M A T E M A T I K A - siswijaya.tripod.comsiswijaya.tripod.com/Matematika.pdf · Contoh Spesifikasi...
-
Upload
nguyennhan -
Category
Documents
-
view
280 -
download
3
Transcript of M A T E M A T I K A - siswijaya.tripod.comsiswijaya.tripod.com/Matematika.pdf · Contoh Spesifikasi...
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA
SMA/MA
©Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN
PANDUAN MATERI UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2004/2005
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan i
KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan persiapan penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah/Madrasah Tahun Pelajaran 2004/2005, Pusat Penilaian Pendidikan Balitbang Depdiknas menyiapkan panduan materi untuk setiap mata pelajaran yang diujikan pada Ujian Nasional dan Ujian Sekolah. Panduan tersebut mencakup: 1. Gambaran Umum Format dan Bentuk Ujian 2. Standar Kompetensi Lulusan (SKL) dan Ruang Lingkup Materi 3. Contoh Spesifikasi Soal 4. Pedoman Penskoran Panduan ini dimaksudkan sebagai pedoman bagi sekolah/madrasah dalam mempersiapkan penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah, serta sebagai informasi dan acuan bagi peserta didik, guru, dan pihak-pihak terkait dalam menghadapi Ujian Nasional dan Ujian Sekolah/Madrasah. Semoga panduan ini digunakan sebagai acuan oleh semua pihak yang terkait dalam penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah Tahun Pelajaran 2004/2005. Jakarta, Januari 2005 Kepala Pusat Penilaian Pendidikan, Balitbang Depdiknas Bahrul Hayat, Ph.D. NIP. 131 602 652
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan ii
DAFTAR ISI
Halaman
Kata Pengantar ........................................................................................................... i Daftar Isi .................................................................................................................... ii
Gambaran Umum....................................................................................................... 1 Standar Kompetensi Lulusan ..................................................................................... 2
Ruang Lingkup dan Ringkasan Materi ...................................................................... 4
• Standar Kompetensi Lulusan 1 ...................................................................... 4
• Standar Kompetensi Lulusan 2 ...................................................................... 25
• Standar Kompetensi Lulusan 3 ...................................................................... 36
• Standar Kompetensi Lulusan 4 ...................................................................... 42
• Standar Kompetensi Lulusan 5 ...................................................................... 49
• Standar Kompetensi Lulusan 6 ...................................................................... 55
• Standar Kompetensi Lulusan 7 ...................................................................... 62
• Standar Kompetensi Lulusan 8 ...................................................................... 79
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 1
• Pada ujian nasional tahun pelajaran 2004/2005, bentuk tes Matematika
tingkat SMA/MA berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda,
sebanyak 30 soal dengan alokasi waktu 120 menit.
• Acuan yang digunakan dalam menyusun tes ujian nasional adalah
kurikulum 1994 beserta suplemennya, dan standar kompetensi lulusan.
• Materi yang diujikan untuk mengukur kompetensi tersebut meliputi:
eksponen, logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma,
persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat, sistem persamaan liniear,
matriks, program liniear, vektor, notasi sigma, barisan dan deret
bilangan, fungsi komposisi, fungsi invers, suku banyak, dan teorema
sisa, lingkaran ellips, parabola, hiperbola, transformasi, bangun ruang,
ukuran pemusatan, ukuran penyebaran, peluang, fungsi trigonometri,
persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, logika matematika, limit,
diferensial, dan integral.
GAMBARAN UMUM
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 2
Standar Kompetensi Lulusan
Standar Kompetensi Lulusan (SKL) Ruang Lingkup Materi
1. Siswa mampu melakukan operasi hitung aljabar, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
• Bentuk pangkat dan akar • Eksponen dan logaritma • Persamaan kuadrat • Pertidaksamaan kuadrat • Sistem persamaan linear dan kuadrat • Program linear • Matriks • Vektor • Suku banyak
2. Siswa mampu menyatakan dan mengkaji hubungan antara dua himpunan yang dapat dirumuskan sebagai fungsi atau barisan bilangan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
• Fungsi linear dan fungsi kuadrat • Fungsi komposisi dan fungsi invers • Barisan dan deret
3. Siswa mampu memahami sifat dan konsep kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan sudut, garis dan bidang dalam ruang, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
• Ruang dimensi tiga
4. Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan menggunakan kaidah pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
• Statistika • Peluang
5. Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan segitiga, khususnya sudut dan identitas trigonometri, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
• Trigonometri
6. Siswa mampu memahami dasar-dasar logika dan mampu menarik kesimpulan dari serangkaian premis yang diberikan.
• Logika matematika
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 3
7. Siswa mampu memahami konsep irisan
kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
• Irisan kerucut • Transformasi
8. Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung limit fungsi di suatu titik, turunan, dan integral.
• Limit • Turunan • Integral
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 4
RUANG LINGKUP DAN RINGKASAN MATERI
Ruang Lingkup
• Bentuk pangkat dan akar • Eksponen dan logaritma • Persamaan kuadrat • Pertidaksamaan kuadrat • Sistem persamaan linear dan kuadrat • Program linear • Matriks • Vektor • Suku banyak Ringkasan Materi
I. 1. Eksponen, Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma. A. Sifat-sifat eksponen
1. pa × qa = qpa + 5. p
ba
= p
p
ba
2. pa : qa = qpa − 6. 0a = 1
3. qpa
= q.pa 7. -pa = pa
1
4. ( )pb.a = pb.pa 8. q pa = q
p
a
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 1
Siswa mampu melakukan operasi hitung aljabar, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 5
B. Sifat-sifat logaritma 1. bloga + cloga = bcloga
2. bloga − cloga = cbloga
3. nbloga = bn a log
4. bloga × clogb = cloga
5. bloga = alogcblogc
C. Bentuk persamaan eksponen
1. Jika ( )xfa = 1 maka ( )xf = 0
2. Jika ( )xfa = pa maka ( )xf = p
3. Jika ( )xfa = ( )xga maka ( )xf = ( )xg 4. Persamaan eksponen yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.
D. Pertidaksamaan eksponen 1. Untuk 10 << a
a. Jika ( )xfa ≥ ( )xga maka ( )xf ≤ ( )xg
b. Jika ( )xfa ≤ ( )xga maka ( )xf ≥ ( )xg 2. Untuk 1 a >
a. Jika ( )xfa ≥ ( )xga maka ( )xf ≥ ( )xg
b. Jika ( )xfa ≤ ( )xga maka ( )xf ≤ ( )xg
E. Bentuk persamaan logaritma 1. Jika )x(floga = ploga maka ( ) pxf =
2. Jika )x(floga = )x(gloga maka ( ) ( )xgxf = dengan syarat : ( ) 0>xf dan ( ) 0>xg
3. Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.
F. Pertidaksamaan logaritma 1. Untuk 10 << a
a. Jika )x(floga ≥ )x(gloga maka ( )xf ≤ ( )xg
b. Jika )x(floga ≤ )x(gloga maka ( )xf ≥ ( )xg 2. Untuk 1> a
a. Jika )x(floga ≥ )x(gloga maka ( )xf ≥ ( )xg
b. Jika )x(floga ≤ )x(gloga maka ( )xf ≤ ( )xg dengan syarat : ( ) 0>xf dan ( ) 0>xg
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 6
Contoh:
1. Nilai x yang memenuhi persamaan 34x + = 4 58 +x adalah ….
a. 59
− c. 52 e.
59
b. 52
− d. 54
Pembahasan :
34 x + = 4 58 +x
( ) 322 x +
= ( ) 45
32+x
2x + 6 = 4
153 +x
5x = −9
x = 59
−
Kunci : A
Contoh: 2. Himpunan penyelesaian )232log(2 +− xx < )10log(2 x− , x R∈ adalah …. a. { 12| <<− xx atau 42 << x }
b. { 1| <xx atau 2>x } c. { 42| <<− xx } d. { 10| >xx } e. { }
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 7
Pembahasan : syarat : )xxlog( 2322 +− < )xlog( −102 ⊗ 0232 >+− xx
xxx −<+− 10232 ( )2−x ( ) 01 >−x
0822 <−− xx 1<x atau 2>x ( )4−x ( ) 02 <+x ⊗ 010 >− x
42 <<− x 10<x 42 <<− x
1<x atau 2>x 10<x 12 <<− x atau 42 << x Kunci : A
3. Nilai x yang memenuhi 4332 +− xx < 19 −x adalah ….
a. 21 << x c. 23 <<− x e. 21 <<− x b. 32 << x d. 32 <<− x Pembahasan :
4323 +− xx < 19 −x
4323 +− xx < ( )123 −x
22432 −<+− xxx
0652 <+− xx ( )( ) 032 <−− xx
32 << x Kunci : B
4. Jika 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan : 023323 =+−
xlog.xlog ,
maka 1x . 2x = …. a. 2 c. 8 e. 27 b. 3 d. 24
-2 4
1 2
10
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 8
Pembahasan : 023323 =+−
xlog.xlog
01323 =
−
− xlogxlog
23 =xlog atau 13 =xlog 9=x atau 3=x 1x . 2x = 9 . 3 = 27 Kunci : E
I. 2. Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat.
A. Persamaan Kuadrat 1. Bentuk Umum : 02 =++ cbxax , ,,ba dan Rc ∈ dan 0≠a 2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara
a. memfaktorkan b. melengkapi kuadrat sempurna
c. menggunakan rumus ABC : a
acbbx . 242
21−±−
=
3. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat : 02 =++ cbxax mempunyai : akar real berlainan jika 0D > akar real sama jika 0D = akar tidak real jika 0D <
D adalah diskriminan 02 =++ cbxax , acb 42D −= 4. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat : Akar-akar persamaan 02 =++ cbxax adalah x1 dan x2.
1x + 2x = ab
− dan 1x . 2x = ac
5. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya dengan cara : a. perkalian faktor : ( )1xx − ( )2xx − = 0 b. menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut :
( ) 022121 =++− x.xxxxx
6. Menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui.
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 9
B. Pertidaksamaan Kuadrat 1. Bentuk Umum : 02 <++ cbxax , bisa juga menggunakan tanda >, ≤
atau ≥ , ,,ba dan Rc ∈ , 0≠a 2. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis
bilangan atau grafik fungsi kuadrat. 3. Pemakaian diskriminan persamaan kuadrat .
Menentukan koefisien persamaan kuadrat yang akarnya memenuhi sifat tertentu. misal : akar real, akar tidak real, akar berkebalikan, dan sebagainya.
1. Jika 1x dan 2x akar-akar persamaan 012 =++ pxx , maka persamaan kuadrat
yang akar-akarnya 21
22xx
+ dan 1x + 2x adalah ….
a. 03222 =+− xpx d. 0232 =+− ppxx
b. 02322 =++ ppxx e. 022 =++ pxpx
c. 02232 =++ ppxx Pembahasan : Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β .
α = 21
22xx
+ = ( )
21
212xx
xx + = p2− dan β = 21 xx + = p−
Jadi persamaan kuadrat baru : ( )( ) 0=β−α− xx ( )( ) ( )( ) 02 =−−−− pxpx ( )( ) 02 =++ pxpx
02232 =++ ppxx Kunci : C
2. Jika 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan kuadrat 02 =−+ pxx , p konstanta
positif, maka =+1
2
2
1xx
xx ….
a. p12 −− c.
p12 − e.
p12 +
b. 21−
p d.
p1
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 10
Pembahasan :
=+1
2
2
1xx
xx
( )p
pxx
xxxxxx
xx−+
=−+
=+ 212222
21
2121
21
21
21−−=
p
Kunci : A
3. Persamaan kuadrat ( ) 0922 =+−+ xmx mempunyai akar-akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah …. a. 4−≤m atau 8≥m c. 4−≤m atau 10≥m e. 48 ≤≤− m b. 8−≤m atau 4≥m d. 84 ≤≤− m
Pembahasan : Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata jika 0D ≥
042 ≥− acb
( ) 091422 ≥−− ..m
036442 ≥−+− mm 03242 ≥−− mm
( )( ) 048 ≥+− mm 4−≤m atau 8≥m
Kunci : A
4. Persamaan ( ) ( ) 0122812 =+−+− mxmx mempunyai akar kembar, maka nilai m = …. a. 2− c. 0 e. 2
b. 23
− d. 23
Pembahasan : Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika D = 0 D = 0
042 =− acb
( ) ( )mm −−− 14228 .12 = 0 0442 =++ mm
04848243264 =+−+− mmm ( ) 022 =+m
0161624 =++ mm 2−=m Kunci : A
-4 8+ + + +
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 11
I. 3. Sistem Persamaan Linear. Bentuk Umum :
A. Sistem Persamaan Linear 2 peubah
=+=+
321
321bybxbayaxa
B. Sistem Persamaan Linear 3 peubah
=++=++=++
4321
4321
4321
czcycxcbzbybxbazayaxa
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Dengan cara : 1. Substitusi 2. Eliminasi 3. Determinan 4. Matriks
1. Himpunan penyelesaian :
=++=+=+
4261
zyxzyyx
adalah ( ){ }z,y,x . Nilai dari =+ zx …. a. −5 c. 1 e. 3
b. −3 d. 2
Pembahasan : 1=+ yx 6=+ zy 6=+ zy 42 =++ zyx 5−=− zx 22 =− x 1−=x 5−=− zx 451 =+−=z 41+−=+∴ zx 3= Kunci : E
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 12
2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan :
=−
=+
2123
1345
yx
yx
adalah ( ){ }00 y,x . Nilai 00 yx − = ….
a. 8 c. 158 e.
152
b. 2 d. 156
Pembahasan :
1345=+
yx × 1 1345
=+yx
2123=−
yx × 2 4246
=−yx
5511=
x
51
5511
==x → xo = 51
2123=−
yx
621152−=−=
y
31
62
−=−
=y → yo = 31
−
Nilai 00 yx − = 158
1553)
31(
51
=+
=−−
Kunci : C I. 4. Program linear
Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear (bentuk atau fungsi obyektif atau fungsi tujuan) pada daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear. Nilai optimum tersebut dapat ditentukan dengan cara : 1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. 2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut. 3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut tersebut.
