Lucrare de Matematica

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

DEZVOLTAREA GÂNDIRII LOGICE

A ELEVILOR PRIN

REZOLVAREA PROBLEMELOR

-- lucrare metodico – ştiinţifică -

DINU NICOLITA

PLANUL LUCRĂRII

INTRODUCERE I.1. Dezvoltarea învăţământului primar în condiţiile modernizării invăţământului românesc I.2. Importanţa studierii matematicii în dezvoltarea gândirii elevilor în ciclul primar I.3. Actualitatea şi motivarea temei II. IPOTEZA ŞI OBIECTIVELE LUCRĂRII II.1. Ipoteza lucrării II.2. Obiectivele lucrării III. METODE DE CERCETARE III.1. Observaţia III.2. Convorbirea III.3. Experimentul pedagogic III.4. Testul III.5. Analiza lucrărilor elevilor III.6. Evaluarea rezultatelor IV. ASPECTE TEORETICE DE BAZĂ IV.1. Gândirea – proces de cunoaştere IV.2. Flexibilitatea gândirii IV.3. Dezvoltarea gândirii logice la elevii din ciclul primar, aspecte psihopedagogice V. DESFĂŞURAREA CERCETĂRII V.1. Conceptul de problemă V.2. Etapele rezolvării problemelor V.3. Valenţe formative ale activităţii de rezolvare a problemelor V.4. Tipuri de probleme şi metode de rezolvare V.5. Aspecte metodice privind rezolvarea de probleme V.6. Metode şi procedee folosite în vederea cultivării flexibilităţii gândirii elevilor prin rezolvarea problemelor VI.EVALUAREA ŞI INTERPRETAREA REZULTATELOR VII.CONCLUZII PROIECTE DE LECTII

Inv.Dinu Nicolita


ANEXE BIBLIOGRAFIE I. INTRODUCERE

I.1. Dezvoltarea învăţământului primar în condiţiile

modernizării învăţământului românesc.

Ciclul primar reprezintă segmentul cel mai stabil al

învăţământului. Totodată acesta este şi cel mai vechi sub

raport istoric, dispunând de un corp didactic cu tradiţii

puternice şi pozitive.

I.2. Importanţa studierii matematicii în dezvoltarea

gândirii elevilor în ciclul primar

Scopul esenţial pe care îl urmăreşte învăţământul

matematic nu se reduce la latura informativă, ci prin

predarea acestei discipline se realizează mai ales

dezvoltarea raţionamentului şi a spiritului de receptivitate,

a deprinderilor de gândire logică, de definire clară şi precisă

a noţiunilor de adaptare creatoare la cerinţele

actuale.

I.

La clasele I – IV trebuie să punem bazele însuşirii

întregului sistem de cunoştinţe matematice prin

transmiterea noţiunilor fundamentale ale acestei ştiinţe, să

dezvoltăm gândirea (logică) cu operaţiile şi calităţile ei

II. IPOTEZA ŞI OBIECTIVELE LUCRĂRII

II.1. Ipoteza lucrării

II. 2. Obiectivele lucrării

Obiectivul principal în activitatea ce o desfăsor îl

constituie largirea cercului de cunoştinţe, dezvoltarea

flexibilităţii gândirii, a cretivităţii, spre a-i face pe copii

Inv.Dinu Nicolita


capabili să se orienteze cu uşurinţă în cadrul situaţiilor

problematice, în rezolvarea problemelor

III. METODE DE CERCETARE

III.1. Observaţia

Această metodă presupune consemnarea sistematică şi

riguroasă, amănunţită şi clară a tuturor proceselor,

reacţiilor, formelor de conduită cuprinse în programul

cercetării, care priveşte un anumit aspect (exemplu:

gândirea şi calităţile acesteia)

III. 2. Convorbirea

Convorbirea pe care cadrul didactic o are cu elevul

vizează cunoaşterea lumii interne având loc de la exterior

la interior, prin confruntarea datelor existente la dispoziţia

cadrului didactic cu relatările pesonale ale copilului

III.3. Experimentul pedagogic

Această metodă este o modalitate nouă a învăţării

având ca scop optimizarea procesului educaţional şi constă

în observarea fenomenelor într-o situaţie anume creată de

cercetător;

III. 4. Testul, Analiza lucrărilor elevilor, Evaluarea

rezultatelor

V. DESFǍŞURAREA CERCETǍRII

VI. Conceptul de problemă

Înţelegerea enunţului probleme

Analiza problemei şi întocmirea planului logic

Alegerea şi efectuarea operaţiilor

corespunzătoare

succesiunii din planul logi

E. Activităţi suplimentare după rezolvarea problemei

Ea constă în verificarea soluţiei problemei, în găsirea şi

a altor metode de rezolvare şi de alegere justificată a celei

Inv.Dinu Nicolita


mai bune. Este etapa prin care se realizează şi

autocontrolul asupra felului în care s-a însuşit enunţul

problemei, asupra raţionamentului realizat şi a demersului

de rezolvare parcurs.

Chiar dacă rezolvarea unei probleme se face frontal sau

prin activitate independentă, este posibil ca în şirul de

raţionamente, ca şi în stabilirea algoritmului de rezolvare,

precum şi în efectuarea operaţiilor indicate, să se strecoare

erori care să conducă la altă soluţie decât cea bună. În plus,

prin utilizarea unor căi şi metode diferite, se poate ajunge

la soluţii diferite sau la soluţii ilogice (neconforme cu

realitatea – de genul – vârsta tatălui este de...250 ani).

După rezolvarea unei probleme, se recomandă pentru a

se scoate în evidenţă categoria din care face parte

problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea

(transpunerea) datelor problemei şi a relaţiilor dintre ele

într-un exerciţiu sau, după caz, în fragmente de exerciţiu.

Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin

compunerea de probleme, cu aceleaşi date sau cu date

schimbate, dar rezolvabile după acelaşi exerciţiu,

învăţătorul descoperă cu elevii schema generală de

rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerinţă care

nu duce la schematizare, la fixitatea sau rigiditatea gândirii,

ci din contră, la cultivarea si educarea creativităţii, la

educarea sistematică a intelectului elevilor. Procesul de

rezolvare a problemelor antrenează în sistem elementele

ajunse la automatizare, dar mai corelează elemente a căror

acţiune trebuie să rămână în permanenţă sub controlul

conştiinţei. Abilităţile matematice de care depinde

rezolvarea problemelor sunt fie cu caracter general, adică

intră în acţiune la rezolvarea oricărei probleme (cum ar fi

orientarea asupra datelor, punerea în legătură a acestora,

Inv.Dinu Nicolita


diferenţierea cunoscutelor de necunoscute), fie specifice şi

se aplică la probleme tipice, ori la detaliile acţiunilor

(procedee de calcul) şi care, în acest caz au statut de

deprinderi.

Sarcina principală a învăţătorului când pune în faţa

elevilor o problemă este să-i conducă pe aceştia la o

analiză profundă a datelor, analiză care să le permită o

serie de reformulări, care să îi apropie de solutie.

Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu atât mai

mare în clasele mici, cu cât ştim că elevul întâmpină

dificultăţi în această direcţie, în special datorită lipsei unei

vederi de ansamblu (a perspectivei) asupra problemei- şi

conştientizării întregului raţionament de rezolvare a

acesteia. Tendinţa elevului de a lega datele problemei în

ordinea succesivă pe care i-o oferă enunţul conduce la

rezultate greşite, îndeosebi când ordinea rezolvării nu

coincide cu ordinea datelor din enunţ.

Analiza profundă a datelor problemei trebuie să-l

conducă pe elev la desprinderea de concret, la

transpunerea situaţiei concrete pe care o prezintă

problema în relaţii matematice. Renunţarea la elementele

concrete şî înlocuirea acestora cu expresii potrivite fac

posibilă schematizarea problemei- deci pasul necesar spre

generalizare.

O altă sarcină a învăţătorului este să-l ajute pe elev să

cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie

să treacă de la fragmente la tot, de la relaţii dintre perechi

de date la întregul film al rezolvării, care este dinamic şi

îmbină după o logică riguroasă fragmentele.

O problemă este mai dificilă cu cât ea diferă mai mult

de problemele rezolvate anterior, deci cu cât situaţia noua

cere o restructurare mai profundă a experienţei anterioare.

Inv.Dinu Nicolita


Dat fiind faptul că posibilităţile şcolarului mic de folosire a

cunoştinţelor şi de raportare a relaţiilor vechi la cele noi

sunt încă insuficient dezvoltate, acţiunile principale ale

învăţătorului trebuie să fie orientate în această direcţie.

Deoarece elevul nu sesizează ansamblul problemei, nu

prinde sau pierde ideea care l-ar duce la rezolvare, nu îşi dă

seama rapid în ce mod poate folosi rezultatele parţiale,

activităţile pregătitoare şi de rezolvare ale învăţătorului

trebuie să urmărească înţelegerea de catre elevi a

specificului rezolvării prin crearea unui mod simplu de

rezolvare pentru problemele care, deşi par diferite, au în

esenţă aceeaşi structură.

V.3. Valenţe formative ale activităţii de rezolvare a

problemelor

Procesul de învăţare continuă este esential atât în viaţa

individuală cât şi în cea socială. El a permis şi permite

omului să stabilească toate treptele evoluţiei sale şi să

ajungă pe această înaltă culme a progresului şi civilizaţiei

umane. Orice învăţare prezintă o nouă achiziţie, o finalitate,

adesea un complex de finalităţi, enunţate de obicei prin

experienţa caştigată.

A pregăti copilul pentru a-şi însuşi, în procesul invăţării

matematice, valori ştiinţifice şi a se bucura astfel de

fructele cunoaşterii omeneşti, în interesul lui şi al semenilor

săi, înseamnă a-l angaja la o activitate perseverentă şi

răbdătoare de cunoaştere.

În procesul învăţării, elevul câştigă cunoştinţe, ori astăzi

în mileniul III, când are loc această revoluţie în toate

domeniile de activitate, când are loc un adevărat asalt

Inv.Dinu Nicolita


informaţional, când ceea ce învăţăm s-ar putea sa nu mai

fie valabil mâine, se impune trecerea de la informare la

formare, de la memorarea şi reproducerea mecanică de

date la dezvoltarea minţii şi a puterii de judecată. Se

impune deci o învăţare productiv creatoare prin care elevul

să participe cu întreaga sa personalitate, cu toate laturile şi

funcţiile sale: cognitivă, afectivă, volitivă. Activitatea

elevilor în cadrul lecţiilor de matematică, pe măsura

capacităţilor potenţiale şi în conformitate cu legile lor

biologice, am întreprins-o cu scopul de a forma indivizi cu

personalitate creatoare, capabili şi dornici să se

autorealizeze.

Cercetările întreprinse de P.J.Galperin şi J.Piaget, au pus

în evidenţă faptul că formarea concepţiilor are loc pe baza

interiorizării unor acţiuni, adică pe baza trecerii de la

acţiuni externe cu obiectele, la acţiuni interne ce se

desfăşoară pe plan mintal cu ajutorul limbajului. Astfel

gândirea ne apare ca un joc de operaţii şi nu o simplă

asimilare de imagini şi noţiuni. A forma gândirea înseamnă

a forma operaţii, iar a forma operatii înseamnă a elabora

sau constitui în acţiuni şi prin acţiune.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai

înalt grad capacităţile intelectuale ale elevilor, le solicită

acestora toate disponibilităţile psihice, în special

inteligenţa, motiv pentru care în ciclul primar se acordă o

mare importanţă rezolvării problemelor de matematică.

Valoarea formativă a rezolvării de probleme sporeşte,

pentru că participarea şi mobilizarea intelectuală a elevilor

la o astfel de activitate este superioară altor demersuri

matematice, elevii fiind puşi în situaţia de a descoperi ei

înşişi modalităţile de rezolvare, de a formula ipoteze şi de a

le verifica, de a face asociaţii de idei, corelaţii inedite.

Inv.Dinu Nicolita


La elevi se formează priceperea de a analiza situaţia

dată de problemă (valorile numerice, relaţiile cunoscute) şi

„a descoperi” calea prin care să obţină ceea ce se cere în

problemă. Aceasta duce la dezvoltarea gândirii, la formarea

limbajului matematic, la educarea perspicacităţii şi a

spiritului de iniţiativă.

Dar nu numai procesele de cunoaştere sunt mobilizate

în rezolvarea unei probleme, ci întreaga personalitate a

celui ce rezolvă problema în toate coordonatele ei

raţionale, afective, volitive. Nu se lucrează în matematică

numai cu mintea. Pasiunea matematică este motorul

activităţii. Un rol important al profesorului este să

călăuzească activitatea celui care învaţă în aşa fel încât

acesta să resimtă farmecul, atracţia, specifice acestei

activităţi. Nu numai să-l ajute să înteleagă, ci să-l ajute să

simtă. Pentru înţelegere, profesorul poate fi înlocuit de un

text bun. Profesorul adevărat, neidentificabil cu un text, are

şi rolul călăuzirii sentimentelor, a sentimentelor intrinseci,

proprii în mod natural activităţii matematice.

Apariţia ideii în rezolvarea problemei este în esenţă un

act de descoperire cu toate implicaţiile lui psihice.

Nu întotdeauna efortul făcut pentru a rezolva o

problemă este încununat de succes. Se întâmplă de multe

ori ca elevul să nu descopere modul de rezolvare, să nu

poată răspunde la întrebarea problemei; elevii trebuie

educaţi în sensul de a nu ceda până nu ajung să rezolve

problema. Reluarea muncii şi ducerea ei până la capăt

constituie un bun exerciţiu pentru educarea voinţei, a

dârzeniei, a perseverenţei.

Tehnica rezolvării problemelor de aritmetică nu se

poate obţine decât printr-o muncă susţinută, bine

organizată. Deseori, începătorii în studiul aritmeticii nu se

Inv.Dinu Nicolita


preocupă să descopere într-o problemă, în structura ei

interioară, particularitatea esenţială care o apropie de un

grup de probleme ce se pot rezolva după o aceeaşi

schemă.

Privitor la problemele propuse spre rezolvare elevilor,

este necesar ca acestea să fie ordonate după gradul lor de

dificultate, să aibă enunţul clar şi concis formulat, ţinând

sema de nivelul intelectual al rezolvitorului şi mai ales de

gradul său de pregătire.

Prin conţinutul lor, reflectând aspecte ale activităţii

oamenilor, rezolvarea problemelor contribuie la aplicarea în

practică a cunoştinţelor matematice dobândite.

Rezolvarea problemelor exercită o influenţă formativă

asupra elevilor pe tot parcursul studierii matematicii. Cu cât

înaintăm spre clasele mari, cu atât mai mult acestea se

referă la formarea unei gândiri profunde şi perspicace, a

exactităţii şi corectitudinii, a dârzeniei, a spiritului de

iniţiativă, a independenţei.

Rezolvarea problemelor constituie activitatea

matematică cea mai bogată în valenţe formative, în ea

concretizându-se întreaga experienţă dobândită de elev,

atât în studierea şi cunoaşterea numerelor cât şi a

calculului, acestea devenind elemente auxiliare în

rezolvarea problemelor.

Bogatele valenţe formative al activităţii de rezolvare a

problemelor nu se valorifică de la sine, în mod spontan.

Lăsată pe seama spontaneităţii, eficienţa formativă a

rezolvării problemelor este limitată şi se poate dirija în

direcţii negative, dacă se pot forma unele priceperi şi

deprinderi care frânează dezvoltarea gândirii şi a atitudinii

independente a elevilor. De aceea este necesară o

preocupare permanentă din partea învăţătorului pentru

Inv.Dinu Nicolita


valorificarea valenţelor formative ale activităţii de rezolvare

a problemelor şi de sporire a eficienţei formative a acestei

activităţi.

Ţinând seama de cerinţele psihologice şi de noua

viziune didactică am conceput în clasa I un panou sub

denumirea de „Problema ilustrată”. Prin posibilitatea de a

reprezenta în prim plan datele problemei ilustrate, procesul

gândirii analitico-sintactice la elevi iese în evidenţă în forma

simplă.

Astfel, elevului nu-i rămâne decât să transforme

rezultatele activităţii intelectuale de pe plan senzorial în

activitate operaţională pe plan abstract, prin utilizarea

algoritmilor dobândiţi prin intermediul unei scheme ceea ce

reprezintă raţionamentul problemei.

Raţionamentul problemei ca rezultat al abstractizării şi

generalizării în procesul de cunoaştere este reprezentat

printr-un model ideal simplu în cazul problemelor cu o

singură operaţie, evidenţiind legătura reciprocă şi

împletirea lor, în rezolvarea problemelor cu mai multe

operaţii, în diferite etape de studiu de-a lungul anilor de

şcolarizare.

Pentru a demonstra posibilitatea de a reprezenta în

aceeaşi imagine cele două acţiuni (concretă şi abstractă)

prin intermediul panoului „Problema ilustrată”, voi

exemplifica prin câte o problemă simplă şi compusă la

clasele I şi a III-a.

Exemplul 1: Clasa I

Într-o pungă sunt 3 pere şi mere cu 2 mai

multe decât pere.

Câte mere sunt în pungă? (figura 1)

Inv.Dinu Nicolita


a

? b

3

3 +2

Figura 1

Exemplul 2: Clasa I

Acelaşi text dar cu întrebarea schimbată.

Câte fructe sunt în pungă? (figura 2)

a

? b ?

c

3

3+2

a + b

3+(3+2)=8

Figura 2

Exemplul 3: Clasa a III-a

La o cantină şcolară s-au adus cu primul

transport 10 litri de lapte,

iar în cel de-al doilea transport de 2 ori mai

mult.

Câţi litri de lapte s-au adus în al doilea

transport? (figura 3)

10 l

10 l 10 l

a

? b

10

a x 2

Inv.Dinu Nicolita


10 x 2= 20

Figura 3

Exemplul 4: Clasa a III-a

Acelaşi text, dar cu întrebarea schimbată.

Câţi litri de lapte s-au adus în total?

(Figura 4)

10 l

10 l 10

l

a

? b ?

c

10

a x 2 a +

(ax2)

10 +(10 x 2)=

30

Figura 4

După ce elevii s-au familiarizat cu limbajul matematic

specific operaţiilor artitmetice ca urmare a înţelegerii

relatiei dintre date, text şi întrebare, prin intermediul

acţiunii, rezolvarea problemelor dobândeşte un caracter

abstract. Elevii au simţit cu atât mai mult utilitatea

calculului cu cât ei au formulat probleme pe baza unor

calcule efectuate sau a unor relatii prezentate prin

simboluri literale. Astfel, după ce au rezolvat un gen de

exerciţii ca 13 + 4 sau 15 – 2 + 6, elevii au fost solicitaţi să

compună o problemă care să se rezolve prin acest calcul. Si

mai mult a fost solicitată gândirea lor creatoare atunci când

li s-a cerut să elaboreze probleme al căror principiu de

Inv.Dinu Nicolita


rezolvare să fie relaţiile indicate prin simboluri literale din

formula dată: (a+b) sau (a+b+c).

Exemplu:

Ionel a cumpărat 4 caiete, iar fratele său 5 caiete. Câte

caiete au cumpărat împreună?

4+5=9 (caiete) – când se încadrează în formula a+b

Aceeaşi problemă complicată puţin se încadrează în

formula a+b-c

Exemplu:

Ionel a cumpărat 4 caiete, iar fratele său 5 caiete. Copiii

au dat din toate caietele 3 unui coleg. Câte le-au mai

rămas?

4+5-3=6 (caiete) (a+b-c)

De asemenea, încă din clasa I, elevii au învăţat că după

rezolvarea problemei să extragă principiul ei de rezolvare

într-o formulă literală cu caracter general.

Exemplu:

Într-o lădiţă erau 12 portocale, iar în altă lădiţă erau cu

3 portocale mai mult. Câte portocale erau în ambele lădiţe?

După rezolvarea ei obişnuită se extrage 12 + (12 +3) =

27, care se încadrează în formula a + (a+b).

În cadrul problemelor cu mai multe operaţii la clasele a

III-a şi a IV-a, schema devine mai complexă şi mai mobilă în

raport cu gradul de dificultate al problemelor.

Schema ca rezultat al unei învăţări active uşurează

procesul de rezolvare a unor probleme prin folosirea

calculelor neefectuate anterior sub formă de exerciţii

combinate.

Spre ilustrarea celor relatate voi exemplifica câte un

caz de problemă la clasele a III-a şi a IV-a.

Exemplu: (la clasa a III-a)

Inv.Dinu Nicolita


„Într-o livadă sunt 10 rânduri de pruni cu câte 135 de

pomi pe rând, 15 rânduri

de meri cu câte 100 de pomi pe rând, iar restul până la

4000 de pomi sunt cireşi. Câţi pomi de fiecare fel sunt în

livadă?”

Schema

a ? b ?

c ? d

4000 135 x 10 15 x 100 a

– (b+c)

4000 – (135 x 10 + 15 x 100) = 1150 (d)

Exemplu : (la clasa a IV-a)

„Într-un siloz al unei ferme erau 1536 tone cartofi. Într-o

zi s-au transporat 1/4 la piaţă, iar a doua zi 3/8 din toată

cantitatea.

Câte tone de cartofi au rămas în siloz?”

a ? b ? c ? d

1536 a : 4 a : 8 x 3 a – b – c

Rezolvarea sub formă de exerciţiu:

1536 – (1536 : 4) – (1536 : 8 x 3) = 576 (d)

Pentru calcularea produsului m-am folosit de exemplul:

„Într-o livadă sunt 7 rânduri de meri şi 9 rânduri de peri,

în fiecare rând existând câte 8 pomi. Câţi pomi sunt în

livadă?”

Respectând metodologia rezolvării problemelor, elevii

au observat că rezultatul poate fi scris (7 x 9) x 8 sau 7 x (9

x 8). Această egalitate, (7 x 9) x 8 = 7 x (9 x 8), arată că la

înmulţirea cu trei factori se poate proceda în două moduri.

- înmulţim primul factor cu al doilea şi rezultatul îl

înmulţim cu al treilea;

Inv.Dinu Nicolita


- înmulţim al doilea factor cu al treilea şi rezultatul

îl înmulţim cu primul.

Pentru impărţirea prin cuprindere :”Dintr-un bidon de

10 litri în câte sticle putem pune câte 2 litri?”

Pe baza acţiunii concrete am stabilit cu elevii că punem

câte 2 litri în sticle până se termină lichidul din bidon. Am

constatat că sunt necesare 8 sticle – numărul acesta ne

arată câte grupe de câte 2 litri se pot forma din cei 16 litri

aflaţi în bidon. Vom zice că 2 se cuprinde în 16 de 8 ori

scriind 16 : 2 = 8.

Pentru împărţirea în părţi egale: „Într-un coş sunt 16

mere. Ele se distribuie în mod egal la 2 copii. Cate mere va

primi fiecare copil?”

Tot prin acţiune practică am observat că fiecare copil a

primit câte 8 mere ceea ce arată că s-au luat de 2 ori câte

8 mere din cele 16 mere din coş. Astfel spus, 2 se cuprinde

în 16 de 8 ori.

