Mat-Spec M Marin

8/4/2019 Mat-Spec M Marin

1/311


2/311

Contents

1 Functii complexe 51.1 Functii complexe de variabila reala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Functii complexe de variabila complexa . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Functii complexe elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Integrala complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Serii complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Functii speciale 572.1 Functiile lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Functiile Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3 Polinoame ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4 Polinoame Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5 Polinoamele Cebasev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6 Polinoamele Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7 Polinoamele Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3 Calcul operational 913.1 Transformata Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2 Metode operationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.4 Ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . 1083.5 Ecuatii diferentiale cu coeficient i variabili . . . . . . . . . . . . . . . 1093.6 Ecuati i i ntegral e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.7 Ecuatii cu derivate partiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.8 Unele integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4 Transformata Fourier 1134.1 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Formula integrala Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.3 Transformata Fourier n L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.4 Transformata Fourier n L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3


3/311

4 CONTENTS

5 Calcul variational 1475.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2 Ecuatia lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.3 Generalizari ale ecuatiei lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.4 Condit ii suficiente de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.5 Probleme izoperimetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.6 Probleme cu capete mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6 Ecuatii cvasiliniare 2056.1 Forma canonica n cazul n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.2 Forma canonica pentru n > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7 Ecuatii hiperbolice 2197.1 Problema coardei infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.2 Probleme la limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.3 Problema Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.4 Problema coardei finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8 Ecuatii parabolice 2498.1 Problema finita a caldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.2 Probleme la limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598.3 Metoda functiei Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.4 Problema Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

9 Ecuatii eliptice 2899.1 Formule introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2899.2 Potentiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2919.3 Probleme la limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2963.4 Functia Green pentru sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3003.5 Problema Dirichlet pentru cerc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023.6 Problema Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308


4/311

Capitolul 1

Functii complexe

Acest capitol contine rezultatele de baza din teoria functiilor complexe de vari-abila reala si a funct iilor complexe de variabila complexa. Pentru mai multe de-talii asupra rezultatelor expuse de noi cat si pentru alte rezultate, cititorul poateconsulta referintele bibliografice, alese dintre cele mai accesibile.

1.1 Functii complexe de variabila reala

Sa consideram un interval de pe axa reala (sau o reuniune de astfel de intervale),E R. Orice functie definita pe E care are valorile complexe, f : E C, senumeste functie complexa de variabila reala. Astfel, pentru t R, avem f(t) C,adica f(t) = f1(t) + if2(t), unde f1(t) si f1(t) sunt functii reale de variabila reala.De asemenea, i este cunoscutul numar complex cu proprietatea i2 = 1.

Prin intermediul unui izomorfism evident ntre R2 si C, ca spatii liniare, putemidentifica o functie complexa f(t) cu o functie vectoriala (f1, f2), sau cu o functien spat iul clasic de vectori, V2 (daca v V2, atunci v = v1i + v2j).

In consecinta, rezultatele cunoscute din R2, cu privire la multimi deschise,

multimi nchise, vecinatati, etc., pot fi, cu usurinta, transpuse n spatiul complexC. Mai mult, daca introducem distanta

d : C C R+, d(z1, z2) = |z1 z2|, z1, z2 C,

si nlocuim z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, obtinem, evident,

d(z1, z2) =

(x1 x2)2 + (y1 y2)2,

5


5/311

6 CAPITOLUL 1. FUNCTII COMPLEXE

care coincide cu distanta euclidiana din R2 ceea ce ne permite sa identficam spatiilemetrice (C, d) si (R2, d).Fie a un numar complex fixat arbitrar, a

C. Definim multimea

(a, ) = {z C : d(z, a) < } = {z C : |z a| < } ,pe care o numim discul deschis cu centrul n a si avand raza .Frontiera acestui disc o definim prin

(a, ) = {z C : |z a| = } ,astfel ca discul nchis este

(a, ) = (a, ) (a, )Notiuni specifice analizei matematice ca limita, continuitate, derivabilitate, etc.

n punctul t0, sunt definite cu ajutorul unor intervale deschise, centrate n t0, si,respectiv, relativ la multimea valorilor, f(t0), cu ajutorul discurilor deschise cen-trate ntr-un punct fixat a C, cu raza .

Definitia 1.1 Spunem ca functiaf : E R C este functie continua n punctult daca si numai daca (prin definitie) functiile f1 si f2 sunt functii continue n t,unde f(t) = f1(t) + if2(t).

Este usor de dovedit ca daca functia f este continua n t0, atunci functia |f| estede easemenea continua n t0.Daca t0 este un punct de acumulare al multimii E

R, atunci functia f are limita

n t0 daca si numai daca (prin definitie) functiile f1 si f2 au limite n t0, si avem

limtt0

f(t) = limtt0

f1(t) + i limtt0

f2(t).

Sa consideram intervalul real I R si definim multimea J = I \ {0}. Atunciputem defini raportul

(t) =f(t) f(t0)

t t0 , t J.

Definitia 1.2 Spunem ca functia f este derivabila n punctul t0 daca exista sieste finita limita

limtt0 (t) = limtt0f(t)

f(t

0)

t t0Notam valoarea acestei limite cu

f(t0) = limtt0

f(t) f(t0)t t0

Functia f este derivabila n punctul t0 daca si numai daca (prin definitie) functiilef1 si f2 sunt functii derivabile n t0 si avem f

(t0) = f1(t0) + if2(t0).


6/311

1.1. FUNCTII COMPLEXE DE VARIABIL A REAL A 7

Definitia 1.3 Spunem ca functia F este o primitiva a functiei f pe intervalulI = [a, b] R daca F este derivabila si derivata sa coincide cu functia f peintervalul respectiv, adica:

F(t) = f(t), t [a, b].

Este destul de evident ca daca F este o primitiva a functiei f pe intervalul [a, b]atunci functia F(t) + C, unde C este o constanta complexa arbitrara, este, deasemenea, o primitiva a functiei f deoarece

(F(t) + C) = F(t) + C = F(t) = f(t).

Reciproc, daca functiile F si F1 sunt doua primitive ale functiei f pe intervalul[a, b] atunci diferenta celor doua functii este n mod necesar egala cu o constanta

C pe intervalul [a, b]:F1(t) = F(t) + C.

Intr-adevar,

(F1(t) F(t)) = F1(t) F(t) = f(t) f(t) = 0.Acum, reamintind ca (F1(t) F(t)) = 0 implica faptul ca exista o constanta Castfel ncat F1(t) F(t) = C pe [a, b] de unde deducem ca F1(t) = F(t) + C.

Astfel, putem deduce ca daca functia F este o primitiva pentru f pe un interval[a, b], atunci orice alta primitiva pentru f pe respectivul interval este de forma

F(t) + C, unde C este o constanta arbitrara.Teorema 1.1 Dacaf : [a, b] C este functie continua, atuncif admite primitivepe intervalul [a, b].

Demonstratie. Definim functia

F : [a, b] C, F(t) =t

af()d.

Astfel, avem

F(t) = ta (f1() + if2()) d = t

a f1()d + i t

a f2()d.

Deoarece functia f a fost presupusa continua, deducem ca f1 si f2 sunt functiicontinue. Dar f1 si f2 sunt functii reale si pentru ele, din analiza reala, este binecunoscut un rezultat similar. De exemplu, daca notam cu

F1(t) =t

af1()d,


7/311


atunci

limtt0

F1(t) F1(t0)t t0

= limtt0

ta f1()d

t0

a f1()d

t t0=

= limtt0

tt0

f1()d

t t0 = limtt0(t t0)f1(c)

t t0 = f1(t0),

unde am folosit cunoscuta teorema de medie.Astfel deducem ca F1 este derivabila si F

1(t0) = f1(t0). Este evident un rezultat

similar pentru f2, astfel ca obtinem F(t) = F1(t) + iF2(t), adica F este deivabilasi

F(t) = F1(t) + iF2(t) = f1(t) + if2(t) = f(t),

si deci teorema este demonstrata.

Definitia 1.4 Sa consideram intervalul I = [a, b] R si f : I C. Spunem cafunctia f este integrabila pe I daca si numai daca (prin definitie) functiile f1 si f2sunt integrabile pe I si avemb

af(t)dt =

ba

f1(t)dt + ib

af2(t)dt

Lasam pe seama cititorului demonstratia urmatoarelor proprietati ale integraleidefinite:

ba (f(t) + g(t)) dt =

b

a f(t)dt + b

a g(t)dt,ba

f(t)dt =c

af(t)dt +

bc

f(t)dt, c (a, b),b

af(t)dt

b

a|f(t)|dt.

Exemplu. Sa calculam integrala

I1 =

et cos ntdt.

Consideram de asemenea si integrala

I2 =

et sin ntdt,

si atunci putem scrie

I1 + iI2 =

et (cos nt + i sin nt) dt =

eteintdt =


8/311

1.2. FUNCTII COMPLEXE DE VARIABIL A COMPLEXA 9

=

et(+in)dt =et(+in)

+ in

=1

+ in

e(+in) e(+in)

=

=2

+ in

e

e

2 (1)n = (1)n2

+ in sinh .

1.2 Functii complexe de variabila complexa

Consideram multimea C a tuturor numerelor complexe ca spatiu metric dotat cudistanta, pe care am introdus-o anterior,

d(z1, z2) = |z1 z2|.Fie E o submultime a spatiului C.

Definitia 2.1 Orice functie f : E C se numeste functie complexa de variabilacomplexa.

Daca scriem functia f(z) n forma f(z) = u(x, y)+iv(x, y), z = x+iy E, atunciorice consideratie asupra functiei complexe f(z) se poate reduce la o consideratiesimilara asupra functiilor reale de variabile reale u(x, y) si v(x, y), dupa cumurmeaza:

i) daca z0 este un punct de acumulare al multimii E, atunci functia f(z) are

limita n punctul z0 daca si numai daca functiile u(x, y) si v(x, y) au limite npunctul (x0, y0), unde z0 = x0 + iy0, si

limzz0

f(z) = lim(x,y)(x0,y0)

u(x, y) + i lim(x,y)(x0,y0)

v(x, y).

De asmenea, avem

limzz0

|f(z)| = limzz0 f(z)

.ii) f(z) este continua n punctul z0 daca si numai daca functiile u(x, y) si v(x, y)

sunt continue n punctul (x0, y0)

Definitia 2.2 Functia f : E

C

C se numeste monogena n punctul z0 dacaexista si este finita urmatoarea limita

limzz0

f(z) f(z0)z z0 .

Vom folosi notatia

f(z0) = limzz0

f(z) f(z0)z z0 .


9/311


Propozitia 2.1 Dacaf este functie monogena n punctul z0 atuncif este functiecontinua n z0.

Demonstratie. Putem sa scriem functia f(z) sub forma

f(z) = f(z0) +f(z) f(z0)

z z0 (z z0)

limzz0

f(z) = f(z0)+ limzz0

f(z)f(z0)zz0 (z z0) = f(z0)+ f

(z0) limzz0

(z z0) = f(z0),

si atunci propozitia este demonstrata.

Teorema 2.1 Consideram submultimea deschisa E C, un punct fixat z0 Esi functia complexa f : E

C, f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Daca f este functie

monogena n punctul z0, atunci functiile u si v admit derivate partiale si satisfacconditiile

u

x(z0) =

v

y(z0) ,

u

y(z0) = v

x(z0) ,

Relatiile de mai sus se numesc conditiile Cauchy-Riemann de monogenitate.

Demonstratie. Sa consideram raportul

(z) = f(z) f(z0)z z0 .