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 13
1. Nilai minimum fungsi objektif ( )yx 105 + pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah terasir gambar di bawah adalah…
a. 400 b. 320 c. 240 d. 200 e 160 Pembahasan :
Persamaan garis yang melalui (16, 0) dan (32, 0) 322 =+ yx ……. ( garis 1g )
Persamaan garis yang melalui (36, 0) dan (0, 24) 7232 =+ yx ……( garis 2g )
Persamaan garis yang melalui (48, 0) dan (0, 16) 483 =+ yx ……..( garis 3g )
0 16 36
16
48
24
32
X
Y
0 16 36
16
48
24
32
Y
g1g2
g3
A
B
Hp
X
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 14
A adalah titik potong garis 1g dan 2g B adalah titik potong garis 2g dan 3g 2x + y = 32 2x + 3 y = 72 2x + 3 y = 72 x + 3 y = 48 −2 y = −40 x = 24 20=y
322 =+ yx 483 =+ yx 122 =x 243 =y 6=x 8=y Koordinat titik A (6, 20) Koordinat titik B (24, 8) Koordinat titik sudut pada daerah penyelesaian (0, 32), (6, 20), (24, 8), dan (48, 0) Nilai optimum : Bentuk obyektif : 5x + 10y Pada titik (0, 32) 5.0 + 10.32 = 320 (6, 20) 5.6 + 10.20 = 230 (24, 8) 5.24 + 10.8 = 200 Nilai minimum (48, 0) 5.48 + 10.0 = 240
∴ Nilai minimum = 200 Kunci : D
2. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah …. a. 30% c. 34% e. 40%
b. 32% d. 36%
Pembahasan : Misal banyaknya kue jenis I = x buah dan kue jenis II = y buah 100000300200 ≤+ yx Sistem pertidaksamaan linear : 400≤+ yx 0≥x 0≥y
Laba kue I = 40% = 10040
× 200 = 80
Laba kue II = 30% = 10030
× 300 = 90
⊗ Bentuk obyektif : yx 9080 +
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 15
Daerah himpunan penyelesaian : Garis 100032 =+ yx
Titik potong dengan sumbu X adalah (500, 0) dan sumbu Y adalah (0, 3
1000 )
Garis x + y = 400 Titik potong dengan sumbu X adalah (400, 0) dan sumbu Y adalah (0, 400)
Titik potong : 100032 =+ yx × 1 400=+ yx × 2 100032 =+ yx 80022 =+ yx 200=y 200=x (200, 200) Bentuk obyektif : 80x + 90y Koordinat titik-titik sudut dan nilai optimum bentuk obyektif (0, 0) 800.0 + 90.0 = 0 (400, 0) 80.400 + 90.0 = 32000 (200, 200) 80. 200 + 90.200 = 34000 maksimum
(0, 3
1000 ) 80.0 + 90. 3
1000 = 30000
Laba maksimum Rp 34.000,0 = %% 3410010000034000
=×
Kunci : C
3. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan :
6024 ≤+ yx 4842 ≤+ yx
0≥x , 0≥y adalah …. a. 120 c. 116 e. 112 b. 118 d. 114
Pembahasan : Daerah himpunan penyelesaian : garis 6024 =+ yx
Titik potong dengan sumbu X adalah (15, 0) dan sumbu Y adalah (0, 30) garis 4842 =+ yx Titik potong dengan sumbu X adalah (24, 0) dan sumbu Y adalah (0, 12)
400
10003
400 5000
(200, 200)
X
Y
Hp
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 16
Titik potong garis
6024 =+ yx 1×
4842 =+ yx 21
×
6024 =+ yx 242 =+ yx 363 =x 12=x 6=y (12, 6)
⊗ Bentuk obyektif : yxz 86 += Koordinat titik sudut- titik sudut : (0, 0), (15, 0), (0, 12), (12, 6) Nilai optimum : yxz 86 += pada titik : (0, 0) z = 6.0 + 8.0 = 0 (15, 0) z = 6.15 + 8.0 = 90 (0, 12) z = 6.0 + 8.12 = 96 (12, 6) z = 6.12 + 8.6 = 120 maksimum Kunci : A
I. 5. Matriks
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom.
Misal : Matriks A =
dcba
Matriks B =
hgfe
1. Transpose Matriks
==
dbcatAA
2.
±±±±
=
±
=±
hdgcfbea
hgfe
dcba
BA
3.
=
=⋅ kdkc
kbkadcbakk A , k = konstanta
4.
++++
=
=⋅
dhcfdgcebhafbgae
hgfe
dcba
BA
5. Determinan matriks A = Det. A = bcad −=A Matriks A disebut Matriks Singular jika det. A = 0
12
0 X
Y
30
15 24
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 17
6. Invers Matriks
−
−−
=−=acbd
bcad11AA
7. A . I = I . A = A,
=
0011
I , I adalah matriks identitas
8. IA 1-A1-AA == . .
9. Jika B .AXmakaBXA -1 , ==
Jika -1A . BXmakaBAX , == X adalah matriks
1. Diketahui matriks A =
− 31
02 dan B =
2021
.
Matriks C yang memenuhi ABC = I dengan I matriks identitas adalah ….
a.
− 41
4241 c.
− 41
4261 e.
− 41
42
b.
−31
121
31
61
d.
−
61
121
31
31
Pembahasan :
ABC = I
− 31
02
2021
C =
1001
− 41
42 C =
1001
C = 1
4142 −
−
1001
= 121
−2144
1001
=
−
61
121
31
31
Kunci : D
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 18
2. Diketahui matriks A =
−−
p4394
, B =
−3155p
, dan C =
−−
p64810
. Jika
matriks A – B = 1C− , nilai 2p = ….
a. –1 c. 21 e. 2
b. – 21 d. 1
Pembahasan : A – B = 1C−
−−
p4394
–
−3155p
= 1
64810 −
−−
p
−−
−−342
454p
p =
32601
+− p
−−10486 p
–4 = 3260
8+−
−p
–8 = 240p – 128 240p = 120
p = 21
2p = 1 Kunci : D
3. Diketahui hasil kali matriks
2134
×
dcba
=
79316
.
Nilai a+b+c+d = …. a. 6 c. 8 e. 10 b. 7 d. 9
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 19
Pembahasan :
2134
dcba
=
79316
dcba
= 51
−
−4132
79316
dcba
= 51
−2520155
a = 1, b = -3, c = 4, dan d = 5 a + b + c + d = 1 – 3 + 4 + 5 = 7
Kunci : B I.6. Vektor 1. Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang (besar) dan arah. 2. Jika suatu titik A( 1a , 2a , 3a ) dalam ruang (juga pada bidang) dan O titik pangkal,
maka aOA = adalah vektor posisi dari titik A dan dapat ditulis
==
3
2
1
aaa
aOA atau
kajaiaaOA 321 ++== 3. Vektor dapat dijumlahkan dengan aturan jajar genjang atau aturan segitiga. OBABOA =+ OAOBAB −= abAB −=
−−−
=332211
ababab
AB dan ( ) ( ) ( )233
222
211AB ababab −+−+−=
A (a1, a2, a3)
B (b1, b2, b3)0 b
a
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 20
4. Jika
=
3
2
1
aaa
a dan
=
3
2
1
bbb
b , maka: (i).
+++
=+
33
22
11
bababa
ba
(ii). Untuk m = bilangan real (skalar)
=
=
3
2
1
3
2
1
a amamam
aaa
mm
5. Jika kajaiaaOA 321 ++== ,
kbjbibbOB 321 ++== dan P terletak pada AB dengan perbandingan :
AP : PB = m : n atau ( )AP PB nm =
maka : n mmnpOP
++
==OB OA
6. Jika
=
3
2
1
aaa
a dan
=
3
2
1
bbb
b , maka a . b = 332211 bababa ++
atau a . b = a b cos ∠ ( ) b ,a
cos ∠ ( ) b ,a = 2
32
22
12
32
22
1
332211
bbb aaa
b a b a b a
++++
++
Untuk cos ∠ ( ) b ,a = 1 a dan b berimpit searah
cos ∠ ( ) b ,a = –1 a dan b berimpit berlawanan
cos ∠ ( ) b ,a = 0 a ⊥ b a . b = 0 7. Jika c = proyeksi vektor a pada vektor b
maka b b
b. a c 2= . (Proyeksi vektor)
dan
. c b
ba= . (Proyeksi skalar)
Contoh:
Diketahui vektor
=
421
a ,
=
045
b , dan
−=
26
10c , maka =+− cb3a2 ….
ac
b
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 21
Jawab :
=
842
a2 ,
−−
=−0
1215
b3 , dan
−=
26 10
c
−−
=
−++−+−
=+−6 23
2086124
1015232 cba
1. Diketahui titik A(5, 7, 2) dan B(−3, −1, 6). Titik D membagi AB di luar dengan
perbandingan −1 : 3. Panjang AD = …. a. 30 c. 36 d. 42 b. 34 d. 38
Pembahasan :
AD : DB = −1 : 3, sehingga
=
+
−−
−
=+−+−
=011 9
2275
36 13
31a 3bd
AD =
−=
−
24 4
275
011 9
AD 3641616 AD =++=
Kunci : C 2. Jika vektor a dan vektor b membuat sudut 060 , 4 a = dan 10 =b , maka
a . ( )ab + = …. a. 23 c. 36 e. 36 3 b. 24 d. 24 3
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 22
Pembahasan : a . ( )ab + = a . a . a +b
= a b cos +0602
a
= 24 21 . 01 . 4 +
= 36 Kunci : C 3. Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 6.
Vektor
−=y
x4a dan
−=
2 1 2
b serta 89 =a , maka nilai x = ….
a. –6 c. 3 e. 8 b. –3 d. 6
Pembahasan:
4142426
+++−−
=yx yx 24218 +−−=
yx 2222 +−= yx +−=11 11+= xy
89 a =
22 1689 yx ++=
( )22 111689 xx +++= 22 221211689 xxx ++++= 048222 2 =++ xx 024112 =++ xx ( )3+x ( )8+x = 0 x = –3 atau x = –8 Kunci : B I. 7. Suku banyak
Bentuk Umum Suku banyak :
22
11
−−+−
−+ nxnanxnanxna +….+ 01 axa + a = konstanta n = bilangan cacah Suku banyak sering dinyatakan dengan ( )xf Nilai suku banyak ( )xf untuk x = k adalah ( )kf
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 23
Teorema Sisa ⊗ Jika suku banyak ( )xf dibagi ( )ax − maka sisanya adalah ( )af . Suku banyak ( )xf dapat ditulis dalam bentuk : (x – a) = pembagi H(x) = hasil bagi S = sisa S = f(a) ⊗ Jika ( )xf dibagi oleh pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n –1. Misal : pembagi = fungsi kuadrat Sisa = fungsi linear Teorema faktor ⊗ Suku banyak ( )xf mempunyai faktor ( )ax − jika dan hanya jika ( )af = 0
1. Jika suku banyak P(x) = 42x + 3ax – 23x + 5x + b dibagi oleh
−12x
memberi sisa ( )56 +x maka a . b = …. a. –6 c. 1 e. 8 b. –3 d. 6 Pembahasan : Sisa = S = f(x) = 6x + 5
Pembagi
−12x = ( )1+x ( )1−x
dibagi ( )1+x , maka sisa f(–1) = –1 dibagi ( )1−x , maka sisa f(1) = 11 P(x) dibagi ( )1+x sisanya P(–1) = f(–1) = –1
P(x) = 42x + 3ax – 23x + 5 + b P(–1) = 2 – a – 3 – 5 + b = –1
– a + b = 5 ……….(1) P(x) dibagi ( )1−x sisanya P(1) = f(1) = 11 P(1) = 2 + a – 3 + 5 + b = 11 a + b = 7 ……….(2) Persamaan 1 : – a + b = 5 Persamaan 2 : a + b = 7 2b = 12
f(x) = (x – a) . H(x) + S
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 24
b = 6 a = 1 a . b = 1 . 6 = 6 Kunci : D
2. Diketahui ( )1+x salah satu faktor dari suku banyak :
( )xf = 42x – 32x + 2px – x – 2. Salah satu faktor yang lain adalah …. a. ( )2−x c. ( )1−x e. ( )3+x b. ( )2+x d. ( )3−x Pembahasan : Jika ( )1+x faktor dari ( )xf , maka ( )1−f = 0
( )xf = 42x – 32x + 2px – x – 2 ( )1−f = 2 + 2 + p + 1 – 2 = 0
p = –3 ( )xf = 42x – 32x + 3x2 – x – 2
∴ faktor yang lain adalah ( )2−x Kunci : A
-1 2 -2 -3 -1 -2-2 4 -1 2
2 2 -4 1 -2 0 4 0 2
2 0 1 0
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 25
Ruang Lingkup
• Fungsi linear dan fungsi kuadrat • Fungsi komposisi dan fungsi invers • Barisan dan deret Ringkasan Materi
II. 1. Notasi Sigma, Barisan Bilangan, dan Deret
A. Notasi Sigma Notasi sigma atau ∑ digunakan untuk menyatakan operasi penjumlahan bilangan berurutan. Sifat-sifat Notasi ∑ :
1. ∑=
n
mii = ∑
=
n
mpp
2. ∑=
n
miik. = ∑
=
n
miik , k = konstanta
3. ∑−
=
1a
mii + ∑
=
n
aiik. = ∑
=
n
miik.
4. ( )∑+
+=−
an
amiai = ( )∑
−
−=+
an
amiai
5. ∑=
n
miai ± ∑
=
n
mibi = ( )∑
=±
n
mibiai
Siswa mampu menyatakan dan mengkaji hubungan antara dua himpunan yang dapat dirumuskan sebagai fungsi atau barisan bilangan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 2
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 26
B. Barisan dan Deret Aritmetika ⊗ Barisan Aritmetika
,1U ,2U ,3U … , nU ,a ,ba + ,ba 2+ … , ( )bna 1−+
⊗ Deret Aritmetika
U1 + U2 + U3 + … + nU a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n –1) b) keterangan :
U1 = a = suku pertama b = U2 – U1 = beda nU = ( )bna 1−+ = suku ke–n
nS = ( ){ }bnan 122
−+ = ( )nUan+
2 = Jumlah n suku pertama
nU = 1SS -nn −
C. Barisan dan Deret Geometri ⊗ Barisan Geometri
,1U ,2U ,3U … , nU
,a ,ar ,ar2 … 1−nar ⊗ Deret Geometri
U1 + U2 + U3 + … + nU
+++ 2arara … 1−+ nar keterangan :
U1 = a = suku pertama
r = 1
2UU = rasio
nU = 1−nar = suku ke–n
nS = ,nr
nra
1
1
−
−
1>r
nS = ,nr
nra
−
−
1
1 10 << r
nS = Jumlah n suku pertama
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 27
D. Deret Geometri tak hingga Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika 11 <<− r ,
0≠r
raS−
=∞ 1
=∞S Jumlah sampai tak hingga =a suku pertama =r rasio
1. Nilai dari ∑=
100
12
kk + ( )∑ +
=
100
123
kk = ….
a. 25450 c. 25700 e. 50750 b. 25520 d. 50500 Pembahasan :
∑=
100
12
kk + ( )∑ +
=
100
123
kk =
( )∑ ++=
100
1232
kkk = ( )∑ +
=
100
125
kk = +++ 17127 … + 502
selanjutnya penjumlahan di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika.