Altă latură formativă a rezolvării de probleme constă în

fatul că prin intermediul acestora elevii ajung să înţeleagă

cele mai simple corelaţii dintre diferite mărimi care se

întâlnesc des în viaţă: viteză, timp, distanţă, cantitate,

valoare. În acest sens găsim exemple în manualele de

matematică.

„Pentru a parcurge distanţa dintre două oraşe un

motociclist a străbătut o porţiune din traseu mergând cu o

viteză de 50 km/oră. După 3 ore de mers a constatat că

mai sunt 35 km până la destinaţie.

Ce distanţă este între cele două oraşe?”

Se observă cu uşurinţă cele trei mărimi- viteză, timp,

distanţă – că nu se poate răspunde la întrebare dacă nu

sesisează legătura:

v x t= d ; d : v = t

Inv.Dinu Nicolita


Relaţia preţ – valoare:

„Un ţăran a recoltat din livada 950 kg de cireşe şi cu

326 kg mai puţine vişine. El a vândut fructele la piaţă cu

150 de lei kg de cireşe şi cu 200 lei kg de vişine. Din banii

obţinuţi el a depus la bancă 120.000 de lei, iar restul i-a

împăţit celor trei fii ai săi în mod egal. Câţi lei a primit

fiecare fiu?”

Relaţia lungime – lăţime – perimetru:

„Lungimea totală a unui teren de formă dreptunghiulară

este de 800 m. Lăţimea este de 3 ori mai mică decât

lungimea terenului. Câţi metri are lungimea şi câţi metri are

lăţimea terenului?”

Elevii o pot rezolva folosindu-se de relaţia P = (L + l) x

2, problema fiind pentru clasa a III-a.

Rezolvându-se problema se aprofundează, se

consolidează, se clarifică cunoştinţele însuşite - exemplu la

capitolul „Fracţii”.

„Trei fraţi au cules împreună un coş cu zmeură. Fratele

cel mare a cules singur jumătate din coş, iar cel mic un

sfert din cât au cules împreună ceilalţi doi. Câte căni de

zmeură a cules fiecare dacă pentru umplerea coşului sunt

necesare 40 de căni?”

Consolidarea cunoştinţelor, priceperilor şi deprinderilor

însuşite despre unităţile de măsură:

„Perimetrul unui dreptunghi este de 600 dam. Calculaţi

dimensiunile sale dacă:

- lungimea este cu 120 m mai mare decât lăţimea;

- lăţimea este de două ori mai mică decât

lungimea.’’

Din exemplele date rezultă că lecţia de rezolvare a

problemelor capata o nouă orientare şi noi valenţe

Inv.Dinu Nicolita


formative ca urmare a sporirii caracterului formativ al

procesului învăţării.

a) Judecata problemei ca acţiune de înţelegere a

relaţiilor dintre date, text şi întrebare concretizeaza prin

schemă ca rezultat al învăţării, prin descoperire,

problematizare şi algoritmizare, prin solicitarea funcţiilor de

flexibilitate şi creativitate a gândirii elevilor.

b) Rezolvarea problemei ca acţiune operaţională

specifică formării şi perfecţionării algoritmilor matematici

având ca element de sprijin raţionamentul problemei,

ilustrat prin judecăţi parţiale, prin elementele componente

ale schemei.

Judecata problemei ca moment prioritar în predarea şi

rezolvarea problemelor matematice din acţiune verbală

după sistemul tradiţional capătă caracter intuitiv, ceea ce

ne dă posibilitatea să verificăm şi să cunoaştem gradul de

funcţionalitate al gândirii elevilor precum şi ritmul calculului

matematic în activitatea independentă a elevilor.

Lecţia prin noul concept, pe lângă faptul că îşi sporeşte

caracterul practic aplicativ, are şi calitatea de a dirija

atenţia elevilor în direcţii precise în funcţie de sarcinile

specifice ale fiecărui moment al lecţiei.

În rezolvarea unei probleme, în mod conştient, elevul

depune un efort, îşi mobilizează procesele psihice, în primul

rând gândirea. Deci una din valenţele educative ale

rezolvării de probleme este dezvoltarea gândirii cu

operaţiile sale (analiza, sinteza, comparaţia, abstractizarea,

profunzimea şi rapiditatea). Prin rezolvarea de probleme

activitatea gândirii se manifestă cu precădere si în acest

proces de depăşire a obstacolelor cognitive, ea îşi

mobilizează maximal resursele (informaţii, capacităţi)

demonstrându-şi posibilităţile de performanţă. În funcţie de

Inv.Dinu Nicolita


felul cum este organizată, orientată activitatea de

rezolvare de probleme poate duce la dezvoltarea gândirii

logice dar şi la formarea unei gândiri rigide (şablon), lucru

mai puţin de dorit pentru cerintele actualului stadiu de

dezvoltare a societăţii româneşti.

Problemele şcolare necesitând cunoştinţe de

matematică, de fizică, geometrie etc., aparţin din punct de

vedere psihologic „problemelor simbolice”. Aceasta pentru

că elevii le rezolvă acţional, rezolvare ce implică în mod

obligatoriu limbajul interior sau exterior. În manualul de

matematică întâlnim probleme de acest gen.

Exemplu: clasa a IV-a

„Într-un lac cresc nuferi. Ei îşi dublează în fiecare zi

mărimea (suprafaţa ocupată). După 10 zile, jumătate de lac

este plină. După câte zile se umple întregul lac?”

Analizând modul în care elevii rezolvă asemenea

probleme, ies în evidenţă o serie de caracteristici ale

gândirii. Cheia reuşitei în rezolvarea problemelor este

ordonarea şi sistematizarea informaţiilor de care dispune

elevul, selecţionarea lor, reţinerea acelora care duc spre

soluţie şi eliminarea critică a tot ce este inutil.

În manualele de matematică există probleme care pun

accent pe gândirea logică. În aceste cazuri procedând după

un sistem bine gândit, anticipând diferitele variante de

rezultate probabile, vom ajunge mai repede la soluţie decât

atunci când vom face încercări la întâmplare.

Pentru exemplificare dăm unele probleme de

matematică pentru clasele I – IV:

- pentru clasa I:

„Punctajul înscris pe o ţintă de tir arată astfel:

Inv.Dinu Nicolita

0

3

5


Câte puncte se pot obţine din două lovituri?” (scrie 5

posibilităţi)

- pentru clasa a II-a:

„Într-o cutie sunt figuri geometrice decupate din carton,

numai triunghiuri şi cercuri. Ştiind că în cutie sunt 7 figuri în

formă de cerc, iar numărul figurilor roşii este 6, care este

cel mai mic număr de figuri geometrice ce pot fi în cutie?

Dar cel mai mare?”

- pentru clasa a III-a:

„Mihai, Gheorghiţă şi Sandu trimit fiecare câte o

scrisoare colegilor lor Viorel, Andrei, Cristian şi Doru.

a) Aflati câte plicuri au folosit, efectuând: două

adunări; trei adunări, o înmulţire.

b) Verificaţi rezultatul formând toate perechile

expeditor- destinatar şi numărându-le, comparaţi numărul

acestor perechi cu cel al plicurilor”.

- pentru clasa a IV-a:

„Un melc cade într-o fântână adâncă de 18 metri. El

vrea să iasă afară. Ziua se târăşte spre ieşire cu 3 metri, iar

noaptea alunecă înapoi cu 1 metru.

A câta zi iese melcul afara?”

Urmărind strategiile elaborate de elevi în rezolvarea

problemelor am constatat că elevii începători elaborează

strategii simple, la întâmplare, nu elaborează strategii strict

logico- matematice.

În clasele I şi a II-a elevul nu dispune nici de mijloace

mintale eficiente, le lipseşte experienţa bogată care să le

ofere „idei” în privinţa căutării de soluţii. Odată cu

Inv.Dinu Nicolita

10


acumularea experienţei şcolare, prin rezolvarea unor

probleme similare creşte capacitatea de a lucra mai

sistematic. În acest caz, exerciţiul, „antrenamentul”, joacă

un rol hotărâtor. Psihologii afirmă pe drept cuvânt că nu

există metode „naturale” care să apară spontan în

rezolvarea problemelor. Elevul învaţă metodele de

rezolvare a problemelor aşa cum învaţă multe alte lucruri,

iar practica ne arată că prin exerciţii multilaterale şi cu

grade de dificultate diferite, el capată şi capacitatea de a fi

cât mai sistematic în rezolvarea de probleme. Rezolvarea

de probleme duce la dezvoltarea caracterului critic al

gândirii. Începând din primele clase dezvoltăm la şcolarii

mici însuşirile gândirii critice. Acum se pun bazele

„atitudinii critice” faţă de cunoştinţele însuşite, mai intâi,

apoi faţă de faptele, acţiunile, conduita celor din jur şi apoi

faţă de cea proprie.

La şcolarii mici se disting două forme:

- gândire critică legată de rezolvarea diferitelor

probleme şi sarcini şcolare;

- gândire critică legată de evaluarea şi reglarea

faptelor de conduită la alţii şi la sine însuşi.

Desigur, prin rezolvarea de probleme, în procesul

analizei, aprecierii şi rezolvării se evidenţiază prima fază de

gândire critică. Aici, se analizează critic probleme pentru a

vedea datele acesteia, relaţiile dintre acestea, se verifică

ideea emisă, se confruntă cu modul de lucru al altor elevi,

se apreciază modul de lucru. Prin acestea se urmăreşte

stabilirea gradului de corectitudine în efectuarea acestor

sarcini şcolare.

Prin educarea acestei laturi a gândirii critice am folosit:

- probleme cu condiţia insuficientă pentru a putea

determina necunoscuta prin care am urmărit dacă

Inv.Dinu Nicolita


sesizează lipsa unor date numerice necesare rezolvării

problemei în mod corect la început, pe parcursul

încercărilor greşite sau nu sesizează deloc acest lucru

efectuând operaţiile aritmetice cu datele existente (lucru ce

nu duce la obţinerea unor răspunsuri la cererea emisă de

problemă).

Iată câteva exemple: - pentru clasa I:

„ Intr-o livadă sunt 23 de meri şi 32 de peri. Câţi cireşi

sunt în livadă?”

- pentru clasa a II-a:

„ Elevii clasei a II-a B au participat în 3 zile la

strângerea recoltei. În prima zi au participat 161 de elevi,

iar în a doua zi 234 de elevi.

Câţi elevi au participat în a treia zi?”

- pentru clasa a III-a:

„ Din 34 de metri de pânză se fac 6 cămăşi şi 4 halate.

Câţi metri de pânză se folosesc la un halat?”

- pentru clasa a IV-a:

„ Pentru împrejmuirea unei grădini de zarzavat în formă

de dreptunghi, cu un gard format din 3 rânduri de sârmă s-

au folosit 900 metri de sârmă.

Care este lungimea grădinii?”

După ce elevii au sesizat că din probleme lipsesc date

sau relaţii fără de care nu se poate rezolva problema, le-am

cerut să le completeze ei în funcţie de datele cunoscute şi

de întrebarea problemei.

Începând de la primele rezolvări de probleme am pus în

faţa lor sarcina de a rezolva probleme fără întrebare, în

care nu se formulează direct sau indirect cerinţa care

decurge în mod logic din enunţul ei.

În acest caz am urmărit dacă elevii pot formula corect

cerinţa problemei. Am observat că dacă elevul sesizează

Inv.Dinu Nicolita


relaţia dintre datele problemei, va sesiza şi cerinţa ce se

ascunde în enunţul ei. Punându-i pe ei să formuleze cerinţa

problemei, am

urmărit să dezvolt la ei capacitatea de a face o analiză

critică a enunţului problemei

care condiţionează rezolvarea corectă a acesteia.

Spre exemplu următoarea problemă din clasa a III-a:

„ La o cantină s-au adus struguri: 3 lăzi a câte 30 kg şi 6

lăzi a cate 45 kg fiecare. Din acestea s-au consumat 290

kg.

a) puneţi întrebarea şi rezolvati corect problema;

Nr

. de

ele

vi

Nr. de elevi care au răspuns

Corect pentru ambele puncte

punctul a)

punctul b)

15 9 3 2

b) puneţi problema sub formă de exerciţiu.

O altă problemă (de matematică) cu date „redundante”

solicită din partea elevilor alegerea corectă a două date din

trei. Datele de prisos creează posibilitatea de a stabili în

mod greşit raportul dintre datele problemei, o sinteză

greşită. Am folosit acest gen de probleme cu scopul de a

cultiva la elevi o gândire critică ce se exprimă prin:

sesizarea datelor numerice de prisos odată ce elevul se

familiarizează cu conţinutul problemei, preîntâmpinându-şi

greşelile cu aceste date, sau constatarea greşelilor de

calcul cu aceste date şi eliminarea lor din problemă pe

calea „încercărilor” nereuşite de rezolvare a acestora.

Inv.Dinu Nicolita


„ La un aprozar s-au adus 268 kg de roşii şi ardei. În

prima zi s-au vândut 127 kg de roşii si cu 20 kg mai mult

ardei.

Câte kg de ardei s-au vândut? „( pentru clasa a II-a).

Cea de a doua formă a gândirii critice, legată de

însuşirile de personalitate şi conduită ale elevilor poate fi

dezvoltată prin valorificarea la lecţie a unor posibilităţi de

autoapreciere. Aceasta se realizează prin alegerea liberă a

problemelor de matematică în funcţie de gradul lor de

dificultate, dar şi de posibilităţile elevilor.

La multe lucrări de control s-au dat elevilor subiecte

diferite ca grad de dificultate, fiecare subiect fiind evaluat

cu un anumit calificativ. De exemplu, o astfel de evaluare a

cunoştinţelor la clasa a III-a ( vezi anexa 3):

Prin acest mod de lucru, utilizat fie la sfârşitul unei

unităţi de învăţare, sfârşitul unui semestru sau an şcolar, ne

dam seama dacă elevul confruntă nivelul său de aspiraţie

cu gradul de dificultate al problemelor pe care le alege,

deci de autoapreciere corectă, adică dacă ţinând seama de

posibilităţile sale intelectuale alege problemele

corespunzătoare.

Acest mod de lucru permite evidenţierea la elevi a

particularităţilor autoaprecierii care pot fi: autoapreciere

critică, când elevul îşi cunoaşte performanţa şcolară,

subaprecierea autocritică, când elevul manifestă

neîncredere în forţele proprii şi supraapreciere necritică,

când elevul este încrezut. La ultimele două cazuri, adică

subaprecierea şi supraaprecierea, elevii nu-şi cunosc

posibilităţile lor în funcţie de plusurile sau lacunele

bagajului de cunoştinţe. Acest lucru îi împiedică în reuşita

lor şcolară.

Inv.Dinu Nicolita


Prin aceasta răspundem la una din întrebările majore

ale omului actual, problema îmbunătăţirii propriului său

mod de a gândi.

Pentru a dezvolta acest proces cognitiv, modalitatea

cea mai uşoară este de a transforma enunţul problemelor

compuse în enunţul unor probleme simple, recent

rezolvate.

Am folosit acest procedeu de lucru pas cu pas.

Exemplu la clasa I:

- pasul I- problema simplă

„ In parcul şcolii elevii au sădit 30 de lalele şi 56 de

panseluţe.

Câte flori au sădit în total?”

- pasul al II-lea: problema simplă, dar cu grad sporit de

dificultate

„ În parcul şcolii elevii au sădit 30 de lalele şi cu 56 mai

multe panseluţe.

Câte flori au sădit în total?”

Prin discuţiile purtate cu elevii, ţinand seama de

experienţa acumulată în

rezolvarea problemelor anterioare am desprins concluzia că

sunt două probleme simple:

I. ,,În parcul şcolii elevii au sădit 30 de lalele şi cu 56 mai

multe panseluţe”.

II. ,,În parcul şcolii elevii au sădit 30 de lalele şi…panseluţe”.

Lucrând astfel am considerat să dezvolt gândirea

elevilor respectând totodată şi regulile didactice

elementare: trecerea de la cunoscut la necunoscut, de la

simplu la complex, de la uşor la greu.

Deci, rezolvarea de probleme dezvoltă gândirea, o

disciplinează, îi dă un caracter riguros ştiinţific, o

obişnuieşte să lucreze cu date. Toate acestea deschid calea

Inv.Dinu Nicolita


de rezolvare a problemelor puse de viaţă în faţa fiecărui

om.

Problemele de matematică pun la dispoziţia elevului un

limbaj care exprimă cu precizie ideile cele mai abstracte,

comunică informaţii foarte complexe într-o manieră clară şi

concisă. Deci, problemele contribuie la dezvoltarea

limbajului matematic.

Toate cele prezentate privesc în primul rând pe elevii

din clasele mici unde se pun bazele formării trăsăturilor

morale şi de caracter ale omului, unde activitatea rezolvării

problemelor are un efect formativ mai evident.

Eficienţa formativă a rezolvării de probleme nu trebuie

lăsată pe seama spontaneităţii deoarece ar fi limitată şi ar

avea un efect negativ în sensul că ar frustra dezvoltarea

gândirii şi atitudinii independente a elevilor.

Învăţătorul care pune temelia inteligenţei copilului,

trebuie să ştie care este rolul problemelor şi să le

folosească ca atare.

În activitatea de la clasă n-am cerut elevului să rezolve

o problemă, să dea răspunsul numeric, ceea ce ar

subîntelege rezolvarea, ci am urmărit ca el să inţeleagă

sensul problemei, să fie în stare să explice legătura dintre

date cu propriile lui cunoştinţe şi în ultimă instanţă să o

rezolve.

Am ajuns la concluzia că în faţa noastră, a învăţătorilor,

trebuie să stea permanent în vedere rolul tridimensional al

rezolvării de probleme- instructiv- educativ- practic- nici

una nu trebuie neglijată. M-am preocupat să găsesc căi şi

modalităţi eficiente, momentul cel mai propice al lecţiei în

care să intervin cu o sarcină care să ridice “probleme” şi

să-l mobilizeze pe elev la toate eforturile pentru a rezolva

după un efort propriu.

Inv.Dinu Nicolita


V.4. Tipuri de probleme şi metode de rezolvare

Mulţi învaţă matematică din necesităţi conjuncturale, în

general, şi mai ales în special pentru a face faţă exigenţei

diferitelor examene. Puţini sunt aceia care o fac din

plăcere, din pasiune.

Elevii îşi formează deprinderi de calcul oral sau scris, îsi

însuşesc anumite tehnici de calcul, dar „poezia

matematicii” – plăcerea de a descifra şi de a „reciti” ca pe o

poezie cu multiple şi uneori ascunse sensuri despre viaţă şi

univers, numai rezolvarea de probleme o realizează deplin.

În capitolul precedent am arătat valoarea formativă a

rezolvării de probleme, dezvoltarea gandirii şi a capacităţii

de utilizare a ei în situaţii problematice, insă acestea, la

care putem adăuga înţelegerea esenţei matematicii, nu se

pot realiza fără voinţă, perseverenţă, fermitate, tenacitate

şi pasiune.

Acestea se realizează numai prin măiestria de care dă

dovadă învăţătorul, prin metodele şi procedeele pe care le

utilizează în rezolvarea de probleme, în trecerea unor

obstacole pe care le întâmpină elevii în rezolvarea

problemelor, prin tactul pedagogic de care dă dovadă

pentru cultivarea încrederii în forţele proprii, a celorlalte

calităţi pozitive ale voinţei şi caracterului.

Primele probleme sunt acelea pe care şi le pune zilnic

copilul în şcoală, în familie, în timpul jocului şi care sunt

ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face să vadă

încă din clasa I utilitatea activităţii de rezolvare a

problemelor, este necesar ca micii şcolari să înţeleagă

faptul că în viaţa de toate zilele sunt situaţii când trebuie

găsit un răspuns la diferite întrebări.

Inv.Dinu Nicolita


În această perioadă de început, activitatea de a rezolva

şi compune probleme se face numai pe cale intuitivă. De

aceea, primele probleme sunt necesar legate de

introducerea lor sub formă de joc şi au un caracter de

problema -acţiune şi li se asociază un bogat material

didactic ilustrativ.

Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel

concret, ca acţiune de viaţă (au mai venit...fetiţe, s-au

spart..baloane, au plecat...răţuşte, i-a dat...creioane

colorate, au mâncat...bomboane), ilustrate prin imagini sau

chiar prin acţiuni executate de copii (elevul vine la

magazin, cumpără, plăteşte sau elevul este la şcoală şi

primeşte cărţi sau creioane). În această fază, activitatea de

rezolvare a problemelor se află foarte aproape de aceea de

calcul. Dificultatea principală pe care o întâmpină copiii

constă în transcrierea acţiunilor concrete în relaţii

matematice. În enunţul unei probleme, formulat de

învăţător sau de copil, nu se spune „3 fetiţe plus 2 fetiţe”,

ci se spune că erau 3 fetiţe şi au mai venit 2 fetiţe, nu se

spune „4 baloane - 2 baloane”, ci că au fost 4 baloane şi s-

au spart 2 dintre ele.

Pe baza experienţei pe care o au elevii încă din etapa

preşcolară sau chiar din primele lecţii de matematică în

efectuarea operaţiilor cu mulţimi, ei reuşesc, în general, cu

uşurinţă să „traducă” în operaţii matematice acţiunile

cerute în enunţul unei probleme.

Acum elevii sunt familiarizaţi cu termenul de

„problemă”, „întrebarea problemei”, „rezolvarea

problemei”, „rezultatul problemei”.

Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face

încă din perioada pregătitoare primelor operaţii. Învăţătorul

Inv.Dinu Nicolita


se foloseşte de probleme „acţiune” care după ce au fost

„puse în scenă” vor fi ilustrate cu un desen schematic.

Deşi rezolvările de probleme simple par uşoare,

învăţătorul trebuie să aducă în atenţia copiilor toate

genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură

operaţie aritmetică. Care sunt în esenţă acest tipuri?

1. Probleme simple bazate pe adunare pot fi:

- de aflare a sumei a doi termeni;

- de aflare a unui număr mai mare cu un număr de

unităţi decât un număr dat;

- probleme de genul „cu atât mai mult”.

2. Probleme bazate pe scădere pot fi:

- de aflare a restului;

- de aflare a unui număr care să aibă un număr de

unităţi mai puţine decât un număr dat;

- de aflare a unui termen atunci când se cunosc

suma şi un termen al sumei;

- probleme de genul „cu atât mai puţin”

3. Probleme simple bazate pe înmulţire pot fi:

- de repetare de un număr de ori a unui număr dat;

- de aflare a produsului;

- de aflare a unui număr care să fie de un număr de

ori mai mare decât un număr dat;

4. Probleme simple bazate pe împărţire pot fi:

- de împărţire a unui număr dat în părţi egale;

- de împărţire prin cuprindere a unui număr prin

altul;

- de aflare a unui număr care să fie de un număr de

ori mai mic decât un număr dat;

- de aflare a unei părţi dintr-un întreg;

- de aflare a raportului dintre două numere.

