extranjera.

- Retiro de la institución financiera del monto en moneda extranjera y su conversión a moneda nacional, venciéndola al tipo de compra de los bancos.

- Comparación del capital inicial y final en moneda nacional durante el período que ha durado la transacción, para obtener el interés y la tasa de interés percibidos.

El cálculo de la tasa efectiva en moneda nacional de un depósito en moneda extranjera, incluye la tasa efectiva ganada en moneda extranjera y la tasa de devaluación de la moneda nacional (la evaluación es una tasa efectiva), y se efectúa con la siguiente fórmula:

TE = (1 + i ME) (1 + tasa dev MN) – 1 , o también:

TE = [(1 + i ME)n* ( TCn/TCo )] – 1

Si el tipo de cambio disminuye en la fecha de venta de la moneda extranjera, con relación a la cotización en que se compró dicha moneda, las transacciones pueden originar pérdida en moneda nacional.

Ejemplo 10

El 3 de enero la empresa El Grande S.A.C. invirtió S/. 15,000 com-prando dólares americanos a un tipo de cambio de S/. 3.40 importe que depositó en el Banco de Crédito ganando una TEA del 7%. El 22 de enero cuando el tipo de cambio era de S/.3.50 canceló su cuenta, ¿cuál fue la rentabilidad: a) del período, b) la rentabilidad proyectada del mes? c) compruebe la rentabilidad obtenida.


137

Solución:

a. Rentabilidad del período (19 días).

[(1 + 0,07)19/360][3.50/3.40] – 1 = 0,033094234 = 3.31%

b. Rentabilidad mensual.

(1 + 0,033094234)30/19 -1 = 0,052752345 = 5.28%

c. Comprobación de la rentabilidad.

Fecha Operación S/. $

03-0103-0122-0122-0122-01

Importe inicial MNImporte inicial ME 15,000/3.40Interés ME 4411.76[1.0719/360-1]Importe final MEImporte final MN 4427.54*3.50

15,000.00

15,496.39

4,411.76 15 .78

4,427.54

Tasa efectiva en MN de 19 días 3.31%

Ejemplo 11

El 22 de enero una persona invirtió S/. 80,000 comprando dólares americanos a un tipo de cambio de S/. 3.43. El importe fue deposita-do en el Nuevo Banco ganando una TEA del 7%. El 23 de febrero, por necesidades de liquidez debe cancelar su cuenta y vender su moneda extranjera al tipo de cambio de S/. 3.40 vigente en esa fecha. ¿Cuál fue la rentabilidad: a) del período?, b) la rentabilidad proyectada del mes? c) compruebe la rentabilidad obtenida.

Solución:

a. Rentabilidad del período (32) días.

= [(1 + 0,07)32/360] [3.40/3.43] –1 = - 0.002766892 = -0.28%

b. Rentabilidad mensual.

= (1 – 0.002766892)30/32 -1 = -0.002594186 = -0.26%


138

c. Comprobación de la rentabilidad.

Fecha Operación S/. $

22-0122-0123-0223-0223-02

Importe inicial MNImporte inicial ME 80000/3.43Interés ME 23323.62[1.0732/360-1]Importe final MEImporte final MN 23464.31* 3.40

80,000.00

79,778.65

23,323.62 140.69

23,464.31

Tasa efectiva en MN de 32 días -0.28%

Ejemplo 12

Calcule la TEA en soles, de un Certificado Bancario de Moneda Ex-tranjera (CBME) que paga una TNA del 8% con capitalización mensual suponiendo una devaluación promedio mensual del 2%.

Solución:

TEA = [(1 + 0,08/12) (1 + 0,02)]12 -1 = 0,373505238 = 37,35%

Tasa discreta y continuaLa tasa discreta supone períodos de capitalización cada cierto período

de tiempo, tal como ocurre en el sistema financiero, donde el período más pequeño de capitalización es un día, aplicable a los depósitos a plazo, mientras la tasa continua supone una capitalización instantánea. Los procesos de capitalización continúan o instantánea, utilizados en ingeniería económica, no son aplicables en el campo financiero. De todos modos las diferencias entre una capitalización diaria con una horaria, o instantánea es casi imperceptible.

Tasas explicitas e implícitasLa tasa explícita es una tasa anunciada en las operaciones mercantiles

y financieras.

La tasa implícita o tasa de retorno no figura expresamente en la ope-ración financiera o mercantil, pero está oculta en el costo total cuando se compran un precio de contado con un precio de crédito generalmente más elevado. De acuerdo al tipo de información disponible la tasa im-plícita se calcula con las diversas fórmulas de tasas de interés, o con el principio de equivalencia financiera.


139

Ejemplo 18

Calcular la tasa implícita mensual de un artículo cuyo precio de con-tado contra entrega es de S/. 1500 y su precio de contado comercial al 45 días es de S/. 1613,90.

Solución:(30/45)

i = 1 613,90 - 1 * 100 = 5%

1500

Tasa de interés legalDe acuerdo al art. 1244 del Código Civil, la tasa de interés legal es

fijada por el BCRP. Cuando deba pagarse interés, sin haberse fijado la tasa, el deudor debe abonar el interés legal. A partir del 16 de septiembre de 1992 la tasa de interés legal efectiva para las diferentes operaciones son las siguientes:

Moneda Nacionala. Operaciones no sujetas al sistema de reajuste de deudas: 1 vez

la TIPMN. La TIPMN es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos en moneda nacional, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras.

b. Operaciones sujetas al sistema de reajuste de deudas: la tasa efectiva será calculada de forma tal que el costo efectivo de estas operaciones, incluido el reajuste, sea equivalente a la tasa señalada en el punto I a).

c. Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 1 vez la TI-PMN. La tasa de interés legal en moneda nacional está expresada en términos efectivos mensuales y será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial el Peruano.

Moneda Extranjeraa. Dólares de los Estados Unidos de América: 1 vez la TIPMEX. La

TIPMEX es la tasa promedio ponderado de las tasas pagadas sobre los depósitos en moneda extranjera, incluidos aquellos a la vista, por los bancos y financieras. Para el cálculo del interés legas de las monedas extranjeras distintas al dólar de los Estados Unidos de América se hará la conversión a esa moneda y se aplicará 1 vez la TIPMEX.


140

b. Depósitos en consignación en el Banco de la Nación: 1 vez la TIP-MEX. La tasa de interés legal en moneda extranjera está expresada en términos efectivos anuales y será publicada diariamente por la SBS en el diario oficial El Peruano.

Para el cálculo de los intereses legales se aplicarán los factores acumu-lados correspondientes al período computable, establecido por la SBS.

Tasas usadas en el sistema financiero internacional1. PRIME RATE.- Es la tasa de interés preferencial que se cobra a los

mejores clientes en las operaciones de crédito en los mercados financieros de los Estados Unidos.

2. LIBOR (London Intebank Offering Rate).- Es la tasa de interés pre-ferencial que se cobra en las operaciones de crédito interbancario en el mercado de Londres.

3. TIBOR (Tokio Interbank Offering Rate).- Es la tasa de interés pre-ferencial que se cobra a los mejores clientes en las operaciones de crédito en los mercados financieros de Japón.

Para ver los datos de estas tasas de interés internacionales, vea en internet estas tasas actualizadas a la fecha de estudio., ya que estas cambian periódicamente.


141

CAPí

TULO

15

Análisis de las variables económicasÍndice de precios al consumidor (IPC)

EL IPC es un indicador económico que muestra la variación en los precios de un conjunto de bienes y servicios (Canasta Familiar) que consume habitualmente un grupo representativo de familias de diversos extractos socio - económicos.

Datos básicos para la obtención del IPCa. La composición de la Canasta Familiar.

b. Los precios promedio de cada bien o servicio del año base, el cual conviene sea el más cercano posible a la oportunidad en que se efectuó la Encuesta de Hogares.

c. Los precios promedios captados mensualmente de todos los bienes y servicios que conforman la canasta.

Canasta familiarEs el conjunto de bienes y servicios representativos del gasto de con-

sumo de los diferentes extractos socio - económicos de la población.


142

Estratificación de la canasta familiarLa estratificación nos permite una mejor representatividad de la

muestra, en el caso del IPC, nos asegura una buena representatividad de los precios de los bienes "servicios que consumen los tres extractos de la población de acuerdo a sus ingresos: familias de bajos ingresos, de ingresos medianos y relativamente altos ingresos; medianos y rela-tivamente altos ingresos; para Lima estos representan el 49%, el 35% y el 16% respectivamente".

Gasto de consumo de los hogaresPara efectos del IPC, los Gastos de Consumo de los Hogares, son

aquellos destinados a la adquisición de bienes y servicios para satisfacer las necesidades de las familias, se excluyen los gastos destinados a la formación bruta de capital.

Estructura de la canasta familiarLa información obtenida a través de la Encuesta de Hogares, se

clasifica en 8 Grandes Grupos, 32 Grupos, 53 Subgrupos, 169 Rubros y 527 Variedades.

Cálculo del IPCEl INEI utiliza la fórmula de Laspeyres para el cálculo del IPC; la fór-

mula clásica de representarla es:

100xQPQP

Ioo

ont

Donde:

OP : Precio promedio del período base (o)

OQ : Cantidad promedio del período base

nP : Precio promedio del período de estudio (n)

La inflación y su medidaLa inflación

La inflación se define como el aumento continuado y sostenido en el nivel general de los precios de los bienes y servicios de una economía. Sin embargo, en sentido estricto el alza de los precios es la consecuencia de la inflación y no la inflación misma.


143

La inflación es el aumento del circulante (cantidad de dinero que, maneja el país) sin un crecimiento correspondiente de bienes y servicios. Es el resultado del desequilibrio entre lo que una sociedad produce y lo que ella exige.

Los precios en inflación no varían simultáneamente en una misma dirección o proporción. Si esto sucediera, la inflación no perjudicaría a nadie y no habría interesados en mantener la inflación. La inflación es un estado de guerra económica en el cual tos precios aumentan en forma desigual y cada grupo pretende favorecerse a costa de los grupos restantes sin conseguir una ventaja permanente como resultado de las variaciones en los precios relativos y en los gastos totales.

La inflación produce cambios definidos y característicos tanto en la producción total como la distribución de la renta.

Grados de inflaciónSe presentan diversos grados de inflación:

a. La inflación ligera: cuya tasa fluctúa del 1 al 9%

b. La inflación ordinaria o inflación de doble dígito que se caracteriza porque los precios se elevan constantemente, pero sin llegar a los límites de una inflación incontrolada.

c. La hiperinflación o inflación galopante es aquella en que el poder adquisitivo del dinero se deteriora enormemente y el alza de pre-cios se vuelve incontenible. Se cita como ejemplo típico el caso de Alemania a fines de 1923 cuando una caja de fósforos costaba un mil millones de marcos.

Teorías explicativas de la inflaciónLa inflación admite importantes variaciones y cada una de ellas exige

su propio diagnóstico y tratamiento.

Si deseamos entrar al análisis de las causas de la inflación según la mayoría de los autores debemos hacer una distinción de los distintos tipos de inflación. Normalmente se mencionan: la inflación de demanda, la inflación de costos, la inflación estructural y la inflación importada. En ninguno de los casos se pretende un desarrollo teórico de estos temas, sino una breve descripción general o referencial de los mismos.

Asimismo, veremos cómo en el contexto latinoamericano este fenó-meno tiene sus propias características.


144

Inflación de demandaSe origina cuando la demanda global de la economía excede a la ca-

pacidad de oferta del sistema productivo, trabajando a plena capacidad. Las razones del exceso de demanda pueden ser:

a. Un cambio de hábito de la población, lo cual se traduce en la dis-minución del nivel de ahorro acostumbrado.

b. Inversiones excesivas para el aparato productivo

c. Un déficit presupuestal financiado con emisión monetaria inorgánica o sin respaldo.

La característica fundamental de la inflación de demanda es el auge inflacionista que implica la superabundancia del poder de compra con respecto a la oferta global y plena utilización de la capacidad productiva. En otras palabras, no pueden existir inflación de demanda con capacidad de planta ociosa.

El aumento de precios se asocia generalmente a un aumento de la ocupación. Cuando la inflación es ligera, las ruedas de la industria se engrasan bien y la producción total aumenta, la inversión particular es más activa y hay numerosos empleos.

La inflación de demanda origina una redistribución de ingresos a favor de las empresas que trabajan en el mercado interno en perjuicio de tos asalariados, lo cual queda neutralizado en parte por el auge de la economía.

Los remedios para la inflación de demanda son, convencionalmente dos: recortar la demanda global de la economía y/o incrementar la oferta del aparato productivo.

Inflación de costosSegún ésta teoría, la causa de la inflación es el aumento de precios

de los bienes y servicios que se fijan al margen de los mecanismos del mercado. Generalmente se da por aumentos monopólicos u oligopolios de algunas empresas, fundamentalmente de las que producen bienes cuya demanda es inelástica a los cambios de precios.

Factor inflacionario importante son las alzas salariales que superan el eventual incremento de la productividad de las empresas y originan una elevación del nivel general de los precios. La inflación de costos se da principalmente en los países industrializados tal como Inglaterra.

En definitiva, bajo éste tipo de inflación no hay exceso de demanda, ésta es igual o más baja que la capacidad productiva de la economía y en la mayoría de los casos va asociada con una recesión.


145

La distribución de ingresos se da momentáneamente a favor del sector cuya decisión determinó el alza de precios.

Inflación estructuralLa inflación resulta de características propias a las estructuras de la

economía en desarrollo.

Antes que la demanda global supere a la oferta real de la economía se producen cuellos de botella en el sistema productivo o estrangulamiento en el abastecimiento de ciertos bienes. Es similar a la inflación de deman-da, la gran diferencia radica en que se origina por el exceso de demanda sobre la oferta restringida a un solo bien o producto específico.

La distribución del ingreso se da a favor del sector o grupo que posee el bien escaso o creador del estrangulamiento dentro de la economía, cuyos integrantes manipulan sus respectivos precios y cantidades, que están determinados de ésta forma, únicamente por el lado de la oferta.

Si aplicamos indistintamente los remedios para una inflación de demanda introduciremos recesión al sistema, sin percatamos que el estrangulamiento es un rubro critico de la economía para el cual no se dio tratamiento alguno.

Este fenómeno se denomina "stangfiación", situación económica en el cual coexisten la recesión productiva y el alza acumulativa de los precios.

Las soluciones ortodoxas que identifican la inflación como un exceso de la demanda no permiten visualizar el cuello de botella sobre el cual actúan.

Las políticas monetarias restrictivas obedecen a una intención clara de contrarrestar la demanda y por ende disminuir la inflación, la cual a su vez propicia una mayor recesión y especulación.

Seguramente por ésta razón es que están surgiendo nuevas corrientes de pensamiento que sugieren que la solución para conseguir controlar la inflación se busque a través de la oferta en vez de la demanda. Es decir, de la producción en vez del consumo.

Inflación importadaEs el aumento en el nivel general de los precios que tiene su origen

en el intercambio de operaciones del país con el exterior. A su vez, ésta puede ser de dos tipos:

1. Inflación importada de demanda.- Es la inflación producida por un saldo positivo en la balanza de pagos, que se traduce en un exce-so de la oferta de divisas sobre el mercado de cambios. El Banco


146

Central, con el objeto de mantener inalterado el tipo de cambio (impedir una reevaluación de la moneda nacional ), debe adquirir dicho exceso de oferta, introduciendo una mayor liquidez en el mercado interno.

2. Inflación Importada de costos.- Es aquella inflación originada por el aumento de los precios de los bienes y servicios importados, lo cual origina una elevación de los costos de producción al interior del país.

Cálculo de la tasa de inflación

Variaciones temporales (variaciones de inflación)El cálculo de la variación de la inflación se puede establecer desde

varios puntos de vista, según el periodo que se intenta analizar: variación mensual, variación acumulada, y ritmo inflacionario (llamada también tasa media mensual de crecimiento de los precios o ritmo promedio mensual).

- VARIACIÓN MENSUAL.- El objetivo de éste cálculo es determinar el porcentaje de incremento o decremento de precios registrado entre un mes cualquiera y el inmediato anterior. Formula básica.

Donde:

- rQ = Inflación Mensual.

- IPCn = índice de Precios al Consumidor del mes "n".

- n = Mes de referencia.

- n -1 = Mes inmediato anterior al mes de referencia.

Ejemplo:

Hallar la variación porcentual mensual de la inflación del mes de Diciembre de 1989, si se sabe que IPC Dic’89 = 277.12 y IPC Nov’89 = 207.17.

IPC Nov’89 IPC Dic’89

Set. Oct. Nov. Dic.

%8.33100112.20712.277.(%) 89'89' xVARIACQ DicDic

- VARIACIÓN ACUMULADA.- El análisis de la inflación implica lograr conocer su evolución en periodos mayores de un mes, con el propósito de estudiar el grado de avance o acumulación de dicho fenómeno a lo largo del año.


147

a. En Base a Números índices.

1001(%)1

xIPCIPCQ

m

nACUM

Donde: = inflación Acumulada ACUMQ = IPC del último mes nIPC

= IPC del mes anterior, al inicio del tramo de estudio 1mIPC

b. En Base a Variaciones Mensuales.

j

n

jACUM

nACUM

QQ

QQQQQ

11

)1.().........1)(1)(1(1

1

321

10011(%)1

xQQ j

n

jACUM

Ejemplo 1:

Calcular la inflación acumulada entre Enero y Marzo del ‘90, si se sabe que IPC mar’90 = 622.90, IPC dic'89 = 277.12 e IPC Ene‘90 = 359.71

Solución: 1989 1990

Nov Dic Ene. Feb. Mar.

m-1 m n

%8.124100112.27790.62290./90...(%)(%)

90'xEneMarAcumVARIACQ

MEACUM

Ritmo inflacionarioTasa media mensual de crecimiento de los precios o ritmo promedio

mensual.- El ritmo inflacionario se define como la tasa de crecimiento del nivel general de precios de los bienes y servicios en un período dado. La magnitud del período relativo puede ser de 12 meses, los primeros meses de lo que va del año, o los últimos 3 meses del año, todo depende del criterio de análisis de quién realiza el cálculo.

Si necesitamos identificar el ritmo inflacionario mensual del primer trimestre de 1990, debemos tener en consideración que solo se trata de hallar el promedio geométrico en éste caso las tasas inflacionarias de Enero, Febrero y Marzo.