+++ 17127 … + 502 = … a = 7 b = 5 502U =n ( ) 5021 =−+ bna ( ) 502517 =−+ n 502557 =−+ n 5005 =n
100=n (n dapat ditentukan dari indeks atas )100
1∑=k
( )nann U21S +=
( )502750S100 += = 25450 Kunci : A
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 28
2. Suku kedua suatu barisan geometri adalah 2 dan suku kelima adalah 2716 . Suku
ketujuh adalah ….
a. 8434 c.
24364 e.
24332
b. 8132 d.
24334
Pembahasan :
2U2 == ar
2716U 4
5 == ar
2784
UU
2
5 ==ar
ar
2783 =r
32
=r
2=ar 3 23
122
=== .r
a
243
646
3
236U7 =
== ⋅ar
Kunci : C
3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah nnn 252S += . Beda dari deret
aritmetika tersebut adalah ….
a. 215− c. 2 e.
215
b. 2− d. 212
Pembahasan : nnn 252S +=
a==+=213
251S1
954S2 =+= 1SSU −−= nnn 122 SSU −=
215
2139U2 =−=
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 29
beda = b = 2213
215U-U 12 =−=
Kunci : C 4. Empat bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan
pertama dan keempat adalah 46 dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …. a. 40 c. 98 e. 190
b. 50 d. 100 Pembahasan : Misal bilangan tersebut ,a ,ba + ,ba 2+ ba 3+ .
( ) 463 =+ baa 4632 =+ aba
( )ba + ( ) 1442 =+ ba 144232 2 =++ baba
46 14422 =+ b
9822 =b 7=b
4632 =+ aba
046212 =−+ aa ( )( ) 0223 =−+ aa 2=a ∴ ke-4 bilangan tersebut 2, 9, 16, 23 Jumlah ke-4 bilangan tersebut = 2+9+16+23 = 50 Kunci : B 5. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri.
Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah …. a. 324 orang c. 648 orang e. 4.374 orang
b. 486 orang d. 1.458 orang Pembahasan : 61U = 543U =
6542
1U3U
==a
ar 92 =r 3=r
458153656U .ar === ⋅ orang
Kunci : D
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 30
6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah ….
a. 47 c.
74 e.
41
b. 43 d.
21
Pembahasan : Misal deret tersebut ,a ,ar ,ar2 ,ar3 ,ar4 ,ar5 … 1−nar,
7S =∞
−= 213 rar
71
=− ra ( )
−=− 21317 rrr
( )ra −= 17 233277 rrr −=−
3S =∞genap 03724 =+− rr
321
=− r
ar ( )( ) 0134 =−− rr
,r43
= 1=r
43
=r
47
417
4317 ==
−= .a
Kunci : A
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 31
II. 2. Fungsi kuadrat, Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. A. Fungsi Kuadrat
1. Bentuk Umum : ( ) cbxaxxf ++= 2 , a ,b dan Rc ∈ dan 0≠a 2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabola, dengan persamaan :
cbxaxy ++= 2
3. Nilai maksimum atau nilai minimum cbxaxy ++= 2 adalah a
Dy4
−=
untuk a
bx2
−=
4. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya : a. mempunyai titik balik maksimum/minimum ( )q,p
adalah ( ) ( ) qpxxfy +−α== 2 b. memotong sumbu X di ( )01 ,x dan ( )02 ,x
adalah ( ) ( )( )21 xxxxxfy −−α==
B. Komposisi Fungsi : 1. Komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi (lebih) secara berturutan. 2. Notasi Komposisi Fungsi :
A∈x , B∈y , dan C∈z y)x(f = , z)y(g = dan z)x(h = ( )( ) ( )( )xfgxfg)x(h o==
( )xfg o = komposisi fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g. 3. Sifat Komposisi Fungsi :
fggf oo ≠ ffIIf == oo , I adalah fungsi identitas ( ) ( )hgfhgf oooo =
C. Fungsi Invers A∈x dan B∈y
( ) yxf = , ( ) xyf =−1
1−f adalah fungsi invers dari f. Fungsi f mempunyai fungsi invers jika f korespondensi satu-satu. Sifat Fungsi Invers : 1. Iffff == −− oo 11
2. ( ) 111 −−− = gffg oo
x y z
h
A CBf g
x yf -1
A Bf
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 32
1. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum 2− untuk 3=x dan untuk
0=x nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah ....
a. ( ) 862 ++= xxxf d. ( ) 161222 +−= xxxf
b. ( ) 862 +−= xxxf e. ( ) 161222 −−= xxxf
c. ( ) 161222 ++= xxxf Pembahasan : Fungsi kuadrat dengan nilai minimum 2− untuk 3=x
adalah ( ) ( ) 223 −−α= xxf
( ) 160 =f ( ) ( ) 1622300 =−−α=f 189 =α 2=α
∴Fungsi kuadrat ( ) ( ) 2232 −−= xxf
( ) 161222 +−= xxxf Kunci : D
2. Nilai maksimum dari fungsi ( ) ( ) kxkxxf 21522 −+++−= adalah 5. Nilai k yang positif adalah .… a. 1 c. 7 e. 9 b. 5 d. 8 Pembahasan :
Nilai maksimum adalah a
acb
aDy
4
42
4
−
−=−
=
( ) ( ) kxkxxf 21522 −+++−=
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 33
Nilai maksimum : 54
42
=
−
−=a
acby
( ) ( )( )
( ) 524
212425=
−
−−−+
−kk
58
16825102
=−
−+++− kkk
403362 =+− kk
0762 =−− kk ( )( ) 071 =−+ kk 1−=k atau 7=k Kunci : C
3. Diketahui fungsi ( ) 36 −= xxf dan ( ) 45 += xxg Jika ( )( ) 81=agf o maka nilai =a …. a. –2 c. 1 e. 3
b. –1 d. 2
Pembahasan : ( )( ) 81=agf ( ) 8145 =+af
( ) 813456 =−+a 6030 =a 2=a Kunci : D
4. Diketahui ( )12
11−
−=−
xxxf ,
21
≠x dan ( )xf 1− adalah invers dari ( )xf .
Rumus ( ) =−− 121 xf ….
a. 122
+−−
xx ,
21
−≠x c. 12
1+
−xx ,
21
−≠x e. 42
1−+
xx , 2≠x
b. 341
++−
xx ,
43
−≠x d. 3412
++−
xx ,
43
−≠x
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 34
Pembahasan :
( )12
11−
−=−
xxxf
( ) ( )( ) 112
11−+
−+=
xxxf
( )12 +
=xxxf
Misal : ( ) yxf = maka ( ) xyf =−1
12 +
=xxy ( )
121
−−
=−y
yyf
xyxy =+2 ( )12
1−
−=−
xxxf
yxxy −=−2 ( ) ( )( ) 1122
12121−−
−−=−−
xxxf
( ) yyx −=−12 3412
−+−
=xx
12 −
−=
yyx
Kunci : D
5. Ditentukan ( )( ) ( )( )xgfxfg = . Jika ( ) pxxf += 2 dan ( ) 1203 += xxg , maka nilai p = …. a. 30 c. 90 e. 150
b. 60 d. 120
Pembahasan : ( )( ) ( )( )xgfxfg = ( ) ( )12032 +=+ xfpxg
( ) ( ) pxpx ++=++ 1203212023 pxpx ++=++ 240612036
1202 =p 60=p Kunci : B
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 35
6. Fungsi RR:f → didefinisikan sebagai ( )4312
+−
=xxxf ,
34
−≠x .
Invers dari fungsi f adalah ( )xf 1− = ….
a. 2314
+−
xx ,
32
−≠x c. x
x32
14−
+ , 32
≠x e. 2314
++
xx ,
32
−≠x
b. 2314
−+
xx ,
32
≠x d. 2314
−−
xx ,
32
≠x
Pembahasan : Misal : ( ) yxf = , maka ( )xyf =−1 Cara I : Cara II :
( )4312
+−
=xxxf Menggunakan rumus :
4312
+−
=xxy ( )
dcxbaxxf
++
=
1243 −=+ xyxy ( )acxbdxxf
−+−
=−1
1423 −−=− yxxy ( )4312
+−
=xxxf
( ) 1423 −−=− yyx ( )23141
−−−
=−xxxf
2314
−−−
=yyx ( )
xxxf
32141
−+
=−
( )23141
−−−
=−yyyf Kunci : C
( )x
xxf32
141−
+=−
Kunci : C
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 36
Ruang Lingkup • Ruang dimensi tiga Ringkasan Materi
Dimensi Tiga. A. Irisan :
Irisan bidang α dengan bangun ruang adalah bidang datar yang dibatasi oleh garis potong-garis potong bidang α dengan sisi-sisi bangun ruang tersebut. Irisan bidang dapat digambarkan dengan cara : 1. Menggunakan sumbu Afinitas 2. Menggunakan diagonal bidang irisan
B. Garis tegak lurus bidang
Garis g tegak lurus pada bidang α, jika garis g tegak lurus pada dua garis yang berpotongan yang terletak pada bidang α.
C. Jarak
1. Jarak antara dua titik Jarak titik A dan titik B = panjang ruas A B garis AB
2. Jarak antara titik dan garis
Jarak titik A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus g)
Siswa mampu memahami sifat dan konsep kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan sudut, garis dan bidang dalam ruang, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 3
αl
g
h
g
h
A
Bgg
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 37
3. Jarak antara titik dan bidang
Jarak titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α)
4. Jarak antara dua garis sejajar Garis g sejajar h. Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus g dan h)
5. Jarak antara dua garis bersilangan
Garis g bersilangan dengan garis h. Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus garis g dan garis h)
6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
Garis g sejajar dengan bidang α. Jarak antara garis g dan bidang α = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus garis g dan bidang α)
7. Jarak antara dua bidang yang sejajar
Bidang α sejajar dengan bidang β. Jarak bidang α dan bidang β = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus bidang α dan bidang β)
α
A
B
B
α
β
A
A
B
g
h
g
h
αB
A
g
h
g
h
α
gA
B
g
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 38
D. Proyeksi 1. Proyeksi titik pada garis Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g. (AB tegak lurus g) 2. Proyeksi titik pada bidang
Titik B adalah proyeksi titik A pada bidang α. (AB tegak lurus bidang α)
3. Proyeksi garis pada bidang 1. Garis g menembus bidang α
Garis BA menembus bidang α di titik A. Titik B′ adalah proyeksi titik B pada bidang α. Proyeksi garis BA pada bidang α = ruas garis AB′.
2. Garis g sejajar bidang α Titik A dan B pada garis g.
Titik A′ dan B′ berturut-turut proyeksi titik A dan B pada bidang α. Proyeksi garis g pada bidang α = ruas garis A′ B′
E. Sudut 1. Sudut antara dua garis yang bersilangan
Garis g dan h bersilangan. ∠ (g, h) = ∠ (g', h) = ∠ (g, h') = ∠ (g', h') dimana g' // g dan h' // h
α
A
B
αB
B
A
A
Bgg
g
αBA
BA g
α
h
g g
h
g'g
hh'
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 39
2. Sudut antara garis dan bidang
Garis BA menembus bidang α di titik A. Titik B′ adalah proyeksi titik B pada bidang α, garis AB′ proyeksi AB pada bidang α. ∠ (BA, bidang α) = ∠ (BA, AB′)
3. Sudut antara dua bidang.
(α, β) garis potong bidang α dengan bidang β.
AB tegak lurus (α, β) BC tegak lurus (α, β) Sudut antara bidang α dan bidang β adalah : ∠ (AB, BC) = ∠ ABC 1. Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong
EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah …. a. 32 cm c. 23 cm e. 6 cm b. 4 cm d. 62 cm
Pembahasan : HS tegak lurus DH HS tegak lurus AS Jadi HS = jarak DH ke AS
HF = 267266 22 ==+ cm
HS = 21 HF =
21 . 26 = 23 cm
Kunci : C
αB
B
A
A B
CD
E F
GHS
Latihan dan Pembahasan
β
α
(α, β )
A
C
B
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 40
2. Pada kubus ABCD. EFGH, jika θ adalah sudut antara bidang ACF dan ACGE, maka sin θ = ….
a. 21 c. 2
21 e. 6
21
b. 331 d. 3
21
Pembahasan : AC adalah garis potong bidang ACF dan ACGE FM tegak lurus AC MN tegak lurus AC Sudut antara bidang ACF dan ACGE adalah ∠ FMN. ∆ FMN siku-siku di N Misal : AB = a cm FH = a 2 cm
NF = 221 a cm
Perhatikan : ∆ FBM
BF = a cm, MB = 221 a cm
MF = 2
2 221
+ aa = 2
23 a = 6
21 a
331
621
221
MFNFθ FMN ====∠
a
asinsin
Kunci : B 3. Pada kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke
diagonal ruang AG adalah …. a. 63 cm c. 33 cm e. 3 cm b. 62 cm d. 32 cm
A B
CD
E F
GH
N
θ
M
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 41
Pembahasan : AE // CG ∠ (CG, AFH) = ∠ (AE, AFH) AP = proyeksi AE ke AFH ∠ (AE, AFH) = ∠ (AE, AP) = ∠ EAP atau ∠ EAN.
tan ∠ EAN = 221
623
ANEN
==
Kunci : D
A B
CD
E F
GH
N
P
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 42
Ruang Lingkup • Statistika • Peluang
Ringkasan Materi III. 1. Statistika.
Rumus ukuran pemusatan (rata-rata, modus, median, dan kuartil) dan ukuran penyebaran (simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam antar varians, dan simpangan baku) A. Untuk data tunggal :
Dari data : ,x1 ,x2 ,x3 … , nx
1. Rata-rata = Mean = ∑=
=++
=n
iix
nnxxx
x n
1
21 1....