Inv.Dinu Nicolita


În general, problemele simple sunt uşor înţelese şi

rezolvate de către elevi. Dificultăţi există, cele mai

frecvente fiind de genul: neglijarea întrebării, includerea

răspunsului în enunţ, neglijarea unei date, confundarea

operaţiei ce trebuie efectuate ş.a. Pentru depasirea lor am

avut în vedere:

- rezolvarea unui număr mare de probleme;

- analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;

- abordarea unei mai mari varietăţi de enunţuri;

- prezentarea unor probleme cu date incomplete pe

care elevii sa le completeze şi apoi să le rezolve;

- prezentarea datelor unei probleme şi elevii să

pună întrebarea şi invers;

- prezentarea unor „povestiri” care nu sunt altceva

decât aşa-zise probleme latente;

- completarea unui text dat cu valori numerice

conforme cu realitatea;

- rezolvarea unor probleme în care operaţia nu

apare la prima vedere;

- compunerea de probleme după anumite date,

după scheme date, folosind inversarea datelor sau alte

date;

- alcătuirea de către copii a unor probleme, în mod

liber, fără a fi limitate de existenţa datelor, de relaţia dintre

ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operaţie.

De fapt, prin aceste procedee se urmăreşte propriu-zis

nu o învăţare a problemelor, ci formarea capacităţilor de a

domina varietatea lor care practic este infinită.

Rezolvarea de probleme simple este unul din primii paşi

orientaţi spre exersarea flexibilităţii şi fluenţei gândirii. Prin

rezolvare elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să

Inv.Dinu Nicolita


facă operaţii de compunere şi descompunere, să folosească

strategii şi modele mintale anticipative.

Rezolvarea problemelor compuse nu înseamnă, în

esenţă, rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Nu

rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema

compusă constituie dificultatea principală într-o problemă

cu mai multe operaţii, ci legătura dintre verigi, constituirea

raţionamentului. De aceea este necesară o perioadă de

tranziţie de la rezolvarea problemelor simple ( cu o

operaţie) la rezolvarea problemelor compuse ( cu două sau

mai multe operaţii).

În prima perioadă se porneşte de la rezolvarea unor

probleme compuse alcătuite din succesiunea a două

probleme simple.

Un exemplu relevant poate fi următoarea problemă:

„ Victor şi Dănuţ strâng împreună timbre. Victor a pus

într-un plic 3 timbre iar Dănuţ 2 timbre. Câte timbre au

împreună cei doi copii?”

( 3 timbre +2 timbre= 5 timbre)

„ Ionică aduce şi el 4 timbre pe care le pune în plicul

lor. Câte timbre au acum cei 3 copii?” ( 5 timbre +4

timbre= 9 timbre).

Spunem problema în întregime:

„ Victor şi Dănuţ strâng împreună timbre. Victor a pus

într-un plic 3 timbre şi Dănuţ 2 timbre. Ionică aduce şi el 4

timbre pe care le pune în acelaşi plic. Câte timbre au în

total cei trei copii?”

3 timbre........2 timbre.......4 timbre...........? timbre

Rezolvăm problema şi pe secvenţe (judecăţi separate):

1. Câte timbre au împreună Victor şi Dănuţ?

3 timbre + 2 timbre = 5 timbre

2. Câte timbre au în total cei trei copii?

Inv.Dinu Nicolita


5 timbre + 4 timbre = 9 timbre

Rezolvăm problema şi printr-o adunare a trei termeni:

3 timbre + 2 timbre + 4 timbre = 9 timbre

ceea ce în esenţă se exprimă prin relaţia a+b+c.

În cadrul acestei activităţi elevii sesizează mersul

raţionamentului şi învaţă să elaboreze tactica şi strategia

rezolvării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea unei probleme compuse se face, de regulă,

prin metoda analitică sau sintetică. Cele două metode se

pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta,

caz în care metoda care predomină îşi impune specificul

asupra căilor care duc la găsirea soluţiei. Atât o metodă cât

şi cealaltă constau in descompunerea problemei date în

probleme simple care, prin rezolvare succesivă duc la

găsirea soluţiei finale. Deosebirea dintre ele constă, practic,

în punctul de plecare al raţionamentului. Prin metoda

sintezei se pleacă de la datele problemei spre găsirea

soluţiei ei, iar prin metoda analizei se pleacă de la

întrebarea problemei spre datele ei şi stabilirea relaţiilor

matematice între ele.

În practică, s-a demonstrat că metoda sintezei este mai

accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai

mult, se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea

problemei şi sunt tentaţi să calculeze valori de mărimi care

nu sunt necesare în găsirea soluţiei problemei. Metoda

analizei pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea

elevilor şi, folosind-o, îi ajută pe elevi să privească

problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenţie

întrebarea problemei.

Odată cu analiza logică a problemei se formulează şi

planul de rezolvare. Planul trebuie scris de învăţător pe

tablă şi de elevi pe caietele lor, mai ales la rezolvarea

Inv.Dinu Nicolita


primelor probleme, scopul fiind acela al formării

deprinderilor de a formula întrebări şi pentru alte rezolvări

de probleme.

În clasa I, planul problemei se întocmeşte de la început

oral ( elevii neavând suficiente cunoştinţe şi deprinderi de

scriere), manieră care se continuă şi în clasa a II-a, în

unele situaţii. Se recomandă ca la clasa a II-a planul de

rezolvare să se facă oral sau în scris în egală măsură. În

clasele a III-a şi a IV-a, după întocmirea planului oral, elevii

sunt capabili datorită deprinderilor de scriere deja formate,

să treacă la scrierea planului cu uşurinţă, îndată ce

problema a fost examinată. Forma în care poate fi scris

planul este variată, dar cel mai eficient este sub forma

întrebărilor. Să luăm ca exemplu problema:

„ O fermă a contractat 392 de tone de grâu, secară cu

72 tone mai puţin, iar ovăz de 32 de ori mai putin decât

secară. Câte tone de cereale a contractat acea fermă?”

Planul rezolvării:

- câte tone de secară?

- câte tone de ovăz?

- câte tone de cereale s-au contractat în total?

Rezolvare:

392 tone – 72 tone = 320 tone (secară)

320 tone : 32 tone = 10 tone (ovăz)

392 tone+ 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale)

Răspuns: 722 tone cereale.

Rezolvarea se scrie, de regulă, prin intercalarea

întrebărilor din plan cu calculul asigurându-se o estetică în

pagină şi o strânsă legătură între ceea ce a gândit elevul şi

ceea ce se calculează:

Astfel vom avea:

Inv.Dinu Nicolita


Câte tone de secară s-au contractat?

322 tone – 72 tone = 320 tone (secară)

Câte tone de ovăz s-au contractat?

320 tone : 32 tone = 10 tone (ovăz)

Câte tone de cereale s-au contractat?

392 tone + 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale)

Răspuns: 722 tone cereale

Scriind în felul de mai sus, elevii sunt solicitaţi să

răspundă imediat, prin efectuarea operaţiei fiecărei

întrebări din plan, evitându-se astfel posibilele greşeli şi

chiar confuzii de întrebări şi operaţii.

O atenţie deosebită trebuie să acorde învăţătorul

problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Şi

aceasta pentru că prin rezolvarea lor se cultivă mobilitatea

gândirii, creativitatea sa, se formează simţul estetic al

şcolarilor ( prin eleganţă, economicitatea şi organizarea

modului de rezolvare). Formarea priceperilor de a găsi noi

procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică de

minţii, educându-se astfel atenţia, spiritul de investigaţie şi

perspicacitate al elevilor. De multe ori elevii nu sesizează

de la început existenţa mai multor căi de rezolvare. Sarcina

învăţătorului este aceea ca prin măiestria lui pedagogică,

prin analiza întreprinsă cu clasa, prin întrebări ajutătoare,

să-i determine pe elevi să gândească şi alte modalităţi de

rezolvare. Să exemplificăm cu problema:

„ Într-un bazin curge apa prin două robinete. Prin primul

robinet curg câte 174 litri de apă pe minut, iar prin al

doilea robinet, cu 36 litri mai mult decât prin primul. Câţi

litri de apă se află în bazin după 3 minute de la deschiderea

celor două robinete?”

Unii elevi pot rezolva problema efectuând operaţiile

necesare în ordinea acţiunilor cuprinse în enunţ ( din

Inv.Dinu Nicolita


variate motive: neputinţa de a cuprinde şi de a prelucra

întregul enunţ, insuficienţa deprinderilor de rezolvare

formate până la acest moment).

Alţi elevi, analizând mai bine problema, renunţă la

ordinea acţiunilor cuprinse în enunţ şi caută valorile între

care pot stabili o relaţie utilă, mai economicoasă şi mai

simplă pentru rezolvarea problemei.

Cum organizăm datele problemei?

174 l............cu 36 l mai putin.......? l..............3 minute

Iată şi cele două moduri alternative de rezolvare, cu

schemele respective (figura 1 şi figura 2).

1. 2.

174 l – 36 l = 138 l 174 l –

36 l = 138 l

174 l x 3 = 522 l 174 l +

138 l = 312 l

138 l x 3 = 414 l 312 l x

3 l = 936 l

522 l + 414 l = 936 l

174 l .........................cu 36 l mai puţin............3

minute.............? l

-

X

X

+

(Schema la figura

1)

Inv.Dinu Nicolita

138 l

522 l

414 l

936 l


174 l .........................cu 36 l mai puţin............3

minute.............? l

-

+

X

(Schema la figura 2)

Modelul oferă elevului posibilitatea să vadă unitar

structura unei probleme, sesizând organizarea internă a

conţinutului ei. Elaborarea modelului în forme şi modalităţi

din cele mai variate – cu cerculeţe, cu pătrate, cu

triunghiuri, cu litere, cu cuvinte, cu prescurtări, cu ilustraţii

etc, este un instrument ajutător în rezolvarea problemei.

Prin alcătuirea modelului, elevul parcurge o etapă de

gândire, pătrunde în procesul de rezolvare, probează că a

înţeles structura logică a conţinutului problemei, îşi

exersează gândirea divergentă, creatoare, precum şi

abilităţile de compunere de probleme.

O categorie de probleme căreia învăţătorul trebuie să-i

acorde o atenţie deosebită este aceea în care datele sunt în

relaţii de „cu atât mai mare (mai mică)” sau ,,de atâtea ori

mai mare (mai mică)”. Pentru elevii din clasa a II-a şi a III-a,

în special, acestea au un caracter abstract şi dacă nu se

face o analiză foarte atentă a problemei ele pot fi luate ca

valori numerice cunoscute. Dificultatea constă mai ales în

faptul că o mărime se ia de mai multe ori: a + (a + b), a +

a x b, a – a : b, a + (a +b) + (a + c) etc şi dacă elevul nu şi-

a însuşit noţiunile respective le poate neglija.

Inv.Dinu Nicolita

138 l

312 l

936 l


În aceste cazuri,se recomandă descompunerea

problemei compuse în probleme simple şi apoi

recompunerea din acestea a problemei iniţiale.

În analiza problemelor este bine să nu se folosească

totdeauna datele concrete aşa cum sunt ele prezentate ,

explicându-le copiilor că acestea pot fi altele într-o altă

problemă sau situaţie -problemă.

Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare

necesită nu o dată şi folosirea schemelor, desenelor,

graficelor etc, iar pentru formarea unei gândiri sintetice,

formule numerice sau literale. Dacă atunci când se predau

operaţiile aritmetice se insistă asupra notării cu litere a

termenilor şi factorilor, dacă operaţiile aritmetice sunt

scrise la modul general şi se cere elevilor să rezolve şi să

compună probleme simple de aflare a unui termen, a unui

factor, a sumei, diferenţei, produsului, câtului, să mărească

şi să micşoreze o cantitate cu atât sau de atâtea ori etc –

folosind formule literale, elevii nu vor mai întâmpina

greutăţi mari în acţiunile de schematizare şi generalizare a

unei probleme compuse prin exerciţiu numeric sau formulă

literală.

La întrebarea: câte probleme de matematică să se

rezolve într-o lecţie, răspunsul tehnicienilor şi practicienilor

este simplu. Într-o oră de matematică este posibil să se

rezolve doar 2 -3 probleme la care să se insiste asupra

raţionamentului, asupra diferitelor căi posibile de rezolvare,

asupra schemei, punerii în formula numerică şi literală,

compunerii unor formule analoage pornind de la exerciţiu şi

formulă, decât să se rezolve, în mod superficial, mai multe

probleme, fără repetarea cerinţelor sus- amintite.

Un rol deosebit în dezvoltarea flexibilităţii gândirii îl

ocupă rezolvarea problemelor -tip. Prin problemă-tip

Inv.Dinu Nicolita


înţelegem acea construcţie matematică a cărei rezolvare se

realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui

tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată

în momentul în care i-am stabilit tipul şi suntem în posesia

algoritmului de rezolvare.

Nu trebuie să fim adepţii unor şabloane pentru că

rezolvitorul s-ar putea transforma într-un robot, posesor al

unor cartele pe care sunt imprimaţi algoritmi şi sarcina lui

ar fi doar să stabilească tipul, să „tragă” cartela

corespunzătoare, şi să o adapteze datelor problemei. Un

rezolvitor de probleme trebuie să fie, pe lângă un bun

specialist al obiectului, şi un tip creator, novator,

întreprinzător – calităţi disjuncte cu ale „robotului”, în

sensul clasic al cuvântului.

Problemele de matematică le putem clasifica astfel:

I. Probleme cu operaţii relativ evidente în funcţie de

date şi de relaţiile dintre ele şi necunoscută (sunt

problemele cele mai des întâlnite în manualele din clasa I-

IV); acestea sunt:

A. Probleme simple

B. Probleme compuse

Ca metode de rezolvare sunt, principal, două - metoda

sintetică şi metoda analitică.

II. Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă. În

acestă categorie includem şi probleme de aflare a două

numere cunoscând suma şi diferenţa lor, precum şi pe cele

de aflare a două numere cunoscând suma sau diferenţa şi

raportul lor.

III. Probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la

acelaşi termen de comparaţie).

IV. Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze).

V. Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers).

Inv.Dinu Nicolita


VI. Probleme de amestec şi aliaje cu două variante:

A. De categoria I.

B. De categoria a II-a.

VII. Probleme de mişcare (bazate pe relaţia s= v x t ),

cu două variante:

A. În acelaşi sens.

B. În sensuri contrare.

VIII. Probleme cu mărimi proporţionale cu două

variante:

A. Împărţirea unui număr în părţi direct

proporţionale.

B. Împărţirea unui număr în părţi invers

proporţionale.

IX. Probleme care, depinzând de alcătuirea întrebării şi

de date, pot fi rezolvate şi încadrate în categoriile

specificate mai sus, dar cu un conţinut specific:

A. Probleme cu conţinut geometric.

B. Probleme cu conţinut de fizică.

C. Probleme asupra acţiunii şi muncii în comun.

X. Probleme nestandard (recreative, rebusistice, de

perspicacitate, probleme – joc, etc.)

Voi oferi modalităţi de rezolvare a problemelor pentru

câteva categorii de probleme grupate în raport cu metoda

de rezolvare, fără a avea pretenţia că sunt absolute.

1. Metoda figurativă

Se foloseşte pentru a înţelege conţinutul problemei şi a

relaţiilor dintre datele ei: grafice, figuri decupate, planşe cu

figuri simple sau mobile, tablă magnetică, scheme şi figuri

schematice, figuri geometrice, litere şi combinaţii de litere,

Inv.Dinu Nicolita


diverse semne convenţionale. Figurarea conţinutului

problemei se foloseşte pentru a exprima sub o formă

intuitivă şi cât mai accesibilă datele problemei şi relaţiile

cantitative dintre ele.

Datorită particularităţilor psihice ale copiilor de 6 ani ca:

dezvoltarea concretă a gândirii, rolul hotărâtor al senzaţiilor

vizuale şi chinestezice în declanşarea unor procese de

trecere de la gândirea concretă, plasticităţii simţului

nervos, metoda figurativă ocupă un rol important fată de

celelalte metode în rezolvarea problemelor la clasele I – IV.

Are o puternică eficienţă în ceea ce priveşte dezvoltarea

gândirii matematice la şcolarii mici.

În rezolvarea problemelor de matematică,

reprezentarea grafică poate avea două puncte de bază: să

ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte

de rezolvare. Această ultimă funcţie îi ajută pe elevi să-şi

reprezinte intuitiv nu numai condiţiile iniţiale, dar şi soluţia

problemei, înlesnind de asemenea şi stabilizarea legăturilor

dintre noţiunile matematice şi cele geometrice şi

contribuind la dezvoltarea gândirii funcţionale a copiilor.

Încă din clasa I, când se formulează şi se rezolvă

probleme simple după imagini sau cu cerinţe date, m-am

preocupat ca să-i obişnuiesc pe elevii mei de a concretiza

relaţiile dintre mărimi prin şiruri de pătrăţele, dar de cele

mai multe ori prin segmente de dreaptă.

Am utilizat reprezentarea grafică pentru rezolvarea

problemelor de la cele mai simple la cele mai complexe

situaţii:

- aflarea unui număr pe baza cunoaşterii sumei sau

diferenţei dintre acestea şi a unuia dintre numere;

- aflarea unui număr mai mare (mai mic) „cu atât”

sau „de atâtea ori”, decât un număr dat;

Inv.Dinu Nicolita


- aflarea a două numere cunoscând fie suma şi

diferenţa lor; suma şi câtul lor; diferenţa şi câtul lor;

- probleme de determinare: fie a sumei şi a

diferenţei a două produse, fie a câtului a două produse.

Această metodă se foloseşte încă din clasele I-II prin

aşa-zisul procedeu de „figurare prin desen”. Exemplu:

1. „Marcela are 6 mere. Sora ei are cu 3 mere mai

mult . Câte mere are sora ei?”

Rezolvare:

Reprezentăm printr-un desen numărul de mere pe care-

l are Marcela (el reprezintă valoric, 6).

Expresia matematică „cu atât mai mult” conduce la

următorul raţionament: în prelungirea segmentului ce

reprezintă numărul de mere al Marcelei, desenăm arbitrar,

punctat, un alt segment care indică surplusul de mere (+3),

adică numărul de mere avute de sora ei.

Graficul va arăta astfel:

6 numărul de mere al

Marcelei

+3

numărul de mere al sorei ei

Deci, sora are 6 + 3 = 9(mere).

În mod asemănător au fost rezolvate probleme utilizând

expresia matematică „cu atât mai puţin”.

2. „Pe un loc înoată 9 raţe şi cu 3 mai puţin gâşte. Câte

gâşte înoată pe lac?’’

9 numărul raţelor

-3 numărul gâştelor

Deci, numărul gaştelor care înoată pe lac este: 9 – 3 =

6 (gâşte).

Inv.Dinu Nicolita


Voi exemplifica cu câteva probleme care impun

utilizarea metodei figurative în clasele a III-a şi a IV-a.

3. „Astă- vară Dan şi George au vândut împreună

Centrului de Achiziţii a Fructelor din Deleni 166 Kg de

vişine. Câte kg a vândut fiecare, dacă Dan a vândut cu 6 Kg

mai mult decât George?’’

Varianta I

Considerăm că Dan a vândut tot atâtea kg de vişine ca

şi George. De ce? Pentru că, dacă suma ar fi formată din

două părţi la fel de mari, am împărţi-o în două şi am putea

determina cantitatea fiecăruia. Ca urmare, trebuie să dăm

deoparte cele 6 Kg, cu cât a vândut mai mult primul copil,

atunci, în cantitatea totală, care se va micşora tot cu 6 Kg,

vor fi două părţi, fiecare egală cu cantitatea vândută de

George, adică:

II 166 - 6

I 6

Deci: Care este suma a două părţi, fiecare egală cu

cantitatea vândută de George? (care este dublul cantităţii

vândute de al doilea copil?)

166 – 6 = 160 (kg)

Câte kg de vişine a vândut al doilea copil?

160 : 2 = 80 (kg)

Câte kg a vândut primul copil?

80 + 6 = 86 (Kg)

Varianta a II-a

Inv.Dinu Nicolita


Dacă am mai adăuga la cantitatea vândută de al doilea

copil încă 6 kg, am obţine o cantitate la fel de mare ca a

primului, iar în sumă ar fi două asemenea cantităţi, adică:

II 6

I 6 166+6

Care este suma a doua părti, fiecare egală cu cantitatea

vândută de Dan? (care este dublul cantităţii vândute de

primul copil)

166 + 6 = 172 (kg)

Care este cantitatea vândută de primul copil?

172 : 2 = 86 (kg)

Care este cantitatea vândută de al doilea copil?

86 – 6 = 80 (kg)

4. „Suma a două numere consecutive este 41. Să se

determinte cele două numere.”

Vom reprezenta printr-un segment numărul mai mic.

Atunci cele două numere le putem reprezenta astfel:

I primul numar

41 II 1 al doilea numar

Suma numerelor fiind 41 rezultă că numărul mai mic

este:

(41 - 1) : 2 = 20

Numărul mai mare va fi:

20 + 1 = 21

După ce s-a explicat noţiunea de număr consecutiv s-a

trecut la schematizarea datelor şi a relaţiilor dintre ele.

Conform reprezentării au determinat cele două numere

consecutive.

Inv.Dinu Nicolita


5. „Aflaţi câte pagini a citit fiecare dintre cei doi copii,

ştiind că Mitruţ a citit de 3 ori mai mult decât George, iar

împreună au citit 84 de pagini?”

Soluţie:

Grafic, se poate reprezenta numărul de pagini citite de

fiecare copil astfel:

George a citit

84p

Mitruţ a citit

În cele 84 de pagini sunt 4 părţi, fiecare egala cu

numărul de pagini pe care le-a citit George.

Câte pagini a citit George?

84 : 4 = 21 (pagini)

Câte pagini a citit Mitruţ?

21 x 3 = 63 (pagini)

6. „Suma a trei numere este de 19. Primul este cu 14

mai mic decât al doilea şi cu 5 mai mare decât triplul celui

de-al treilea. Să se afle numerele.”

Rezolvare:

Din enunţ rezultă că al treilea număr este cel mai mic,

iar al doilea este cel mai mare.

Grafic:

III

I III III III 5

II 5

14

Inv.Dinu Nicolita


Pentru a organiza suma în părţi egale, trebuie să

micşorăm primul număr cu 5, iar pe al doilea cu 19, adică 5

+ 14.

Câte părţi, fiecare egală cu al treilea număr pot fi?

1 + 3 + 3 = 7 (părţi egale)

Care este suma ce poate fi organizată în asemenea

părţi?

199 – 5 – 5 – 14 = 175

Care este numărul al treilea?

175 : 7 = 25

Care este primul număr?

25 x 3 + 5 = 80

Care este al doilea număr?

80 + 14 = 94 sau

25 x 3 + 5 + 14 = 94

7. „Suma a trei numere naturale este 1522. Dacă din

fiecare număr se scade acelaşi număr, se obţin 101, 1008

şi 107. Care sunt cele trei numere?”

Notăm numerele iniţiale cu I şi II şi respectiv cu III.

Grafic numerele se pot reprezenta astfel:

I nr. scăzut 101

II 107 1522

III 1008

Care este suma resturilor (a diferenţelor)?

101 + 107 + 1008 = 1216

Care este triplul numărului care se scade?

