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MARIANNA EULER ET NORBERT EULER

THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS D’ALGÈBRE LINÉAIREVOLUME 1 ESPACES EUCLIDIENS

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Théorie et Problèmes Résolus d’Algèbre Linéaire: Volume 1 Espaces Euclidiens1e édition© 2017 Marianna Euler, Norbert Euler & bookboon.comISBN 978-87-403-1867-8Evaluation par : Professor Adrian Constantin, Universität Wien, Österreich/King’s College London, UK and Professor Denis Blackmore, New Jersey Institute of Technology, USA

Traduit de l’anglais par Benoit Mahault

http://bookboon.com

THÉORIE ET PROBLÈMES RÉSOLUS D’ALGÈBRE LINÉAIRE

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Contenu

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CONTENU

1 Vecteurs, droites et plans dans R3 91.1 Opérations sur les vecteurs et le produit scalaire 9

1.2 Le produit vectoriel 17

1.3 Les plans et leurs équations 22

1.4 Les droites et leur paramétrisation 29

1.5 Supplément sur les droites et les plans 39

1.6 Exercices 56

2 Algèbre matricielle et pivot de Gauss 63

2.1 L’addition et la multiplication de matrices 63

2.2 Le déterminant de matrices carrées 70

2.3 Les matrices carrées inversibles 76

2.4 La méthode du pivot de Gauss pour les systémes d’équations linéaires 81

2.5 Les systèmes d’équations linéaires carrés 86

2.6 Les systèmes d’équations linéaires dans R3 942.7 Intersection des droites dans R3 1072.8 Exercises 111

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Contenu

3 Familles génératrices et familles libres 121

3.1 Combinaisons linéaires de vecteurs 121

3.2 Familles génératrices 128

3.3 Les familles libres et liées 133

3.4 Exercices 142

4 Applications linéaires entre espaces euclidiens 147

4.1 Applications linéaires : ensemble de dénition et ensemble image 147

4.2 Matrices canoniques et applications composées 154

4.3 Les applications linéaires inversibles 183

4.4 Exercices 192

A Le calcul matriciel avec Maple 205


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PréfaCe

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Préface

Ce livre est le premier d’une série de trois ouvrages intitulés Théorie et ProblèmesRésolus d’algèbre linéaire. Cette première partie traite des vecteurs en espace euclidien,des matrices ainsi que de leur algèbre, et des systèmes d’équations linéaires. Nous résolvonsdes systèmes linéaires en utilisant, entre autres, la méthode du pivot de Gauss et étudionsles propriétés de ces systèmes à l’aide des vecteurs et des matrices. De plus, nous nousintéressons aux applications linéaires de la forme T : Rn → Rm et calculons la matricescanonique les décrivant.

La seconde partie de cette série est intitulée Espaces Vectoriels (pas encore disponibleen français). Dans celle-ci nous définissons les concepts d’espace vectoriel, de base, dedimension et de coordonnées dans ces espaces. Ce qui nous amène aux applications linéairesentre espaces vectoriels et euclidiens. Nous étudions aussi plusieurs espaces euclidiens,par exemple l’espace nul, l’espace colonne ainsi que l’espace propre des matrices. Nousutilisons ensuite les vecteurs propres et des transformations similaires afin de diagonaliserles matrices carrées.

Dans la troisième partie, intitulée Espaces préhilbertiens (pas encore disponible enfrançais), nous incluons le produit scalaire de deux vecteurs aux espaces vectoriels. Cecirend possible les définitions des bases orthogonales et orthonormées, des espaces orthogo-naux ainsi que des projections orthogonales des vecteurs sur des sous espaces de dimensionfinie. La méthode dite des moindres carrés est introduite comme la meilleure approxima-tion des systèmes linéaires incompatibles Ax = b.

Le but de cette série est de fournir aux étudiants un ensemble structuré de problèmesrésolus soigneusement choisis ainsi qu’une opportunité d’approfondir leurs connaissancesacquises en cours d’algèbre linéaire. Chaque chapitre comporte un bref résumé des notionsthéoriques importantes dans les Notes théoriques. Elles sont suivies par une sélectionde Problèmes en rapport avec ces concepts, puis pour chacun une Solution détaillée estfournie. Enfin, à la fin de chaque chapitre se trouve une liste d’exercices liés aux problèmes(avec solutions). Cette structure est commune à tous les ouvrages de la série.

Cette architecture particulière fait que ces livres ne sont pas des manuels traditionnelsd’un cours d’algèbre linéaire. Nous pensons au contraire qu’il peuvent être utiles en tantque support à un manuel classique. Nous cherchons à guider les étudiants, en particulierceux venant des filières techniques et scientifiques, en leur fournissant les outils afin qu’ilsacquièrent une meilleure compréhension des notions abstraites d’algèbre linéaire. Cettesérie peut aussi servir au développement et à l’amélioration des techniques de résolutionde problèmes. Nous prévoyons que les étudiants trouveront ici des méthodes alternatives,ainsi que des exercices allant au delà de ce qui est classiquement proposé en algèbre linéaire,et nous espérons que ceci augmentera leur intérêt pour le sujet.


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note aux etudiants6

Note aux étudiants

Nous suggérons que vous vous attaquiez d’abord aux Problèmes par vous même, avecl’aide fournie par les Notes théoriques ci nécessaire, avant de lire les Solutions pro-posées. Nous pensons que cette façon d’étudier l’algèbre linéaire vous sera utile car elledevrait vous permettre de faire de nouvelles connexions entre les différents concepts etpossiblement d’apprendre des méthodes alternatives à la résolution de problèmes.

Chaque sous partie de chaque chapitre de ce livre (qui constitue la première partie de cettesérie sur l’algèbre linéaire) est généralement auto consistante, vous devriez donc pouvoirtravailler sur les problèmes dans l’ordre que vous préférez. Par conséquent si vous voulezétudier le dernier chapitre, vous n’avez pas besoin de traiter tous les chapitres précédents.

Afin de faciliter la lecture du livre nous avons, en plus de la table des matières et de l’indexprésents au début et à la fin, utilisé les couleurs pour indiquer les Notes théoriques,Problèmes et Solutions.

Ce livre comprend plus de 100 problèmes résolus et plus de 100 exercices avec solu-tions. Bonne lecture !

Marianna Euler et Norbert Euler Lule̊a, avril 2016


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notations7

Notations

R : L’ensemble des nombres réels.

Rn : L’espace euclidien contenant les vecteurs à n composantes

v = (v1, v2, . . . , vn) pour tout vj ∈ R.

‖v‖ : La norme (ou longueur) du vecteur v.

v̂ : Le vecteur unitaire orienté selon v ; v̂ =v

‖v‖.

−−−→P1P2 : Le vecteur de R3 pointant de P1 à P2.

u · v : Le produit scalaire des vecteurs u et v dans Rn.

u× v : Le produit vectoriel des vecteurs u et v dans R3.

u · (v ×w) : Le produit mixte des vecteurs u, v et w dans R3.

proj v u : La projection orthogonale du vecteur u sur le vecteur v.

{e1, e2, · · · , en} : La base canonique de Rn.

A = [a1 a2 · · · an] = [aij ] : Une matrice m× n formée des colonnes aj ∈ Rm, j = 1, 2, . . . , n.

In = [e1 e2 · · · en] : La matrice identité n× n avec ej les vecteurs de la base canonique de Rn.

detA or |A| : Le déterminant de la matrice carrée A.

A−1 : La matrice inverse de la matrice carrée A.

Al∼ B : Les matrices A et B sont l-équivalentes (ligne-équivalentes).

[A b] : La matrice augmentée correspondant à l’équation Ax = b.

Vect {u1, u2, · · · ,up} : Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs {u1, u2, · · · ,up}.


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notations (suite)8

Notations (suite)

T : Rn → Rm : Une application des vecteurs de Rn dans Rm.

CT : Le codomaine (ou ensemble d’arrivée) de l’application T .

DT : L’ensemble de définition de l’application T .

RT : L’ensemble image de l’application T .

T : x �→ T (x) : Une application T associant T (x) à un vecteur x.

T : x �→ T (x) = Ax : Une application linéaire T associant au vecteur x le vecteur Ax.

T2 ◦ T1 : Une application composée.

T−1 : L’application réciproque de T .

Remerciements

Nous tenons à remercier chaleureusement nos collègues Dr. Stefan Ericsson et Dr. JohanByström pour leur lecture de la Première Edition et leurs remarques précieuses. Nousremercions aussi Dr. Ove Edlund pour ses remarques utiles concernant l’annexe de cetteSeconde Edition.


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VeCteurs, droites et Plans dans r3

Chapitre 1

Vecteurs, droites et plans dans R3

Le but de ce chapitre :

Nous considérons les vecteurs de l’espace euclidien R3 et utilisons les opérations usuellesde l’addition de vecteurs, la multiplication de vecteurs par des scalaires (nombres réels), leproduit scalaire, et le produit vectoriel de deux vecteurs afin de calculer des longueurs, desaires, des volumes et les projections orthogonales d’un vecteur sur un autre vecteur (ousur une droite). Nous nous servons de ces vecteurs pour paramétrer les droites et trouverles équations de plan dans R3. Nous montrons comment calculer les distances entre unpoint et une droite, un point et un plan, entre deux plans, une droite et un plan, maisaussi entre deux droites dans R3.

1.1 Opérations sur les vecteurs et le produit scalaire

Dans ce sous-chapitre nous étudions les opérations usuelles sur les vecteurs de R3, dontle produit scalaire. Nous appliquons ces connaissances au calcul de la longueur (ou norme)d’un vecteur, la distance et l’angle entre deux vecteurs, ainsi que la projection orthogonaled’un vecteur sur un autre et la réflexion d’un vecteur par rapport à un autre.

Note théorique 1.1.