2. Modus adalah ukuran yang paling banyak muncul. 3. Median adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 2 bagian
sama banyak. 4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 4 bagian
sama banyak. Kuartil terdiri atas Q1, Q2, dan Q3. Q2 = median
5. Jangkauan = ukuran terbesar – ukuran terkecil. 6. Jangkauan antar kuartil = Q3 – Q1
7. Jangkauan semi interkuartil = Simpangan kuartil
= Simpangan kuartil = Qd = ( )13 Q-Q21
Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan menggunakan kaidah pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 4
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 43
8. Simpangan rata-rata = ∑=
−=n
xxn 1i
ir 1S
9. Ragam (Variansi) = ( )∑=
−=n
ii xx
n 1
2 12S
10. Simpangan baku = S = ( )∑=
−=n
ii xx
n 1
212S
B. Untuk data kelompok :
1. Mean = rata-rata = rataan = x∑
∑=
=
=n
ii
n
iii
f
Xf
1
1
2. Modus =
+
+=21
1SS
Sbo tM . i
bt = tepi bawah kelas modus 1S = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya 2S = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya i = interval kelas modus = kelas dengan frekuensi terbesar 3. Kuartil
∑ −+=
nfknffn
ntbnQ
4Q i
n = 1, 2, 3 nQ = kuartil ke-n ntb = tepi bawah kelas nQ ∑ f = jumlah frekuensi knf = frekuensi kumulatif sebelum kelas nQ Qnf = frekuensi di kelas nQ i = interval
4. Simpangan rata-rata = xxfn
S k
n
kkR −= ∑
=1
1
5. Ragam = (Varians) = ( )2
1
2 1 xxfn
S k
n
kk −= ∑
=
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 44
6. Simpangan baku = ( )2
1
2 1 xxfn
SS k
n
kk −== ∑
=
1. Median data pada tabel adalah ….
a. 46,3 b. 46,8 c. 47,1 d. 47,3 e. 47,8
Pembahasan : ∑ = 40f
Kelas Median pada frekuensi kumulatif untuk (∑ f = 20) ⇒ kelas interval 46 – 54
2bt = 46 – 0,5 = 45,5
2kf = 18
2Qf = 10 i = 9
Jadi Median = if
fftQ
Q
kb ⋅
∑ −⋅+=
2
242
22
= 45,5 + 10
1820 − .9 = 47,3
Kunci : D
2. Modus dari histogram di samping adalah …. a. 47,5 b. 46,5 c. 46,4 d. 45,2 e. 44,7
Nilai Frekuensi19 - 2728 - 3637 - 4546 - 5455 - 6364 - 7273 - 81
46810633
29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5
4
8
12
2
5
8
12
64
3
0
f
Latihan dan Pembahasan
Nilai Frekuensi Frekuensi Kumulatif
19 – 27 28 – 36 37 – 45 46 – 54 55 – 63 64 – 72 73 – 81
4 6 8 10 6 3 3
6 10 18 28 34 37 40
∑ = 40f
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 45
Pembahasan :
frekuensi terbesar = 12 Modus =
+
+=21
1SS
Sbo tM .i
bt = 44,5 = 44,5 +
+ 644 . 5
1S = 12 – 8 = 4 = 46,5
2S = 12 – 6 = 6 i = 5 Kunci : B 3. Histogram pada gambar menunjukkan nilai test matematika di suatu kelas. Nilai rata-rata = ….
a. 69 b. 69,5 c. 70 d. 70,5 e. 71
Pembahasan : Nilai rata-rata =
50
3500=
∑∑ ⋅
fxf
= 70 ∑ = 50f ∑ = 3500fx
Kunci:C III. 2. Peluang
A. Kaidah Pencacahan Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p × q) cara.
42
12
0
f
14
18
Nilai57 62 67 72 77
5762677277
( f )Frekuensi
( x )Titik tengah f . x
24181412
11424812061008924
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 46
Faktorial : n ! = 1 × 2 × 3 × … × n 0 ! = 1 1 ! = 1
B. Permutasi
Banyak permutasi (susunan berurutan) k unsur dari n unsur adalah
( ) ( ) ,!
!P,Pkn
nnkn k −== k ≤ n
Permutasi dengan beberapa unsur sama
Banyak susunan dari n unsur dengan p unsur sama, q unsur sama, dst, …
adalah …...qp
n×× ! !
!
C. Kombinasi
Banyak kombinasi (susunan) k unsur dari n unsur adalah
( ) ( ) ,! !
!C,Cknk
nnkn k −== k ≤ n
D. Teorema Binomial Newton
(x+y) n = C(n,0) nx + C(n,1) ynx 1− + C(n,2) 22 ynx − +….. + C(n,n) ny .
E. Peluang suatu kejadian
Peluang suatu kejadian A = P(A) =nk atau
P(A) = (S)(A)
nn
k = hasil kejadian A n = seluruh hasil yang mungkin terjadi n(A) = banyak anggota himpunan A n(S) = banyak anggota himpunan ruang sampel
F. Kisaran Nilai Peluang 1P(A)0 ≤≤ G. Frekuensi Harapan Kejadian A = (A)Fh (A)Fh = P(A) × N P(A) = peluang kejadian A N = banyak percobaan Peluang komplemen kejadian A = P(A′) = 1–P(A)
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 47
H. Peluang Kejadian Majemuk 1. Peluang gabungan dua kejadian
B)P(A U = B)P(AP(B)P(A) I−+ 2. Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas B)P(A U = P(A) + P(B) 3. Peluang kejadian yang saling bebas stokastik B)P(A I = P(A) × P(B) 4. Peluang kejadian bersyarat (peluang kejadian A setelah B terjadi)
B)|P(A = P(B)
B)P(A I atau B)P(A I = B)|P(A × P(B)
\
1. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus.
Seseorang berangkat dari kota A ke C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A ia tidak mau menggunakan bus yang sama, banyak cara perjalanan orang tersebut adalah … a. 12 c. 72 e. 144 b. 36 d. 96 Pembahasan : Banyak cara perjalanan orang tersebut adalah 4×3×2×3 = 72 Kunci : C
2. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus tes fisika adalah 0,2. Banyak siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah …. a. 6 orang c. 14 orang e. 32 orang b. 7 orang d. 24 orang Pembahasan :
10440 == ,)m(p
10220 == ,)f(p
m dan f kejadian saling lepas,
106
102
104
=+=+= )f(P)m(P)fm(P U
A B C
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 48
Banyak siswa yang lulus = 2440106
=× orang
Kunci : D
3. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang muncul jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah ….
a. 365 c.
368 e.
3611
b. 367 d.
369
Pembahasan : Misal : A kejadian muncul jumlah mata dadu 9 B kejadian muncul jumlah mata dadu 10
A = { }3) (6, 4), (5, 5), (4, 6), (3, → 364P(A) =
B = { }4) (6, 5), (5, 6), (4, → 363P(B) =
A dan B kejadian saling lepas,
B)P(A U = P(A) + P(B) = 367
363
364
=+
Kunci : B
4. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan rupiah dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah ….
a. 565 c.
288 e.
5630
b. 286 d.
5629
Pembahasan : Misal : A kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet pertama B kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet kedua A dan B kejadian saling bebas, B)P(A I = P(A) . P(B)
= 72 .
43
= 286
Kunci : B
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 49
Ruang Lingkup • Trigonometri
Ringkasan Materi V.1. Rumus-rumus segitiga dalam trigonometri
A. Hubungan antara sin a, cos a, dan tan a 1. 122 =+ acosasin
2. acosasinatan =
B. Pada setiap segitiga berlaku :
1. Aturan sinus :
CsinBsinAsin
cba==
2. Aturan kosinus : 2222 −+= cba bc cos A 2222 −+= cab ac cos B 2222 −+= bac ab cos C 3. Luas segitiga ABC
= 21 sincb ⋅⋅ A
= 21 sinca ⋅⋅ B
= 21 sinba ⋅⋅ C
Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan segitiga, khususnya sudut dan identitas trigonometri, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
A B
C
ab
c
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 5
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 50
V.2. Rumus-rumus Trigonometri Rumus trigonometri untuk
1. Jumlah dan selisih dua sudut cos a( ± )b = cos a cos b m sin a sin b sin a( ± )b = sin a cos b ± cos a sin b
tan a( ± )b = btanatan
btan atan 1
m
±
2. Sudut rangkap acosasinasin 2 2 = aacosasinaacos 2222 sin 2 1 1 2 cos 2 −=−=−=
atan
a tanatan21
2 2 −
=
3. Perkalian sinus dan kosinus 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a − b)
2 sin a sin b = cos (a − b) − cos (a + b) 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a − b) 2 cos a sin b = sin (a + b) − sin (a − b)
4. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus ( ) ( )bacosbacosb cos a cos −+=+
21
21 2
( ) ( )basinbasinb cos a cos −+−=−21
21 2
( ) ( )bacosbasinb sin a sin −+=+21
21 2
( ) ( )basinbacosb sin a sin −+=−21
21 2
V.3. Grafik fungsi trigonometri
1. f(x) = a cos (kx + b) = a cos k
+
kbx
2. f(x) = a sin (kx + b) = a sin k
+
kbx
Untuk menggambar grafik y = f(x) = a cos k
+
kb x atau
y = f(x) = a sin k
+
kb x digunakan langkah-langkah sebagai berikut :
a. gambar grafik y = cos x atau y = sin x b. kalikan semua ordinatnya dengan k
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 51
c. geser grafik ke kiri sejauh kb jika
kb positif,
geser grafik ke kanan sejauh kb jika
kb negatif
d. periode grafik adalah kπ 2
V.4. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri
⊗ Persamaan trigonometri 1. Persamaan dasar trigonometri
a. sin x = sin a, x = a + k.2 π x = ( π − a ) + k.2 π b. cos x = cos a, x = ± a + k.2 π c. tan x = tan a, x = a + k.π
2. Persamaan yang dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan Misal : sin 2x + cos x = 0 2 sin x cos x + cos x = 0 cos x (2 sin x + 1) = 0 …. dan seterusnya.
3. Persamaan yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat Misal : 01 2 2 =−− x sinxcos ( ) 01 1 2 2 =−−− xsinxsin
01 2 2 =−+ xsinxsin …. dan seterusnya.
4. Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = C, dapat diselesaikan dengan 222 C ≥+ ba
⊗ Pertidaksamaan trigonometri Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan 1. Menggambar grafiknya 2. Menggunakan garis bilangan
1. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, dan 21 cm
adalah .…
a. 2151 c. 5
51 e. 5
31
b. 2161 d. 5
61
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 52
Pembahasan : α−+= cos c a c a b 2 222
cos α = ca
bca2
222 −+
32
6040
652212536
==××−+
=
32
=rx 5492 =−=y
5=y
35
==αrysin
Kunci : E
2. Diketahui A adalah sudut lancip dan 2
1 A 21
xxcos +
= .
Nilai sin A adalah ….
a. x
x 12 − c. 12 −x e. x
x 12 +
b. 12 +x
x d. 12 +x
Pembahasan : 1A A 2
12212 =+ cossin
x
xx
xcossin2
1 2
1 1 A 1 A 212
212 −
=+
−=−=
x
xsin2
1 A 21 −
=
A A 2 A 21
21 cossinsin =
= 2 . x
xx
xx
x 1 2
1 2
1 2 −=
+=
−
Kunci : A
A B
C
21 6
5α
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 53
3. Persamaan grafik di samping adalah ….
a. y = 2 sin
π
−2
x
b. y = sin
π
−2
2 x
c. y = 2 sin
π
+2
x
d. y = sin
π
+2
2 x
e. y = 2 sin ( )π+ 2 x Pembahasan : Grafik pada gambar tersebut dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik
y = sin x sejauh 2π ke kiri, dan mengalikan setiap y dengan 2, periodenya
tetap 2π.
∴ Jadi y = 2 sin
π
+2
x
Kunci : C
3. Untuk 0 ≤ x < 360, himpunan penyelesaian dari 033 00 =−− xcosxsin adalah …. a. {120, 180} c. {30, 270} e. {0, 300, 360}
b. {90, 210} d. {0, 300} Pembahasan : 03 3 00 =−− xcosxsin
3 3 00 =− xcosxsin 231 =+=k
3
1 −=αtan α di kwadran II
α = 1500 3 3 00 =− xcosxsin
( ) 3150 2 0 =−xcos
( ) 3 150 210 =−xcos
x − 150 = 30 atau 330 x = 180 atau 120 Kunci : A
π
y
xπ
2π2
2π
2
2
3π2
X
Y
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 54
4. Himpunan penyelesaian ( ) ( ) 01 70 20 00 ≤−−++ xsinxsin
Untuk 00 3600 ≤≤ x adalah ….
a. { }0000 360160 atau 700 | ≤≤≤≤ xxx
b. { }0000 160135 atau 7025 | ≤≤≤≤ xxx
c. { }00 160 atau 70 | ≥≤ xxx
d. { }00 160 70 | ≤≤ xx
e. { }00 11020 | ≤≤ xx Pembahasan :
( ) ( ) 0 1 70 20 00 ≤−−++ xsinxsin
( ) ( ) 1 70 20 00 ≤−++ xsinxsin
2 ( ) ( ) 1 45 25 00 ≤− cosxsin
( ) 221 25 0 ≤−xsin
00 4525 =−x atau 0135 070=x atau 0160
Yang diminta : ( ) 0 221 25 0 ≤−−xsin
Yang memenuhi adalah daerah I dan III
∴ { }0000 360160 atau 700 | ≤≤≤≤ xxx Kunci : A
I II III360016007000
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 55
Ruang Lingkup • Logika matematika Ringkasan Materi VI.1. Pernyataan kalimat terbuka serta ingkarannya Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja,
tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Contoh : 7 adalah bilangan ganjil (benar)
Malang adalah ibu kota Jawa Timur (salah).
Pernyataan dinotasikan dengan huruf p, q, r, s, …
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah/variabel dan belum
dapat ditentukan nilai benar atau salah.
Jika peubah/variabel diganti dengan konstanta maka menjadi suatu pernyataan.
Contoh : 3 + x = 8,
Jika x diganti dengan 5 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.
Ingkaran adalah pernyataan baru dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai
pernyataan semula, dinotasikan dengan ″~″
Contoh : Pernyataan p : 6 > 2 (B) maka ~ p : 6 ≤ 2 (S)
p : 4 + 1 = 5 (B) maka ∼ p : 4 + 1 ≠ 5 (S)
Siswa mampu memahami dasar-dasar logika dan mampu menarik kesimpulan dari serangkaian premis yang diberikan.
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 6
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 56
VI.2. Operasi logika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi).