I = 101 + 306 : 3 = 203

II = 107 + 306 : 3 = 209

III = 1008 + 306 : 3 = 1.110

Inv.Dinu Nicolita


8. „Diferenţa a două numere naturale este 7. Împărţind

cele două numere, se obţine câtul 1 şi un rest. Aflaţi

restul.”

Rezolvarea 1 Grafic

Notăm cele două numere cu I şi respectiv cu II.

I

II 7

Comparând cele două reprezentări, se observă că II se

cuprinde în I o dată şi mai

rămâne un rest, care este tocmai diferenţa 7.

Rezolvarea 2

Dacă a = b + 7a

a = 1 x b + r, comparând cele două egalităţi,

rezultă r = 7.

9. „Într-o magazie era de 5 ori mai multă făină decât în

alta. Dacă din prima magazie se scoate o cantitate de 1000

kg, iar în cea de-a doua se mai depozitează încă 480 kg,

atunci cantităţile din cele două magazii devin egale. Care

sunt cantităţile iniţiale?”

Rezolvare

Notăm cantităţile din fiecare magazie cu I şi, respectiv,

cu II.

Grafic, modificările sunt:

II 480

I

1000

Ne fixăm întâi până unde este segmentul ce reprezintă

cantitatea mărită din a doua magazie. Delimităm, printr-o

linie punctată verticală, această cantitate şi pe segmentul

ce reprezintă prima cantitate.

Inv.Dinu Nicolita


Rezultă că până la sfarşit acest segment reprezintă

tocmai 1000 kg, ceea ce s-a

scos. Dar 1480, adică 1000 + 480, reprezintă 4 părţi,

fiecare egală cu cantitatea din a doua magazie.

Câte kg erau iniţial în a doua magazie?

1480 : 4 = 370 (kg)

Dar în prima?

370 x 5 = 1850 (kg) sau 370 + 480 +1000 = 1850 kg

În clasa a IV-a întâlnim probleme care ne oferă

posibilitatea formării reprezentărilor spaţiale privind fixarea

punctelor de reper, localizarea corectă a dimensiunilor

mărimii întâlnite în problemele de mişcare.

Elementul nou care apare în problemele de mişcare

este viteza ca mărime orientativă, a cărei reprezentare

grafică se face printr-o săgeată care indică direcţia,

mărimea şi sensul vitezei. În rezolvarea unora dintre ele se

aplică cu succes metoda grafică.

Exemplu:

„Un bicilist, având viteza de 24 km/h, pleacă din oraşul

A. După 3 ore, pleacă tot din A, în aceeaşi direcţie un

motociclist având viteza de 42 km/h. În cât timp îl va

ajunge motociclistul pe biciclist? La ce distanţă de oraş?”

A [-----------72 km-------] B

I

0h 24km/h 3h --- -----------------

-------------------------------------------

3h 42 km/h ----------- ---------------------------------------------------------

Avansul biciclistului (distanţa parcursă în 3 ore) este AB

= 24 km x 3 = 72 km.

Inv.Dinu Nicolita


Motociclistul câştigă în fiecare oră 42 km -24 km = 18

km.

Pentru a câştiga cei 72 km, motociclistul merge un timp

de 72 km: 28 km/h = =4h, acesta fiind şi timpul după care

l-a ajuns pe biciclist, iar distanţa de la oraşul A este, la

întîlnire, AI = 42 km x 4 = 168 (km).

Pentru rezolvarea problemelor de mişcare în care

deplasarea se face în sensuri opuse se poate utiliza

următoarea problemă:

„Un pieton, care parcurge 5 km pe oră pleacă din oraşul

A spre oraşul B. În acelaşi moment, un biciclist pleacă din

oraşul B spre A, cu viteza de 22 km pe oră. Între oraşe este

o distanţă de 81 km. După cît timp se întâlneşte pietonul cu

bicilistul? La ce distanţă de oraşul B se întâlnesc?”

[-------------------------------81 km--------] A I B

5 km/h 22 km/h

------- ------ -----------------------------

0 h 0 h

În fiecare oră, distanţa dintre pieton şi biciclist se

micşorează cu 5 km + 22 km = =27 km. Pentru ca ei să se

întâlnească, trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se

cuprind 27 km în 81 km, adică 81 km: 27 km/h = 3 h.

Eficienta metodei figurative în rezolvarea problemelor

de mişcare este condiţionată de o corectă reprezentare a

datelor şi relaţiilor dintre ele. O bună reprezentare a datelor

asigură justa apreciere a realităţii şi uşurează desfăşurarea

raţinamentului în scopul rezolvării.

Problemele geometrice încep şi ele, de obicei, cu

construirea figurilor geometrice atât pentru formarea

reprezentărilor spaţiale, cât şi pentru deprinderea şi

înţelegerea procedeului de rezolvare. Începând cu

Inv.Dinu Nicolita


problemele din clasa a III-a, am indicat elevilor să

folosească şi raportul aritmetic al acestor dimensiuni.

Exemplu:

„Perimetrul unui dreptunghi este 984 m. Aflaţi lăţimea

dreptunghiului ştiind că ea este:

a) cu 246 m mai mică decât lungimea;

b) de 3 ori mai mică decât lungimea.

Reprezentarea grafică a datelor problemei:

246 m

A --------- B l L ------- 246 m l

L

------- 246 m

246 m D --------- C

Metoda figurativă este indicată în rezolvarea

problemelor cu fracţii întrucât le oferă posibilitatea

înţelegerii relaţiilor ce există între diferite părţi ale aceluiaşi

întreg, aflarea unei fracţii dintr-un întreg etc.

Exemplu:

„La un atelier de confecţii erau bucăţi de stofă. Numărul

metrilor din prima bucată este egal cu 2/3 din numărul

metrilor din bucata a doua. Din bucata a doua s-au

confecţionat 8 rochii şi au rămas 5 m. Din bucata mai mică

nu au ajuns 2 m ca să se confecţioneze tot atâtea rochii.

Câţi metri de stofă au fost necesari pentru o rochie şi

câţi metri de stofă au fost în fiecare bucată?”

Inv.Dinu Nicolita


Rezolvare:

Din enunţ rezultă că bucata a doua (II) poate fi

împărţită în 3 părţi la fel de mari

(treimi). Prima bucată reprezintă 2 treimi din a doua, astfel:

II 5m

I 2 m

Din desen, rezultă că diferenţa dintre cele două bucăţi

este de 7 m, pentru că la aceeaşi lucrare, primei bucăţi îi

mai trebuie 2 m, iar celeilalte îi mai raman 5 m, cei 7 m

reprezintă o treime din a doua bucată.

Câţi metri are a doua bucată?

3 x 7 = 21 (m)

Dar prima?

21 : 3 x 2 = 14 (m) sau 21 – 5 -2 = 14 (m)

Verificare:

Cât reprezintă 2/3 din 21 m? 21 : 3 x 2 = 14. Care este

diferenţa dintre cele două bucăţi? 21 – 14 = 7 (m)

Partea a doua a problemei : câţi metri se folosesc

pentru 8 rochii?

21 – 5 = 16 (m)

Câţi metri s-au folosit pentru a doua rochie?

16 : 8 = 2 (m)

Reprezentarea grafică constituie un mijloc eficient de

însuşire conştientă şi activă a cunoştinţelor, de dezvoltare

a gândirii elevului, al spiritului de investigaţie şi al

independenţei.

Metoda figurativă prin forme apropiate de realitate, fără

a fi o reproducere fotografică a acesteia şi apoi figurarea

conţinutului problemelor prin elemente din ce în ce mai

schematizate constituie premise ce fac această metodă

Inv.Dinu Nicolita


deosebit de utilă în desfăşurarea raţionamentului şi

deprinderii căii de rezolvare a unei probleme.

Numărul mare de probleme ce se pot rezolva prin

această metodă şi multiplele posibilităţi de schematizare a

răspunsului acestora conduc treptat la necesitatea

introducerii simbolurilor, treaptă superioară în formarea

gândirii, în dezvoltarea operaţiei de abstractizare a

acesteia.

2. Metoda comparaţiei

Specificul acestei metode constă în faptul că se

foloseşte mai ales în problemele în care două mărimi

necunoscute sunt legate prin două relaţii clar precizate,

determinarea fiecăreia implicând eliminarea celeilalte

mărimi prin înlocuire sau reducere (scădere).

a) În problemele care se rezolvă prin eliminarea unei

mărimi, înlocuind-o, poate fi dat raportul dintre valorile

unitare (exemplul 1), înlocuirea se face prin grupe de valori

unitare (exemplul 2) sau poate fi dată diferenţa dintre

valorile unitare (exemplul 3).

Exemplul 1

„Pentru 8 stilouri şi 5 penare s-au plătit 2900 lei. Cât

costă un stilou şi cât costă un penar, dacă un stilou costă

cât 3 penare?”

Rezolvare:

Considerăm că se cumpără numai penare. Dacă un

stilou costă cât 3 penare, atunci cu banii de pe 8 stilouri se

pot lua 24 de penare, pentru că 8 x 3 = 24. Dar cu suma

totală câte penare se pot cumpăra? 24 + 5 = 29. Câţi lei

costă un penar? 29000 : 29 = 1000 lei. Câţi lei costă un

stilou? 1000 x 3 = 3000 lei.

Inv.Dinu Nicolita


Exemplul 2 (reducerea la unitate, mărimi direct

proporţionale)

„Din 45 litri de lapte se obţin 5 litri de smântână. Din

câţi litri de lapte se obţin 12 litri de smântână?”

Rezolvare:

Pentru a afla din câţi litri de lapte se obţin 12 litri de

smântână, trebuie să aflam din câţi litri de lapte se obţine

un singur litru de smântână.

De aceea metoda se numeşte reducere la unitate

(reducere la 1)

Deoarece problema contine 3 elemente cunoscute si

unul necunoscut, doua cate doua, de acelasi fel, metoda se

mai numeste regula de trei simpla.

Daca pentru obţinerea a 5 litri de smântână trebuie 45l

de lapte, pentru obţinerea unui singur litru de smântână

trebuie o cantitate de lapte de 5 ori mai mică decât 45, căci

1 este mai mic decât 5 de 5 ori; 45 : 5 = 9 (litri de lapte).

Dacă pentru obţinerea unui litru de smântână trebuie 9 litri

de lapte, atunci pentru obtinerea a 12 litri de smântână vor

fi necesari de 12 ori mai mulţi litri decât 9, pentru că şi 12

este mai mare decât 1 de 12 ori.

Sunt necesari 108 litri, căci 12 x 9 = 108.

Judecata şi rezolvarea se poate scrie şi astfel:

pentru 5 litri de smântână trebuie 45 (litri lapte)

pentru 1 litru de smântână cât trebuie 45: 5 = 9 (litri

lapte)pentru 12 litri smântână cât trebuie 12 x 9 =

108 (litri lapte )

Mai observăm un lucru: atunci când am micşorat

valoarea unei mărimi de un număr de ori şi valoarea

celeilalte mărimi cu care este în relaţie s-a micşorat de

acelaşi număr de ori şi invers.

Inv.Dinu Nicolita


(În clasele următoare elevii vor învăţa că asemenea

mărimi se numesc mărimi direct proporţionale.)

Exemplul 3

„Cu banii pe care îi are, Ionela poate cumpăra, de ziua

mamei sale, 3 trandafiri sau 5 lalele. Ştiind că un trandafir

este mai scump cu 60 de lei decât o lalea, aflaţi câţi lei are

Ionela.”

Rezolvare:

Din enunţ rezultă că preţul pentru 3 trandafiri este egal

cu preţul pentru 5 lalele.

Ne imaginăm faptul că Ionela a cumpărat 3 trandafiri,

dar se răzgândeşte. Îi cere vânzătoarei ca în loc de cei 3

trandafiri să îi dea 3 lalele. Dar trebuie să primească şi bani

înapoi, pentru că un trandafir este mai scump decât o lalea

cu 60 lei, iar 3 lalele sunt mai ieftine cu 180 lei decât 3

trandafiri, deoarece 3 x 60 = 180.

Va primi înapoi 18 lei, banii pentru 2 lalele, pentru că ea

putea lua, conform enunţului, cu aceeaşi sumă, 5 lalele, iar

5 – 3 = 2. Deci, două lalele costă 180 lei, iar o lalea costă

90 lei, deoarece 180 : 2 = 90, iar un trandafir costă 150 lei,

căci 90 + +60= 150.

Câţi lei avea Ionela?

5 x 90 = 450 sau

3 x 150 = 450

c) Comparaţia prin reducere (scădere) se foloseşte în problemele

în care enunţul cuprinde relaţii referitoare la mărimile date în

două situaţii distincte. După scrierea datelor, unele sub altele,

conform situaţiilor din enunţ, trebuie să comparăm datele

privitoare la o mărime în cele două situaţii. De aceea metoda

se mai numeşte aducerea la acelaşi termen de comparaţie sau

egalarea datelor.

Inv.Dinu Nicolita


Exemplul 4

„Pentru a se completa numărul de rechizite, la o grupă

dintr-o grădiniţă, s-au cumpărat o dată 5 creioane, 3 gume

şi 6 rigle, plătindu-se 3810 lei. Altă dată s-au cumpărat, cu

aceleaşi preţuri unitare, 3 creioane, 5 gume şi 4 rigle, care

au costat 2.870 lei. A treia oară s-au cumpărat 8 creioane,

8 gume şi 5 rigle, plătindu-se 4.180 lei.

Aflaţi preţul unitar al fiecărui obiect cumpărat.’’

Rezolvare (comparaţie prin scădere, 3 mărimi)

Se pot scrie pe scurt astfel:

5 creioane 3 gume 6 rigle 3.810 lei


Adunăm relatiile membru cu membru


Scriem cea de-a treia relaţie şi o scădem din cea obţinută


/ / 5rigle 2.500 lei

Cât costă o riglă? 2.500 : 5 = 500 lei

Luăm alte două relaţii în care înlocuim numărul de rigle

prin preţurile lor.

3 creioane 5 gume 870 lei ,căci 2.870 – 500 x

4 = 870

8 creioane 8 gume 1680 lei,căci 6.680 – 500 x 10

= 1680

Amplificăm cele două egalităţi, termen cu termen, cu 8

şi, respectiv, cu 3, obţinând:

24 creioane 40 gume 6.960 lei

24 creioane 24 gume 5.040 lei

Scădem membru cu membru

/ 16 gume 1920 lei

Inv.Dinu Nicolita


Dacă 3 creioane şi 5 gume costă 870 lei, atunci 3

creioane costă 270 lei, căci 870 – 120 x 5 = 270.

Cât costă 1 creion? 270 : 3 = 90 (lei)

Metoda aducerii la aceláşi termen de comparaţie

implică elemente din metoda reducerii la unitate, care se

poate sintetiza prin regula: pentru a şti valoarea mai multor

unităţi, trebuie să determinăm valoarea unei singure unităţi

(părţi) şi invers. În ambele situaţii, fie că sunt mărimi direct

proporţionale (vezi exemplul 2), fie că sunt mărimi invers

proporţionale, enunţul cuprinde trei elemente cunoscute şi

unul necunoscut, două câte două de acelaşi fel. Cu ajutorul

celor trei elemente cunoscute se află cel de-al patrulea. De

aceea metoda se mai numeşte regula de trei ( simplă sau

compusă).

Exemplul 5

„10 muncitori termină o lucrare în 6 zile. În câte zile vor

termina lucrarea 12 muncitori?”

Rezolvare: (mărimi invers proporţionale: mărirea unei

valori de un număr de ori determină micşorarea celeilalte

valori de acelaşi număr de ori şi invers. Se spune că

numărul de muncitori şi timpul necesar pentru terminarea

aceleiaşi lucrări sunt mărimi invers proporţionale).

Pentru a determina timpul necesar efectuării lucrării

pentru 12 muncitori, trebuie să se determine timpul

necesar pentru un singur muncitor. (De aceea spunem

reducere la unitate). Dacă 10 muncitori termină lucrarea în

6 zile, un singur muncitor (1 este mai mic decat 10 de zece

ori ) termina lucrarea intr-un timp de 10 ori mai mare decât

6, adică 10 x 6 = 60. Dacă unui muncitor îi trebuie 60 de

zile, pentru 12 muncitori este necesar un timp de 12 ori mai

mic decât 60, pentru că 12 este mai mare decât 1 de 12

ori, adică 60 : 12 = 5 (zile).

Inv.Dinu Nicolita


Judecata şi rezolvarea se pot scrie şi astfel:

10 muncitori termină lucrarea în 6 zile, atunci

1 muncitor termină lucrarea într-un timp de 10 ori mai

mare, adică

10 = 60 (zile)

12 muncitori termină lucrarea într-un timp de 12 ori mai

mic decât 60, adică

60 : 12 = 5 (zile).

3. Metoda ipotezelor

Metoda ipotezelor are la bază o presupunere, o ipoteză.

Ea solicită introducerea unor date ipotetice şi confruntarea

situaţiei obţinute astfel cu situaţia reală. Întâmplător ele

pot coincide. În multe cazuri ele nu coincid, dar concluziile

deduse din această confruntare ne coordonează căutările.

De aceea metoda se numeşte metoda falsei ipoteze,

denumire care s-a fixat prin uz, dar, pentru a se respecta

topica limbii române, ar trebui să fie numită metoda

ipotezei (ipotezelor) false sau metoda ipotezelor.

Exemple:

1. „Un ţăran are păsări de curte şi oi. Aceste animale au la un

loc 46 de capete şi 114 picioare. Câte păsări şi câte oi are

ţăranul?”

Rezolvarea 1:

a) Considerăm (Presupunem, ipoteza = presupunere) că

ar fi fost numai oi.

Câte picioare ar fi fost? 46 x 4 = 184. Cu câte picioare

ar fi fost mai multe faţă de numărul din problemă? 184 –

114 = 70

Deci, ipoteza este falsă (chiar de la început). Atunci

trebuie să înlocuim un număr de oi cu un număr de păsări,

Inv.Dinu Nicolita


pentru a face să dispară acest număr de picioare, care este

în plus. La o singură înlocuire numărul 70 se micşorează cu

2, adică cu diferenţa dintre numărul de picioare de la o

oaie, şi numărul de picioare de la o pasăre.

Câte înlocuiri trebuie să facem?

Vom face atâtea înlocuiri până dispare diferenţa de 70,

adică atâtea înlocuiri de câte ori 2 se cuprinde în 70.

Numărul de înlocuiri este tocmai numărul de păsări, iar

restul până la 46 este reprezentat de numărul de oi.

Deci:

1) Câte picioare ar fi, dacă am presupune că ţăranul are

numai oi?

46 x 4 = 184

2) Cu câte picioare sunt mai multe faţă de numărul din

problemă?

184 – 114 = 70

3) Cu cât se micşorează 70 la o singură înlocuire?

4 – 2 = 2

4) Cîte înlocuiri pot să fac?

70 : 2 = 35 (vor fi deci 35 de păsări)

5) Câte oi are ţăranul?

46 – 35 = 11

b) Considerăm că ar fi fost numai păsări.

Atunci numărul de picioare care ar fi fost?

46 x 2 = 92

Cu câte picioare ar fi fost mai puţine?

114 – 92 = 22

Cu câte picioare are mai puţin o pasăre faţă de oaie?

4 – 2 = 2

Câte oi are ţăranul?

22 : 2 = 11

Câte păsări are ţăranul?

Inv.Dinu Nicolita


46 – 11 = 35.

Rezolvarea 2:

Etapa I

Se figurează oile şi păsările prin ovale:

................

(Total: 46, dar nu ştiu cate de fiecare fel)

Întrucât fiecare vietate are cel puţin 2 picioare, se

figurează la fiecare oval câte 2 linioare, reprezentând astfel

cele 2 picioare :

Etapa a II- a

...................

(În calcul: 92 de picioare, pentru că 46 x 2 = 92)

Din cele 114 picioare, s-au repartizat 92 şi au rămas 22,

adică 114 – 92 = 22.

Acestea pot fi figurate la un număr de 11 ovale,

adăugând câte 2, căci 4 -2 = 2; deci 22 : 2 = 11.

Etapa a III-a

............. ..............

Inv.Dinu Nicolita


11 vietăţi + ? vietăţi =

46 vietăţi

Rezultă că 11 vietăţi sunt oi, deci au câte 4 picioare, iar

restul, 35, căci 45 -11 = =35, sunt păsări, pentru că au cate

2 picioare.

2. „La o librărie s-au adus 31 de truse cu două, trei şi patru

creioane, în total 105 creioane. Ştiind că numărul truselor

de 4 creioane este de 4 ori mai mare decât al celor cu 2

creioane, aflaţi numărul truselor de fiecare fel.”

Rezolvare:

Presupunem că toate cele 31 de truse ar avea fiecare

câte trei creioane (faţă de numărul acestor truse nu avem

nici o relaţie).

Câte creioane ar fi în această ipoteză?

31 x 3 = 92

Cu câte creioane ar fi mai puţine decât în realitate?

105 – 93 = 12

De unde provine această diferenţă? Din faptul că am

considerat că toate trusele au câte 3 creioane, dar de fapt

sunt şi truse cu câte 4 creioane, între acestea fiind raportul

dat (de 3 ori mai puţin).

Respectăm acest raport, la o trusă de 2 creioane sunt 3

truse cu câte 4 creioane. Un asemenea grup de 4 truse (1

de 2 creioane şi 3 de 4 creioane) are câte 14 creioane, căci

1 x2 + 3 x 4 = 14. Înlocuim atunci 4 truse de câte 3

creioane cu 4 truse de celelalte feluri, până acoperim

diferenţa de 12. Cu cât se mişorează diferenţa la o singură

înlocuire? 14 – 4 x 3 = 2.

Câte înlocuiri trebuie? Dacă la o singură înlocuire

diferenţa se micşorează cu 2, ca să dispară diferenţa, sunt

necesare 6 asemenea înlocuiri, căci 12 : 2 = 6.

Inv.Dinu Nicolita


Deci, vor fi 6 grupe de câte 4 truse (1 trusă de 2

creioane + 3 truse de 4 creioane), iar restul până la 31 vor

fi truse cu câte 3 creioane. Câte truse de câte 2 creioane

sunt în cele 6 grupe? 6 x 1 = 6. Câte truse de cate 4

creioane sunt în cele 6 grupe? Dacă într-o grupă sunt 3

truse, în 6 grupe vor fi câte 3, adică 6 x 3 = 18. Câte truse

de câte 3 creioane sunt? 31 – 6 – 18 = 7.

Verificare:

6 x 2 = 12 (creioane)



-----------------------------------

Total: 31 (truse) şi 105 (creioane)

3.,, Învăţătorul împarte elevilor unei clase bomboane.

Dacă ar da fiecărui elev câte 2 bomboane, i-ar rămâne 30,

iar dacă ar da câte 4 nu i-ar ajunge 40 de bomboane.

Câţi elevi sunt în acea clasă?

Câte bomboane împarte învăţătorul?’’

Rezolvare:

Îmi imaginez momentul în care a dat câte 2 bomboane

şi i-au rămas 30 de bomboane. În varianta a doua, vrând să

dea câte 4, nu îi ajung 40 de bomboane.

