Modulo de Logica 90004 2013-II

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERMDULO DE LGICA MATEMTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

LGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICA

GE

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA GICA MATEMTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

CIENCIAS BSICAS


EORFFREY ACEVEDO GONZLEZ

Medelln, 2012

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA


Lgica Matemtica

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Jaime Alberto Leal Afanador Rector

Dr. Roberto de Jess Salazar Ramos Asesor de Rectora

Vicerrector de Servicios a Aspirantes, Estudiantes y Egresados Miguel Roberto Hernndez Saavedra

Dra. Elizabeth Vidal Arizabaleta Vicerrectora Acadmica y de Investigacin

Dra. Gloria C. Herrera Snchez Vicerrectora de Medios y Mediaciones Pedaggicas

Dr. Edgar Guillermo Rodrguez Vicerrector Vicerrectora de Desarrollo Regional Comunitario

Gustavo Velsquez Quintana Decano Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera

Magdalena Pinzn de Posada Vicerrectora de Relaciones Internacionales Maribel Crdoba Guerrero Secretaria General

Jorge Eliecer Rondn Coordinador de Ciencias Bsicas

MDULO CURSO DE LGICA MATEMTICA PRIMERA EDICIN (EN EDICIN)

Copyrigth

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

PROHIBIDA LA REPRODUCCIN Y PUBLICACIN PARCIAL O TOTAL DE ESTA OBRA SIN AUTORIZACIN DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ISBN

2011

Centro Nacional de Medios para el Aprendizaje

Actualizacin, Edicin y Diagramacin Georffrey Acevedo Gonzlez Medelln, Colombia. 9 de Mayo de 2012 (material en prensa)

Este material tiene como referencia principal el mdulo diseado por la Dra. Nubia Janeth Galindo Patio en el ao de 1999 para la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 1999

Portada: Aristteles segn un manuscrito de su Historia naturalis. Roma 1457 (Cod. vindob. phil. gr.).

Medelln Colombia Mayo de 2012.

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA MDULO DE LGICA MATEMTICA

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OH dicha de entender, mayor que la de imaginar o la de sentir! Borges.

La teora del silogismo categrico es uno de los ms hermosos descubrimientos del espritu humano Leibniz

Introduccin

Este mdulo est concebido para ser un curso introductorio a la lgica Matemtica.

Antes de dar inicio al desarrollo de los temas del curso, y en general, para toda actividad, es importante que nos interroguemos por el origen y propsito de dicho conocimiento, Qu problemas busc resolver el hombre mediante dicho conocimiento? Qu preguntas vamos a contestar con el aprendizaje del curso? Qu competencias se espera que el estudiante desarrolle? Por qu se consideran importantes estas competencias? Por qu, siendo yo un estudiante de regencia de farmacia, o un estudiante de ingeniera, o mejor an, un estudiante de psicologa, debo tomar el curso de Lgica Matemtica?

Entre las competencias que debe tener un estudiante, se destaca su capacidad para construir razonamientos deductivos e inductivos, tal que le permitan verificar hiptesis as como generar nuevas, una competencia necesaria, no slo para la investigacin cientfica, sino necesaria para actividades como proponer argumentos vlidos en un ensayo o para debatir ideas.

Se considera que la lgica matemtica acompaada de las competencias lingsticas permite plantear las mejores soluciones a diferentes tipos de problemas, al punto que son stas las competencias que son evaluadas por universidades en todo el mundo para determinar el acceso a programas de educacin superior.

La competencia lgico matemtica no hace referencia exclusiva a operaciones con representaciones simblicas y ejercicios complejos. En este curso aprenders cmo en nuestro lenguaje cotidiano hacemos uso de los razonamientos lgicos deductivos e inductivos, siguiendo unas estructuras bsicas que nos permiten afirmar que un razonamiento es o no vlido.

Ya Platn en la Repblica nos propone que antes del estudio de una ciencia social como lo es la filosofa era necesaria la preparacin de la mente por medio del estudio de la geometra euclidiana, en la cual el discpulo deba entrenarse haciendo demostraciones de teoremas de la geometra, demostraciones que slo se logran siguiendo una secuencia lgica de pasos ordenados.

Lgica Matemtica

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Hoy, muchas instituciones educativas exigen a sus aspirantes a cualquier programa acadmico, presentar pruebas de admisin que pretenden evaluar las competencias tanto lingsticas como lgico matemticas. Mediante estas evaluaciones, las instituciones pretenden elegir entre todos sus aspirantes a aquellos que se encuentren ms preparados para aprender. Esto es para comprender y elaborar razonamientos lgicos deductivos e inductivos cada vez ms complejos.

En este sentido, el curso de lgica matemtica es importante para mejorar en la interpretacin y construccin de razonamientos lgicos presentes tanto en el lenguaje cotidiano como en todas las reas especializadas del conocimiento. Es por esta razn que el curso de lgica matemtica es un curso transversal a todos los programas acadmicos ofertados por la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.

Para leer el mdulo slo se requieren conceptos de conjuntos numricos, y operaciones algebraicas bsicas. La intencin es que el estudiante pueda aprender de este mdulo por s mismo, en este sentido es un texto escrito ms para los estudiantes que para el tutor.

En el curso de lgica matemtica, analizaremos diferentes operaciones entre conjuntos, tales como unin, interseccin y complemento, entre otras operaciones, que nos permitirn aclarar la comprensin de las relaciones entre los conectivos lgicos usados en el lenguaje natural, partiendo para ello de una representacin grfica. A la par desarrollaremos las destrezas lgico matemticas, dando solucin a problemas como ste:

De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de la UNAD, los amantes de la msica de Juanes son 15; mientras que los que nicamente gustan de la msica de Shakira son 20, Cuntos son fanticos de los dos artistas si 10 de los encuestados, entre los 25 que no son fanticos de Shakira, afirman ser fanticos de Juanes?

Comprenderemos cmo trabajan los conectivos lgicos que usamos diariamente en nuestro leguaje y que pocas veces nos detenemos a analizar y a comprender, por ejemplo, nuestro amigo Boole afirma que cuando gane su equipo predilecto har fiesta, pasado un tiempo encontramos que Boole est festejando pero que su equipo predilecto ha perdido Se est contradiciendo el amigo Boole con su afirmacin inicial?, En este curso descubriremos y analizaremos el conectivo lgico que ha usado Boole en su afirmacin para concluir sobre este asunto.

Identificar los conectivos lgicos, las premisas y comprender su funcin en el lenguaje nos permitir disear frases cada vez ms complejas sin que se pierda la coherencia en la construccin gramatical.


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Posteriormente aprenderemos a simplificar expresiones complejas o difciles de descifrar usando el lenguaje natural, para ello utilizaremos leyes expresadas por medio de smbolos. Por ejemplo, al expresar en lenguaje natural que es falso que Augustus no miente; por medio de la lgica aprendemos a llegar a la simplificacin: Augustus miente, utilizando leyes lgicas bsicas que nos permiten validar la simplificacin hecha con un argumento ms all de la simple intuicin.