Deoarece E este o multime deschisa si z0 E, deducem ca exista discul(z0, r) = {z C : |z z0| < r} E.

In cele ce urmeaza folosim notatiile

0 = \ {z0}, A0 = {z 0 : z = x + iy0} , B0 = {z 0 : z = x0 + iy}A0(z) =

f(x + iy0) f(x0 + iy0)x

x0

, B0(z) =f(x0 + iy) f(x0 + iy0)

i(y

y0)

.

Deoarece functia f este monogena n z0, deducem ca limitele ultimilor rapoartetrebuie sa fie egale si deci

A0(z) =u(x, y0) u(x0, y0)

x x0 + iv(x, y0) v(x0, y0)

x x0 , z A0

B0(z) =u(x0, y) u(x0, y0)

i(y y0) + iv(x0, y) v(x0, y0)

i(y y0) , z B0


10/311

1.2. FUNCTII COMPLEXE DE VARIABIL A COMPLEXA 11

Egaland limitele acestor rapoarte deducem urmatoarele relatii

u(x, y)

x(z0) =

v(x, y)

y(z0) ,

v(x, y)

x(z0) = u(x, y)

y(z0) ,

adica tocmai conditiile Cauchy-Riemann si teorema este demonstrata.

Observatie. Este usor de vazut ca

f(z0) =u(x, y)

x(z0) + i

v(x, y)

x(z0) =

1

i

u(x, y)

y(z0) + i

v(x, y)

y(z0)

.

Teorema 2.2 Consideram submultimea deschisa E C, un punct fixat z0 E sifunctia complexa f : E C, f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Daca functiile u si v admitderivate partiale ntr-o vecinatate V a punctului z0, aceste derivate sunt continuesi satisfac conditiile Cauchy-Riemann atunci functia f este monogena n z0.

Demonstratie. Folosind ipotezele teoremei, deducem ca functiile u si v suntdiferentiabile. Asadar, deducem ca exista functiile (z) si (z) astfel ncat

limzz0

(z) = limzz0

(z) = 0,

si putem sa scriem

u(x, y) u(x0, y0) = u(x, y)x

(x x0) + u(x, y)y

(y y0) + |z z0| (z),

v(x, y) v(x0, y0) = v(x, y)x

(x x0) + v(x, y)y

(y y0) + |z z0| (z).

Evident, avem

f(z) f(z0) = u(x, y) + iv(x, y) u(x0, y0) iv(x0, y0) =u(x, y) u(x0, y0) + i [v(x, y) v(x0, y0)] = u

x(x x0) + u

y(y y0) +

+iv

x(x x0) + v

y(y y0)

+ |z z0| [(z) + i(z)] =

=

u

x+ i

v

x

(x x0) +

u

y+ i

v

y

(y y0) + |z z0| [(z) + i(z)] =

=

u

x+ i

v

x

(x x0) +

v

x+ i

u

x

(y y0) + |z z0| [(z) + i(z)] =


11/311


=

u

x+ i

v

x

[x x0 + i (y y0)] + |z z0| [(z) + i(z)] =

= ux + i vx (z z0) + |z z0| [(z) + i(z)]Asadar, putem mparti prin (z z0) si obtinem

f(z) f(z0)z z0 =

u

x+ i

v

x

(z) +

|z z0|z z0 [(z) + i(z)] .

Acum, prin trecere la limita, pentru z z0, n ultima relatie, deducem ca functiaf este monogena n z0.Mai mult, constatam ca formula care da derivata functiei complexe f este:

f(z0) = ux + i vx (z0) = 1i uy + i vy (z0).Teorema este demonstrata.

Aplicatii.

1. Sa demonstram ca functia f : C C, definita prin f(z) = z nu are puncte demonogenitate.Intr-adevar, pentru z = x + iy avem f(z) = x iy u(x, y) = x si v(x, y) = y.Atunci derivatele acestor functii nu satisfac conditiile Cauchy-Riemann de mono-genitate, deoarece

u

x= 1,

v

y= 1 u

x= v

y.

2. Sa demonstram ca functia f : C C, f(z) = ez este monogena n ntregplanul complex C.Intr-adevar, pentru z = x + iy avem f(z) = ex(cos y + i sin y) u(x, y) = ex cos ysi v(x, y) = ex sin y. Este exercitiu simplu sa se verifice ca u si v satisfac conditiileCauchy-Riemann de monogenitate,

(x, y)

C.

Mai mult, pentru formula de derivare a functiei f avem

f(z) =u

x+ i

v

x= ex cos y + iex sin y = ex(cos y + i sin y) = ez.

3. Fie D multimea D = {z C : z = x + iy, x > 0}. Pentru z = x + iyconsideram functia

f(z) = ln

x2 + y2 + iarctgy

x.


12/311


13/311


astfel ncat f este functie olomorfa pe .-ii) Un punct z0 E este un punct singular al functiei f daca orice disc

(z0, ) contine atat puncte n care f este monogena cat si puncte n care f nu

est monogena.

Definitia 2.5 In aceleasi conditii pentru multimea E si functia f, un punct sin-gular z0 E este numit punct singular izolat al functiei f daca exista un disc(z0, ) care nu contine alte puncte singulare ale functiei f, cu exceptia lui z0.

Definitia 2.6 Fie D un domeniu complex si functia f : D C. Un puncta D este numit zerou pentru functia f daca exista un numar N si functia : D C, olomorfa pe D, (a) = 0, astfel ncat

f(z) = (z

a) (z),

z

D.

Numarul este numit ordinul zeroului.

Propozitia 2.2 Ordinul unui zerou este unic.

Demonstratie. Presupunem, prin reducere la absurd, ca exista un alt numar N si functia : D C, care este olomorfa pe D, (a) = 0 astfel ncat

f(z) = (z a) (z), z D.

Sa presupunem ca > . Atunci putem sa scriem

(z a) (z) = (z a) (z) (z) = (z a) (z).Deoarece functiile si sunt olomorfe, rezulta ca ele sunt continue si atuncilimza (z) = (a) si limza (z) = (a). Asadar, prin trecere la limita, cu z a nrelatia de mai sus deducem ca (a) = 0, ceea ce contrazice ipoteza impusa functiei. Propozitia este demonstrata.

Teorema 2.4 Toate zerourile unei functii olomorfe sunt izolate.

Demonstratie. Fie a un zerou al functiei f. Atunci exista un numar N sifunctia : D C, olomorfa pe D, (a) = 0, astfel ncat

f(z) = (z a) (z), z D.Sa demonstram ca exista un disc (a, ) care nu contine alte zerouri ale functieif, adica avem f(z) = 0, z (a, ) \ {a}. Sa presupunem, prin reducere la


14/311

1.3. FUNCTII COMPLEXE ELEMENTARE 15

absurd, ca z1 (a, ) \ {a} astfel ncat f(z1) = 0 (z1 a)(z1) = 0 (z1) = 0. Deoarece este olomorfa pe D deducem ca este continuape D. Deoarece (a)

= 0 putem presupune ca

|(a)

|> 0. Folosind definitia

continuitatii, obtinem: pentru un ales arbitrar, (0, |(a)|) () astfelncat pentru |z a| < () |(z) (a)| < . Consideram discul (a, )unde = (). Daca exista z1 (a, ()) astfel ncat (z1) = 0, atunci|z1 a| < () |(z1) (a)| < |(a)| < si aceasta contrazice ipoteza ca (0, |(a)|). Teorema este demonstrata.

Definitia 2.7 Fie E o multime complexa deschisa si functia f : E C. Unpunct singular a este numit pol pentru functia f daca exista un numar N sifunctia : E {a} C, avand a ca punct ordinar, (a) = 0, astfel ncat

f(z) = 1(z a) (z), z E.

Numarul este numit ordinul polului.

Propozitia 2.3 Ordinul unui pol este unic.

Demonstratie. Demonstratia este analoaga cu cea folosita la propozit ia 1.2.

Teorema 2.5 Toti polii unei functii complexe sunt izolati.

Demonstratie. Putem folosi aceiasi procedura ca n demonstratia teoremei 1.5.

1.3 Functii complexe elementare

Inainte de toate, trebuie sa spunem ca regulile de derivare, n cazul functiilorcomplexe, sunt aceiasi ca si n cazul functiilor reale. Este un exercitiu simplu sa

demonstram urmatoarele reguli:

(c.f(z)) = c.f(z),

(f(z).g(z)) = f(z)g(z) + f(z)g(z),f(z)

g(z)

=

f(z)g(z) f(z)g(z)g2(z)

,


15/311


(f o)(z) = f((z))(z).

Vom numi functii elementare acele functii complexe, relativ simple, care sunt

folosite la constructia functiilor uzuale, ntalnite n aplicatii concrete.

1. Functia polinom. Este functia P : C C definita prinP(z) = anz

n + an1zn1 + ... + a1z + a0, z C.Folosind conditiile Cauchy-Riemann pentru monogenitate, este usor sa demon-stram ca functia f(z) = z = x + iy este olomorfa pe ntreg spatiul complexC, si atunci, folosind inductia matematica, deducem ca functia f : C C,f(z) = zn, n N este, de asemenea, olomorfa pe ntreg C. Asadar, deducem cafunctia polinomiala este olomorfa pe ntreg planul complex C.

2. Functia rationala. Este functia definita prin

R(z) =P(z)

Q(z),

unde P(z) si Q(z) sunt functii polinomiale.Daca notam cu E = {z C : Q(z) = 0}, deducem ca R(z) este functie definita siolomorfa pe C\ E.

3. Functia exponentiala. Este functia definita prin

f : C C, f(z) = ez.Intr-o aplicatie anterioara am demonstrat deja ca aceasta functie este olomorfa pentreg planul complex C.

Propozitia 3.1 Functia exponentiala este o functie periodica cu perioada princi-pala T0 = 2i si perioada generala Tk = 2ki, k Z\ {0, 1}.Demonstratie. Consideram un numar complex T = T1 + iT2 care este perioada

pentru functia f, deci astfel ncat f(z + T) = f(z), z C. Deoarece pentruz = x + iy avem f(z) = ez = ex (cos y + i sin y), rezultaex+T1 [cos(y + T2) + i sin(y + T2)] = e

x (cos y + i sin y) , x, y R.Daca trecem la modul n aceasta egalitate , deducem ex+T1 = ex si atunci T1 = 0.Atunci egalitatea precedenta conduce la cos(y + T2) = cos y si sin(y + T2) = sin y y + T2 = y + 2k T2 = 2k. Propozitia este demonstrata.


16/311


4. Functii trigonometrice si hiperbolice. Acestea sunt functii definite dupacum urmeaza

cos z =eiz + eiz

2, sin z =

eiz eiz2i

, cosh z =ez + ez

2, sinh z =

ez ez2

.

Principalele proprietati ale acestor functii sunt continute n urmatoarea propozitie.

Propozitia 3.2 Functiile trigonometrice si hiperbolice au urmatoarele proprietati:-1) (cos z) = sin z, (sin z) = cos z, (cosh z) = sinh z, (sinh z) = cosh z;-2) cos z si sin z sunt functii periodice cu perioada Tk = 2k;-3) cosh z si sinh z sunt functii periodice cu perioada Tk = 2ki;

-4) Relatiile care dau legatura ntre functiile trigonometrice si functiile hiper-bolice sunt: cos iz = cosh z si sin iz = i sinh z;

-5) Functiile trigonometrice au aceleasi zerouri ca si functiile reale corespunzatoareiar functiile hiperbolice au urmatoarele zerouri:

cosh z = 0 zk = i

2+ k

, sinh z = 0 zk = ki.