Pentru câţi elevi nu ajung cele 40 de bomboane? Ştiind

că fiecare copil are deja câte 2 bomboane (din situaţia I),

înseamnă că ar trebui să mai primească încă 2 bomboane,

pentru că 4 – 2 = 2. Cele 40 de bomboane nu ajung pentru

20 de elevi deoarece 40 : 2 = 20. Deci, cei 20 de copii

rămân, în situaţia a doua, numai cu câte 2 bomboane. Cele

30 de bomboane, care rămăseseră după ce a dat câte 2,

învăţătorul le poate da câte 2 (ca să aibă câte 4) numai

unui număr de 15 elevi, pentru că 30 : 2 = =15.

Inv.Dinu Nicolita


Câţi elevi erau în clasă? 15 (elevi cu câte 4 bomboane)

+ 20 (elevi cu câte 2 bomboane) = 35 (elevi). Câte

bomboane a împărţit învăţătorul?

35 x 2 + 30 = 100 sau 15 x 4 + 20 x 2= 100

Grafic:

I 2 2 2 2 2.........2 2 2 +

30 bomboane

II 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2....2 2 2

30 : 2 = 15 40 : 2 = 20

Consider că în cursul rezolvării problemelor în care se

utilizează metoda grafică şi metoda ipotezelor are loc un

proces de reorganizare succesivă a datelor, apar noi

formulări ale problemei, pe baza activităţii orientate a

gândirii, reorganizării şi formulării ce-l apropie pe elev de

soluţie. Este vorba aici de o îmbinare specială a analizei cu

sinteza, caracterizată prin aceea că diferitele elemente

luate în consideraţie îşi dezvăluie mereu noi aspecte

(analiza) în funcţie de combinaţiile în care sunt plasate

(sinteza).

4. Metoda mersului invers

Metoda mersului invers se foloseşte în anumite

probleme în care elementul necunoscut apare la începutul

şirului de relaţii dat în enunţ.

Urmărind enunţul de la sfârşit la început („mergând” în

sens invers enunţului) trebuie să se determine penultimul

rest pe baza relaţiei sale cu ultimul rest, apoi

antepenultimul rest, până se ajunge la numărul iniţial

(întregul).

Inv.Dinu Nicolita


Analizând operaţiile date în enunţ şi cele efectuate în

rezolvarea problemei, se poate constata că în fiecare etapă

se efectuează operaţia inversă celei din enunţ.

Deci, nu numai „mersul” este invers, ci şi operaţiile

efectuate pentru rezolvare sunt inverse celor din problemă.

Exerciţiile ce se pot obţine din rezolvarea unora dintre

aceste probleme sunt denumite exerciţii „cu x”, care sunt

de fapt ecuaţii de gradul I cu o necunoscută, dar care,

pentru elevii mici, se rezolvă, nu prin calcul algebric, ci prin

raţionament aritmetic.

Exemple:

1. „Un producător vinde pepeni la 3 cumpărători.

Primului îi vinde o jumătate din cantitate, celui de-

al doilea o treime din ce îi rămăsese, iar celui de-al treilea o

cincime din noul rest.

Câţi pepeni a avut iniţial producătorul, dacă i-au

mai rămas 16 pepeni?”

Rezolvarea 1 (Mers invers pe baza metodei

grafice)

1/2

1/2

Nr. (S) R1 1/3

1/3 1/3

iniţial R2 1/5

4/5

Se observă că 16 pepeni reprezintă 4/5 din restul al

doilea.

Câţi pepeni reprezintă restul al doilea? 16 : 4 x 5= 20.

Tot 20 reprezintă 2/3 din restul 1. Câţi pepeni constituie

restul 1? 20 : 2 x 3 = 30. Tot 30 reprezintă 1/2 din

totalul iniţial. Câţi pepeni erau iniţial? 30 x 2 = 60.

Inv.Dinu Nicolita


Rezolvarea 2:

Notăm cu S numărul iniţial de pepeni, cu V1, V2, V3,

numărul de pepeni vânduţi de fiecare dată, cu R1, R2, R3,

resturile corespunzătoare; se pot scrie:

Cât vinde

Cât rămâne

V1 (1/2) S

R1 = ? (30)

V2 (1/3) R1 R2 = ?

(20)

V3 (1/5) R2 R3 =

16

R2 = 16 + (1/5) R2 R2 = 16 : 4 x 5 = 20

R2 + (1/3) R1 = R1 R1 = 30

(1/2)S + R1 = S (1/2) S = 30 S = 30 x 2 = 60

Rezolvarea 3:

Modificările se pot trece în tabelul următor:

Cât vinde

Cât rămâne

1) 1/2 S

1/2 S

2) 1/3 x 1/2 S = 1/6 S

1/2 S – 1/6 S = 1/3 S

3) 1/5 x 1/3 S = 1/15 S

1/3 S – 1/15 S = 4/15 S

Din enunţ rezultă că 16 pepeni reprezintă 4/15 S. Câţi

pepeni erau iniţial?

16 : 4 x 15 = 60 (pepeni)

Inv.Dinu Nicolita


2. „Într-un vas se pune apă 2/3 din capacitatea sa. Se

scoate apoi 1/4 din conţinut şi mai rămâne 75 de litri.

Care este capacitatea vasului?”

Rezolvarea 1:

Reprezentăm capacitatea vasului printr-un segment, pe

care îl împărţim în treimi:

a) cantitatea de apă

sau b)

1/4 C

3/4 C

75 litri

Se observă că 3 pătrimi din cantitatea de apă era de

100 litri, căci 75 : 3 x 4 = =100. Tot 100 litri reprezintă şi 2

treimi din capacitatea vasului.

Câţi litri încăpeau în vas?

100 : 2 x 3 = 150 litri.

Rezolvarea 2:

Cât reprezintă o pătrime din 2 treimi din capacitatea

vasului?

1/4 x 2/3 = 1/6

Deci din vas s-a scos apă cât o şesime din capacitatea

vasului?

Inv.Dinu Nicolita

..........................................................

.......................................................

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /


2/3 – 1/6 = 3/6 = 1/2 (din capacitatea vasului)

Dacă 1/2 din capacitatea vasului reprezintă 75 litri,

rezultă că în vas încăpeau 150 litri, căci 2 x 75 = 150.

Îmbinând cele două metode – metoda figurativă cu

metoda mersului invers, elevii pot foarte uşor să sesizeze

relaţiile dintre mărimi, să găsească soluţia problemelor

respective.

Singura dificultate, în aplicarea metodei retrogradate

(metoda mersului invers), constă în a găsi operaţiile inverse

care trebuie aplicate, iar aceasta se poate obţine

cunoscând dependenţa între cele două valori date şi

rezultatul operaţiilor în cazul adunării, respectiv al scăderii,

înmulţirii şi împărţirii.

V.5. Aspecte metodice privind rezolvarea de

probleme

Rezolvarea de probleme este considerată ca un proces

superior de învăţare datorită valenţelor formative de care

dispun acestea.

Se pledează în literatura de specialitate pentru

amplificarea activităţii de rezolvare de probleme, motivată

prin aceea ca să câştigăm un mod de a gândi, sa

devenim capabili de a rezolva mult mai mult. Elevul

trebuie să înveţe să matematizeze situaţii date, să

transpună matematic o problemă reală înainte de a recurge

la procedeele intra matematice de rezolvare.

În activitatea de rezolvare a problemelor, un rol

important revine gândirii cu operaţiile şi calităţile ei.

Inv.Dinu Nicolita


Diferitele ipoteze care ne vin în minte în legătură cu

problema pusă nu ne vin la întâmplare ci au la bază

acumulări de ordin informatic, instrumental şi formativ.

Am prezentat în subcapitolul anterior câteva metode

specifice ale rezolvării problemelor aritmetice. Putând folosi

aceste metode în rezolvarea de probleme elevul arată că şi-

a însuşit un anumit algoritm de lucru (algoritm de rezolvare

a problemelor). După mult exerciţiu elevul cunoaşte

elementele esenţiale după care problema poate fi încadrată

într-o anumită categorie putându-i aplica algoritmul

corespunzător.

Pentru a ajunge la aceasta, elevii trebuie să dispună de

o serie de competenţe din domeniile: informativ,

instrumental, formativ. Ce se înţelege prin aceasta?

În primul rând să cunoască împrejurările care determină

alegerea şi întrebuinţarea unor anumite operaţii.

Pentru aceasta am considerat că este bine ca încă de la

adunarea şi scăderea numerelor până la 10 să se utilizeze

în locul exerciţiilor de forma: 3 + 2; 7 -5; 6 + 4 etc.;

exerciţii de forma:

- care este suma numerelor: 9 şi 0, 5 şi 4, 0 şi 2;

- care este diferenţa numerelor: 56 şi 7; 48 şi 8; 20

şi 4;

- care este produsul numerelor: 8 şi 9; 4 şi 5; 2 şi 3;

- aflaţi termenul necunoscut când se cunoaşte că

suma este 45 şi un termen 17; suma este 59 şi un termen

18;

- aflaţi descăzutul dacă restul este un număr par

mai mic ca 4 şi scăzătorul este un număr impar cuprins

între 6 şi 9;

- aflaţi deîmpărţitul dacă câtul este 3 şi împărţitorul

este dublul său;

Inv.Dinu Nicolita


- aflaţi împărţitorul dacă deîmpărţitul este 409 iar

câtul este 8;

- cu cât este mai mare suma numerelor 18 şi 9

decât diferenţa lor;

- cu cât este mai mică diferenţa numerelor 9 şi 3

decât produsul lor;

- la suma numerelor 20 şi 4 adăugaţi câtul celor

două numere; din

produsul numerelor 9 şi 8 scădeţi suma numerelor;

- micşoraţi cu câtul numerelor 16 şi 8 produsul

numerelor 4 şi 4;

- măriţi cu produsul numerelor 5 şi 4 câtul numerelor 42 şi

7;

- aflaţi numărul de trei ori mai mare decât

următoarele diferenţe: 19 şi 17; 48 şi 36; 93 şi 87.

Elevii trebuie sa-şi însuşească foarte bine limbajul

matematic, să-l folosească, să cunoască sensul unor

expresii şi noţiuni matematice pentru a putea opera cu ele.

Exemplu: a micşora cu atât, a micşora de atâtea ori, a

mări cu atât, a mări de atâtea ori, jumătatea, sfertul,

îndoitul, întreitul, înjumătăţit, dublat, triplat, etc...

Pentru ca elevii să dobândească abilitatea de a rezolva

probleme am considerat că este necesar să dispună de

informaţii bogate şi foarte clar organizate. Este ştiut faptul

că în cazul în care cunoştinţele sunt mai largi, mai vaste,

mai profunde, şansele ca ipotezele care se nasc în mintea

elevului să ducă mai repede la soluţii sunt mai mari.

Alegerea ipotezei este mai bună cu cât fondul din care

este aleasă este mai bogat. Deci, ca orice doemniu,

capacitatea de a rezolva probleme compuse este

condiţionată de o solidă pregătire.

Inv.Dinu Nicolita


O altă condiţie de care am ţinut seama a fost aceea că

absolut toţi elevii trebuie să fie stăpâni pe calcul în cadrul

celor 4 operaţii. Numai astfel rezolvarea problemelor se

concentrează asupra conţinutului problemei. Dacă elevul

stăpâneşte bine tehnicile de calcul, cunoaşte semnificaţia

operaţiilor aritmetice poate, sub conducerea învăţătorului,

să-şi formeze deprinderi de a aplica aceste cunostinţe în

practică prin rezolvarea de probleme fiindcă există

probleme care „seamănă” cu altele anterior rezolvate şi nu

facem decât să „imităm” rezolvarea cunoscută cu care se

reduc la simpla aplicare a unor formule şi procedee

cunoscute.

De aceea în rezolvarea problemelor nu ne putem limita

numai la „algoritmi de recunoaştere” care au un rol

deosebit dar nu sunt suficienţi. Problemele sunt de o

varietate infinită care nu pot fi grupate după un anumit

criteriu însă nu sunt „independente”, ci fiecare se

încadrează într-o anumită categorie. Trebuie să căutăm

legătura cu ceea ce ştim dinainte, să încercăm să ne

gândim la ce ne-a fost de folos în situaţii familiare din

trecut, să încercăm să recunoaştem câte ceva familiar în

ceea ce examinăm acum, să căutăm să prindem ceva

folositor în ceea ce am recunoscut.

Aceasta arată că un rol deosebit în rezolvarea de

probleme îl are experienţa copilului, dar această experienţă

o caută la şcoală prin multe exerciţii fiindcă dacă până la

venirea la şcoală soluţionarea unor probleme se bazează pe

încercări sau imitaţie, acum micul elev în viaţa căruia

dominantă devine învăţătura, în detrimentul jocului,

soluţionează probleme făcând apel la operaţiile gândirii. Ori

gândirea se dezvoltă în activitatea concretă de rezolvare

de probleme. Am considerat că este bine ca încă de la

Inv.Dinu Nicolita


însuşirea operaţiilor aritmetice: adunări şi scăderi de la 0 al

10 să folosesc lecţii de rezolvare de probleme legate de

viaţa practică. Exemplu:

1. „Ionel are 5 mere. Fratele lui mai mic are 3 mere. Câte

mere au împreună ce doi fraţi?”

2. „Viorel are 3 creioane colorate, iar Laura are 2

creioane colorate. Câte creioane colorate au împreună

Laura şi Viorel?”

3. „Pe o farfurie sunt 2 mere şi 7 pere. Câte fructe sunt

pe farfurie?”

4. „Într-o piesă de teatru sunt 6 personaje, copii şi

oameni mari. Câţi copii joacă în piesă dacă oamenii mari

sunt în număr de 4?”

Mulţi învăţători consideră că aceste lecţii sunt mai

simple, mai uşoare datorită faptului că nu ar fi vorba decât

de o simplă aplicare a cunoştinţelor învăţate anterior. Din

cele constatate în activitatea la clasă, aceste lecţii, în

realitate, sunt deosebit de dificile, fiindcă ele cer mai mult

efort din partea elevilor, dar mai ales a propunătorului.

Aceasta datorită faptului că pot să apară de fiecare dată

lucruri noi, neprevăzute ,iar prin intermediul acestor lecţii

învăţătorul cu măiestria şi tactul său pedagogic îi introduce

pe elevii din clasa I in „probleme” despre care el nu ştie

nimic, iar pe cei din clasele a II-a – a IV-a mai mult în

„problema problemelor” la matematică.

În permanenţă am avut în atenţie cunoaşterea cu

precizie a scopului şi locului

lecţiilor special destinate rezolvării de probleme. Iată

obiectivele operaţionale ce trebuie realizate la sfârşitul unei

asemenea ore la clasa a III-a, ora de rezolvare de probleme

prin metoda figurativă de tipul:

Inv.Dinu Nicolita


„O sârmă lungă de 18 m se taie în două bucăţi, a doua

bucată fiind cu 4 m mai lungă decât prima.

Câţi metri are fiecare bucată?”

- sa observe suma dintre lungimea primei şi celei

de-a doua bucăţi de

sârmă;

- să observe diferenţa dintre lungimea primei şi a

celei de-a doua bucăţi de sârmă;

- să reprezinte schematic şi figurativ relaţiile dintre

cele două mărimi;

- să traducă semnificatia expresiilor ce conduc la

compararea mărimilor, iar în funcţie de aceasta să

stabilească operaţia corespunzătoare;

- să aplice algoritmul de rezolvare al problemelor

din această categorie;

- să verifice corectitudinea soluţiilor găsite.

O deosebită importanţă pentru însuşirea acestui tip de

probleme, în stabilirea algoritmului de rezolvare, o are

măiestria pedagogică cu care învăţătorul conduce gândirea

elevului prin întrebări adecvate. De la început am

considerat că este necesar să-i fac pe elevi să înţeleagă că

în structura unei probleme există trei elemente: datele,

condiţia, cerinţele, iar între acestea există raporturi de

interdependenţă care trebuie bine înţelese.

De asemenea în activitatea de rezolvare a unei

probleme am parcurs cu elevii mai multe etape. Am căutat

să-i fac să observe că în fiecare etapă are loc un proces de

reorganizare a datelor şi de reformulare a problemei pe

baza activităţii de orientare a rezolvitorului pe drumul şi în

direcţia soluţiei problemei.

Aceste aspecte sunt:

- cunoaşterea enunţului problemei;

Inv.Dinu Nicolita


- înţelegerea enunţului problemei;

- analiza problemei şi întocmirea planului logic;

- alegerea şi efectuarea operaţiilor corespunzătoare

succesiunii judecăţilor din planul logic;

- activităţi suplimentare care pot fi: verificarea

rezultatului, scrierea sub

formă de exerciţiu, găsirea altei căi sau metode de

rezolvare, generalizare, compunere de probleme după o

schemă asemănătoare.

În fiecare din etapele mai sus enumerate are loc un

permanent proces de analiză şi sinteză (prin care elevul

separă şi reconstituie, desprinde şi construieşte

raţionamentul care conduce la soluţia problemei) de o

îmbinare aparte a analizei cu sinteza caracterizată prin

aceea că diferitele elemente luate în considerare îşi

dezvăluie mereu noi aspecte (analiza) în funcţie de

combinaţiile în care sunt

plasate (sinteza).

Alte condiţii de care trebuie să ţinem seama în

rezolvarea problemelor ar fi:

- legătura problemelor cu viaţa, cu realitatea.

Datele problemelor, problemele însăşi să fie preluate din

realitatea existentă în jurul copiilor, din experienţa de viaţă,

din mediul de viaţă al acestora;

- în rezolvare să se facă apel la schiţă, desen, lucru

care uşurează înţelegerea enunţului, ce favorizează găsirea

soluţiei, căii de rezolvare;

- să nu neglijăm latura educativă a problemelor.

Neglijandu-se aceasta am frustra elevii de efectul afectiv pe

care-l au problemele asupra personalităţilor;

- să domnească în clasă un „spirit de

permisibilitate”, adică să li se permită elevilor să pună

Inv.Dinu Nicolita


întrebări, să fie apreciaţi dacă sunt întrebări interesante,

pentru că pun întrebări, să fie apreciate soluţiile care ies

din comun, care denotă un spirit creator. În clasă să fie o

atmosferă de lucru, în care să domnească relaţiile de

întrajutorare, de cultivare a încrederii în forţele proprii.

Elevii să nu fie apostrofaţi chiar dacă greşesc. De

asemenea, este bine să se utilizeze toate formele de lucru:

colectiv, individual, in echipa, in perechi; tinând seama de

aceste cerinţe elevul va reuşi să ştie să depisteze

problematicul din probleme, să pună şi să formuleze

probleme noi şi apoi, să ştie să caute drumul către soluţii,

să construiască ipoteze şi apoi să le verifice.

V. 6. Metode şi procedee folosite în vederea

cultivării flexibilităţii gândirii elevilor prin rezolvarea

problemelor

Activitatea de compunere a problemelor oferă terenul

cel mai forţat din domeniul activităţii matematice pentru

cultivarea şi educarea creativităţii şi a inventivităţii,

reprezintă o culme a performanţei cognitive. Diferenţa între

a invata rezolvarea unei probleme şi a compune o

problemă noua înseamnă, în esenţă, creativitate, dar pe

niveluri diferite.

Creativitatea gândirii, mişcarea ei liberă, nu se poate

produce decât pe baza unor deprinderi corect formulate,

stabilizate şi eficient transferate.

Tinând seama de aceasta am avut permanent în vedere

îndemnul lui I. Jinga:

Inv.Dinu Nicolita


Educatorii sunt datori să-i înveţe pe elevi să înveţe, să-şi

pună întrebări, să formuleze probleme şi să le dea cât mai

multe soluţii.

Prin aceasta elevii să-şi însuşească ABC-ul acestei

discipline aparent aride, dar înţeleg şi poezia matematicii,

plăcerea de a descifra şi a reciti ca pe o poezie multiple (şi

uneori ascunse) sensuri depre viaţă şi despre Univers,

constatând astfel că întreaga matematică este şi

distractivă.

Am prezentat în subcapitolele anterioare câteva

metode de rezolvare a problemelor tipice şi consideraţii

metodice de care am ţinut seama pentru a atinge

obiectivele stabilite pentru fiecare oră de rezolvare a

problemelor.

Ca urmare a acestui fapt la sfarşitul clasei a IV-a din cei

14 elevi, 9 rezolvă cu uşurinţă problemele din manul şi

probleme asemănatoare, iar 5 aveau nevoie de întrebări de

sprijin, ajutor pentru realizarea desenului ajutător,

sugerându-li-se ideea, după care puteau şi ei să rezolve

problema.

Pentru obţinerea acestor rezultate s-a folosit ca metodă

de bază exerciţiul, ştiut fiind faptul că a şti să rezolvi

probleme este o îndemânare practică- o deprindere- cum

este înotul, schiul sau cântatul la pian, care se poate învăţa

numai prin imitare şi exerciţiu. Dacă vrem să învăţăm înotul

trebuie să intrăm în apă, iar dacă vrem să învăţăm să

rezolvăm probleme, trebuie să învăţăm probleme.

Această antrenare la efort a forţelor proprii constituie o

condiţie necesară pentru orice matematician şi cu atât mai

mult pentru cel ce învaţă matematică. Dar matematica nu

impune numai rezolvarea de exerciţii şi probleme de către

elevi, ci , pentru a putea să ocolească, să sară peste

Inv.Dinu Nicolita


obstacole diferite în activitatea cotidiană, am pus elevii în

situaţii specifice creatoare: să vadă şi să pună întrebări, să

combine date, să caute multiple posibilităţi de a utiliza, să

le restructureze, să creeze probleme.

Având în vedere că izvorul creaţiei există la toţi elevii,

am căutat totdeauna să-l dezvolt. În cadrul orelor de

matematică s-au planificat lecţii speciale, din orele la

dispoziţia învăţătorului, de compunere de probleme.

Aceasta este posibil şi datorită faptului că însăşi programa

şcolară are în vigoare acest lucru, manualele conţin

exerciţii care au drept sarcină compunerea de probleme, iar

psihologia o recomandă să o cultivăm la cea mai fragedă

vârstă, întrucât elevii nu sunt suprasolicitaţi la sarcinile cu

caracter creator, le doresc, le aşteaptă, le solicită, au un

efect pozitiv

asupra personalităţii lor. Le dezvoltă încrederea în forţele

proprii chiar şi celor timizi şi slabi la învăţătură.

În scopul cultivării creativităţii, adică a gândirii,

inteligenţei şi imaginaţiei elevilor în activitatea de rezolvare

a problemelor se folosesc variate procedee. Printre acestea

enumerăm:

- complicarea problemei prin introducerea de noi

date sau prin modificarea întrebării;

Exemplu:

„Doi elevi au sarcina să culeagă împreună 300 kg de

mere, fiecare culegând jumătate din cantitate. În două ore

un elev a cules 80 kg de mere, iar celălalt 90 kg de mere.