Considérons les trois vecteurs u, v et w dans R3. Supposons qu’ils aient pour origine(0, 0, 0) et se terminent respectivement aux points (u1, u2, u3), (v1, v2, v3) et (w1, w2, w3).On appelle ces derniers coordonnées des vecteurs, réciproquement u, v etw sont nommésles vecteurs position associés. Nous écrivons donc

u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3).

Le vecteur position u associé au point P ayant pour coordonnées (u1, u2, u3) est montré à lafigure 1.1. Afin d’alléger les notations, nous désignerons par P : (u1, u2, u3) les coordonnéesdu point P . L’addition de deux vecteurs u et v, notée u+v, est le vecteur de R3 s’écrivant

u+ v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3).

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VeCteurs, droites et Plans dans r310 CHAPITRE 1. VECTEURS, DROITES ET PLANS DANS R3

Figure 1.1 – Vecteur position u associé au point P de coordonnées (u1, u2, u2).

Une illustration est donnée figure 1.2. Considérant un troisième vecteur w ∈ R3 la pro-priété suivante est satisfaite

(u+ v) +w = u+ (v +w).

La multiplication de u par un nombre réel (ou scalaire), notée ru, est le vecteur de R3défini par

ru = (ru1, ru2, ru3).

Le vecteur ru est aussi appelé dilatation de u. Nous avons

Propriétés :

0u = 0 = (0, 0, 0) le vecteur nul

−u = (−1)u = (−u1,−u2,−u3) est appelé l’opposé du vecteur u

u− v = u+ (−1)v = (u1 − v1, u2 − v2, u3 − v3)

u− u = 0.

Le produit scalaire de u et v, noté u · v, est le nombre réel donné par :

u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 ∈ R.

La norme de u, notée ‖u‖, est la longueur de u définie selon

‖u‖ =√u · u ≥ 0.


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VeCteurs, droites et Plans dans r31.1. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS ET LE PRODUIT SCALAIRE 11

Figure 1.2 – Addition des vecteurs u et v, ainsi que quelques dilatations du vecteur u.

La distance entre deux points P1 and P2 de vecteurs position respectivement u =

(u1, u2, u3) and v = (v1, v2, v3), est donnée par la norme du vecteur−−−→P1P2 (voir la figure

1.3), i.e.

‖−−−→P1P2‖ = ‖v − u‖ ≥ 0.

Un vecteur unitaire et un vecteur de norme 1. Tout vecteur non nul u ∈ R3 peut êtrenormalisé en un unique vecteur unitaire, noté û, de même direction que u. Nous avonsdonc, ‖û‖ = 1. û est appelé vecteur directeur de u, d’où la relation u = ‖u‖ û.L’ensemble de vecteurs unitaires

{e1, e2, e3}, avec e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)

est dénommé base canonique de R3. Le vecteur u = (u1, u2, u3) peut donc s’écrire sousla forme

u = u1e1 + u2e2 + u3e3.

Notons θ l’angle entre u et v. La définition du produit scalaire et la loi des cosinusimpliquent que

u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ ∈ R.

Ce qui signifie que les vecteurs u et v sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si etseulement si

u · v = 0.

La projection orthogonale de w sur u, notée projuw, est le vecteur

projuw = (w · û)û ∈ R3,


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Figure 1.3 – La distance entre P1 et P2.

où û est le vecteur directeur de projuw et |w · û| est la longueur de projuw (| | indiquela valeur absolue). Une illustration est donnée à la figure 1.4.

Figure 1.4 – La projection orthogonale de w sur u.


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1.1. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS ET LE PRODUIT SCALAIRE 13

Problème 1.1.1.

Considérons les vecteurs suivants dans R3 : u = (1, 2, 3), v = (2, 0, 1), w = (3, 1, 0).a) Trouver la longueur du vecteur u, ainsi que le vecteur unitaire donnant sa direction.b) Trouver l’angle entre u et v.c) Projeter orthogonalement w sur le vecteur v.d) Trouver le vecteur qui est la réflexion de w par rapport à v.

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14 CHAPITRE 1. VECTEURS, DROITES ET PLANS DANS R3

Solution 1.1.1.

a) La longueur de u = (1, 2, 3) est ‖u‖ =√12 + 22 + 32 =

√14. La direction de

u = (1, 2, 3) est donnée par le vecteur unitaire û, défini par

û =u

‖u‖=

(1, 2, 3)√14

= (1√14

,2√14

,3√14

).

On remarquera que ‖û‖ = 1.

b) L’angle θ entre u = (1, 2, 3) et v = (2, 0, 1) (Voir figure 1.5) et calculé à l’aide duproduit scalaire

u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ,qui donne

cos θ =(1)(2) + (2)(0) + (3)(1)√

14√5

=

√5√14

.

D’où

θ = cos−1

( √5√14

).

Figure 1.5 – Angle θ entre les vecteurs u et v

c) La projection orthogonale du vecteur w = (3, 1, 0) sur le vecteur v = (2, 0, 1), notéeprojv w ou wv, donne les coordonnées de w dans la direction de v. Elle est donnéepar

projv w = (w · v̂) v̂ =(w · vv · v

)v =

(3)(2) + (1)(0) + (0)(1)

22 + 02 + 12(2, 0, 1) = (

12

5, 0,

6

5) = wv.

d) La réflexion de w par rapport à v est donnée par le vecteur w∗ (voir la figure 1.6),avec

w∗ =−−→OB +

−−→BC.

Comme nous avons−−→OB = projvw,

−−→BC =

−−→AB et

−−→AB = projvw −w,

nous en déduisonsw∗ = projvw + (projvw −w) = 2 projvw −w.


15

VeCteurs, droites et Plans dans r31.1. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS ET LE PRODUIT SCALAIRE 15

Figure 1.6 – Le vecteur w est réfléchi par rapport à v

Calculons,

projvw = (12

5, 0,

6

5)

w∗ = 2(12

5, 0,

6

5)− (3, 1, 0) = (9

5,−1, 12

5).

Problème 1.1.2.

Considérons les deux vecteurs de R3 : u = (u1, u2, u3) et v = (v1, v2, v3).a) Trouver la projection orthogonale de u dans le plan xy.b) Trouver la projection orthogonale de u dans le plan yz.c) Trouver le vecteur correspondant à la réflexion de u par rapport au plan xz.d) Trouver le vecteur résultant le la réflexion de u par rapport aux plans xy puis xz.

Solution 1.1.2.

a) La projection orthogonale de u = (u1, u2, u3) dans le plan xy est le vecteur uxy dontla coordonnée suivant z est nulle et les coordonnées suivant x et y sont les mêmesque celles de u. Donc (voir la figure 1.7)

uxy = (u1, u2, 0).b) La projection orthogonale de u = (u1, u2, u3) dans le plan yz est le vecteur uyz

donné paruyz = (0, u2, u3).

c) Le vecteur u∗xz, qui est la réflexion de u = (u1, u2, u3) par rapport au plan xz, a lesmêmes coordonnées que u suivant x et z, mais une coordonnée suivant y opposée à


16


16


Figure 1.7 – La projection orthogonale de u dans le plan xy.

celle de u. D’oùu∗xz = (u1,−u2, u3).

d) Le vecteur u = (u1, u2, u3) est d’abord réfléchi par rapport au plan xy afin d’obteniru∗xy = (u1, u2,−u3), celui-ci est ensuite réfléchi par rapport au plan xz, ce qui donne(u1,−u2,−u3).

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1.2. LE PRODUIT VECTORIEL 17

1.2 Le produit vectoriel

Ce sous-chapitre introduit le produit vectoriel de deux vecteurs ainsi que le produitmixte de trois vecteurs de R3. Nous allons montrer comment utiliser le produit vectorielafin de trouver un vecteur orthogonal à deux vecteurs de R3. Nous allons aussi nousservir de ces deux produits pour les calculs d’aire d’un parallélogramme et de volume d’unparallélépipède.


Considérons les trois vecteurs u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) et w = (w1, w2, w3),dans R3.

1) Le produit vectoriel de u et v, noté u× v, est lui-même un vecteur de R3, définicomme suit :

u× v = (‖u‖ ‖v‖ sin θ) ê ∈ R3.Le vecteur u × v est orthogonal à la fois à u et à v. Nous avons noté ê le vecteurdirecteur de u× v, de telle façon que ||ê|| = 1. La direction de ê est donnée par la”règle de la main droite” et θ est l’angle entre u et v. La figure 1.8 représente ceproduit.

Figure 1.8 – Le produit vectoriel u× v.

Le produit vectoriel possède les propriétés suivantes :

Propriétés :a) u× v = −v × u.b) La norme ‖u× v‖ est l’aire du parallélogramme défini par u et v.


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c) En terme de coordonnées, le produit vectoriel de deux vecteurs peut être évaluéselon la règle de calcul du déterminant d’une matrice 3×3 (voir le sous chapitre2.2.), c’est à dire

u× v = det

e1 e2 e3u1 u2 u3v1 v2 v3

= e1 det

(u2 u3v2 v3

)− e2 det

(u1 u3v1 v3

)+ e3 det

(u1 u2v1 v2

)

= (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − u2v1)e3= (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1).

Où{e1, e2, e3}, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1),

est la base canonique de R3. On note “detA” le déterminant de la matricecarrée A. La notation |A| est parfois utilisée pour le déterminant de A, i.e.detA ≡ |A|.Remarque : Le déterminant d’une matrice n× n est présenté au Chapitre 2.

d) (u× v) · u = 0, (u× v) · v = 0.e) Deux vecteurs non nuls u et v de R3 sont parallèles si et seulement si u×v = 0.

2) Le produit u·(v×w) ∈ R est appelé produit mixte et peut être calculé en s’aidantdu déterminant selon :

u · (v ×w) = det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

= (v2w3 − v3w2)u1 + (v3w1 − v1w3)u2 + (v1w2 − v2w1)u3.Alors

u · (v ×w) = v · (w × u) = w · (u× v).