Gracias al desarrollo informtico un estudiante de psicologa, puede implementar una funcin lgica en una hoja de clculo como Excel o Calc, que le permita obtener en segundos el resultado de la aplicacin de un Test psicolgico a una poblacin. En general, gracias a los principios bsicos de la lgica se pueden implementar funciones de aplicacin en todas las reas del conocimiento.

Otra interesante aplicacin de la lgica es en el proceso de validar nuestros argumentos. Por ejemplo, analicemos qu puede concluirse de la siguiente afirmacin: si llueve hace fro, posteriormente ocurre que hace fro, es entonces correcto concluir que llueve?, Por medio de la lgica transformaremos esta expresin en lenguaje simblico que posteriormente podremos analizar por medio de una tabla de verdad y descubrir en qu caso especfico la conclusin puede no derivarse de sus premisas.

En el mundo de la argumentacin siempre estamos utilizando unos principios lgicos bsicos que estudiaremos en el curso de Lgica Matemtica, permitindonos mejorar en la construccin de argumentos ms fuertes, basados en los cimientos de la lgica.

Buen Viento y Buena mar.

Georffrey Acevedo Gonzlez.1

Agradecimientos

A los estudiantes y tutores del curso que han contribuido en cada perodo con sus aportes, crticas y comentarios. A Jorge Eliecer Rondn, Fuan Evangelista Gmez, Carlos Arturo Serrano y Euclides Daz Arcos por sus aportes.

1Maestro en educacin del Instituto Tecnolgico de Monterrey. Ingeniero electrnico de la Universidad de Antioquia. Docente Ocasional de la Escuela de Ciencias Bsicas Tecnologas e Ingeniera de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD- desde 1995. www.georffrey.com [email protected] [email protected]

Lgica Matemtica

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CONTENIDO POR LECCIONES

Unidad 1 Principios de Lgica

Captulo 1 Introduccin a la lgica

Leccin No.1 Introduccin a la lgica Leccin No. 2 Proposiciones Leccin No. 3 Conectivos lgicos fundamentales Leccin No. 4 Condicional y Bicondicional Leccin No. 5 Tablas de verdad

Captulo 2 Tautologa

Leccin No. 6 Tautologa Leccin No. 7 Proposiciones equivalentes Leccin No. 8 Tautologa trivial y doble negacin Leccin No. 9 Implicacin directa, contraria, recproca y contrarrecproca Leccin No. 10 Leyes de la lgica

Captulo 3 Cuantificadores y proposiciones categricas

Leccin No. 11 Cuantificadores Leccin No. 12 Proposiciones categricas Leccin No. 13 Representacin de las proposiciones categricas Leccin No. 14 Clasificacin de las proposiciones categricas Leccin No. 15 Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias


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Unidad 2 Razonamientos lgicos

Captulo 4 Razonamientos lgicos

Leccin No. 16 Razonamiento lgico Leccin No. 17 El mtodo cientfico Leccin No. 18 Silogismos categricos Leccin No. 19 Validez de un argumento Leccin No. 20 Prueba formal de validez

Captulo 5 Inferencias Lgicas

Leccin No. 21 Inferencia lgica Leccin No. 22 Leyes de inferencia Leccin No. 23 Aplicacin de las leyes de inferencia Leccin No. 24 Demostracin directa e indirecta Leccin No. 25 La refutacin

Captulo 6 Argumentos Inductivos

Leccin No. 26 Argumento Inductivo Leccin No. 27 El problema de la induccin Leccin No. 28 La analoga Leccin No. 29 La fuerza de los argumentos Leccin No. 30 Analoga refutadora

Lgica Matemtica

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CONTENIDO Introduccin 3 Contenido por lecciones 6 Contenido 8 Indice de tablas 10 Indice de figuras 11 Indice de ilustraciones.. 13 Smbolos usados .. 14 Objetivo General.... 15 Conducta de entrada..... 16 Actividad de reconocimiento.... 18 Informacin de retorno ....... 25 Ejercicios propuestos 1 ....... 59

UNIDAD 1 Principios de Lgica Introduccin ....... 61 Justificacin ....... 61 Intencionalidades formativas ...... 62

1 Captulo 1: Introduccin a la Lgica ..................................................................................... 64 1.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica ................................................................................. 63

1.2 Clasificacin de la lgica .......................................................................................................... 64

1.3 Propsito de la lgica ................................................................................................................ 65

1.4 Lgica y Lingstica .................................................................................................................. 65

1.4.1 Lenguajes naturales y artificiales .............................................................................................. 66

1.5 Componentes del proceso semitico ......................................................................................... 69

1.6 Ramas de la semitica ............................................................................................................... 71

1.7 Proposiciones ............................................................................................................................ 74

1.7.1 Representacin de las proposiciones ......................................................................................... 75

1.7.2 Clasificacin de las proposiciones ............................................................................................ 79

1.7.3 Proposiciones Compuestas ........................................................................................................ 79

1.8 Conectivos Lgicos ................................................................................................................... 82

1.8.1 Conjuncin: .................................................................................................................... 82 1.8.2 La disyuncin v .................................................................................................................... 86

1.8.3 La negacin ~ ............................................................................................................................ 90

1.8.4 El condicional ............................................................................................................... 92 1.8.5 El bicondicional ........................................................................................................... 94 1.9 Tablas de Verdad ....................................................................................................................... 98

1.9.1 Construccin de Tablas de Verdad ............................................................................................ 99


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2 Captulo 2: Tautologa .......................................................................................................... 106 2.1 Tautologa ................................................................................................................................ 107

2.2 Proposiciones equivalentes ..................................................................................................... 109

2.2.1 Tautologa trivial ..................................................................................................................... 111

2.2.2 Doble Negacin ....................................................................................................................... 111

2.3 Implicacin directa, contraria,recproca y contrarecproca ..................................................... 113

2.4 Leyes del algebra de proposiciones ......................................................................................... 115

3 Captulo 3: Cuantificadores y proposiciones categricas .................................................. 116 3.1 Cuantificadores ........................................................................................................................ 117

3.1.1 Cuantificador universal y existencial ...................................................................................... 117

3.2 Proposiciones categricas ....................................................................................................... 120

3.2.1 Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas ............................................................ 121

3.3 Simbologa y diagramas para proposiciones categricas ........................................................ 123

3.3.1 Clasificacin de las proposiciones categricas ....................................................................... 129

3.4 Proposiciones contrarias, de contingenica y subcontrarias ..................................................... 133

3.4.1 Proposiciones contradictorias .................................................................................................. 133

3.4.2 Proposiciones contrarias .......................................................................................................... 135

3.4.3 Proposicin Contingente ......................................................................................................... 137

3.4.4 Proposiciones Subcontrarias ................................................................................................... 136

