M A J M U A - SamDU blok fanlari/Hisoblash_usullari.pdfALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT...

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS

TA’LIM VAZIRLIGI

ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT

UNIVERSITETI

HISOBLASH USULLARI KAFEDRASI

« HISOBLASH USULLARI» fanidan o’quv-uslubiy

M A J M U A

Matematika va mexanika ta’lim yo’nalishlari bakalavr talabalari uchun

SAMARQAND-2010

2

Maxmudov J. «Hisoblash usullari» fanidan o’quv–uslubiy majmua (Matematika va mexanika ta’lim yo’nalishlari bakalavr talabalari uchun). O’quv-uslubiy majmua. – Samarqand: SamDU nashri, 2011. – 282 bet.

Ushbu o’quv–uslubiy majmuasi Samarqand davlat universitetining «Hisoblash usullari»

kafedrasida tayyorlangan. Majmua «Hisoblash usullari» fanini o’rganish jarayonida talabaning mustaqil ishlashini ta’minlovchi o’quv-uslubiy materiallarni o’z ichiga oladi hamda talaba olgan bilimining sifatini doimo nazorat qilishni ta’minlaydi. Ushbu o’quv-uslubiy majmua «Hisoblash usullari» fani o’quv rejaga kiritilgan barcha ta’lim yo’nalishlari bakalavr talabalari uchun mo’ljallangan. Taqrizchilar:

fizika-matematika fanlari doktori, prof. B.Xo’jayorov fizika-matematika fanlari nomzodi, dots. A.Abdirashidov

MUALLIFDAN Hurmatli talaba! Qo’lingizdagi ushbu o’quv-uslubiy majmua «Hisoblash usullari» fanini o’rganish jarayonida

sizning mustaqil ishlashingizni tashkil etishga mo’ljallangan. Majmua ikki bo’limdan iborat: «Fanning o’quv predmetiga kirish» va «Fanning reja-

topshiriqlari va o’quv-uslubiy materiallari» Birinchi bo’lim o’quv kursi bo’yicha dastlabki tushuncha beruvchi materiallar: o’quv

kursining dolzarbligi, maqsad va vazifalari, fan bo’yicha zarur bo’lgan bilim darajasining Davlat ta’lim standartlari talablari, mavzu va mashg’ulot turlari bo’yicha o’quv soatlarining taqsimlanishi hamda ularning mazmuni, tavsiya etiladigan adabiyotlar ro’yxati, mustaqil ishlar mavzulari, hamda bilimni nazorat qilish savolaridan iborat.

Ikkinchi bo’limda har bir mashg’ulot uchun reja-topshiriq va o’quv-uslubiy materiallari berilgan. Topshiriqlarni o’z vaqtida bajarish o’quv predmeti bo’yicha yuqori darajada bilimga ega bo’lishni va doimo o’z-o’zini nazorat qilib borishni ta’minlaydi.

Har bir fan kabi «Hisoblash usullari» fanini o’rganishda mantiqiy ketma-ketlikni ta’minlash talab etiladi. Shuning uchun mavzuni chuqur o’rgangandan so’ng yangi mavzuga o’tish mumkin bo’ladi.

SamDU «Hisoblash usullari» kafedrasi

assitsenti J.Maxmudov

A.Navoiy nomidagi Samarqand davlat universiteti, 2010

3

1 - BO’LIM

«HISOBLASH USULLARI» FANINING

O’QUV PREDMETIGA KIRISH

4

Ўзбекистон Республикаси

Олий ва ўрта махсус таьлим вазирлиги

Рўйхатга олинди №____________ 2008 йил "___" _________

Ўзбекистон Рспубликаси Олий ва ўрта махсус таъми вазирлигининг

2008 йил "___" ___________ даги "___" сонли буйруғи билан тасдиқланган

ҲИСОБЛАШ УСУЛЛАРИ фанининг

НАМУНАВИЙ ЎҚУВ ДАСТУРИ

Билим соҳаси: 400 000 - Фан

Таълим соҳаси: 5440200 - Mexanika Таълим йўналиши: 5440200 - Mexanika

Тошкент – 2008

5

Фаннинг ўқув дастури Олий ва ўрта махсус, касб-ҳунар таълими ўқув-услубий бирлашмалари фаолиятини Мувофиқлаштирувчи Кенгашнинг 2008 йил "____" ________ даги "____"- сонли мажлис баёни билан маъқулланган.

Фаннинг ўқув дастури Мирзо Улуғбек номидаги Ўзбекистон Миллий университетида

ишлаб чиқилди.

Тузувчилар: Маҳмудов А.А. – "Ҳисоблаш технологиялари ва математик моделлаштириш"

кафедраси доц., ф.-м.ф.н. Бахрамов С.Б. – "Ҳисоблаш технологиялари ва математик моделлаштириш"

кафедраси доц., ф.-м.ф.н. Тақризчилар:

Шодиметов Х.М. – Математика ва ахборот технологиялари институти бўлим бошлиғи, ф.-м.ф.д., проф.

Жўраев Ғ.У. – "Ҳисоблаш технологиялари ва математик моделлаштириш" кафедраси доценти.

Фаннинг ўқув дастури Мирзо Улуғбек номидаги Ўзбекистон Миллий университети

Илмий-услубий кенгашида тавсия қилинган (2008 йил 27 июнидаги 9- сонли баённома).

6

Кириш

Ҳисоблаш математикаси ўрганадиган турли амалий ва назарий фанлар тадқиқотларида учрайдиган масалаларни тақрибий ечиш асосларини етарли даражада ўқитиш ҳамда бу билимлар ёрдамида муайян математик масалани ечишни ўрганади. Хатоликлар назарияси, алгебранинг сонли усуллари, функцияларни яқинлаштириш, тақрибий интеграллаш, оддий дифференциал тенгламаларни ечиш, математик физика масалаларини ечишнинг сонли усуллари, тўр тенгламаларни ечиш усуллари, интеграл тенгламаларни тақрибий ечиш усуллари кўзда тутилган.

Ўқув фанининг мақсади вазифалари

“Ҳисоблаш усуллари” предметининг ўқитилишидан мақсад талабаларда турли

математик масалаларни ечишда турли алгоритмларни сифатини ва ишлатиш имкониятларини таҳлил қила билиш ҳамда алгоритмларни ярата билиш кўникмаларни ҳосил қилишдан иборат. Берилган масаланинг турини аниқлай олиш ва маълум алгоритмларни тўғри қўллай билиш ва маълум усулларнинг турғунлигини аниқлай билиш. Дастурлаш тилларини қўллаган ҳолда шахсий ЭҲМларда масалаларни еча олиш. Ҳисоб-китоб натижаларини малакали равишда таҳлил қила билиш.

Курс мобайнида функцияларни яқинлаштириш,тақрибий дифференциялаш ва интеграллаш, алгребанинг сонли усуллари ҳамда дифференциал тенгламаларни тақрибий ечишни ўрганади.

Фан бўйича талабаларнинг билимига, кўникма ва малакасига қўйиладиган талаблар

Ҳисоблаш математикаси ўқув қанини ўзлаштириш жараёнида амалга ошириладиган

масалалар доирасида бакалавр: - ҳисоблаш жараёнида қўйиладиган хатоликларни таҳлил қилиш; - жадвал кўринишида берилган функцияни аналитик функция билан алмаштириш;

тақрибий диференцилаш ва интеграллашни амалга ошириш; - трансцендент ва алгебраик тенламаларни тақрибий ечиш; тенгламалар системасини

тақрибий ечиш; - хос ва хос векторларни тақрибий топиш; - дифференциал ва интеграл тенглаламаларни тақрибий ва сонли ечимлари топиш

кўникмасига эга бўлиши керак.

Фаннинг ўқув режадаги бошқа фанлар билан ўзаро боғлиқлиги ва услубий жиҳатдан узвий кетма-кетлиги

Ҳисоблаш усуллари табиий-илмий фан бўлиб, 6,8 семестрларда ўқитилади. Дастурни

амалга ошириш учун ўқув режадаги математик анализ, алгебра, аналитик геометрия, дифференциал тенгламалар, математик физика тенгламалари, ЭҲМ ва дастурлаш билан боғлиқ бўлиб, уларнинг натижаларидан кенг фойдаланилади.

Фаннинг ишлаб чиқаришдаги ўрни

Ҳисоблаш усуллари амалиётда учрайдиган масалаларни тақрибий ечиш билан

шуғулланади. Маълумки, табиий фанлар ҳамда техника фанларида учрайдиган кўпгина масалалар чизиқсиз дифференциал тенгламаларга келтирилади, яъни уларнинг аналитик ечимини топиш ниҳоятда мураккаб масала, шу сабабли тақрибий ечиш усулларидан фойдаланиш кўпроқ самара беради.

7

Фанни ўқитишда замонавий ахборот ва педагогик технологиялар

Ҳисоблаш усуллари фанини ўзлаштириш учун ўқитишнинг илғор ва замонавий усулларидан фойдаланиш, янги информацион-педагогик технологияларни татбиқ қилиш муҳим аҳамиятга эга. Фанни ўзлаштиришда дарслик, ўқув ва услубий қўлланмалар, маъруза матнлари, тарқатма материаллар, электрон материаллар, виртуал стендлар ҳамда ишчи ҳолатдаги математик моделлардан ва илғор педагогик технологиялардан фойдаланилади.

АСОСИЙ ҚИСМ

Кириш

Ҳисоблаш усуллари замонавий математиканинг бир ажралмас қисми сифатида. Сонли

усуллар кўпгина амалиёт масалаларини ечишда, айниқса, моделлари дифференциал тенгламалар терминида ифодаланадиган жараён, жараёнларни тадқиқ қилишнинг ажралмас қисми эканлиги. Бундай моделларни самарали татбиқ қилиш у ёки бу ҳисоблаш алгоритмларини танлаш ва компьютерда дастурлаш усуллари билан бевосита боғлиқлиги. Дискретлаштириш. Сезгирлик, шартланганлик, хатолик. Ҳисоблаш усули. Масала ечимининг хатолиги.

Хатоликлар назарияси

Хатоликлар манбалари. Абсолют ва нисбий ва лимит нисбий хатолик. Қийматли ва ишончли рақамлар. Ишончли рақамлар сони билан лимит нисбий хатолик ўртасидаги боғланиш. Амал хатоликлари. Функция хатолиги. Хатоликнинг тескари масаласи.

Алгебранинг сонли усуллари

Бир номаълумли тенгламаларнинг илдизлари чегаралари, илдизларни тақрибий топиш: оддий итерация, Ньютон, ватарлар усуллари ва модификациялари. Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг аниқ усуллари. Гаусс усули. Тескари матрицани топиш. ЧАТС (чизиқли алгебраик тенгламалар системаси)ни ечимини топишнинг итерацион усуллари. Итерацион усулларнинг яқинлашиши ва хатолиги. Чебишев параметрларининг гуруҳи қатнашган итерацион усуллар. Чизиқсиз тенгламалар системасини ечишнинг итерацион усуллари. Хос сон ва хос векторларни топишнинг сонли усуллари.

Функцияларни яқинлаштириш

Функцияларни яқинлаштириш усуллари. Алгебраик кўпҳадлар билан яқинлаштириш.

Интерполяцион масала ечимининг ягоналиги. Лагранж интерполяцион формуласи ва хатолиги. Айирмалар нисбати ва уларнинг хосслари. Нюьтоннинг тенгмас ораликлар учун интерполяцион формуласи. Чекли айирмалар ва уларнинг хосслари. Тенг ораликлар учун интерполицион формулалар. Сплайн-яқинлаштириш, сплайнлар фазоси базиси. Сплайн интерполяция. Касрли-рационал яқинлаштириш. Ўрта квадратик маънода яқинлаштириш.

Тақрибий интеграллаш

Интерполяцион квадратур формулалар. Ньютон-Котес типидаги квадратур формулалар, трапеция ва Симпсон квадратур формулалари ва уларнинг хатоликлари. Ортогонал кўпҳадлар ва уларнинг хоссалари. Гаусс типидаги квадратур формулалар. Хосмас интегралларни тақрибий ҳисоблаш. Каррали интегралларни ҳисоблаш. Тақрибий интеграллаш масаласига функционал ёндашув.

8

Оддий дифференциал тенгламаларни ечиш

Оддий дифференциал тенгламалар учун қўйилган Коши масаласини ечишнинг сонли

усуллари. Кетма-кет яқинлашиш, Эйлер, Рунге-Кутта усуллари. Адамснинг интерполяцион ва экстрапроляцион усуллари. Системаларни интеграллаш. Чегаравий масалаларни ечишнинг сонли усуллари. Уч диагоналли системага келтириш ва прогонка усули. Вариацион масалага келтириш ва вариацион усуллар, Галеркин, коллокация, Ритц методлари.

Математик физика масалаларини ечишнинг сонли усуллари

Дастлабки тушунчалар. Чекли айирмали схемалар. Айирмали аппроксимация. Иссиқлик ўтказиш масалалари учун айирмали схемалар. Айирмали схемада турғунлик ва яқинлашиш орасидаги боғланиш. Айирмали схемалар учун максимум принципи. Пуассон тенгламаси учун қўйилган Дирихле айирмали масаласининг турғунлиги ва яқинлашиши. Либман процесси. Айирмали схемаларнинг турғунлик назарияси. Чегаравий масалаларни ечишда вариацион усуллар. Вариацион ва вариацион-айирмали схемалар.

Интегралли тенгламаларни ечиш усуллари.

Интегралли тенгламаларни ечиш усуллари. Биринчи турдаги интегралли тенгламалар. Коррект бўлмаган масалаларни ечиш. Иккинчи тур интегралли тенгламалар. Чекли йиғиндилар усули. Ажралувчан (хос) ядро усули.

Амалий машғулотларни ташкил этиш бўйича кўрсатма ва тавсиялар

Амалий машғулотларда талабалар турли масалаларни тақрибий ечишни усулларини

ўрганадилар. Амалий машғулотларнинг тахминий тавсия этиладиган мавзулари: 1. Амал хатоликларини баҳолаш. 2. Лагранж интерполяцион формуласи ва унинг хатолиги. 3. Тенгмас ораликлар учун Ньютон интерполяцион формуласи. 4. Тенг ораликлар учун Ньютон интерполяцион формуласи. 5. Сплайнлар билан яқинлаштириш. 6. Ўрта квадратик яқинлаштириш. 7. Интегралларни тақрибий ҳисоблашда трапеция формуласи. 8. Интегралларни тақрибий ҳисоблашда Симпсон формуласи. 9. Интегралларни тақрибий ҳисоблашда Гаусс формуласи. 10. Бир номаълумли алгебраик тенгламаларнинг илдизлари чегараси. 11. Чизиқсиз тенгламалар системани ечиш учун оддий итерация усули. 12. Чизиқсиз тенгламалар системани ечиш учун Ньютон итерация усули. 13. Чизиқсиз тенгламалар системани ечиш учун ватарлар усули. 14. Чизиқсиз тенгламалар системасини ечишда Ньютон ва Монте Карло усуллари.

Мустақил ишнинг ташкил этишнинг шакли ва мазмуни

Талаба мустақил ишни тайёрлашда муайян фаннинг хусусиятларини ҳисобга олган

ҳолда қуйидаги шакллардан фойдаланиш тавсия этилади. дарслик ва ўқув қўлланмалар бўйича фан боблари ва мавзуларини ўрганиш; тарқатма материаллар бўйича маърузалар қисмини ўзлаштириш; автоматлаштирилган ўргатувчи ва назорат қилувчи тизимлар билан ишлаш;

9

махсус адабиётлар бўйича фанлар бўлимлари ёки мавзулари устида ишлаш; янги жараёнлар ва технологияларни ўрганиш; талабанинг ўқув-илмий-тадқиқот ишларини бажариш билан боғлиқ бўлган фанлар

бўлимлари ва мавзуларни чуқур ўрганиш; фаол ва муаммоли ўқитиш услубидан фойдаланиладиган ўқув машғулотлари; масофавий (дистанцион) таълим. Тавсия этилаётган мустақил ишларнинг мавзулари: 1. Тенг оралиқлар учун Гаусс интерполяцион кўпҳади. 2. Тригонометрик функцияларни ўртача квадратик маънода яқинлаштириш (узлуксиз

ва дискрет ҳоллар). 3. Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишда квадрат илдизлар усули. 4. Матрицанинг характеристик кўпҳадини топишда Данилевский усули. 5. Бир жинсли айирмали схемалар. 6. Тор тебраниш тенгламаси учун айирмали схемалар. 7. Айирмали масаланинг қўйилиши ва аппроксимация хатолигини баҳолаш.

Адабиётлар

Асосий адабиётлар 1. Исроилов М.И. Ҳисоблаш методлари. Тошкент: Ўқитувчи, 2000. 2. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырний П.И. Вычислительные методы высшей

математики. 1,2-том. Минск, Выща школа. 1972, 1975. 3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М., Наука. 1989.

Қўшимча адабиётлар

4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: Физматгиз. 1962. 5. Самарский А.А. Введение в численные методы. -М., Наука. 1987. 6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука. 1989. 7. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М., Наука. 1987. 8. Сборник задач по методам вычислений. Под редакцией Монастырного П.И. Минск,

Выща школа. 1983. 9. Исматуллаев Ғ.П., Жўраев Ғ.У. Ҳисоблаш усулларидан методик қўлланма. Тошкент:

Университет, 2005. 10. Исматуллаев Ғ.П., Пўлатов С.И., Фаязов Қ.С. Сонли усуллардан қўлланма. Тошкент:

Университет, 2008. 11. Алоев Р.Д., Шарипов Т. Сонли усуллардан маърузалар тўплами. БухДУ, 1995.

10

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA

MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI

MEXANIKA - MATEMATIKA FAKULTETI

«HISOBLASH USULLARI» KAFEDRASI

«TASDIQLAYMAN» SamDU o’quv ishlari prorektori _______________ prof. A.Soleev

«___»___________ 2010 y.

«HISOBLASH USULLARI» FAN DASTURI

Matematika va mexanika ta’lim yo’nalishlari 3,4 -kurs bakalavr talabalari uchun

№ Mashg’ulot turi Ajratilgan soat

rejada amalda

1. Nazariy mashg’ulot 30 30 2. Amaliy mashg’ulot 30 30 3. Mustaqil ish 92 92 JAMI: 152 152

Samarqand - 2010

Ro’yxatga olindi №____________

2010 yil

11

Ushbu fan dasturi fakultet Ilmiy Kengashining 2010 yil 29 avgustdagi majlisida 1-son

bayonnoma bilan tasdiqlangan.

Fakultet dekan: dots. H.Qurbonov

Ushbu fan dasturi fakultet o’quv-uslubiy kengashining 2010 yil 29 avgustdagi

majlisida 1-son bayonnoma bilan tasdiqlangan.

Fakultet o’quv-uslubiy kengashi raisi: dots. E.Sattorov

Ushbu fan dasturi kafedraning 2010 yil 27 avgustdagi №1 majlisida 1-son bayonnoma

bilan tasdiqlangan.

Kafedra mudiri: dots. A.Abdirashidov

Tuzuvchi: ass. J.Maxmudov

Alisher Navoiy nomidagi Samarqand davlat universiteti, 2010

12

1.1. FANGA KIRISH, UNING DOLZARBLIGI, MAQSAD VA VAZIFALARI, UNI O’ZLASHTIRISHGA QO’YILADIGAN TALABLAR.

1.1.1. Kirish (Fanning o’rni va ahamiyati, rivojlanish taraqqiyoti, nazariy va metodologik asosi va o’rganiladigan muammolari bayon etiladi).

Hisoblash usullari kursiga bag’ishlangan kitoblar rus va chet tillarda ko’plab chop etilgan. Matematika turmush masalalarini yechishga bo’lgan extiyoj tufayli vujudga kelganligi uchun

ham u sonli matematika ya’ni hisoblash matematikasi bo’lib, uning maqsadi esa masala yechiminpi son shaklida topishdan iborat edi. IX asrda yashagan buyuk o’zbek matematik olimi Muhammad ibn Muso al – Xorazmiy hisoblash matematika Fanini yaratishga katta hissa qo’shgan. Chet el olimlaridan Nyuton, Eyler, Lobachevsky, Gauss kabilar ham bu fanni yaratishga ulkan hissa qo’shganlar.

Matematikada tipik matematik masalalarining yechimlarni yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchi metodlar yaratishga va shu maqsadda hozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish o’llarini ishlab chiqishga bag’ishlangan soha hisoblash matematikasiga deyiladi. Fanning maqskadi funksional fazolarda to’plamlarni va ularda aniqlangan operatorlarni yaqinlashtirish hamda hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo’llanadigan sharoitda masalalarni yechish uchun oqilona va tejashlar algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iborat.

Fanning asosiy masalasi – hisoblash usullari fanining rivojlanishi ta’rixini o’rganish, taqribiy sonlarni kelib chiqishini, xatolar nazariyasi ularning kelib chiqishi manbalari va nihoyat dastlabki yaqinlashishni aniqlash usullarini o’rganish va undan keyin sonli usullarni o’rganib borilgan masalalarni yetarli aniqlik bilan yechishdan iborat.

1.1.2. Fanning tarkibini o’zlashtirishga qo’yiladigan talablar. Fanni o’zlashtirgandan keyin talaba:

quyidagi nazariy bilimlarga ega bo’lishi va ulardan foydalana olishi zarur: - hodisani o’rganishning matematik modelini va uni yechish usulini tanlay bilishi; - tadqiq qilinayotgan ob’yekt uchun aniq xarakteristikalar berishi; - mustaqil hisoblash matematikasi usullarini qo’llay bilishi; - nazariy bilimlariga asoslanib maxsus dasturlar paketidan foydalangan holda biror

algoritmik tilda masalani yechishning dasturini tuzishi; - olingan natijalarni tahlil qila bilishi;

quyidagi amaliy ko’nikmalarni egallashi zarur: - mustaqil bilim olish; - hisoblash matematikasi usullarini amalaiy masalalarni yechishga qo’llash; - maxsus dasturlar paketidan foydalanish; - natijalarni tahlil qila bilish;

quyidagilar haqida tasavvurga ega bo’lishi zarur: - hisoblash matematikasi usullarining universialligi; - o’rganilayotgan ixtiyoriy ob’yektni diskretlashtirish jarayoni; - zamonaviy axborot texnologiyalaridan unumli foydalanish; - maxsus dasturlar paketi; - sodda amaliy masalalarning hisoblash matematikasi usullari yordamida olingan

yechimlari; quyidagilar yuzasidan malakalarni egallashi zarur:

- tadqiqot ob’yektining matematik modelini tuzish jarayoni va uni tadqiq qilishga chekli elementlar usulini qo’llay bilish;

- masalaning diskret modelini tuzish, bazis funksiyalarni tanlay bilish; - approksimatsiyalash, turg’unlik va yaqinlashshga tekshira bilish; - maxsus dasturlar paketidan foydalanib, sodda amaliy masalalarni yechish.

13

1.1.3. Fanning boshqa fanlar bilan bog’liqligi va uslubiy jihatdan uzviy ketma-kerligi (Fanning boshqa turdosh fanlar bilan o’zaro aloqadorligi va uzviyligi haqida ma’lumot beriladi).

Ushbu fan matematik analiz, algebra, analitik va differensial geometriya, differensial va integral tenglamalar, matematik fizika tenglamalari fanlari bilan bog’langan bo’lib, bu fanlar talabalarning taqribiy va sonly yechesh usullarini chuqur o’zlashtirishlari uchun zarur hisoblanadi. Shuningdek, talabalar turli texnik ob’ektlar hisoblarini ilg’or va zamonaviy hisob usullarida bajara olishlari, hisob ishlarini shaxsiy kompyuterlarda bajara olishlari uchun ular informatika va axborot texnologiyalari fanini mukammal o’zlashtirib, yangi pedagogik va axborot texnologiyalarini tadbiq qilgan holda, Maple, Mathlab, Mathematica va MathCad kabi matematik dasturlar va mavjud elektron darsliklardan unumli foydalanib, dastur tuzishlari hamda uni amalda bajara olishlari kerak.

Bunda asosan, talabalar ma’ruzalar matnlarini o’rganish, uni amaliyot ishlari bilan birgalikda olib borish hamda amaliy mashg’ulotlar materiallarini shaxsiy kompyuterlarda bajarish ko’nikmalarni hosil qilishi kerak.

Fanni o’rganishda mashg’ulotlarning ma’ruza, amaliyot mashg’ulotlari, mustaqil ta’lim shakllaridan foydalaniladi va interfaol usullarning aqliy hujum, klaster, taqdimot, bumerang va boshqa yangi pedagogik texnologiya elementlari qo’llaniladi.

1.2. FANNING HAJMI VA MAZMUNI 1.2.1 Fanning hajmi

№ Mashg’ulot turi Ajratilgan soat rejada

1. Nazariy mashg’ulot 30 2. Amaliy mashg’ulot 30 4. Mustaqil ish 92 JAMI: 152

1.2.2. Fanning ta’lim standartlariga asoslangan mazmuni Nazariy ma’ruzalarni mazmuni. Hisoblash usullari fanining tarixini o`rganish. Taqribiy sonlarni kelib chiqishi, xatolar

nazariyasi va ularni kelib chiqishi manbalarini o`rganish. Chiziqli va chiziqli bo`magan tenglamalarni amaliy masalalarni yechish bilan bog`lanish. Hisoblash usullari fanining sonli usullarini o`rganish va tenglamalarni yechishga qo`llanilishini o`rganish. Interpolyasiyalash, taqribiy integrallash, oddiy differensiyal tenglamalarini taqribiy yechish usullarini o`rganish. Simpson funksiyalar bilan yaqinlashtirish masalalarini o`rganish. Oddiy differensial tenglamalr uchun Koshi va chegaraviy masalalarni yechishning taqribit va sonli usullarini o`rganish. Xususiy xosilali differensial tenglamalar uchun qo`yilgan masalalarni chekli ayirmalar usuli bilan yechishni hamda integral tenglamalarni taqribiy yechishni o`rganish.

Amaliy mashg’ulotlar mazmuni Taqribiy sonlar sohasini o`rganish. Xatolar nazariyasi va ularni taqribiy sonlarni xatolarini

chegarasini aniqlash usullarini algoritmi va dasturini tuzish. Chiziqli va chiziqli bo’lmagan tenlamalarni taqribiy yechish uchun dastlabki yaqinlashashani tashlash usullarni o’rganish va bularni 1-ta tenglamani yechish uchun ko’llash. Sonli yaqinlashishi masalasini o`rganish va ularni kompyuterda tahlil qilish. Gauss, Zeydel, Iterasiya usullari bilan amaliy masalalarni yechish. Interpolyasion formulalarni amaliy masalalarni o`rganish uchun qo`llash. Integrallarni taqribiy yechish usullarini va ODT-ni taqribiy yechish usullarini kompyuterda hisoblashni o`rganish. Oddiy differensial tenglamalr uchun Koshi va chegaraviy masalalarni yechishning taqribit va sonli usullarini o`rganish. Xususiy xosilali differensial tenglamalar uchun qo`yilgan masalalarni chekli ayirmalar usuli bilan yechishni hamda

14

integral tenglamalarni taqribiy yechishni o`rganish.

1.2.3. Fan mashg’ulotlari mavzulari mazmuni va ularga ajratilgan soat

Nazariy mashg’ulotlar mavzulari mazmuni va ularga ajratilgan soat 6, 8 -semestr (30 soat)

1-ma’ruza (2 soat): Hisoblash usullarining predmeti va metodi. Xatoliklar nazariyasi va ularni kelib chiqish manbalari. Xatoliklarni turlari va uning taraqiyotdagi o’rni va ishlatish sohasi.

2-ma’ruza (2 soat): Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechish usullari. Ildizlarni ajratish, kesmani teng ikkiga bo`lish, Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar usullari

3-ma’ruza (2 soat): Chziqli algebraik tenglamalar sistamasini (ChATS) yechish usullari. Gauss, oddiy iteratsiyalar, Zeydel ussullari

4-ma’ruza (2 soat): Chziqlimas tenglamalar sistamasini yechish usullari. Oddiy iteartsiyalar, Zeydel, Nyuton ussullari

5-ma’ruza (2 soat): Matrisaning xos son va xos vektor masalasini yechishning ussullari. Iteratsiya, A.N.Krilov usullari. Xos qiymat va xos vektorni topish amaliy masalalarni yechish bilan bog’liqligini ko’rsatish.

6-ma’ruza (2 soat): Interpolyatsiya masalasi. Lagranj va Nyuton interpolystsion ko`phadlari. Interpolyasiyalash masalasini mohiyati

7-ma’ruza (2 soat): Funksiyalarni sonli integrallash. To`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson formulalari

8-ma’ruza (2 soat): Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan masalalarni yechish. Koshi masalasi. Eyler, Runge-Kutta ussullari.

9-ma’ruza (2 soat): Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechish usullari. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari.

10-ma’ruza (2 soat): Chekli ayirmali sxemalar (ChAS) to’g’risida tushunchalar. Differensial operatorning ChA approsimatsiyasi. ChA masalaning qo’yilishi. Approksimatsiya, korrektlik, turg’unlik, yaqinlashish. Ular o’rtasidagi bog’lanish.

11-ma’ruza (2 soat): ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani o`q otish va ChAlar usuli bilan yechish. Progonka usuli.

12-ma’ruza (2 soat): Bir o’lchamli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish 13-ma’ruza (2 soat): To’lqin tenglamasi uchun qo`yulgan masalani chekli ayirmalar usuli bilan

yechish 14-ma’ruza (2 soat): Laplas operatorini tekis va notekis to`rda approksimatsiya qilish. Puasson

tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi 15-ma’ruza (2 soat): Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Amaliy mashg’ulotlar mavzulari mazmuni va ularga ajratilgan soat 6, 8-semestr (30 soat)

1-amaliy mashg’ulot (2 soat): Xatoliklar. Absolyut va nisbiy xatolik 2-amaliy mashg’ulot (2 soat): Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechishning sonli usullari.

Ildizlarni ajratish, kesmani teng ikkiga bo`lish, Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar usullari 3-amaliy mashg’ulot (2 soat): Chziqli algebraik tenglamalar sistamasini (ChATS) yechishning

sonli usullari. Gauss, oddiy iteratsiyalar, Zeydel ussullari 4-amaliy mashg’ulot (2 soat): Chziqlimas tenglamalar sistamasini yechishning sonli usullari.

Oddiy iteartsiyalar, Zeydel, Nyuton ussullari 5-amaliy mashg’ulot (2 soat): Matrisaning xos son va xos qiymat masalasini yechishning sonli

ussullari. Iteratsiya, A.N.Krilov usullari

15

6-amaliy mashg’ulot (2 soat): Interpolyatsiya masalasi. Logranj va Nyuton interpolystsion

ko`phadlari. 7-amaliy mashg’ulot (2 soat): Funksiyalarni sonli integrallash. To`g`ri to`rtburchaklar,

trapetsiyalar, Simpson formulalari 8-amaliy mashg’ulot (2 soat): Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan masalalarni

sonli yechish. Koshi masalasi. Eyler, Runge-Kutta ussullari. 9-amaliy mashg’ulot (2 soat): Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy

masalalarni yechish usullari. Kollokatsiya, Galyorkin usullari 10-amaliy mashg’ulot (2 soat): Chekli ayirmali approsimatsiyalar tuzish. ODT uchun qo’yilgan

chegaraviy masalani ChA usuli bilan yechish. 11-amaliy mashg’ulot (4 soat): Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini

ChA usuli bilan yechish. 12-amaliy mashg’ulot (2 soat): To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani ChA usuli

bilan yechish. 13-amaliy mashg’ulot (2 soat): Puasson tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi. 14-amaliy mashg’ulot (2 soat): Integral tenglamalarni yechish usullari

Mustaqil ta’lim mashg’ulotlairi mavzulari mazmuni va ularga ajratilgan soat (92 soat)

1-Mustaqil ish (2 soat): Markaziy ayirmali jadvallar va ularga mos keladigan formulalar. 2-Mustaqil ish (4 soat): Gaussning 1-2 interpolyasion formulalari. 3-Mustaqil ish (4 soat): Stirling va Bessel interpolyasion formulalari. 4-Mustaqil ish (3 soat): Trigonometrik funksiyalarni urtacha kvadratik yakinlashtirish

(uzluksiz xol). 5-Mustaqil ish (3 soat): Trigonometrik funksiyalarni urtacha kvadratik yakinlashtirish (

diskret xol). 6-Mustaqil ish (4 soat): Karrali integralarni takribiy xisoblash usullari. 7-Mustaqil ish (4 soat): Chizikli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda graidiyentlar

usuli. 8-Mustaqil ish (4 soat): ChTS.-yechishda yeng kichik kvadratlar usuli. 9-Mustaqil ish (4 soat): Matrisaning xarakteristik kupxadini topishda xoshiyalash usuli. 10-Mustaqil ish (4 soat): Algebraik va transendent tenglamalarni takribiy yechishning grafik

usuli. 11-Mustaqil ish (4 soat): Algebraik va transendent tenglamalarni takribiy yechishning

Vatarlar usuli. 12-Mustaqil ish (4 soat): Algebraik va transendent tenglamalarni takribiy yechishning ikkiga

bulish usuli. 13-Mustaqil ish (4 soat): Adamsning ikkinchi va uchinchi tartibli oshkor va oshkormas

formulalarini keltirib chikarish. 14-Mustaqil ish (4 soat): Integrallarni takribiy xisoblash formulalari. 15-Mustaqil ish (4 soat): Oddiy diferensial tenglamalarni takribiy yechish usullari. 16-Mustaqil ish (3 soat): Xisoblash matematikasining tarixi, predmeti va metodi. 17-Mustaqil ish (3 soat): Xozirgi zamon xisoblash mashinalari va sonli metod nazariyasi. 18-Mustaqil ish (3 soat): Masalalarni sonli yechishdagi natijalar xatosi. 19-Mustaqil ish (3 soat): Xisoblash matematikasida yukotolmas xato. 20-Mustaqil ish (3 soat): Algebraik tenglamalarni ildizlarini ajratish. 21-Mustaqil ish (3 soat): Kupxad va uning xosilalari kiymatlarini xisoblash. 21-Mustaqil ish (3 soat): Kiskartirib aks yetish prinsipi. 23-Mustaqil ish (3 soat): Metrik fazo xakida tushuncha

16

1.3. FANNI O’QITISH JARAYONINI TASHKIL ETISH VA O’TKAZISH BO’YI-CHA TAVSIYALAR. (Fanni o’qitish shakli, vositalari, texnologiyasi va metodlari).

1.3.1. Nazariy mashg’ulotlarga tayyorgarlik. Bu jarayonga tayyorgarlik ko’rishda faqatgina ma’ruza materiallari bilan cheklanib

qolmasdan, balki bir necha uslubiy qo’llanma va darsliklardan foydalanish lozim. Bu bir tomondan dars hajmining kamligi sababli ma’ruza darslarida yetkazishning imkoni bo’lmagan mavzularni to’ldirishga, ikkinchi tomondan esa chuqur bilim olish va masalalarni yechish ko’nikmalarni shakllantirishga yordam beradi. Bu o’z navbatida talabaning mustaqil bilim olishini, adabiyotlar bilan ishlash ko’nikmalarini shakllantiradi.

1.3.2. Amaliy mashg’ulotlarni o’qitish jarayonini tashkil etish va uni o’tkazishga tayyorgarlik bo’yicha tavsiyalar.

Talabaning nazariy ma’lumotlarni va umumiy fanni o’zlashtirish darajasi uning amaliy masalalarni, seminar mashg’uloti materiallarini bajarishi, masalalarni mustaqil yecha olishi, uy vazifalarini bajara olishi darajasi va samaradorligi bilan aniqlanadi. Shuning uchun talaba fanning har xil bo’limlaridagi tipik masalalarni mustaqil yechish ko’nikmalarini egallashi lozim. Bu jarayonda talaba o’rganilayotgan fanning ma’nosiga chuqurroq yetib borgan holda aniq amaliy masalalarni yechishda umumiy nazariy qonuniyatlarni qo’llay oladi. Buning uchun talaba amaliyot darslarida qiyinlik darajasi oshib boruvchi kamida 5-6 ta masala yechishi zarur. Darsdan tashqari mustaqil ish va uy vazifasi sifatida talabaga o’rtacha qiyinlikdagi va uslubiy manbalardan foydalangan holda yechish mumkin bo’lgan masalalarni berish maqsadga muvofiq. Bunda o’tilgan nazariy ma’lumotlar va masalalar yechishning maxsus uslublaridan foydalanilishiga e’tibor berish kerak. Shunday qilib, talabani shu fanga kiruvchi har xil bo’limlarga oid masalalarni nazariy ma’lumotlarga tayanib yechishga o’rgatiladi. Bu jarayonda quyidagi uslubiy xarakterga ega qoidalarni e’tiborga olish maqsadga muvofiq:

masalaning qo’yilishini qisqacha yozish, bunda berilgan ma’lumotlarning hamma-sini yagona birliklar sitemasiga o’tkazish, lozim bo’lganda ba’zi spravochnik o’zgarmaslarini kiritish;

masalani yechish jarayonida qo’llaniladigan barcha zaruriy qonuniyatlarni o’zida aks ettiruvchi noma’lum miqdorlarni izlashning mantiqiy yo’llarini topgan holda masalani tahlil qilish;

masala shartining grafik tasvirini (eskizini) chiza bilish; masalani yechishning ketma-ketligini izohlashlar bilan bajara olish; o’lchamlarni tekshira olish, berilgan ma’lumotlardan to’la foydalana olish, yechimning

ishonchliligini baholay olish; masalaning yechimini yetarlicha aniqlik bilan hisoblay bilish; olingan sonli natijalarning mantiqiy maqsadini baholay bilish va ulardan zaruriy mexanik

xulosalar chiqara bilish. Talabaning amaliyot darslaridagi topshiriqlarni, uy vazifalarini va mustaqil ish topshiriqlarini

bajarishini nazorat qilish va baholashning quyidagi uslubiga e’tiborni qaratish maqsadga muvofiq: uy vazifalarini tekshirish; nazorat topshiriqlarini bajarishini tekshirish; dars davomida o’zlashtirishini nazorat qilish; mustaqil ish topshiriqlari himoyasi. Amaliyot mashg’uloti topshirig’ini bajarishdan kutiladi-gan natijalar: mavzu yuzasidan bilimlarni tizimlashtirish va mustahkamlash; amaliy masalalarni yechishda nazariy tushunchalardan foydalana bilish; masalani yechishning to’g’ri usulini tanlay bilish; masalani mustaqil yechish ko’nikmasini hosil qilish; masalaning yechimini mustaqil tahlil qila bilish.

17

1.3.3. Amaliyot mashg’uloti topshirig’ini bajarishdan kutiladigan natijalar: mavzu yuzasidan bilimlarni tizimlashtirish va mustahkamlash; amaliy masalalarni yechishda

nazariy tushunchalardan foydalana bilish; masalani yechishning to’g’ri usulini tanlay bilish; masalani mustaqil yechish ko’nikmasini hosil qilish; masalaning yechimini mustaqil tahlil qila bilish.

1.3.4. Mustaqil ish turlari:

takrorlash va mashq qilish: takrorlash; tahlil qilish; qayta ishlash; mustahkamlash; chuqurlashtirish; eslab qolish; ko’nikma hosil qilish; malakani shakllantirish;

yangi bilimlarni mustaqil o’zlashtirish: yangi mavzular; axborot manbaini izlab topish va konspektlashtirish; mustaqil fikrlar tuzish;

ijodiy xarakterdagi ishlar: muammoli vaziyatlarni aniqlash; test va topshiriq tuzish; slaydlar tayyorlash; mustaqil qaror qabul qilish; yangi usullar yaratishga intilish.

1.3.5. Mustaqil ta’limni tashkil qilishda foydalanadigan vositalar:

nazariy mashg’ulotlarda foydalanadigan vositalar (darslik; o’quv qo’llanma; masala va mashq to’plami; diapozitivlar; lug’atlar; masalalar to’plami; magnit yozuv; video yozuv; o’rgatuvchi dasturlar; multimedia va hokazo);

amaliy mashg’ulotlarda foydalaniladigan vositalar (yo’riqnomalar to’plami; tabiiy o’qitish vositalari; xarakatlanuvchi modellar; o’quv plakatlari; yo’riqnoma; texnologik xaritalar; trasparantlar; modellar; elektron kitoblar; maketlar; testlar va hokazo).

1.3.6. Referat yozish bo’yicha qisqacha ko’rsatmalar:

Referat tayyorlashda hal etilishi nazarda tutiladigan vazifalar: o’quv predmetning dolzarb nazariy masalalari bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish, talaba tomonidan mavzuga oid olingan nazariy bilimlarni ijodiy qo’llash ko’nikmalarini hosil qilish; tanlangan kasbiy sohada mavjud mahalliy va xorijiy tajribalarni mavjud sharoitlarda ularni amaliy jihatdan qo’llash imkoniyatlari va muammolarni o’zlashtirish; tanlangan mavzu bo’yicha har xil manbalarni (monografiyalar, davriy nashrlardagi ilmiy maqolalar va shu kabilar) o’rganish qobiliyatini takomillashtirish va ularning natijalari asosida tanqidiy yondashgan tarzda mustaqil holda materialni ifoda etish, ishonchli xulosa va takliflar qilish; yozma ko’rinishdagi ishlarni to’g’ri rasmiylashtirish ko’nikmalarini rivojlantirish.

Referat ustida ishlash tartibi: mavzuni tanlash; mavzu bo’yicha asosiy manbalarni o’rganish; zaruriy materiallarni konspektlashtirish; tadqiqot rejasini tuzish; yig’ilgan materiallarni tartibga solish va yozish; foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatini rasmiylashtirish; referatni rasmiylashtirish.

Referatni rasmiylashtirish tartibi: A4 shakldagi qog’ozga 12-shrift, 1,5 interval, qog’ozning bir tomonida chapdan – 2,5 sm, o’ngdan – 1,5 sm, yuqori va pastdan – 2 sm xoshiya qoldiriladi; matn sahifalariga tartib raqami beriladi, 1-titul varag’i, 2-reja, 3-betdan boshlab sahifalanadi; referat hajmi 20-25 betdan oshmasligi lozim.

Referat matnini rasmiylashtirish tartibi: titul varag’i; ish rejasi; kirish; asosiy qism (kamida 3 ta banddan iborat bo’lishi lozim); xulosa; foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati; ilova (jadval, diagramma, grafik, rasm, sxema va hokazo).

1.3.7. Ta’lim umumiy shakllari: jamoaviy, guruh bo’lib, yakka tartibda (frontal, zveno, individual).

1.3.8. Ta’lim usullari:

an’anaviy usullar (og’zaki, amaliy, ko’rgazmali, kitob bilan ishlash, video va audio usullar);

18

aniq maqsadli usullar (bilimlarni egallash; malaka va ko’nikmalarni shakllantirish; bilimlarni qo’llash; ijodiy faoliyat; mustahkamlash; bilim, malaka va ko’nikmalarni tekshirish);

idrok etish-bilish faoliyati xarakteriga ko’ra usullar (tushuntirish – illyustrativ (axborot – reseptiv); reproduktiv; muammonli bayon qilish; qisman ijodiy (evristik); tadqiqiy);

didaktik maqsadli yo’naltirilgan usullar (ilk bor bilimlarni o’zlashtirish; egallangan bilimlarni mustahkamlash va takomillashtirish).

1.3.9. Yangi pedagogik va innovasion texnologiyalar uslublari: «Ma’ruza», «Tanishuv», «Tushunchalar tahlili», «Zinama-zina», «Charxpalak», «Bumerang», «Rezyume», «Muammo», «Labirint», «Blis-so’rov», «Fikr, sabab, misol, umumlashtirish (FSMU)», «Skarabey», «Yelpig’ich», «Muloqot», «Yozma bahs», «Kuzatish, bahslashish, ishontirish (KBI)», «Munosabat», «Tashviqot guruhi», «Amaliyotda jamoaviy ijodiy ishlar», «Ssenariy (sahna)», «Ishontirish maktabi», «Kelishuv va ziddiyat», «Uchlik - samarali, axloqiy, nazokatli (SAN)», «Tushuntiruvchi, talqin qiluvchi (germenevtik)», «Aniq vaziyat, hodisa (keys-stadi)», «Haqiqiy vaziyatlarni o’yin qilib ko’rish (simulyasiya)», «Taqdimot», «Olmos», «Jadvallar», «Kungaboqar», «3x4», «6x6x6», «Muzyorar», «Yumaloqlangan qor», «Fikrlar hujumi», «Aqliy hujum», «Kichik guruhlarda ishlash», «Insert», «Tarmoqlar (klaster)», «Bahs-munozara», «Davra suhbati», «Davra stoli», «Kim ko’p, kim tezroq», «Kim chaqqon, kim topqir», «Kuchsiz halqa», «Loyiha», «To’rt pog’onali», «So’qrot suhbati», «Tanqid qilishni o’rganing», «Iyerarxiya», «Boshqaruv», «Murabbiy va jamoa» va hokazo.

1.3.10. Ta’lim vositalari:

matnli vositalar (o’quv dastur; darslik; o’quv qo’llanma; elektron darsliklar va qo’llanmalar; uslubiy qo’llanma va ko’rsatmalar; tarqatma materiallar; imtihon va nazorat variantlari; testlar va hokazo);

tasvirli vositalar (fotosuratlar; eskiz; chizma; sxema; ramziy tasvir; reja jadvallar; simvollar; diagrammalar; grafiklar; slaydlar va hokazo);

audio-video vositalar (videofilmlar; kompakt disklar; audio va video kassetalar; tasvir va matnni yozish va saqlash; doskalar (oq doska, flipchart doska, pinbord doska); videomagnitafon; kamera; kompyuter va hokazo);

modelli vositalar (asbob-uskunalar; stanoklar; yarim tayyor va tayyor mahsulotlar). 1.3.11. Didaktik tamoyillar tizimi: ilmiylik, qulaylik, izchillik, uzviylik, nazariyaning

amaliyot bilan bog’liqligi, onglilik, faollik va mustaqillik, ko’rgazmalilik, mustahkamlik, guruh qilib o’qitish hamda unda individual yondashishni qo’shib olib borish, o’qitishning tarbiyalovchi, rivojlantiruvchi va takomillashtiruvchi xarakteri, o’qitishning kasbiy yo’naltirilganligi.

1.3.12. Ta’limda o’quv-tarbiyaviy jarayonni tashkil etish shakllari: dars, fan, texnika to’garaklari, o’quvchilar ilmiy uyushmalari, sayohatlar.

1.3.13. Tarbiya usullari: ishontirish; ijobiy namuna; mashq qilish; talablar; xulqi ustidan nazorat; faoliyatning boshqa ko’rinishlariga o’tish.

1.3.14. Dars turlari:

an’anaviy (yoki standart, uning tuzilishi: so’rash, tushuntirish, mustahkamlash, uyga vazifa berish),

zamonaviy (uning tuzilishi: didaktik (asosiy), mantiqiy - psixologik, motivlangan va uslubiy);

noan’anaviy (yoki nostandart), uning turlari: o muammoli; o texnologik; o virtual;

19

o musobaqa va o’yin (tanlov, turnir, estafeta, duel, KVN, tadbirli, rolli (rassom, loyihachi, bezatuvchi, muharrir, rejisser va hokazo), krossvord, viktorina);

o ijtimoiy amaliyotga ma’lum bo’lmagan ish shakllari, janrlari va uslublariga asoslangan (tadqiq etish, ixtirochilik, birlamchi manbalar tahlili, intervyu, reportaj, taqriz);

o muloqotning og’zaki shaklini eslatuvchi (matbuot anjumani, auksion, benefis, miting, vaqti chegaralangan munozara, panorama, teleko’prik, bildirgi, muloqot, «jonli gazeta», og’zaki jurnal);

o o’quv materialini noan’anaviy tashkil etishga asoslangan (donolik, ochiq tan olish, «dublyor harakat boshlaydi»);

o hayoliylashgan (ertak, sovg’a, XXI asr darslari); o muassasa va tashkilotlar faoliyatiga o’xshash asoslangan (sud, tergov, tribunal, patent

byurosi, ilmiy yoki muharrirlik kengashi va h.k.). 1.3.15. Dars ko’rinishlari: ma’ruza, seminar va amaliy mashg’ulotlar, laboratoriya

mashg’ulotlari, o’quv anjumanlari, o’quv-seminar, suhbat, kinodars, kompyuter mashg’ulotlari, mashqlar, maslahatlar, ekskursiya, ekspedisiya, o’quv ishlab chiqarish va pedagogik amaliyoti, kurs, loyiha va bitiruv malakaviy ishlari, talabalarning mustaqil tahsili va hokazo.

1.3.16. Darsning asosiy tarkibiy elementlari: tashkiliy qism; uyga berilgan yozma vazifalarni tekshirish; talabalar bilimini og’zaki tekshirish (yoki so’rash); yangi materiallarni tushuntirish; yangi materiallarni mustah-kamlash; uyga vazifa berish; darsni uyushqoqlik bilan yakunlash.

1.3.17. Dars tahlilining asosiy tarkibiy qismlari: o’qituvchining darsga tayyorgarlik darajasi, darsning maqsad va vazifalari, tashkiliy ishlar, didaktik, uslubiy, metodologik, psixologik, pedagogik, o’quvchilar bilan hamkorlikda ishlash va yakuniy tahlillar.

1.3.18. Darsga kirgan o’qituvchining qo’lida bo’lishi lozim: guruh jurnali, fan o’quv dasturi, kalendar-mavzu rejasi, dars texnologik xaritasi, o’quv-uslubiy materiallar.

1.3.19. O’qituvchining darsga kirishdan oldin o’ziga qo’yadigan savoli: nega, nimani va qanday o’qitaman?

1.3.20. Abu Ali Ibn Sinoning o’qituvchiga qo’ygan talablari:

talaba (o’quvchi)lar bilan muomalada bosiq va jiddiy bo’ling; berilayotgan bilimni talaba (o’quvchi)lar qanday o’zlashtirib olayotganligiga alohida

e’tibor bering; ta’limda turli uslub va shakllardan foydalaning; talaba (o’quvchi)larning xotirasi, bilimlarni egallash qobiliyati, shaxsiy xususiyatlarini

biling; talaba (o’quvchi)larni fanga qiziqtira biling; talaba (o’quvchi)larga uzatilayotgan bilimlarning eng muhimini ajratib bering; bilimlarni talaba (o’quvchi)larga tushunarli hamda ularning yoshi, aqliy darajasiga mos

ravishda bering; har bir so’zning talaba (o’quvchi)lar hissiyotini uyg’otish darajasida bo’lishiga erishing.

1.3.21. Didaktik vositalar

jixozlar va uskunalar, moslamalar: videoproyektor; elektoron doska; kodoskop; video-audio uskunalar: videokamera; kompyuter va multimediali vosita: kompyuter, videoglazok; sab-bufer.

20

1.4. TAQVIM MAVZUIY REJA

(Taqvim mavzuiy reja o’quv materialini to’g’ri taqsimlashda mazkur fan boshqa fanlar va amaliyotlar bilan bog’lashda, darsga kerakli o’quv materiallari va vositalarini tayyorlashda yordam beradi, o’qitish jarayonini loyixalashtirish va samaradorlikni oshirish imkonini beradi).

№

Mav

zu

Ajra

tilga

n so

at

Ta’li

m sh

akli

Dar

s tur

i

Fanl

arar

o va

fa

n ic

hida

gi

bog’

liqlik

Ta’li

m m

etod

lari

Ta’li

m v

osita

lari

Foyd

alan

ilgan

ad

abiy

otla

r ro

’yxa

ti

Mus

taqi

l ish

to

pshi

riqla

ri

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3-semestr (152 soat)

Ma’ruzalar (M) mavzusi bo’yicha (32 soat) 1. 1-M 2 Frontal Standart Mat. anal., Inf.,

Dif. teng., Mat. fiz. teng.

An’anaviy Matnli, tasvirli

7,9,13,21 1-2 MI

2. 2-M 2 Frontal Standart Mat. anal., Inf., Dif. teng., Mat. fiz.

teng.


7,9,13,21 3-MI


teng.


7,9,13,21 4-5-MI


teng.


7,9,21 6-MI


teng.


7,9,13,21 7-8 MI


teng.


7,9,13,21 9- MI


teng.


7,9,13,21 10- MI


teng.


11,21,23 11- MI


teng.


5,6,7,10, 21,23

12-MI


teng.


1,2,3, 4,5

13-14 MI


teng.


5,7,9,10 15-16 MI


teng.


1,2,3, 5,7,9,10

17-18 MI

21


teng.


3,5,9, 11,12

19-20 MI


teng.


1,2,3,5, 7,9,10,12

21- MI


teng.


1,9,11 22- MI

Amaliyot mashg’ulotlari (AM) mavzusi bo’yicha (30 soat) 1. 1-AM 2 Zveno Didaktik Mat. anal., Inf., Dif.

teng., Mat. fiz. teng. Aniq

maqsadli Matnli, tasvirli

7,9,13,22 1-2 MI

2. 2-AM 2 Zveno Didaktik Mat. anal., Inf., Dif. teng., Mat. fiz. teng.

Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13,22 3-MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13,22 4-5-MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13,22 6-MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13,22 7-8 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13,22 9- MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13,22 10- MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13,22 11- MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13, 22,16

12-MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13, 22, 17

13-14 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13, 22,18

15-16 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13, 22,19

17-18 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

1,2,3,5, 7,9,10,12,

20

19-20 MI


Aniq maqsadli

Matnli, tasvirli

7,9,13, 22,

21-22 MI

1.5. REYTING BAHOLASH MEZONLARI

Talabalar o’zlashtirishi monitoringi: nazorat (ta’lim oluvchining bilim, ko’nikma va malakalari darajasini

aniqlash, o’lchash va baholash jarayoni), xususan tekshirish (bilim darajasini aniqlash; joriy baholash; oraliq baholash; yakuniy baholash);

hisobga olish (ta’limning muayyan davrida talabalar va o’qituvchi faoliyatini umumlashtirish, xulosalash) va uning usullari (og’zaki, yozma, test hamda amaliy topshiriqlarni bajarish).

Baholash mezonlari jadvali (Texnologik xarita):

22

Ishchi o’quv dasturidagi mavzular

tartib raqami (qo’shimcha

topshiriq mazmuni)

Umumiy soat

Bah

olas

h tu

ri

Nazorat shakli

Ball

Muddati (hafta)

Ma’

ruza

Am

aliy

m

ashg

’ulo

t

Labo

rat.

ishi

Mus

taqi

l ish

Jam

i Max. ball

Sar. ball

6 – semestr

1 – 8, 1 – 7, 1 – 2 16 14 4 40 74 JB-1

Kundalik nazorat, uy ishi, referat, kollokvium, test

17 aprel, 4- hafta

9 – 16, 8 – 15, 3 – 5 16 16 6 40 78 JB-2

Kundalik nazorat, uy ishi, referat, kollokvium, test

18 May, 3- hafta

1 – 16, 1 – 15, 1 – 5 32 30 10 80 152 OB Og’zaki 35 May,

4- hafta 70 39

1–16, 1–15, 1–5 32 30 10 80 152 YaB Yozma 30 Jadval

bo’yicha 100 55

Fan bo’yicha joriy nazoratlarda talabalar bilimi va amaliy ko’nikma darajasini aniqlash mezoni

Maksimal ball Nazorat qilinadigan va

baholanadigan ish turlari Baholashda e’tibor qaratiladigan jihatlar 1-JN 2-JN

3 4 Mavzular bo’yicha nazariy tayyorgarlik darajasi va darsdagi faollik

Asosiy tushunchalar, ta’riflar, teoremalar va formulalarni bilish, mohiyatini tushunish, ijodiy fikrlay olish, bilimlarni amalda qo’llay olish

3 4 Uyga berilgan topshiriqlarni bajarish sifati

Topshiriqlarni to’g’ri va to’liq bajarish, masalalarni hal qilishga ijodiy yondashish, tushuntirib bera olish

7 7 Nazorat ishlarini bajarish sifati

Topshiriqlarni to’g’ri va to’liq bajarish, ijodiy yondashish, mustaqil fikrlash, yechimni asoslay olish

4 3 Mustaqil topshiriqlarni bajarilish sifati

Berilgan topshiriqni to’g’ri va to’liq bajarish, mustaqil mulohaza yurita olish, bilimlarni amalda qo’llay olish, masalaga ijodiy ijodiy yondashish, mohiyatini tushunish va aytib bera olish

17 18

Fan bo’yicha oraliq va yakuniy nazoratlarda talabalar bilimi va amaliy ko’nikma darajasini aniqlash mezoni

Savol lar

ON (max ball)

YaN (max ball)

Baholashda e’tibor qaratiladigan jihatlar

Nazariy 1 2

6

8

6

6

Asosiy tushunchalar, ta’riflar, formulalar, teoremalarni va ularni isbotini bilish, mohiyatini tushunish, tasavvur qilish va aytib bera olish, ijodiy fikrlay olish va mustaqil mulohaza yurita olish

23

Amaliy 3 4

6

8

6

6

Topshiriqlarni to’g’ri va to’liq bajarish, ijodiy yondashish, mustaqil fikrlash, yechimni asoslay olish, mohiyatini tushunish

Mustish 5 7 6 Savolga to’liq va to’g’ri javob berish, misollar bilan asoslash, ijodiy yondashish, mohiyatini tushunish va tushuntirib bera olish

Jami 35 30 Fan bo’yicha reyting nazoratlarida o’zlashtirish ko’rsatkichini aniqlash mezoni

JN ON YaN Baholashlarda e’tibor qaratiladigan asosiy jihatlar

31-35 ball

31-35 ball

27-30 ball

Asosiy tushuncha, ta’rif, formula, teoremalar isbotlarni bilish amalda qo’llay olish, mohiyatini tushunish, ijodiy fikrlay olish, tasavvurga ega bo’lish, aytib bera olish, mustaqil mushohada yurita olish, topshiriqlarni aniq va to’g’ri bajarish.

25-30 ball

25-30 ball

22-26 ball

Asosiy tushuncha, ta’rif, formula, teoremalarni bilish, yengil isbotlarni bajara olish, bilimlarni amalda qo’llay olish, ijodiy yondashishga harakat qilish, tasavvurga ega bo’lish, topshiriqlarni to’g’ri bajarish va tushuntirish.

19-24 ball

19-24 ball

17-21 ball

Asosiy tushuncha, ta’rif, formula va teoremalarni bilish va amalda qo’llay olish, mohiyatini biroz tushunish va to’liq bo’lmagan tasavvurga ega bo’lish. Amaliy topshiriqlarni deyarli to’g’ri bajarish va tushuntirib berishga harakat qilish.

0-18 Ball

0-18 ball

0-16 ball

Asosiy tushuncha, ta’rif, formula va teoremalarni to’liq bilmaslik va amalda qo’llay olmaslik mustaqil mulohaza yurita olmaslik, yetarlicha tasavvurga ega bo’lmaslik va tushuntira olmaslik, topshiriqlarni to’liq bajarmaslik va qo’pol xatoliklarga yo’l qo’yish.

1.6. TAVSIYA ETILADIGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI

1. Asosiy adabiyotlar 1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Н. Численные методы. М:

Наука, 1987. 2. Самарский А.А, Введение и численные методы. М: Наука, 1987. 3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М: Наука, 1989. 4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М: Наука, 1989. 5. Хўжаёров Б.Х. Қурилиш масалаларини сонли ечиш усуллари.

Тошкент, “Ўзбекистон”, 1995. 2. Qo’shimcha adabiyotlar

6. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М: Мир, 1988.

7. Демидович Б.П., Марон И.А, Шувалов Э.З. Численные методы анализа. М: Гос.изд. физ-мат. лит. 1962.

8. Воробьева Г.К., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. М: Высшая школа, 1990.

9. Турчак Л.И. Основы численных методов, М: Наука 1987. 10. Волков Е.А. Численные методы. М: Наука, 1982.

24

11. Калиткин Н.Н. Численные методы М: Наука, 1978. 12. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М: Наука, 1989. 13. Исраилов М.И. Ҳисоблаш усуллари. Тошкент: Укитувчи, 1996. 14. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей

математике. М: Высшая школа, 1983. 15. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в

примерах и задачах. М: Наука, 1972. 16. Хужаёров Б.Х. Приближенные методы решения краевой задачи для

линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Методические указания и варианты заданий к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». Самарканд. СамГУ, 2002.-16с.

17. Хужаёров Б.Х. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом конечных разностей. Методические указания и варианты заданий к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». Самарканд. СамГУ, 2001-14с.

18. Хужаёров Б.Х. Решение нестационарного одномерного уравнения теплопроводности методом конечных разностей. Методические указания и варианты заданий к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». Самарканд. СамГУ, 2001.-20с.

19. Хужаёров Б.Х. Решение смешанной задачи для волнового уравнения методом конечных разностей. Методические указания и варианты заданий к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». Самарканд. СамГУ, 2002.-16с.

20. Хужаёров Б.Х. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом конечных разностей. Методические указания и варианты заданий к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы». Самарканд. СамГУ,2002.-16с.

21. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. –М.:Физматлит, 2004. – 400 с. 22. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование MATLAB, 3-е издание. : Пер. с англ. — М. :Издательский дом "Вильяме", 2001. – 720 с.

3. Internet saytlari 1. http://www.edu.ru va http://www.edu.uz – ta’lim saytlari. 2. http://www.eqworld.ru – adabiyotlarning elektron varianti. 3. http://ru.wikipedia.org – erkin ensiklopediya «Vikipediya». 4. http://www.prepodu.net – adabiyotlarning elektron varianti. 5. http://www.twirpx.com – adabiyotlarning elektron varianti.

4. Moddiy-texnik va yordamchi vositalar Ko’rgazmali plakatlar. Slaydlar dastasi. Kompyuter dasturlari: MathLab, MathCad, Mathematika, Maple va boshqa. Dasturlar paketi.

25

5. Pedagogik texnologiyaga oid ba’zi adabiyotlar 1. Ostonov Q. Yangi pedagogik texnologiyalarni matematika o’qitish jarayonida

tadbiq etish usullari. Uslubiy qo’llanma.– Samarqand: SamDU nashri,2006.–72 b. 2. Авлиёқулов Н. Замонавий ўқитиш технологиялари.-Т., 2001. 3. Азизходжаева Н.Н. Педагогик технологиялар ва педагогик маҳорат - Т.:

ТДПУ, Низомий, 2003. 4. Ахунова Г.Н., Голиш Л.В., Файзуллаева Д.М. Педагогик технологияларни

лойиҳалаштириш ва режалаштириш. – Тошкент: Иктисодиёт, 2009. 5. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. - М.: Педагогика,

1989. 6. Голиш Л.В. Технологии обучения на лекциях и семинарах: Учебное пособие

//Под общ. ред. акад. С.С. Гулямова. - Т.: ТГЭУ, 2005. 7. Епишева О.Б. Основные параметры технологии обучения. //Школьные

технологии -2004.-№ 4. 8. Ишмухаммедов Р., Абдуқодиров А., Пардаев А. Таълимда инновацион

технологиялар (таълим муассасалари педагог-ўқитувчилари учун амалий тавсиялар). – Тошкент: Истеъдод, 2008. – 180 б.

9. Йўлдошев Ж., Усмонов С. Педагогик технология асослари. Т.: Ўқитувчи, 2004.

10. Очилов М. Янги педагогик технологиялар. - Қарши, 2000. 11. Саидахмедов Н.С. Педагогик амалиётда янги педагогик технологияларни

қўллаш намуналари. - Т.: РТМ, 2000. 12. Саидахмедов Н.С. Янги педагогик технологиялар. – Тошкент: Молия, 2003. 13. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие.

- М.: Народное образование, 1998. 14. Толибов У., Усмонбоева М. Педагогик технологияларнинг татбиқий

асослари. – Тошкент, 2006. 15. Толипов Ў., Усмонбоева М. Педагогик технология: назария ва амалиёт. - Т.:

Фан, 2005. 16. Фарберман Б.Л. Передовые педагогические технологии. -Т.: Фан, 2000. 17. Холмухаммедов М.М. ва бошқалар. Таълим педагогик технологиялари.

Услубий қўлланма. – Самарқанд, 2005. – 49 б.

26

«TASDIQLAYMAN» SamDU o’quv bo’limi boshlig’i

________________ E.Turumov «___»___________2011 y.

Samarqand Davlat Universiteti mexanika-matematika fakulteti «Hisoblash usullari»

kafedrasi mexanika va matematika ta’lim yo’nalishlari bakalavr 4, 3-kurs talabalari uchun «Hisoblash usullari» fanidan 2010-2011 o’quv yiliga

KALENDAR ISH REJA

O’quv soatlari (6, 8-semestr): 60 soat. Shundan: 30 soat ma’ruza.

№ Mavzu Rejada Amalda O’qituv-

chi imzosi Soat Ijro muddati Soat Ijro

sanasi 1. Hisoblash usullarining predmeti va metodi.

Xatoliklar nazariyasi va ularni kelib chiqish manbalari

2 2

2. Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechishning sonli usullari. Ildizlarni ajratish, kesmani teng ikkiga bo`lish, Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar usullari

2 2

3. Chziqli algebraik tenglamalar sistamasini (ChATS) yechishning sonli usullari. Gauss, oddiy iteratsiyalar, Zeydel ussullari

2 2

4. Chziqlimas tenglamalar sistamasini yechishning sonli usullari. Oddiy iteartsiyalar, Zeydel, Nyuton ussullari

2 2

5. Matrisaning xos son va xos qiymat masalasini yechishning sonli ussullari. Iteratsiya, A.N.Krilov usullari

2 2

6. Interpolyatsiya masalasi. Logranj interpolystsion ko`phadi. Nyuton interpolystsion ko`phadi.

2 2

7. Funksiyalarni sonli integrallash. To`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson formulalari

2 2

8. Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan masalalarni sonli yechish. Koshi masalasi. Eyler, Runge-Kutta ussullari.

2 2

9. Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechish usullari. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari.