148

a. En Base A Números Índices:

11m

nACUM IPC

IPCQ ni

m

nACUM Q

IPCIPCQ 11

1

1001(%)1

xIPCIPCQ n

m

ni

Donde:

Qi = Ritmo inflacionario o tasa media mensual n = Numero de periodos IPCn = IPC del ultimo mes IPCm-1 = IPC del mes anterior al inicio del tramo de estudio

b. En base a Variaciones Mensuales:

Sabemos:

nACUM QQQQ 1.................111 21

Si: iQQQQ ..................321

niACUM QQ 11

Luego:

nn

i QQQQ 1....................111 21

100111........11(%) 21 xQQQQQ nji

Donde:

Qi = Ritmo Inflacionario N = Número de Periodos Qj = Inflación periódica

Ejemplo:

Determinar el ritmo inflacionario del primer trimestre de 1990. Si se sabe que:

a. El IPC de Marzo del '90 fue 622.90, el IPC de Enero del '90 fue 359.71 y el IPC de Diciembre del '89 fue 277.12

b. Si la inflación de Enero del '90 fue del 29.8%, la inflación de Febrero del 90 fue 30.5% y la inflación de Marzo del '90 fue 32.6%


149

Solución:

a. %9.30100112.27790.622(%) 3 xQi

b. %9.301001326.01305.01298.01(%) 3 xQi

Tasa de interés real o constanteLas tasas de interés, estudiadas hasta ahora, han obviado el efecto de

la inflación, considerando el valor nominal de nuestra moneda sin tener en cuenta la pérdida del poder adquisitivo por el incremento generalizado de los precios de los bienes y servicios. La tasa real pretende medir en qué grado la inflación distorsiona los costos o rentabilidades nominales, quitando a la tasa efectiva el efecto de la inflación.

La tasa real r es una tasa de interés a la cual se le ha deducido el efecto de la inflación. Si conocemos la tasa de interés i y la tasa de inflación f, podemos calcular la tasa real, corrigiendo la tasa de interés deflactándola de la inflación del siguiente modo:

1 + r = 1 + i

1 +

(1 + r)(1 + ) = (1 + i)

1 + + r + r = 1 + i

r + r = i –

r(1 + ) = 1 –

r = (i – ) (1 + )

La fórmula es equivalente a:

r = (1 + i ) - 1 (1 + )

{1 + i) 4- lo que el banco oferta como pago de tasa de interés


150

1

(1 + i) ,/ to que el Banco——— = (1 + i«) realmente paga como (1 + Q) tasa de interés

QQi

QQii

ii

r

r Q

1111

1

)1(11

Donde: f i = Tasa de interés Efectiva (cuando interviene la Q, ésta se convierte en nominal} Q = Tasa de Inflación periódica (del mismo período que i) i a = Tasa de Interés Real o Constante

La Q puede ser una variable de dos tipos:

Ex - Post (a posteriori) Después que sucedió / costo real Q Ex - Ante (a priori) Estimada / toma de decisiones

Ejemplo 13

Calcule la tasa real bimestral aplicable a un depósito de ahorro de S/. 2,000 colocado el 1 de abril a una TEM del 1,5% si las inflaciones fueron del 2% y 3% para cada uno de los dos meses respectivamente.

Solución:

- Cálculo de la tasa de interés bimestral.

i60 días = 1,0152 – 1 = 0,030225

- Cálculo de la inflación bimestral.

60 días = (1,02)(1,03) –1 = 0,0506

- Cálculo de la tasa real bimestral.

r = 0,030225 - 0,0506 = - 0,019393679 = -1,94%

1,0506

El ejemplo expuesto podrá interpretarse como si el 1 de abril deci-dimos anular una decisión de inversión en un activo determinado, cuyo costo fue de S/. 2,000 (al que coincidentemente le ha afectado el índice inflacionario calculado por el INEI), por el de ahorrar dicha suma en un banco cuya tasa nominal pasiva del 18% es capitalizada mensualmente. Así el 1 de junio, fecha del retiro del principal más los intereses genera-dos, se habrá producido lo siguiente:


151

Operación 01-04 Incremento Interés 01-06

Precio del activoDepósito

2000 2000 101.20 60.45

S/.21,01.20S/. 20,60.45

Pérdida de poder adquisitivo al 01-06: -40.75/2101.20 - 40.75

Bajo las condiciones expuestas si el 1 de junio quisiéramos adquirir el activo cuya compra postergamos el 1 de abril, costará S/. 2 101,20 (pre-cio original incrementado en 5,06% por inflación), entonces el depósito inicial ya capitalizado de S/. 2 060,45 representaría sólo el 98,06% del valor actual del activo, con lo cual se habría perdido 1,94% en términos de poder adquisitivo.

En general, tradicionalmente, en nuestro país las tasas pasivas en términos reales han sido, ya que la inflación generalmente ha superado a la tasa de retribución al ahorrista, en cualquier modalidad; situación que induce a la protección de la pérdida de poder adquisitivo a través de otros mecanismos como son: la dolarización, especulación, banca paralela, Mesa de Negociación, etc.

Ejemplo 14

Calcule el costo real de un préstamo pactado a una tasa efectiva anual del 20%, considerando una inflación para el mismo período del 18%.

Solución:

r = ?

i = 0,2

f = 0,18 r = (i - ) = (0,2 - 0,18) = 0,016949152 = 1,69%

(1 + ) 1,18

r = ?

i = 0,2

f = 0,18 r = (i - ) = (0,2 - 0,18) = 0,016949152 = 1,69%

(1 + ) 1,18

Ejemplo:

Un pagaré con vencimiento dentro de 45 días fue descontado a una TEM del 4%. Si la inflación del primer mes fue del 3,5% y la del segundo mes fue del 4%, ¿cuál fue la tasa real pagada por dicho crédito?

Solución:

- Cálculo de la tasa de interés efectiva de 45 días:

i = 1,0445/30 – 1 = 0,060596059

- Cálculo de la inflación de 45 días:

= (1,035)(1,0415/30) - 1 = 0,05549704


152

- Cálculo de la tasa real bimestral:

r = (i - ) = (0,060596059 - 055497039) = 0,004830918 = 0,48%

(1+ ) (1,055497039)

Ejemplo:

¿Qué tasa de inflación mensual debe producirse para conseguir una tasa real mensual del 2%, en un depósito de ahorro que para una TNA del 36% con capitalización mensual?

Solución:

Reemplazando tenemos:

r = (i – ) = (i - r)

(1 + ) (1+ r)

= 0,98%

= (0,03 - 0,02) = 0,009803921

(1 + 0,02)

Tasa de interés ajustada por inflación o tasa de interés corriente

Usaremos una de la siguientes fórmulas para el calculo de la tasa de interés ajustada por la inflación.

i = r + r + ó i = (1 + r) (1 + )

¿Qué tasa de interés ajustada por inflación (tasa inflada) debemos aplicar hoy a una operación, si no queremos perder poder adquisitivo por efectos de una determinada inflación proyectada, desde el momento en que una persona efectúa una financiamiento, hasta el vencimiento del plazo pactado? Debemos darle a r un valor positivo.

(1 + ¡ r) lo que el ahorrista o Inversionista Demanda ganar realmente

(1+ir)(1+Q) = (1+iQ)

(1 + iQ ) = (1 + iR) (1 + Q)

IQ = (1 + IR) (1 + Q) -1

IQ = IR + Q + R IR . Q

Donde: Tasa de interés ajustada por inflación Tasa de interés Real o Constante Tasa de inflación periódica (del mismo período que i R)


153

(1 + ¡ r) lo que el ahorrista o Inversionista Demanda ganar realmente

(1+ir)(1+Q) = (1+iQ)

(1 + iQ ) = (1 + iR) (1 + Q)

IQ = (1 + IR) (1 + Q) -1

IQ = IR + Q + R IR . Q

Donde: Tasa de interés ajustada por inflación Tasa de interés Real o Constante Tasa de inflación periódica (del mismo período que i R)

Ejemplo

Si dispongo de S/. 3 000 y quiero ganar realmente 5% mensual ¿a qué tasa ajustada por inflación debería colocar ese capital proyectado una inflación del 4%? Compruebe la operación.

Solución:

i = ?

r = 0,05 i = r + r +

= 0,04 i = 0,05 + (0,05) (0,04) + 0,04

i = 0,092

Comprobación:

Monto corriente : S/. 3 000 x 1,092 = S/. 3,276.00

Monto real : S/. 3 276/1,04 = S/. 3,150.00

Tasa real : S/. 3,150 / S/. 3,000 – 1 = 0,05 = 5%,

El inversionista ha recibido a fin de mes 3 276 que deflactado por la inflación es igual a 3276/1,04 = 3150 el cual representa el 5% de rentabilidad real.

Tasa efectiva en moneda nacional de depósitos en extranjera

La rentabilidad o pérdida (rentabilidad negativa), originados por los depósitos de moneda extranjera en el sistema financiero, específicamente el dólar norteamericano, está en función de la tasa de Interés que se perciba por la colocación de los dólares y la devaluación o revaluación del Nuevo Sol en relación a esa moneda.


154

La rentabilidad total implica el siguiente circuito:

- Capital inicial en moneda nacional.

- Conversación de la moneda nacional en moneda extranjera a través de su compra al tipo de cambio de venta de los bancos.

- Depósito del capital inicial en moneda extranjera en una entidad financiera, ganando una tasa de interés.

- Percepción de los intereses en moneda extranjera.

- Retiro de la institución financiera del monto en moneda extranjera y su conversación a moneda nacional, vendiéndola al tipo de cambio de compra de los bancos.

- Comparación del capital inicial y final en moneda nacional durante el período que ha durado la transacción, para obtener el interés y la tasa de interés percibidos.

El cálculo de la tasa de interés efectiva en moneda nacional de un depósito en moneda extranjera, incluye la tasa de interés efectiva ganada en moneda extranjera y la tasa de devaluación de la moneda nacional (la devaluación es una tasa efectiva), y se efectúa con la siguiente fór-mula:

(I + S/ j) = (1 + $ j) (1 + dev)

Pero: 1o

n

TCTC

dev

Donde:

s/ = Tasa de Interés efectiva en Moneda Nacional(MN), de un depósito en Moneda Extranjera. $j = Tasa de Interés efectiva en Moneda Extranjera (ME). Dev = Tipo de devaluación de la moneda Nacional. TCn = Tipo de cambio final de un periodo dado. TCo = Tipo de cambio Inicial de un periodo dado.

(I + S/ j) = (1 + $ j) (1 + dev)

Pero: 1o

n

TCTC

dev

Donde:

s/ = Tasa de Interés efectiva en Moneda Nacional(MN), de un depósito en Moneda Extranjera. $j = Tasa de Interés efectiva en Moneda Extranjera (ME). Dev = Tipo de devaluación de la moneda Nacional. TCn = Tipo de cambio final de un periodo dado. TCo = Tipo de cambio Inicial de un periodo dado.

En general:

)1)(1()1( MNMEMN devii


155

CAPí

TULO

16

Cálculo bancario y comercial

La Matemática Financiera, es álgebra aplicada a los negocios y la economía.

Esta herramienta la prepara El Matemático quien en base a un razo-namiento lógico, desarrolla un conjunto de fórmulas útiles en el campo financiero.

Por ello se habla de: CÁLCULO RACIONAL O MATEMÁTICO

Pero, ocurre que los dos personajes que en la vida de los negocios y la economía, nos dan préstamos y créditos, son: el Banquero y el Comerciante.

Estos personajes distorsionan el herramental preparado por el Ma-temático.

El Banquero, con el llamado “Interés Adelantado”

El Comerciante, con el llamado “Interés Horizontal”

Por eso, en la práctica se oye hablar de CALCULO BANCARIO y de CALCULO COMERCIAL, que se diferencian del CALCULO RACIONAL, en la tasa de interés.

Con calculo Bancario y Calculo Comercial, manejando las llamadas tasas nominales anuales, la tasa verdadera es mayor que la tasa anun-ciada.

Con cálculo racional la tasa verdadera es igual a la tasa anunciada.


156

Con respecto al CÁLCULO BANCARIO:

NO EXISTE EL INTERÉS ADELANTADO

Lo que existe es una mayor tasa de ganancia, encubierta bajo la expresión de cobrarse los intereses “por adelantado”

Tan es así, por ejemplo, en las inversiones en proyectos, jamás escu-chara decir a un analista: “Tengo un proyecto con una tasa interna de rendimiento adelantado del ____% anual”

Con respecto al CÁLCULO COMERCIAL

No le reconocen las amortizaciones y los intereses son constantes, horizontales

En ninguna entidad financiera, ni comercial en ninguna parte del mundo esta en la obligación de rebelarle al cliente su verdadera tasa de ganancia que, al mismo tiempo, es la tasa de costo del cliente

Los ejecutivos de los bancos y comercios no tienen tiempo para ex-plicarle a cada cliente el costo del capital que esta llevando en uso.

De modo que para saber la verdad hay que saber: MATEMÁTICAS FINANCIERA en versión: Calculo Racional o Matemático.

MATEMATICAS FINANCIERA

CALCULO RELACIONAL CALCULO BANCARIO CALCULO COMERCIAL

CON TASA NOMINAL ANUAL CON TASA NOMINAL ANUAL CON TASA NOMINAL ANUAL

CON TASA EFECTIVA ANUAL CON TASA EFETIVA ANUALCON TASA EFECTIVA NUAL

Análisis de préstamos y créditos

Con Tasa Nominal AnualVeamos lo que hacen todos los Bancos de todo el Mundo

Suponga que usted empresario, va a su banco y solicita un préstamo de S/. 2400 por el plazo de 1 mes.

En el banco le dicen que cobran 93% nominal anual.


157

Lo primero que hace el banco es calcular el Interés.

Para eso, necesita una tasa mensual, por cuanto el plazo es un mes.

¿Se tiene ya una tasa mensual? ¡No!

Lo que tenemos es una tasa anual.

¿Y, esa tasa anual, ¿Qué es, nominal o efectiva?

Es, nominal

Ah!! Entonces, solo divida: %75.712

%9330360

%93 diasximensual

Entonces calcula su Interés: 1860775.02400. XIiPI

Hasta aquí, no hay nada nuevo.

24001860775.0

pi 186

Pero, que tal si escribimos:

Presentada así la relación, ¿acaso no sabemos que, si disminuye P, entonces aumenta i?

Cuanto menos plata se le de al empresario, el banco aumenta su tasa de ganancia.

Que tal si el banco, le da solamente 1000 de los 2400 solicitados.

Su tasa aumentaría a [186 : 1000 x 100] = 18.6% Que es mayor que, 7.775%

Pero…, aquí viene el pero

¿Cómo sustentarle al empresario tremenda deducción de 1400?

El banco no podría hacerlo ni lo hace. Serie un TREMENDO ABUSO (Los españoles hablan de Cálculo Bancario o Abusivo)

Ah!!..., pero el banco, de todas maneras quiere sacarle al cliente una tasa mayor, aunque sea un poquito mas.

Entonces hace esto: %40.808401084.02214186

1862400186i

Le da al empresario solamente $ 2214 y, cuando este reclame, ¿de donde resulta la deducción $ 186?

Le dicen es el Interés: I=2400 x 0.0775 = 186

Solo que el banco, se le cobra por adelantado…., Y AHÍ QUEDA.

El Valor Nominal del Pagare (*) es $ 2400


158

El interés adelantado I=186 S=2400

0 j=93% anual 1 mes

P = 2400 %93j anual

%75.712

%93mji mensual

I = -186 Pneto = 2214

Verificación de la tasa: ¿Se cumplirá la tasa anunciada?

%75.7%40.808401084.02214186i

Vea que NO se cumple la tasa de interés anunciada 7.75%

Podríamos decir que:

8.40% es Tasa Verdadera y

7.75% es Tasa Mentirosa

Pero, como la palabra “mentirosa” suena muy fuerte y puede herir la susceptibilidad del banquero; entonces los matemáticos suavizan la situación y dicen: Tasa Nominal.

Y, a la tasa “verdadera” se le dice: Tasa efectiva.

Es aquí, donde surge “la confusión” cuando nos iniciamos en opera-ciones bancarias.

¡Como que Nominal!......, dirá usted, ¿No nos dijo antes que es tasa EFECTIVA periódica?

¿Cómo dice ahora que ahora es Nominal? ¡¡En que queda-mos….!!

La respuesta es:

“La tasa de interés, que es efectiva por definición, deja de serlo, por imposición”.

El Banquero, no le hace caso al Matemático.

J/m

Diagrama según el Matemático Diagrama según el Banquero

S S=P

0 i n días 0 i n días P

I = P.i I = P.i S = P + I P´ = P – I

P´ = Préstamo Neto S = P = Préstamo Solicitado

Observe que en la banca, el Valor Nominal del Pagare es el mismo importe que el Préstamo solicitado.


159

Diagrama según el Matemático Diagrama según el Banquero

S S=P

0 i n días 0 i n días P

I = P.i I = P.i S = P + I P´ = P – I

P´ = Préstamo Neto S = P = Préstamo Solicitado

Observe que en la banca, el Valor Nominal del Pagare es el mismo importe que el Préstamo solicitado.

El Matemático dice:

Déle al cliente lo que ha pedido: P = 2400

Agregue el interés: I = 186

Y el Valor Nominal del Pagare debe ser: S = 2400 + 186 =2586

De este modo, se cumple la tasa anunciada:

%75.70775.02400186i

Relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva dado el interés adelantado

Razone así:

¿Cómo salio 0.08401084? ===> Salio así: 0.08401084 = 1862400186

0775.0240024000775.02400x

xSe puede escribir: 0.08401084 =

Se simplifica 2400, y queda: 0.08401084 = 0775.01

0775.0

Ahora denotamos: 0.0775 será Tasa Nominal y la denotaremos como:

0.084 será Tasa Efectiva y la denotaremos como:

Así derivamos la siguiente formula:

Que los bancos utilizan para saber anteladamente la tasa de interés efectiva que ganaran en una operación a distintos plazos sin necesidad de saber cuánto dinero pedirá un cliente porque, como ha visto, se anula la variable capital.

nomi

efi


160

nom

nomef i

ii1

DescuentoPrestamos

ad

adv i

ii1 d

di1

A la tasa nominal, cuando le aplican a los Préstamos, también la llaman Tasa Adelantada:

A la tasa nominal, cuando le aplican a los Descuentos de Letras, también la llaman Tasa de Descuento: d

adi

iiidii

vef

adnom

Aplicación

A la Tasa Nominal Anual del 93%, calcular la tasa efectiva periódica y las tasas efectivas anuales.

Tasas Efectivas Periódicas y Anuales dado el Interés Adelantado

TasaAnual

j

Periodo(días)

Rotaciónm

TasaNominal

mj

Tasa Efec.Pediod.

nom

nomef i

ii−

=1

Tasa Efectiva

Periódicaefi

Tasa Efectiva Anual: in

efii )1(1 +=+

Tasa Efectiva Anual: i

i(%)

0.93 30 ds 12 0.07750775.01

0775.0−

0.0840108412)08401084.01(1 +=+ i i=16327%

0.93 43 ds 8.372093023 0.11108333 011108333.0111108333.0

− 0.124964844 372093023.8)124964844.01(1 +=+ i i=168.00%

0.93 90 ds 0.2325 i=188.20%

0.93 120 ds 0.31 i=204.41%

En los bancos preparan estas tablas desde 1 día hasta 360 días.