A. Konjungsi
Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p ∧ q. Dua pernyataan p dan q (p ∧ q) bernilai benar, hanya jika komponen p dan q bernilai benar. Tabel kebenaran dari p ∧ q
p q p ∧ q B B B B S S S B S S S S
B. Disjungsi Disjungsi dari pernyataan p atau q dinotasikan dengan p ∨ q
Disjungsi dua pernyataan p atau q bernilai salah, hanya jika komponen-komponennya bernilai salah.
Tabel kebenaran dari p ∨ q p q p ∨ q
B B B B S B S B B S S S
C. Implikasi Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p → q″ Implikasi p → q bernilai salah, hanya jika p benar dan q salah Tabel kebenaran implikasi p → q
p q p → q B B B B S S S B B S S B
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 57
D. Biimplikasi Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p ↔ q″.
Biimplikasi dua pernyataan benar, hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama
Tabel kebenaran biimplikasi p ↔ q
p q p ↔ q B B B B S S S B S S S B
VI.3. Pernyataan Majemuk A. Pernyataan Majemuk yang ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh :
1. Tunjukkan bahwa : p → q ≡ ~ p ∨ q Jawab :
p q ∼p ∼p ∨ q p → q B B S B B B S S S S S B B B B S S B B B
sama terbukti
2. Tunjukkan bahwa : p ∧ ∼ q ≡ ∼ (q ∨ ∼p) Jawab :
p q ∼p ∼q p ∧ ∼q q ∨ ∼p ∼ (q ∨ ∼p) B B S S S B S B S S B B S B S B B S S B S S S B B S B S
sama terbukti
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 58
B. Negasi Pernyataan Majemuk • Negasi Konjungsi dan Disjungsi ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q Hukum De Morgan ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q Dapat ditunjukan pada tabel berikut :
p q ∼p ∼q p ∧ q ∼(p ∧ q) ∼p ∨ ∼q B B S S B S S B S S B S B B S B B S S B B S S B B S B B
sama
p q ∼p ∼q p ∨ q ∼(p ∨ q) ∼p ∧ ∼q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B
sama
p q ∼p ∼q p → q ∼(p → q) p ∧ ∼q B B S S B S S B S S B S B B S B B S B S S S S B B B S S
sama Contoh: Tentukan Negasi dari : 1. Jika 932 = maka 6 + 2 > 7 Jawab : ~(p → q) ≡ p ∧ ∼q Negasi dari jika 932 = maka 6 + 2 > 7 adalah 932 = dan 6 + 2 ≤ 7
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 59
2. Jika Mandor tidak datang maka semua kuli senang Jawab : Negasinya adalah : Mandor tidak datang dan ada kuli yang tidak
senang. VI.4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi lain yaitu : q → p, yang disebut konvers dari p → q
∼p → ∼q , disebut invers dari p → q ∼q → ∼p , disebut kontraposisi dari p → q Hubungan tersebut dapat ditunjukan dalam tabel berikut :
P q ∼p ∼q p → q q → p ∼p → ∼q ∼q → ∼p B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B B B B B
sama sama Contoh: Tentukan konvers, invers, dan kontroposisi dari implikasi Jika harga BBM naik, maka semua harga barang naik. Jawab: Konversnya ialah Jika semua harga barang naik, maka harga BBM naik. Inversnya adalah Jika harga BBM tidak naik, maka ada harga barang yang tidak naik Kontraposisinya adalah Jika ada harga barang yang tidak naik maka harga BBM tidak naik. VI.5. Penarikan Kesimpulan 1. Prinsip Modus Ponens Premis 1 : p q benar Premis 2 : p benar Konklusi : ∴ q benar Contoh: Jika 3x = 12 maka x = 4 benar 3x = 12 benar ∴ x = 4 benar 2. Prinsip Modus Tollens
Premis 1 : p q benar Premis 2 : ∼q benar Konklusi : ∴ ∼ p benar
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 60
Contoh : Jika segitiga ABC sama kaki, maka ∠ Α = ∠ B benar ∠ A ≠ ∠ B benar ∴Segitiga ABC bukan segitiga sama kaki benar 3. Prinsip Silogisma Premis 1 : p q benar Premis 2 : q r benar Konklusi ∴ p r benar Contoh: Selidikilah sah tidaknya argumentasi berikut : p ∼q p ∴ ∼q Jawab: Untuk menyelidikinya dibuat tabel kebenaran dari {(p → ∼q) ∧ p} → ∼q Cara 1.
p q ∼q p → ∼q (p → ∼q) ∧ p [(p → ∼q) ∧ p] → ∼q B B S S S B B S B B B B S B S B S B S S B B S B
→ nilai selalu benar jadi argumentasi sah Cara 2.
p q ∼q p → ∼q B B S S B S B B S B S B S S B B
Pada baris ke-2 Premis 1 → benar Premis 2 → benar Konklusi → benar → argumentasi sah Contoh:
1. Invers dari pernyataan (p ∧ ∼q) → p adalah ….
Jawab : p → q inversnya adalah ∼p → ∼q Jadi invers dari (p ∧ ∼q) → p adalah ∼(p ∧ ∼q) → ∼p atau (∼p ∨ q) → ∼p
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 61
2. Ingkaran pernyataan “Beberapa peserta UAN membawa kalkulator “ adalah …
Jawab : “Semua peserta UAN tidak membawa kalkulator“ 1. Diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut 1. p → q 2. p → q 3. p → q ∼q p → r p ∴ ∼p ∴ q → r ∴ q Argumentasi yang sah adalah ….
a. hanya 1 c hanya 2 dan 3 e. 1, 2, dan 3. b. hanya 1 dan 2 d. hanya 1 dan 3
Jawab: 1.
p q ∼p ∼q p → q B B S S B B S S B S S B B S B S S B B B
2.
p q r p → q p → r q → r B B B B B B B B S B S S B S B S B B B S S S S B S B B B B B S B S B B S S S B B B B S S S B B B
3.
p q p → q B B B B S S S B B S S B
Kunci : D
Tidak sah
sah
sah (Modus Ponens)
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 62
Ruang Lingkup • Irisan kerucut • Transformasi Ringkasan Materi VII.1. Irisan Kerucut A. Lingkaran
1. Persamaan lingkaran a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dengan jari-jari r adalah
222 ryx =+ b. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r adalah
( ) ( ) rbyax =−+− 22
c. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah 0CBA22 =++++ yxyx ,
pusatnya
−− B
21 A,
21 dan CB
21A
21R
22−
−+
−=
2. Jari-jari lingkaran Lingkaran menyinggung sumbu X maka R = b
Lingkaran menyinggung sumbu Y maka R = a
Lingkaran menyinggung garis Ax + By + C = 0,
maka R = BA
CBbAa 22 +
++
R
M (a, b)R
M (a, b)
x
y
X
Y
M (a, b)
RAx + By + C = 0
Siswa mampu memahami konsep irisan kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 7
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 63
Titik P(c, d) pada lingkaran,
maka R = ( ) ( )22 bdac −+−
R = AB21
3. Kedudukan garis terhadap lingkaran
a. Garis memotong lingkaran di dua titik berlainan, maka D > 0
b. Garis menyinggung lingkaran,
maka D = 0
c. Garis tidak memotong lingkaran, maka D < 0 4. a. Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik ( )11 , yx pada lingkaran
(i) 222 ryx =+ adalah 211 ryyxx =+
(ii) ( ) ( ) 222 rbyax =−+− adalah ( )( ) ( )( ) 211 rbybyaxax =−−+−−
(iii) 0CBA22 =++++ yxyx adalah
( ) ( ) 0CB21A
21
1111 =++++++ yyxxyyxx
b. Persamaan garis singgung dengan gradien tertentu.
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran
(i) 222 ryx =+ adalah 21 mrmxy +±=
(ii) ( ) ( ) 222 rbyax =−+− adalah ( ) 21 mraxmby +±−=−
(iii) 0CBA22 =++++ yxyx adalah
( ) ( )( )CBA1 2412
412 −++±+=+ maxmby
M (a, b)R
P (c, d )
RA
B
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 64
c. Persamaan garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (–1, 7) pada
lingkaran 2522 =+ yx Jawab :
Persamaan garis yang melalui (–1, 7) dengan gradien m adalah : ( )17 +=− xmy 7++= mmxy
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran 2522 =+ yx
adalah 215 mmxy +±= .
2157 mmxmmx +±=++
m + 7 = ± 5 21 m+ (m + 7)2 = 25 (1 + m2) 025254914 22 =−−++ mmm 0241424 2 =−− mm 012712 2 =−− mm (4m + 3) (3m – 4) = 0
34m1 = atau
43
2 −=m
Jadi persamaan garis singgungnya adalah ∴ 2534 +− yx = 0 atau 02543 =−+ yx
1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 4) dengan pusat (−4, 1) adalah …. a. 0412822 =−−−+ yxyx d. 0412822 =−+++ yxyx
b. 0412822 =−−++ yxyx e. 0412822 =+−++ yxyx
c. 0412822 =−+−+ yxyx Pembahasan :
( ) ( )22 413-4- R −+=
58949 =+=
Persamaan lingkaran: ( ) ( ) 5814 22 =−++ yx
05812168 22 =−+−+++ yyxx
0412822 =−−++ yxyx Kunci: B
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 65
2. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan menyinggung garis 082 =+− yx adalah ….
a. ( ) ( ) 521 22 =−++ yx d. ( ) ( ) 521 22 =++− yx
b. ( ) ( ) 521 22 =+++ yx e. ( ) ( ) 521 22 =−−+ yx
c. ( ) ( ) 521 22 =−+− yx Pembahasan :
R = 5 41
8)2(211 =+
+−+.
Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan R = 5 adalah ( ) ( ) 521 22 =−+− yx
Kunci: C 3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 01710222 =+−−+ yxyx yang
sejajar dengan garis 0243 =++ yx adalah …. a. 3x + 4y = 38 d. 3x – 4y = 8 b. 3x + 4y = –8 e. 3x – 4y = –8 c. 3x – 4y = 38
Pembahasan :
3 1751R 22 =−+= , Pusat (1, 5)
gradien garis 0243 =++ yx adalah 43
1 −=m
gradien yang sejajar garis singgung adalah 43
2 −=m
Persamaan garis singgung yang sejajar garis 0243 =++ yx pada lingkaran
dengan pusat (1, 5) dan R = 3 adalah 21 )( mraxmby +±−=−
( ) ( )16913 1
435 +±−−=− xy
y – 5 = –43 x +
415
43
±
15 33204 ±+−=− xy 3834 +−= xy atau 834 +−= xy Kunci: A
(1, 2)
x - 2y + 8 = 0
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 66
B. Parabola 1.a. Persamaan parabola yang berpuncak di (0, 0) dan fokus di :
(i). (p, 0) adalah pxy 42 = , 0>p
(ii). (−p, 0) adalah pxy 42 −= , 0>p
(iii). (0, p) adalah pyx 42 = , 0>p
(iv). (0, −p) adalah pyx 4 2 −= , 0>p
1.b. Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) dan fokus di : (i). (a + p, b) adalah ( ) ( )axpby −=− 42 , 0>p
(ii). (a − p, b) adalah ( ) ( )axpby −−=− 42 , 0>p
(iii). (a, b + p) adalah ( ) ( )bypax −=− 42 , 0>p
(iv) . (a, b − p) adalah ( ) ( )bypax −−=− 42 , 0>p 2. Kedudukan garis terhadap parabola; sama seperti pada lingkaran. 3.a. Persamaan garis singgung di titik ( )11 , yx pada parabola
(i) pxy 42 = adalah ( )11 2 xxpyy +=
(ii) pxy 42 −= adalah ( )11 2 xxpyy +−=
(iii) pyx 42 = adalah ( )11 2 yypxx +=
(iv) pyx 42 −= adalah ( )11 2 yypxx +−=
(v) ( ) ( )axpby −=− 42 adalah ( )( ) ( )axxpbyby 2 2 11 −+=−−
(vi) ( ) ( )axpby −−=− 42 adalah ( )( ) ( )axxpbyby 2 2 11 −+−=−−
(vii) ( ) ( )bypax −=− 42 adalah ( )( ) ( )byypaxax 2 2 11 −+=−−
(viii) ( ) ( )bypay −−=− 42 adalah ( )( ) ( )byypaxax 2 2 11 −+−=−−
b. Persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien tertentu Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola
(i). pxy 42 = adalah mpmxy +=
(ii). pxy 42 −= adalah mpmxy −=
(iii). pyx 42 = adalah pmmxy 2−=
(iv). pyx 42 −= adalah pmmxy 2+=
(v). ( ) ( )axpby −=− 42 adalah ( )mpaxmby +−=−
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 67
(vi). ( ) ( )axpby −−=− 42 adalah ( )mpaxmby −−=−
(vii). ( ) ( )bypax −=− 42 adalah ( ) pmaxmby 2−−=−
(viii). ( ) ( )bypax −−=− 42 adalah ( ) pmaxmby 2+−=− c. Persamaan garis singgung pada parabola xy 42 = melalui titik (−1, 0) Penyelesaian : p = 1
Persamaan garis singgung dengan gradien m melalui (−1, 0) adalah y − 0 = m( x +1 ) y = mx + m Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola xy 42 =
adalah m
mxy 1+=
m
mxmmx 1+=+ 12 =m 1 ±=m
Jadi persamaan garis singgungnya adalah : y = x + 1 atau y = −x − 1
1. Persamaan parabola dengan puncak (2, −3) dan fokus (0, −3) adalah …. a. 07862 =+−+ xyy d. 07862 =+−− xyy
b. 07862 =−−+ xyy e. 07862 =−++ xyy
c. 07862 =++− xyy Pembahasan : p = 2 ( ) ( )242 −−=− xpby
( ) ( )283 2 −−=+ xy
168962 +−=++ xyy
07862 =−++ xyy Kunci : E 2. Persamaan parabola dengan puncak (−2, 3), sumbu simetri sejajar sumbu X dan
melalui (2, 7) adalah …. a. ( ) ( )223 2 +=− xy c. ( ) ( )243 2 +=− xy e. ( ) ( )243 2 +−=− xy
b. ( ) ( )223 2 −−=− xy d. ( ) ( )243 2 −=− xy
Latihan dan Pembahasan
(2, -3)(0, -3)
0 2
p = 2
x
y
X
Y
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 68
Pembahasan : Persamaan parabola : ( ) ( )243 2 +=− xpy melalui (2, 7)
maka ( ) ( )22437 2 +=− p 16 = 16p p = 1 ∴Persamaan parabola : ( ) ( )243 2 +=− xy Kunci : E 3. Persamaan garis singgung pada parabola ( ) ( )1124 2 −=+ xy yang tegak lurus
garis 2x − 6y + 5 = 0 adalah …. Pembahasan : 1 21 −=m.m
1 31
2 −=m.