2 2

10. Chekli ayirmali sxemalar (ChAS) to’g’risida tushunchalar. Differensial operatorning ChA approsimatsiyasi. ChA masalaning qo’yilishi. Approksimatsiya, korrektlik, turg’unlik, yaqinlashish. Ular o’rtasidagi bog’lanish.

2 2

11. ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani o`q otish va ChAlar usuli bilan yechish. Progonka

2 2

27

usuli. 12. Bir o’lchamli issiqlik o’tkazuvchanlik

tenglamasini sonli yechish 2 2

13. To’lqin tenglamasi uchun qo`yulgan masalani chekli ayirmalar usuli bilan yechish

2 2

14. Laplas operatorini tekis va notekis to`rda approksimatsiya qilish. Puasson tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi

2 2

15. Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari 2 2 Jami 30 30

Kafedra mudiri: dots. A.Abdirashidov

O’qituvchi: ass. J.Maxmudov

28

«TASDIQLAYMAN» SamDU o’quv bo’limi boshlig’i

________________ E.Turumov «___»___________2011 y.

Samarqand Davlat Universiteti mexanika-matematika fakulteti «Hisoblash usullari» kafedrasi mexanika va matematika ta’lim yo’nalishlari bakalavr 4, 3-kurs talabalari uchun

«Hisoblash usullari» fanidan 2010-2011 o’quv yiliga KALENDAR ISh REJA

O’quv soatlari (6,8 - semestr): 60 soat. Shundan: 30 s. amaliyot

№ Mavzu Rejada Amalda O’qituv-

chi imzosi Soat Ijro muddati Soat Ijro

sanasi 1. Xatoliklar. Absolyut va nisbiy xatolik

2 2

2. Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechishning sonli usullari. Ildizlarni ajratish, kesmani teng ikkiga bo`lish, Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar usullari

2 2


2 2


2 2

5. Matrisaning xos son va xos qiymat masalasini yechishning sonli ussullari. Iteratsiya, A.N.Krilov usullari

2 2

6. Interpolyatsiya masalasi. Logranj va Nyuton interpolystsion ko`phadlari.

2 2


2 2


2 2

9. Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechish usullari. Kollokatsiya, Galyorkin usullari

2 2

10. Chekli ayirmali approsimatsiyalar tuzish. ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani ChA usuli bilan yechish.

2 2

11. Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini ChA usuli bilan yechish.

4 4

12. To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechish.

2 2

13. Puasson tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi. 2 2 14. Integral tenglamalarni yechish usullari 2 2

Jami 30 30 Kafedra mudiri: dots. A.Abdirashidov

O’qituvchi: ass. J.Maxmudov

29

2 - BO’LIM

«HISOBLASH USULLARI»

FANIDAN MA’RUZALAR MATNI

30

МУНДАРИЖА

Kirish ………………………………………………… 1-Ma’ruza. Hisoblash usullarining predmeti va metodi. Xatoliklar nazariyasi va ularni kelib chiqish manbalari. …………………………………….

2-Ma’ruza. Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechish usullari. Ildizlarni ajratish, kesmani teng ikkiga bo`lish, Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar usullari……..

3-ma’ruza. Chziqli algebraik tenglamalar sistamasini (ChATS) yechish usullari. Gauss, oddiy iteratsiyalar, Zeydel ussullari ………………………………………

4-ma’ruza. Chziqlimas tenglamalar sistamasini yechish usullari. Oddiy iteartsiyalar, Zeydel, Nyuton ussullari………………………………………………………………...

5-ma’ruza. Matrisaning xos son va xos vektor masalasini yechishning ussullari. Iteratsiya, A.N.Krilov usullari…………………………………………………………...

6-ma’ruza. Interpolyatsiya masalasi. Lagranj va Nyuton interpolystsion ko`phadlari. 7-ma’ruza. Funksiyalarni sonli integrallash. To`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson formulalari…………………………………………………………………….

8-Ma’ruza. Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan masalalarni yechish. Koshi masalasi. Eyler, Runge-Kutta ussullari………………………………….

9-ma’ruza. Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechish usullari. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari……………………………………………………………………….

10-ma’ruza. Chekli ayirmali sxemalar (ChAS) to’g’risida tushunchalar. Differensial operatorning ChA approsimatsiyasi. ChA masalaning qo’yilishi. Approksimatsiya, korrektlik, turg’unlik, yaqinlashish. Ular o’rtasidagi bog’lanish……………………….

11-ma’ruza. ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani o`q otish va ChAlar usuli bilan yechish. Progonka usuli……………………………………………………………

12-ma’ruza. Bir o’lchamli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish…… 13-ma’ruza. To’lqin tenglamasi uchun qo`yulgan masalani chekli ayirmalar usuli bilan yechish …………………………………………………………………

14-ma’ruza. Laplas operatorini tekis va notekis to`rda approksimatsiya qilish. Puasson tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi……………………………………….

15-ma’ruza. Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari…………………………

31

KIRISH Amaliy masalalarni yechishda ko’p matematik masalalarni aniq yechimini topish etarlicha murakkab masaladir, chunki axtarilayotgan yechim elementar funksiyalar orqali yangi davr shaxsiy kompyuterlarining paydo bo’lishi bilan qo’yilgan masalalarni sonli usullar bilan yechish alohida o’rin oladi. Sonli usullar bu qo’yilgan masalalarni shunday usullariki uni EHM boshqaradigan arifmetik va mantiqiy amallarni sonlar ustida bajarishdan iborat. Ma’ruzalar matni kirish qismi, 15 ta ma’ruzalar va foydalangan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. Bunda chiziqli bo’lmagan tenglama va sistemalarni yechimi, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini to’g’ri va iterasion usullari, interpolyasiyalash va funksiyalari yaqinlashishi masalalari, sonli differensiallash va integrallash masalalari, oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi va chegaraviy masalalarni yechish usullari, xususiy xosilali differentsiyal tenglamalar uchun qo`yilgan masalalarni chekli ayirmalar usuli bilan yechish, shuningdek integral tenglamalarni yechish usullari keltirilgan.

Ma’ruzalar matnini chuqurroq o’rganish maqsadida quyidagi adabiyotlar tavsiya etiladi:

Самарский А.А. Введение в численные методы, М.: Наука, 1987; Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы, М.: Наука, 1989; Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы, М.:

Наука, 1987; Isroilov M.I. Hisoblash metodlari, T.: O’zbekiston, 2003.

32

1-Ma’ruza HISOBLASh USULLARISINING PREDMETI VA METODI. XATOLIKLAR

NAZARIYASI VA ULARNI KELIB CHIQISH MANBALARI. Reja:

1. Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi. 2. Hisoblash matematikasining asosiy vazifasi va usuli. 3. Absolyut va nisbiy xatolik. Tayanch iboralar: matematika, metod (usul), model, masala, tenglama, operator, to’g’ri

masala, teskari masala, absolyut xatolik, nisbiy xatolik Matematika turmush masalalarini yechishga bo’lgan ehtiyoj (yuzlar va hajmlarni o’lchash,

kema harakatinn boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish va boshqalar) tufayli vujudga kelganligi uchun ham u sonli matematika, ya’ni hisoblash matematikasi bo’lib, unnig maqsadi esa masala yechimini son shaklida topishdan iborat edi. Bu fikrga ishonch hosil qilish uchun matematika tarixiga nazar tashlash kifoyadir.

Vavilon olimlarining asosiy faoliyati matematik jadvallar tuzishdan iborat bo’lgan. Shu jadvallardan bizgacha yetib kelgaplaridan biri miloddan 2000 yil avval tuzilgan bo’lib, unda 1 dan 60 gacha bo’lgan sonlarning kvadratlari keltirilgan. Miloddan avvalgi 747-yilda tuzilgan boshqa bir jadvalda Oy va Quyoshning tutnlish vaqtlari keltirilgan. Qadimgi misrliklar ham faol hisobchilar bo’lganlar. Ular murakkab - (alikvota yoki Misr kasrlari deb ataluvchi) kasrlarni surati birga teng

bo’lgan oddiy kasrlar yig’indisi (masalan: 661

111

61

113

) shaklida ifodalovchi jadvallar tuzishgan va chiziqli bo’lmagan algebraik tenglamalarni yechish uchun vatarlar usulini yaratishgan. Grek

matematiklariga kelsak, miloddan avval 220- yillar atrofida Arximed soni uchun 713

71103

tengsizlikni ko’rsatdi. Geronning miloddan avvalgi 100-yillar atrofida ushbu

nn x

axa21

iterasion metoddan foydalanganligi ma’lum. Diofant III asrda anikmas tenglamalarni yechishdan tashqari kvadrat tenglamalarni sonli yechiщ usulini yaratgan.

IX asrda yashagan buyuk o’zbek matematigi Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy hisoblash metodlarini yaratishga katta hissa qo’shgan. Al-Xorazmiy 1416,3 qiymatni aniqladi, matematik jadvallarni tuzishda faol qatnashdi. Abulvafo al-Buzjoniy 960-yilda sinuslar jadvalini hisoblash

metodini ishlab chiqdi va

0

21sin

ning qiymatini to’qqizta ishonchli raqami bilan berdi. Bundan tashqari, ""tg funksiyasidan foydalandi va uning qiymatlari jadvalini tuzdi. XVII asrda ingliz matematigi J. Neper (1614, 1619), shvesiyalik I. Byurgi (1620), ingliz Brigs (1617), gollandiyalik A. Blakk (1628) va boshqalar tomonidan yaratilgan logarifmik jadvallar Laplas so’zi bilan aytganda: «... hisoblashlarni qisqartirib, astronomlarning umrini uzaytirdi». Nihoyat, 1845 yilda Adams va 1846 yilda Leveryelarning hisablashlari natijasida Neptun sayyorasining mavjudligi va uning fazodagi o’rnini oldindan aytishlari hisoblash matematikasining buyuk g’alabasi edi. Tadbiqiy masalalarni sonli yechish matematiklar e’tiborini doim o’ziga tortar edi. Shuning uchun ham o’tgan zamonning buyuk matematiklari o’z tadqiqotlarida tabiiy jarayonlarni o’rganish, ularning modellarinn tuzish va modellarni tadqiq etish ishlarinn birga qo’shib olib borishgan. Ular bu modellarii tekshirish uchun shaxsus hisoblash metodlariii yaratishgan. Bu metodlarning ayrimlari Nyuton, Eyler, Lobachevskiy, Gauss, Chebishev, Ermit nomlari bilan bog’liqdir. Bu shundan dalolat beradiki, hisoblash metodlarini yaratishda o’z zamonasining buyuk matematiklari shug’ullanishgan.

33

Shuni ham aytish kerakki, limitlar nazariyasi yaratilgandan so’ng matematiklarning asosiy diqqat-e’tibori matematik metodlarga qat’iy mantiqiy zamin tayyorlashga, bu mstodlar qo’llaniladigan obyektlar sonini orttirishga, matematik obyektlarni sifat jihatdan o’rganishga qaratilgan edi. Natijada matematikaning juda muhim va ayni paytda ko’pnncha qiyinchilik tug’diradigan sohasi: matematik tadqiqotlarni so’nggi sonli natijalargacha yetkazish, ya’ni hisoblash metodlari yaratishga kam e’tibor berilar edi, bu soha esa matematikaning tadbiqlari uchun juda zarurdir.

Matematikaning hozirgi zamon fan va texnikasining xilma-xil sohalaridagi tadbiqlarida, odatda, shunday tipik matematik masalalarga duch kelinadiki, ularni klassik metodlar bilan yechish mumkin emas yoki yechish mumkin bo’lgan taqdirda ham yechim shunday murakkab ko’rinishda bo’ladiki, undan samarali foydalanishning iloji bo’lmaydi. Bundan tipik matematik masalalarga algebra (odatda tartibi juda katta bo’lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiin yechish, matrisalarning teskarisini topish, matrisalarning xos sonlarini topish, algebraik va transsendent tenglaialar hamda bunday tenglamalar sistemasini yechish), matematik analiz (sonli integrallash va differensiallash, funksiyani yaqinlashtirish masalalari) hamda oddiy va xususiy hosilaviy differensi-al tenglamalarni yechish masalalari va boshqalar kiradi.

Fan va texnikaning jadal ravishda rivojlanishi, atom yadrosidan foydalanish, uchuvchi apparatlar (samolyot, raketa) ni loyihalash, kosmik uchish dinamikasi, boshqariladigan termoyadro sintezi muammosi munosabati bilan plazma fizikasini o’rganish va shunga o’xshash ko’p masalalarni tekshirish va yechishni taqozo qilmoqda. Bunday masalalar o’z navbatida matematiklar oldiga yangidan-yangi hisoblash metodlarini yaratish vazifasini qo’yadi. Ikkinchi tomondan fan va texnika yutuqlari matematiklar ixtiyoriga kuchli hisoblash vositalarini bermoqda. Buning natijasida esa mavjud metodlarni yangi mashinalarda qo’llash uchun qaytadan ko’rib chiqish ehtiyoji tug’ilmoqda.

Matematikada tipik matematik masalalarning yechimlarini yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchn metodlar yaratishga va shu maqsadda xozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish yo’llarini ishlab chiqishga bag’ishlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi.

Hozirgi zamon hisoblash matsmatikasi jadal rivojlanib bormoqda. Hisoblash matematikasi qamragan masalalar turi juda ko’p. Tabiiyki, bu masalalarni yechish metodlari ham xilma-xildir, shunga qaramay bu metodlarning umumiy g’oyasi haqida so’z yuritish mumkin. Buning uchun avval funksional analizga tegishli bo’lgan ayrim tushunchalarni keltiramiz. Agar biror to’plamda u yoki bu yo’l bilan limit tushunchasi kiritilgan bo’lsa, u holda bu to’plam abstrakt fazo deyiladi.

Elementlari ketma-ketliklardan yoki funksiyalardan iborat bo’lgan fazo funksional fazo

deyiladi. Biror 1R funksional fazoni ikkinchi bir 2R funksional fazoga akslantiradigan A amal operator deyiladi. Agar operatorning qiymatlari tashkil etgan 2R fazo sonli fazo bo’lsa, u holda bunday operator funksional deyiladi.

Hisoblash matematikasida uchraydigan ko’p masalalarni Axy (1.1)

shaklida yozish mumkin, bu yerda x va u berilgan 1R va 2R funksional fazolarning elementlari bo’lab, A - operator yoki xususiy holda funksionaldir. Agar A operator va x element haqida ma’lumot berilgan bo’lib, u ni topish lozim bo’lsa, bunday masala to’g’ri masala deyiladi, Aksincha, A za u haqida ma’lumot berilgan bo’lib, x ni topish kerak bo’lsa, bunday masala teskari masala deyiladi. Odatda teskari masalani yechish ancha murakkabdir. Bu masalalar har doim ham aniq yechilavermaydi. Bunday hollarda hisoblash matematikasiga murojaat qilinadi.

Ba’zan masalani aniq yechish ham mumkin, lekin klassik matematika metodlari bilan kerakli sonli qiymat olish uchun juda ko’p hisoblashlar talab qilinadi. Shuning uchun ham hisoblash matematikasi zimmasiga konkret masalalarni yechish uchun oqilona va tejamkor metodlar ishlab chiqish yuklanadi (masalan, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda Kramer formulalariga nisbatan Gauss metodi ancha tejamkor metoddir).

34

Hisoblash matematikasida yuqoridagi masalalarni hal qilishning asosiy mohiyati 1R , 2R

fazolarni va А operatorni hisoblash uchun qulay bo’lgan mos ravishda boshqa 21 , RR fazolar va A operator bilan alamashtirishdan iboratdir. Ba’zan faqat 1R va 2R , fazolar yoki faqatgina ulardan birortasini, ba’zan esa faqat A operatorni almashtirish kifoyadir. Bu almashtirishlar shunday bajarilishi kerakki, natijada hosil bo’lgan yangi

21, RyRxxАy masalaning yechimi biror ma’noda berilgan (1) masalaning yechimiga yaqin bo’lsin va bu yechimni nisbatan ko’p mehnat sarflamasdan topish mumkin bo’lsin.

Bunga misol sifatida shunn ko’rsatish mumkinki, odatda matematik fizika tenglamalari u yoki bu strukturaga ega bo’lgan algebraik tenglamalar sistemasiga keltirilib yechiladi.

Demak, hisoblash matematikasi oldidagi asosiy masala funksional fazolarda to’plamlarni va ularda aniqlangan operatorlar (funksionallar) ni yaqinlashtirish hamda hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo’llaniladigan sharoitda masalalarni yechish uchun oqilona va tejamkor algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iboratdir.

Mustaqil ishlash uchun savollar

1. Hisoblash matematikasining fan sifatida paydo bo’lishi. 2. Hisoblash matematikasi vazifasi. 3. Hisoblash matematikasi metodi (usuli).

35

2-Ma’ruza CHZIQLIMAS VA TRANSSENDENT TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI

Reja:

1. Umumiy mulohazalar. 2. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 3. Dikart teoremasi. 4. Shturm teoremasi. 5. Oddiy iteratsiya usuli 6. Nyuton usuli Tayanch iboralar: ildizlarning yagonaligi, grafik usul, dastlabki yaqinlashish, iterasiya,

boshlang’ich yaqinlashish, iterasiyaning geometrik ma’nosi, hisoblash xatosi, Nyuton usuli

Umumiy mulohazalar. Faraz qilaylik, 0)( xf (1)

tenglamani yechish talab qilingan bo’lsin, bu yerda )(xf - algebraik yoki transsendent funksiya bo’lishi mumkin. Tenglamalarni taqribiy yechish uchun qo’llanadigan ko’p metodlarda uning ildizlari ajratilgan, ya’ni unday yetarli kichik atrofchalar topilganki, bu atrofchalarda tenglamaning bittagina ildii joylashadi deb faraz qilinadi. Bu atrofning biror nuqtasini dastlabki yaqinlashish sifatida qabul qilib, mazkur metodlar yordamida izlanayotgan yechimni berilgan aniqlik bilan hisoblash mumkin. Demak, (1) tenglamaning ildizlarini taqribiy hisoblash ikki qismdan iborat: 1) ildizlarni ajratish va 2) dastlabki yaqinlashish ma’lum bo’lsa, ildizlarni berilgan aniqlik bilan hisoblash. Masalaning birinchi qismi ikkinchisiga nisbattan ancha murakkabdir. Chunki, umumiy holda ildizlarni ajratish uchun effektiv metodlar mavjud emas. Xususan, bir necha noma’lumli

nkxxxf nk ,....,2,10,....,, 21 Tenglamalar sistemasi uchun ildizlarni ajratish masalasi katta qiyinchiliklar bilan bog’likdir. Matematik analizdan ma’lum bo’lgan quyidagi teoremalar (1) tenglamaning ildizlari yotgan

oraliqlarni ajratishga yordam qiladi. 1-teorema. Agar uzluksiz (x) funksiya biror [a,b] oraliqning chetki nuqtalarida har xil

ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda bu oraliqda (1) tenglamaning hyech bo’lmaganda bitta ildizi mavjuddir. Agar, shu bilan birga birinchi tartibli hosila )(xf mavjud bo’lib, u o’z ishorasini shu oraliqda saqlasa, u vaqtda bu oraliqda ildiz yagonadir.

1- shizma

36

2-teorema. (x) funksiya [a, b] oraliqda analitik funksiya bo’lsin. Agar [a, b] oraliqning chetki nuqtalarida (x) har xil ishorali qiymatlarini qabul qilsa, u vaqtda (1) tenglamaning a va b nuqtalar orasida yotadigan ildizlarning soni toqdir.

Agar )(xf funksiya [a, b] oraliqning chetki nuqtalarida bir xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda (1) tenglamalarning ildizlari yo ],[ ba oraliqda yotmaydi yoki ularning soni juftdir (karraligini hisobga olgan holda). Ko’pincha (1) tenglamaning haqiqiy ildizlarini ajratishga grafik usuli katta yordam beradi. Buning uchun )(xfy funksiyaning grafigini taqribiy ravishda chizib, bu grafikning x0 o’qi bilan kesishgan nuqtalarining abssissalari ildizning taqribiy qiymatlari deb olinadi (1-chizma). Agar (1) tenglamaning ildizlari bir-biriga yaqin joylashgan bo’lmasa, u vaqtda bu usul bilan uning ildizlari osongina ajratiladi. Agar )(xf ning ko’rinishi murakkab bo’lib, uning grafigini chizish qiyin bo’lsa, u vaqtda grafik usulini boshqacha tarzda qo’llash kerak, ya’ni (1.1) tenglama unga teng kuchli bo’lgan tenglama

)()( xx (2) ko’rinishda yozib olinadi. Endi )(xy va )(xy funksiyalarning grafiklarini chizsak, bu grafiklarning kesishish nuqtalarining abssissalari taqribiy ildizlardan iborat bo’ladi. Misol. Grafik usuli bilan

012)12( xx tenglamaning ildizi takribiy topilsin.

Yechish. Bu tenglamani xx 212 ko’rinishda yozib olamiz. xy 2 egri chiziqning va

12 хy tug’ri chiziqning grafiklarini chizib 2-chizmadan ko’ramizki, ularning kesishish

nuqtasining abssissasi 7,0 ekan.

2- shizma

Agar )(x yoki )(x chiziqli funksiya, masalan baxx )( bo’lsa, u vaqtda (1.2) tenglamachining ildizlarini ajratish soddalashadi. Faqat a va b koeffisentlari bilan farq qiladigan bir xil tipdagi bir nechta tenglamalarning ildizlarini ajratish uchun grafik usuli qulaydir. Chunki bu yerda ildizlarni ajratish (ildizlarni taqribiy topish) bitta tayin )(xy funksiya grafigi bilan har xil baхy to’g’ri chiziqlar kesishish nuktalarining abssissalarini topishdan iboratdir. Bu tipga 0 baxxn ko’rinishdagi tenglamalar misol bo’la oladi.

37

Masalan, 02,123 xx va 01,02,13 xx tenglamalar ildizlari-ning takribiy

kiymatlari topilsin. Buni yechish uchun 3xy kubik parabolani chizamiz. So’ngra 2,12 xy

va 1,02,1 xy to’g’ri chiziqlarning parabola bilan kesishish nuqtalarining abssissalarini topa-miz.

3-chizmada ko’rinib turibdiki, birinchi tenglama fakat bitta 6,0 xakikiy ildizga ega

bulib, ikkinchi tenglama esa uchta 1,1 , 1,0 , 1 xakikiy ildizlarga egadir. Agar 0zf tenglamaning kompleks ildizlarini topish kerak bulsa, yixz deb olib, bu

tenglamani 0,, 21 yxfiyxf

kurinishda yozib olamiz, bu yerda yxf ,1 va yxf ,2 xakikiy x va u uzgaruvchilarning xakikiy funksiyalari. Bu tenglama esa kuyidagi ikkita tenglamalar

0,,0, 21 yxfyxf

sistemasiga teng kuchlidir. Endi 0,,0, 21 yxfyxf egri chiziklarni chizib, ularning

kesishgan nuktalarini topamiz. Kesishish nuktalarining abssissasi va ordinatalari 0zf tenglama yechimlarining mos ravishda haqiqiy va mavhum qismlarini beradi.

3- shizma Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. Algebraik

0...... 11

10

nnnn axaxaxaxf (3)

tenglamaning ildizlarini ajratish masalasi yaxshi o’rganilgan va ancha osondir. Quyidagi teoremalarning birinchisi boshqalariga nisbattan umumiyroqdir, chunki u kompleks ildizlarining

ham chegaralarini beradi. Biz har doim (3) tenglamada koeffisentlar haqiqiy va 0,00 naa deb olamiz.

38

1-teorema. Agar n

knk

knk a

aAaaA

11101

max,max

bo’lsa, u holda (3) tenglamaning

barcha ildizlari RAx

Ar

1

11

1 halqa ichida yotadi. (4- chizma). Isbot. Faraz qilaylik, 1|| x bo’lsin. Modulning xossalariga ko’ra

.1||

1||||1||

1||||

1

...||

11...1|)(|

00

2000

10

xAxxa

xAxa

x

xAxa

xaa

xaaxaxf

nnn

nn

nn

Agar biz bu yerda Ax 1|| deb olsak, u holda 0|)(| xf tengsizlik kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, x ning bu qiymatlarida )(xf ko’phad nolga aylanmaydi, ya’ni (3) tenglama ildizga ega bo’lmaydi. Shu bilan teoremaning yarmi isbot bo’ldi.

4- shizma

Teoremaning ikkinchi yarmini isbotlash uchun yx 1

deb olib, ny

xf 1)( ga ega bo’lamiz, bu

yerda 01

1 ...)( ayayayg nn

nn

. Teoremaning isbot qilingan qismiga ko’ra )( yg ko’phadning

kn x

y 1

ildizlari (nollari).

11||

1|| Ax

yk

k

Tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa

111||A

xk

kelib chikadi.

E s l a t m a: Bu teoremadagi r va R sonlar (3) tenglama musbat ildizlarning quyi va yuqori chegaralari bo’ladi. Shunga o’xshash R va r sonlar manfiy ildizlarning mos ravishda quyi va yuqori chegarasi bo’ladi. Ildizlarning chegaralari uchun bu teoremadagi baho ancha qo’poldir. Quyidagi teoremalar bunga nisbattan ancha yaxshiroq baholarni beradi.

39

2-teorema. (Lagranj teoremasi). Agar (3) tenglamaning manfiy koeffisentlaridan eng

birinchisi (chapdan o’ng tomon hisoblaganda) R bo’lib, manfiy koeffisentlarning absolyut qiymatlari bo’yicha eng kattasi bo’lsa, u holda musbat ildizlarning yuqori chegarasi

hBR

0

1

(4)

son bilan ifodalanadi. Isbot. Bu yerda ham 1х deb olamiz. Agar )(xf ko’phadda manfiy bo’lmagan barcha

121 ,...,, k koefisentlarini esa - B manfiy son bilan almashtirsak, ko’phadning qiymati faqat kamayishi mumkin, shuning uchun ham

11

1...)(1

01

0

xxBxaxxBxaxf

knnknknn

tengsizlika ega bo’lamiz. Bundan esa x 1 bo’lganda

Bxax

xBxxax

xx

xBxaxf kkn

kknkn

n

)1(1

)1(1

11

)( 0

11

0

11

0 kelib chiqadi. Demak,

RaBx k

0

1

bo’lganda 0)( xf ga ega bo’lamiz, ya’ni (3) tenglamaning barcha x musbat ildizlari Rx tengsizlikni qanoatlantirar ekan. 3-teorema. (Nyuton teoremasi). Agar 0 cх uchun )(xf ko’phad va uning barcha

)(,...),(),( )( xfxfxf n xosilalari nomanfiy bo’lsa: ),...,1,0(0)()( nkcf k , u holda cR ni (2.3) tenglamaning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb hisoblash mumkin. Isbot. Teylor formulasiga ko’ra

nn

cxn

cfcxcfcfxf )(!

)(...))(()()()(

.

Teorema shartiga ko’ra cx bo’lganda bu tenglikning o’ng tomoni musbatdir. Demak, (3) tenglamalarning barcha x musbat ildizlari Rx tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu teoremalar faqat musbat ildizlarning yuqori chegarasini aniqlaydi. Quyidagi:

01

13

011

12

22

1101

)1(...1)()(

,...1)(

,)1(...)()1()(

axaxax

fxxf

axaxaxax

fxxf

axaxaxaxfxf

nnn

nn

n

nn

nn

n

nnnnnn

ko’phadlarga yuqoridagi teoremalarni qo’llab, )(),(),(),( 321 xfxfxfxf musbat ildizlarning yuqori

chegaralari 210 ,, RRR va 3R larni mos ravishda topgan bo’lsak, u vaqtda (3) tenglamaning hamma

x musbat ildizlari Rx

R

2

1 va xamma x manfiy ildizlari esa 3

11R

xR

tengsizliklarni kanoatlantirar ekan. Quyidagi misolda biz yuqorida keltirilgan metodlarni qo’llab ularning natijalarini solishtiramiz. M i s o l. Quyidagi tenglama haqiqiy ildizlarning chegarasi topilsin:

0885)( 24 xxxxf (5)

40

2-teoremani qo’llaymiz, bu yerda 8,10 Aa . Demak 981 R , ya’ni (5) tenglamaning ildizlari (-9; 9) oralikda yotar ekan.

Endi Lagranj teoremasini qo’llaymiz: 8,2,10 Bka . Bu qiymatlarni (4) formulaga qo’yib, musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun

84,3221181 R

ni hosil qilamiz. Keyin (5) tenglamada x ni x ga almashtirsak,

0885)( 241 xxxxf (6)

tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun ham 84,3R tengsizlik kelib chiqadi. Ya’ni Lagranj teoremasiga ko’ra (5) tenglamaning ildizlari (-3, 84; 3,84) oraliqda joylashgan ekan.

Nyuton metodini qullaylik. Bu yerda 885)( 24 xxxxf , 8104)( 3 xxxf , 1012)( 2 xxf , xxf 24)( , 0)( xf IV

ko’rinib turibdiki 2x uchun 0)(,0)(,0)( xfxfxf IV

va 0)( xf . Osongina payqash mumkinki, 2x , bo’lsa )(xf ham faqat musbat qiymat qabul qiladi, ya’ni 2c musbat ildizlarining yuqori chegarasi

ekan. Xudi shuningdek, 0)(1 xf tenglama musbat ildizlarning yuqoroi chegarasi 3c ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Demak, (5) tenglamaning ildizlari (-3; 2) oraliqda yotar ekan.

Har uchula metod natijalarini solishtirsak, Nyuton metodi garchi ko’proq mehnat talab qilsada, ildizlar chegaralari uchun yaxshiroq natija berishi ko’rinadi.

Endi oliy algebradan ma’lum bulgan ikita teoremani isbotsiz keltiramiz. Dikart teoremasi. (3) tenglama koefisentlaridan tuzilgan sistemada ishora almashtirishlar soni qancha bo’lsa (sanashda nolga teng koeffisentlarga e’tibor qilmaymiz), tenglamaning shuncha musbat ildizi mavjud yoki musbat ildizlar soni ishora almashtirishlar sonidan juft songa kamdir.

Faraz qilaylik, (3) tenglama karrali ildizga ega bo’lmasin. Biz )(1 xf orqali )(xf hosilani, )(2 xf orqali )(xf ni )(1 xf ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini, )(3 xf orqali )(1 xf ni )(2 xf ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqning teskari ishora bilan olinganini,

va h.k. belgilaymiz va bu jarayonni qoldiqda o’zgarmas son hosil bo’lguncha davom ettiramiz. Natijada Shturm qatori deb ataluvchi

)(,...),(),(),( 21 xfxfxfxf k funksiyalar ketma-ketligiga ega bulamiz. Shturm teoremasi. )(xf ko’phadning ildizlaridan farqli a va )( bab sonlarni olib, x ni a dan b gacha o’zgartirganda )(xf uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo’qolsa, )(xf ning ),( ba oraliqda xuddi shunday xaqiqiy ildizlari mavjud bo’ladi.

Shturm teoremasi ildizlarni ajratish masalasini to’la hal qiladi, lekin Shturm qatorini tuzish balan bog’liq bo’lgan hisoblashlar ko’p vaqt talab qiladi.

Shturm teoremasining qo’llanishi quyidagichadir. Avval (2.3) tenglamaning barcha ildizlari yotgan oraliqning chegaralari aniqlanadi. Topilgan ],[ ba oraliq j nuqtalar bilan kichik

oraliqchalarga bo’linadi. Shturm teoremasi yordamida tenglamaning ],[ 1ii oraliqdagi ildizlarining soni aniqlanadi. Agar bu oraliqlar ildizlarning soni bittadan ko’p bo’lsa, oraliq ikkiga bulinadi va xar bir oraliq uchun Shturm teoremasi qo’llaniladi. Bu jarayonni shu paytgacha davom ettiramizki, toki xar bir oraliqchalardagi ildizlar soni bittadan ortmasin. Shuni ham eslatib o’tish

kerakki, Shturm qatoridagi )(xf i funksiyalarni musbat sonlarga kupaytirish yoki bo’lish mumkin, bundan ishora almashtirishlar soni o’zgarmaydi.

41

Oddiy iterasiya metodi. Biz hozir oddiy iterasiya (yoki ketma-ket yaqinlashish) metodi bilan bitta sonli tenglama misolida tanishamiz. Bu metodning umumiy nazariyasn bilan keyingi paragrafda tanishib chiqamiz. Iterasiya metodini qo’llash uchun 0)( xf tenglama unga teng kuchli bo’lgan quyidagi

)(xx (7) kanonik shaklga keltnrilgan va ildizlari ajratilgan bulishi kerak. (7) tenglamaning ildizi yotgan

atrofiing biror 0x nuqtasini izlanayotgan ildizning nolinchi yaqinlashishi deb olamiz. Navbatdagi

yakinlashishini topish uchun (7) ning o’ng tomoniga 0x ni qo’yamiz va hosil bo’lgan )( 0x qiymatini 1x bilan bolg’ilaymiz, ya’ni

)( 01 xx . (8)

Topilgan 1x sonni (7) ning o’ng tomoniga qo’yib, yangi son )( 12 xx ni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib, f-yaqinlashish xp ni (p-1)- yaqinlashish xp-1 yordamida topamiz:

)...,2,1()( 1 nxх nn . (9) Bu formula yordamida topilgan sonlar ketma-ketgilining limiti ya’ni

n

nxlim

(10) mavjud va )(x funksiya uzluksiz bo’lsa, (3.3) tenglikning ikkala tomonida limitga o’tib,

)()lim()(limlim 1 nnnnnn

xxx,

ya’ni )(

ga ega bo’lamiz. Bu tenglikdan ko’rinadlik, berilgan tenglamaning ildizi ekan. Demak, bu ildizni (9) formula yordamida istgalgan aniqlik bilan hisoblash mumkin, (10) limit mavjud bo’lgan holda

iterasiya jarayoni yaqinlashuvchi deyiladi. Lekin nnx

lim

mavjud bo’lmasligi ham mumkin, bunday holda oddiy iterasiya usuli maqsadga muvofiq bo’lmaydi.

Iterasiya metodi sodda geometrik ma’noga ega. Buni tushunish uchun )(xy va xy funksiyalarning grafiklarini chizamiz. Bu grafiklarning kesishgan M nuktasining abssissasi (7) tenglamaning x ildizldir.

5-chizma

42

Faraz qilaylik, x0 nolinchi yaqinlishish bo’lsin, u vaqtda ))(,( 000 xxA nuqta )(xy egri chiziqda yotadi. Bu nuqtadan gornzontal (ox o’qiga parallel) chiziq o’tkazamiz. Bu chiziq u=x

bissektrisani ))(),(( 001 xxB nuqtada kesadi. )( 0x ni 1x bilan belgilab olsak, 1B nuqtaning koordinatalari ),( 11 xx ko’rinishga ega bo’ladi. 1B nuqta orqali ou o’qqa parallel to’g’ri chiziq

o’tkazsak, u )(xy egri chiziqni ))(,( 111 xxA nuqtada kesadi. Bu jarayonni davom ettirib, xy bissektrisada yotgan ),( 222 xxB (bu yerda )( 12 xх ) so’ng )(xy egri chiziq ustida

))(,( 222 xxA nuqtaga ega bo’lamiz va h.k.

6-chizma

Agar iterasiya jarayoni yaqinlashsa, u vaqtda ,...,...,, 10 nAAA nuqtalar izlanayotgan M

nuqtaga yaqinlashadi. ,...,, 210 AAA nuqtalarning ,...,, 210 xxx abssissalari ga, ya’ni (7) tenglamaning ildiziga yaqinlashadi. Shunday qilib, iterasiya metodining geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: )(xy egri chiziq bilan koordinatalar burchagi bissektrisaning kesishish nuqtasiga siniq chiziq bo’ylab harakat qilamiz, siniq chiziqning uchlari navbat bilan egri chiziq va bissektrisa ustida yotadi, tomonlari esa navbat bilan gornzontal va vertikal yo’nalgan bo’ladi. Agar egri chiziq va bissektrisa 5-chizmadagidek joylashgan bo’lsa, u vaqtda siniq chiziq zinapoyani eslatadi. Agar egri chiziq va bissektrisa 6- chizmadagidek bo’lsa, unda siniq chiziq spiralni eslatadi.

7-chizma

43

Iterasion jarayon uzoqlashishi ham mumkin. Buning geometrik ma’nosi shundan iboratki, zinapoyaning pog’onalari (yoki spiralning bug’inlari) borgan sari kattalashadi, shuning uchun ham

,...,, 210 AAA nuqtalar M ga yaqinlashmaydi, balki uzoqlashadi (7-8-chizmalar). Modomiki, iterasiya jarayoni har doim yaqinlashavermas ekan, demak, bu jarayon

yaqinlashishi uchun qanday shartlar bajarilishi kerakligini aniqlash kata ahamiyatga ega. Bu shartlar Ushbu teoremada ko’rsatiladi.

I- teorema. Faraz qilaylik, )(x funksiya va dastlabki yaqinlashish 0х quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1) )(х funksiya 0xx (11)

oraliqda aiqlangan bo’lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkita x va y nuqtalar uchun )(x Lipshis shartini qanoatlatirsin:

)10(|)()(| qyxqyx ; (12) 2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin:

q

xхn 1,|)(| 0

. (13)

U holda (7) tenglama (11) oraliqda yagona ildizga ega bo’lib, }{ nx ketma-ketlik bu yechimga intiladi va intilish tezligi

nn q

qx

1||

(14) tengsizlik bilan aniqlanadi.

8-chizma

Isbot. Avval induksiya metodnni qo’llab, ixtiyoriy p uchun nx ni ko’rish mumkinligini, nx ning (11) oraliqda yotishligi va

nnn qxx || 1 (15)

tengsizlikning bajarilishini ko’rsatamaz.

Agar p = 0 bo’lsa, )( 01 xх bo’lgani uchun (15) tengsizlik (13) dan kelib chiqadi.

44

Bundan tashqari,

q1 bo’lgani uchun || 01 xх tengsizlik bajarilib, 1x (11)

oraliqda yotadi. Endi faraz qilaylik, nxxx ,...,, 21 lar qurilgan bo’lib, ular (11) oraliqda yotsish va )1,...,1,0(|| 1 nkqxx k

kk tengsizliklar bajarilsin. Induksiya shartiga ko’ra nx (11) da yotadi, )(x (11) da aniqlangan,

shuning uchun ham )(1 nn xx ni ko’rish mumkin. Teoremaning 1-shartidan

111 |)()(||| nnnnnn xxqxxxx kelib chiqadi. Lekin 1nx va nx uchun induksiya shartiga ko’ra

11 || n

nn qxx o’rinli, demak, n

nn qxx || 1 . Bu esa 1nx va nx uchun (15) tengsizlikning bajarilshini ko’rsatadi. Nihoyat,

nn

nn

nnnnn

qqq

qqq

xxxxxxxx

111...

||...||||||1

1

011101

munosabatlar 1nx ning (11) oraliqda yotishini ko’rsatadi. Shu bilan isbot qilinishi talab etilgan mulohaza tasdiqlanadi.

Endi }{ nx ning fundamental ketma-ketlik tashkil etishini ko’rsatamiz. (15) tengsizlikka ko’ra ixtiyriy p natural son uchun

nnpnnnnpnnpn q

qqqxxxxxх

1...||...|||| 1

1

yoki

nnpn q

qxx

1

||

. (16)

Bu tengsizlikning o’ng tomoni p ga bog’liq bo’lmaganligi va 10 q bo’lganidan }{ nx ketma-

ketlikning fundamentalliga va uning limiti nnx

lim

mavjudligi kelib chiqadi. }{ nx ketma-ketlik (11) oraliqda yotgani uchun ham shu oraliqda yotadi. (12) shartdan )(x ning uzluksizligi kelib

chshqadi, shuning uchun ham )(1 nn xx tenglikda limitga o’tib, (7) tenglamaning ildizi ekanligini isbot qilamiz.

Endi ildizning (11) oraliqda yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, ~

(7) tenglamaning

(11) oraliqdagi boshqa biror ildizi bo’lsin, ~ ekanini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, (6) ga ko’ra

|~||)()~(||~| q , 10 q bo’lgani uchun bu munosabat faqat

~ bo’lgandagina bajariladi.

Yaqinlashish tezligini ko’rsatuvchi (14) tengsizlikni keltirib chiqarish uchun (16) tengsizlikda p limitga o’tish kifoyadir. Teorema isbot bo’ldi.

Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli haqida. Iterasiya metodining yaqinlashishi yoki uzoqlashishi ildizning kichik atrofida )(x hosilaning qiymatiga bog’liq ekanligini yuqorida ko’rgan edik. Lekin J. X. Vegsteyn 1958 yilda iterasiya metodini shunday o’zgartirishni taklif qilgan ediki, buni qo’llaganda )(x ning qiymati har qanday bo’lganda ham iterasiya jarayoni yaqinlashadi. Mabodo 1|)(| x tengsizlik bajarilsa, u iterasiya jarayoniga nisbatan Vegsteyn jarayoni tezroq yaqinlashadi.

Vegsteyn usuli )(xх (17)

45

formuladan topilgan 1nх ni 11 )1( nnn xqqzz (18)

formula yordamida 1nz bilan almashtirishdan iborat bo’lib, bunda q - kerakli ravishda tanlab olingan miqdordir. q ning qiymatini aniqlash uchun 10-chizmadan foydalanamiz.

Faraz qilaylik, 1nх (10) formula yordamida nz orqali topilgan bo’lsin, ya’ni )(1 nn zx . U vaqtda

А va B nuqtalarning koordinatalari mos ravishda ))(,( nn zz va ),( 11 nn xx bo’ladi. Bunday holda 1nz uchun eng qulay qiymat M nuqtaning abssissasidir. Uni topish uchun AB kesma ustida

),( 11 nn xzC nuqtani olamiz. Endi (18) ning har ikkala tomoniga 1)1( nn zqqz ni qo’shib, ))(1()( 111 nnnn xzqzzq (19)

ni hosil qilamiz. Chizmadan foydalanib, (3.17) ni BCqqАА )1( (20)

ko’rinishda yozishimiz va )0)((),~( nn xxACMCBC (21)

tengliklarning o’rinli ekanligini ko’rishimiz mumkin, bu yerda nnn zxх ~

1 .

9-chizma

q ning taqribiy qiymatini topish uchun )~( nx ni taqribiy ravishda quyidagicha

almashtiramiz:

1

1

1

1)()()~(

nn

nn

nn

nnn zz

xxzz

zzx

. (22) (20)- (22) lardan

1

1)~(1

nn

nnn zz

xxxACBC

qq

ni hosil qilamiz va q ning taqribiy qiymatini topamiz:

nnnn

nn

zzxxxxq

11

1

. (23) (18) va (23) formulalardan ko’ramizki,

46

nnnn

nnnnnn xzzx

zxxxxz

11

1111

))((

. (24)

Bu formula xp+1 o’rnida ishlatiladigan 1nz ning qiymatini beradi. Vegsteyn usulini amalda qo’llash

uchun ildizning nolinchi yaqinlashishi 0x ga bir marta oddiy iterasiyani qo’llash kerak. Bu birinchi

qadamdan so’ng 1nх ni topish uchun esa (10) formulani )(1 nn zx qurilishda qullaymiz. Biz bu yerda bu jarayonning oddiy iterasiya jarayoniga nisbatan tezroq yaqinlashishini qat’iy ravishda asoslab o’tirmasdan misol keltirish bilan chegaralanamiz.

Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri. Biz oldingi

punktlarda iterasion jarayonning ideal modelini ko’rib chiqqan edik. Bu modelda nx ketma-ketlikniig barcha elementlari absolyut aniq hisoblangai deb faraz qilingan edi. Aslida esa qulda hisoblanayotganda ham, mashinada hisoblanayotganda ham, biz amamalarni chekli miqdordagi raqamlar ustida bajaramiz. Buning natijasida, ya’ni yaxlitlash hisobidan, hisoblash xatosi kelib

chiqadi. Iterasiyaning birinchi qadamida )( 01 xx o’rniga unga yaqinroq bo’lgan 1x hosil qilamiz.

Bu yerda 001 xx hisoblash xatosi hosil bo’ladi. Ikknnchi qadamda esa xato ikki sababga

ko’ra hosil bo’ladi: birinchidan )(x funksiyada 1x o’rniga 1x qo’yiladi, ikkinchidan )( 1x yaxlitlash xatosi bilan hisoblanadi. Demak, topilgan 2x qiymat faqat taqribiy ravishda )( 1x ga

teng: 1112 ,)( xx hisoblash xatosidir. Shunday qilib, iterasiya metodiki qo’llayotganda .)..2,1,0( n ketma-ketlik o’rniga

.)..,1,0(,)(~1 nxx nnn

ketma-ketlikka ega bo’lamiz, bu yerda n - hisoblash xatosi.

Yuqorida isbot qilingan teoremaning xulosasi }{ nx ketma-ketlikka taalluqli bo’lgani

uchun, agar biz qo’shimcha shart qo’ymasak, bu xulosa }~{ nx ketma-ketlik uchun o’rinli bo’lmaydi, xatto bu ketma-ketlik ildizga yaqinlashmasligi ham mumkin. Shuning uchun quyidagi teoremani isbot qilamiz.

Nyuton metodi sonli tenglamalarni yechishning juda ham effektiv metodidir. Bu metodning afzalligi shundan iboratki, hisoblash sxemasi murakkab bo’lmagan holda ketma-ket yaqinlashishlar ildizga tez yaqinlashadi. Nyuton metodi iterasiya metodi kabi universal metoddir. Bu metod yordamida sonli tenglamalarning haqiqiy va kompleks ildizlarini topish hamda keng sinfdagi chiziqli bo’lmagan funksional tenglamalarni yechish mumkin. Formal nuqtai nazardan qarlaganda Nyuton metodi iterasiya metodining xususiy holidir, aslida esa bu metodning asl g’oyasi iterasiya metodining g’oyasidan tamoman farqlidir. Bu metod chiziqli masalalarning ketma-ketligini yechishga olib keladi. Buning uchun berilgan tenglamadan uning bosh chiziqli qismi ajratib olinadi. Biz avval bita sonli tenglama uchun Nyuton metodini ko’rib chiqamiz. Faraz qilaylik, bizga

0)( xf (25)

tenglama va uning ildiziga dastlabki yaqinlashish qiymati 0x berilgan bo’lsin. Bu yerda )(xf ni yetarlicha silliq funksiya deb olamiz. Odatdagidek, (25) tenglamaning aniq ildizini orqali

belgilaymiz. Endi hx 0 deb olib, )(xf funksiyaning 0х nuqta atrofidagi Teylor qatori yoyilmasidagi dastlabki ikkita hadini olib nolga tenglashtirsak, h ga nisbatan quyidagi

hxfxfhxf )()()(0 000

chiziqli tenglama ega bo’lamiz. Bu tenglamani yechib, h xatoning taqribiy qiymatini topamiz:

47

)()(

0

00 xf

xfh

.

Bu tenglamani hx 0 ga keltirib qo’yib, navbatdagi yaqinlashish

)()(

0

001 xf

xfxx

ni topamiz. Xuddi shunga o’xshash

.)..,1,0()()(

1

nxfxfxx

n

nnn

(26)

ketma-ket yaqinlashishlarni hosil qilamiz. Bu formulalar yordamida Nyuton ketma-ketligini hosil

qilish uchun nx lar )(xf funksiyaning aniqlanish sohasida yotish va ular uchun 0)( nxf bo’lishi kerak. Nyuton metodi judda ham sodda geometrik ma’noga ega. Haqiqattan ham, )(xfy funksiyani

))(()( nnn xxxfxfy (27)

to’g’ri chiziq bilan almashtiramiz, bu to’g’ri chiziq esa ))(,( nnn xfxM nuqtada )(xfy egri chiziqqa o’tkazilgan urinmadir. Nyuton metodi urinmalar metodi deb ham yuritiladi. Nyuton metodini iterasiya metodidan keltirib chiqarish ham mumkin, buning uchun (25) tenglamaning

)(xx kanonik ko’rinishida

)()()(

xfxfxx

deb olish kifoyadir.


1. Dastlabki yaqinlashishni topish. 2. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 3. Iterasion usullarning asosiy mohiyati. 4. Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi. 5. Iterasiya usulini yaqinlashishini baholash.

48

3-ma’ruza

CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISH USULLARI. GAUSS, ODDIY ITERATSIYA, ZEYDEL METODILAR

Reja: 1. Gauss metodi. 2. Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 3. Oddiy iterasiya metodi. 4. Zeydel metodi. Tayanch iboralar: oddiy va iterasion usullar, uchburchakli matrisa, to’g’ri va teskari yo’l,

Ermit matrisasi.

Gauss metodi. Bu metod bir necha hisoblash sxemalariga ega. Shulardan biri Gaussning kompakt sxemasini ko’rib chiqamiz. Ushbu sistema berilgan bo’lsin:

.,..................

,,...,,...

12211

122222121

111212111

nnnnnnn

nnn

nnn

axaxaxa

axaxaxaaxaxaxa

(1) Faraz qilaylik, 011 a (yetakchi element) bo’lsin, aks holda tenglamalarning o’rinlarini

almashtirib, 1х oldidagi koeffisiyenti noldan farqli bo’lgan tenglamani birinchi o’ringa ko’chiramiz.

Sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisiyentlarini 11a ga bo’lib, )1(

1,1)1(

12)1(

121 ... nnn bxbxbx (2) ni hosil qilamiz, bu yerda

).2(11

1)1(1 j

aa

b jj

(2) tenglamadan foydalanib, (1) sistemaning qolgan tenglamalarida 1x ni yo’qotish mumkin.

Buning uchun (2) tenglamani ketma-ket ...,, 3121 aa larga ko’paytirib, mos ravishda sistemaning ikkinchi, uchinchi va h.k. tenglamalaridan ayiramiz. Natijada, quyidagi sistema hosil bo’ladi:

..............

,...

)1(1,

)1(2

)1(2

)1(1,2

)1(22

)1(22

nnnnnn

nnn

axaxa

axaxa

(3)

bu yerda )1(

jia koeffisiyentlar )2,()1(

11)1( jibaaa jiijij .

formala yordamida hisoblanadi. Endi (3) sistema ustida ham shunga o’xshash almashtirishlar bajaramiz. Buning uchun (3) sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisiyentlarini yetakchi

element )1(

22a ga bo’lib, )2(

1,2)2(

23)2(

232 ... nnn bxbxbx (4) ni hosil qilamiz, bu yerda

49

)3()1(22

)1(2)2(

2 jaa

b jj

.

(4) tenglama yordamida (3) sistemaning keyingi tenglamalarida yuqoridagidek 2x ni yo’qotib,

)2(1,

)2(3

)2(3

)2(1,3

)2(33

)2(33

...............

...

nnnnnn

nnn

axaxa

axaxa

sistemaga kelamiz, bu yerda

)3,(,)2(2

)1(2

)1()2( jibaaa jiijij . Noma’lumlarni yo’qotish jarayonini davom ettirib va bu jarayonni m -qadamgacha bajarish mumkin deb faraz qilib, m -qadamda quyidagi sistemaga ega bo’lamiz:

,.................

,...

,...

)(1,

)(1

)(1,

)(1,

)(,11

)(1,1

)(1,

)(1

)(1,

mnnn

mnnm

mmn

mnmn

mnmm

mmm

mnmn

mmnm

mmmm

axaxa

axaxa

bxbxbx

(5) bu yerda

)1,(, )()1()1()()(

)()( mjibaaa

aa

b mjm

mmi

mij

mijm

mm

mjmm

jm.

Faraz qilaylik, m mumkin bo’lgan oxirgi qadamning nomeri bo’lsin. Ikki hol bo’lishi mumkin: nm yoki nm . Agar nm bo’lsa, u vaqtda biz uchburchak matrisali va (1) sistemaga

ekvivalent bo’lgan quyidagi

)(1,

)2(1,2

)2(23

)2(232

)1(1,1

)1(13

)1(132

)1(121

..................

,...

,...

nnnn

nnn

nnn

bx

bxbxbx

bxbxbxbx

(6)

sistemaga ega bo’lamiz. Oxirgi sistemadan ketma-ket 11 ,...,, xxx nn larni topish mumkin:

................

,

,

)1(12

)1(12

)1(1,11

)1(,1

)1(1,11

)(1,

nnn

nn

nnn

nnn

nnnn

xbxbbx

xbbx

bx

(7) (6) uchburchak sistemaning koeffisiyentlarini topish Gauss metodining to’g’ri yurishi, (7) sistemani topish jarayoni teskari yurishi deyiladi.

Oddiy iterasiya metodi. Faraz qilaylik, bxА (8)

sistema biror usul bilan bxBх (9)

ko’rinishga keltirilgan bo’lsin, qanday keltirish kerakligini keyinchalik ko’rib o’tamiz va dastlabki yaqinlashish vektori )0(x bi-ror usul bilan (masalan, cx )0( kabi) topilgan bo’lsin. Agar keyingi yaqinlashishlar

50

.)..,2,1(,)1()( kcxBx kk (10)

rekurrent formulalar yordamida topilsa, bunday metod oddiy iterasiya metodi deyiladi. (9) dan ko’ramizki, oddiy iterasiya metodi bu birinchi tartibli to’liq qadamli iterasion metoddir. Agar (10) ketma-ketlikning limiti x mavjud bo’lsa, (bu limit (10) sistemaning, (shu bilan (8) sistemaning ham) yechimi bo’ladi.

Haqiqatan ham, (10) tenglikda limitga o’tsak, cxBх kelib chiqadi. Oddiy iterasiya metodining yaqinlashish shartini aniqlaylik. 1-teorema. (10) oddiy iterasiya jarayoni o’zining ixtiyoriy dastlabki yaqinlashish vektori

)0(x da yaqinlashuvchi bo’lishi uchun B matrisaning barcha xos sonlari birdan kichik bo’lishi zarur va kifoyadir.

Isbot. Zarurligi. Faraz qilaylik, ixtiyoriy dastlabki vektor uchun

xx k

k

)(lim limit mavjud

bo’lsin. U holda cxBx (10) ni bu tenglikdan ayirib, quyidagilarni hosil qilamiz: )(...)()( )0()2(2)1()( xxBxxBxxBxx kkkk

. Endi )0(xx vektor k ga bog’liq bo’lmaganligi uchun

)( )0()( xxBxx kk

tenglikda k limitga o’tsak, 0lim

k

kB

kelib chiqadi, B matrisaning barcha xos sonlarining modullari birdan kichikligi ko’rinadi.

Kifoyaligi. (10) orqali aniqlanadigan barcha yaqinlashishlarni dastlabki vektor )0(х va c orqali ifodalaymiz:

.)...(...)()(

1)0(

)2(2)2()1()(

cBBExBcBExBccxBBcxBx

kk

kkkk

Endi, faraz qilaylik, B ning barcha xos sonlari birdan kichik bo’lsin. U holda

112 )(...,0

BEBBBEB k

k

k

. Demak, )0(x qanday bo’lishidan qat’i nazar )(kx yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir.

Isbot qilingan teorema nazariy jihatdan foydali, chunki u mavjud haqiqatni aniq ifodalaydi. Lekin, amaliy ishlar uchuya yaramaydi. Endi V matrisaning elementlari orqali ifodalanadi-gan kifoyalilik belgisini keltiramiz.

2-teorema. (10) oddiy iterasiya jarayonining yaqinlashuvchi bo’lishi uchun B matrisaning biror normasi birdan kichik bo’lishi kifoyadir.

Isbot. Haqiqatan ham, agar || B ||<1 bo’lsa, bu matrisaning barcha xos sonlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lib, bundan 1-teoremaga asosan oddiy iterasion jarayonning yaqinlashishligi kelib chiqadi.

2-teorema bir necha qulay kifoyalilik belgilarini keltirishga imkon beradi. 3-teorema. (10) oddiy iterasiya jarayovd yaqinlashishi uchun B matrisaning elementlari

quyidagi

1||max1

n

jiji

b, (11)

1||max1

n

iijj

b, (12)

1||1,

2

n

jiijb

(13) tengsizliklarning birortasini qanoatlantirishi kifoyadir.

51

Agar biz

n

iijj

n

jiji

bBbB1

21

1||max,||max

normalarni eslasak, teoremadagi avvalgi ikkita shart 2- teoremadan kelib chiqadi. Oxirgi shartdagi

tengsizlik esa, 13B ning birdan kichik ekanligini ko’rsatadi. Haqiqatan ham, bu yerda 1

BB matrisaning eng katta xos soni bo’lganligi va BB ning barcha xos sonlari manfiy bo’lmaganligi uchun

n ...211 Lekin bu tengsizlikning o’ng tomoyaidagi ifoda BB ning iziga (ya’ni BB matrisa diagonal

elementlarining yig’indisiga) teng bo’lib, u esa

n

jiijb

1,

2|| ra tengdir.

1. 1 DP , bu yerda D diagonal matriad bo’lib, diagonal elementlari A matrisaniig diagonal elementlari bilan ustma-ust tushsin. Bu holda iterasiya jarayonini tuzish

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

..............

,...,...

2211

22222121

11212111

sistema tenglamalarini mos ravishda nnaaa ,...,, 2211 larga bo’lib, hosil bo’lgan tenglamalarda

nxxx ,...,, 21 larnn mos ravishda chap tomonda qoldirib, qolganlariii o’ng tomonga o’tkavishdan iboratdir. Natijada,

11,

11

22

21

22

21

22

22

11

12

11

12

11

11

...

........

,...

,...

nnn

nn

nn

n

nn

nn

nn

nn

xa

ax

aa

abx

xaax

aa

abx

xaax

aa

abx

sistemaga ega bo’lamiz. Albatta bu usulni qo’llash mumkin bo’lishi uchun barcha ai lar noldan farqli bo’lishi kerak. Bundan tashqari diagonal elementlarning modullari boshqa elementlarining modullaridan ancha katta bo’lishi kerak. Aniqrog’i quyidagi tengsizliklarning birortasi bajarilishi lozim:

ii

n

iji ii

ij

ia

aa

,1

max, (14)

1max,1

jii ii

ij

j aa

, (15)

1||

11,1

2

12

n

iiij

n

j ij

aa . (16)

2. sAP 1 , bu yerda ij elementlarining modullari yetarlicha kichik bo’lgan matrisadir. Bu holda (10) tenglik

cAxAx kk )( 1)()1(

ko’rinishga ega bo’lib, A matrisa yaqinlashish shartini qanoatlantiradi. Zeydel metodi. Zeydel metodi chiziqli bir qadamli birinchi tartibli iterasion metoddir. Bu

52

metod oddiy iterasiya metodi-dan shu bilan farq qiladiki, dastlabki yaqinlashish ),...,,( )0()0(2

)0(1 nxxx

ga ko’ra )1(

1х ni topamiz. So’ngra ()0()0(

2)1(

1 ,...,, nxxx )' ga ko’ra )1(

2x topiladi va h. k. Barcha )1(

ix lar

aniqlanganidan keyin ...,, )3()2(ii xx lar topiladi. Aniqroq aytganda, hisoblashlar quyidagi sxema

bo’yicha olib boriladi:

.

.........

,

........

,

,

1

1

)1()1(

1

)(1

1

)1()1(

3

)(

22

2)1(1

22

21

22

2)1(2

2

)(

11

1

11

1)1(1

n

j

kj

nn

nj

nn

nkn

n

ij

kj

ii

iji

j

kj

ii

ij

ii

iki

n

j

kj

jkk

n

j

kj

jk

xaa

abx

xaa

xaa

ab

x

xaa

xaa

abx

xaa

abx

Endi Zeydel metodining yaqinlashish shartini ko’rib chiqaylik. Bu shart quyidagi teorema bilan beriladi.

4-teorema. Zeydel metodining yaqinlashishi uchun

0

...............

...

...

321

2232221

1131211

nnnnn

n

n

aaaa

aaaaaaaa

tenglamaning barcha ildizlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lishi zarur va kifoyadir.

Isbot. Berilgan A matrisani ikkita

0...

0...

...

...

...

...

0...

0

0...

00

,...

00

...00

...

...

...

...

...

0

...2

1

1,2

1,112

1,2

22

1

21

11

n

n

n

n

nnnnnn

aa

aaa

D

aaa

a

a

aa

C

matrisalar yig’indisi DCA shaklida yozib olamiz. U holda bxA sistemani

bxDxC shaklda yozish mumkin. Zeydel metodi esa

bxDxC kk )()1( ko’rinishdagi iterasiyadan iboratdar. Bu tenglikni )1( kх ga nisbatan yechsak:

bCxDCx kk 1)(1)1( . Bu esa, Zeydel metodining matrisasi — DC 1 bo’lgan oddiy iterasiyaga teng kuchli ekanligini ko’rsatadi. Demak, 1-teoremaga ko’ra Zeydel metodining yaqinlashuvchi bo’lishi uchui — DC 1 matrisaning barcha xos sonlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lishi zarur va kifoyadir. Shuning uchun ham

0)det( 1 DCE tenglamaning barcha ildizlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lishi kerak. Agar bu tenglama ildielarining ushbu

0)det( DC tenglama ildizlari bilan ustma-ust tushishini ko’rsatsak, teorema isbot bo’ladi.

53

5-teorema. Agar quyidagi

1max,1max,1,1

n

jii ii

ij

j

n

ijj ii

ij

i aa

aa

shartlarning birortasi bajarilsa, u holda ixtiyoriy dastlabki yaqinlashish )0(х uchun Zeydel metodi yaqinlashadi va bu yaqinlashish birinchi shart bajarilganda oddiy iterasiya metodining yakinlashishidan sekin emas.


1. Aniq va taqribiy usullar. 2. Oddiy iterasiya usulini asosiy g’oyasi. 3. Yaqinlashish shartlari. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.

54

4-ma’ruza

ChIZIQLI BO’LMAGAN TENGLAMALAR SISTEMASI UChUN ITERASIYA VA NYUTON USSULLARI

Reja: 1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton metodi bilan yechish.

Tayanch iboralar: metrik fazo tushunchasi, kubik, oktaedrik va sferik masofalar, yopiq shar,

qisqartirib aks ettirish tushunchasi. Iterasiya metodi bilan

0),...,,(........

,0),...,,(,0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

(1) tenglamalar sistemasini yechish masalasiga o’tamiz. Buning uchun avval (1) sistemani biror usul bilan quyidagi kanonik shaklga keltirib olamiz:

).,...,,(........

),,...,,(),,...,,(

21

2122

2111

nnn

n

n

xxxx

xxxxxxxx

(2)

Faraz qilaylik, ),...,,( )0()0(2

)0(1

)0(nxxxx dastlabki yaqinlashish topilgan bo’lsin, u holda

keyingi yaqinlashishlar quyidagicha topiladi:

).,...,,(........

),,...,,(

),,...,,(

)()(2

)(1

)1(

)()(2

)(12

)1(2

)()(2

)(11

)1(1

kn

kkn

kn

kn

kkk

kn

kkk

xxxx

xxxxxxxx

(3) Bu iterasion jarayon yaqinlashishining yetarli shartlarini aniqlash uchun qisqartirib aks ettirish

prinsipini qullaymiz. Shu maqsadda p o’lchovli vektorlar fazosi nR da ),...,,( 21 nxxxх vektor va

(2) sistemaning o’ng tomonidagi n ,...,, 21 funksiyalarning qiymatlaridan tuzilgan ),...,,( 21 n vektorni olib )(xy operatorni aniqlaymiz. Bu operator nR ni nR ga yoki nR

ning biror qismiga akslantiradi. Bu operator yordamida (2) sistema )(xx , (4)

(3) iterasion jarayon esa ,...)1,0()( )()1( kxх kk (5)

ko’rinishda yoziladi. 1- teorema. Faraz qilaylik:

1) ),1(),...,,( 21 nixxx ni funksiyalar ||max )0(xx

i (6) sohada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin;

55

2) bu sohada

),1(1max1

niqx

n

j j

i

x

(7) tengsizliklarni qanoatlantirsin;

3) dastlabki yaqinlashish )0()0(

2)0(

1 ,...,, nxxx uchun

q

nixxxx nii 1),,1(|),...,,(| )0()0(

2)0(

1)0(

shartlar bajarilsin. U holda (2) tenglamalar sistemasi (6) sohada yagona ),...,,( 21 n yechimga ega bo’lib, (3) tengliklar bilan aniqlanadigan ketma-ket yaqinlashishlar bu yechimga intiladi va intilish tezligi

),1(1

|| )( niqq

х nkii

tengsizliklar bilan baholanadi.

Nyuton metodi. Bu yerda n ta nxxx ,...,, 21 noma’lumli n ta

0),...,,(........................

,0),...,,(,0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

(8) tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton metodini ko’rib chiqamiz. Yozuvni qisqaroq qilish

maqsadida x orqali ),...,,( 21 nxxxx vektorni va )(xf orqali )),...,,(,...),,...,,(()( 21211 nnn xxxfxxxfxf

vektor-funksiyani belgilaymiz. U holda, (8) sistemani bitta 0)( xf

vektor-tenglama shaklida yozish mumkin. (8) sistemasini yechish uchun Nyuton metodi, tabiiyki bitta sonli tenglama uchun yuqorida ko’rib o’tilgan metodning umumlashganidir. Yuqoridagidek bu yerda ham metodning asosiy g’oyasi chiziqli bo’lmagan (8) sistemani ketma-ket chiziqli sistemaga keltirishdan iboratdir. Agar aniq yechim Bilan taqribiy yechim orasidagi xato yetarlicha kichik bo’lsa, ajratib olingan qism tenglamalar sistemasining bosh qismi bo’ladi.

Faraz qilaylik, bizga (8) sistemaning taqribiy yechimi ),...,,( )0()0(2

)0(1

)0(nxxxx ma’lum

bo’lsin, ),...,,( 21 n oraqali ),...,,( )0()0(22

)0(11

)0(nn xxxx vektor xatoni

belgilaymiz. (8) sistemada х o’rniga )0(x ni qo’yib, hosil bo’lgan sistemaning chap tomonini n ,...,, 21 larning darajalariga nisbatan Teylor qatoriga yoyib, n ,...,, 21 ga nisbatan chiziqli

qismini saqlab, quyidagi taqribiy sistemaga ega bo’lamiz:

).()(...)(

...........................................