Para saber anteladamente la tasa efectiva (verdadera) de ganancia en operaciones para distintos plazos dentro del año.


161

Observación importantisima:

Para calcular la Tasa Efectiva Anual tiene que poner en ( i´ ) la Tasa Verdadera o tasa efectiva.

Nunca, la Tasa Nominal o Tasa Mentirosa.

Y eso, lo sabe muy bien el banquero.

Por eso, antes dijimos, la Tasa Periódica tiene que se Efectiva, para que la Tasa Anual, también sea Efectiva. ¡Así nomás es!

Tenga presente este diagrama

nom

nomef i

ii1

ad

adv i

ii1 d

di1

v

vad i

ii1 i

id1

Y recuerde esto:

A la tasa nominal, cuando le aplican a los Préstamos, también le llaman Tasa Adelantada:

A la tasa nominal, cuando le aplican a los Descuentos de Letras, también la llaman Tasa de Descuento: d

adi

.equivvef

adnom

iiiidii


162

En la banca¿Cómo elevar más la tasa de ganancia?

La comisión de RetenciónAparte del interés adelantado.

Es la congelación temporal de una parte de la suma abonada en la Cuenta Corriente del Cliente.

Usualmente es un porcentaje del préstamo solicitado, otras veces es un porcentaje de lo abonado en Cta.Cte. Ej.: 5%, 10%, 20%

Esa plata no se queda con el banco, esa plata es del cliente, solo que no puede utilizarlo HOY, sino después del plazo, cuando quiera.

Es como decir:

¡Señor cliente!...,

“Usted me a pedido $ 1000, yo banco le abono 950 porque me cobro los intereses de 50 “por adelantado”.

Ah…, pero además no podrá usted utilizar HOY los 950 pues un im-porte del 10% del préstamo solicitado, o sea,$ 100 son suyos, solo que no podrá utilizarlo hasta después del plazo. Su disponibilidad inmediata será entonces $ 850”

La comisión FlatAparte del interés adelantado, esta si es una ganancia sencillamente

adicional del banco, es un porcentaje sobre el préstamo solicitado. Ej.: 2%, 4%

Ampliando el ejemplo

Préstamo solicitado: P = 2400Tasa Nominal Anual: 93%Plazo: 1 Mes

Con Comisión de Retención Ej. 10% del préstamo solicitado

Valor Nominal del Pagare S = 2400 |-----------------|0 i=7.75% 1mes P= 2400 I= -186 R= -240 -----------------

dispP = 1974

%422.92401862400

186efi mensual

Con Comisión de Flat Ej. 3% del préstamo solicitado

Valor Nominal del Pagare S = 2400 |-----------------|0 i=7.75% 1mes P= 2400 I= -186 R= - 72 -----------------

dispP = 2142

%0448.127218002400

72186efi mensual

Verificación solo a nivel de tasas Verificación solo a nivel de tasa


163

%422.910.00775.01

0775.0efi mensual %0448.12

03.00775.0103.00775.0

efi mensual

Resumiendo Fórmulas

La Tasa Efectiva Anual (i) a partir de una Tasa Nominal Anual (j)

nii ´)1(1

Donde: i es tasa efectiva para n periodos. i´ es tasa periódica y efectiva

Calculo Racional A interés vencido

j es tanto por uno m es # de periodos en el año Para un periodo de x días : m=360/x

Calculo Bancario A interés adelantado

mjmji/1

/´

Con comisión de retención (r)

rmjmji

/1/´

Con comisión flan (cf)

cfmjcfmji

/1/´

i´=j/m

Observación a la retención: Muy Importante

El calculo de la tasa efectiva también puede verse del siguiente modo. Tomemos el ejemplo desarrollado:

Diagrama:S = 2400

R = -240 [Devolución] S´ = 2160 [Pago Neto]

|------------------------------------------------| 0 1 mesP = 1974

Lo que paga el cliente al final es 2400 – 240 = 2160 esto es verdad por tanto, la tasa efectiva es:

%422.909422.0100119742160 xief

Que se puede ver así:

EfectivoDesembolsolBancoGananciadeief


164

Que se puede ver así:

%422.91974186

19741974)2402400(

efi

Queda verificado.

Mas sobre la comisión de Retención y la comisión FLAT

Hay Bancos que fijan una Tasa de Ganancia Anual.

Aplican, Interés Adelantado, pero además, Retenciones o Comisiones Flat.

Entonces, le dan a elegir al cliente, entre un Porcentaje de Retención o un Porcentaje de Comisión Flat.

Total, al banco le da lo mismo, siempre obtendrá la tasa efectiva anual prevista.

Ejemplo:

Un banco maneja una tasa del 93% nominal anual y aplica interés adelantado por el plazo de un mes. Si desea elevar su tasa de ganancia hasta 300% efectiva anual.

¿Cuál es el Porcentaje de Retención (R) o la Comisión Flat (CF) indi-ferentes para que obtener 300% efectiva anual?

Solución:

Significa que el cualquier caso, debe obtenerse la misma tasa efectiva mensual:

122462048.01)00.31( 12/1i

CON RETENCION: CON COMISION FLAT:

122462048.00775.010775.0

Rief 122462048.0

0775.010775.0

CFCFief

De aquí, despejando R: De aquí, despejamos CF:

122462048.09225.0

0775.0R

122462048.09225.00775.0

CFCF

R = 0.289650875 CF = 0.031601281

Verificación:

Suponga que un cliente del banco solicita un préstamo de $10 000 por 30 días y el banco aplica la tasa del 93% nominal anual.


165

El banco le dice: ¿Qué prefiere?

¿Una retención R=28.9650875%? o ¿Una comisión flan CF=3.1601281%?

Con Retención: Con Comisión Flat: R=28.9650875% del préstamo solicitado CF=3.1601281% del Préstamo solicitado

S=10000 S=2400 |----------------------------------| |----------------------------------| 0 i=7.75% 1 mes 0 i=7.75% 1 mes P = 10000 P = 10000 I = - 775 I = - 775 R = - 2893.51 C = - 316.01

122462072.051.289677510000

775efi 122461693.0

01.3167751000001.316775

efi

%30000.31)122462072.1( 12efi anual anual%30000.31)122462072.1( 12

efi

QUEDA VERIFICADO QUEDA VERIFICADO

El préstamo brutoNO EXISTE EL INTERÉS ADELANTADO y bajo esa expresión, “se es-

conde” una mayor tasa de ganancia.

Como ha visto, por el interés adelantado, el cliente recibe menos di-nero que el solicitado. Eso tiende a modificarlo, puesto que su Flujo de Caja le revela que necesita $ 2400 y solo recibe $ 2214.

En cambio el Banquero, elevó su tasa de ganancia. Esto hace que los empresarios tiendan a solicitar más plata que la necesaria por cuanto los bancos dan menos.

Sin embargo, los mismos bancos podrían razonar así:

¿A que cantidad (X), hay que restarle el interés por adelantado (Iad), para que el cliente reciba lo que pidió?

2400adIX

)08401084.1(24000775.0112400

2400)0775.01(2400)0775.0(

X

X

XXX

Observe la parte decimal: Es la tasa efectiva mensual

63.2601X

Monto Bruto……………………………… 2601.63

Menos: Interés = 2601.63 x 0.0775…….201.63

ABONO NETO EN CTA.CTE 2400.00


166

2400adIX

)08401084.1(24000775.0112400

2400)0775.01(2400)0775.0(

X

X

XXX

Observe la parte decimal: Es la tasa efectiva mensual

63.2601X

Monto Bruto……………………………… 2601.63

Menos: Interés = 2601.63 x 0.0775…….201.63

ABONO NETO EN CTA.CTE 2400.00

VERIFICACION DE LA TASA EFECTIVA

%40.8084.000.240063.201i El Banco sube su tasa

Vea que el cliente recibe lo que pidió

¿Dónde esta el interés adelantado? No Existe.

Fórmula para preparar tablas de factores de préstamo bruto (X)

Cuando la tasa es nominal anual (J)

PeriodicaAdelantadaiFACTOR

11

Donde:mji PeriodicaAdelantada

Ejercicio (A):

¿A que cantidad (X) hay que restarle el interés adelantado para que el cliente reciba un préstamo de 10 000 por un mes, si la tasa es 45% nominal anual?

10000adIX

X – X( ) = 10 000

038961.1100001110000 xX

LIQUIDACIÓN

Monto Bruto: ……………. $ 10 389.61 Menos: Interes: ………… $ ________ Abono Neto: ……………. $ 10 000.00

LA TASA EFECTIVA MENSUAL

%8961.3efi mensual


167

Ejercicio: (B)

Una empresa solicita un préstamo de 45,000 dólares por 45 días y el banco maneja una tasa del 12% nominal anual.

Calcule:

1. El Préstamo Bruto.

2. El interés “adelantado”.

3. La tasa efectiva anual.

Rptas: P = 45,685.2 I = 685.28 i = 12.85%

Análisis de descuento de letras: con tasa nominal anual

En el Comercio, los creditos se formalizan con papeles o documentos o instrumentos llamados: Letras Comerciales.

En la Banca, los préstamos se formalizan con papeles o documentos o instrumentos llamados: Pagares.

El Descuento Bancario surge cuando un empresario, que dispone de Letras, necesita dinero HOY y no desea esperar los vencimientos para cobrar lo que le deben.

Entonces recurre a un banco, para que le adelante dinero con cargo a las cobranzas de sus Letras.

Relación entre el Interés y Descuento:El Matemático vs. El Banquero

Interés (I) Descuento (D) S |-----------------------------------|

0 (i) 1 periodo P

El interésLa tasa de interés (i) se aplica a un Stock Inicial (P)

El Interés (1)

El Valor Nominal 1(a)

Reemplazando (1) en 1(a) se obtiene:

I = P . i

S = P + I

iSP

11El Valor Liquido 1(b)

Que es la forma racional de descontar Letras. Con 1 (b).


168

El descuentoLa tasa de descuento (d) surge para aplicarla a un Stock Final (S)

El Descuento (2)

El Valor Líquido 2(a)

Es el caso del Descuento de Letras 1(SAAS)

Reemplace (2) en 2(a):

El Valor Liquido 2(b)

Que es la forma bancaria de descontar Letras: pero, se debería cal-cular: d

Hay 2 maneras de calcular (P): Con 1(b) o con 2(b).

El valor de (P) debe ser el mismo calculando con 1(b) o con 2(b). Una sola es la verdad. Pero, generalmente el Banquero, no calcula la tasa de descuento (d). Así eleva su tasa de ganancia.

Veamos como Calcular (d)Si elige calcular (P) con la relación 2(b), entonces PREVIAMENTE hay

que calcular (d), por cuanto la tasa de interés (i) se aplica a un STOCK INICIAL (P) y no a un STOCK FINAL (S).

Se debe cumplir la igualdad:

D = S . d

P = S - D

P = S(1 – d)

Los PRESTAMOS BANCARIOS de corto

plazo deberian manejarse con las relaciones

(1) y 1(a). Eso dice el Matemático, pero el

Banquero aplica su famoso interés adelantado.

NOTANOTA

NOTANOTA

Los DESCUENTOS DE LETRAS de corto plazo

deberían manejarse con la relación 1(b). Eso dice el Matemático, pero

el Banquero utiliza las relaciones (2) y 2(a).

di

11

1

Pues el valor de (P) debe ser el mismo. La VERDAD tiene que ser una sola con 1(b) o 2(b).

De donde resulta que:

iid

1

Que debe calcularse previamente para “descontar” Letras.

Observación:

La expresión (d) que acabamos de deducir forma parte de la secuencia ya expuesta:


169

nom

nomef i

ii1

ad

adv i

ii1 d

di1

Por simple despeje

iid

1v

vad i

ii1

Recuerde que:

A la tasa nominal cuando le aplican a los Préstamos, también la llaman Tasa Adelantada:

A la tasa nominal cuando le aplican a los Descuentos de Letras, también la llaman Tasa de Descuento: d

nomiadi

nomi

equivvef

adnom

iiiidii

Un absurdo del descuento bancario simple¿Por qué se recurre al Descuento Bancario Compuesto?

¿Por qué, Compuesto y No Simple?

Porque el Descuento Bancario Simple nos conduce a RESULTADOS ABSURDOS.

¡Fijese!

Si usted tiene una Letra por S/. 5 000 000 pero vence en 2 años.

Va a un Banco a “descontarla” cuando la tasa de interés es 60% nominal anual.

1° El Banco calcularía “El Descuento”

D = S .d ==> D = 5000000 (0.60 x 2) = 5000000 x 1.2 = 6000000

2° El Valor Liquido seria NEGATIVO

P = S –D ==> P = 5000000 – 6000000 = -1000000


170

¿NO ES ABSURDO, QUE EL BANCO SE QUEDE CON SU LETRA Y ENCIMA USTED TENGA QUE PAGAR S/. 1 000 000 para que “lo dejen salir” del banco?

El Descuento Bancario Simple solo funciona a tasas muy bajas de interés y en cortos plazos.

En estos casos, el paréntesis de la formula P = S (1 –d) no resulta negativo puesto que d < 1

¡AHORA, AGUDICE SU CAPACIDAD DE RACIOCINIO!

A tasas muy altas en la economía, para evitar d>1 se fracciona la tasa a periodos generalmente mensuales. Así, en la mayor parte de los casos, no ocurre que: d > 1

y el paréntesis se eleva a la “n” porque los bancos “capitalizan” o hacen SUMAS ECONÓMICAS, a su modo.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA CALCULAR CUOTAS FIJAS: A

Descuento Bancario Compuesto

nddPR

)1(1

DIAGRAMA TÍPICO: FLUJO ANTICIPADO: Ejemplo de 6 periodos.

R R R R R R R |------|------|------|------|------|------| Deuda al banco P d

P, es la deuda pendiente en un momento dado y ya hay que iniciar el pago de una R, como se ve en el Diagrama. El problema es determinar (R). Para ello razonamos así:

El Flujo de Pagos actualizado a la manera de los bancos, debe estar en ecuación con la deuda pendiente.

54321 )1()1()1()1()1( dRdRdRdRdRRP

Sacando R en factor común:

])1()1()1()1()1(1[ 5432 dddddRP


171

El corchete es una Progresión Geométrica:

1)1(1)1(1 6

ddRP

ddRP

6)1(1 ==> 6)1(1 ddPR

GENERALIZANDO: Por inducción matemática, para “n” periodos:

EJEMPLO: Para 3 periodos: nddPR

)1(1 3)0775.01(10775.063.2601R

36055442.063.2601 xR03.938$R

DIAGRAMA: R R R Cuota 938.03 938.03 938.03 Interés 201.63 Amortización |--------------------|--------------------|--------------------|

0 1 2 3 P=2601.63

P´=2400.00 2601.63

LAS AMORTIZACIONES: Otra complicación bancaria

nn ddPRA)1(

)(

Donde es costumbre en la Banca e Instituciones Financieras

NO CALCULAR la Tasa de descuento (d).

Después de haber calculado las Cuotas Fijas (R), con la Formula expuesta, proceden a:

1° Calcular las Amortizaciones.

2° Calcular los Intereses, por diferencia, con la Cuota Fija (R).

CALCULO DE LAS AMORTIZACIONES:

27.798)0775.01(

40.736)0775.01(

)0775.0(63.260103.938111A

33.865)0775.01(

40.736)0775.01(

)0775.0(63.260103.938222A

03.938)0775.01(

40.736)0775.01(

)0775.0(63.260103.938333A


172

OBSERVACIÓN: El numerador es una constante = 736.40. Solo varía el denominador en el exponente. NADA MÁS.

DIAGRAMA: R Cuota 938.03 938.03 938.03 Interés 201.63 139.76 72.70 - Amortización 798.27 865.33 938.03 |------------------------|------------------------|------------------------| 0 1 2 3 P = 2601.63 P´ = 2400.00 2601.63 1803.36 938.03

Hay que calcular:

- Primero: Las Amortizaciones (A)

- Segundo: Los Intereses, por diferencia con la Cuota Fija (R). Eso dijimos.

Aunque también, puede verificar los intereses así:

- (2601.63 – 798.27) 0.0775 = 139.76

- (1803.36 – 865.33) 0.0775 = 72.70

- (938.03 – 938.03) 0.0775 = 0.0

Análisis de créditos comerciales: con tasa nominal anual

El Interés Horizontal: Tasa Flat o Directa

(La tasa de interés siempre se aplica al crédito otorgado)

El Comerciante tiene una manera muy particular de calcular las cuotas fijas por un crédito que otorga y las cuotas generalmente son mensuales.

Ejemplo:

Sea un crédito de 2400 a devolver en 3 meses a la tasa del 93% nominal anual

La fórmula del comerciante

CUOTA MENSUAL =DeMesesN

INTERESESCREDITO

nniPPC ..

3)3)(0775.0(24002400C = $ 986


173CUOTA MENSUAL =

DeMesesNINTERESESCREDITO

nniPPC ..

3)3)(0775.0(24002400C = $ 986

El costo de un crédito comercialEn el Comercio hay 2 PRECIO DE CONTADO:

El llamado “de LISTA” y el CASH (este ultimo es el verdadero precio de contado)

Ejemplo:

Un comerciante vende un artefacto electrodoméstico cuyo precio de contado dice que es $ 1500. Lo entrega con una Cuota Inicial de $ 300 y el Saldo $ 1200 en 24 Cuotas de $ 74 indicando que contiene una tasa de interés del 2% mensual.

Dicho comerciante calcula la cuota fija así:

7424

2402.012001200 xxC

Calcule la tasa efectiva mensual.

DIAGRAMA: R = 74 |------------------------------------------------| 0 i =? 24 P = 1200

ANÁLISIS: Para calcular la tasa efectiva se aplica el Calculo Racional. En este caso se aplicara el FAS.

OPERACIONES: inFASRP .

iFAS24.741200

SOLUCIÓN: i = 0.03407 mensual (i=49.49% efectiva anual)

OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:

En el Comercio se estila manejar DOS PRECIOS DE CONTADO: El de LISTA y el CASH.

En Precio Cash, es el VERDADERO Precio de Contado, pues es lo que usted pagaría en el momento.


174

Suponga que el Precio CASH es $ 1300.

Por tanto, el VERDADERO CRÉDITO es: 1300 – 300 = 1000

Ahora, con este conocimiento, calcule la tasa efectiva mensual.