Demonstratie.-1) Prin calcul direct:

(cos z) = eiz + eiz2

= 12ieiz ieiz = i

2eiz eiz = sin z.

-2) Folosind definitia unei functii periodice, avem

cos(z + T) = cos z ei(z+T) + ei(z+T) = eiz + eiz.

Inmultim acum ambii membri ai ultimei egalitati cu eiT:

ei(z+T)eiT + eiz = ei(z+T) + eizeiT

eiT 1

ei(z+T)

eiT 1

eiz = 0

eiT

1 ei(z+T) e

iz = 0 ei(z+T) = eiz sau eiT = 1.

Daca prima concluzie ar fi adevarata, atunci deducem ca e2iz = eiT, z C, adicafunctia exponentiala ar fi constanta, ceea ce este fals. Folosind a doua concluziededucem ca cos T + i sin T = 1, si atunci Tk = 2k.

-3) Folosind definitia unei functii periodice, avem

cosh(z + T) = cos z ez+T + e(z+T) = ez + ez.


17/311


Inmultim acum ambii membri ai ultimei egalitati cu eT:

ez+TeT + ez = ez+T + ezeT

eT

1

ez+T

eiT

1

ez = 0

eT 1 ez+T ez = 0 ez+T = ez or eT = 1.Daca prima concluzie ar fi adevarata atunci am deduce ca e2z = eT, z C, adicafunctia exponentiala ar fi constanta, ceea ce este fals. Folosind a doua concluziededucem ca

eT1 (cos T2 + i sin T2) = 1,

pentru T = T1 + iT2. Prin trecere la modul n egalitatea precedenta, obtinemeT1 = 1 astfel ncat T1 = 0. De asemenea, din relatia de mai sus, folosind faptulca T1 = 0, rezulta cos T + i sin T = 1, astfel ncat cos T2 = 1 si sin T2 = 0, adica

T2 = 2k.In final, T = 2ki.-4) Avem

cos iz =ei

2z + ei2z

2=

ez + ez

2= cosh z,

sin iz =ei

2z ei2z2i

=ez ez

2i= i

ez ez2

= i sinh z.

-5) Zerourile functiei cos z sunt solutiile ecuatiei cos z = 0. Avem

eiz + eiz = 0 e2iz = 1 e2i(x+iy) = 1 e2y(cos2x + i sin2x) = 1Prin trecere la modul obtinem

e2y = 1 y = 0,si atunci, din ultima egalitate , rezulta

cos2x + i sin2x = 1 cos2x = 1, sin2x = 0

2x = (2k + 1) x = 2

+ k,k Z.

In mod asemanator obtinem ca pentru zerourile functiei sin z avem y = 0 si x =k,k

Z, adica zk = k,k

Z. Analog,

cosh z = 0 zk = i

2+ k

, sinh z = 0 zk = ki,k Z,

si propozitia este demonstrata.Este un exercitiu simplu sa demonstram urmatoarele relatii:

cos(z1 z2) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2,


18/311


sin(z1 z2) = sin z1 cos z2 cos z1 sin z2,sin2z = 2 sin z cos z, cos2z = cosz sin2 z, sin2 z + cos2 z = 1,

cosh(z1 z2) = cosh z1 cos z2 sinh z1 sinh z2,sinh (z1 z2) = sinh z1 cosh z2 cosh z1 sinh z2,

sinh2z = 2 sinh z cosh z, cosh2z = cosz +sin2 z, cosh2 z sinh2 z = 1.5. Functia radical. Consideram functia f(z) =

z. Daca scriem z cu ajutorul

formulei lui Euler, z = (cos + i sin ) = ei, atunci

z = 1/2ei/2.

Asadar, pentru un z gasim doua valori pentru functia radical si avem functiile

f1(z) = 1/2ei/2, f2(z) = 1/2ei/2

Definitia 3.1 Functia f este numita multiforma daca pentru un singur z functiaare cel putin doua valori.

Daca z este situat pe o curba care nu contine originea, atunci functiile f1 si f2 auvalorile de mai sus. Dar, daca z este situat pe o curba nchisa ce contine originea,atunci argz creste cu 2 cand z se misca de-a lungul acestei curbe, pornind dintr-unpunct M, care apartine acestei curbe, si ajunge din nou n M. De aceea,

f1(z) = 1/2ei(+2)/2 = 1/2ei/2ei = 1/2i/2 = f2.

In aceiasi maniera obtinem f2(z) = f1(z). De aceea, cele doua ramuri alefunctiei radical trec una n alta cand z se misca de-a lungul curbei nchise cecontine originea.

Spunem ca z = 0 este punct critic sau punct de ramificatie pentru functiaradical. Pentru a face ramurile f1 si f2 sa fie functii uniforme, trebuie sa facemo taietura n planul complex n lungul unei semiaxe pornind din origine. Atuncipunctul z nu se mai poate misca pe o curba nchisa care sa contina originea.

O alta procedura pentru a face ramurile f1 si f2 sa fie functii uniforme consta

n suprapunerea a doua plane complexe identice, facand o taietura de-a lungulunei semiaxe pornind din origine. Aceasta maniera este cunoscuta ca metodasuprafetelor riemaniene. Consideratii analoage se pot face n cazul mai general alfunctiei radical f(z) = m

z, dar n acest caz sunt necesare m suprafete riemaniene.

6. Functia logaritmica. Este functia notata cu Lnz si definita ca solutie aecuatiei:

ef(z) = z.


19/311


Daca notam cu f(z) = u + iv si z = (cos + i sin ) atunci

eu (cos v + i sin v) = (cos + i sin ) eu = , v = + 2k,k Zu = ln , v = + 2k,k Z Lnz = ln |z| + i( + 2k), k Z,

unde este argumentul principal al lui z si este notat cu =argz. Asadar, putemsa scriem functia logaritmica n forma

Lnz = ln |z| + i(argz + 2k).Daca notam cu ln z = ln |z| + iargz, care este numita valoarea principalaa functieilogaritmice, putem sa scriem

Lnz = ln z + 2ki,k Z.Asadar, este usor de vazut ca functia logaritmica este o functie multiforma cu unnumar infinit de ramuri:

f0(z) = ln z,

f1(z) = ln z + 2i,

f2(z) = ln z i,...

Daca z este situat pe o curba nchisa cu originea n interior, functia f0(z) devinef1(z), f1(z) devine f2(z), si asa mai departe. Asadar, ramurile functiei logaritmice

sunt functii multiforme, care devin functii uniforme cu ajutorul unei taieturi nplanul complex de-a lungul unei semiaxe care pleaca din origine.Punctul z = 0 este numit punct de ramificatie pentru functia logaritmica.Principalele proprietati ale functiei logaritmice sunt incluse n propozitia urmatoare.

Propozitia 3.3 Pentru valoarea principala a functiei logaritmice avem:

ln (z1z2) = ln z1 + ln z2,

lnz1z2

= ln z1 ln z2,ln zn = n ln z,

ln n

z =1

nln z.

Demonstratie Toate aceste relatii pot fi usor demonstrate folosind formula functieilogaritmice. De exemplu,

ln (z1z2) = ln |z1z2| + iarg(z1z2) = ln |z1| + ln |z2| + i (argz1 + argz2) .


20/311


Aceiasi procedura poate fi folosita pentru demostrarea celorlalte proprietati.Observatie. Proprietatile de mai sus nu sunt valabile pentru Lnz. De exemplu,

Ln (z1z2) = ln z1 + Lnz2 = Lnz1 + ln z2.

7. Functia putere. Functia putere este definita prin formula

f(z) = z = eLnz.

Este clar ca din cauza functiei logaritmice, functia putere este si ea functie multi-forma.

Propozitia 3.4 Daca / Q atunci functia f(z) = z are un numar infinit deramuri si daca Q atunci functia putere are un numar finit de ramuri.Demonstratie Este evident faptul ca putem sa scriem functia putere n forma

f(z) = z = eLnz = e[ln +i(+2k)], k Z.Pentru ca sa aiba un numt finit de ramuri, trebuie sa existe doua valori diferiteale lui k care sa dea aceiasi valoare pentru z.

e[ln +i(+2k1)] = e[ln +i(+2k2)] e2k1 = e2k2 e2i(k1k2) = 1

2i(k1

k2) = 2m

(k1

k2) = m

=

m

k1 k2, m,k1, k2

Z,

si propozitia este demonstrata.Aplicatie. Vrem sa demonstram ca expresia ii are numai valori reale. Intr-adevar,

ii = eiLni = ei(ln |i|+i(arg(i)+2k) = e(/2+2k), k Z.8. Functiile trigonometrice inverse. Prin definitie, functia inversa a functieicos z este solutia ecuatiei cos f(z) = z si este notata cu Arccosz. In urmatoareleevaluari, vrem sa gasim forma explicita pentru funct ia Arccosz.

eif + eif = 2z

e2if

2zeif + 1 = 0; = z2

1 = i2(1

z2)

eif = z i1 z2 if = Ln

z i1 z2

Arccosz = 1i

Ln

z i

1 z2

.

Expresia1

iln

z + i

1 z2


21/311


este numita partea principala o functiei Arccosz si este notata cu arccos z. Pentrucealalta parte, avem

ln z i1 z2 = ln z2 i2(1 z2)z + i

1 z2 = ln 1z + i1 z2 = ln(z + i1 z2).

De aceea,

Arccosz =1

i

ln

z i

1 z2

+ 2k

=

= 2k +1

iln

z i

1 z2

= 2k arccos z.Prin definitie, functia inversa a functiei sin z este solutia ecuatiei sin f(z) = z sieste notata cu Arcsinz. In cele ce urmeaza vrem sa obtinem forma explicita afunctiei Arcsinz.

eif eif = 2iz e2if 2izeif 1 = 0; = i2z2 + 1 = 1 z2 eif = iz 1 z2 if = Ln

iz 1 z2

Arcsinz = 1i

Ln

iz 1 z2

.

Expresia1

iln

iz +

1 z2

este numita partea principala a functiei Arcsinz si este notata cu arcsin z. Pentrucealalta parte, avem

ln

iz

1 z2

= lni2z2 1 + z2iz +

1 z2 = ln

1iz +

1 z2

= ln(1) ln(iz +

1 z2) = ln(| 1|) + iarg(1) ln(iz +

1 z2) == i ln(iz +

1 z2).

De aceea,

Arcsinz =1

i

ln

iz +

1 z2

+ 2k

= 2k +1

iln

iz +

1 z2

Arcsinz = 2k + arcsin z.Arcsinz =

1

i

ln

iz 1 z2

+ 2k

= 2k +1

i

i ln

iz +

1 z2

=

= 2k + 1i

ln

iz +

1 z2

Arcsinz = (2k + 1) arcsin z.


22/311

1.4. INTEGRALA COMPLEX A 23

1.4 Integrala complexa

Consideram : [a, b] C, [a, b] R o curba parametrizata si neteda (adica C1[a, b]). Fie f o functie continua f : E C, unde E este submultimedeschisa din C. Atunci (f o)(t)(t) este de asemenea o functie continua, si, nconsecinta, exista integrala

ba

(f o)(t)(t)dt.

Definitia 4.1 In conditiile de mai sus impuse curbei si functiei f, definim in-tegrala complexa a functiei f pe curba prin

f(z)dz =b

a

(f o)(t)(t)dt.