Considérons le parallélépipède défini par u, v et w comme illustré à la figure 1.9.

Figure 1.9 – Le parallélépipède défini par u, v et w.


19


19

1.2. LE PRODUIT VECTORIEL 19

Le volume du parallélépipède correspond à la valeur absolue du produit mixte deces trois vecteurs :

Volume du parallélépipède = |u · (v ×w)| unités.Si les trois vecteurs u, v et w appartiennent au même plan de R3, alors

u · (v ×w) = 0.

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Problème 1.2.1.

Considérons les trois vecteurs suivants dans R3 :

u = (1, 2, 3), v = (2, 0, 1), w = (3, 1, 0).

a) Trouver un vecteur orthogonal à la fois à u et v.b) Trouver l’aire du parallélogramme défini par u et v.c) Trouver le volume du parallélépipède défini par u, v et w.

Solution 1.2.1.

a) Le vecteur q = u × v est orthogonal à u = (1, 2, 3) et v = (2, 0, 1) (voir la figure1.10) et ce produit vectoriel peut s’exprimer selon le déterminant

q =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e31 2 32 0 1

∣∣∣∣∣∣= 2e1 + 5e2 − 4e3 = (2, 5,−4).

Avec {e1, e2, e3} la base canonique de R3.

Figure 1.10 – Le vecteur q est orthogonal à la fois à u et v.

b) L’aire du parallélogramme ABCD défini par les vecteurs u et v est égale à ‖u× v‖(voir la figure 1.11). Nous avons déjà calculé u × v = (2, 5,−4) à la question a),d’où

‖u× v‖ =√

22 + 52 + (−4)2 = 3√5 unités.

c) Le volume du parallélépipède défini par les vecteurs u, v et w est donné par lavaleur absolue de leur produit mixte, i.e.

|u · (v ×w)| = |

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣|,

avec u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) et w = (w1, w2, w3).Nous obtenons donc pour les vecteurs u, v et w, |u · (v ×w)| = |11| = 11 unités.


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VeCteurs, droites et Plans dans r31.2. LE PRODUIT VECTORIEL 21

Figure 1.11 – Parallélogramme ABCD défini par les vecteurs u et v

Problème 1.2.2.Considérons les trois vecteurs de R3 :

u1 = (a, 2,−1), u2 = (4, 1, 0), u3 = (1, 5,−2),

où a est un nombre réel arbitraire.a) Trouver la(les) valeur(s) de a, telle(s) que le volume du parallélépipède défini par

u1, u2 et u3 soit égal à une unité.b) Calculer l’aire de chaque face du parallélépipède défini par les trois vecteurs ci-dessus

u1, u2 et u3, pour a = 0.

Solution 1.2.2.

a) Le volume du parallélépipède est V = |u1 · (u2×u3)| et nous imposons V = 1. D’où

V = |

∣∣∣∣∣∣a 2 −14 1 01 5 −2

∣∣∣∣∣∣| = | − 2a− 3| = 1,

nous en déduisons a = −1 ou a = −2.b) L’aire de chaque face du parallélépipède peut être calculée comme suit (voir la figure

1.12) :Aire face 1 = ‖u1 × u3‖, Aire face 2 = ‖u2 × u3‖, Aire face 3 = ‖u1 × u2‖,unités.Avec

u1 × u3 =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e30 2 −11 5 −2

∣∣∣∣∣∣= e1 − e2 − 2e3

u2 × u3 =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e34 1 01 5 −2

∣∣∣∣∣∣= −2e1 + 8e2 + 19e3

u1 × u2 =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e30 2 −14 1 0

∣∣∣∣∣∣= e1 − 4e2 − 8e3,


22



Figure 1.12 – Le parallélépipède défini par u1, u2 et u3.

tels queAire face 1 =

√12 + (−1)2 + (−2)2 =

√6 unités

Aire face 2 =√

(−2)2 + 82 + 192 =√429 unités

Aire face 3 =√12 + (−4)2 + (−8)2 = 9 unités.

1.3 Les plans et leurs équations

Ce sous-chapitre traite des plans dans R3 et montre comment dériver leurs équations.


1) L’équation d’un plan dans R3 s’écrit de manière généraleax+ by + cz = d,

où a, b, c et d sont des nombres réels donnés. Tous les points (x, y, z) appartenantà ce plan doivent satisfaire son équation, i.e. ax+ by + cz = d.

2) Le vecteur n de coordonnées (a, b, c), i.e.n = (a, b, c),

est un vecteur orthogonal au plan ax+ by+ cz = d. On appelle n vecteur normaldu plan.

3) L’équation d’un plan peut être dérivée si trois points de ce plan n’appartenant pasà la même droite sont connus, ou si le vecteur normal et un point appartenant auplan sont donnés.


23


23

1.3. LES PLANS ET LEURS ÉQUATIONS 23

Problème 1.3.1.

Considérons les trois points suivants dans R3 :

(1, 2, 3), (2, 0, 1), (3, 1, 0).

Trouver l’équation du plan Π contenant ces trois points.

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24


Solution 1.3.1.

Notons A, B et C les points de coordonnées respectives (1, 2, 3), (2, 0, 1) and (3, 1, 0).Supposons que ces points appartiennent au plan Π et notons P : (x, y, z, ) un pointarbitraire du plan. Considérons maintenant les vecteurs

−−→AB = (1,−2,−2),

−→AC = (2,−1,−3),

−→AP = (x− 1, y − 2, z − 3).

Appelons n le vecteur normal au plan Π comme illustré figure 1.13.

Figure 1.13 – Le plan Π de vecteur normal n

Alors

n =−→AC ×−−→AB et n · −→AP = 0,

donc

n =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e32 −1 −31 −2 −2

∣∣∣∣∣∣= −4e1 + e2 − 3e3 = (−4, 1,−3).

L’équation du plan peut alors s’exprimer comme

0 = n · −→AP = −4(x− 1) + 1(y − 2)− 3(z − 3),

ou encore 4x− y + 3z = 11.

Problème 1.3.2.

Considérons quatre points de R3 de coordonnées respectives

(1, 1, 1), (0, 1, k), (2,−1,−1) and (−2,−1, 1),

avec k un nombre réel arbitraire. Trouver la(les) valeur(s) de k, telle(s) que ces quatrepoints appartiennent au même plan.


25

VeCteurs, droites et Plans dans r31.3. LES PLANS ET LEURS ÉQUATIONS 25

Solution 1.3.2.

Supposons que les quatre points

A : (1, 1, 1), B : (0, 1, k), C : (2,−1,−1), D : (−2,−1, 1)

appartiennent au même plan de R3 comme illustré à la figure 1.14. Comme ces points

Figure 1.14 – Un plan contenant les points A, B, C et D.

appartiennent au même plan nous avons

−−→AD · (−→AC ×−−→AB) = 0

avec

−−→AD = (−3,−2, 0), −→AC = (1,−2,−2), −−→AB = (−1, 0, k − 1)

et

−−→AD · (−→AC ×−−→AB) =

∣∣∣∣∣∣−3 −2 01 −2 −2

−1 0 k − 1

∣∣∣∣∣∣= 0.

Le calcul de ce déterminant nous fournit la relation 8k − 12 = 0, donc l’unique valeur dek telle que les quatre points appartiennent au même plan est

k =3

2.

Problème 1.3.3.

Trouver l’équation du plan de R3 passant par le point (1, 3, 1) et parallèle au plan définipar

x+ y − z = 1.


26



Solution 1.3.3.

Notons ce plan Π1, i.e.

Π1 : x+ y − z = 1,

et Π2 le plan dont nous cherchons l’équation. La figure 1.15 montre ces deux plans. Unvecteur normal de Π1 est

n1 = (1, 1,−1)

et, comme Π2 est parallèle à Π1, leurs vecteurs normaux doivent être parallèles. C’estpourquoi nous pouvons définir n2, un vecteur normal de Π2, comme le même que celui deΠ1,

n2 = (1, 1,−1).

Figure 1.15 – Les deux plans parallèles Π1 et Π2

Nous connaissons un point appartenant au plan Π2, noté A : (1, 3, 1). Considérons unautre point arbitraire de Π2,

B : (x, y, z).

Alors le vecteur−−→AB s’écrit

−−→AB = (x− 1, y − 3, z − 1)

et est orthogonal au vecteur n2. D’où

−−→AB · n2 = 0.


27


27

1.3. LES PLANS ET LEURS ÉQUATIONS 27

Après calcul du produit scalaire−−→AB · n2, nous obtenons

1(x− 1) + 1(y − 3)− 1(z − 1) = 0.

L’équation de Π2 est donc

Π2 : x+ y − z = 3.

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28


Problème 1.3.4.

Trouver l’équation du plan de R3 passant par les points (1, 3, 1) et (−1, 0, 4) et orthogonalau plan

x− y + 2z = 3.

Solution 1.3.4.

Notons Π1 le plan

Π1 : x− y + 2z = 3

de vecteur normal

n1 = (1,−1, 2)

et Π2 le plan que nous recherchons. Ces deux plans sont représentés en figure 1.16. Nousconnaissons deux points de Π2,

A : (1, 3, 1), B : (−1, 0, 4).

Pour trouver l’équation de Π2 nous avons besoin de déterminer d’abord son vecteur normaln2. Comme Π1 et Π2 sont orthogonaux, le vecteur normal n2 de Π2 est orthogonal à

n’importe quel vecteur parallèle à Π2, par exemple−−→AB, et n2 est orthogonal à n1. Donc

n2 = n1 ×−−→AB,

avec−−→AB = (−2,−3, 3).

D’où

n2 =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e31 −1 2

−2 −3 3

∣∣∣∣∣∣= 3e1 − 7e2 − 5e3 = (3,−7,−5).

Notons C un point quelconque de Π2, i.e.

C : (x, y, z).