Câte kg de mere mai are de cules fiecare elev sau câte kg

de mere mai au de cules împreună cei doi elevi?” (clasa a

III-a)

Inv.Dinu Nicolita


- rezolvarea problemei prin două sau mai multe

procedee;

Planul problemei precedente ar putea fi, pentru prima

întrebare, următorul:

I II

300 : 2 – 80 = 70 80 +

90 = 170

300 : 2 – 90 = 60 300 –

170 = 130

70 + 60 = 130

- scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie;

- alegerea celei mai scurte şi mai economicoase căi de

rezolvare;

- determinarea schemei generale de rezolvare a

problemelor care fac parte dintr-o anumită categorie şi

încadrarea sau nu a unei probleme într-o anumită categorie

de probleme;

- transformarea problemelor compuse în exerciţii cu

paranteze care să indice ordinea operaţiilor;

- transformarea problemelor compuse în exerciţii

compuse astfel încât ordinea operaţiilor să fie succesiunea

judecăţilor şi a relaţiilor corespunzătoare conţinutului

problemei;

- transformarea şi compunerea din 2-3 probleme simple

a uneia compuse.

Compunerea problemelor este una din modalităţile

principale de a dezvolta gândirea independentă şi originală

a copiilor, de cultivare şi educare a creativităţii gândirii lor.

Se pot compune şi crea probleme în următoarele forme

şi următoarea succesiune graduală:

- probleme acţiune, sau cu punere în scenă;

- compuneri de probleme după tablouri şi imagini;

Inv.Dinu Nicolita


- compuneri de probleme după modelul unei

probleme rezolvate anterior;

- probleme cu indicarea operaţiilor matematice ce

trebuie efectuate;

- compuneri de probleme după un plan stabil;

- compuneri de probleme după mai multe întrebări

posibile;

- compuneri de probleme cu o întrebare dată şi cu

mai multe conţinuturi de date precum şi relaţii între date

ale conţinutului;

- compuneri de probleme cu întrebare

probabilistică;

- compuneri de probleme cu un început dat, cu

sprijin de limbaj;

- compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori

numerice date;

- compuneri de probleme după un exerciţiu simplu

sau compus;

- compuneri de probleme după un model simbolic;

- compuneri de probleme cu modificarea

conţinutului şi a datelor;

- crearea liberă de probleme;

- probleme de perspicacitate, rebusistice etc.

În activitatea de compunere a problemelor trebuie să se

ţină seama de posibilităţile elevilor, prin sarcini gradate

trecându-se de la compunerea liberă la cea

îngrădită de anumite cerinţe din ce în ce mai restrictive.

1. Compunerea problemelor cu ajutorul materialului

intuitiv

Inv.Dinu Nicolita


Primele probleme s-au creat cu ajutorul materialului

intuitiv: obiecte (jucării), bile, jetoane (reprezentând diferite

păsări, animale, jucării), bani (monede sau bancnote).

După ce am plasat jetoanele pe tabla aderentă (imagini

cu jucării, plante, animale, unelte, etc) am cerut elevilor să

le ordoneze, să le aranjeze după utilitate, iar apoi să creeze

probleme. Exemple de probleme formulate:

1. „Copiii se jucau cu 6 maşinuţe, 2 avioane, 4 găletuţe,

3 site şi 3 lopeţi. Câte jucării erau?”

sau

2. „La un magazin de jucării s-au vândut 6 maşinuţe, 2

avioane, 4 găletuţe, 3 site

şi 3 lopeţi. Câte jucării s-au vândut?”

sau

3. „Fetiţele si-au ales 4 găletute, 3 site şi 3 lopeţi, iar

băieţii 6 maşinuţe şi 2 avioane. Care grupă are mai multe

jucării şi cu câte?”

Sau o problemă compusă de eleva Surdu Andrada care

prezintă un grad sporit de dificultate:

„Jucăriile s-au împărţit la două grupe. Grupa întâi a primit

6 maşinuţe şi 2 avioane, iar grupa a doua 4 găletute, 3 site

şi 3 lopeţi. Câte jucării trebuie să dea una din grupe pentru

a avea un număr egal de jucării?”

Trecând la clasa a II-a am insistat în primul semestru la

acest procedeu, dar imaginile prezentate solicitau

probleme cu grad sporit de dificultate. Exemplu:

Am prezentat elevilor un tablou ce reprezenta o fermă

de animale în care se observa clar numărul vitelor din cele

3 încăperi. Le-am cerut elevilor să formuleze o problemă şi

în final să o rezolve. Majoritatea au compus problema

astfel:

Inv.Dinu Nicolita


„O fermă de animale avea trei grajduri. În primul grajd

erau 29 de vaci, în al doilea 34 de vaci, iar în al treilea 36

de vaci. Câte vaci erau în cele 3 grajduri?”

Le-am cerut după aceea să complice puţin problema.

Câţiva au complicat-o astfel:

„În cele trei grajduri ale unei ferme erau 29, 34, 36 vaci.

S-au trimis la o altă fermă 26 de vaci. Câte vaci au mai

rămas?”

Din cei 12 elevi ai clasei a II-a, 6 au compus-o prin

prima variantă, 3 prin doua sau trei variante, iar 3 elevi au

fost ajutaţi cu întrebări pentru a compune prima variantă.

Acest procedeu poate fi folosit pentru a dezvolta

capacitatea creatoare a elevilor, dar pentru a obţine

rezultate bune trebuie respectată condiţia ca tablourile

prezentate să nu ceară o rezolvare şablon, ci în fiecare

desen să se ceară ceva nou şi interesant.

2. Compunerea problemelor după schema

Această modalitate de a compune probleme stimulează

flexibilitatea şi creativitatea gândirii elevilor, le educă

voinţa în găsirea algoritmilor de lucru pe o cale mai uşoară.

Schema, prin funcţionalitate, pe lângă faptul că obligă pe

elevi să

activeze, să gândească, le dă posibilitatea să creeze ca

urmare a transformării activităţii intelectuale într-o

adevărată meditaţie matematică.

Folosirea schemei înainte ca problema să fie rezolvată

ajută toate categoriile de elevi (foarte buni, buni, mai puţini

buni), dar are şi procesul invers, de compunere de

probleme după schemă.

Încă de la însusirea numerelor şi numeraţiei de la 0 la

10, pentru compunerea sau descompunerea numerelor, dar

Inv.Dinu Nicolita


mai ales după ce au învăţat operaţiile aritmetice se poate

utiliza compunerea de probleme după schemă (mai întâi

oral şi apoi in scris).

De aceea este bine să se pornească de la scheme

simple, ajungând spre sfârşitul clasei a III-a şi în clasa a IV-

a, ca acestea să prezinte un grad sporit de dificultate.

Avându-se în vedere particularităţile psihice individuale

se folosesc scheme în care se indică mărimile respective,

dar şi relaţiile dintre aceste mărimi cu ajutorul unor expresii

matematice. În altele se indică mărimile şi relaţiile dintre

ele exprimate prin semne specifice operaţiilor aritmetice

(+; -; x; :) iar în altele numai mărimile – compunerea de

probleme după aceste scheme fiind literală.

Exemplu:

+ :

+

Iată câteva probleme formulate de elevi:

„Pe raftul unei biblioteci sunt 584 de cărţi, pe al doilea

196 de cărţi, iar pe al treilea cât jumatate din suma cărţilor

de pe primele două rafturi.

Inv.Dinu Nicolita

584 196

?

?

2


Câte cărţi sunt pe al treilea raft?”

S-a dat reprezentarea grafică şi s-a cerut elevilor să

compună câte o problmeă:

I

50 kg II 5 kg

„Doi copii au cules împreună 50 kg de fructe. Al doilea a

cules cu 5 kg mai mult decât primul. Câte kg a cules

fiecare?”

sau

„Mama a cumpărat 50 kg de roşii şi vinete. Dacă vinete

a cumpărat cu 5 kg mai puţin, să se afle câte kg de vinete

şi câte de roşii a cumpărat?”

Compunerea de probleme după schemă în care erau

indicate mărimile şi relaţiile dintre ele au ajutat şi pe cei

care erau cu greutăţi la învăţătură. Ei au compus probleme

corect, care respectă schema dată, dovadă că sensul

operaţiilor aritmetice l-au înţeles. Aceasta a dovedit că

germenul creativităţii se află în fiecare copil şi că dacă în

cadrul lecţiilor procesul de însuşire al cunoştinţelor se

bazează pe înţelegerea profundă a informaţiilor, pe

ierarhizarea (aşezarea) acestor informaţii într-o anumită

ordine pe criteriul importanţei şi al generalităţii, iar această

ierarhizare să aibă un caracter dinamic, adică o

permanentă legătură între cunoştinţele însusite anterior şi

cele predate, se obţin rezultate deosebite.

Dificultăţi deosebite ridică compunerea de probleme

după scheme în care mărimile sunt indicate în general

(cantitate, preţ, lungime, viteză, timp, etc) sau cu ajutorul

unor simboluri (a, b, c etc.) cum este cazul următoarei

scheme:

Inv.Dinu Nicolita

a b c d


+

-

:

Majoritatea elevilor au considerat simbolurile folosite

drept numere naturale compunând probleme

asemănătoare celor oferite de manual. Dar după multe

exerciţii elevii compuneau probleme legate de realitate, de

activitatea oamenilor. Iată câteva exemple de acest fel:

„La o alimentară s-au adus 250 kg zahăr şi 362 kg

făină. În prima zi s-au vândut 162 kg, iar restul în mod egal

în următoarele 2 zile. Câte kg s-au vândut în a doua şi a

treia zi?”

(problemă compusă de Văduva Denisa)

„Din suma numerelor 450 şi 350 scădeţi 200, iar

diferenţa micşoraţi-o de 3 ori. Cât este câtul?”

(problemă creată de Baţai Valentin)

Am considerat necesar să cer elevilor să formuleze

probleme după ce, în prealabil, stabiliseră exerciţiul

corespunzător schemei. Astfel munca, deşi dificilă, le-a fost

simţitor uşurată.

Folosirea schemelor în rezolvarea de probleme cât şi în

compunerea acestora stimulează flexibilitatea gândirii, în

antiteză, apărând tot ca un joc didactic.

3. Compunerea de probleme după un exerciţiu dat

Una dintre formele superioare ale meditaţiei intelectuale

o constituie crearea de probleme după un exerciţiu dat.

Această sarcină din punct de vedere logic constă în

inversarea căii clasice de rezolvare de probleme, iar din

Inv.Dinu Nicolita

?

?

?


punct de vedere intelectual constă în aplicarea

cunoştinţelor matematice dobândite în viaţa practică prin

crearea de texte, care dă posibilitatea elevilor să ilustreze

din punct de vedere matematic rezolvarea diferitelor

aspecte ale vieţii.

Încă din clasa I am căutat ca problemele rezolvate cu

elevii să fie aşezate sub formă de exerciţiu. Această

modalitate a uşurat compunerea de probleme după un

exerciţiu. Am desfăşurat astfel de activităţi sub formă de

joc, ceea ce a antrenat întregul colectiv de elevi.

Pe mai multe cartonaşe am scris diferite exerciţii de

adunare şi scădere. De la fiecare rând am desemnat un

elev care şi-a ales un cartonaş, apoi a trecut la loc şi

împreună cu colegii de pe rândul său a citit ce este scris pe

cartonaş şi li s-a cerut să compună o problemă care să se

poată rezolva după operaţia sau operaţiile ce erau scrise pe

cartonaş. Fiind antrenată întreaga clasă, câştigă rândul

care a compus mai multe şi variate probleme după

cartonaşul său.

Cartonaşele pot cuprinde două sau mai multe exerciţii.

Exemplu:

5 + 4 = 18 – 5 =

40 + 20 =

10 + 3 = 3 + 6 =

60 – 30 =

Elevii au fost îndrumaţi să se inspire în compunerea

problemelor din diferitele

acţiuni ce le întreprind ei, părinţii, oamenii în general.

Folosind jocul în dezvoltarea gândirii independente şi a

creativităţii, se evită impresia de efort, lucrează în condiţii

de competivitate, trec astfel cu uşurinţă pragul primelor

începuturi. Spre sfârşitul clasei I exerciţiile după care se

Inv.Dinu Nicolita


compun problemele ridică mai multă dificultate; pentru a

trece de aceasta am rezolvat mai întâi cu întreaga clasă

probleme şi apoi le-am cerut elevilor să le pună sub formă

de exerciţiu. Astfel am pornit de la o problemă care se

rezolvă prin două operaţii:

„La un cămin de preşcolari s-au adus de dimineaţă 42

franzele, iar la prânz 37 franzele. S-au consumat 53 de

franzele. Câte au rămas?”

I. 43 + 37 = 79 (franzele s-au adus în total) II. 47

+ 37 – 59 = 26 (franzele)

79 – 53 = 26 (franzele au rămas)

Punând problema sub formă de exerciţiu, le-am cerut

să creeze si ei o problemă pe care să o rezolve tot prin

acest exerciţiu.

S-au dat şi alte exerciţii după care elevii au creat

probleme, în semestrul al II-lea

introducând şi parantezele

66 – (23 + 42) = (26 + 32) + (26 + 32

-12) =

Începând cu clasa a III-a posibilitatea creării

problemelor pe bază de exerciţii se imbogăţeşte deoarece

cunosc şi alte două operaţii: înmulţirea şi împărţirea.

Numărul problemelor ce se pot constitui pe baza unor

exerciţii este nelimitat şi de aceea am creat posibilitatea

fiecărui elev să-şi arate originalitatea în compunerea

problemelor.

La început doar un număr mic de elevi compuneau

probleme când exerciţiul era mai complicat. După mai

multe exerciţii - munca independentă, teme acasă, lucru la

tablă – am reuşit ca cei mai mulţi elevi să compună şi să

rezolve corect probleme, câţiva au compus parţial, iar 2

elevi nu au compus deloc.

Inv.Dinu Nicolita


Am insistat cu ultimele 2 categorii în a rezolva cât mai

multe probleme pe care le-au pus sub formă de exerciţiu şi

apoi au creat probleme cu exerciţiul obţinut.

În clasele a II-a şi a IV-a am combinat acest procedeu cu

cel al folosirii schemei de rezolvare.

Schema ca model ideal a devenit şi în această situaţie

elementul pivot al activităţii cognitive în dezvoltarea

capacităţii matematice la elevi ceea ce îi confirmă valoarea

şi eficienţa în ordonarea gândirii elevilor în diferite situaţii.

Această relaţie în mod schematic se prezintă astfel:

TEXT

EXERCIŢIU

SCHEMĂ

EXERCIŢIU TEXT

Pentru a ilustra cele relatate voi ilustra calea de creare

a unui text pe baza unui exerciţiu dat folosind ca element

intermediar schema:

1. Exemplu la clasa a IV- a

Exerciţiu : (880 : 8) + (900 : 9) + (484 : 4) = d

Schema:

? a ? b ? c

? d

880 : 8 900: 9 484 : 4

a + b + c

2. Exerciţiu: 312 – (a : 4) – (a : 8) x 3 =

Schema

? a ? b ? c

? d

Inv.Dinu Nicolita


312 a : 4 a : 8 x 3

a – b - c

Exerciţiul dat ca formă generalizată prin intermediul

schemei se transformă în judecăţi parţiale ceea ce

uşurează acţiunea de rezolvare. Generalizarea structurii

logice a textelor pe baza exerciţiului dat prin intermediul

schemei este un proces ce se desfăşoară treptat etapă de

etapă, plecând de la forma cea mai simplă în mod gradat

până la nivelul textului complet. Schema prin structură în

ambele situaţii sugerează planul rezolvării problemei şi

ordinea operaţiilor efectuate parţial sau printr-un singur

exerciţiu.

Prin acest procedeu, pe lângă faptul că dezvoltăm

flexibilitatea gândirii, educăm creativitatea, suntem siguri

că elevii stăpânesc bine o noţiune, o regulă pentru că pot s-

o ilustreze complet prin exemple corespunzătoare.

4. Completarea datelor care lipsesc în problemă sau

întrebărilor acestora

Este un alt mijloc prin care poate fi solicitata gândirea

creatoare a elevilor dar şi

inţelegerea faptului că fără date numerice problemele în

matematică nu se pot rezolva.

În acest sens am plecat cu elevii de la următorul

exemplu:

„Elevii clasei I au plantat panseluţe şi lalele. Câte flori

au plantat?’’

Dupa o succinta analiza a problemei elevii au

constatat ca nu pot rezolva problema, motivand si de ce.

Inv.Dinu Nicolita


Deci ei sesizează mărimile ce au intervenit în

problemă (panseluţe şi lalele) şi relaţia dintre ele (flori). Dar

neavând date numerice nu au putut-o rezolva.

Din problemele compuse de ei în clasă:

1. În clasa noastră sunt elevi. 20 elevi sunt abonaţi la

revista „Mozaic”, iar restul la revista „Meridian”. Câţi elevi

sunt abonaţi la revista Meridian?”

2. „În cercul de minibaschet participă elevi şi cu

mai mulţi la fotbal. Câţi elevi participă la cele două cercuri

sportive?”

Acest procedeu nu solicită într-un grad sporit gândirea

elevilor ci mai mari

posibilităţi de exersare a creativităţii elevilor oferă

completarea problemelor cu întrebările ce trebuie puse. În

această dificilă încercare – formularea întrebărilor – elevii

au fost introduşi prin joc începând cu cele mai simple

probleme.

Exemplu:

„Într-o cutie sunt 8 bile, iar în alta 5 bile’’. Ce putem

afla?

Toţi copiii au formulat întrebarea „Câte bile sunt în

total?”, dar în urma discuţiilor şi a stimulării să descopere şi

laturile mai ascunse s-au formulat întrebările: „Cu câte bile

sunt mai multe în prima cutie?’’, ,,Care este diferenţa

dintre numărul de bile din prima cutie şi cele din a doua

cutie?”

Treptat, oferindu-le mai multe date le putem deschide

calea spre surprinderea unui mare număr de întrebări, în

contextul cărora se identifică intrebările, paşii care conduc

spre întrebările finale, spre soluţia finală care o

desăvârşesc.

Exemplu:

Inv.Dinu Nicolita


„Un bloc are 5 scări cu câte 20 de apartamente pe

fiecare scară, iar alt bloc are 6 scări cu câte 8 apartamente

pe fiecare scară. Câte apartamente sunt în cele două

blocuri?”

Întrebările care apar în mod firesc sunt: „Câte

apartamente sunt în primul bloc?”,

„Câte apartamente sunt în cel de al doilea bloc?”, „Câte

apartamente sunt în cele 2

blocuri?”

Dar folosind numărul apartamentelor din primul bloc şi

numărul apartamentelor din al doilea bloc, elevii descoperă

că diferenţa dintre ele reprezintă încă o problemă. Discuţia

purtată cu elevii a clarificat faptul că primele două întrebări

constituie de fapt întrebări parţiale deoarece nu cuprind

totalitatea datelor şi că, deci, cele mai adecvate sunt

ultimele două.

Se ştie că formularea corectă a întrebărilor are o

importanţă covârşitoare atât pentru soluţionarea

problemelor, cât şi pentru formarea gândirii creatoare. Ea

presupune gruparea şi relaţionarea datelor, integrarea lor

într-o unitate, descoperirea necunoscutelor şi a aspectelor

mascate – într-un cuvânt o activitate de investigare şi

permanentă reorientare în problemă.

5. Compunerea de probleme asemănătoare

Printre primele metode prezentate într-un subcapitol

anterior elevii rezolvă probleme tipice, îşi însuşesc

algoritmul de rezolvare a problemelor. Dar pentru a nu se

şabloniza acest stil de lucru, pentru a verifica dacă elevii

aplică algoritmul de rezolvare nu în mod mecanic, folosind

acest procedeu de lucru – compunerea de probleme

Inv.Dinu Nicolita


asemănătoare - s-au rezolvat probleme de felul următor

(impun ca metodă de rezolvare metoda figurativă):

1. „În două mine de cărbune lucrează 800 de mineri. Câţi

mineri lucrează la fiecare mină, dacă la una lucrează cu

148 mineri mai mulţi decât la cealaltă?”

2. „Suma a două numere consecutive este de 755. Aflaţi

cele două numere.”

S-a cerut elevilor să formuleze o problemă ca cea

anterioară (1) folosind numerele 500 şi 126. Pentru ca

enunţul problemei să fie conform realităţii am avut

permanent în atenţie transmiterea de cunostinţe despre

diferite domenii de activitate.

Procedând astfel, din cei 14 elevi ai clasei a III-a, 8 au

alcătuit probleme corect, respectând condiţiile impuse, 4 au

avut greşeli în exprimare, iar 2 elevi întâmpină greutăţi

frecvente în rezolvarea de probleme. Ei nu au rezolvat

corect, lucru ce a impus program special de pregătire.

Problemele au fost formulate astfel:

1. „La o anumită cantină muncitorească au servit masa

dimineaţa şi la prânz 500

muncitori. Câţi muncitori au servit masa dimineaţa şi câţi

muncitori au servit masa la prânz, dacă la prânz au fost cu

126 mai mulţi?”

2. „La alimentară s-a adus în două zile o cantitate de 500

l ulei. Câţi litri s-au adus în fiecare zi dacă în prima zi s-au

adus cu 126 l mai puţin?”

3 „În clasele I – IV din şcoala noastră sunt 500 elevi.

Numărul băieţilor este cu 126 mai mare decât al fetelor.

Câţi băieţi şi câte fete sunt?”

În compunerea de probleme asemănătoare elevii

manifestă tendinţa de a „imita”, aportul de originalitate

fiind foarte mic.

Inv.Dinu Nicolita


La început am considerat că este necesar să le prezint

elevilor diferite imagini (aspecte din viaţa cotidiană a

oamenilor, a copiilor având scrise sub ele datele numerice

respective). După aceste imagini elevii compuneau

probleme.

De asemenea, în prealabil am rezolvat cu ei un număr

mare de probleme în care se cunoşteau diferenţa dintre

două mulţimi şi intersecţia lor. Numai după aceasta s-a

trecut la probleme asemănătoare.

Astfel, un număr de 7 elevi au compus probleme din

domenii de activitate deosebite de cele oglindite de

manual, 5 nu au ieşit din sfera problemelor anterioare, iar 2

nu nu rezolvat sarcina deoarece aveau lacune în

cunoştinţele însuşite despre mulţimi. Am căutat pe cât

posibil ca problemele alcătuite de elevi să difere ca enunţ,

conţinut, de cele din manual sau rezolvate împreună.

Numai astfel am putut vedea dacă elevii aplică conştient

sau mecanic algoritmul de rezolvare.

6. Compunerea de probleme cu sprijin simbolic

Cerinţele simbolice stimulează gândirea creatoare a

elevilor, adâncesc raţionamente, consolidează deprinderi

de analiză a problemelor. Dar mai întâi să străbatem calea

până a reuşi să determinăm elevii să compună probleme

după formule literale.

Copiilor le place să asculte şi să înveţe poezii şi am

găsit cu cale că ar fi un mijloc de a introduce copiii în

tainele unei forme de creare de probleme. S-a prezentat o

scurtă poezie:

„De sub streaşinele mele

Pleacă noua rândunele

Inv.Dinu Nicolita


Şi mai e o rândunică.