Observatii.-1) daca scriem z = x + iy si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) atunci dz = dx + idy si

f(z)dz = (u + iv)(dx + idy) = udx vdy + i(udy + vdx),

De aceea,

f(z)dz =

[u(x, y)dx v(x, y)dy] + i

[u(x, y)dy + v(x, y)dx].

-2) daca scriem (t) = (t) + i(t) atunci (t) = (t) + i(t). Asadar,

f((t))(t) = [u(, ) + iv(, )] ( + i) =

= u(, ) v(, ) + i [u(, ) + v(, )] .atunci integrala complexa devine

f(z)dz =

f((t))(t)dt =

=

[u(, ) v(, )] dt + i

[u(, ) + v(, )] dt.

Principalele proprietati ale integralei complexe sunt continute n propozitia urmatoare.


23/311


Propozitia 4.1 Principalele proprietati ale integralei complexe sunt:-i) pentru orice doua curbe parametrizate, netede si echivalente, 1 si 2, avem

1

f(z)dz = 2

f(z)dz.

-ii) pentru orice doua functii complexe continue f si g si orice dou a constantecomplexe si avem

(f(z) + g(z))dz =

f(z)dz +

g(z)dz.

-iii) cand un punct se misca pe curba n sens opus sensului pozitiv (stabilitprin conventie) atunci

f(z)dz =

f(z)dz.

Demonstratie Este usor sa demonstram aceste afirmatii prin intermediul pro-prietatilor similare ale integralei reale.

Aplicatie. Sa calculam integrala

In =

(z a)ndz,

unde este cercul avand originea ca centru si raza egala cu r. Putem sa scriem(t) = a + reit, t [0, 2], (t) = rieit,

f(z)dz =

20

rneintrieitdt = rn+1i

20

eit(n+1)dt.

Atunci, pentru n = 1 I1 = 2i, si pentru n = 1 avem

In = rn+1i

eit(n+1)

i(n + 1)

2

0

=rn+1

n + 1 e2i(n+1) 1

= 0.

Definitia 4.2 Daca : [a, b] E C este o curba neteda pe portiuni (adica este o reuniune a unui numar finit, m, de curbe netede), atunci integrala complexaa functiei f pe este definita dupa cum urmeaza

f(z)dz =m

k=1

k

f(z)dz.


24/311



I =

zndz, n N.

Aici = 1 2, unde 2 este semicercul avand originea ca centru si raza egalacu a iar 1 este intervalul [a, a]. Putem sa scriem 1(t) = t, t [a, a] si2(t) = ae

it, t [0, ]. Atunci

I =

f(z)dz =

aa

tndt +

0

eitnanaieitdt.

In urma unor calcule foarte simple obtinem ca I = 0.In teorema urmatoare demonstram un rezultat foarte important al teoriei functiilor

complexe. Rezultatul este datorat lui Cauchy.Teorema 4.1 Fie un domeniu marginit n planul complex C avand frontiera, unde este o reuniune a unui numar finit de curbe simple, nchise si netede.Daca f este o functie olomorfa pe = atunci

f(z)dz = 0.

Demonstratie. Fara sa restrangem generalitatea, presupunem ca f C1()ceea ce este echivalent cu a presupune ca u, v C1().Reamintim acum formula Riemann-Green.

Daca P(x, y) si Q(x, y) sunt functii de clasa C1() atunci

P(x, y)dx + Q(x, y)dy =

Q

x P

y

dxdy.

In baza ipotezei, deducem ca f este o functie olomorfa si deci sunt satisfacuterelatiile Cauchy-Riemann:

u

x=

v

x,

u

y

=

v

x

.

In baza acestor relatii si folosind formula Riemann-Green, avem

f(z)dz =

v

x u

y

dxdy +

v

y u

x

dxdy = 0.

Teorema este demonstrata.


25/311


Corolarul 4.1 Fie D un domeniu simplu conex si o curba simpla, nchis a sineteda inclusa n D, D. Daca f este o functie olomorfa pe D, atunci

f(z)dz = 0.

Demonstratie. Deoarece D deducem ca = domeniul nchis de curba este inclus n D. In baza teoremei 4.1 deducem ca integrala pe frontiera lui estenula. Dar frontiera lui este astfel ncat

f(z)dz = 0.

Corolarul 4.2 Fie D un domeniu multiplu-conex avandm goluri, 1, 2,..., m,marginite de curbele 1, 2,...,m care sunt curbe simple, nchise si incluse n D.Daca 0 este frontiera exterioara a lui D, atunci

0

f(z)dz =m

k=1

k

f(z)dz.

Demonstratie. Consideram

= D \

1 2 ... m

.

Frontiera lui este 0 1 ... m = . Deoarece golurile au fost evitate,deducem ca f este olomorfa pe si atunci, n baza teoremei 4.1 deducem

f(z)dz =

f(z)dz = 0.

Dar sensul pe curbele k este negativ si atunci0

f(z)dz +1

f(z)dz +2

f(z)dz + ... +m

f(z)dz = 0.

Deoarece k

f(z)dz = k

f(z)dz,

deducem 0

f(z)dz =m

k=1

k

f(z)dz.


26/311



z

z2

1dz,

unde este un cerc avand originea ca centru si raza egala cu a = 1.-1) Daca a < 1 domeniul marginit de este simplu conex si f este functie

olomorfa astfel ncat

z

z2 1dz = 0,

n baza teoremei 4.1-2) Daca a > 1 domeniul marginit de este dublu conex. Consideram

domeniul

0 = \ 1 2 ,unde punctele 1 si 1 au fost izolate de doua cercuri 1 si 2, respectiv.Deoarece f este functie olomorfa pe 0 deducem ca

0

f(z)dz = 0.

Dar frontiera lui 0 este

0 = 1 2 .

Folosind corolarul 4.2 obtinem

z

z2 1dz =1

z

z2 1dz +2

z

z2 1 dz = I1 + I2

Daca scriemz

z2 1 =1

2

1

z 1 +1

z + 1

,

atunci

I1 =1

2

1

1

z 1dz + 1

1

z + 1

dz

=

1

2

(0 + 2i) = ,

I2 =1

2

2

1

z 1 dz +2

1

z + 1dz

= 12

(2i + 0) = .

In final, pentru a > 1 avem I = 2i.


27/311


Teorema 4.2 Fie D un domeniu simplu conex n planul complex C si f : D Co functie olomorfa. Consideram L1 si L2 doua curbe simple si netede incluse nD si avand aceleasi extremitati. Atunci

L1

f(z)dz =

L2

f(z)dz.

Demonstratie. Mai ntai, consideram cazul cand curbele L1 si L2 nu au altepuncte comune, cu exceptia extremitatilor. Atunci L1 L2 este o curba nchisa,simpla si neteda care nchide domeniul D. Daca sensul pe L1 este pozitiv,atunci pe L2 sensul este negativ. In baza corolarului 4.2 avem

f(z)dz = 0.

Dar = L1 L2 si atunci

f(z)dz =

L1

f(z)dz +

L2

f(z)dz = 0

L1

f(z)dz =

L2

f(z)dz.

Consideram acum cazul cand curbele L1 si L2 au si alte puncte comune. Putemlua o alta curba L3 care sa nu aiba alte puncte comune nici cu curba L1 si nici cucurba L2. Folosind prima parte a demonstratiei, deducem ca

L1

f(z)dz = L3

f(z)dz, L2

f(z)dz = L3

f(z)dz

L1

f(z)dz =

L2

f(z)dz.

Teorema este demonstrata.Observatie. Teorema precedenta afirma ca ntr-un domeniu simplu conex inte-grala unei functii olomorfe este independenta de curba care uneste doua punctecomplexe z0 si z1.

Teorema 4.3 Fie D un domeniu simplu conex n planul complex C si f : D Co functie olomorfa. Pentru un punct fixat z0 D definim functia

F(z) =

zz0

f(t)dt, t D.

Atunci functiaF este olomorfa pe D si F(z) = f(z), z D.


28/311


Demonstratie. Dupa cum deja stim

z

z0

f(t)dt =

z

z0

udx vdy + iz

z0

udy + vdx.

In baza teoremei precedente, ultimele doua integrale sunt independente de curbelecare unesc punctele z0 si z si atunci U(x, y), V(x, y) astfel ncat dU = udx vdysi dV = udy + vdx. Asadar,

F(z) =

zz0

dU + i

zz0

dV = U + iV.

DarUx

= u, Uy

= v, Vx

= v, Vx

= u,

Ux

=V

x,

U

y= V

x,

adica U si V satisfac conditiile Cauchy-Riemann. Asadar, deducem ca functia Feste olomorfa pe D si

F(z) =U

x+ i

V

x= u + iv = f(z).

Teorema este demonstrata.

Definitia 4.3 Fie D un domeniu simplu conex n planul complex C si functiaf : D C. O functie F : D C este o primitiva a functiei f daca:

-1) F este o functie olomorfa pe D;-2) F(z) = f(z), z D.

Observatie. Functia F definita n teorema 4.3 este o primitiva a functiei f.Este usor sa demonstram urmatoarele doua proprietati ale primitivelor, incluse npropozitia urmatoare.

Propozitia 4.2 Pentru o functie complexa data f avem :-1) daca F este o primitiva al functiei f atunci F + K este de asemenea o

primitiva, pentru orice constanta complexa K.-2) dacaF1 si F2 sunt doua primitive ale functiei f atunciF1F2 =constanta.


29/311


Teorema 4.4 (Formula lui Cauchy) Fie D un domeniu marginit n planul com-plex C cu frontiera care este o reuniune a unui numar finit de curbe nchise,simple si netede. Dacaf este o functie olomorfa si sunt cunoscute valorile functiei

f pe frontiera, atunci se pot calcula valorile functiei f n orice punct din interioruldomeniului D folosind formula

f(a) =1

2i

f(z)

z adz, a D.

Demonstratie. Fie a un punct fixat arbitrar, a D. Definim functia

g(z) =f(z)

z

a

,

care este olomorfa pe D \ {a}.Consideram un disc avand a ca centru si raza suficient de mica astfel ncat D.Notam cu frontiera discului si = D \ ( ). Este clar ca g este olomorfape si, n baza teoremei lui Cauchy, avem

g(z) = 0, unde = . Deaceea, avem

g(z)dz +

g(z)dz = 0

g(z)dz =

g(z)dz

f(z)z a dz =

f(z)z a dz =

f(z) f(a) + f(a)z a dz

f(z)

z adz =

f(z) f(a)z a dz + f(a)

1

z a dz. (4.1)

In baza aplicatiei precedente, stim ca

1

z adz = 2i,

deoarece este un cerc avand a ca centru.Pentru a ajunge la rezultatul dorit trebuie sa demonstram ca

f(z) f(a)z a dz = 0.


30/311


Deoarece f este olomorfa, deducem ca f este continua si atunci > 0 () astfelncat z , |z a| < () avem |f(z)f(a)| < . Dar putem alege raza cercului astfel ncat < () si atuncif(z) f(a)z a

= |f(z) f(a)||z a| = |f(z) f(a)| < .De aceea,

f(z) f(a)z a dz

f(z) f(a)z a dz , | z h| > | z| |h| > |h|.

Atunci

()

( z)2( z h)d

()( z)2( z h) d < M2( |h|)L().

De aceea, ultima integrala este finita. Aici L() este masura arcului . In final,obtinem

f(z) = limh0

f(z + h) f(z)h

=

()

( z)2d.

si deci teorema este demonstrata.

Teorema 4.6 Fie D un domeniu complex si f o functie olomorfa, f : D C.Consideram o curba simpla, nchis a si neted a care nchide domeniul astfelncat = D. Atunci

f(n)(z) =n!