),()(...)(

)0()0(

11

)0(

)0(1

)0(1

11

)0(1

xfxxf

xxf

xfxxf

xxf

nnn

nn

nn

(9)

Bu sistemani yechib, xatoning taqribiy qiymati ),...,,( )0()0(2

)0(1

)0(n ni topamiz. )0( ni )0(x ga

qo’shib, navbatdagi yaqinlashish vektorini hosil qilamiz: ),...,( )0()0()0(

1)0(

1)0()0()1(

nnxxxх .

56

O’z navbatida )1(х ni yaxshilashimiz mumkin, buning uchun )0(х o’rniga )1(х ni qo’yib, (9) ko’rinishdagi sistemani tuzish kerak. Shunday qilib, agar (9) ko’rinishdagi sistemalar yechimga ega bo’lsa, biz ketma-ket yaqinlashishlar vektorlarini topamiz. Qulaylik uchun Yakobi matrisasini kiritamiz:

.

)(...)(

......................

)(...)(

)()0(

1

)0(

)0(1

1

)0(1

n

nn

n

x

xxf

xxf

xxf

xxf

xf

(10) Bu matrisa yordamida (9) sistemani quyidagi bitta vektor-sistema shaklida yozishimiz mumkin:

)()( )0()0()0( xfxf x .

Faraz qilaylik, х nuqtada )(хf maxsusmas matrisa bo’lsin. Determinant o’z elementlarining uzluksiz funksiyalari bo’lganligi uchun x nuqtaning biror G atrofida (9) maxsusmas matrisa

bo’lib, uning teskarisi )(1 xf x

mavjud bo’ladi.

Faraz qilaylik, Gx )0( , u vaqtda (7) ning har ikkala tomonini )( )0(1 xf x

ga ko’paytirib, )()( )0()0(1)0( xfxf x

yoki

)()( )0()0(1)0()1( xfxfxх x

ni hosil qilamiz. Agar )()2()1( ,...,, kxxx lar G atrofida yotsa, u holda )1( kх ni

)()( )()(1)()1( kkx

kk xfxfxx (11) tenglikdan topamiz. Bu )(kx ketma-ket yaqinlashishlarni topish uchun Nyuton qoidasidir. Bu

qoidaning amalga oshishi uchun ...),2,1,0()( kx k lar )(хf ning aniqlanish sohasida yotishi va

)( )(kx xf matrisalar maxsusmas bo’lishi kerak.

Biz hozir L.V.Kantarovichning (11) Nyuton jarayonining yaqinlashishi haqidagi teoremasini isbotsiz keltiramiz. 2-teorema. Agar )(xf vektor-funksiya va dastlabki yaqinlashish vektori )0(x quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:

1) )0(x nuqtada )( )0(xf х Yakobi matrisasining determinanti ))(( )0(xf х noldan farqli

va k

i

хf

elementning algebraik to’ldiruvchisi jk bo’lib va

),1(||||

11

nkBn

jjk

baho o’rinli bo’lsa;

2) ;),1(|)(| )0(1 nixf

3) )0(х ning ),1(2|| )0(

1 niBxх i atrofidagi barcha nuqtalar uchun

n

k

n

j nj

i niLxxxf

1 1

2

),1()(

tengsizliklar bajarilsa;

57

4) LB ,, miqdorlar

212 LBh

shartni qanoatlantirsa, u holda )0(х nuqtaning

),1(211|| )0( niBh

hxx ii

atrofida (8) sistema yagona ),...,,( 21 n yechimga ega bo’lib, (11) bilan aniqlangan ),...,,( )()(

2)(

1)( k

nkkk xxxx Nyuton ketma-ketligi yaqinlashadi va shu bilan birga, yaqinlashish tezligi

Bhxk

kik

ini

121

)(

1)2(

21||max

tengsizlik bilan baholanadi. Shunga o’xshash teoremani Nyutonning modifikasiyalangan metodi uchun ta’riflash va isbot qilish mumkin. Shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki, (9) sistemada tenglamalar soni ikkita bo’lganda bu sistemani determinatlar yordamida yechish kerak. Tenglamaning soni ikkitadan ko’p bo’lsa, bunday sistemalarni keyingi bobda keltiriladigan metodlarning birortasi bilan yechish ma’quldir. Agar bizga ikkita

0),(,0),(

yxgyxf

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsa, u hoda (11) qoida quyidagicha yoziladi:

.,

.)..,2,1,0(,

1

1

k

k

xyyx

xxkk

k

k

xyyx

yykk

yyxx

gfgffggfyy

kyyxx

gfgfgffg

xх


1. Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi. 2. Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 3. Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi.

58

5-ma’ruza

MATRISALARNING XOS SON VA XOS VEKTORLARINI HISOBLASH

Reja: 1. Xos son va xos vektorlarini topish masalasi. 2. A.N.Krilov metodi. 3. A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topish.

Tayanch iboralar: Xos qiymat, xos vektor, minimal ko’phad, diagonal minor, nol bo’lmagan

vektor. Agap biror noldan farqli x vektor uchun

xxA (1) tenglik bajarilsa, u holda son A kvadrat matrisaning xos soni yoki xarakteristik soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan har qanday noldan farqli x vektor A matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektori deyiladi. Ko’rinib turibdiki, agar x xos vektor bo’lsa, u holda xa ( a — ixtiyoriy son) vektor ham xos vektor bo’ladi. Matrisaning xos soni va xos vektori haqidagi ma’lumotlar matematikada va uning boshqa sohalardagi tatbiqlarida ham keng qo’llaniladi. Bu yerda iterasion prosessning yaqinlashishi va yaqinlashish tezligi V matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonining miqdoriga bog’liq edi.

Astronomiya, mexanika, fizika, ximiyaning qator masalalarida ayrim matrisalarning barcha xos sonlarini va ularga mos keladigan xos vektorlarini topish talab qilinadi. Bunday masala xos sonlarning to’liq muammosi deyiladi.

Ayrim masalalarda esa, masalan, yadro masalasida, matrisaning moduli bo’yicha eng katta yoki eng kichik xos sonini topish talab qilinadi. Tebranuvchi jarayonlarda esa matrisa xos sonlarining modullari bo’yicha ikkita eng kattasini aniqlashga zaruriyat tug’iladi. Matrisalarning bitta yoki bir nechta xos son va xos vektorlarini topish xos sonlarining qismiy muammosi deyiladi.

Bir jinsli (1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud bo’lishi uchun

0

...............

...

...

)det()(

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

EAD

(2) shart bajarilishi kerak. Bu tenglama odatda A matrisaning asriy (bu termin ayetronomiyadan kirib qolgan) yoki xarakteristak tenglamasi deyiladi. (2) tenglamannng chap tomoni

)...()1()det( 22

11 n

nnnn pppEA (3) n -darajali ko’phad bo’lib, u A matrisaning xarakteristik ko’phadi deyiladi. Ayrim hollarda (3) ko’phad o’rnida A matrisaning xos ko’phadi deb ataluvchi

nnnn pppp ...)( 2

21

1 (4) ko’phad bilan ish ko’riladi. Matrisaning xos sonlari uning xos ko’phadining ildizlari bo’ladi. (4)

ko’phad n - darajali bo’lganligi uchun u n ta ildizga ega. A matrisaning i xos soniga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun

0)( xEA i (5) bir jinsli tenglamalar sistemasning noldan farqli yechimini topish kerak. Shunday qilib, xos son va xos vektorlarni topish masalasi uch bosqichdan iborat: 1) )(P ni qurish, 2) 0)( P tenglamani

yechib, barcha ),1( nii xos sonlarni topish, 3) barcha i larga mos kelgan xos vektorlarni (5) dan topish. Bu bosqichlarning har biri yetarlicha murakkab hisoblash masalalaridan iboratdir.

59

Haqiqatan ham, (2) determinantning har bir satri va har bir ustunida qatnashganligi uchun, bunday determinantni ning darajalariga nisbatan yoyib chiqish, ya’ni (11.3) tenglikni hosil qilish katta qiyinchilnk tug’diradi. Algebradan ma’lumki, umumiy holda, )(P ning koeffisiyentlarini A

matrisaning 1)1( i ishora bilan olingan i - tartibli bosh minoralari ip ning yig’indisiga teng:

lkj

lllklj

klkkkj

jljkjj

kj kkkj

jkjjn

jjj

aaaaaaaaa

paaaa

pap 321

1 ,,

(6) va hokazo. Demak,

Ap nn det)1( 1 . (7)

Yaqqol ko’rish mumkinki, A matrisaning i -tartibli diagonal minoralarining soni inC ga teng.

Demak, n -tartibli matrisani xos ko’phadi )(P ning kozffisiyentlarini bevosita hisoblash uchun 12...21 nn

nnn CCC ta har xil tartibli determinantlarni hisoblash kerak. Yetarlicha katta n uchun bu masela katta xisoblashlarni talab qiladi.

Viyet teoremasidan foydalgnib, quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:

.)1(...

,...1

21

121

nn

n

n

pp

Bu tengliklarni (6) tengliklarning birinchisi va (7) tekglik bilan solishtirsak,

AAtraaa

n

nnn

det...,......

21

221121

kelib chiqadi.

Shunday qilib, matrisaning barcha xos sonlarining yig’nndisi uning izi tr ga (inglizcha trace — iz so’zidan) teng bo’lib, ularning ko’paytmasi shu matrisaning determinantiga teng. Bu yerdan xususiy holda quyidagi kelib chiqadi: A matrisaning hyech bo’lmaganda birorta xos soni nolga teng bo’lishi uchun 0det A bo’lishi zarur va kifoyadir.

Xos son va xos vektorlarni topish metodlari ikki gruppaga bo’linadi: aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion metodlar. Biriichi gruppaga kiradigan metodlar bo’yicha matrisaning xos

ko’phadi topiladi (ya’ni nppp ,...,, 21 koeffisiyentlar hisoblanadn), keyin uning ildizlarini topib xos sonlarni hosil qilinadi va nihoyat, xos sonlardan foydalanib xos vektorlar quriladi. Bu metodlarning aniq metodlar deyilishiga sabab shundan iboratki, agar matrisa elementlari aniq berilgan bo’lsa va hisoblashlar aniq olib borilsa, natijada xarakteristik ko’phad koeffisiyentlarining qiymatlari ham aniq topiladi va xos vektorlarning komponentlari xos sonlar orqali aniq formulalar bilan ifodalanadi. Aniq metodlar, odatda, xos sonlarning to’liq muammosini yechish uchun qo’llaniladi.

Iterasion metodlarda xarakteristik sonlar xarakteris-tik ko’phad koeffisiyentlarini aniqlamasdan turib, bevosita hisoblanadi. Bu esa hisoblash masalasini juda soddalashtiradi: yuqori darajali algebraik tenglamalarni yechishdan ozod qiladi. Iterasion metodlarda xos sonlarni hisoblash bilan bir vaqtda xos vektorlar ham topiladi. Bu metodlarning sxemasi iterasion xarakterga ega. Bu metodlarda xos son va xos vektorlar sonli va vektorlar ketma-ketligining limiti sifatida topiladi.

A.N.Krilov metodi. Akademik A.N.Krilov 1931 yilda xos sonlar muammosini yechishning qulay metodini yaratadi. U o’z metodining g’oyasini tushuntirish uchun berilgan matrisa bilan bog’liq bo’lgan oddiy differensial tenglamalar sistemasini kiritadi va uning ustida almashtirish olib boradi. Bu almashtirishning algebraik mohiyatini aniqlash bilan N.N.Luzin, I.N.Xladovskiy, F.R.Gantmaxer, D.K.Faddevlar shug’ullanishgan.Biz bu yerda A.N.Krilov metodining manna shu algebraik interpretasiyasini ko’rib chiqamiz.

60

Matrisalarning minimal ko’phadlari. Avval chiziqli algebradan ayrim ta’rif va teoremalarni keltiramiz. Agar A kvadrat matrisa uchun

0...)( 11

10 EaAaAaAaAf mm

mm

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda

nmm aaaf ...)( 1

10 ko’phad A matrisa uchun nolga aylantiruvchi ko’phad deyiladi. Faqat keltirilgan, ya’ni bosh koeffisiyenti birga teng bo’lgan ko’phadlarni qaraymiz. Bunday ko’phadlarning to’plami bo’sh emas, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra A matrisaning xos ko’phadi )(P uning nolga aylantiruvchi ko’phadlaridir: 0)( AP . Demak, n -tartibli ixtiyoriy kvadrat matrisa uchun n -darajali nolga aylantiruvchi ko’phad mavjud. Bunday ko’phad yagona emas, chunki agar )(P ga bo’linadigan har qanday boshqa ko’phad ham nolga aylantiruvchi ko’phad bo’ladi. A matrisani nolga aylantiruvchi ko’phadlar orasida eng kichik darajaga ega bo’lgan yagona )( ko’phad mavjud. Bu ko’phad A matrisaning minimal ko’phadi deyiladi. Har qanday nolga aylantiruvchi ko’phad, shu jumladan A matrisaning xos ko’phadi )(P ham minimal ko’phadga bo’linadi. Minimal ko’phadning ildizlari xos ko’phadning barcha bir-biridan farqli ildizlaridan iboratdir. Yana quyidagi tushunchani kiritamiz. Faraz qilaylik, c biror vektor bo’lsin. Ma’lumki, n o’lchovli fazoda n tadan ortiq chiziqli erkli vektor bo’lishi mumkin emas. Shuning uchun

cAcAcAc n,...,,, 2 (8)

vektorlar orasida chiziqli bog’lanish mavjuddir. Hattoki, ixtiyoriy c vektor uchun ham 0)( cA (9)

chiziqli bog’lanish mavjud. Demak, A matrisaning )( minimal ko’phadining darajasi n dan kichik bo’lsa, (8) sistemada chiziqli erkli vektorlarning soni n dan kichikdir. Berilgan c vektor uchun

0)( cA (10) tenglikni qanoatlantiradigan )( ko’phadlar orasida bosh koeffisiyenti birga teng bo’lgan eng

kichik darajali yagona )( c ko’phad mavjudki, uning uchun

0)( cc tenglik o’rinli bo’ladi. Bunday ko’phad c vektorning minimal ko’phadi deyiladi va u (10) tenglikni qanoatlantiruvchi )( ko’phadning bo’luvchisi bo’ladi. Xususiy holda, ixtiyoriy c vektorning

minimal ko’phadi )(c A matrisa minimal ko’phadi )( ning bo’luvchisi bo’ladi. Agar (8)

sistemada cAcAcAc m 12 ,...,,, vektorlar chiziqli erkli bo’lib, cАm ularga chiziqli bog’liq bo’lsa,

cAqcAqcqcА mmm

m 111 ...

, u holda

0... 12

21

1

mmmmm qqqq

ko’phad A matrisaning minimal ko’phadi )( ga yoki uning bo’luvchisi )(с ga teng. Minimal ko’phadni topish. Endi A.N.Krilov metodini ko’rib chiqamiz. Ixtiyoriy noldan

farqli ),...,,( 00201)0( ncccc vektorni olib,

),1(),...,,( 21)1()( niccccAc inii

ii (11)

vektorlar ketma-ketligini tuzamiz. Yuqorida aytganimizdek, bu vektorlar orasida )()0()2(

2)1(

1 ... nn

nn ccqcqcq (12)

chiziqli kombinasiya mavjuddir. Agar buni koordinatalarda yozib olsak, nqqq ,...,, 21 larni topish

61

uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

............

,...

,...

0,22,11

2022,222,11

1011,221,11

nnnnnnnn

nnnn

nnnn

ccqcqcq

ccqcqcqccqcqcq

(13) Bu sistemaning determinanti

nnn

n

cc

cc

0,1

011,1

..............................

......

faqat

)0()2()1( ,...,, ccc nn vektorlar chiziqli erkli bo’lgandagina noldan farqlidir, chunki bu

determinantning ustunlari shu vektorlar koordinatalaridan tuzilgan. Agar Gauss metodining to’g’ri yurishidagi barcha n qadam bajarilib, (13) sistema quyidagi

nn

nn

nn

dq

dqbqbqdqbqbqbq

..................

223232

113132121

(14)

uchburchak shaklga keltirilsa, u holda 0 bo’lib, )1()1()0( ,...,, nccc vektorlar chiziqli erklidir.

U vaqtda (14) sistemadan qaralayotgan kombinasiyaning koeffnsiyentlari 11 ,...,, qqq nn ni topa olamiz.

Agar Gauss metodidagi to’g’ri yurishning faqat m ta qadami bajarilsa, u holda faqat avvalgi m ta

)1()1()0( ,...,, mccc torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli )()0()2(

2)1(

1 ... mm

mm ccqcqcq

chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz:

............

,...

,...

0,22,11

2022,222,11

1011,221,11

mnnmnmnm

mmmm

mmmm

ccqcqcq

ccqcqcqccqcqcq

(15) Bu sistemadan Gauss metodi yordamida m ta chiziqli erkli tenglamalarni ajratib olib,

11 ,...,, qqq mm kogffisiyentlarki topamiz. Shunday qilib, biz nm bo’lganda A matrisaning xos ko’phadini va nm bo’lganda

uning bo’luvchisini topishimiz mumkin. Avval nm bo’lgan holni ko’raylik. Bu xolda (12)

chiziqli kombinasiyaning nqqq ,...,, 21 koeffisiyentlari

nnn ppP ...)( 1

1 xos ko’phadning mos ravishda nppp ,...,, 21 koeffisiyentlariga teng:

),...,2,1( nipq ii . Haqiqatan ham, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra

0...)( 11 EpApAAP n

nn.

Bu tenglikni )0(c vektorga ko’paytirib va ),...,2,1()()0( niccA ii

62

larni hisobga olib, )()0()2(

2)1(

1 ... nn

nn ccpcpcp

ga ega bo’lamiz. Bu tenglikni (12) dan ayirib, 0)(...)()( )0()2(

22)1(

11 cpqcpqcpq nnnn

(16) ni hosil qilamiz.

)1()1()0( ,...,, nccc vektorlar chiziqli erkli bo’lganligi uchun (16) tenglik faqat ),...,2,1( niqp ii bo’lgandagina bajariladi.

Demak, nm bo’lganda qurilgan chiziqli kombinasiyaning ko’rinishiga qarab, A matrisaning )(P xos ko’phadini yozish mumkin. 0)( P tenglamani yechib matrisaning barcha xos sonlarini topamiz. Agar nm bo’lsa, qurilgan chiziqli kombinasiya

)()0()2(2

)1(1 ... m

mmm ccqcqcq

(17)

ko’rinishga ega bo’dadi. Endi ),...,2,1()0()( micAc il larni hisobga olib (10) tenglikni 0)...( )0(2

21

1 cEqAqAqA mmmm

yoki

0)( )0()0( cAc

ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda

mmmm

c qqq ...)( 22

11)0( .

Demak, izlanayotgan kombinasiyaning koeffisiyentlari mqqq ,...,, 21 )0(c vektorning minimal

ko’phadi )()0( c ning koeffisiyentlaridir. Bunday ko’phad )1()1()0( ,...,, mccc vektorlar chiziqli

erk-li bo’lganligi uchun yagonadir.

Shunday qilib, nm bo’lganda biz )(P ning )()0( с bo’luvchisini topamiz va 0)()0( с tenglamani yechib, matrisaning bir qism xos sonlarini topamiz. Dastlabki )0(с vektorni

boshqacha tanlab, qolgan xos sonlarni ham topish mumkin. Shu bilan birga yangi tanlangan vektor oldin aniqlangan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi bo’lmasligi kerak.

Matrisaning xos vektorlarini topish. Endi xos vektorlarni topish masalasiga o’tamiz.

Faraz qilaylik, i

mmmm

c qqq ...)( 22

11)0(

minimal ko’phadning ildizi bo’lsin (keyingi mulohazalar nm va nm hollar uchun bir xil). A

matrisaning i xoc soniga mos keladigan )(lx xoc vektorini oldingi punktda topilgan )1()1()0( ,...,, mccc vektorlarning chiziqli kombinasiyasi shaklida izlaymiz:

)1()1(2

)0(1

)( ... mimii

l cccx . (18)

Bu tenglikni A ga ko’paytirib va )1()( jj cAc ham )()( i

ii xxА tengliklarni hisobga olib,

)()2(2

)1(1

)1()1(2

)0(1 ...)...( m

imiim

imiii cccccc (19)

ga ega bo’lamiz. Bundan tashqari, yana 0...)( )0()2(

2)1(

1)()0(

)0( cqcqcqccA mmmm

c ni hisobga olsak, u holda (19) ni

)...(

...)...()0()1(

1)2(

2)1(

1

)1(1,

)2(2

)1(1

)1()1(2

)0(1

cqcqcqcq

cccccc

mmmm

im

mmiii

mimiii

yoki

63

0)(

)(...)()()1(

11,

)2(22,1,

)1(112

)0(1

mimmiimi

mimmimiimimiiimimii

cq

cqcqcq

ko’rinishda yozib olishimiz mumkin. Bundan

)1()1()0( ,...,, mccc vektorlarning chiziqli erkliligini hisobga olsak,

0

,0.......

,0,0

11,

22,1,

112

1

qq

qq

immiimi

immimii

mimiii

mimii

tengliklar kelib chiqadi. Oxirgi tenglikdan boshlab, ketma-ket ik larni topamiz:

.0)...(

,)...(........

,)(

,)(

11

12

11

1

212

2,

11,

immmi

mi

immmi

mii

imiimi

imimi

qqqq

qq

q

Oxirgi tenglik barcha im lar uchun o’rinlidir, chunki

0...)( 11

mmi

miic qq .

Bu tenglikdan hisoblashni kontrol qilish uchun foydalanish mumkin. Hisoblashni soddalashtirish

maqsadida 1im deb olishimiz mumkin. Unda qolganlari quyidagicha topiladi:

............

,

,,1

12

11

1

212

2,

11,

mmi

mii

iimi

imi

im

qq

qq

q

(20)

Bularny hisoblashda Gorner sxemasidan foydalanish ma’quldir. Agar berilgan i xos songa A matrisaning bir necha xos vekto ri mos kelsa, u holda ularni izlash uchun boshqa dastlabki vektorni tanlab olib, shu hisoblash jarayonini takrorlash mumkin.

Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod. Faraz

qilaylik, A matrisa oddiy strukturaga ega va uning xos sonlari n ,...,, 21 bo’lib, ularga mos

keladigan chiziqli erkli xos vektorlar )()2()1( ,...,, nxxx bo’lsin. Bu yerda to’rt holni ko’rib

chiqamiz: 1-hol. A matrisaning xos sonlaridan bittasi moduli bo’yicha eng katta bo’lsin. Umumiylikka

zarar yetkazmasdan xos sonlar quyidagi tartibda joylashgan deb faraz qilishimiz mumkin: ||...|||||| 321 n . (21)

Biz 1 , ning taqribiy qiymatini topish usulini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy noldan farqli )0(y vektorni olib,

uni A matrisa xos vektorlari bo’yicha yoyamiz: )()2(

2)1(

1)0( ... n

n xbxbxby .

Bu yerdan ib lar o’zgarmas sonlar bo’lib, ayrimlari nol bo’lishi ham mumkin. )0(y vektor ustida

kA matrisa yordamida almashtirish bajaramiz:

64

n

j

jkj

kk xAbyAy1

)()0()(

.

Bu yerdan )()( jk

jjk xxA ekanligini hisobga olib,

n

j

jkjj

k xby1

)()( (22)

ga ega bo’lamiz.

Endi n o’lchovli vektorlar fazosi nR da ixtigriy neee ,...,, 21 bazis olamiz. Shu bazisda ),...,,( )()(

2)(

1)( k

nkkk yyyy ,

),...,,( 21)( njjj

j xxxx bo’lsin. (22) tenglikni koordinatalarda yozib chiqamiz:

),1(1

)( nixbyn

j

kjijj

ki

(23)

Shunga o’xshash

n

j

kjijj

ki xby

1

1)1( (24)

Bu yerda ijjij хbc deb belgilab, (24) ni (23) ga bo’lamiz:

knin

ki

ki

knin

ki

ki

ki

ki

cccccc

yy

......

2211

1122

111

)(

)1(

. (25)

Faraz qilaylik, 01 ic bo’lsin, bunga erishish uchun dastlabki vektor )0(y va neee ,...,, 21 bazisni

kerakli ravishda tanlash kerak. Endi 1i

ijij c

cd

va 11

i

deb (25) ni quyidagicha yozamiz:

knin

ki

knin

ki

ki

ki

dddd

yy

...1

...1

22

1122

1)(

)1(

. (26)

Bu yerdan esa (21) ni hisobga olsak, k da 0... 2 kkn kelib chiqadi.

Demak, (26) ni quyidagicha yozishimiz mumkin:

)||(0)]||(01[)]||(01[)]||(01[ 212121

21)(

)1(kkakk

ki

ki

yy

. Bu yerdan esa yetarlicha katta k lar uchun

)(

)1(

1 ki

ki

yy

(27)

deb olishimiz mumkin. Odatda )1(x vektorning bir necha koordinatalari noldan farqli bo’ladi. Shuning uchun (27) da nisbatni i ning bir necha qiymatida hisoblash mumkin. Agar bu nisbatlar

yetarli aniqlikda ustma-ust tushsa, u holda biz i , ni yetarli aniqlik bilan topgan bo’lamiz.

Ravshanki, bu jarayonning yaqinlashish tezligi 2 ning kichikligiga bog’liqdir. Eslatma. Yuqoridagi iterasion jarayonning yaqinlashishini tezlashtirish uchun ayrim

hollarda quyidagi matrisalar ketma-ketligini tuzish foydalidir:

65

.

.....,

,

12122

224

2

mmm AAA

AAAAAA

Bu yerdan esa mk 2 deb olib,

)0()( yAy kk va

)()1( kk yAy

ga ega bo’lamiz.

Topilgan eng katta xos son i ga mos keladigan xos vektor sifatida )(ky ni olishimiz

mumkin. Haqiqatan ham, (22) formuladan

n

j

jkjj

kk xbxby2

)()1(11

)(

ga ega bo’lamiz. Bu yerdan

n

j

jkj

jkk xbb

xby2

)(

1

)1(11

)( .

Agar biz 0

k

kj

ekanligini hisobga olsak, u holda yetarli aniqlik bilan )1(

11)( xby kk

ga ega bo’lamiz, ya’ni )(ky xos vektor )1(х dan sonli ko’paytuvchi bilan farq qilyapti va, demak, u

1 xoc songa mos keladigan xos vektordir. 2-hol. A matrisa xos sonining moduli bo’yicha eng kattasi karrali bo’lsin. Faraz qilaylik,

||...||||||,...

211

21

nss

s

bo’lsin. Bu holda (25) tenglik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

knin

kssi

kisi

knin

kssi

kisi

ki

ki

cccccccc

yy

...)...(

...)...(

11,11

1111,

111

)(

)1(

. (28)

Bu yerda ham 0...1 isi cc deb faraz qilamiz va

11

),(...

i

iisi

ijij sj

ccc

d

belgilashlarni kiritib, (28) ni quyidagicha yozamiz:

knin

kssi

knin

kssi

ki

ki

dddd

yy

...1...1

11,

1111,

1)(

)1(

.

Bundan esa, 0

01 k

ks ni hisobga olib,

)|(|0 1)(

)1(

1k

ski

ki

yy

ga ega bo’lamiz. Shunday qilib, yuqorida keltirilgan jarayon bu yerda ham o’rinlidir. 1) holdagidek

A matrisaning i , xos soniga mos keladigan xos vektor sifatida taqribiy ravishda )(ky ni olishimiz

mumkin. Umuman aytganda, boshqa dastlabki )0(y vektorni tanlab boshqa

)0(yAk xos vektorga ega

bo’lamiz. Shunday kilib, i ga mos keladigan boshqa xos vektorlarni ham topish mumkin.

66

3-hol. Faraz qilaylik, A matrisaning xos sonlari quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: prrri ...... 1

va ||...||||...|| 11 nprpr .

Bu yerda yuqoridagi iterasion jarayonni qo’llab bo’lmaydi. Haqiqatan ham, (23) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

....)1(...

))(...()...(

11,11,11

11,11,1,1111)(

knin

kprpri

kkri

ki

kninn

kprpripr

kpriprrir

kirri

ki

ddddxb

xbxbxbxbxby

Bu yerda k

id 11 va kk

rid 11, )1( hadlar bir xil tartibga ega bo’lib, k ning o’zgarishi bilan ikkinchisi o’z ishorasini o’zgartiradi. Demak,

)(

)1(

ki

ki

yy

nisbat k da limitga ega bo’lamaydi. Lekin bu yerda

)2( kiy va

)22( kiy yoki

)12( kiy va

)12( kiy

dan foydalanib, 21 ni topishimiz mumkin:

).||(0

),||(0

21

21)12(

)12(

21

21)2(

)22(

kpkk

i

ki

kpkk

i

ki

yyy

y

Shunday qilib, bu holda A matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonini topishimiz mumkin. A

matrisaning 1 va 1 xos sonlarga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun )(

1)1( kk yy

va )(

1)1( kk yy

vektorlarni tuzamiz:

)].||(0)...(2[)(

)],||(0)...(2[)(

...)()...(2

1)()1(

11

1)(

1)1(

1)()1(

1)1(

1)(

1

)1(1111

)()1(1

11

)(1

)1(

kpr

prpr

rr

kkk

kpr

rr

knn

knn

prkprprpr

rr

kkk

xbxbyy

xbxbxb

xbxbxbyy

A matrisaning 1 xos soniga

)()1(1 ... r

r xbxb xoc vektor va 1 xoc soniga )()1(

1 ... prpr

rr xbxb

xos vektor mos keladi. Shuning uchun ham, 1 ga mos keladigan xos

vektor sifatida )(

1)1( kk yy

ni olshshshiz mumkin. Arap r va p yoki bularning birortasi birdan

katta bo’lsa, u holda boshqa dastlabki )0(y vektorni tanlab shu jarayonni takrorlash kerak.

4-hol. Bu holga A matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonlari qo’shma kompleks bo’lgan hol yoki modullari bilan o’zaro juda yaqin bo’lgan hol kirali. Faraz qilaylik, 1 va 2 xos sonlar qo’shma kompleks sonlar bo’lib, quyidagi shartni qanoatlantirsin:

||...|||||| 321 n . Bu holda, quyidagi taqribiy tengliklarning o’rinli ekanligiga osongina ishonch hosil qilish mumkin:

)2(222

)1(211

)2(

)2(122

)1(111

)1(

)2(22

)1(11

)(

,,

xbxbyxbxby

xbxby

kkk

kkk

kkk

(29) Demak, bu vektorlar orasida quyidagi taqribiy chiziqli bog’lanish mavjud:

0)( )(21

)1(21

)2( kkk yyy .

67

Agar hisoblash jarayonida )2()1()( ,, kkk yyy vekterlar orasida

0)()1()2( kkk yqypy (30)

chiziqli bog’lanish o’rinli bo’lsa, u holda 1 va 2 lar 02 qpuu (31)

kvadrat tenglamani qanoatlantiradi. Bu tenglamaning p va q koeffisiyentlarini quyidagi mulohazalar yordamida topish mumkin. (30) tenglikda komponentlarga o’tsak,

0

,0)()1()2(

)()1()2(

kj

kj

kj

ki

ki

ki

qypyyqypyy

bo’lib, ji deb olamiz. Bu yerdan r va q ni topib, (31) ga qo’ysak, u holda (31) ni quyidagicha yozsak bo’ladi:

);,1,(01

)2()2(2

)1()1(

)()(

jinjiyyuyyuyy

kj

ki

kj

ki

kj

ki

. (32)

(31) tenglikdan 1 va 2 topilgandan keyin ularga mos keladigan xos vektorlarni ham topish mumkin, (29) dan

)1(2111

)(2

)1(

)2(1222

)(1

)1(

)(

,)(

xbyyxbyy

kkk

kkk

ga ega bo’lamiz. Bu natijalarni, modullari teng yoki yaqin bo’lgan xos sonlarning soni bir juftdan ko’p bo’lgan hol uchun ham umumlashtirish mumkin.

Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish. Faraz qilaylik, A matrisaning xos sonlari quygidagi shartni kanoatlantirsin:

||...|||||| 321 n , ya’ni A matrssaning bir-biridan farqli bo’lgan ikkita modullari bo’yicha eng katta xos soni mavjud

bo’lsin. Bunday vaqtda 1-holda ko’rilgan usulga o’xshash usulni qo’llab, 2 va unga moo keladigan )2(x xos vektorni topish mumkyan. (22) formulaga ko’ra

,... )()2(22

)1(11

)( nknn

kkk xbxbxby (33) .... )(1)2(1

22)1(1

11)1( nk

nnkkk xbxbxby (34)

Bu tengliklarda 1 , ni yo’qotish uchun (33) ni 1 ga ko’paytirie (34) dan ayiramiz. Natijada )(

1)2(

1222)(

1)1( )(...)( n

nknn

kkk xbxbyy (35)

ga ega bo’lamiz.

Yozuvni qisqartirish maqsadida )(ky ning -ayirmasi deb ataluvchi quyidagi

)()1()( kkk yyy

belgilashni kiritamiz. Agar 0b bo’lsa u holda k da (35) da birinchi qo’shiluvchi yigindiping bosh qismi buladi va biz

)2(1222

)( )(1

xby kk (36) taqribiy tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerdan esa

)2(12

122

)1( )(1

xby kk

. (37) Bu tengliklarni komponentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz:

)1(1

)(

)(1

)1(

)1(

)(

21

1

k

jk

j

kj

k

kj

kj

yyyy

yy

. (38)

68

Bu formula yordamida 2 ni topishimiz mumkin. Bir-biriga yaqin sonlar )(k

jy va )1(

1k

jy hamda )1( k

jy va )(

1k

jy bo’lganligi uchun aniqlik yo’qoladi. Shuning uchun ham, praktikada 2 ni

aniqlaidigan iterasiya nomeri m ni 1 ni aniqlaydigan nterasiya nomeri k Dan kichikroq qilib olish, ya’ni 2 ni quyidagicha aniqlash ma’quldir:

)()1(1

)(

)(1

)1(

2 kmyy

yym

jm

j

mj

mj

. (39)

Agar l yetarlicha katta bo’lsa, l2 ning .)..,4,3( jl

j dan ortiqligi sezilib qoladi, m sifatida shu l larning eng kichigini olish kerak. Umuman aytganda, (39) formula 2 ning qo’pol qiymatini beradi. Shu usul bilan qolgan xos sonlarni ham topish mumkin, lekin natija yana ham qo’polroq chiqadi.

(36) dan ko’rinib turibdiki, )()2(

1

myx dan faqat o’zgarmas ko’payuvchiga farq qilyapti, shuning uchun ham

)()2(1

myx deb olishimiz mumkin.


1. Matrisaning xos qiymat va xos vektorlari. 2. Xos sonlarning qismiy va to’liq muammosi. 3. Aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion usullar. 4. Moduli bo’yicha eng katta xos soni hisoblashning iterasion usullari

69

6-ma’ruza

INTERPOLYATSIYA MASALASI. LOGRANJ INTERPOLYSTSION KO`PHADI. NYUTON INTERPOLYSTSION KO`PHADI.

Reja: 1. Interpolyasiyalash masalasi. 2. Logranj interpolyasion formulasi. 3. Nyuton interpolyasion formulalari

Tayanch iboralar: Interpolyasiyalash, boshlang’ich qiymat, tugun nuqta, funksiya, ko’phad, xato.

Aksariyat hisoblash metodlari masalaning qo’yilishida qatnashadigan funksiyalarni unga

biror, muayyan ma’noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo’lgan funksiyalarga almashtirish g’oyasiga asoslangan.

Ushbu mavzuda funksiyalarni yaqinlashtirish masalasining eng sodda va juda keng qo’llaniladigan qismi — funksiyalarni interpolyasiyalash masalasi qaraladi.

Dastlab interpolyasiyalash deganda funksiyaning qiymatlarini argumentning jadvalda berilmagan qiymatlari uchun topish tushunilar edi. Bu holda interpolyasiyalashni «satrlar orasidagilarni o’qiy bilish san’ati» deb ham ta’riflash mumkin. Hozirgi vaqtda interpolyasiyalash tushunchasi juda keng ma’noda tushuniladi. Interpolyasiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik, ],[ ba oraliqda )(xfy funksiya berilgan yoki hyech bo’lmaganda uning

)(,...),(),( 10 nxfxfxf qiymatlari ma’lum bo’lsin. Shu oraliqda aniqlangan va hisoblash uchun qulay bo’lgan qandaydir funksiyalar { )(xP } sinfini, masalan, ko’phadlar sinfini olamiz. Berilgan

)(xfy funksiyani ],[ ba oraliqda interpolyasiyalash masalasi shu funksiyani berilgan sinfning shunday )(xP funksiyasi bilan taqribiy ravishda

)()( xPxf almashtirishdan iboratki, )(xP berilgan nxxx ,...,, 10 nuqtalarda )(xf bilan bir xil qiymatlarni qabul qilsin:

),0()()( nixfxP ii .

Bu yerda ko’rsatilgan nxxx ,...,, 10 nuqtalar interpolyasiya tugunlari yoki tugunlar deyiladi, )(xP esa interpolyasiyalovchi funksaya deyiladi. Agar { )(xP } sinfi sifatida darajali ko’phadlar sinfi olinsa, u holda interpolyasiyalash algebraik deyiladi. Algebraik interpolyasiyalash apparati hisoblash matematikasining ko’p sohalarida qo’llaniladi, chunonchi, differensiallash va integrallashda, transsendent, differensial va integral tenglamalarni yechishda, funksiya ekstremumini topishda, hamda funksiya jadvalini tuzishda. Teylor yoyilmasi klassik analizda qay darajada ahamiyatga ega bo’lsa, algebraik interpolyasiyalash ham hisoblash matematikasida shunday ahamiyatga egadir. Ayrim hollarda interpolyasiyalashning boshqa ko’rinishlarini qo’llash maqsadga muvofiqdir. Masalan, )(xf Davriy funksiya bo’lsa, u holda { )(xP } sinfi sifatida trigonometrik funksiyalar sinfi olinadi; agar interpolyasiyalanadigan funksiya berilgan nuqtalarda cheksizga aylanadigan bo’lsa, u holda { )(xP } sinfi sifatida rasional funksiyalar sinfini olish ma’quldir.

Lagranj interpolyasion formulasi. Biz asosan algebraik interpolyasiyalash bilan shug’ullanamiz. Masalaning qo’yilishi quyidagichadir. Darajasi n dan yuqori bo’lmagan shunday

ko’phad qurilsinki, u berilgan ( 1n ) ta nxxx ,...,, 10 nuqtalarda berilgan

70

)(,...),(),( 10 nxfxfxf qiymatlarni qabul qilsin. Bu masalani geometrik ta’riflash ham mumkin: darajasi n dan ortmaydigan shunday )(xP ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan ( 1n ) ta

),0())(,( nkxfxM kkk nuqtalardan o’tsin.

Demak, mc koeffisiyentlarni shunday aniqlash kerakki, n

n xcxccxP ...)( 10 (1) ko’phad uchun ushbu

nkxfxP kk ,...,1,0),()( (2)

tengliklar bajarilsin. Bu tengliklarni ochib yozsak, ),0( nmcm larga nisbatan ( 1n ) noma’lumli ( 1n ) ta tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

).(............

),(...

),(...

2210

11212110

00202010

nnnnnn

nn

nn

xfxcxcxcc

xfxcxcxccxfxcxcxcc

(3)

Bu sistemaning determinanti Vandermond determinantidir: ),...,,( 10 nxxxW . Masala

mazmunidan ravshanki, kx nuqtalar bir-biridan farqli, demak bu determinant noldan farqlidir. Shuning uchun ham (3) sistema va shu bilan birga qo’yilgan interpolyasiya masalasi yagona

yechimga ega. Bu sistemaii yechib, mc larni topib (1) ga qo’ysak, )(xP ko’phad aniqlanadi. Biz )(xP ning oshkor ko’rinishini topish uchun boshqacha yo’l tutamiz, avvalo fundamental ko’phadlar

deb ataluvchi )(xQnj larni, ya’ni

булгандаjiбулгандаji

xQ jiinj ,1

,,0)(

shartlarni qanoatlantiradigan p- darajali ko’phadlarni quramnz. U holda

n

jnjjn xQxfxL

0)()()(

(4) izlanayotgan interpolyaiion ko’phad bo’ladi. Haqiqatan ham, barcha ni ,...,2,1,0 uchun

)()()()()(00

i

n

j

jij

n

jinjjin xfxfxQxfxL

va ikkinchi tomondan )(xLn n - darajali ko’phaddir.

Endi )(, xQ jn ning oshkor ko’rinishini topamiz, ij bo’lganda 0)(, ijn xQ , shuning

uchun ham )(, xQ jn ko’phad ij bo’lganda ixx ga bo’linadi. Shunday qilib, n - darajali ko’phadning n ta bo’luvchilari bizga ma’lum, bundan esa

ji

ijn xxCxQ )()(,

kelib chiqadi. Noma’lum ko’paytuvchi C ni esa

1)()(, ji

ijjjn xxCxlQ

shartdan topamiz; natijada:

71

ji ij

ijn xx

xxxQ )(,

. Bu ifodani (4) ga qo’yib, kerakli ko’phadni aniqlaymiz:

n

j ji ij

ijn xx

xxxfxL0

)()(. (5)

Bu ko’phad Lagranj interpolyasion ko’phadi deyiladi, Bu formulaning xususiy hollarini ko’raylik: 1n bo’lganda. Lagranj ko’phadi ikki

nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq formulasini beradi:

)()()( 110

00

01

11 xf

xxxx

xfxxxxxL

.

Arap 2n bo’lsa, u vaqtda kvadratik interpolyasion ko’phadga ega bo’lamiz, bu ko’phad uchta nuqtadan o’tuvchi va vertikal o’qqa, ega bo’lgan parabolani aniqlaydi;

)())((

))(()(

))(())((

)())((

))(()( 21202

101

2101

200

2010

212 xf

xxxxxxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxxxxxxxL

.

Endi Lagranj interpolyasion formulasshshng boshqa ko’rinishini keltiramiz. Buning uchun

n

iin xxx

01 )()(

ko’phadni kiritamiz. Bundan hosila olsak,

n

k jiin xxx

01 )()(

.

Kvadrat qavs ichidagi ifoda jxx va jk bo’lganda nolga lanadi, chunki ( ij xх ) ko’paytuvchi qatnashadi. Demak,

ji

ijjn xxx )()(1.

Shuning uchun ham,

ji ij

i

xxxx

Lagranj koeffisiyentini

))(()(

1

1

jjn

n

xxxx

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan esa Lagranj ko’phadi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

n

j jjn

njn xxx

xxfxL

0 1

1

))(()()(

)(

. (6) Endi tugunlar bir xil uzoqlikda joylashgan:

hxxxxxx nn 11201 ... xususiy holni ko’ramiz.

Bu holda soddalik uchun thxx 0 almashtirish bajaramiz, u holda )()(),( 1

11 thxjthxx n

nnj

,

bu yerda njn

jnn hjnjxntttt !)(!)1()(),(...)1()( 11

bo’lib, (2.6) Lagranj interpolyasion ko’phadi quyidagi ko’rinish-yai oladi:

n

j

jjn

nn jnjjtxf

xthxL0

10 !)(!)()()1(

)()( . (7)

72

Nyuton interpolyasion formulalari. Ushbu mavzuda interpolyasiya tugunlari teng

uzoqlikda joylashgan holni, ya’ni )...,2,1,0(0 iihxxi bo’lgan holni qaraymiz. Bu holda interpolyasion formulaning ko’rinishlari ancha soddalashadi. Biz xozir Nyutonning ikkita interpolyasion formulasshi chiqaramiz. Bularning birinchisi funksiyani jadval boshida va ikkinchisi jadval oxirida interpolyasiyalash uchun mo’ljallangan.

Faraz qilaylik, nn xxxxL ,...,,)( 10 tugunlar bo’yicha tuzilgan Nyuton interpolyasion ko’phadi bo’lsin:

))...()(,...,(...))(,()()( 1000100 nnn xxxxxxfxxxxfxfxL . (8) Bundagi bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtiraylik.

Ushbu thxx 0 almashtirishni ham bajargandan keyin (8) ko’phad quyidagi ko’rinishga zga bo’ladi:

.!

)]1()...[1(...!3

)2)(1(2

)1()( 2/3

2/32

11

2/100n

nn fn

ntttftttftttffthxL

(9) Bu formulaning qoldiq hadi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

))...(1(!)1(

)(!)1()())...()(()(

)1(1)1(

000 ntttnfh

nfnhxxhxxxxxR

nnn

n

(10) (9) formula Nyutonning jadval boshidagi yoki cum interpolyasion formulasi deyiladi.

Endi (8) formulada interpolyasiyalash tugunlari sifatida nxxx ,...,, 10 tugunlarni olamiz: ))()(,,())(,()()( 102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxL n

)(...))(,...,(... )1(00 nn xxxxxxf (11) Bo’lingan ayirmalar o’z argumentining simmetrik funksiyasi bo’lganligi uchun

),,...,(),...,,( 0110 xxxfxxxf kk .

(11) formulada yana bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtirib va thxx 0 deb olib, quyidagini hosil qilamiz;

!)]1()...[1(...

2)1()( 2/

21

12/100 n

ntttfttftffthxL nnn

. (12) Bu formulaning qoldiq hadi

))(...1(!)1(

)()1(1

ntttnfh nn

ko’rinishda bo’ladi.

Endi qoldiq had to’g’risida bir oz to’xtalib o’taylik. Ayrim hollarda, xususan if qiymatlar

tajriea yo’li bilan hosil qilingan bo’lsa, )()1( nf ni baholash ancha mushkul bo’ladi. Shuning uchun qo’pol bo’lsa ham, soddaroq yo’l bilan baholash ma’quldir. Qaralayotgan oralikda hosila

)()1( xf n, demak, ayirma

1nif ham sekin o’zgaradi deb faraz qilib, (10) formula bilai berilgan

qoldiq hadda qatnashuvchi hosilani ayirma bilan alamashtiramiz, natijada 1

21!)1(

)(...)1(

n

nn fn

ntttR (13)

hosil bo’ladi. Shuningdek (12) formula o’rnida, quyidagi taqribiy, lekin qulay formulaga ega bo’lamiz:

1

21!)1(

)(...)1(

n

nn fn

ntttR (14)

Yuqoridagi formulalar ancha qo’pol, ulardan foydalanishda hushyor bo’lish kerak. Agar hosila

73

sekin o’zgarmasa, u holda ma’nosiz natijaga ega bo’lamiz. Masalan, xNxxf sin)(

funksiyani olib, interpolyaiiya tugunlari sifatida butun 0ix , ...,2,1 qiymatlarni olaylik. Bu holda ikkinchisidan boshlab barcha ayirmalar nolga teng. Demak, qo’pol tarzda )(xf ni chiziqli funksiya deb olishimiz mumkin. Lekin, N yetarlicha katta bo’lganda xNx sin funksiya chiziqli funksiyadan keskid farq qiladi.


1. Interpolyasiyalash masalasi. 2. Xususiy interpolyasiyalash. 3. Interpolyasiyalashning umumiy masalasi. 1. Lagranj interpolyasion formulasining har xil ko’rinishi. 2. Diognal va gorizontal chekli ayirmalar topilishi. 3. Teng uzoqlikda joylashgan tugunla uchun 1- va 2-Nyuton interpolyasion formulalari.

74

7-ma’ruza

FUNKSIYALARNI SONLI INTEGRALLASH. TO`G`RI TO`RTBURCHAKLAR, TRAPETSIYALAR, SIMPSON FORMULALARI

Ma`ruza rejasi

1. Sonli integrallashning to`g`ri totrburchaklar metodi 2. Sonli integrallashning trapetsiyalar metodi 3. Sonli integrallashning Simpson metodi 4. Sonli integrallashning to`g`ri totrburchaklar, trapetsiyalar va Simpson metodlarining

qoldiq hadlarini baholash Tayanch iboralar: to`g`ri totrburchaklar formulasi, trapetsiyalar formulasi, Simpson

formulasi Quyidagi

b

a

dxxffI (1)

aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblashni qaraylik. Bu yerda xf - ba, oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiya.

ba, integrallash oralig’ini n ta uzunligi n

abh ga teng bo’lgan

nn xxxxxx ,,.....,,,, 12110 kesmalarga ajratamiz. Agar tugunlarda xf ning qiymatini nixfy ii ,...,2,1,0 kabi belgilasak

b

a

nn

yyyyyhdxxffI2

......2 121

0 (2)

umumiy trapesiyalar formulasi deyiladi. Bu formula geometrik nuktai-nazardan integral ostidagi xfy funksiyaning grafigini tugun nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq bilan almashtirishdan

iboratdir. Faraz qilaylik mn 2 juft son bo’lsin. ba, integrallash oralig’ini n ta uzunligi

mab

nabh

2

ga teng bo’lgan nn xxxxxx ,,.....,,,, 12110 kesmalarga ajratamiz.

2242

123120

......2

......43

m

b

amm

yyy

yyyyyhdxxffI (3)

Simpson formulasi deyiladi.

(3) formula geometrik nuktai-nazardan integral ostidagi xfy funksiyaning grafigini har bir oraliqda parabolalar bilan almashtirishdan iboratdir.

Misol.

1

0 1 xdxI integralning qiymatini trapesiyalar va Simpson formulalari yordamida taqribiy

hisoblang.

75

8-ma’ruza

ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR (ODT) UCHUN QO`YILGAN

MASALALARNI SONLI YECHISH. KOSHI MASALASI. EYLER, RUNGE-KUTTA

USSULLARI.

Ishdan maqsad: Birinchi tartibli differensial tenglamani Runge -Kutta usulida yechishni

talabalarga o’rgatish quyidagilarni o’z ichiga oladi: differensial tenglamani integrallashga sonli usulni qo’llash; hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish; masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish.

Masalaning qo’yilishi.

Birinchi tartibli differensial tenglama yxfy , (1)

bx ,0 kesmada

00yy xx (2)

boshlang’ich shart bilan berilgan bo’lsin. bx nuqtada noma’lum xyy funksiyaning qiymatini taqribiy hisoblash talab qilinsin. Agar berilgan masalaning xy yechimini topish mumkin bo’lganda, bx nuqtada,

ravshanki, by bx ni topishimiz mumkin bo’ladi. Lekin aksariyat hollarda masalaning umumiy yechimini topib bo’lmaydi. Bunday hollarda taqribiy (sonli) usullar qo’llaniladi.

Differensial tenglamani integrallashning eng keng tarqalgan sonli usullaridan biri Runge -Kutta usulidir.

Bu usul har xil tartibli aniqlikdagi sxemalarni qurishdan iborat bo’ladi. Bu sxemalar EHMda hisoblash uchun juda qulay hisoblanadi. Ko’pgina qo’llaniladigan sxemalar to’rtinchi tartibli aniqlikda bo’ladi. Hozirda ulardan amaliy hisoblashlarda foydalanilmoqda.

Usul tavsifi bx ,0 kesmada hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama

yxfdxdy ,

berilgan bo’lsin va 0xx nuqtada 0yy boshlang’ich shart o’rinli bo’lsin.

nxbH 0

qadamni tanlaymiz va quyidagi belgilashni kiritamiz: ihxxi 0 va

nixyy ii ,...,3,2,1 . Quyidagi sonlarni qaraymiz:

iii yxhfK ,1 ,

2,

21

2

i

iii KyHxhfK

i

iii

i

iii KyHxhfKKyHxhfK 34

23 ,,

2,

2

(3)

Runge – Kutta usuli bo’yicha Hxx ii 1 nuqtada taqribiy yechimning 1iy qiymati quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi

76

iii yyy 1 (4)

bu yerda ,...2,1,02261

4321 iKKKKy iiiii

Bu usul bo’yicha bajariladigan hisoblashlar quyidagi jadvalga sxema bo’yicha

joylashtiriladi: 1 –jadval

i x y yxfHK , y 0 x0 y0 0

1K 01K

20Hx

2

01

0Ky

02K 0

2K

20Hx

2

02

0Ky

03K 0

3K

Hx 0 030 Ky 0

4K 04K

0y

1 1x 1y

1 —jadvalni to’ldirish tartibi. 1) Jadvalning birinchi satriga 00 , yx berilgan qiymatlarni yozamiz.

2) 00, yxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 01K sifatida jadvalga yozamiz.

3) Jadvalning ikkinchi satriga

2,

2

01

00KyHx larni yozamiz.

4)

)2

,2

(0

100

KyHxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 02K sifatida jadvalga yozamiz.

5) Jadvalning uchinchi satriga

2,

2

02


6)

2,

2

02

00KyHxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 0

3K sifatida jadvalga

yozamiz.

7) Jadvalning to’rtinchi satriga 0300 , KyHx larni yozamiz.

8) 0300 , KyHxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 0

4K sifatida jadvalga yozamiz.

9) y ustuniga 04

03

02

01 ,2,2, KKKK larni yozamiz.

10) y ustundagi sonlarning yig’indisi 6 gabo’lib, 0y sifatida jadvalga yozamiz.

11) 001 yyy ni hisoblaymiz.

Keyingi navbatda ),( 11 yx ni boshlang’ich nuqta sifatida qarab hisoblashlarni shu singari davom qildiramiz. Runge-Kutta usuli yordamida EHMlarida qadamni avtomatik tanlab hisoblashlar bajarilganda hasoblashlar ikki marta bajariladi. Birinchisida H qadam bilan, ikkinchisida esa

77

2Hh qadam bilan. Agar bu holda olingan iy ning qiymatlari berilgan aniqlikdan oshsa, u holda

keyingi 1ix nuqtagacha qadam ikkilanadi, aks holda yarim qadam qo’llaniladi.

78

9-ma`ruza

ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR (ODT) UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI TAQRIBIY YECHISH USULLARI. KOLLOKATSIYA, ENG KICHIK

KVADRATLAR, SOHACHALAR, GALYORKIN USULLARI

Ma`ruza rejasi:

1. ODT uchun chegaraviy masalalarni (ChM) echish usullari tasnifi; 2. 2-tartibli ODT uchun ChMning umumiy qo`yilishi; 3. Tafovut funktsiyani tuzish; 4. Kollokatsiya usuli; 5. Integral va diskret shakldagi eng kichik kvadratlar usullari; 6. Sohachalar usuli; 7. Galyorkin usuli; 8. Vaznli tafovutlar usuli haqida umumiy ma`lumotlar. Kalit so`zlar: ODT uchun chegaraviy masalalar, tafovut, bazis funktsiyalar sistemasi,

tafovutni minimallashtirish.

1. Chegaraviy masalalarni echish usullari

ODT uchun ChMni echishda samarali taqribiy va sonli usullar ishlab chiqilgan. Taqribiy usullarga kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar usullari, bundan tashqari samarali va universal bo`lgan Galyorkin usuli kiradi.

ODT uchun chegaraviy masalalarni sonli echish usullari ayirmali echimni tuzishga asoslangan. Ayirmali usullar o`zining qulayligi va o`ta universalligi sababli keng qo`llaniladi.

2. Tafovutni minimallashtirish usullari

ChM quyidagidan iborat. Quyidagi differentsial tenglamaning

bxa,xfuxquxpuLu (1) ikkita chegaraviy shartlarni

,

,

1111

0000

bubuulauauul

(2)

qanoatlantiruvchi echimini topish talab etiladi, bu erda p(x), q(x), f(x) C[a,b] – berilgan funktsiyalar, jjj ,, - berilgan sonlar, ya`ni

.1,0,022 jjj

Agar (2) shartlarda 0,1 jj bo`lsa, u holda bu chegaraviy shartlar birinchi tur

bo`ladi. Agar 1,0 jj bo`lsa, ikkinchi tur chegaraviy shart deyiladi. Umumiy holda

0,0 jj bo`lganda, (2) shartga uchinchi tur chegaraviy shart deb ataladi.

(1), (2) masalani echishga quyidagicha kirishamiz. Berilgan [a, b] kesmada ikki marta uzluksiz diffeentsiallanuvchi (ya`ni, S(2)[a, b] fazodagi funktsiyalar) chiziqli boғliq bo`lmagan 0,

79

1..., n, ..., funktsiyalar sistemasini tanlaymiz. Bunda, 0 funktsiya (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya`ni l00=0, l10=1, qolgan funktsiyalar esa birjinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya`ni

l0i=0, l1i=0, i=1,2, ... . Berilgan {i} funktsiyalar sistemasini b a z i s f u n k t s i y a l a r s i s t e m a s i deb ataymiz.

Bu funktsiyalar sistemasidan

xaxaxxy nnn ...110 (3)

funktsiyani tuzamiz. Bunda ai, ni ,1 lar hozircha noma`lum sonlar. lj, j=0,1 operatorlar chiziqli bo`lganligi uchun yn(x) funktsiya (2) chegaraviy shartni

qanoatlantiradi. Haqiqatdan,

.1,0,01

01

0

jlalalyl jj

n

iijij

n

iiijnj

Quyidagi

n

kkknn xLaxfxLxfxLyaaax

1021 ,,,, (4)

funktsiya t a f o v u t deyiladi. Tafovut - (1) tenglamaning chap tomonidagi u(x) ning o`rniga yn(x) funktsiyani qo`yganda,

tenglamaning chap va o`ng tomonlarining farqini xarakterlovchi funktsiyadir. (4) tafovut ai

sonlarga chiziqli boғliqdir. Agar ai sonlarning ayrim qiymatlarida naaax ,,,, 21 munosabat nolga teng bo`lsa, yn(x) funktsiya (1), (2) masalaning echimi bilan mos tushadi.

Lekin tafovutni nolga teng qilishga hamma vaqt erishib bo`lavermaydi. SHuning uchun ai sonlarni ma`lum usul bilan tanlab, tafovutni iloji boricha kichraytirishga harakat qilinadi. Buning natijasida (3) munosabat bilan aniqlangan yn(x) funktsiya (1), (2) masalaning taqribiy echimi sifatida qabul qilinadi.

Taqribiy usullarning ko`pchiligi ai sonlarni aniqlash yo`li bilan bir-biridan farq qiladi. Quyida shulardan ayrimlarini qarab o`tamiz.

3. Kollokatsiya usuli Usulning nomlanishi «collocation» ingliz so`zidan olingan bo`lib, o`zaro joylashuv,

taqsimlanish ma`nosini anglatadi. Bu usulga ko`ra [a, b] kesmaning ichida n ta x1, x2, ..., xn nuqta olinib, ularda tafovut nolga

tenglashtiriladi:

.a...,,a,a,xψ..................................

a...,,a,a,xψa...,,a,a,xψ

nn

n

n

0

00

21

212

211

(5)

Olingan x1, x2, ..., xn nuqtalarga kollokatsiya nuqtalari deyiladi. Olingan (5) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini (CHATS) ai larga nisbatan

80

....

......................................................................

,...

,...

02211

2022222211

1011122111

nnnnnnn

nn

nn

xLxfxLaxLaxLa

xLxfxLaxLaxLa

xLxfxLaxLaxLa

(6)

shaklda yozamiz.

Uni echib, ai, ni ,1 larni (3) ga qo`yib, (1), (2) masalaning taqribiy yn(x) echim topiladi.

4. Integral eng kichik kvadratlar usuli Bu usulda tafovut kvadratidan tuzilgan

b

an dxa,...,a,a,xΙ 21

2

integralning minimal qiymati izlanadi.

Ekstremumning zaruriy shartiga asosan integral minimal qiymatga ega bo`lishi uchun

b

a ii.,ni,dx

aψψ

aΙ 10

21

(7)

bo`lishi kerak.

(7) shartlar (4) ga asosan ai, n,i 1 larga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keladi

,L,LfL,La...,LLa,LLa.......................................................................

L,LfL,La...,LLa,LLaL,LfL,La...,LLa,LLa

nnnnnn

nn

nn

02211

202222211

101122111

(8)

bunda b

a

dxxgxfgf , - skalyar ko`paytma.

Agar L1, ..., Ln funktsiyalar sistemasi [a,b] kesmada chiziqli erkli bo`lsa, u holda (8) sistema yagona yechimga ega bo`ladi.

5. Diskret eng kichik kvadratlar usuli

Bu erda I integralning minimumi o`rnida

Ν

ini ,...aa,a,xψΙ

121

2

yiғindining minimal qiymati izlanadi. Bunda xi(a,b) – ixtiyoriy nuqtalar, Nn. Bu usulda ham ai larga nisbatan (8) sistemani hosil qilamiz. Faqat skalyar ko`paytma bu

holda

81

N

iii xgxfg,f

1

ko`rinishida topiladi. Agar N=n bo`lsa, u holda bu usul kollokatsiya usuliga keladi.

6. Sohachalar usuli

a=x0<x1<...<xn=b bo`lsin. yn(x) taqribiy echim koeffitsientlari quyidagi tenglamalar sistemasidan topiladi

.,1,0,...,,,1

21 nidxaaaxi

i

x

xn

Bunda yana ai, n,i 1 larga nisbatan ChATSga kelamiz. Bu usulni ishlatishda extiyot

bo`lish kerak, agar [xi-1, xi] intervallar uzunligi kichik bo`lmasa hamda ,,...,,, 21 naaax funktsiya x bo`yicha tez o`zgaruvchiligidan, usul yomon natija berishi mumkin.

7. Galyorkin usuli

Galyorkin usulining asosida 1, 2,...,n bazis funktsiyalari (4) tafovut funktsiyasiga ortogonal qilib tanlanadi, ya`ni

.n,i,dxxa,...,a,a,xb

ain 1021

Bu shartlardan ai noma`lumlarni topish uchun

nnnnnn

nn

nn

,Lf,La...,La,La.....................................................................

,,Lf,La...,La,La,,Lf,La...,La,La

02211

202222211

101122111

ChATSga ega bo`lamiz. Chegaraviy masalalarning yuqorida qaralgan taqribiy echish usullarining umumiy asosi

mavjud. Umumlashgan usul vaznli tafovutlar usuli deyiladi. Faraz qilaylik egri chiziq bilan chegaralangan qandaydir sohada berilgan

funktsiyani approksimatsiya qilish talab qilingan bo`lsin. Dastlab chegarada funktsiya bilan mos tushuvchi approksimatsiyani topish bilan shuғullanamiz. Agar da ning qiymati bilan bir

xil bo`lgan qandaydir funktsiya topilsa, ya`ni

hamda ,...,m,Nm 21 (barcha m

lar uchun 0mN ) chiziqli erkli bazis funktsiyalar sistemasiga keltirilsa, u holda da uchun

quyidagi approksimatsiya taklif qilinishi mumkin:

,1

M

mmmNa (9)

bu erda ma ( Mm ,...,2,1 ) – qandaydir parametrlar. Bazis funktsiyalar ba`zan forma funktsiyalari yoki namuna funktsiyalari deyiladi.

82

mN sistema shunday xossaga ega bo`lishi kerakki,

shartni qanoatlantiruvchi

M da

M

mmm Na

1 kombinatsiya ixtiyoriy funktsiyani etarlicha aniqlikda ifodalashi

lozim. Bu to`lalik sharti deb ataladi.

Approksimatsiyada

R qoida bo`yicha aniqlanadigan R xatolik yoki tafovut tushunchasini kiritamiz. R - ning nuqtalari koordinatalaridan boғliq funktsiya. sohada bu tafovutni kamaytirish uchun, turli vaznlar bilan olingan xatolik integrallarini nolga tenglashishini talab qilamiz, ya`ni

MldRWdW ll ,1,0)(

, (10)

bunda ,...3,2,1, lWl - chiziqli erkli vaznli funktsiyalar to`plami.

(9) ni (10) ga qo`ysak vaznli tafovutlar usuli tenglamalari sistemasi ma ga nisbatan ChATSga keladi. Uni umumiy holda quyidagicha yozish mumkin

,fKa bu erda

),...,,( 21 mT aaaa ,

,,1, MmldNWk mllm

.,1,)( MldWf ll

Amaliyotda turli lW vaznli funktsiyalar sistemasi ishlatilishi mumkin. Bunda turli vaznli tafovutlar vositasida olinadigan approksimatsiya usullariga ega bo`lamiz.

1. Nuqtali kollokatsiya Bu erda ,)( ll xxW bunda - del’ta - Dirak funktsiyasi. U holda

.,ll xxlxxmlm fNk

2. Sohachalar bo`yicha kollokatsiya Bunda

.,,0,,1

1

1

ll

lll xxxx

xxxW

U holda

.)(,11

l

l

l

l

x

xl

x

xmlm dxfdxNk

3. Galyorkin usuli Bu erda vaznli funktsiyalar sifatida bazis funktsiyalarning o`zi tanlanadi, ya`ni

83

ll NW . Ushbu holda

,

dxNWk mllm .)(

dxNf ll

Bu erda matritsaning simmetrikligi hisoblash usullarining yutuғini ta`minlashini ta`kidlab o`tish lozim. Quyida 0da rZ)(B chegaraviy shartli

0da pL)(A , differentsial tenglamani qaraymiz. Bunda ZL, - chiziqli differentsial operatorlar, rp, lar dan boғliq emas. (9) ifodani da rZ , 0mZN shartlar bilan aniqlaymiz. Shuning uchun avtomatik ravishda chegaraviy shartni qanoatlantiradi. Tafovut quyidagicha aniqlanadi

.)(1

pLNaLpLARM

mmm

Vaznli tafovutlar usuliga muvofiq

.01

dpLNaLWdRWM

mmmll (11)

Har bir Ml ,...,2,1 lar uchun (11) ni qo`llab ChATSni olamiz

,fKa (12) bunda

,,1,, MmldNWk mllm

.,1, MldpWdLWf lll

(12) ni echib ma larni aniqlaymiz.