DIAGRAMA: R = 74 |-------------------------------------------------------| 0 i =? 24

P = 1000 IFAS24.741000

SOLUCIÓN; i = 0.05215 = 5.215% mensual (i=84.05% efectiva anual)

TABLA RESUMEN DE FÓRMULAS


175

Ejercicio resumen

Manejo de la Tasa de interés EFECTIVA anual con Cálculo Racional, Bancario y Comercial

CALCULO RACIONAL CALCULO BANCARIO

CALCULO COMERCIAL

Formula

11´

´)1(1

360 nDias

n

ii

ii

Formula

´1´i

ídiad

Para no superar la tasa efectiva anual (i)

Formula (*)

nnFRCr i

n1]1)[( ´

Para no superar la tasa efectiva anual (i)

Tasa (i) EfectivaAnual

Plazoo

periodo

Tasa (i´) EquivalentePeriódica

Tasa periódica adelantada (iad)

o de descuento (d)

Tasa directa o flan (r)

PlazoMeses

(a)

40%

40%

40%

57

90

117

0.087757305

0.080677284 0.016155258

9

15

18

(*) Iguale. n

rPPFRCPn

in

)(. y despeje (r)

Nota importante:

Cuando en una economía se manejan tasas efectivas anuales, he notado a través de mis clases que los participantes después de haber calculado la tasa periódica equivalente se pregunta:

¿Y cuanto es la tasa nominal anual?

Yo les digo:

No sirve para nada, calcular tasa nominales anuales a partir de la tasa equivalente periódica (i´).

¡Véalo!

TasaEfectiva Anual

Periodo Tasa Periódica Equivalente

i

Tasa Nominal Anual j

15%

15%

15%

Mensual

Bimensual

Trimestral

1.1715%

3.5558

1.1715 x 12 =14.058

_____ x 6 = 14.140%

1.558 x 4 = 14.223%

Nótese que, dependiendo del periodo de la tasa e interés equivalente, surgen distintas tasas nominales anuales.


176

Pero, lo único que necesitamos es la tasa periódica (i) para calcular el interés:

I = P. i

En el caso del periodo mensual. Ya tenemos la tasa mensual (1.1715%). Para que multiplicar por 12 y calcular la Tasa NOMINAL anual 14.058% si después tenemos que dividir entre 12, para calcular un Interés Mensual.

Además, la tasa nominal anual 14.058% solo sirve para regresar al valor de la tasa mensual.

No sirve para calcular una tasa trimestral, pues esta tiene su propia tasa nominal anual que es 14.223% (Ver Cuadro)

Recomendación:

Usted, ANALISTA FINANCIERO, quédese con las tasas equivalentes periódicas.

FINANCIAMIENTO A MEDIANO Y LARGO PLAZO

DESCUENTO COMPUESTO RACIONAL O MATEMATICO

DESCUENTO COMPUESTO BANCARIO

Como : ID

=> ]1)'1[( niPD

También : ])'1(1[ niSD

Descuento “Dk” para un periodo “k” Cualquiera :

kiSDk )1(1.

STOCK FINAL : niPS )1(

STOCK INICIAL : niSP

)1(

])1(1[ ndSD

Descuento “Dk” para un periodo “K” Cualquiera :

1)1(. kk ddSD

VALOR NOMINAL : ndPS )1(

VALOR LIQUIDO : ndPS )1(

Relación entre la tasa de interés y tasa de descuento

iid

1


177

LAS CUOTAS FIJAS (R) CALCULO

RACIONAL O MATEMATICO CALCULO BANCARIO

CALCULO COMERCIAL

)( inFRCPR

1)1()1(

n

n

iiiPR

Donde: n=# periodos

Donde : P = Préstamo solicitado s = # de cuotas de pago (R)

nINTERESCREDITOR

nnrPPR ..

=>

nddPR

)1(1

ni

iPR

)1(11

nnrPR .1

LA AMORTIZACION (A) CALCULO

RACIONAL O MATEMATICO CALCULO BANCARIO

CALCULO COMERCIAL

La amortización utilizada es de acuerdo al tipo de repago de deuda utilizado (método francés, alemán, americano)

Amortización bancaria para cuotas fijas (R)

inFSAIRA )(

=> ndPdRA

)1(1)(

Nota : También se puede utilizar el “Método Alemán” (amortizaciones fijas) para cuotas variables

nCREDITOA

nddPRA

)1(

Descuento racional compuestoEn una operación de descuento racional compuesto, el valor presente

del titulo valor se calcula a interés compuesto.

n

n

iSSDiSP

PSD

)1()1(

.Peroentonces

])1(1[ niSD


178

Equivalencia del descuento racional compuesto y el interés compuesto.

]1)1[( nIPIcomo ])1(1[ niSD niPS )1(

niPD )1( ])1(1[ ni]1)1[( niPD

ID

Ejemplo 1

Calcule el descuento racional compuesto a practicarse a un pagare con valor nominal de S/. 10 000 y vencimiento a 60 días. Utilice una tasa efectiva mensual del 4%.

Solución:

D = ? niSD )1(1[S = 10 000 ])04,01(1[10000 2Di = 0,04 44,754Dn = 2 meses

Ejemplo 2

La empresa COMSA, comercializadora de útiles de escritorio, ha efec-tuado compras de mercaderías por un importe total de S/. 40 500 incluido el 18% de impuesto general a las ventas (IGV). ¿Qué importe de la factura puede utilizar para el crédito fiscal? Compruebe su respuesta.

Solución:

D = ? ])1(1[ niSDS = 40 500 ])18,1(1[40500 1Di = 0,18 97,6177Dn = 1

Comprobación

Valor venta 34 322,03IGV 18% 6 177,97

Precio de venta 40 500,00

Ejemplo 3

¿Por qué monto deberá aceptarse un pagare con vencimiento a 60 días, para descontarlo racionalmente hoy. Si requiere disponer un importe de S/.10 000 utilice una tasa efectiva mensual del 4% y compruebe la respuesta.


179

Solución:

S = ? a. Valor nominal niPS )1(n = 2 10816)04.01(10000 2S

i = 0,04 ])1(1[ niSDP = 10000 b. Descuento 816])04,01(1[10816 2D

Comprobación

Valor nominal 10 816Descuento (816)

Importe disponible 10 000

Ejemplo 4

Calcule el importe disponible a obtenerse hoy por el descuento ra-cional de un pagare con valor nominal de S/.8 000 y vencimiento dentro de 38 días. El banco cobra una tasa efectiva mensual de 5%, S/. 10 por gastos, S/. 5 de portes y efectúa además una retención del 10% sobre el valor presente del documento. Efectué la liquidación.

Solución:

P = ? S = 8000 N = 38/30 i = 0,05 i = 0,1

GiiPS n ]')1[(

1,005,158000

30/38P1

44,6861PG = 15

Liquidación Importe

Valor nominal del pagareDescuento 437,42Gastos 10,00Portes 5,00Retención 6 861,44 x 0,1 686,14

8 000,000

(1 138,56)

Importe disponible 6 861,44

]105,1[44,6861 30/38


180

Descuento bancario compuestoEl descuento bancario compuesto consiste en una serie de cálculos

de descuentos simples donde, en primer termino, se aplica el descuento por un periodo sobre el valor nominal de la deuda a su vencimiento, encontrando su valor líquido al final del primer periodo (evaluado de derecha a izquierda), o al comienzo del segundo periodo. A este valor obtenido se aplica el descuento por segunda vez encontrando su valor líquido pagadero dentro de dos periodos y así sucesivamente para todos los periodos de horizonte temporal, comprendido, comprendido entre la fecha que se hace efectivo el abono del importe líquido del documento y la fecha del vencimiento de la deuda.

Calculo del valor liquido

S

Pn d P2 d P1 d

)1(1 dSP

22 )1( dSP

nn dSP )1(

SdSP1 )1( dS

dPPP 112 )1)(1()1(1 ddSdP 2)1( dS

dPPP 223 )1()1()1( 22 ddSdP 3)1( dS

dPPP nnn 11 )1()1()1( 11 ddSdP n

nndS )1(

ndSP )1(

Ejemplo 1

El 7 de marzo la empresa Entursa, correntista del Banco Americano, acepto un pagare de S/. 9 000 con vencimiento a 90 días. ¿Cuál fue el valor liquido que Entursa recibió en esa fecha si la tasa nominal anual de descuento fue 48%, con periodo de descuento bancario cada 30 días?


181

Solución:

P = ? ndSP )1(S = 9 000 2)04,01(9000Pn = 3 62,7962Pd = 0,48/12

Ejemplo 2

En el ejemplo anterior, considere que la compañía Entursa esta pre-parando un informe de las cargas financieras originadas en sus diversos prestamos vigentes, por lo que requiere conocer el importe de los des-cuentos mensuales generados en torno a su pagare descontando el 7 de marzo. Calcule dichos importes.

Solución:

7/3 6/4 6/5 5/6 D=331,78 D=345,60 D=360

90 días 60 30 0 7 962,62 8 294,40 8 640 9 000

Fecha Días

ValorLiquido

ndSP )1( −=Donde: n=0,1.2. y 3

DescuentoMensual

dSD .=Descuentoacumulado

05-0606-0506-0407-03

0306090

9 000,0008 640,0008 294,407 962,62

360,00345,60331,78

0,00 360,00705,60

1 037,38

Ejemplo 3

Un pagare con valor nominal de S/.5 000 se descuenta bancariamen-te 6 meses antes de su vencimiento aplicando una tasa adelantada del 18% anual con capitalización mensual. ¿Qué importe debe pagarse para cancelarlo 2 meses antes de su vencidito?

Solución:

5000

6 5 4 3 2 1 0

P = ? ndSP )1(S = 5 000 2)015,01(5000Pn = 2 13,4851Pd = 0,18


182

Calculo del valor nominalDespejando S:

ndPS )1(

Ejemplo 4

La empresa Tensor requiere disponer un valor líquido de S/.5 000. Para tal efecto utiliza su línea de descuento de pagares. ¿ Cual debe ser el valor nominal del documento con vencimiento a 60 días y a una tasa nominal anual del 48% con periodo de descuento bancario mensual?

Solución:

S = ? ndPS )1(P = 5 000 2)04,01(5000Sn = 2 35,5425Sd = 0.48/12

Calculo del descuento bancario compuesto

PSD como ndSP )1(ndSSD )1(

])1(1[ ndSD

Ejemplo 5

Halle el descuento bancario compuesto de una letra cuyo valor nominal es S/. 7000 y vence dentro de 45 días. La tasa nominal anual es 36% con periodo de descuento mensual.

Solución:

D =? ])1(1[ ndSDS = 7 000 ])03,01(1[7000 5.1Dn = 1,5 63,312Dd = 0,36/12


183

Ejemplo de operaciones financieras a mediano y largo plazo

Hasta julio 1985Tasa de interés NOMINAL anual J =93%

MONEDA NACIONAL: SOLES.

Sea un préstamo de 10 000 a devolver en 4 cuotas FIJAS trimestrales, con interés adelantado.

R R R R

0 1 2 3 4

P = 10,000 4/%93/ mjiTRIM

IAD = 2,325 2325.0%25.23TRIMi

PB=7,675 es tasa proporcional trimestral.

1° El interés “adelantado” por el 1er.Trim.

Se asumía: tasa “adelantada” = 0.2325

23252325.010000xI AD

2° Cálculo de las cuotas fijas:

Se asumía tasa de descuento d=0.2325

Se usaba Descuento Compuesto Bancario.

kddPR

)1(1

4)2325.01(12325.010000R

R=10000 x 0.356042061 R=3560.42

Ahora viene: LA TASA EFECTIVA TRIMESTRAL

Para saber la verdad: Se usa Cálculo Racional


184

Diagrama:

3560.42 3560.42 3560.42 3560.42

0 1 2 3 4

P = 7675 Liquido o efectivo.

Use el método general: EL FAS.

Por actualización racional.

rnRxFASP

4)1(1142.35607675

ii

i

Donde: i = 0.302931596 trimestral

Luego, la tasa efectiva anual es: i = 188.20%

Las tasas nominales anuales producen una elevación de la tasa efectiva anual de ganancia por el interés “adelantado”.

NOTA: Con descuento compuesto Bancario hay que calcular el préstamo bruto (x) para abonar 10000 x = 10000 (1/(1-0.2325))

Metodología actualTasa de interés EFECTIVA anual i=19% (LIBRE)

MONEDA EXTRANJERA: DÓLARES.

Sea un préstamo de 10000 a devolver en 4 cuotas FIJAS trimestrales, con interés adelantado.

R R R R

0 1 2 3 4

P = 10000.00- 1)19.1( 4DTRIMi

I = 425.56 044447802.0TRIMi

es tasa equivalente trimestral.44.9574NP


185

1° Calculo de la tasa “adelantado” trimestral.

042556269.0044447802.01

044447802.0d

2° El interés “adelantado” por el 1er trimestre.

042556269.010000xiAD

56.425ADi

3° Cálculo de las cuotas Fijas misma formula.

4)042556269.01(1042556269.010000R

R = 10000 x 0.266536635 R = 2665.37

Ahora viene: LA TASA EFECTIVA TRIMESTRAL.

Para saber la verdad: Se usa Cálculo Racional.

Diagrama:

2665.37 2665.37 2665.37 2665.37

P = 9574.44 liquido o efectivo use el método general: El FAS.

Por actualización racional.

rnRxFASP

4)1(1137.266544.9574i

ii

Donde: i = 0.044447802 trimestral

Se cumple la tasa efectiva anual: i = 19.00%

Las tasas efectivas anuales, constituyen la ganancia límite, así usted calcule y aplique una tasa “adelantada”.

NOTA: Con descuento compuesto Racional no hay que calcular préstamo bruto. Solo de 10000 y aplique el FRC.


186


187

CAPí

TULO

17

El mercado de valores¿Cómo surge el negocio de la bolsa?

Surge de la necesidad de financiamiento que permanentemente tiene toda empresa para ejecutar sus operaciones o inversiones.

El Financiamiento llega a la empresa de 2 formas:

1° Sistema Financiero Indirecto: Los Bancos como intermediarios.

AHORRISTAS =========> =========> INVERSIONISTAS BANCO

Es indirecto, por cuanto “no se conocen” los ahorristas con los inversionistas.

2° Sistema Financiero Directo:

AHORRISTAS =================> INVERSIONISTAS

Es directo, por cuanto “si se conocen” los ahorristas con los inver-sionistas.

Se trata de captar pequeños capitales que sumados hacen un gran capital para financiar sus operaciones o inversiones. Esta idea surge, ante la limitación de un solo banco para financiar un gran proyecto.


188

MERCADO DE VALORES

MERCADO DE DINERO (corto plazo)

MERCADO DE CAPITALES (largo plazo)

Letras, Pagares, Papeles ComercialesDiagrama típico

S |----------------------------------| 0 i n días P

NOTACIONES:

P = Valor Presente, Precio. S = Valor Nominal. I = Intereses. D = Dividendos. V = Valor de redención.

BonosDiagrama típico

I I I I I I |-----|-----|-----|-----|-----|-----| 0 1 2 3 4 ……. N años

Acciones

D1 D2 D3 D4 …….. D°°|-----|-----|-----|-----|-----|-----| 0 1 2 3 4……. °° P (i)

I = Tasa de interés o rendimiento. N = Horizonte temporal, Plazo.


189

El mercado de valoresEl Código de Comercio de 1902 constituye el primer antecedente nor-

mativo nacional destinado a la regulación del mercado de valores. Si bien es cierto que dicho cuerpo legal no se ocupaba del mercado de valores en general, sí regulaba uno de sus instrumentos más importantes: las Bolsas de Valores de Comercio. No obstante, debe reconocerse que esta materia había sido objeto de regulación mediante la aprobación deL Reglamento de la Bolsa de Valores de Lima, el 29 de Agosto de 1898, institución que operaba desde su creación, el 21 de Diciembre de 1860.

Posteriormente, en 1970, se produjo, la reforma que permitiría una mayor especialización de la legislación del Mercado de Valores, inde-pendizándose del Código de Comercio. En efecto, mediante Decreto Ley 18302, de fecha 2 de Junio de 1970, se estableció un régimen legal específico aplicable al mercado de valores, el cual fue reglamentado mediante Decreto Supremo 187 - 70 del 9 de Agosto de 1970. Posterior-mente, mediante Decreto Ley 18353 de fecha 9 de Agosto de 1970 se reestructuró la Bolsa de Valores de Lima, derogándose la sección sexta del Código Comercio. Con anterioridad, el Decreto Ley 17020 de fecha 28 de Mayo de 1968, había creado la Comisión Nacional de Valores, la que se denominó a partir de la vigencia Del Decreto Ley 19648, Comisión Nacional Supervisora de Empresas y Valores (CONASEV).

En lo que atañe al mercado bursátil, mediante Decreto Legislativo 211, del 12 de junio de 1981 se modificó el régimen legal de las Bolsas de Valores, derogándose la normas que al respecto contenían los Decretos Leyes 18302 y 18353.

Por su parte, el Decreto Legislativo 198, Ley Orgánica de Conasev, marcó una nueva pauta para su estructuración especializada. La referida norma fue reglamentada mediante Decreto Supremo 0295 - 81 - EFC.

En la actualidad, el mercado de valores se rige por el Decreto Legis-lativo 861 (Ley de Mercado de Valores) persigue modernizar al Mercado de Valores, a través de diversas instituciones.

ConceptoEl mercado de valores, como parte conformante del mercado de

capitales, sirve al proceso de formación de capitales, necesario para el desarrollo del sector productivo, mediante la emisión de valores emitidos por personas jurídicas públicas y privadas, con el fin de captar el ahorro de los inversionistas y público en general.


190

Clasificaciones del mercado de valoresAtendiendo a la naturaleza de la colocación de los valores, el mercado

se puede clasificar en:

a. Mercado Primario.

b. Mercado Secundario.

Esta clasificación es detallada más adelante.

Desde el punto de vista de su organización, el mercado de valores puede dividirse en:

a. Mercado Bursátil

Es la expresión organizada del mercado de valores, que se lleva a cabo a través de una institución denominada Bolsa de Valores. Este mercado está caracterizado por la negociación de los Valores Mobiliarios (Títulos Valores) previamente inscritos en Bolsa. Los valores negociables en el mercado bursátil están conformados sobre todo por Acciones de Capital y Acciones de Trabajo. Así mismo, se negocian Certificados de Suscripción Preferente y algunos Bonos y Obligaciones.

b. Mercado extrabursátil

Es el segmento del mercado de valores en el que se negocian valores fuera del mercado bursátil; vale decir, es el mercado constituido por las operaciones realizadas fuera de Bolsa. Sobresalen en éste mercado la negociación de Pagarés, Letras de Cambio y Pagarés Bancarios.

CaracterísticasEl mercado de valores se caracteriza por los siguientes aspectos:

a. Forma parte del mercado de capitales, constituyéndose así en uno de los medios de captación de capitales para el desarrollo del sector productivo de un país.

b. Es un mercado donde se negocian exclusivamente Valores Mobi-liarios, entendiéndose por tales aquellos valores que pueden ser representativos del Capital Social de una Sociedad en cuyo caso se denominan Acciones, o representativos de créditos en cuyo caso son denominados Obligaciones o Bonos.

c. Otorga liquidez a cada valor para su conversión en efectivo en cualquier instante.