2i

f()

( z)n+1d, z .

Demonstratie. In baza formulei lui Cauchy avem

f(z) = 12i

f() z d, z .

In conformitate cu teorema precedenta, avem

f(z) =1

2i

f()

( z)2d, z .


33/311


Deoarece f este functie monogena, obtinem

f(z) =2!

2i f()

( z)3d,

z

.

Rezultatul general poate fi obtinut folosind inductia matematica. Demonstratiateoremei este ncheiata.


34/311

1.5. SERII COMPLEXE 35

1.5 Serii complexe

Definitia 5.1 O expresie de forman0

cn(z z0)n = c0 + c1(z z0) + c2(z z0)2 + ...

unde numerele cn sunt constante complexe, este numita serie complexa (mai ex-plicit, serie complexa de puteri), numerele cn fiind denumite coeficientii seriei.

In cazul particular cand z0 = 0 avem seria de puteri centrata n origine.Ca si n cazul seriilor reale, definim multimea de convergenta A, raza de convergenta si discul convergenta prin

A =

z C : n0

cnzn este convergent

, = sup

|z|RA,

(0, ) = {z C : |z| < }.Folosind aceiasi procedura ca n cazul seiilor reale de puteri, se poate demonstraurmatoarea teorema.

Teorema 5.1 Daca notam cu l urmatoarea limita

l = limn

n

|cn|,

atunci-1) daca l (0, ) = 1/l;-2) daca l = 0 = ;-3) daca l = = 0.

Definitia 5.2 Fie D un domeniu complex, f o functie olomorfa, f : D C siz0 D. O serie de puteri de forma

n0

cn(z z0)n, unde cn = 1n!

f(n)(z0),

este numita seria lui Taylor relativa la punctul z0.


35/311


Teorema 5.2 Fie domeniul D, functia f si punctul z0 ca n definitia anterioara.Consideram discul avand z0 ca centru si raza a, = {z D : |z z0| < a}, cufrontiera . Daca =

D atunci seria Taylor atasata functiei f relativa

la punctul z0 este convergenta si avem

f(z) =n0

cn(z z0)n, unde cn = 1n!

f(n)(z0).

Demonstratie. Dupa cum deja stim, deoarece f este olomorfa, ea admite derivatede orice ordin si avem

f(n)(z) =n!

2i

f()

( z)n+1d.

De asemenea, folosind formula lui Cauchy, avem

f(z) =1

2i

f()

z d. (5.1)

Putem sa scriem

1

z =1

z0 (z z0) =1

z01

1 q ,

unde

q = z z0 z0 .

Deoarece,

|q| =z z0 z0

= |z z0|| z0| = |z z0|a < 1,putem sa scriem

1

1 q =1 qn+1 + qn+1

1 q =1 qn+1

1 q +qn+1

1 q =n

k=0

qk +1

1 q qn+1.

De aceea

1

z =1

z0

nk=0

z z0) z0

k+

1

1 zz0)z0

z z0) z0

n+1 =

=n

k=0

(z z0)k( z0)k+1 +

1

z

z z0) z0

n+1


36/311


Introducand aceste estimari n (5.1) obtinem

f(z) =

1

2i

f()n

k=0

(z

z0)

k

( z0)k+1 +1

z z z0) z0 n+1

d ==

nk=0

(z z0)k 12i

f()

( z0)k+1d + Rn(z),

unde

Rn(z) =1

2i(z z0)n+1

f()

( z)( z0)n+1d.

Trecem aici la limita pentru n astfel ca obtinem Rn(z) 0 si f(z) devine

f(z) =

n=0

cn(z z0)n,

unde

cn =1

n!f(n)(z0).

Cu aceasta teorema este demonstrata.

Aplicatii. 1. Consideram functia f(z) = ez si un punct fixat arbitrar z0 C.Deoarece f(n)(z0) = e

z0, n N, avem

ez =

n=0

ez01

n!(z z0)n = ez0

1 +

z z01!

+(z z0)2

2!+ ... +

(z z0)nn!

+ ...

.

In cazul particular cand z0 = 0 avem

ez = 1 +z

1!+

z2

2!+ ... +

zn

n!+ ...

2. Vrem sa dezvoltam functia f(z) = sin z n jurul originii. Este usor sa demon-stram ca

fn(z) = sin

z + n

2

fn(0) = sin n2

= (1)k, pentru n = 2k + 1

0, pentru n = 2k

Atunci seria lui Taylor pentru functia f(z) = sin z este

sin z =

n=0

z2n+1(1)n

(2n + 1)!=

z

1! z

3

3!+

z5

5! ... + +(1)n z

2n+1

(2n + 1)!+ ...


37/311


Folosind o procedura similara, obtinem

cos z =

n=0 z2n(

1)n

(2n)!= 1

z2

2!+

z4

4! ... + +(

1)n

z2n

(2n)!+ ...

1

1 z = 1 + z + z2 + ... + zn + ...

1

1 + z= 1 z + z2 z3 + ... + (1)nzn + ...

Definitia 5.3 Daca functia f este olomorfa pe ntreg planul complex C atunci feste numita functie ntreag a.

Observatii.-1) Este usor sa demonstram ca coeficientii seriei Taylor satisfac inegalitatea

|cn| M(a)an

, n N, unde M(a) = sup

|f()|, = {z D : |z | = a}.

-2) In baza inegalitatii anterioare. Liouville a demonstrat ca o functie ntreagacare este marginita, se reduce la o constanta.

Definitia 5.4 O serie de forma

n=

cn (z z0)n ,

este numita serie Laurent, centrata n punctul z0.Numim parte principala a seriei Laurent, urmatoarea serie

1n=

cn (z z0)n ,

si partea regulat a (sau partea tayloriana) a seriei Laurent, urmatoarea serie

n=0

cn (z z0)n .

Teorema 5.3 Consideram domeniu complex D, functia f care este olomorfa peD si coroana

= {z D : R1 < |z z0| < R2},


38/311


avand cercurile 1 si 2 ca frontiere.Daca = 1 2 D, atunci functia f admite o dezvoltare n serie Laurentn jurul lui z0

f(z) =

n=cn (z z0)n , cn = 1

2i

f()

( z0)n+1d,

unde este un cerc avand z0 ca centru si raza R [R1, R2].

Demonstratie. Folosind formula lui Cauchy, avem

f(z) =1

2i

12

f()

z0d =1

2i

2

f()

z0d1

f()

z0d

, z . (5.2)

Consider, separat, raportul 1/( z):1

z =1

z0 (zz0) =1

z01

1 q ,

unde

q =z z0 z0 |q| =

|z z0|| z0| =

|z z0|R2

< 1.

Atunci

1

z =1

z0 n

k=0z z0 z0

k

+1

1 zz0z0

z z0 z0n+1 =

=n

k=0

(z z0)k( z0)k+1 +

1

z

z z0 z0

n+1.

De aceea,

1

2i

2

f()

z d =n

k=0

1

2i(z z0)k

2

f()

( z0)k+1dz + Rn(z),

unde

Rn(z) =1

2i

2

f() z

z z0 z0

n+1d.

Trecand la limita pentru n , rezulta Rn(z) 0. De aceea1

2i

2

f()

z d =

k=0

(z z0)kck,


39/311


unde

ck =1

k!f(k)(z0).

Sa consideram ultimul termen din (5.2)

12i

1

f()

z d.

Consideram, separat, raportul 1/( z):

1 z =

1

z =1

z z0 ( z0) =1

z z01

1 q ,

unde

q =

z0

z z0 |q| = |

z0||z z0| =

R1

z z0 < 1.Atunci

1 z =

1

z z0

n

k=1

z0z z0

k1+

z0z z0

n=

=n

k=1

( z0)k1(z z0)k +

1

z z0

z0z z0

n.

De aceea,

1

2i 1

f()

z d =n

k=11

2i

1

(z z0)k 1

f()( z0)k

1

dz + Rn(z),

unde

Rn(z) =1

2i

1

f()

z

z0z z0

nd.

Trecand la limita pentru n , rezulta Rn(z) 0. De aceea

12i

1

f()

z d =

k=1

1

(z z0)k1

2i

1

f()( z0)k1dz.

Asadar, scriem

12i

1

f()

z d =

k=1(z z0)kck,

unde

ck =1

2i

1

f()

( z0)k+1d.


40/311


Cu aceasta demonstratia teoremei este nchisa.

Aplicatii. 1. Sa gasim seria Laurent pentru functia e1/z n jurul punctului

z0 = 0. Este un lucru bine stiut ca

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ ... +

xn

n!+ ...

astfel ncat, substitutind x cu 1/z gasim

e1z = 1 +

1

1!

1

z+

1

2!

1

z2+ ... +

1

n!

1

zn+ ...

Aceasta serie are un numar infinit de termeni n partea sa principala si numai untermen n partea sa regulata.

2. Consideram functia f(z) = z(z 2)(z + 1)3 ,

si intetionam sa rezolvam urmatoarele doua probleme:-i) Seria Laurent a functiei n jurul punctului z0 = 1.-ii) Seria Laurent a functiei n coroana |z + 1| > 3.

i). Putem sa scriem functia n forma

f(z) =1

(z + 1)3g(z),

unde

g(z) =z

z 2 =z 2 + 2

z 2 = 1 +2

z 2 = 1 +2

z + 1 3 = 1 +2

3( z+13

1) =

= 1 23

1

1 z+13

= 1 23

1 +

z + 1

3+

z + 1

3

2+

z + 1

3

n+ ...

.

De aceea,

f(z) =1

(z + 1)3

1 2

3

1 +

z + 1

3+

(z + 1)2

32+ ... +

(z + 1)n

3n+ ...

=

=1

3

1

(z + 1)3 2

321

(z + 1)2 2

331

z + 1 2

34 2

35 (z + 1) 2

36 (z + 1)2 ...Este usor de vazut ca seria are un numar infinit de termeni in partea sa regulatasi un numar finit (trei) n partea sa principala.ii). Putem sa scriem functia n forma

f(z) =1

(z + 1)3g(z),


41/311


unde

g(z) =z

z 2=

z 2 + 2z 2

= 1 +2

z + 1 3== 1 +

2

(z + 1)(1 3

z+1)

=

= 1 +2

z + 1

1

1 3z+1

= 1 +2

z + 1

1 +

3

z + 1+

3

z + 1

2+

3

z + 1

n+ ...

.

De aceea,

f(z) =1

(z + 1)3+

2

(z + 1)4+

2.3

(z + 1)5+

2.33

(z + 1)6+ ...

Se observa ca seria are un numar infinit de termeni in partea sa principala si niciun termen n partea sa regulata.

Definitia 5.5 Daca o functie complexa are un punct singular si aceasta nu esteun pol atunci el este numit punct singular esential.

Teorema 5.4 Punctulz0 este un pol de ordinul p pentru functia complexa f dacasi numai daca seria Laurent a functiei f n jurul punctului z0 are forma

f(z) =cp

(z

z0)p+

cp+1(z

z0)p1

+ ... + c0 + c1(z z0) + c2(z z0)2 + ... (5.3)

unde cp = 0.

Demonstratie. Suficienta. Daca presupunem ca seria Laurent a functiei f njurul lui z0 are forma (5.3), atunci va trebui sa demonstram ca z0 este un pol deordinul p. De aceea, va trebui sa gasim o functie complexa olomorfa , (z0) = 0astfel ncat

f(z) =1

(z z0)p (z).

