LOGICA MODAL II

8/17/2019 LOGICA MODAL II

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INDICE

Lógica modal...................................................................................................................................3

El término “modalidad”..................................................................................................4

Simbolización...........................................................................................................................5

Características de lógica modal....................................................................................................5

Relaciones de oposición entre proposiciones modales..............................................................6

Contradicción...........................................................................................................................6

Contrariedad.............................................................................................................................6

Subcontrariedad......................................................................................................................6Subalternacion.........................................................................................................................6

Lenguaje de la lógica modal..........................................................................................................6

Sistemas lógicos modales..............................................................................................................7

o 1 (Sistema T).................................................................................................................7

o 2 (Sistema S4)..............................................................................................................7

o 3 (Sistema S5)..............................................................................................................7

Familia de la lógica modal.............................................................................................................8

La modalidad epistémica.....................................................................................................8

La modalidad doxatica..........................................................................................................8

La modalidad deóntica..........................................................................................................8

La modalidad temporal.........................................................................................................8

¿Por qué es importante la Lógica Modal?....................................................................................9

Finalidad de lógica modal.............................................................................................................9

Utilidad práctica de la lógica modal..........................................................................................10

Conclusión.....................................................................................................................................11

Ejemplo de aplicación de lógica modal......................................................................................12

Bibliografía....................................................................................................................................14


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LOGICA MODAL

Lógica modal

Hay muchas lógicas modales diferentes, aunque no todas formales

!ristóteles ya habla un poco, pero quien la desarrolla son los

escol"sticos #que consideraban la esencia y accidentes de las cosas$ %n

la época medie&al, las obras importantes de lógica modal son de

'uillermo de (c)ham #el de la na&a*a$ y +ohn uns Scotus La formaliza

C - Le.is, y otros #Saul /rip)e, 0aughan 1ratt, ! 2 1rior$ la

complementan

La lógica modal intenta acercarse m"s al pensamiento humano y del

lengua*e natural, y lo hace complementando la lógica de predicados

#una cualquiera$ con modalidades que indican las condiciones en las

que es cierta o falsa cada proposición 1or e*emplo, a3ade palabras

como puede,podr4a, quiz"s, ha de, posiblemente, necesariamente, a

&eces, etc

1ero esto da muchas complicaciones, ya que el lengua*e natural es muy

ambiguo #y a &eces le*ano a los conceptos en los que pensamos$

Consideremos estas dos frases5

660eo unas cuantas nubes 1odr4a estar llo&iendo ah4 fuera77

662o seas tan optimista8 ahora podr4a estar llo&iendo77

%n las dos se habla de posibilidad de llo&er, pero la diferencia est" en

que en la primera se habla de una cosa que puede pasar en nuestro

mundo #posibilidad epistémica$ mientras que en la segunda, de cómo

las cosas podr4an haber sido de otra forma en un mundo alternati&o al

nuestro #posibilidad metaf4sica$ #pero esto no hace que peligre nuestro

mundo$

%n realidad la diferencia es entre posibilidad remota #contexto

alternati&o$ y posibilidad cercana #contexto actual$ %n el lengua*e

natural a menudo las confundimos cuando tenemos que hacer

sugerencias, para parecer m"s educados ocultando lo que pensamos y

comprobando si la otra persona es capaz de deducirlo #si lo es, es que

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LOGICA MODAL

también tiene interés$ 1or eso decimos 661odr4amos ir a tomar un café77

en &ez de 661odemos ir77 2osotros ale*amos la posibilidad y de*amos

que otro la acerque

Las interpretaciones de lógica modal normalmente consideran todos losmundos lógicamente posibles

Si una proposición es cierta en todos los mundos,

es necesariamente cierta Si es cierta en nuestro mundo, pero no en todos, es una

&erdad contingente Si es cierta en alguno, pero no necesariamente en el nuestro, es

una &erdad posible

El término “modalidad”