32 −=m
( ) ( )1124 2 −=+ xy 4p = 12 p = 3
(-2, 3)
(2, 7)Y
X
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 69
Persamaan garis singgung dengan gradien = −3 adalah
( )3
3134−
+−−=+ xy
423 −+−= xy 023 =++ xy
C. E l i p s
Titik pusat (0, 0) Titik pusat (h, k)
Persamaan elips 12
2
2
2=+
by
ax 1
2
2
2
2 =
−+
−
bky
ahx
Sumbu utama Sumbu x Garis y = k
Fokus (c, 0) dan (−c, 0) (c+h, k) dan (−c+h, k)
Puncak (a, 0) dan (−a, 0) (a+h, k) dan (−a+h, k)
Garis singgung di titik ( )11 y,x
121
21 =+
b
yy
a
xx ( )( ) ( )( )
121
21 =
−−+
−−
b
kyky
a
hxhx
Gradien m 222 bmamxy +±= ( ) 222 bmahxmky +±−=−
Bentuk Umum persamaan elips : 0EDCBA 22 =++++ yxyx
Titik pusat (0, 0) Titik pusat (h, k)
Persamaan elips 12
2
2
2=+
bx
ay 1
2
2
2
2 =
−
+
−
bhx
aky
Sumbu utama Sumbu y Garis x = h
Fokus (0, c) dan (0, −c) (h, c+k) dan (h, −c+k)
Puncak (0, a) dan (0, −a) (h, a+k) dan (h, −a+k)
Garis singgung di titik ( )11 y,x
121
21 =+
b
xx
a
yy ( )( ) ( )( )
121
21 =
−−+
−−
b
hxhx
a
kyky
Gradien m 222 ambmxy +±= ( ) 222 ambhxmky +±−=−
• Hubungan antara a, b, dan c : 222 cba += a = 2
1 sumbu panjang(mayor)
b = 21 sumbu pendek (minor)
2c = jarak dua fokus • Kedudukan garis terhadap elips, sama seperti pada lingkaran dan parabola
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 70
• Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar elips
Misal : Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (−2, −1) pada elips 55 22 =+ yx Penyelesaian : • Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−2, −1) adalah : y + 1 = m (x + 2) y = mx + 2m −1 • Persamaan garis singgung dengan gradien m pada elips 55 22 =+ yx adalah
222 mbamxy +±=
55 22 =+ yx 15
22 =+
yx 52 =a
25 mmxy +±=
2512 mmxmmx +±=−+
( ) 22 512 mm +=−
22 5144 mmm +=+− 0443 2 =−− mm ( )( ) 0223 =−+ mm
32
1 −=m , 22 =m
∴Jadi persamaan garis singgungnya : 0732 =++ yx atau 32 += xy
1. Salah satu koordinat fokus elips 11610018259 22 =−++ yxyx adalah …. a. (5, 2) c. (3, 2) e. (−2, 3) b. (−3, 2) d. (−1, 6)
Pembahasan : ( ) ( ) 10091164425129 22 ++=+−+++ yyxx
( ) ( ) 192
251 22
=−
++ yx
2925 c+= c = 4 Koordinat fokus (−1 + 4, 2) dan (−1−4, 2) = (3, 2) dan (−5, 2) Kunci : C
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 71
2. Elips yang berpuncak di titik (0, ± 6) melalui titik (3, 2) persamaannya adalah….
a. 36
2x + 48
9 2y = 1 c. 36
2x + 81
8 2y = 1 e. 36
2x + 40
6 2y = 1
b. 36
2y + 81
8 2x = 1 d. 36
2y + 48
9 2y = 1
Pembahasan :
Elips dengan puncak (0, ±6), persamaannya : 12
2
2
2=+
bx
ay
136 2
22=+
bxy
Melalui (3, 2), maka : 19364
2 =+b
989
2 =b
8812 =b
∴Persamaan elips : 181
836
22=+
xy
Kunci: B 3. Salah satu persamaan garis singgung pada elips 092844 22 =−−−+ yxyx
yang bersudut 0135 dengan sumbu X positif adalah …. a. 553 ++− x c. 553 −+x e. 553 −−− x b. 553 +−− x d. 553 −−x Pembahasan :
( ) ( ) 449212444 222 ++=+−++− yyxx
( ) ( ) 100142 22 =−+− yx
( ) ( ) 125
1100
2 22=
−+
− yx
1135tan 0 −==m Persamaan garis singgung dengan m = −1 adalah ( ) 251100211 +±−−=− .xy 55 21 ±+−=− xy 55 3 ++−= xy atau 55 3 −+−= xy Kunci : A
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 72
D. Hiperbola Titik pusat O(0,0) Titik pusat (h, k) Persamaan hiperbola 12
2
2
2=−
by
ax ( ) ( ) 12
2
2
2=
−−
−
bky
ahx
Sumbu utama Sumbu x y = k Fokus (c, 0) dan (−c, 0) (c+h, k) dan (−c+h, k) Puncak (a, 0) dan (−a, 0) (a+h, k) dan (−a+h, k) Asimtot
xaby ±= ( )hx
abky −±=−
Garis singgung di titik ( )11 y,x 12
121 =−
b
yy
a
xx ( )( ) ( )( )12
12
1 =−−
−−−
b
kyky
a
hxhx
Gradien m 222 bmamxy −±= ( ) 222 bmahxmky −±−=−
Bentuk Umum persamaan hiperbola : 0EDCBA 22 =++++ yxyx Titik pusat (0, 0) Titik pusat (h, k)
Persamaan hiperbola 12
2
2
2=−
bx
ay ( ) ( ) 1
2
2
2
2 =−
−−
bhx
aky
Sumbu utama Sumbu y x = h
Fokus (0, c) dan (0, −c) (h, k+c) dan (h, k−c)
Puncak (0, a) dan (0, −a) (h, k+a) dan (h, k−a)
Asimtot xbay ±= ( )hx
baky −±=−
Garis singgung di titik ( )11 y,x
121
21 =−
bxx
ayy ( )( ) ( )( )
121
21 =
−−−
−−
b
hxhx
a
kyky
Gradien m 222 mbamxy −±= ( ) 222 mbahxmky −±−=− • Hubungan antara a, b, dan c : 222 bac +=
1>=ace , e = eksentrisitas
• Kedudukan garis terhadap hiperbola, sama seperti pada lingkaran, parabola, dan elips.
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 73
• Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar hiperbola Misal : Tentukan persamaan garis singgung di titik (−1, 1) pada hiperbola 3284 22 =− yx
Penyelesaian : Hiperbola 3284 22 =− yx 148
22=−
yx
•Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−1, 1) adalah: y −1 = m(x + 1) atau y = mx+ m +1
•Persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola 148
22=−
yx
adalah 48 2 −±= mmxy
481 2 −±=++ mmxmmx 0527 2 =−− mm
4812 22 −=++ mmm ( )( ) 0157 =−+ mm
m = 75
− atau m = 1
Persamaan garis singgungnya :
72
75
+−=xy atau 257 +−= xy
dan 2+= xy
1. Persamaan hiperbola dengan jarak dua fokus = 20, sumbu utama adalah sumbu X, dengan pusat O dan asimtot membentuk sudut 300 dengan sumbu positipX adalah ….
a. 175125
22=−
yx c. 12575
22=−
yx e. 12575
22=−
xy
b. 125125
22=−
yx d. 175125
22=−
xy
Pembahasan : 2c = 20 c = 10
3
130 0 =tan
abtan =030
31
=ab
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 74
222 bac += 3ba =
223100 bb += 35=a ; sumbu utama adalah sumbu X
252 =b Persamaan hiperbola adalah : 12575
22=−
yx
b = 5 Kunci : C 2. Salah satu persamaan asimtot hiperbola 163272169 22 =+−− yxyx adalah ….
a. 0234 =+− yx c. 0234 =++ yx e. 0234 =−− xy b. 0234 =−+ yx d. 0834 =+− xy
Pembahasan : ( ) ( )12161689 22 +−−+− yyxx = 16 + 144 –16
( ) ( ) 191
164 22
=−
−− yx a = 4
b = 3
Asimtot : ( )4431 −±=− xy
1343
1 +−= xy → 0834 =+− xy
1343
2 ++−= xy → 01634 =−+ xy
Kunci : D
3. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola ( ) ( ) 142
81 22
=−
−− yx
yang tegak lurus garis 07 =+− yx adalah …. a. 5−−= xy c. 1+−= xy e. 1+= xy
b. 1−−= xy d. 5+= xy Pembahasan : Gradien garis 07 =+− yx adalah 11 =m Gradien garis singgung yang tegak lurus garis tersebut adalah 12 −=m Jadi persamaan garis singgungnya adalah :
( ) ( ) 41.8 112 2 −−±−−=− xy 2 12 ±+−=− xy 5+−= xy atau 1+−= xy Kunci : C
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 75
VII.2. Transformasi 1. Jenis-jenis transformasi
a. Translasi (pergeseran) b. Refleksi (pencerminan) c. Rotasi (perputaran) d. Dilatasi (perkalian atau perbesaran)
2. Setiap matriks transformasi dapat ditentukan dengan mencari hasil suatu transformasi titik (1, 0) dan (0, 1). Peta (bayangan) titik (1, 0) sebagai kolom pertama matriks, sedangkan peta (bayangan) titik (0, 1) sebagai kolom kedua. Contoh: Karena refleksi terhadap sumbu X maka peta titik (1, 0) petanya
adalah (1, 0), sedangkan peta titik (0, 1) adalah (0, −1). Jadi matriks
yang bersesuaian dengan refleksi terhadap sumbu X adalah
−1001
.
3. Komposisi transformasi a. Komposisi dua translasi berturutan 1T dilanjutkan 2T dapat diganti dengan
translasi tunggal. ( ) ( )( )yxyx ,T o T , T o T 2121 =
Misal :
=
ba
1T ,
=
dc
2T maka
++
=dbca
21 T o T
b. Komposisi dua refleksi berturutan menghasilkan translasi dua kali jarak
antara dua sumbu. Urutan refleksi menentukan arah translasi. Jika 1M = refleksi terhadap garis ax = 2M = refleksi terhadap garis bx =
maka : ( ) ( )( )yxabyx , 2 P M o M ,P 12 +−′ →
( ) ( )( )yxbayx , 2 P M o M ,P 21 +−′ → Jika 1M = refleksi terhadap garis cy = 2M = refleksi terhadap garis dy =
maka : ( ) ( )( )ycdxyx +−′ → 2 , P M o M ,P 12
( ) ( )( )ydcxyx 2 , P M o M ,P 21 +−′ → c. Komposisi dua refleksi berturutan terhadap dua sumbu yang berpotongan
(tegak lurus atau tidak tegak lurus) dapat diganti dengan suatu rotasi yang : 1. Berpusat pada titik potong dua sumbu 2. Bersudut dua kali sudut antara dua sumbu 3. Arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 76
Misal: X = refleksi terhadap sumbu X berpotongan tegak lurus Y = refleksi terhadap sumbu Y H = Rotasi sebesar π pusat O ( ) ( ) ( )ba ba ba ,H ,X o Y , Y o X == d. Komposisi dua rotasi yang sepusat sebesar 1θ dilanjutkan 2θ dapat diganti
dengan rotasi sebesar ( )21 θ+θ dengan pusat yang sama. Contoh : Tentukan peta titik (2, 4) karena rotasi pusat O sebesar 020 dilanjutkan 040 .
Jawab :
−=
′′
yx
cossinsincos
yx
00
00
60 60 60 60
−=
42
33
21
21
21
21
+−
=23321
e. Komposisi transformasi dengan matriks.
Contoh : Tentukan peta titik (2, 4) karena refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan
terhadap garis y = x dan dilanjutkan rotasi pusat O bersudut 4π .
Jawab : ( ) ( ) ( )
==
′′ −
42
o M o 4π σ, R Xxyy
x
=
ππ
π−
π
44
44cossin
sincos
0110
−1001
42
=
−
22
22
21
21
21
21
−0110
42
=
−−
223
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 77
f. Luas bangun suatu hasil transformasi.
Suatu bangun A ditransformasikan dengan matriks
dcba
, hasilnya
A′ dengan luas bcad A −=′ luas A Contoh : Hitung luas ∆ ABC dengan A(3, 1), B(7, 1), dan C(7, 4) karena
transformasi oleh matriks
2213
.
Jawab : L = 6 4 3 21
=⋅⋅
L = 24 6 2-6 CBA =⋅=′′′ satuan luas
g. Peta suatu kurva oleh suatu transformasi.
Contoh : Tentukan persamaan bayangan garis 023 =++ yx oleh
transformasi yang berkaitan dengan matriks
2132
.
Jawab : Misal : (a, b) pada kurva 023 =++ yx , maka 023 =++ ba
Jika ( )ba ′′ , adalah peta (a, b) karena tranformasi
2132
,
maka
′′
−
−−
=
ba
ba
2132
341
baa ′−′= 32 bab ′+′−= 2 sehingga : a + 3b + 2 = 0 ( ) ( ) 02 2 3 3 2 =+′+′−+′−′ baba 023 =+′+′− ba ∴Petanya adalah : 023 =++− yx Contoh: 1. Tentukan bayangan titik (4, 2) karena rotasi pusat O sebesar π, dilanjutkan
dilatasi pusat (1, 2) dengan faktor skala 2. Jawab : )2 4,( ) R(0, 2) (4, −−π
Titik (−4, −2) karena [ ]2 2), A(1, adalah ( )( )
−=−′−=−′
bykbyaxkax
( )( ) 62222
91421−=′→−−=−′
−=′→−−=−′
yyxx
∴Petanya adalah (−9, −6)
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 78
2. Tentukan bayangan titik (2, −3) karena refleksi terhadap garis x = 3, dilanjutkan x = 5.
Jawab: =1M refleksi terhadap x = 3 =2M refleksi terhadap x = 5
( ) ( )( ) ( )3 ,63 ,2352 MM
3 ,2 1 2 −=−+− →−o
1. Garis y = −3x + 1 dirotasikan dengan R
090 O, , kemudian direfleksikan
terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah …. a. 3y = x + 1 c. 3y = −x − 1 e. y = 3x − 1 b. 3y = x − 1 d. y = −x − 1 Pembahasan :
−
−
=
yx
y'x'
0110
1001
−
−=
yx
0110
−
=
y'x'
yx
0110
101
=
x'y'
yx
y'x −= x'y −= Bayangannya adalah: y = –3x + 1 ( ) 13 +−=− y'x' 13 +−=− y'x' 13 += xy Kunci : A
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 79
Ruang Lingkup • Limit • Turunan • Integral Ringkasan Materi VIII.1. Limit Fungsi
A. Limit Fungsi Aljabar Pengertian
ax→lim f(x) = L adalah nilai f(x) dapat dibuat dekat ke L jika x dibuat
dekat ke a (perlu diperhatikan arti dekat). Contoh : a.