Pentru aceasta, definim functia prin

(z) = cp + cp+1 (z z0) + cp+2 (z z0)2 + ... + c0 (z z0)p + c1 (z z0)p+1 .

Este clar, fiind un polinom, este o functie olomorfa. De asemenea, este usor devazut ca (z0) = cp = 0. Prin calcul direct obtinem ca

1

(z z0)p (z) = f(z).


42/311


Necesitatea. Presupunem ca z0 este un pol de ordinul p. Atunci exista o functieolomorfa astfel ncat (z0) = 0 si

f(z) = 1(z z0)p (z).

Fiind o functie olomorfa, poate fi dezvoltata n serie Taylor n jurul lui z0:

(z) = a0 + a1(z z0) + a2(z z0)2 + ... + an(z z0)n + ...unde (z0) = a0 = 0. Inmultind ambii membri din egalitatea precedenta cu

1/(z z0)p

obtinem

f(z) =a0

(z z0)p +a1

(z z0)p1 + ... + ap + ap+1(z z0) + ap+2 + (z z0)2 + ...

si teorema este demonstrata.

Observatie. Folosind aceasta teorema putem spune ca un punct singular esteun pol pentru o functie f daca seria Laurent pentru f are un numar finit de ter-meni n partea sa principala.Este clar , daca seria Laurent a functiei f, n jurul lui z0, are un numar infinitde termeni n partea sa principala, deducem ca z0 este un punct singular esential

pentru f. De exemplu, ntr-o aplicatie anterioara, am demonstrat ca seria Laurenta functiei f(z) = e1/z, n jurul lui z0 = 0, are un numar infinit de termeni, astfelncat z0 = 0 este punct singular esential pentru f.

Definitia 5.6 Daca toate punctele singulare ale unei functii f sunt poli atuncifunctia f este numita functie meromofa.

Folosind definitia unei functii meromorfe, cititorul poate demonstra proprietatileincluse n urmatoarea propozitie.

Propozitia 5.1 Sunt adevarate urmatoarele afirmatii:-1) O functie meromorfa pe un domeniu marginit are numai un numar finit depoli.

-2) Suma, produsul si catul a doua functii meromore sunt de asemenea functiimeromorfe.

In urmatoarele doua teoreme se demonstreaza doua rezultate cu privire la o functientreaga si punctul z0 = .


43/311


Teorema 5.5 O functie ntreag a f are n punctul z0 = un punct singularesential daca si numai daca functia f nu este un polinom.

Demonstratie. Scriem seria Taylor n jurul originii z0 = 0, pentru |z| < R, underaza R este mare:

f(z) = c0 + c1z + c2z2 + ... + cnz

n + ...

Definim functia prin

() = f(1

= c0 +

c1

+c22

+ ... +cnn

+ ...

Atunci punctul z0 = este un punct singular esential al functiei f daca punctul

= 0 este un punct singular esential al functiei si acest fapt este posibil daca sinumai daca seria Laurent a functiei are n partea sa principala un numar finitde termeni, adica f nu este un polinom si teorema este demonstrata.

Teorema 5.6 Daca o functie ntreag a f are punctul z0 = ca punct ordinar,atunci functia f este o constanta.

Demonstratie. Daca functia f are punctul z0 = ca punct ordinar, atuncifunctia () = f(1/) are punctul 0 = 0 ca punct ordinar. Atunci partea princi-

pala a seriei Laurent pentru nu are nici un termen. Dar

() = c0 +c1

+c22

+ ... +c1

+ ...

Atuncicn = 0, n > 1 () = c0 f(z) = c0.

si teorema este demonstrata.Rezultatul care urmeaza este numit Teorema fundamentala a Algebrei si este da-torat lui DAlembert si Gauss.

Teorema 5.7 (DAlembert-Gauss) Orice polinom de gradul n 1 are cel putin oradacina complexa.

Demonstratie. Daca presupunem, prin reducere la absurd, ca P(z) = 0, z C,atunci functia

f(z) =1

P(z)


44/311


este o functie ntreaga care are punctul z0 = ca un punct ordinar. De aceea,funtia f se reduce la o constanta si, ca o consecinta, polinomul P se reduce lao constanta, ceea ce contrazice presupunerea ca gradul lui P este n

1. Astfel

teorema este demonstrata.

Definitia 5.7 Fie D un domeniu complex, f o functie olomorfa f : D C sia C un pol sau un punct singular esential al functiei f. Consideram discul(a, R) avand ca frontiera cercul (a, R), cu raza R astfel ncat \ {a} D,unde = .Atunci valoarea integralei

1

2i

f(z)dz

este numita reziduul functiei f n punctul a si este notat cu

rez(f, a) =1

2i

f(z)dz

Teorema 5.8 Fie D un domeniu complex, f o functie olomorfa f : D C sia C un punct singular izolat al functiei f. Pentru a calcula reziduul functiei fn punctul a avem urmatoarele trei posibilitati:

-1) daca scriem seria Laurent a functiei f n jurul lui a

f(z) =

n=cn(z a)n,

atunci rez(f, a) = c1.-2) daca a este un pol de ordinul p al functiei f, atunci

rez(f, a) =1

(p 1)! (p1)(a), (z) =

(z a)pf(z), dacaz D \ {a}limza(z a)pf(z), dacaz = a

-3) daca a este un pol de ordinul ntai (numit pol simplu) al functiei f careeste catul a doua functii f = g/h, cu alte cuvinte, a este un punct ordinar pentrug si h si, n plus, h(a) = 0. Atunci reziduul poate fi calculat cu formula

rez(f, a) =g(a)

h(a).

Demonstratie 1. Este evident faptul ca formula propusa la punctul 1 este val-abila atat n cazul cand a este un pol cat si n cazul cand a este punct singularesential. Scriem seria Laurent a functiei f n jurul punctului a

f(z) =

n=cn(z a)n, cn = 1

2i

f(z)

(z a)n+1dz


45/311


In baza definitiei 5.7, obtinem

rez(f, a) = c1 =

1

2i f(z)dz.2. Daca a este un pol de ordinul p, atunci exista functia olomorfa cu (a) = 0astfel ncat

f(z) =1

(z a)p (z) 1

2i

f(z)dz =1

2i

1

(z a)p (z)dz.

Acum folosim formula lui Cauchy pentru derivata

1

2i

(z)

(z a)p dz =1

(p 1)!(p

1)!

2i

(z)

(z a)p dz =1

(p 1)! (p

1)

(a).

3. Deoarece g si h sunt functii olomorfe, putem sa scriem seria Taylor n jurul luia astfel ncat

f(z) =c0 + c1(z a) + c2(z a)2 + ...d0 + d1(z a) + d2(z a)2 + ...

Deoarece a este un pol pentru f avem h(a) = 0 si atunci d0 = 0. Astfel

f(z) =c0 + c1(z a) + c2(z a)2 + ...

d1(z

a) + d2(z

a)2 + ...

limza(z a)f(z) = limza

c0 + c1(z a) + c2(z a)2 + ...d1 + d2(z a) + d3(z a)2 + ... =

c0d1

=g(a)

h(a).

astfel ncat demonstratia teoremei este ncheiata.

Aplicatii. 1. Sa calculam reziduurile n punctele a = 2 si a = 1 pentrufunctia

f(z) =z

(z 2)(z + 1)3 .

Deoarece a = 2 este pol simplu, avem

rez(f, 2) = limz2

(z 2)f(z) = limz2

z

(z + 1)3=

2

27.

Deoarece a = 1 este un pol de ordinul trei, avem

rez(f, 1) = limz1

1

2!

(z 1)3f(z)

= lim

z11

2!

z

z 2

= 227


46/311


2. Sa calculam reziduu n punctul a = 0 pentru functia

f(z) = zke1z

Deoarece a = 0 este un punct singular esential pentru functia data, trebuie sascriem seria sa Laurent:

e1z = 1 +

1

1!

1

z+

1

2!

1

z2+ ... +

1

k!

1

zk+

1

(k + 1)!

1

zk+1+ ...

f(z) = zk +1

1!zk1 +

1

2!zk2 + ... +

1

k!+

1

(k + 1)!

1

z+ ...

Atunci pentru reziduu obtinem

rez(f, 0) = c1 =1

(k + 1)!.

Urmatorul rezultat, numit teorema reziduurilor, este un rezultat fundamental nteoria functiilor complexe.

Teorema 5.9 Fie un domeniu marginit de frontiera care este o curba simpla,nchis a si neteda. Consideram o functie f care are un numar finit de punctesingulare (poli sau puncte singulare esentiale) S = {a1, a2,...,an}. Daca functia feste olomorfa pe un domeniu D astfel ncat \ S D, = , atunci

f(z)dz = 2in

k=1

rez(f, ak).

Demonstratie. In jurul punctelor ak, consideram discurile k avand ca frontierecercurile k astfel ncat k k = k sunt disjuncte. Deoarece f este o functieolomorfa pe

\n

k=1

k

avem

f(z)dz + nk=1

k

f(z)dz = 0

f(z)dz = nk=1

k

f(z)dz.

Dar, prin definitie, avem

rez(f, ak) =1

2i

f(z)dz.


47/311


De aceea,

f(z)dz = 2in

k=1rez(f, ak)

si teorema este demonstrata.Este posibil ca o functie f sa aiba un numar mare de puncte singulare si atunci vatrebui sa calculam un numar mare de reziduuri. Pentru a evita aceasta introducemreziduul functiei f n punctul de la infinit, z0 = .

Definitia 5.8 Fie f o functie monogena n toate punctele situate n exterioruldiscului (0, R0) astfel ncat punctul z0 = este un punct ordinar al lui f, saupol izolat sau punct singular esential. Numarul notat cu rez(f, ) si definit prin

rez(f, ) = 12i

f(z)dz

este numit reziduul functiei f n punctul de la infinit. Aici este un cerc avandoriginea ca centru si raza R astfel ncat R > R0.

Daca scriem seria Laurent a functiei f n coroana R0 < |z| < R1, unde R1 estesuficient de mare

f(z) =

cnzn, cn =

1

2i

f(z)

zn+1dz,

atunci reziduul functiei f la infinit este rez(f,

) =

c1.

Teorema 5.10 Fie E o multime complexa si functia f : E C care are unnumar finit de puncte singulare. Atunci suma tuturor reziduurilor functiei f esteegala cu zero:

rez(f, ) +n

k=1

rez(f, ak) = 0

unde ak sunt punctele singulare ale functiei f.

Demonstratie. Consideram discul avand originea ca centru si raza R0, suficientde mare astfel ncat sa includa toate punctele singulare ale functiei f. Daca

cercul este frontiera lui , folosind teorema reziduurilor, avem1

2i

f(z)dz =n

k=1

rez(f, ak).

Dar

12i

f(z)dz = rez(f, ).


48/311


De aceea,

rez(f,

) =

n

k=1 rez(f, ak) rez(f, ) +n

k=1 rez(f, ak) = 0.si teorema este demonstrata.In cele ce urmeza, vom folosi unele proceduri pentru a calcula unele integrale realeimproprii cu ajutorul reziduurilor.Mai ntai, demonstram doua rezultate auxiliare, incluse n urmatoarele propozitiidatorate lui Jordan.

Propozitia 5.2 (Jordan) Fie AB un arc de cerc situat pe cercul |z| = R astfelncat argz . Daca

lim|z| zf(z) = k, k = constanta,

atuncilim|z|

AB

f(z)dz = i( )k.

Demonstratie. Putem sa scriem zf(z) = k + (z), unde are proprietatea ca > 0. Avem |(z)| < , pentru |z| , adica (z) 0, pentru |z| . Dacascriem

f(z) =k

z+

(z)

z,

atunci AB

f(z)dz =

AB

kz

dz +

AB

(z)z

dz.