Ejercicios Propuestos Unidad 1. 140 Laboratorio Unidad 1.. 154

UNIDAD 2 Razonamientos Lgicos

4 Captulo 4: Razonamientos lgicos ...................................................................................... 157 4.1 Razonar .................................................................................................................................... 158

4.1.1 Razonamiento inductivo .......................................................................................................... 159

4.1.2 Razonamiento deductivo ......................................................................................................... 159

4.2 Silogismos categricos ............................................................................................................ 165

4.3 Validez de un argumento ......................................................................................................... 172

4.3.1 Prueba formal de validez ......................................................................................................... 173

4.3.2 Prueba de invalidez ................................................................................................................. 173

5 captulo 5: Inferencias lgicas .............................................................................................. 178 5.1 Inferencias Lgicas ................................................................................................................. 179

5.1.1 Modus Ponens (M. P) o Modus Ponendo Ponens (MPP) .................................................... 181

5.1.2 Modus Tollens (M.T) o Modus Tollendo Tollens (MTT) ...................................................... 185

5.1.3 Silogismo Hipottico (S: H) .................................................................................................... 187

5.1.4 Silogismo disyuntivo (S. D) o Modus Tollendo Ponens (MTP) ............................................. 189

5.1.5 Dilema constructivo (D.C) ...................................................................................................... 191

5.1.6 Absorcin (Abs) ...................................................................................................................... 191

5.1.7 Simplificacin (Simp.) ............................................................................................................ 191

Lgica Matemtica

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5.1.8 Conjuncin (Conj) ................................................................................................................... 192

5.1.9 Adicin (Ad.) .......................................................................................................................... 192

5.2 La demostracin ...................................................................................................................... 197

5.2.1 La demostracin directa .......................................................................................................... 197

5.2.2 La demostracin indirecta ....................................................................................................... 198

5.2.3 La demostracin por recursin ................................................................................................ 199

5.2.4 La demostracin por refutacin ............................................................................................... 201

6 Captulo 6: Argumentos Inductivos..................................................................................... 202 6.1 Argumento inductivo por analoga .......................................................................................... 205

6.1.1 Evaluacin de los argumentos analgicos ............................................................................... 207

Ejercicios propuestos Unidad 2.. 210 Laboratorio Unidad 2.. 213

Referencias ....214


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INDICE DE TABLAS

Tabla No. 1 Lenguaje Natural y Artificial ............................................................................................... 76 Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin ......................................................................................... 86 Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin ........................................................................................... 89 Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin .............................................................................................. 90 Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional ...................................................................................... 93 Tabla No. 6 Tabla de vedad para el condicional ...................................................................................... 96 Tabla No. 7 Valores de verdad de los conectivos lgicos ......................................................................... 98

Lgica Matemtica

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INDICE DE FIGURAS

Figura No. 1 Teorema de Pitgoras. ....................................................................................................... 68 Figura No. 2 Conjuncin ......................................................................................................................... 83 Figura No. 3 Disyuncin .......................................................................................................................... 88 Figura No. 4 Negacin ............................................................................................................................. 91 Figura No. 5 Ejemplo actividad de transferencia I - ........................................................................... 152 Figura No. 6 Ejemplo actividad de transferencia II - .......................................................................... 153


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INDICE DE ILUSTRACIONES

Imagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) ............. 67 Imagen No. 2. Pitgoras (582 a.c).. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)68 Imagen No. 3 Euclides. Padre de la Geometra. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) ............................................................................................................................................ 68

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Smbolos usados

Conjuntos:

Conjuntos:Conjuntos:

Conjuntos:

Conjunto universal Conjunto vaco

Operaciones entre conjuntos:

Operaciones entre conjuntos:Operaciones entre conjuntos:

Operaciones entre conjuntos:

Unin Interseccin Diferencia Diferencia simtrica Contenido en

No est contenido en

Relaciones entre elementos y conjuntos

Relaciones entre elementos y conjuntosRelaciones entre elementos y conjuntos

Relaciones entre elementos y conjuntos

Pertenece a

No pertenece a

Conectivos lgicos:

Conectivos lgicos:Conectivos lgicos:

Conectivos lgicos:

Conjuncin Disyuncin , ~ Negacin

Implicacin

Equivalencia

Indicadores de relacin:

Indicadores de relacin:Indicadores de relacin:

Indicadores de relacin:

< Menor que

Menor o igual que > Mayor que

Mayor o igual que Diferente a

Conjuntos numricos:

Conjuntos numricos:Conjuntos numricos:

Conjuntos numricos:

Conjunto de nmeros naturales

Conjunto de nmeros enteros +

Conjunto de nmeros enteros positivos

Conjunto de nmeros enteros negativos

Conjunto de nmeros reales

Conjunto de nmeros complejos


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Objetivo General

Proporcionar al estudiante herramientas que le permitan reconocer, elaborar y determinar la validez de razonamientos lgicos tanto deductivos como inductivos.

Objetivos especficos

Desarrollar las competencias para expresar razonamientos lgicos en lenguaje simblico.

Identificar y aplicar las diferentes leyes de la lgica en procesos de argumentacin, al llevarlas al lenguaje natural.

Desarrollar competencias para la construccin de funciones lgicas en programas de computacin, como las hojas de clculo o de lenguajes de programacin.

Lgica Matemtica

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Para alcanzar un aprendizaje significativo, tres condiciones importantes son necesarias: La significatividad psicolgica, la significatividad lgica del material y la motivacin. Para tal fin, se han estructurado las diferentes herramientas pedaggicas y didcticas del curso en tres fases de aprendizaje: reconocimiento, profundizacin y transferencia.

A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje, ya sean stas adquiridas en el estudio de un campo especfico del conocimiento o adquiridas en el desarrollo de actividades diferentes a las acadmicas.

Para lograr este objetivo se ha diseado una actividad didctica, que dispone el ambiente para que por medio de algunas herramientas y tcnicas, puedas objetivar esas experiencias previas alcanzadas en tu mundo vital.

De esta manera, logrars pasar del mundo impensado de las experiencias a la sistematizacin de las mismas, o de las prenociones a las nociones. Es decir, se trata de un ejercicio de motivacin para que te involucres en los procesos iniciales de aprendizaje y actives tus estructuras cognitivas. Salazar (2008)

Pero, ante todo, debemos contar con tu disposicin para el aprendizaje. Para contribuir con el factor de la motivacin, se ha dispuesto el primer OVA u objeto virtual de aprendizaje, el cual es un audio en mp3 con algunos elementos que te motivar para el desarrollo de las competencias del curso:

Audio1.MP3


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Cuntas horas debo dedicar al estudio del curso de lgica matemtica?

El curso de lgica matemtica es un curso de dos crditos acadmicos, por lo tanto un curso de dos unidades.

Un crdito acadmico corresponde a 48 horas de estudio, de las cuales 12 horas son de acompaamiento tutorial y 36 horas son de estudio independiente.

Esto significa que para matricular el curso de lgica matemtica debers disponer de 72 horas de estudio independiente. Para un perodo acadmico es de 16 semanas, y si consideramos 100 das en el proceso, considerando las pausas activas, esto se traducir en un promedio de una (1) hora diaria.

