Lógica de Predicados

Tableaux semânticos

Sistema de Tableaux Semânticos

Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de

Predicados Conjunto de regras de dedução (ou

regras de inferência)

R1=H^G R2=HvG R3=HG H

G H G H G

R4=HG R5=H R6=(H^G)

HH^G H^G H G

R7=(HvG) R8=(HG) R9=(HG)H HG G H^G

H^G

Regras para quantificadores

R10=(x)H R11= (x)H (x)H (x)H

R12=(x)H R13= (x)HH(t) H(t)

onde t é novo, onde t é qualquerque não apareceuna prova ainda

R10 e 12 devem ter preferência! Por quê???

Características do Método de Tableau Semântico

Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em

subfórmulas ou seja, possibilidades de

interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais

interpretações Adequado para implementação!

Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e

Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um

mundo possível Interpretação – caminho da raiz da

árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de

interpretações

Características do Método de Tableau Semântico (cont.)

Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se

inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a

um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

Construção de um Tableau

Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}

1. AvB 2.A^ B

3. A B R2, 1. 4. A A R1, 2. 5. B B R1, 2.

Construção do mesmo Tableau mais curto

Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}

1. AvB 2.A^ B 3. A R1, 2. 4. B R1, 2.

5. A B R2, 1.

Heurística para aplicação de regras para tableau Advindas do sistema de tableau

analítico “First Order Logic”, R. Smullyan

(1970)

Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não

bifurquem Árvore menor => menos

interpretações a serem analisadas

Ramo aberto e fechado

Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false

Tableau fechado – não contém ramos abertos

Prova e Teorema em Tableaux Semânticos

Uma prova de H usando tableaux semânticos é ... Um tableau fechado associado a... H! Neste caso, H é um teorema do

sistema de tableaux semânticos

Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos

Como provar H=((PQ)^(PQ)^(P))??

Gerar um tableau fechado para H: (((PQ)^(PQ)^(P)))

1. (((PQ)^(PQ)^(P))) 2. (PQ)^(PQ)^(P) R5, 1. 3. PQ R1, 2. 4. PQ R1, 2. 5. P R1, 2. 6. P R5, 5.

7. PQ R3, 3.fechado 8. P^Q P^Q R9, 4. 9. P P R1, 8. 10. Q Q R1, 8.

fechado fechado

1. ((PQ)vP)) 2. (PQ) 3. P 4. P

5. P^Q P^Q 6. P P 7. Q Q

aberto fechado

Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses

={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em

tableaux semânticos de se existe uma prova, usando

tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn) H

Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos

Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H

Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos

Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um

perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente

“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??

Solução

Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1

Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1))

P1) gera um tableau fechado?

Exercícios de Formalização

A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)

Solução A proposta de auxílio está no correio. Se

os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira.

C: A proposta de auxílio está no correio.S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.A: Os árbitros analisarão a proposta.

{C, SA, CS} |-- A

Exercício

Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

Exercício Se hoje é Quinta-feira, então

amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.

Exemplo 1:Construção de um Tableau

H=(x)(y)p(x,y) p(a,a) é tautologia? Tableau sobre H:

0. ((x)(y)p(x,y) p(a,a)) 1. (x)(y)p(x,y) R8,0 2. p(a,a) R8,0 3. (y)p(a,y) R13,1 com t=a 4. p(a,a) R13,3 com t=a fechado

Exemplo 2:Construção de um Tableau

H=(x)p(x) (y)p(y) é tautologia? Tableau sobre H:

0. ((x)p(x) (y)p(y)) 1. (x)p(x) R8,0 2. (y)p(y) R8,0 3. (y)p(y) R11,2 4. p(a) R13,3 com t=a 4. p(a) R13,1 com t=a fechado

Exemplo 3:Construção de um Tableau

W= (x)(Bom(x) Alegria) (x) (Bom(x) Alegria)

Tableau sobre W???

0. ((x)(Bom(x) Alegria) (x) (Bom(x) Alegria))

1. (x)(Bom(x) Alegria) R8,0 2. (x) (Bom(x) Alegria)) R8,0 3. (x)(Bom(x) Alegria) R5,1 4. (x)(Bom(x) Alegria) R11,2 5. (x)Bom(x) R8,4 6. Alegria R8,4 7. Bom(a) R13, t=a

8. (x)Bom(x) Alegria R3,3 9. Bom(a) fechado R13,8, t=a fechado

Exercícios

J=((x)p(x)^(x)q(x)) (x)(p(x)^q(x))

P=(x)(p(x)^q(x)) (x)p(x)^ (x)q(x))

Q=(x)(p(x) (y)(p(y))

Exemplo de prova M=(x)(y)p(x,y) p(a,a) 0. ((x)(y)p(x,y) p(a,a)) 1. (x)(y)p(x,y) R8,0 2. p(a,a)) R8,0 3. (y)p(t1,y) R12,1, t1 novo, t1=a 4. p(t1,t2) R12,1, t2 novo, t2=a e t1 Fechado???

Se R12 fosse usada com t1 e t2=a (errado!), o tableau seria fechado

Exemplo 2 de prova

H=(x)p(x)^q(x) (x)p(x) é tautologia?

Fazer o Tableau sobre H

Exemplo 2 de prova (cont.)

H=(x)p(x)^q(x) (x)p(x) 0. ((x)p(x)^q(x) (x)p(x)) 1. (x)p(x)^q(x) R8,0 2. (y)p(x) R8,0 3. p(t) R12,2, t novo 4. p(t)^q(t) R13,1, t qualquer 4. p(t) R1,4 5. q(t) R1,4 6. Fechado - Que alegria

Mais exercícios... Fumo!! E1=(x)(p(x) q(x)) E2=(x)p((x) (x)q(x)) E1 E2??

G1=(x)(p(x) q(x)) G2=(x)p((x) (x)q(x)) G1 G2?? G2 G1??

Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos

Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses

={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em

tableaux semânticos de se existe uma prova, usando tableaux

semânticos de (H1^H2^...^Hn) H Porém em Lógica de 1ª. Ordem, isto é

raro...

Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos

Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H ├{H1,H2,...Hn,H}

Queremos provar, por negação ao absurdo, que U H é insatisfatível U├ Falso

Exercício de Cons. Lógica {(x)(Homem(x) Mortal(x)),

Homem(Sócrates)} ├ Mortal(Sócrates)? Prova por tableaux de H =(x)(Homem(x) Mortal(x))^

Homem(Sócrates)) Mortal(Sócrates) H= ((x)(Homem(x) Mortal(x))^

Homem(Sócrates)) Mortal(Sócrates))

Exercício de Cons. Lógica (cont.)

H= ((x)(Homem(x) Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) Mortal(Sócrates))

Por R8, queremos um tableau fechado que começa SEMPRE com as premissas e negação dõ conseqüente

1. (x)(Homem(x) Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) R3,0

2. (x)(Homem(x) Mortal(x)) R1,1 3. Homem(Sócrates) R1,1 4. Mortal(Sócrates) R3,0

Portanto se eu gerar o conseqüente (Mortal(Sócrates)) diretamente, eu já tenho uma contradição!

Podem (e devem) usadas outras contradições

Exercício de Cons. Lógica (cont.)

1. (x)(Homem(x) Mortal(x))^ Homem(Sócrates))

2. (x)(Homem(x) Mortal(x)) 3. Homem(Sócrates) 4. Mortal(Sócrates) 5. Homem(Sócrates) Mortal(Sócrates)

6. Homem(Sócrates) Mortal(Sócrates) Fechado Fechado

E para a implementação??

Tem um probleminha...

0. ((x)(Bom(x) Alegria) (x) (Bom(x) Alegria)) 1. (x)(Bom(x) Alegria) R8,0 2. (x) (Bom(x) Alegria)) R8,0 3. (x)(Bom(x) Alegria) R5,1 4. (x)(Bom(x) Alegria) R11,2 5. (x)Bom(x) R8,4 6. Alegria R8,4 7. Bom(a) R13, t=a

8. (x)Bom(x) Alegria R3,3 9. Bom(a1) fechado R13,8, t=a

10. Bom(a2) .... E nunca fazer x=a

Solução Tableaux semânticos podem ser

usados, mas Podem não ser decidíveis (por quê?) ocupam muita memória, para gerar

as instanciações possíveis Aguardem os próximos capítulos...

Unificação!!