O`z-o`zini tekshirish uchun savollar

1. ODT uchun chegaraviy masalalarni echishning qanday usullari mavjud? 2. 2-tartibli ODT uchun umumiy ChM qanday qo`yiladi ? 3. Bazis funktsiyalar va ularning sistemasi qanday xossalarga ega ? 4. Tafovut funktsiyasi qanday tuziladi ? 5. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, vaznli tafovutlar usullarining asosida qanday asosiy

g`oyalar yotadi ?

84

10 – ma`ruza

CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR (CHAS) TO`G`RISIDA TUSHUNCHALAR. DIFFERENTSIAL OPERATORNING CHEKLI AYIRMALI (CHA)

APPROKSIMATSIYASI. CHA MASALANING QO`YILISHI. APPROKSIMATSIYA, KORREKTLIK, TURGÙNLIK, YAQINLASHISH VA ULAR O`RTASIDA BOG`LANISH

Ma`ruza rejasi

1. Sohani diskretlash, tekis va notekis to`rlar; 2. 0H va hH funktsional fazolar, ularning elementlarini taqqoslash; 3. Oddiy differentsial operatorlar (ODO)ning ayirmali approksimatsiyasi; 4. To`rda approksimatsiya xatoligi; 5. Sxemalar yaqinlashishi va aniqliligi; 6. Chekli ayirmalarning turgùnligi; 7. Ayirmali masalalarning korrektligi; 8. Turgùnlik, approksimatsiya va yaqinlashishi orasidagi bog`liklik. Kalit so`zlar: to`r, to`r qadami, to`r funktsiyalar fazosi, ayirmali xosilalar, approksimatsiya,

turgùnlik, yaqinlashish

1. To`rlar va to`r funktsiyalar

Berilgan differentsial tenglamani taqribiy ifodalovchi ayirmali sxemalarni yozish uchun quyidagi ikkita amal bajarilishi kerak. 1. Argumentning uzluksiz o`zgarish sohasini uning diskret o`zgarish sohasiga almashtirish kerak; 2. Differentsial operatorni qandaydir chekli ayirmali operatorga almashtirish, bundan tashqari

chegaraviy shartlar va boshlangìch ma`lumotlar uchun ayirmali almashtirishlar tuzish kerak. Bu jarayon amalga oshirilgandan keyin algebraik tenglamalar sistemasiga o`tamiz.

Uzluksiz argumentning barcha qiymatlari uchun ayirmali masalani echib bo`lmaydi. SHuning uchun bu sohada qandaydir chekli sondagi nuqtalar to`plami olinadi va faqat shu nuqtalarda taqribiy echim izlanadi. Bunday nuqtalar to`plamiga to`r deyiladi. Nuqtalarning o`zi esa to`r tugunlari deb ataladi. To`r tugunlarida aniqlangan funktsiyaga to`rli funktsiya deyiladi. SHunday qilib differentsial tenglama echimlari fazosini to`r funktsiyalar fazosi bilan almashtirdik. 1 misol. Kesmada tekis to`r. 1,0 kesmani N ta teng bo`lakga bo`lamiz. Nxxh ii 11

to`r qadami deb ataladi. Bo`linish nuqtalari ihxi - to`r tugunlari deyiladi. Barcha tugunlar

to`plami 1,1, Niihxih to`rni tashkil qiladi. Bu to`plamga 1,00 nxx chegaraviy

nuqtalarni qo`shish mumkin, ya`ni Niihxih ,0, deb belgilaymiz.

2 misol. Tekislikda tekis to`r. TtxD 0,10 sohada aniqlangan ikki o`zgaruvchili txu , funktsiyalar to`plamini qaraymiz.

x o`qining 1,0 va t o`qining T,0 kesmalarini mos ravishda 1N va 2N ta bo`laklarga bo`lamiz. 21 ,1 NTNh bo`lsin. Bo`linish nuqtlaridan o`qlarga parallel to`g`ri chiziqlar

85

o`tkazamiz. Natijada bu to`g`ri chiziqlar kesishishidan ji tx , tugunlarni hosil qilamiz, ular

Dtx jih , to`rni tashkil qiladi.

(xi, tj)

xi 1 x

tj=j

T

t

0

Bu to`r x va t yo`nalishlar bo`yicha h va qadamlarga ega. SHunga o`xshash kesmada yoki tekislikda notekis to`rni qurish mumkin. 21, xxx tekislikda chegarali murakkab ko`rinishli G soha berilgan bo`lsin.

G

0 x1

x2

,jhx,ihx ji 2211 0210 21 h,h,...,,,j,i to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz. U holda

21, jhih to`rni hosil qilamiz. « » bilan ichki, «» bilan esa tashqi nuqtalar belgilangan. Ichki nuqtalar to`plamini h bilan, chegaraviy nuqtalar to`plamini h bilan belgilaymiz. Shunday qilib

h to`r 21, oxox yo`nalishlar bo`yicha tekis, ammo G soha uchun hhh to`r esa chegara yaqinida notekis. Uzluksiz Gx argumentli )(xu funktsiyalar o`rniga )( ixy to`r funktsiya olinadi. )( ixy to`r funkiyani vektor ko`rinishda berish mumkin. Odatda h to`r to`plami h qadamga bog`liq bo`ladi. Mos ravishda )(xyh to`r

funktsiyalar ham h parametrdan bog`liq bo`ladi. Agar to`r notekis bo`lsa h sifatida nhhhh ,...,, 21 vektor qaraladi.

Uzluksiz argumentli Gxxu ),( funktsiyalar qandaydir 0H funktsional fazo elementlaridan

iborat. )(xyh to`r funktsiyalar esa hH fazoning elementlari. SHunday qili chekli ayirmalar usuli

0H fazoni )(xyh to`r funktsiyalarning hH fazosiga o`tkazadi.

0H fazodagi 0 norma kabi hH chiziqli fazoda

h norma kiritiladi.

Bir qator normalarni keltiramiz

86

1) C da normaning to`r ko`rinishi: )(max xyy

hxc yoki iNic

yy

0max .

2) 2L da normaning to`r ko`rinishi:

21

1

1

2

N

ii hyy yoki

21

1

2

N

ii hyy .

Taqribiy usullar nazariyasining asosiy e`tibori hy ning )(xu ga yaqinligini baholashga

qaratiladi. Biroq hy va )(xu lar turli fazolarning vektorlaridir. Baholashning ikkita imkoniyati mavjud:

1. Gh da berilgan hy funktsiya G sohaning barcha nuqtalarida aniqlanadi (masalan, chiziqli

interpolyatsiya yordamida). Natijada Gx uzluksiz argumentli hxy ,~ funktsiyani olamiz.

)(,~ xuhxy ayirma 0H ga tegishli bo`ladi. hy ning u ga yaqinligi 0

)(,~ xuhxy bilan

xarakterlanadi, bunda 0 - 0H dagi norma.

2. 0H fazo hH ga akslantiriladi. Har bir 0)( Hxu funktsiyaga mos hh xxu ),( to`r

funktsiyaga o`tkaziladi, ya`ni hhh Huu . Bunda h - 0H dan hH ga o`tkazuvchi chiziqli

operator. Bu moslikni turli yo`llar bilan amalga oshirish mumkin ( h turli operatorlarni tanlash

bilan). Agar )(xu uzluksiz funktsiya bo`lsa, )()( xuxuh deyish mumkin, bu erda hx .

Ba`zan hix tugunda )( ih xu berilgan hix tugunning qandaydir atrofi bo`yicha )(xu ning o`rta integral qiymati bilan aniqlanadi. Bundan keyin )(xu - uzluksiz funktsiya va barcha

hix lar uchun )()( iih xuxu bo`ladi deb faraz qilamiz.

hu to`r funktsiyaga ega bo`lib, hH fazoning vektori bo`lgan hh uy ayirmani hosil qilamiz.

hy ning u ga yaqinligi hhh uy bilan xarakterlanadi, bunda

h - hH dagi norma. Bunda hH

fazodagi norma 0 normani barcha 0Hu vektor uchun approksimatsiyalaydi

00lim uu

hhh

deb faraz qilish tabiiydir. Bu shartni hH va 0H fazodagi normalarning o`zaro kelishganlik sharti deb ataymiz.

Biz bundan keyin ikkinchi yo`ldan foydalanamiz.

Oddiy differentsial operatorlarning ayirmali approksimatsiyasi

Lv chiziqli differentsial operator bo`lsin. Lv ga kiruvchi hosilalarni ayirmali munosabatlar bilan almashtiramiz, Lv o`rniga shablon deb ataluvchi biror to`r tugunlari to`plamida hv to`r

funktsiya qiymatlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat hhvL ni hosil qilamiz:

)(

,xШ

hhhh vxAxvL

yoki

)(

,ij xШx

jhjihihh xvxxAvL ,

87

bu erda ,xAh - koeffitsientlar, h - to`r qadami, )(xШ - x nuqtadagi shablon. Lv ni hhvL ga bunday taqribiy almashtirish differentsial operatorni ayirmali operator bilan approksimatsiyalash deyiladi (yoki L operatorning ayirmali approksimatsiyasi deyiladi). L operatorni ayirmali approksimatsiyaga keltirishda shablon tanlash zarur, ya`ni L operatorni approksimatsiyalash uchun qo`llash mumkin bo`lgan )(xv to`r funktsiyaning qiymatlaridan bog`liq bo`lgan x tugun bilan qo`shni tugunlar to`plamini ko`rsatish kerak. Quyidagi misollarni qaraymiz. 1. dxdvLv . x nuqtani fiksirlaymiz va hxhx , nuqtalarni olamiz, bu erda 0h . Lv approksimatsiya qilish uchun quyidagi ifodalardan biridan foydalanish mumkin

xh v

hxvhxvvL

, (1)

xh v

hhxvxvvL

. (2)

(1) ifoda o`ng ayirmali hosila, (2) esa chap ayirmali hosilani tasvirlaydi. Ayirmali ifodalar ikki nuqtada aniqlangan.

Yana quyidagi ifodani olish mumkin xxh vvvL 1 ,

bunda - ixtiyoriy haqiqiy son. Xususiy holda 5,0 bo`lganda markaziy ayirmali hosilani olamiz

h

hxvhxvvvv xxx 22

1 . (3)

(1), (2), (3) approksimatsiyalarda qanday xatolikga yo`l qo`yildi va x nuqtada 0h da xLvxvLx h ayirma qay holda o`zini tutadi kabi savollarga javob berish muhimdir. x

miqdor x nuqtada Lv ayirmali approksimatsiya xatoligi deyiladi. xv ni Teylor qatoriga yoyamiz

32

2hOxvhxvhxvhxv .

Bu ifodani (1), (2), (3) larga qo`yamiz

)()(2

)( 2hOxvhxvvx , )()(2

)( 2hOxvhxvvx , )()( 2hOxvvx

.

Bundan ko`rinib turibdiki hOxvvψ x , hOxvvψ x , hOxvvψ

x .

V - hL ayirmali operatorning 0hh o`lganda ),( hxШ shablondan iborat x nuqtaning

),( 0hxШ atrofida berilgan etarlicha silliq funktsiyalar Vv sinfi bo`lsin. Agar

mh hOxLvxvLx

bo`lsa hL operator L differentsial operatorni x nuqtada 0m tartib bilan approksimatsiyalaydi deymiz.

2 misol. 2

2

dxvdvLv .

88

Uch nuqtali shablonda

2

2h

hxvxvhxvvLh

.

hxvxv xx ,

xvxvhxvhh

xvxvvL xxxx

xxh

1 .

Ushbu holda approksimatsiya tartibi ikkiga teng bo`ladi, ya`ni 2hOxvxv xx .

Besh nuqtali shablonda hxhxxhxhx 2,,,,2 (4)

4vLv hosila uchun

hxvhxvxvhxvhxvh

hxvxvhxvh

vvL xxxxxxxxxxh

46421

21

4

2

olinadi. Approksimatsiya tartibi ikkiga teng, ya`ni

462

4

6hOvhvv xxxx .

h daraja bo`yicha LvvLh approksimatsiya xatoligi yoyilmasidan approksimatsiya tartibini oshirish uchun foydalanish mumkin. SHunga binoan

42

442

1212hOvhhOvhvv xxxxxx

ga ega bo`lamiz. Bundan (4) shablonda aniqlangan

xxxxxxh vhvvL12

2

operator vLv ni to`rtinchi tartib bilan approksimatsiya qilishi kelib chiqadi. Lemma. Agar hxhxCv ,2 bo`lsa

1,,22

hxv

hhxvxvhxvv xx ,

va agar hxhxCv ,4 bo`lsa

1,,12 11

42

hxvhxvv xx ,

formulalar o`rinli bo`ladi. Isbot. Integral shakldagi qoldiq hadi bilan olingan Teylor formulasidan foydalanamiz

xRavr

axavaxavxv rr

r

1!...

, (5)

bunda

1

0

11

11 1

!!1 dsaxsavs

raxdvx

rxR rr

rx

a

rrr .

Integral uchun o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llaymiz

89

11

1 !1

rr

r vr

axxR ,

bunda - xa, kesmada x ning o`rta qiymati,

1

0 111,10,

rdssaxa r .

(5) da x ni hx va a ni x bilan almashtirib, 1r va 3r uchun mos ravishda quyidagilarni olamiz

1

0

2 1 dsshxvshxvhxvhxv , (6)

1

0

43432

1662

dsshxvshxvhxvhxvhxvhxv . (7)

Bu erda h ni h ga, s ni s almashtirib

0

1

2 1 dsshxvshxvhxvhxv , (8)

0

1

43432

1662

dsshxvshxvhxvhxvhxvhxv (9)

formulalarni olamiz. (6), (8) dan quyidagini olamiz

1

122

2 dsshxvsgh

hxvxvhxvv xx,

bunda

.ss,ss

sgда10агар1да01агар1

2

02 sg bo`lganligidan o`rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanish mumkin, natijada

11,1

12

vxxvdssghxvv xx,

bu erda - hxhx , kesmada o`rta nuqta. (7) va (9) dan

1

1

44

2

6dsshxvsghxvv xx

hosil qilamiz, bu erda

,ss

,sssg

да10агар1

да01агар13

3

4

1

14 2

1dssg .

04 sg va xv 4 uzluksizligidan, o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llab

hxhxvv xx

12

4

, 1

90

ni olamiz va shu bilan lemma isbotlanadi.

4 misol. 2

2

xv

xvLv

, txvv , .

tx, - tekislikda nuqta bo`lsin. SHablonni aniqlaymiz. U to`rtta nuqtadan tashkil topgan bo`lsin (a rasm).

(x, t+)

(x+h, t) (x-h, t) (x, t)

a)

(x, t+) (x+h, t+) (x-h, t+)

(x, t)

б)

(x+h, t) (x-h, t)

(x, t+) (x+h, t+) (x-h, t+)

(x, t)

в)

hL ni quyidagicha aniqlaymiz

2

0 ,,2,,,h

thxvtxvthxvtxvtxvvLh

.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz txvvtxvvtxvv ,,,,, .

Unda

vvtxvtxvvt

,,

va

xxth vvL 0 . (10)

b rasmdagi shablondan foydalanilganda, t momentda xxv olinsa, u holda

xxth vvL 1

. (11)

(10) va (11) larning chiziqli kombinatsiyasini olib, 0 va 1 bo`lganda oltinuqtali shablonda (v rasm) aniqlangan chekli operatorlarning bir parametrli oilasini hosil qilamiz

xxxxth vvvvL 1 . (12)

0hL operatorlar 1

hL ning approksimatsiya tartibiga ega, (12) esa 50, bo`lganda

2hO , 5,0 bo`lganda 22 hO approksimatsiya tartibiga ega. 5 misol.

91

2

2

2

2

xv

tvLv

.

Quyidagi shablonlardan foydalanilamiz

(x, t+) (x+h, t+) (x-h, t+)

(x, t)

(x, t-)

(x, t+)

(x+h, t-) (x-h, t-)

(x, t)

(x, t-)

(x, t+)

(x+h, t) (x-h, t) (x, t)

(x, t-) (x+h, t-) (x-h, t-)

(x, t+) (x+h, t+) (x-h, t+)

(x, t-)

(x+h, t) (x-h, t) (x, t)

а)

b)

v) g)

Approksimatsiyalardan biri (v rasm)

xxtth vvL , (13)

bunda 2,,2, txvtxvtxvv tt .

a) shablonda:

xxtth vvvL . (14)

To`qqiznuqtali shablonda (g rasm) ayirmali operatorlarning ikkiparametrli oilasini yozish mumkin

xxxxxxtth vvvvvL 2211

, 121 . (15)

(15) dan 021 bo`lganda (13), 1,0 12 bo`lganda esa (14) kelib chiqadi.

(13), (14), (15) ayirmali operatorlar 22 hO approksimatsiya tartibiga ega.

To`rda approksimatsiya xatoligi

Biz xozirgacha lokal ayirmali approksimatsiyani qaradik. Odatda to`rda ayirmali approksimatsiya tartibini baholash talab qilinadi.

92

h - pxxxx ,...,, 21 to`r funktsiyalarning biror G Evklid fazosidagi to`r, hH - h da

berilgan to`r funktsiyalarning chiziqli fazosi, 0H - xv silliq funktsiyalar fazosi bo`lsin. Faraz

qilaylik, 1) ixtiyoriy 0Hu uchun hhh Huu bo`ladigan h operator mavjud, 2) h

va 0

normalar quyidagicha bo`lsin, ya`ni

00lim uu

hhh

,

bunda h - h vektorning normasi.

0H da berilgan qandaydir L operatorni va h da berilgan hv to`r funktsiyani hhvL to`r

funktsiyaga akslantiruvchi hL operatorni qaraymiz (ya`ni hH dan hH ga ta`sir qiluvchi).

L operatorni hL ayirmali operator bilan approksimatsiyalash xatoligi deb

hhhh LvvL ,

to`r funktsiyaga aytiladi, bunda vv hh , LvLv hh , v - 0H dagi ixtiyoriy funktsiya (vektor, element). 0h da 0

hh intilsa L differentsial operatorni hL ayirmali operator

approksimatsiyalaydi deymiz.

m

hhhhhh hOLvvL , (16)

yoki m

hhhh hMLvvL

bo`lsa 0m tartib bilan L differentsial operatorni hL ayirmali operatori approksimatsiyalaydi deb

ataymiz, bunda M - h dan bog`liq bo`lmagan musbat o`zgarmas son.

h opeartorni tanlashga misollar:

1) agar xv - uzluksiz funktsiya bo`lsa, u holda hhh xxvxvv , ;

2)

1

121

21 dsshxvdttvh

xvvhx

hxhh ,

bunda xv - integral funktsiya va h.k.

1 eslatma. Agar phhhh ,...,, 21 - vektor bo`lsa, h ni 21222

21 ... phhhh uzunlik

deb tushunish mumkin. p,...,2,1 tartib bilan turli h bo`yicha approksimatsiya qilish mumkin. U holda (16) o`rniga

p

mhhhh hMLvvL

1

, bunda 0m .

pmmm ,...,, 21 lar orasida eng kichik sonni olamiz va uni m bilan belgilab (16) baholashni

olamiz. 1. Agar h notekis to`r, ya`ni nhhhh ,...,, 21 bo`lsa, misol uchun ini

hh

1max yoki o`rta

kvadratik qiymat h ni olish mumkin, bunda n - tugunlar soni.

93

Misol. Notekis to`rda ayirmali approksimatsiya. 10 x kesmada berilgan 1,040 CH

funktsiyalar fazosida 22 dxvdLv ni qaraymiz. Quyidagi to`rni olamiz

1010 0 nih x,x,n,...,,i,x€ .

Lv operator 11 ,, iii xxx noregulyar shablonda ix tugunda aniqlangan

11

1

1 5,0,,1

iiiii

i

ii

i

ii

iih hhhxvv

hvv

hvv

hvL ,

ayirmali operatorga mos keladi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz

i

iiix

i

iiixix

i

iiix h

vvvh

vvvvh

vvv

1,

1

11,,

1,

,, .

vLh operatorni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin

xxixxih vvvL , .

Approksimatsiyaning lokal xatoligi

21

3 iiii

iihi hOvhhLvvL

ga teng. Demak vLh opeator to`r normada

iniiniChhhO

1111max,max

birinchi tartibli approksimatsiyaga ega. 2L to`r normada quyidagicha

hOn

iii

211

1

2

birinchi tartibli approksimatsiyani ham olishimiz mumkin. Biroq

212

1

1

11

i

kkk

n

iih

normada ikkinchi tartibga ega, ya`ni

21

hO

, bunda inihh

1max .

Bu tasdiqni isbotlaymiz. ni

222

1

6ii

i

iii hOv

hhh

ko`rinishda yozamiz. 11 iii hOvv ni inobatga olib

**2

12

1

6 iiii

iiiii h

vhvh

,

topamiz, bu erda 2* hOi ixtiyoriy normada.

i

bosh had divergent ko`rinishga ega. SHuning uchun

94

66 12

112

11

21

21

1vhvhvhvhhS ii

i

kkkkk

i

kkki

.

Bundan 2MhS i ekanligi ko`rinib turibdi va haqiqatdan

)( 2211

1

2

)1(

hOShn

iii

.

Bundan 2

)1()1(

)1(Mh

,

ya`ni )1(

normada approksimatsiya xatoligi ikkinchi tartibga ega.

),(),( txytxy h to`r funktsiyani

txtx hhh ,),,( to`rda aniqlaymiz. U hx argumentning funktsiyasi bo`lib

h norma bilan hH fazoning vektori

hisoblanadi. h to`rda ),( txy ni baholash uchun odatda

hthtyy )(max

normadan yoki quyidagilarning biridan foydalaniladi 21

2)(,)(

t

hht

hhtyytyy .

hh vL - txuuLu , opeatorning ayirmali approksimatsiyasi bo`lsin. hL operator h

to`rda berilgan txvh , to`r funktsiyalarda aniqlangan. 0, Htxv bo`lsin. Agar txv , t bo`yicha

uzluksiz bo`lsa, barcha t lar uchun txvtxv hh ,, bo`lishi mumkin. SHunday qilib, h

to`rda berilgan txvh , va approksimatsiya xatoligini aniqlash uchun

hhhhh txtxLvtxvLtx ,,,,, .

Bu erda txvtxv hh ,, .

L ni hL x bo`yicha 0m va t bo`yicha 0l tartib bilan approksimatsiya qiladi

deymiz, agar txv , etarli silliq funktsiyalar sinfida

lm

hh hOtx , yoki lm

hh hM

baholash bajarilsa, bunda M - h va l dan bog`liq bo`lmagan musbat o`zgarmas.

Sxemalar yaqinlashishi va aniqligi

CHekli to`rda biror masalani taqribiy echishda dastlab quyidagicha muloxazaga ega bo`lish kerak, ya`ni bu usul yordamida masala echilaganda masalaning aniq echimiga qanday aniqlikda yaqinlashishi mumkin. SHuning uchun ayirmali sxemalarning yaqinlashishi va aniqligi to`g`risidagi savolni qarab o`tish kerak.

chegarali G sohada quyidagi chiziqli differentsial tenglama echimini topish talab qilingan bo`lsin

GxxfLu , . (1)

95

Echim quyidagi qo`shimcha (chegaraviy va boshlang`ich) shartni qanoatlantirsin xxlu , , (2)

bunda xxf , - berilgan funktsiyalar, l - chiziqli differentsial operator.

G soha to`r bilan almashtiriladi. h - to`r tugunlarining joylashish zichligini xarakterlaydigan vektor parametr bo`lsin, h - chegaraviy tugunlar to`plami. (1), (2) masalaga quyidagi ayirmali masalani mos qo`yamiz

,,,,

hhhh

hhhh

xylxyL

(3)

bunda xh , xh - ma`lum to`r funktsiyalar, hh lL , - hhhx uchun berilgan to`r funktsiyalarga ta`sir qiluvchi operatorlar. h ni o`zgartirib hy echimlar oilasini olamiz. SHunday qilib turli h lar uchun (3) ayirmali masalalar oilasi qaralishi kelib chiqadi. Bu (3) ayirmali masalalar oilasini ayirmali sxemalar deb ataymiz. (1), (2) masalaning echimiga, h qadamni tanlashdan bog`liq ixtiyoriy berilgan 0 aniqlikda (3) masalaning hy echimi yaqinlashishini tushuntirish uchun hy va xu larni taqqoslash zarur.

Bu taqqoslashni hH to`r funktsiyalar fazosida o`tkazamiz. hu - h to`rda xu ning qiymati

bo`lsin, bundan hh Hu . Ayirmali sxema xatoligi

hhh uyz ni qaraymiz. hz uchun shartni yozamiz. hhh uzy ni (3) ga qo`yib hz uchun (3) ga o`xshash quyidagi masalani olamiz

,,

,,

hhhh

hhhh

xzlxzL

(4)

bunda h va h - tafovutlar, ular hhhhhhhh uluL , teng. (4) ning o`ng tomonlari (1) tenglamani (3) ayirmali tenglama bilan va (2) qo`shimcha

shartlarni hhh yL ayirmali shart bilan approksimatsiyalashdagi xatolik deyiladi. Qisqasi h -

(1) tenglamaning xu echimida hhh yL tenglama uchun approksimatsiya xatoligi, h - (1), (2)

masalani echishda hhh yl approksimatsiya xatoligi deymiz.

Sxemaning hz xatoligi va hh , approksimatsiya xatoliklarini baholash uchun, mos

ravishda h1 , h2

, h3 to`r funktsiyalar normalarini kiritamiz.

(3) ayirmali masala echimi (1), (2) masala echimiga yaqinlashadi ((3) sxema yaqinlashadi) deymiz, agar

0h da 011

hhhhh uyz ,

yoki

hzhh

1,

bunda

96

0h da 0h .

(3) ayirmali sxema mhO tezlik bilan yaqinlashadi yoki m -nchi tartibli aniqlikga ega

deyiladi, agar etarlicha 0hh da

m

hhhhh hMuyz 11,

tengsizlik bajarilsa, bunda 0M - h dan bog`liq bo`lmagan o`zgarmas, 0m .

Quyidagicha savol tugìladi, ya`ni sxema aniqligining tartibi approksimatsiya tartibidan bog`liqmiq hhh uyz xatolik h (va h ) o`ng qismli (4) masalaning echimi. Approksimatsiya tartibi bilan aniqlik tartibi o`rtasidagi aloqa ayirmali masala echimining o`ng tomondan bog`liqligi bilan xarakterlanadi. Agar hz h va h lardan uzluksiz bog`liq bo`lsa, aniqlik tartibi approksimatsiya tartibi bilan mos tushadi.

Ayirmali sxemalar turgùnligi Misollar. Tenglamalarning o`ng tomonlarini, chegaraviy va boshlangìch ma`lumotlarni chekli approksimatsiya qilishda biz bundan keyin bir atama bilan – muayyan xatolik bilan berilgan boshlangìch qiymatlar deb ataymiz. Algebraik tenglamalar sistemasini sonli echish jarayonida ham xatolik ro`y beradi. Boshlangìch ma`lumotlardan bog`liq kichik xatoliklar hisoblash jarayonida oshmasligi va izlanayotgan echimni olishni buzmasligi sxemadan talab qilinadi.

Agarda boshlangìch xatoliklar hisoblash jarayonida oshib ketsa sxemalarga turgùnmas sxemalar deyiladi va amalda ulardan foydalanib bo`lmaydi. Misollar keltiramiz. 1 misol. Turgùn sxema.

0,0,0, 0 uuxuu (5) bo`lsin. Masalaning aniq echimi quyidagicha

xeuxu 0 .

Bu echim uchun 0 da 0uxu va haqiqatdan, xu 0u dan uzuluksiz bog`liq.

(5) masalani ,...1,0, iihxih tekis to`rda ayirmali masala approksimatsiyalaydi

,...2,1,,0 001 iuyyhyy iii yoki

001 ,1

1, uyh

ssyy ii

.

Bundan

0ysy ii

kelib chiqadi. x fiksirlangan nuqtani qaraymiz va h qadamlar ketma-ketligini shunday tanlaymizki, x hamma vaqt hix 0 tugun nuqta bo`lsin. U holda 0h da to`rni kichiklashtirganda tanlangan

nuqta x ga mos keluvchi 0i nomer cheksiz o`sadi. SHu nuqtada y ning qiymatini hisoblaymiz

97

00

0ysyxy i

i .

0 va ixtiyoriy h da 1s bo`lganidan, ixtiyoriy h da 000 yysxy i bo`ladi.

Oxirgi tengsizlikdan ko`rinib turibdiki, (5) ayirmali masala echimi boshlangìch qiymatlardan uzluksiz bog`liq. 2 misol. Turgùnmas sxema. (5) masala uchun quyidagi sxemani qaraymiz

,...,2,1,,

,01

0100

11

iuyuy

yh

yyh

yyi

iiii (6)

bu erda 1 - sonli parametr. Sxema uch nuqtali bo`lganligi uchun, 0y dan tashqari 1y ning ham berilishi talab qilinadi.

Agar 00 1 uhu deb olinsa, u holda 20 hOhuu bo`ladi. (5) masalaning ayirmali

echimini ii sy ko`rinishda izlaymiz. U holda (6) dan

0121 2 shs ,

kelib chiqadi. Bu tenglamaning 2 ta turli echimlari mavjud

.12

122112

12141212

22

2

2,1

hhh

hhs

(5) ning umumiy echimi quyidagi ko`rinishda

ii

i BsAsy 21 . (7)

1,0 ii larni qo`yib va 0100 , uyuy larni hisobga olib A va B o`zgarmaslarni topamiz

21

001

21

020 ,ssuusB

ssusuA

.

01 dan, 121 ss bo`ladi. Ixtiyoriy h da 12 s bo`lishini ko`rsatamiz. O`z navbatida 1 da

.hhh

hhh

011221

1221121222

22

Ixtiyoriy h ning qiymatida 11 s bo`lishidan, 121 ss kelib chiqadi.

Agar 0A bo`lganda iii BsAsy 21 formuladan i da iy bo`ladi. 01 uy ni

shunday tanlash kerakki, 0A bo`lsin. Buning uchun 020 usu deb olish kifoya. is1 echim atrofidagi xatolikdan hisoblash jarayonida qochib bo`lmaydi hamda turgùnmas sxemaga keladi. h fiksirlangan nuqtada bu sxemada ihxi oshishi bilan echimning oshishi kelib chiqadi. h

ning kamayishi hixi 0 fiksirlangan nuqtada xatolikning oshishga olib keladi, ya`ni h ning

kamayishi bilan hxi 0 oshadi. 0h da boshlangìch qiymatlarning kam o`zgarishi ixtiyoriy x fiksirlangan nuqtada masala echimining cheksiz o`sshiga olib keladi.

98

Ayirmali masala korrektligi

hy biror ayirmali masalaning echimi, h esa boshlangìch qiymatlari bo`lsin. Ular h

parametrdan bog`liq. h ni o`zgartirib h boshangìch qiymatlarga mos hy echimlar ketma-ketligini olamiz. SHunday qilib, nafaqat bir ayirmali masalani, balki h parametrdan bog`liq masalalar oilasini qaraymiz. 0h da ayirmali masalalar oilasi uchun korrektlik tushunchasi

kiritiladi. Barcha etarlicha kichik 0hh larda masala korrekt deyiladi, agar:

1) Qandaydir mumkin bo`lgan oiladan barcha h boshlangìch qiymatlar uchun ayirmali masala

echimi hy mavjud va yagona bo`lsa;

2) hy echim h dan uzluksiz bog`liq hamda bu bog`liqlik h ga nisbatan tekis bo`lsa.

2-nchi shart yanada aniqroq shuni bildiradiki, etarlicha kichik 0hh da h dan bog`liq

bo`lmagan 0M o`zgarmas mavjud bo`lib

hhhhhh Myy21

~~ (8)

tengsizlik bajariladi, bunda hy~ - h~ boshlangìch qiymatli masala echimi, h1

va h2 lar esa h

to`rda berilgan to`r funktsiya to`plamidagi normalar. (8) tengsizlik bilan ifodalangan ayirmali masala echimining boshlangìch qiymatlardan uzluksiz bog`liqlik xossasiga boshlangìch qiymat bo`yicha sxema turgùnligi deyiladi.

Turgùnlik, approksimatsiya, yaqinlashish Gx da xfLu , xluΓx да (9)

uzluksiz masala berilgan bo`lsin va hhh to`rda uni quyidagi ayirmali masala approksimatsiya qilsin

hx da hhh yL , hx da hhh~yl . (10)

hhh uyz xatolik uchun masala (bunda hu - h to`rda (9) masala echimining qiymatlari) quyidagi ko`rinishda bo`ladi

hhhhhhh zlxzL ,, , hx , (11)

bu erda hh , - tenglama va qo`shimcha shartlarning approksimatsiya xatoligi. (11) ning o`rninga

hhh zL ~~ ni yozamiz. Agar hL~ operator chiziqli va ayirmali sxema korrekt bo`lsa, (8) o`rniga quyidagiga ega bo`lamiz

hhhh Mz21

~ yoki hhhhhh Mz

321 . (12)

Bu erdan ko`rinib turibdiki, agar sxema turgùn va masalani approksimatsiya qilsa, u holda yaqinlashuvchi bo`ladi (odatda “approksimatsiya va turgùnlikdan yaqinlashish kelib chiqadi” deyiladi), sxemaning aniqlik tartibi uning approksimatsiya tartibi bilan aniqlanadi.

99

YUqorida aytib o`tilganlardan shunday xulosa chiqadiki sxema yaqinlashishi va aniqlik tartibini o`rganish approksimatsiya xatoligi va turgùnligini o`rganishga olib keladi, ya`ni aprior baholash deb ataluvchi (12) ko`rinishdagi baholash olinadi.

O`z-o`zini tekshirish uchun savollar 1. Tekis va notekis to`rlar to`g`ri chiziqda, tekislikda va fazoda qanday quriladi? 2. hH da norma qanday aniqlanadi?

3. 0H va hH fazolar elementlarini solishtirishning qanday usullarini bilasiz? 4. Birinchi tartibli hosilani approksimatsiya qilishning qanday usullarini bilasiz? 5. Ikkinchi tartibli hosila qanday approksimatsiyalanadi? 6. To`rda approksimatsiya xatoligi qanday aniqlanadi? 7. Ayirmali masalaning approksimatsiya aniqligi, yaqinlashishi, turgùnligi hamda korrektli

tushunchalari qanday aniqlanadi? 8. Approksimatsiya, yaqinlashish va turgùnlik o`rtasida qanday bog`liqlik mavjud?

100

11-ma`ruza

IKKINCHI TARTIBLI ODT UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI O`Q OTISH VA CHEKLI AYIRMALAR USULI BILAN YECHISH. PROGONKA USULINING

TURGÙNLIGI

Ma`ruza rejasi 1. O`q otish usuli; 2. Chekli ayirmalar usulini (ChAU) ikkinchi tartibli ODT uchun ChMni yechishga

qo`llash; 3. Ayirmali tenglamalar sistemasini yechish uchun progonka usuli; 4. Progonka usuli yaqinlashining yetarli shartlari. Kalit so`zlar: o`q otish usuli, ayirmali sxemalar, koeffitsientlari uchburchak matritsali

ayirmali tenglamalar sistemasi, progonki usuli, progonka usuli turgùnligining yetarli shartlari Chegaraviy masalalarni echishning sonli usullarini qaraymiz. Ularni ikkita guruіga ajratish

mumkin: 1) Chegaraviy masala echimini ketma-ket Koshi masalalarini echishga keltirish; 2) Chekli ayirmalar usullarini qo`llash. Birinchi guruі usullariga, xususan, o`q otish usuli kiradi.

O`q otish usuli [0,1] kesmada ikkinchi іosilaga nisbatan echilgan ikkinchi tartibli tenglama uchun

chegaraviy masalani qaraymiz: .,, yyxfy (1)

Іar qanday kesmani

abaxt

almashtirish yordamidamojno [0,1] kesmaga keltirish mumkin. Chegaraviy shartni quyidagi oddiy

ko`rinishda olamiz

10 )1(,)0( yyyy . (2)

O`q otish usulining moіiyati (1), (2) chegaraviy masalani echishni (1) tenglama uchun

,0,0 0 tgkyyy (3)

boshlangìch shartli masala echimiga keltirishdan iborat, bunda - parametr 0x nuqtada integral chiziqga o`tkazilgan

0 1

1

y(x, )

y(x, 1)

x

y0

y

y1

101

urinmaning x0 o`qi bilan hosil qilgan burchagidir. (1), (3) Koshi masalasini dan boғliq deb hisoblaylik, ya`ni y=y(x,), shunday y=y(x,*)

integral chiziqni izlaymizki, u (0,y0) nuqtadan chiqib (1, y1) nuqtaga tushsin.

SHunday qilib, agar =* bo`lsa, u holda y(x,) Koshi masalasi echimi y(x) chegaraviy masala echimi bilan ustma-ust tushadi. 1x da (2) ni hisobga olib 11 y,y ni hosil qilamiz

y(1,)-y1=0. (4) Demak F()=0 ko`rinishdagi tenglamani hosil qildik, bunda F()=y(1,)-y1.

(4) tenglamani echish uchun chiziqlimas tenglamlarni yechishning birorta usulini qo`llash mumkin.

Chekli ayirmalar usuli Quyidagi

,xfuxquxpuLu (5) tenglamaning

.

,

211

210

dbydbydylcaycaycyl

(6)

shartlarni qanoatlantiruvchi echimini topish talab etilgan bo`lsin. Masalani sonli yechish izlanayotgan u(x) haqiqiy echimning x0, x1, x2,..., xn nuqtalardagi y0,

y1,...yn taqribiy qiymatlarini topishdan iborat. xi, nuqtalar to`r tugunlari deb ataladi. Bir-biridan bir xil uzoqlikda joylashgan tugunlar sistemasidan hosil bo`lgan quyidagi tekis to`rni qo`llaymiz

xi=x0+ih, i=0,1,2,...,n. Bundan

x0=a, xn=b, h=(b-a)/n. h – kattalik to`r qadami.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz p(xi)=pi, q(xi)=qi, f(xi)=fi,

.,, iiiiii yxyyxyyxy

ixy va ixy larni har bir ichki tugunda ayirmali markaziy hosilalar yordamida approksimatsiyalaymiz

211

2hO

hyyxy ii

i

, .2 2

211 hO

hyyyxy iii

i

Kesma oxirilarida bir tomonlama ayirmali іosilalarni qo`llaymiz

., 1010 hO

hyyyhO

hyyy nn

n

Bu formulalarni qo`llab (5), (6) berilgan masala ayirmali approksimatsiyasini hosil qilamiz:

102

.

,

,1,1,2

2

121

01201

112

11

dh

yydyd

ch

yycyc

nifyqh

yyph

yyy

nnn

iiiii

iiii

(7)

Izlanayotgan echimning y0, y1,…, yn taqribiy qiymatlarini topish uchun (7) n+1 noma`lumli n+1 ta chiziqli tenglamalar sistemasini echish zarur. Bu sistemani CHATS ni echishning biron bir standart usullari yordamida echish mumkin. Ammo (7) tenglamalar koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa uch dioganallidir, shuning uchun uni echishda progonka usuli deb ataluvchi maxsus usulni qo`llaymiz.

(7) sistemani quyidagi tarzda yozamiz

,,

1,...,2,1,

1

11

01000

nnnnn

iiiiiii

yyniyyy

yy

(8)

bunda 0= c1h-c2 , 0=c2 , 0=s2 , 0=hs , I=fih2,

1...,,2,1,2

1,2,211 2 nihphqhp i

iiiii , n=

–d2 , n=hd1+d2 , n=hd. (8) sistema echimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz

yi=ui+viyi+1 , i=0, 1, . . . , n-1, (9) bu erada ui, vi , i=0,1,…,(n-1) lar progonka koeffitsientlari deb ataladi.

(9) ni (8) ga qo`yib ui, vi lar uchun quyidagi rekkurent formulani hosil qilamiz:

.,1,,1

1

1

nivu

uv

viii

iiii

iii

ii

(10)

Hisoblash sxemasini bir jinsli qilish uchun 0=0, n=0,

deb olamiz. Progonka usuli ikki bosqichdan iborat. 1) Progonkaning to`g`ri yo`li. (10) bo`yicha i indes o`zgarishining o`sib borish tartibida

ketma-ket ui, vi koeffitsientlar

,u,v0

00

0

00

qiymatlar yordamida hisoblanadi. 2) Progonkaning teskari yo`li. (9) formula bo`yicha i indeksning kamayish tartibida ketma-

ket yn, yn-1,…,y0 kattaliklar aniqlanadi. SHunday qilib n=0, u holda vn=0 va yn=un , ya`ni progonkaning to`ғri yo`lida vi , ui

kattaliklar yordami bilan yn echim hisoblanadi.

103

SHunday qilib, progonka usuli bilan (9) sistemaning aniq echimini topa olamiz, bu esa (5), (6) chegaraviy masala echimi xatoligi faqat berilgan masala ayirmali approksimatsiya xatoligi bilan aniqlanishini va xatolik O(h) ga teng ekanligini ko`rsatadi. (9) sistemani

,,

,1,1,

2121110

11

nn

iiiiiii

yyyyniyyy

(11)

ko`rinishda yozamiz, bu erda

,2,,,, 212

0

01

0

01 hqii

n

n

n

n

0,0 ii .

U holda (10) formula quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi

.,1

1

1

iii

iiii

iii

ii v

uuv

v

(12)

bx nuqtada (ya`ni ni da) ny

,111

212

nnnn

nn

yvuyyy

sistemadan ny

12

212

212122112

1

1

n

nn

nnnnnnn

vuy

uyv,yvuy (13)

kabi aniqlanadi. (12), (13) formulalar ma`noga ega bo`ladigan etarlilik shartlarini isbotlaymiz:

.2,2,1,1,1,1, 21 ini iiii (14)

Bu shartlarda 1,0 ni uchun 1iv bo`lishini ko`rsatamiz.

11 iv bo`lsin. Bundan 1iv bo`lishini ko`rsatamiz. SHunday qilib 110 v , u

holda bundan barcha 1,...,2,1 ni lar uchun 1iv bo`lishligi kelib chiqadi.

(14) qo`llab quyidagi ayirmani baholaymiz

iiiiiiii vv 11

01 111 iiiiiiiiii vvv .

Bundan iiii v 1 .

SHunday qilib 0i , u holda 01 iii v , ya`ni 11

iii

ii v

v

.

104

Bundan ko`rinadiki agar 11 iv bo`lsa, u holda 1iv bo`ladi. 110 v da

barcha 1iv bo`ladi.

(10) ning maxrajini baholaymiz:

0111 21212 nn vv ,

bundan 12 yoki 11 nv ( 11 da), ya`ni 01 12 nv .

Agar 000 iii hech bo`lmaganda bitta 0ii nuqtada bajarilsa, u holda barcha

0ii uchun 1iv bajariladi va jumladan 1 ni da 11 nv ga ega bo`lamiz. Bu holda

211 shart ortiqcha hisoblanadi, chunki 11 va 12 da

011 1212 nn vv

bo`ladi.

O`z-o`zini tekshirish uchun savollar 1. ODT uchun CHM o`q otish usuli yordamida qanday masalaga keltiriladiq 2. 2-tartibli ODT va umumiy chegaraviy shartlar qanday approksimatsiyalanadiq 3. Ayirmali tenglamalar sistemasini echish uchun qaysi usullarni qo`llash mumkinq 4. Qanday shart bajarilganda progonka usulini qo`llash mumkinq 5. Progonka usuli nechta bosqichdan iboratq 6. Progonka usuli turғunligi etarlilik shartlari qandayq

105

12 - ma`ruza BIR O`LCHAMLI ISSIQLIK O`TKAZUVCHANLIK TENGLAMASINI SONLI YECHISH

Ma`ruza rejasi 1. Masalaning berilishi; 2. Olti nuqtali sxemalar oilasi; 3. Olti nuqtali sxemalarning xususiy hollari; 4. Approksimatsiya aniqligi; 5. Uch qatlamli sxemalar.

Tayanch so`zlar: berilgan masala, olti nuqtali shablon, oshkor AS, oshkormas AS,

approksimatsiya tartibi, uch qatlamli sxemalar, Richardson sxemasi, Dyuffort-Frenkel sxemasi

1. Masalaning berilishi

Bir o`lchamli nostatsionar issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi quyidagicha bo`ladi

,fxuk

xtuc

(1)

bunda ),( txuu - temperatura, s – birlik massa issiqlik sig`imi, ρ - zichlik, k – issiqlik

o`tkazuvchanlik koeffitsienti, f - issiqlik manbalari zichligi, ya`ni birlik vaqtda birlik uzunlikdan

ajralib chiquvchi issiqlik. Agar ),,( utxcc , ),,( utxkk bo`lsa tenglama kvazichiziqli deb ataladi. Agar s=const, k=const bo`lsa tenglama quyidagicha bo`ladi

cff~,

cka,f~

xua

tu

2

2

22

, (2)

bu erda 2a - temperatura o`tkazuvchanlik koeffitsienti. Umumiylikdan ajralmagan holda 1a deb hisoblash mumkin, u holda (2) dan quyidagini hosil qilamiz

.2

2

fxu

tu

(3)

Birinchi chegaraviy masala (I): Tt,xD 010 da uzluksiz bo`lgan quyidagi

masalaning ),( txu yechimini topamiz

.Tt),t(u)t,(u),t(u)t,(u,x),x(u),x(u

,Tt,x),t,x(fxu

tu

010100

010

21

0

2

2

2. Olti nuqtali sxemalar oilasi

Quyidagi to`rni kiritamiz

J,...,,j,jt,I,...,,i,ihx jih 1010

106

va D to`rni J,...,,j,I,...,,i,j,ihhh 1010

ko`rinishda JT,Ih 1 qadamlar bilan kiritamiz, bunda jiy h da aniqlangan

bo`lib, y funktsiyaning ji t,x tugundagi qiymati.

Bir parametrli ayirmali sxemalar oilasini qaraymiz

Jj,Ii,y)(yyy ji

ji

ji

ji

ji

00111

, (4)

bunda 211 2

hyyyyy

ji

ji

ji

xxj

i

, – haqiqiy parametr.

(4) sxema ba`zan vaznli sxema deb ataladi. CHegaraviy va boshlang`ich shartlar quyidagicha aniq approksimatsiyalanadi:

,, 210jj

Ijj uyuy (5)

).x(u),x(yy iii 00 0 (6)

Bunda ji – (3) tenglama o`ng tarafi f ni approksimatsiyalovchi funktsiya, masalan

.,tt,t,xf j,j,jij

i 505050

(4)-(6) ni (II) ayirmali masala deb ataymiz. (4) AS quyidagi olti nuqtali shablonda yozilgan

.,,,,,,, 1111 jijijiji txtxtxtx

(4) tenglama ichki tugunlar deb ataluvchi 1, ji tx ,I,...,,i 110 J,...,j 11

tugunlarda echiladi. h dagi barcha ichki tugunlar to`plamini

Jj,Ii),t,x( jih 111 ko`rinishida belgilaymiz.

(5), (6) boshlang`ich va chegaraviy shartlar h ning chegaraviy nuqtalarida yoziladi. t=tj

to`g`ri chiziqda yotuvchi h to`r tugunlari odatda qatlamlar deb ataladi. (4) da j

iy qiymatlar ikkita qatlamda yotadi va shuning uchun bunday sxemalar ikki qatlamli sxemalar deb ataladi.

=0 da (xi,tj+1), (xi,tj), (xi±1,tj) shablonda aniqlanuvchi to`rt nuqtali

ji

ji

ji

ji yyy

1

sxemani hosil qilamiz yoki uni quyidagicha yoza olamiz

.h

,)yy(y)(y ji

ji

ji

ji

ji 211

1 21

(7)

t=tj+1 qatlamning har bir nuqtasidagi 1jiy qiymat (7) formula yordamida t=tj qatlamdagi j

iy

qiymatlar orqali oshkor ko`rinishda ifodalanadi. SHunday qilib t=0 da )x(uy ii 00 berilsa, u

holda (7) formula bo`yicha ketma-ket ixtiyoriy qatlamdagi y ning qiymatlarini aniqlay olamiz. (7) sxema oshkor sxema deb ataladi.

107

Agar 0 bo`lsa, u holda (7) sxema oshkormas ikki qatlamli sxema deb ataladi. 0

da 1jiy larni aniqlash uchun quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi

12

1110

jjI

ji

j uy,uy , algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

,Fyy ji

ji

ji

11 1

(8)

,yyF ji

ji

ji

ji

11 11

i=1,…,I-1. (8) ayirmali tenglama echimi progonka usuli bilan topiladi.

1 da sof oshkormas sxemaga ega bo`lamiz

.yyy ji

ji

ji

ji

1

1 (9)

50, da olti nuqtali simmetrik sxemani hosil qilamiz

,yyyy ji

ji

ji

ji

ji

1

1

21

(10)

ba`zan bu sxema Krank-Nikol’son sxemasi deb ataladi.

(7) oshkor sxema shabloni (9) sof oshkormas sxema shabloni

(8) ikki qatlamli oshkormas va (10) Krank-Nikol’son sxemalari shabloni

3. Approksimatsiya aniqligi

(i, j+1)

(i+1,j) (i-1,j) (i, j)

(i, j+1) (i+1,j+1) (i-1, j+1)

(i, j)

(i, j+1) (i+1, j+1) (i-1, j+1)

(i,j) (i+1, j) (i-1, j)

108

(4)-(6) sxemalar aniqligi haqidagi savolga javob berish uchun (4)-(6) masala echimi j

iyy ni (I) masala echimi u=u(x,t) bilan taqqoslash kerak. Shunday qilib u(x,t) (I) masalaning

uzluksiz yechimi bo`lsin, u holda ),( jij

i txuu qo`yamiz va ji

ji

ji uyz ayirmani qaraymiz.

jiz ni baholash uchun quyidagi normalardan birini tanlaymiz

2/11

1

2

0 ,max

I

iiiIiChzzzzz .

/)yy€(y ,y€y ,yy tj

ij

i1 indekssiz belgilashlar yordamida (4)-(6)

masalani quyidagi ko`rinishda yozamiz

ht )t,x( ,)y)(y€(Λy 1 ,

t),t(u)t,(y),t(u)t,(y 21 10 , (II)

xxh yΛy ,x ),x(u),x(y 00 . uzy ni (II) ga qo`yib va u ni berilgan funktsiya deb z uchun quyidagi masalani hosil

qilamiz

)t,x( ,)y)(y€(Λyz 1 ,

t,)t,(z)t,(z 010 ,

,x,),x(z h 00

bunda tu)u)(u€(Λ 1 – (I) tenglama u(x,t) yechimida (II) sxemaning approksimatsiya xatoligi.

Ta`rif. (II) sxema (I) tenglamani (m,n) tartib bilan approksimatsiyalaydi yoki (I) tenglama

u=u(x,t) yechimda )h(O nm approksimatsiyaga ega deyiladi, agar

)h(O)t,x( nm 2 yoki )h(M nm

2 tengsizliklar barcha t lar uchun

bajarilsa, M esa h va τ dan bog`liq bo`lmagan musbat o`zgarmas, 2 – h to`rdagi qandaydir

norma. u=u(x,t) dan x va t bo`yicha kerakli hosilalarni qo`yib, (II) ning approksimatsiya tartibini baholaymiz. Quyidagi belgilashlardan foydalanamiz

505050 ,ttt),t,x(uu,x/u'u,t/uu j,j,ji .

u(x,t) ni (xi, tj+0.5) nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz. Ushbu formulalarni qo`llab

,u ,)uu€(,)uu€(,)uu€(,u€ t 50505050

tu ,)uu€(,u 5050 ,

tu ),()uu€(,u)(u€ 50501 ψ ni quyidagicha yozamiz

tt uuΛ),(uu€Λ, 5050 . Yuqoridagi ifodalarni bu erga qo`yib hamda

109

,xuLu ),h(OuLhLu)h(Ouhuu )(2

242

244

2

1212

),(Ouu ,uu€ 32

850

),(Ouu ,uu 32

850

,)(Ouu)uu€(, 32

850

)( 2Ouut ifodalardan foydalanib

)h(OuLhuL),()uuL( 4222

1250 (12)

ni hosil qilamiz.

Bundan ko`rinadiki ),( 5,0 ji txff da

)h(OuL),( 2250

bunda faqat fLuu . fuLfuLuL IV )(2 va LfuLuL 2 ekanini hisobga olib (12) dan quyidagini hosil qilamiz

.)h(OfLhuLh,)f( 2422

121250

(13)

(13) da o`rta qavs ichidagi ifodani nolga tenglab ushbu tenglikka kelamiz

*h

122

1 2

. (14)

* qiymatda va esa fLhf12

2

bo`lganda sxema (II) )h(O 42

approksimatsiyaga ega. Agar biz f ni ff xx ifodaga almashtirsak sxema approksimatsiya

tartibi buzilmaydi, ya`ni fhf 12

2 yoki quyidagiga kelamiz

.fffffff /ji

/ji

/ji

/ji

/ji

/ji

/ji

ji

211

211

21211

21211

21

121

652

121

(15)

)(DC mn – shunday funktsiyalar sinfi bo`lsinki, ularning x bo`yicha m va t bo`yicha n

tartibli hosilalari D da uzluksiz bo`lsin. (13) va (14) formulalardan ko`rinadiki (II) sxema quyidagi approksimatsiyalarga ega:

1. f,, 50 yoki )( 22 hOf da )h(O 22 bo`ladi, agar 43Cu

bo`lsa;

110

2. )h(Of,, 250 da )h(O 2 bo`ladi, masalan, f€ yoki

f bo`lganda, agar 42Cu bo`lsa;

3. * da va esa (15) formula bilan berilsa, )h(O 24 bo`ladi, agar 63Cu

bo`lsa.

(II) sxema * va fhf 12

2 da odatda yuqori tartibli aniqlikdagi sxema deb

ataladi. o`ng tarafni tanlash berilgan da approksimatsiya tartibiga qo`yilgan talablarga bo`ysungan bo`lishi kerak.

SHunday qilib 50, da ni f ),ff€(, 50 deb olish mumkin va і.k.

(13) dan ko`rinadiki )( 22 hO xatolikka 50, da ham erishishi mumkin. Masalan

/h, 250 deb olish mumkin, bunda - h va dan bog`liq bo`lmagan ixtiyoriy o`zgarmas. ni tanlash sxema turgùnligi sharti bilan chegaralangan.

4. Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun uch qatlamli sxemalar

Ba`zan uch qatlamli sxemalar qo`llaniladi. Bunday sxemalardan bittasi Richardson

sxemasidir:

jjj

yyy

2

11 yoki j

tyy 0 , (16)

bunda xxjjj

tyy ,yy ,yy ,yy€ ,yy€y

11

20 . Bu sxema va h bo`yicha

ikkinchi tartibli approksimatsiga ega )h(OuΛut

220 . Ammo u absalyut

turgùnmas sxemadir. (16) ni quyidagi ko`rinishda yozamiz

211

11 22 h

yyyyy ji

ji

ji

ji

ji

. (17)

Agar (17) ning o`ng tarafidagi jiy2 ni 11 j

ij

i yy ga almashtirsak, u holda uch qatlamli «romb» sxemaga (Dyuffort-Frenkel sxemaga) kelamiz:

21

111

11

2 hyyyyyy j

ij

ij

ij

ij

ij

i

, (18)

bu sxema 1jiy ga nisbatan oshkor qoladi va absolyut turgùn hisoblanadi. «Romb» sxemani ushbu

ko`rinishda yozish mumkin

Λyyyh

y ttt

2

2

0 (19)

bunda 211 2 /)yyy(y j

ij

ij

itt .

111

Haqiqatdan

ttxxiiiiiiiiii y

hy

hyyy€

hyyy

hyyy€y

2

2

2211

211 22

.

Bu ifodani (18) ga qo`yib (19) ni hosil qilamiz. Demak Richardson sxemasi «romb»

sxemaning xususiy holi hisoblanadi. ttyh2

2 had turg`unlikni ta`minlaydi.

(19) ning approksimatsiya xatoligi quyidagicha

.)h(Ouh

)h(Ouh

uuuh

uu ttt

222

222

2

2

2

2

0

Bundan ko`rinadiki «romb» sxema shartli approksimatsiyaga ega bo`ladi

)( 22

222 hO

hhO

, )( 2hO da.

Agar ))h(O(h 1 deb olsak, u holda (19) sxema

2

2

2

22

xu

tu

tu

ko`rinishdagi tenglamani approksimatsiyalaydi, bunda const . Odatda (3) uchun vaznli oshkormas uch qatlamli sxemalar qo`llaniladi

a) simmetrik sxemalar

yy)(y€y

t210 , (20)

b) simmetrik bo`lmagan sxemalar

yyy ttt . (21)

(20), (21) tenglamalar uchta 11 jjj t,t,t qatlamga ega. SHuning uchun ular

1 j,t j qatlamlarda yoziladi. ),( xy qiymatini qo`shimcha ravishda berish kerak,

masalan )x(u),x(yt 00 yoki )x(u),x(y),x(y 00 , bunda

),x(f)x(u)x(u 000 ifoda )(O),x(u),x(y 2 shartdan tanlanadi.

Ba`zan ),( xy ni aniqlash uchun ikki qatlamli sxemalar qo`llaniladi.


1. Bir o`lchamli nostatsionar issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun umumiy boshlang`ich-chegaraviy masala qanday qo`yiladi?

2. Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun bir parametrli ayirmali sxema qanday tuziladi? 3. Qanday sxemalarga oshkor sxemalar deyiladi? 4. Qanday sxemalarga oshkormas sxemalar deyiladi? 5. Krank-Nikol’son sxemasi qanday shablonda aniqlangan?

112

6. Qanday shartlarda quyidagi approksimatsiya xatoliklari

)(),(),( 24222 hOhOhO aniqlanadi? 7. Richardson sxemasi qanday aniqlanadi? 8. Dyuffort-Frenkel sxemasi qanday aniqlanadi?

113

13 - ma`ruza TO`LQIN TENGLAMASI UCHUN CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR TUZISH

Ma`ruza rejasi

1. Tor tebranish tenglamasi uchun umumiy boshlangìch-chegaraviy masalaning qo`yilishi; 2. Bir parametrli ayirmali approksimatsiya; 3. )h(O 22 approksimatsiyali masala; 4. Approksimatsiya xatoligi; 5. Uzilishga ega koeffitsientlar bilan umumiy masala; 6. Birjinsli ayirmali sxemalar.

Tayanch so`zlar: Tor tebranish tenglamasi, bir parametrli ayirmali sxemalar oilasi, approksimatsiya xatoligi, birjinsli sxemalar.

1. Ayirmali masalaning qo`yilishi va approksimatsiya xatoligini hisoblash

Birjinsli tor tebranish tenglamasini qaraymiz

0 ,0 ),,( 111121

22

21

2

tlxtxf

xua

tu

.

lattlxx / ,/ 11 o`lchovsiz kattaliklarni kiritib bu tenglamani quyidagicha yozamiz

Tt,x),t,x(fxu

tu

0 102

2

2

2

. (1)

Boshlangìch momentda

)()0,( ),()0,( 00 xutxuxuxu

(2)

shartlar berilgan, bu erda u0(x) – boshlangìch chetlashish va )(0 xu - boshlangìch tezlik. Tor oxirlari quyidagi berilgan qonun bo`yicha harakatlansin

)t()t,(u),t()t,(u 21 10 . (3)

)0 ,10( TtxD sohada isssiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasini

approksimatsiyalashda qo`llangan to`rga o`xshash h to`g`ri to`rtburchakli to`r kiritamiz

,yyy,yy€y,yy,yy€,yy ttjjj

2 11

22 2 02

yy€yyy,yyy€yyy,yy tt

t

ttttxx .

(1) da hosilalarni quyidagi formulalarga almashtiramiz

114

~f,uu~

xu,u~

tu

xxtt 2

2

2

2

.

Quyidagi vaznli sxemalar oilasini qaraymiz

,)x(u~),x(y),x(u),x(y),t(y),t(y

,)t,x(f,)yy)(y€(y

tI

jtt

00210 0 0

21

(4)

bu yerda )(~ xu ni keyinroq aniqlaymiz.

Chegaraviy shartlar va birinchi u(x,0)=u0(x) boshlangìch shart h to`rda aniq bajariladi.

)(~ xu ni shunday tanlaymizki. )x(u)x(u~t

),x(u)x(u~ 0000

approksimatsiya xatoligi

)( 2O kattalik bo`lsin. Quyidagi

)(O)),x(f),x(u(,)x(u)(O)),x(f),x(u(,)x(u)(O),x(u,),x(u),x(ut

200

20

2

0050005005000

formuladan ko`rinadiki )(O),x(u)x(u~ t20 belgilashni qo`ysak quyidagini hosil qilamiz

),x(f)x(u(,)x(u)x(u~ 050 00 . (5)

Shunday qilib, (4), (5) masala qo`yildi. (4) dan 1 jyy€ ni aniqlash uchun progonka usuli bilan yechiladigan chegaraviy masalani hosil qilamiz

210121

11

12 021

Ii

ji

ji

ji y,y,Ii,Fy)(yy ,

21221 212 jjji

jii yy)()yy(F,h/ .

Bunda 0 bo`lganda progonka usuli turgùn bo`ladi.

),( jtxf da (4) sxema approksimatsiya xatoligini hisoblaymiz. y – (4), (5)

masalaning, ),( txuu - esa (1)-(3) masalaning yechimlari bo`lsin. (4) ga uzy qo`yib quyidagini hosil qilamiz

)zz)(z€(z tt 21 , (6)

)x(),x(z,),x(z,zz tI 00000 ,

bu erda ttu)uu)(u€( 21 - (4) sxemaning u=u(x,t) yechimdagi

approksimatsiya xatoligi, ),x(u)x(u~ t 00 - esa )(~0 xuyt ikkinchi boshlangìch shart

uchun approksimatsiya xatoligi. Yuqoridagilardan ayonki, )( 2 O .

tuuu€ , tuuu

lardan foydalanib quyidagiga ega bo`lamiz

tttt uu)uu(u)()uu(uu)(u€ 2 21 21

, (7)

115

ya`ni har qanday (, va h dan bog`liq emas) tttt uuu 2

)( 222 hOufuLLu , )h(O 22 . 3-tur chegaraviy shartlar

)t()t,(ux

)t,(u),t()t,(ux

)t,(u2211 1100

quyidagi yoyilmalarni qo`llab approksimatsiya qilinadi

432

2462hOuhuhuhu

xu IV

x

va

432

2462hOuhuhuhu

xu IV

x

.

22 hO approksimatsiya tartibini hosil qilish uchun

i=0 da 2112

hO)t(uuhux

yoki

)h(Ouh,)t(

h,uux 211

5050

ifodalarni qo`llaymiz. Tenglamaning o`zidan quyidagiga ega bo`lamiz

fuu ttxx . y ayirmali funktsiya uchun quyidagiga egamiz

021

i,yyy)(yu tt

,

bu erda

.f,h,)t(,

h,yyy x

505011

Shunga o`xshash

Ii,yyy)(y€u tt

21 ,

bu yerda

.f,h,

)t(,h,

yyx

5050

22

Bundan tashqari xu

yoyilmada yanada yuqori tartibli hosilalarni qo`llab )( 42 hO

aniqlik bilan sxemalar hosil qilish mumkin.

116

2. Masalaning umumiyroq qo`yilishi

Endi masalani umumiyroq qo`yilishini qaraymiz. TtxDT 010 to`g`ri to`rtburchakda giperbolik tipli tenglama uchun 1-chegaraviy masalani qaraymiz

,),( ),,(2

2

xutxk

xLutxfLu

tu

,),( TDtx (8)

),(0 ),()0,( 00 xut

)u(x,xuxu

(9)

),(),1( ),(),0( 21 tutututu (10)

,c)t,x(kc 210

bu erda ].Tt(xDT 010

Faraz qilaylik masala TD da yagona uzluksiz va etarlicha hosilalarga ega bo`lgan echimga ega bo`lsin. k(x,t) (va f(x,t) o`ng taraf ot o`qqa parallel chekli sondagi to`g`ri chiziqlarda 1- tur uzilishga ega bo`lishi mumkin (qo`zg`almaydigan uzilishlar). Har bir chiziqda

0,...,2,1 , ssx s uzilishlarda qo`shmalik sharti bajariladi:

0

000

xuk

t,u)t,(uu ss . (11)

Endi (8)-(10) masala uchun bir jinsli ayirmali sxemalarni tuzishga kelamiz.

1 0 10 0 Iih x,x,I,...,,i,x€ to`r 10 x da ixtiyoriy notekis to`r,

J,...,,,j,jt€ j 210 to`r Tt 0 da ixtiyoriy tekis to`r, hh € -

to`r esa TD to`g`ri to`rtburchakda berilgan to`r bo`lsin. Avvalo fiksirlangan t da Lu+f

operatorni approksimatsiyalaymiz va x€x )u)t,x(a(u - ayirmali operatorga keltiramiz.

Bularni quyidagicha almashtiramiz

),(jtt

tt

u)t(FLu,u~tu

j

212

2

,

Bu erda

,uu)(u€u ),(

2211 121

11

jjjx€xjj uu€,uu,uu,u)t,x(au)t( .

