LOGIKA 5. Előadás
description
Transcript of LOGIKA 5. Előadás
![Page 1: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/1.jpg)
Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi
LOGIKA
5. Előadás
![Page 2: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/2.jpg)
TECHNIKAI ADATOK
Elérehetőség:• aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/
Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba
Jegyzet:
Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:
A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA
![Page 3: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/3.jpg)
TEMATIKA
Bevezetés
A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)
• Szemantikus következmény
• Normálformák
• Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)
• Szintaxis
• Szemantika
• 1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)
• Szemantikus következmény
• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
![Page 4: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/4.jpg)
Gödel tételei
SZINTAKTIKUS SZEMANTIKUS
Levezethető / Bizonyítható Azonosan igaz / következmény
A szintaktikus és a szemantikus megközelítés ugyanoda vezet-e?
![Page 5: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/5.jpg)
Gödel Teljességi tétele
Gödel teljességi tétele a matematikai logika fontos tétele, azt mondja ki, hogy ha egy elsőrendű elméletben egy tetszőleges mondat minden modellben igaz, akkor bizonyítható is.
• Az igazság tétel
A tétel szerint, ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elméletnek (zárt formulák halmazának) van modellje, akkor konzisztens (ellentmondásmentes).
Ez nyilvánvaló, hiszen a modellben minden T-ből levezethető állításnak igaznak kell lennie, márpedig a modellen nem teljesülhet egyszerre egy zárt formula és tagadása.
• A teljességi tétel
A teljességi tétel az igazság tétel megfordítása:
Ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elmélet (zárt formulák halmaza)
konzisztens, akkor van modellje.
• A teljességi tétel másik alakja
Ha egy L elsőrendű nyelvben T elmélet és F zárt formula, amire teljesül
T = F, azaz F igaz T minden modelljében, akkor F levezethető T-ből.
Ez az állítás ekvivalens a teljességi tétel fenti alakjával
![Page 6: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/6.jpg)
Gödel 1. nemteljességi tétele
Tétel – Gödel első nemteljességi tételeMinden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható.Terminológiai megjegyzések1 – Formális-axiomatikus elmélet alatt bármilyen formalizált (például elsőrendű nyelvre épített) axiomatikus-deduktív elméletet érthetünk,.2 – Ellentmondásos egy axiomatikus elmélet, ha van benne olyan mondat, mely bizonyítható is és cáfolható is. Amennyiben kizárt, hogy akármelyik mondat bizonyítható és cáfolható is legyen, akkor azt mondjuk, hogy az elmélet ellentmondásmentes.3 – Azon, hogy tartalmazza a természetes számok elméletét, azt értjük, hogy szerepeljenek a formális nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a szorzásnak úgy, hogy a Peano-aritmetika axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet elegendően erős.4 – Megfogalmazható, azaz létezik a formális nyelvnek ilyen mondata. (Ez a fajta létezés ráadásul konstruktív abban az értelemben, hogy valamilyen eljárással véges lépésben kikereshető az összes mondat közül – bár a kikeresés idejére vonatkozóan nem feltétlenül lehet felső korlátot megadni.)5 – Bizonyítható, azaz formalizált axiomatikus-deduktív elméletek levezethetőség kritériumának megfelel.6 – Cáfolható egy S mondat, ha negációja (azaz a 'nem S' mondat) bizonyítható.
![Page 7: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/7.jpg)
Gödel 2. nemteljességi tétele
Gödel második nemteljességi tétele Gödel első nemteljességi tételének egy lényeges kiterjesztése.
• Míg az első nemteljességi tétel azt mondja ki, hogy minden „valamirevaló” elméletnek van megoldhatatlan problémája,
• addig ez a tétel konkrét példát mutat: minden „valamirevaló” elméletben bizonyíthatatlan, hogy maga az elmélet ellentmondásmentes.
![Page 8: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/8.jpg)
FEJTÖRŐ
1. Van olyan paciens, aki minden doktorban megbízik.
2. A kuruzslókban egyetlen paciens sem bízik meg.
Formalizáljon elsőrendben.
Következmény-e 3.
3. Egyetlen doktor sem kuruzsló.
P(x): az x egy paciens
D(y): y egy doktor
K(y): y egy kuruzsló
M(x,y): X megbízik y-ban
![Page 9: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/9.jpg)
TEMATIKA
Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) Szintaxis • abc, term, formula, szintaktikai definíció,
• egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió
• Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése
• Logikai összettetség
• Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens
• Változó átnevezés, Termhelyettesítés
Szemantika
• Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész, változó kiértékelés( ))
• L-értékelés (term és formula)
• Term és formula értéktáblája
• Quine-féle táblázat
• Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia
• 1. rendű logikai törvények
• Szemantikus következmény
• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)
![Page 10: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/10.jpg)
1. Rendű logika: Bevezetés
• Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az állítások minősítésével és az állítások leírásával.