Folosind coordonatele polare, obtinem

AB

f(z)dz =

k

ReiiReid +

(Rei)

ReiiReid =

= ik( ) + i

(Rei)d.

De aceea,

AB

f(z)dz ik( ) =

(Rei)d

(Rei)d < ( ),

si astfel propozitia este demonstrata.


49/311


Propozitia 5.3 (Jordan) Fie AB un arc de cerc situat pe cercul |z a| = r astfelncat argz . Daca

lim|z|a(z a)f(z) = k, k = constanta,atunci

lim|z|a

AB

f(z)dz = i( )k.

Demonstratie. Putem sa scriem zf(z) = k + (z), unde functia are propri-etatea ca > 0. Avem |(z)| < , pentru |z| a, adica (z) 0, pentru|z| a. Daca scriem

f(z) =k

z

a

+(z)

z

a

,

atunci AB

f(z)dz =

AB

k

z adz +

AB

(z)

z adz.

Folosind coordonatele polare, z = a + rei, obtinem

AB

f(z)dz =

k

reiireid +

(r + aei)

reiireid =

= ik( ) + i

(a + rei

)d.

De aceea,

AB

f(z)dz ik( ) =

(a + rei)d

(a + rei)d < ( ).

Astfel, propozitia este demonstrata.

In ultima parte a acestui capitol vom aborda cateva integrale reale improprii

care pot fi calculate folosind rezultatele din cele doua propozitii anterioare si teo-rema reziduurilor.

I. Consideram o integrala de forma

+2

R(cos , sin )d.


50/311


Folosind substitutia

z = ei, [, + 2]

deducem ca z apartine cercului avand originea ca centru. De asemenea,

cos =1

2

z +

1

z

, sin =

1

2i

z 1

z

, dz = ieid d = dz

iz.

Integrala data devine

1

izR

1

2

z +

1

z

,

1

2i

z +

1

z

dz = 2i

k

rez(R1, ak),

unde functia R1 este

R1(z) =1

iz R(z)

si ak sunt punctele singulare ale aceastei functi.


I1 =

1 + 2 cos

5 + 4 sin d.

Folosind procedura expusa mai sus, avem

I1 =

1

iz

1 + z + 1/z

5 + (z 1/z)2/i =

(z2 + z + 1) iz

iz2(5iz + 2z2 2) dz =

=

z2 + z + 1

z(2z2 + 5iz 2) dz = 2i

rez(f, 0) + rez(f, i2

)

.

II. Consideram o integrala de forma

I2 =

R(x)dx, R(x) =

P(x)

Q(x),

unde P(x) si Q(x) sunt polinoame astfel ncat Q(x) = 0, x R si1+grad(P)


51/311


Folosim domeniul marginit de curba determinata de semi-cercul superior avandoriginea ca centru si raza egala cu R mpreuna cu segmentul [R, R] si integrampe aceasta curba functia f(z) = R(z):

R(z)dz +

RR

R(x)dx = 2i

k

rez(f, ak), (5.4)

unde ak sunt punctele singulare al functiei f situate n semi-planul superior y =Im(z) > 0.Folosind ipotezele si prima propozit ie a lui Jordan, obtinem

zf(z) =zP(z)

Q(z) lim

Rzf(z) = lim

RzP(z)

Q(z)= 0.

Trecand la limita n (5.4) pentru R , obtinem

R(z)dz 0 astfel ncat (5.4)se reduce la

I2 =

R(x)dx = 2i

k

rez(f, ak)


I2 =

x2

1 + x4dx.

Folosind rezultatul teoretic de mai sus, deducem ca

x2

1 + x4dx = 2i [rez(f, z1) + rez(f, z2)] ,

unde z1 si z2 sunt radacinile ecuatiei

z4 + 1 = 0

avand Im(z) > 0, adica

z1 = ei/4, z2 = e

i(/4+/2).

III. Consideram o integrala de forma

I3 =

0

xR(x)dx, (1) (0, 1), R(x) = P(x)Q(x)

,


52/311


unde P(x) si Q(x) sunt doua polinoame care satisfac conditiile

Q(x)

= 0,

x

[0,

) si 1 + + grad(P) < grad(Q).

Pentru a gasi valoarea integralei I3 scriem

I2 = limr0R

Rr

xR(x)dx.

Vom folosi coroana marginita de cercul avand originea ca centru si raza egalacu R si cercul avand originea ca centru si raza egala cu r. Facem o taietura naceasta coroana de-a lungul axei Ox si integram pe acest domeniu functia

f(z) = z

R(z) :

Rr

xR(x)dx +

zR(z)dz + e2ir

R

xR(x)dx +

+

zR(z)dz = 2i

k

rez(f, ak), (5.5)

unde ak sunt punctele singulare ale functiei f.Folosind ipotezele si propozitiile lui Jordan, obtinem

limR

zf(z) = limR

z1+P(z)

Q(z)= 0 lim

R

zR(z)dz = 0,

limr0

zf(z) = limr0

z1+P(z)

Q(z)= 0 lim

r0

zR(z)dz = 0.

Luand n consideratie aceste rezultate, prin trecere la limita n (5.5) pentru R si r 0 deducem ca (5.5) se reduce la

1 e2i 0

xR(x)dx = 2ik

rez(f, ak).


I3 =

0

x

1 + x3dx.


53/311


Aici = 1/2 si, folosind rezultatul expus mai sus, deducem ca

I3 =2i

1 ei[rez(f, z1) + rez(f, z2) + rez(f, z3)] ,

unde z1, z2 si z3 sunt radacinile ecuatiei z3 + 1 = 0.

IV. Consideram o integrala de forma

I4 =

0

xR(x)ln(x)dx, (1) (0, 1), R(x) = P(x)Q(x)

,

unde P(x) si Q(x) sunt doua polinoame care satisfac conditiile

Q(x) = 0 , x [0, ) si 1 + + grad(P) < grad(Q).Pentru a gasi valoarea lui I4 scriem

I4 = limr0R

Rr

xR(x)ln(x)dx.

Vom folosi coroana marginita de cercul avand originea ca centru si raza egalacu R si cercul avand originea ca centru si raza egala cu r. Facem o taietura naceasta coroana de-a lungul axei Ox si integram pe acest domeniu functia

f(z) = zR(z)ln(z) :

Rr

xR(x)ln(x)dx +

zR(z)ln(z)dz + e2ir

R

xR(x)[ln(x) + 2i]dx +

+

zR(z)ln(z)dz = 2i

k

rez(f, ak), (5.6)

unde ak sunt punctele singulare ale functiei f.

Folosind ipotezele si rezultatele lui Jordan, obtinem

limR

zf(z) = limR

z1+P(z)

Q(z)ln(z) = 0 lim

R

zR(z)ln(z)dz = 0,

limr0

zf(z) = limr0

z1+P(z)

Q(z)ln(z) = 0 lim

r0

zR(z)ln(z)dz = 0.


54/311


Luand n consideratie aceste rezultate, prin trecere la limita n (5.6) pentru R si r 0, deducem ca (5.6) se reduce la

1 e2i

0

xR(x)ln(x)dx 2i 0

xR(x)dx = 2i

k

rez(f, ak),

unde f(z) = zR(z)ln(z).


I4 =

0

ln xx(x2 + a2)

dx, a > 0

Aici = 1/2 si f este functia

f(z) =ln z

z(z2 + a2).

Folosind rezultatul teoretic de mai sus, deducem ca

1 ei

0

ln xx(x2 + a2)

dx 2iei0

1x(x2 + a2)

dx =

= 2i [rez(f, z1) + rez(f, z2) + rez(f, z3)] .

Integrala

J =

0

1x(x2 + a2)

dx

poate fi calculata utilizand procedura expusa n cazul integralei I3 de mai sus,folosind functia

g(z) =1

z(z2 + a2)

astfel ncat obtinem

J = 2i1 ei [rez(f, z1) + rez(f, z2) + rez(f, z3)] .


55/311



56/311

Capitolul 2

Functii speciale

2.1 Functiile lui Euler

Functia lui Euler de speta ntai

Definitia 1.1 Consideram semiplanul 0 = {z C, z = x + iy : x > 0}.Functia complexa : 0 C definita prin

(z) =

0 tz1etdt,

este numita functia lui Euler de speta ntai.

Observatie. Deoarece functia lui Euler de speta ntai este definita prin inter-mediul unei integrale impropri, va trebui, nainte de toate, sa demonstram caacesta functie este bine definita. Asta nseamna ca integrala improprie prin carese defineste functia lui Euler, este convergenta. Acest rezultat si principalele pro-prietati ale functiei sunt incluse n teorema urmatoare.

Teorema 1.1 Functia satisface urmatoarele proprietati:-1) este bine definita, adica

0

tz1etdt

< ;-2) este o functie olomorfa pe semi-planul 0;-3) (z + 1) = z(z), z 0. Ca o consecint a, avem (n + 1) = n!, n N.

57


57/311

58 CAPITOLUL 2. FUNCTII SPECIALE

Demonstratie.1) Vom folosi bine cunoscuta formula

uv

= ev lnu

.

De aceea,tz1 = e(z1)ln t = e(x1)ln t+iy ln t =

= e(x1)ln t [cos(y ln t) + i sin(y ln t)] .

Atunci obtinem tz1 = e(x1)ln t = tx1.De aceea

0tz1etdt

0 tz1

et

dt =

=

0

tx1etdt =10

tx1etdt +1

tx1etdt = I1 + I2.

Pentru integrala I1 avem:

0 < t < 1 0 > t > 1 et < 1 tx1et < tx1

I1 10

tx1dt =tx

x

1

0=

1

x< .

Facem acum unele estimari pentru integrala I2. Dupa cum stim

et = 1 +t

1!+

t2

2!+ ... +

tm

m!+ ...

Daca alegem m > x, obtinem:

et tm

m! et m!

tm,

astfel incat deducem:

I2

1 tx1m!

tmdt = m!

1 txm1dt =

= m!txm

x m

1

=m!

m x < .

In final, obtinem

|(z)| I1 + I2 1x

+m!

m x < .


58/311

2.1. FUNCTIILE LUI EULER 59

-2) Scriem n forma uzuala a unei functi complexe (z) = u(x, y) + iv(x, y)si verificam conditiile Cauchy-Riemann

ux

= vy

,

u

y= v

x,

Folosind formula lui Euler pentru ez, adica:

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y),

vom deduce ca:

(z) =

0

tx1

et

[cos(y ln t) + i sin(y ln t)] dt =

=

0

tx1et cos(y ln t)dt + i0

tx1et sin(y ln t)dt = u(x, y) + iv(x, y).

Atunci

u

x=

0

tx1 ln tet cos(y ln t)dt,v

y=

0

tx1 ln tet cos(y ln t)dt,

astfel ncat ux

=vy

.

In aceiasi maniera putem verifica a doua conditie Cauchy-Riemann.-3) Substituind z prin z + 1 obtinem

(z + 1) =

0

tzetdt,

astfel ncat, integrand prin parti, rezulta

(z + 1) = tzet0

+0

ztz1etdt = z0

tz1etdt = z(z),

deoarece limt t

z/et = 0.

In cazul particular z = n N avem(n + 1) = n(n) = n(n 1)(n 1) = ... = n!(1).


59/311


Folosind definitia, avem

(1) =

0 t

0

et

dt =

0 e

t

dt = et

0 = 1

si teorema este demonstrata.