Quyidagi belgilashlarni eslaymiz

,1,

i

iiix h

vvv

,1,1

1,

ixi

iiix v

hvvv ,vvv

i

iii,x€

1

117

bu erda ),hh(, iii 150 ,2

2

dxvdLv x€xi,x€x

i

ii

i

ii

iih vv

hvv

hvvvL

1

1

11

,

va bulardan quyidagi vaznli bir jinsli uch qatlamli sxemani hosil qilamiz

),( 21)( yty jtt . (12)

t=tj o`rta qatlamda a koeffitsientni olamiz

Quyidagi ttt y,yyy€ 250 , ttt

y,yyy 250 0 , bu erda

2/)( yyyt

, 2/)2( yyyy tt

larni qo`llab 021 )( 21

),(

tyyy

tty221 )(5,0 ni hosil qilamiz, bulardan keyin (12) sxemani quyidagicha yozamiz

yy)(y)(,Ettt 021

22150 , (13)

bu erda E – birlik operator. 21 da simmetrik sxemani hosil qilamiz

jtt t),t,x(yyE 02 (14)

va uni o`rganish bilan cheklanamiz. (10) chegaraviy shartlar va (9) birinchi boshlang`ich shart aniq qanoatlantiriladi

)x(u),x(y),t(u)t,(y),t(u)t,(y 021 010 . (15)

)(/ 00xutu

t

ikkinchi boshlang`ich shartni ikki usul bilan approksimatsiyalash

mumkin. Bitta usul yuqorida ko`rsatildi

00000 500 tz )fLu(,)x(u)x(u~),x(u~),x(y . (16)

U bo`yicha ikkinchi tartibli approksimatsiyaga ega. Ikkinchi usul shundan iboratki, y() ni aniqlash uchun quyidagi ayirmali tenglama yoziladi

.)),x(fu(,)x(u),x(y))(E( t 05000 002 (17)

Natijada (14)-(16) (yoki (14), (15), (17)) ayirmali masalani hosil qilamiz.

Bu sxema uch qatlamli deyiladi. YAngi qatlamdagi 1 jyy€ ni hisoblash uchun avvalgi

ikkita qatlamdagi jy va 1jy qiymatlarni bilish kerak. Har bir 1 jtt yangi qatlamda chegaraviy

masala 1 jyy€ ga nisbatan echiladi (progonka usuli bilan):

,Fy€E 2

210 10 u€y€,u€y€,ihx I ,

,t,yy)(yy)t(F

22 122

).,x(f,)x(uu)(),(u)(F 0500500 200

20

118


1. Tor tebranish tenglamasi uchun birjinsli holda boshlang`ich chegaraviy masala qanday qo`yiladi?

2. Tor tebranish tenglamasi uchun bir parametrli ayirmali sxema qanday tuziladi? 3. Xatolik uchun masala qanday aniqlanadi? 4. )h(O 42 aniqlik bilan sxema qanday hosil qilinadi? 5. Uzilishga ega koeffitsientlar bilan berilgan tenglama uchun masala qanday qo`yiladi? 6. Uzilishga ega koeffitsientlar bilan berilgan tor tebranish tenglamasi uchun ayirmali sxemalar

qanday tuziladi?

119

14 - ma`ruza LAPLAS OPERATORINI TEKIS VA NOTEKIS TO`RDA APPROKSIMATSIYA QILISH.

PUASSON TENGLAMASI UCHUN DIRIXLE AYIRMALI MASALASI

Ma`ruza rejasi 1. Ko`p o`lchovli sohada Dirixle masalasi 2. Laplas operatorining ayirmali approksimatsiyasi 3. Laplas operatorining «xoch» notekis shablonda approksimatsiyasi 4. Misol 5. Sxema xatoligini baxolash 6. Ayirmali tenglamaning kononik shakli

Kalit so`zlar: Dirixle masalasi, «xoch» shablon, notekis shablon, approksimatsiya xatoligi, to`g`ri to`rtburchakda Dirixle masalasi, kanonik shakl

Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasi quyidagicha qo`yiladi: ushbu ГG sohada

p

Gx),x(fxuu

12

2

(1)

Puasson tenglamasini hamda ushbu xu

chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi uzluksiz xu funktsiyani topish talab qilinadi. Bu erda 321 x,...,x,xx ; G - r-o`lchovli, chegarasi G bo`lgan chekli soha.

1. Laplas operatorining ayirmali approksimatsiyasi

21 x,xx tekislikda

212

2

21 ,,xuuL,uLuLu

. (2)

Laplas operatorining ayirmali ko`rinishini yozamiz.

21 x,xx nuqtada har bir 21

2

1 xuuL

yoki 2

2

2

2 xuuL

operatorlarni uch nuqtali 1

yoki 2 operatorlar bilan approksimatsiyalaymiz

,)x,hx(v)x,x(v)x,hx(vh

vv~vL xx 2112121121

11 2111

(3)

,)hx,x(v)x,x(v)hx,x(vh

vv~vL xx 1212122122

22 2122

(4)

bu erda approksimatsiya belgisi, h1>0, h2>0 – berilgan sonlar (x1 va x2 o`qlar bo`yicha qadamlar).

120

1 operator

(x1-h1, x2), (x1, x2), (x1+h1, x2) regulyar uchnuqtali shablonda, 2 operator esa

(x1, x2 -h2), (x1, x2), (x1, x2+h2) regulyar uchnuqtali shablonda aniqlangan. (3) va (4) dan foydalanib, (2) Laplas operatorini besh nuqtali «xoch» shablonda aniqlangan

221121 xxxx vvvvv , (5)

chekli ayirmali operator bilan almashtiramiz.

2

h2

3 0 h1 1

4 Ko`rinib turibdiki

40222

30121

0 2121 vvvh

vvvh

v . (6)

Xususiy xolda, h1=h2=h bo`lganda

0432120 41 vvvvvh

v . (7)

(5) ayirmali operator bilan (2) Laplas operatorini approksimatsiya qilgandagi xatolikni hisoblaymiz. =1,2 bo`lganda

)h(OvLhvL)h(Oxvh

xvv 42

24

4

42

2

2

1212

, (8)

unda

)hh(OvLhvLhvv 42

41

22

222

1

21

1212 .

Bundan ko`rinib turibdiki, agar v(x) - ixtiyoriy funktsiya xa bo`yicha to`rttadan kam

bo`lmagan tartibli xosilaga ega bo`lsa, unda 22

21

22 hhh,hOvv bo`ladi.

SHunday qilib, (5) ayirmali operator (2) Laplas operatorini «xoch» regulyar shablonda ikkinchi tartib bilan approksimatsiyalaydi.

SHunga o`xshash r-o`lchovli (r>2) Laplas operatorining

2

2

1

x

uuL,uLLup

(9)

ayirmali approksimatsiyasini tuzamiz. L larni uchnuktali ayirmali operator bilan almashtirib

121

p

vv1

(10)

,vvvh

vv )()(xx

112 21

(11)

ni xosil qilamiz, bu erda 11 xvv )(

. Bunda x(+1) (yoki x(-1)) - x=(x1,...,xr) nuqta xa

yo`nalish bo`yicha h kesma uzunligida o`ngga (chapga) siljigandagi nuqta. (10) operator uchun

shablon 2r+1 ta x, x(1) , p,1 nuqtalardan iborat, approksimatsiya xatoligi esa ikkinchi tartibga ega.

2. Laplas operatorini notekis «xoch» shablondagi approksimatsiyasi Ikki o`lchamli holda (r=2) shablon

(x1-h1-, x2), (x1+h1+, x2), (x1, x2), (x1, x2-h2-), (x1, x2+h2+), beshta nuqtadan iborat bo`ladi , bu erda h1>0, h2>0, xech bo`lmaganda bir uchun h+h-.

Har bir L1 i L2 operatorlarni uch nuqta bo`yicha approksimatsiyalaymiz (x1-h1-, x2), (x1+h1+, x2), (x1, x2), (3, 1, 0 nuqtalar)

(x1, x2-h2-), (x1, x2+h2+), (x1, x2). (4, 2, 0 nuqtalar) 2

h2+

3 h1- 0 h1+ 1 h2-

4 Buning uchun quyidagi ifodalardan foydalanamiz:

,h

)hx,x(v)x,x(vh

)x,x(v),hx,x(vv~vL

,h

)x,hx(v)x,x(vh

)x,x(v)x,hx(vv~vL

*

*

2

22121

2

21221

222

1

21121

1

21211

111

1

1

(12)

bu erda .,),hh(, 2150 Laplas ayirmali operatori notekis shablonda quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi

221121 x€xx€x** vvvvv* (13)

x(-1) x x(+1)

h- h+

Agar, misol uchun, h1-= h1+=h1 bo`lsa, unda 1111 xx

* vvv va xakozo.

122

Ushbu

,,),x(vv),x(vv),x(vv),hx,x(x)x,hx(x),x,hx(x

)()()()(

)()()(

21

,1111

2211

2111

2111 211

belgilashlarni kiritamiz. * uchun

21501 11

,),hh(,,hvv

hvvvv

)()(

x€x*

(14)

ifodani yozish mumkin. vLv bo`lganligi uchun

xxh

vvh

)hx(v)x(vh

)x(v)hx(vvL

1

bo`ladi. Ushbu

,)h(Ovh)x(vh)x(vh)x(v)hx(v

,)h(Ovh)x(vh)x(vh)x(v)hx(v

432

432

62

62

yoyilmalarni hisobga olib

,)h(Ovh)x(vhvv,)h(Ovh)x(vhvv xx3

23

2

6262

)(OvhhvvvvL xxh

222

6

ifodalarga ega bo`lamiz. U holda

)(O)(OvhhLvvLh

2

3.

Tafovut uchun quyidagiga ega bo`lamiz

)(OxvhhvLv* 23

3

31

. (15)

SHuday qilib, (13) formula bo`yicha aniqlanuvchi * ayirmali operator notekis shablonda Laplas operatorini birinchi tartibda approksimatsiya qiladi.

Bizga Laplas operatorini notekis shablonda approksimatsiya qilishning ikkinchi usuli ham kerak bo`ladi. (14) formula o`rniga

hvv

hvv

hv

)()(*

111, )h,hmax(h , (16)

123

ega bo`lamiz va demak

x€x

* vh

v .

Bu holda * operator nolinchi tartibli lokal approksimatsiyaga ega bo`ladi

)(OuLu* 1 . Haqiqatdan ham (15) ni hisobga olib, quyidagini olamiz:

)(OuLh

hhh,hmax)(OuLh

hh

)(Oxuhh

huL

huLu*

22

21

31 2

3

3

,)(O)(OuLh

hh 12

chunki

.)(Ovhhhv

h)(Ovhhvhh

h

)(Ovhvhv)(Ovhvhvhh

vvu xx*

2322

32

32

621

62621

(16) approksimatsiyadan qanday holatda foydalanishni quyidagi misolda ko`rsatamiz. Misol. Ushbu

010010 )(u,)(u,x),x(fu birinchi jinsli chegaraviy masalani qaraymiz.

Approksimatsiya uchun chegara yaqinida tekis bo`lmagan 21111 121 hxx,N,...,,i,hxx,hx,x€ NNiiih

to`rni tanlaymiz, 112121 h)N(hh,hh,hh . Ichki xi, 1<i<N regulyar tugunlarda

211 2

huuuu~u iii

i,xxi

,

chegaraviy tugunlarda esa

huu

huu

hu~u,

huu

huu

hu~u NNNN

N*

N* 1

2

1

1

011211

11

approksimatsiyalarga ega bo`lamiz. Natijada quyidagi chekli ayirmali sxemaga ega bo`lamiz

.yy),x(fy),x(fy,Ni,h)i(hx),x(fy

NNN**

iixx

0

11

1011

1

(17)

z=u-u uchun

,zz,x),x(z N 010 10 (18)

124

tenglamaga ega bo`lamiz, bu erda x1<xi<xN bo`lganda xxzz , i=2, 3, ...,N-1 bo`lganda

,zz,zz N*

N* 11 )h(Oi

2 , i=1, N da esa )(Oi 1 . Sxema i=1, N chegaraviy tugunlarda approksimatsiyaga ega bo`lmasa ham, (17) sxema S

fazoda ikkinchi tartibli aniklikga ega: )( 2hOzc .

Bu baxoni olish uchun (18) tenglamani x=x1, xN da yozamiz

,hzz

hzz

h,

hzz

hzz

hNNNN 0101 1

2

1

1

0112

bu erda NN hhz,hhz 21110 . SHunday qilib, (18) masala

,z,xxx),x(z *Nixx 011

,hhz,hhz,z NNN* 21100

masalaga ekvivalent bo`ladi. Ushbu

N

i

N

kkNc hhz,zmaxz

1 110 ,

aprior bahodan foydalanamiz. Bundan

2

1211 Mhmaxhhhhuyz iNiNcc

,

kelib chiqadi, ya`ni (17) sxema ikkinchi tartibli aniqlikga ega.

3. To`g`ri to`rtburchakda Dirixle ayirmali masalasi

22110 00 lx,lxG tomonlari l1 i l2 bo`lgan to`g`ri to`rtburchak bo`lsin, G –

uning chegarasi. 00 GG da Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini qaraymiz:

)x(u,G)x,x(x),x(fu 021 . (1’)

0G da 111 N/lh va 222 N/lh qadamlar bilan h to`rni quramiz, bu erda N1>0 va

N2>0 - butun sonlar. Buning uchun 2222211111 00 21 N,i,hix,N,i,hix )i()i( ikki to`g`ri chiziqlar oilasini quramiz.

x2 (i1h1, i2h2) l2 0 l2

125

Bu to`g`ri chiziqlarning i1h1 va i2h2 koordinatalardagi kesishish nuqtasini x=(i1h1, i2h2)

tugun deb ataymiz. Umumiy ichki tugunlar soni (N1-1)(N2-1) ga teng. To`g`ri to`rtburchak chegarasida yotuvchi tugun (i1=0,N1 yoki i2=0,N2 bo`lganda), quyidagi

to`rtta (0,0), (0,l1), (0,l2), (l1,l2) nuqtadan tashqari nuqtalarni chegaraviy tugunlar deb ataymiz. Ular )h,i,h,i(h 2211 to`plamni tashkil qiladi. Barcha ichki va chegaraviy tugunlar to`plamini

hhh to`r deb ataymiz.

Har bir hx ichki tugunda besh nuqtali «xoch» regulyar shablonni qurish mumkin,

bunda )(x 1=1, 2 tugunlar h (ya`ni, yoki h , yoki h ) da yotadi. SHuning uchun u

Laplas operatorini barcha ichki tugunlarda

2211 xxxx uuu

ayirmali operator bilan almashtirish mumkin. (1’) tenglamaning o`ng qismi- f(x) ni (x) to`r funtsiya bilan shunday approktsimatsiya

qilish mumkinki )(C)x(f,hO)x(f)x( 22 bo`ladi. f(x) funktsiyaning uzluksizligini

hisobga olib, (x)=f(x) deb faraz qilamiz.

(1') masalaga mos keluvchi ayirmali Dirixle masalasini qo`yamiz: ichki tugunlarda ( h da)

2211 xxxx yyy),x(fy (19)

tenglamani qanoatlantiruvchi h da aniklangan va h chegarada

y(x)=(x), xh. (20) qiymatlari berilgan u(x) to`r funktsiyani topish kerak.

21 hh da )G(h 0 to`r to`g`ri to`rtburchakli, h1=h2=h da esa kvadrat to`r deyiladi.

y uchun kvadrat to`rda to`liq ifodani yozamiz

yyyyyh

y )l()l()l()l( 412211

2 .

0 bo`lsin. 0y tenglamani u ga nisbatan echamiz:

)l()l()l()l( yyyyy 2211

41 .

SHablon markazidagi u ning qiymati qolgan to`rtta tugundagi u larning o`rta arifmetik qiymatiga teng bo`ladi. Bu formula garmonik funktsiya uchun o`rta qiymat formulasining chekli ayirmali analogi bo`ladi.

(19), (20) dan ko`rinib turibdiki, (x) larning to`g`ri to`rtburchakning uchlaridagi qiymatlaridan foydalanilmaydi. Bu esa h ni qanday tarzda tanlaganimizni izohlab beradi. Uchinchi chegaraviy masala xolatida 4hO sxema h chegaraning barcha nuqtalaridan tashkil topadi

(to`rtburchak uchilarining nuqtalari ham kiradi). (N1-1)(N2 -1) tartibli(19) algebraik tenglamalar sistemasini sonli echish usullari keyin ko`rib

chiqiladi. (19)-(20) ayirmali sxema aniqligini baxolash uchun z=y–i ayirmani tuzamiz, bu erda u –

126

(19), (20) masalaning echimi, i - (1’) masalaning echimi. y=z+u ni (1’) ga quyib, z uchun quyidagi masalaga ega bo`lamiz даh :

,z,z h 0эса да (21)

bu erda fu - (1’) tenlamani approoksimatsiyalashdagi (19) sxema xatoligi.

LuuLuLufu bo`lganda Lu+f=0 bo`ladi, ya`ni Luu . (8)

dan kelib chiqadiki, uC(4) bo`lganda 42

422

41

421

1212 xuh

xuh

, bu erda yuqori chiziqcha

argumentlarning mos ravishda (x1-h1, x2), (x1+h1, x2) va (x1, x2-h2), (x1, x2+h2) intervallardagi ba`zi o`rtacha nuqtadagi qiymatlari olinganini bildiradi.

4

4

,4 max

xuM

G

deb belgilab, 12

2

4

hM ga ega bo`lamiz.

To`g`ri to`rtburchakda

21010 021

21 ,,lx,x,N,...,,i),x,x(x€ )N()()i()i(ih

)i()i()i()i()i()i( xxh,xxh 1

2221

111222111 qadamlar bilan notekis to`r ham kiritilishi mumkin.

Bu xolatda (13) ayirmali operatordan foydalanib (19), (20) o`rniga

)x(y,€x,yyy),x(fy hx€xx€x 2211 (22)

masalani olamiz. Bu sxema birinchi lokal tartibli approksimatsiyaga ega bo`ladi

2

1

23

31

31

2211)(O)(O

xuhh)x(fuu)x(fu )i()i(

ix€xx€xii ,

22

21

2 .

4. Ayirmali tenglamani kanonik shaklda yozish

Regulyar tugunda 2p+1 nuktali fy sxemani qaraymiz

p

)()( fyyyh1

112 21

.

Bu tenglamani quyidagicha ifodalaymiz

)x(fyyh

)x(yh

p p)()(

1 1

1122

12. (23)

(23) tenglamani notekis bo`lgan shablon uchun ham yozish mumkin. (23) tenglamani kanonik shaklda yozamiz

,x),x(F)(y),x(B)x(y)x(A)x('Ш

h

(24)

127

bu erda SH'(x) - markazi x nuktada bo`lgan (2r+1)- nuqtali «xoch» shablonning x tugundan tashqari, ya`ni x , 2r tugunlari to`plami. SH'(x) to`plamni x tugunning atrofi deb ataymiz. A(x) va V(x,) - tenglamaning berilgan koeffitsentlari. (23) dan ko`rinadiki,

.x),x(A),x(B,),x(B,)x(A)x('Ш

h

00

(24) tenglamaga )x(yh

shart qo`shiladi.

Ayirmali Dirixle masalasi quyidagi umumiy masalaning xususiy xoli hisoblanadi:

hhh da aniqlangan

)x('Ш

)x(F)(y),x(B)x(y)x(A

tenglamani hamda hh x),x()x(y,x shartni qanoatlantiruvchi u(x) to`r

funktsiyani topish kerak, bu erda barcha hx uchun: 000

)x('Шx),x(B)x(A)x(D,),x(B,)x(A .

O`z-o`zini tekshirish uchun savollar va topshiriqlar

1. Ko`p o`lchamli sohada Dirixli masalasi qanday qo`yiladi? 2. Regulyar shablonda Laplas operatori qanday approksimatsiyalanadi? 3. Notekis shablonda Laplas operatori qanday approksimatsiyalanadi? 4. Notekis shablonda Laplas operatori xatoligi qanday baxolanadi? 5. To`g`ri to`rtburchakda Dirixle masalasi qanday qo`yiladi? 6. Puasson tenglamasi uchun ayirmali sxema kanonik ko`rinishga qanday keltiriladi?

128

15-ma’ruza INTEGRAL TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI

Ma`ruza rejasi 1. Birinchi va ikkinchi tur Fredgolm va Volter integral tenglamalari 2. Fredgolm teoremasi 3. Mexanik kvadraturalar usuli 4. Yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida yechish usuli 5. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli

Kalit so`zlar: Fredgolm va Volter integral tenglamalari, integral xad kvadraturasi,

“ko`paytma” yadro, ketma-ket yaqinlashish

Quyidagi tenglama

)x(fds)s(y)s,x(Kb

a

(1)

Fredgolmning birinchi tur tenglamasi,

)x(fds)s(y)s,x(K)x(yb

a

(2)

- tenglama esa Fredgolmning ikkinchi tur tenglamasi deb ataladi. Vol’terning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi

)x(fds)s(y)s,x(Kx

a

, (3)

)x(fds)s(y)s,x(K)x(yx

a

, (4)

bunda )x(f , )s,x(K - berilgan funksiyalar, )x(y - qidirilayotgan funksiya. Ayrim masalalarni echishda differentsial tenglamalardan ko`ra integral tenglamalardan

foydalanish qulaydir. Misol uchun Koshi masalasining qo`yilishini

00 y)x(y),y,x(fdxdy

integral ko`rinishda ifodalash mumkin

x

x

ds))s(y,s(fyy0

0 .

Shunday qilib, integral tenglama to`liq qo`yilgan masaladan iborat, uning uchun qo`shimcha (boshlang`ich va chegaraviy) shartlar berilishi kerak emas.

Endi ikkinchi tur tenglamalari uchun masalalarni qaraymiz. Birinchi tur uchun masalalar nokorrekt qo`yilgan.

Agar (2) tenglamaning o`ng tomoni nolga teng bo`lsa, u holda quyidagi ko`rinishda ifodalash mumkin bo`lgan ikkinchi tur birjinsli Fredgolm tenglamasi hosil bo`ladi

b

a

ds)s(y)s,x(K)x(y , (5)

bxa . 0)x(y bu tenglamaning nol (trivial) yechimi bo`ladi. Uning uchun xos qiymat

masalasini qo`yish mumkin. Agar (5) tenglama )x(y i noldan farqli yyechimga ega bo`lsa, i

129

parametrlar )s,x(K yadroning yoki (5) tenglamaning xos qiymatlari deyiladi, ularga mos )x(i yechimlar esa xos funksiyalar deyiladi.

Fredgolm teoremasi. Agar son )s,x(K yadroning xos qiymati bo`lmasa, u holda birjinslimas (2) tenglama ]b,a[x da )x(y yagona uzluksiz yechimga ega bo`ladi, aks holda bu birjinslimas tenglama yoki yechimga ega bo`lmaydi yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi. Amaliyotda )x,s(K)s,x(K bo`lgan haqiqiy simmetrik yadroli Fredgolmning ikkinchi tur tenglamalari muhim rol o`ynaydi.

Simmetrik yadro uchun quyidagi xossalar o`rinli: 1) Simmetrik yadro xech bo`lmaganda bitta xos qiymatga ega bo`ladi; 2) Simmetrik yadroning barcha xos qiymatlari haqiqiydir; 3) Simmetrik yadroning xos funksiyalari ortogonal, ya`ni

ji,dx)x()x(b

aji 0 .

(4) Vol’ter tenglamasi xos qiymatlarga ega emas. Unga mos 0)( xf bo`lgandagi birjinsli tenglama faqat 0)( xy trivial yechimga ega. Haqiqatdan, (4) birjinslimas tenglama hamisha ning ixtiyoriy qiymatida yechimga ega va u yagonadir.

1. Mexanik kvadraturlar usuli

Biror-bir sonli integrallash formulasidan foydalanamiz

m

j

)m(jjm

b

a

)x(c)(Sdx)x()(J1 , (6)

bunda jc - umuman olganda m dan bog`liq. Quyidagi tenglikga ega bo`lamiz

)(R)(S)(J mm , (7) bu erda )(mR - (6) kvadratur formulaning qoldiq hadi. (2) tenglamani qaraymiz. (7) munosabat yordamida uni quyidagicha ifodalash mumkin

)x(f)Ky(R)x(y)x,x(Kc)x(y m

m

j

)m(j

)m(jj

1

, (8)

bu erda )( KyRm qoldiq xad, (6) kvadratur yordamida b

a

ds)s(y)s,x(K integralni

hisoblashdagi x o`zgaruvchining funksiyasidir. (8) tenglamada )m(ixx , m,i 1 deb olib

quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

)m(ixm

)m(i

m

j

)m(j

)m(j

)m(ij

)m(i |)Ky(R)x(f)x(y)x,x(Kc)x(y

1.

Qoldiq hadni tashlab yuborib chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (CHATS)ni hosil qilamiz

i

m

jj

)m(j

)m(iji fy)x,x(Kcy

1 , (9)

m,i),x(ff mii 1 .

Bu sistemani echish uchun CHATSni echishning standart usullarini qo`llash mumkin.

130

(9) tenglamalar sistemasini sistemaning matritsasi simmetrik bo`ladigan ko`rinishda almashtirish mumkin. Buning uchun (9) sistemaning i -inchi tenglamasini ic ga ko`paytiramiz va quyidagi simmetrik matritsali tenglamalar sistemasini olamiz

m,i,fcy)x,x(Kccyc ii

m

jj

)m(j

)m(ijiii 1

1

. (10)

Bunda )x,x(K )m(j

)m(i - simmetrik yadro.

Sistema matritsasini simmetrik holga keltirishning yana bir usuli quyidagicha. (9) da i -inchi tenglamani ic ga ko`paytiramiz va iii zyc deb olib, quyidagi tenglamalar sistemasi hosil qilinadi

ii

m

ji

)m(j

)m(ijii fcz)x,x(Kccz

1 . (11)

0ic bo`lganda sistema matritsasini simmetrik holga keltirishning ikkinchi usuli afzaldir. 2. Yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida integral tenglamalarni

yechish

Integral tenglamalarni yechishning boshqa klassik usullari (2), (4) masalalardagi )s,x(K - integral operator yadrosini “ko`paytma” yadro bilan almashtirishdir.

“Ko`paytma” yadro ushbu ko`rinishda ifodalanadi

q,)s(d)x(c)s,x(Kq

jjj

1.

Endi

q

jjj )s(d)x(c)s,x(K)s,x(K

1

0 (12)

bo`lsin deylik. Aniqlik maqsadida )x(c,...),x(c),x(c q21

va )s(d,...),s(d),s(d q21 lar chiziqli

erksiz bo`lsin deb faraz qilaylik. Aks holda )s,x(K 0 yadroni eng kichik qiymatli q bilan (12) ko`rinishda yozish mumkin.

(12) holda kutishga asos bor, chunki (2) tenglamani echish

)s(fds)s(y)s,x(K)x(yb

a

0 (13)

integral tenglamani yechishga yaqin. )s,x(K 0 ifodani (13) ga qo`yib quyidagi tenglikni olamiz

b

a

q

jjj ds)s(y)s(d)x(c)x(f)x(y

1 . (14)

Demak

q

jjj )x(cA)x(f)x(y

1 , (15)

bunda

b

ajj ds)s(y)s(dA .

131

Shunday qilib (2) tenglamani yechish jA koeffitsientlarni aniqlashga olib kelinadi.

)x(y uchun (15) ifodani (14) ga qo`yib, quyidagi munosabatni olamiz

01 11

b

a

q

i

q

jjjii

q

iii ds)s(cA)s(f)s(d)x(c)x(cA .

Bu tenglikni olishda ikki holatda j indeks i bilan belgilangan. Oxirgi tenglamani quyidagicha yozish mumkin

01

q

iii )x(cB ,

bunda

b

aji

q

jj

b

aiii ds)s(c)s(dAds)s(f)s(dAB

1 .

)x(ci larning chiziqli erksizligidan 0iB kelib chiqadi. iA ga nisbatan tenglamalar sistemaisni olamiz

)f,d(A)c,d(A i

q

jjjii

1 ,

bu erda b

a

dx)x(f)x(g)f,g( - skalyar ko`paytma. iA ni aniqlagandan so`ng quyidagi

ko`rinishdagi masala yechimiga yaqinlashishni olamiz

q

jjj )x(cA)x(f)x(y

1 .

3. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli

Fredgolm tenglamasini qaraymiz

b

a

ds)s(y)s,x(K)x(f)x(y . (16)

(16) tenglamani echishda chiziqlimas tenglama uchun oddiy iteratsiya usuliga o`xshash iteratsion jarayonni quramiz. )(0 xy - )(xy izlanayotgan funksiyaning boshlang`ich yaqinlashishi bo`lsin. U holda )(0 xy ni (16) ning o`ng tomoniga qo`yib

b

a

ds)s(y)s,x(K)x(f)x(y 01

munosabatni olamiz. Xuddi shunday topilgan qiymatni integral ostidagi ifodaga qo`yib )(2 xy topiladi va xokazo

jarayon davom ettiriladi. Ixtiyoriy 1k - inchi yaqinlashish uchun quyidagicha yozish mumkin

b

akk ds)s(y)s,x(K)x(f)x(y 1 , ...,1,0k

|| ning etarlicha kichik qiymatida va ),( sxK chekli yadroda bu iteratsion jarayon x bo`yicha tekis yaqinlashadi va bu yaqinlashish chiziqli bo`ladi. Yaqinlashishning yetarlilik sharti quyidagicha

1)(|| abM , (17) |),(|max

,sxKM

sx .

132

Ketma-ket yaqinlashishlar usulining yana bir variantida darajali qatorlardan foydalanishadi. Bunda )(xy izlanayotgan funksiya daraja bo`yicha qator ko`rinishida yoyiladi

0

)()(k

kk xxy . (18)

Bu yoyilmani (16) tenglamaga qo`yib, bir xil darajalardagi ifodalar tenglashtirilib, quyidagi rekurrent munosabatlarni olamiz

...,,k,ds)s()s,x(K)x(

),x(f)x(b

akk 211

0

Agar (17) shart bajarilsa, chegaralangan )s,x(K va )x(f larda (18) qator yaqinlashadi.


1. Birinchi va ikkinchi tur Fredgolm va Volter integral tenglamalarini yozing. 2. Integral tenglamalar uchun qo`shimcha shartlar berilishi kerakmi? 3. Fredgolm teoremasini ayting. 4. Mexanik kvadraturalar usuli qanday qo`llaniladi? 5. Integral tenglamani yechishda mexanik kvadraturalar usuli nimaga olib keladi? 6. Mexanik kvadraturalar usulini qo`llashda qanday qilib koeffitsientlari simmetrik matritsali

CHATSni olish mumkin? 7. Qanday yadrolar “ko`paytma” deyiladi? 8. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli yaqinlashishining yetarlilik shartini keltiring.

3 - BO’LIM

133


FANINI O’QITISHNING TA’LIM TEXNOLOGIYALARI

134

Mundarija

KIRISH “HISOBLASH USULLARI” KURSI BO’YICHA TA’LIM

TEXNOLOGIYASINING KONSEPTUAL ASOSLARI 1. «Hisoblash usullari» kursining dolzarbligi va o’qitish strukturasi 2. Mashg’ulotlar turlari bo’yicha o’quv soatlarining taqsimlanishi 3. «Hisoblash usullari» o’quv kursining mazmuni 4 O’quv kursi bo’yicha ma’ruza mashg’ulotlarda o’qitish

texnologiyalarini ishlab chiqish konseptual asoslari 1- mavzu Hisoblash usullarining predmeti va metodi. Xatoliklar nazariyasi va ularni kelib

chiqish manbalari 2- mavzu Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechish usullari 3- mavzu Chziqli algebraik tenglamalar sistamasini yechish usullari 4- mavzu Chziqlimas tenglamalar sistamasini yechish usullari

5- mavzu Matrisaning xos son va xos vektor masalasini yechishning ussullari 6-mavzu Interpolyatsiya masalasi. Lagranj va Nyuton interpolystsion

ko`phadlari 7- mavzu Funksiyalarni sonli integrallash. To`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson

formulalari 8-mavzu Oddiy differensial tenglamalar uchun qo`yilgan masalalarni yechish.

Koshi masalasi. Eyler, Runge-Kutta ussullari 9- mavzu Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy

masalalarni yechish usullari. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari.

10- mavzu Chekli ayirmali sxemalar (ChAS) to’g’risida tushunchalar. Differensial operatorning ChA approsimatsiyasi

11- mavzu ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani o`q otish va ChAlar usuli bilan yechish. Progonka usuli.

12- mavzu Bir o’lchamli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish 13- mavzu To’lqin tenglamasi uchun qo`yulgan masalani chekli ayirmalar usuli

bilan yechish 14- mavzu Laplas operatorini tekis va notekis to`rda approksimatsiya qilish.

Puasson tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi 15-mavzu Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

135

KIRISH

YuNESKO tomonidan tan olingan pedagogik texnologiya oqimi 30-yillarda AQShda paydo bo’ldi va 70-80 yillarda barcha rivojlangan mamlakatlarni qamrab oldi.

Ta’lim nazariyasi va amaliyotida o’quv jarayoniga texnologik xususiyatni berish uchun 50-yillarda birinchi urinishlar qilib ko’rilgan. Ular o’z ifodasini an’anaviy o’qitish uchun mo’ljallangan majmuali texnik vositalarning yaratilishida namoyon qiladi.

Hozirgi vaqtda “pedagogik texnologiya ta’lim berishning texnik vositalari yoki kompyuterdan foydalanish sohasidagi tadqiqotlardek qaralmay, balki bu ta’limiy samaradorlikni oshiruvchi omillarni tahlil qilish yo’li orqali, yo’l va materiallarni tuzish hamda qo’llash, shuningdek qo’llanilayotgan usullarni baholash orqali ta’lim jarayoni tamoyillarini aniqlash va eng maqbul yo’llarini ishlab chiqish maqsadidagi tadqiqotdir” (Mejdunarodnыy yejegodnik po texnologii obrazovaniya i obucheniya, 1978/79. London, Nyu-York, 1978).

Pedagogik amaliyotda yangi yo’l va vositalarini jadal tatbiq etilayotganligini kuzatish mumkin. Biroq ba’zi ta’lim shakl va faol usullar o’rniga bo’linmas ta’limiy texnologiyalar zarur. Lekin ta’limiy jarayonni texnologiyali loyihalashtirish va rejalashtirishni, faqat texnologik bilim, ko’nikma va malakalarga ega bo’lgan o’qituvchi bajara olishi mumkin.

Texnologik bilimlar tizimi quyidagi tashkil etuvchilardan iborat: tushunchaga oid qism - texnologiyalashtirishning murakkabroq bo’lgan toifa va qoidlarini

o’rganishga yo’l; ta’lim texnologiyasining tarkibiy qismi va harakatlanuvchi tuzilma - ta’lim jarayonini

bashoratlash va loyihalashtirish asosi to’g’risida tushuncha; ta’limiy texnologiyalarning konseptual asoslari - har qanday ta’lim texnologiyasi negiziga

pedagogik va psixologik fanlar yutug’ida ifodalangan pedagogik g’oya asos bo’ladi; maqsadni belgilash - pedagogik vazifalar aniqlangan bo’lsa va o’quv faoliyatining yakuniy

natijalari bir ma’noda ifodalangan bo’lsa, boshlanish shartlari ma’lum bo’lsa, ta’lim jarayonini loyihlashtirish mumkin; ta’lim berish modeli – maqbul yo’l (usul va shakl)lar va vositalar yig’indisi - mavjud

sharoitlar va belgilangan vaqtda obyektning boshlang’ich holatini o’zgartirish bo’yicha ko’zlanayotgan natijalarga erishish kafolati; boshqaruvning yo’l va vositalar yig’indisi - bashoratlash, loyihalashtirish, rejalashtirish,

tashkillashtirish, nazorat va baholash, shuningdek tezkor o’zgartirish to’g’risida boshqaruv xulosasini qabul qilish maqsadida ta’lim jarayonini uzluksiz va muntazam kuzatish - monitoring.

Siz ta’lim berishni texnologiyalashtirish asosini o’rganishni boshlashingizdan avval, quyidagi maslahat va tavsiyalarga e’tiboringizni qarating.

1. Texnologiyalashtirish asosida ifodalangan va bu bilan albatta siz tanishishingiz zarur bo’lgan qoidalar, shu zahoti sizga tushuntirish bermaydi, faqat ko’zlanayotgan maqbul va samarali natijaga erishish uchun nima ish qilish zarurligini ko’rsatadi.

Har bir yo’l va vosita o’qituvchi-texnolog tomonidan, u intilayotgan, yakuniy natijaga erishishga ko’rinarli qo’shgan hissasi tomoni bilan baholanishi zarur. Qoidaning maqbulligini talqin qila turib, e’tiborni nafaqat unga, uni qo’llashni nazarda tutuvchi vaziyat yoki sharoitlarga qaratish zarur. Gap shundaki, qoidalar odatda formula emas, boshqaruv xususiyatga ega bo’ladi, madomiki ularni qo’llash mumkin bo’lgan, ta’lim jarayoni sharoitida ayrim noaniqliklar bor. Bundan tashqari, avvalda shu narsani o’quv vaziyatida qo’llab, muvaffaqiyatga erishgan o’qituvchi-amaliyotchi yoki hammaga ma’lum bo’lgan ta’lim berish texnologiyasining muallifida, shuni qoidasiz umumlashtirishdagi xatoliklar tarqalgan. Mohiyat shundaki, barcha turli-tumanlikdan mavjud sharoitda va o’quv rejasida berilgan vaqtda ko’zlanayotgan natijaga erishishni kafolatli ta’minlaydigan, so’ngra esa undan shu sharoit uchun mos keladigan, ta’lim berish texnologiyasining - yagona majmuini loyihalashtirish mumkin bo’ladigan, axborot, muloqot va boshqaruvning shunday yo’l va vositalarini baholashi, farqlashi va tanlashni uddalashi muhim.

2. Mashhur marketolog Dj. O’Shonessining “...kitoblar hyech qachon tajriba o’rnini bosa olmaydi degan fikriga qo’shilish mumkin. Mahoratli oshpaz oshpazlik to’g’risida kitob yozishi mumkin, uni tayyorlash yo’liga amal qilib, xuddi shunday chiqishini kutmaslik kerak, chunki uning

136

mahorati bilan taqqoslab bo’lmaydi - berilgan qoidani ishlatib muhim ko’nikma va malakalar ega bo’lish mumkin emas, ular faqat amaliyotda egallanadi va “qo’llaniladigan donishmandlik” deb ataluvchi amaliyotli donishmandlik bilan mustahkamlanadi, ya’ni vaziyat bilan muvofiqlikdagi donishimandlik” (Dj. O’Shonessi, 2000).

3. “Ta’lim jarayonini ixtiyoriy qurish va amalga oshirishdan, uning har bir qism va bosqichlarini izchil asoslangan, yakuniy natijani haqqoniy tashxislashga yo’naltirilgan” ga o’tish uchun asos zarur (V. Bespalko, 1989).

Agarda siz ta’lim jarayonini texnologiyalashtirishga o’tish muhimligini anglamas ekansiz, unda “biz yangi texnologiyalarning yutug’larini bermaylik, paydo bo’lgan muntazamlik mexanizmini chiqarib tashlay olmaydi, yo bo’lmasa majbur qilingan texnologiyalar ziyonli natijalarni ko’paytirishi mumkin”.

4. Nihoyat, shaxsiy ta’lim berish texnologiyasini loyihalashtirish va mavjud ta’lim berish texnologiyasini qo’llash “o’qituvchi, vaziyat madaniyati, shuningdek shaxsiy yoki talabalarning shaxsiy xususiyatlari bilan yuzma-yuz kelish yo’nalishi bilan ish tutmog’i kerak” (Ye.S. Polat, 2000).

«Hisoblash matematikasi» fani bo’yicha ta’lim texnologiyalari ma’ruza mashg’ulotlarni texnologiyalashtirish qoidalari asosida ishlab chiqildi.

Mazkur qo’llanma kirish, ta’lim texnologiyasining konseptual asoslari, ma’ruza mashg’ulotlarida o’qitish texnologiyalari, kurs bo’yicha monitoring va mustaqil ishni tashkil qilish texnologiyasi qismlaridan iborat.

Konseptual asoslar qismida «Hisoblash matematikasi» o’quv kursining dolzarbligi va o’qitish strukturasi, kursning mazmuni, o’quv kursi bo’yicha ma’ruza mashg’ulotlarida o’qitish texnologiyalarini ishlab chiqishning konseptual asoslari yoritib berilgan. Ma’ruza mashg’ulotlarida 4 xil : kirish, kuzatish, muloqot va yakunlovchi ma’ruza. Keltirilgan ta’lim texnologiyasi «Hisoblash matematikasi» fani o’qitiladigan barcha oliy o’quv yurtlari, malaka oshirish kurslarida, akademik lisey va kasb-hunar kollejlarida o’qituvchi tomonidan qo’llanilishi mumkin.

Mualliflar mazkur ta’lim texnologiyasini yaratishda avtorlar kollektivi: A.Sh.Bekmurodov, L.V.Golish, O.B.Gimranova, D.M.Fayzullayeva va boshkalar tomonidan ishlab chikilgan «Pedagogik texnologiyalarni loyihalashtirish va rejalashtirish» nomli uslubiy qo’llanmasidan (Toshkent. TDIU, 2010) foydalandilar.

137

«Hisoblash usullari»

O’QUV KURSI BO’YICHA TA’LIM TEXNOLOGIYASINING

KONSEPTUAL ASOSLARI

Mamlakatimizda olib borilayotgan keng ko’lamli isloxotlar ko’p jixatdan uzluksiz ta’lim

tizimini shaklantirishni taqozo etadi. Yangicha fikrlaydigan, bozor iqtisodiyoti sharoitlarida

muvaffaqiyatli faoliyat yurita oladigan malakali, chuqur bilimli mutaxassislarni, ayniqsa aniq fanlar

soxasida faoliyat yurituvchi kadrlarni tayerlash davr talabi bo’lib qoldi.

Amaliyotdagi ko’pchilik masalalarda taqribiy hisoblashlar keng qo’llaniladi. Jamiyat

hayotining barcha sohalarida zamonaviy axborot texnologiyalarini, kompyuter texnikasini

ommaviy ravishda joriy etishlishi hisoblash matematikasi usullari yordamida sonli

eksperimentlarni amalga oshirishga keng imkoniyatlar yaratdi. Oddiy tenglamani sonli yechishlan

tortib kosmik jismlarning harakati tenglamalarini taqribiy yechishning zamon talabidan biri

hisoblanadi.

Demak, aniq va tabiiy fanlar yo’nalishida ta’lim olayotgan talabalarni davr

talabiga javob bera oladigan yetuk mutaxassis bo’lib yetishishlarida, ularga

«Hisoblash usullari» fanini o’qitish – davr talabidir.

«Hisoblash usullari» fani bo’yicha ma’ruza mashg’ulotlari 30 soatdan iborat.

1. «Hisoblash usullari» kursining dolzarbligi va o’qitish strukturasi

138

Ma’ruza mashgulotlari

T/r Mavzu soat

1. Hisoblash usullarining predmeti va metodi. Xatoliklar nazariyasi va ularni kelib chiqish manbalari

2

2. Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechish usullari 2 3. Chziqli algebraik tenglamalar sistamasini yechish usullari 2 4. Chziqlimas tenglamalar sistamasini yechish usullari 2 5. Matrisaning xos son va xos vektor masalasini yechishning ussullari 2 6. Interpolyatsiya masalasi. Lagranj va Nyuton interpolystsion ko`phadlari 2 7. Funksiyalarni sonli integrallash. To`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson

formulalari 2

8. Oddiy differensial tenglamalar uchun qo`yilgan masalalarni yechish. Koshi masalasi. Eyler, Runge-Kutta ussullari

2

9. Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechish usullari. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari.

2

10. Chekli ayirmali sxemalar (ChAS) to’g’risida tushunchalar. Differensial operatorning ChA approsimatsiyasi

2

11. ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani o`q otish va ChAlar usuli bilan yechish. Progonka usuli.

2

12. Bir o’lchamli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish 2 13. To’lqin tenglamasi uchun qo`yulgan masalani chekli ayirmalar usuli bilan

yechish 2

14. Laplas operatorini tekis va notekis to`rda approksimatsiya qilish. Puasson tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi

2

15. Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari 2 Jami 30

2. Mashg’ulotlar turlari bo’yicha o’quv soatlarining taqsimlanishi

139

1-Mavzu. Hisoblash matematikasining predmeti va metodi. Xatoliklar nazariyasi va ularni

kelib chiqish manbalari

Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi, hisoblash matematikasining asosiy vazifasi

va usuli, metod (usul), model, masala, tenglama, operator, to’g’ri masala.

2-Mavzu. Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechish usullari

Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechish usullari. Ildizlarning yagonaligi, grafik

usulja ildizlarni ajratish, iteratsiya, Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar usullari.

3-mavzu. Chziqli algebraik tenglamalar sistamasini yechish usullari

Chziqli algebraik tenglamalar sistamasini yechish usullari. Gauss, oddiy iteratsiyalar, Zeydel

ussullari.

4-Mavzu. Chziqlimas tenglamalar sistamasini yechish usullari

Chziqlimas tenglamalar sistamasini yechishning oddiy iteratsiya va Zeydel usullari. Nyuton

usuli.

5-Mavzu. Matrisaning xos son va xos vektor masalasini yechishning ussullari

Matrisaning xos son va xos vektorni topishning qismiy masalasi. Oddiy iteratsiyalar usuli.

6-Mavzu. Interpolyatsiya masalasi. Lagranj va Nyuton interpolystsion ko`phadlari

Funksiyalarni taqribiy almashtirish. Lagranj va Nyuton interpolystsion ko`phadlari.

7-Mavzu. Funksiyalarni sonli integrallash. To`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson

formulalari

Funksiyalarni sonli integrallashning to`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson

formulalari. Usullarning xatoligi

8-Mavzu. Oddiy differensial tenglamalar uchun qo`yilgan masalalarni yechish. Koshi

masalasi. Eyler, Runge-Kutta ussullari

3. «Hisoblash usullari» o’quv kursining mazmuni

140

Koshi masalasi. Oddiy differensial tenglamalar uchun qo`yilgan masalalarni yechishning Eyler

va Runge-Kutta ussullari

9-Mavzu. Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni

yechish usullari. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari.

ODT uchun qo`yilgan chegaraviy masala. ODT uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni

yechishning kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari.

10-Mavzu. Chekli ayirmali sxemalar (ChAS) to’g’risida tushunchalar. Differensial

operatorning ChA approsimatsiyasi

Chekli ayirmali sxemalar (ChAS) to’g’risida tushunchalar. Differensial operatorning ChA

approsimatsiyasi. ChA masalaning qo’yilishi. Approksimatsiya, korrektlik, turg’unlik, yaqinlashish.

Ular o’rtasidagi bog’lanish.

11-Mavzu. ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani o`q otish va ChAlar usuli bilan

yechish. Progonka usuli.

ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani o`q otish va ChAlar usuli bilan yechish. Chiziqli

algebraik tenglamalar sistemasini yechishning progonka usuli. Progonka usuli turg`unligi

12-Mavzu. Bir o’lchamli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish

Masalaning berilishi. Olti nuqtali sxemalar oilasi. Olti nuqtali sxemalarning

xususiy hollari. Approksimatsiya aniqligi. Uch qatlamli sxemalar

13-Mavzu. To’lqin tenglamasi uchun qo`yulgan masalani chekli ayirmalar usuli bilan yechish

Tor tebranish tenglamasi uchun umumiy boshlang`ich-chegaraviy masalaning qo`yilishi. Bir

parametrli ayirmali approksimatsiya. )h(O 22 approksimatsiyali masala. Approksimatsiya

xatoligi. Uzilishga ega koeffitsientlar bilan umumiy masala.

14-Mavzu. Laplas operatorini tekis va notekis to`rda approksimatsiya qilish. Puasson

tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi

141

Ko`p o`lchovli sohada Dirixle masalasi. Laplas operatorining ayirmali approksimatsiyasi.

Laplas operatorining «xoch» notekis shablonda approksimatsiyasi. Misol. Sxema xatoligini

baxolash. Ayirmali tenglamaning kаnonik shakli

15-Mavzu. Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Birinchi va ikkinchi tur Fredgolm va Volter integral tenglamalari. Fredgolm teoremasi.

Mexanik kvadraturalar usuli. Yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida yechish

usuli. Ketma-ket yaqinlashishlar usuli

142

O’zbekiston mustaqilligining dastlabki kunlaridanoq yuksak malakali va yangicha

dunyoqarashga ega bo’lgan milliy kadrlarni tayyorlash, hayotimizda muhim ahamiyatga ega

bo’lgan masalalar qatorida ta’lim- tarbiya tizimini tubdan isloh qilish, uni zamon talablari

darajasiga ko’tarish, barkamol avlodni tarbiyalab voyaga yetkazish dolzarb masala bo’lib qoldi.

Hozirgi kunda innovasion texnologiyalar, pedagogik va axborotlar texnologiyalarini o’quv

jarayonida qo’llashga bo’lgan qiziqish, e’tibor kundan – kunga kuchayib bormoqda, bunday

bo’lishining sabablaridan biri, shu vaqtgacha an’anaviy ta’limda o’quvchi talabalarni faqat tayyor

bilimlarni egallashga o’rgatilgan bo’lsa, zamonaviy texnologiyalar ularni egallayotgan bilimlarini

o’zlari qidirib topishlari, mustaqil o’rganib tahlil qilishlariga, hatto xulosalarni ham o’zlari

chiqarishlariga o’rgatadi.

Aytilganlardan kelib chiqqan holda «Hisoblash matematikasi» o’quv kursi

bo’yicha ta’lim texnologiyasini loyihalashtirishdagi asosiy konseptual

yondoshuvlarni keltiramiz:

Shaxsga yo’naltirilgan ta’lim. Bu ta’lim o’z mohiyatiga ko’ra ta’lim

jarayonining barcha ishtirokchilarini to’laqonli rivojlanishlarini ko’zda tutadi. Bu esa

ta’limni loyihalashtirilayotganda, albatta, ma’lum bir ta’lim oluvchining shaxsini

emas, avvalo, kelgusidagi mutaxassislik faoliyati bilan bog’liq o’qish maqsadlaridan

kelib chiqqan holda yondshilishni nazarda tutadi.

Tizimli yondoshuv. Ta’lim texnologiyasi tizimning barcha belgilarini o’zida

mujassam etmog’i lozim: jarayonning mantiqiyligi, uning barcha bo’g’inlarini o’zaro

bog’langanligi, yaxlitligi.

Faoliyatga yo’naltirilgan yondoshuv. Shaxsning jarayonli sifatlarini

shakllantirishga, ta’lim oluvchining faoliyatni aktivlashtirish va intensivlashtirish,

o’quv jarayonida uning barcha qobiliyati va imkoniyatlari, tashabbuskorligini

ochishga yo’naltirilgan ta’limni ifodalaydi.

Dialogik yondoshuv. Bu yondoshuv o’quv munosabatlarida ta’lim beruvchi va

ta’lim oluvchi o’rtasidagi muloqotni yaratish zaruriyatini bildiradi. Uning natijasida

4. O’quv kursi bo’yicha ma’ruza mashg’ulotlarda o’qitish texnologiyalarini ishlab chiqish konseptual asoslari

143

shaxsning o’z-o’zini faollashtirishi va o’z – o’zini ko’rsata olishi kabi ijodiy faoliyati

kuchayadi.

Hamkorlikdagi ta’limni tashkil etish. Demokratlilik, tenglik, ta’lim beruvchi

va ta’lim oluvchi faoliyat mazmunini shakllantirishda va erishilgan natijalarni

baholashda birgalikda ishlashni joriy etishga e’tiborni qaratish zarurligini bildiradi.

Muammoli ta’lim. Ta’lim mazmunini muammoli tarzda taqdim qilish orqali

oluvchi faoliyatini aktivlashtirish usullaridan biri. Bunda ilmiy bilimni obyektiv

qarama-qarshiligi va uni hal etish usullarini, dialektik mushohadani shakllantirish va

rivojlantirishni, amaliy masadadarni taqribiy yechiщda, sonli eksperimentlar

o’tkazishda ijodiy tarzda qo’llashni mustaqil ijodiy faoliyati ta’minlanadi.

Axborotni taqdim qilishning zamonaviy vositalari va usullarini qo’llash –

yangi kompyuter va axborot texnologiyalarini o’quv jarayoniga qo’llash demakdir.

Keltirilgan konseptual yo’riqlarga asoslangan holda, «Hisoblash matematikasi»

kursining maqsadi, tuzilmasi, o’quv axborotining mazmuni va hajmidan kelib

chiqqan holda, ma’lum sharoit va o’quv rejasida o’rnatilgan vaqt oralig’ida

o’qitishni, kommunikasiyani, axborotni va ularni birgalikdagi boshqarishni

kafolatlaydigan usullari va vositalari tanlovi amalga oshirildi.

O’qitishning usullari va texnikasi. Ma’ruza (kirish, mavzuga oid, vizuallash),

muammoviy usul, keys-stadi, pinbord va loyihalar usullari, amaliy ishlash usuli.

O’qitishni tashkil etish shakllari: dialog, polilog, muloqot xamkorlik va o’zaro

o’rganishga asoslangan frontal, kollektiv va guruh.

O’qitish vositalari o’qitishning an’anaviy shakllari (darslik, ma’ruza

matni,elektron darslik) bilan bir qatorda – kompyuter va axborot texnologiyalari.

Kommunikasiya usullari: tinglovchilar bilan operativ ikki yoqlama aloqaga

asoslangan bevosita o’zaro munosabatlar.

Ikki yoqlama aloqa usullari va vositalari: kuzatish, blis-so’rov, oraliq va joriy

va yakunlovchi nazorat natijalarini tahlili asosida o’qitish diagnostikasi.

Boshqarish usullari va vositalari: o’quv mashg’uloti bosqichlarini belgilab

beruvchi texnologik karta ko’rinishidagi o’quv mashhulotlarini rejalashtirish,

qo’yilgan maqsadga erishishda o’qituvchi va tinglovchining birgalikdagi harakati,

144

nafaqat auditoriya mashg’ulotlari, balki auditoriyadan tashqari mustaqil ishlarning

nazorati.

Monitoring va baholash: o’quv mashg’ulotida ham butun kurs davomida ham

o’qitishning natijalarini rejali tarzda kuzatib borish. Kurs oxirida test topshiriqlari

yordamida tinglovchilarning bilimlari baholanadi.

145

MAVZU 1. HISOBLASH MATEMATIKASINING PREDMETI VA METODI

O’quv mashg’ulotida ta’lim texnologiyasi modeli

Vaqt: 80 min. Talabalar soni: 50 ta

O’quv mashg’ulotining shakli

Ma’lumotli kirish - ma’ruza

O’quv mashg’ulotining tuzilishi

1. O’quv kursi va mashg’ulot mavzusiga kirish 2. Bilimlarni faollashtirish - aqliy hujum 3. Ma’ruza matnini tarqatish 4. Ma’ruzani Power Point taqdimoti bo’yicha olib

borish. 5. Asosiy atamalarni aniqlash-pinbord 6. Hisoblash matematikasining kelib chiqish tarixi. 7. Hisoblash matematikasining asosiy vazifasi va

usuli.

O’quv mashg’ulot maqsadi: O’quv fani to’g’risida umumiy tasavvurlarni berish Pedagogik vazifalar:

- Hisoblash matematikasi (HU) fanining ahamiyati va vazifalari, uni o’quv fanlar tizimida tutgan o’rni bilan tanishtirish; - HU o’quv fani tuzilishini va tavsiya etilayotgan o’quv-uslubiy adabiyotlarni sharhlash; - HU nazariya va amaliyot sohasidagi yutuqlarni yoritish; - HU fan miqyosidagi uslubiy va tashkiliy ishlar xususiyatlari, muddat va baholash shakllarini ochib berish; - HU tarixi bilan tanishtirish; - HU predmeti tasnifini berish; - HU vazifa va usullarini tushuntirish; - HU boshqa fanlar bilan aloqasi ochib berish

O’quv faoliyat natijalari: - HU fanning ahamiyati va vazifalarini ifodalaydilar; - HU o’quv fani tuzilishini va tavsiya etilayotgan o’quv-uslubiy adabiyotlarni sharhlaydilar; - HU nazariya va amaliyot sohasidagi yutuqlarni yoritadilar; - HU fan miqyosidagi uslubiy va tashkiliy ishlar xususiyatlarini, muddat va baholash mezonlari va shakllarini yozib oladilar; HU kelib chiqish tarixini aytib beradilar; HU predmetini tasniflaydilar; HU vazifalari va usullarini aytib beradilar; HUning boshqa fanlar bilan aloqasi tartibli ravishda ochib beradilar

Ta’lim usullari Ma’ruza, pinbord, aqliy hujum Ta’limni tashkillashtirish shakli

Ommaviy, jamoaviy

Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, kompyuter, grafikli tashkil etuvchilar

Ta’lim berish sharoiti Maxsus texnik vositalar bilan jihozlangan xona

Monitoring va baholash Og’zaki so’rov: tezkor - so’rov. Ma’lumotli kirish - ma’ruzasining texnologik xaritasi

Ish Faoliyat mazmuni

146

bosqichlari va

vaqti

ta’lim beruvchi ta’lim oluvchilar

1-bosqich. O’quv

mashg’ulotiga kirish (20 daq.)

1.1. Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan natijalarni yetkazadi. Taqdimot bo’yicha ekranga fanning tuzilmaviy-mantiqiy chizmasini chiqaradi, mavzularning o’zaro aloqasini yoritadi, ularga qisqa tavsif beradi, fan miqyosida bajariladigan uslubiy va tashkiliy ishlar xususiyatlarini tushuntiradi. Reyting-nazorat tizimi, joriy, oraliq, va yakuniy nazoratni baholash mezonlari (№ 1.1 ilova) bilan tanishtiradi. Mavzu bo’yicha asosiy tushunchalarni; mustaqil ishlash uchun adabiyotlar ro’yxatini aytadi. 1.2. Birinchi o’quv mashg’uloti mavzusi, maqsad va o’quv faoliyat natijalarini aytadi. 1.3. Aqliy hujum usuli yordamida ushbu mavzu bo’yicha ma’lum bo’lgan tushunchalarni aytishni taklif etadi va bilimlarni faollashtiradi. (№ 1.2 ilova) Aqliy hujum usuli qoidasini (№ 1.3 ilova) eslatadi. Barcha aytilayotgan takliflarni yozuv taxtasiga yozib boradi. Ushbu ish mashg’ulot yakunida tugatilishini ma’lum qiladi.

Tinglaydilar, yozib oladilar. Tushunchalarni aytadilar

2-bosqich. Asosiy (50 daq.)

2.1. Mavzu bo’yicha ma’ruza matnini tarqatadi va uning rejasi, asosiy tushunchalar bilan tanishishni taklif qiladi. 2.2. Slaydlarni Power Pointda namoyish va sharhlash bilan mavzu bo’yicha asosiy nazariy holatlarni bayon qiladi. Jalb qiluvchi savollar beradi; mavzuning har bir qismi bo’yicha xulosalar qiladi; eng asosiylariga e’tibor qaratadi; berilayotgan ma’lumotlarni daftarga qayd etishlarini eslatadi. 2.3. Yozuv taxtasida yozilgan tushunchalarga qaytishni taklif etadi. Talabalar bilan birga fanga taalluqli bo’lmagan va qaytariluvchi ma’lumotlarni olib tashlaydi, muhim asosiy tushunchalarni (Pinbord) kiritadi (№1.4 ilova).

O’qiydilar. Tinglaydilar, jadval va chizmalarni daftarga ko’chirib oladilar. Savollar beradilar. Asosiy tushunchalarni muhokama qiladilar. Ma’lumotlarni daftarga qayd qiladilar.

147

3-bosqich. Yakuniy (10 daq.)

3.1.Mavzu bo’yicha yakun yasaydi, qilingan ishlarni kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 3.2. Talabalar bilimini tezkor savol-javob orqali baholaydi (№1.5 ilova). 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi (№1.6 ilova). va uning baholash mezonlari bilan tanishtiradi

O’z-o’zini, o’zaro baholashni o’tkazadilar. Savol beradilar. Topshiriqni yozadilar

Ilova 1.1 BAXOLASh MEZONLARI

№

Naz

orat

tu

ri

Bal

l

Naz

orat

is

hi

Uy

ishi

Mus

taqi

l is

h

Dar

sda

faol

ligi

Am

aliy

ish

Labo

rato

riya

1 JN-1 16 3 2 3 2 3 3 2 JN-2 19 3 2 3 2 6 3 3 ON-1 18 3 3 3 3 3 3 4 ON-2 17 3 2 3 2 4 3 5 YN 30 30

Ilova 1.2

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 1. Matematik jadvallar nima? 2. Taqribiy hisoblashlar nima uchun zarur ? 3. Qanday taqribiy hisoblashlar bajargansiz ? 4. Qasi olimlar taqribiy hisoblashlarni bajargan ? 5. π –soni qanday hisoblanganini bilasizmi ? 6. Xatolik deganda nimani tushunasiz ? 7. Xatolikning turlarini bilasizmi ? 8. Usul (metod) deganda nimani tushinasiz ?

148

Ilova 1.3

Ilova 1.4

Ta’lim beruvchi: → Taklif etilgan muammoni yechishga o’z nuqtai nazarini bayon qiladi. → Ommaviy to’g’ri aqliy hujumni tashkillashtiradi. Ta’lim oluvchilar quyidagi g’oyalarni: → Taklif etadilar, muhokama qiladilar, baholaydilar eng ko’p maqbul (samarali va boshqa

g’oyalarni tanlaydilar va ularni qog’oz varag’iga asosiy so’zlar ko’rinishida (2 so’zdan ko’p bo’lmagan) yozadilar va yozuv taxtasiga biriktiradilar.

→ Guruh a’zolari (ta’lim beruvchi tomonidan belgilangan 2-3 talaba yozuv taxtasiga chiqadilar va boshqalar bilan maslahatlashib:

aniq xato yoki qaytariluvchi g’oyalarni saralaydilar; tortishuvlarni aniqlaydilar; g’oyalarni tizimlashtirish mumkin bo’lgan belgilar bo’yicha aniqlaydilar; shu belgilar bo’yicha hamma g’oyalarni yozuv taxtasida guruhlaydilar (kartochka/

varaqlar). Ta’lim beruvchi:

→Umumlashtiradi va ish natijalarini baholaydi. Monitoring va baholash

O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javob qarab 1-2 ballgacha baholanadi

Aqliy hujum qoidasi: Hyech qanday birga baholash va tanqidga yo’l qo’yilmaydi! Taklif etilayotgan g’oyani baholashga shoshma, agarda u hattoki ajoyib va g’aroyib

bo’lsa ham hamma narsa mumkin. Tanqid qilma, hamma aytilgan g’oyalar qimmatli teng kuchlidir. O’rtaga chiquvchini bo’lma! Turtki berishdan o’zingni ushla! Maqsad miqdor hisoblanadi! Qancha ko’p g’oyalar aytilsa, undan ham yaxshi: yangi va qimmatli g’oyalarni paydo

bo’lishi uchun ko’p imkoniyatdir. Agarda g’oyalar qaytarilsa, xafa bo’lma va hijolat chekma. Tasavvuringni “jo’sh urishiga” ruxsat ber! Agarda g’oyalar qaytarilsa, xafa bo’lma va hijolat chekma. Tasavvuringni “jo’sh urishiga” ruxsat ber!

Пинборд (инглизчадан: pin- маҳкамлаш, board – ёзув тахтаси) мунозара усуллари ёки ўқув суҳбатини амалий усул билан мослашдан иборат.

149

Ilova 1.5 Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar

1. Matematik jadvallar tuzish qachon boshlangan? 2. Hisoblash metodlarini yaratishga katta hissa qo’shgan olimlarni ayting. 3. Funksional fazo nima ? 4. Operator nima ? 5. To’g’ri masala deb qanday masalaga aytiladi? 6. Teskari masala deb qanday masalaga aytiladi? 7. Hisoblash matematikasining fan sifatida qachon paydo bo’lgan ? 8. Hisoblash matematikasi vazifalarini ayting?. 9. Hisoblash matematikasi metodi (usuli) nimada ?

№1.6 ilova Mustaqil ish topshiriqlari.

1. Xatoliklar nazariyasi va ularni kelib chiqish manbalari. 2. Misol. Funksiyaning absolyut va nisbiy xatosini toping;

1,06,962004,00435,201,085,33

cbac

aby

Taqdimot slaydlari

BAXOLASh MEZONLARI

№

Naz

orat

tu

ri

Bal

l

Naz

orat

is

hi

Uy

ishi

Mus

taqi

l is

h

Dar

sda

faol

ligi

Am

aliy

ish

Labo

rato

riya

1 JN-1 16 3 2 3 2 3 3 2 JN-2 19 3 2 3 2 6 3 3 ON-1 18 3 3 3 3 3 3 4 ON-2 17 3 2 3 2 4 3 5 YN 30 30

150

MAVZU 2. CHZIQLIMAS VA TRANSSENDENT TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI


Vaqt: 80 min. Talabalar soni 50 O’quv mashg’ulotining shakli va turi

Axborotli ma’ruza

Ma’ruza rejasi / o’quv mashg’ulotining tuzilishi

7. Umumiy mulohazalar. 8. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini

ajratish. 9. Dikart teoremasi. 10. Shturm teoremasi. 11. Oddiy iteratsiya usuli 12. Nyuton usuli

O’quv mashg’uloti maqsadi:

Talabalarda hisoblash usullari fanida algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish, Dikart teoremasi, Shturm teoremasi haqidagi umumiy mulohazalar shakllantirish va bu teoremalar asosida tenglamalar ildizlarini ajratishni o’rgatish. Oddiy iteratsiyalar va Nyuton usullari bilan yechish algoritmini o`rgatish

Pedagogik vazifalar: Umumiy mulohazalar bilan tanishtirish; Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajra-tish tasnifini berish; Dikart, Shturm teoremalarini tushuntirish va qo’llashni o’rgatish

O’quv faoliyati natijalari: Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish tasniflaydilar; Dikart teoremasi aytib beradilar va qo’llaydilar; Shturm teoremasi aytib beradilar va qo’llaydilar; Chiziqlimas tenglamalarni yechishning oddiy iteratsiyalar va Nyuton usullari bilan yechish.