Le vecteur−→AC est orthogonal au vecteur normal n2, donc

n2 ·−→AC = 0,

avec−→AC = (x− 1, y − 3, z − 1).

Le calcul du produit scalaire n2 ·−→AC nous donne

3(x− 1)− 7(y − 3)− 5(z − 1) = 0,

et nous en déduisons l’équation du plan Π2

3x− 7y − 5z = −23.


29

VeCteurs, droites et Plans dans r31.4. LES DROITES ET LEUR PARAMÉTRISATION 29

Figure 1.16 – Les deux plans orthogonaux Π1 et Π2

1.4 Les droites et leur paramétrisation

Dans ce sous-chapitre nous étudions les droites � dans R3 et montrons comment dériverleur équation paramétrique. Nous présentons une formule pour le calcul des distancesentre un point et une droite et entre deux droites. Enfin nous introduisons la projectionorthogonale d’un vecteur sur une droite ainsi que la réflexion d’un vecteur par rapport àune droite.


30



L’ équation paramétrique d’une droite � dans R3 prend la forme

� :

x = at+ x1

y = bt+ y1

z = ct+ z1 pour tout t ∈ R,

Figure 1.17 – Une droite � dans R3

où (x1, y1, z1) est un point situé sur la droite � et v = (a, b, c) est un vecteur parallèle à� comme illustré à la figure 1.17. Ici t est un paramètre pouvant prendre n’importe quellevaleur réelle. Ce qui veut dire que pour tout point (x, y, z) appartenant à la droite �, ilexiste une unique valeur de t telle que

(x, y, z) = (at+ x1, bt+ y1, ct+ x1).


31


Problème 1.4.1.

Trouver l’équation paramétrique de la droite � dans R3, contenant les points (−1, 1, 3) et(2, 3, 7).

a) Parmi ces trois points, déterminer s’il en a qui appartiennent à � :

(−4,−1,−1); (−1, 2, 3); (12, 2, 5)

b) Le vecteur w = (−6,−4,−8) est-il parallèle à la droite � ? Justifier.

Solution 1.4.1.

Nous connaissons deux points de la droite �, que nous nommerons P1 : (−1, 1, 3) et P2 :(2, 3, 7). Alors le vecteur

−−−→P1P2 est parallèle à � et ses coordonnées sont :

−−−→P1P2 = (3, 2, 4).

Nous avons donc trouvé un vecteur v parallèle à � :

v =−−−→P1P2 = (3, 2, 4).

Notons P : (x, y, z) un point quelconque de �. Alors−−→P1P = tv ou (x+ 1, y − 1, z − 3) = t(3, 2, 4) pour tout t ∈ R.

En identifiant les coordonnées suivant x, y et z de cette équation vectorielle nous endéduisons

x+ 1 = 3t, y − 1 = 2t, z − 3 = 4t,

respectivement. L’équation paramétrique de � est donc

� :

x = 3t− 1

y = 2t+ 1

z = 4t+ 3 pour tout t ∈ R.

a) Pour déterminer si le point (−4,−1,−1) se trouve sur la droite �, nous devonsrésoudre l’équation paramétrique obtenue à la question précédente pour t. t doitdonc satisfaire les relations

−4 = 3t− 1, −1 = 2t+ 1, −1 = 4t+ 3.Qui ne peuvent être résolues simultanément que pour une unique valeur de t, t = −1.Le point (−4,−1,−1) appartient donc à �.

Pour le point (−1, 2, 3) nous avons−1 = 3t− 1, 2 = 2t+ 1, 3 = 4t+ 3,

qui ne peuvent pas être satisfaites simultanément quelque soit t. Donc (−1, 2, 3)n’appartient pas à �.

Le point (1/2, 2, 5) satisfait l’équation paramétrique pour t = 1/2, nous en déduisonsqu’il est sur �.


32


32


b) Le vecteur w = (−6,−4,−8) est en effet parallèle à la droite � carw = −2v,

et v est bien parallèle à �.

Problème 1.4.2.

Trouver l’équation paramétrique de la droite � dans R3 passant par le point (1,−1, 2) etorthogonale aux droites �1 et �2, dont les équations paramétriques sont

�1 :

x = 2t

y = t

z = t− 1 pour tout t ∈ R,

�2 :

x = −3t+ 1

y = 2t

z = 4t− 1 pour tout t ∈ R.

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33


1.4. LES DROITES ET LEUR PARAMÉTRISATION 33

Solution 1.4.2.

Les vecteurs v1 = (2, 1, 1) et v2 = (−3, 2, 4) sont respectivement parallèles à �1, et �2. Unvecteur orthogonal à ces derniers est donc

v = v1 × v2

et v est donc parallèle à la droite � que nous recherchons. Nous calculons v :

v = v1 × v2 =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e32 1 1

−3 2 4

∣∣∣∣∣∣= 2e1 − 11e2 + 7e3 = (2,−11, 7),

et en déduisons l’équation paramétrique de la droite �

� :

x = 2t+ 1

y = −11t− 1


Problème 1.4.3.

Considérons la droite � dans R3 d’équation paramétrique

� :

x = at+ x1

y = bt+ y1

z = ct+ z1 pour tout t ∈ R,

où (x1, y1, z1) est un point appartenant à � et

v = (a, b, c)

est un vecteur parallèle à �.

a) Supposons que le point P0 : (x0, y0, z0) n’appartiennent pas à �. Trouver une formuledonnant la distance entre P0 et �.

b) Calculer la distance entre le point (−2, 1, 3) et la droite �, d’équation paramétrique

� :

x = t+ 1

y = 3t− 4



34



Solution 1.4.3.

a) Nous cherchons à calculer la distance entre le point P0(x0, y0, z0) et la droite �, où

� :

x = at+ x1

y = bt+ y1

z = ct+ z1 pour tout t ∈ R.Ici P1 : (x1, y1, z1) est un point sur la droite �. Notons s = ‖

−−−→P0P2‖ la distance entre

P0 et �, où P2 est un point inconnu de �. Considérons le triangle orienté �P1P2P0représenté à la figure 1.18.

Figure 1.18 – La distance entre P0 : (x0, y0, z0) et la droite � dans R3

Alors s s’exprime

s = ‖−−−→P0P2‖ = ‖−−−→P1P0‖ sin θ. (1.4.1)

D’autre part, la définition du produit vectoriel nous donne

‖−−−→P1P0 × v‖ = ‖−−−→P1P0‖ ‖v‖ sin θ. (1.4.2)

En résolvant ||−−−→P1P0|| sin θ depuis (1.4.2) et en insérant la solution dans (1.4.1), nousobtenons la formule suivante pour la distance :

s =‖−−−→P1P0 × v‖

‖v‖.

b) La droite � passe par le point P1 : (1,−4, 2) et est parallèle au vecteur v = (1, 3, 5).Donc, pour le point P0 : (−2, 1, 3), nous avons−−−→

P1P0 = (−3, 5, 1)et

−−−→P1P0 × v =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3−3 5 11 3 5

∣∣∣∣∣∣= 22e1 + 16e2 − 14e3 = (22, 16,−14).


35


35

1.4. LES DROITES ET LEUR PARAMÉTRISATION 35

Nous pouvons donc calculer les normes des vecteurs−−−→P1P0 × v et v

‖−−−→P1P0 × v‖ =

√(22)2 + (16)2 + (−14)2 = 6

√26

‖v‖ =√12 + 32 + 52 =

√35,

et enfin obtenir la distance entre le point P0 et la droite � :

s =‖−−−→P1P0 × v‖

‖v‖=

6√26√35

.

Problème 1.4.4.

Trouver la formule donnant la distance entre deux droites dans R3 et l’utiliser afin decalculer la distance entre les deux droites :

�1 :

x = 2t+ 1

y = t− 1

z = 3t+ 1 pour tout t ∈ R,

�2 :

x = t

y = 2t+ 2

z = 1 pour tout t ∈ R.

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36



Solution 1.4.4.

Supposons que P1 : (x1, y1, z1) soit un point appartenant à la droite �1 et que P2 :(x2, y2, z2) soit un point de �2. Notons v1 et v2 les vecteurs directeurs parallèles res-pectivement aux droites �1 et �2 (comme illustré à la figure 1.19). Alors v = v1×v2 est un

Figure 1.19 – La distance s entre deux droites dans R3

vecteur orthogonal à la fois à v1 et v2, par conséquent v est aussi orthogonal aux droites

�1 et �2. Pour trouver la distance s entre �1 et �2, nous projetons−−−→P1P2 orthogonalement

sur le vecteur v. Nous avons donc

s =∥∥∥projv

−−−→P1P2

∥∥∥ = |−−−→P1P2 · v|‖v‖

=|−−−→P1P2 · (v1 × v2)|

‖v1 × v2‖.

Pour les droites données �1 et �2, nous avons respectivement v1 = (2, 1, 3), v2 = (1, 2, 0)et des points P1 : (1,−1, 1) ∈ �1 et P2 : (0, 2, 1) ∈ �2. Alors

−−−→P1P2 = (−1, 3, 0), v1 × v2 =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e32 1 31 2 0

∣∣∣∣∣∣= −6e1 + 3e2 + 3e3 = (−6, 3, 3).

La distance s entre �1 et �2 est donc

s =|(−1, 3, 0) · (−6, 3, 3)|√

36 + 9 + 9=

5√6.


37


Problème 1.4.5.

Considérons les vecteurs suivants de R3 :

u = (−1, 3, 3), v = (2,−1, 4).

Notons � la droite dans R3 contenant le point (2,−1, 4) et le vecteur nul 0 = (0, 0, 0).a) Trouver la projection orthogonale du vecteur u sur la droite �, i.e. calculer

proj� u.

b) Evaluer la distance entre le point (−1, 3, 3) et la droite �.c) Trouver la réflexion du vecteur u par rapport à la droite �.