191

d. Se caracteriza también por estar regulado y permanentemente supervisado por un organismo estatal a fin de garantizar el interés de los inversionistas y público en general así como la transparencia del mercado.

Registro publico de valores e intermediarios

ConceptoEl Registro Público de Valores e Intermediarios; es creado con el

objeto de que la información contenida en él sea difundida al público en general e inversionistas en particular, a fin de contribuir a una adecuada torna de decisiones en materia financiera, así como a la transparencia del mercado de valores. Mediante el registro se trata de centralizar la información para hacerla disponible en forma homogénea y oportuna a los usuarios.

El Registro Público de Valores e Intermediarios, está a cargo de la Comisión Nacional Supervisora de Empresas y Valores. Están obligadas a inscribirse en el Registro Público, todas aquellas personas jurídicas que requieran emitir un valor mediante oferta pública; cotizar sus valores en Bolsa, así como las sociedades que se constituyan como Agentes de Intermediación. Igualmente, aquellas que administran Fondos Mutuos de Inversión en Valores, empresas administradoras de Fondos Colecti-vos, Sociedades Anónimas Abiertas y Sociedades Auditoras que emitan dictamen de empresas supervisadas por Conasev. Secciones del Registro Público de Valores e Intermediarios

Actualmente, el Registro Público de Valores e Intermediarios, consta de las siguientes secciones:

a. De Valores Mobiliarios

a.1 De Oferta Primaria

Es aquella sección en la que se inscriben todos aquellos valores provenientes de nuevas emisiones de acciones (para la constitución de empresas o incremento de su capital social vía oferta publica) o Bonos.

a.2 De oferta Pública Secundaria

Son los títulos o valores que ya se encuentran en circulación y son ofertados en las Bolsas de Valores.


192

b. De Agentes de Intermediación

Son personas jurídicas constituidas como Sociedades Anónimas y cuyo objeto principal es la intermediación en valores. Los agentes de intermediación pueden ser de dos clases: las Sociedades Agentes de Bolsa y las Sociedades Intermediarias de Valores; existiendo un registro respectivo para cada uno de ellos.

c. De Fondos Mutuos de Inversión en Valores

Es el patrimonio integrado por aportes de personas naturales y jurídicas con el objeto de invertirlo en valores de oferta pública,

d. De Empresas Administradoras de Fondos Mutuos de Inver-sión en Valores

Las sociedades administradoras de Fondos Mutuos de Inversión en valores, se constituyen con el exclusivo objeto de administrar uno o más fondos autorizados por la Conasev.

e. De Empresas Clasificadoras de Riesgo

Son sociedades que tienen por objeto exclusivo calificar y clasificar valores de acuerdo a la evaluación de las condiciones del título y del emisor, estableciendo categorías diferentes de riesgo, de modo que pueda estimarse el grado de riesgo que entraña la inversión en un determinado valor.

f. De Empresa Administradoras de Fondos Colectivos

Son sociedades anónimas que tienen por objeto la administración de fondos conformados por aportes regulares de diferentes perso-nas para adquirir mediante acción conjunta determinados bienes o servicios.

g. De Sociedades Anónimos Abiertas

Son aquellas que realizan oferta pública de sus acciones; o cuyo capital social se encuentre en poder de más de 25 accionistas; que posean en conjunto más del 30 por ciento, sin que individualmente ninguno posea más del 5 por ciento.

h. De Sociedades Auditores

Toda la información auditada que, por disposición legal o adminis-trativa, deban presentar a Conasev las empresas sometidas a su supervisión, será dictaminada por Sociedades Auditoras debida-mente inscritas en éste registro. Las Sociedades Auditoras pueden adoptar cualquier forma societaria admitida en la Ley General de Sociedades.


193

Características del Registroa. Público

El registro es público porqué está garantizado el acceso de cualquier persona a la información registrada, sea ésta de carácter financiero respecto de alguna empresa, acerca de hechos de importancia o, en general información relativa a un valor, sociedad o acto inscrito.

b. Centralizado

El registro es centralizado porque toda la información y documen-tación se encuentra centralizada en la oficina de Registro Público de Valores e Intermediarios, a cargo de la CONASEP.

Oferta publica de valoresLa oferta pública de valores es la invitación adecuadamente difundida

(mediante la utilización de cualquier medio de publicidad, difusión o co-rrespondencia) dirigida al público en general o a determinados sectores de éste, con el objeto de realizar cualquier acto jurídico destinado a la colocación de nuevos valores mobiliarios en el público o a negociar los que estén en circulación.

Naturaleza JurídicaLa oferta pública de valores es una declaración unilateral de voluntad,

que puede ser de carácter receptivo o no, mediante la cual se propone la creación de una relación jurídica entre un emisor y el suscriptor de un valor determinado.

Clases de oferta públicaLa oferta público de valores puede ser primaria o secundaria.

a. Oferta pública primaria

Se considera oferta pública primaria a la invitación que tiene por objeto la colocación de valores de nueva emisión en el mercado de valor. Esta clase de oferta pública es de suma importancia, pues es un medio de captación de nuevos capitales que, ya sea en forma asociativa o crediticia, constituyen recursos necesarios para el desarrollo del sector productivo de un país.

b Oferta pública secundaria

La oferta pública secundaria es la invitación que tiene por objeto la transferencia de valores, sea en el mercado bursátil o extrabur-sátil, que han sido previamente objeto de colocación en primera emisión.


194

Mercado Primario de ValoresEl mercado primario de valores es el segmento del mercado donde se

realiza la primera colocación de valores recién emitidos, produciéndose así la suscripción inicial de los mismos. También es llamado Mercado de Emisiones y constituye el medio más importante de captación de recursos financieros dentro del mercado de valores

Mercado Secundario de Valores

El mercado secundario de valores viene a ser un mercado de tran-sacciones de valores ya emitidos, y que son negociados luego de su primera colocación.

Es el segmento del mercado de valores que ser caracteriza por ser un mercado de liquidez, esto es un mercado de donde se realizan las sucesivas transferencias de los títulos y donde cada adquiriente de los mismos tiene la posibilidad de realizarlos en cualquier instante. En este mercado, el precio de los valores mobiliarios se forma por el libre juego de la oferta y la demanda; a diferencia del mercado primario donde el precio está determinado por el valor nominal del título, dado que se trata de valores de primera emisión.

Finalmente, debemos decir que es a éste mercado donde se dirige la oferta pública de valores.

Valores MobiliariosLa relación entre títulos valor y valor mobiliario es una relación de gé-

nero a especie, valores mobiliarios son una especie de los títulos, Valores, y, por tanto, documentos que tiene incorporados derechos patrimoniales y que están destinados a la circulación. Confieren a sus titulares derechos crediticios, domínales o patrimoniales o de participación en el capital, el patrimonio o las utilidades del emisor.

AccionesLas acciones son valores mobiliarios representativos del capital social

de una sociedad que confieren diversos derechos a su titular.

Son títulos esencialmente transmisibles y negociables, constituyen la expresión cabal de los derechos particípatenos, entendiéndose por éstos el poder jurídico para intervenir en el patrimonio de otro sujeto.

A las acciones también se les llama valores de renta variable, porque su rentabilidad está determinada por el resultado del ejercicio de la ac-tividad económica de la sociedad emisora.


195

BonosLos bonos son valores mobiliarios representativos de un crédito con-

tra la empresa emisora, cuyo plazo de redención debe ser mayor de un año.

Son títulos de renta fija porque reditúan intereses sujetos a una tasa fija, cuyo importe está determinado desde la emisión del título, no de-pendiendo, pues, su rentabilidad del resultado del ejercicio económico de la empresa emisora.

Mecanismos centralizados de negociación

Son aquellos mercados secundarios que reúnen o interconectan simultáneamente a varios compradores y vendedores con el objeto de negociar valores.

El mecanismo centralizado de negociación más representativo es la rueda de bolsa, la cual consiste en una reunión diaria con el objeto de negociar valores mobiliarios previamente inscritos en la Bolsa.

Bolsas de valores

ConceptoLas Bolsas son asociaciones civiles de servicio público de especiales

características, que tienen por finalidad facilitar la negociación de valo-res mobiliarios, debidamente registrados, proveyendo a sus miembros, y por cuenta de ellos al público en general, de los servicios, sistemas y mecanismos adecuados para intermediar valores mediante oferta pública en forma competitiva, ordenada, continua y transparente.

Naturaleza JurídicaLa Ley de Mercado de Valores define a las Bolsas como asociaciones

civiles de servicio público, poseyendo especiales características.

Esta definición establece una naturaleza jurídica sui generis de las Bolsas de Valores, toda vez que, por definición, una asociación civil es una organización estable de personas naturales o jurídicas o de ambas, que, asociadas persiguen fines comunes para sus miembros (Artículo 80° del Código Civil); pero que, en absoluto, persiguen fines de servicio público. De otro lado, como asociación civil es una persona jurídica de derecho privado, sin fines de lucro. Esto quiere decir que la Bolsa, como asociación civil, no puede procurar más beneficios que no sea una mejora en los servicios inherentes a su carácter de institución de servicio público.


196

Como asociación civil, la Bolsa debe tener un sustrato personal, es decir, un número de asociados que la ley establece que no puede ser inferior a 20 personas. En la Ley de Mercado de Valores, se establece que, los asociados a una Bolsa sólo pueden ser las Sociedades Agentes de Bolsa, quienes adquieren tal condición mediante la adquisición de certificados de participación.

El patrimonio mínimo exigido a las Bolsas de Valores es de un millón de nuevos soles, representados en certificados de participación.

Estructura OrgánicaLa Bolsa se compone de los siguientes órganos:

a. Asamblea General (Junta de Asociadas)

En concordancia a su naturaleza jurídica de asociación civil, el máximo órgano de gobierno de una Bolsa es la asamblea general, teniendo como función primordial la elección de los miembros del consejo directivo.

b. El Consejo Directivo

Se integra por no menos de cinco ni más de siete miembros y son elegidos por la asamblea general.

b.1 Requisitos para ser elegido miembros del consejo directivo:

- Hallarse en pleno ejercicio de los derechos civiles.

- Gozar de solvencia moral y económica.

- Poseer conocimientos en materias económicas, financieras y mercantiles, particularmente en los aspectos relacionados con el mercado de valores, en grado compatible con las funciones a desempeñar.

b.2 Impedimentos para ser miembro del consejo directivo:

Los impedimentos por las leyes que les son respectivas.

- Los asesores, funcionarios y demás trabajadores de otra Bolsa, o quienes hubiesen tenido esa condición en los seis meses previos, así como sus cónyuges o parientes.

- Los funcionarios públicos de cualquier nivel, concepto que excluye a quienes se desempeñen en las empresas estatales.

- Quienes en cualquier tiempo hayan sido condenados por la comisión de un delito doloso.


197

- Quienes hayan sido declarados en quiebra, aunque se hubiere sobreseído el procedimiento.

- Quienes hayan sido destituidos como directores de la Bolsa que se trate o de otra. Los directores, asesores, funcionarios y demás trabajadores de CONASEV, así como sus cónyuges o parientes.

- Los asesores, funcionarios y demás trabajadores de la propia Bolsa, así como sus cónyuges y demás parientes.

c. La Gerencia

La gerencia es un órgano ejecutivo que se conforma de acuerdo con las normas estatutarias. La Ley del Mercado de Valores sólo refiere al respecto que el gerente general debe reunir los mismos requisitos exigidos a los miembros del consejo directivo y al que le son aplicables los mismos impedimentos, excepto al referido a la condición de director, asesor, trabajador o funcionario de CONASEV, así como sus cónyuges o parientes.

ESTRUCTURA ORGÁNICA DE LA BOLSA DE VALORES DE LIMA (BVL)


198

Instituciones de compensación y liquidación de valores

Son personas jurídicas constituidas bajo la forma de sociedades anónimas, que tiene por objeto el registro, custodia, compensación, liquidación y trans-ferencia de valores que reciban de las Bolsas, sociedades agentes, etc.

Naturaleza JurídicaLas instituciones de Compensación y Liquidación de Valores en el

Perú, en virtud a la ley del Mercado de Valores, deben constituirse como sociedades anónimas cuyas características son las siguientes:

a. Su capital social mínimo es de 200 mil nuevos soles (s/. 200,000.00), el cual debe estar íntegramente suscrito y totalmente pagado antes de dar inicio a las actividades.

b. Sólo puede ser socios las Sociedades Agentes de Bolsa y las Em-presas Bancarias y Financieras.

c. Ningún socio puede ser propietario de más de una acción.

d. El número de socios no puede ser inferior a 10.

e. Los estatutos sociales y su modificación, así como la inscripción y transmisión de las acciones, deben ser aprobados previamente por la Conasev.

f. La organización y el funcionamiento de las instituciones de compen-sación y liquidación de valores son autorizados por la Conasev.

FuncionesLas instituciones de compensación y liquidación de valores tienen

principalmente dos funciones:

a. La custodia física y depósito de los valores mobiliarios.

b. Efectuar la transferencia, compensación y liquidación de los valores que se derivan de la negociación.

Valores NegociablesEn la Bolsa puede negociarse diferentes tipos de valores, tanto de

rendimiento variable - como acciones - y también de rendimiento fijo - como bonos, pagares, etc.

La diferencia entre unos y otros es que mientras en los primeros la utilidad a obtenerse varía en el tiempo de acuerdo a la oferta y la demanda en los segundos ésta se establece previamente, como una tasa fija.


199

En el mercado bursátil nacional prima la negociación de acciones, y la rentabilidad que puede obtenerse con estos valores esta en función de tres factores: incremento en el precio para vender más caro respecto al precio que se compro; que la empresa reparta dividendos o que la empresa capitalice y, por tanto, reparta más acciones - acciones libera-das- que luego pueden también venderse en le Bolsa.

El Cautiverio BursátilDebemos señalar que desde 1968, se consagro en rueda de bolsa, y

con intervención de agentes, los valores inscritos en los registros de dicha institución. Esta regla se mantuvo expresamente en el D.L.18302, que constituye la base de al profunda reforma iniciada en 1970. Establecían dichos dispositivos que en casos especiales, en los que por razones de forma, modalidad u otras circunstancias no fuese posible efectuar la ne-gociación en Rueda, podía solicitarse a la CONASEV la autorización para ejecutar la transferencia respectiva fuera de Bolsa. El Art 9 del D.L 211 establecía que la CONASEV tenia la atribución de establecer excepciones tanto genéricas cuanto especificas. Estas excepciones genéricas fueron establecidas para casos como el de anticipo de legitima, transmisión sucesoria, división y partición de la masa hereditaria.

Esta norma cumplió un papel importante en su momento, dado que el mercado de Valores era todavía insipiente, habiendo sido necesario impulsar su desarrollo como con normas como lo anotada, que tenia por objeto crear en la Bolsa condiciones favorables para su mejor des-envolvimiento y evitar toda posibilidad de suscitar dudas entorno a los precios de los valores. En efecto, la Bolsa es hoy una institución bastante consolidada como mercado secundario y, consecuentemente, la deroga-ción de la norma bajo comentario no ofrece riesgo alguno para ella. Por el contrario, se trata, de una flexibilización hoy justificada plenamente y que responde a la doctrina y a las prácticas bursátiles mas modernas.

Mecanismos centralizados de negociación

Son aquellos mercados secundarios que reúnen o interconectan simul-táneamente a varios compradores y vendedores con el objeto de negociar valores, estos valores pueden ser acciones, bonos, letras hipotecarias, programas de emisión de instrumentos de corto plazo, etc emitidos por la empresa peruana que se comercien en mecanismos centralizados de negociación. Son actualmente administrados por la Bolsa de Valores de Lima; se pueden distinguir los siguientes mecanismos centralizados de negociación:


200

Rueda de BolsaSe llama Rueda de Bolsa a la reunión que tiene lugar en el ambiente

designado por la Bolsa, con el propósito exclusivo de que los represen-tantes de las sociedades agentes realicen las operaciones de compra o venta con valores inscritos en la Bolsa.

La negociación en las Bolsas de Valores está conformada por propues-tas cuyas modalidades contempladas son las siguientes:

- Propuesta Abierta: Aquí la cantidad de valores a negociarse por esta vía no puede ser inferior al mínimo requerido para esta-blecer cotización de cierre. Este mínimo es establecido a través de la Bolsa a través de sus Circulares; por ejemplo, paquetes de acciones. Esta propuesta debe permanecer registrada durante el transcurso de la Rueda de Bolsa, pero puede ser retirada antes. Se hace indicando si es de compra o venta, asimismo, se señala únicamente la denominación del valor y el precio unitario que se propone.

- Propuesta Firme: Mantiene su vigencia por un plazo determinado por la Bolsa de Valores. Por tanto, al no haber opción de retiro, el ofertante debe estar listo a cumplirla. Estas propuestas tienen prioridad sobre las demás. Se aplican cuando están cerca de ciertos límites denominados márgenes del mercado y en el orden en que fueron comunicadas. Se efectúa por escrito en el transcurso de la Rueda de Bolsa, debiéndose ubicarse si es de compra o de venta, y la cantidad, valor o precio unitario de los valores.

- Propuesta Cruzada: Es aquella por lo que un mismo agente mani-fiesta una orden de venta de valores coincidente de manera exacta con otra de compra. Ahora con el ELEX (Sistema de Negociación Electrónica de la Bolsa) estas propuestas tienen la posibilidad de ser atacadas durante un lapso de tiempo realizando nuevas pro-puestas que mejoran precio. Se indica la denominación del valor y el precio unitario.

Una vez que se canalizan las propuestas, las operaciones pueden finalmente ejecutarse y ser clasificadas en distintas modalidades de operaciones no necesariamente excluyentes entre sí:

- Operación Realizada: Resulta de la aceptación de cualquiera de las propuestas antes mencionadas. En todos los casos deben estar dentro de los márgenes del Mercado.

- Operación al Contado: Es aquella que resulta de la aceptación de una propuesta pactada para ser liquidada dentro de las 24 ó 48 horas vigentes a la rueda en la que fue realizada.


201

- Operación Cruzada: Resulta de la aplicación de la propuesta cruzada luego de ser anunciada. Si dentro del plazo fijado por la propuesta cruzada, otro intermediario ofreciera un mejor precio de compra o de venta, el proponente está obligado a aceptar dicha propuesta, salvo que la mejore inmediatamente. Después de vencido en plazo, la SAB se adjudica la operación; en este sentido, la sociedad agente tiene a ambos inversionistas (el que compra y el que vende).

- Operación a plazo fijo: Resulta de la aceptación de una propuesta que establece fecha futura y cierta para su liquidación, y esto debe constar en las pólizas que se extienden. La liquidación se hace el día 15 o el último del mes. El cumplimiento podrá ser establecido para la próxima fecha de liquidación.