Ta’lim usullari Ma’ruza, aqliy hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari,

videoproyektor va kompyuter Ta’lim berish sharoiti

Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona

Monitoring va baholash

Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov

151

O’quv mashg’ulotining texnologik xaritasi

Ish bosqichlari va

vaqti

Faoliyat ta’lim beruvchi ta’lim

oluvchilar

1-bosqich. O’quv


1.1. Mavzuning nomi, maqsad va kutilayotgan natijalarni yetkazadi. Mashg’ulot rejasi bilan tanishtiradi. 1.2. Mavzu bo’yicha asosiy tushunchalarni; mustaqil ishlash uchun adabiyotlar ro’yxatini aytadi. 1.3. O’quv mashg’ulotida o’quv ishlarini baholash mezonlari bilan tanishtiradi

Tinglaydilar, yozib oladilar.

Aniqlashtiradilar, savollar beradilar.

2-bosqich. Asosiy ( 65 daq.)

2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum orqali (Ilova 2.1) bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi va Power Point taqdimoti bo’yicha darsni olib boradi.

Yozadilar. Javob beradilar Transendent tenglamaning ildizlarini ajratadilar


3.1.Mavzu bo’yicha yakunlaydi, qilingan ishlarni kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 3.2. Talabalar ishini baholaydi (Ilova 2.2), o’quv mashg’ulotining maqsadga erishish darajasini tahlil qiladi. 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi va uning baholash mezonlarini yetkazadi .

O’z-o’zini, o’zaro baholashni o’tkazadilar. Savol beradilar Topshiriqni yozadilar

Ilova 2.1

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 1. Matematik jadvallar nima? 2. Usul (metod) deganda nimani tushinasiz ? 3. Nyuton metodi. 4. Qasi olimlar taqribiy hisoblashlarni bajargan ? 5. π –soni qanday hisoblanganini bilasizmi ? 6. Xatolik deganda nimani tushunasiz ? 7. Taqribiy hisoblashlar nima uchun zarur ? 8. Xatolikning turlarini bilasizmi ?

Ilova 2.2


152

O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javob qarab 1-2 ballgacha baholanadi

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar

1. Dastlabki yaqinlashishni topish. 2. Algebraik tenglamalar qanday ko’rinishda bo’ladi. 3. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 4. Teylor formulasini qanday ko’rinishda bo’ladi. 5. Nyuton metodi. 6. Nyuton metodi qo’llash shartlari.

Ilova 2.3

Mustaqil ish topshiriqlari.

1.Ikkiga bulish metodi bilan kuyidagi tenglamaning [0,1] kesmada joylashgan ildizi aniklansin: 012)( 34 xxxxf

a) ξ = 1 b) ξ = 1,55 c) ξ = 0,867 d) ξ = 0,96

2.Agar )(xf kam uzgarsa, Nyuton metodi yordamida yechimga ketma-ket yakinlashish formulasini kursating:

a) ,...)1,0(,)()(

011 n

xfxfxx n

nn

b) ,...)2,1,0(,)()(

111 nxfxfxx

n

nnn

c) ,...)2,1,0(,)()(

11

1 n

xfxfxx

n

nnn

,...)2,1(,)()(

11 nxfxfxx

n

nnn

153

Taqdimot slaydlari

Grafik usuli bilan 012)12( xx tenglamaning ildizi takribiy topilsin

Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish

0...... 11

10

nnnn axaxaxaxf

1.

12 xy

xy 2

1 0,5

y

x 0

2-чизма

y 3xy

1,02,1 xy

x

3-чизма

154

Ildizlarni ajratish. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni yechish usullari (1 ta tenglama uchun)

2. Misol. Tenglamani iterasiya metodi bilan yeching 0223 xxx

Taqdimot slaydlari

0 0

M

M

y

x x

0х 0х 1x 1x 2x

0A

0A

1A 1A

1B 1B

2B

2B y 2А

5-чизма 6-чизма

155

Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli Vegsteyn usuli

)(xх

formuladan topilgan 1nх ni

11 )1( nnn xqqzz

))(1()( 111 nnnn xzqzzq

MAVZU 3. CHZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTAMASINI (CHATS) YECHISHNING

SONLI USULLARI. GAUSS, ODDIY ITERATSIYALAR, ZEYDEL USSULLARI

1)(0 xy

х 2х 1х 0x

0A

1A 2А

M 2B

1B

х

y

0x

0A

1х

1A

1B

2B

2А

2х

0)(1 xy

y

7-чизма 8-чизма

0

y

x

)(xyy

nz

B

М

А C

1nx

9-чизма

156



Axborotli ma’ruza


5. Gauss metodi. 6. Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 7. Oddiy iterasiya metodi. 8. Zeydel metodi.


Talabalarga Gauss, oddiy iteratsiyalar, Zeydel metodlari, Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirish usulini o’rgatish, Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri haqidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Gauss metodi yordamida tenglamalar sistemasini sonli yechishni o`rgatish; Oddiy iterasiya metodi yordamida tenglama sistemasini sonli yechishni o’rgatish; Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning usuli qo’llashni o’rgatish; Zeydel metodi yordamida tenglamalar sistemasini sonli yechishni o`rgatish;

O’quv faoliyati natijalari: Oddiy iterasiya metodini asosiy mohiyati aytib beradilar; Iterasiya metodi yaqinlashi tezlashtirishning bir usulini tasniflaydilar; Iterasiya usullarini aytib beradilar; Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’sirini ochib beradilar Zeydel metodini tushuntiradilar. Hisoblashlarni bajarish algoritmini tushintirib beradilar;

Ta’lim usullari Ma’ruza, tezkor savol-javob Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari,

videoproyektor va kompyuter Ta’lim berish sharoiti Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona

Monitoring va baholash Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov

157


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar va hisoblashlarni bajarish tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar Hisoblash algoritmi asosida berilgan tenglamani taqribiy yechadilar


3.1.Mavzu bo’yicha yakunlaydi, qilingan ishlarni kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 3.2. Talabalar ishini baholaydilar, o’quv mashg’ulotining maqsadga erishish darajasini tahlil qiladi. 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi va uning baholash mezonlarini yetkazadi .


Ilova 3.1.

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 6. Dastlabki yaqinlashishni topish. 7. Algebraik tenglamalar qanday ko’rinishda bo’ladi. 8. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 9. Teylor formulasini qanday ko’rinishda bo’ladi. 10. Nyuton metodi. 11. Nyuton metodi qo’llash shartlari. 12. Iterasion usullarning asosiy mohiyati nimada ? 13. Tenglamalarni taqribiy yechishning oddiy iterasiya usuli qanday hollarda qo’llaniladi ?. 14. Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi nimada ?. 15. Iterasiya usulini yaqinlashishi qanday baholanadi ?

158

16. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishi qanday ta’sir qiladi ? 17. Iterasiya metodi yaqinlashishini qanday tezlashtirish mumkin ? 18. Zeydel metodini tushuntiring

Ilova 3.2 Monitoring va baholash

O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javobga qarab 1-2 ballgacha baholanadi


1. Iterasion usullarning asosiy mohiyati nimada ? 2. Tenglamalarni taqribiy yechishning oddiy iterasiya usuli qanday hollarda qo’llaniladi ?. 3. Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi nimada ?. 4. Iterasiya usulini yaqinlashishi qanday baholanadi ? 5. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishi qanday ta’sir qiladi ? 6. Iterasiya metodi yaqinlashishini qanday tezlashtirish mumkin ? 7. Zeydel metodining oddiy iteratsiya metodi bilan farqi nimada?

Ilova 3.3

Mustaqil ish topshiriqlari. 1. Chiziqli tenglamalar sistemasini tushuntiring? 2. Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi. 3. Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 4. Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi. 5. Yakobi matrisasi. 6. Modifikasiyalangan Nyuton metodi. 7. Vatarlar metodi. 8. Chiziqli tenglamalar sistemasini aniq va taqribiy usullari deganda nimani tushunasiz? 9. Matrisa elementlarini nima ? 10. Kramer usulini bilasizmi? 11. Chiziqli algebraning taqribiy usullari. Yakobi, Zeydel va iterasiya usullari. 12. Misol. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

1,164,237,226,15

;

5,328,181,088,081,071,485,073,0

53,198,053,405,181,075,002,182,3

b

Taqdimot slaydlari Gauss metodi. Bu metod bir necha hisoblash sxemalariga ega. Shulardan biri Gaussning

kompakt sxemasini ko’rib chiqamiz. Ushbu sistema berilgan bo’lsin:

.,..................

,,...,,...

12211

122222121

111212111

nnnnnnn

nnn

nnn

axaxaxa

axaxaxaaxaxaxa

159

................

,

,

)1(12

)1(12

)1(1,11

)1(,1

)1(1,11

)(1,

nnn

nn

nnn

nnn

nnnn

xbxbbx

xbbx

bx

uchburchak sistemaning koeffisiyentlarini topish Gauss metodining to’g’ri yurishi, sistemani topish jarayoni teskari yurishi deyiladi.

),...,,( )()1()0()1( kk

k xxxfx

rekurrent formula yordamida topiladi )()()1( kk

kk cxBx

kk cbABbA 11

bCxBx kk

kk )()1(

bxFxD k

kk

k )()1(

bu yerda AFD kk

Oddiy iterasiya metodi. bxА

sistema biror usul bilan bxBх

.)..,2,1(,)1()( kcxBx kk

Zeydel metodi.

.

.........

,

........

,

,

1

1

)1()1(

1

)(1

1

)1()1(

3

)(

22

2)1(1

22

21

22

2)1(2

2

)(

11

1

11

1)1(1

n

j

kj

nn

nj

nn

nkn

n

ij

kj

ii

iji

j

kj

ii

ij

ii

iki

n

j

kj

jkk

n

j

kj

jk

xaa

abx

xaa

xaa

ab

x

xaa

xaa

abx

xaa

abx

MAVZU 4. CHIZIQLIMAS TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING SONLI USULLARI.

ODDIY ITEARTSIYALAR, ZEYDEL, NYUTON USULLARI



Axborotli ma’ruza

Ma’ruza rejasi / o’quv 1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini

160

mashg’ulotining tuzilishi iterasiya metodi bilan yechish. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini

Zeydel metodi bilan yechish. 3. Tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi

O’quv mashg’uloti maqsadi: Talabalarda metrik fazo haqida, qisqartirib aks ettirish prinsipi, chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish haqidagi umumiy mulohazalar va bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Chiziqli bo’lmagan tenglama-lar sistemasini taqribiy yechishga iterasiya metodi qo’llashni o’rgatish; Chiziqli bo’lmagan tenglama-lar sistemasini taqribiy yechishga Zeydel metodi qo’llashni o’rgatish; Modifikasiyalangan Nyuton metodi bilan tanishtirish qo’llashni o’rgatish; Tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodini qo’llashni o’rgatish

O’quv faoliyati natijalari: Iterasiya metodi yordamida chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish algoritmini aytib beradilar. Modifikasiyalangan Nyuton metodi aytib beradilar; Nyuton usulini tushuntirish beradilar; Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodini qo’llash algoritmini aytib beradilar





Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

161

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob) (Ilova 1) orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar Usulni qo’llash algoritmini o’rganadilar




Ilova 4.1

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar. 1. Iterasion usullarning asosiy mohiyati nimada ? 2. Tenglamalarni taqribiy yechishning oddiy iterasiya usuli qanday hollarda qo’llaniladi ?. 3. Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi nimada ?. 4. Iterasiya usulini yaqinlashishi qanday baholanadi ? 5. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishi qanday ta’sir qiladi ? 6. Iterasiya metodi yaqinlashishini qanday tezlashtirish mumkin ? 7. Oddiy iterasiya usulining mohiyati nimada ? 8. Iterasiya usulining yaqinlashish shartlari qanday ? 9. Sistema uchun iterasiya usulining yaqinlashishining yetarli sharti qanday ?. 10. Iterasiya metodini qo’llash algoritmini aytib bering ? 11. Nyuton metodining geometrik ma’nosi nimada ?. 12. O’zgartirilgan Nyuton metodi qvndvy qo’llaniladi ? 13. Nyuton metodining yaqinlashishi qanday teksheriladi ? 14. Nyuton metodining asosiy g’oyasi tushintiring ? 15. Yaqinlashish tezligi qanday baholanadi ? 16. Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 17. Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi. 18. Vatarlar metodi. 19. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar aytib bering ? 20. Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi

162


O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javobga qarab 1-2 ballgacha baholanadi Ilova 4.2

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar.

1. Oddiy iterasiya usulining mohiyati nimada ? 2. Iterasiya usulining yaqinlashish shartlari qanday ? 3. Sistema uchun iterasiya usulining yaqinlashishining yetarli sharti qanday ?. 4. Iterasiya metodini qo’llash algoritmini aytib bering ? 5. Sistema uchun Nyuton usulining asosiy g’oyasi. 6. Umumiy sistema uchun Nyuton usulini qo’llanilishi. 7. Sistema uchun Nyuton usulining yaqinlashishi. 8. Yakobi matrisasi. 9. Modifikasiyalangan Nyuton metodi.

Ilova 4.3 Mustaqil ish topshiriqlari.

1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish usullari (Nyuton, Iterasiya) 2. Misol. Iterasiya usuli bilan yechish algoritmini tuzing.

15,221,127,184,063,027,165,027,1

51,184,027,163,1

321

321

321

xxxxxxxxx

Taqdimot slaydlari Iterasiya metodi bilan

0),...,,(........

,0),...,,(,0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

tenglamalar sistemasini yechish masalasiga o’tamiz. Buning uchun avval sistemani biror usul bilan quyidagi kanonik shaklga keltirib olamiz:

).,...,,(........

),,...,,(),,...,,(

21

2122

2111

nnn

n

n

xxxx

xxxxxxxx

Faraz qilaylik, ),...,,( )0()0(

2)0(

1)0(

nxxxx dastlabki yaqinlashish topilgan bo’lsin, u holda keyingi yaqinlashishlar quyidagicha topiladi:

163

).,...,,(........

),,...,,(

),,...,,(

)()(2

)(1

)1(

)()(2

)(12

)1(2

)()(2

)(11

)1(1

kn

kkn

kn

kn

kkk

kn

kkk

xxxx

xxxxxxxx

s masofada. Yuqoridagiga o’xshash ishlarni ),( )0(xxs sharda bajarib quyidagini hosil qilamiz:

n

ijj

n

i j

i

xj

n

iii yx

xyx

111||maxmax|)()(| .

Bundan esa

n

i j

i

xjs

sss

xq

yxqyx

1maxmax

),,())(),((

l masofada. Qaralayotgan ),( )0(xxi shar Yevklid fazosidagi

2/1

1

2)0( )(n

iii xx

shardan iboratdir. Bu shardan ixtiyoriy ikkita x va u nuqtalarni olib quyidagilarni hosil qilamiz:

.max

),,()]()([))(),((

);,(max)()~(|)()(|

2

11

2

22

1

22

1

)2(

22

1

2

n

j j

in

il

ll

n

iiil

n

jl

j

i

x

n

jjj

j

iii

xq

yxqyxyx

yxx

yxx

xyx

Tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. Bu yerda n ta nxxx ,...,, 21 noma’lumli n ta

0),...,,(........................

,0),...,,(,0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

Teylor qatoriga yoyib, n ,...,, 21 ga nisbatan chiziqli qismini saqlab, quyidagi taqribiy sistemaga ega bo’lamiz:

164

).()(...)(...........................................

),()(...)(

)0()0(

11

)0(

)0(1

)0(1

11

)0(1

xfxxf

xxf

xfxxf

xxf

nnn

nn

nn

Qulaylik uchun Yakobi matrisasini kiritamiz:

.

)(...)(

......................

)(...)(

)()0(

1

)0(

)0(1

1

)0(1

n

nn

n

x

xxf

xxf

xxf

xxf

xf

165

MAVZU 5. MATRISANING XOS SON VA XOS QIYMAT MASALASINI YECHISHNING SONLI

USSULLARI. ITERATSIYA, A.N.KRILOV USULLARI



Axborotli ma’ruza


4. Xos son va xos vektorlarni topish masalasi. 5. A.N.Krilov metodi. 6. Iteratsiya usuli.


Talabalarda Xos son va xos vektorlarini topish masalasi, A.N.Krilov metodi, A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topish to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish, qismiy muammo masalasida iteratsion metodlar

Pedagogik vazifalar: Xos son va xos vektorlarini topish masalasi bilan tanishtirish; A.N.Krilov metodi tasnifini berish; A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarni hisoblashni tushuntirish; Qismiy muammo masalasida iterasion metodlari bilan tanishtirish

O’quv faoliyati natijalari: Xos son va xos vektorlarini topish masalasi aytib beradilar; A.N.Krilov metodi haqidagi tasniflaydilar; A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topishni tushuntirib beradilar; Qismiy muammo masalasida iterasion metodlar aytib beradilar

Ta’lim usullari Ma’ruza, aqliy hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari, videoproyektor

va kompyuter Ta’lim berish sharoiti Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona



Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

166

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi




Ilova 5.1.

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 1. Xos qiymat nima ? 2. Xos vektor nima ? 3. Minimal ko’phad deganda nimani tushinasiz ? 4. Minor deganda nimani tushinasiz ? 5. Diagonal minor deganda nimani tushinasiz ? 6. Nol bo’lmagan vektor nima ? 7. Matrisaning xos son va xos vektorlari qanday hisoblanadi ? 8. Moduli bo’yicha eng katta xos soni tushintiring ? 9. Bazis nima ? 10. Vektorning berilgan bazisdagi koordinatalarini tushintiring Simmetrik matrisani tushintiring ?

Ilova 5.2.

Mustaqil ish topshiriqlari. 1. Xos qiymat va xos vektor va ularni topish usullari. 2. Matrisaning xos kiymat va xos vektorini toping

5,05,115,125,0

15,01

3. Danilevskiy va Laverye usullari

167

4. Misol. Danilevskiy va Lovere usullaridan foydalanib matrisaning xos son va xos vektorini toping.

5,05,115,125,0

15,01


O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob bo’yicha 1-2 ballgacha baholanadi

Taqdimot slaydlari Matrisalarning minimal ko’phadlari

0...)( 11

10 EaAaAaAaAf mm

mm

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda

nmm aaaf ...)( 1

10

Minimal ko’phadni topish. Endi A.N.Krilov metodini ko’rib chiqamiz. Ixtiyoriy noldan farqli

),...,,( 00201)0( ncccc vektorni olib,

),1(),...,,( 21)1()( niccccAc inii

ii

Gauss metodining to’g’ri yurishidagi barcha n qadam bajarilib, sistema quyidagi

nn

nn

nn

dq

dqbqbqdqbqbqbq

..................

223232

113132121

uchburchak shaklga keltirilsa, u holda 0 bo’lib,

)1()1()0( ,...,, nccc vektorlar chiziqli erklidir.

U vaqtda sistemadan qaralayotgan kombinasiyaning koeffnsiyentlari 11 ,...,, qqq nn ni topa olamiz.

Agar Gauss metodidagi to’g’ri yurishning faqat m ta qadami bajarilsa, u holda faqat avvalgi m ta

)1()1()0( ,...,, mccc torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli )()0()2(

2)1(

1 ... mm

mm ccqcqcq

chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz:

............

,...

,...

0,22,11

2022,222,11

1011,221,11

mnnmnmnm

mmmm

mmmm

ccqcqcq

ccqcqcqccqcqcq

Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra

0...)( 11 EpApAAP n

nn.

),...,2,1()()0( niccA ii

)()0()2(2

)1(1 ... n

nnn ccpcpcp

Matrisaning xos vektorlarini topish. Endi xos vektorlarni topish masalasiga o’tamiz.

Faraz qilaylik, i

mmmm

c qqq ...)( 22

11)0(

168

Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish.

||...|||||| 321 n , ,... )()2(

22)1(

11)( nk

nnkkk xbxbxby

.... )(1)2(122

)1(111

)1( nknn

kkk xbxbxby Natijada

)(1

)2(1222

)(1

)1( )(...)( nn

knn

kkk xbxbyy

ga ega bo’lamiz.

Yozuvni qisqartirish maqsadida )(ky ning -ayirmasi deb ataluvchi quyidagi

)()1()( kkk yyy

)2(1222

)( )(1

xby kk )2(

121

22)1( )(

1xby kk

. Bu tengliklarni komponentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz:

)1(1

)(

)(1

)1(

)1(

)(

21

1

k

jk

j

kj

k

kj

kj

yyyy

yy

.

)()1(1

)(

)(1

)1(

2 kmyy

yym

jm

j

mj

mj

169

MAVZU 6. INTERPOLYATSIYA MASALASI. LAGRANJ INTERPOLYATSION KO`PHADI.

NYUTON INTERPOLYATSION KO`PHADI.



Axborotli ma’ruza


4. Interpolyasiyalash masalasi. 5. Lagranj interpolyatsion formulasi. 6. Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblash. 7. Chekli ayirmalar va ularning xossalari. 8. Nyuton interpolyatsion formulasining qoldiq hadi.


Talabalarda Interpolyasiyalash masalasi, to’g’risidagi bilimlarni shakllantirish

Pedagogik vazifalar: Interpolyasiyalash masalasi bilan tanishtirish; Lagranj interpolyasion formulasini tasnifini berish; Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblashni tushuntirish; Chekli ayirmalar va ularning xossalari bilan tanishtirish; Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadlari tasnifini berish;

O’quv faoliyati natijalari: Interpolyasiyalash masalasi mohiyatini aytib beradilar; Lagranj interpolyasion formulasini o’zib beradilar; Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblash tartibini aytib beradilar; Chekli ayirmalar, ularning xossalari va hisoblash tartibini aytib beradilar; Nyuton interpolyasion formulasi va uning qoldiq hadini hisoblash tartibini yozib beradilar.

Ta’lim usullari Ma’ruza, aqliy hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari, videoproyektor va

kompyuter Ta’lim berish sharoiti Maxsus texnika vositalari bilan jihozlangan xona




Ish

bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

170

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum (Ilova 1) orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar




Ilova 6.1.


4. Tugunlar deganda nimani tushunasiz ? 5. Teng uzoqlikda joylashgan tugunlar nima ? 6. Xatolik qanday baholanadi ? 7. Boshlang’ich qiymat nima ? 8. Tugun nuqta nima ? 9. Kroneker simvolini tushintiring ? 10. Ko’phad nima ? 11. Diognal va gorizontal chekli ayirmalar topilishi. 12. Teng uzoqlikda joylashgan tugunlar uchun 1- va 2-Nyuton interpolyasion formulalari. 13. Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadlari. 14. Chekli ayirmalar 15. Qoldiq had 16. Gorizontal va diognal tablisalar

Ilova 6.2. Mustaqil ish topshiriqlari.

1. Lagranj interpolyasiyalash formulasi. 2. Koldik xad baxosi. 3. Eytken sxemasi.Algoritm tuzish.

171

4. Teng oraliqlar uchun interpolyasion formulalar. 5. Misol. Lagranj interpolyasion ko’phadidan foydalanib x=1,383 nuqtadagi y ni qiymatini

toping. X 0,375 0,380 0,385 0,386 Y 1,0419 1,1774 1,3206 1,4706

6. Misol. Nyutonning I-interpolyasion formulasidan foydalanib x=2,379 nuqatadagi y ni qiymatini toping.

X 2,375 2,380 2,385 2,386 Y 5,0419 5,1774 5,3206 5,4706

Monitoring va baholash O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol javob natijalariga qarab 1-2 ballgacha

baholanadi

Taqdimot slaydlari

Lagranj interpolyasion formulasi

)()()()()(00

i

n

j

jij

n

jinjjin xfxfxQxfxL

n

j ji ij

ijn xx

xxxfxL0

)()(

)())((

))(()(

))(())((

)())((

))(()( 21202

101

2101

200

2010

212 xf

xxxxxxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxxxxxxxL

Lagranj koeffisiyentini

))(()(

1

1

jjn

n

xxxx

ko’rinishda yozish mumkin

Eytken sxemasi.

.)()(

)()()(

,)()(

)()()(

,)()(

)()()(

02

22

00

202

00

20

2)2,0(

12

22

11

202

11

21

2)2,1(

01

11

00

101

00

10

1)01(

xxxxxfxxxf

xfxxxxxf

xxxxxL

xxxxxfxxxf

xfxxxxxf

xxxxxL

xxxxxfxxxf

xfxxxxxf

xxxxxL

04

4)0124(

0)0123(

34

4)0124(

3)0123(

)01234(

)()(

)()(

)(xx

xxxLxxxL

xxxxxLxxxL

xL

nn xxxxL ,...,,)( 10 tugunlar bo’yicha tuzilgan Nyuton interpolyasion ko’phadi bo’lsin: ))...()(,...,(...))(,()()( 1000100 nnn xxxxxxfxxxxfxfxL .

Bundagi bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtiraylik.

Ushbu thxx 0 almashtirishni ham bajargandan keyin ko’phad quyidagi ko’rinishga ega

172

bo’ladi:

.!

)]1()...[1(...!3

)2)(1(2

)1()( 2/3

2/32

11

2/100n

nn fn

ntttftttftttffthxL

Bu formulaning qoldiq hadi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

))...(1(!)1(

)(!)1()())...()(()(

)1(1)1(

000 ntttnfh

nfnhxxhxxxxxR

nnn

n

formula Nyutonning jadval boshidagi yoki cum interpolyasion formulasi deyiladi.

Formulada interpolyasiyalash tugunlari sifatida nxxx ,...,, 10 tugunlarni olamiz: ))()(,,())(,()()( 102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxL n

)(...))(,...,(... )1(00 nn xxxxxxf

))(...1(!)1(

)()1(1

ntttnfh nn

MAVZU 7. FUNKSIYALARNI SONLI INTEGRALLASH. TO`G`RI

TO`RTBURCHAKLAR, TRAPETSIYALAR, SIMPSON FORMULALARI



Axborotli ma’ruza


13. Umumiy mulohazalar. 14. Sonli integrallashning to`g`rito`rtburchaklar

formulasi 15. Sonli integrallashning trapetsiyalar formulasi 16. Sonli integrallashning Simpson formulasi 17. Usullarning xatoliklari


Talabalarda aniq integrallarni taqribiy hisoblash usullari va bu usullarning xatoliklari baholashni o’rgatish.

Pedagogik vazifalar: Umumiy mulohazalar bilan tanishtirish; Sonli integrallshning to`g`rito`rtburchaklar, trapetsiya va Simpson usullaridan foydalanishni tushuntirish

O’quv faoliyati natijalari: Berilgan aniqlikdagi taqribiy yechimni olish uchun har bir usuldan foydalanish jarayonida qadam uzunligini tanlashni. Usullardan foydalanib sonli integrallaganda ularning xatoligini baholashni.

Ta’lim usullari Ma’ruza, aqliy hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari,

videoproyektor va kompyuter

173

Ta’lim berish sharoiti




174


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum orqali (Ilova 2.1) bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi va Power Point taqdimoti bo’yicha darsni olib boradi.

Yozadilar. Javob beradilar Transendent tenglamaning ildizlarini ajratadilar


3.1.Mavzu bo’yicha yakunlaydi, qilingan ishlarni kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 3.2. Talabalar ishini baholaydi (Ilova 2.2), o’quv mashg’ulotining maqsadga erishish darajasini tahlil qiladi. 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi va uning baholash mezonlarini yetkazadi .


Ilova 2.1

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 9. Boshlang`ich funksiyani nima? 10. Nyuton metodi. 11. Xatolik tartibi deganda nimani tushunasiz ? 12. Sonli integrallshdan maqsad nima ?

Ilova 2.2

Monitoring va baholash O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javob qarab 1-2 ballgacha baholanadi

Ilova 2.3 Mustaqil ish topshiriqlari.

175

1. 4

2

ln2 xdxI x aniq intagralni to`g`rito`rtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson formulasi

yordamida sonli integrallang.

Quyidagi integrallarni to`g`rito`rtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson formulasi yordamida sonli integrallang va integrallash xatoligini toping.

1.

6,2

8,12 25,0xdx

5.

6,1

6,02 8,0xdx

9.

2

2,12 2,1xdx

2.

2,2

4,12 6,02xdx

6.

2,4

2,32 15,0 x

dx

10.

8,1

8,02 3,02xdx

3.

0,2

2,12 5,15,0 x

dx

7.

1,3

1,22 3xdx

11.

3,2

3,12 12,0 x

dx

4.

4,1

4,02 5,012x

dx

8.

3,2

3,12 4,03xdx

12.

8,2

4,12 7,05,1 x

dx

MAVZU 8. ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR (ODT) UCHUN QO`YILGAN

MASALALARNI SONLI YECHISH. KOSHI MASALASI. EYLER, RUNGE-KUTTA USSULLARI


Vaqt: 80 min. Talabalar soni 50

176

O’quv mashg’ulotining shakli va turi

Axborotli ma’ruza


9. ODT uchun Koshi masalasi 10. Koshi masalasini Eyler usuli bilan yechish 11. Runge-Kutta usuli


Talabalarga ODT uchun Koshi masalasi qo`yilishini, bu masalani yechishning Eyler va Runge-Kutta usullaridan foydalanishni o`rgatish

Pedagogik vazifalar:

Talabalarga ODT uchun Koshi masalasi qo`yilishini, bu masalani yechishning Eyler va Runge-Kutta usullaridan foydalanishni o`rgatish

O’quv faoliyati natijalari: Talabalarga ODT uchun Koshi masalasi Eyler va Runge-Kutta usullaridan foydalanib yechish




177


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar va hisoblashlarni bajarish tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar Hisoblash algoritmi asosida berilgan tenglamani taqribiy yechadilar




Ilova 3.1.

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar 19. Qanday tenglama ODT deb ataladi. 20. Simpson formulasini ayting

Ilova 3.2

Monitoring va baholash O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javobga qarab 1-2 ballgacha

baholanadi Ilova 3.3

Mustaqil ish topshiriqlari.

178

Berilgan birinchi tartibli differensial tenglamani Runge-Kutta usulida yeching.

1.

5cos yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

2.

3cos yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

3.

10cos yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

4.

2cos yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

5.

11cos yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

179

MAVZU 9. ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR (ODT) UCHUN QO`YILGAN

CHEGARAVIY MASALALARNI YECHISH USULLARI. KOLLOKATSIYA, ENG KICHIK KVADRATLAR, SOHACHALAR, GALYORKIN USULLARI



Axborotli ma’ruza


9. ODT uchun chegaraviy masalalarni (ChM) yechish usullari tasnifi;

10. 2-tartibli ODT uchun ChMning umumiy qo`yilishi;

11. Tafovut funktsiyani tuzish; 12. Kollokatsiya usuli; 13. Integral va diskret shakldagi eng kichik

kvadratlar usullari; 14. Sohachalar usuli; 15. Galyorkin usuli; 16. Vaznli tafovutlar usuli haqida umumiy

ma`lumotlar. O’quv mashg’uloti maqsadi:

Talabalarda 2-tartibli ODT uchun chegaraviy masalaning umumiy qo`yilishini, tafovut funktsiyasining tuzulishni, kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, Galyorkin usullarining asosiy go`yalari bilan tanishtirish

Pedagogik vazifalar: 2-tartibli ODT uchun chegaraviy masalaning umumiy qo`yilishini; Tafovut funktsiyasining tuzulishni; Tafovut funktsiyasining minimallashtirish usullari; Vaznli tafovutlar usuli haqida umumiy ma`lumotlar;

O’quv faoliyati natijalari: 2-tartibli ODT uchun chegaraviy masalaning umumiy qo`yilishini bilishi; Tafovut funktsiyasini tuzishni; Tafovut funktsiyasining minimallashtirish usullaridan foydalanishni;




180



181


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob) (Ilova 1) orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar Usulni qo’llash algoritmini o’rganadilar




Ilova 9.1

Talabalar bilimini faollashtirish uchun tezkor savollar. 1. 2-tartibli ODT uchun qanday chegaraviy shartlar mavjud ? 2. Bazis funktsiyalar va ularning sistemasi qanday xossalarga ega ?


O’tilgan mavzu bo’yicha og’zaki so’rov, tezkor savol-javobga qarab 1-2 ballgacha baholanadi

Ilova 9.2

Mustaqil ish topshiriqlari. 1. Misol. Quyidagi tenglamani

182

17,40425,975,01 xuuxu

u(0)=2, u(1)=3 chegaraviy shartlar bilan

kollokatsiya va Galyorkin usullaridan foydalanib yeching.

183

MAVZU 10.

CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR (CHAS) TO’G’RISIDA TUSHUNCHALAR. DIFFERENSIAL OPERATORNING CHA APPROSIMATSIYASI. CHA MASALANING QO’YILISHI. APPROKSIMATSIYA, KORREKTLIK, TURG’UNLIK, YAQINLASHISH.

ULAR O’RTASIDAGI BOG’LANISH



Axborotli ma’ruza


9. Sohani diskretlash, tekis va notekis to`rlar; 10. 0H va hH funktsional fazolar, ularning elementlarini

taqqoslash; 11. Oddiy differentsial operatorlar (ODO)ning ayirmali

approksimatsiyasi; 12. To`rda approksimatsiya xatoligi; 13. Sxemalar yaqinlashishi va aniqliligi; 14. Chekli ayirmalarning turgùnligi; 15. Ayirmali masalalarning korrektligi; 16. Turgùnlik, approksimatsiya va yaqinlashishi orasidagi

bog`liklik.


Talabalarda Sohani diskretlash, tekis va notekis to`rlar,

0H va hH funktsional fazolar, Oddiy differentsial operatorlar (ODO)ning ayirmali approksimatsiyasi, To`rda approksimatsiya xatoligi, turgùnlik, approksimatsiya va yaqinlashishi orasidagi bog`liklikni o`rgatish

Pedagogik vazifalar:

0H va hH funktsional fazolar, ularning elementlarini taqqoslash bilan tanishtirish; ODOning ayirmali approksimatsiyasi tushuntirish; Turgùnlik, approksimatsiya va yaqinlashishning ta`riflari va ular orasidagi bog`liklikni tushuntirish

O’quv faoliyati natijalari: Sohani diskretlash, tekis va notekis to`rlar tuzishni bilishi; To`rda approksimatsiya xatoligi yozishni; Turgùnlik, approksimatsiya va yaqinlashishning ta`riflarini bilishi; Chekli ayirmali approsimatsiyalar tuzishni

Ta’lim usullari Ma’ruza, tezkor savol-javob hujum Ta’lim shakli Jamoaviy Ta’lim vositalari Ma’ruza matni, texnika vositalari,



Monitoring va Og’zaki so’rov: tezkor-so’rov

184

baholash

185


Ish bosqichlari va

vaqti


oluvchilar

1-bosqich. O’quv






2.1. Tezkor-so’rov (savol-javob), aqliy hujum (Ilova 1) orqali bilimlarni faollashtiradi. 2.2. Ma’ruza mashg’ulotning rejasi va tuzilishiga muvofiq ta’lim jarayonini tashkil etish bo’yicha harakatlar tartibini bayon etadi

Yozadilar. Javob beradilar Hisoblash algoritmi asosida jadvalni to’ldirdilar.


3.1.Mavzuni yakunlaydi, qilingan ishlarni kelgusida kasbiy faoliyatlarida ahamiyatga ega ekanligi muhimligiga talabalar e’tiborini qaratadi. 3.2. Talabalar ishini baholaydilar, o’quv mashg’ulotining maqsadiga erishish darajasini tahlil qiladi. 3.3. Mustaqil ish uchun topshiriq beradi va uning baholash mezonlarini yetkazadi .


186

4 - BO’LIM


FANIDAN AMALIYOT VA MUSTAQIL ISHLAR ISHLANMASI

187

MUNDARIJA

1. Xatolik nazariyasi……………………………………….. 2. Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechishning sonli usullari. Ildizlarni

ajratish, kesmani teng ikkiga bo`lish, Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar usullari.........................................................

3. Chziqli algebraik tenglamalar sistamasini (ChATS) yechishning sonli usullari. Gauss, oddiy iteratsiyalar, Zeydel ussullari………..

4. Chziqlimas tenglamalar sistamasini yechishning sonli usullari. Oddiy iteartsiyalar, Zeydel, Nyuton ussullari …………………….

5. Matrisaning xos son va xos qiymat masalasini yechishning sonli ussullari. Iteratsiya, A.N.Krilov usullari……………………………...

6. Interpolyatsiya masalasi. Logranj interpolystsion ko`phadi. Nyuton interpolystsion ko`phadi.……………………………………

7. Funksiyalarni sonli integrallash. To`g`ri to`rtburchaklar, trapetsiyalar, Simpson formulalari. …………………………………

8. Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan masalalarni sonli yechish. Koshi masalasi. Eyler, Runge-Kutta ussullari.…………………. ……………………………………………

9. Kollokatsiya, Galyorkin usullari …………………………………….

10. Chekli ayirmali approsimatsiyalar tuzish. ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani ChA usuli bilan yechish. ……………………

11. Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini ChA usuli bilan yechish……………………………………………..

12. To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechish……………………………………………………………

13. Puasson tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi…………………. 14. Integral tenglamalarni yechish usullari……………………………..

10. Adabiyotlar……………………………………………………….

188

1. XATOLIKLAR NAZARIYaSI

Ishning maksadi: talabalarni taqribiy sonlar bilan ishlashga o’rgatish, taqribiy sonning absolyut va nisbiy xatosini baholash, shuningdek, argumentlar xatoligi keltirib chiqaradigan differensiallanuvchi funksiya, klavishli hisoblash mashinalari ishlatilishini o’rgatish.

Taqribiy sonlar. Ularning absolyut va nisbiy xatosi. Qiymatga ega bo’lgan raqam. To’g’ri ishoralar soni.

a taqribiy soni deb, aniq a0 sonidan deyarli farq qilmaydigan va hisoblashlar oxirida almashtiriladigan songa aytiladi. Taqribiy a soni va uning aniq qiymati 0a orasidagi 0aa ayirma va a taqribiy sonining xatoligi deb yuritiladi va odatda bu ko’rsatkich naoma’lum bo’ladi..

a sonining taqribiy xatolik qiymati deganda aaa 0 (1.1) ko’rinishdagi tengsizlik tushiniladi. a soni taqribiy a soninig absolyut xatoligi (ayrim hollarda xato chegarasi) deb ataladi. Bu son bir qiymatli aniqlanmaydi: uning qiymatini oshirish mumkin. Odatda (1.1) tengsizlikni kanoatlantiruvchi a sonini imkon kadar kichikrok kursatishga harakat kilishadi. (1.1) dan a0 aniq soni

aa aaa 0 chegaralarda bo’lishi kelib chikadi. Bundan kelib chikib aa a0 taqribiy sonining kamayishi,

aa a0 taqribiy sonining kupayishidir. Bu holda qisqalik uchun aaa 0 yozuvdan foydalaniladi. Misol. 1 sm aniqlikda o’lchangan xonaning bo’yi va eni a=5,15m va b=3,07m ga teng. Xona yuzasini S=ab=5,15m*3,07m=15,8105 m2. kabi hisoblashdagi xatolik baholansin. Yechish. Masala shartiga ko’ra a = 0,01m, b=0,01m. Imkon bo’lgan chegaraviy yuza qiymati

8929,1501,001,0 ba m2

7284,1501,001,0 ba m2 kabi bo’ladi. Bu qiymatlarni S ning qiymati bilan solishtirib,

0824,0 S m2 ko’rinishdagi S sonining absolyut xatoligini ko’rsatishga imkon beradigan

0824,00 SS qiymatni olamiz. Bu yerdan ko’rinib turibdiki, absolyut xatolik hisoblashlarning xatoligini to’la ifodalamaydi. a taqribiy sonining a nisbiy xatoligi (ayrim hollarda nisbiy xato chegarasi) deb uning absolyut xatoligining a sonining absolyut qiymatiga nisbatiga, ya’ni

0||

aa

aa .

miqdorga aytiladi. Nisbiy xatolik odatda foizlarda ifodalanadi. Nisbiy xatolik odatda foizlarda ifodalanadi. Shu tarika a0a bo’lganligi sababli a sonining absolyut xatoligi sifatida

aa a || yoki aa a || 0

189

qiymatni qabul qilish mumkin. Bundan kelib chiqadiki a nisbiy xatolikni bilgan holda aniq son uchun

aa aaa 11 0 aaa 10

chegaralari olinadi. Misol. Havo uchun gaz doimiysini aniqlashda R=29,25 deb olinadi. Bu qiymatning nisbiy xatosi 0,1% ekanligini bilgan holda R yotadigan chegaralar topilsin. Yechish. Masala shartidan ko’ra a=0,001, u holda 29,22R29,28. Ma’lumki, ixtiyoriy musbat a son chekli yoki cheksiz o’nli kasr ko’rinishida ifodalanishi mumkin. Taqribiy sonning qiymatga ega raqami deb uning o’nli ko’rinishdagi har xil noldan farqli yoki nol raqamiga aytiladi, agar u qiymatga ega raqamlar orasida mavjud bo’lsa yoki saqlangan o’nli razryada qatnashsa. Agar a taqribiy son uchun almashtiriladigan aniq a0 son ma’lum bo’lsa, u holda

10 10*

21 nmaa

o’rinli va 11 ...,,, nmmm ddd raqamlarning birinchi n tasi qiymatga ega bo’ladi. Sonning to’g’ri ishoralar miqdori sonning birinchi qiymatga ega raqamidan birinchi qiymatga ega raqam absolyut xatoligigacha xisoblanadi. Teorema. Agar a taqribiy musbat soni qisqa ma’noda n to’g’ri o’nlik belgilarga ega bo’lsa, u holda berilgan sonning birinchi qiymatga ega bo’lgan raqami bo’linmasi bu sonning nisbiy xatosi

1

101

n

dan oshmaydi, ya’ni

1

1011

n

md

bunda dm – a sonining birinchi qiymatga ega bo’lgan raqami. Misol. soning o’rniga a=3,14 sonini olsak, nisbiy xato qanday bo’ladi? Yechish. Qaralayotgan holda dm=3 va n=3. bundan

%31

101

31 13

kelib chiqadi.

Xatolik uchun umumiy formula

Agar argumentning qiymati taqribiy bo’lsa, biz esa funksiyaning qiymatini izlasak, u holda funksiya ham tug’riligini aniqlash kerak bo’ladigan taqribiy son bo’ladi. Differensiallanadigan funksiyaning nxxfy ...,,1 absolyut xatosi argumentlarning

nxx ...,,1 deyarli kichik xato bilan chiqariladigan nxxx ...,,,

21 o’lcham bilan baholanadi

i

n

i iy x

xf

1

. (2)

190

Agar funksiyaning qiymati musbat bo’lsa, u holda nisbiy xato uchun quyidagi baholash o’rinli bo’ladi

i

n

i ii

n

i iy x

xfx

xf

f

11

ln1

Misol.

Agar diametr d=3,7sm 0,05, =3,14 bo’lsa, 3

61 dV shar hajmining absolyut va nisbiy

xatosini toping. Yechish. va d ni o’zgaruvchi kattalik sifatida ko’rib chiqib, quyidagi xususiy hosilalarni hisoblaymiz

5,2131;442,8

61 23

d

dVd

dV

05,0 d va 0016.0 bo’lganligi sababli kuch formulasi (2) hajmning absolyut xatosidir:

1,10881,1

dV dff

sm2.

Shuning uchun 3

61 dV 1,15,27 sm2.

Bundan hajmning nisbiy xatosi

%45,27

088,1

VV

V .

kabi bo’ladi.

Absolyut va nisbiy xatolikni topishga doir misollar

1. Quyidagi sonlarni qiymatli uch xona(raqam)gacha yaxlit lab, hosil bo’lgan taqribiy sonlarning absolyut va nisbiy xatosini aniqlang:

a) 2,1514; 6)0,16152; v)0,01204; g) 1,225; d) 0,001528; ye)-392,85; j) 0,1545; z) 0,03922. 2. Quyidagi taqribiy sonlarning absolyut xatosini ularning nisbiy xatosiga asoslanib

aniqlang: a) a = 13267, = 0,1 %; b) a = 2,32, = 0,7%; v) a = 35,72, = 1 %; g) a = 0,896, = 10%. 3. Bir necha burchaklarning o’lchanishi natijasida quyidagilar olindi:

d1 = 21°37'3", d2 =45°, d3 =1°10", d4 = 75°20'44". d1, d2, d3, d4 sonlarining nisbiy xatosini absolyut xatolikni 1 ga teng deb hisoblab

aniqlang. 4. Agar x sonining absolyut xatosi aniq bo’lsa, undagi qiymatli raqamlar sonini

aniqlang. a)x = 0,3941, x =0,25-10"; b)x = 0,1132, x=0,1*10"3; v ) x = 38,2543, x =0,27-10 2; g) x = 293,481, x=0,1. 5. a sonining nisbiy xatosi aniq bo’lsa, undagi qiymatli raqamlar sonini aniqlang. a)a = 1,8921, o=0,1-Yu'2; b) a = 0,2218, a =0,2-10"1;

191

v) d = 22,351, o = 0,1; g) a = 0,02425, a = 0,5 • 10"2. 6. Taqribiy sonlarning ko’paytmasini toping va hisoblashlarning xatoligini

aniqlang ( berilgan sonlarning barcha raqamlari qiymatli deb hisoblagan holda). a) 3,49 • 8,6; b) 25,1 • 1,743; v) 0,02 • 16,5; g) 0,253 • 6,54 • 86,6; d) 1,78 • 9,1 • 1,183; ye) 482,56 • 0,0052. 7. Taqribiy sonlarning bo’linmasini toping. a) 5,687 5,032; 6)0,144 1,2; v) 2164; g) 726,676829; d) 754,9367 36,5. 8. To’g’ri to’rtburchakning tomonlari 4,02 ± 0,01 m, 4,96 ± 0,01 m.ga teng. To’g’ri

to’rtburchakning yuzasini hisoblang. 9. Doiraning radiusi R ni 0,5 sm aniqliqda o’lchaganda 12 sm soni hosil bo’ldi. Doira

yuzini hisoblashdagi absolyut va nisbiy xatoni toping. 10. Kubning har bir qirrasi 0,02 sm aniqlikda o’lchanganda 6 sm ga tengligi

ma’lum bo’ldi. Kubning hajmini hisoblashdagi absolyut va nisbiy xatolikni toping.

Quyidagi funksiyalarning absolyut va nisbiy xatoligini aniqlang

1 1 .3 caby a = 3,85 ±0,01; b = 2,0435 ± 0,004; s = 962,6 ±0,1.

12. 2

nmcbay a = 4,3 ±0,05; b = 17,2 + 0,02; s = 22 ±0,05; t = 12,477 ±0,003; p = 8,37

±0,005.

13. c

bay a = 228,6 + 0,05; b = 86,4±0,02; s = 68,7±0,05.

14. dc

bamy

3

a = 13,5 ±0,02; b = 7,5±0,02; s= 34,5±.0,022; = 3,325 ±0,005; t = 4,22

±0,004.

15. caby , a = 3,845 ± 0,004; b = 6,2 ±0,05; s = 0,8 ±0,1.

16.

mdcbay 2

, a= 1,75 ±0,001; b = 11,7±0,04; s = 0,536±0,002; = 6,32 ±0,008; t =

0,56 ±0,005.

17. cbay

2

, a = 3,546 ±0,002; b = 8,23 ±0,005; s = 145±0,08.

18. dcmbay

, a = 23,16 ± 0,02; b = 8,23 ± 0,005; s = 145 ± 0,08; d= 28,6±1; m = 0,28

±0,006.

19. c

aby3

, a = 0,643 ± 0,0005; b = 2,17 ±0,002; s = 5,843 ±0,001.

20. nmcbay

a= 27,16 ± 0,006; b = 5,03 + 0,01; s = 3,6 ± 0,002;

t = 12,375 ±0,004; n = 8,64 ± 0,002.

192

21. u = 22361 bab , a = 2,456 + 0,002; b = 1,76 ±0,001; =3,14.

22. mdc

bay

, a = 16,342 ±0,001; b = 2,5 ±0,03; s = 38,17 + 0,002;

d= 9,14 ±0,002; t = 9,14 ±0,005; n = 3,6 ±0,04.

23. 3

2

cnmy , s = 0,158±0,0005; m= 1,653±0,0003; n= 3,78±0,02.

24. dcbmay

, a = 9,542 ±0,01; b= 3,028 ± 0,002; s = 0,172 ±0,001;

d= 5,4 + 0,01; m = 26 ±0,03.

25. b

cdy , b= 2,65 ± 0,01; s = 0,7568 + 0,0002; d = 2,17 + 0,02.

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar

1. Qanday sonlar taqribiy sonlar deyiladi? 2. Taqribiy sonlarning absolyut va nisbiy xatoligiga ta’rif bering. 3. Taqribiy sonlarning qaysi raqamlari qiymatga ega deb ataladi? 4. Ma’lum (berilgan) sonning to’g’ri (ishonchli) raqamlari qanday aniqlanadi? 5. Differensiallanadigan funksiyaning absolyut va nisbiy xatoligini baholash formulasini yozing.

2. Chziqlimas va transsendent tenglamalarni yechishning sonli

usullari. Ildizlarni ajratish, kesmani teng ikkiga bo`lish, Nyuton, oddiy iteratsiya, vatarlar usullari

Ishning maksadi: talabalarni chiziqli bo’lmagan tenglamalarning ildizlarini ajratish usullari va taqribiy yechish usullariniqo’llab tenglamalarni sonli yechishni, hisoblash algoritm iva dasturini tuzish, olingan natijalarni tahlil qilishga o’rgatish.

1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarning ildizlarini ajratish

Algebraik va transsendent tenglamalarning ildizlarini ko’pchilik hollarda aniq topish imkoniyati bo’lmaydi. Shuning uchun ham algebraik va transsendent tenglamalarning ildizlarini taqribiy hisoblash va uning aniqligini baholash muhim ahamiyatga ega bo’ladi.

0xf (1)

tenglamani qaraylik. Bu yerda xf - ba, oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiya.

Ixtiyoriy qiymat xf funksiyani 0 ga aylantirsa, ya’ni 0f bo’lsa, (1)

tenglamaning ildizi deyiladi yoki xf funksiyaning noli deyiladi. Faraz qilaylik (1) tenglama ajratilgan ildizlarga ega bo’lsin, ya’ni (1) ning har bir ildizi uchun shunday oraliq mavjud bo’lsinki, unda (1) ning boshqa ildizlari yotmasin.

(1) tenglamaning ildizlarini taqribiy hisoblash quyidagi ikkita bosqichdan iborat bo’ladi: 1. Ildizlarni ajratish, ya’ni shunday , oraliqlarni topish kerakki, bu oraliqlarda (1)

tenglamaning faqat bittadan ildizi yotsin. 2. takribiy yechimlarni topish va yechimni talab qilingan aniqlikda hisoblash.

(1) tenglamani taqribiy yechish uchun oldin uning ildizi mavjud bo’lgan yetarlicha kichik oraliq aniqlanadi, ya’ni ildizlar ajratiladi. Ildizlarni ajratishda quyidagilardan foydalaniladi:

193

xf - uzluksiz funksiya ba, oraliqning chekka nuqtalarida har xil ishoraga ega bo’lsa, ya’ni

0bfaf (2)

bo’lsa, u holda ba, shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada 0f o’rinli buladi.

Bundan tashqari shu oraliqda xf monoton bo’lsa, ya’ni bu oraliqda xf mavjud bulib ishorasi o’zgarmasa, qaralayotgan oraliqda (1) tenglama bitta ildizga ega bo’ladi.

2. xf funksiya ba, oraliqda analitik funksiya bo’lsa va (2) shart bajarilsa, shu oraliqda (1) tenglama toq sondagi ildizga ega bo’ladi. Agar (2) shart bajarilmasa, u holda (1) tenglama ildizga ega bo’lmaydi yoki juft sondagi ildizlarga ega bo’ladi.

Quyida ildizlarni ajratishning analitik va grafik usullarini qaraymiz.

Ildizlarni analitik usulda ajratish. Bu holda xf funksiyaning birinchi tartibli hosilasi

aniqlanadi, 0 xf tenglamani yechib xf funksiyaning kritik nuqtalari aniqlanadi. Kritik nuqtalarda funksiyaning ishora almashinishlari aniqlanadi.

02056404 234 xxxxxf funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz.

xf funksiyaning qiymatlar jadvalini tuzamiz va ishora almashish oraliqlarini aniqlaymiz. X -4 -3 -2 -1 0 1

F(x) 76 -23 -20 1 -20 -119 Sign(f) + - - + - -

Demak tenglamaning ildizlari [-4;-3], [-2;-1] va [-1; 0] oraliqlarda yotar ekan.

Ildizlarni grafik usulda ajratish. Bu holda 0xf tenglama xfxf 21 , elementar

funksiyalar yordamida xfxf 21 ko’rinishda yozib olinadi. xfxf 21 ,

funksiyalarning qiymatlar jadvali tuzilib, ularnng grafiklari chiziladi. xfxf 21 , funksiyalar

grafiklarining kesishish nuqtalari yotgan eng kichkina oraliq 0xf tenglamaning ildizi yotgan oraliq bo’ladi.

Qaralayotgan 2056404 234 xxxxxf funksiyani

xxxx 5642040 324 ko’rinishda yozib 2040 241 xxxf va

xxxf 564 32 funksiyalarga ajratamiz. Bu funksiyalarning qiymatlari quyidagi jadvalda

keltirilgan. x f(x) f1(x) f2(x)

-5,00 385,00 -395,00 -780,00 -4,00 76,00 -404,00 -480,00 -3,00 -23,00 -299,00 -276,00 -2,00 -20,00 -164,00 -144,00 -1,00 1,00 -59,00 -60,00 0,00 -20,00 -20,00 0 1,00 -119,00 -59,00 60 2,00 -308,00 -164,00 144 3,00 -575,00 -299,00 276 4,00 -884,00 -404,00 480 5,00 -1175,00 -395,00 780

Jadvaldagi qiymatlarga asoslanib bu funksiyalarning grafiklari chizamiz.

194

Grafiklarning kesishish nuqtalari, ya’ni tenglamaning ildizlari [-4;-3], [-2;-1] va [-1; 0] oraliqlarda yotar ekan.

2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari.

Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni Vatarlar, Nyuton (urinmalar) va oddiy

iterasiya usullari yordamida taqribiy yechish mumkin. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni yechishdan avval ularning ildizlarini ajratib olish kerak bo’ladi. Ildizlarni ajratish deganda taqribiy ildizlar yotadigan oraliqlarni aniqlash tushuniladi. Ildizlarni ajratish uchun ildizlarni ajratishning grafik yoki analitik usullaridan foydalanish mumkin. Tenglamaning ildizlarni ajratib olganimizdan so’ng quyidagi usullarning biridan foydalanib tenglamaning yechimini topish mumkin. Faraz qilaylik, ildiz ba, oraliqda yotsin. Vatarlar usuli.

a) Agar [a, b] oraliqda 0af bo’lsa, u holda

nn

nnn xb

xfbfxfxx

1 ,

bunda ax 0 . b) Agar [a, b] oraliqda 0af , u holda

ax

afxfxfxx n

n

nnn

1

bunda bx 0 . Nyuton usuli (Urinmalar usuli). Agar [a, b] oraliqda 0" xfaf bo’lsa, u holda

ax 0 ; agar 0" xfbf bo’lsa, u holda bx 0 bo’ladi va quyidagi formula bilan xisoblanadi.

,...2,1,0'1 n

xfxfxx

n

nnn .

Iterasiya usuli. 0xf tenglamani xx tenglama ko’rinishiga keltirish kerak. Masalan quyidagicha

195

k

xfxx ' .

k –ni shunday tanlash kerakki, 2Qk qanoatlantirsin, bunda xfQ

ba'max

],[ . k -ning ishorasi

[a, b] oraliqda xf ' funksiyaning ishorasi bilan mos tushsin. Iterasion jarayon [a, b] oraliqda

1' x shartga asosan yaqinlashadi. Ildizlar quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi.

,...,2,1,0,1 nxx nn

0x ning kiymati [a, b] oraliqdan olingan. Aniq yechimni quyidagi munosabatdan foydalanib baholash mumkin.

01*

1xx

MM

xxn

n

,

bunda x* - ildizning aniq kiymati, xMba

],[max .

02056404 234 xxxxxf tenglamaning ildizlarini Vatarlar usulida hisoblash dasturni qaraymiz.

Berilgan tenglamani vatarlar va Nyuton usullarida yeching 1. 022 23 xx 14. 01093 23 xxx 2. 0223 xx 15. 0133 xx 3. 033 xx 16. 06,16,04,0 23 xxx 4. 04,14,02,0 23 xxx 17. 04,14,01,0 23 xxx 5. 03123 23 xxx 18. 015,02,0 23 xxx 6. 02,14,01,0 23 xxx 19. 0563 23 xxx 7. 04,15,02,0 23 xxx 20. 0423 xx 8. 012123 23 xxx 21. 08,05,02,0 23 xxx 9. 0643 xx 22. 02,14,01,0 23 xxx 10. 0163 23 xxx 23. 05,14,01,0 23 xxx 11. 0263 23 xxx 24. 02,13,02,0 23 xxx 12. 09123 23 xxx 25. 025,02,0 23 xxx 13. 0133 xx 26. 02,15,02,0 23 xxx


1. Chiziqli bo’lmagan tenglamaning ildizlarini ajratish usullari g’oyasini tushuntirib bering?

2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullarini tushuntirib bering?

Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari xatoligi qanday baholanadi?

196


Ishning maksadi: talabalarni chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli yordamida

yechishga o’rgatish, Oddiy iterasiya usulining modifikasiyasi xisoblangan Zeydel usuli yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechish.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda aniq va taqribiy usullardan foydalaniladi. Aniq usullarda hisoblashlar yaxlitlanmasdan bajariladi va noma’lumlarning aniq qiymatini topishga olib keladi. Bunday usullarga Gauss va kvadrat ildizlar usullari kiradi. Taqribiy usullar hisoblashlar yaxlitlanib yoki yaxlitlanmasdan bajarilganda ham noma’lumlarning qiymatini berilgan aniqlikda topish imkonini beradi. Bunday usullarga iterasiya va Zeydel usullari kiradi. Misol. Kuyidagi chizikli tenglamalar sistemasini Gauss usuli yordamida 0,001 aniqlikda takribiy yeching.

16,112,05,015,008,083,006,028,084,011,0

44,08,027,013,021,015,208,011,005,068,0

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Yechish. Bu tenglamalar sistemasini Gauss usuli yordamida yechish uchun kuyidagi jadvallardan foydalanamiz.

Noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlar Ozod hadlar Nazoratdagi

yig’indi 1x 2x 3x 4x

41

31

21

11

aaaa

42

32

22

12

aaaa

43

33

23

13

aaaa

44

34

24

14

aaaa

45

35

25

15

aaaa

4

3

2

1

cccc

1 12 13 14 15 1

42

32

22

'''

aaa

43

33

23

'''

aaa

44

34

24

'''

aaa

45

35

25

'''

aaa

4

3

2

'''

ccc

1 23 24 25 2

43

33

""

aa

44

34

""

aa

45

35

""

aa

4

3

""

cc

1 34 35 3

44a 44a 4c

1 45 4

1 4x 4

~x 1

3x 3~x

1 2x 2

~x

197

1 1x 1

~x

Xisoblashlar kuyidagi jadvalga asosan bajariladi

Xisoblash formulalari Tekshirish

4,3,2,15

1

iacj

iji

11

11

11

11 ;5,4,3,2

acj

aa j

j 1151413121

4,3,2'

;5,4,3,2;4,3,2'

11

11

iaccjiaaa

iii

jiijij 4,3,2''''' 5432 icaaaa iiiii

22

22

22

22 '

';5,4,3''

acj

aa j

j 22524231

4,3''"

;5,4,3;4,3''"

22

22

iaccjiaaa

iii

jiijij 4,3"""" 543 icaaa iiii

33

33

33

33 "

";5,4""

acj

aa j

j 335341

4""

;5,4;4""

33

31

iaccjiaaa

iii

jiijij 454 icaa iii

44

44

44

44 ;5

acj

aa j

j

4451

44

43433

32342422

21231341411

212313414151

323424252

434353

454

~~~

~~~~~~~

xxx

xxxxxxxxxxx

xxxxx

x

11

22

33

44

~1

~1

~1

~1

xxxxxxxx

Yukoridagi jadvallardan foydalanib tenglamalar sistemasini yechamiz.

Noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlar Ozod hadlar Nazoratdagi yig’indi 1x 2x 3x 4x

198

0,68 0,21 -0,11 -0,08

0,05 -0,13 -0,84 0,15

-0,11 0,27 0,28 -0,5

0,08 -0,8 0,06 -0,12

2,15 0,44 -0,83 1,16

2,85 -0,01 -1,44 0,61

1 0,0735 -0,1618 0,1176 3,1618 4,1912 -0,1454

-0,8319 0,1559

0,30398 0,2622 -0,5129

-0,8247 0,0729 -0,1106

-0,22398 -0,4822 1,4129

-0,89015 -0,97897 0,9453

1 -2,0906 5,6719 1,5404 6,1221 -1,47697

-0,18697 4,79139 -0,9948

0,7992 1,1723

4,1140 -0,00913

1 -3,2441 -0,5411 -2,7854 -1,6013 1,0711 -0,5299

1 -0,6689 0,3309 2,8264 -0,3337 -2,7110 -0,6689 3,8263 0,6664 -1,7119 0,3309

Tenglamalar sistemasini oddiy iterasiya usuli yordamida yechish uchun sistemani

FAXX ko’rinishga keltiramiz. Quyidagi vektorlar ketma-ketligini tuzamiz: 0X -ixtiyoriy vektor;

FAXXFAXXFAXXFAXX nn 1231201 ;...;;; .

Agar matrisaning biror normasi uchun 1A bo’lsa, hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi.

Koordinatalar kuyidagi formulalar yordamida xisoblanadi: nifxaxfx i

n

j

kjij

kiii ,1,

1

1)0(

.

Hisoblashlar aniqligini quyidagi munosabatdan aniqlash mumkin:

01

*

1XX

AA

XXk

k

;

agar FX 0 bo’lsa, u holda

FA

AXX

k

k

1

1

* ,

bunda *X - aniq yechim. Berilgan tenglamalar sistemasini Gauss usulida yeching

№ 1

2,73,58,84,232,148,17,63,55,111,78,62,132,143,95,53,48,102,195,24,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 2

3,147,83,62,138,63,33,24,126,37,5

5,44,615126,54,88,142,142,32,8

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

199

№ 3

7,147,57,237,125,86,81,126,58,27,145,53,43,61,136,6

7,23,86,58,77,5

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 4

5,132,74,143,81,177,78,83,45,84,6

7,42,128,56,63,88,25,153,62,148,3

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 5

4,238,57,157,83,147,76,64,237,53,6

6,55,45,57,68,84,25,117,56,67,15

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 6

1,127,334,16,73,66,87,124,73,84,5

5,25,55,34,44,25,151,142,231,123,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 7

3,78,237,68,86,54,93,145,62,133,66,61,24,52,144,23

4,147,123,143,54,14

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 8

8,17,14,201,20109,11,54,47,73,31,24,51,27,11,3

1,31,23,1107,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 9

102,51,43,11,7208,16,14,12,1197,15,13,41,1

104,579,18,17,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

№ 10

2,21,229,18,17,48,49,451,52,48,32,25,11,15,64,63,62,61,6

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 11

6,15,44,13,12,11,16,95,84,72,6

105,14,12,23,101,61,52,41,32,2

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 12

8,204,31,7103,67,11,75,68,17,11

8,125,237,115,71,275,08,115,341,28,35

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 13

1,1101,24,31102,18,49,37,18,2

1,112,11,11,212,455,78,25,377,11,35

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 14

1,11,28,15,77,120101,13,15,7

1,11,201,301,13,33,11,131,112,111,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 15

1,1101,24,31102,18,49,37,18,25,14,1203,110

1,17,71,28,15,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 16

7,13,35,31,21,2101,171,71,217,1

3,15,73,11,115,17105,1104,11,30

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

№ 17

2,62,143,35,114,22,65,23,44,52,8

5,212,93,82,65,118,87,67,121,83,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 18

2,18,22,64,146,8154,145,41,2115

6,47,84,127,31225,37,93,65,128,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

№ 19

5,62,125,62,52,134,58,83,187,76,8

1,172,63,143,88,523,2423,82,74,6

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

№ 20

5,87,124,67,137,24,67,42,53,224,84,48,57,123,43,62,135,82,42,32,14

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 21

2,97,33,82,125,74,127,84,146,66,156,66,65,127,77,10

8,53,148,34,123,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 22

8,103,98,136,65,37,82,64,127,38,54,127,76,52,43,88,62,64,43,82,13

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

200

№ 23

1,275,39,97,13,11,23,2108,17,17,14,32,77,11,1

107,11,92,11,8

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

№ 24

1,23,32,27,170105,4201,110

2,22,23,11,218,11,17,1102,23,3

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

№ 25

7,1203,37,03,38,15,02,3020101,21,11,305,020

7,17,1209,97,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

№ 26

101,13,11,13,12,13,12,13,35,3

1,13,13,110102,22,11,13,17,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Faraz qilaylik quyidagi sistema berilgan bo’lsin: 11212111 ... bxaxaxa nn ,

22222121 ... bxaxaxa nn , (3.1) ………………………..

nnnnnn bxaxaxa ...2211 . Takribiy yechish usullari orqali sistemaning yechimini aniqlaymiz (ya’ni shunday usullarni

qo’llash lozimki hisoblashlarni yaxlitlanmasdan yechim nxxx ,...,, 21 ni ma’lum bir aniqlikda topish lozim). Agar (3.1) ning noma’lumlari soni ko’p bo’lsa, uning aniq yechimini topish qiyinlashadi. Bunday hollarda sistemaning yechimlarini topish uchun taqribiy usullardan foydalaniladi. Bu esa yechimni topish vaqtini 20-30% kamaytiradi. Yaxlitlash xatoliklari esa aniq usullar yordamida yechganga qaraganda kamroq ta’sir qiladi, bundan tashqari hisoblash vaqtidagi xatoliklar yechimni topishning keyingi qadamida tuzatiladi. Algebraik tenglamalar sistemasini takribiy yechishning keng tarqalgan usullaridan biri Zeydel usulidan iboratdir. USULNING MAZMUNI Faraz kiliylik (3.1) sistema berilgan bo’lsin va undagi diogonal koeffisentlar noldan farqli bo’lsin, ya’ni niaii ,...,2,10 . Sistemaning birinchi tenglamasini 1x ga, ikkinchisini 2x ga nisbatan yechib quyidagi sistemaga ega bo’lamiz.

nnxxxx 131321211 ... , nn xxxx 232322222 ... (3.2)

……………………………… 11,2211 ... nnnnnnn xxxx .