Las modalidades se re9eren generalmente a contextos :ediante el uso

de las modalidades, se de9ne un escenario5 actual, 1aralelo, temporal,

etc ba*o el cual alguna a9rmación tiene un &alor de &erdad

-nterpretaciones de Lógica :odal t4picamente consideran todos los

mundos lógicamente posibles Si una a9rmación es cierta ba*o todos los

escenarios o mundos, entonces necesariamente es cierta Si se cumple

en nuestro escenario o mundo, y no en otros, entonces se trata de una

&erdad contingente

Se re9ere a la manera en que algo es La modalidad lógica se puede

entender en sentido restringido #para referirnos a lo que se han

denominado las modalidades proposicionales es decir, a la manera en

que una proposición es &erdad, lo que da lugar a la lógica modal$

Las modalidades #es decir, los distintos modos de ser en relación con la

&erdad$ m"s comunes son5

2ecesariedad -nnecesariedad Contingencia 1osibilidad -mposibilidad

0eamos algunos e*emplos para precisar que entendemos por;posibilidad logica”5

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LOGICA MODAL

1ensemos en un perro dormido *unto a una piedra

Cuestiones sobre el perro5

S- #es una posibilidad pr"ctica$

Cuestiones sobre la piedra5

2( #es una imposibilidad pr"ctica$

Las modalidades indicadas est"n estrechamente relacionadas, de

hecho tomando una cualquiera de ellas, las restantes son reducibles a

esta 1or e*emplo, tomando como primiti&a ;es necesario p”5

;%s innecesario p”5 equi&ale a ;no es necesario p” ;%s contingente p”5 equi&ale a ;no es necesario no@p y no es

necesario p” ;%s posible p”5 equi&ale a ;no es necesario no@p” ;%s imposible p”5 equi&ale a ;es necesario no@p”

Simbolización

Sea la proposición p5

Características de lógica modal

%s importante considerar en cuenta las siguientes caracter4sticas que se

detallaran m"s aba*o de lógica modal, todo ello para su me*or

entendimiento5

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LOGICA MODAL

La lógica modal permite obtener sistemas axiom"ticos La lógica modal no requiere un an"lisis sem"ntico La lógica modal es completa, consistente y decidible

Relaciones de oposición entre

proposiciones modales

Contradicción

#!mbas no pueden ser simult"neamente &erdaderas ni tampoco falsas$5

Contrariedad

#!mbas no pueden ser simult"neamente &erdaderas pero si falsas$5

Subcontrariedad #!mbas no pueden ser simult"neamente falsas pero sA &erdaderas$5

Subalternacion

#La &erdad de la primera implica la de la segunda, pero no &ice&ersa$

Lenguaje de la lógica modal

Consta de5

Bn con*unto de &ariables proposicionales, que se representan

mediante las letras p, q, r, Bn con*unto de conecti&os proposicionales

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M

L

LOGICA MODAL

Bn con*unto de operadores modales5

Un conjunto de signos auxiliares: “(”, “)”, “[”, “]”, “f ”, “g”,...

Sistemas lógicos modales

Son de especial interés los sistemas modales que captan los principios

siguientes5

o 1 (Sistema T)

%l m"s débil de todos los sistemas que cumplen con todas lascondiciones que hemos establecido es el sistema , propuesto porDobert Eeys en