Solution 1.4.5.

a) Nous cherchons à calculer le vecteur w qui n’est d’autre que la projection orthogo-nale du vecteur u sur la droite �, i.e. w =proj� u. Ceci peut être réalisé en projetantu sur n’importe quel vecteur position se trouvant sur la droite �, par exemple levecteur v comme représenté à la figure 1.20. Donc

Figure 1.20 – La projection orthogonale du vecteur u sur �.

w = proj�u = projvu = (u · v̂)v̂ avec v̂ =v

‖v‖.


38


Pour u = (−1, 3, 3) et v = (2,−1, 4), nous avons

w =

(u · v‖v‖2

)v =

(u · vv · v

)v =

(−1)(2) + (3)(−1) + (3)(4)22 + (−1)2 + 42

(2,−1, 4) = 13(2,−1, 4).

b) La distance d entre le point (−1, 3, 3) et la droite � est ‖−−→AB‖ (défini à la figure

1.20). Par addition des vecteurs nous avons−−→AB = u−w = (−1, 3, 3)− (2

3,−1

3,4

3) = (−5

3,10

3,5

3).

D’où

‖−−→AB‖ =

√25

9+

100

9+

25

9=

5

3

√6.

c) La réflexion du vecteur u par rapport à la droite � est donnée par le vecteur−−→OC

(défini à la figure 1.21). Par addition des vecteurs nous avons

Figure 1.21 – La réflexion de u par rapport à �.

−−→OC +

−→CA+

−−→AB = u.

De plus,−→CA =

−−→AB, donc−−→

OC = u− 2−−→AB,avec u = (−1, 3, 3) et −−→AB = (−5

3,10

3,5

3) (calculé à la question b)). Ainsi la réflexion

de u par rapport à � est−−→OC = (−1, 3, 3)− 2(−5

3,10

3,5

3) = (

7

3,−11

3,−1

3).


39


39

1.5. SUPPLÉMENT SUR LES DROITES ET LES PLANS 39

1.5 Supplément sur les droites et les plans

Dans ce sous-chapitre nous calculons la distance entre un point et un plan, ainsi qu’entredeux plans. Nous étudions aussi les situations où une droite appartient à un plan, estprojeté orthogonalement sur ce plan, ou est réfléchie par rapport à celui-ci.


1. Etant donné une équation de plan

Π : ax+ by + cz = d,

la distance s du point

P0 : (x0, y0, z0)

au plan Π est

s =|ax0 + by0 + cz0 − d|√

a2 + b2 + c2.

2. Etant donnés deux plans parallèles, Π1 : ax+by+cz = d1 et Π2 : ax+by+cz = d2,la distance s entre Π1 et Π2 est

s =|d1 − d2|

‖n‖,

où n = (a, b, c) est le vecteur normal aux deux plans.

Remarque : Deux plans de R3 dont l’intersection est vide sont forcément parallèles.

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40


Problème 1.5.1.

Soient un plan ax+ by+ cz = d et un point P0 : (x0, y0, z0), tels que P0 n’appartienne pasau plan.

a) Trouver la formule de la distance entre le point P0 : (x0, y0, z0) et le point ax+ by+cz = d.

b) Trouver la distance entre le point (1, 2, 2) et le plan passant par l’origine (0, 0, 0),ainsi que les points (1, 1,−1) and (0, 2, 1).

Solution 1.5.1.

a) Considérons le planΠ : ax+ by + cz = d

et le pointP0 : (x0, y0, z0) /∈ Π.

Figure 1.22 – Le point P0 : (x0, y0, z0) et le plan Π : ax+ by + cz = d dans R3

Le vecteur normal n du plan Π est n = (a, b, c) (voir la figure 1.22). Notons P :

(x, y, z) un point quelconque du plan Π. La projection orthogonale du vecteur−−→PP0

sur n nous donne alors la distance s entre le point P0 et le plan Π, i.e.

s = ‖projn−−→PP0‖ = |

−−→PP0 · n̂| =

|−−→PP0 · n|‖n‖

,


41

VeCteurs, droites et Plans dans r31.5. SUPPLÉMENT SUR LES DROITES ET LES PLANS 41

avec n̂ = n/‖n‖, et−−→PP0 = (x0 − x, y0 − y, z0 − z)

−−→PP0 · n = a(x0 − x) + b(y0 − y) + c(z0 − z)

= −(ax+ by + cz) + ax0 + by0 + cz0

= −d+ ax0 + by0 + cz0.Donc, la distance entre P0 et Π est

s =|ax0 + by0 + cz0 − d|√

a2 + b2 + c2, (1.5.1)

où | | est la valeur absolue.b) Nous cherchons la distance entre le point P0 : (1, 2, 2) et le plan contenant l’origine

O : (0, 0, 0), ainsi que les points A : (1, 1,−1) et B : (0, 2, 1). Notons ce plan Π. Enpremier lieu, trouvons l’équation du plan Π.

Figure 1.23 – Le plan de R3 contenant les points O, A et B.

Considérons les vecteurs−→OA et

−−→OB représentés en figure 1.23. Alors un vecteur

normal n de Π estn =

−→OA×−−→OB,

avec −→OA = (1, 1,−1), −−→OB = (0, 2, 1).

Le calcul de ce produit vectoriel nous donne

n =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e31 1 −10 2 1

∣∣∣∣∣∣= 3e1 − e2 + 2e3 = (3,−1, 2).

Comme le plan Π passe par O : (0, 0, 0), nous en déduisons son équation,3x− y + 2z = 0,

ainsi que la distance s entre ce plan et le point P0 : (1, 2, 2),

s =|(3)(1) + (−1)(2) + (2)(2)|√

9 + 1 + 4=

5√14

.


42



Problème 1.5.2.

Trouver la distance entre les plans Π1 : 2x− 3y + 4z = 5 et Π2 : 4x− 6y + 8z = 16.

Solution 1.5.2.

Nous avons deux plans, Π1 : 2x − 3y + 4z = 5 et Π2 : 4x − 6y + 8z = 16. En divisantl’équation du plan Π2 par 2 nous obtenons 2x − 3y + 4z = 8. Le vecteur normal n desdeux plans est donc

n = (2,−3, 4),

nous pouvons donc en conclure que ces deux plans sont parallèles. Choisissons un pointquelconque de Π1, noté P0 : (x0, y0, z0), et calculons la distance s entre P0 et Π2/2. Pourcela utilisons la formule (1.5.1),

s =|ax0 + by0 + cz0 − d|√

a2 + b2 + c2

établie au problème 1.5.1 a) et donnée dans la note théorique 1.5. Pour Π2 nous avonsa = 2, b = −3, c = 4 et d = 8. Afin de trouver un point P0 appartenant à Π1 fixons x = 1et y = 0, et insérons ces valeurs dans l’équation de Π1 pour en déduire z. Nous avons donc

2(1)− 3(0) + 4z = 5, d’où z = 34.

Nous en déduisons P0 : (1, 0,3

4), et pouvons enfin calculer s,

s =|(2)(1)− (3)(0) + (4)(3/4)− 8|√

22 + (−3)2 + 42=

| − 3|√29

=3√29

.

Une autre façon de procéder est d’utiliser la formule s = |d1 − d2|/‖n‖ avec d1 = 5 etd2 = 8, donnée dans la note théorique 1.5.

Problème 1.5.3.

Considérons la droite � dans R3 :

� :

x = 2t+ 1

y = −2t+ 1


Trouver toutes les valeurs du paramètre b, telles que tout point de � appartienne au plan

2

3x+ by +

1

9z = 1.


43


43


Solution 1.5.3.

Comme tout point de � doit aussi appartenir au plan donné dans l’énoncé, insérons lesexpressions de x, y et z, données par l’équation paramétrique de �, dans l’équation duplan. Nous obtenons donc

2

3(2t+ 1) + b(−2t+ 1) + 1

9(6t− 6) = 1.

Après simplification et regroupement des termes nous avons

(18− 18b)t+ 9b− 9 = 0 pour tout t ∈ R.

Ce qui implique

18− 18b = 0 and 9b− 9 = 0,

dont la seule solution est b = 1. Donc chaque point de � appartient au plan si et seulementsi ce dernier a pour équation

2

3x+ y +

1

9z = 1, ou, de manière équivalente, 6x+ 9y + z = 9.

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44



Problème 1.5.4.

Soient le plan Π : x+ y − z = −3 et la droite

� :

x = t+ 1

y = 2t+ 1


a) Trouver l’équation paramétrique de la droite �̂, définie comme la projection ortho-gonale de � sur le plan Π.

b) Trouver tous les points de la droite �, tels que la distance entre ces points et Π soitde 2

√3.

c) Trouver l’équation paramétrique de la droite �∗, telle que �∗ est la réflexion de � parrapport à Π.

Solution 1.5.4.

a) Trouvons l’intersection entre la droite � et le plan Π :Un point arbitraire Pt appartenant à � a pour coordonnées

Pt : (t+ 1, 2t+ 1, 2t+ 2),pour tout t ∈ R. Pour trouver l’intersection de � avec Π, insérons

x = t+ 1, y = 2t+ 1, z = 2t+ 2dans l’équation de Π. Ce qui donne l’équation suivante

(t+ 1) + (2t+ 1)− (2t+ 2) = −3,à partir de laquelle nous obtenons t = −3. Par conséquent, le point P appartenantà la fois à � et Π a pour coordonnées (voir la figure 1.24 pour une illustration) :

P : (−2,−5,−4).Afin de trouver la direction de �̂, définie comme la projection orthogonale de � surΠ, choisissons un point quelconque Q de � (different de P ), par exemple

Q : (1, 1, 2).