Bu yerda iiijijii

ii aad

ab / , ji da va 0ij , njiji ,...,2,1, da.

(3.2) sistemani ketma-ket yakinlashish usulida yechamiz. Nolinchi yakinlashish sifatida 00

20

1 ,...,, nxxx larni shunday tanlaymizki, ular nxxx ,...,, 21 larga iloji boricha yaqin bo’lsin. Nolinchi yakinlashish sifatida ko’pchilik hollarda nxxx ,...,, 21 larning taqribiy qiymatlari olinadi. K-chi yakinlashishni ma’lum deb, (K+1) yakinlashishni quyidagi formula orqali aniqlaymiz.

n

j

kjj

k xx1

111

1 ;

n

j

kjj

n

j

kjji

k xxx2

11

11

11 ; (3.3)

201

,...2,1,01

11

11

kxxxn

j

knnn

kjjn

k

Bu usulning mazmuni shundan iboratki, (K+1) chi yakinlashishda noma’lum ix ning ifodasida undan oldingi hadlarning (K+1) chi yaqinlashishlari ko’llaniladi. Bu keltirilgan yaqinlashishning zaruriy sharti quyidagi teorema orqali beriladi. Teorema. Agar (3.2) sistema uchun kuyidagi tengsizliklarning

1)

n

jij

1

1|| ni ,...,2,1

yoki

2)

n

jij

1

1|| ni ,...,2,1

birortasi bajarilsa (3.3) iterasiya jarayoni sistemaning yechimiga yakinlashadi va u nolinchi yaqinlashishga bog’liq bo’lmaydi.

Natija: Quyidagi sistema uchun

n

jijij bxa

1

ni ,...,2,1

iterasiya jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda niaa

jiijii ,...,2,1||

tengsizlik bajarilsa, ya’ni har bir tenglamada diogonal koeffisiyentlarning moduli qolgan boshqa koeffisiyentlar modullarining yig’indisidan katta bo’lsa( ozod hadlarni hisobga olmaganda). Zeydel usulini qo’llab quyidagi sistemaning yechimini topaylik:

65,05,05 321 xxx ; 5,65,05 321 xxx ;

(3.4) 75 321 xxx .

Yechish: Berilgan sistemani (3.2) ko’rinishdagi sistemaga keltiramiz: 321 1,01,02,1 xxx ;

312 1,02,03,1 xxx ;

313 2,02,04,1 xxx . Haqiqitan ham bu sistema uchun zaruriy shart bajariladi:

2

1

2

1

2

1

14,0||,13,0||,12,0||j

ijj

ijj

ij aaa

Nolinchi yakinlashish sifatida .4,1;3,1;2,1 0

30

20

1 xxx U holda Zeydel usulining keyingi yaqinlashishi quyidagicha bo’ladi:

9300,04,11,03,11,02,111 x ;

9740,04,11,09300,02,03,112 x ;

192,19740,02,09300,02,04,113 x ;

K=2 bo’lganda 00068,10192,11,09740,01,02,121 x ;

997944,00192,11,000068,12,03,122 x ;

0002752,1997944,02,000068,12,04,123 x ;

Jadval 3.1 (3.4) sistema noma’lumlarining qiymatlari quyidagi jadvalda keltirilgan:

202

K kx1 kx2 kx3 0 1,2000 1,3000 1,4000 1 0,9300 0,9740 1,0192 2 1,0006 0,9979 1,0002 3 1,0001 0,9999 0,9999 4 1,0000 1,0000 0,9999 5 1,0000 1,0000 1,0000 6 1,0000 1,0000 1,0000

Bu yerda sistemaning haqiqiy yechimi quyidagichadir: .1;1;1 321 xxx

Zeydel usuli yordamida quyidagi sitemalarning taqribiy yechimini 310 aniqlikda hisoblang.

1

2,73,58,84,232,148,17,63,55,111,78,62,132,143,95,53,48,102,195,24,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

2

3,147,83,62,138,63,33,24,126,37,5

5,44,615126,54,88,142,142,32,8

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

3

7,147,57,237,125,86,81,126,58,27,145,53,43,61,136,6

7,23,86,58,77,5

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

4

5,132,74,143,81,177,78,83,45,84,6

7,42,128,56,63,88,25,153,62,148,3

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

5

4,238,57,157,83,147,76,64,237,53,6

6,55,45,57,68,84,25,117,56,67,15

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

6

1,127,334,16,73,66,87,124,73,84,5

5,25,55,34,44,25,151,142,231,123,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

7

3,78,237,68,86,54,93,145,62,133,66,61,24,52,144,23

4,147,123,143,54,14

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

8

8,17,14,201,20109,11,54,47,73,31,24,51,27,11,3

1,31,23,1107,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

9

102,51,43,11,7208,16,14,12,1197,15,13,41,1

104,579,18,17,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

10

2,21,229,18,17,48,49,451,52,48,32,25,11,15,64,63,62,61,6

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

11

6,15,44,13,12,11,16,95,84,72,6

105,14,12,23,101,61,52,41,32,2

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

12

8,204,31,7103,67,11,75,68,17,11

8,125,237,115,71,275,08,115,341,28,35

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

203

13

1,1101,24,31102,18,49,37,18,2

1,112,11,11,212,455,78,25,377,11,35

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

14

1,11,28,15,77,120101,13,15,7

1,11,201,301,13,33,11,131,112,111,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

15

1,1101,24,31102,18,49,37,18,25,14,1203,110

1,17,71,28,15,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

16

7,13,35,31,21,2101,171,71,217,1

3,15,73,11,115,17105,1104,11,30

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

17

2,62,143,35,114,22,65,23,44,52,8

5,212,93,82,65,118,87,67,121,83,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

18

2,18,22,64,146,8154,145,41,2115

6,47,84,127,31225,37,93,65,128,4

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

19

5,62,125,62,52,134,58,83,187,76,8

1,172,63,143,88,523,2423,82,74,6

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

20

5,87,124,67,137,24,67,42,53,224,84,48,57,123,43,62,135,82,42,32,14

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

21

2,97,33,82,125,74,127,84,146,66,156,66,65,127,77,10

8,53,148,34,123,7

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

22

8,103,98,136,65,37,82,64,127,38,54,127,76,52,43,88,62,64,43,82,13

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

23

1,275,39,97,13,11,23,2108,17,17,14,32,77,11,1

107,11,92,11,8

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxx

24

1,23,32,27,170105,4201,110

2,22,23,11,218,11,17,1102,23,3

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

25

7,1203,37,03,38,15,02,3020101,21,11,305,020

7,17,1209,97,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxx

xxxx

26

101,13,11,13,12,13,12,13,35,3

1,13,13,110102,22,11,13,17,1

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 1. Chiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari necha turga

bo’linadi? 2. Chiziqli tenglamalar sistemasi yechishning Gauss usulini tushuntirib

bering. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasi yechishda Gaussning bosh elementni

tanlash usulini tushuntirib bering.

204

4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Zeydel usulini tushuntirib bering.

5. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Zeydel usulining yaqinlashish shartini tushuntirib bering


Ishning maqsadi: Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining yechimlarini taqribiy hisoblash usullarini o’rganish, hisoblash ishlarini bajarish, hisoblash dasturini tuzish va natijalarni tahlil qilish.

Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishda Nyuton va oddiy iterasiya usullari qo’llaniladi. Nyuton va oddiy iterasiya usullarinng chiziqli bo’lmagan ikkita tenglama sistemasi uchun qo’llanilishini qaraylik.

0,0,

yxGyxF

(1)

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Nyuton usuliga ko’ra taqribiy hisoblashlar

nn

ny

nn

nn

nx

nn

yxJyy

yxJxx

,

,

1

1

(2)

iterasion formulalardan hisoblanadi. Bu yerda

nnnnx

nnnnxny

nnynn

nnynnnx yxGyxG

yxFyxFyxGyxGyxFyxF

,,,,

,,,,,

'

'

'

'

,

0

,,,,

, ''

''

nnynnx

nnynnx

yxGyxGyxFyxF

yxJ

Dastlabki yaqinlashish 00 , yx grafik yoki boshqa usullar yordamida aniqlanadi. Misol. Quyidagi

04,012,

3

23

yxyyxGyxyxF

sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang. Yechish. Grafik usulda dastlabki yaqinlashish 7,12,1 00 yx aniqlangan bo’lsin. U holda

13

26,

23

2

00

xyy

yxyxJ , demak 910,97

40,991,440,364,8

7,1;2,1

J

(2) formulaga ko’ra

205

6610,10390,07,11956,091,4

434,064,891,97

17,1

2349,10349,02,140,91956,040,3434,0

91,9712,1

1

1

y

x

Hisoblashlarni shu singari davom qilib 6615,12343,1 22 yx topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.

Oddiy iterasiya usuli. (1) sistemani

yxyyxx

,,

2

1

(3)

ko’rinishda yozib olamiz. yxyx ,,, 21 funkiyalar iterasiyalovchi funksiyalar deb yuritiladi. Taqribiy yechimni topish algoritmi

,.....3,2,1,0

,,

21

11

nyxyyxx

nnn

nnn

(4)

ko’rinishda beriladi. Bu yerda 00 , yx - birinchi yaqinlashish qiymatlari. (4) iterasion hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda

1

1

222

111

qyx

qyx

(5)

tengsizliklar bajarilsa. MISOL. Quyidagi

026036

33

33

yyxxyx

sistemaning yechimini oddiy iterasiya usulida 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang. YeChISh. Iterasiya usulini qo’llash uchun berilgan sistemani

31

6

21

633

33

yxy

yxx

ko’rinishda yozib olamiz. 10,10 yx kvadrat sohani qaraylik. Agar 00 , yx shu sohaga qarashli bo’lsa, u

holda 1,0,1,0 02001 oyxyx o’rinli bo’ladi. Demak shu sohadan 00 , yx

ixtiyoriy tanlaganimizda ham nn yx , ham o’sha sohaga tegishli bo’ladi. Bundan esa (5) yaqinlashish shartining bajarilishi kelib chiqadi, ya’ni

122

122

2222

2211

yxyx

yxyx

206

o’rinli bo’ladi. Demak, qaralayotgan kvadrat sohada yagona yechim mavjud va uni iterasiya usuli

yordamida taqribiy hisoblash mumkin. Dastlabki yaqinlashishni 21,

21

00 yx deb olaylik.

;333,06

81

81

31;542,0

681

81

21

11

yx

;354,06

1233,031;533,0

619615,0

21

22 yx

Hisoblashlarni shu singari davom ettirib ;351,0;532,0;351,0;533,0 4433 yxyx

bo’lishini aniqlaymiz. 5,07234

21 qq bo’lganligidan va uchinchi va to’rtinchi taqribiy yechimlarning kasr qismidagi uchta raqamining mos kelishi talab qilingan aniqlikka erishilganini bildiradi. Taqribiy yechim sifatida ;351,0;532,0 yx qiymatlarni olish mumkin.

Misollar

1. Dastlabki yaqinlashishni grafik usulda aniqlang. 2. Yaqinlashish sharti bajarilishini tekshiring. 3. Nyuton va iterasiya usullarini qo’llab chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining taqribiy

yechimlarini 0,001 aniqlikda hisoblang.

№ 1

2cos22,11sin

yxyx

№ 2

3cos5,01cos

yxyx

№ 3

7,01cos22sinxy

yx

№ 4

15,0sin25,1cos

yxyx

№ 5

02cos15,0sin

xyyx

№ 6

6,12sin8,05,0cos

xyyx

№ 7

8,01sin3,11sin

yxyx

№ 8

4,0sin01cos2

yxxy

№ 9

12sin25,0cos

xyyx

№ 10

5,02cos5,12sin

yxyx

№ 11

2cos22,11sin

xyxy

№ 12

8,01sin3,11sin

yxyx

№ 13

7,01cos22sinyx

xy

№ 14

15,0sin25,1cos

xyxy

№ 15

02cos15,0sin

yxxy

№ 16

6,12sin8,05,0cos

yxxy

№ 17

8,01sin3,11sin

xyxy

№ 18

4,0sin01cos2

xyyx

№ 19

12sin25,0cos

yxxy

№ 20

5,02cos5,12sin

xyxy

207

№ 21

2cos211sin

yxyx

№ 22

2cos8,01cos

yxyx

№ 23

11cos6,12sin

xyyx

№ 24

25,0sin22,1cosyx

yx

№ 25

02cos

2,15,0sinxy

yx

№ 26

8,202sin151,0cos

xyyx


1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasining dastlabki yaqinlashishi qanday aniqlanadi?

2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish usullari ni tushuntirib bering?

3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari xatoligi va yaqinlashishi qanday aniqlanadi?

5. Matrisaning xos son va xos qiymat masalasini yechishning sonli ussullari. Iteratsiya, A.N.Krilov 6. Interpolyatsiya masalasi. Logranj interpolystsion ko`phadi. Nyuton interpolystsion ko`phadi.

Ishning maksadi: Interpolyasion ko’phadlar va ularni qurish, berilgan nuqtada

funksiyaning qiymatini taqribiy hisoblashni o’rganish, masalani yechish algoritmini tuzish va EHMda ijro etish.

Masalaning qo’yilishi

xfy funksiya berilgan bo’lsa, x ning mumkin bo’lgan ixtiyoriy qiymatiga y ning qiymati mos qo’yilgan bo’ladi. xy ni aniqlash har doim ham oson bo’lmaydi. Masalan, agar x parametr o’rnida kelsa xy marakkab masalaning yechimi deb qaralishi mumkin yoki xy ning qiymatlari qimmat turuvchi taqiqotlar natijasida aniqlangan bo’lsa. Bunda funksiyaning qiymatlar jadvalini tuzishimiz mumkin, lekin argumentning juda ko’p qiymatlarida buni bajarish imkoni bo’lmaydi.

Bunday hollarda odatda interpolyasion formulalar qo’llaniladi. ba, kesmada nxxx ,....,, 10 argumentning 1n ta har xil qiymatiga mos keluvchi

xfy funksiyaning qiymatlari 00 yxf , 11 yxf ,…, nn yxf berilgan bo’lsin.

nxxx ,....,, 10 berilgan tugunlarda xfy funksiya bilan bir xil qiymat qabul qiladigan va darajasi n dan oshmaydigan хn ko’pxadni qurish talab qilinsin, ya’ni

.,...,2,1, niyх iin

208

хn - interpolyasion ko’pxad, nxxx ,....,, 10 interpolyasiya tugunlari, haralayotgan masala esa interpolyasiya masalasi deb yuritiladi.

Geometrik nuqtai nazardan bu ii yх , nuqtalardan o’tuvchi хy n chiziqni topishni bildiradi (Rasm 1).

Rasm 1. Interpolyasiya masalasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishi yoki umuman yechimga ega bo’lmasligi mumkin. Ko’pincha interpolyasion formulalar argumentning oraliq qiymatlari uchun xfy funksiyaning qiymatini topishda foydalaniladi. Bunda nuqta х nхх ,0 oraliqda yotganda

interpolyasiya, nхх ,0 kesmadan tashqarida yotganda ekstropolyasiyalash masalasi deb yuritiladi. Interpolsion ko’pxadning umumiy ko’rinishdagi turli ifodalanishlari mavjud: Nyuton, Lagranj, Gauss, Sterling, Bessel va boshqalar. Nyuton, Lagranj formulalari hisoblashlarda qulay bo’lib EHMda va qo’lda hisoblashlarda aniqlikni nazorat qilishni ta’minlaydi, qolgan boshqa formalar interpolyasiya tugunlari joylashishining xususiy xollarida o’rinli.

Usulning yoritilishi. Nyuton interpolyasion formulalari teng uzoqlikda joylashgan tugunlar uchun qaralayotgan oraliqning boshi va oxiridagi nuqtalarda funksiyaning qiymatini hisoblash uchun qulay. Ixtiyoriy joylashgan tugunlarda interpolyasiyalashda Lagranj interpolyasion formulasidan foydalaniladi. niхi ,...,1,0 ixtiyoriy tugunlar va bu tugunlarda xfy funksiyaning ii xfy qiymatlarii berilgan bo’lsin. iх tugunlarda iy qiymatlarni qabul qiladigan n -darajali ko’pxadni Lagranj interpolyasion ko’phadi yordamida qurishni qaraylik.

xLn

niiii

niii

n

i ххххххххххххххххy

110

10

0

Formulaning qoldiq hadi

n

n

n ххххххn

хR

10

1

1

kabi bo’ladi. Bu yerda mniхi 1,0 tugunlar va х nuqta o’z ichiga oladigan eng kichik oraliqda yotadi..

niiiiiii

niini хххххххххх

хххххххххххL

1110

1110

ifoda Lagranj koefisentlarii deb nomlanadi.

209

Bu holda (4,1) formula quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

n

ii

nin yхLхL

1

Lagranj koeffisentlarini hisoblash uchun quyida keltirilgan sxemadan foydalanish mumkin.

i )( jixx ji iD iy i

iD

y

0 0xx 10 xx 20 xx ..... nxx 0 0D 0y 0

0D

y

1 01 xx 1xx 21 xx ..... nxx 1 1D 1y 1

1D

y

2 02 xx 12 xx 2xx ..... nxx 2 2D 2y 2

2D

y

3 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...

n

iin xxxП

01

n

i i

i

DyS

0

Birinchi satr elementlari yig’indisini 0D , ikkinchi satr elementlari yig’indisini 1D va hakozo kabi belgilaymiz. Tagi chizilgan diogonal elementlarning yig’indisini xПn 1 orqali belgilaymiz. Bundan esa

niD

ххL

i

nni ,,1,01

bo’lishi kelib chiqadi.

Demak

n

i i

inn D

yххL

11 o’rinli bo’ladi.

Misol. хy ln funksiyaning 103,102,101,100х nuqtalardagi qiymatini berilgan bo’lsin. Bu funksiyaning 5,100х bo’lgandagi qiymatini toping va xatolikni baholang. Yechish: Qulaylik uchun hamma hisoblashlarni jadvalga joylashtiramiz.!

i )( jixx ji iD iy i

iD

y

0 0,5 -1 -2 -3 -3,0 4,60517 -1,53500 1 1 -0,5 -1 -2 -1,0 4,61512 -4,61512 2 2 1 -1,5 -1 3,0 4,62797 1,54365 3 3 2 1 -2,5 -1,5 4,63473 -3,08582

375,90

1

n

iin xxxП 769834

0

n

i i

i

DyS

Bu holda

21156.869834.7375.95.1003

04

i i

i

Dхy

Lagranj formulasi qoldiq hadi 3n bo’lganda

.!4 32103 ххххххххfхR

iv

210

kabi bo’ladi. Biz qarayotgan misolda 5,100,103,102,101,100 3210 xxxxх va

103100 . хxf ln bo’lgani uchun 4

6x

f iv bo’ladi. Demak

843 1023,05,35,25,15,0

!410065,100

R .

Teng uzoklikda joylashgan tugunlarda y funksiyaning qiymatlari berilgan. Nyutonning

birinchi va ikkinchi interpolyasion formulalari yordamida ko’phad quring va х nuqtadagi qiymatini hisoblang.

x y № x x y № x

1,375 1,380 1,385 1,390 1,395 1,400

5,04192 5,17744 5,32016 5,47069 5,62968 5,79788

1 1,3832 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140

8,65729 8,29729 7,95829 7,64893 7,36235 7,09613

2 0,1264 3 1,3926 4 0,1315 5 1,3862 6 0,1232 7 1,3934 8 0,1334 9 1,3866 10 0,1285

11 1,3795 12 0,1356

x y № x x y № x 1,415 1,420 1,425 1,430 1,435 1,440 1,445

0,888551 0,889599 0,890637 0,891667 0,892687 0,893698 0,894688

13 1,4179 0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 0,180

6,61659 6,39989 6,19658 6,00551 5,82558 5,65583 5,42667

14 0,1521 15 1,4258 16 0,1611 17 1,4396 18 0,1662 19 1,4236 20 0,1542 21 1,4315 22 0,1625 23 1,4215 24 0,1711 25 1,4277 26 0,1753

Teng uzoklikda joylashmagan tugunlarda y funksiyaning qiymatlari berilgan.

Lagranj interpolyasion formulalari yordamida ko’phad quring va х nuqtadagi qiymatini hisoblang.

x y № x x y № x

0,43 1,63597 1 0,702 0,02 1,02316 2 0,102 0,48 1,73234 3 0,512 0,08 1,09590 4 0,114 0,55 1,87686 5 0,645 0,12 1,14725 6 0,125 0,62 2,03345 7 0,736 0,17 1,21483 8 0,203 0,70 2,22846 9 0,608 0,23 1,30120 10 0,154 0,75 2,35973 11 0,478 0,30 1,40976 12 0,087

X y № x x y № x 0,35 2,73951 13 0,526 0,68 0,80866 14 0,896 0,41 2,30080 15 0,453 0,73 0,89492 16 0,812 0,47 1,96864 17 0,482 0,80 1,02964 18 0,774 0,51 1,78776 19 0,552 0,88 0,20966 20 0,955 0,56 1,59502 21 0,436 0,93 1,34087 22 0,715 0,64 1,34310 23 0,635 0,99 1,52368 24 0,984

211

0,69 1,16321 25 0,667 1,07 1,75826 26 0,845

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 1. Interpolyasiya masalasi qanday qo’yiladi ? 2. Nyutonning 1 va 2-interpolyasion formulalarini va qo’llash hollarini

tushintirib bering. 3. Lagranj interpolyasion formulasi va qo’llash hollarini tushintirib

bering. 4. Nyuton va Lagranj interpolyasion formulalarining qoldiq hadi

qanday baholanadi ?


Ishdan maqsad: Aniq integrallarning qiymatini taqribiy hisoblashning trapesiya va

Simpson formulalari hamda ularning qoldiq hadlarini baholashni o’rganish; hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish; masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish.

Quyidagi

b

a

dxxffI (1)

aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblashni qaraylik. Bu yerda xf - ba, oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiya.

ba, integrallash oralig’ini n ta uzunligi n

abh ga teng bo’lgan

nn xxxxxx ,,.....,,,, 12110 kesmalarga ajratamiz. Agar tugunlarda xf ning qiymatini nixfy ii ,...,2,1,0 kabi belgilasak

b

a

nn

yyyyyhdxxffI2

......2 121

0 (2)

umumiy trapesiyalar formulasi deyiladi. Bu formula geometrik nuktai-nazardan integral ostidagi xfy funksiyaning grafigini tugun nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq bilan almashtirishdan

iboratdir. Faraz qilaylik mn 2 juft son bo’lsin. ba, integrallash oralig’ini n ta uzunligi

mab

nabh

2

ga teng bo’lgan nn xxxxxx ,,.....,,,, 12110 kesmalarga ajratamiz.

2242

123120

......2

......43

m

b

amm

yyy

yyyyyhdxxffI (3)

Simpson formulasi deyiladi.

(3) formula geometrik nuktai-nazardan integral ostidagi xfy funksiyaning grafigini har bir oraliqda parabolalar bilan almashtirishdan iboratdir.

212

Misol.

1

0 1 xdxI integralning qiymatini trapesiyalar va Simpson formulalari yordamida taqribiy

hisoblang. Yechish.

1,0 kesmani 10n ta 1092110 ,,.....,,,, xxxxxx kesmalarga ajratamiz. Har bir

ix nuqtada 10,...,2,1,0 ixfy ii qiymatlarni hisoblaymiz va quyidagi jadvalga joylashtiramiz.

i xi yi 0 0 1,000 1 0,1 0,909 2 0,2 0,833 3 0,3 0,769 4 0,4 0,715 5 0,5 0,667 6 0,6 0,625 7 0,7 0,588 8 0,8 0,556 9 0,9 0,526 10 1,0 0,500

Trapesiyalar formulasiga ko’ra

694,0938,61,0

25,0526,0556,0588,0625,0667,0715,0769,0833,0909,05,01,02

......21

1

0

10921

0

yyyyyhx

dxIT

Simpson formulasiga ko’ra

8642

1

097531100 24

31yyyyyyyyyyyh

xdxI S

693,0458,5836,1375,031,0729,22459,3475,0

31,0

556,0625,0715,0833,02526,0588,0667,0769,0909,0425,05,031,0

Integrallarning qiymatini 3 xona aniqlikda trapesiya va Simpson formulalari yordamida

hisoblang.

1.

6,1

8,02 12x

dx

2.

8,2

2,12 2,3xdx

3.

2

12 3,12xdx

4.

2,1

2,02 1xdx

5.

4,1

6,02 32x

dx

6.

2,1

4,025,02 x

dx

213

7.

4,2

4,12 13x

dx

8.

4,2

2,125,0 x

dx

9.

2,1

4,023 x

dx

10.

6,1

6,0221 x

dx

11.

3

22 1x

dx

12.

5,1

5,02 2xdx

13.

6,2

2,12 6,0xdx

14.

2,2

4,12 13x

dx

15.

8,1

8,02 4xdx

16.

6,2

8,12 25,0xdx

17.

6,1

6,02 8,0xdx

18.

2

2,12 2,1xdx

19.

2,2

4,12 6,02xdx

20.

2,4

2,32 15,0 x

dx

21.

8,1

8,02 3,02xdx

22.

0,2

2,12 5,15,0 x

dx

23.

1,3

1,22 3xdx

24.

3,2

3,12 12,0 x

dx

25.

4,1

4,02 5,012x

dx

26.

3,2

3,12 4,03xdx

27.

8,2

4,12 7,05,1 x

dx

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 1. Aniq integrallarni sonli integrallashning trapesiya formulasini

yozing. 2. Trapesiya formulasining qoldiq hadini baholang. 3. Aniq integrallarni sonli integrallashning Simpson formulasini yozing. 4. Simpson formulasining qoldiq hadini baholang.


Ishdan maqsad: Birinchi tartibli differensial tenglama uchun qo`yilgan Koshi masalasini

Eyler, Runge-Kutta usulida yechishni talabalarga o’rgatish quyidagilarni o’z ichiga oladi: differensial tenglamani integrallashga sonli usulni qo’llash; hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish; masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish.

Masalaning qo’yilishi.

Birinchi tartibli differensial tenglama yxfy , (1)

bx ,0 kesmada

00yy xx (2)

214

boshlang’ich shart bilan berilgan bo’lsin. bx nuqtada noma’lum xyy funksiyaning qiymatini taqribiy hisoblash talab qilinsin. Agar berilgan masalaning xy yechimini topish mumkin bo’lganda, bx nuqtada,

ravshanki, by bx ni topishimiz mumkin bo’ladi. Lekin aksariyat hollarda masalaning umumiy yechimini topib bo’lmaydi. Bunday hollarda taqribiy (sonli) usullar qo’llaniladi.

Differensial tenglamani integrallashning eng keng tarqalgan sonli usullaridan biri Runge-Kutta usulidir.

Usul tavsifi

bx ,0 kesmada hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglama

yxfdxdy ,

berilgan bo’lsin va 0xx nuqtada 0yy boshlang’ich shart o’rinli bo’lsin.

nxbH 0

qadamni tanlaymiz va quyidagi belgilashni kiritamiz: ihxxi 0 va

nixyy ii ,...,3,2,1 . Quyidagi sonlarni qaraymiz:

iii yxhfK ,1 ,

2,

21

2

i

iii KyHxhfK

i

iii

i

iii KyHxhfKKyHxhfK 34

23 ,,

2,

2

(3)

Runge – Kutta usuli bo’yicha Hxx ii 1 nuqtada taqribiy yechimning 1iy qiymati quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi

iii yyy 1 (4)

bu yerda ,...2,1,02261

4321 iKKKKy iiiii

Bu usul bo’yicha bajariladigan hisoblashlar quyidagi jadvalga sxema bo’yicha

joylashtiriladi: 1 –jadval

i x y yxfHK , y 0 x0 y0 0

1K 01K

20Hx

2

01

0Ky

02K 0

2K

20Hx

2

02

0Ky

03K 0

3K

Hx 0 030 Ky 0

4K 04K

0y

1 1x 1y

215

1 —jadvalni to’ldirish tartibi.

12) Jadvalning birinchi satriga 00 , yx berilgan qiymatlarni yozamiz.

13) 00, yxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 01K sifatida jadvalga yozamiz.

14) Jadvalning ikkinchi satriga

2,

2

01


15)

)2

,2

(0

100

KyHxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 02K sifatida jadvalga

yozamiz.

16) Jadvalning uchinchi satriga

2,

2

02


17)

2,

2

02

00KyHxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 0

3K sifatida jadvalga

yozamiz.

18) Jadvalning to’rtinchi satriga 0300 , KyHx larni yozamiz.

19) 0300 , KyHxf ni hisoblab H ga ko’paytiramiz va 0

4K sifatida jadvalga yozamiz.

20) y ustuniga 04

03

02

01 ,2,2, KKKK larni yozamiz.

21) y ustundagi sonlarning yig’indisi 6 gabo’lib, 0y sifatida jadvalga yozamiz.

22) 001 yyy ni hisoblaymiz.

Keyingi navbatda ),( 11 yx ni boshlang’ich nuqta sifatida qarab hisoblashlarni shu singari davom qildiramiz. Runge-Kutta usuli yordamida EHMlarida qadamni avtomatik tanlab hisoblashlar bajarilganda hasoblashlar ikki marta bajariladi. Birinchisida H qadam bilan, ikkinchisida esa

2Hh qadam bilan. Agar bu holda olingan iy ning qiymatlari berilgan aniqlikdan oshsa, u holda

keyingi 1ix nuqtagacha qadam ikkilanadi, aks holda yarim qadam qo’llaniladi.

Runge - Romberg qoidasi Hky va h

ky izlanayotgan funksiyaning mos ravishda H va h qadamlarda hisoblangan qiymatlari hamda - berilgan absolyut xatolik bo’lsin.

Barcha k larda ushbu

H

khk yy215

1 (6)

tengsizlik bajarilganda berilgan aniqlikdagi hisoblashga erishildi deb hisoblanadi. H va h qadamlarda izlanayotgan funksiyaning qiymatlari hisoblanadi va (6) tengsizlik teksheriladi. Agar (6) tengsizlik barcha k larda bajarilsa hisoblashlar yakunlanadi.

Misol Runge - Kutta usulida [0 ; 0,45] kesmada yxy differensial tenglamaning (Koshi

masalasini) 0x da 1y boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini 0.001 aniqlikda hisoblang.

216

Yechish 001,04 H tengsizlikda kelib chiqqan holda 15,0H qadamni tanlaymiz. U holda 3n bo’ladi va qadamni 2 marta kamaytiramiz, ya’ni 075,0h ni tanlaymiz, u holda 6n bo’ladi. Qulaylik uchun hisoblash natijalarini 2 - jadvalga yozamiz. Oxirgi ustundan barcha k lar uchun (6) tengsizlik bajarilishi ko’rinib turibdi. Ya’ni hisoblashning berilgan aniqligiga erishiladi. Bu holda 6866,145,0 y qiymatni taqribiy topamiz. Berilgan boshlang’ich shartda qaralayotgan tenglamaning aniq yechimi quyidagicha bo’ladi:

12 xey x

Bundan kelib chiqadiki, 68662.1145.02 45.045,0 ey x bo’ladi va absolyut xato

0,000021,6866 - 1,68662 y |

hamda nisbiy xato %001.0

68662.100002.0

y kabi bo’ladi

2 -jadval k

x y yxHf

K,

y x y yxfh

K,

hk

Hk

K

K

2

151

0 0

1 0,15 0,15 0 1 0,075 0,075 0,075 1,075 0,1725 0,375 0,0375 1,0375 0,0806 0,1613 0

0,075 1,0863 0,1742 0,3484 0,0375 1,0403 0,0808 0,1617 0,15 1,1742 0,1986 0,1937 0,075 1,0808 0,0867 0,0867

0,1737 0,0808

1 0,075 1,0808 0,0867 0,0867 0,1125 1,1241 0,0927 0,1855

0,1125 1,1272 0,0920 0,1860

0,15 1,2668 0,1063 0,1063

0,0941 2 0,15 1,1737 0,

190,1986 0,15 1,1736 0,0993 0,0993

0,225 1,2730 0,2247 0,4494 0,1875 1,2233 0,1058 0,2116 0,000006

0,225 1,2860 0,2267 0,4533 0,1875 1,2266 0,1061 0,2121

0,30 1,400 0,2551 0,2551 0,225 1,2798 0,1129 0,1129

0,2261 0,1060 3 0,225 1,2796 0,1128 0,1128 0,2625 1,3360 0,1199 0,2398

0,2625 1,3395 0,1202 0,2403 0,3 1,5199 0,1365 0,1365

217

0,1216

4 0,30 1,3998 0,25

0,2550 0,3 1,3997 0,1275 0,1275 0,375 1,5273 0,2853 0,5707 0,3375 0,4634 0,1351 0,2701 0,0000006 0,375 1,5425 0,2876 0,5752 0,3375 1,4672 0,1354 0,2707

0,45 1,6874 0,3206 0,3206 0,375 1,5351 0,1433 0,1433

0,2859 0,1353

5 0,375 1,5350 0,1433 0,1433 0,4125 1,6027 0,1411 0,3023

0,4125 1,6106 0,1517 0,3035

0,45 1,6867 0,1603 0,1603

0,1516

6 0,45 1,6867 0,45 1,6866 0,000006

Berilgan birinchi tartibli differensial tenglamani Runge-Kutta usulida yeching.

1.

5cos yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

2.

3cos yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

3.

10cos yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

4.

2cos yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

5.

11cos yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

6.

5sin yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

7.

3sin yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

8.

10sin yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

9.

3sin yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

10.

11sin yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

11.

12cos yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

12.

2cos yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

218

13.

4cos yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

14.

5sin yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

15.

2sin yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

16. 2yxyy 0,110 y 0,2;0,1x

17. eyxy sin 5,24,10 y 4,2;4,1x

18. 2

sin yxy 3,18,00 y 8,1;8,0x

19. 3

sin yxy 5,11,10 y 1,2;1,1x

20. 11

sin yxy 2,16,00 y 6,1;6,0x

21. 25,1

sin yxy 8,15,00 y 5,1;5,0x

22. 15

sin yxy 1,12,00 y 2,1;2,0x

23. 3,1

sin yxy 8,01,00 y 1,1;1,0x

24. 3,0

sin yxy 6,05,00 y 5,1;5,0x

25. 7,0

sin yxy 4,12,10 y 2,2;2,1x

26. 25,1

cos yxy 8,04,00 y 4,1;4,0x

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 1. Differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi qanday qo’yiladi ? 2. Birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishning Eyler usulini

tushintirib bering. 3. Birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishning Runge-Kutta

usulini tushintirib bering.

9. Kollokatsiya, Galyorkin usullari Ishdan maqsad: Birinchi tartibli differensial tenglama uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni kollokatsiya, Galyorkin usullari bilan yechishni o’rgatich

219

Masalaning qo`yilishi. ChM quyidagidan iborat. Quyidagi differentsial tenglamaning

bxa,xfuxquxpuLu (1) ikkita chegaraviy shartlarni

,

,

1111

0000

bubuulauauul

(2)

qanoatlantiruvchi echimini topish talab etiladi, bu erda p(x), q(x), f(x) C[a,b] – berilgan funktsiyalar, jjj ,, - berilgan sonlar, ya`ni

.1,0,022 jjj

Agar (2) shartlarda 0,1 jj bo`lsa, u holda bu chegaraviy shartlar birinchi tur

bo`ladi. Agar 1,0 jj bo`lsa, ikkinchi tur chegaraviy shart deyiladi. Umumiy holda

0,0 jj bo`lganda, (2) shartga uchinchi tur chegaraviy shart deb ataladi.

(1), (2) masalani echishga quyidagicha kirishamiz. Berilgan [a, b] kesmada ikki marta uzluksiz diffeentsiallanuvchi (ya`ni, S(2)[a, b] fazodagi funktsiyalar) chiziqli bog`liq bo`lmagan 0, 1..., n, ..., funktsiyalar sistemasini tanlaymiz. Bunda, 0 funktsiya (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya`ni l00=0, l10=1, qolgan funktsiyalar esa birjinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya`ni

l0i=0, l1i=0, i=1,2, ... . Berilgan {i} funktsiyalar sistemasini b a z i s f u n k t s i y a l a r s i s t e m a s i deb ataymiz.

Bu funktsiyalar sistemasidan

xaxaxxy nnn ...110 (3)

funktsiyani tuzamiz. Bunda ai, ni ,1 lar hozircha noma`lum sonlar. lj, j=0,1 operatorlar chiziqli bo`lganligi uchun yn(x) funktsiya (2) chegaraviy shartni

qanoatlantiradi. Haqiqatdan,

.1,0,01

01

0

jlalalyl jj

n

iijij

n

iiijnj

Quyidagi

n

kkknn xLaxfxLxfxLyaaax

1021 ,,,, (4)

funktsiya t a f o v u t deyiladi. Tafovut - (1) tenglamaning chap tomonidagi u(x) ning o`rniga yn(x) funktsiyani qo`yganda,

tenglamaning chap va o`ng tomonlarining farqini xarakterlovchi funktsiyadir. (4) tafovut ai

sonlarga chiziqli boғliqdir. Agar ai sonlarning ayrim qiymatlarida naaax ,,,, 21 munosabat nolga teng bo`lsa, yn(x) funktsiya (1), (2) masalaning echimi bilan mos tushadi.

Lekin tafovutni nolga teng qilishga hamma vaqt erishib bo`lavermaydi. SHuning uchun ai sonlarni ma`lum usul bilan tanlab, tafovutni iloji boricha kichraytirishga harakat qilinadi. Buning natijasida (3) munosabat bilan aniqlangan yn(x) funktsiya (1), (2) masalaning taqribiy echimi sifatida qabul qilinadi.

220

Taqribiy usullarning ko`pchiligi ai sonlarni aniqlash yo`li bilan bir-biridan farq qiladi. Quyida shulardan ayrimlarini qarab o`tamiz.

Kollokatsiya usuli Bu usulga ko`ra [a, b] kesmaning ichida n ta x1, x2, ..., xn nuqta olinib, ularda tafovut nolga

tenglashtiriladi:

.a...,,a,a,xψ..................................

a...,,a,a,xψa...,,a,a,xψ

nn

n

n

0

00

21

212

211

(5)

Olingan x1, x2, ..., xn nuqtalarga kollokatsiya nuqtalari deyiladi. Olingan (5) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini (CHATS) ai larga nisbatan

....

......................................................................

,...

,...

02211

2022222211

1011122111

nnnnnnn

nn

nn

xLxfxLaxLaxLa

xLxfxLaxLaxLa

xLxfxLaxLaxLa

(6)

shaklda yozamiz. Uni echib, ai, ni ,1 larni (3) ga qo`yib, (1), (2) masalaning taqribiy yn(x) echim topiladi.

Galyorkin usulining asosida 1, 2,...,n bazis funktsiyalari (4) tafovut funktsiyasiga ortogonal qilib tanlanadi, ya`ni

.n,i,dxxa,...,a,a,xb

ain 1021

Bu shartlardan ai noma`lumlarni topish uchun

nnnnnn

nn

nn

,Lf,La...,La,La.....................................................................

,,Lf,La...,La,La,,Lf,La...,La,La

02211

202222211

101122111

ChATSga ega bo`lamiz. 1-misol. Chekli ayirmalar usuli qo’llanib ushbu

2492.0)4,1(,0)1(,4'3'' uuuxu chegaraviy masala yechimining u(1.1), u(1.2) va u(1.3) qiymatlari topilsin.

Yechish: u``, u` hosilalarni ayirmali hosilalar bilan almashtirib, quyidagilarni olamiz:

42

2 1132

11

hyyx

hyyy ii

iiii

yoki 2

13

13

11 8242 hhyxhyxyyy iiiiiii

221

yoki 2

13

13 8)2(4)2( hyhxyyhx iiiii (7)

Bizda h=0.1 . Uni va x1=1.1 , x2=1.2 , x3=1.3 , y0=0, y4=0.2492 larni (7) tenglamaga qo’yib ushbu sistemani tuzamiz:

0.18y 0.1)1.3-(24y-0,1)y1,3(20,18y 0,1)1,2-(14y-0.1)y1.2(2

0.18 0.1)y1.1-(24y-y 0.1)1,1(2

24

332

3

23

321

3

22

310

3

Sistemani yechib y1= -0.0093, y2=0.0216, y3=0.1029 larni topamiz.Ular u(x) yechimning izlanayotgan qiymatlarini 4101 aniqlikda ifodalaydi.

Kollokatsiya usuli

2-misol. Kollokatsiya usuli qo’llanib , 0)',,('' yyxfy Tenglamaning y(-1)=y(1)=0 chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Yechish: Tenglama va chegaraviy shartlarga qaraganda izlanayotgan yechim juft funksiya bo’lishi kerak.

Bazis funksiyalar sifatida u0(x)=0 , u1(x)=1-x2 , u2(x)=x2(1-x2) ko’phadlarni olamiz. Yechimni ))(1()1()1( 2

11222

12

1 xссxxxсxсy ko’rinishda izlaymiz.

Kolakotsiya nuqtalari 5,0,0 10 xx bo’lsin. Bizda .)112()1())(1()")(1(,1)( 2

621

4221

4221

2 сxxсxxссxxссxyLxf

Bog’lanmaganlik: .)112()1(1)()()( 262

14 сxxсxxfyLxR

Bunda 5,0,0 10 xx qiymatlarni qo’yib, 06449

16171,021 2121 cccc sistemani

tuzamiz. Bundan 022,0,957,0 21 cc olinadi. Izlanayotgan yechim: ).1(022,0)1(0957 222 xxxy

Galyorkin usuli

3- misol. 0)1(')1(,2)0(',22'2" 2 yyyxyxyy

chegaraviy masala Galyorkin usuli qo’llanilib yechilsin. Yechish: ),....(),( 10 xuxu funksiyalar sistemasini ,....,,1 2xx funksiyalar kombinatsiyalari

ko’rinishda tanlaymiz. Bunda 0)1()1(,2)0( 1

0010 uuu bo’lsin. )(0 xu ni cxbxu )(0 ko’rinishda

izlaymiz. ,)(10 cxu ikkinchi tomondan shartga ko’ra ,0)1()1(;2 1

00 uuс yoki ,0)1( ccb bundan 4b .

Shunday qilib .24)(0 xxu G0 [uk]=0 , G1 [uk]=0 yoki )(.0)1()1(,0)0( 11 xuuuu kkkk funksiyalarni

1)( kkk xbxu ko’rinishida izlaymiz 0)1()0(. 1 k

k xku Bunga qaraganda G0[uk]=0 shart bajarilmoqda.

Ikkinchi shart G1[uk]=0 dan foydalanib bk ni xisoblaymiz : 01)1()1( 1 kkk kb

bundan bk=-(k+2).

222

Biz k=1,2 bo’lgan hollar bilan chegaralanamiz. u0 (x)=4-2x , u1(x)=-3+x2 , u2(x)=-4+x3 bazis funksiyalar sistemasi hosil bo’ladi. Yechimni u(x)=u0(x)+c1u1(x)+ c2u2(x) ko’rinishida izlaymiz : L[u0]=(4-2x)+2x(4-2x)’=2(4-2x)=2(4-2x)=-8, L[u1]=(x2-3)”+2x(x2-3)’-2(x2-3)=2x2+8, L[u2]=(x3-4)”+2x(x3-4)’-2(x3-4)=4x3+6x+8,

1

0

221

01111 93333,22)82)(3(][)( dxxxdxuLxua

1

0

131

01212 ,33333,32)82)(4(][)( dxxxdxuLxua

1

0

321

02121 ,16667,31)864)(3(][)( dxxxxdxuLxua

1

0

321

02222 93333,44)864)(4(][)( dxxxxdxuLxua

1

0

221

0011 3333,22)82)(3(}][)(){( dxxxdxuLxfxub

1

0

231

0022 33333,32)82)(4(}][)(){( dxxxdxuLxfxub

2222121

1212111

bacacbacac

,33333,3222857,443333,32,93333,221667,3193333,22

21

21

cccc

Bundan s1=1, s2=0 aniqlanadi. Izlanayotgan yechim: 12)(0)(1)()( 2

210 xxxuxuxuxy

Mashqlar.

Chegaraviy masalalarning xk nuqtalardagi yechim qiymatlari chekli ayirmalar usullari qo’llanib topilsin.

1. ,5.0)5.0(',8)(2

4)(2)( 2'''

yxy

xxy

xxy

210110,5,1.0,1)1(')1( kkxyy k

2

''

101,10,5,1.0,0)1(

,2ln5.0)5.0(,1)(1)(')(.2

kkxy

yx

xxyx

xyxy

k

3

5.1''

101,4,1,2.0,89252.0)1(

,3)0(,415'16)(4.3

kkxy

yeyyxy

k

k

bu yerda: 9,1,1,0,25.0)0(,1)()1 kkxyxf k

3'' 1 01),(4'4.4 xfyyy

223

11,1,1,0,284451.24)2,1(,911)0(,)()2 kkxyyexf k

x

4,1,2,0,1)0(,03003,0)1(,3)()3 2 kkxyyexf kx

9,1,1,06741,15)1(,75,1)0(),2(sin2)()4 kkxyyxxxf k

9,1,1,020221,109)1(,169

11)0(,2sin)()5 kkxyyxxсosxf k

10. Chekli ayirmali approsimatsiyalar tuzish. ODT uchun qo’yilgan chegaraviy masalani ChA usuli bilan yechish.

Ishdan maqsad: Ikkinchi tartibli differensial tenglamani progonka usulida yechishni

talabalarga o’rgatish quyidagilarni o’z ichiga oladi: Hosilalarni chekli ayirmalarda ifodalash. differensial tenglamaning chekli ayirmali ifodalanishi; differensial tenglamani integrallashga sonli usulni qo’llash; hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish; masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish.

Masalani qo’yilishi.

Ikkinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo’lsin:

0),,,( ''' yyyxF (7.1) Ikki nuqtali chegaraviy masala (7.1) uchun quyidagicha qo’yiladi: ba, kesma

ichida (7.1) tenglamani qanoatlantiruvchi va kesmaning oxirida esa

0)(),(0)(),(

'2

'1

bybyayay

(7.2)

chegaraviy shartlar qanoatlantiruvchi xyy funksiyani topish talab qilinadi.

(7.1) tenglama va (7.2) chegaraviy shartlar chiziqli bo’lgan holni qaraylik. Bunday chegaraviy masala chiziqli chegaraviy masala deyiladi. U holda differensial tenglama va chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin:

)()()( ''' xfyxqyxpy (7.3)

BbybyAayay

)()()()(

'10

'10

(7.4)

bu yerda xfxqxp ,, - ba, kesmada uzluksiz bo’lgan berilgan funksiyalar, BA,,,,, 1010 - berilgan o’zgarmaslar bo’lib

010 va 010 shartni qanoatlantiradi.

Agar 0 BA bo’lsa, u holda (7.4) chegaraviy shart bir jinsli deyiladi. Qaralayotgan chegaraviy masalaning taqribiy yechimini topish usullari ikki guruhga bo’linadi: analitik va ayirmali usullar. Chegaraviy masalalarni yechishning eng sodda usullaridan biri chekli ayirmalar usulidir.

224

Usulning yoritilishi

ba, kesmani uzunligi h bo’lgan n ta teng kesmalarga ajratamiz, bu yerda

nabh

. Bo’linish nuqtalarining absissasi bxaxniihxx ni ,),1,...,3,2,1(, 00

kabi bo’ladi. Bo’linish nuqtalari ix lar uchun )(xyy funksiya va uning )(),( ''' xyxy

hosilalarini )(),( ''iiii xyyxyy kabi belgilaymiz. Bulardan tashqari quyidagicha

belgilashlar kiritamiz: )(),(),( iiiiii xffxqqxpp

Har bir ichki tugunlarda )(),( '''ii xyxy hosilalarni taqribiy chekli ayirmalar

212''1' 2,

hyyyy

hyyy iii

iii

i

(7.5)

kesmaning chetlarda esa

h

yyyh

yyy nnn

1'01'0 ,

(7.6)

chekli ayirmalar bilan almashtiramiz. (7.5) va (7.6) taqribiy formulalarni (7.3) tenglama va (7.4) chegaraviy shartlarga qo’yib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bh

yyyAh

yyy

fyqh

yyp

hyyy

nnn

iiiii

iiii

110

01100

12

12

,

2

(7.7)

Agar )(' ixy va )('' ixy lar o’rniga markaziy ayirmalarni qo’llasak yanada aniqroq formulalarni hosil qilamiz, ya’ni

211''11' 2,

2 hyyyy

hyyy iii

iii

i

U holda

,,

22

110

01100

112

11

Bh

yyyA

hyy

y

fyqh

yyph

yyy

nnn

iiiii

iiii

(7.8)

sistemani hosil qilamiz. Shunday qilib, har ikkala holda ham 1n ta noma’lumlarga ega bo’lgan 1n chiziqli algebraik tenglamadan iborat bo’lgan sistemaga ega bo’ldik. Agar ushbu sistemani yechish mumkin bo’lsa, u holda izlanayotgan funksiyaning taqribiy qiymatlarini jadval shaklida hosil qilamiz. (7.3) - (7.4) chegaraviy masalaga chekli ayirmalar usulini qo’llash xatoligi quyidagicha bo’ladi:

22

)(96

)( abMhxyy ii

Bu yerda )( ixy - ixx bo’lgandagi aniq yechimning qiymati va )(max )4(

],[xyM

ba .

KO’RGAZMALI MISOL.

Chekli ayirmalar usulini qo’llab quyidagi chegaraviy masalaning yechimini aniqlang:

225

0566,0)4,1(0)1(

1'''2

yy

xyyx

(7.9)

YeChISh. (7.8) formulani qo’llab, (7.9) tenglamalar sistemasini chekli ayirmalar orqali

quyidagicha yozamiz:

12

2 112

112

hyyx

hyyyx ii

iiii

i

O’xshash hadlarni ixchamlab 22

122

1 2)2(4)2( hhxxyyxhxxy iiiiiiii (7.10) hosil qilamiz. h qadamni 0,1 deb tanlasak uchta ichki tugunlarni hosil qilamiz.

3,2,111,0 iixi . (7.9) tenglamani har bir tugun uchun yozsak

02,051,376,625,302,000,376,576,202,053,284,431,2

432

321

210

yyyyyyyyy

(7.11)

sistemani hosil qilamiz. Chegaraviy tugunlarda 0566,0,0 40 yy ekanini bilgan holda, (7.11) sistemani

yechamiz va izlanayotgan funksiyaning quyidagi qiymatlarini hosil qilamiz: 0345,0,0167,0,0046,0 321 yyy

(7.9) tenglamaning aniq yechimi xy 2ln21

funksiyadan iborat. Aniq yechimning

tugunlardagi qiymatlari 0344,0)(;0166,0)(;0047,0)( 321 xyxyxy

kabi bo’ladi. Bu qiymatlardan ko’rinib turibdiki, taqribiy va aniq yechimning tugunlardagi qiymatlari orasidagi farq 0001,0 dan oshmaydi.

Tugunlar soni n kata bo’lganda uchun (7.7)-(7.8) tenglamalar sistemasini yechish murakkablashadi. Quyida bunday hollar uchun mo’ljallangan ancha sodda usulni qaraymiz.

PROGONKA USULI. Usulning g’oyasi quyidagicha. (7.7) sistemaning dastlabki 1n tenglamalarini yozib

olamiz:

iiiiii fhykymy 212 (7.12)

bu yerda qhhpkhpm iiii

21;2 . (7.12)ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

)( 21 iiii ydcy (7.13) Bu yerdagi ii dc , - lar ketma – ket quyidagi formulalardan hisoblanadi:

20

01

00

10010

010 ,

)(hf

hAhk

khmhc

, 0i bo’lganda (7.14)

112

1

,1

iiiiiiii

i dckhfdckm

c , 2,...,2,1 ni bo’lganda (7.15)

Hisoblash quyidagi tartibda bajariladi:

226

To’g’ri yo’l. (7.12) formuladan ii km , - qiymatlarni hisoblaymiz. 00 ,dc larni (7.14)

formulalardan aniqlaymiz va (7.15) rekkurent formulalardan ii dc , larni hisoblaymiz. Teskari yo’l. (7.13) tenglamadan agar 2 ni bo’lsa, (7.7) tenglamalar sistemasini

quyidagicha yozish mumkin.

B

hyy

y

ydcy

nnn

nnnn

110

221 ),(

Ushbu sistemani ny ga nisbatan yechib, quyidagini hosil qilamiz:

hc

Bhdcyn

nnn

021

221

)1(

(7.16)

Aniqlangan 22 , nn dc larni qo’llab ny ni topamiz. So’ngra )1,...,1( niyi larni hisoblaymiz. (7.13) rekkurent formulani ketma-ket qo’llab quyidagilarni hosil qilamiz:

).(),(

),(

2001

1332

221

ydcyydcyydcy

nnnn

nnnn

(7.17)

0y ni (7.7) sistemaning oxiridan ikkinchi tenglamasidan aniqlaymiz:

h

Ahyy01

110

(7.18)

Progonka usuli bilan bajarilgan barcha hisoblashlarni 7.1 jadvalda ko’rsatish mumkin. 7.1-jadval

i

ix

im

ik

if

To’g’ri yo’l Teskari yo’l

ic id iy 0

0x 0m 0k 0f 0c 0d 0y 1

1x 1m 1k 1f 1c 1d 1y … … … … … … … …

2n 2nx 2nm 2nk 2nf 2nc 2nd 2ny 1n 1nx

1ny n

nx ny

MISOL. Progonka usulida

xyyxy 422 (7.19) tenglamaning

718,311,000 eyyy (7.20) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini toping.

YeChISh: (7.19)-(7.20) tenglamalarni 1,0h deb olib chekli ayirmali sitema bilan

almashtiramiz:

8,...,2,1,0,421,0

201,0

2 112

ixyyyxyyy

iiii

iiii

227

718,3,01,0 10

010

yyyy

O’xshash hadlarni ixchamlab iiiiii xyxyxy 401,02,098,02,02 12

formulani hosil qilamiz. Bundan iiiiii xfxkxm 4,2,098,0,2,02 , 718,3,0,0,1,1,1 1100 BA

ekani kelib chiqadi. Hisoblashlarni yuqoridagi kabi jadvalga joylashtiramiz.

i

ix

im

ik

if

To’g’ri yo’l Teskari yo’l

Aniq yechim

ic id iy iy 0 0,0 -2,00 0,98 0,0 -0,9016 0,0000 1,117 1,000 1 0,1 -2,02 1,00 -0,4 -0,8941 -0,0040 1,229 1,110 2 0,2 -2,04 1,02 -0,8 -0,8865 -0,0117 1,363 1,241 3 0,3 -2,06 1,04 -1,2 -0,8787 -0,0228 1,521 1,394 4 0,4 -2,08 1,06 -1,6 -0,8706 -0,0372 1,704 1,574 5 0,5 -2,10 1,08 -2,0 -0,8623 -0,0550 1,916 1,784 6 0,6 -2,12 1,10 -2,4 -0,8536 -0,0761 2,364 2,033 7 0,7 -2,14 1,12 -2,8 -0,8446 -0,1007 2,455 2,332 8 0,8 -2,16 1,14 -3,2 -0,8354 -0,1290 2,800 2,696 9 0,9 3,214 3,148 10 1,0 3,718 3,718

Berilgan chegaraviy masalani progonka usulida yeching.

1.

5cos" 3 yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

2.

3cos" 2 yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

3.

10cos" yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

4.

2cos" 4 yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

5.

11cos" yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

6.

5sin" 2 yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

7.

3sin" 3 yxy

6,46,10 y 6,2;6,1x

8.

10sin" 3 yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

228

9.

3sin" yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

10.

11sin" yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

11.

12cos" 3 yxy

6,28,10 y 8,2;8,1x

12.

2cos" 3

2 yxy 6,46,10 y 6,2;6,1x

13.

4cos" 3 yxy

8,06,00 y 6,1;6,0x

14.

5sin" 2 yxy

4,18,00 y 8,1;8,0x

15.

2sin1" yxy

5,21,20 y 1,3;1,2x

16. 109" 2 xyyxy 400 y 1;0x 17. 4963" 3 xxxyy 300 y 1;0x 18. 22" 2 xyxy 610 y 2;1x 19. 103" 2 xyyxy 710 y 2;1x 20. 23" xyyxy 200 y 1;0x 21. 32" 2 xxyyy 100 y 1;0x 22. 12" 2 xxyyy 210 y 2;1x 23. 1" 2 xyyxy 520 y 3;2x 24. 1" 2 xxyy 410 y 2;1x 25. xxyy 222" 2 100 y 1;0x 26. xyy 42" 000 y 1;0x

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 1. Ikkinchi tartibli differensial tenglamani taqribiy yechish masalasi

qanday qo’yiladi ? 2. Birinchi va ikkinchi tartibli hosilani chekli ayirmalarda ifodalang. 3. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishning Progonka

usulini tushintirib bering. 11. Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini ChA usuli bilan yechish.

Ishdan maqsad: Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini approksimatsiya qilish va unga qo`yilgan masalani chekli ayirmalar usuli bilan yechish talabalarga o’rgatish

Masalaning berilishi. Birinchi chegaraviy masala (I): Tt,xD 010 da

uzluksiz bo`lgan quyidagi masalaning ),( txu yechimini topamiz

229

.Tt),t(u)t,(u),t(u)t,(u,x),x(u),x(u

,Tt,x),t,x(fxu

tu

010100

010

21

0

2

2

Quyidagi to`rni kiritamiz

J,...,,j,jt,I,...,,i,ihx jih 1010

va D to`rni J,...,,j,I,...,,i,j,ihhh 1010

ko`rinishda JT,Ih 1 qadamlar bilan kiritamiz, bunda jiy h da aniqlangan

bo`lib, y funktsiyaning ji t,x tugundagi qiymati.

Bir parametrli ayirmali sxemalar oilasini qaraymiz

Jj,Ii,y)(yyy ji

ji

ji

ji

ji

00111

,

bunda 211 2

hyyyyy

ji

ji

ji

xxj

i

, – haqiqiy parametr.

Bu sxema ba`zan vaznli sxema deb ataladi. CHegaraviy va boshlang`ich shartlar quyidagicha aniq approksimatsiyalanadi:

,, 210jj

Ijj uyuy

).x(u),x(yy iii 00 0

Ikki qatlamli sxemalar =0 da (xi,tj+1), (xi,tj), (xi±1,tj) shablonda aniqlanuvchi to`rt nuqtali

ji

ji

ji

ji yyy

1

sxemani hosil qilamiz yoki uni quyidagicha yoza olamiz

.h

,)yy(y)(y ji

ji

ji

ji

ji 211

1 21

Bu sxema oshkor sxema deb ataladi. Agar 0 bo`lsa, u holda sxema oshkormas ikki qatlamli sxema deb ataladi. 0 da

1jiy larni aniqlash uchun quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi

12

1110

jjI

ji

j uy,uy , algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

,Fyy ji

ji

ji

11 1

,11 ji

ji

ji

ji yyF

i=1,…,I-1.

230

Bu ayirmali tenglama echimi progonka usuli bilan topiladi. 1 da sof oshkormas sxemaga ega bo`lamiz

.yyy ji

ji

ji

ji

1

1

50, da olti nuqtali simmetrik sxemani hosil qilamiz

,yyyy ji

ji

ji

ji

ji

1

1

21

ba`zan bu sxema Krank-Nikol’son sxemasi deb ataladi. Uch qatlamli sxemalar. Bunday sxemalardan bittasi Richardson sxemasidir:

jjj

yyy

2

11 yoki j

tyy 0 ,

bunda xxjjj

tyy ,yy ,yy ,yy€ ,yy€y

11

20 . Bu sxema va h bo`yicha

ikkinchi tartibli approksimatsiga ega )h(OuΛut

220 . Ammo u absalyut

turg`unmas sxemadir. Oxirgi sxemani quyidagi ko`rinishda yozamiz

211

11 22 h

yyyyy ji

ji

ji

ji

ji

. (*)

Agar (*) ning o`ng tarafidagi jiy2 ni 11 j

ij

i yy ga almashtirsak, u holda uch qatlamli «romb» sxemaga (Dyuffort-Frenkel sxemaga) kelamiz:

21

111

11

2 hyyyyyy j

ij

ij

ij

ij

ij

i

.

Misol. 5,0 bo’lgan xol uchun,

)025.00(,0);1(),0(,10(sin)0,(,2

2

ttutuxxxu

xu

tu masala yechilsin.

Yechish: x argument bo’yicha qadam x =0,1 bo’lsin. 5.012

h . Shunga ko’ra t

argument bo’yicha qadam 005.05.0 2 hl bo’ladi. Chegara qiymatlari simmetrik. Shu sababli

jadvalga x 0; 0,1; 0,2;…..;0,5 ga mos qiymatlarni kiritamiz. Hisoblashlar 2

,1,11,

jijiji

uuu

formula bo’yicha bajariladi. Hisoblashlardan namunalar:

0j uchun 5590,0)3090,08090,0(5,0)(5,0,2939.0)05878,0(5,0)(5,0 103021002011 uuuuuu

3-misolga To’rlar usuli j x

t 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0 1

0 0,005

0 0

0,3090 0,2939

0,5878 0,5590

0,8090 0,7699

0,9511 0,9045

1,0000 0,9511

231

2 3 4 5

0,010 0,015 0,020 0,025

0 0 0 0

0,3795 0,2658 0,2528 0,2404

0,5316 0,5056 0,4808 0,4574

0,7318 0,6959 0,6619 0,6294

0,8602 0,8182 0,7780 0,7400

0,9045 0,8602 0,8182 0,7780

),( txu 0.025 0 0.2414 0.4593 0.6321 0.7431 0.7813 uu 0.025 0 0.0010 0.0019 0.0027 0.0031 0.0033

12. To’lqin tenglamasi uchun qo’yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechish. Ishdan maqsad: To’lqin tenglamasi uchun chekli ayirmali sxemalar tuzishni va bu

tenglama uchun qo`yilgan umumiy masalani ChA usuli bilan yechishni talabalarga o’rgatish

Birjinsli tor tebranish tenglamasini qaraymiz

0 ,0 ),,( 111121

22

21

2

tlxtxf

xua

tu

.

lattlxx / ,/ 11 o`lchovsiz kattaliklarni kiritib bu tenglamani quyidagicha yozamiz

Tt,x),t,x(fxu

tu

0 102

2

2

2

. (1)

Boshlangìch momentda

)()0,( ),()0,( 00 xutxuxuxu

(2)

shartlar berilgan, bu erda u0(x) – boshlangìch chetlashish va )(0 xu - boshlangìch tezlik. Tor oxirlari quyidagi berilgan qonun bo`yicha harakatlansin

)t()t,(u),t()t,(u 21 10 . (3)

)0 ,10( TtxD sohada isssiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasini

approksimatsiyalashda qo`llangan to`rga o`xshash h to`g`ri to`rtburchakli to`r kiritamiz

,yyy,yy€y,yy,yy€,yy ttjjj

2 11

22 2 02

yy€yyy,yyy€yyy,yy tt

t

ttttxx .

(1) da hosilalarni quyidagi formulalarga almashtiramiz

232

~f,uu~

xu,u~

tu

xxtt 2

2

2

2

.

Quyidagi vaznli sxemalar oilasini qaraymiz

,)x(u~),x(y),x(u),x(y),t(y),t(y

,)t,x(f,)yy)(y€(y

tI

jtt

00210 0 0

21

(4)

Misol. ,2

2

2

2

xu

tu

0),1(),0(,0)0,(,sin)1(2,0)0,( tutuxuxxxxu t masala to’rlar

usuli qo’llanilib yechilsin. Yechish: 05,0 lh qadam bilan kvadrat to’r yasaymiz. Boshlang’ich shartdan foydalanib,

)10;0(),(5,0, 1110 iffufu iiiii Sistemani tuzamiz. Jadvalni to’ldirish tartibi: 1) )(0 ii xfu qiymatlarni hisoblab, birinchi satrga yozamiz. Masalada berilgan ma’lumotlar simmetrik bo’lganidan jadvalni 5,00 х uchun to’ldirish yetarli. Birinchi ustunga chegara qiymatlari yoziladi. 2) Birinchi satrdagi 0iu qiymatlardan foydalanib, formula bo’yicha 1iu ni hisoblaymiz va ikkinchi satrga yozamiz. 3) 1j uchun iju qiymatlarini hisoblaymiz: ,0050,00015,000065,010012112 uuuu ,0094,00056,00028,00122,020113122 uuuu ……………………………………………………………

456,00500,00478,00478,00,10911,112,10 uuuu Shu tartibda 10,....,3,2j uchun hisoblashlar bajariladi. Solishtirish maqsadida eng oxirgi satrda yechimning aniq qiymatlari keltirilgan.

jx

it

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15 28 50 66 74 76 70 58 42 21 -1

56 65 94 124 142 144 134 112 79 42 -1

116 122 139 170 194 200 186 155 112 57 0

186 190 198 209 228 236 221 186 133 70 -2

265 264 260 256 251 249 236 199 144 74 0

340 335 322 302 277 251 227 194 140 74 -2

405 398 377 343 302 255 209 168 124 64 -1

457 447 419 377 321 260 196 139 92 42 -2

489 478 447 397 335 262 190 120 64 26 -2

500 489 456 405 338 265 186 115 54 13 -2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mashqlar

233

1. O’zgarmas kuch ta’siri ostida kvadrat plastinkaning deformasiyalanish 1u Puasson

tenglamasiga keladi, chegara qiymatlari nolga teng. Tenglama to’rlar usuli qo’llanilib yechilsin. 2. Uchlari A(0;0), V(0;1), S(1;1), D(1;0) nuqtalarda joylashgan kvadrat uchun Laplas

tenglamasining yechimini toping. Chegara shartlari jadvalda keltirilgan. Yechim qiymatlarini h=0,25 qadam bilan hisoblang. 13. Puasson tenglamasi uchun ChA Dirixle masalasi.

