Maksimum Minimum Metode Lagrange

8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange

1/26

Maksimum dan MinimumMetode Lagrange

Latihan

611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Maksimum, Minimum, dan Metode Lagrange

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia

Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

http://find/


2/26


Latihan

Maksimum dan MinimumTitik Kritis

Maksimum dan Minimum

Misalkan p = (x , y ) adalah sebuah titik peubah dan p0 = (x 0, y 0)adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua (kedua titiktersebut berlaku untuk titik-titik pada ruang berdimensi n).

Definisi

Misalkan f adalah fungsi dengan daerah asal S , dan misalkan p 0adalah sebuah titik di S .

1 f (p0) adalah nilai maksimum global dari f di S jikaf (p0) ≥ f (p) untuk seluruh p di S .

2 f (p0) adalah nilai minimum global dari f di S jikaf (p0) ≤ f (p) untuk seluruh p di S .

3 f (p0) adalah nilai ekstrem global dari f di S jika f (p0)bukan maksimum global dan bukan minimum global.


http://find/


3/26


Latihan



http://find/http://goback/


4/26


Latihan


Teorema A Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum

Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) dihimpunan tersebut.


M k i d Mi i

http://find/


5/26


Latihan


Titik Kritis

Titik kritis dari f di S ada tiga jenis

1 Titik batas

2 Titik stasioner. Kita menyebut p0 titik stasioner jika f (p0)

adalah sebuah titik dalam di S di mana f dapatdidiferensialkan dan ∇f (p 0)= 0. Di titik tersebut, suatubidang singgung akan horizontal.

3 Titik tunggal/singular. Kita menyebut p0 sebagai titik

singular jika p0 adalah sebuah titik dalam di S

di mana f

tidak dapat didiferensialkan, misalnya, sebuah titik di managrafik dari f mempunyai sebuah sudut lancip.


M k i d Mi i



6/26


Latihan


Teorema B Teorema Titik Kritis

Misalkan f didefinisikan pada sebuah himpunan S yangmengandung p0. Jika f (p0) adalah sebuah nilai ekstrem, maka p0

harus merupakan sebuah titik kritis, yaitu p0 adalah(i.) sebuah titik batas di S , atau

(ii.) sebuah titik stasioner dari f , atau

(iii.) sebuah titik singular dari f



http://find/


7/26


Latihan


Contoh 1

Tentukan nilai maksimum atau minimum darif (x , y ) = x 2 − 2x + y 24 .Penyelesaian:Fungsi tersebut dapat didiferensialkan di seluruh daerah asalnya,yaitu bidang xy . Sehingga satu-satunya titik kritis yang mungkinadalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan menetapkanf x (x , y ) dan f y (x , y ) sama dengan nol. Tetapi f x (x , y ) = 2x − 2dan f y (x , y ) =

y 2 bernilai nol hanya ketika x = 1 dan y = 0.

Perhatikan bahwa f (1, 0) = −1, dan

f (x , y ) = x 2 − 2x + y 24

= x 2 − 2x + 1 + y 24 − 1

= (x − 1)2 + y 2

4 − 1 ≥ −1

Jadi, f (1, 0) sebenarnya adalah sebuah nilai minimum global untukf .





8/26


Latihan


Contoh 2

Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal untukf (x , y ) = − x 2

a2 + y 2

b 2.

Penyelesaian:Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menetapkanf x (x , y ) =

−2x

a

2 dan f y (x , y ) = 2y

b

2 sama dengan nol. Persyaratanini menghasilkan titik (0, 0), yang tidak memberikan nilaimaksimum atau minimum. Titik ini disebut titik pelana. Fungsitersebut tidak mempunyai titik ekstrem lokal.





9/26


Latihan


Syarat Cukup untuk Titik Ekstrem

Teorema C Uji Parsial KeduaAndaikan f (x , y ) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalamlingkungan (x 0, y 0) dan ∇f (x 0, y 0) = 0. Misalkan

D = D (x 0, y 0) = f xx (x 0, y 0)f yy (x 0, y 0)

−f 2xy (x 0, y 0)

Maka

(i.) jika D > 0 dan f xx (x 0, y 0)

0 dan f xx (

x 0, y

0) >

0, f

(x

0, y

0) adalah sebuah nilaiminimum lokal,

(iii.) jika D


10/26


Latihan


Contoh 3

Tentukan titik ekstrem, jika ada, dari fungsi F yang didefinisikandengan F (x , y ) = 3x 3 + y 2 − 9x + 4y .