- Operación de Reporte: Resulta de la aceptación de una propuesta que comprende una compra o venta de valores al contado, con el propósito de una simultánea operación inversa de venta o compra de la misma cantidad o especie de valores a plazo fijo y a un precio determinado.

Ejemplo: Benjamín es propietario de la empresa Super S.A. y desea vender un paquete de acciones a Víctor, poseedor de excedentes de recursos deseoso de obtener renta fija o determinable en un corto plazo. La intención de Benjamín es no dejar de manera definitiva la propiedad de sus acciones, en tal sentido se compromete a comprar las acciones a Víctor a quien le vendió en un primer momento.

Ambas operaciones se instrumentan en un único documento. Las pólizas que se extienden deben señalar que se trata de una operación de reporte y deben incluir claramente las obligaciones que asumen los contratantes.

El agente (en el momento inicial o el de contado) comprador se denomina “reportante” y el vendedor “reportado”. El plazo de cumplimiento no puede exceder de 180 días.

- Operaciones al Cierre: Se realizan al precio de la última cotización válida del día, desde el periodo de tiempo determinado, donde se permiten variaciones de cotización.

- La Subasta: La subasta de valores sólo se realizará cuando medie mandato judicial o por incumplimiento en la liquidación de opera-ciones de reporte realizadas en Rueda de Bolsa, que haya tenido como garantía esos valores.

Su realización será anunciada a los agentes y al público con anti-cipación no menor de 48 horas y mayor de 72 horas.


202

Es pertinente anotar que la Rueda sólo funciona determinado nú-mero de horas, como notamos a continuación:

El horario de negociación en la Rueda de Bolsa es todos los días, excepto sábados, domingos y feriados, y opera en el siguiente horario: de 9:30 a 13:30, se desarrolla el movimiento en Rueda de Bolsa con cotizaciones variables. De 13:30 a 14:00 no hay variación de precios. Son operaciones de cierre.

Sistema de Negociación Electrónica de la Bolsa -ELEX- Electronic Exchange

Es un sistema que permite la negociación electrónica de las opera-ciones realizadas en la Bolsa de Valores de Lima. A través de este sis-tema los intermediarios pueden realizar sus transacciones diariamente desde los terminales (computadoras) ubicados en sus oficinas. También pueden hacer uso de ELEX aquellas personas que desean realizar con-sultas sobre cotizaciones, operaciones realizadas, índices, entre otras (v.gr. Administradoras de Pensiones, Bancos de Inversión, Financieras, Superintendencias, etc.)

Los intermediarios realizan sus operaciones, utilizando los siguientes módulos:

- Módulos de acciones.

- Módulos de bonos y letras hipotecarias.

- Módulos de instrumentos de corto plazo.

- Módulo de colocación primaria.

Siendo este sistema de fácil manejo, los intermediarios pueden realizar sus propuestas utilizando sólo el mouse o el trackball. Asimismo, pueden configurar el sistema, de acuerdo a sus requerimientos o necesidades de negociaciones (o consultas). La actualización del sistema se realiza automáticamente y las operaciones de hacen en tiempo real. Entre otras ventajas podemos mencionar el rápido ingreso de propuestas de compra o venta, selección de valores que se desea negociar, cancelación y modificación de propuestas, el conocimiento de índices bursátiles en forma continua, etc.

Los Márgenes del MercadoPara que no se produzca variaciones en los precios en forma sorpresiva

o desmedida al alza o a la baja se ha regulado sus fluctuaciones dentro de lo que se llama márgenes de mercado.


203

Según las disposiciones reglamentarias las respuestas de compra o venta dentro de la Rueda de Bolsa no pueden superar el 1% de diferen-cia con relación a la cotización existente o propuesta anterior. En una misma Rueda de Bolsa, la variación de la cotización (precio) no podrá superar al 10% de la cotización de cierre de la rueda anterior, o de la propuesta que queda expuesta ese día, en este último caso, siempre que ésta mejore la cotización.

De manera excepcional, el director de la Rueda, por razones de mer-cado, puede disponer que el referido margen de mercado alcance hasta el 20% en la sesión de un determinado día.

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204

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205


206

Rueda de bolsa

Compra de acciones 23/9/94- Inversión : S/. 100 000

- Cotización : 2.45

- Acción de Trabajo : BLACK

Formula:

..

CotizInversQAC

Donde:

QAC : Cantidad de acciones compradas. Cotiz : Cotización.

45.2100000QAC

3,40816QAC acciones

Venta de acciones 24/10/94- Inversión : S/. 100 000

- Cotización : 3.65

- Acción de Trabajo : BLACK

Formula:

.cQAVxCotiza

Donde:

QAV : Cantidad de acciones vendidas. Cotizac : Cotización.

Efectivo = 40,816 x 3.65

Efectivo = 148 978 Nuevos Soles


207

Ambas operaciones se encuentra sujetas a una comisión que el Agente de intermediación deberá cobrar al comitente sobre el valor efectivo de la operación, que posteriormente tendrá que repartirla entre la Bolsa, CONASEP, y el propio Agente de Intermediación, por lo tanto:

Inversión S/. 100,000 +

Comisión Prom. S/. 1,180 1,18% ---------- Inversión Neta S/. 101,180

RENDIMIENTO: %03,45180,101743,146

Inversión S/. 148,978 –

Comisión Prom. S/. 1,758 1,18 %

---------- Retorno de la S/. 146,743 Inversió

MESA DE NEGOCIACIÓN

Monto Nominal S/. 235,000

Plazo 30 días

Precio Pactado 95.00

Monto Efectivo S/. 223,250

La operación se encuentra sujeta a una comisión, que el Agente de intermediación deberá cobrar al corriente sobre el valor efectivo de la operación, que posteriormente tendrá que repartirla entre la Bolsa, Co-nasev y el propio Agente de Intermediación, por lo tanto:

Para el Tomador

Monto Efectivo S/. 223,250 – o Inversión

Comisión Prom. S/. 893 0.40% ----------- Monto Neto S/. 222,357

RENDIMIENTO NETO : PARA EL COLOCADOR

Para el Colocador

Monto nominal S/. 223,250 -

Comisión Prom. S/. 893 0.40% ---------- Monto Neto S/. 224,143

%84,4224143235000


208

OPERACIONES DE REPORTE EN RUEDA DE BOLSA

DATOS DE LA OPERACIÓN OP.CONTADO

FECHA 16 DE JUNIO VALOR ALFA Nª DE ACCIONES 1,000,000VALOR NOMINAL S/.1.00PRECIO CONTADO 100.00%PRECIO PLAZO -------------COMISIONES 0.80% MONTO EFECTIVO S/. 1,000,000

I. LIQUIDACION DE LA OPERACIÓN AL CONTADO

REPORTADO (VENDEDOR) REPORTE (COMPRADOR) MONTO EFECTIVO 1,000,000 MONTO EFECTIVO 1,000,000 (-) COMISION 8,000 (+)COMISION 8,000 -------------- ------------ MONTO RECIBIDO S/. 992,000 MONTO PAGADO S/. 1,008,000

II. MARGEN DE GARANTIA

REPORTADO IMPORTE DE LA OP. A PLAZO 1,060,000 IMPORTE DE LA OP. AL CONT. 1,000,000 -------------- MARGEN DE GARANTIA 60,000 (I)

III. LIQUIDACION DE LA OPERACIÓN A PLAZO

OP. PLAZO FECHA 16 DE JUNIO VALOR ALFA Nª DE ACCIONES 1,000,000 VALOR NOMIAL S/. 1.00 PRECIO AL CONTADO ---- . ---- PRECIO PLAZO 106.00% COMISIONES 0.50% MONTO EFECTIVO S/. 1,000,000 REPORTADO REPORTANTE MONTO EFECTIVO 1,060,000 MONTO EFECTIVO 1,060,000 (+) COMISION 5,300 (-) COMISION 5,300 -------------- ------------- MONTO A PAGAR S/. 1,065,300 MONTO A COBRAR S/.1,054,700

(1) Se asume que los márgenes Son depositados en valores


209

Indicadores bursátiles

Indicadores por ValorDentro de los principales indicadores bursátiles podemos mencionar:

Las Cotizaciones en Bolsa: definición y tipos de cotización

Las cotizaciones muestran la valorización en entidades monetarias(soles) de cada una de las acciones inscritas en bolsa, función de las transac-ciones ocurridas.

Las operaciones de compra o venta de valores en la rueda de bolsa se realizan a un precio, que constituye lo que se le llama Cotización del valor, la cual sirve de precio base para las posteriores propuestas de compra o venta de dicho valor; respetando para estos efectos los márgenes de mercado.

Para que una transacción "Marque precio" o fije cotización, es necesario que la operación se lleve a cabo por un numero de acciones no menor de aquel que establece la propia bolsa para fijar cotización, o tratándose de bonos u otras obligaciones, por un valor nominal no menor al fijado por dicha institución con el mismo fin.

Con respecto a los precios de valores que se alcanzan durante una sesión de rueda de bolsa, se distingue:

a. Cotización Media.- Es el precio promedio de los precios en que se ha fluctuado un valor durante la rueda. Este promedio se obtiene ponderado los volúmenes transados en cada operación.

b. Cotización Máxima.- Es el precio máximo alcanzado por un valor durante la rueda.

c. Cotización Mínima.- Es el precio mínimo registrado por un valor mediante la rueda.

d. Cotización de Cierre.- Es el precio de un valor alcanzado en la última operación realizada en rueda. Esta cotización es importante, pues por el tiempo que mantiene su negociación, sirve como precio base de operaciones posteriores.

Valor ContableIndica que porcentaje del patrimonio pertenece a cada accionista por

unidad de acción. En cálculo se considera la siguiente fórmula:


210

Valor contable = Patrimonio neto

N° de acciones

(comunes y de trabajo)

Donde:

N° de acciones = Capital social

comunes Valor Nominal de la acción común

N° de acciones = Participación patrimonial del trabajo

trabajo Valor Nominal de la acción del trabajo

Para fines bursátiles, el valor contable se calcula basándose en el nú-mero de acciones de capital y del trabajo efectivamente en circulación. El indicador se expresa en porcentaje del valor nominal de la acción.

Valor contable = Patrimonio * 100

Capital Social + Patrimonio del Trabajo en Circulación

El Índice de LucratividadEl índice de lucratividad es otro de los importantes indicadores que

se publican en el Boletín Diario de la Bolsa de Valores de Lima y tiene por objeto mostrar el rendimiento de una acción en un tiempo dado, mediante la comparación de la inversión en una fecha determinada, con la inversión realizada al inicio del periodo.

El índice de lucratividad considera los dividendos en efectivo (que se consideran reinvertidos) y en acciones liberadas a que ha dado derecho el título, así como la ganancia o pérdida de capital que se hubiera pro-ducido por la diferencia entre el precio de venta del título y su precio de compra.

Si se adquiere una acción el 15 de julio, fecha en que su índice de lucratividad es de 165 puntos y se vende el 22 de septiembre en que su índice de lucratividad es de 220 puntos, la lucratividad obtenida es de 33.3%, resultado de la siguiente operación:

((220-165)/165)*100


211

Para el cálculo del índice de lucratividad se utiliza la siguiente fórmula matemática:

Ilai = (Pai Da / Pao ) * (1+A) * (1+(Da/(Pex-Da)) * 100

Donde:

Ilai = Índice de lucratividad de la acción “a” el día “i”.

Pai = Cotización de cierre de la acción “a” el día “i”.

A = Acciones liberadas entregadas expresadas en decimales.

Pao = Cotización de cierre de la acción “a” en la fecha base.

Pex-Da = Cotización ex-dividendo de la acción “a”.

Frecuencia de negociación La frecuencia de negociación refleja el número de sesiones en las

cuales se negocia el valor. El resultado será entonces, el porcentaje del número de ruedas en que se negoció el valor respecto de. Se calcula midiendo el número de acciones objeto de compra - venta durante el año en comparación al monto total de las acciones en circulación. En ciertas circunstancias no todas las acciones emitidas por una empresa están en circulación, en razón que cierto grupo de propietarios no las ofrecen en venta.

Frecuencia de = N° de días con operación registrada

Negociación N° del días del periodo

Indice Precio Lucro Price Earning ratio (PER)El índice precio/lucro o índice precio/utilidades, denominado en inglés

“price earning ratio”, el cual tiene por objeto mostrar la relación entre el precio de la acción y las utilidades por acción que genera la empresa emisora en un periodo dado.

Dicha relación da como resultado una cifra que equivale teóricamente al número de años que el inversionista tardaría en recuperar su inver-sión, vale decir el precio pagado por la acción adquirida, mediante las utilidades distribuidas por la emisora.

El índice precio/lucro se calcula conforme a la siguiente fórmula:

Índice precio/lucro = C/(U/A)


212

Donde:

C = Cotización de cierre de la acción.

U = Utilidad del ejercicio.

A = Cantidad de acciones de capital y del trabajo en circulación.

Debe aclararse que para el cálculo de este índice, la utilidad anual de la empresa se proyecta al futuro sobre determinadas bases.

Es necesario precisar, por otro lado, que cuando la empresa registra pérdidas, el índice precio/lucro resulta negativo, y cuanto menor sea el valor absoluto del índice negativo, mayor será el riesgo de la inversión.

Obviamente, el índice precio/lucro no permanece estático en el tiem-po. A medida que el precio del título se incrementa, el índice también aumenta y viceversa.

Capitalización Bursátil La capitalización bursátil de una empresa nos da una idea del valor to-

tal de esta en el mercado, y se obtiene de multiplicar el precio de mercado de esa acción por el número de acciones que existen en circulación.

Capitalización Bursátil = Precio de mercado * número de acciones

La capitalización bursátil del mercado es la suma de las capitaliza-ciones bursátiles de todas las empresas cuyas acciones están inscritas en bolsa.

Otros indicadores bursátilesExisten otros indicadores o ratios, que son también instrumentos de

análisis bursátil; resumen gran cantidad de información y comparan el desempeño de empresas similares en distintos momentos. Algunos de los más importantes son descritos a continuación:

Valor de Mercado Este valor está determinado por la oferta y deman-da, generando básicamente a expectativas de los inversionistas sobre el comportamiento de la empresa, así como del entorno macroeconómico dentro del cual se desenvuelve. Aquí se analizan variables como inflación, devaluación, política monetaria, fiscal, etc. Por ejemplo al 30 de diciembre de 2005, la cotización porcentual de una acción del Nuevo Banco fue 150% con un valor nominal de S/. 1.00. Entonces, el valor de mercado de ese titulo fue igual a S/. 1.50.


213

Valor de mercado = Valor * Cotización

100

Precio Ex - Derecho También se le denomina Corrector de Precio o Precio Ex - Dividendo, y

es la fórmula que permite ajustar los precios luego de haberse producido un reparto de dividendos en efectivo(egreso de fondos de la empresa) o de acciones liberadas(entrega de más acciones a los accionistas en proporción a la tenencia de estás).

En el caso de acciones liberadas:

Valor de mercado = Cotización

1+ % acciones liberadas (corrector de precio)

En el caso de entrega de dividendos en efectivo:

Precio Ex – Derecho = Cotización - Dividendo por acción

Cuando se ha entregado acciones liberadas, así como dividendo en efectivo:

Precio Ex – Derecho = Cotización - % Dividendo en Efectivo

F) + % Acciones Liberadas

FloatRepresenta el número de acciones disponible para ser transadas en

el mercado bursátil. Es decir, el número de acciones en circulación de una firma, menos el número de acciones en poder de los titulares que mantienen su participación accionaria para un largo plazo(grupos de control mayoritario). Cabe indicar que la frecuencia de negociación, el coeficiente de rotación y el float suelen utilizarse para medir la liquidez de un determinado valor. Adicionalmente se usa como indicador el grado de concentración de la tenencia de las acciones de una empresa, en el sentido que cuanto más dispersa esta propiedad, se presume mayor liquidez de la acción al haber más inversionistas tenedores.


214

Indicadores de mercado

Uso de índices y promedios como indicadores de mercado

El uso de índices y promedios como indicadores de mercado busca responder en forma simple a la pregunta ¿Cómo se está comportando el mercado?. Si supiéramos escoger un pequeño reporte de acciones, bonos, etc. (que cotizan en bolsa), percibiremos lo que esta sucedien-do, toda vez que estos índices nos reflejan el movimiento de mercado de valores.

Como es casi imposible tomar como base de datos los valores que co-tizan en el mercado, se seleccionan una cartera de valores, generalmente los que tienen mayor representatividad. En este sentido, los índices y promedios se valen de fórmulas para expresar, en un solo número, el cambio promedio del precio cotización de una multiplicidad de valores que integran el mercado.

Los índices y promedios mejoran el uso de inversión para aquellos que participan en le mercado(inversionistas), así como también a los segui-dores de este (market watcher) porque se pueden hacer seguimientos diarios y continuos de mercado, y además nos damos cuenta de cómo determinados hechos económicos y políticos influyen positivamente o negativamente en las empresas y en la bolsa.

Los promedios e índices se han utilizado desde 1984. El índice más usado es el DJIA - Dow Jones Industrial Average -. Le siguen en importan-cia el Standard & Poor Indexes, que tiene como periodo base 1941-1943, incluyendo 500 acciones en 4 grupos principales y 95 subgrupos.

En el caso peruano, la bolsa de valores de lima tiene varios indicado-res, entre los que destacan:

- El Índice General de Cotizaciones y los Índices Sectoriales (IGBVL).- Muestra la valorización del total global y sectorial de acciones cotizadas en bolsa, en función de una cartera compuesta por los valores más representativos (Cartera amplia).


215

Cartera del Índice General BVL(vigente a partir del 3 de julio de 2006)

N° Nombre de Valor Nemónico Peso (%)

1 Volcan "B" VOLCABC1 10.0486%

2 Cerro Verde CVERDEC1 7.1933%

3 Atacocha Inv. ATACOI1 6.2562%

4 Minsur Inv. MINSURI1 4.8589%

5 Milpo MILPOC1 4.7374%

6 Relapasa RELAPAC1 4.7119%

7 Southern PCU 4.3119%

8 Graña y Montero GRAMONC1 3.8631%

9 Credicorp BAP 3.7385%

10 Peru Copper CUP 3.6184%

11 Buenaventura BUENAVC1 3.5991%

12 ADR Buenaventura BVN 3.5438%

13 Morococha Inv. MOROCOI1 3.1969%

14 Austral Group AUSTRAC1 2.8351%

15 Corp. Aceros Areq Inv. CORAREI1 2.5585%

16 Bco. Continental CONTINC1 2.3056%

17 El Brocal BROCALC1 2.2676%

18 Casagrande CASAGRC1 2.1807%

19 Minera Corona Inv. MINCORI1 2.1018%

20 ADR Telefónica S.A. TEF 2.0299%

21 Luz del Sur LUSURC1 1.8127%

22 La Cima Inv. LACIMAI1 1.7887%

23 Alicorp ALICORC1 1.7280%

24 Scotiabank SCOTIAC1 1.7154%

25 Telefónica "B" TELEFBC1 1.6652%

26 Corp JR Lindley Inv CORJRLI1 1.5977%

27 Cementos Pacasmayo CPACASC1 1.5648%

28 EDEGEL EDEGELC1 1.5602%

29 Cartavio CARTAVC1 1.3629%

30 Bco. de Crédito CREDITC1 1.3550%

31 Sta Luisa Inv. LUISAI1 1.3314%

32 Gloria Inv. GLORIAI1 1.2850%

33 Enersur ENERSUC1 1.2755%


216

- El Índice Selectivo de Cotizaciones (ISBVL).- Considera a los quince acciones más importantes. La cartera de instrumentos se selecciona basándose en la información estadística de un periodo de tiempo, tomando en cuenta: números operaciones, monto efec-tivo negociado, frecuencia de negociación, volatilidad, etc. Cabe señalar que la cartera de índices se revisa periódicamente con la finalidad de mantenerla actualizada.