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LOGICA MODAL

Familia de la lógica modal

1osteriormente, se a3adieron otras modalidades5

La modalidad e!istémica

Se re9ere a lo que es la certeza dentro de una ase&eración I%s cierto

queJ o bien I1uede ser cierto que

La modalidad do"atica

rata con lo que es razonamiento sobre creencias La modalidad se

captura con un solo operador como5 Se cree que es ciertoJ

La modalidad deóntica

%st" relacionada con el concepto de normas y obligaciones Iebes

hacerJ y I1uedes hacerJ&endr4an a ser las interpretaciones de los

operadores ba*o esta modalidad

La modalidad tem!oral

iene que &er con la e&aluación de &erdad ba*o mundos que est"n en

otro tiempo 2ormalmente se usan &arios pares de operadores ba*o esta

modalidad, puesto que se tiene que diferenciar entre el pasado y el

futuro Siempre ha sido el caso queJ y I!lguna &ez se dio queJ son

las interpretaciones de los operadores en tiempo pasado

Siempre sera el caso queJ y I!lguna &ez se dara queJ ser4an los

equi&alentes para el tiempo futuro

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LOGICA MODAL

¿Por qué es importante la Lógica

Modal?

!lgunas aplicaciones importantes de Lógica :odal5

Lógicas deónticas5 uso en sistemas expertos *ur4dicos

Lógicas de la demostrabilidad5 in&estigación de los fundamentos

de las :atem"ticas Lógicas epistémicas din"micas5 desarrollo de una lógica de

protocolos incondicionalmente seguros

Finalidad de lógica modal

La lógica modal lo que introduce son modos, términos que &an a

modi9car al predicado, se dedica a estudiar las posibles relaciones entre

los diferentes mundos, utilizando conceptos de ;posibilidad” y

;necesidad”

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LOGICA MODAL

La 9nalidad de la lógica modal est" basada en tres principios

fundamentales5

Las &erdades necesarias son &erdades

Las consecuencias necesarias de &erdades necesarias son&erdades necesarias

Las &erdades lógicas son &erdades necesarias

ichos principios enuncian que5

Bna proposición es posible si puede ser &erdadera, independiente

de que al 9nal lo sea o no Bna proposición posible es &erdadera

en algKn mundo posible #1osee probabilidad M$

Bna proposición imposible es falsa en todos los mundos posibles

#1osee probabilidad NM$ Bna proposición es necesaria si no es posible que sea falsa Bna

proposición necesaria es cierta en todos los mundos posibles

#1osee probabilidad N


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LOGICA MODAL

Los traba*os de inferencia o modela*e pueden llegar a ser muy &ariadas,

desde su uso en lingP4stica, aplicaciones cl"sicas en 9losof4a y

epistemolog4a hasta los usos m"s cercanos a la Ciencia de la

Computación tales como &eri9cación formal de hard.are y soft.are,representación del conocimiento y model chec)ing

1odemos destacar algunas utilidades que son las siguientes5

a$ %s Ktil para la e*ecución de que un programa pueda ser &ista como

una sucesión de estados

b$ 1ara representar condiciones intermedias o 9nales del programa a

tra&és de relaciones, etc

%l sistema lógico m"s adecuado para usar lógica modal en

programación es SQ, en el que la relación de accesibilidad es reRexi&a y

transiti&a

Conclusión.

!ctualmente la &isión m"s moderna de la lógica modal es que es &ista

como herramienta para identi9car importantes fragmentos de lógicas de

primer y alto orden, y para tareas de inferencia o modela*e

determinadas

Se considera importantes fragmentos normalmente a fragmentos con

buenas propiedades metOlogicas como son completitud, interpolación,

etc ambién a fragmentos de ba*a comple*idad, con el apropiado poder

expresi&o, con herramientas de inferencia autom"ticas, con simplicidad

de uso y a dise3o de algoritmos de decisión sencillos

%n lógica modal la &erdad es relati&a a mundos posibles una fórmula es

&erdadera en una interpretación en un mundo posible de modo que la

consecuencia lógica también ser" relati&a a mundos posibles, un

argumento ser" &"lido *usto cuando, si sus premisas son todas

&erdaderas en un mundo posible, su conclusión es &erdadera en ese

mundo posible 1or otro lado, suele entenderse la necesaria

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LOGICA MODAL

preser&ación de &erdad como preser&ación de &erdad en toda

interpretación

Ejemplo de aplicación de lógica

modal

Sir&e como bases para otras lógicas, tales como5

• Lógica emporal cuya teor4a es ;siempre y a &eces”