Alors−−→PQ = (3, 6, 6) et comme représenté en figure 1.24, nous avons−−→PM =

−−→PQ−−−→MQ,

où−−→PM est la projection orthogonale de

−−→PQ sur �̂ et donc

−−→PM est la projection

orthogonale de−−→PQ sur Π. Pour trouver

−−→MQ projetons

−−→PQ orthogonalement sur le

vecteur normal n de Π, avec n = (1, 1,−1). D’où−−→MQ = projn

−−→PQ = (

−−→PQ · n̂) n̂ =

(−−→PQ · nn · n

)n

Le calcul de cette projection orthogonale nous donne−−→MQ = (1, 1 − 1), et nous en

déduisons−−→PM = (3, 6, 6)− (1, 1,−1) = (2, 5, 7).


45



Comme la droite �̂ passe par le point P : (−2,−5,−4) et a pour direction−−→PM , son

équation paramétrique est

�̂ :

x = 2t− 2

y = 5t− 5


Figure 1.24 – La projection orthogonale �̂ de la droite � sur le plan Π.

b) Au problème 1.5.1 nous avons établi une formule donnant la distance s entre unpoint P0 : (x0, y0, z0) et un plan ax+ by + cz = d,

s =|ax0 + by0 + cz0 − d|√

a2 + b2 + c2.

Un point quelconque St de � a pour coordonnéesSt : (t+ 1, 2t+ 1, 2t+ 2)

avec t ∈ R. Nous pouvons donc calculer la distance s du point St au plan Π :x+ y − z = −3 en utilisant cette formule. Nous obtenons

s =|1(t+ 1) + 1(2t+ 1)− 1(2t+ 2)− (−3)|√

1 + 1 + 1=

|t+ 3|√3

.

Nous cherchons maintenant les points St, tels que s = 2√3. Ce qui équivaut à

|t+ 3|√3

= 2√3 ou |t+ 3| = 6.

D’où t = 3 ou t = −9. Ces deux valeurs de t, insérées dans les coordonnées de St,nous donnent les deux points de � qui sont à une distance de 2

√3 de Π :

(4, 7, 8) and (−8,−17,−16).c) Nous devons trouver l’équation paramétrique de la droite �∗, réflexion de � par

rapport au plan Π. De manière évidente, �∗ est aussi la réflexion de � par rapportà la droite �̂, qui a déjà été obtenue à la partie a) ci-dessus. Remarquons que nous


46


avons aussi défini à la partie a)P : (−2,−5,−4) et Q : (1, 1, 2).

Figure 1.25 – La réflexion �∗ de la droite � par rapport au plan Π.

Notons Q∗ le point de �∗, tel que−−−→MQ∗ = −

−−→MQ.

Comme illustré à la figure 1.25, nous avons−−→PQ∗ =

−−→PM +

−−−→MQ∗,

avec−−→PM = (2, 5, 7) et

−−−→MQ∗ = −−−→MQ = (−1,−1, 1) [voir la partie a) de ce

problème]. Donc−−→PQ∗ = (2, 5, 7) + (−1,−1, 1) = (1, 4, 8).

Comme �∗ passe par le point P : (−2,−5,−4) et sa direction est donnée par levecteur

−−→PQ∗ = (1, 4, 8) son équation paramétrique s’écrit

�∗ :

x = t− 2

y = 4t− 5



47


47


Problème 1.5.5.

Soient le plan Π : 2x+ y + z = 5 et la droite

� :

x = t+ 2

y = −5t+ 1


où Π et � sont parallèles.a) Trouver l’équation paramétrique de la droite �̂, définie comme la projection ortho-

gonale de � sur le plan Π.b) Déterminer l’équation paramétrique de la droite �∗, réflexion de � par rapport au

plan Π.

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48


Solution 1.5.5.

a) Nous cherchons à déterminer la projection orthogonale de la droite �,

� :

x = t+ 2

y = −5t+ 1

z = 3t+ 3 pour tout t ∈ Rsur le plan Π : 2x+ y + z = 5, notée �̂.

Figure 1.26 – La projection orthogonale de � sur Π

Notons P et Q des points distincts quelconques de la droite �, comme illustré enfigure 1.26. Nous pouvons donc arbitrairement choisir deux valeurs de t distinctes(t = 0 et t = 1) afin de calculer leurs coordonnées à partir de l’équation de �. Cequi nous donne

P : (2, 1, 3), Q : (3,−4, 6).Nous cherchons maintenant le point Q0 = (x0, y0, z0), situé dans le plan Π, tel que−−→

Q0Q soit orthogonal à−−→QP

et−−→Q0Q soit parallèle à n = (2, 1, 1),

avec n le vecteur normal du plan Π. Nous avons−−→Q0Q = (3− x0,−4− y0, 6− z0)

−−→Q0P = (2− x0, 1− y0, 3− z0).


49



Donc−−→Q0Q = projn

−−→Q0P =

(−−→Q0P · nn · n

)n

=

(2(2− x0) + 1(1− y0) + 1(3− z0)

4 + 1 + 1

)(2, 1, 1)

=

(8− (2x0 + y0 + z0)

6

)(2, 1, 1).

Q0 appartenant à Π, ses coordonnées satisfont l’équation de plan2x0 + y0 + z0 = 5,

il vient

projn−−→Q0P =

(8− 56

)(2, 1, 1) = (1,

1

2,1

2).

d’où

(3− x0,−4− y0, 6− z0) = (1,1

2,1

2),

finalement en comparant les coordonnées x, y et z nous obtenons

x0 = 2, y0 = −9

2, z0 =

11

2, i.e. Q0 : (2,−

9

2,11

2).

Q0 appartient évidemment à �̂, de plus �̂ a le même vecteur directeur v que �,v = (1,−5, 3).

Une équation paramétrique pour �̂ est donc

�̂ :

x = t+ 2

y = −5t− 92

z = 3t+11

2pour tout t ∈ R.

b) Nous cherchons maintenant la droite �∗ qui est la réflexion de �,

� :

x = t+ 2

y = −5t+ 1

z = 3t+ 3 pour tout t ∈ Rpar rapport au plan Π : 2x+ y + z = 5.Il nous faut trouver les coordonnées du point Q∗, défini à la figure 1.27. Notons(x∗, y∗, z∗) ses coordonnées. A la question a) nous avons calculé les coordonnées de

Q : (3,−4, 6) et Q0 : (2,−9/2, 11/2). Comme−−−→Q0Q

∗ =−−→QQ0, nous avons

−−−→Q0Q

∗ = (−1,−12,−1

2).

Or, nous savons aussi que−−−→Q0Q

∗ = (x∗ − 2, y∗ + 92, z∗ − 11

2),

par conséquent−−−→Q0Q

∗ = (x∗ − 2, y∗ + 92, z∗ − 11

2) = (−1,−1

2,−1

2)

ce qui nous donne les relations x∗ = 1, y∗ = −5 et z∗ = 5. Ainsi nous avons obtenules coordonnées de Q∗,

Q∗ : (1,−5, 5).


50


50


Figure 1.27 – La réflexion de � par rapport à Π

�∗passe par le point point Q∗ et possède aussi le même vecteur directeur que �,v = (1,−5, 3). Une équation paramétrique de �∗ est donc

�∗ :

x = t+ 1

y = −5t− 5


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51



Problème 1.5.6.

Considérons le plan Π : x − y + z = 7, ainsi que le triangle de sommets A : (1, 2, 2),B : (3, 1, 2) et C : (1, 1, 1). On remarquera que ce triangle n’appartient pas au plan Π.

a) Projeter orthogonalement ce triangle sur le plan Π et donner les coordonnées dessommets du triangle projeté.

b) Déterminer sa réflexion par rapport à Π et donner les coordonnées des sommets dutriangle réfléchi.

Figure 1.28 – La projection orthogonale du triangle �ABC sur Π, i.e. le triangle�AΠBΠCΠ.

Solution 1.5.6.

a) Projetons orthogonalement le triangle �ABC de sommets A : (1, 2, 2), B : (3, 1, 2)et C : (1, 1, 1) sur le plan Π : x − y + z = 7 et décrivons le triangle projeté�AΠBΠCΠ en terme de ses sommets, de coordonnées AΠ, BΠ et CΠ, comme illustréen figure 1.28.Supposons que les coordonnées de AΠ, BΠ et CΠ s’écrivent

AΠ : (x1, y1, z1), BΠ : (x2, y2, z2), CΠ : (x3, y3, z3).

Le vecteur−−−→AAΠ peut être obtenu en projetant orthogonalement

−−−→ABΠ sur n,

−−−→AAΠ = proj n

−−−→ABΠ =

(−−−→ABΠ · nn · n

)n,

avec−−−→AAΠ = (x1 − 1, y1 − 2, z1 − 2),

−−−→ABΠ = (x2 − 1, y2 − 2, z2 − 2), n = (1,−1, 1).


52


Figure 1.29 – Coordonnées de AΠ après projection de �ABC

Ce calcul donc donne donc−−−→AAΠ = proj n

−−−→ABΠ =

(1(x2 − 1)− 1(y2 − 2) + 1(z2 − 2)

1 + 1 + 1

)(1,−1, 1)

=

(x2 − y2 + z2 − 1

3

)(1,−1, 1) = (2,−2, 2),

où x2 − y2 + z2 = 7 car−−−→AAΠ appartient à Π. Il vient−−−→

AAΠ = (x1 − 1, y1 − 2, z1 − 2) = (2,−2, 2),ainsi x1 = 3, y1 = 0, z1 = 4, les coordonnées de AΠ sont donc

AΠ : (3, 0, 4).

Pour trouver les coordonnées de BΠ projetons orthogonalement−−−→BAΠ sur n (voir la

figure 1.30), i.e.

−−−→BBΠ = proj n

−−−→BAΠ =

(−−−→BAΠ · nn · n

)n,

avec −−−→BAΠ = (0,−1, 2),

−−−→BBΠ = (x2 − 3, y2 − 1, z2 − 2), n = (1,−1, 1).