• Az állítás definíciója szerint az állítást egy kijelentő mondattal ki lehet fejezni.
• Ehhez rendeltük az állításjelet,
• majd az állítások halmazához az ítélet változót
• Az állítás információ tartalma alapján igaz vagy hamis.
Például: 1. P: a 7 prímszám – állítás, ítélet változó (P)!
2. Az x prímszám – nem állítás (paraméteres)
Alaphalmaz: x ϵ N
x nem ítélet változó
Hogyan analizálhatnánk a 2. mondatot?
![Page 11: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/11.jpg)
1. Rendű logika: Bevezetés
Az ilyen állítások formális leírására egy relációt (logikai függvényt) definiálunk.
• P(x) = i, ha x prímszám - Alaphalmaz: x ϵ N
• E(x) = i, ha x egészszám - Alaphalmaz: x ϵ N
• L(x,y,z) = i, ha z az x és az y legnagyobb közös osztója.
- Alaphalmaz: x, y, z ϵ N
Szükségünk lesz:Alaphalmaz- egyedek/indivíduumok halmaza- Univerzum-Jele: U
•X: indivíduum változó: U elemeit futhatja be
• P (x) : predikátum szimbólum:U {i, h}
![Page 12: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/12.jpg)
1. Rendű logika: Bevezetés
•Az állítás konkrét egyedekkel behelyettesített reláció. Pl.: E(9)=i, E(0.8)=h vagy
L(9,6,3)=i, L(9,6,7)=h állítások, de
L(9,6,z) nem állítás (paraméteres állítás).
•Ha a kijelentő mondat alanya egy konkrét egyed, akkor az állítást nulladrendű állításnak hívjuk.
•Az alaphalmaz lehet például a racionális számok halmaza.
•Ha a kijelentő mondat alanya bizonyos egyedek egy halmaza, akkor, az állítást elsőrendű állításnak hívjuk.
![Page 13: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/13.jpg)
1. Rendű logika: Bevezetés
• Ebben az esetben az állítás az elemek halmazára vonatkozik és az összes elemre egyidejűleg fennálló megállapítást/általánosítást vagy a halmaz bizonyos elemeire (nem feltétlenül mindre) fennálló megállapítást/létezést fogalmaz meg.
• Ennek leírására vezetjük be a (univerzális) és a (egzisztenciális) kvantorokat.
• Pl. a „Vannak prímszámok” kijelentés - xP(x) alakban írható le, ha feltételezzük, hogy a vizsgált elemhalmaz/ vagy indivíduumhalmaz/univerzum az egészszámok halmaza.
• Amennyiben az univerzum a valós számok halmaza, akkor ugyanezt az állítást x(E(x)P(x)) alakban írhatjuk fel.
![Page 14: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/14.jpg)
1. Rendű logika: Bevezetés
• A„Minden háromszög szögösszege 180 fok” kijelentést – felírhatjuk x(H(x)S(x,f(y1,y2,y3)) alakban, ahol
- H(x) = i, ha x háromszög és
- f(y1,y2,y3) = y1+y2+y3
- S(x,f(y1,y2,y3)) = i, ha
y1,y2,y3 az x szögei és f(y1,y2,y3) = 180 fok.
Szükség lesz:
• f(y1,y2,y3): Függvény szimbólum: UxUxU U
• : univerzális kvantor
• : egzisztenciális kvantor
![Page 15: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/15.jpg)
Abc
NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA
Abc
Logikai rész: • , , , , , ,
• Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan végtelen, adott fajtájúak
• Elválasztó jelek („(„ „)”)
• (ítélet változók)
Logikán kívüli rész:
•Függvény, predikátum és konstans szimbólumok
•Elemfajták halmaza
![Page 16: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/16.jpg)
Abc, szignatúra
![Page 17: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/17.jpg)
Abc, term, formula
![Page 18: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/18.jpg)
Abc, term, formula
Példa:Term: f(x,f(c,y))
• f: függvényszimbólum : U x U U
• c: konstansszimbólum: c ϵ U
• x: indivíduum változó: U elemeit futja be
Formula: x(H(x) S(x,f(y1,y2,y3))
• f: függvényszimbólum: U x U x U U
• c: konstansszimbólum
• x, y1,y2,y3: indivíduum változók: U elemeit futják be
• H: predikátum szimbólum: U {i,h}
• S: predikátum szimbólum: U x U {i,h}
![Page 19: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/19.jpg)
Szerkezeti fa: term, formula
![Page 20: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/20.jpg)
Szerkezeti fa: term
![Page 21: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/21.jpg)
Szerkezeti fa: formula
![Page 22: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/22.jpg)
Szintaktikai definíció
![Page 23: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/23.jpg)
Szintaktikai definíció
![Page 24: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/24.jpg)
Egyértelmű elemzés
![Page 25: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/25.jpg)
Szerkezeti indukció
![Page 26: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/26.jpg)
Szerkezeti rekurzió
![Page 27: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/27.jpg)
Műveletek hatásköre
• A kvantorok (, ) prioritása a legerősebb az összes logikai műveletei jel között.
• A , hatásköre a legszűkebb részformula jobbra.
A hatókörök megállapításánál ezt a szabályt kell figyelembe venni, és az Ítéletkalkulusnál megismert szabályokkal együtt kell alkalmazni.
Példa
xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
hatáskör hatáskör
hatáskör
![Page 28: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/28.jpg)
Változó előfordulás minősítése
Egy formulában egy x változó egy előfordulása:
• szabad, ha nem esik x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe
• kötött ha x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe esik.
Példa
xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
A fenti formulában x első előfordulása kötött, második előfordulása viszont szabad.
Y mindegyik előfordulása kötött.
Z mindegyik előfordulása kötött (egy van).
![Page 29: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/29.jpg)
Változó minősítése
Egy x változó egy formulában:
• kötött változó ha x minden előfordulása kötött,
• szabad változó ha x minden előfordulása szabad,
• vegyes változó ha x -nek van szabad és kötött előfordulása is.
Példa
xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
• x vegyes,
• y kötött,
• z kötött
![Page 30: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/30.jpg)
Formula minősítése
•Egy formula zárt, ha minden változója kötött.
•Egy formula nyitott, ha legalább egy indivíduum változónak van legalább egy szabad előfordulása.
•Egy formula kvantormentes, ha nem tartalmaz kvantort.
Példa
xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))
A fenti formula nyitott, mert például x-nek van szabad előfordulása.
![Page 31: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/31.jpg)
Logikai összettetség
Példa:
![Page 32: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/32.jpg)
Alapkifejezés
Definíció:
Kifejezés: termek + formulák
Azokat a kifejezéseket, melyekben nincs indivídumváltozó alapkifejezéseknek nevezzük.
• alapterm: f(t1, ..., tn), ahol f: függvényszimbólum
• alapatom: p(t1, ..., tn), ahol p: predikátumszimbólum
• alapformula: tetszőleges formula, melyben nincs indivíduum változó
Nem alapkifejezés például a kvantoros formula, mert ott legalább egy változónak kell lenni, amire a kvantor vonatkozik.
![Page 33: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/33.jpg)
Részterm, Részformula
![Page 34: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/34.jpg)
Részterm, Részformula
![Page 35: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/35.jpg)
Prímformula, prímkomponens
Definíció:
• Egy 1. rendű formula primformulái az atomi formulák
( p(t1, ..., tn) ) és a kvantált formulák.
• Egy 1. rendű formula primkomponensei a formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel.
Példa:
• P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában:
- P(X) Q(X) ben: P(X) prímkomponens is
- xP(x) Q(X) ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula
![Page 36: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/36.jpg)
Változó átnevezés
![Page 37: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/37.jpg)
Termhelyettesítés
![Page 38: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/38.jpg)
SZEMANTIKA: Zérusrendben
• A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).
• Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni.
• Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát.
• Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét megadtuk.
• Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük:
Emlékeztető: Formula
• minden ítéletváltozó ( Vv) JFF
• ha AJFF akkor AJFF
• ha A,BJFF akkor (A○B)JFF
minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.
Egyszerű állítás Összetett állítás
interpretáció Boole-értékelés
{ i , h } { i , h }
Formula jelentése mindig igazságérték!
![Page 39: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/39.jpg)
Szemantika: 1 rendben
1. Interpretáció (I)
+
2. változó kiértékelés ( )+
3. L-értékelés (I + -n alapuló)
![Page 40: LOGIKA 5. Előadás](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012914/56815137550346895dbf4e8e/html5/thumbnails/40.jpg)
1. Rendű logika
Finomabb elemzést tesz lehetővé, nagyobb kifejező erővel rendelkezik!
Példa: Panni kirándulni ment.
individum predikátum
Nevek: individum név vagy leírás, amiről állítunk valamit
Predikátumok: A mondat többi része, amit állítunk; önmagában is értelmes kifejezés vagy kifejezés szerkezet.
• mondat {i,h}
• Olyan logikai függvény, melyeknek a változószáma megegyezik a mondat individumszámával.
, : zR(z, g(z)) ( Q(g(x)) xR(x,x))