Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

58
! "#$$ $$ $"$%

Transcript of Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

Page 1: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

����������� �� �

���������������� �

��������������������

�����������������������

�� ���������������������������������� �� �������!����� �����"�����#�$�$�$�$�$"$%�

������������������

Page 2: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

���������������� �

������ �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '�

������(���������������&�� �����)���� ��� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *�

"����"������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ +�

�����,���� �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ -�

���� ��� ������.������� ����&�� ��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '/�

������0������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '1�

2����������3���� �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *4�

������ �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *4�

3���� �&��)�,�� ����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *4�

3���� �&���������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *-�

���!� � �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 45�

2����������3���� �&���������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 46�

�������������������� �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ //�

)�����������������,��3���� �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ /7�

8�������!��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 6'�

9��� ��2�!�� �� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 64�

��!��� �&��������� � $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 6+�

Page 3: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:':�

Introducción

�������;�������� ����<�=����������� ������������������������ ����������!����� ��,�� ��� �,�� � �&�� ��� ��� �&�� �� �� ��� ,������ �&�$� �� =� =<� =�� �,��� ��� ��� �����,������������,������ �&��#���,������ �&���� ��������%� ����!������������&�� ��������������������������������� ����������������� �.���,������������ ������������������������� �&�� ������� �� ��� �������$� ��� ����� ������� ���� �� � ��� ��� �������� ��� � �,��� ���� �� �������� ��� �,����� �,�� ������ �� ��� ��!����� �<���� � ���� ��� �����,����������������������������&�� ��,�������������,�������>�������,���������������������������� � �� � ��� ��!����� �� ��� ?�������� �� ��������� � �� � ��� ��!����� �� ��������&�� ��,������� ��� ��� �� ����� ��� ����������� � �� �� ��� ��!����� �� ��� "�����#�����"%$�

)��������� ������������ ����������;�� � �������,��������.������������!����������� ��� � ������ .��� �,��� ��$�0� �������� ������ �� ��������� ������!���������� �&�� ������&�� �����,�,�� �������������� ��������������� �$�

������������@,�� �&��������������������.���A�

:����,��������.��� ���������� � �,��� ���� ���������&�� �����,���� ���� �������!��� �&�� ����� �� �� ���� ������(�� #!&������� ����� !������%<� ��� �,�@��� �&�� ������� ��# � �,����������,���� �&��������.������� ����&�� �%�$�

:�2� ������ �&�<�����@,���������������������� �&�<�,������ ���������� ��������� � �,�������������� �&�������!� � �&�$�

Page 4: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*:�

Lenguaje Formal de la Lógica de Predicados

��������������!�������������� ���� � �&��=������������������(�<�!�����,��!������ ��� ��,� �����������<� ��,������� �� ����������$� ������ ;������� ���������� ��������������� ������� ��, �&������ � ������$��

������������������� �,�����.��������������� �������!������� �&������ � �������=����������&�� ��������������<�,������<�� �������!������� �&�����!�������� ���������$�)���� ���� �@������ ��� �������� ��� ������ �&�� ���;�� ��� ����� ��� �������� .��� ��� .������!��������A��&�� ��,�,�� ��������&�� �����,���� ���$�

���������������� ��������������������������� ����� �������������� �����!������ �� ���������� ���,�����,�,�� �����.��� ��� �.����������������������!�����.��� ���������� ,�� ��� �&��� ���� ������� ��� ���� � �&�� ��� � �������� �� ,������ ���� ����������������� ����� � ��

�������������������� �������������!�������� ���������� ����������������������<� ������������������ ��������������������,�,�� ����$�?��������� �������������� ��������� ��������������� ��������� =���(���$������ ��<�������������A�

:��� � ��!��"��#,���� �������� �&�%��

:�#�$�� �� ���!��"��#�(��%�

2� ������ �&�� ��� ��!������ ��� ������(�� !����� .��� ��� ���������� ��� ��� �&�� �� ���,���� ���$� ?�� ��!���� ��� �(���� ��� ������� .��� �,��� ����� ��� ���� ����������!������� ����� #��!����%$�?�����������������!��������� ������� ����� �� ������ ����� �&�����!&������� ��� ���$�

#!�������� 'A� ��� ��!����� �������&�� �� ���,���� �����������!�����,����� ����������� �(��������������%�

• ��(������������������������ �&���'%�������!�����,������;��������������������!����� ���;� ����$����� �� ��� ��������� ������� ��<� ,���(��,�A � � � � � � � � � ���� � �� � � � � � � � �� � � L ∈ ��

• ��(���� ��� ������� ��� ��� ���� � &�� '%� )�������� ������� ���� ��!��������;� �����# ��������� ��%<�,���(��,�A�� � � � � � ��� � �� � � � � � � � �� � � L ∈ �

• ��(���� ��� ������� ���!������� &���'%� ����� !����� ,�� ���� ������� � � �� � �L $������ �� ��� ,������ �� ����� ������� ��� ,���� ��!���� ���� ���������� !�� ����A�� � � � � � ���� � �� � �� � � � � �L ∈ �

��� ������� ���� ������� ����� ������'� ������������ ��,������ �$�2���,���(��,��� ���

� ∈ ����������!�� �&�� ��������������$�

'�����������������!�� �&���������,���� ��������!���� ������;�����������������.��������$�

Page 5: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:4:�

• ��(���� ��� ������� ��� �������� &����'%� � ?�� ��,��������� ��������� ����������;� ����(�� � � ����� � �K ∈ �

��� ��� ��� ��� ��� ���� !�� ����<� ��� ,����� ��,��������� ��� ������� ��������� �����,������ �<�,���(��,�A�� ����

� ∈ ���������,���� ��� ����������������$�

?����������������� %�?����A��

¬�� � ����� � �

∧ �� � ����������� �� �

∨ �� � ������������� �

→ �� � ��������� � �

↔ �� � ��������������� �������������� �

������!������ %�?��������������A�

∀�� � ���������������������� �

∃�� � ������������������������ �

?������������������A�)�� ������� ( ) ��� ��$�

#!��������)A������ �"����������� ���������������������������,�������,����������(����������������������������������%��

:��������������� �������������������������� ����$��

:�?�� � � ��� �� � �L ����� �������� � � ��������!�� �&������������������ ��� � � � ��� � � � !� � L �

������� ����$�

:� ���� ��� � ������ ,������� ��� �������� �,�� ���� ;�� ������� ���� ��� ����������������$�

#!��������4A����*��"�)�������� ����������������������!���A�

!��� �� �

� ���� � ��

������ �������,���� ����������������� ���� ��� �� � ����� �����$�

*"�� ������.������� �������,��������������(��<����������.������������������������B�����������������;����������,���� �&�$�

Page 6: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/:�

#!�������� +%� #���� ��� ��!����� �� ������� �� �������� (� � ���� �!����� �������������!��"��� �����!��"��� �&!�!'���,� ��"��� � ������� ����� %�

:���������������!&�����������!�������#�������������!��"�������"���%�

:�?�� � ���� ����!&������������!����������� ��A�

�� ��

¬�¬��∧��∨��→��↔�

:�?�� � ��������!&�����������!����������������������4����� ���∀� � ! ���∃� � ! �������!&������������!������$�

��"���� 'A� ��� !�� � -���� � �� � ������� � �� ��!��"*����� ��� �� �� -� ����.��!��"���/�� � "������� �� ��������� � � � � ! "= ���������������#���" � ,� � � � ! "= ����������"���"�%�

#!�������� 6A� ��� ���� �@,����&�� ���� ��,� ∀��<� ∃��<� ��� ��������� � � ��� � ���� ���������� �� ������!�������(� �� ��� !&������ � � �� *"����� � ��������� � ��� ��� �����!� � �&�$�

#!��������+A��������!&�����������!������ �<���������������������������������������������������� �����!� ����.������������ �������������� �����!� � �&�$$�����������������������������������������$��

4C������������������!� �����������������,��������� ��� �&�����.�����������������������������

∀� � ��→� ���

� ����� D���E!�!�

!�!�

?��!&������������!�������

Page 7: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:6:�

#!��������-A�?���� ��.�������!&�����������!��������������!��"������������������ ��������������������������� $�

���������!��� ���������������,�������,��� ���,�������� �����������������,��� �� �����!� ��������� ��$�)���(��,�<�������!&������∃ → ∀� � � �� � ! !!<����������������������� �����!� � ����$�)����������� �!������$���������!��� �&�����!&�����������!�����<����������� ������������ �&����������� ���,����.���.�������A�

F�� � ��������������������0������������������������������∀���∃�� �����������������������G�

��"����*A��������0�� ���%��������

#�����

!!� � ������∀ ��

�:����������������,��� ������������������ �����!� ��������������.������������������� �������������� �����!� � �&�<�,������<��������������������������$�

�1������������,������ ����������������������� �����!� ��������������<�,��� ��������������� �������������� �����!� � �&�<�,��������<�����������������������$��

Page 8: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:+:�

Otros Ordenes

���������=������ ��<��@��������������&����������������� �� ������,���� ���$��

?�����������&�� ������������� ������������������&�� �����,���� ����������.�����������(�� ��,���� �������������� ���#������,�,�� �����B�����������������<�����=��.�������� �������� �� �� ���&�� �����,�,�� ���������� ����%$�)�����.��������� ��������� ��������<� ���������<� !�� ����� ��� �����!� ������ ��� ������� ��� ��� ���$� ?���������<� �@������ ����� ������ ���� ������ � .��� ��� �&�� �� ��� ,�,�� ����� �� ,�����!������������!������� ����<�,���(��,�<�������� �&�A�

!����������������������������"#���������������"���$�#���������

����&�� �����,���� ������������ ������!�������������������������,�,�� �����%"&��������,���������������!&�����������������H � � �∧ → H���������������$�

��� ������� �� �������� � �� ��"�� ����� ��� ,������� ��� �����!� � �&�� ������������$��������!���<��������������������������!�����������A�

! !! !! !∀ → ∧ →� ����� !�"�� � �"#�� � ����� !�"�� $%�� �"#�� $%�� �

�������� ��<�������,����� �,�����������������������!&������#��������������� �����������������������,������%$�

?���������<������,������������ �&�������,���� �����!� �������.������������<� ���� ���<��@����������,��� �(�������!������.������.������!����������������������&�� �����,����������$�

��"����4A�����!�����������!���A� '�������������� � ��&��%����&��������������������&�� � � � ! = ������������!����������� ���������� �����!� �����@����� ��������������!�� �����%��

∃ ∀ ∃� � � ��%�& � � � !� ! �

��"���� +%� ��� !����� ��$��� ��������� ����� %��� �� ������ �� � ���� ��� ���(�����/ � ���!����������A� !!� !� ��������� →∀∀∃ �

��� ��� �(��,��� ���������� �,��� ��� !&������� �� �����!� ������ �,�� ���� ������������ ���,���� �����!�� �&�<� ��,����������@����� ��� ��� �������,���� ���������!�� ����$� �����&�� �� .���,�������������,� ��� �����!� � �&�� ��� � �� �� ����������������� ���2�������������

��� ,������� ��� ������!� ��� !&������� �������� ����� �������6� ��� �&�� �� ,�,�� �����#"����� ���%<� ��� ,�� ��������� ��������� ��� � �&�� �� ��� ,���� ���� ��� )������ "����� ����������������&�� �����"�����?�,����$�

/?���� ������.����������� �&��)������� ��� �����)����,�� ���)��,�����������$�

Page 9: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:-:�

Interpretación

���������,���� �&���������� ������.���,�������������������������B��������#V%������� #F %� �� ���� !&�����$� )���� ���� ��� �� ������ ���� ��� �����!� ��� �� ���� ��� ��� ���������� .��� �,��� ��� ��� ��� !&�����$� ���� �� ������ �� ��� �����!� ������ ������� ��������!� ��� !�(<� ��������� .��� ��� �����!� ��� ��� ���� ��������<� ������� ��� !�� �&�� ������������,���� ���,�����������$��

������������,���� �&�<� ��� ��!���������"����� ��� ��� ���� �������� ������������������������<� ��� ��������������� ������ ����������� ��� ��!�������� ������� ���!�� �&���� ���,���� ���� ���!����,���� ����$�?���� �����<�,������<� ���������������� � ���� �� ����������������!&����������������������������$�

#!��������1A����������,���� �&���������!&�������� ���������%�

:��� �(�������� ��<��������#�"����������������,���� �&��

:2� ������ ������������� ��������� �∈ ���������������������� �� ∈ $�

:2������� �� ���� ������ ��� !�� �&�� � ��� ������� �� ���� �,�� � �&�� � � � ��� ��� !����

�����

→××× � $�

:2������� �� ���� ������ ��� ,���� ���* ��� ������� �� ���� �,�� � �&�� � � � ��� ��� !����

{ }���→××× ����

� �

6��� ,������� ����� �������� ��� ����,��� ��� ,����� �� ������ ��� �&�$� ��� ,�� ������������������ ��� ����� ������� ��� �&��,���� ������� �������� ����� �������,���� ���<��������������������������� ���������� �&���������;�� ��$�

Page 10: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:1:�

��"����6A�?��� ( ) ( ) ( )( )( ) ! ����������� ∧→∧∀= ������������,���� ���������������A�

������������� ��� �� �

#�"����%� 0;��������������� )�������

��� ���� � ��� �= � � '%��

�� = �

������� � � � ��� �

! = � � � ��� ! = ����������� �

� � ��� ! = ��������$��������� � � � �

�� ! = ��%������ &�� �

� � ��� ' ! = > � � � �

�� ! = ���������������#��� �

������� %�

� � ��� ! = ������$����������(� � � �

�� ! = ���������� �

8�(���������,���� �&�� ������!&�������.�����������A�

H��� ��������������;������,��������.��� �������;���,�����7������*���������.��� ��H�

C��������.�����(���������,���� �&�� �� ������A�

H���������������������������������������!����� ��.���(���������,&I��������� �����(��������������!����� �H$�

#!�������� 7A� ���� ���� �����,���� �&�� � ��� ��!������������ ��� ���� !&������ � � ��(� � <��������,��� �� !+�����������������!���-A�

:�?�� � �������,���� ��� ����� ���������� ������!���� � � � � �� � � � !' � �K ����� ���

� � � � � ��

� �

� ! � � � != ' � K � ����� ���� �������� �"� � ��� ��� ��������� ��� �,�� ��� ���

�����,���� �&�����������������" $�

:?��� ����������!�����¬( ����� ������

==

=��

��

!

! !

(�#"

(�#"��

��

+����������!��� �&�������,���.������!&��������������������������������$�?�����������<�,���(��,�<� � � ��' �� � �K �����������������<��������� �&��������!&�����������(��������!�� �&��������,��������������.���,����������� � � ��' �� � �K ������������$�����@,����&�� ��� ���

������ � � � � �� � ! � � �' � K $� 0� ��� =�� ��������� ���� ��� �&�� ,���� �� �,�� ��� �����@,�������������������$�

-"�� ������.���� �� !��������������������������<�.���,���������B�������������$�

Page 11: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:7:�

:?��� ����������!�����( )∧ ����� ������ ==

=�������������

! ! !

�� )�(�#"��

��

��

:?��� ����������!�����( )∨ ����� ������ ==

=�������������

! ! !

�� )�(�#"��

��

��

:?��� ����������!�����( )→ ����� ������ ==

=�������������

! �! !

��� )�(�#"��

��

��

:?��� ����������!�����( )↔ ����� ������ =

=�������������

! ! !

� )�(�#"��

��

��

:?��� ����������!����∀�( � ! ����� ���

��� ∈=

=�������������

������!! !

�� �**(�#"��

��

:?��� ����������!����∃�( � !����� ��A�

��� ∈=

=�������������

�$���!! !

�� �**(�#"��

��

#����������,���������������������<�( * ! ����!��������������������������,��� ����������,���������!&������+ ���%�

�����,������������ ������������������� ����� ��������������!��� �&�$�?����������������!����<�,���� �� �������������������!&������������������ =�.�������!��������������<��� ��������������$�0&����������!���� ��� �����,� ��������&�� �����,�,�� �������&�� ����������5<���������?������,������� �������������,������������,���� ��������������,�������.��� ���� ������ ,�,�� ����� ,���� ��,���� �&�� ��� ������� #, � -%$� ��� ��!��� �&�����,��������;����������,���� �� ������ �� !<����=� =<�������������������� ���<����@����������������$�

��"���� 3%� ���� ��� !&������ ( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ������������ ¬→∧∃∀= <� ���������,���� �&�� � �,�������!&�����������A�

����A { }�����=� �

���������A�� � �= =� �� ���

��� ����A� � � �� ! = −) �

� � � � � � � � �� � � ! != + + +�*+,�� �� � � �

Page 12: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'5:�

)���� ���A�� � � � �� � ! " "= ≤ �

� � � � � � �� ! " "= = =� � �

)���� �� �������������������!&������,�������������,���� �&����� =�.���������,����������@���������.��� ��,��� ( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧ ���

?�� �������,��045%�

�% ?����� ����� �<��� �����<�,���(��,�<� �J'$���� ���,��������������� ������������.����<���������.������������������F A�

( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧

�% �)�����.���,�����J'������ ��,��<������� �������������������$�)�����J*���������A�

( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧ �

2��������������V �������� ������ =�.���������������������#������=���� ��������%��������������� ���������������������$�

�� 4� *�

�� '�

�� ��

��

�� 4� 4�

�� *�

�� ��

��

'� '� '� '� 4� '�

'� *� '� '� 4� *�

Page 13: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'':�

% )����04)%�

�� ,45%�

( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧ �

�#������=���� ������������������<���� =�.�������;��������������%�

�% )����046%�

�� �,45%�

( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧ �

� � � �

������=���� �������������������,������������.���=� ��� V ����!&�����<���������������!&��������(����������,���� �&��� �� ! = V �

�� '� 4�

�� *�

�� ��

��

�� *� 4�

�� *�

�� ��

��

*� '� *� '� 4 '�

4� '� 4� '� 4 '�

Page 14: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'*:�

��"����7%��������!&������� � �� � � � � �= ∀ ∃ ∧ � !! ! �����������,���� �&�� � A�

����A { }�����=� �

���������A�� � = ��

��� ����A��

. � �� !

/ 0

0 1

1 /

)���� ���A� { }!��� !���� =�� <� { }���=�� �

?��,����� �,�����.��<��������� ��<�,���� � = �����@���������;���������� �.���=����V ����!&�����$�)������<�� �� ! = F$�

#!��������58%����������,���� �&�� � ��������!&������� �������"�����,����� ����� �� ! = V $�

#!��������55%�����!&������� �����*�����������&��������������,���� �&�� � ��������������� �$�

"�� ������ .��� ����@��������!������������,���� ����<��� �����,������ =�.����� �������!&��������������������������������������������$��

#!��������5)%�����!&������� ���� ��� !����������@�����������������,���� �&�� � �.������������������� �

#!�������� 56%�����!&������ � � ��� �� ��� !������ �� �������������� ������@������������������,���� �&�� � .������������������� $�

Page 15: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'4:�

���� !&������ ,����� ���A� �����!� ����� � �������!� ����$� ��� ��,� ��,� ���� ��� !&�����������!� ����<�����.������.�����������,��������V �#���������%$�)������<�����!&������������������������ �(����������������!� �����$��

���"��5A�����!&������������*�����������&������������ �&��¬� ������ ��� !�����$�

#" A�?��������������.�������� ���.���� �� ! = V �,�������������,���� �&���$�)������<�� �� !¬ = F�,�������������,���� �&�<������@������������������,���� �&������.���� �� ! = V $�

Page 16: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'/:�

��������� � ���������� ������

��������� ��-�.��� �������%��������� ������ { }���� ��� �� ������� ����� ����/�.��

���������� ������������ �������������%������ ������������ ���������#�� �� !����

��������������� ����������������������� ��������0���������������� /�

1�� ������� ��� ��� ���� ����������� �� �+ #,� ������� ���� ���

�==== ! ! ! �� ���� ������ � � ��������� � �� ! = V� 2�������������� ��� ����3�

������������������������ ����������"�������������"/�,����������������������+���

������������ � ��������������������������������������������� ��������� V ����

�����������������������������������������������V!/�

4�� ���������� ��� �� ����� { } ���� � ���� �� � ��� �������� ��������������

,�����{ }���� ��� �� ����������%������������������������������� �/�

.���������������5������������������ ������������� ������������������ ���

�������������/�

���"��)A� ���� � ���� �� � ���� ��� ��������&����� ���� � →∧∧∧ ��� �����������

#"%������������ �&��������������������,�����A�

5$:�?�� ���� � ���� �� � ��������� ���� � →∧∧∧ ��� ����������$�

���� � →��� �� � ������������� ������@��������������,���� �&�� � �.��� ��,���

.��� �=∧∧∧ ! �� �� ���� � � ��������� .��� � �� ! = F$� ��� �� ��� ��� ��� ��� .���

�==== ! ! ! �� ���� ������ � ���� �� ! = F$������ ��� ���������� ��,���.����

���� � ���� �� � ��

)�1?�� ���� � →∧∧∧ ��� ��������������� ��� ���� � ���� �� � �

2�� ���� � →∧∧∧ ��� � ��*���������� ��������������������������������

�==== ! ! ! �� ���� ������ � � ������� �� $�� � �� ! = V(� ���� ������

���� � ���� �� � �

Page 17: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'6:�

6� ��������� �� ��� ������� ��� ������ ��� � ������ �#����� �� ������ ���� �#������ ���

���������/��

.������������� � ��� ���� ������ �������������������������������/�

2��� �������"���������A�� � � � �→ ≡ ¬ ∨ �

2��� ������#�����"���������A� ( ) ( )������ →∧→≡↔ �

#!��������59A�?���� ��.������!&������� � ���� ����$������� �������"����#���������,�� � �≡ �&� � �⇔ %����,�������������,���� �&���<���� ��,���.���� � � �� � ! != �

6������ �� ( ) ���� ≡∨∧ � ( ) ���� ≡∧∨ �

� �∧ ≡F F� �∨ ≡V V�

1���������������� � �∧ ≡V � � �∨ ≡F �

1�/��������������� � �∧ ¬ ≡ F� � �∨ ¬ ≡ V �

2����������� � � �∧ ≡ � � � �∨ ≡ �

7���/����������� � � � �∨ ≡ ∨ � � � � �∧ ≡ ∧ �

7���/�6�������� ( ) ( ) ������ ∧∧≡∧∧ � ( ) ( ) ������ ∨∨≡∨∨ �

7���/�,����������� ( ) ( ) ( )������� ∨∧∨≡∧∨ � ( ) ( ) ( ������� ∧∨∧≡∨∧�

8��������,��*���� ( ) ���� ¬∧¬≡∨¬ � ( ) ���� ¬∨¬≡∧¬ �

,��������� ��

2������� �!�

¬¬ ≡� � � �

Page 18: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'+:�

�, ���#�: ����������������!������ %�

( ) ( )������ ¬∀≡¬∃ � ( ) ( )������ ¬∃≡¬∀ �

��"���� ;%� ��� !����� 2� ������� ��� &�� �� ��%� ���� ���!����������A¬∃ ∧ ¬� �-, � �%,&� � ! !!�

� 2,�� �������������������������������.�����������A�

� ( ) ( ) ( )! ! ! ! ! ! ��%,&���-,���%,&���-,���%,&���-,� →∀≡∨¬∀≡¬∧¬∀ �

� .���,������������ �A�H������������������������H$�

������"������������!������ A�

!� !� ���������� ∀∀≡∀∀ � !� !� ���������� ∃∃≡∃∃ �

!� !� ���������� ∃∀�∀∃ �

<���%������������������� ��,���;�� ������������������������<����.���!� !� ���������� ∀∃�/∃∀ $�

?����������������������,���� �&�A�3������4*������<�� �"��4 ������������� �

�����������������,�� ��������!����A��

��������%������ ���������������$���� �����������������$���� ��&�������������������%������ ��

=������ �������������

( ) ( )( ) ( ) ( )( )����������� ∃∨∃≡∨∃ �

( ) ( )( ) ( ) ( )( )����������� ∀∧∀≡∧∀ �

<���%�0���� ��,���� ����������� �� ����� � �,����� �� ����� � "����� ��A

( ) ( )( ) ( ) ( )( )����������� ∃∧∃≡/∧∃ <�,���(��,�<�,������������,���� �&��� ��4����������� ��4� ���������5���0����������A� '������ �����������5�� � .��� '�������������������������5�� �

�����������!���A� ( ) ( )( ) ( ) ( )( )����������� ∀∨∀≡/∨∀ <��(��,�A�

3������6������������ ��4�������$���� ��4�������������

��� !����� !���� ��� ���������� ����� ��$��� � ������� �� ��� �.���������� �� !���� ��������������������$��������������������� �

Page 19: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'-:�

=������ �������������� ��������%�

( ) ( )( )�������� ∨∃≡∃∨ � ( ) ( )( )�������� ∨∀≡∀∨ �

( ) ( )( )�������� ∧∃≡∃∧ � ( ) ( )( )�������� ∧∀≡∀∧ �

#����������,��� ������%�

Page 20: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'1:�

Formas Normales

#!��������53%�?���� ��.�������!&������� ������������"��<��"�����0�&�<'�������������!�����

.������ ������� �

����� ���� ��� ���� �����!� ������#∀ ∃� %���. ��������!&���������� �����!� �����$�

��� �� ��� ��� � � � � ����� � � �

L � ��� ����������!������� �<���������� .��� . � ��������

"����/��������!&�����$�

2� ������ �&��������� ���������������������.��� ���.�����!&������ �������,���������������!�������������!&�������.������������������0�����)����@�$�?�����!&��������!����� ������� #�������� ���������� ������%� ��� �,�� ����� ��� ����� 0� ������� ���������� ����>��������,��� �,��������!&��������� �����!� �����@����� ����,�� ������������������$�

���"��6%�)���� ���.�����!&������ ���������� �� ������,���� �������,������� ����������!&�������.������������������0�����)����@�$�

#"%� ��� ������� �&�� ������� ��� ���� ��� &�� ��� �����!������� ��� !&������ ���������������������������������.������� ����������� �&���������<�������������!&��������������0�����)����@�$�

���,�������������������A��

:�3������������������ �������������������������� �����!� ���$�

:�������������������,�� � �&��#↔%<������������ ( � ( ( �↔ ≡ → ∧ → ! ! �

:�����������,�� � �&�A�� ( � (→ ≡ ¬ ∨ �

:2,�� ��� ������ ��� �� C����� �� �� ���� �����!� ������ ��� !���� .��� �������� ������&���!� ������!&���������&�� ��$�

:� )����� ��� �����!� ����� ��� ,��� �,�� ��� ��� !&������ �,�� ���� ���� ������ ��� �����!� �����$�

2� ������ �&�� ��� ��!������� ��� ����� 0����� � ��(������� �� ��� ����� 0��������������$�)�������<������������������������������ �&�A�

Page 21: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:'7:�

∧="

"/�

����������������!&������ / / / �� �∧ ∧ ∧L � ∨="

"/�

����������������!&������ / / / �� �∨ ∨ ∨L �

#!��������57%���� ��������������!&��������&�� �� � � � �� � � � !� � K � #����� ��������� ��������� �����%������!&��������&�� ���������¬� � � �� � � � !� � K #���������������������%���

#!�������� 5;%� � ����!&������ � � �����������"��<��"�������������&�<�'� ��� ��������

�(�� �&��!�������������!����� ��

��

∨∧== "'

'

"�

"

��<������ ���� �"' ��������������$�

#!�������� 5>%� �����!&������ � � �������� ���"��<��"���#� ,������&�<#'� ��� ��������

������ �&��!�������������!����� ��

��

∧∨== "'

'

"�

"

��<������ ���� �"' ��������������$�

���"��+%�)���� ���.�����!&������ ����������,������� ����������!&�������.������������������0�������(�������#����������%$�

#"%� ����.����� !&������ ��� ,����� �����!����� ��� ���� !&������ ��� ����� 0�������(������� #����������%� �.����������������������� ������ �����C�����������,�,���������������������$�

#!��������)8%�����!&�����������������"��<��"��������������&�� ,������'���0�(������ ������0�)�#�0)%<�����������������0�������(������� #����������%�����������0�����)����@�$�

���"��9%�����.�����!&������ ����������,����������!������������!&�������&�� ��������.���������������������0�)��

#"%�?�������!�������!&����������0)��������������������4��������������!&����������0)��<��������������������/���������!�����������������0��

#!��������)5%�����!&������ ������������������"��<��"�����2?��"�&�<2'��������������0�)����������� �����!� ��������������������$�

)���� �������� ���� !&������ �� ����� 0����� ��� ?I���� ��� �� ������ ��,������ ��� �����!� ������ �@����� �����$� ��� !&������ �������� �� ����� �&�� ������� �.���������� �� ����������<�����.���������.�������!� ����$���

2� ������ �&����������������������������I������ �&��,������,��������� �����!� �������@����� �������������!&������ ������$�

Page 22: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*5:�

@������"��& ?��"�/�����'�

'$:�?����� �����,������ �����!� �����@����� ����� ��������,�������.������$�

*$:�?���������� ���&<�!��������$�

4$:�?����� �����!� �����@����� ������������,��� �,��#������!����∃�� � !%<������,����������������� �����!� ����,������������ ��������#.��������� � ! %$�

������B��������,���'$�

/$:�?���@�������� �����!� ������������������ ������ ���� �����!� �����@����� ����������!���A� !���� ���� ��������� �� �� ∃∀∀∀ � ��,������ ��� ��������� �����!� �����@����� ��������� #�%� ,�� ���� ������ !�� �&�� ��� ���� ���������� ������������ ����������# ���� ��� �� � %$�K�������������!���A� !!��� ���� ������ ��� ����������� ���∀∀∀ $�

������B��������,���'$�

���"�� 3%� ���� ���.����� !&������ ��� �&�� �� ��� ,���� ���� ��� ,����� �� ������ ����!&�������&�����������������������������0��������?I���$����

#"%�C�������� ��� �������� ���������<� ��� ,����� ������� ���� !&������ �.���������� ��������0�������(�������)����@��#�0�)%$�)��������������!&����������0?������ ��������,��������� �����!� �������@����� ���������;�����,����4���/��������������������$���

?����������������,���4<�����!&������������!����∃�� � ! ���������!� ����� ������@������������� ������������������ .��� �����!� �� � $�)����� .������������ �������� � ��������������������<������������ �����������.��������!� ���<����� ���� � ! �����������!� ����$�

?�� ��� �������� ��� ,��� /<� ������� ��� ����� .��� �����!� �� � � ��,�������� ��� ��� �������

���� ��� �� � <$� ?�� �� ����� ���� !�� �&�� �� <� .��� ������� ���� ����� �� !��� �� ����� � $�

���� ��<� ��� !&������ !!��� ���� ������ ��� ����������� ���∀∀∀ � ����� �� ����������!� ����$�

���������� �&�����������������������������$�

"�� ������ ��� ��!���� ��� ������ ∀ ∃� �� � � � ! � �� ∃ ∀� �� � � � ! $� ?�� ��� ���� ��� ���������������,���� �&�A�H7 �"��J������� ����� ���H����������A�

∀ ∃� �� � � � ! �J�H!������������������$���� .��������������!� ����� ��7 �"� ������������=�������� �������!�� �&��� �� �����,������.�������� ������ ����

∃ ∀� �� � � � !� JH'����� �$���� &�� ���� ���� ��� ����� � $� ��� ����� ��� �������.�������!� ����� ��7 �"���� ��������� �������� �����,������.�������� ������ �����$�

Page 23: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*':�

#!�������� ))%�����!&�����������������"������ ��� ������������0?��� ��� ��,��������� �����!� ������������������������ �(�� �����,�� ���;$�

��"����>%�������������,�����������������������!����A� !�����&���������5��������������8"%��������$�����������������������&����%�����9�$���$�

)����!������������!����<�������A�

:�: ���J�@���������=������� :- ��J�@���������!���!��� :�� ��J�@����������������

:�2#@<�%J�@��,�������� :�7 �"���J�@� � ���� :�+ ��J�@�������,�����(��������

K�����������!&�����A�

( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(����������)� →∀∧∧∃→∨∀ �

)���������!��������!&�������������������������������<����,�������������A�

'$:�3������������������ �����A�

( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(����������)� →∀∧∧∃→∨∀ �

'$:����������→ �

( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(����������)� ∨¬∀∧∧∃∨∨¬∀ �

*$:������� ������� ����$�

( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(����������)� ∨¬∀∧∧∃∨¬∧¬∀ �

4$:�)����� �����!� ���������,��� �,��������!&�����$�?����������0)$�

( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(��������)��� ∨¬∧∧∨¬∧¬∀∃∀ �

/$:�)������������������0�<��,�� ����,�,���������������������$�?����������0�)$�

1��������������������.����������������0?<����,��������������� ����� ����� �(������� ��������$�

¬: ��∨� ���∧ ¬: ��∨� �"���∧ ¬: ��∨¬+ ;�∨7 �";��∧ ¬- ��∨� ���∧ ¬- ��∨� �"���∧ ¬- ��∨¬+ ;�∨7 �";��

∀�∃�∀;

Page 24: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:**:�

6$:�K������ �����!� �������@����� �����$�?����������0?�

+$:�?�,������ �����!� ������������������������ ������ ����� �(������� ��������<���������<�����������������$�

( )( ) �

���

∨¬∨¬∨¬∨¬∨¬∨¬∨¬∨¬

!� ! !!� � ! !!� !

!�� ! !!� � ! !!� !

����(�������������

����(�)�����)����)�

#!�������� )6%� ���� �������� L��� ��� ���� �������� .��� ������ �� �� =� ��� ��������

,�����<� ��� ������ ������!���A� ����� ���� �← � ����������������,������ � � ��� � �� ����� ������������ �������������������������������� ����������������� �������$�

?��� = '<������������A�B�(������H� H�

���� ��������L���������������,��������� � �� ���������(� ������������!����H ����� ��� �← H�

#!��������)+%�?���������� ���������� ��������������,��o� ����� ��������.��������������������$�)����!��� �&�<���� ���������� �������������!� ������ ������ �&��

¬: ��∨� � ����∧ ¬: ��∨� �"� ����∧ ¬: ��∨¬+ ;�∨7 �";��∧ ¬- ��∨� � ����∧ ¬- ��∨� �"� ����∧ ¬- ��∨¬+ ;�∨7 �";��

∀�∀;

Page 25: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*4:�

Algoritmo de Resolución

Introducción

8� ��������� �� ��� ��������� ��� ��� ,�����<� ��� ��� ,������� ,����� ��� ,�������� ����������� ��� ����� �&�� ,���� �&�� �� ��� ,�,�� ����� ���������� ��� ������� ��� �� �,�����$�

��������������,��������,����������������������������� �&����������,�����&�� �����,���� ���<� ��� ���� �� ����� ��� ,��� ,����� ��� ���!� � �&�� ��� ��������� ����������������� ����$�

��� �������� ���������������;�� �� ������ �����!���� ��� ��� ������<� ��������� ��������,��� ��A������������ �������$�)�����������������5�����������������#����������5��

������������/��

Resolución Proposicional

����������������������������������� ������������������������-��

2�� � ���$�� ���"��%�-����-�,�$�� ���"���-������C-������ � ������������$�� ���"����*�-����C-���

��"����)5A�?����������A�H������)���������,���H���H?����������� ������������������B�����B��(�H$�?��,��������� ���.��A�H"�)���������,��������������������������B��(�H$�

����������<����,�������!����������A�( � �∨ ∨ �������������A�( � � ( � �→ ∨ ≡ ¬ ∨ ∨ �

����������������� �&����!�����A�� � � �∨ ∨ ∨ ��

#!��������6+%���������� ���������������� �������.����@���������������������!����.��� & �∈ ���� ¬ ∈& ��<� ��� �������� � ������ �� ��� ,� �� � � � ����� �� ��

�A { }( ) { }( )&�&����& ¬−∪−= ����� ! $�?���� ��.���������� �������*� ��� �� ����� $�

���"��3�&��� � ������������������� �������'%�������������������� ������������ ��� ��� ����&�� ����������$������ ���{ } ( )���� �� ����� � �

#"%� ?���� &&&&� ������ ∨∨∨∨= � � � �� ��&&&&� ������ ∨∨∨∨¬= � � ��� ���������

���������$��

����������������������� �����,� ����������� � & &&&&&&��� ������������ !� ∨∨∨∨∨∨= �� �

���� ����������� �&����������������!� ���������� ���������,�,�����,���$2$�3���������'7+6$�?����� �(������� �������������������!� ����<������������������ �����,���� #������������,�����%$�?����� �(������� �����!� �����,��������� ��������,����<�,���� ��������� ��.�����������������,�� ��������� �,���$�

Page 26: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*/:�

)�� ��� ������� *<� ,����� .��� { } ( )���� �� ����� � � ��� �.���������� �� ,����� .���

( )���� ������ →∧ ����������$�?�,&������.����@��������������,���� �&��.������=� �������<���������� �&����������������A�

�)����� .��� ��������� ������ ������ �&�<����!&��������,����� ������� �� �� ����� ����,������������<������ ��<����!&����������*����$�

���"��7%�?������������������*� ���������������� ������� ���������� ��<����� ����������� �������������������!� �����$�

#"%� ?��;������������ �������<���� ���������� ��� *� ������������ ��� ��� ����&�� �� ��������<�,������<����!&�����A�� �� �∧ → r ����������$�)�����.���r ����������������<�,����.��������,�� � �&������������<�� �� �∧ ��������.������������������$������ ��<������������!� �����$�

������������������� �&�� =�.������������ �(������� �������������������!� ����<�,������������ ������,�������� ��������������������� �� ������������������$�?��������������� ���������� ��<���� �(��������������!� ����$���� ��� ������<������������������>������� �(������� �������������������������� ����������,�������� ��������$��

@������"����� ������������� ��������

�������%���� �(������� ���������7

2�����%���� ������7�����������!� �����

'$:�8�� ������ ���������� � �� �� ∈ �������.����@������������������.��� ��,���.���& �∈ ����¬ ∈& �� �

*$:�?������� �������A�

� 4$:���� ������ � �& � !� � ����>��������� �(����7

� /$:�?���� � �& � !� � = r ����� ���2@��C����� ����.���7������ ��� !�������

� 6$:�?���<�2>������ � �& � !� � ���7���B�������'�

4$:�?��������� �������A�2@��C����� ����.���7���� ��� ��� !�������

��"���� ))%� � ?���7��� ���������� �(���� ��� ��������� { }������� ∨¬∨¬¬∨¬ ��� <� ���,��������������.���7�����������!� �����,������� �&�$�)�������A�

��∨��''�∨�M �∨��'��∧∧∧∧�¬��∨��*'�∨�M �∨��*��→��''�∨�M ��∨��'��∨��*'�∨��*��

�� ��

��

��

��

D�������������E�

Page 27: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*6:�

:�?����������������� ���� ��������#¬ � %� ����� �������#¬ ∨ ¬ ∨� � � %<����������¬ ∨ ¬� � $�

:�?������������=������ ����������������� ������������� ��������#¬ ∨� � %���������A�¬� �

:�?������������=������ ���������������� �����,����������������������� ���������� ���o�

)�����.����������������� ���������� ��<�7�����������!� ����$�

2� ������ �&�� ��� ,����������� ���� ������ ���������� �� �������� ,���� ��� ������� �&�� �������������� �,�������������������������� �&��,�,�� �������������������� � �,����������������� ���!������������� �&���������$�?��,�����,�!���������������N8��:2���74O$�2�����<��@���������!�������������������������� �,������ �&���������;����������������<�� ����N?,��� =�������7'O�

��"����)6%�?������ �(������� ��������� { }�������� ∨¬∨¬¬∨¬= ��� <�,���� ����������������������� �,����7������ ������.������ �(������� ����������.�������������!&��������������0�������(������<��������� ��<� ( ) ( ) ( )������� ∨¬∨¬∧¬∧∨¬∧ $����������������� !������ ��� �������� ��� ����� ������� � ����,�������� ��� ���� ��� ��������!����!� �����������������!���$���������������� �����A�

!�

!¬ ∨� �

!¬ ∨ ¬ ∨� � � !¬�

F F

F

F

¬�

¬�

¬�

���

�"��5%�?����� �(������� �������������������!� ����<����� ������������������ ����!��������������������,���������!���<�����������<�������� ��<�*�������!����$�

�"��)%������������!�����!����!� ����������������������� ������������� �(����.�������������*� ����� ������������

�"�� 6%� ��� ��������7� �� ����� �� ������ ���!���� �� ���������� ��� �(���� ������ �,�������� ��� ��� ���������� .��� �,��� ��� ��� ��� ����� .��� ��� ������ ��� ����� ���� ������������ �=������$�

#"%�)�����.������ ��������7����!����!� ��������������<����������������������������������������������������������,���� �&��,�� ���� ����,�����������$�2�����<������������������������������������ #,�����.���7�������������� �&�%� ���� ���<����������������������������� �,���������$�

#!��������69%�?�������������������!������������������������������ � �������=�(������������!���$�

�"��+%���������������!���<������.����&�������������<�������@�������������������������!���� ��$�

#"%� )����� .��� ��� ����� ��� !���� ��� !����� �� ���� ������ ��� ����������� ��� ��� ��� ��<��� ������������������������;������������������� �����=�(�$�

Page 28: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*+:�

�"��9%������������!���� ��������� �����,����������� �&��������� ����������� ������������ ��� =�(�$� ��� ���������� ��� �� =��� ��������� ��� !����!� ��� ,�� ��� ��� �� �<� �����������<�,������������������� �����$�

#"%���������������!���� ����� ���.�����<����������������.����� �����.��������A�

F�� �& !

"

!�

� = V !¬

=�

� F

F�� � !%

' 0

:�)�����.�������������!����!� &��'�����;�� �.��� ���������������9����,� ������������

��������%<���� ���������'������ ������������������¬� �# �,���������,����.�����������%$�

:�)��������������&���������<���� ���������0������ ������������������%#���� �,���������

,����.�����������%�

)��������'����

0�����������������,� ����%$������.���������A�

0'0'�

00

''��,#����,#�����

��,#����

��,#����99!�

9

9∨=

��

∨=∨¬=

��������� 9<��'��������������<�,������� �,#�� �

'9 ������������ �����������<� ��

�,#�� �'

9 ��� ������������������%������ ���������������������������� �$������������!���<� �,#�� �

09 �������������������� �� ���� �$�)������<� � � � �,#�� � �,#�� �

� ' 0 ' 0 � ! 9 9= ∨ �

��������������������������"����� ��<��������"�������������!����,���������������������

'����

0�

��� ������<�,����� ������ .������ ���������� ����!����!� �������� ��,�� ������ ������,������ ���� ��� ��� ��!���� ��<� �� �(��,�<� ���� ����� ��� �(���� ��� ���������{ }������ ∨¬¬∨¬ ��� (���������������� <�(���� ���������������������A�

!�

!¬ ∨� �

!¬ ∨� �

!¬�

¬�

¬�

¬�

!¬�F F

F

F

��� ���������� ���������� +��� -���� #¬�%� .���!����!� �� ������ /�,�������� ��!����!� ����������� ���<�������*$�

Page 29: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*-:�

���"��;�&��"���������@������"����C ������������ �������'%�?����� �(������� �������������������!� ���������� ��<��,�� ����������������������� �&�<������ �������� ���������� ��$�

#"%������� �(������� ����������������!� �����<����������������� �����������������!���� #�����'%<� ��������@������� �������������������!���� ��� #�����/%� ����� ���� ���,����� !����� ��� ���������� ��� ���� ��� =�(�� #����� 6%� �� �>������ ��� �(���$� ?�� ��� ����������������������� �,������������ �(���<��������������������� ����������,�.��>� .��� ��� �������� #,����� .��� ��� �� ������� ��� ��� ��� !���� �����%� �<� �� ��� �(���� ��� �������!� ����<� �@������� ��� ����� ��� ��� ��� ��!���� ��<� $$$<� ��,������� ���,� ������������������������������� � �����������.��� ����,����������� ���������� ��$�

Resolución General

���������=������ ��<�������������������� �&����������,�����&�� �����,���� �������,���������������������������� �&���������������������� �&��,�,�� �����.����� �������� ,��� ,����� ��� ���!� � �&�� ��� ��������� ��������� �������� ����$� ��� �� �����<� ,������<���!�����.� ���������������� �&��,������!������� ������ �&��.� ����������!� ������� ��������$�����������!����������� � �,������,������������ ����������� �&����������������������� ������� ����� �,�����$�

#!�������� 63A� ���� �� ��������� σ � ��� ��� �(���� !����� ��� ��� !����{ }�� �-�-�- :��:�: ���� � ������ ���� -" ����������������<� ���� � " �������� ����������������-" �����������������- - -�� �� � �L ����������������������$�

#!��������67A�����0�� ����������� ����<����������������� �(�� �&��������� �&��������������$�����0�� ���� �"���������� ��������������

#!��������6;A��?��� { }�� �-�-�- :��:�: ���� �=σ ���� ������@,����&�<����� ��������!�������

�� ����������'�,��σ �<��������,�� ( )�σ <�� ������@,����&��.����������������������������������������� �����,��� �&�����������������-" ����'�,������ ����� � " ���#" �= �� �K %$��

��"���� )+A� ?��� � � � � � �= � � !! � �� { }! :�: ��� �=σ � ���� ���

( ) !! !� � ���� �� =σ $�

2�� ���������

���� �������� �&�� ����� ��� �� ������ .��� ��� ,��������� �����!����� !&������$� �������� �� ,��� �,��� ������� �������� ����� ���� �<��������� �@,�� �&�<���� ��� ����������� �� ������!�������� ��� ��� �(���� ��� �@,�������<� =� ����� .��� ���� �@,�������� �������������� �� ��������� ��� ��$��

���� �� �������������* ������������ ������ � " ��� �����������������$�

?�� ( )�σ ��� ��������������������� ��� ( )�σ ���������� ��������* �������'��

Page 30: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*1:�

#!�������� 6>%�?���� � { } ������ :��:�: ����� �=σ ��� { }�� #�#�#� :��:�: ����� �=σ ������������ ����<������ ��������"�� �������� �� �������� �σ σ� �o ��������������� �&�A�

���� �� !"-�.�� { }����� :!� :� =σ ��� { }�� ��� :�:�:� =σ �����������

#!��������+8A������������ �&����!������,����� �(������ ������������� �� ������������.��&��������� �&�����������������������,��ε $�

��"����)3A�?��� { }����� :!� :� =σ ��� { } ��� :�:� =σ $��

{ } � ���� :�:!� :�� =σσ � /�

#!�������� +5A������ ����@,�������<� � ��� �<������ ��.������������� � ����@����������������� �����σ����σ� �������.��� ( )�� �σ= ��� ( )�� �σ= $������ ������� ��.���'�������������������-��.���-��������������������'�

��"����)7A� � � � � � � � � !� !� ! �������������������� � � � � � % � � !� !� ! $�?���������<�

7"�� ������.���������� ��������,��� � �: $�

( ) ( ) ( ){ } { }'' #������� ::��:�: ������� �� σσσ � ���� ' �= �K <�

{ }�' ���� ��� �� �∉ ��������������������������� ( )"" �� �:σ �.��� ��,���� ( )"" �� �σ= $�

{ }�� �� :!� :�� =σσ � 7�

)�,����������������,�� �&�����?������� �����

:�@ ��������%�σ σ σ σ σ σ� � � � � �o o o o ! != �,��������������������� �����σ σ σ� � �� � ��

�����,�,������,����������������,�� ������������� �,�� �&��������������� ������

1� ��"���� <����%� ��� �������� �&�� �� ��� ��,��� σ ε ε σ σo o= = � ,���� ������������ �&��σ $�

:�<�� ��,�����������������""�������$�

:� ( )( ) ( )�� ���� σσσσ �= �,��������������������� �����σ σ� �� ��������@,��������� $�

?���� � � � � �= � � !!<����� ��A�

σ� ! !� � !!� � � � � � �= ��� ( ) !! �!� ! �� � ���� =σσ �

�����������!���A�σ σ� �o ! !� � !!� � � � � = �

Page 31: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:*7:�

� � � � ! ����������������������� � � � ! $�

#!��������+)A�?���� ������@,����&����,���� �(�����������������.����,��� ������'������ �� ��������� �� ���"���"����� ,���� '� ��� ���� �������� �&�� ��� ��� !����{ }�� ���� :��: �� � ����� .��� { } ��� � ⊆��� � ��� � ' � ����������������������������� ���.�����,������ �����,�

Page 32: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:45:�

#!��������+6A������� �(����!���������@,�����������,���� { }����� ��� �� �= ��������������� �&�� ω $� ?�� �� �� .��� ω � ��� ��� ���!������� ,���� � � ��� ���,� �� ��� �,�� ��� ����������� �&�<���� �(��������������$������ ��<���A� ( ) ( ) ( )���� ωωω === ��� �

��"����);A�?��� { }!� !�!� �������� = <����� ��� { }������� :!� :�:=ω ����

������!� ��������<����.��� ( ) ( ) !!� �� ������ == ωω �

#!��������++A�?���� ��.���������!� ����ω �,������� �(����!���������@,�����������,������� ��� ���!������� "* � �����#���%� ��� ,���� ���.����� ��� ���!� ���� ′ω � � �@����� ������������ �&��σ �.��� ��,��� ′ =ω ω σo $���!�������������<�������!� ����������������,����� ����������� ��������!� �����������,�������������,����������!� �����$�

�(��,�� )>A� ?��� { }!!� � !!�� !� �-����%����� = <� ���,����� �,����� .���

{ }��-%��� :�:!� :=ω � ��� ��� ���!� ���� ���� �������� .��� ���.����� ���

���!� ���$�)���(��,��������!� ���� { }��-%����� :�:�:!� :=′ω �,������������������

,���������ω ��,�� ��������������� �&�� { }�� :=σ $������ ��<���� ��,���.��� ′ =ω ω σo $��

�������(��,���������<����,������������������A� { }��%-��� :�:!� :� =ω ���������� ��.���������!� �����������;�� �����������������$�?�������������,�������������.���ω ��� ω� ������� ���� ������,�� ��� �������� �������� ������������� { }%- : ��� { }-% : <� ����

.��A� { }-% :� �ωω = ��� { }%- :� �ωω = <���,������<����� ���������.��� �������������,�� ����������������������������������$�

���"�� >A� ?�� ω�� �� ω� � ��� ��� ���� ��� ��� �(���� ��� �@,�������� 7<� ���� ��� �����@,��������ω� !� ���ω� !� �������������$�

Unificación

��� � �,��������!� � �&�������������L��������.���,������&<����������������'745<���������������������������,���� �� �����������!� ����������� �����$�?���������<�������3�����<����'7+6<�.�����������������������>���,�����,�� ������������������,����������������� ,�� ����� �&�$� ��� �������� ��� 3������ ��.������ ����,� �� ��,� ���@,��� �������<����������� ��<����=���������������������!�����,������(��������!� � ��$�)���� ��� ����������� ��������� ���� �������� ��� ���!� � �&�� �� ���� �,�� � ����� �� ���� ��,�<�� ����NP���=��17O$�

?���������<� � ��� �(���� { }!! � !�!� 1������� � � �� ��� ���!� �����,�.���������������������������� <������!� ��$�

Page 33: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:4':�

#!��������+9A������� �(��������@,�����������,���� { }����� ��� �� �= <������!����

������������ ��#� �������� � � ���� ������ � ��� � � �� ��� ������,�� ( )�� <� ����� �(���������������������������!���A�

��"����68A�?��� { }!!� !� !��!� !�!� !� ����������������� = <�,�����.�������������@,����������� � �������������<������� ������,������ �(���� � ' � �������� ��,�� ����������������������� �(������ �$�?�������A��

'5?�� ��������� �@,�������� ���������<� ���� .��� ������ !������� ,�� ���� ������ ������ #���,���� ����!�� �&�%���������������������;�����������������<������� ≥ ' �

2� ������ �&�����,��������������������"�������!��������(�.������� ������������� �(����!���������@,����������������������������������@,��������������!� �����$���� ��� ���������!����.��������@,�����������������!� �����$��

������������������ �,��������������������!���$�?�,&������.������.����������!� �������@,�������<������������,������� ��������,�������.���������� ����������������@,�������$����,�����������������(�����=� ���������� =��=�����.�������� ������������������ ��!�������$� ��� ���� �����<� ��� ��������� ���!� ��� ���� ��� ����@,���������� �������$� ?�� ��� ,������� ���!� ��<� ��� ,� ��� ����;�� �� ���� ��� �@,�������� ������,�� ������ ��� ������ �������� �&�<� � ��� �<� ���� �@,�������� �� ��� ���!� ������ �� ��� � ���$����������,��������� �� ������!����������������@,�������<���� �,�� �&���������������������� ����������������$�

)���� ��� ��� ��, �&�� ���� �������� ��� �� ������ ��!����� .� � ��� ��� �(���� ������ ��,�� ���$�

:�?��� �����������<����� ���� � ! = ∅�

:�?���A�

:�?�������@,������������ ���������H���������H'5<������ ��<�� ����������!���A�

� { }!��� �!���� !���� ������������ � �� ������������� ����= �

?�� ��!���� { } '''' ���� ��� �� �= � � �� � � � � ' ! != � ,���� ��� ����� 9� ���� .���

� � ' ! ≠ ∅ �

?����� � � ! = $�

Page 34: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:4*:�

� { }! � ��� = <�.�����������������<�������� ��,�� ���������������� �(������ �$�

� { }���� !� � = �<������� ���������� ��,�� ���������<��.��<� ��������������<��������

�@,�����������������<�.������� { }������ !� ! �� == �

��������9�.��� ��,���.���� � ' ! ≠ ∅ ����*��<�,������<� { }������� !� ! ! � == �

@������"�������!��������

'$:���� ������ �&�A�0 -= '<�σ ε'-= �

*$:�?��σ 0 � ! � ����������������!&��������&�� ���#Q�L���������!� ���,��σ 0 �Q%�

� � � ���� ��A�?��������������σ 0 �.������������������� �

� � � ���A� ( )( )��� 00 σ=- �

4$:�?������0 ��@�������������������������� ������������$���������������������������� ��A�

� � { }�-00 :� �σσ =+ �

� � 0 0= +��

� � B��������,���*$�

� ������A��?��������������.������ �(����� ���������!� ����$�

�����������������!� � �&��,��������� ���������������������� �&��������,���4<����� .���,�������@�������������,������������ �����=��� ��� ���� ����� ���� �$�?���������<�����,�� � �&�� ��� ���.����� ���� ,��� ��� ,�� ��� �������� ������� �@,�������� .��� �&����!����������������������������������$������ ����.���������������������<����.����������������;����!�������������������� �����,�� � �&������,���4���������������������$�

Page 35: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:44:�

��"����65%�2��

� { }!� !!� !� ��������� = ��

��"����6)%�2�� { }!! !� � !!!� �� ������������� = �

������,���4�������������������!� � �&�<����������� ����� =�.������.������� ������� ������������������$����� =�.������ � �� ��H =�.������ ����� ���H# ��� =� I%$�2� ������ �&������������(��,����������$�

� ��5%�0 = ' (�σ ε' = ��

� ��)%�{ }���� !� ' =

� ��6%��2��������- �= �,�� � �= ! �� { }! :� ���=σ (�0 = ��

� ��)%� { }!! !� !!� !� ! � ����������� =σ (� { }! !� � ����� = �

� ��6%�<���������������������������������� ��.���0"�������!� �����$�

� ��5%�0 = ' (�σ ε' = ��

� ��)%�{ }��� �' =

� ��6%�2���������4/(��4��� { }�� :� =σ (�0 = ��

� ��)%� { }!! !� � !!!� �� ! � ������������� =σ (� { }! �� ���� = �

� ��6%�2�������%��40(��4B&,'�� { }! :�:� �����=σ ��?4)�

� ��)%� { }! !� � !!!� !� � ! � �������������� =σ �� { }! �� ���� = �

� ��6%�2���������4,(��4�&�'��{ }! :!!� :�:� ���������=σ

(�?46��

� �� )%�{ }!!! !!� � ! � ��������� =σ

� �����������2����� ,�������� σ� �$�� �*����"����� ��

Page 36: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:4/:�

��"����66%�2��� { }!! � !�� �������� = $�

��"����6+A�?��� { }!� �!�� !�� !��� ����''� −−= ��� �������������� �� $�

)���'A�0 = '<�σ ε' = $�

)���*A� { }��� �' = �

)���4A�?��� �����4�"�4��� { }�� :� =σ <�0 = ��

)���*A� { }!! � !�� ! � �������� =σ <� { }! �� ���� = �

)���4A�)�����.������,��� ������ ��<���� �(����0"�������!� ����$

3������ ������&� ��� �� .��� ��� � �� �����"�� �� ���!�������� .��� �����������������!� � �&��,���������������������������� �(��������@,��������������!� ������,���������� ��.������ �(������������!� �������� ��������� ��$��

��� �������� ������!� � �&��,������������ �� �����������!� �����$�������,��� ������ ���<��������,�����(� � �&��,����������������������!�� �&���@,��� �������������������������������$��

Page 37: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:46:�

Algoritmo de Resolución General

#!�������� +3A� ����� ��� ��������� ��� �� �� � ���� ���������� �����<� ������ .��� & �� �∈ � ��¬ ∈& �� � �����������������.���,�������������!� ����,���������ω $�?���� ������ ���.�������� �� � �����*� ��� � � ����� ��� �����!������� � �������� ��� ,� �� � � ������� &� � ,� &� �

����� �������A��

��"����63A�?�������� ��������A�� � �� = ! ���� � �� = ¬ ! $����!�� ���������;�� �����������<������������������ { }�� :=ω ����������������� � � � !� � = o���������� ���������� ��$�

��"����67%�?������ �(����{ }! !!� ����� ¬ $��

��� �&�� �� ��� )������ "����� ��� �������� ��� ����� �&�� ��.������ ��� ,��� ,����� ������!� � �&�� ��� ��� ���������� ,�� ��� .��� ��� ��������$� 2� ������ �&�� ��� �@,���� ������!��� ����� ���� �������� ��� ����� �&���������� �����!� � �&���� ��� ���������� .������ ������������,�� ��������� �,���$�

{ } { }! ! ! ! !� ������� ��&�&���� && ¬−−= ωωωω � �

��"����69A������ ���������� ����������

� � � � � � � � � � �� = ∨ ∨ ¬ !� !! � ! ! ���� � � � � � � � � � �� = ¬ ∨ !!� !! !� ! �

�������������������& � � � � �� = !� !! ���& � � � � � �� = !!� !! ������ ���������������

{ }����� :!� :=ω �

���� ��<������������������������ ����,� ���� &� ���&� �����A�

� � � � � � � � � � � � � � � �& &� � � �� � ! !� ! !! !!� != ∨ ¬ ∨ �

?������������ .��<� ������ ���������������� ��������� ������ �(���������� ���������� ��<����� ������� �(��������������!� ����$��������(��,�<������ ���� .������ �(����{ }! !� ���� ¬ �����������!� ��������.�����,�����������!&������∀ ∧ ¬�� � � � ! ! $�

)����.������� ������� �,����#����,��$�/*%<����� ������������������������������������ �;�$����� ����������������������� ������������ ���!�������������<������=��� ��������������<���������������������������������,��������������������������<������ ��<�����,�� �������������� �&������������������,��������������� ����������������$�?���� ������.��� ���� ���������� ��� ���� �������� ������ �����!� ����� ��,�� ��������� ��� !���� ���������������������������������������������� ��������������!� ������������� �(���$�

Page 38: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:4+:�

@������"����� ��������������

�������%���� �(������� ���������7

2�����%���� ������7�����������!� �����

'$:�8�� ������ ���������� � �� �� ∈ ������������

*$:�?������� �������A�

� 4$:���� ������ � � � !� � ����>��������� �(����7

� /$:�?���� � � � !� � = r ����� ���2@��C����� ����.���7������ ��� !�������

� 6$:�?���<�2>������ � � � !� � ���7�B�������'�

4$:�?��������� �������A�2@��C����� ����.���7���� ��� ��� !�������

''��� ,� ��� ��� ������������<� �� ����� �!�������� �� ��� =�.��� ��� ����� ���$���� ����,��������������!� � �&��������������� �������A� � � � � � !! !∨ ¬ $����� ����������,�����������!&������∀ ∨ ¬� � � � � � !! !! �.��������������$�

���� ��������� � � �� = !! ��� � � �� = ¬ ! ���,���������� �������������.��������!� ������������������������� =�.������ ����� ���$�?���������<�����������������������������<���������A��

� � � �-

� �= !!���� � �-

� �= ¬ !��

����������������� { }! : �� ���=ω <�.����A�� � �- -

� !� � =o�

)����� .��� ��� ������� ��� �������� �� ��<� ��� �(���� { }! !!� �� ����� � ���

�������!� ����<� �� ��� �(���� �������A� { }! !!� ����� � ����� �� ����� �������!� ����$� ����������������� ��� �<���� .��<���� �(���� �������<������������ ��������� �����!� � �&����������������������������<������A�

! !! ������� ¬∀∧∀ �

���� �(���<���<��������������<��������!� ����''$�

4����5���� �� �������� ������������������������ ���������%����������#���������

������������� ����������������������#�)�!��������#�������������������������������

��#�������������;���������������������#�������3/�6���������� �����������������

������������������������� �-�

Page 39: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:4-:�

��"����6;A�2� ������ �&�������� �������� �,��������������������� ����� �(���A��

'� ¬ ∨ ∨� � � � � � � � ! ! � !! � � �

*� ¬ ∨ ∨� � � � � � � ! ! !! � � �

4� 2 � ! � � �

/� � � ! � � �

6� ¬ ∨� � � 2 � � ! ! � � �

+� ¬ ∨ ¬2 � � � ! ! � � �

-� ¬ ∨ ¬2 � � � ! ! � � �

1� ¬� � ! � { }�� : � <�− �

7� � � � � � ! !!∨ � { }�� : � � )− �

'5� � � � !! � ε � = (− �

''� � � � � � � ! � !!∨ � { }�� : � � )− �

'*� � � � � � !! � ε � = ��− �

'4� 2 � � !!� { }! : ��� � > ��− �

'/� ¬� � � !! � { }! : ��� � ? ��− �

'6� o� ε � �' �)− �

)�����.���������������� ���������� ����������������������������,���4����� ����.������ �(���������#����������������!� �����

'*0���������� ��� �� �� .��� ��� ��!��� ���������� �,���$� ��� �� ��<� �,���� ,������!��� ������������ ����������� ���������� ��$�

��

���

¬∨¬¬∨¬∨¬∨∨¬∨∨¬

! ! !� ! !� !� !� !�

!!� ! ! !!� � ! !

���2���2�2������2

����������������

��������������':-� ����� ������������������ ������������� �(���$�2� ������ �&��#�������1���'6%��,��� �����������������������������#���������%�(���� ������������������������;�������� ������������������$�

��� ��������� ,��� ��������� ��� ��������� .������ �������� ��� ����������� .����������� ���,��� �,���������� �&����� ������������,�� ��������� �,���'*$�

Page 40: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:41:�

���"��58�&��� � ���������������������� �������'%�?��� ��������������������������� ����� ���� ���� ��� ��� ����&�� ������������ $�

?�,&������.��������������������� ��� ��� ����&�� ������������<����� ��<�������������������������������������������A�

#"%�)�����.��������������� �&�������!� ��,���� �������������������������������@,����&�$���������� ������ ���.������@,����&��'����� ��� ��� ����&�� �����'"������ ��<�,���� ���.������������� �&��σ ���� ��,���.��� ( )�� σ� �

���,���� ��������������� &� ����&� ���������������� �&��ω �������� ����� ��,�����.����

( )�� �� ω� �

( )�� �� ω� $��N'O�

2=���������,�����.��� ( ) ( ) ��� �∧ �� ωω �

?�������A�� & ��� � �= ∨ ���.���� & ��� � �= ¬ ∨ �#3� � ������.���& �� �∈ ���.���¬ ∈& �� � %�

�������� ������ ���,���������������������������������������� $�

?��ω �������������� &� ���&� ����� ���ω ω ! !& &� �= ��

! ! ! ��� ��&� ωωω ∨= �

ω ω ω ! ! !� & ��� � �= ¬ ∨ J¬ ∨ω ω ! !& ��� � �

)������,����<�

{ } { }! ! ! ! !� ������� ��&�&����� && ¬−−== ωωωω � Jω ! !�� ��� �∨ ��

=> �/�∨> )7/�?∧=¬> �0�∨> )70�?→> )7/�∨> )70�

�� ��

����

��

���� F�F�

Page 41: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:47:�

( )( ) ���

���

��

��

��

ωω

:�)����� .��� ��� ������������� ��<� ���,������ ��������� ��,�,�� ����� �������V F: $�?��=�����������.�������,�� ���������������������� �&���������� �(�������,�,�� ����� �������!� ������ ��� ������� ��� �������� �� ��� #������� ��� �,������,�,�� ����%$�

���"��55�&�"�����������'%��?��������� ����� ����������������������� ��������σ����σ� � ��� �������� �����������.�� ′ =� �� � �σ ! ��� ′ =� �� � �σ ! ����������������������� �;��������������������������������� ′ω ��������� �������� ′� ����� ����@�����#,������������%����� ��������� �������������� �����ω ���σ ��������.���� ��������������������������� �����������������ω ��� ( )�� σ=′ �# ′� �������������� ������� %$�B ���������.�����������!�����A�

�� ��

σ� σ�

′ =� �� � �σ ! ′ =� �� � �σ !

′�

�� � ′ω

��������

������-

�� ��

σ� σ�

′ =� �� � �σ ! ′ =� �� � �σ !

′�

�� � ω

σ

ω !&� ���,���������������F<����.�������@,����&������,������ � =����������!�����#������.�������V%$������������!���<����, �,���������������V �,����=�����!���������@,����&������������� � =���$�)������<����!&����������������,���������������F ��������������$�?�� ��,���.��A�

( ) ( ) ��� �∧ �� ωω ��<��������� ��ND�����E�: ������������!������O���������A�

������ ��������� .��� ��� �������� ��� ����� �&�� ��� ,�� ��������� �,���� ��� ���������� ��� .��<� ����� ��� �(���� ��� ��������� ��� �������!� ����<� �� ������� ��� ���������� ��$�

���,�������������������������� �&����A�

:� �������������������� ���L�������<� ������ �(���� ��� �������������������!� ��������� ����@����������� �(����!�������� ������������� ����������!� ����$�

Page 42: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/5:�

:�������������������� ���������� ����������� �(������� ������������� �������@���,������������������ �(��������������� ��������<�,������ ���������,�������������������� �&�$�

��A��?�,&������.��A�

{ } ���� ��&&&� ��∨∨∨= �

{ } ���� ��&&&� � �� +++ ¬∨∨¬∨¬= �

���� &" � �������������������.������!� ����<��� ��� ��� � ��,��������������������������������� ���� ���������<�,�����.���������.����@������ ���������������������� ���� �������� > ' ���� > ' $�

?�� ��,�����.��A�

{ } ! ! ! ! �������� ��&&�� σσσσ ��∨∨==′ �

{ } ! ! ! ! �������� ��&&�� � σσσσ �� ++ ¬∨∨¬==′ �

′ω � ��� ��� ���� ��� ��� ���������A� { }! �!� !� �!� ������ � &&&& ++ σσσσ �� � �� �����������������A�

′ = ′ ′� �� ��ω σ ω σ !! !!� � � �U � � � � � � N*O�

)����� .��� σ���� σ� ����������������������� �;���� σ� � !� ��� σ� � !� ����, <������������ �&�� ( )�� σσω ∪′� ������������!� �������{ }� &&&& ++ ����� �� �� ����.��A�

( ){ }=∪ ++ � &&&& ����� ���� ��σσ{ } =∪∪∪∪ ++ ! �!� !� �!� ���������� � &&&& σσσσσσσσ ��

{ }! �!� !� �!� ������ � &&&& ++ σσσσ �� �

R����� �(�����������!� �����,�� ′ω $�

?���@�����������!� ���<��@�������������<� ����ω ����������� { }� &&&& ++ ����� �� �� <����� ��<�,�������!��� �&��������� ��,�����.��<�,���� ���.�����������!� ���� #�������� ��� ( )�� σσω ∪′� %��@����������������� �&��σ �����.����

( ) ωσσσω �� =∪′�� � � � � � � � � N4O�

?���� �� ��= ∪ω ω ! !� � ������������������������ �����,� ����ω<����� ��A�

( ) =�σ �

σ ω ω ! !!�� ��� �∪ = �

σ ωo !�� ��� �∪ = � � � � � � #�,�� ����N*O%�

Page 43: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/':�

( )( )���� ���� ∪∪′ σσω � J�

( )( ) ( )( ) =∪′∪∪′������ ���� σσωσσω �� �

#)�����.���������� ����������������������� �;�<������������ �&��σ���&���!� ���������� �� ������ �!� �� ����� ��� � � #��� ������ !���<� σ� � �� �!� ��� �� ���%<� ,�� ����A�σ σ σ� � � � �∪ = ! !�� �� ���σ σ σ� � � � �∪ = ! !�� �� %�

J ( )( ) ( )( ) =′∪′���� ���� σωσω � � � � �

� #�,�� ����ND�����E�: ������������!������O%�

J� ′� �

)������� ( ) �� ′=σ <������ ��<� ′� �������������� ������� �

��"���� 6>A� ?��� � � � � � � � 3 � �� = ∨ ∨ � ! !� ! ! � �� � � � � � � � � �� = ¬ ′ ′ ∨ ¬ ′ ′ !� !! � ! � �� ������������ ����A� { }! :!� :� ������=σ ��� { } ��� :�:�

′′=σ $�?��������������.����A�

Page 44: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/*:�

���"��5)�&��"����������,��� �,���������� �&���������%A�?����� �(������� ������������ �������!� ����<� ���� ��<� �,�� ���� ��� �������� ��� ����� �&�� �������� ��� �������� ��� ���������� ��$�

� � � � � � � � � �� = ∨ ∨ � ! !� ! ! � � � � � � � � �� = ¬ ′ ′ ∨ ¬ ′ ′ !� ! � !

σ� = � � � � � � � : !� : !� : !l q σ� = ′ ′� � � : � :m r

′ = ∨� � � � � � � � !� !! !! ′ = ¬ ∨ ¬� � � � � � � � !� !! � !

′ = ∨ ¬� � � � � !! � !

�� � ε

?���������������� �������� �&�<��@����������� �������� � � ������������� ����� �� � ������ { }����������� :!� :!� :!� : ′′′=ω �.����������������.����A�

� � � � � � � � � �� = ∨ ∨ � ! !� ! ! � � � � � � � � �� = ¬ ′ ′ ∨ ¬ ′ ′ !� ! � !

σ�σ�

′ =� �� � �σ !′ =� �� � �σ !

′ = ∨ ¬� � � � � !! � !

� � � � � � �= ′ ∨ ¬ ′ !! � !

�� � ω

σ = ′� :m r

������������������� �&��.��������������������������� �,�����A�

Page 45: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/4:�

��A�?���7� ��� �(���� ��� ����������������!� �����<����� ��� ������������ ���������� ����������.������� ���A�

7�����������!� ������

� � � �#,���������������L�������%��

�@����������� �(����!�������� ������������� ������7�������!� ������

� � � � #��,�������������� �&��,�,�� ����%�

�@��������������� �&�������� �(������� ������������� ������7������ ���������� ��$�

� � � � #������������� �&�%�

�@��������������� �&������ �(����7��� �������������� ���������� ��$�

<��@A�������;��������,�� � �&�<�,����,�����,�� ������������������� �&�<������,���.������� ������������7����������������������� �;�$��

?�������������������������<����������������� �,���<����<�,���(��,�<���� �(���A�{ }!! !� ����� ¬ �����������!� ����<�����������<� � � ! ��� � � � !! ���������!� ��������������.����������� �������������

Page 46: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

://:�

Estrategias de resolución

#!��������+7%��������������������������&��������@���������������� �,���������� �����.������!�.��������� �(������� ��������$�

���� �������� .��� ������� ����������� %���� ��� ��;���������� �;�.����� ��� ��� �������� �� ��<�,�����.��������������%������,�������������������� ���������������� �&�$�)������<������������������������� �������������������� �&����� ��������� ������������,���$�

��"���� +8%� ��� �(���� { }! !� ! !!� ! !� �������������� ¬∨¬∨¬= � ����������!� ����<�����������<�,�������������<����,����������������������� �������<�,�����.��������� �������������������,���* � ���$�

#!�������� +;%� ���� ��������.�� ��� ���� �������� .��� �����������������������������!�������� ������������$��

��"����+5%���� �������� � � � �∨ ¬ ∨ ∨ ¬ ��������������$8$�

���,����� ��������� ���������������������� �(������� ������������!� ������ ��� �&����� �����!� ��������� ���� �(���$� ��� �(���� ��� ��������� ,������ ���� �����!� ���������,�����������������.����������>��������������$������������!���<���� �(������� ��������� �������!� ����� �������� ������ �������!� ����� ���.��� ��� ��������� ����� ����

1�� �0����� ��� �������� �� ��� ��� �������� ��� ������������ �� ���� �������

������������$��������������������5������#�������3����������%�����������������/�

*��;�� ������� ��������� ��� ����������� ������ ��� ���5�#� �� ��#����� ��3� ����

���;������������������������� ��������������������/��

,������ ��� ���������� ���� �������� ��� ��������� ���������� ��� ����������

�������-� @A�0� ���� ��#������ ��� ����������� �� ������ ��0� ��������� ��� ����5� ��

�������� �B/�

8����������� ������������ �������� �� �������� ��������������������������

����� ���� ��� ������ �� ���������� � ��� ��� ���%����� ��� �������������� ���5�� ��

��#�������3!������������������������������������������/�

4�� ��� ��� �������%�� ��� �� �����5�� �� ��� �� ����� ��� �������� �� ���� ������

��������� �����������������������������������������#����������������������������$����

��� ��� ������ ��� �$������ ��� �� ��#����� ��3/� .�� ������� ���� ���;�� ������ ����

������������ ���� ����������� �� ��� ������ ������ �������� ��� �� �$�����/� 6�

��������� ���������������������������������������������#�������������������%��

��$���/�

Estrategias de Borrado

4�� �������� ��� ������� ���#� ��� �0����� ��� �� ���� ��� �������� ��� ������ ���

��#���������������������������5��/�.�����;����#���������������������������

�$�������������#�������3������������� ����������#����;����������������/�

1������� �������#�������������������������

������� �&���������������

Page 47: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/6:�

���������$����,�����<�,������<������������������������������ �(������� ���������,����.�����������������������,� �������;�.�������������������������!� ������������� �(���$�

"�� ������.����������������������� �������������������@� �������� �,�����������,����,���� �,�� ������������� �&�� ������������$�0� ���,����������������������������� ��� �����,��������,�.�����������!� �����$��

��"����+)%���� �(���� { }! !� !� ! ������� ¬∨¬ �����������!� ����$�?���������<������������������,������� ����������� �(��������������������������!� ����$�

#!��������+>%����� ��������7� �� �"������� ��������3�����@����������������� �&��σ �����.��� �� ⊆! σ $�

��"���� +6%� ��� ��� �(���� { }! !� !� ! ! !� ! �� �1�-������� ¬∨¬∨¬∨ $� ��� �������� ! ! ���� ¬∨ ����������� ! ! ! 1�-��� ∨¬∨ �,�����.������ �������������������

��� �,�� ��� ��� �������� �&�� { }-��� :�: � �� ��� ,������� �������<�������� ������ ������ �������� �������$�������!���<����,������������������������� �������<�����������������������!� ������������� �(���$�

?��,��������������.���������� ��������3������� �(������� ����������������������,�����<����� ������ �(������� �����������������������3��������!� �����������&�������� �(��������������� ��������������$����� ��������������������,���������<�,������<�������������������!� ������ ��� �&����������!� ������������� �(���$�

��� �� ������ �������� .��<� �������� ��� ��������� ���� ,� ��� ��� ����� �&�<� ��� ,���������������������������� ���������.��������������$8����������������������������������������������� �������� =�.����� ��� �(���� ��� ��������� �������� ���� �� ��� �������������������������������� ��������� �&�$�

C �����������������

#!��������98%����������������������������� ���������������� ����������������������,������������� �����������������# ������&���������%$�

���� ����������� �������������������������,�� � �&���������������������� �&�������� ���������������������������������$�

��"����++%�?��� { }�������� ¬∨¬∨¬∨= ��� $�2� ������ �&������,�� �������������������������� �&����������<�,�������<�������� ���������,������ �������������������������.��������������������������������$�

'$:� � �∨ � � �*$:�¬ ∨� � � � �4$:�¬ ∨� � � � �/$:�¬��6$:�¬� � �

� � !� ) �� �

+$:�¬� � �� � !� ) �

-$:�� � �� � !� > �� �

1$:�% �� � !� < �

7$:��� �� � !� ? �� �

'5$:��� �� � !< ? �

"�� ������.����������������������������������� �(����������.������,������������������������������� �&������������ ����$�)���(��,�<����� ���������'���*�,�������

=����������� �����,����������� � �∨ $�?����������������� ������������������ ����������,������������������,�.������������������ ���������.�������������������������$�

1������� �����.������������

Page 48: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/+:�

��� ,� ���������� ��� ����� �&�� ������� ��� ����� �&�� ��������� ��� ��� ����� �����,����������<�����������<�����������!� ������$�"�� ������.���������� �������������������� ������ ����������������<�����������������������������������.������ ���������������$�������!�������,� ����������������������;�.��������� ���=� ������ ���������� ��������������!� ��� ��$�

���!������������<����,� ���������������!���� ������������� ����� �&���������������<� ��� �������<� �,����$� )�� �(��,�<� ��� �(����

{ }��������� ¬∨¬¬∨∨¬∨= ��� �����������!� ����<�����������<��������� �&��������������� ���������� ���������� ���,�.������������������ ��������������������$�

)�� ������<� ����������������!����� ��� ��������� �� ���������L��� # ��������� �������������,������ ����@��%����,��������������.��������� �(������� ���������L�������������!� ����<����� ��� ����������� ����� ���������� ��� �,�� ��������������������� ����� �&����������$�

#!��������95%����� ������������������������������������� ����������������������,������������� ������������ �(����������������������$�

���� ����������� �������������������������,�� � �&���������������������� �&�������� �����������������������������������$���"����+9%�?��� { }�������� ¬∨¬∨¬∨= ��� $�2� ������ �&������,�� ��������������������� ����� �&������������<�,�������<� ��� ���� ����� ����,������ ��������� ����������������.����������������,������� ����� �(������� ������� ��������A��

'$:� � �∨ � � �*$:�¬ ∨� � � � �4$:�¬ ∨� � � � �/$:�¬��6$:�� �∨ � �������� � !� � �

+$:� � �∨ �������� � !� � �

-$:�¬� � �� � !� ) �� �

1$:�� �� � !� < �

7$:��� �� � !) = �

?��,��������������.����������� �&��������������������� �&����������������������������,���������!���� �������������������.������ ��������������������,������� ��������� ���������� ��<� �������������� �$�

���� ��� ��� �������������������.����������� �&���������������� �,�����,���� ���������L��<�,����� �,���������������$���� �����(��,�<����,������������������,�������������$�

Resolución de Entrada

Resolución Lineal

8� �������� �� ������ ����0�� �������� ����� �������� �� ���� �������� ���

��������!�������������5�� ��������������� �������������������������������

��� ��� ��� ��� ��#������ � ��������� ���������� �� ���%����� ������� ��� ������ �� ��� ���

���������������������/��

Page 49: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/-:�

#!��������9)%�?�������� �(������� �����������7������������������ �(���$����� ������� ���������� ���� � �������� ������ �� �� � � �� 2� ���� ��*� ���� �������� ����� ������ ��� ������ ���������������!���� ����� ��� �' �= �������.���,���� �����4@"/"���"�A/A�

� #'%��"+� ���������������������" ������������������������������� ���������" �#�������� ���������������%<���

� #*%������ �" ���,������ ������#���������� ������������������%������������,����������" $��

��� ����� �&�� ������� ���� ��� ������ ���� ��,� �� ������� .��� ,��������� ���� ��!���� ��������������$����� ����� �&��������� ������� ������ ������������ �(������� ���� #����������*� �������/�%���,��� ������ ��������������������� ����� �����.��������������������!������,������� �(���� ��� ��������� { }��������� ¬∨¬¬∨∨¬∨= ��� $�"�� ������.��� ���� ���������<����,� ������,�����<� �������������� ���������������������������������� ������������ �(������� ����������������,�����$�

� �∨

r

¬�

¬ ∨� � � �∨ ¬ ¬ ∨ ¬� �

���� ����� �&����������������� =��� ����� �������;������ ������������� ����,�������������,������������� ����������������������������� �(������� ���$�

?��,��������������.����������� �&������������ �,����$�2�����<�������� ������,����� ����������� ������������� �(������� ���� �� ��������� ���������.��������� �(������� �������������������!� ������� � �∪ l q�����������!� ����<����� �������� ���������� ���������� ����������������� �&��������������� �� �� �������� �����$�)������<������������.������ �(������� �������������������!� ����<�������� ������,����� ������������������� �� ��������� �����$�

Resolución Ordenada

8��������� ����*,��*����#,&,��"-��������������������������� �����������������

��������������#�����������������������%�������������������������/�8��������� ��

� ��� ��� ����5� ���� ��� ������� ������� ��� ��� ��#����/� 8��� ��������� ���� �����������

��������������������������#���������������������������������������������� ����#�����

����������3����������������������������������������!����������������������������������

������� ����#���������������3��������������������������������������!/��

Page 50: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/1:�

��"����+3%�?��� { }�������� ¬∨¬∨¬∨= ��� $�2� ������ �&������,�� ��������������������� ����� �&�� �������� #��� =��� ������� ��� ���������� ��� ���� �������� ,�� �������!�� �� %A�

'$:� � �∨ � � �

*$:�¬ ∨� � � � �

4$:�¬ ∨� � � � �

/$:�¬��

6$:�� �∨ � �� � !� � �

� �

+$:�� � �� � !� > �

-$:��� �� � !) < �

��� ��������6�������;�� ���������������������������� ���������'���/$����� ���������'���4�������������,�����.����������������� �,�������������������,������$�)��������������&�����, � �������������� ��������� *��� /�������� ��������� 4��� /$��������������������� �������� 6<� ��������� ����� �������� 4�,����,��� ������ �������� +<���� ���� ��������� ����� ��������/�,����,��� ������ ���������� ��$�

�������� �&���������������������!� ������#�������(��,�<������������ ���������� ������������ ���,��� ��� ����� �&�%$����!������������<���� ����� �&��������������� �,����$�?���������<����=�����������.������ ����� �&���������� ������ �,�����,���� ���������L��$�

������������������,����������,��� �,������������������������� �&�<� ��������>���.������,��� �,����� ������������������� �&��������� ��������������� ����� �&������������;���������������������������������� �(�������� ���������L��$����,���� ����<����������������)������ �&���&�� ������������������� �&����������������� � ���� ������� �&��?��#2��������������������������#�������7�����%�.��������!������������������������ �&�$�

Page 51: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:/7:�

Prueba de Teoremas por Resolución

���� ��� ���� ,�������� �,�� � ����� ��� ��� ���������� ,���� ��� ��"��������� �"������'4�!������������� �&��������� ������������$��

�������.��������!������,����� �(������� ��� ��� �����&�� ���#�������%�.������ ������� �� ,������ ��� ��� �(���� ��� ���� ��� !&������� #�@����%� ��������� ������� �����!���� ��$�����@������� �&������������������������ ���!����������������!����������������� ���� � ����� .��� ,�� ������� ��� �,��� �&�� ��� ��� ���������$� ?�� ������&� .��� �������������������� �,� ������������ ������������� �(��������@�����������!&�������� =�.�����������!&���������� ��� ��� ����&�� ���������@����$��

��� �� ������,���� ����������������(��!�����������������������������,�����@,��������������������������$����'755<�L�������� ����������.������,���������������@������������������������������ �<����!����.���,����������������������������� �����&���� ��������$�

?��� ������<� ��� '74'<� �S���� ������&� .��� ���.����� �������� ��!� ������������������� ��,���� ���������������������������������;�������������������� �,���$������ ��� �������!&������� ���������������������!� �����������,������������������$��

0� �@����<� ,�� ����<� ��� ,� ��������� �������� ,���� �� ����� ��� ���� !&������ ��� ��� ��� ����&�� �������� �(��������@������������������ �� ������,���� ���<�����=��.���������� ������������,������������� �������$�?���������<��@�������������������� ���&��,������� �(�������������� ����� �� ���,�,�� ���������������� ��� ������ �����<� ����� ���=�� �,�� �������������� ��=����������� �,������,������������������$��

��"���� +7%� 2� ������ �&�� ��� ��������� ���� ��������� ������������ ��� ���� ,�������@������� �&�� ������������ ����;��������������� ������ ,��� ����� �������,��� �$��)���� ���� ��� �������� ��� �������� 5<� ��� !�� �&�� # � � ! " "= +� � �� ��� ,���� ���A�

"�����������"!�� ������#% � += ��� "�����������"!�� ���������*%��� ⋅= �

'$:� !�'� ��#% � �

*$:� ( )! !� �!�� �#�#�#% ����#% � ∨¬ � � �! !� ++=++ ���� �

4$:� ���*%��� � � � !' ' � �

/$:� ( )( )��#����*%����-�#% �-�����*%��� ��!�� !�� ∨¬∨¬ �� � � � �∗ + = ∗ + !� �

'4��� �,��� �&�� ����&�� ���������������������,��������,����� ������<� ���,�������� �,��� �&����� �� ��.���������������������� ����.�������� &�,������ ������������� �� ��$� ��� �(��,�� ��� ������� � ���������� ��� ��� ��!���� ��� ������ ��� �� ��� ��� ���!�� �&�����������#������ �&���������!&�����%����,� ����� �� ������������������������,���������������#������ �&��������� �������%�

Page 52: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:65:�

2�,�������������@��������������<����,������������������������������������������ ����� ������������ ����;����$� )���(��,�<�,���� ������ ����@���������;����T� ���,��� �� ,�� ��� ����� ���� ������ �� ��$� ?�� ,���������� ��� � ����&�A� ��� ,��� �� �������������� � ����A�

( )( )( )'�� #�����*%����∃ �

)���� �,�����<�����>�������������� �&��������� � ����&����� �(������� ����������<��������,�� �������� �&��������������� ���������� ��<�������� ��.����@����������;���$�

Page 53: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:6':�

Bibliografía

CD��E6����(�F� */�D��E6���

.���, ��"��&+���"�+���+�� �%�,�+��",��,�

7��������G���2���/�� � � � �((�!��N������16O� �� �������

��$������������2���������!����� ��� � � � � #'716%�

CH��������;��=?F� */�I/�H��������;���/J/���������

���"��&+��%�*��"��#+��+���"�"�"�&+���,&&"�,��,�

*����K������7�����;�����2��/� � � �(=?!�

�N�?"�74O� ���� ��?"�������� �����

*)���+�*��/"+�����7��������3��� �������2�����������3�!���� ��A��?"E�������'�?�**�U�'-$�0''5$��C����'774�

�NP���=��17O�P�����P���=��

����������6�B���������%�����������2�C���,������?������<�B�$�*'�0$�'<�C����'717$�,,$�7*:'*/� �

�NPV���I��-7O�3$�PV���I��

��$�����*������������$0��=�L�����$������ �&����,�>��A��&�� �<�)������ �&������������� ���2���!� ���$�#'7-7%�

�NP�����7*O�?�������P��������

3��������3���������$��*��$�����$2�����:U������ � � � � #'77*%

�N�����1-O�� �=��U����������

-�������������$��*��$�����$�?,�������B������$�*��$���$�� � � � #'71-%�

C*�����==F�,����*�����,����./�L �����

�� �%�"��+1"��+���"�++

M;��D��%���:��������7�����;�����������2��/� �(==!��N0������75O���!�0�����<�����C��������I��

��$��"*��$�����$��*����$�=��U�����W�?��� � � � � #'775%�

Page 54: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:6*:�

C.�����;��������(�F�N/�.�����;��������H/�6��������

8���-�6������������������������.�������

6������EL ������7�����;���������� � � �((�!�

N?��������1+O�����?�������<��=���?=�,���!5������*����$�=��C���)����$�*��$���$�7/� � � � #'71+%�

Page 55: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:64:�

Índice Alfabético

H =�.������ ����� ���H� 44�

��!����� *�

@������"����� �������������� 4+�

@������"�� �� � ������������� �������� */�

�������"�������!�������� 4'�

2�������������!� � �&�� 4*�

*"����� /�

������� *�

*��"�� 4�

���/����������*� ���� **�

=�.������ ����� ���� 4+�

�����0� ������� '1�

��*� �������/�� /-�

��*� ����A���� **�

��#�������3� 4+�

��*� �������.�� **�

����������������� 46�

��*� ��� �� ����� � *4�

�,���� 46�

��,���� 47�

��"������ ��� @������"�� ��C ������������ �������� *-�

�,������ ���� ,��� �,�� �������� �&�� /*�

�,�� �&������������� ����� *1�

��"��������� �"������� /7�

�������� � 4�

��(���������� ������ 4'�

��(��������� ��,�� ���� 4'�

��������������� ���!������� *�

��������������� ����������� 4�

��������� �� ."���� � ����� ���� � *�

��������� �� ."���� � ��������� � *�

��� ��� ����&�� �� '/�

������ �&�� '*�

�������� '/�

������!������ � 4�

�������������*� ���� **�

������� �&��������� �� /7�

��"����� -�

�.������� ����&�� �� '6�

�������������������� �&�� //�

�@,����&�� *-�

�@,����&�����,��� *-�

�@,������������������ 4'�

�0�� '7�

�<�� '7�

Page 56: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:6/:�

�0� '7�

�<#� '7�

�0)� '1�

�0?� '7�

���"������ ��� *'�

�����0�������(������� '7�

�����0�������(�������)����@�� '7�

�����0��������?I���� '7�

�����0��������������� '7�

�����0���������������)����@�� '7�

�����0�����)����@�� '1�

!��"�������"���� /�

!��"����������� 6�

!&�������������!� ����� '*�

!&�����������!� ����� '*�

!&������������� '*�

!&������������!������� /�

�S���� /7�

A�B�� **�

L�������� 45�

L������� /7�

������ ��� *-�

�� ��������* ���� *-�

�����,���� �&�� -<�1<�'/�

������������� �&�� /5�

�������� '7�

���������������� '7�

��������,������ '7�

������������ //�

������� *�

����������������� � *�

����������������� � *�

������� �� �������� � �� ��������� +�

������� �� �������� � �� ��"������� +�

������� �� �������� � ��2����������� +�

������������ �������� *�

"����/� '1�

����� '*�

���������!������ *6�

�������� **�

��� =� I� 44�

��!���� '1�

,������ �&���&�� �� '�

��/���"����� '/�

��������� /�

�������������� �&�� *4�

3���� �&��,�,�� ����� *4�

� ������ *4<�46�

� ��������������� /+�

3������ 45�

2���� �������������� 4�

Page 57: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:66:�

�������� �&�� *-�

�������� �&������ �� *-�

�������� �&�����������������*7<�45<�46�

�������� �&���� ��� *1�

�� ������� /6�

��������.�� //�

������� ��� �,������,�,�� ����� 47�

����������L�������� 47�

���"�������!�������� 4/�

���.�� /7�

� �"���� 4�

���� 45�

���!� � �&�� 45�

���!� ���� 45�

���!� ���������������� 45�

������������!&������ 1�

����������������!�������� /�

��������������� /�

���������������� /�

��������� 45�

���������� *1�

Page 58: Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo

��

���������������� �������������� �

:6+:�

Información de Contacto

� ���������� ��*������������.��� ����������!��"*�����&����������'�

VVV$�����$�����$���

G� ��"�����������=�,�� �����X���$�����$���

#��������*��/�������� �!������X�����$���