• Lógica epistémica que de9ende ;conocimiento y creencia”• Lógica deónticas que apoya en obligación y o9cio”

%stas también se utilizan para la especi9cación de sistemas en tiempo

real y procesamiento de lengua*e natural

iene importantes aplicaciones en programación puesto a que puede

darse representaciones expresadas mediantes términos de lógica

modal

%n cuanto a la aplicación de lógica modal se debe tener claro que5

! las proposiciones que tiene que ser &erdaderas las llamamos

necesariamente &erdaderas o proposiciones necesarias ! las que tiene

que ser falsas las denominamos proposiciones imposibles Las dem"s

ser"n denominadas proposiciones contingentes Si una proposición no

es imposible decimos que es una proposición posible, que incluyentodas las proposiciones, las &erdaderas y las necesarias, excepto las

imposibles

%l sentido que ;necesidad” adquiere en lógica modal queda explicado

indicando que cuando decimos que una determinada proposición es

necesaria no queremos signi9car con ello que de continuar el mundo tal

y como est", no pueda de*ar de ser &erdadera, sino, m"s bien, que no

podr4a de de*ar de ser &erdadera, independientemente de cómo estén

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LOGICA MODAL

las cosas e modo seme*ante podemos decir de ;imposibilidad”,

;contingencia” y ;posibilidad” %stas cuatro nociones, son las nociones

modales La quinta noción importante es la &inculación, entendida como

la con&ersa de la relación de ;se sigue lógicamente de”

2inguno de ellos son funcionales de &erdad y no pueden ser

representados por los operadores del C1 ya que éstos son funcionales

de &erdad !s4 que para obtener la lógica modal tendremos que a3adir

nue&os operadores a C1 y ampliar nuestros tipos de fórmulas

-ntroduciremos los s4mbolos L y : como operadores mon"dicos y J como

operador di"dico, y les permite que tomen como argumentos fórmulas

cualesquiera %n &ista de la interpretación que se les da les

denominaremos a L el operador de la necesidad y a : el operador de la

posibilidad

! continuación se detallan algunos e*emplos de aplicación de lógica

modal5

Los sistemas que contengan estas equi&alencias podr4an tomar a :

como primiti&o e introducir L mediante de9nición o &ice&ersa5

• :a N f L a #base L$ La N f : a #base :$

• Siempre que p &incula a q es imposible que p sea &erdadero sin

que q sea &erdadera

#p J q$ J : #p T q$ #p J q$ J : #p T q$• Cuando dos proposiciones se implican estrictamente la una a la

otra decimos que cada una de ellas es estrictamente equi&alente

a la otra5

#a N b$ N f U#a J b$ T #b J a$V #a N b$ N f L #a J b$

• 2o pueden ser ni tesis ni &"lidas las siguientes5W LpJ p LpJ pW Lp J #p Jp$ Lp J #p T p$W os axiomas5W !xioma de necesidad5 Lp J pW !xioma de posibilidad5 p J :p

•

Cualquier proposición que tenga la fórmula &"lida no essimplemente &erdadera sino necesariamente &erdadera

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LOGICA MODAL

• odo lo que se sigue lógicamente de una &erdad necesaria es

asimismo necesariamente &erdadero !s4 que5

ULp T #p J q$V J Lq L #p J q$ J #Lp J Lq$• Cuando una fórmula sea tesis de un determinado sistema se dice

que pertenece a, o est" contenida en dicho sistema Si dos

sistemas ! y X tienen distintas bases pero contiene las mismas

tesis #exactamente$ diremos que son equi&alentes Si todas las

tesis del ! son tesis del X, pero algunas de este Kltimo no lo son

del anterior, diremos que ! es el m"s débil y X el m"s fuerte de

los dos sistemas Si todas las tesis de ! son tesis de X diremos

que X contiene a !

Bibliografía

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