Cartera del Indice Selectivo BVL(vigente a partir del 3 de julio de 2006)








7 Southern PCU 6.2426%









- Índices Selectivo Perú-15.- El nuevo Índice Selectivo Perú-15, difundido en el 2003, mide el comportamiento de las acciones más negociadas de empresas locales, al considerar únicamente compañías que registren la mayor parte de sus actividades en el Perú. Por lo tanto, este nuevo indicador tendrá una mayor correlación con el desenvolvi-miento de la economía peruana, al estar excluidos valores extranjeros (que no registran sus principales actividades en el país) de su cartera.

Aparte de esta diferencia, el ISP-15 tiene una metodología similar a la del IGBVL e ISBVL, con una actualización de carteras semes-tral. Dado que el ISBVL estuvo conformado por acciones locales desde el 30/12/1991 hasta el 31/7/00, el nuevo ISP-15 tiene el mismo origen y serie histórica que el ISBVL durante ese período y es desde el 1/8/00 en que el ISP-15 tiene sus propias carteras y números índices.


217

Cartera del Indice Selectivo Perú-15(vigente a partir del 3 de julio de 2006)
















15 Bco. Continental CONTINC1 3.4379%

- Índices Sectoriales.- La cartera de los Índices Sectoriales se de-terminan en forma independiente a la del Índice General tomando como base los puntajes estimados para la determinación de la cartera del Índice General.

Los índices sectoriales están clasificados en: Agropecuario, Bancos y Financieras, Diversas, Industriales, Inversiones, Mineras y Servi-cios. La Base de estos índices 30.10.98=100.

Carteras de los Índices Sectoriales(vigente a partir del 10 de noviembre de 2006)

SECTOR AGROPECUARIO N° Nombre de Valor Nemónico Peso (%)

1 Casagrande CASAGRC1 41.9204%

2 Cartavio CARTAVC1 26.1999%

3 Andahuasi ANDAHUC1 12.1006%

4 San Jacinto SNJACIC1 6.2176%

5 Laredo LAREDOC1 5.3062%

6 Tuman TUMANC1 4.6653% 7 Agro Ind Pomalca POMALCC1 3.5900%


218

SECTOR BANCOS Y FINANCIERAS N° Nombre de Valor Nemónico Peso (%)

1 Bco Continental CONTINC1 36.5694%

2 Scotiabank SCOTIAC1 27.2075%

3 Bco de Crédito CREDITC1 21.4908%

4 INTERBANK INTERBC1 14.7322%

SECTOR DIVERSAS N° Nombre de Valor Nemónico Peso (%)



3 Ferreyros FERREYC1 12.4013%

4 BVL "B" BVLBC1 5.8005%

5 Telefónica Móviles TMOVILC1


219

CAPí

TULO

18

Matemática financiera aplicada a los instrumentos de inversión / financiación en el mercado de valoresEl mercado de dinero: instrumentos de corto plazoLetras- Letras aceptadas.- Se entiende por “Letra Aceptada” aquella en

mérito a la calidad del aceptante, bajo las condición de que será este quien procederá al pago de la misma a su vencimiento, razón por la cual el inversionista que la adquiere se dirige al lugar de pago que figura en la letra o efectúa ducho cobro a través de su intermediario o financiero, según se convenga.

- Letras giradas.- Se entiende por “Letra Girada” aquella que se negocia en mérito a la calidad del girador-tomador, quien vende la letra en la mesa, bajo la condición de que será quien se obligue al pago de la misma a su vencimiento, al margen de la gestión de cobranza que luego el efectué ante el respectivo aceptante.


220

Estas letras deben ser giradas y tomadas por la misma empresa y aceptadas por otra empresa.

- Letras avaladas.- Son letras de cambio, giradas y aceptadas por empresas, a las que una entidad bancaria, financiera u otras so-metidas al control de la superintendencia de la Banca y Seguros, o empresas con valores inscritos en Bolsa, le otorga su aval cons-tando ello en el respectivo titulo valor. De esta manera, el avalista se convierte en obligado al pago de dicho titulo.

En la mesa de negociación, se negocia estas letras de acuerdo a la calidad del avalista.

- Letras afianzadas.- Son letras de cambio giradas y captadas por empresas, las mismas que para negociarse en mesa cuentan con el respaldo de una carta fianza solidaria, incondicional, irrevocable y de realización inmediata, emitida por un Banco o Financiera a favor de la Bolsa de Valores de Lima, que cubre el importe de la obligación al vencimiento con un exceso adicional convenido por las partes según sea en moneda nacional o moneda extranjera. Esta Carta Fianza es entregada a la Bolsa al momento de liquidar la operación, permaneciendo en custodia hasta su vencimiento.

- Letras garantizadas.- Son aquellas giradas y aceptadas por empresas que para negociarse cuentan con garantías adicionales especificas. Dichas garantías son calificadas por el comprador y guardan diversas formalidades según características de las mismas (prendas, garantías con valores, etc). En este caso la bolsa no custodia tales garantías.

Pagares- Pagares bancarios.- Son títulos que pueden ser emitidos por los

bancos y financieras, con le propósito de captar recursos de corto plazo del publico de los montos permitidos por la Superintendencia de Banca y Seguros, Estos instrumentos no pueden ser adquiridos por otras instituciones de intermediación financiera (no se consi-dera empresas de seguros). Así mismo, los emisores de Pagares Bancarios están prohibidos de conceder colocaciones con garantía de aquellos de emisión propia.

- Pagares de empresas.- Son títulos emitidos por empresas diver-sas de conformidad con la Ley de Títulos Valores. El obligado del pago es el emisor del Pagare; y es vendido a través de la Mesa de Negociación por el tenedor a favor del cual fue emitido.


221

Ecuación de valuación: cálculo de precios y rendimientosDiagrama Típico

Un Stock Inicial (P) vs. un Stock Final (S)

S |--------------------------------------------------| P (i) n

Casos: Letras, pagares, ecuación de valuación.

niSP

)1(1

inFSASP *

El Valor Presente (P) se interpreta como PRECIO.


222

FLUJ

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223FL

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224

FLUJO OPERATIVO DE UNA LETRA AVALADA


225

FLUJO OPERATIVO DE UNA LETRA AFIANZADA


226

Mercado de capitales: instrumentos de largo plazoBonos ¿Qué son los bonos?

Son valores mobiliarios que representan una obligación de pago por el emisor y reditúan tasa de rentabilidad segura. Su vigencia debe ser mayor a un año. La emisión de los bonos es un mecanismo de endeu-damiento para la entidad emisora y una modalidad para captar el ahorro del público en el mercado de valores.

¿Quiénes pueden emitirlos?

Las personas jurídica de derecho privado, incluso sociedades distintas a las anónimas. También los bancos, financieras y los patrimonios fidei-cometidos regulados por la Ley del Mercado de Valores. También pueden ser emitidos por el Gobierno Central y el Banco Central de Reserva. Las emisiones se sujetan a las normas vigentes.

Bonos de arrendamiento financiero (BAF)

Son emitidos por empresas bancarias o empresas especializadas en operaciones de arrendamiento financiero (‘leading’). Estos bonos pueden tener un rendimiento fijo o variable, incluyendo el derecho a participar en los resultados que obtiene anualmente la entidad emisora. Para su emisión se requiere de la autorizaron de la CONASEP y aun plazo no menor de tres años.

Bonos subordinados

Son emitidos por bancos y no tiene garantías específicas, ni procede su pago antes del vencimiento ni su rescate por sorteo. El pago del principal e intereses esta sujeto a que previamente se haya aplicado íntegramente al patrimonio contable del emisor, mediando orden de la Superintendencia de Banca y seguros, la que se dispondrá la emisión de nuevas acciones del banco a favor de los titulares de estos bonos, por el importe neto capitalizable o valor residual luego de cubrir perdidas acumuladas.

Bonos de titulización

Son obligaciones emitidas por el patrimonio autónomo denominado patrimonio fideicomiso, integrados por los activos transferidos por una persona o empresa que le sirven de respaldo. A diferencia de los bonos corporativos, estos bonos están respaldados por activos que se separan del patrimonio de origen (persona que transfirió sus activos a este pa-trimonio autónomo).


227

Bonos cupón cero

No dan derecho al cobro de intereses (cupón) hasta su vencimiento, momento en el cual tiene lugar la amortización del principal mas los in-tereses diferidos acumulados. El emisor puede así financiar a largo plazo un proyecto sin tener que destinar al pago periódico de intereses.

Bonos Brady

Son instrumentos creados en los ochenta a iniciativa de Nicholas Brady, ex secretario del tesoro de los EE.UU., para facilitar la reestructuración de la deuda bancaria de los países en desarrollo. Pueden estar parcialmente garantizados por los bonos del Tesoro de ese país.

Diagrama Típico:

Un stock Inicial (P) vs. Un Flujo

V I I I I I I I (interes) |------|------|------|------|------|------|------| 0 1 2 3 4 ....…………n

Ecuación de Valuación:

nn

n

iV

iiiIp

)1(1

)1(1)1(

in

in FSAVFASIP **


228

Un caso estudio real

Bonos del estado: interés capitalizable1. A cuanto COTIZAR:

Diagrama: de acuerdo a lo indicado en le bono adjunto por S/.1, 000 se tiene:

S = S/.2,853

___________________________

0 1 2 años

Análisis:

Si el bonista original (trabajador) conserva su bono cobrará S/.2,853 después de 2 años. Ganando una Tasa Trimestral del 14% (56%: 4)

La tasa efectiva anual es 6% aproximadamente, pero si lo ofrece en venta, el eventual comprador no estará conforme con una ganancia del 69%. Querrá más, por la inflación.

Esta persona puede desear un 14% anual según su EXPECTATIVA INFLACIONARIA (dentro de un año)

Esto significa que VALUARA el bono el 140% anual y su valor pre-sente será su precio ofrecido.

S= S/.2,853

___________________________

0 i = 14% 2 años

Operaciones:

P = S. FSA1.402 “Invertir HOY es comprar ingresos FUTUROS”.

P = 2,853 1

(1 + 1.4)2

P = S/. 495 Inversión del Comprador.

Precio cotizado con descuento.

Respuesta: Si el bono tiene un valor nominal de S/.1,000 el precio cotizado representa el 49.5%.

LA COTIZACIÓN DE LOS BONOS SE EXPRESA EN PORCENTAJE.


229

Acciones¿Qué son las acciones?

La acción es una parte alícuota del capital de una sociedad que reciben personas naturales o jurídicas, lo cual les atribuye la calidad de accionista o socio. La acción es indivisible. Si varias personas son titulares de una acción, todas ellas deben nombrar a una sola para que las represente y ejerza los derechos que confiere esta. Los titulares también son solida-riamente responsables por las obligaciones derivadas a ese titulo.

La acción debe ser nominativa; es decir, tiene que emitirse y registrarse a nombre de un titular determinado. Es un valor de renta variable, pues depende de la existencia de las utilidades netas del emisor. Se le califica como un bien mueble y se representa por un certificado.

¿Qué derechos confieren?

Las acciones pueden conferir a su titular derechos políticos o eco-nómicos. Existen ciertos derechos que son reconocidos por ley a todo accionista y que, por ende, no pueden ser recortados o suprimidos.

Son derechos económicos de la acción: hacer participe al accionista de los dividendos cuando la sociedad emisora distribuya sus utilidades y del patrimonio neto resultante de su liquidación, o ejercer el derecho de suscripción preferente en casos de aumento de capital.

Son derecho políticos aquellos que le permiten al accionista participar y votar en las decisiones fundamentales de las juntas de accionistas y el derecho de reparación.

¿Qué clases de acciones hay?

Existen las acciones comunes y preferenciales. Su carácter depende de los mayores o menores derechos políticos y económicos que otorga cada clase, como la mayor o menor injerencia en la gestión de la socie-dad, incluso sin tener derecho de voto.

Todas las acciones de una misma clase deben gozar de los mismos derechos. Las acciones de diferente clase pueden crease en el pacto social o por acuerdo de la junta general de accionistas (JGA). Para mo-dificar los derechos u obligaciones de una o varias series se requiere un acuerdo expreso de la JGA, que cumpla con los requisitos exigidos para la modificación del estatuto, y la previa aprobación de la junta especial de los titulares de la clase afectada.

¿A que denominamos acciones de inversión?

Las acciones de inversión son títulos creados por la ley especial que confieren derechos de participar en las utilidades y en el producto de la liquidación de la sociedad a los trabajadores que laboran en empresas


230

industriales, pesqueras y otros sectores económicos específicos. Se re-presenta por certificados y su monto esta contabilizado en la cuenta de acciones de inversión en los libros de la empresa emisora. En el caso de un aumento de capital por nuevos aportes, sus titulares tienen derecho a suscribir preferencialmente nuevas acciones de dicho tipo para mantener su proporción respecto a la cuenta del capital social.

Actualmente, las acciones de inversión no tienen ninguna restricción para ser transferidas. De hecho, muchos trabajadores beneficiarios de ellas las han transferido terceros. Varias empresas las tienen listas en bolsa y su cotización (precio) esta influida por la rentabilidad de la socie-dad emisora, pues carecen de derechos de voto o control y no participan en las decisiones de la JGA.

Los otros tipos de acciones¿A que se denomina acciones en cartera?

Las acciones en cartera son títulos que se mantienen en poder de la sociedad emisora sin colocarse, sea porque el pacto social o un acuerdo de aumento de capital así lo dispone porque la sociedad adquiere sus propias acciones a titulo oneroso a gratuito. No puede formar parte de la cuenta capital del balance. Su valor no puede exceder el 20% del total de acciones emitidas por la sociedad.

Sus derechos económicos y políticos quedan suspendidos mientras se mantengan en cartera, es decir libre de pago y no se computa para establecer quórum ni vocaciones en junta. La sociedad emisora que las adquiere no puede legalmente mandarla por más de dos años y por un monto que supere el 10% del capital suscrito. De lo contrario, debe reducir su capital para amortizarlas o bien recolocarlas entre los accio-nistas y terceros

¿Qué son acciones liberadas?

Son acciones que se entregan a los accionistas cuando la junta general de accionistas acuerda o delega en el directorio su facultad de capitalizar las utilizadas o reservas libres de la sociedad.

¿Qué son las acciones sin derecho a voto?

Son acciones que están privadas del derecho político mas importante, el voto en juntas, pero que simultáneamente poseen ciertas ventajas, como el derecho a un dividendos preferencial, a que informe semes-tralmente de la gestión de la sociedad y a que se pueda impugnar los acuerdos que vulneren los derechos conferidos por la ley o el estatuto a sus titulares.


231

¿Qué son primas de capital?

La prima de capital es el pago adicional que debe realizar un accionista al suscribir acciones por encima de su valor nominal. El valor nominal de una acción esta fijado por el estatuto de una sociedad y resulta de la división del monto del capital social entre el monto total de acciones emitidas. La prima es el sobreprecio del valor de colocaciones de una acción que es determinado por el estatuto o por la junta que aprueba el aumenta de capital. La prima atiende generalmente al valor real mayor que posee patrimonialmente la sociedad, por encima del capital social. Tiene mayor aplicación en el proceso de oferta públicas de adquisición (OPA), como forma de tribuir a los accionista de una sociedad cuyo control se desea adquirir. El mecanismo de (OPA) propicia que esta pri-ma por control se haga excesiva a todos los accionistas – mayoritario y minoritario – por igual.

¿Cuánto puede adquirir la sociedad sus propias acciones?

La Ley General de Sociedades autoriza a una sociedad emisora de adquirir sus propias acciones cumpliendo determinados requisitos con el cargo al capital, previo acuerdo de reducción; con el cargo a utilidades o reservas libre para amortizarlas sin reducir el capital; con el cargo a utilidades o reservas libres para amortizarlas sin reducir el capital a cambio de títulos de participación; con cargo a utilidades o reservas libres sin necesidad de amortización; y con cargo a utilidades o reservas libres para mantenerlas en cartera.

Diagrama Típico

D1 D2 D3 D4 ………………… D°° (dividendos)|------|------|------|------|------|------|------| 0 1 2 3 4 ………………… °°

En el caso de las Acciones que pagan un Flujo de Dividendos (D) a través del tiempo y, como en éste caso NO hay obligaciones de devolver el capital, se usa horizonte infinito.

Ecuación de Valuación (de Myron Gordon)

La Matemática Financiera se auxilia de la Estadística.

(g = Tasa de crecimiento de los dividendos) gi

DP 1


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Modelo de dividendos de Gordon y Shapiro

El valor presente del mercado de un valor es la suma de la corriente de dividendos esperados del valor.

P = (1+b) r A / K - r b.

- A es el total de activos de la empresa.

- 1 - b es la tasa de distribución.

- r es la tasa que anticipa la empresa de crecimiento.

- b es la tasa que anticipa la empresa de retención corriente.

- K es la tasa de descuento del mercado.

P = D / K - g de donde D es el dividendo por acción y G la tasa de crecimiento en los dividendos.

Ejemplo:

El señor Lukas va a determinar el precio de las acciones del LUFY LTDA., asesorado por una firma de finanzas llega a las siguientes con-clusiones:

Dividendos $2, Tasa de descuento de mercado 20%, crecimiento de dividendos 15%:

P = 2 / (0.2 -0.15) = $40 El señor Lukas concluye que puede ofrecer $40 por acción en 100 acciones de LUFY LTDA. Pero la afirma de finanzas le indica que las acciones están actualmente a $50, por lo tanto debe revisar sus cálculos o abandonar las acciones por sobre valuación.

Modelo de valuación de utilidadesEl valor de mercado de un valor lo determina el valor presente de

todas las utilidades futuras.

Pt = Et - It / (1+K) t

- Pt es el precio de mercado de la acción en el período T.

- Et son las ganancias por acción ene l período T.

- It es la inversión por acción en el período T.

- K es la tasa de descuento del mercado.