Functia lui Euler de speta a doua

Definitia 1.2 Fie p, q doua numere complexe astfel ncatRe(p) > 0 siRe(q) > 0,adica p, q 0 (vezi definitia anterioara a lui 0). Functia : 0 0 Cdefinita prin

(p,q) =

10

tp1(1 t)q1dt,

este numita functia lui Euler de speta a doua.

In teorema urmatoare demonstram principalele proprietati ale functiei precumsi legatura dintre functiile si .

Teorema 1.2 Functia satisface urmatoarele proprietati:-1) (p,q) = (q, p);-2) p(p,q + 1) = q(p + 1, q);-3) (p,q)(p + q) = (p)(q).

Demonstratie.

-1) Este usor sa demonstram aceasta proprietate de comutativitate cu ajutorulsubstitutiei 1 t = .

-2) Prin calcul direct obtinem

p(p,q + 1) = p

10

tp1(1 t)qdt =1

0

(tp) (1 t)qdt =

= tp (1 t)q|10 +1

0

qtp(1 t)q1dt = q(p + 1, q).

-3) Incepem folosind termenul din membrul drept

(p)(q) =

0

yp1eydy0

xq1exdx =


60/311


=

0

0

yp1eyxq1exdxdy.

In ultima integrala schimbam variabilele:x = u2 dx = 2udu. Pentru x = 0 u = 0 si pentru x = u = y = v2 dx = 2vdv. Pentru y = 0 v = 0 si pentru y = v = .Asadar, ultima integrala devine

(p)(q) =

0

u2p1

eu2

2udu

0

v2q1

ev2

2vdv =

= 4

0

0

e(u2+v2)u2p1v2q1dudv.

Acum, folosim coordonatele polareu = cos , 0

2

v = sin , 0 < D(u, v)

D(, )= .

Atunci integrala devine

(p)(q) == 4

0

/20

e2

2p1(cos )2p12q1(sin )2q1dd = 4 (I1.I2) .

Folosind noua variabila a definita prin a = 2 da = 2d, integrala I1 devine

I1 =1

2

0

eaap+q1da =1

2(p + q).

Introducem o noua variabila b definita prin b = cos2 db = 2sin cos d.Asadar, pentru = 0 b = 1 si pentru = /2 b = 0. Atunci integrala I2devine

I2 =

01

bp

cos

(1 b)qsin

db

2cos sin

=1

2

10

bp(1 b)qcos2 sin2

db =

=1

2

10

bp(1 b)qb(1 b) db =

1

2

10

bp1(1 b)q1db = 12

(p,q).

Inmultind integralele I1 si I1 obtinem

(p)(q) = 41

2(p + q)

1

2(p,q)


61/311


(p,q) = (p)(q)(p + q)

,

astfel ncat teorema este demonstrata.Aplicatie. Sa calculam integrala

I =

ba

1(b x)(x a)

dx

Introducem o variabila noua t prin

b x|ba = (b a)t|01 dx = (a b)dt, x a = (b a)(1 t).

Atunci integrala devine

I =

01

a bt(1 t)(b a)

dt =

10

1t(1 t)

dt =

1

2,

1

2

= .

Demonstram acum un rezultat foarte important care este cunoscut ca formulacomplementelor si care este foarte util n multe aplicatii.

Teorema 1.3 Pentru p Z, functia(p) satisface urmatoarea relatie:

(p)(1

p) =

sinp

.

Demonstratie. Folosind al treilea punct teorema 1.2, obtinem

(p)(1 p) = (p + 1 p)(p, 1 p) = (1)(p, 1 p) =

=

10

xp1(1 x)pdx =1

0

xp1

(1 x)p dx =1

0

x

1 xp 1

xdx.

Introducem acum variabila y prin

x1 x

10

= y|0 x = y1 + y dx = y(1 + y)2dy.

Atunci pentru produsul (p)(1 p) gasim forma

(p)(1 p) =0

yp1 + y

y

1

(1 + y)2dy =

0

yp1

1 + ydy.


62/311


Acum, folosim teorema reziduurilor pentru a calcula aceasta integrala. Dupa cumdeja stim,

I = 0

yp11 + y

dy = 2i1 e2pi rez(f, 1), unde f(z) = z

p11 + z

rez(f, 1) = (1)p1 I = (1)p12i

1 e2pi =(1)p2ie2pi 1 .

Dar, folosind formula pentru uv si definitia functiei logaritmice complexe, avem

(1)p = ep ln(1) = ep(ln1+i) = epi.In final, obtinem

(p)(1 p) = epi

2ie2pi 1 = 2iepi epi = 2i2i sinp = sinp .

Demonstratia teoremei este nchisa.Aplicatie. Folosind formula complementelor, putem calcula (1/2). Intr-adevar,

z =1

2 2

1

2

=

1

2

=

.

Pe de alta parte, daca extindem proprietatea (1 + n) = n!, obtinem

1

2! = 1 +1

2 =1

2

1

2 =1

2

1

2! =

2.

In finalul acestui paragraf indicam o noua forma pentru functia lui Euler de spetaa doua.

Teorema 1.4 Functia (p,q) poate fi scrisa n forma

(p,q) =

0

xp1

(1 + x)p+qdx =

0

xq1

(1 + x)p+qdx.

Demonstratie. Vom folosi definitia functiei (p,q)

(p,q) =10

tp1(1 t)q1dt,

si introducem o variabila noua x prin

t

1 t10

= x|0 t =x

1 + x dt = 1

(1 + x)2dx.


63/311


Atunci functia (p,q) devine

(p,q) =

0 x1 + x

p1

1 x1 + xq1 1

(1 + x)2dx =

=

0

xp1

(1 + x)p11

(1 + x)q11

(1 + x)2dx =

0

xp1

(1 + x)p+qdx.

In felul acesta, teorema este demonstrata.Aplicatie. Ca o aplicatie a ultimei teoreme, calculam urmatoare integrala

I =

04

x

(1 + x)2dx.

Este usor de vazut ca putem sa scriem integrala n forma

I =

0

x1/4

(1 + x)2dx =

0

x5/41

(1 + x)5/4+3/4dx =

5

4,

3

4

.

Acum, folosim legatura dintre functiile si , apoi formula complementelor

5

4,

3

4

=

(54

)(34

)

(2)= (

1

4+ 1)(1 1

4) =

=1

4(

1

4)(1 1

4) =

1

4

sin /4=

2

4.

2.2 Functiile Bessel

Consideram ecuatia diferentiala

x2y + xy +

x2 p2

y = 0, (2.1)

unde functia necunoscuta este y de variabila x, y = y(x). De asemenea, p este unparametru complex. Aceasta ecuatie este numita ecuatia lui Bessel.


64/311

2.2. FUNCTIILE BESSEL 65

Definitia 2.1 Prin definitie, solutiile ecuatiei diferentiale (2.1) se numesc functiileBessel si sunt notate cu Jp(x) si Jp(x).

Intentionam, n teorema urmatoare, sa dam o forma explicita solutiilor ecuatiei(2.1), adica functiilor Bessel.

Teorema 2.1 Functiile Jp(x) si Jp(x) au urmatoarele forme polinomiale:

Jp(x) =

x

2

p m=0

(1)mm!(m + p + 1)

x

2

2m,

Jp(x) =

x

2

p m=0

(1)mm!(m p + 1)

x

2

2m,

unde este functia lui Euler de speta ntai.

Demonstratie. Cautam solutia ecuatiei (2.1) n forma unui polinom infinit

y(x) = xr

k=0

Ckxk (2.2)

Trebuie sa gasim constanta r si coeficientii Ck astfel ncat functia y(x) din (2.2)sa verifice ecuatia (2.1). Prin calcul direct, obtinem

y(x) =

k=0

Ckxk+r y(x) =

k=0

(k + r)Ckxk+r1

y(x) =

k=0(k + r)(k + r 1)Ckx

k+r2.

Daca introducem aceste derivate n ecuatia Bessel, rezulta

xr

k=0

(k+r)(k+r1)Ckxk +

k=0

(k+r)Ckxk +

k=0

Ckxk+2p2

k=0

Ckxk+1

= 0.

Asadar, putem sa scriem

k=0

(k + r)(k + r 1) + (k + r) p2

Ckx

k =

k=0

Ckxk+2.

Prin identificarea coeficientilor, rezulta

k = 0 r(r 1) p2C0 = 0 r = pk = 1

(r + 1)r + r + 1 p2

C1 = 0

(r + 1)2 p2

C1 = 0 C1 = 0

k = 2 (r + 2)(r + 1) + r + 2 p2

C2 = C0

(r + 2)2 p2

C2 = C0 1.4(r + 1)C2 = C0

k = 3 (r + 3)(r + 2) + r + 3 p2

C3 = C1 C3 = 0 (deoarece C1 = 0).


65/311


Atunci, deducem ca C2k+1 = 0, k N si

1.4(p + 1)C2 =

C0

2.4(p + 2)C4 = C23.4(p + 3)C6 = C4

m.4(p + m)C2m = C2m2.

Daca nmultim aceste relatii, rezulta

C2m =(1)mC0

m!22m(p + 1)(p + 2)...(p + m).

Ecuatia Bessel este o ecuatie diferentiala omogena si, de aceea, solutia sa estedeterminata pana la o constanta. Astfel putem alege termenul liber C0 sub forma

C0 =1

2p(p + 1),

si, atunci, C2m devine

C2m =(1)m

m!22m+p(p + 1)(p + 2)...(p + m)(p + 1)=

(1)mm!22m+p(m + p + 1)

.

In calculele anterioare am folosit valoarea r = p si solutia devine

y(x) =

m=0

C2mxp+2m =

m=0

(1)mm!22m+p(m + p + 1)

x

2

2m+p.

De aceea, pentru r = p functia Bessel este

Jp(x) =

x

2

p m=0

(1)mm!(m + p + 1)

x

2

2m.

Daca luam r =

p, dupa calcule similare cu cele de mai sus, obtinem expresiaceleilalte functii Bessel, Jp(x), si anume :

Jp(x) =

x

2

p m=0

(1)mm!(m p + 1)

x

2

2m.

Cu aceasta teorema este demonstrata.


66/311

2.2. FUNCTIILE BESSEL 67

Aplicatie. Sa calculam functia J1/2(x). Folosind forma polinomiala a functieiBessel, obtinem

J1/2(x) = x21/2

n=0

(1)n

n!(n + 3/2)x

22n .

Folosind relatia de recurenta a functiei , rezulta

(n +3

2) =

3

2

5

2

7

2...

2n + 1

2(

3

2), (

3

2) =

2.

Atunci J1/2(x) devine

J1/2(x) =

2

n=0(1)n

n!2n

3.5.7...(2n + 1)(n + 3/2)

x2n =

=

2

x

n=0

(1)n(2n + 1)!

x2n+1.

Astfel obtinem

J1/2(x) =

2

xsin x.

Ecuatia Bessel este de ordinul al doilea. Cele doua solutii gasite pentru aceastaecuatie, si anume functiile Bessel Jp(x) si Jp(x), determina solutia generala aecuatiei Bessel daca sunt liniar independente.

In urmatoarea teorema demonstram ca n cazul n care n N functiile Besselsunt liniar independente.

Teorema 2.2 Daca parametrul p nu este natural n N, atunci functiile Jp(x) siJp(x) sunt liniar independente.

Demonstratie. Este bine cunoscut faptul ca un sistem de functii este liniarindependent daca wronskianul at

Mat-Spec M Marin

Documents

Transcript of Mat-Spec M Marin