2lim
→x5 = 5
b. 2
lim→x
x = 2
Pada penyelesaikan soal limit, hasil yang harus dihindari adalah : ∞∞∞∞∞
∞∞
− 1 , ,0 , 0 , , ,00 00. (hasilnya tak tentu).
B. Teorema Limit a. Diketahui f(x) = c (konstanta),
maka :
ax→lim f(x) = c
b. ax→
lim {f(x) ± g(x)} =ax
lim→
f(x) ax→
± lim g(x)
c.
ax→lim {f(x) . g(x)}
ax→= lim f(x) .
ax→lim g(x)
d. .lim
ax→c f(x) =
axc
→lim. f(x)
Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung limit fungsi di suatu titik, turunan, dan integral.
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 8
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 80
e. ( )( )
ax
ax
ax g(x)
f(x)
xgxf
→
→
→=
lim
limlim , dengan
ax→lim g (x) ≠ 0
Jika p(x) dan q(x) suatu suku banyak, maka :
( )( )
( )( )aqap
xqxplim
ax=
→, dengan q (a) ≠ 0
Contoh: 1. ( )633
2−+
→xxlim
x = 3
2xlim
x→+ xlim
x3
2→–
2→xlim 6
= 23 + 3 . 2 – 6 = 8
2. xxx
xxxlimx +−
++→ 23
23
0 2
43 = 12
43 2
2
0 +−
++→ xx
xxlimx
= 100400
+−++ = 4
3. x
xxlimx
−−+→
990
= x
xxlimx
−−+→
99 0
. xxxx
−++−++
9999
= ( ) ( )( )xxx
xx`limx −++
−−+→ 99
99 0
= ( )xxxxlim
x −++→ 992
0
= 31
62
992
0==
−++→ xxlimx
4.
−−+
∞→xxxxlim
x53 22
= xxxxlimx
53 22 −−+∞→
. xxxx
xxxx
53
5322
22
+++
+++
= xxxx
xxxxlimx 53
53
22
22
+++
−−+
∞→
= xxxx
xlimx 53
8 22 +++∞→
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 81
= 411
85131
8 =+
=+++
∞→
xx
limx
• Limit Fungsi Trigonometri
1 0
=→ x
xsinlimx
1 0
=→ x
xtanlimx
1 0
=→ xsin
xlimx
1 =∞→ xtan
xlimx
Dari ketentuan di atas diperoleh :
ba
bxaxsinlim
x=
→
0
ba
bxaxtanlim
x=
→
0
ba
bxtanaxsinlim
x=
→
0
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan adalah : » sin2 A + cos2 A = 1 » cos A = sin (90o – A) » cot A = tan (90o – A) » sin 2A = 2 sin A cos A » cos 2A = 1 – 2 sin2 A = 2 cos2 A – 1 = cos2 A – sin2 A Contoh:
1. x
xsinlimx
4 0→
Jawab :
x
xsinlimx
4 0→
= x
xsinlimx
4 0→
. 44
= x
xsinlimx 4
4 0→
. 4
= x
xsinlimx 4
4 0→
. 40→x
lim
= 1 . 4 = 4
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 82
2. 20
1 x
xcoslimx
−→
Jawab : Jika x disubstitusikan maka hasilnya 00 , sehingga bentuk itu harus diubah
menjadi :
2212
0
211
x
xsinlimx
−−
→ = 2
212
0
2
x
xsinlimx→
= x
xsinlimx
21
02
→.
x
xsin 21
.2121
2121
.
= x
xsinlimx 2
121
0 2
→.
x.
xsin
21
21
.41
= x
xsinlimx 2
121
0 2
→.
x
xsinlimx 2
121
0
→ .
41
0→xlim
= 2 . 1 .41 1 .
= 21
3. 30
x
xsinxtanlimx
−→
Jawab : Jika x = 0 disubstitusikan maka hasilnya00 , sehingga bentuk tersebut
diubah menjadi :
( )3030
1 x.xcos
xcosxsinlimx
xsinxcosxsin
limxx
−=
−
→→
= xx cos
1lim0→
. x
xsin . 2cos1x
x−
= xcos
limx
10→
. x
xx
sinlim0→
. 2212
0
sin2lim
xx
x→2121
2121
.
= xcos
limx
10→
. x
xx
sinlim0→
= x
xsinlimx 2
121
0→ .
x
xsinlimx 2
121
0→
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 83
= 21
0→xlim
= 1 . 1 . 1 . 1 . 21
= 21
VIII.2. Hitung Diferensial
A. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri Misal : y = f(x). Turunan fungsi y terhadap x, ditulis dengan y ′(x) = f ′(x) atau
dxdy atau
dxdf didefinisikan sebagai
hxfhxf
limxfh
)()( )(0
−+=′
→.
Nilai fungsi turunan f ′ untuk x = a adalah :
( ) ( ) ( )h
afhaflimaf
h
−+=′
→0
Rumus–rumus turunan: f (x) f ′(x)
xn 1−nnx , n bilangan Rasional axn 1−nanx , n bilangan Rasional sin x cos x cos x – sin x
Operasi aljabar fungsi turunan : a. y = f (x) ± g (x), maka y′ = f ′ (x) ± g′ (x) b. y = c f (x), maka y′ = c f ′ (x) c. y = f(x) . g(x), maka y′ = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x)
d. ( )( )xgxfy = , maka ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )2
xgxg xfxg xfy
′−′=′
Contoh: Tentukan turunan dari :
a. y = (2x + 3)(3x – 5)
b. xxxxy
332
2
2
+
+−=
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 84
Jawab : a. y = (2x + 3)(3x – 5)
cara 1 : y = 6x2 – x – 15 y′ = 12x – 1 atau dengan cara 2 : y = (2x + 3)(3x – 5) y′ = 2(3x – 5) + (2x + 3)3 = 6x – 10 + 6x + 9 = 12x – 1
b. xxxxy
332
2
2
+
+−=
( )( ) ( )( )( )22
22
3
3232362
xx
xxxxxxy+
++−−++−=′
= ( )( )22
2323
3
6566166
xx
xxxxxx
+
−+−−+
= ( )22
2
3
11
xx
x
+
B. Persamaan garis singgung Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) melalui titik (a, f(a)) adalah
y – f(a) = f′ (a) (x – a) Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 4 – 3x + x2 di titik dengan absis 3.
Jawab : gradien garis singgungnya adalah y′ = –3 + 2x Gradien di titik dengan absis 3 adalah y′ = –3 + 6 = 3 Ordinat titik singgung y = 4 – 3 . 3 + 9 = 4
Persamaan garis singgung dengan gradien 3 di titik (3, 4) adalah :
y – 4 = 3(x – 3) y = 3x – 5
C. Fungsi naik dan fungsi turun
Syarat yang berkaitan dengan fungsi naik dan fungsi turun Jika f adalah fungsi yang kontinu dan diferensiabel pada interval (a, b), maka : • Jika f′ (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada interval (a, b). • Jika f′ (x) 0> untuk setiap x ∈ (a, b), maka f naik pada interval (a, b).
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 85
• Jika f′ (x) 0< untuk setiap x ∈ (a, b), maka f turun pada interval (a, b). • Jika f′ (x) 0≥ untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak turun pada interval (a, b). • Jika f′ (x) 0≤ untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak naik pada interval (a, b). Contoh: Tentukan interval, dimana fungsi :
a. naik b. turun, jika fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 2
Jawab : a. Fungsi f (x) naik, maka f′ (x) 0> f′ (x) = 3x2 – 12x + 9 3x2 – 12x + 9 > 0 3 (x2 – 4x + 3) > 0 (x – 3)(x – 1) > 0 f (x) naik untuk x > 3 atau x < 1 b. f (x) turun jika f′ (x) 0< 3x2 – 12x + 9 < 0 3 (x2 – 4x + 3) < 0 (x – 3)(x – 1) > 0 f (x) turun untuk 1 < x < 3
D. Nilai−nilai Stasioner
Titik dengan ax = yang memenuhi persamaan f′ (a) = 0 disebut titik stasioner Jenis Titik Stasioner
♦ Titik maksimum ax < ax = ax >
f (x) Naik Turun
f ′ (x) Positif Nol negatif
f ′′ (x) Negatif ♦ Titik minimum
ax < ax = ax >
f (x) Turun Naik
f ′ (x) Negatif Nol Positif
f ′′ (x) Positif
1 3- - - - - -+++ +++
- - - - - -+++ +++1 3
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 86
♦Titik balik di x= a x < a x = a x > a
f ′ (x) Naik Turun
f ′′ (x) Positif Nol Negatif
f ′ (x) Turun Naik
f ′′ (x) Negatif Nol Positif
Contoh: Tentukan nilai stasioner dan jenisnya fungsi f (x) = x3 (x – 4) + 5
Jawab : f (x) = x4 – 4x3 + 5 f′ (x) = 4x3 – 12x2
Nilai stasioner diperoleh jika ( ) 0=′ xf 4x3 – 12x2 = 0 4x2 (x – 3) = 0 x = 0 atau x = 3 Jadi f (0) = 5 f (3) = 81 – 108 + 5 = –22 Jenisnya : x = 0 x = 3
x −0 0 +0 −3 3 +3 4x2 + 0 + + 0 + x – 3 − 0 − − 0 +
f′ (x) + 0 − − 0 + Belok Balik minimum Jadi titik belok di (0, 0) dan Nilai balik minimum adalah f (3) = –22 ∴ Titik balik minimum (3, −22) E. Menggambar Grafik Langkah-langkahnya adalah menentukan : ∗ Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat ∗ Titik stasioner dan jenisnya ∗ Beberapa titik
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 87
Contoh: Gambarlah kurva y = 2x2 – 5x + 2 Jawab : Titik potong dengan sumbu Y → x = 0 → y = 2 Titik potong (0, 2) Titik potong dengan sumbu X → y = 0 2x2 – 5x + 2 = 0
(2x – 1)(x – 2) = 0 → 21
=x atau x = 2
Titik stasioner dan jenisnya y′ = 4x – 5 y′ = 0
y ″ = 4 > 0 → minimum
→ y minimum untuk 45
=x atau 892
455
452
2−=+
−
⋅=y
Koordinat titik balik minimum
−
89
45 ,
F. Turunan kedua dan pemakaiannya Contoh : Sehelai karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x cm. Dari bangun yang didapat dibuat kotak tanpa tutup yang tingginya x cm.
Tentukanlah ukuran kotak agar volumenya maksimum !
45
=x
Sketsa: ∗ Beberapa titik untuk x = −1 y = 9→ (−1, 9) x = 3 y = 5→ (3, 5) 9
(3,5)
2 x
y
21
45
(-1,9)
0
89
Y
X
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 88
Jawab : Volum = (8x – 2x)(5 – 2x)(x) = 40x – 26x2 + 4x3 Nilai stasioner V’(x) = 0 40 – 52x + 12x2 = 0 3x2 – 13x + 10 = 0 (3x – 10)(x – 1) = 0
3
10=x atau x = 1
(tidak mungkin) V″ = –52 + 24 x
V″ (x = 1) = –52 + 24 = –28 < 0 → maksimum
Vmaks = 40 – 26 + 4 = 18 dm3 ∴Jadi panjang kotak 6 dm, lebar 3 dm, dan tinggi 1 dm.
1. Jika xsin
y 1−= , maka =
dxdy ….
a. cosec x c. - cosec x e. sec x tan x b. cosec x cotan x d. - cotan x cosec x
Pembahasan :
( )=
−−=
x
xdxdy
2sin
cos1 cosec x cotan x
Kunci : B 2. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 2x3 – 4x + 3 pada titik yang
berabsis 1− adalah …. a. y = 2x + 3y c. y = −2x − 3y e. y = − 2x – 2y b. y = 3x + 7 d. y = −2x − 1
Pembahasan : x = −1 maka y = 2 (−1)3 – 4(-1) + 3 = 5 y′ = gradien = 6x2 – 4 Di titik x = -1 adalah m = 6 – 4 = 2 Persamaan garis melalui (−1, 5) dengan gradien 2 adalah y – 5 = 2 (x + 1) y = 2x + 7 Kunci : B
xx
8 2x
5
2x
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 89
3. Nilai maksimum dari f (x) = 2x3 + 5x2 – 4x dalam interval −3 ≤ x ≤ −1 adalah ….
a. 28 b. 27 c. 19 d. 12 e. 7 Pembahasan : f ′ (x) = 6x2 + 10x - 4 0 = 3x2 + 5x − 2 (3x − 1)(x + 2) = 0
31
=x atau x = −2
f″(x) = 12x + 10 f″ (−2) = –24 + 10 = –14 < 0 → maksimum f (–2) = 2.( –2)3 + 5.( –2)2 – 4 (–2) = –16 + 20 + 8 = 12
Kunci : B VIII.3. Integral A. Integral tak tentu Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika F′(x) = f(x) dan f kontinu, maka : ∫ += C)F( )( xdxxf → (C = kostanta)
Rumus−rumus
a. C )F( )f( +=∫ xdxx
b. C +=∫ kxdxk
c. C1
1 ++
= +∫ nn xn
kdxkx , dengan 1−≠n
d. { } ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()(
e. { } ∫ ∫∫ −=− dxxgdxxfdxxgxf )( )( )()(
tidak terletak dalam interval (tidak memenuhi)
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 90
Contoh:
1. Selesaikan dxxx )5()32( −+∫
Jawab : dxxxdxxx )1572( )5()32( 2∫∫ −−=−+
= C1527
32 23 +−− xxx
2. dxxxxxdxx
xx )44( )2( 21
23
22 −
++=+
∫∫
= dx )x4x4x( 21
23
++∫
= cx1
4x24x
11 1
21
21
23
21
23
++
+++
++
= Cx382xx
52 2
322
5+++
= Cxx382xxx
52 22 +++
B. Penerapan Integral tak tentu Contoh:
1. Tentukan persamaan kurva dengan gradien garis singgung di titik (x, y) sama dengan 2x − 3, dan kurva melalui titik (1, −3)!