Le même calcul que précédemment nous donne−−−→BBΠ = proj n

−−−→BAΠ = (1,−1, 1),

donc −−−→BBΠ = (x2 − 3, y2 − 1, z2 − 2) = (1,−1, 1).

Les coordonnées de BΠ sont alorsBΠ : (4, 0, 3).

Dans le même esprit projetons orthogonalement−−−→CBΠ sur n afin de déterminer CΠ

(voir la figure 1.31).


53


53


Figure 1.30 – Coordonnées de BΠ après projection de �ABC

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Figure 1.31 – Coordonnées de CΠ après projection de �ABC

Nous obtenons−−−→CCΠ = proj n

−−−→CBΠ = (2,−2.2)

et après comparaison avec−−−→CCΠ = (x3 − 1, y3 − 1, z3 − 1), nous en déduisons

CΠ : (3,−1, 3).et avons donc déterminé tous les sommets de � AΠBΠCΠ.

b) Réfléchissons �ABC de sommets A : (1, 2, 2), B : (3, 1, 2) and C : (1, 1, 1) parrapport au plan Π : x− y + z = 7 et notons �A∗B∗C∗ ce triangle, représenté à lafigure 1.32. Nous allons le décrire en terme des coordonnées de ses sommets A∗, B∗

and C∗.Supposons que les coordonnées des points A∗, B∗ et C∗ s’écrivent

A∗ : (x∗1, y∗1, z

∗1), B

∗ : (x∗2, y∗2, z

∗2), C

∗ : (x∗3, y∗3, z

∗3).

A partir de la question a) nous déduisons (voir un illustration à la figure 1.32)−−→AA∗ = 2

−−−→AAΠ = 2(2,−2, 2) = (4,−4, 4),

et, −−→AA∗ = (x∗1 − 1, y∗1 − 2, z∗1 − 2) = (4,−4, 4).

D’où x∗1 = 5, y∗1 = −2 and z∗1 = 6, ainsi les coordonnées de A∗ sont

A∗ : (5,−2, 6).De plus, −−→

BB∗ = 2−−−→BBΠ = 2(1,−1, 1) = (x∗2 − 3, y∗2 − 1, z∗2 − 2)

−−→CC∗ = 2

−−−→CCΠ = 2(2,−2, 2) = (x∗3 − 1, y∗3 − 1, z∗3 − 1),

qui nous fournissent les coordonnées de B∗ et C∗ :B∗ : (5,−1, 4), C∗ : (5,−3, 5).


55


55


Figure 1.32 – Le triangle �A∗B∗C∗, réflexion de �ABC par rapport à Π.

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56


1.6 Exercices

1. Soient les deux vecteurs de R3 : u = (−1, 2, 3) et v = (1,−1, 2).a) Trouver la projection orthogonale de u sur v.

[Réponse : projvu = (1

2,−1

2, 1). ]

b) Trouver la projection orthogonale uyz de u sur le plan yz.

[Réponse : uyz = (0, 2, 3). ]

c) Trouver le vecteur u∗, réflection de u par rapport à v.

[Réponse : u∗ = (2,−3,−1). ]

d) Trouver le vecteur u∗xz, réflexion de u par rapport au plan xz.

[Réponse : u∗xz = (−1,−2, 3). ]

e) Trouver le vecteur résultant des réflexions de u par rapport au plan xy puis parrapport au plan yz-plane. Ce vecteur est-il différent si u est d’abord réfléchi parrapport au plan yz puis par rapport au plan xy ?

[Réponse : (1, 2,−3). Ce sont les mêmes vecteurs. ]

f) Trouver le vecteur résultant de la réflection de u par rapport au plan xy puisde la projection orthogonale du vecteur réfléchi sur le plan yz. Ce vecteur est-ildifférent si u est d’abord projeté orthogonalement sur le plan yz puis la projec-tion réfléchie par rapport au plan xy ?

[Réponse : (0, 2,−3). Ce sont les mêmes vecteurs. ]

2. Trouver toutes les valeurs de a ∈ R, telles que le volume du parallélépipède décritpar les vecteurs u = (1, 1, 2), v = (−1, a, 3) et w = (2, 1, a) soit d’une unité.

[Réponse : a ∈ {0, 1, 2, 3}. ]

3. Soient les trois vecteurs :

u = a(1, 1, 2), v = (−1, b,−1), w = (7, 1, c),avec a, b et c des paramètres réels.

a) Trouver toutes les valeurs de a, b et c, telles que les vecteurs u, v et w définissentun parallélépipède rectangulaire (i.e. un parallélépipède de côtés perpendicu-laires) de volume égal à 132 unités.


57

VeCteurs, droites et Plans dans r31.6. EXERCICES 57

[Réponse : a ∈ {−2, 2}, b = 3, c = −4. ]

b) Trouver toutes les valeurs de a, b et c, telles que le volume du parallélépipèdedéfini par les vecteurs u, v et w avec a �= 0, soit de zéro unité.

[Réponse : b =8− cc− 14

pour tout c ∈ R\{14}. ]

4. Considérons les trois points P1, P2 et P3 dans R3 de coordonnées respectives :

P1 : (2,−1, 1), P2 : (3, 2,−1), P3 : (−1, 3, 2).

a) Trouver l’équation du plan Π1 contenant ces trois points.

[Réponse : 11x+ 5y + 13z = 30. ]

b) Supposons que le vecteur normal n d’un plan Π2 soit n = (−2, 1, 4) et que Π2contienne le point P1. Trouver l’équation de Π2.

[Réponse : −2x+ y + 4z = −1. ]

c) Trouver l’angle θ entre les deux vecteurs Π1 et Π2 déterminés aux questions a)et b).

[Réponse : θ = arccos

(√15

9

). ]

5. Soit la droite � dans R3 passant par les points P1 : (1,−2,−1) et P2 : (3,−1, 1).a) Trouver l’équation paramétrique de �.

[Réponse :

� :

x = 2t+ 1

y = t− 2

z = 2t− 1 pour tout t ∈ R. ]

b) Calculer la distance s entre l’origine (0, 0, 0) et la droite � obtenue à la questiona).

[Réponse : s =5√2

3. ]

6. Considérons le triangle de sommets A : (1, 0, 1), B : (2, 1,−1) et C : (2, 2, 1).a) Trouver la distance entre le point B et la base du triangle défini par les sommets

A et C.


58


[Réponse :

√21

5. ]

b) Trouver l’aire du triangle ABC en utilisant le produit vectoriel.

[Réponse :1

2

√21. ]

7. Soient les deux droites de R3 :

�1 :

x = 2t+ 3

y = −4t+ 1


�2 :

x = −s

y = s+ 3

z = −s− 1 pour tout s ∈ R.Ces droites se croisent-elles ? Si oui, déterminer leur point d’intersection.

[Réponse : Leur point d’intersection est (4,−1, 3). ]

8. Soit la pyramide ABCD de sommets A : (2, 1, 0), B : (0, 2, 3), C : (1, 0, 1) etD : (1, 1, 1) comme montré à la figure 1.33.

Figure 1.33 – La pyramide ABCD.

Trouver la hauteur de cette pyramide.

[Réponse : La hauteur de cette pyramide est la distance entre le point D en le

plan contenant le triangle ABC, elle est égale à1√26

. ]


59

VeCteurs, droites et Plans dans r31.6. EXERCICES 59

9. Considérons la droite �, dont l’équation paramétrique est

� :

x = kt+ 2

y = t− 3


et le plan Π, d’équation

Π : 3x+ 2y + 4z = 1.

a) déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k ∈ R, s’il y en a, � est parallèle à Π.

[Réponse : k = −143. ]

b) Trouver la distance entre � et Π pour cette(ces) valeur(s) de k.

[Réponse :15√29

. ]

c) Déterminer l’intersection de � avec Π pour toutes les valeurs de k telles que � etΠ ne sont pas parallèles.

[Réponse : Les coordonnées de l’intersection sont1

3k + 14(−9k + 28, −9k − 57, 12k + 11)

pour tout k ∈ R\{−143}. ]

10. Soit la droite � d’équation paramétrique

� :

x = −t+ 2

y = 3t

z = 5t− 1 pour tout t ∈ R,

Trouver tous les points de � situés à une distance de2√3unités du plan x+y−z = 2.

[Réponse : Les points de coordonnées (7

3,−1,−8

3) et (1, 3, 4). ]

11. Soient le plan Π : x− 2y + 3z = 31 et la droite � d’équation paramétrique

� :

x = −t+ 2

y = t− 1

z = −2t+ 3 pour tout t ∈ R.


60


a) Trouver l’équation paramétrique de la droite �̂, telle que �̂ soit la projectionorthogonale de � sur Π.

[Réponse :

�̂ :

x = −5t+ 4

y = −4t− 3

z = −t+ 7 pour tout t ∈ R. ]b) Trouver l’équation paramétrique de la droite �∗, réflexion de � par rapport à Π.

[Réponse :

�∗ :

x = 2t+ 4

y = −11t− 3

z = 7t+ 13 pour tout t ∈ R. ]c) Trouver tous les points de �, tels que la distance la plus courte entre ces points

et le plan Π soit de 3/√14.

[Réponse : Les points (11

3,−8

3,19

3) et (

13

3,−10

3,23

3). ]

12. Soient le plan Π : 3x+ 4y − 5z = 11 et la droite � d’équation paramétrique

� :

x = t+ 4

y = −2t+ 1

z = −t+ 3 pour tout t ∈ R,

où � est parallèle à Π. Trouver la droite �̂, définie comme la projection orthogonalede � sur Π.

[Réponse :

�̂ :

x = t+28

5

y = −2t− 15

z = −t+ 1 pour tout t ∈ R. ]

13. Considérons le plan Π : 2x − y + 2z = −5 et le triangle �ABC de sommetsA : (1, 0, 1), B : (0, 1, 1) and C : (1, 1, 0).

a) Trouver les sommets du triangle �AΠBΠCΠ, tel que �AΠBΠCΠ soit la projec-tion orthogonale de �ABC sur Π.