Masalaning qo`yilishi. 22110 00 lx,lxG tomonlari l1 i l2 bo`lgan to`g`ri

to`rtburchak bo`lsin, G – uning chegarasi. 00 GG da Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasini qaraymiz:

)x(u,G)x,x(x),x(fu 021 . (1)

0G da 111 N/lh va 222 N/lh qadamlar bilan h to`rni quramiz, bu erda N1>0 va

N2>0 - butun sonlar. Buning uchun 2222211111 00 21 N,i,hix,N,i,hix )i()i( ikki to`g`ri chiziqlar oilasini quramiz.

x2 (i1h1, i2h2) l2 0 l2

Bu to`g`ri chiziqlarning i1h1 va i2h2 koordinatalardagi kesishish nuqtasini x=(i1h1, i2h2)

tugun deb ataymiz. Umumiy ichki tugunlar soni (N1-1)(N2-1) ga teng. To`g`ri to`rtburchak chegarasida yotuvchi tugun (i1=0,N1 yoki i2=0,N2 bo`lganda), quyidagi

to`rtta (0,0), (0,l1), (0,l2), (l1,l2) nuqtadan tashqari nuqtalarni chegaraviy tugunlar deb ataymiz. Ular )h,i,h,i(h 2211 to`plamni tashkil qiladi. Barcha ichki va chegaraviy tugunlar to`plamini

hhh to`r deb ataymiz.

Har bir hx ichki tugunda besh nuqtali «xoch» regulyar shablonni qurish mumkin,

bunda )(x 1=1, 2 tugunlar h (ya`ni, yoki h , yoki h ) da yotadi. SHuning uchun u

Laplas operatorini barcha ichki tugunlarda

2211 xxxx uuu

ayirmali operator bilan almashtirish mumkin.

234

(1) tenglamaning o`ng qismi- f(x) ni (x) to`r funtsiya bilan shunday approktsimatsiya

qilish mumkinki )(C)x(f,hO)x(f)x( 22 bo`ladi. f(x) funktsiyaning uzluksizligini

hisobga olib, (x)=f(x) deb faraz qilamiz.

(1) masalaga mos keluvchi ayirmali Dirixle masalasini qo`yamiz: ichki tugunlarda ( h da)

2211 xxxx yyy),x(fy (2)

tenglamani qanoatlantiruvchi h da aniklangan va h chegarada

y(x)=(x), xh. (3) qiymatlari berilgan u(x) to`r funktsiyani topish kerak.

21 hh da )G(h 0 to`r to`g`ri to`rtburchakli, h1=h2=h da esa kvadrat to`r deyiladi.

y uchun kvadrat to`rda to`liq ifodani yozamiz

yyyyyh

y )l()l()l()l( 412211

2 .

0 bo`lsin. 0y tenglamani u ga nisbatan echamiz:

)l()l()l()l( yyyyy 2211

41 .

SHablon markazidagi u ning qiymati qolgan to`rtta tugundagi u larning o`rta arifmetik qiymatiga teng bo`ladi. Bu formula garmonik funktsiya uchun o`rta qiymat formulasining chekli ayirmali analogi bo`ladi.

Misol. Tekis plastinka tomoni 1 ga teng kvadrat shaklida bo’lib, tashqi muhitdan izolyasiyalangan, chekka nuqtalari esa 1-chizmada ko’rsatilganidek doimiy kattalikdagi temperatura bilan isitiladi. Plastinkaning ichki nuqtalarida temperatura qanday taqsimlanishi aniqlansin. 5000 10000 10000 10000 5000

(1,3) (2,3) (3,3)

(1,2) (2,2) (3,2)

(1,1) (2,1) (3,1)

1-chizma 0 0 0 0 0

Yechish: Temperatura taqsimotini 02

2

2

2

yu

xu Laplas tenglamasining ),( yxuu yechimi

beradi. Koordinatalar boshini A(0;0) nuqtaga joylashtiraylik. To’qqiz ta (1,1),(2,1),…(3,3) ichki nuqtalardagi (tugunlardagi) 332111 ,.....,, uuu qiymatlarni topishimiz kerak. Chegaraviy qiymatlar simmetrik ( ,,, 331332123111 uuuuuu ) bo'lganidan , to’qqiz ta emas, balki olti tugun uchun chekli-ayirmali tenglamadan iborat sistema tuzamiz:

235

23332212

132312

2223322112

13132211

21223111

111221

4100004100000

44040

400

uuuuuuu

uuuuuuuuuuuuu

uuu

yoki

23132212

132312

22231221

12132211

212211

111221

410000410000

424

424

uuuuuuu

uuuuuuuu

uuuuuu

Sistemani Gauss usuli Bilan yechib ,

,1875,982,714 3212213111 uuuuu 5268,4286,2500 23231322 uuuu qiymatlarni topamiz.

14. Integral tenglamalarni yechish usullari

Ishdan maqsad: Integral tenglamalarni yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida yechish usuli va ketma-ket yaqinlashishlar bilan yechish usulini o`rgatish

Quyidagi tenglama

)x(fds)s(y)s,x(Kb

a

(1)

Fredgolmning birinchi tur tenglamasi,

)x(fds)s(y)s,x(K)x(yb

a

(2)

- tenglama esa Fredgolmning ikkinchi tur tenglamasi deb ataladi. Vol’terning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi

)x(fds)s(y)s,x(Kx

a

, (3)

)x(fds)s(y)s,x(K)x(yx

a

, (4)

bunda )x(f , )s,x(K - berilgan funksiyalar, )x(y - qidirilayotgan funksiya. Yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida integral tenglamalarni

yechish

Integral tenglamalarni yechishning boshqa klassik usullari (2), (4) masalalardagi )s,x(K - integral operator yadrosini “ko`paytma” yadro bilan almashtirishdir.

“Ko`paytma” yadro ushbu ko`rinishda ifodalanadi

q,)s(d)x(c)s,x(Kq

jjj

1.

Endi

q

jjj )s(d)x(c)s,x(K)s,x(K

1

0 (5)

bo`lsin deylik.

236

misol. 1

0

)()cos1(sin)( dttyxtxxxy integral tenglama, uning yadrosini

ajratilgan yadroga almashtirish bilan yechilsin.

Yechish: ...).!4!2

1(1cos1),(4422

txtxxxtxtxK

Ajratilgan L(x,t) yadro sifatida qatorning dastlabki uchta hadini olamiz:

21),(

22txxtxL

Natijada yangi

1

0

22

)(~)2

1(sin~ dttytxxxy

Tenglamaga ega bo’lamiz va uning o’ng tomonini quyidagi ko’rinishga keltiramiz:

)1()1(sin)(~ 321 xcxcxxy

bunda

1

0

1

0

221 )2()(~5.0,)(~ dttytcdttyc

(1) ni (2) tengliklarga qo’yamiz:

1cos2111sin

121

241

,25.05.01cos1

212

211

ccc

ccc

Sistemadan c1=1.0031, c2=0.1674 aniqlanadi. Izlanayotgan yechim

1sin1674.0)1(0031.1)(~ 2 xxxy Misol. Ketma- ket yaqinlasish usuli qo’llanilib;

1

0

2 )(1)( dttyxtxy tenglama yechilsin.

Yechish: bizda b

a

b

a

dxdttxKBB

xttxK ),(;1),(,1 22 shartning bajarilishini

tekshiramiz:

BBdxdtxt 1;

151,

151...)(

1

0

1

0

22

Demak, iteratsiya qo’llanilishi mumkin. Uni qo’llaymiz.

237

1]0[ y bo’lsin. U holda:

xy

xxdttxty

xxdttxty

xxdttxty

xxdtxty

444.01

,4427.01192851...)

1671(1

,4375.011671...)

1251(1

,41666.011251...)

31(1

,3333.013111

]5[

1

0

2]4[

1

0

2]3[

1

0

2]2[

1

0

2]1[

Beshinchi yaqinlashish xatosini baholaymiz;

.10667.4...)1

15111

1(151115

511

;5

1max

,1111

35

10

1

0

421

1

0

21

0

2

x

dttxC

dxYdxF

Misol. Integral tenglamaning yechimi topilsin.

x

txx dttyeexy0

.)()(

Yechish: yechimni )()()()()()(~)( 432104 xyxyxyxyxyxyxy

ko’rinishda izlaymiz, bunda

238

)!4!3!2!1

1()(

,432

1...32

1,)(

,32

1...21,)(

,21...,)(

,...,)(

)(),()(,)()(

4320

434

0

323

0

22

01

010

xxxxexy

exdtetexy

exdtetexy

exdtteexy

xedteexy

dttytxKxyexfxy

x

xxttx

xxttx

xxttx

xxttx

x

kkx

Tenglamaning aniq yechimi y=e2x. Taqqoslash maqsadida aniq va taqribiy yechimlarning x=0 va

x=1 dagi qiymatlarini keltiramiz.

y(0)=1, y(1)=7.3890557, 3620131.7)1(~,1)0(~ yy

MASHQLAR

1-3 mashqlarni yechishda yadroni Teylor qatorining avvalgi uchta hadi yig’indisidan iborat bo’lgan

ajralgan yadroga almashtirishdan foydalanilsin:

1

0

2

1

0

2

1

0

.)()cos1(sin21

2)(.3

.10;5,1,1)(sin1.0)(.2

.)()1()(.1

dttxyxtxxxy

pp

xdttypxyxy

dttyexxexytxx

4-6 mashqlarni yechishda ketma-ket yaqinlashishlar usulidan foydalanilsin:

239

1

0

22

1

0

1

0

2

)()(.6

.)(21

65)(.5

.)(1)(.4

dttyxtxxy

dttxtyxxy

dttyxtxy

«HISOBLASH USULLARI» FANIDAN MUSTAQIL ISH MAVZULARI 1-mavzu. Hozirgi zamon hisoblash mashinalari va sonli usullar.

1. Analogli va modellovchi hisoblash mashinalari. 2. Raqamli hisoblash mashinalari. 3. Masalani EHM da yechishning o’ziga xos tomonlari.

240

2-mavzu.Masalalarni sonli yechishdagi natijaning xatosi. 1. Xatolar manbai. 2. Hisoblash xatosi 3. Yo’qotilmas xato. 4. Funksiyaning yo’qotilmas xatosi. 5. Arifmetik amallar va logarifmlashning xatosi 6. Ishonchli raqamlar sonini aniqlash qoidasi

3-mavzu. Ko’phad va uning hosilalarining qiymatlarini hisoblash. 1. Gorner sxemasi. 2. Ko’phad hosilalarining qiymatlarini hisoblash. 3. Ko’phadni kvadratik uchhadga bo’lish.

4-mavzu. Tenglamalarni taqribiy yechishning iterasiya usuli. 1. Tenglamaning ildizlarini ajratish. 2. Oddiy iterasiya usuli. 3. Vegsteyn usuli. 4. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri.

5-mavzu. Qisqartirib aks ettirish prinsipi.

1. Metrik fazo haqida tushuncha. 2. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish.

6-mavzu. Tenglamalarni yechishning yuqori tartibli iterasion usullari.

1. Umumiy mulohazalar. 2. Chebыshev usuli.

7-mavzu. Tenglamalarni yechishning Nyuton usuli.

1. Bita tenglama uchun Nyuton usuli 2. Nyuton usulining yaqinlashishi haqida teoremalar. 3. Karrali ildizlar uchun Nyuton usuli.

8-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari. 1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari tavsifi. 2. Gaussning bosh elementlar usuli. 3. Gauss usuli yordamida determinantni hisoblash. 4. Gauss usuli yordamida teskari matrisani hisoblash.

9-mavzu. Maxsus xossalarga ega bo’lgan matrisalardan foydalanish. 1. Kvadrat ildizlar usuli. 2. Aylantirishlar usuli.

10-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning ortogonallashtirish usuli.

1. Vektorlar ustida amallar. 2. Ortogonallashtirish jarayoni va usuli.

11-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning akslantirishlar usuli.

1. Berilgan matrisani uchburchak matrisaga keltirish.

241

2. Akslantirishlar usulining hisoblash sxemasi 12-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning iterasion usullari.

1. Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 2. Oddiy iterasiya usuli va yaqinlashish sharti. 3. Zeydel usuli va yaqinlashish sharti.

13-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning gradiyentlar usuli.

1. Funksiyaning gradiyenti tushunchasi. 2. Gradiyentlar usuli va yechimga yaqinlashish tezligi.

14-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning qo’shma gradiyentlar va minimal farqlar usuli.

1. Qo’shma gradiyentlar usuli 2. Minimal farqlar usuli va yechimga yaqinlashish tezligi.

15-mavzu. Matrisaning xos son va xos vektorlarini hisoblash.

1. Umumiy mulohazalar. 2. Matrisaning minimal ko’phadlari. 3. Matrisaning minimal ko’phadlarini topish. 4. Krыlov usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish.

16-mavzu.Xos son va xos vektorlarini hisoblashning Lansosh usuli.

1. Xos ko’phadni topish. 2. Lansosh usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish.

17-mavzu. Xos son va xos vektorlarini hisoblashning Danilevskiy usuli.

1. O’xshash almashtirishlar. 2. Danilevskiy usulidagi noregulyar hol. 3. Danilevskiy usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish.

18-mavzu. Xos son va xos vektorlarini hisoblashning Leverye va Faddeyev usullari.

1. Leverye usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish. 2. Faddeyev usuli yordamida xos son va xos vektorlarni topish.

19-mavzu. Xos son va xos vektorlarini hisoblashning noaniq koeffisiyentlar va hoshiyalash usullari.

1. Noaniq koeffisiyentlar usulida xos son va xos vektorlarni topish. 2. Hoshiyalash usulida xos son va xos vektorlarni topish.

20-mavzu. Xos sonlarning qismiy mauammosini yechishning iterasion usullari.

1. Simmetrik, Ermit va normal matrisalar haqida tushuncha. 2. Eng katta xos son va unga mos xos vektorni topishda darajali usul. 3. Ikkinchi xos son va unga mos xos vektorni topish.

242

21-mavzu. Musbat aniqlangan simmetrik matrisaning xos sonlari va xos vektorlarini aniqlash.

1. Simmetrik, Ermit va normal matrisalar haqida tushuncha. 2. Eng katta xos son va unga mos xos vektorni topishda darajali usul. 3. Ikkinchi xos son va unga mos xos vektorni topish.

22-mavzu. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda iterasiya usulining yaqinlashishini tezlashtirish.

1. Lyusternik usuli. 2. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi taqribiy yechimining xatosini baholash.

23-mavzu. Funksiyalarni interpolyasiyalash.

1. Interpolyasiya masalasining qo’yilishi. 2. Interpolyasion ko’phadlarning mavjudligi va yagonaligi.

24-mavzu. Har xil tartibli chekli ayirmalar.

1. Chekli ayirmalar va ularning xossalari. 2. Ayirmalar jadvali. 3. Umumlashgan daraja.

25-mavzu. Lagranj interpolyasion formulasi. 1. Lagranj koeffisiyentlari va interpolyasion formulasi. 2. Eytken sxemasi. 3. Lagranj interpolyasion formulasining qoldiq hadini baholash.

26-mavzu. Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyasion formulasi. 1. Bo’lingan ayirmalarva ularning xossalari. 2. Nyutonning bo’lingan ayirmali interpolyasion formulasi.

27-mavzu. Interpolyasion jaryonning yaqinlashishi.

1. Teng qadamli interpolyasion formulalarni qo’llash uchun tavsiyalar. 2. Interpolyasion jarayonning yaqinlashishi.

28-mavzu. Karali tugunlar bo’yicha interpolyasiyalash. 1. Ermit interpolyasion ko’phadi. 2. Ermit formulasi va qoldiq hadi.

29-mavzu. Jadval tuzishda interpolyasiyani qo’llash. 1. Chiziqli interpolyasiya. 2. Funksiyani ikkinchi tartibli Bessel interpolyasion ko’phadi bilan almashtirish. 3. Jadval tuzishda ekstropolyasiyani qo’llash.

30-mavzu.Teskari interpolyasiya.

1. Teskari interpolyasiyamasalasining qo’yilishi. 2. Teng oraliqlar uchun teskari interpolyasiya.

31-mavzu. Sonli differensiallash. 1. Umumiy mulohazalar. 2. Lagranj ko’phadi yordamida sonli differensiallash. 3. Nyuton formulasi yordamida sonli differensiallash.

243

32-mavzu. Aniq integrallarnitaqribiy hisoblash.

1. Kvadratur formulalar va ularning qoldiq hadi. 2. Eng sodda kvadratur formulalar.

33-mavzu. Interpolyasion kvadratur formulalar. 1. Kvadratur formulalarning algebraik aniqlik darajasi. 2. Nyuton –Kotesa kvadratur formulalari. 3. Umumlashgan kvadratur formulalar.

34-mavzu. Algebraik aniqlik darajasi yuqori kvadratur formulalar.

1. Gauss tipidagi kvadratur formulalar va koeffisiyentlari xossalari. 2. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning qoldiq hadi. 3. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning yaqinlashishi.

35-mavzu. Gauss tipidagi kvdratur formulalarning xususiy hollari.

1. Gauss kvadratur formulasi. 2. Gauss kvadratur formulasining tugunlari va koeffisiyentlari.

36-mavzu. Chebыshev kvdratur formulasi.

1. Moler kvadratur formulasi. 2. Teng koeffisiyentli kvadratur formula. 3. Bernshteyn teoremasi.

37-mavzu. Optimal kvadratur formulalar.

1. Kvadratur formula xatosining optimal bahosi. 2. Kvadratur formula xatosini minimallashtirish. 3. Bernshteyn teoremasi.

40-mavzu. Kvadratur formulalarning aniqligini orttirish.

1. Bernulli sonlari va ko’phadlari. 2. Ixtiyoriy funksiyalarni Bernulli ko’phadlari orqali tasvirlash. 3. Eyler-Makloren formulasi.

41-mavzu. Kvadratur formulalar qo’llashga tavsiyalar.

1. Kvadratur formulani tanlash. 2. Runge qoidasi.

42-mavzu. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish.

1. Nyuton usuli. 2. Yechimning mavjudligi va Nyuton usulining yaqinlashish sharti. 3. Nyuton usulining yaqinlashish tezligi. 4. Modifikasiyalangan Nyuton usuli.

43-mavzu. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning iterasiya usuli.

1. Iterasiya usuli. 2. Iterasiya usuli yaqinlashishining birinchi sharti. 3. Iterasiya usuli yaqinlashishining birinchi sharti.

244

44-mavzu. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini taqribiy yechishga qatorlarni qo’llash.

1. Darajali qatorlar usuli. 2. Darajali qatorlar usulining yaqinlashishi.

ADABIYOTLAR

1. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. Toshkent. O’qituvchi, 1988. 2. Kopchenova N.V., Maron I.A. Vыchisltelnaya matematika v primerax i zadachax. M.

Nauka. 1972. 3. Demidovich V.P. Maron I.A. Osnovы vыchislitelnoy matematiki. M.Fiz.mat.literatura.

1960. 4. Vorobyeva G.N. Danilova A.N. Praktikum po vыchislitelnoy matematike. M., Vыsshaya

shkola, 1990. 5. Jumanov I.I., Amridinov S.A. Ashurov A.R. Hisoblash matematikasi va optimallashtirish

usullari fanidan misol va masalalar yechish. Samarqand, 1995 6. Amridinov S.A. Sonli metodlar fanidan laboratoriya va mustaqil ishlarni bajarishga doir

ko’rsatmalar. Samarqand, 1995

245

5 - BO’LIM


FANIDAN NAZORATLAR ISHLANMASI

246

HISOBLASH USULLARI FANIDAN ORALIQ NAZORAT SAVOLLARI

4. Hisoblash usullari fanining kelib chiqish tarixi. 5. Hisoblash usullari fanining asosiy vazifasi va usuli. 6. Tenglamaning ildizlarini ajratish. Umumiy mulohazalar. 7. Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 8. Ildizlarini ajratish haqida Dikart teoremasi. 9. Ildizlarini ajratish haqida Shturm teoremasi. 10. Ttenglamalarni yechishda oddiy iterasiya metodi. 11. Iterasiya metodi yaqinlashishini tezlashtirishning bir usuli. 12. Hisoblash xatosining iterasion jarayonning yaqinlashishiga ta’siri. 13. Metrik fazo haqida tushuncha. 14. Qisqartirib aks ettirish prinsipi. 15. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini iterasiya metodi bilan yechish. 16. Bitta sonli tenglama bo’lgan hol Nyuton metodi. 17. Nyuton metodining yaqinlashishi haqidagi teoremalar. 18. Karrali ildizlar uchun nyuton metodi. 19. Modifikasiyalangan Nyuton metodi. 20. Vatarlar metodi. 21. Tenglamalar sistemasi uchun nyuton metodi 22. Algebraik tenglamalar systemasini echishning Gauss metodi. 23. Bosh elementlar metodi. 24. Optimal yo’qotish metodi. 25. Determinatni hisoblash. 26. Matrisalarning teskarisini topish. 27. Kvadrat ildizlar usuli. 28. Kvadrat ildizlar usulining EHMda dastur tuzish. 29. Iterasion jarayonni qurish prinsiplari. 30. Oddiy iterasiya metodi. 31. Zeydel metodi. 32. Eng tez tushish yoki gradiyentlar usulini asosiy g’oyasi. 33. Gradiyentlar usulini yaqinlashishi haqidagi teorema. 34. Matrisalarning xos son va xos vektorlarini topish masalasi. 35. A.N.Krilov metodi. 36. A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topish. 37. Xos sonlarni topishning qismiy muammosida iterasion metodlar. 38. Eng katta xos son va unga mos keladigan xos vektorni topishda darajali metod. 39. Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish. 40. Funksiyalarni interpolyasiyalash masalasi. 41. Logranj interpolyasion formulasi. 42. Sistemaning koeffisiyentlarini hisoblash. 43. Chekli ayirmalar va ularning xossalari. 44. Nyuton interpolyasion formulasining qoldiq hadlari. 45. Gaussning birinchi interpolyasion formulasi. 46. Gaussning ikkinchi interpolyasion formulasi. 47. Bessel interpolyasion formulasi. 48. Sterling interpolyasion formulasi. 49. Markaziy ayirmali jadval. 50. Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburcha, trapesiya formulari. 51. Eng sodda kvadratur formulalar: Simpson formulasi. 52. Eng soda kvadratur formularining qoldiq hadlari. 53. Nyuton-Kotes kvadratur formulasi.

247

HISOBLASH USULLARI FANIDAN TESTLAR

1.Chekli ayirmalarni to’g’ri formulasini kursating: ΔnYj = Δn-1Yj+1- Δn-1Yj ΔnYj+1= Δn-1Yj - Δn-1Yj-1 ΔYj =Yj+1- Δ2 Yj Δn-1Yj = ΔnYj - ΔnYj-1

2. 1n da Lagranj interpolyasion formulasini aniklang. ba, - berilgan absissa nuktalari:

10 yabaxy

babxy

01 yabaxy

babxy

10 yabaxy

babxy

10 yabaxy

babxy

3. Takribiy differensiallash formulasini ix - nuktalar tablisada berilganda aniklang:

...

4321)( 0

40

30

2

00' yyy

yh

xy

...

531)( 0

50

3

00' yy

yh

xy

...

5432)( 0

50

40

30

2

00' yyyyyxy

...

6421)( 0

60

40

2

0' yyy

hxy

4. Uchta nukta uchun Simpson formulasini kursating:

)(2

4)(6

)( bfbafafabdxxfb

a

1230 243

)( ffffabdxxPb

a

1302)()( fffabdxxf

b

a

120 42

)(3)()( fffabdxxPxfb

a

5. Gaussning 1- interpolyasion formulasini kursating:

P (x) = Y0+ q ΔY0 + !2

]2[q Δ 2Y-1+

!3)1( ]3[q

Δ 3Y-1 + …

P (x) = Y –1 + q ΔY0 + !2

]2[q Δ 2Y-1+

!3)1( ]3[q

Δ 3Y-2 + …

P (x) = Y1+ q ΔY-1 + !2

]2[q Δ 2Y-1+ …

P (x) = Y0+ q ΔY1 + !2

]2[q Δ 2Y0 + …

6. Chebыshev kvadratur formulasini aniklang:

248

)()( i

b

a

xfn

abdxxf

n

ii

b

a

xfdxxf1

)()(

n

i

b

a

xfn

dxxf1

)(1)(

n

ii

b

a

xfn

badxxf1

)()(

7. Stirling interpolyasion formulasini kursating:

P (x) = Y0+ q 2

01 + 2

]2[q Δ 2Y-1 + …

P (x) = Y0+ q 2

11 +

2)1( 2q

ΔY-1 + …

P (x) = Y0+ q 2

11 +

2

3q Δ 2Y-1 + …

P (x) = Y0+ q 2

11 +

2q

Δ 2Y-1 + …

8. Bessel interpolyasion formulasini kursating:

...22

1)21(

20

21

2

010

qqqx

...2

12 10

221

qqqx

...22

12

010

10

qqqx

...22 1

2

00

qqx

9. Lagranj interpolyasion kupxadini kursating:

ji ij

jj

n

jn xx

xxxfx )(

0

ji ij

jj

n

jn xx

xxxfx )(

1

ji i

ijj

n

jn xx

xxxfx )(

1

ji ij

jj

n

jn xx

xxxfx )(

1

10. A matrisaning xos kupxadini kursating: n

nnn PPPP ...22

11

nnPPPP ...2

21 n

n PPPP ...33221

249

nn PPPP ...3

3221 11. Nyutonning 2-chi interpolyasion formulasini kursating:

Pn(x) = Yn+ q ΔYn-1 + !2

)1( qq Δ 2 2ny

+

Pn(x) = Yn+ (q-1) ΔYn + !2

)1( qq Δ 2Yn-1+ …

Pn(x) = Yn-1+ q ΔYn + !2

)1( qq Δ 2Yn-1+ …

Pn(x) = Yn+ q ΔYn + !2

)1( qq Δ Yn-1+ …

12. Agar 0)( xf tenglamani grafigini chizish kiyin bulsa, u vaktda tenglamani kaysi formada yozish mumkin : 012)12()( xxxf

xx 212 1222 xx xx xx 212 xx 2112

13. Interpolyasiyalash jarayonining kaysi xolatida rasional funksiyalar sinfi olinadi: Funksiya berilgan nuktalarda cheksizga aylanadigan bulsa.

Chizikli funksiyalar bulsa Chizikli bulmagan funksiyalar bulsa Davriy funksiyalar bulsa

14. 11

nM matrisa kaysi kurinishga ega:

0

00

1

00

...000

...

...010

...001

1,32

11

nnnnnnnn aaaaa

M

1

000

...000

...001

...21

11

n

n

PPP

M

11

1

AM n

nnn

n

n

n

n

aaaaaa

aaa

M..........

2

222

112

1

21

1111

15. Interpolyasiyalash algebraik deyiladi, agar … Darajali kupxadlar olinsa Algebraik funksiya olinsa

Transendent funksiya olinsa Rasional funksiya olinsa

16. Agar davriy funksiya bulsa, {R(x)} sinfi sifatida kaysi funksiyalar sinfi olinadi: Trigonometrik funksiyalar Chizikli funksiyalar Davriy bulmagan funksiyalar olinsa

250

Chizikli bulmagan funksiyalar 19. Trapesiya formulasining koldik xadini aniklang: hxx ii ,

R= )(12

3

yh

R= )(12

4

yh

R= )(6

2

yh

R= )(12

3

yh

20. Teskari matrisani topish formulasini kursating:

nnnn

n

n

AAAAAAAAA

A,...,...,...

1

21

22221

112111

nnnn

n

AAAAAA

A,...,...

21

121111

*1 AA EA 1

21. Kaysi shart bajarilganda Nyutonning 2-chi interpolyasion formulasini kullash kulay: Agar 0xx va x 1x ga yakin bulsa Agar 0xx bulsa va x 0x ga yakin Agar 0xx bulsa va x 0x ga yakin buladi

Agar 0xx bulsa va x nx ga yakin buladi 22. Zeydel metodining yakinlashish shartini kursating:

1max1max11

n

i ii

ij

j

n

j ii

ij

i aa

aa

1

)(kii xx

)()( max1

max ki

kii xxx

1,111

n

iij

n

jij

23. Krыlov metodi bilan iy larni topish formulasini kursating:

n

j

njij

ni yay

1

)1()(

n

jij

ni ay

1

)(

n

i

nj

ni yy

1

)1()(

iijn

i yay )( 24. Gaussning 1-interpolyasion formulasini kursating:

251

....!3)1(

!2)( 1

3]3[

12

]2[

00

yqyqyqyxP

....!3)1(

!2)( 1

3]3[

12

]2[

yqyqxP

....!3)1(

!2)( 2

]3[

1

]2[

00

yqyqqyyxP

....!3!2

)( 13

12

00

yyyqyxP

25. Kuyidagi tenglamani Nyuton usuli bilan yechish algoritmini kursating: 0123 xx

23

122

3

1

n

nnnn x

xxXX

23

122

1

23

1

n

nnn

x

xxXX

23

122

23

1

xxxXX nn

23

122

3

1

n

nnnn x

xxXX

26. Kuyidagi

1111

0000

)()(,)()(

,),()()(

bubuulauauul

bxaxfuxquxpuLu

ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalada )(),(),( xfxqxp funksiyalar kaysi sinfga taalukli:

],[)2( baC ],[ baC ],[ baL ],[ baLp

27. Kesmani ikkiga bulish metodining asosiy goyasi nimadan iborat:

[a, b] - da uzluksiz )(xf va )()( bfaf < 0 )(xf [a va b] da uzluksiz )(xf uzluksiz )()( bfaf > 0

28. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalani takribiy usullar bilan (kallokasiya, eng kichik kvadratlar, integral usuli, soxachalar usuli, Galerkin usuli va boshkalar) yechishda ],...,,,[ 21 naaax tafovut funksiyasining ifodasini keltirib chikaring:

n

kkk xLaxfxL

10 )()()(

n

kkki xLaxfxL

1)()()(

252

n

kkk xaxfxL

10 )())()((

n

kkk xfxLaxfxL

10 )()())()((

29. Oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalani UK otish usuli bilan Koshi masalasiga keltirishda UK oitsh burchagi ni aniklash uchun tenglamani keltirib chikaring:

0),1()( 1 yyaF 0),1()( 1 yyaF 0),1()( 1 yyaF 0),1()( 1 yyaF

30. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni kallokasiya usuli bilan yechganda:

Berilgan nuktalarda tafovut funksiyasi nolga tenglanadi Tafovut funksiyasining kvadrati minimallashtiriladi Bazis funksiyalar tafovut funksiyasiga ortogonal kilib tanlanadi Berilgan nuktalarda tafovut funksiyasi minimallashtiriladi

31. Xar kanday a musbat sonni chekli yoki cheksiz unli kasr shaklda yozishni kursating:

...10...101010 11

22

11

nm

nmm

mm

mm

m ffffa

...1010 11

mm

mm ffa

...1010 1 mm

mma

...1010 111

mm

mma

32. Yigindining absolyut xatosini topish formulasini kursating: nxxxxU ...321

nXU ...21 nxXXU ...21 nXU ...21 nxXXU ...21

33. Ikkita takribiy son ayirmasining limit – absolyut xatosini topish formulasini kursating:

21 xxU 21 xxU 21 xxU 21 xxU

34.Kupaytmaning nisbiy xatosini kursating: nxxxU ....21

n

n

xx

xx

xx

UU

...

2

2

1

1

nxxxU ...21 nxxxU ...21

UU

35. Darajaning nisbiy xatosini kursating: U = xm

253

xu m

xn m 1

uxmun xmu

36. 10,1

1

0

nx

dxJ integralni kiymatini Simpson formulasi yordamida aniklang:

J=0,69315 J=0,61416

J=0,52411 J=0,59315

37. Agar funksiyaning kiymati xisoblanishi kerak bulgan nuktadagi kiymati jadvalning oxirida bulsa kaysi interpolyasion formulani ishlatish urinli:

Nyutonning 2-chi formulasini Lagranj formulasi Bessel formulasi Gaussning 2- chi formulasi

38. Agar xisoblanayotgan funksiyaning kiymati jadvalning urtasida bulsa, kaysi interpolyasion formulani kullash mumkin:

Stirling yoki Bessel Nyutonning 1-chi formulasi Lagranj formulasi Gaussning 1- chi formulasi

39. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni Galyorkin usuli bilan yechganda:

Bazis funksiyalar tafovut funksiyasiga ortogonal kilib tanlanadi Berilgan nuktalarda tafovut funksiyasi nolga tenglanadi Bazis funksiyalari minimallashtiriladi Tafovut funksiyasi berilgan nuktalarda minimallashtiriladi.

40. Nisbiy xatoni xisoblash formulasini kursating:

Aa

a

Aaa

Aaa

Aaa 41. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni Kollokasiya usuli bilan yechganda masala kuyidagi masalaga keltiriladi:

Chizikli tenglamalar sistemasini yechish Chizikli bulmagan tenglamalar sistemasini yechish Kuyi tartibli oddiy differensial tenglama uchun chegaraviy masalani yechish Oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasini yechish.

42. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni Kollokasiya usuli bilan yechganda masala kuyidagi masalaga keltiriladi:

Chizikli tenglamalar sistemasini yechish Chizikli bulmagan tenglamalar sistemasini yechish Kuyi tartibli oddiy differensial tenglama uchun chegaraviy masalani yechish Oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasini yechish.

43. Ildizning m xU nisbiy xatosini topish formulasini kursating:

254

mn x xn

x

nm

m

xn

45. 0885)( 24 xxxxf tenglamaning ildizini Dekart teoremasi orkali musbat ildizlar sonini aniklang:

Uchta yoki bitta Turtta Oltita Ikkita

46. 0885)( 24 xxxxf tenglamaning Lagranj teoremasiga kura, ildizi joylashgan oralikni aniklang:

A) (-3,84; 3,84) (3; -1) (0; -1) (-2; 1)

47. 0)( xf tenglamani yechish uchun Vegsteyn metodi algoritmini kursating:

nnnn

nnnnnn xZZx

ZxxxxZ

11

1111

))(( ( n = 1,2, …)

nnnn

nnnnnn xZZx

ZxxxxZ

11

111

))(( ( n = 0,1, …)

nnnn

nnnnnn xZZx

ZxxxxZ

11

11

))(( n = 1, 2, …

nnnn

nnnnnn xZZx

ZxxxxZ

11

1112

))(( n = 0, 1, 2, …

48. 0)( xf tenglamani vatarlar metodi bilan yechish algoritmini kursating:

)()())((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx ( n = 0,1,2, …),

)()())((

11

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx ( n = 1,2,…)

)()())((

1

11

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx ( n = 1, 2, …)

)()())((

1

111

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx ( n = 0,1,2, … )

49. )(xf funksiya [a, b] kesmada kaysi shartni kanoatlantirganda vazn funksiyasi deb aytiladi :

,0)( x dxxb

a

)(0

255

0)( dxxb

ab

0)( dxxb

ab

dxxb

ab

)(

50. Chizikli algebraik tenglamalar sistemasi yechimi uchun progonka usuli necha boskichdan iborat:

Ikkita Bitta asosiy va bitta yordamchi Uchta Ikkita asosiy va bitta yordamchi

51. Iterasion metodlarga kaysi metodlar kiradi: Iterasiya metodi, Zeydel metodi, relaksasiya metodi Gauss, Kramer kvadrat ildizlar metodi 2) va 3) javoblar birgalikda

52. Kachon anik integralni takribiy xisoblash formulalarini kullash mumkin: Agar integral ostidagi funksiya elementar funksiyalar sinfidan bulsa. Agar integral ostidagi funksiya murakkab bulsa. Agar integral ostidagi funksiya uzluksiz bulsa. 2) va 3) javoblar birgalikda

53. Algebraik tuldiruvchi deb nimaga aytiladi: )()1( ij

jiij aM

AM jij

)1( ijij aM xaM ijij

54.Kvadratur formula deb nimaga aytiladi: Bir karrali integralni sonli xisoblash formulasiga Ikki karrali integralni sonli xisoblash Uch karrali integralni sonli xisoblash Bir va ikki karrali integralni sonli xisoblash

55. Kubatur formulasi deb nimaga aytiladi: Ikki karrali integralni sonldi xisoblash Bir karrali integralni sonli xisoblash Uch karrali integralni sonli xisoblash Bir va ikki karrali integralni sonli xisoblash

56. Integralni takribiy xisoblashning umumiy kvadratur formulasi kursating:

b

a

n

k

kn

kn xfAdxxf

1

)()( )()(

b

a

kn

kn xfAdxxf )()( )()(

b

a

knAxfdxxPxf )()()()(

256

b

a

knAxfdxxP )()()(

57. Gauss metodining tugri usulini kursating:

)(1,

21,2

223

)2(232

11,1

113

1132

1121

...

...

nnnn

nnn

nnn

bx

bxbxbx

bxbxbxbx

2

11212111 ...bxabxaxaxa

nnn

nn

)(1,

nnnn bx

1,

113

13233

112

123

1232

122

...

...

nnn

nnn

nnn

axaxaxaaxaxaxa

58. Kvadratur formulasi xatosini kursating:

n

k

kn

kn

b

an xfAdxxffR

1

)()( )()()(

)(

0

)( )()()( kn

k

kn

b

an AxfdxxPxP

)()()( )()( kn

kn

b

an xfAdxxfxP

n

k

kn

b

an AdxxffR

1

)()()(

59. Chizikli tenglamalar sistemasini yechishning iterasiya metodi formasini vektorli kurinishini kursating:

xx

)()1( kk

xx bxA Axx k

nnk

n )()1( 60. Agar f(x) funksiya chizikli funksiyaga yakin bulsa, uni nima bilan almashtirish mumkin:

balandligi (b-a), asoslari f(a) va f( bulgan trapesiya yuzi )()(2

)( bfafabdxxfb

a

bilan almashtirish mumkin.

)()(2

)()( bfafabdxxPxfb

a

parabola bilan.

)()()( bfafdxxPb

a

bilan.

257

)()(2

)( bfafbdxxRb

a

bilan.

61. Agar f(x) funksiya [a,b] oralikda kvadratik funksiya bulsa integralni takribiy ravishda nima bilan almashtirish mumkin:

x=a va x=b tugri chiziklar orasida joylashgan, x=a, x=(a+/2, x=b nuktadan utuvchi 2-tartib parabola orkali chegaralangan yuza bilan

x=a va x=(a+/2, x=b nuktalardan utuvchi 2-tartibli parabola bilan almashtirish mumkin. x=(a+/2, x=a nuktalardan utuvchi trapesiya yuzi bilan x=a , x=b va x=(a+/2 nuktalardan utuvchi parabola bilan

62. Simpson formulasini kursating:

)()(2

)()( bfafabdxxfxPb

a

2

)()( abdxxfxPb

a

)(2

4)(6

)( bfbafafabdxxfb

a

2)(

2)( bafaf

abdxxP

b

a

63. Chizikli algebraik tenglamalar sistemasining kanday xossasi progonka usulini (turgunlikni tekshirmagan xold kullash imkonini beradi:

Sistema yechiluvchan va uch diagonalli Bosh elementlar noldan farkli Yetakchi elementlar noldan farkli Sistema yechiluvchan, ya’ni koeffisiyentlar matrisasi spektri birlik aylanada yotadi.

64. Agar chekli ayirmali sxemada ikkita kushni katlamdagi yechimlar ishtirok etsa ular kanday sxemalar deyiladi:

Ikki katlamli sxemalar Bir katlamli sxemalar Uch katlamli sxemalar Turt katlamli sxemalar

65. Chizikli algebraik tenglamalar sistemasi deb nimaga aytiladi: Noma’lumlarni birinchidan yukori darajasini va kupaytmasini uz ichiga olmagan

tenglamaga Noma’lumlar kupaytmasini uz ichiga olgan tenglamaga Noma’lumlarni yukori darajasini uz ichiga olmagan tenglamaga 2) va 3) birgalikda

66. Transendent tenglama deb nimaga aytiladi: Kursatkichli, logarifmik, teskari logarifmik, trigonometrik funksiyalar katnashgan

tenglamaga Chizikli funksiya katnashgan Noma’lumlar katnashgan Chizikli bulmagan funksiyalar katnashgan

67. Beshta nukta uchun Simpson formulasini kursating:

b

a

ffffffabdxxf )(4)(25,3

)( 314250

b

a

fffffffabdxxP )(3)(45,3

)( 6542130

258

b

a

ffffffabdxxfxP )(2)(45

)()( 413250

b

a

fffffffabdxxf )(4)(23

)( 4263150

68. Xususiy xosilali differensial tenglamalarni yechish xuddi oddiy differensial tenglamalardagi kabi bir necha guruxga bulinadi: Bular:

Anik usullar, takribiy usullar va sonli usullar Analitik, grafik usullar Analitik, iterasiya usullar Variasion, sonli usullar

69. Kramer formulasini kursating:

ii

xx

bAx 1 bAx 1

xxxi

0

70. Chizikli tenglamalar sistemasini Gauss metodi bilan yechishda asosiy goyasi nimadan iborat:

Noma’lumlarni ketma-ket yukotishdan iborat Sistemani kompakt xolatga keltirishdan iborat 1) va 2) javoblar birgalikda

22

22 a

ab j

j ni topishdan iborat

71. Agar chekli ayirmali sxemaning yechimi mavjud, barcha boshlangich kiymatlarda yagona va uning uzi turgun bulsa, bunday sxemalarga kanday sxemalar deyiladi:

Korrekt (tugri tuzilgan) Oshkor

Oshkormas Nokorrekt

72. Kramer koidasi bilan n-ta noma’lumli n tenglamalar sistemasini yechish uchun nechta arifmetik amallarni bajarish lozim:

n! n2 n ta (n+1) ma (n+m)!

73. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni eng kichik kvadratlar usuli bilan yechganda masala kuyidagi masalaga keltiriladi:

Chizikli tenglamalar sistemasini yechish Chizikli bulmagan tenglamalar sistemasini yechish Oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasini yechish Integro-differensial tenglamani yechish

74. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun kuyilgan chegaraviy masalalarni eng kichik kvadratlar usuli bilan yechganda:

Tafovut funksiyasining kvadrati integrali yoki yigindisi minimallashtiriladi Bazis funksiyalar tafovut funksiyasiga ortogonal kilib tanlanadi Berilgan nuktalarda tafovut funksiyasi minimallashtiriladi

259

Bazis funksiyalari minimallashtiriladi. 75. Agar uch diagonalli ChATS ni yechish kandaydir 0ii da progonka usuli tugunligi yetarli shartli

000 iii bulsa, 221 uchun: Ortikcha xisoblanadi Uz kuchida koladi 0ii da bajarilishi kerak 0ii da bajarilishi kerak

76. Oddiy differensial tenglamalarni yechish Eyler formulasini kursating: iii yyy 1 ),...,2,1,0(),( niyxfhy iii

iii yyy 1

iii yyy 11 iii yyy 11

77. Birinchi tartibli ayirmali xosila approksimasiyasi lokal xatoligi kuyidagilardan kaysi birida keltirilgan ( h -tur kadami):

);(),(),( 20 hOvvhOvvhOvvx

xx


xx


xx

);(),(),( 02 hOvvhOvvhOvv

xxx

78. Kuyidagi shartlar berilgan: a) Ayirmali sxema berilgan differensial masalani approksimasiyalaydi b) Ayirmali sxema tugun v) Ayirmali sxema yechimi dastlabki differensial masala yechimiga yakinlashadi.

Unda ushbu urinli: a ), b) lardan v) kelib chikadi a) , v) lardan b) kelib chikadi b), v) lardan a) kelib chikadi v,) a,) b) lardan boglik emas.

79. 2121 ,,, vvvyyy lar berilgan, bu yerda 221 ,,, HvyHyy 2)( Hvy ni

toping, bu yerda , - berilgan sonlar: 2211 , yy ;, 21 vy ;, 12 yv ;, 2121 vvyy

80. Zeydel metodining asosiy formulasini kursating:

n

ij

kj

ii

ijkj

i

j ii

ij

i

iki x

aa

xaa

ab

x1

)()1(1

11

)1(

n

ij

kj

ii

ijkj

i

j ii

ij

i

iki x

aa

xaa

ab

x1

)()1(1

11

)1(

1

1

)1()1(

1

)1(i

j

kj

ii

ijkj

n

j ii

ijki x

aa

xaa

x

ik

n

k ii

iji

ik x

aa

bx

1

260

81. Nostasionar bir ulchamli chizikli issiklik utkazuvchanlik tenglamasi uchun bir parametrli ayirmali sxema

Jjniyyyy ji

ji

ji

ji

ji

0,0,))1(( 11

ning kanday kiymatida oshkor sxema buladi: 0 1 5,0 1

82. Bir ulchamli nostasionar chizikli issiklik utkazuvchanlik tenglamasi uchun

Jjniyyyy ji

ji

ji

ji

ji

0,0,))1(( 11

bir parametrli ayirmali sxema kuyidagi xollardan kaysi birida )( 22 hO tartibli approksimasiyaga ega:

12

5,0,12

22 hfhf

12

5,0,2hf

1,12

2

fhf

10, f 83. Ikki katlamli sxema

hiiii HyKiAyyyB

0

1 ,1,0,

kanonik kurinishni umumiy hiii HyKiyByB 0211 ,1,0,

kurinishdan keltirib chikarishdan A, V chizikli operatorlarni V1, V2 lardan boglik xolda aniklang: (Bu yerda i

nii

i yyyy ,...,, 10 ).

212

1 4,

22BBBBBA

212

1 ,2

BBBBBA

2121 2, BBBBBA

2121 , BBBBBA 84. Berilgan sistema uchun iterasiya metodini kullash uchun kulay formasini kursating:

nnnnnnn

nn

nn

xxxx

xxxxxxxx

11,2211

223231212

113132121

...

......

)()1( kkxx

bxA

261

xAx 85. Chizikli tenglamalar sistemasini yechishning iterasiya metodining vektorli kurinishini kursating:

xx

)()1( kk

xx bxA Axx k

nnk

n )()1( 86. Issiklik utkazuvchanlik tenglamasi uchun

10,10),)1(( 11

Jjniyyyy ji

ji

ji

ji

ikki katlamli ayirmali sxemani 011

j

i

ji

ji AyyyB

kanonik kurinishga keltirishda A, V

operatorlarni aniklang: EBA ,

AEBEA2

,2

EBA , AEBA ,

87. Tulkin tenglamasi ),(2

2

2

2

txfxu

tu

uchun bir parametrli ayirmali sxema

yyyy tt )21(€ oshkor deyiladi, agar …

0 1 5,0 1

88. Tulkin tenglamasi umumiy chegaraviy masalasi uchun mos

),(~)0,(),()0,(),(),()21(€

00210 xuxyxuxytytyyyyy

tn

tt

AS da )(~)0,( 0 xuxyt shart, dastlabki )()0,(0 xu

txu

differensial masala shartini

approksimasiyaladi. Approksimasiya anikligi )( 2O kilib kullansa )(~0 xu ni

),(),(),( 00 txfxuxu Lar orkali aniklang: ))0,()((5,0)()(~

000 xfxuxuxu )0,()()()(~

000 xfxuxuxu ))0,()((5,0)()(~

000 xfxuxuxu )()()(~

000 xuxuxu 89. Umumlashgan daraja formulasini kursating:

x[n] = x (x-h) (x-2h) … [x-(n-1)h] x[n-1] = x (x-h) (x-2h) … [x-(n-1)h] x[n+1] = x (x-h) (x-2h) … [x-(n-1)h] x[n] = x (x-h) (x-3h) … [x-(n+1)h]

262

90. Agar xisoblanayotgan funksiyaning kiymati jadvalning boshida bulsa kaysi interpolyasion formulani kullash urinli:

Nyutonning 1-chi formulasini Lagranj formulasini Nyutonning 2- chi formulasini Gaussning 1-chi formulasini

91. Bir ulchovli tulkin tenglamasi umumiy chegaraviy masalasi uchun mos

212211

21

11

0

1211

11

2

)21(2,

,1,1,1,1,,

,21

jjji

ji

jn

j

ij

ij

ij

i

yyyyFh

Jjniyy

Fyyy

Ayirmali tenglamani yechish uchun progonka usuli tugunligining yetarlilik sharti kuyidagilardan kaysi biri xisoblanadi:

0 1 5,0 0,1

92. Iterasiya metodi yakinlashuvchi bulishi uchun berilgan sistema A matrisaning diagonal elementlari kaysi shartni kanoatlantirishi kerak:

ji

ijii aa

j

ijii aa

j ij

iiii a

aa

j ij

iiii a

aa

93. Umumiy uch katlamli hn

nN

nnnnnnn HyyyyyyyKnyByByB ...,,,,,...,,,1,1, 101010112

ayirmali tenglamani AyRyyB ttt

22 0

kanonik kurinishga keltiring. B, R, A, operatorlarni 210 ,, BBB Lar orkali aniklang:

1020202 ),(21),( BBBABBRBBB

)(,),( 1002102 BBABBRBBBB

1020101 ),(2

),(2

BBBABBRBBB

)(21),(

21, 1020202 BBBABBRBBB

94. Milnning birinchi formulasini kursating:

''1

'23 22

34

iiiii yyyhyy

'1

'2

'34 22

34

iiiii yyyhyy

263

'1

'2

'34 22

3 iiiii yyyhyy

'1

'2

'3 22

344 iiii yyyhiy

95. Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi formulasini kursating:

),(,

,),(

),(1

1

1

1nnynn

nnynn

nnnn

YXGYXG

FXFX

XX

),(,

,),(),(

11

1

1nnnnx

nnnnx

nnnn

YXGYXG

FXFX

XX

;),(

1

1nn

nn YxXX

),(1 nnnn YXYYY

nn YX 1

11 YXX nn

96. Kuyidagi

212

11

1110

1,...,2,1,

nn

iiiiiii

yyniyyy

yy

chizikli tenglamalar sistemasini niyi ,0, ga nisbatan yechishda progonka usulining yetarli yakinlashish shartini kursating:

2,2,1,1,1,1, 21 ini iiii

1,2,1,0,1,1, 21 ini iii

,2,1,1,1,1, ini iiii

21,2,1,1,1,1, 21 ini iiii

97. Birinchi Nyuton interpolyasion formulasini kursating:

....)(!2

)(!1

)( ]2[02

02

]1[0

00

xx

hy

xxh

yyxPn

....)(!2

)(!1

)( ]3[02

02

]1[0

0

xxhy

xxh

yxPn

....)(!2

)(!1

)( ]2[03

02

]1[0

01

xx

hy

xxh

yyxPn

....)(!2

)(!1

)( ]2[03

0]1[0

00

xx

hyxx

hyyxPn

98. Milnning ikkinchi formulasini kursating:

''1

'22 4

2 iiiii yyyhyy

''1

'22 4

2 iiiii yyyhyy

''1

'22 4

3 iiiii yyyhyy

264

iiii yyyhyyi

12' 4

32

99. Kushma matrisa deb nimaga aytiladi:

jiij aa *

EAA * 1* AA AA 1

100. Unitar matrisa deb nimaga aytiladi: EAA * 1* AA 1 TA jiij aa *

265

HISOBLASH USULLARI FANIDAN

YAKUNIY NAZORAT VARIANTLARI Variant № 1

1. Xatolar manbai. 2. Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar ildizlarini grafik ajratish usuli. 4. Lagranj interpolyatsion formulasi. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan sistemani yeching:

16,1х877,0х05,2х03,144,0х05,0х71,0х61,0

4,03х-3,12x-2,5х

321

321

321

Variant № 2

1. Matritsaning xos son va xos vektorlarini topish usullari. 2. Xorda usuli. 3. ODT-ni yechish usullari. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. s(x)=x3+01x2+06x-1.6=0 tenglama ildizining dastlabki yaqinlashishini toping.

Variant № 3 1. To’liq xato. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yechish. 4. Gaussning 1-2 chi interpolyatsion formulalari. 5. Oraliqni teng 2 ga bo’lish usuli bilan x3+0,1x2+0,4x-1,2=0 tenglamaning ildizini aniqlang.

Variant № 4

1. Hisoblash matematikasining predmeti va metodlari. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yechish. 4. Simpson usuli . 5. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yeching.

0z5y45х

04z-y4x

1zy2x

22

22

222

Variant № 5 1. To’liq xato. 2. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish.

266

3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yechish. 4. Nyutonning 1-2 -chi interpolyasion formulalari. 5. Xarakteristik tenglamani bevosita yoyib chiqish usuli bilan matritsaning xos

qiymatlarini toping.

A=

302121

211

Variant № 6

1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni ildizlarini ajratishga doir teoremalar. 2. Trapesiya usuli. 3. Zeydel metodi. 4. Lagranj interpolyasion formulasi. 5. Nyuton usuli bilan sistemaning taqribiy yechimini toping.

1 5,0zyx

0zy4x3

0z4yx2

zуx

00022

22

222

Variant № 7 1. Lagranj interpolyasion formulasi. 2. Simpson usuli. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamani xorda usuli bilan yechish. 4. Lagranj interpolyasion formulasi. 5. Matritsaning xos qiymati va xos vektorini toping

A=

15,115,226,0

5,16,01

Variant № 8 1. Xatolar manbai. 2. Nyuton interpolyasion formulalari. 3. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash formulalari. 5. Xarakteristik tenglamani bevosita yoyib chiqish usuli bilan matritsaning xos qiymatini

toping.

A=

302121

211

267

Variant № 9 1. ODT-ni Eyler usuli bilan yechish. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton usuli. 3. Interpolyatsiyalash masalasi. 4. Simpson usuli. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan sistemani yeching

16,1х877,0х05,2х03,144,0х05,0х71,0х61,0

5,7х03,4х12,3х5,2

321

321

321

Variant № 10 1. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton metodi. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini oddiy iteratsiya usuli bilan yechish. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Zeydel usuli bilan yeching.

83,144,136,255,275,036,287,242,1

48,256,242,193,0

321

321

321

ххххххххх

Variant № 11 1. Ildizlarini ajratish grafik usuli. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton usuli. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorlarni Krilov usuli bilan topish. 4. Interpolyatsiya masalasining qo’yilishi. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching

42,0х83,0х057х34,083,0х53,0х61,0х43,0

15,1х72,0х81,0х2,1

321

321

321

Variant № 12 1. ODT ni Runge - Kutta usuli bilan yechish. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Gauss interpolyasion formulalari. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash formulalari. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini iteratsiya usuli bilan yeching.

15,2х21,1х27,1х84,063,0х27,1х65,0х27,1

51,1х84,0х27,1х63,1

321

321

321

268

Variant № 13 1. Chiziqli bo’lmagan tenglamani taqribiy yechishda Xorda usuli. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini topishda Krilov usuli. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda oddiy iteratsiya usuli. 4. Lagranj interpolyatsion formulasi. 5. Oddiy differensial tenglamani yeching. y = x2y; y(0)=0,4; x [0,1]; h=0,1.

Variant № 14 1. To’liq xato. 2. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamani yechish uchun Xorda usuli. 4. Nyutonning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Xarakteristik tenglamani bevosita yoyib chikish usuli bilan matritsaning xos qiymatlari va

xos vektorini toping

302121

211A

Variant № 15 1. Hisoblash algoritmi.Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 4. ODT ni Runge - Kutta usuli bilan yechish. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching

37,0х63,0х05,0х13,031,0х05,0х34,0х04,0

15,0х05,0х04,0х1,0

321

321

321

Variant № 16 1. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 2. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss metodi bilan yechish. 4. Lagranj interpolyasion formulasi. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

2,3x1,1x8,1x7,27,5х8,4x7,34,1x

0,82,8x2,1x3,3x

321

321

321

Variant № 17 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorini topish. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari.

269

5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

18z2y12х54z6y5х29z2у3х4

Variant № 18 1. Ildizlarni ajratish grafik usuli. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasni iteratsiya usuli bilan yechish. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 4. Nyutonning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Chiziqli tenglamalar sistemasini iteratsiya usuli bilan yeching:

37,2х21,1х34,1х85,065,0х34,1х55,0х5,151,1х85,0х5,1х65,1

321

321

321

Variant № 19 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini oddiy iteratsiya usuli bilan yechish. 4. Gaussning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Matritsaning xos qiymat va xos vektorini toping

5,05,115,125,0

15,01

Variant № 20 1. Xatolar manbai. 2. Nyutonning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. 4. ODT ni taqribiy yechish usullari. 5. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yeching:

043044

1

222

22

333

zyxzyx

zyx

Variant № 21 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 3. Krilov metodi bilan matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini hisoblash. 4. Nyutonning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini Nyuton usuli bilan yeching

270

054504412

22

22

222

zyxzyx

zyx

Variant № 22 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Gaussning interpolyasion formulalari. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

16,1877,005,203,144,005,071,061,0

5,703,412,35,2

321

321

321

xxxxxx

xxx

Variant № 23 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Oddiy differensial tenglamani taqribiy yechish usullari. 3. Krilov usuli bilan matritsaning xos qiymat va xos vektorini topish. 4. Gaussning 1-2 -chi interpolyasion formulalari. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

1,164,237,226,15

;

5,328,181,088,081,071,485,073,0

53,198,053,405,181,075,002.182,3

b

Variant № 24 1. Xatolar manbai. 2. Nyutonning 1-2 -chi interpolyasion formulalari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. 4. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 5. Nyuton usuli bilan yeching:

043044

1

222

22

333

zyxzyx

zyx

Variant № 25 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 3. Krilov metodi bilan matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini hisoblash. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda iteratsiya metodi. 5. Sistemani Nyuton usuli bilan yeching

271

054504412

22

22

222

zyxzyx

zyx

Variant № 26 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda iteratsiya metodi. 4. Matritsaning xos son va xos vektorlarini topishda Krыlov usuli. 5. Oraliqni teng 2 ga bo’lish usuli bilan x3+0,1x2+0,4x-1,2=0 tenglamaning ildizini aniqlang.

Variant № 27 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Gaussning interpolyasion formulalari. 4. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

16,1877,005,203,144,005,071,061,0

5,703,412,35,2

321

321

321

xxxxxx

xxx

Variant № 28 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Oddiy differensial tenglamani taqribiy yechish usullari. 3. Krilov usuli bilan matritsaning xos qiymat va xos vektorini topish. 4. Tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

1,164,237,226,15

;

5,328,181,088,081,071,485,073,0

53,198,053,405,181,075,002.182,3

b

Variant № 29 1. To’liq xato. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. Lagranj interpolyatsion formulasi. 5. Oraliqni teng 2 ga bo’lishi usli bilan x3+0,1x2+0,4x-1,2=0 tenglamaning ildizini aniqlang.

Variant № 30 1. Hisoblash matematikasining predmeti va metodi. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash.

272

3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. Bitta tenglamani yechishda Nyuton usuli. 5. Sistemani Nyuton usuli bilan yeching

0z5y4x5

0z4yx4

1zух2

22

22

222

Variant № 31 1. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 2. Matritsalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasining taqribiy yechishda oddiy iteratsiya usuli. 4. Oraliqni teng 2 ga bo’lish usuli bilan x3-4x2+6x-6=0 tenglamani yeching. 5. Zeydel usuli bilan yeching.

83,1х44,1х36,2х55,275,0х36,2х87,2х42,1

48,2х56,2х42,1х93,0

321

321

321

Variant № 32 1. Ildizlarni ajratish grafik usuli. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton usuli. 3. Matritsalarning xos son va xos vektorlarning topishi vektorlarning Krыlov usuli. 4. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 5. Gauss usuli bilan yeching:

42,0х83,0х57,0х34,083,0х53,0х61,0х43,0

2х5х4х2,1

321

321

23

Variant № 33 1. Tenglamani taqribiy yechishda Xorda usuli. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini topishda Krilov usuli. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda oddiy iteratsiya usuli. 4. Xatolar manbai. 5. Oddiy differensial tenglamani yeching: y′ = x2 y; y(0)=0,4; x[0,1]; h=0,1

Variant № 34 1. Tulik xato. 2. Integrallarni taqribiy yechish usullari. 3. Bitta tenglamani yechishda Xorda usuli. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda iteratsiya metodi. 5. Xarakteristik tenglamani bevosita yoyib chikish usuli bilan matritsaning xos qiymatlari

va xos vektorini toping

273

302121

211

Variant № 35 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Matritsalarni xos son va xos vektorlarini hisoblash. 4. Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari 5. Gauss usuli bilan sistemani yechimini toping

37,063,005,013,031,005,034,004,0

15,013,004,01,0

321

321

321

хххххх

ххх

Variant № 36 1. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 2. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda kvadrat ildizlar metodi. 4. Lagranj interpolyatsion formulasi. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

2,3х1,1х8,1х7,27,5х8,4х7,3х1,48,0х8,2х1,2х3,3

321

321

321

Variant № 37 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Matirisalrning xos son va xos vektorini topish. 4. Ildizlarni ajratish grafik usuli 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

18z2y12x54z6y5x29z2у3х4

Variant № 38 1. Ildizlarni ajratish grafik usuli. 2. Tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 3. Krilov metodi bilan matritsaning xos qiymatlari va xos vektorini hisoblash. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. Urinma usuli bilan tenglamaning ildizini toping: f(x)=x3-4x2+5x-2=0

274

Variant № 39 1. Xatolar manbai. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish. 4. Gaussning 1-2 chi interpolyasion formulalari. 5. Matritsaning xos qiymat va xos vektorini toping

5,05,115,125,0

15,01

Variant № 40

1. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarni hisoblash. 3. Nyuton interpolyatsion formulalari. 4. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching

1826543529234

zyxzyxzyx

Variant № 41 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari.

4. Lagranj interpolyatsion formulalari. 5. Oraliqni teng 2 ga bo’lish usuli bilan x3+0,1x2+0,4x1,2=0 tenglamaning ildizini aniqlang.

Variant № 42 1. Xos son va xos vektorlarni topish. 2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 3. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 4. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 5. Iteratsiya usuli bilan yechish algoritmini tuzing.

15,221,127,184,063,027,165,027,1

51,184,027,163,1

321

321

321

xxxxxxxxx

Variant № 43 1. Tulik xato. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. Gaussning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 5. Xorda usuli bilan tenglamaning ildizini aniqlang: F(x)=x3-8x2+8x-4=0

275

Variant № 44 1. Hisoblash matematikasi predmeti va metodlari. 2. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. ODTni Eyler usuli bilan taqribiy yechish. 5. Xorda usuli bilan tenglamani ildizini toping: f(x)=x3-3x2+6x-2=0

Variant № 45 1. Matritsaning xos son va xos vektorlarni topish usullari. 2. Toliq xato. 3. Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi uchun Nyuton metodi. 4. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari. 5. Iteratsiya usuli bilan sistemani yeching

14,318,145,217,113,245,232,112,2

27,117,112,214,3

321

321

321

xxxxxx

xxx

Variant № 46

1. Oddiy differensial tenglamani yechish usullari. 2. Nyuton interpolyasion formulalari. 3. Ikkita chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishda Nyuton usuli. 4. Interpolyasiyalash masalasining kuyilishi. 5. Oraliqni teng ikkiga bo’lish usuli bilan tenglamaning ildizini toping:

x3+2,1x2+0,5x-2,4=0

Variant № 47

1. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarning ildizlarini ajratishga doir teoremalar. 2. Matritsalarning xos son va xos vektorlarini topish usullari. 3. Toliq xato. 4. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni yechish uchun Xorda usuli.

5. dxx

x12

1

–Simpson usuli bilan yeching.

Variant № 48

1. Matritsalarning xos son va xos vektorlarni topish usullari. 2. Gaussning 1-2 -chi interpolyatsion formulalari. 3. Chiziqli tenglamalar sistemasi uchun Zeydel usuli. 4. Krilov metodi bilan matritsaning xos qiymatlari va xos vektorlarini hisoblash. 5. Iteratsiya usuli bilan yechish algoritmini tuzing.

276

15,221,127,184,063,027,165,027,1

51,184,027,163,1

321

321

321

xxxxxxxxx

Variant № 49 1. Xatolar manbai. 2. Integrallarni taqribiy hisoblash formulalari. 3. Interpolyasiya masalasining kuyilishi. 4. Chiziqli tenglamalar sistemasini Zeydel usuli bilan yechish. 5. Gauss usuli bilan sistemani yeching:

16,1877,005,203,144,005,071,061,0

5,703,412,35,2

321

321

321

xxxxxx

xxx

Variant № 50 1. Hisoblash algoritmi. Turg’un va noturg’un algoritm tushunchasi. 2. Chiziqli bo’lmagan bitta tenglama uchun Nyuton usuli. 3. Krilov usuli bilan matritsaning xos qiymat va xos vektorlarini topish. 4. Matritsaning xos son va xos vektorlarini hisoblash. 5. Zeydel usuli bilan sistemani yeching

1,164,237,226,15

;

5,328,181,088,081,071,485,073,0

53,198,053,405,181,075,002,182,3

b

277

MUNDARIJA

1. «HISOBLASH USULLARI» FANINING O’QUV PREDMETIGA KIRISH 3

2. «HISOBLASH USULLARI» FANIDAN MA’RUZALAR MATNI 29

3. «HISOBLASH USULLARI» FANINI O’QITISHNING TA’LIM TEXNOLOGIYALARI 133

4. «HISOBLASH USULLARI» FANIDAN AMALIYOT VA MUSTAQIL ISHLAR ISHLANMASI 185

5. «HISOBLASH USULLARI» FANIDAN NAZORATLAR ISHLANMASI 250

M A J M U A - SamDU blok fanlari/Hisoblash_usullari.pdfALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT...

Documents

Transcript of M A J M U A - SamDU blok fanlari/Hisoblash_usullari.pdfALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT...