Cours M2: presentationChute libre avec frottements

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Elements de bases du probleme 3

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

Plan

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2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

��

�

Referentiel terrestre (lie au solde la Terre) considere galileen letemps de la chute.

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

��

�

Referentiel terrestre (lie au solde la Terre) considere galileen letemps de la chute.

z

O

h

Figure 1

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

��

�

Referentiel terrestre (lie au solde la Terre) considere galileen letemps de la chute.

z

O

h

Figure 1�

�Base cartesienne a une dimen-

sion

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces

5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

��

�

Referentiel terrestre (lie au solde la Terre) considere galileen letemps de la chute.

z

O

h

Figure 1�

�Base cartesienne a une dimen-

sion

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

��

�

Referentiel terrestre (lie au solde la Terre) considere galileen letemps de la chute.

z

O

h

Figure 1�

�Base cartesienne a une dimen-

sion

��

�

Le poids du parachutiste et laforce de frottements de l’air surlui

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces

5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

��

�

Referentiel terrestre (lie au solde la Terre) considere galileen letemps de la chute.

z

O

h

Figure 1�

�Base cartesienne a une dimen-

sion

��

�

Le poids du parachutiste et laforce de frottements de l’air surlui

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

��

�

Referentiel terrestre (lie au solde la Terre) considere galileen letemps de la chute.

z

O

h

Figure 1�

�Base cartesienne a une dimen-

sion

��

�

Le poids du parachutiste et laforce de frottements de l’air surlui

�

�

�

�Deux types frottements possibles :

• frottements lineaires :−→f = −k −→v

• frottements quadratiques :−→f = −k ′ v −→v

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

��

�

Referentiel terrestre (lie au solde la Terre) considere galileen letemps de la chute.

z

O

h

Figure 1�

�Base cartesienne a une dimen-

sion

��

�

Le poids du parachutiste et laforce de frottements de l’air surlui

�

�

�

�Deux types frottements possibles :

• frottements lineaires :−→f = −k −→v

• frottements quadratiques :−→f = −k ′ v −→v

Elements de bases du probleme 3

�

�

�

�Un parachutiste amateur dechute ”libre” saute depuis unhelicoptere d’une altitude h.Quelles sont les caracteristiquesde son mouvement?

�� ��Le parachutiste

��

�

Referentiel terrestre (lie au solde la Terre) considere galileen letemps de la chute.

z

O

h

Figure 1�

�Base cartesienne a une dimen-

sion

��

�

Le poids du parachutiste et laforce de frottements de l’air surlui

�

�

�

�Deux types frottements possibles :

• frottements lineaires :−→f = −k −→v

• frottements quadratiques :−→f = −k ′ v −→v

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle

7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution

7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Obtention d’une equation d’equationdifferentielle avec second membre

Soit une equation du typedy

dt+a y = b.

Resolution en trois temps :

• Recherche de la solution de l’equation homogene :

dy

dt+ a y = 0 =⇒ solution sh

• Recherche d’une solution particuliere de meme forme que lesecond membre b :

Si b = cste alors sp = cste

• Solution globale : s = sh + sp.

Determination des constantes de s a l’aide des conditionsinitiales.

Obtention d’une equation d’equationdifferentielle avec second membre

Soit une equation du typedy

dt+a y = b.

Resolution en trois temps :

• Recherche de la solution de l’equation homogene :

dy

dt+ a y = 0 =⇒ solution sh

• Recherche d’une solution particuliere de meme forme que lesecond membre b :

Si b = cste alors sp = cste

• Solution globale : s = sh + sp.

Determination des constantes de s a l’aide des conditionsinitiales.

Obtention d’une equation d’equationdifferentielle avec second membre

Soit une equation du typedy

dt+a y = b. Resolution en trois temps :

• Recherche de la solution de l’equation homogene :

dy

dt+ a y = 0 =⇒ solution sh

• Recherche d’une solution particuliere de meme forme que lesecond membre b :

Si b = cste alors sp = cste

• Solution globale : s = sh + sp.

Determination des constantes de s a l’aide des conditionsinitiales.

Obtention d’une equation d’equationdifferentielle avec second membre

Soit une equation du typedy

dt+a y = b. Resolution en trois temps :

• Recherche de la solution de l’equation homogene :

dy

dt+ a y = 0 =⇒ solution sh

• Recherche d’une solution particuliere de meme forme que lesecond membre b :

Si b = cste alors sp = cste

• Solution globale : s = sh + sp.

Determination des constantes de s a l’aide des conditionsinitiales.

Obtention d’une equation d’equationdifferentielle avec second membre

Soit une equation du typedy

dt+a y = b. Resolution en trois temps :

• Recherche de la solution de l’equation homogene :

dy

dt+ a y = 0 =⇒ solution sh

• Recherche d’une solution particuliere de meme forme que lesecond membre b :

Si b = cste alors sp = cste

• Solution globale : s = sh + sp.

Determination des constantes de s a l’aide des conditionsinitiales.

Obtention d’une equation d’equationdifferentielle avec second membre

Soit une equation du typedy

dt+a y = b. Resolution en trois temps :

• Recherche de la solution de l’equation homogene :

dy

dt+ a y = 0 =⇒ solution sh

• Recherche d’une solution particuliere de meme forme que lesecond membre b :

Si b = cste alors sp = cste

• Solution globale : s = sh + sp.

Determination des constantes de s a l’aide des conditionsinitiales.

Obtention d’une equation d’equationdifferentielle avec second membre

Soit une equation du typedy

dt+a y = b. Resolution en trois temps :

• Recherche de la solution de l’equation homogene :

dy

dt+ a y = 0 =⇒ solution sh

• Recherche d’une solution particuliere de meme forme que lesecond membre b :

Si b = cste alors sp = cste

• Solution globale : s = sh + sp.Determination des constantes de s a l’aide des conditions

initiales.

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution

7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe

7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Courbe |vz | = f (t), frottements lineaires

|vz | = g τ(

1− exp(− t

τ

))

0 10 20 30 400

20

40

60

69.5vlim

Cas des frotte-

ments lineaires

t(s)

|vz|(m

.s−1)

Figure 1

Courbe |vz | = f (t), frottements lineaires

|vz | = g τ(

1− exp(− t

τ

))

0 10 20 30 400

20

40

60

69.5vlim

Cas des frotte-

ments lineaires

t(s)

|vz|(m

.s−1)

Figure 1

Courbe |vz | = f (t), frottements lineaires

|vz | = g τ(

1− exp(− t

τ

))

0 10 20 30 400

20

40

60

69.5vlim

Cas des frotte-

ments lineaires

t(s)

|vz|(m

.s−1)

Figure 1

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe

7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite

7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Temps caracteristique et regimes

0 10 20 30 40 500

20

40

60

τ 5τ

69.5vlim

Regime transitoire Regime permanent

t(s)

|vz|(m

.s−1)

Figure 2

Temps caracteristique et regimes

0 10 20 30 40 500

20

40

60

τ 5τ

69.5vlim

Regime transitoire Regime permanent

t(s)

|vz|(m

.s−1)

Figure 2

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

Plan

1. Introduction

2. Probleme 3

3. Systeme

4. Referentiel et base

5. Forces

5.1 Bilan des forces5.2 Deux types de frottements

6. 2eme loi de Newton

7. Resolution dans le cas de frottements lineaires

7.1 Equation differentielle7.2 Solution7.3 Courbe |vz | = f (t) et caracteristiques

7.3.1 Courbe7.3.2 Vitesse limite7.3.3 Temps caracteristique

7.4 Position

z=f(t), frottements lineaires

z(t) = g τ2(

1− exp(− t

τ

))− g τ t + h

0 10 20 30 400

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

t(s)

z(m

)

0 10 20 30 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t(s)

1−

exp( −t τ

)

Figure 3

z=f(t), frottements lineaires

z(t) = g τ2(

1− exp(− t

τ

))− g τ t + h

0 10 20 30 400

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

t(s)

z(m

)

0 10 20 30 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t(s)

1−

exp( −t τ

)

Figure 3

z=f(t), frottements lineaires

z(t) = g τ2(

1− exp(− t

τ

))− g τ t + h

0 10 20 30 400

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

t(s)

z(m

)

0 10 20 30 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t(s)

1−

exp( −t τ

)

Figure 3

Plan

8. Resolution dans le cas de frottements quadratiques

8.1 Equation differentielle8.2 Vitesse limite8.3 Methode d’Euler

8.3.1 Qu’est-ce que la methode d’Euler ?8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chuted’un parachutiste ?

Plan

8. Resolution dans le cas de frottements quadratiques

8.1 Equation differentielle

8.2 Vitesse limite8.3 Methode d’Euler

8.3.1 Qu’est-ce que la methode d’Euler ?8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chuted’un parachutiste ?

Plan

8. Resolution dans le cas de frottements quadratiques

8.1 Equation differentielle8.2 Vitesse limite

8.3 Methode d’Euler

8.3.1 Qu’est-ce que la methode d’Euler ?8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chuted’un parachutiste ?

Plan

8. Resolution dans le cas de frottements quadratiques

8.1 Equation differentielle8.2 Vitesse limite8.3 Methode d’Euler

8.3.1 Qu’est-ce que la methode d’Euler ?8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chuted’un parachutiste ?

Plan

8. Resolution dans le cas de frottements quadratiques

8.1 Equation differentielle8.2 Vitesse limite8.3 Methode d’Euler

8.3.1 Qu’est-ce que la methode d’Euler ?

8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chuted’un parachutiste ?