Penyelesaian:

Titik-titik kritis

F x (x , y ) = 9x 2 − 9

0 = 9(x 2 − 1)0 = 9(x − 1)(x + 1) ⇒ x = −1atau x = 1

F y (x , y ) = 2y + 40 = 2y + 4

−4 = 2y ⇒ y = −2

∴ titik-titik kritisnya adalah (1,

−2) dan (

−1,

−2)


Maksimum dan MinimumM k i d Mi i

http://find/


11/26

Metode LagrangeLatihan


Selanjutnya F xx (x , y ) = 18x ,F yy (x , y ) = 2, dan F xy (x , y ) = 0

Di titik kritis (1,−2)

D = F xx (1,−2) ·F yy (1,−2)−F 2xy (1,−2) = 18(2)−0 = 36 > 0

dan F xx (1,−2) = 18 > 0, sehingga F (1,−2) = −10 adalahsebuah minimum lokal dari F .Di titik kritis (−1,−2)

D = F xx (−1,−2)·F yy (−1,−2)−F 2xy (−1,−2) = −18(2)−0 = −36 <

maka (−1,−2) adalah sebuah titik pelana dan F (−1,−2) = 2bukan sebuah nilai ekstrim.


Maksimum dan MinimumMaksimum dan Minimum

http://find/


12/26



Contoh 4

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f (x , y ) = 2 + x 2 + y 2

pada himpunan tertutup S =

(x , y ) : x 2 + 14 y 2 ≤ 1.

Penyelesaian:

Karena f x (x , y ) = 2x dan f y (x , y ) = 2y , maka titik stasionernyaadalah titik (0, 0) dan

D (0, 0) = f xx (0, 0)f yy (0, 0) − f 2xy (0, 0) = 2 · 2 − 0 = 4 > 0

dan f xx (0, 0) = 2 > 0 maka f (0, 0) = 2 adalah nilai minimum.Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Maksimum dan Minimum Maksimum dan Minimum

http://find/


13/26



Nilai maksimum global akan terjadi di batas dari himpunan S . Kitadapat menguraikan secara parametrik batas S dengan

x = cos t , y = 2 sin t , 0leqt ≤ 2π

Masalah optimasi kemudian dapat disederhanakan menjadioptimasi dengan fungsi satu peubah

g (t ) = f (cos t , 2 sin t ), 0 ≤ t ≤ 2π

Berdasarkan Aturan Rantai

g (t ) = ∂ f

∂ x

dx

dt

+ ∂ f

∂ y

dy

dt = 2x (−sin t ) + 2y (2 cos t )= −2 sin t cos t + 8 sin t cos t = 6 sin t cos t = 3 sin 2t


Maksimum dan Minimum Maksimum dan Minimum

http://find/


14/26



dengan menetapkan g (t ) = 0 dihasilkan t = 0, π

2

, π, 3π

2

, dan 2π.Jadi g mempunyai lima titik kritis di [0, 2π] yaitu(1, 0), (0, 2), (−1, 0), (0,−2), dan (1, 0) untuk f ; titik yang terakhirakan sama dengan yang pertama karena sudut 2π menghasilkantitik yang sama dengan sudut 0o . Maka nilai-nilai f yang

bersesuaian

f (1, 0) = 3 f (0, 2) = 6

f (−1, 0) = 3 f (0,−2) = 6

Di titik kritis bagian dalam S kita mempunyai f (0, 0) = 2. Dengandemikian kita dapat menyimpulkan bahwa nilai minimum f di S adalah 2 dan nilai maksimumnya adalah 6.


Maksimum dan MinimumM d L M d L



15/26


Metode Lagrange

Metode Lagrange

Teorema A Metode Lagrange

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f (p) yang dikenaikendala g (p) = 0, selesaikan sistem persamaan

∇f (p) = λ∇g (p) dan g (p) = 0

untuk p dan λ. Setiap titik p seperti ini adalah sebuah titik kritisuntuk soal ekstrem terkendala, dan λ yang bersesuaian dengan itudisebut pengali Lagrange.


Maksimum dan MinimumM t d L M t d L



16/26


Metode Lagrange

Contoh 5

Berapakah luas terbesar yang dimiliki sebuah persegi panjang jikapanjang diagonalnya adlaah 2?

Penyelesaian:


Maksimum dan MinimumMetode Lagrange Metode Lagrange

http://find/


17/26


Metode Lagrange

Jadi, kita merumuskan masalah memaksimumkan f (x , y ) = xy dengan g (x , y ) = x 2 + y 2 − 4 = 0. Gradien-gradien yangbersesuaian adalah

∇f (x , y ) = f x (x , y )i + f y (x , y ) j = y i + x j∇g (x , y ) = g x (x , y )i + g y (x , y ) j = 2x i + 2y j

Sehingga persamaan Lagrange menjadiy = λ(2x )

x = λ(2y )

x 2 + y 2 = 4

Kalikan persamaan pertama dengan y dan persamaan keduadengan x sehingga diperoleh y 2 = 2λxy dan x 2 = 2λxy . Artinya

y 2 = x 2 (1)





18/26


Metode Lagrange

Dari (3) dan (4) diperoleh x =√

2 dan y =√

2. Denganmensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke (1), maka diperoleh λ = 12 .

Kita dapat menyimpulkan bahwa persegi panjang dengan luasterbesar dengan diagonal 2 adalah bujur sangkar dengan panjangsisi

√ 2, luasnya adalah 2.



http://find/


19/26


Metode Lagrange

Contoh 6

Gunakan metode Lagrange untuk menentukan nilai maksimum dan

nilai minimum darif (x , y ) = y 2 − x 2

pada elips x 2

4 + y 2 = 1.