Jawab : )32( −= xdxdy
dy = 2x − 3 dx ∫ ∫ −= dxxdy )32(
y = x2 − 3x + C Kurva melalui (1, −3), maka −3 = 1 − 3 + C → C = 1
∴Persamaan kurvanya adalah : y = x2 – 3x – 1
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 91
2. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan V m per detik. Pada saat t detik persamaan kecepatannya adalah V = 8 t − 1. Pada saat t = 1, posisi benda yaitu S = 6 m. a. Tentukan persamaan posisi benda sebagai fungsi t! b. Berapa jauh posisi benda pada saat t = 4?
Jawab : a. ∫ +−=−= C4 )1 8()(S 2 ttdttt b. S(4) = 4 (4)2 – 4 + 3 = 63 m
Diketahui : S(l) = 6, jadi : 4(1)2 – (1) + C = 6
C = 3 maka : S = 4t2 – t + 3
C. Integral tertentu Teorama Dasar Integral
[ ] (a)F(b)F (x)F )( −==∫ba
b
adxxf
dengan F ′(x) = f (x)
Sifat−sifat Integral Tertentu
(i) ∫∫ −=a
bdxxf
b
adxxf )( )(
(ii) 0 )( =∫a
adxxf
(iii) ∫∫∫ +=b
cdxxf
c
adxxf
b
adxxf )( )( )( , dengan a < c < b
(iv) ∫∫ =b
adxxfk
b
adxxfk )( )( , k = konstanta
(v) { } ∫∫∫ ±=±b
adxxg
b
adxxf
b
adxxgxf )( )( )()(
(vi) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka ∫b
axf )( dx ≥ 0
(vii) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka ∫b
axf )( dx ≤ 0
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 92
Contoh:
1. 13
22 )46( 233
1
2 xxdxxx +=+∫
= ( ) ( )[ ]2323 1 21 2)3( 2)3( 2 +−
+ = 68
2. dxxxdxx
x )( )1( 22
1
22
2
1
2 −−=− ∫∫
= ( )
+−
+=+ 1
31
212
31 1
31 33 2
1xx =
611
34
21
38
=−+
D. Beberapa penggunaan Integral
a. Luas daerah
y = f (x)
x = a x = b x
y
∫=b
adxxf )(L
y = f (x)
x = a x = b x
y
∫ =−=b
axf )(L ∫
b
adxxf )(dx
x = f (y)
y =
d
x
y
y =
c
∫=d
cdyyf )( Luas
y = f (x)
x
yx=a
x=b x=c
=L ∫b
adxxf )( ∫
c
bxf )( dx+
X
Y
Y
X
Y
X
X
YY 1 2
3 4
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 93
1. Hitung luas daerah antara kurva y = x3 – x2 – 6x dan sumbu X Pembahasan :
Titik potong dengan sumbu X→ y = 0 maka x3 – x2 – 6x = 0 x(x2 – x – 6) = 0 x(x – 3)(x + 2) = 0 Koordinat titik potong dengan sumbu X : (0, 0), (−2, 0), dan (3, 0) untuk x = −1 →(−2 < x < 0), maka y + untuk x = 2 →(0 < x < 3), maka y –
Luas I = ∫−
0
2
(3x3 – x2 – 6x) dx = 41 x4 –
31 x3
0
2
23−
− x = 3
16
Luas II = ∫3
0
(x3 – x2 – 6x) dx = 41 x4 –
31 x3
3
0
23x− = 463
L = LI + LII = 12253 satuan luas
(x))dx
x=a
x=b
y1= f1 (x)
y2= f2 (x)
x-
y
∫=b
aL ( y1 - y2 ) dx
∫=b
aL ( y1 - y2 ) dx
atau
X
Y
a b
( ))(22 xfy =)(11 xfy =
( )( xfLb
a∫ −= 1 ( )) dxxf 2
x
y
X
Y 6
Latihan dan Pembahasan
5
0-2 3I
II
y
x
Y
X
∫ −=b
adx (x))fxf 2)((L 1
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 94
2. Hitung luas daerah antara kurva y = x2 – 5x dan y = −x2 + 3x – 6 Pembahasan : Batas integral yaitu titik potong dua kurva x2 – 5x = −x2 + 3x – 6 2x2 – 8x + 6 = 0 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 3)(x – 1) x = 3 atau x = 1 Grafik y = x2 – 5x adalah parabola terbuka ke atas memotong sumbu X di (0, 0) dan (5, 0)
Grafik y = −x2 + 3x – 6 parabola terbuka kebawah tidak memotong sumbu X karena D < 0
memotong sumbu Y di (0, −6) dan sumbu simetri x = 23
Luas daerah yang diarsir = ∫3
1
{(−x2 + 3x – 6) – (x2 – 5x)} dx
= ∫3
1
(−2x2 + 8x – 6) dx
x6x4x32 3
1
23−+−=
38
= satuan luas
b Volum benda putar 1. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = f(x), garis x = a, garis y = b, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X adalah
V = π ∫b
a
(f(x))2 dx
2. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva x = f(y), garis y = c, garis y = d dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y adalah
V = π ∫d
c
{f(y)}2 dy
23
31
5
-6
0
y
xX
Y
x = f (y)y
xX
Y
d
c
x
y = f (x)Y
Xa b
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 95
3. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara dua kurva y1 = f1(x) dan y2 = f2(x), garis x = a, garis x = b diputar mengelilingi sumbu X adalah
V = π ( )( ) ( )( )[ ]∫ −b
a
22
21 xfxf dx
(dengan catatan f1 (x) > f2 (x), dimana a < x < b) 4. Volum benda putar yang terjadi Jika daerah antara dua kurva x1 = f1(y) dan x2 = f2(y), garis y = c, garis y = d diputar mengelilingi sumbu Y adalah
V = π ( )( ) ( )( )[ ] 22
21∫ −
d
c
yfyf dy
(dengan catatan f1 (y) > f2 (y) dimana c < y < d 1. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x + 1,
sumbu y, garis x = 2 dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600.
Pembahasan :V = ∫2
0
π(x + 1)2 dx = π ∫2
0
(x2 + 2x + 1) dx
= π 2
0
23 xxx31
++ =
326
π
2. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara xy2 = 2, y = 1, y = 4 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y.
Pembahasan : x = 2y2
Volume = ∫∫ −π=
π
4
1
44
1
2
2 dyy4dyy2
)(1 yf
)(2 yfy
x
d
c
Latihan dan Pembahasan
xa b
y
y1 = f1 (x)
y2 = f2 (x)
Y
X
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 96
= π 4
1
3y34
− − =
1651 π satuan volum
3. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah antara dua kurva
y = x2, y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X. Pembahasan :
V = π ∫−
2
1
{(x + 2)2 − (x2) 2 }dx
= π ∫−
2
1
(x2 + 4x − + 4 – x4) dx
= 31 x3 + 2x 2 + 4x − x
51 2
1-
5
+−+−−
−++=
5142
31
53224422
31 3 ...
= π5214 satuan volum
E. Aturan Rantai
Misal : y = f(x) dan u = g(x) atau y = f(g(x)), maka y ′ = f ′ (g(x)), maka y ′ = f ′ (g(x)) . g ′ (x) Dengan notasi Leibniz dapat ditulis :
dxdu.
dudy
dxdy
=
Contoh : Tentukan turunan pertama dari :
1. y = (x2 + 2x)7
Jawab :
Cara 1 : y ′ = 7(x2 + 2x)6 (2x + 2) = (14x + 14)(x2 + 2x)6 Cara 2 : y = u7, u = x2 + 2x
dudy = 7u6,
dxdu = 2x + 2
dxdy = 7u6 (2x + 2)
21
2
-1-2
1
= xy 22
+= x
y
y
xX
Y
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 97
= 7(x2 + 2x)6 (2x + 2) = (14x + 14)(x2 + 2x)6
2. y = sin3 x Jawab : Cara 1 : y = sin3 x = (sin x)3 y ′ = 3 sin2 x cos x
= 23 sin x sin 2x
Cara 2 : y = u3 , u = sin x
dudy =3u2 ,
dxdu = cos x
dxdy = 3u2.cos x = 3 sin2 x cos x
= 23 sin x sin 2x
F. Integral fungsi Trigonometri
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = − cos x + C
∫ sec 2 x dx = tan x + C
∫ cosec 2x dx = − cotan x + C
∫ sec x tan x dx = sec x + C
∫ cosec x cotan x dx = − cosec x + C
1. Selesaikanlah ! ∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx Pembahasan : ∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx = −3 cos x − 5 sin x + C
2. ∫ ( x3 + sec2 x) dx Pembahasan :
∫ ( x3 + sec2 x) dx = 41 x4 + tan x + C
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 98
3. ∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx Pembahasan : ∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx = sec x + 2 cos x + C
a. ∫ cos (ax + b) dx = a1 sin (ax + b) + C
∫ sin (ax + b) dx = −a1 cos (ax + b) + C
∫ sec 2 (ax + b) dx = a1 tan (ax + b) + C
∫ cos ec2 (ax + b) dx = −a1 cotan (ax + b) + C
∫ sec (ax + b) tan (ax + b) dx = a1 sec (ax + b) + C
∫ cos ec(ax + b) cotan (ax + b) dx = −a1 cosec (ax + b) + C
Selesaikan !
1. ∫ sec 2 (4x + π) dx
2. ∫ sin 2 x dx
3. ∫ ( 3 sin 2x + cos 3x) dx
4. ∫ sin 3x cos 4x dx
5. ∫ sin 3 x dx Jawab :
1. ∫ sec 2 (4x + π) dx 41 tan (4x + π) + C
2. ∫ sin 2 x dx = ∫ (21
−21 cos 2x) dx
= 21 x −
21 .
21 sin 2x + C
= 21 x −
41 sin 2x + C
Latihan dan Pembahasan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 99
3. ∫ ( 3 sin 2x + 4 cos 3x) dx
= −23 cos 2x +
34 sin 3x + C
4. ∫ sin 3x cos 4x dx
= ∫ 21 {(sin 7x + sin ( −x) )} dx
= 21
∫ sin( 7x − sin x) dx
= −21 cos 7x +
21 cos x + C
5. ∫ sin 3 x dx
= ∫ sin x(sin2 x)dx
= ∫ sin x(21
−21 cos 2x) dx
= 21
∫ sin x dx −21
∫ sin x cos 2x dx
= −21 cos x −
21
∫ 21 (sin 3x – sin x) dx
= −21 cos x −
21 cos 3x +
41 cos x + C
G. Integral Substitusi ∫ f (x) dx = F(x) + C Jika u = g(x) maka : ∫ f (g(x)) o g′ (x) dx = F(g(x)) + C
Contoh : 1. ∫ ( 4x + 5)8 dx cara a : misal u = 4x + 5
4
4 dudxdxdu
=→=
→ ∫ ( 4x + 5)8 dx = 98 u9.4
14
du.u =∫ + C
= 361 (4x + 5)9 + C
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 100
cara b : ∫ ( 4x + 5)8 dx = ∫ 41 (4x + 5)8 d (4x + 5)
= 361 (4x + 5)9 + C
2. ∫ − 43
2
)1x(x15 dx = ∫15 x2 (x3 − 1)-4 dx
cara a : misal u = (x3 − 1)
22
33
xdudxx
dxdu
=→=
→ ∫15 x2 (x3 − 1)-4 dx = ∫15 x2 u-4. 2x3du
= u35 Cu
35
33 −=+
−− + C
= 33 )1x(35−
− + C
cara b : ∫ 5 (x3 − 1)-4 d(x3 − 1)
= 3
5−
(x3 − 1)-3 + C
= C)1(3
533 +
−−
x
3. cosdxxsinxcos
4 ∫∫ = x sin-4 x dx
cara a : misal u = sin x
xcos
dudxxcosdxdu
=→=
xcos
du.uxcos 4∫→
31
−= u-3 + C
C3
13 +−=
xsin
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 101
cara b : ∫ cos x sin-4 x dx = ∫ sin −4 x d sin x
31
−= sin-3 x + C
C3
13 +−=
xsin
H. Integral Parsial
∫ u dv = uv − ∫ v du
Contoh : Selesaikan ! 1. ∫ x sin 3x dx u dv u = x dv = sin 3x dx
du = dx v = ∫ sin 3x dx = −31 cos 3x
∫ sin 3x dx = −31 xcos 3x + ∫ 3
1 cos 3x dx
= −31 xcos 3x +
91 sin 3x + C
2. dxxxdxxx ∫∫ +=+ 21
)34( 34
u = x dv = 21
)34( +x dx
du = dx v = )34( )34(41)34( 2
121
++=+ ∫∫ xdxdxx
23
)34(61
+= x
dxxxxdxxx )34(61)34(
61 )34( 2
323
21
∫∫ +−+=+
)34( )34(41
61)34(
61 2
323
++−+= ∫ xdx.xx
C)34(51
21
61)34(
61 2
523
++−+= x..xx
C)34(101)34(
61 2
3+
+−+= xxx
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 102
3. ∫ 2x cos x dx u = x2 dv = cos x dx du = 2x dx v = sin x = x2 . sin x − 2 ∫ x sin x dx u = x dv = sin x du = dx v = −cos x = x2 sin x −2 (−x + ∫ cos x dx)
= x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C Catatan :
Jika fungsi u turunan ke–k nya sama dengan nol (0) dan integralnya ada, maka dapat diselesaikan dengan cara praktis dari Tanzalin. Contoh : ∫ 2x cos x dx = ∴Jadi x2 cos x dx = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
4. dxxxdxx
x∫∫
−+=
+21
232
3)1(
1
dx)x(x.x 1 21
22 −+= ∫
u dv
misal : u = x2 dv = x(x2 + 1 21
) dx
du = 2x dx v = (x2 + 1 21
)
∫ 3x (x2 + 1 21
)−
dx = x2 (x2 + 1 21
) − ∫ ( x2 + 1 21
) . 2x dx
= x2 (x2 + 1 21
) − ∫ ( x2 + 1 21
) d(x2 + 1)
= x2 (x2 + 1 21
) − 32 (x2 + 1 2
3
) + C
x2
2x
2
0
sin x
-cos x
-sin x
cos x
di-in
tegr
al-k
an
di-d
ifere
nsia
l-kan
didi
fere
nsia
lkan
diin
tegr
alka
n