Ar rămâne, dar i-e frică

Să n-o prindă vremea rea.

Şi- atunci pleaca-n zbor şi ea.

Spune-mi câte rândunele

Trec deasupra casei mele?”

Copiii află că la cele noua rândunele se adună încă o

rândunică şi că 9 + 1 = 10.

Le-am dat sugestia să înlocuiască cu o literă „a”

numărul care reprezintă păsărelele care au zburat prima

dată şi cu alta, litera „b”, numărul păsărelelor care s-au

alăturat după aceea. Numărul păsărilor care trec deasupra

casei a fost notat cu „d”.

Le-am cerut acum să scrie acest exerciţiu folosind litere

în loc de cifre.

a + b = d

Cerându-le să formuleze şi ei probleme după această

formulă numerică, la început a mers mai greu, dar după

aceea s-au întrecut în formularea de probleme.

Pentru compunerea de probleme după formula literală a

– b m-am folosit de versurile:

„Pe – o rachetă zboară iuţi

Trei viteji astronauţi.

Doi coboară pe-o planetă,

Mai rămân câţi în rachetă?”

Familiarizându-se cu calculul, cu simboluri literale, copiii

sunt introduşi în modul de lucru cu aceste simboluri.

Se solicită gândirea creatoare a elevilor atunci când li

se cere să alcătuiască probleme al căror principiu de

rezolvare să fie relaţiile implicate prin simbolurile literale

din formula dată.

Inv.Dinu Nicolita


Trecerea la faza de compunere de probleme, după

formulele literale, aşa cum am mai arătat a fost făcută prin

înscrierea unei probleme sub formă de formulă numerică.

Formându-se priceperi şi deprinderi de a compune

probleme după formule numerice, crescând gradul de

dificultate s-a ajuns ca elevii să poată utiliza formule ca:

a – b – c = d a – (b

x c) = d

a + b + c = d a x b

: c + d – e = ?

a x b – c = d

a : b + c = d

a : c – b = d

Pentru activitatea diferenţiată în compunerea

problemelor după astfel de formule am observat că elevii

mai slabi au compus probleme după prima parte a formulei,

cei buni după întreaga formulă.

Acest procedeu este un veritabil exerciţiu de pregătire

a elevilor în vederea aflării valorii numerice a unei expresii

algebrice.

7. Compuneri de probleme libere

Aşa zisele „creaţii literare”, fără sprijin de cifre duc la

ideea că majoritatea copiilor de azi sunt mult mai bine

informaţi, şi deci au mai multe surse de substractizare.

Înainte de modernizarea gândirii copilului prin

matematică, se pare că ea este modernizata de viata

sociala si culturala contemporana. Inca o data psihologia

istorică ni se impune ca o necesitate, ca un moment de

pornire şi în didactica modernă.

Inv.Dinu Nicolita


Dând frau liber fanteziei şcolarilor mici, aceştia compun

probleme legate de viaţa lor, de mediul lor social, oraş,

magazine întreprinderi, fabrici, uzine, orăşelul copiilor,

blocuri – compun probleme simple şi probleme compuse în

mod diferenţiat în raport cu vârsta lor. Reuşesc să compună

probleme legate de aceste modernizări chiar cu sau fără

sarcini date.

Ca orice început, primele au fost grele şi chiar

nereuşite. Elevii trebuie să folosească întregul bagaj de

cunoştinţe acumulate la geografie, cunoştinţe despre

natură etc. Prin aceasta dovedesc că dispun de un bogat

bagaj de cunoştinţe, dar au, în acelaşi timp, bine dezvoltat

şi simţul realităţii.

Un elev a creat o problemă care a stârnit hazul tuturor,

fiindcă având ca cerinţă să folosească date numerice de

ordinul sutelor de mii, n-a avut veridicitate în realitatea

înconjurătoare.

„Participând la culesul fructelor, elevii clasei noastre au

cules în prima zi 230.000 kg mere, pere cu 150.000 kg mai

mult, iar struguri de 5 ori mai mult decât

mere şi pere. Câte kg de fructe au cules în total?”

În opoziţie cu exemplul de mai sus apar probleme

create astfel:

„Întreprinderea minieră Rovinari a livrat în prima lună a

anului 702.302 t lignit, în luna a doua cu 50.800 t mai mult,

iar în luna a treia cu 230.700 t mai puţin decât în primele

două luni la un loc. Câte tone au fost livrate în primul

trimestru al anului?”

Pentru compunerea unor probleme corecte am urmărit

să aduc elevii la simţul realităţii, cunoscând diferite aspecte

ale vieţii. Astfel, problemele compuse nu sunt fanteziste,

sunt legate de realităţile vieţii, activităţii cotidiene a

Inv.Dinu Nicolita


părinţilor lor. Prin exemplele relatate am încercat să

realizez câteva soluţii prin care am cultivat şi valorificat

interesul copiilor pentru aprofundarea şi consolidarea

cunoştinţelor matematice.

Din activitatea pe care am desfăşurat-o m-am convins

că activităţile de factură creativă concepute gradat şi

sistematic sunt atât accesibile cât şi atractive pentru

şcolarii mici. Asta mă îndeamnă să caut şi alte mijloace

care să contribuie la dezvoltarea spiritului creator la elevii

din ciclul primar.

Simpla formulare a unei probleme este adeseori mult

mai importantă decât rezolvarea ei, care poate fi doar o

chestiune de matematica sau tehnică experimentală. A

ridica noi întrebări, noi posibilităţi, a privi problemele vechi

dintr-un unghi nou presupune imaginaţie creativa.

VI. EVALUAREA ŞI INTERPRETAREA REZULTATELOR

Prin evaluare ne exprimăm în mod direct interesul

pentru calitatea „producţiei” şcolare, pentru gradul de

pregătire a elevului pe o perioadă determinată.

Evaluarea ne furnizează informaţiile necesare reglării şi

ameliorării activităţii de la o etapă la alta prin adoptarea

măsurilor corespunzătoare pentru creşterea eficienţei

activităţii. Verificarea şi aprecierea sistematică a

rezultatelor obţinute constituie un important factor

motivaţional, stimulând activitatea de învăţare a acestora,

exercită influenţa asupra dezvoltării psihice, a laturii

voliţionale şi afective, îi ajută în cunoaşterea şi dezvoltarea

aptitudinilor.

În ceea ce priveşte rolul cadrului didactic în activitatea

de la clasă, cunoaşterea nivelului atins de elevi în

Inv.Dinu Nicolita


dezvoltarea lor generală şi a rezultatelor obţinute este

necesară în fiecare moment al desfăşurării procesului

didactic: la începutul activităţii cu noii elevi pentru a le

cunoaşte nivelul de pregătire în vederea adoptării unei

pedagogii adecvate; pe parcursul procesului de instruire

pentru a-şi adapta activitatea la posibilităţile elevilor şi la

sfîrşitul procesului pentru a aprecia rezultatele obţinute în

lumina obiectivelor urmărite şi pentru prefigurarea

activităţii viitoare.

Se poate spune că actul de evaluare implică două

operaţii corelate, alcătuind un tot unitar, măsurarea şi

aprecierea. Prima constă în aplicarea unor tehnici, probe,

pentru a cunoaşte efectele acţiunii intructiv – educative şi a

obţine date în perspectiva unui scop determinat.

Exactitatea măsurarii este condiţionată de calitatea

instrumentelor de măsură folosite şi de modul cum sunt

aplicate acestea.

Aprecierea defineşte procesul de judecare a rezultatelor

constatate, prin compararea acestora cu scopurile

urmărite. Se presupune deci formularea unor judecăţi de

valoare asupra unui rezultat.

Rostul evaluării rezultatelor nu se limitează la

cunoaşterea acestora şi la clasificarea elevilor în funcţie de

performanţele obţinute, ci constă mai ales în a şti care sunt

elementele izbutite ale procesului care au asigurat succesul

şi care sunt aspectele date, punctele critice ce urmează să

fie remediate. Diagnosticarea oferă, prin datele şi

informaţiile referitoare la starea procesului, sugestii pentru

deciziile ce

urmează a fi adoptate cu privire la desfăşurarea activităţii

în etapele următoare, prefigurând rezultatele posibile.

Inv.Dinu Nicolita


Actul de evaluare îşi realizează funcţiile numai în

condiţiile integrării lui efectiv în procesul didactic, ca

element constitutiv al acestuia menit să furnizeze

informaţiile trebuitoare oricărei acţiuni de perfecţionare a

procesului. Există trei modalităţi de integrare a evaluării în

activitatea didactică: evaluarea iniţială, de pornire,

evaluarea cumulativă (sumativă), evaluarea continuă

(formativă).

Evaluarea iniţială este menită să stabilească nivelul

de pregătire al elevilor la începutul unei perioade de lucru,

condiţiile în care aceştia se pot integra în programul

pregătit. Ea constituie şi temeiul reconsiderării activităţii, în

ceea ce priveşte ritmul de parcurgere a materiei, gradul de

aprofundare, metodele folosite pentru a-l face adecvat

situaţiei constatate, dobândind o importanţă deosebită la

începutul anului şcolar sau semestrului.

Evaularea cumulativă (sumativă) este realizată

periodic, pe perioade mai lungi, în general corespunzătoare

semestrelor şcolare sau anului şcolar, deşi sunt luate în

considerare şi măsurile operate de parcurs. În aplicarea

acestui model se poate realiza, în parte, compararea

rezultatelor obţinute atât cu obiectivele urmărite, cât şi cu

nivelul de la începutul activităţii; neajunsurile principale

constau în caracterul de sondaj pe care-l prezintă şi prin

faptul că actele evaluării nu însoţesc procesul didactic şi nu

permit ameliorarea lui decât pentru viitor.

Modelul evaluării continue (formative) , înlăturând

neajunsurile amintite, presupune verificarea rezultatelor pe

parcursul procesului didactic, operând în general pe

secvenţe mai mici. În acest fel, trecerea la secvenţa

următoare a procesului se face numai după ce se cunoaşte

Inv.Dinu Nicolita


modul de desfăşurare ameliorativ privind atât desfăşurarea

procesului, cât şi performanţele unor elevi.

Realizarea funcţiilor esenţiale ale actului evaluativ în

procesul didactic presupune folosirea atât a formelor de

evaluare iniţială cât şi a celor operate pe parcursul şi la

sfârşitul activităţii oferind date necesare pentru

îmbunătăţirea sistematică a actiunii. O autentică acţiune de

evaluare trebuie să fie în mod necesar continuă şi

completă.

Recunoaşterea legăturilor dintre diferitele modalităţi de

evaluare a activităţii didactice conduce la singura atitudine

justificată şi eficientă fată de folosirea

acestora si anume aceea nu de optiune in favoarea uneia

sau alteia , ci de imbinare a acestora , de realizare a unui

proces de evaluare în forme şi cu funcţii multiple, perfect

integrat acţiunii didactice.

În clasa a IV-a, la începutul anului şcolar, la obiectul

matematica am dat spre rezolvare următorul text (vezi

anexa 4).

Acest text mi-a oferit informaţii despre nivelul

cunostinţelor şi deprinderilor pe care le aveau elevii la

începutul unei noi clase, care să mă ajute să găsesc cele

mai eficiente modalităţi pentru a obţine progrese şi a

elimina lacunele existente.

Această evaluare iniţială a arătat câţi elevi au lacune în

utilizarea deprinderilor operaţiilor matematice, ce elevi au

obţinut calificative care să-i încadreze în categoria celor

mediocri şi pentru care trebuie găsite modalităţi de a le

asigura o recuperare rapidă şi o înlăturare grabnică a

golurilor. Schimbări au intervenit şi în rezultatele obţinute

de cei buni, dar nesemnificative, datorită în mod deosebit a

Inv.Dinu Nicolita


unei mai grele adaptări la activitatea şcolară după o pauză

aşa mare pentru unii.

Fiecare lecţie de matematică a cuprins şi o scurtă

evaluare formativă (continuă) care a fost un adevărat

indicator al activităţii şcolare, atât pentru propunător cât şi

pentru elevi.

Această evaluare formativă s-a realizat folosind diverse

modalităţi ca: fişe curente, munca independentă, lucrări de

control, teste, iar rezultatele obţinute s-au centralizat şi

consemnat statistic.

La capitolul multiplii si submultiplii metrului ţinând

seama de ceea ce au învăţat în anul anterior, în clasa a III-

a, am vrut să văd dacă elevii îşi mai reamintesc cele

învăţate si le-am dat la prima oră următoarea lucrare de

control:

1 m = ? dm 4 dm = ?

mm

1 dm = ? mm 2500 m = ?

dam

1 km = ? dam 300 dm = ?

dam

1 km = ? m 60 km = ?

hm

1 dam = ? m 800 dam =

? km

În următoarea oră le-am dat o lucrare asemănătoare

care urmărea să verifice şi să consolideze transformările

dintre multiplii şi submultiplii metrului. De asemenea am

vrut să observ dacă elevii au înregistrat progrese faţă de

lucrarea precedentă şi am introdus şi operaţii între aceleaşi

unităţi de măsură diferite:

Inv.Dinu Nicolita


8 m = ? cm 24 hm + 49 hm = ? hm 49

km – 220 dam = ? hm

32 dam = ? dm 91 cm + 39 cm = ? cm 48

dam + 15 hm + 5 km = ? m

21 km = ? hm 48 mm + 19 mm = ? mm 54 cm

– 210 mm + 5 dm = ? cm

60 mm = ? cm 102 km – 49 km = ? km 73 mm

– 23 mm + 1 dm = ? cm

8200 dam = ? km 83 dam – 87 dam = ? km 96 hm

– 630 dam = ? km

În urma verificării am considerat că se poate întocmi un

grafic simplu în care să se vadă comparativ rezultatele şi

eficienţa metodelor active cât şi a lucrului la tablă pe care l-

am utilizat după lucrările de sondaj. Am făcut o clasificare a

elevilor de la cel mai bun la cel cu rezultatele cele mai

slabe, acordându-se numere de ordine corespunzătoare.

După ce am terminat capitolul „Unităţi de măsură” am

conceput un test pentru a evalua sumativ modul cum elevii

şi-au însuşit cunoştinţele despre unităţi de măsură, cum şi-

au format deprinderile de a transpune dintr-o unitate în alta

şi de a le utiliza în efectuarea diverselor operaţii, rezolvări

sau compuneri de probleme în urma utilizării diferitelor

metode de rezolvare a problemelor (vezi anexa 5).

Testul a fost conceput încât să conţină 3 probe cu

dificultăţi crescute de la o probă la alta. Fiecare probă a

urmărit obiective precise astfel:

(1) operarea de transformări utilizând multiplii şi

submultiplii unităţilor de măsură;

(2) aplicarea în exerciţii a algoritmului de transformare a

unităţilor de măsură mai mari in unitati de masura mai mici

si invers, operatii aritmetice cu diferite unitati de masura;

Inv.Dinu Nicolita


(3) operarea corectă cu numere concrete, transformarea

unităţilor de măsură în multiplii sau submultiplii.

O evaluare finală a fost făcută cu prilejul testării date la

sfârşitul clasei a IV-a prin care s-a urmărit să se evalueze

modul cum elevii şi-au însusit principalele obiective ale

învăţării matematicii în ciclul primar (vezi anexa 6)

Rezultatele obţinute:

Preocupările slujitorilor şcolii din zilele noastre în

direcţia perfecţionării proceselor evaluative fac parte din

eforturile având un obiectiv mai larg şi anume creşterea

continuă a eficienţei activităţii didactice. Evaluarea

rezultatelor reprezintă, aşadar o condiţie necesară pentru

orice decizie luată în cunoştinţă de cauză pentru a conferi

activităţii didactice o eficienţă mai înaltă.

VII. CONCLUZII

În epoca contemporană, epoca dezvoltării rapide a vieţii

în toate domeniile în care ştiinţa devine forţă de producţie,

epoca utilizării tehnicii celei mai avansate, afirmaţia că este

nevoie de matematică este insuficientă. Se poate suţine pe

drept cuvânt că nu se mai poate trăi fără matematică.

Necesitatea culturii matematice pentru orice om, devine

astăzi tot mai acută. Ea face parte integrantă din cultura

generală, ocupand în cadrul acesteia un rol important.

Indiferent de domeniul în care lucrează, omul modern

trebuie să posede o bună pregătire matematică pentru

soluţionarea multiplelor şi variatelor probleme ale vieţii.

Gândirea secolului nostru şi a celor viitoare se cere a fi

tot mai mult o gândire creatoare, iar omul prezentului şi al

viitorului, uşor adaptabil la schimbări, inventiv. Gândirea

Inv.Dinu Nicolita


matematică – gândirea modelatoare, euristică se extinde

tot mai mult, devenind gândire caracteristică omului, în

general.

Prin predarea ei în clasele I- IV, matematica contribuie

nemijlocit la dezvoltarea gândirii creatoare şi independente,

la realizarea laturii formative a învăţământului.

Învăţământul matematic s-a dezvoltat în pas cu

cerinţele vremii şi cu nivelul pe care l-a atins ştiinţa

matematicii.

Accentul în învăţământul modern s-a pus pe latura sa

formativă, pe realizarea acelor trăsături ale personalităţii

umane care să-i permită să se integreze activ în condiţiile

societăţii contemporane şi viitoare.

În această direcţie, noua programă de matematică şi

noile manuale pun accentul pe introducerea unor elemente

de modernizare care vizează dezvoltarea gândirii logice a

elevilor. Începând cu anul şcolar 2006/2007, programa de

matematică la clasa a IV-a s-a simplificat; prin urmare elevii

învaţă în ceea ce priveşte metodele de rezolvare a

problemelor doar metoda figurativă. Un rol important îl au

problemele de logică şi cele de organizare a datelor în

tabele. Un rol deosebit îl are rezolvarea şi compunerea de

probleme deprinzând elevii cu munca organizată,

dezvoltându-le încrederea în fortele proprii, obişnuindu-i să

lucreze disciplinat şi să respecte activitatea colectivului.

Pot afirma, pe baza rezultatelor obţinute, că am reuşit

în mare măsură să le trezesc interesul pentru matematică

cât şi perseverenţa, fermitatea, tenacitatea pentru

invingerea greutăţilor.

În cadrul acestui obiectiv am acordat o deosebită

atenţie cultivării flexibilităţii gândirii, în special prin

Inv.Dinu Nicolita


rezolvarea problemelor prin mai multe variante şi

compunerea de probleme.

Rezolvarea presupune însuşirea conştientă a

cunoştinţelor teoretice, capacitatea de a le aplica în mod

independent şi creator, înţelegerea enunţului problemei,

sesizării relaţiei dintre necunoscute şi datele problemei,

formarea priceperii de a stabili planul de rezolvare, de a

verifica soluţia găsită.

Pentru ca acţiunea de dezvoltare a creativităţii să fie

cât mai eficientă, am început-o (prin metodele şi

procedeele prezentate) de timpuriu (din clasa I) şi am

exersat-o în timp, sistematic, modelând copiii prin întregul

conţinut şi prin întreaga metodică de predare.

Consider că este necesar ca pentru fiecare capitol să fie

rezervate 1-2 ore pentru dezvoltarea spiritului creator al

elevilor, ore ce pot fi luate din numărul orelor rezervate „la

dispoziţia învăţătorului”.

Este necesar să avem suficiente probleme să le

introducem atunci când este necesar.

Pentru o bună înţelegere şi însuşire a tehnicii de

rezolvare a problemelor, e mult mai important ca elevii să

rezolve aceeaşi problemă în două sau mai multe variante

când acest lucru este posibil, decât să rezolve mai multe

probleme de acelaşi tip într-un singur fel.

Prin exerciţii de rezolvare în mai multe variante am

urmărit să formez mobilitatea mentală a elevilor în

rezolvarea problemelor, am urmărit ca procedeele de

rezolvare învăţate să nu se transforme în şabloane, ci să

poată fi mânuite cu suficientă supleţe.

Pentru generalizarea principiului de rezolvare a

problemei, elevii au fost obişnuiţi să cuprindă problema în

Inv.Dinu Nicolita


totalitatea ei şi să redea în final soluţia problemei printr-o

formulă numerică, apoi în formula literală.

Pe baza acestor formule (numerice sau literale) elevii

au compus şi rezolvat apoi numeroase probleme.

Stimulând încrederea în fiecare elev, apreciind orice

încercare de a crea, am lăsat câmp liber curiozităţii şi

dorinţei native a copiilor de a descoperi mereu ceva nou,

uneori, şi mai ales în clasa I, multe din activităţi au

îmbrăcat forma jocului.

Deprinzând elevii cu rezolvarea şi crearea de probleme

în mod independent, am evitat şablonizarea, iar prin

stimularea gândirii şi angajarea ei în activitatea

independentă fac posibilă folosirea optimă a potenţialului

creator.

Pentru sporirea eficienţei activităţii creatoare am avut

în vedere îndeplinirea următoarelor cerinţe:

- tema să fie accesibilă;

- să stimulez gândirea şi imaginaţia creatoare;

- să corespundă cerinţelor programei şcolare;

- să se bazeze pe o motivaţie puternică;

- să se urmărească formele unui stil de muncă

pentru elevi.

Am reuşit să-i determin pe elevi să manifeste un interes

tot mai mare pentru acest obiect, să depună eforturi sporite

plasând activitatea creatoare în diferite momente ale

lecţiei. Am constatat că activitatea de rezolvare de

probleme cât şi cea cu caracter creator are o puternică

valoare formativă de ordin afectiv, motivaţional. Aceasta

datorită faptului că elevii nu se simt suprasolicitaţi, ci dacă

perseverez, ei le doresc, le aşteaptă şi de la un timp le

solicită. Se observă că, după îndeplinirea sarcinilor cu

Inv.Dinu Nicolita


caracter creator sunt parcă mai pregătiţi pentru alte

activităţi, par mai recreaţi şi mai odihniţi.

Ei sunt bucuroşi când reuşesc şi nemulţumiţi când

rezolvările dau greş.

Chiar şi elevii timizi sau care intâmpină greutăţi doresc

să încerce, să obţină rezultate bune.

Pentru reuşita dezvoltării activităţii, a gândirii cu

operaţiile şi calităţile sale, un rol important revine

învăţătorului. De aceea am manifestat receptivitate la tot

ce este mai nou, la tot ce le place copiilor, la tot ce pot ei

rezolva.

Trebuie să răspundem permanent chemării să

lărgească orizontul, să zdruncine stereotipurile, să creeze

acea „disonanţă” interna care să determine o

„decentrare”, adică o ieşire din perimetrul restrâns al unei

experienţe canonizate de ani de vechime.

De aceea am căutat ca prin activitatea desfăşurată să

înfrumuseţez acest obiect, astfel încât elevii să o privească

ca pe o activitate utilă, să o privească şi să o

aprecieze pentru frumuseţea structurii ei.

Ca elevii să iubească acest obiect depinde direct de

cine îl predă, de nivelul de pregătire atât din punct de

vedere al domeniului (matematic) cât şi pedagogic.

Prin multitudinea procedeelor folosite în clasă,

noutatea pe care i-o dăm copilului prin fiecare exerciţiu,

problemă, modul cum reuşim să-i activizăm în permanenţă

gândirea, să-l atragem să participe direct la dobândirea

noilor cunoştinţe cu efect pozitiv asupra personalităţii

omului.

Permanent, învăţătorul să fie preocupat să creeze

situaţii problematice, să-i pună pe elevi în situaţii de a

descoperi noile cunoştinţe, care să conducă la asigurarea

Inv.Dinu Nicolita


unei participări afective în toate momentele lecţiei,

contribuind la stimularea gândirii creatoare a elevilor.

Am constatat că elevii încă din clasa I pot să-şi

însuşească sau cel puţin să fie familiarizaţi cu conţinutul

unor noţiuni de matematică modernă. Prin antrenarea

elevilor la un efort gradat şi judicios dozat, prin însuşirea

matematicii având la bază propriul efort, putem spune că

pregătim în clasele I – IV, condiţiile unui învăţământ unitar

şi structural al matematicii.

Fac câteva propuneri în ideea că acestea şi-ar putea

aduce un modest aport la activitatea legată de obiectul

matematică:

- între activităţile matematice de la grădiniţă şi

învăţarea matematicii la ciclul primar există o stransa

corelaţie; nu acelaşi lucru există între matematica de clasa

a IV-a şi cea de clasa a V-a care impune un ritm de lucru

mult prea rapid, creând astfel greutăţi în adaptarea elevilor

în învăţarea matematicii la clasa a V-a;

- manualele de matematică la clasele I – IV în noua

formulă corespund în mare parte exigenţelor impuse de

perfecţionarea învăţământului matematic şi racordarea lui

pe o linie modernă şi eficientă;

- este necesar să se acorde o mai mare atenţie, la

ciclul primar în ceea ce priveşte valorificarea capacităţilor

creatoare a unor elevi, iar cei dotaţi să lucreze sistematic în

cadrul orelor de pregătire suplimentară, pentru a le cultiva

pasiunea şi talentul pentru obiectul matematică; sunt

necesare ore de pregătire şi pentru cei care nu fac fată

cerinţelor acestui obiect;

- pentru elevii care au anumite aptitudini spre acest

obiect este necesar să se elaboreze unele materiale (seturi,

fişe cu exerciţii şi probleme mai dificile) ;

Inv.Dinu Nicolita


- trebuie să se lucreze diferenţiat, acordând atenţie

atât celor „buni” cât şi celor „slabi”;

- sugerez ca în perspectiva reînnoirii manualelor,

care se face regulat, să se acorde mai mult spaţiu pentru

exerciţii şi probleme, în mod deosebit cele care stimulează

creativitatea, considerând că desenele şi explicaţiile ocupă

prea mult spaţiu, ele nefiind întotdeauna valorificate în

predarea cunoştinţelor;

- folosirea jocului contribuie la însuşirea mai rapidă,

accesibilă şi mai plăcută a unor cunoştinţe la şcolarii mici,

când există posibilitatea, fiind unul dintre cele mai bogate

mijloace de activizare a micilor şcolari, care asigură un

climat socio – afectiv adecvat particularităţilor de varstă şi

individualitate ale copiilor.

Pentru a contribui la formarea personalităţii elevilor,

este nevoie de o muncă pedagogică asiduă şi competentă,

de selecţionare, prelucrare, sintetizare şi adaptare a

materiei de studiu la nivelul capacităţilor intelectuale ale

acestora. Indiferent însă de metodele, modalităţile şi

mijloacele pe care timpul nostru le pune la dispoziţia şcolii,

rolul nostru ca educatori, constituie un factor hotărâtor în

organizarea şi desfăşurarea procesului de învăţământ,

pentru creşterea randamentului şcolar.

Învătarea matematicii reprezintă un ţel spre care se

tinde şi se ajunge prin pasiune şi muncă.

Important e ca în eforturile sale de a îmbogăţi

comunicarea didactică, învăţătorul să nu uite că aşa cum

spunea L. Şoitu, nu tot ce spune se aude, nu tot ce se aude

se înţelege şi ceea ce se înţelege nu depinde numai de noi.

Inv.Dinu Nicolita


Proiect de lecţie

Clasa: I

Obiectul: Matematică

Subiectul: „Numărul şi cifra 3”

Tipul lecţiei: Dobândire de cunoştinţe

Scopul lecţiei: - consolidarea cunoştinţelor despre

numărul şi cifra 2;

- formarea deprinderilor de a scrie corect cifra 3; -

înţelegerea numărului 3 ca simbol al mulţimii care are 3

obiecte

- dezvoltarea operatiilor gandirii ( analiza, sinteza,

generalizarea, abstractizarea) si a calitatilor

acesteia(rapiditatea,

mobilitatea,flexibilitatea)

Obiective operaţionale:

O1 – să răspundă corect la întrebările adresate;

O2 – să folosească un limbaj matematic adecvat;

O3 – să înţeleagă numărul 3 ca simbol al mulţimii cu trei

obiecte;

O4 – să numere crescător şi descrescător până la 3;

O5 – să recunoască şi sa scrie corect cifra 3;

O6 – să completeze corect fişele de evaluare;

O7 – să lucreze independent;

O8- să păstreze ordinea şi disciplina în cadrul lecţiei.

Strategia didactică:

a) Mod de abordare al învăţării: algoritmic

b) Metode şi procedee: conversaţia, explicaţia,

demonstraţia, exerciţiul, problematizarea;

Inv.Dinu Nicolita


c)Mijloace de învăţământ: tabla magnetică, beţişoare

colorate, trusa de figuri geometrice, numărătoarea, culori,

cretă colorată,

fişe de lucru, planşă cu elemente grafice

componente cifrei 3, jetoane cu numere.

d) Forma de organizare: frontală şi individuală

e) Evaluarea: parţială şi finală

Durata: 45’

Locul de desfăşurare: Sala de clasă

Material bibliografic: „Proiectarea şi evaluarea didactică în

învăţământul primar

Marin Manolescu

„Metodica predării matematicii la clasele I – IV”

Inv.Dinu Nicolita


Proiect de lecţie

Clasa:a II-a


Subiectul: Adunarea şi scăderea numerelor formate din

sute, zeci şi unităţi –

exercitii si probleme

Tipul lecţiei: consolidare şi sistematizare a cunoştinţelor

Scopul lecţiei: formarea deprinderii de a rezolva

exerciţii şi prpbleme de adunări şi scăderi ale numerelor

naturale de la 0 la 100; educarea atentiei, dezvoltarea

gândirii.


a) cognitive: O1 – să răspundă la întrebări;

O2 – să rezolve rapid şi corect exerciţiile de calcul

oral;

O3 – să folosească corect terminologia

matematică;

O4 – să utilizeze regulile de adunare şi de scădere

a numerelor

naturale până la 100;

O5 – să afle numărul necunoscut;

O6 – să scrie corect etapele unor probleme;

O7 – să compună probleme pe baza unor operaţii

de adunarea si scădere care ajung până la 1000;

b) afective: O8 – să participe activ şi conştient la

desfăşurarea lecţiei;

c) psihomotorii: O9 – să adopte o poziţie corectă a corpului în

timpul scrisului;

Inv.Dinu Nicolita



a) Mod de abordare al învăţării: mixt


demonstraţia, exerciţiul,problematizarea, lucrul în echipă,

observaţia, munca

independentă, evaluarea;

c) Forma de organizare: frontală, individuală, în echipă;

d) Material didactic: fişe de evaluare, cretă colorată,

culegeri, manualul pentru clasa a II-a;

e) Bibliografie : „Metodica predării matematicii la clasele

I –IV;

„Proiectarea şi evaluarea didactică în învăţământul

primar”

– Marin Manolescu, Editura Steaua Procion;

„Îndrumătorul învăţătorului pentru aplicarea Programelor

scolare la clasele I – IV’’, Ed. Sigma, Bucureşti

Evaluarea: continuă

Locul de desfăşurare: sala de clasă

Durata: 45 minute

FIŞĂ DE EVALUARE

1. Află diferenţa numerelor:67 şi 4; 79 şi 9; 86 şi 4

2. Află suma numerelor: 76 şi 12; 44 şi 3; 57 şi 11

3. Alege răspunsul corect:

88 – 6 26 95 – 5065 – 20 45 4 + 324 + 5 82 13 + 1312 + 14 7 41 + 41

Inv.Dinu Nicolita


10 – 3 29 78 – 4169 – 32 37 15 + 14

4. Într-un coş sunt 12 trandafiri, 10 lalele, iar garoafe cât trandafiri şi lalele la un loc. Câte flori sunt în coş

Proiect de lecţie

Clasa: a III-a


Subiectul: Înmulţirea unui număr format din sute, zeci şi

unităţi cu un număr de o cifră

Tipul lecţiei: recapitularea şi sistematizarea

cunoştinţelor

Scopul: consolidarea deprinderilor de a înmulţi un

număr format din sute, zeci şi unităţi cu un număr de o

cifră; consolidarea deprinderilor de calcul oral şi scris;

dezvoltarea deprinderii de a lucra în echipă; dezvoltarea

gândirii logico-matematice, precum şi a celorlalte procese

psihice (atenţia şi

memoria)


a) cognitive: O1 – să răspundă la întrebări;


oral;


matematică;

O4 – să rezolve corect înmulţirea, dar şi celelalte

operaţii;

O5 – să compare numerele folosind semnele <, >,

=;

O6 – să explice etapele rezolvării unei probleme;

O7 – să respecte regulile jocului;

O8 – să efectueze cu atenţie fişa primită;

Inv.Dinu Nicolita


b) afective: O9 – să se conformeze cerinţelor,

îmbunătăţindu-şi continuu performanţele

c) psihomotorii: O10 – să adopte o pozitie corectă a corpului în

timpul scrisului.




demonstraţia, exeercitiu ,lucrul în echipă, observaţia, jocul

didactic, munca independentă;

c) Forma de organizare: frontală şi individuală;

d) Material didactic: manualul pentru clasa a IV-a,

culegeri, fişe de evaluare,

o planşă cu rebus; 2 planşe- „scăriţa”; o planşă cu tabel.


I –IV;


primar”

– Marin Manolescu, Editura Steaua Procion;

„Îndrumătorul învăţătorului pentru aplicarea

Programelor scolare la clasele I – IV’’, Ed. Sigma, Bucureşti

Evaluare: continuă


Durata: 45 minute

FIŞĂ DE EVALUARE

1. Calculaţi:

100 x 6 =

138 x 7 =

232 x 3 =

(121 x 2) + (300 x 2)

Inv.Dinu Nicolita


2. Află numărul:

a) de 2 ori mai mare decât 252

b) de 4 ori mai mare decât 243

3. Completează cu unul din semnele <,>, =

298 x 3 283 x 2

4 x 133 2 x 266

4. La un concurs de înot participă 174 fete, iar băieţi de 4

ori mai mulţi.

Câţi elevi participă la concurs?

Proiect de lecţie

Clasa: a IV-a


Subiectul: Exerciţii şi probleme

Tipul lecţiei: recapitularea şi sistematizarea

cunoştinţelor

Scopul: recapitularea cunoştinţelor legate de adunarea,

scăderea, inmulţirea împărţirea numerelor; consolidarea

deprinderii de calcul oral si scris;

dezvoltarea deprinderii de a lucra în echipă;

dezvoltarea gândirii logico-matematice, precum şi a

celorlalte procese psihice (atenţia şi memoria)


a) cognitive: O1 – să răspundă la întrebările referitoare

la noţiunile matematica învăţate;

O2 – să rezolve corect împărţiri cu rest;

O3 – să rezolve exerciţii de adunare, scădere,

înmulţire, împărţire, în limitele 0 -1.000.00;

Inv.Dinu Nicolita



oral;

O5 – să găsească semnele operaţiilor matematice

(„+”, „-’’ , „x”, „:”)

O6 – să respecte regulile jocului;

O7 – să afle numărul necunoscut;

O8 – să compună probleme după un exerciţiu dat;


matematică;

O10 – să explice etapele rezolvării problemei;

O11 – să găsească diferite întrebări pentru o

problemă dată;

O12 - să efectueze cu atenţie fişa primita;

b)afective: O13 - sa se conformeze cerintelor

propunatorului, imbunatatindu-si continuu performantele;

c) psihomotorii: O14 – să adopte o poziţie corectă a

corpului în timpul scrisului




demonstraţia,

problematizarea, exerciţiul,

observaţia,

lucrul în echipă, jocul

didactic,munca

independentă, descoperirea

c) Forma de organizare: frontală şi individuală

d) Material didactic: „Matematică” –manual pentru clasa

a IV-a,Editura Aramis; fişă de muncă independentă,

culegeri; planşă

cu conţinutul unei probleme; ghetuţe cu daruri; planşă cu

schema jocului „Flori matematice”; cutiuţa cu probleme;

Inv.Dinu Nicolita


cutiuţa cu buline; cutiuta cu exerciţii.


I- IV”

„Exerciţii şi jocuri didactice pentru matematică”, autori:

Sofia Oneşiu şi Mariana Ţeicu, Editura The Best;


primar”;

Marin Manolescu, Editura Steaua Procion

Evaluare: continuă


Durata: 45 minute

ANEXA 1

Test de verificare a cunoştinţelor

1. Subliniază cu o linie cel mai mare număr:

1p.

127 207 702 270

2. Scrie toate nr. impare cuprinse între 103 şi 97

1p.

3.Calculează:

1p.

304 + 170 = 478 - 231 =

32 + 205 = 694 – 304 =

Inv.Dinu Nicolita


4.Calculează şi verifică prin probă:

1p.

240 + 53 = 275 – 212 =

5.Află valoarea lui a:

2p.

a + 214 = 656 a – 14 = 352

302 + a = 372 476 – a = 406

6. La diferenţa nr. 476 şi 255 adaugă suma nr. 103 şi

220 1p.

7. Pe un raft sunt 125 cărţi, iar pe altul cu 14 bucăţi mai

puţin. 2p.

Câte cărţi sunt pe cele două rafturi?

+1p.

S: 5p –

6p

B: 7p –

8p

FB: 9p

- 10

ANEXA 2

1. Percepe uşor şi bine materialul didactic?

2. Înţelege conţinutul lecţiilor?

3. Memorează conştient, bine şi de durată?

Inv.Dinu Nicolita


4. Elaborează uşor operaţii mentale ca analiză, sinteză,

comparaţie, abstractizare, generalizare şi concretizare la

lecţii?

5. Face corelaţii şi asociaţii între cunoştinţele noi cu cele

asimilate anterior la obiectul respectiv?

6. Face corelaţii şi asociaţii între cunoştinţele de la obiecte

de învăţământ înrudite?

7. Prezintă în gândire note de originalitate?

8. Prezintă flexibilitate în gândire?

9. Are capacitatea de a gândi divergent?

10. Prezintă imaginaţie creatoare?

11. Foloseşte la lecţii imaginaţia analogică?

12. Foloseşte la lecţii imaginea probabilistică?

13. Expune cunoştinţele într-un limbaj clar, coerent şi

expresiv?

14. Volumul cunoştinţelor corespunde cerinţelor programei

şcolare?

15. Are şi cunoştinţe care depăşesc programa?

16. Prezintă interes pentru noutate?

ANEXA 3

1. Scrieţi adunările repetate de mai jos ca înmulţire şi

calculaţi produsul:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 8 + 8 +8 =

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 10 + 10 + 10

+ 10 =

2. Scrieţi scăderile repetate de scăzători egali, de mai jos,

ca împărţire şi calculaţi câtul:

Inv.Dinu Nicolita


16 – 4 – 4 – 4 = 49 – 7 – 7 7 – 7- 7 – 7 – 7-

7 =

18 – 6 – 6 – 6 = 50 – 10 – 10 – 10 – 10 –

10 =

- pentru calificativul SUFICIENT

3.Aflaţi factorul necunoscut:

n : 7 = 7 n x 8 = 32 45 : n = 9

- pentru calificativul BINE

6. Cinci fetiţe au fost în pădure după ciuperci. Prima fetiţă

a cules 14 ciuperci, a doua cu 10 ciuperci mai puţin,a treia

fetiţă a cules de 3 ori mai puţin decât a doua, a patra de

două ori mai multe decât a treia, iar a cincea cu 4 ciuperci

mai mult decât a patra fetiţă. Câte ciuperci a cules fiecare?

Câte ciuperci au cules împreună?

7. Alcătuiţi o problemă după exerciţiul : 9 + 9 x 2 =

- pentru calificativul FOARTE BINE

ANEXA 4

Test de evaluare iniţiala

1. a) Scrieţi cel mai mare număr natural par de 6 cifre,

când cifrele se repetă şi apoi când cifrele sunt distincte;

b) Scrieţi aşa cum citiţi numerele: 983.412 şi 805.023;

c) Scrieţi cu cifre numerele: opt mii nouă sute nouăzeci

şi patru; şapte sute douăzeci de mii cincisprezece;

Inv.Dinu Nicolita


d) Scrieţi în ordine crescătoare numerele:

344.683; 63.802; 934.512; 483.239

e) Puneţi semnul „<”, „>” sau „=” între numerele din

perechile următoare:

21033 şi 21033; 465.821 şi 466.938; 423.500 şi

387.909; 520.000 şi 280.000

2. Calculaţi şi faceţi proba:

3.645 + 16.366 = ; 46835 – 9678 =

3. Efectuaţi şi faceţi proba:

423 x 2 = ; 900 : 4 =

4. Aflaţi valoarea lui „X” din egalitatea:

(800 : X) – 170 = 1830

5. Într-o clasă sunt 36 de elevi, băieţi şi fete. Ştiind că

numărul băieţilor este cu 8 mai mare decât al fetelor, aflaţi

câţi băieţi şi câte fete sunt în clasa respectivă.

6. Alcătuiţi o problemă care poate fi rezolvată prin

exerciţiul:

236 + (236 - 45) =

ANEXA 5

Test de verificare a cunoştinţelor la capitolul „Unităţi

de măsură”

1. Transformaţi în unităţile indicate:

Inv.Dinu Nicolita


25 m = ? dm = ? cm = ? mm

8000 mm = ? cm = ? dm

9 kl = ? hl = ? dal = ? l

15000 l = ? dal = ? hl = ? kl

1 t = ? q = ? kg

6 kg = ? hk = ? dag = ? g

5 ore = ? minute = ? secunde

2 zile = ? ore

PUNCTAJ: 3 p

2. Efectuaţi:

34 km + 418 m = ? m

640 dal + 15 hl = ? l

8500 dg + 42 hg = ? g

42000 mm + 4 m = ? m

PUNCTA

J: 3 p

3. Un magazin a primit spre vânzare 2.050 t de roşii şi

cartofi. Ştiind că întreaga cantitate de roşii a fost de 4 ori

mai mare decât cea de cartofi, aflaţi câte tone de cartofi şi

câte tone de roşii a primit magazinul.

PUNCTAJ: 3p

+1p

S: 5p - 6p

B: 7p – 8p

FB: 9p - 10p

ANEXA 6

Inv.Dinu Nicolita


Test de verificare a cunoştinţelor la sfârşitul clasei a

IV-a

1. Efectuează şi compară rezultatele celor două coloane de

exerciţii, scriind în căsuţe semnul potrivit „<, >, =”:

86 x 4 + 168 749 – 79 x 3

921 – 36 x 24 19 x 43 – 760

1 p

24 x 18 – 96 35 x 16 - 224

2. Scrie numerele pare cuprinse între 400 şi 4620.

0,5 p

3. Scrie sub formă de sumă numărul 3506.

0,5 p

4. Scrie cu cifre romane:

1 p

- luna;

- anul;

- secolul în care suntem.

5. Efectuează:

100.852 – 92.683 + 56.701 =

[(9892 + 1088) : 4 x 6 ] : 3 – 891 =

2 p

5001 – 34.965 : 7 + (73.465 – 73.264) =

6. Calculaţi:

75 m x 10 = m = dam

900 dm : 100 = dm = cm

2 p

248 cm + 252 cm = m

7. Suma a trei numere naturale pare consecutive este

egală cu a treia parte din 306. Care sunt cele trei numere?

2 p

Inv.Dinu Nicolita


+ 1 p

S: 5p.-6p.

B:7p.-8p.

FB:9p.-10p

BIBLIOGRAFIE

1.Cherata,Victori,,Metode de rezolvare a problemelor de

aritmeticaVoicila Jeana Editura Sibila, Craiova,1993

2. Cristea, Sorin- „Paşi spre reforma şcolii”, Editura

Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1991

3. Gardin, Mar - „Aritmetică”, Editura Paralela 45, Piteşti,

2000

Gardin, Florin

4. Golu, Pantelimon- „Psihologie educaţională”, Editura Ex

Ponto,Golu, Ioana Constanţa, 2002

5. Jurca, Maria -Georgeta - „Cum rezolvăm probleme de

aritmetică”, Editura Trans-Pres, Sibiu, 1994

6. Lupu, Costică- „Metodica predării matematicii, Editura

Paralela 45, Piteşti, 1999

7. Pîrîială, D. Dumitru- „Probleme tipice rezolvate prin mai

multe Pîrîială Viorica , metode şi procedee”, Institutul

European, Iaşi, 1999

8. Radu, Ion T. -„Evaluarea în procesul didactic”, Editura

Didactică şi Pedagogică, R.A., Bucureşti, 2004

Inv.Dinu Nicolita


9. Radu, Mircel - „Reciclarea gândirii”, Editura Sigma,

Bucureşti, Radu, Nicolae 1999

10. Revista Cardinal - „Exerciţii şi probleme pentru clasele

I- IV”, Editura Cardinal, Craiova, 2006/2007

11. Roşu, Mihail - „Matematică pentru perfecţionarea

învăţătorilor” Roman, Magdalena Editura All Educational,

Bucureşti, 2000

12. Schneider, Maria - „Metode de rezolvare a problemelor

de

aritmetică pentru clasele I- IV”, Editura Apollo, Craiova,

1991

13.Vartopeanu,I- ,,Metode de rezolvare a problemelor de

aritmetica Vartopeanu,Olimpia elementara’’,Editura

Sitech,Craiova, 1998

14. ******* - „Învăţământul primar”, nr. 1-2, Editura

Publistar,

Bucureşti, 199415. ********* - „Învăţământul primar”, nr. 4, Editura Publistar, Bucuresti,199416. ******* - „Învăţământul primar”, nr. 6-7, Editura Publistar,

Bucuresti, 1994

17. ******** - „Învăţământul primar”, nr. 1-2, Editura Discipol, Bucuresti, 1997

18. ******** - „Învăţământul primar”, nr. 2-3, Editura Discipol,

Bucuresti, 2001

19. ******** - „Învăţământul primar”, nr. 2-3, Editura Miniped,

Inv.Dinu Nicolita


Bucuresti, 2004

20. ******** - „Învăţământul primar”, nr. 4, Editura Miniped, Bucuresti, 2004

21. ******** - „Învăţământul primar”, nr. 4, Editura Miniped, Bucuresti, 2006

- Programa de matematică pentru clasele I-IV - Manuale de matematica pentru ciclul primar - Culegeri de probleme pentru clasele I-IV

Inv.Dinu Nicolita

Lucrare de Matematica

Documents

Transcript of Lucrare de Matematica