[Réponse : Les sommets du triangle projeté �AΠBΠCΠ sont AΠ : (−1, 1,−1),BΠ : (−

4

3,5

3,−1

3) et CΠ : (−

1

3,5

3,−4

3). ]


61


61

1.6. EXERCICES 61

b) Trouver les sommets du triangle �A∗B∗C∗, tel que �A∗B∗C∗ soit la réflexionde �ABC par rapport à Π.

[Réponse : Les sommets du triangle réfléchi �A∗B∗C∗ sont A∗ : (−3, 2,−3),B∗ : (−8

3,7

3,−5

3) et C∗ : (−5

3,7

3,−8

3). ]

14. Montrer que la distance s entre deux plans parallèles,

Π1 : ax+ by + cz = d1

Π2 : ax+ by + cz = d2,

est donnée par

s =|d1 − d2|

‖n‖,

où n = (a, b, c) est le vecteur normal aux deux plans (voir la note théorique 1.5).

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63

algébre matriCielle et PiVot de gauss

Chapitre 2

Algèbre matricielle et pivot deGauss

Le but de ce chapitre :

Nous exprimons les points de l’espace euclidien Rn en terme de vecteurs à n composantes.Ces vecteurs peuvent être représentés par des matrices colonnes (ou lignes). Tout systèmed’équation linéaires peut en fait s’écrire sous la forme d’une équation matricielle de la formeAx = b, et peut donc être étudié au moyen des propriétés des matrices. De plus, nousintroduisons les opérations d’addition et de multiplication des matrices, le déterminantd’une matrice carrée ainsi que son l’inverse (lorsqu’elle est inversible). Pour résoudre lessystèmes d’équations linéaires, nous utilisons la méthode du pivot de Gauss (ou éliminationde Gauss) et introduisons une méthode alternative suivant la règle de Cramer, à partir delaquelle certains types de système linéaires carrés peuvent être résolus.

2.1 L’addition et la multiplication de matrices

Nous présentons les vecteurs de l’espace euclidien Rn ainsi que les opérations basiquessur ces vecteurs.


1. Les vecteurs dans Rn :

Un vecteur u de l’espace euclidien Rn est un n-uplet (u1, u2, . . . , un). Nous écrivons

u = (u1, u2, . . . , un).

Où u1, u2, . . . , un sont des nombres (réels ou complexes, bien que nous n’utilisonsque des réels dans ce livre). Tout n-uplet désigne un point ou vecteur unique dans

63


64


64 CHAPITRE 2. ALGÈBRE MATRICIELLE ET PIVOT DE GAUSS

Rn. u peut être représenté par une matrice colonne n× 1

u =

u1u2...un

,

ou alors une matrice ligne 1× n

u = (u1 u2 . . . un).

Soient les vecteurs de Rn v = (v1, v2, . . . , vn) et w = (w1, w2, . . . , wn). Nous avonsalors les propriétés suivantes

Propriétés :

• u+ v = (u1 + v1, u2 + u2, . . . , un + vn) = v + u• (u+ v) +w = u+ (v +w)• r u = (ru1, ru2, . . . , run) = u r pour tout r ∈ R.• 0u = 0 = (0, 0, . . . , 0) nommé le vecteur nul de Rn.

2. L’addition et la multiplication par des réels de matrices :

Considérons la matrice m× n suivante

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

am1 am2 · · · amn

,

où les aij sont des nombres (réels ou complexes, bien que nous n’utilisons que desréels dans ce livre).

Remarque : Dans certains cas il peut être pratique de noter la matrice A commesuit :

A = [aij ] ou A = [a1 a2 . . . an], avec aj ∈ Rm.

Soient les deux matrices m× n

A = [aij ] et B = [bij ].

L’addition et la multiplications sont définies par :

L’addition de matrices :

A+B = [aij + bij ].

La multiplication par un réel :

rA = [raij ] = Ar pour tout r ∈ R

0A = [0 aij ] = 0mn, où 0mn désigne la matrice nulle m× n.


65


65

2.1. L’ADDITION ET LA MULTIPLICATION DE MATRICES 65

Les propriétés suivantes sont alors vérifiées

Propriétés :

Soient A, B et C des matrices de taille m×n, soient r et s des nombres réels. Alors• A+B = B +A• (A+B) + C = A+ (B + C)• A+ 0mn = A• r(A+B) = rA+ rB• (r + s)A = rA+ sA• r(sA) = (rs)A.

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66



3. La multiplication entre matrice et vecteur :

Soient la matrice m× n A,A = [a1 a2 . . . an], aj ∈ Rm,

et le vecteur x ∈ Rn

x =

x1x2...xn

.

Le produit de la matrice A par le vecteur x est un vecteur de Rm défini par :Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.

Soient A une matrice m×n, u et v deux vecteurs de Rn et r un nombre réel. Alors

Propriétés :

• A(u+ v) = Au+Av• rA(u) = A(ru).

4. La multiplication de matrices :

Soient A une matrice m× n et B une matrice n× p, whereB = [b1 b2 · · · bp], bj ∈ Rn.

Le produit matriciel AB est une matrice m× p définie par :AB = [Ab1 Ab2 · · ·Abp].

Pour les propriétés listées ci-dessous, nous supposons que les matrices A, B et Csont de tailles correctes, telles que ces propriétés ne contredisent pas les définitionsprécédentes. Soit r un nombre réel. Nous avons

Propriétés :

• A(BC) = (AB)C• A(B + C) = AB +AC• (A+B)C = AC +BC• r(AB) = (rA)B = A(rB).La matrice identité n× n , notée In, est :

In =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

... · · ·...

0 0 · · · 1

= [e1 e2 · · · en],

où {e1, e2, · · · , en} est la base canonique de Rn,e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1).

Soit A une matrice m× n et u ∈ Rn. Alors


67

algébre matriCielle et PiVot de gauss2.1. L’ADDITION ET LA MULTIPLICATION DE MATRICES 67

• AIn = A = ImA.• Inu = u.• Ipn = In pour tout p ∈ N.

Remarque : Soient A une matrice m×n et B une matrice n×m. Alors le produitAB = 0mm,

où 0mm désigne la matrice nulle m×m, n’implique pas que A ou B soit nulle. Parexemple,(

1 11 1

)(1 1

−1 −1

)=

(0 00 0

).

Problème 2.1.1.

Considérons les trois matrices :

A =

(a 2 11 0 a

), B =

(2 a 00 1 2a2

), C =

(1 1 11 1 1

),

où a est un paramètre réel non spécifié. Trouver toutes les valeurs de a telles que

A+B = C.

Solution 2.1.1.

Nous additionnons les matrices A et B et comparons les coefficients de la matrice résultanteavec ceux de C :(

a+ 2 2 + a 11 1 a+ 2a2

)=

(1 1 11 1 1

).

Nous obtenons

a+ 2 = 1, 2 + a = 1, a+ 2a2 = 1,

où a = −1 est la seule solution qui satisfasse les trois équations simultanément.

Problème 2.1.2.

Soient les deux matrices :

A =

(a b1 2

), B =

(1 21 0

),

avec a et b deux paramètres réels non spécifiés. Trouver toutes les valeurs de a et b, tellesque

AB = BA.


68


68


Solution 2.1.2.

Nous multiplions les matrices A et B dans l’ordre AB :

AB =

(a b1 2

)(1 21 0

)=

(a+ b 2a3 2

).

Pour la multiplication dans l’ordre BA, nous avons

BA =

(1 21 0

)(a b1 2

)=

(a+ 2 b+ 4a b

).

Nous déduisons de la comparaisons des coefficients de AB avec ceux de BA

a+ b = a+ 2, 2a = b+ 4, a = 3, b = 2.

Ce système d’équations a pour solution a = 3 et b = 2. Donc pour les valeurs a = 2 etb = 3 dans A, les matrices A et B commutent, i.e. AB = BA, pour toutes autres valeursde a ou b, ces matrices ne commutent pas, i.e. AB �= BA.

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69

algébre matriCielle et PiVot de gauss2.1. L’ADDITION ET LA MULTIPLICATION DE MATRICES 69

Problème 2.1.3.

Considérons la matrice

A =

(0 bc 0

),

où b et c sont deux paramètres réels non spécifiés. Trouver toutes les valeurs de b et c tellesque

A2 = I2,

où I2 est la matrice identité 2× 2.

Solution 2.1.3.

Calculons A2 :

A2 =

(0 bc 0

)(0 bc 0

)=

(bc 00 bc

).

La matrice identité 2× 2 I2 s’écrit

I2 =

(1 00 1

).

En comparant les coefficients de A2 avec ceux de I2 nous avons

bc = 1.

En conclusion, la matrice

A =

0 b

1

b0

.

satisfait la relation A2 = I2 pour tout b ∈ R\{0}.


70

algébre matriCielle et PiVot de gauss70 CHAPITRE 2. ALGÈBRE MATRICIELLE ET PIVOT DE GAUSS

2.2 Le déterminant de matrices carrées

Nous présentons le déterminant de matrices carrées et montrons le calcul de ce dernierau moyen des formules de Laplace ainsi que des opérations élémentaires sur les lignes.

Note théorique 2.2.1. Formules de Laplace : le déterminant d’une matrice n × n A = [aij ], noté detA

ou |A|, est un nombre pouvant être calculé en utilisant le développement encofacteurs par rapport à la ligne i,

detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin,ou, de manière alternative, detA peut être calculé au moyen d’un développementsimilaire par rapport à la colonne j,

detA = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj .Ici le nombre Cij est le cofacteur d’indice (i, j) de la matrice A,

Cij = (−1)i+j detAij ,où Aij désigne la matrice (n−1)× (n−1), obtenue à partir de A en retirant la lignei et la colonne j.

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