En ninguna otra metodologa como en la educacin a distancia, debemos planear tan juiciosa gestin del tiempo. La invitacin es para desarrollar un cronograma de organizacin de las actividades acadmicas de acuerdo a los temas de cada curso y al tiempo disponible.

Lgica Matemtica

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A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje. Recuerda que la disposicin frente al conocimiento es una condicin para lograr un aprendizaje significativo:

1. Qu entiendes por lgica?

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2. Podramos hacer un debate de ideas sin hacer uso de la lgica? Analiza cundo hacemos uso de la lgica.

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3. Qu recuerdas de la evolucin histrica de la lgica?

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4. Analiza porqu es importante la competencia lgico matemtica para apropiar nuevo conocimiento.

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5. En tus palabras, plantea la diferencia entre lenguaje simblico y lenguaje natural

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6. Cul es tu definicin intuitiva de conjunto?

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7. Plantea varios ejemplos de conjuntos. Cmo describiras un conjunto con una cantidad infinita de elementos?

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8. Cmo representas un conjunto? 1.

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9. Qu formas de determinar un conjunto conoces? 2.

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10. Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario, universal? 3.

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11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus elementos? Cmo se representan stas?

4.

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12. Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamente diferentes? ________________________________________________________________________________________________________________________

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13. Qu operaciones entre conjuntos conoces? 5.

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14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas? Cmo haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmo aplicaras el principio de dualidad en estas leyes? ________________________________________________________________________________________________________________________

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15. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A unin B

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c. d.

B A

U

A

B C

B A

U U

a. b.

B A

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16. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A interseccin B

17. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A menos B

U

c. d.

B A

U

A

B C

B A

U U

a. b.

B A

U

c. d.

B A

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A

B C

B A

U U

a. b.

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18. Propn una expresin de la cual puedas decir que es verdadera. Cmo expresaras la negacin de la misma proposicin?

6.

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19. Te has encontrado con un argumento que parece lgico, pero que cuando lo analizamos detenidamente encontramos que no era tal? A continuacin se propone plantearlo:

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20. Menciona las caractersticas comunes que encuentras en un razonamiento

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21. Describe, cmo determinas la validez de un argumento

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22. Entre dos personas inmersas en un debate. Cmo podramos determinar que el argumento de uno es ms fuerte que el del otro?

23.

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1. Qu entiendes por lgica? Desde Aristteles, se ha dado a la lgica una relacin directa con el lenguaje natural, no obstante, en su evolucin, la lgica ha apropiado unos smbolos y reglas de inferencia que le han dado una estructura formal estricta, al punto de hablar hoy de una Lgica Matemtica. As es como hoy decimos que la lgica es una ciencia formal, que estudia la estructura de los argumentos lgicos para determinar su validez.

6. Cul es tu definicin intuitiva de conjunto? Intuitivamente, un conjunto es una coleccin de objetos bien definidos. Estos objetos reciben el nombre de elementos o miembros del conjunto; se nombran con letras maysculas y sus elementos con letras minsculas escrita entre corchetes o llaves. Los conjuntos se representan grficamente por medio de diagramas denominados diagramas de Venn-Euler o simplemente, diagramas de Venn; en los cuales los conjuntos se delimitan por crculos.

8. Cmo representas un conjunto? Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las relaciones entre ellos, es mediante la utilizacin de esquemas grficos llamados crculos de Euler o diagramas de Venn. Estos esquemas estn compuestos por una regin cerrada del plano (generalmente un rectngulo), la cual representa el conjunto universal, y por uno o varios crculos que representan los conjuntos a graficar.

Generalmente, los conjuntos se identifican con letras maysculas y sus elementos con minsculas.

Para indicar que un elemento es un miembro de un conjunto, se utiliza el smbolo (se lee pertenece a ) y

Para indicar que no est en el conjunto se utiliza el smbolo (se lee no pertenece a)


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e

r e

t o

r n

o

sta es la representacin grfica:

9. Qu formas de determinar un conjunto conoces?

Bsicamente existen dos formas para determinar un conjunto, stas son:

Por extensin Un conjunto est determinado por extensin cuando se describe el conjunto nombrando cada uno de sus elementos. Por ejemplo:

A = {2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,} D = {a, e, i, o, u }

Por comprensin Un conjunto est determinado por comprensin cuando se nombra una propiedad, una regla o una caracterstica comn a los elementos del conjunto. Por ejemplo:

C = {Nmeros impares menores que 10} D = {Vocales} B = {Dgitos}

A

U

x A

x

U

x A

A x

Figura No. 1

Lgica Matemtica

26

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f o

r m

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d

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r n

o

Lenguaje:

E = {x R / 0 x < 9}, en este caso se utiliza un lenguaje muy especfico, el cual se lee as:

E = E: gual al conjunto de x R: todos los nmeros reales /: tales que (o que verifican que)

0 x < 9: Se lee: cero (0) es menor o igual a x, y, x a su vez es menor que 9, tambin se puede leer: x mayor o igual a cero y menor que nueve. Esta notacin se usa con mucha frecuencia para describir intervalos, para escribir la solucin de una inecuacin o para representar el dominio de una funcin real.

10. Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario, universal y de partes?

Conjuntos infinitos Existen conjuntos como por ejemplo:

A = {x R / 0 x < 9} Z = {x N / x es par}

Los cuales se leen: A = todos los nmeros reales mayores que cero y menores que nueve. Z = todos los nmeros naturales que sean pares.

Este tipo de conjuntos no se pueden expresar por extensin debido a que nunca se terminara de escribir la lista de los nmeros reales que pertenecen al conjunto A, o, los naturales que pertenecen a Z, este tipo de conjuntos, reciben el nombre de INFINITOS;

Conjuntos finitos Mientras que otros conjuntos, como por ejemplo:

C = {x / x es vocal} D = {x / x es dgito par}

Son ejemplos de conjuntos que estn formados por cierto nmero de elementos distintos, estos conjuntos reciben el nombre de conjuntos FINITOS.

Todos los conjuntos que se nombran por comprensin, se pueden escribir por extensin?


27

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r n

o

El anlisis anterior, permite dar respuesta a esta pregunta, se sugiere buscar ms ejemplos que justifiquen la respuesta para que sean analizados con el tutor y luego socializados en los equipos de trabajo.

Conjunto Vaco

Un conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vaco y se simboliza as:

Naturalmente el conjunto forma parte de cualquier conjunto A, por lo cual se puede afirmar que:

A

El conjunto (vaco) est contenido en el conjunto A.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 1111::::

D = {x N / x x )

Este conjunto se lee: obviamente D es un conjunto que carece de elementos, puesto que no existe ningn nmero natural que sea diferente a s mismo.

U

A A =

Figura No. 2.