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

0 5 10 15 20 250

20

40

60

t(s)

v(m.s−1)

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

0 5 10 15 20 250

20

40

60

t(s)

v(m.s−1)

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

0 5 10 15 20 250

20

40

60

t(s)

v(m.s−1)

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

t(s)

v(m.s−1)

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆v = vB − vA

∆t = tB − tA

t(s)

v(m.s−1)

La methode d’Euler

• Methode numerique iterative ;

• Obtention d’une solution approchee d’une equationdifferentielle a partir des conditions initiales.

Rappels mathematiques

• Derivee = cœfficient directeur de la tangente a la courbe.

• Calcul d’une derivee en un point aisee :

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆v = vB − vA

∆t = tB − tA

t(s)

v(m.s−1) (

dv

dt

)t=10 s

=∆v

∆t

La methode d’Euler

Que donne un zoom sur la courbe?

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆t = tB − tA

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

Si on considere un intervalle de temps δt suffisamment petit :(dv

dt

)t

=δv

δt

La methode d’Euler

Que donne un zoom sur la courbe?

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆t = tB − tA

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

Si on considere un intervalle de temps δt suffisamment petit :(dv

dt

)t

=δv

δt

La methode d’Euler

Que donne un zoom sur la courbe?

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆t = tB − tA

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

Si on considere un intervalle de temps δt suffisamment petit :(dv

dt

)t

=δv

δt

La methode d’Euler

Que donne un zoom sur la courbe?

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆t = tB − tA

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

Si on considere un intervalle de temps δt suffisamment petit :(dv

dt

)t

=δv

δt

La methode d’Euler

Que donne un zoom sur la courbe?

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆t = tB − tA

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

Si on considere un intervalle de temps δt suffisamment petit :(dv

dt

)t

=δv

δt

La methode d’Euler

Que donne un zoom sur la courbe?

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆t = tB − tA

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

A’

B’

Si on considere un intervalle de temps δt suffisamment petit :(dv

dt

)t

=δv

δt

La methode d’Euler

Que donne un zoom sur la courbe?

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆t = tB − tA

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

A’

B’

δt

δv

Si on considere un intervalle de temps δt suffisamment petit :(dv

dt

)t

=δv

δt

La methode d’Euler

Que donne un zoom sur la courbe?

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆t = tB − tA

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

A’

B’

δt

δv

Si on considere un intervalle de temps δt suffisamment petit :

(dv

dt

)t

=δv

δt

La methode d’Euler

Que donne un zoom sur la courbe?

0 5 10 15 20 250

20

40

60

A

B

∆t = tB − tA

∆v = vB − vA

t(s)

v(m.s−1)

A’

B’

δt

δv

Si on considere un intervalle de temps δt suffisamment petit :(dv

dt

)t

=δv

δt

La methode d’Euler

On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui seproduit pendant le petit intervalle de temps δt grace a l’equationdifferentielle.

Sidv

dt= Av2+B alors δv = (Av2 + B)× δt lorsque δt → 0

Mise en œuvre de la methode

• On part de la condition initiale, la valeur de v(t = 0) = v0 ;

• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;

• On calcule :

v1 = v0 + δv = v0 + (Av20 + B)× δt

• Et ainsi de suite.

La methode d’Euler

On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui seproduit pendant le petit intervalle de temps δt grace a l’equationdifferentielle.

Sidv

dt= Av2+B alors δv = (Av2 + B)× δt lorsque δt → 0

Mise en œuvre de la methode

• On part de la condition initiale, la valeur de v(t = 0) = v0 ;

• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;

• On calcule :

v1 = v0 + δv = v0 + (Av20 + B)× δt

• Et ainsi de suite.

La methode d’Euler

On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui seproduit pendant le petit intervalle de temps δt grace a l’equationdifferentielle.

Sidv

dt= Av2+B alors δv = (Av2 + B)× δt lorsque δt → 0

Mise en œuvre de la methode

• On part de la condition initiale, la valeur de v(t = 0) = v0 ;

• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;

• On calcule :

v1 = v0 + δv = v0 + (Av20 + B)× δt

• Et ainsi de suite.

La methode d’Euler

On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui seproduit pendant le petit intervalle de temps δt grace a l’equationdifferentielle.

Sidv

dt= Av2+B alors δv = (Av2 + B)× δt lorsque δt → 0

Mise en œuvre de la methode

• On part de la condition initiale, la valeur de v(t = 0) = v0 ;

• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;

• On calcule :

v1 = v0 + δv = v0 + (Av20 + B)× δt

• Et ainsi de suite.

La methode d’Euler

On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui seproduit pendant le petit intervalle de temps δt grace a l’equationdifferentielle.

Sidv

dt= Av2+B alors δv = (Av2 + B)× δt lorsque δt → 0

Mise en œuvre de la methode

• On part de la condition initiale, la valeur de v(t = 0) = v0 ;

• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;

• On calcule :

v1 = v0 + δv = v0 + (Av20 + B)× δt

• Et ainsi de suite.

La methode d’Euler

On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui seproduit pendant le petit intervalle de temps δt grace a l’equationdifferentielle.

Sidv

dt= Av2+B alors δv = (Av2 + B)× δt lorsque δt → 0

Mise en œuvre de la methode

• On part de la condition initiale, la valeur de v(t = 0) = v0 ;

• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;

• On calcule :

v1 = v0 + δv = v0 + (Av20 + B)× δt

• Et ainsi de suite.

La methode d’Euler

On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui seproduit pendant le petit intervalle de temps δt grace a l’equationdifferentielle.

Sidv

dt= Av2+B alors δv = (Av2 + B)× δt lorsque δt → 0

Mise en œuvre de la methode

• On part de la condition initiale, la valeur de v(t = 0) = v0 ;

• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;

• On calcule :

v1 = v0 + δv = v0 + (Av20 + B)× δt

• Et ainsi de suite.

La methode d’Euler

On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui seproduit pendant le petit intervalle de temps δt grace a l’equationdifferentielle.

Sidv

dt= Av2+B alors δv = (Av2 + B)× δt lorsque δt → 0

Mise en œuvre de la methode

• On part de la condition initiale, la valeur de v(t = 0) = v0 ;

• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;

• On calcule :

v1 = v0 + δv = v0 + (Av20 + B)× δt

• Et ainsi de suite.

La methode d’Euler

• Un tableur viendra nous assister dans la repetition des calculs.

• Le choix du pas de calcul δt doit etre judicieux : il fautprendre un intervalle suffisamment petit pour quel’approximation soit valable, mais pas trop petit afin que lescalculs ne soient pas trop longs.

La methode d’Euler

• Un tableur viendra nous assister dans la repetition des calculs.

• Le choix du pas de calcul δt doit etre judicieux : il fautprendre un intervalle suffisamment petit pour quel’approximation soit valable, mais pas trop petit afin que lescalculs ne soient pas trop longs.

La methode d’Euler

• Un tableur viendra nous assister dans la repetition des calculs.

• Le choix du pas de calcul δt doit etre judicieux : il fautprendre un intervalle suffisamment petit pour quel’approximation soit valable, mais pas trop petit afin que lescalculs ne soient pas trop longs.

Plan

8. Resolution dans le cas de frottements quadratiques

8.1 Equation differentielle8.2 Vitesse limite8.3 Methode d’Euler

8.3.1 Qu’est-ce que la methode d’Euler ?

8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chuted’un parachutiste ?

Plan

8. Resolution dans le cas de frottements quadratiques

8.1 Equation differentielle8.2 Vitesse limite8.3 Methode d’Euler

8.3.1 Qu’est-ce que la methode d’Euler ?8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chuted’un parachutiste ?

Vitesse, frottements quadratiques

0 10 20 30 400

20

40

60

69.5

Cas des frottements

quadratiques

vlim

t(s)

v z(m.s−1)

δt = 0.3

Figure 4

Vitesse, frottements quadratiques

0 10 20 30 400

20

40

60

69.5

Cas des frottements

quadratiques

vlim

t(s)

v z(m.s−1)

δt = 0.3

Figure 4

Position, frottements quadratiques

0 10 20 30 400

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

t(s)

z(m

)

Figure 5

Position, frottements quadratiques

0 10 20 30 400

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

t(s)

z(m

)

Figure 5

Plan

8. Resolution dans le cas de frottements quadratiques

8.1 Equation differentielle8.2 Vitesse limite8.3 Methode d’Euler

8.3.1 Qu’est-ce que la methode d’Euler ?8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chuted’un parachutiste ?

Plan

8. Resolution dans le cas de frottements quadratiques

8.1 Equation differentielle8.2 Vitesse limite8.3 Methode d’Euler

8.3.1 Qu’est-ce que la methode d’Euler ?8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas

9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chuted’un parachutiste ?