233

Ejemplo:

Una empresa espera anualmente utilidades de $8, de los cuales espera retener $5 anuales para reinvertida, la tasa de descuento subjetiva que el inversionista atribuye a la compañía es del 12%

P = (8 -5) / (1+0.12)t = 3 / 0.12 = $25 "a perpetuidad"

Ejemplo:

El señor Lukas desea invertir en LUFY LTDA., si su rango de precios por acción es entre $16 a $20. La inversión sería por dos años. Hace dos años las utilidades de dicha empresa fueron $6 y las utilidades de reinversión $4. El año pasado fueron $7 y $5 se reinvirtieron. El señor Lukas espera que la compañía continuará con un pago de dividendos de $2 y espera una tasa de rendimiento sobre inversión del 11%. Por tanto esta dispuesto a comprar 100 acciones de LUFY LTDA. Y a conservaras durante 2 años siempre y cuando gane un mínimo del 11%.

P = E1-I1 + E2-I2 + P2

P = (8-6) / 1.11 + (9-7)/(1.11)2 + 18 / (1.11)2 = 1.80+ 1.62 +14.61 = $ 18.03

P = E1-I1 + E2-I2 + P2

P = (8-6) / 1.11 + (9-7)/(1.11)2 + 18 / (1.11)2 = 1.80+ 1.62 +14.61 = $ 18.03

(1+k) (1+k)2 (1+k)2

El valor de mercado de las acciones es $17.25 y Lukas decide invertir en las $100 acciones.

Nuevos Instrumentos y Mecanismos de Mercado

ADREl Ameritan Depositary Receipts (ADR) es un certificado negociable que

representa las acciones emitidas por una compañía no estadounidense, que se vende en el mercado americano.

Se trata de un documento de participación del capital de una empresa, que brinda a sus tenedores los derechos y obligaciones inherentes al título original que representa. Este certificado es emitido por un banco de los Estados Unidos de Norteamérica que actúa como depositario y es quién aparece, ante el emisor, como titular de las acciones subyacentes a los ADR’S. El ADR puede equivaler a una fracción o múltiplo de la acción que representa.

En el Perú tenemos algunos ADR´s, por ejemplo de las empresas BUE-NAVENTURA y CREDICORP. También hay ADR´s de empresas de países sudamericanos que cotizan sus acciones en el mercado Americano.


234

GDREs un programa estructurado como una Regla 144A en los Estados

Unidos y una oferta pública fuera de los Estados Unidos.

Se negocian en múltiples mercados, principalmente en la Bolsa de Luxemburgo o en el SEAQ (Stock Exchange Automated Quotation Sys-tem) basado en Londres.

Los GRDs son elegibles para liquidarse en DTC, Euroclear o Cedel

TitularizaciónEs la operación financiera que hace posible transferir activos mediante

la construcción de un patrimonio separado o autónomo, el mismo que sir-ve de base para emitir valores que representen derecho de participación, crediticios o mixtos vinculados a dicho patrimonio, los activos usualmente titulizables son cuentas por cobrar operaciones de leasing etc.

Derivados financieros

Definición Los derivados financieros como su nombre indica son productos que

derivan de otros productos financieros. En definitiva los derivados no son más que hipotéticas operaciones que se liquidan por diferencias entre el precio de mercado del subyacente y el precio pactado.

Finalidad de los derivados Se trata de productos destinados a cubrir los posibles riesgos que

aparecen en cualquier operación financiera, estabilizando y por tanto concretando el coste financiero real de la operación. Por supuesto y puesto que se trata de productos con un efecto palanca muy elevado, pequeñas inversiones pueden generar substanciosos beneficios y a la inversa en su gran mayoría son operaciones de especulación pura.

Tipos de productos derivadosEl futuro no es más que una promesa, un compromiso entre dos par-

tes por el cual en una fecha futura una de las partes se compromete a comprar algo y al otra a vender algo, aunque en el momento de cerrar el compromiso no se realiza ninguna transacción. Dentro de estos tipos de productos tenemos: las opciones, los futuros financieros, los swaps, etc.


235

Las opcionesLa Opción es un derecho a comprar o vender algo en el futuro a un

precio pactado, a diferencia de los futuros en las opciones se requiere el desembolso de una prima en el momento de cerrar la operación. Las op-ciones además podrán ser opciones de compra, CALL o de venta PUT.

Futuros financieros

Definición Se trata de una apuesta a futuro sobre el precio de un activo subya-

cente. Así pues adquirimos un compromiso de comprar o vender algo a un determinado precio.

Su principal característica a diferencia de las opciones es que el be-neficio o pérdida no está limitado.

Tipos Los futuros los podemos agrupara en función de los distintos activos

subyacentes.

- Divisas, compromisos de comprar o vender una determinada divisa a un determinado tipo de cambio.

- Tipos de interés, compromiso de tomar o dar prestado a un deter-minado tipo de interés.

Swaps de divisas El sistema clásico, hoy en desuso, el banco presta la divisa que va a

vender a su cliente y deposita en la cuenta de este la divisa adquirida, de forma que el préstamo y el depósito tengan el mismo vencimiento. El costo para el cliente de la divisa adquirida a plazo viene determinado por los intereses de ambas divisas, la vendida y la comprada, según la sencilla fórmula de divisas a plazo.

Fondos mutuosLos fondos mutuos reúnen dinero proveniente del público para invertir-

lo en valores, entregando a cambio certificados de participación. De esta manera se diluye el costo de una administración profesional (analistas de inversión) y se diversifica el riesgo (invirtiendo en la mayor cantidad de valores). Los fondos mutuos pueden ajustarse a diversos perfiles de inversión: por tipo de valor (acciones, obligaciones, combinación de ambos), por moneda, orientado a sectores productivos, por el plazos de


236

vencimiento de los valores, etc. Los inversores no deben perder de vista que la inversión en cuotas de un fondo mutuo no equivale a un depósito de ahorro. Es decir, la adquisición de estas cuotas no genera intereses sino rendimientos, los cuales se obtienen como resultado de la ganancia o pérdida de las inversiones realizadas con los recursos del fondo.

Fondo de inversiónEs un patrimonio integrado por aportes de personas naturales y ju-

rídicas para su inversión en los valores y demás activos señalados en el marco legal (LMV, reglamento de fondos y reglamentos internos), son también conocidos como fondos de capital cerrados, debido a que su número de cuotas es fijo y no son susceptibles de rescate, reembolso o de incremento en su valor por nuevas aportaciones. No obstante, la asamblea general de partícipes podrá excepcionalmente acordar que se efectúen nuevas aportaciones o se aumente el número de cuotas.

Clasificadoras de riesgoLas empresas clasificadoras de riesgo son empresas especializadas

que emiten opinión sobre la capacidad de un emisor para cumplir con las obligaciones asumidas al emitir por oferta pública, bonos e instru-mentos de corto plazo, de acuerdo a las condiciones establecidas (tasa de interés, plazo, etc.).

De esta manera, los inversores pueden conocer y comparar el riesgo de estos valores, sobre la base de una opinión especializada. Cuanto mejor sea la clasificación de riesgo mayor será la posibilidad de que la empresa cumpla con las obligaciones de pago asumida, sin embargo, el dictamen de clasificación no constituye una recomendación para comprar, vender o mantener un valor clasificado, es tan sólo una opinión respecto a la calidad del valor.

Según la legislación vigente en el Perú, los emisores de bonos y otras obligaciones deben contar con la opinión de al menos dos empresas clasificadoras de riesgo.

Las clasificadoras de riesgo que a la fecha operan en el Perú son Apoyo & Asociados Internacionales S.A. Clasificadora de Riesgo, Clasificadora de Riesgo Pacific Credit Rating SAC, Class & Asociados S.A. Clasificadora de Riesgo, Equilibrium Clasificadora de Riesgo S.A.

Riesgo económicoECONOMIC RISK. Contingencia de una empresa dada por la variabi-

lidad del índice de recuperación de la inversión..


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Riesgo financieroFINANCIAL RISK. Contingencia de una empresa dada por la falta de

liquidez, que reduce la rotación de operaciones por la falta de capital de trabajo..

Bolsa de productosLa Bolsa de Productos es una asociación civil sin fines de lucro, cuya

finalidad es proveer a sus miembros de la infraestructura y servicios adecuados para la realización de transacciones de productos, títulos re-presentativos y contratos sobre productos. Esta bolsa posibilita la concu-rrencia de ofertantes y demandantes, un mayor grado de estandarización mediante la negociación de productos bajo normas de calidad. También proporciona información relevante para el mercado y otorga la posibilidad de financiamiento mediante las operaciones de reporte. Por otro lado, da a los partícipes de este mercado la seguridad de cumplimiento de lo pactado en la negociación, mediante su sistema de garantías y la solución rápida de conflictos a través de conciliación o arbitraje.


238


239

Índice GeneralMatemática Financiera


240


241

Presentación 3

Capítulo 01

Nociones generales sobre finanzas 5¿Qué son las finanzas? 5Nociones generales de finanzas 7Finanzas 7Función de la dirección de finanzas 7El mercado financiero 8La función financiera en la empresa 8Importancia de las finanzas 8Flujo de tesorería entre los mercados de capitales y las operaciones de la empresa 8El sistema financiero de la empresa 9Gráfico: el sistema financiero de la empresa 10Estructura del sistema financiero nacional 11Estructura del mercado de valores en el Perú (*) 13Estructura reguladora del sistema financiero nacional 14Herramientas y aplicaciones del análisis financiero empresarial 15

Capítulo 02

Tasas, índices y porcentajes 17Tanto por Ciento (T) 17Tasa 17Problemas de aplicación de tanto por ciento 18Porcentaje (P) 18Problemas de aplicación de porcentaje 18Problemas de aplicación del calculo de la base 19Elementos que intervienen en el tanto por ciento 20Índice 20Problemas de aplicación de índices 21Porcentaje sucesivo 21Método I 21Método II 22Porcentajes equivalentes 22Porcentaje sobre el precio de costo y el precio de venta 22Problemas de aplicación sobre el precio de costo y el precio de venta 23Precio de lista 23Problemas de aplicación sobre el precio de lista 24

Capítulo 03

Diagramas de tiempo - valor y flujo de caja 25Diagrama de flujo de caja 26Flujo de caja convencional 27Flujo de caja no convencional 28


242

Capítulo 04

El valor del dinero en el tiempo: el interés simple 29El valor del dinero en el tiempo 29Interés 29Calculo del interés simple 30Interés simple con variaciones en las tasas de interés 30Interés simple 30Monto capital stock final o valor futuro 31Interés simple 31Periodo de tiempo comprendido entre dos fechas 32Año bancario según BCRP 33Número de unidades de tiempo en un año bancario 34Variaciones en la tasa de interés 35Inclusión y exclusión de días cuando se producen variaciones de tasas 35Los numerales 38Variaciones en el principal (numerales) 38Procedimiento bancario de cálculo de interés simple a través de numerales 40Numerales con variaciones de tasas 41Lista de fórmulas a interés simple 42Problemas de interés simple 43

Capítulo 05

El descuento 49Simbología 49Documentos de crédito 50Descuento racional simple 51Descuento bancario 53Descuento bancario simple 53Cálculo del valor liquido 54Cálculo del valor nominal 55Descuento comercial 55Simbología 55Descuento comercial unitario 56Descuento comercial sucesivo 56Precio de venta (último precio rebajado) 57Ejercicios de aplicación 58Fórmulas de descuento simple 60

Capítulo 06

Calculo racional o matemático a interés compuesto 61Definición 61Stock 61Stock inicial 61Stock final 61Tasa de interés por período 62Tiempo 62Las tasas de interés 62Flujo 62Rendimiento vs. Riesgo 64La tasa nominal y la tasa proporcional o periódica 64Las tasas de interés efectivas 65Ejemplo de aplicación 67Tasas equivalentes 68Tasa equivalente partiendo de una tasa efectiva dada 68Ejercicios de aplicación 69Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva dada 70Ejercicios de aplicación 71


243

Factores que afectan a una tasa de interés efectiva 72Tasa nominal y capitalización 72Comisiones 73Comisión adicional a la tasa 73Comisión flat 73Devaluación o riesgo cambiario 74Retención 75

Capítulo 07

El valor presente o stock inicial y el valor final o stock final 77La capitalización 77La actualización 78Calculó de la tasa de interés (i) implícita en un stock final 78Calculo del número de periodos (n) de capitalización para un stock final 79Interés devengado en cualquier período capital1zable 80Ecuaciones de valor equivalente a interés compuesto 80Calculo del interés compuesto 80El interés compuesto 81Lista de Fórmulas 83

Capítulo 08

Clasificación de las series o flujos de efectivo 85Clasificación de los flujos de efectivos constantes (R) 85Capitalización de una serie o flujo uniforme 86Demostración de la suma de terminos en progresión geométrica 88El fondo de amortización o sinking fund 89Observaciones 89

Capítulo 09

Actualización de series uniformes temporales y series perpetuas 91Amortización 91La recuperación de un capital 93Calculo del periodo (n) de un flujo constante de efectivo (r) 94Cálculo de la tasa de interés (i) implícita en un flujo constante de efectivo (r) 96Problemas propuestos 97

Capítulo 10

Capítulo 11

Circuito matemático – financiero 105Factores múltiples 106Aplicación de los factores múltiples 106Ejemplo de aplicación 106

Capítulo 12

Sistema de repago de deuda 109Método francés 110Capitalización del flujo (R) 111Préstamo a recuperar en cuotas periódicas 112El método alemán 112El método americano 113Ejercicio de aplicación 114Ejercicio para usted 115Corrección de los intereses por variación de las tasas 116Enunciado 116Aplicaciones en los ahorros 118Caso de Aplicación: 120


244

Capítulo 13

Capitalización continua de series discretas y series continuas 121Serie discreta con capitalización continua 122Ejercicios de aplicación 122Serie continua capitalización continua 126

Capítulo 14

Tasas usadas en el sistema financiero nacional 129Tasa vencida 129Tasa adelantada 129Tasa adelantada equivalente a una tasa vencida 129Tasa vencida (i) equivalente a una tasa adelantada (d) 131Factores de descuento 131Tasa de interés convencional compensatorio 133Tasa de interés moratorio 133Tasa de interés total en mora (itm) 134TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX 135Tasa efectiva en soles de depósitos en moneda extranjera (dólares) 136Tasa discreta y continua 138Tasas explicitas e implícitas 138Tasa de interés legal 139Moneda Nacional 139Moneda Extranjera 139Tasas usadas en el sistema financiero internacional 140

Capítulo 15

Análisis de las variables económicas 141Índice de precios al consumidor (IPC) 141Datos básicos para la obtención del IPC 141Canasta familiar 141Estratificación de la canasta familiar 142Gasto de consumo de los hogares 142Estructura de la canasta familiar 142Cálculo del IPC 142La inflación y su medida 142La inflación 142Grados de inflación 143Teorías explicativas de la inflación 143Inflación de demanda 144Inflación de costos 144Inflación estructural 145Inflación importada 145Cálculo de la tasa de inflación 146Variaciones temporales (variaciones de inflación) 146Ritmo inflacionario 147Tasa de interés real o constante 149Tasa de interés ajustada por inflación o tasa de interés corriente 152Tasa efectiva en moneda nacional de depósitos en extranjera 153

Capítulo 16

Cálculo bancario y comercial 155Análisis de préstamos y créditos 156Con Tasa Nominal Anual 156El interés adelantado 158Relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva dado el interés adelantado 159En la banca 162La comisión de Retención 162


245

La comisión Flat 162Mas sobre la comisión de Retención y la comisión FLAT 164El préstamo bruto 165Fórmula para preparar tablas de factores de préstamo bruto (X) 166Cuando la tasa es nominal anual (J) 166Análisis de descuento de letras: con tasa nominal anual 167El interés 167El descuento 168Veamos como Calcular (d) 168Un absurdo del descuento bancario simple 169LAS AMORTIZACIONES: Otra complicación bancaria 171Análisis de créditos comerciales: con tasa nominal anual 172La fórmula del comerciante 172El costo de un crédito comercial 173Relación entre la tasa de interés y tasa de descuento 176Descuento racional compuesto 177Descuento bancario compuesto 180Calculo del valor liquido 180Calculo del valor nominal 182Calculo del descuento bancario compuesto 182Ejemplo de operaciones financieras a mediano y largo plazo 183Hasta julio 1985 183Metodología actual 184

Capítulo 17

El mercado de valores 187¿Cómo surge el negocio de la bolsa? 187Letras, Pagares, Papeles Comerciales 188Bonos 188El mercado de valores 189Concepto 189Clasificaciones del mercado de valores 190Características 190Registro publico de valores e intermediarios 191Concepto 191Características del Registro 193Oferta publica de valores 193Naturaleza Jurídica 193Clases de oferta pública 193Mercado Primario de Valores 194Valores Mobiliarios 194Acciones 194Bonos 195Mecanismos centralizados de negociación 195Bolsas de valores 195Concepto 195Naturaleza Jurídica 195Estructura Orgánica 196Instituciones de compensación y liquidación de valores 198Naturaleza Jurídica 198Funciones 198Valores Negociables 198El Cautiverio Bursátil 199Mecanismos centralizados de negociación 199Rueda de Bolsa 200Sistema de Negociación Electrónica de la Bolsa -ELEX- Electronic Exchange 202Los Márgenes del Mercado 202


246

Rueda de bolsa 206Compra de acciones 23/9/94 206Venta de acciones 24/10/94 206Indicadores bursátiles 209Indicadores por Valor 209Las Cotizaciones en Bolsa: definición y tipos de cotización 209Valor Contable 209 El Índice de Lucratividad 210Frecuencia de negociación 211Indice Precio Lucro Price Earning ratio (PER) 211Capitalización Bursátil 212Otros indicadores bursátiles 212 Precio Ex - Derecho 213Float 213Indicadores de mercado 214Uso de índices y promedios como indicadores de mercado 214

Capítulo 18

Matemática financiera aplicada a los instrumentos de inversión / financiación en el mercado de valores 219El mercado de dinero: instrumentos de corto plazo 219Letras 219Pagares 220Ecuación de valuación: cálculo de precios y rendimientos 221Mercado de capitales: instrumentos de largo plazo 226Bonos 226Un caso estudio real 228Bonos del estado: interés capitalizable 228Acciones 229Los otros tipos de acciones 230Modelo de dividendos de Gordon y Shapiro 232Modelo de valuación de utilidades 232Nuevos Instrumentos y Mecanismos de Mercado 233ADR 233GDR 234Titularización 234Derivados financieros 234Definición 234Finalidad de los derivados 234Tipos de productos derivados 234Las opciones 235Futuros financieros 235Definición 235Tipos 235Swaps de divisas 235Fondos mutuos 235Fondo de inversión 236Clasificadoras de riesgo 236Riesgo económico 236Riesgo financiero 237Bolsa de productos 237

Índice General 239

Matematica Financiera

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