Penyelesaian:Kita dapat menuliskan kendala sebagaig (x , y ) = x 2 + 4y 2 − 4 = 0, maka

∇f (x , y ) = −2x i + 2y j

∇g (x , y ) = 2x i + 8y j

Persamaan-persamaan Lagrangenya adalah

−2x = λ2x (2)2y = λ8y (3)

x 2 + 4y 2 = 4 (4)Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I




20/26


Metode Lagrange

Perhatikan dari persamaan (3) bahwa x dan y tidak dapat bernilai

0. Jika x = 0, persamaan (1) menghasilkan λ = −1, sehinggadiperoleh y = 0 dan x = ±2. Jadi kita memperoleh titik-titik kritis(±2, 0). Jika y = 0, maka akan menghasilkan λ = 14 , sehinggadiperoleh x = 0 dan y = ±1. Jadi kita peroleh titik-titik kritis(0,

±1). Selanjutnya, untuk f (x , y ) = y 2

−x 2

f (2, 0) = −4f (−2, 0) = −4

f (0, 1) = 1

f (0,−1) = 1Jadi nilai minimum dari f (x , y ) adalah -4, dan nilai maksimumnyaadalah 1.



http://find/


21/26

g gLatihan

g g

Fungsi dengan Lebih dari Satu Kendala

Jika lebih dari satu kendala dikenakan pada peubah-peubah darisebuah fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan,maka digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuksetiap kendala). Contohnya, jika kita mencari nilai ekstrem darifungsi f dengan tiga peubah yang dikenai dua kendala

g (x , y , z ) = 0 dan h(x , y , z ) = 0, kita dapat menyelesaikanpersamaan-persamaan

∇f (x , y , z ) = λ∇g (x , y , z ) + µ∇h(x , y , z )g (x , y , z ) = 0

h(x , y , z ) = 0

untuk x , y , z , λ, danµ, di mana λ dan µ adalah pengali-pengaliLagrange.



http://find/


22/26

Latihan

Ini ekuivalen dengan penentuan solusi dari sistem yang terdiri darilima persamaan simultan dengan peubah-peubah x , y , z , λ, danµ

f x (x , y , z ) = λg x (x , y , z ) + µhx (x , y , z )

f y (

x , y , z ) =

λg y (

x , y , z ) +

µhy (

x , y , z )

f z (x , y , z ) = λg z (x , y , z ) + µhz (x , y , z )

g (x , y , z ) = 0

h(x , y , z ) = 0

Dari solusi sistem ini, kita memperoleh titik-titik kritis.



http://find/


23/26

Latihan

Contoh 6

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

f (x , y , z ) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan perpotongandari silinder x 2 + y 2 = 2 dan bidang y + z = 1.

Penyelesaian:



L ihMetode Lagrange

http://find/


24/26

Latihan

Kita akan memaksimumkan dan meminimumkan f (x , y , z ) dengankendala g (x , y , z ) = x 2 + y 2 − 2 = 0 danh

(x , y , z

) = y

+ z − 1 = 0. Persamaan-persamaan Lagrangenyaadalah

1 = 2λx

3 = 2λy + µ

3 = µx 2 + y 2 − 2 = 0

y + z − 1 = 0Dari (1) diperoleh x = 12λ, dari (2) dan (3) diperoleh y =

−12λ.

Jadi dari (4),

12λ

2 +

−12λ

2 = 2, yang menghasilkan λ = ±12 .Solusi λ = 12 menghasilkan titik kritis (x , y , z ) = (1,−1, 2) danλ = −12 menghasilkan titik kritis (x , y , z ) = (−1, 1, 0). Makadiperoleh f (1,−1, 2) = 5 adalah nilai maksimum dan f (−1, 1, 0)adalah nilai minimum.Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I


L tihLatihan

http://find/


25/26

Latihan

Latihan

1. Tentukan seluruh titik kritisnya dan nyatakan apakah setiaptitik tersebut memberikan nilai maksimum lokal atau nilaiminimum lokal atau merupakan titik pelana (gunakanTeorema C).

a. f (x , y ) = xy + 2x

+ 4y

b. f (x , y ) = e −(x 2+y 2−4y )

2. Tentukan nilai maksimum global dan nilai minimum globaldari f di S dan nyatakan di mana nilai-nilai tersebut terjadi

a. f (x , y ) = x 2 + y 2; S = {(x , y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}b. f (x , y ) = x 2 − 6x + y 2 − 8y + 7; S = {(x , y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.



LatihanLatihan

http://find/


26/26

Latihan

3. Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya dari fungsif (x , y ) = x 2 + 4y 2 − 2x + 8y − 1.

4. Tentukan semua titik ekstrem dan jenisnya dari fungsif (x , y ) = x 2 − y 2 + 1 pada cakram x 2 + y 2 ≤ 1.

5. Tentukan ukuran kotak dengan volume terbesar yang dapattermuat dalam bola x 2 + y 2 + z 2 = 3.

http://find/

Maksimum Minimum Metode Lagrange

Documents

Transcript of Maksimum Minimum Metode Lagrange