{ }

Lgica Matemtica

28

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o

Conjunto Unitario

Se denomina conjunto unitario al conjunto formado por un slo elemento.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 2222::::

E = {x / x es nmero primo par}

El nico nmero que cumple las dos condiciones (ser primo y a la vez par) es el nmero 2, por lo tanto E = {2} se llama conjunto unitario.

Conjunto Universal

Cuando se habla o se piensa en los conjuntos, es conveniente establecer la naturaleza de sus elementos, por ejemplo:

Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al conjunto de las vocales, V = {a, e, i, o, u}, es decir, A V, este conjunto V constituye el universo del conjunto A, por esta razn se dice que V es un conjunto Universal.

Similarmente, si A = {x N / x es primo} sus elementos son elementos del conjunto de los nmeros naturales N, A N y en este caso, N se constituye en el conjunto universal. Generalmente, el conjunto universal se simboliza con la letra U.

U A

U = Conjunto Universal

A = {a,e,i}

U = V = {a,e,i,o,u} a

e i

o

u

Figura No. 4

U A

A = Conjunto Unitario A = {7}

7

Figura No. 3


29

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o

11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus elementos? Cmo se representan stas?

Subconjuntos

Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A tambin es elemento del conjunto B.

Simblicamente esta relacin se expresa as:

A B (se lee A esta contenido en B)

Si todo elemento x que est en el conjunto A entonces x tambin est en B, es decir:

A B si todo x A, entonces x B

Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3:

Si A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito}, claramente A B ya que todo dgito par es dgito. Por extensin la situacin se expresa as:

A = {2, 4, 6, 8} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Entonces A es un subconjunto de B.

B

A

U

AB xA xB

x

Figura No. 5

Lgica Matemtica

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o

Un resultado muy til e importante para nuestro curso consiste en un razonamiento lgico acerca de la contenencia entre conjuntos, es el siguiente:

Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces, A es un subconjunto de C; simblicamente este enunciado se escribe as:

S AB y B C, entonces, AC

Sigamos nuestra primera demostracin:

La demostracin es la siguiente:

S x A; entonces x B porque AB, pero x tambin est en C porque B C; por lo tanto si xA, entonces xC y esto se cumple para todo elemento x que est en A, debido a que el conjunto A esta contenido en el conjunto B y B a su vez, est contenido en C; por consiguiente queda demostrado que AC.

Si A, B y C son tres conjuntos no vacos que verifican las condiciones AB y B C, qu se puede concluir de A con respecto a C?

C U

AB BC ______

AC xA xB xC

A x

B

Figura No. 6


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o

12. Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamente diferentes?

El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen los mismos elementos, es decir, si todos los elementos de A pertenecen a B y si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A. La igualdad entre conjuntos se simboliza de la siguiente forma:

A = B Si AB y BA

Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4

Si M = {1, 3, 0, 2} y N = {2, 3, 0, 1}, claramente se observa que M N y que N M, por lo tanto M = N.


Si A = {x / x es dgito} y B = {x / x es dgito par}, se puede observar que B A pero A B, por lo tanto el conjunto A no es igual al conjunto B, lo cual se escribe, A B.

Figura No. 8

B U BA A B ______

A B 6

A

2 4

3 8

1 5

7

9

Figura No. 7.

B U

AB BA ______

B=A

1

A

2 4

3 5

Lgica Matemtica

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o

Conjuntos Completamente Diferentes o Disyuntos

Es importante destacar que cuando dos conjuntos son completamente diferentes (no tienen ningn elemento en comn) reciben el nombre de conjuntos disyuntos.


Los conjuntos A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito impar} no tienen ningn elemento en comn, es decir A y B son disyuntos.

13. Qu operaciones entre conjuntos conoces?

As como las operaciones suma, resta, multiplicacin y divisin estn definidas sobre los nmeros reales, tambin existen operaciones definidas entre los conjuntos como la unin, interseccin, complemento, diferencia, diferencia simtrica y producto cartesiano; stas se estudiarn en las siguientes secciones.

Unin Si A y B son dos conjuntos no vacos, se define la unin entre A y B como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.

Simblicamente la unin se define as:

AUB = {x / xA, v , xB}, donde el smbolo v se lee o.

Para representar grficamente una operacin entre conjuntos, se debe tener en cuenta la relacin que exista entre ellos, segn los siguientes casos:

Figura No. 9.

B U

AB y BA y no hay elementos comunes

A

7 1

5 2

9


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o

Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos).

La parte subrayada representa la unin entre los conjuntos A y B.

Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn.

Figura No. 10. U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7}

AUB = {1,2,3,4,5,6,7}

AUB

A B U

A B U

8

9

3 2

4 1 5

7 6

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7}

AUB = {1,2,3,4,5,6,7}

Figura No. 11

U A

B 8

9

3 2

4 1 5

7 6

Lgica Matemtica

34

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o

Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro

La parte sombreada indica la operacin:


Si A U B = {x N / x es dgito par o dgito primo}, grficamente la representacin de esta unin es:

La figura No.13 permite apreciar que el nico dgito que es a la vez par y primo es el nmero 2; esto nos invita a la formulacin de la siguiente operacin entre conjuntos:

Interseccin

Se define la interseccin entre dos conjuntos A y B como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen simultneamente al conjunto A y al conjunto B.

Simblicamente la interseccin se expresa as:

A B = {x / x A, , x B}

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7}

A U B = {1,2,3,4,5,6,7}

A U

8

9

3 2

4 1

B

5

7 6

Figura No. 12

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,5,7,9} B = {2,4,6,8}

AUB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Figura No. 13

U A B

3 7

5 1 2

8

4 6


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o

el smbolo se lee interseccin y el smbolo se lee i.


La parte subrayada representa la unin entre los conjuntos A y B.

Se puede observar que cuando dos conjuntos no tienen elementos comunes, su interseccin es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se haba mencionado;

Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7}

A B = {5,6}

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7}

A B = { }

A B U

8

9

3 2

4 1 5

7 6

Figura No. 14.

Figura No. 15

A B

U

8

9

3 2

4 1

7 5 6

Lgica Matemtica

36

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o

Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.


Podemos afirmar entonces que si A B, entonces. A B = A; anlogamente se puede inferir que si B A, entonces, A B = B.

A continuacin se realiza la demostracin analtica para el caso 3 de la figura No. 16, la otra situacin si B A, entonces, AB = B, se deja como ejercicio complementario, esta demostracin es muy similar a la que se har a continuacin:

Si A B, por definicin de contenencia entre conjuntos se puede afirmar que todo elemento xA, entonces xB; por definicin de interseccin, stos elementos x forman el conjunto A B y como todos estos son elementos de A, se puede concluir que A B = A.

A U

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7}

A B = {5,6,7} = B 3

2

4 1

B

5

7 6

Figura No. 16


37


Hallar las intersecciones entre los tres conjuntos:

M = {x N / x es mltiplo de 2} N = {x N / x es mltiplo de 3} P = {x N / x es impar}

Se pueden analizar las siguientes intersecciones:

1. M N = {6, 12, 18, 24, 36,}, escrito por comprensin es: M N = {x N / x es mltiplo de 6}.

2. M P = , Qu elementos comunes hay entre los conjuntos M y N?: no existe ningn nmero natural que sea mltiplo de 2 y a la vez impar.

3. M = , El conjunto vaco est contenido en cualquier conjunto, en particular en M, esto es M, luego se puede concluir que M = .

4. M N P Para hallar la interseccin M N P, se puede encontrar la interseccin de M con N y luego con el conjunto P, es decir, hay que encontrar los elementos que estn en los tres conjuntos: M, N y P.

En este caso M N = {xN / x es mltiplo de 6} y ste intersecado con el conjunto P est formado por los mltiplos de 6 que son impares, es decir,

M N P = {xN / x es impar y mltiplo de 6}, por extensin el conjunto:

M N P = , pues no existe ningn nmero natural que sea a la vez impar y mltiplo de 6.

Ve practicando: Te proponemos visitar el ejercicio propuesto No.1

Lgica Matemtica

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r n

o

I n

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r n

o

Diferencia Segn los tres casos estudiados, se puede afirmar que al comparar dos conjuntos no vacos, puede suceder que:

1. No tengan ningn elemento en comn, (conjuntos totalmente diferentes). 2. Slo algunos elementos sean comunes (conjuntos parcialmente diferentes o

parcialmente iguales) 3. Slo algunos elementos sean comunes 4. Un conjunto este contenido en el otro 5. Tengan exactamente los mismos elementos, (conjuntos iguales)

En los numerales 1, 2 y 3, se puede formar un conjunto con los elementos que le faltan a un conjunto para ser igual a otro, este conjunto as formado, se denomina diferencia entre conjuntos.

Si A y B son dos conjuntos no vacos, entonces se define la diferencia entre A y B as:

{ }/ , ,A B x x A x B =

Esto se lee: A menos B, es el conjunto formado por los elementos que estn en el conjunto A pero no en el B.

En la siguiente grfica, la parte sombreada representa la diferencia entre los conjuntos A y B.


A B 8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7}

A- B = A = {1,2,3,4} B- A = B = {5,6,7}

3 2

4 1 5

7 6

Figura No. 18.


39

I n

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r n

o

Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su diferencia es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se haba mencionado;



La parte sombreada indica la operacin.

En la figura 20, se puede observar que todos los elementos que estn en B, estn en A (debido a que B A), por lo tanto no existe ningn elemento que pertenezca a la diferencia B A y en consecuencia B A = . Surge ahora, la siguiente inquietud:

Cul ser la diferencia entre A y B (A B) cuando B A?

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} A-B = {1,2,3,4}

A B U

8

9

3 2

4 1

7

Figura No. 19

5 6

A U

8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7}

A- B = {1,2,3,4} B - A = { }

3 2

4 1

B

5

7 6

Figura No. 20

Lgica Matemtica

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o


Dados los conjuntos A = {x / x es un dgito} y B = {0, 2, 3, 7} hallar A B y B A y hacer la representacin grfica.

Para efectuar estas operaciones se escriben los conjuntos por extensin, as:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {0, 2, 3, 7}, entonces: A B = {1, 4, 5, 6, 8, 9} y B A = ,

A U

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = {0,2,3,7}

A- B = {1,4,5,6,8,9} B-A = { }

6 5

4 1

B

2

7 3

Figura No. 21

8 9 0


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Diferencia simtrica

Se define la diferencia simtrica entre dos conjuntos no vacos A y B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no pertenecen simultneamente a ambos conjuntos.

Simblicamente la diferencia simtrica entre A y B se escribe as:

( ){ }/ , , ,A B x x A x B x A B=

En las siguientes grficas, la parte sombreada representa la diferencia simtrica entre los conjuntos A y B.


Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su interseccin es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos.

Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn.

A B 8

9

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7}

A B = {1,2,3,4,5,6,7} B A = {1,2,3,4,5,6,7}

3 2

4 1 5

7 6

Figura No. 22.

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7}

A B = {1,2,3,4,7} B A = {1,2,3,4,7}

Figura No. 23

A B U

8

9

3 2

4 1

7 5 6

Lgica Matemtica

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o




Si A = {x / x es una letra de la palabra INGENIERIA} y B = {x / x es una letra de la palabra SISTEMAS}, entonces A B = {N, G, R, M, S, T}.

Ejercicio 2: Te invitamos a desarrollar el ejercicio propuesto No.2

Ejemplo 10Ejemplo 10Ejemplo 10Ejemplo 10....

Dados los conjuntos M = {1, 2, 3, 4} y N = {4, 5}, la diferencia simtrica entre M y N es:

M N = {1, 2, 3, 5}, claramente se puede observar que el nmero 4, no pertenece a la diferencia simtrica porque forma parte de la interseccin entre M y N.

Ve practicando: Te invitamos a desarrollar el ejercicio propuesto No.2

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} A B = {1,2,4} B A = {1,2,4}

A U

8

9 3

2 4 1

B

5 7 6

Figura No. 24


43

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Complemento

Si A es un conjunto no vaco, el complemento de A, simbolizado por A, est formado por todos los elementos que no pertenecen al conjunto A, es decir,

A = Ac = A* = ~A = A = A = {x / x A}

En la siguientes grficas, la parte sombreada representa el complemento del conjunto A.



U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7} A = {5,6,7,8,9}

8

9

3 2

4 1 5

7 6

Figura No. 27.

A B

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} A = {7,8,9}

Figura No. 28

U

8

9

7

A B

4 1

3 2

6

5

Lgica Matemtica

44

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Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.

La parte sombreada indica la operacin.


Al considerar el conjunto universal como el conjunto de los estudiantes de Ingeniera de sistemas de la UNAD y A como el conjunto de los estudiantes que estn en el primer semestre, el complemento del conjunto A (A) ser el conjunto formado por todos los estudiantes de ingeniera de sistemas de la UNAD que no cursan primer semestre, esto es:

U = {x UNAD / x estudia ingeniera de sistemas}. A = {x Ingeniera de sistemas / x Primer semestre}. A = {x Ingeniera de sistemas / x Primer semestre}.

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} A = {8,9}

A U

8

9

3 2

4 1

B

5 7 6

A


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14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas? Cmo haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmo aplicaras el principio de dualidad en estas leyes?

Propiedades de las operaciones entre conjuntos Las siguientes cuatro propiedades, son vlidas para las operaciones de unin e interseccin:

a. Leyes de idempotencia:

A U A = A A A = A

b. Leyes asociativas:

(A U B) U C = A U (B U C) (A B) C = A (B C)

c. Leyes conmutativas:

A U B = B U A A B = B A

d. Leyes distributivas:

A U (B C) = (A U B) (A U C) A (B U C) = (A B) U (A C)

Las siguientes propiedades estn relacionadas con los conjuntos Universal U y vaco :

e. Leyes de identidad:

A U U = U A U = A A U = A A =

Propiedades con respecto al complemento

f. Leyes del complemento:

A U A' = U A A' = (A' )' = A ' = U

g. Leyes de DMorgan:

(A U B)' = A' B' (A B)' = A' U B'

Lgica Matemtica

46

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Representacin grfica de las leyes de conjuntos:

a) Leyes de idempotencia:

A U A = A A A = A

Qu obtenemos de interceptar el conjunto A con l mismo? Qu pasa si unimos A con A? :

Figura No. 33 A unido con A es igual a A

A A A U =

A A A

A

U U U

A A A

Figura No. 33 A interceptado con A es igual a A

A A A =

A A A

A

U U U

A A A


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I n

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o

b) Leyes de identidad: A U U = U A U = A A U = A A =

Qu se obtiene de unir el conjunto A con el universo? :

Qu se obtiene de unir el conjunto A con el vaco? :

Figura No. 35 A unido con el vaco es igual al conjunto A

A U U U

U =

A

U = U U

Figura No. 34 A unido con el universo es igual al universo

A U

U U

Lgica Matemtica

48

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o

Qu tienen en comn A y el universo? Qu tiene en comn Juan con el universo?

Qu tienen en comn A y el vaco? :

Figura No. 36 A y el universo tienen en comn el mismo conjunto A

A

U U

=

A

U

Figura No. 37 El conjunto A y el vaco tienen en comn el vaci

A

U

=

U U


49

I n

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o

c) Leyes del complemento:

A U A' = U A A' = (A' )' = A ' = U

Qu se obtiene de unir A con lo que no es A? Qu se obtiene si Juan se une con el Universo?

Qu tienen comn A con lo que no es A?

Figura No. 38 Al unir el conjunto A con los elementos que no estn en A se obtiene el universo

A U U U

U =

A

Figura No. 39 Los elementos de A con los que no estn en A no tienen nada en comn

A U U U

=

A

Lgica Matemtica

50

I n

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o

d) Leyes de D Morgan:

(A U B)' = A' B' (A B)' = A' U B'

La demostracin grfica de que (A U B)' = A' B' es la siguiente:

En el primer conjunto representamos la unin entre A y B y en el segundo los elementos que no estn en dicha unin, obteniendo el trmino de la izquierda del teorema de DMorgan:

As hemos encontrado el rea que representa a la primera parte de la igualdad, ahora representamos el trmino de la derecha; esperamos obtener la misma rea sombreada:

Iniciamos por representar los elementos que no estn en A y los elementos que no estn en B, la solucin corresponder a la interseccin entre los dos conjuntos, es decir a los elementos que ambos conjuntos tienen en comn:

U

8 9

7

A B

4 1 3

2 6

5

A U B

U

8 9

7

A B

4 1 3

2 6

5

(A U B)

Figura No. 41

9

A

U

8

7

A B

4 1

3 2

6

5

U

B 8 9

7

A B

4 1

3 2

6

5

U

A' B'

8 9

7

A B

4 1 3

2 6

5

Figura No. 40


51

I n

f o

r m

a c

i

n

d

e

r e

t o

r n

o

Ve practicando: Desarrolla el ejercicio propuesto No.4

Ve practicando: Desarrolla el ejercicio propuesto No.5

Principio de dualidad

Si se intercambian las operaciones unin (U) por interseccin (), como tambin el conjunto universal (U) por el conjunto vaco (), en cualquier razonamiento sobre conjuntos, el enunciado resultante se llama DUAL del primero.


Demostrar que el dual de;

(U U B) (A U ) = A es: ( B) U (A U) = A

Tomando la primera parte y por las leyes de identidad se tiene que:

(U U B) (A U ) U A = A

Ahora, consideremos su dual y nuevamente aplicando las leyes de identidad se tiene que:

( B) U (A U) U A = A

Con lo que queda demostrado.

Lgica Matemtica

52

I n

f o

r m

a c

i

n

d

e

r e

t o

r n

o


Demostrar que el dual de

(A B) U (A B') = A es (A U B) (A U B') = A

En este caso se puede hacer la demostracin en forma grfica as:

i) La primera parte se puede representar de la siguiente forma:

Figura No.42 primera parte demostracin grfica de que (A B) U (A B') = A

9

A

U

8

7

A B

4 1

3 2

6

5

U

B 8 9

7

A B

4 1

3 2

6

5

U

A B'

8

9

7

A B

4 1 3 2 6

5

9

A

U

8

7

A B

4 1

3

2

6

5

9

U

( A B' ) 8

7

A B

4 1

3

2 6

5

9

U

( A B ) 8

7

A B

4 1

3

2 6

5

U =


53

I n

f o

r m

a c

i

n

d

e

r e

t o

r n

o

Segunda parte: (A U B) (A U B') = A

La segunda parte se puede representar de la siguiente forma:

Queda demostrado que Tanto en la figura 42 como en la 43 obtenemos el mismo resultado: el conjunto A.

Figura No.43 segunda parte (A U B) (A U B') = A

9

A

U 8

7

A B

4 1

3 2

6

5

U

B

8

9

7

A B

4 1

3 2

6

5

A U B

8

9

U A

4 1

3

B

6

5

7 2

9

A

U 8

7

A B

4 1

3 2

6

5

=

9

U

( A U B )

8

7

A B

4 1

3 2

6

5

A U B

8

9

U A

4 1

3

B

6

5

7 2

Lgica Matemtica

54

I n

f o

r m

a c

i

n

d

e

r e

t o

r n

o

15. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A unin B

A B U

A B U

A

B

U

A

B

U C


55

I n

f o

r m

a c

i

n

d

e

r e

t o

r n

o

16. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A interseccin B

17. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a la operacin: A menos B

A B U

A B U

A

B

U

B

U C

A

A B U

A B U

A

B

U U

A

B C

Lgica Matemtica

56

Ejercicios propuestos de Reconocimiento:

Ejercicio propuesto 1:

Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de Venn



U =

M =

N =

M N =

M P =

M N P =

M N U

Figura No. 17

P

U = A = B = A B = A B = A U B =

A B U

Figura No. 25


57




Realiza la demostracin grfica del teorema de D Morgan para: (A B)' = A' U B' para ello subraya el rea correspondiente.

Primera parte: representa en cada conjunto A, B y el complemento de la interseccin entre A y B:

Segunda parte de la igualdad A' U B': representa en cada conjunto A, B y la unin entre ambos conjuntos:

U = A = B = A B = A B = A U B =

A B U

Figura No. 26

U

9

______

8

7

A B

4 1

3 2

6

5

U

9

______

8

7

A B

4 1

3 2

6

5

9

______

8

7

A B

4 1

3 2

6

5

U

Lgica Matemtica

58

Compara ahora los resultados de la primera y segunda parte, Son iguales?

Observa que las leyes que hemos recordado estn formuladas por pares, lo cual verifica la naturaleza dual de la teora de conjuntos.


A continuacin se plantean diez ejercicios de aplicacin de las leyes de conjuntos, te proponemos hacer el ejercicio de simplificarlos:

1) ( (A B)' ) 2) (A ) ( ( (B)' ) ) 3) (A' U A' ) U B' 4) (A )' 5) (A )'

6) (A U ) ' 7) (A A)' U (A' U A' ) 8) (A U A ) ' 9) (A A ) ' U A' 10) ( (A ) U U )' A'

U

9

______

8

7

A B

4 1

3 2

6

5

U

9

______

8

7

A B

4 1

3 2

6

5

9

______

8

7

A B

4 1

3 2

6

5

U


59

Introduccin

En esta unidad, partiremos de la contextualizacin histrica de la lgica hacia la definicin de la unidad fundamental de la lgica la proposicin. Aprenderemos a identificar y clasificar las proposiciones, y estableceremos criterios e instrumentos de comparacin entre los diferentes tipos de proposiciones.

Justificacin

Esta unidad es significativamente importante en la formacin de cualquier profesional, desde la ptica de la necesidad de la apropiacin de una fundamentacin conceptual bsica para fortalecer la destreza en la identificacin de las proposiciones como elemento fundamental de la lgica y la comprensin de la relacin biunvoca entre el lenguaje simblico y el lenguaje natural. Estas herramientas nos permitirn desarrollar las competencias para el desarrollo de la segunda unidad, en donde, haciendo uso de lo aprendido nos introduciremos en el anlisis de validez de los razonamientos lgicos.

Lgica Matemtica

60

Intencionalidades formativas

Propsitos

Contribuir al desarrollo de habilidades de pensamiento en estudiantes de diferentes programas que oferta la UNAD mediante la activacin cognitiva de operaciones mentales que faciliten la apropiacin de nociones, definiciones, axiomas y leyes que constituyen fundamentos bsicos en teora de conjuntos.

Desarrollar en el estudiante habilidades de comunicacin en contextos diversos mediante la articulacin de lenguajes icnicos, simblicos o artificiales como el de la lgica proposicional para dinamizar procesos de aprendizaje en diferentes campos del saber.

Objetivos

Que el estudiante comprenda nociones, conceptos, definiciones y operaciones bsicas que configuran la fundamentacin terica sobre conjuntos mediante el estudio y anlisis de las fuentes documentales propuestas articuladas a situaciones especficas donde es pertinente su aplicacin.

Que el estudiante relacione expresiones del lenguaje simblico y del lenguaje natural mediante anlisis comparativo e interpretacin de la funcionalidad de las variables lgicas y operacionabiliadad de los conectivos lgicos como elementos estructurales de la lgica proposicional transcribibles a otras formas de comunicacin en diferentes contextos del saber.

Metas

El estudiante presentar y sustentar informes de trabajo como resultado del estudio y anlisis de los fundamentos de la teora de conjuntos, en donde evidencie la utilizacin de nociones, conceptos, definiciones y operaciones bsicas en el anlisis de situaciones especficas por l definidas.

El estudiante plantear y formular expresiones lgicas en lenguaje natural y lenguaje simblico como evidencia del anlisis comparativo e interpretativo de la funcin que cumplen variables y conectores lgicos como elementos estructurales de las expresiones lgicas en el estudio de situaciones particulares propuestas para tal fin.


61

Competencias

El estudiante comprende y aplica de manera suficiente nociones, conceptos, definiciones, axiomas y leyes que fundamentan la teora general de conjuntos en el estudio y anlisis de las fuentes documentales referenciadas para dinamizar el proceso de aprendizaje y en situaciones especficas donde es pertinente su aplicabilidad.

El estudiante relaciona e interpreta expresiones del lenguaje simblico y del lenguaje natural en la formulacin y representacin de estructuras semnticas lgicas en trminos de variables y conectores lgicos como elementos estructurales de la lgica proposicional articulables a diferentes formas de comunicacin en diversos contextos.

Captulos de la unidad:

Captulo 1: Introduccin a la lgica Captulo 2: Tautologas Captulo 3: Cuantificadores y crculos de Euler

Lgica Matemtica

62

CA

PT

UL

O 1

1 Captulo: Introduccin a la Lgica

Objetivo general

El propsito de este captulo es brindar al estudiante algunos

elementos del desarrollo histrico de la lgica matemtica y su correspondiente

clasificacin. As como de brindar las herramientas para identificar y construir

proposiciones lgicas.

Objetivos especficos

Realizar la clasificacin de la lgica

Reconocer el propsito de la lgica

Determinar la diferencia entre lenguaje natural y artificial

Analizar los componentes del proceso semitico

Distinguir las reas de la semitica

Identificar y construir proposiciones lgicas simples y compuestas

Construir tablas de verdad


63

LLLeeecccccciiinnn NNNooo...111 IIInnntttrrroooddduuucccccciiinnn aaa lllaaa lllgggiiicccaaa

1.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica

Concete a ti mismo ("gnosei seauton") es la frase que apareca en el santuario del Dios Olmpico Apolo y que se atribuye a Tales de Mileto (639 a.c), quien es considerado como el primer representante de la filosofa occidental: tanto as como para reconocrsele como el iniciador de la indagacin racional sobre el universo, a Tales de Mileto se atribuye plantear explicaciones de la naturaleza sin hacer referencia a lo sobrenatural.

Es as, como los precursores de la filosofa, llamados los presocrticos, representaron una innovacin en el pensamiento, al tratar de explicar las cosas por si mismas.

En el perodo Socrtico, los filsofos pasarn de preocuparse por los temas de la naturaleza a ocuparse en el hombre. En este perodo aparecen los sofistas, quienes profundizan en el arte de discutir, a ellos debemos lo que en la lgica se denomina un sofisma, argumentos que parecen vlidos pero que realmente no lo son.

Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se defini la lgica como la rama de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje.

Como la palabra es la expresin, o manifestacin del pensamiento y el pensamiento racional es la base de la filosofa, puede decirse en general, que la lgica es la ciencia del pensamiento racional; es importante aclarar que la lgica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.

En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientos de los dems, Aristteles, considerado por los griegos El padre de la lgica, creo mtodos sistemticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarroll la lgica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas.

El gran matemtico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lgica clsica, planteando que la dependencia lgica entre proposiciones es demostrada reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecnico y a ste esquema (lgica simblica) lo llam una caracterstica universal.2 2 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 1999

Lgica Matemtica

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El proceso de la lgica continu en el siglo XIX. En 1847 el matemtico ingls George Boole en compaa de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lgicas con las matemticas, pues a partir de los operadores aritmticos de adicin, multiplicacin y sustraccin crearon los operadores lgicos equivalentes de unin, interseccin y negacin; adems formularon los principios del razonamiento simblico y el anlisis lgico. A Boole se le atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposiciones compuestas. 3

Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra Principio Matemtico, quienes codificaron la lgica simblica en su presente forma definindola como la Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles, por esta razn la fundacin de la lgica formal moderna se le atribuye a ell

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