Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo
-
Upload
nicolas-egea -
Category
Documents
-
view
26 -
download
7
Transcript of Lógica de Predicados - Universidad de Oviedo
�
�
�
�
�
�
�
�
����������� �� �
���������������� �
�
�
�
��������������������
�����������������������
�
�
�
�
�
�� ���������������������������������� �� �������!����� �����"�����#�$�$�$�$�$"$%�
�
������������������
�
�
���������������� �
�
������ �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '�
������(���������������&�� �����)���� ��� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *�
"����"������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ +�
�����,���� �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ -�
���� ��� ������.������� ����&�� ��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '/�
������0������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ '1�
2����������3���� �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *4�
������ �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *4�
3���� �&��)�,�� ����$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *4�
3���� �&���������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ *-�
���!� � �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 45�
2����������3���� �&���������$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 46�
�������������������� �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ //�
)�����������������,��3���� �&�$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ /7�
8�������!��$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 6'�
9��� ��2�!�� �� $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 64�
��!��� �&��������� � $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 6+�
��
�
���������������� �������������� �
:':�
Introducción
�������;�������� ����<�=����������� ������������������������ ����������!����� ��,�� ��� �,�� � �&�� ��� ��� �&�� �� �� ��� ,������ �&�$� �� =� =<� =�� �,��� ��� ��� �����,������������,������ �&��#���,������ �&���� ��������%� ����!������������&�� ��������������������������������� ����������������� �.���,������������ ������������������������� �&�� ������� �� ��� �������$� ��� ����� ������� ���� �� � ��� ��� �������� ��� � �,��� ���� �� �������� ��� �,����� �,�� ������ �� ��� ��!����� �<���� � ���� ��� �����,����������������������������&�� ��,�������������,�������>�������,���������������������������� � �� � ��� ��!����� �� ��� ?�������� �� ��������� � �� � ��� ��!����� �� ��������&�� ��,������� ��� ��� �� ����� ��� ����������� � �� �� ��� ��!����� �� ��� "�����#�����"%$�
)��������� ������������ ����������;�� � �������,��������.������������!����������� ��� � ������ .��� �,��� ��$�0� �������� ������ �� ��������� ������!���������� �&�� ������&�� �����,�,�� �������������� ��������������� �$�
������������@,�� �&��������������������.���A�
:����,��������.��� ���������� � �,��� ���� ���������&�� �����,���� ���� �������!��� �&�� ����� �� �� ���� ������(�� #!&������� ����� !������%<� ��� �,�@��� �&�� ������� ��# � �,����������,���� �&��������.������� ����&�� �%�$�
:�2� ������ �&�<�����@,���������������������� �&�<�,������ ���������� ��������� � �,�������������� �&�������!� � �&�$�
��
�
���������������� �������������� �
:*:�
Lenguaje Formal de la Lógica de Predicados
��������������!�������������� ���� � �&��=������������������(�<�!�����,��!������ ��� ��,� �����������<� ��,������� �� ����������$� ������ ;������� ���������� ��������������� ������� ��, �&������ � ������$��
������������������� �,�����.��������������� �������!������� �&������ � �������=����������&�� ��������������<�,������<�� �������!������� �&�����!�������� ���������$�)���� ���� �@������ ��� �������� ��� ������ �&�� ���;�� ��� ����� ��� �������� .��� ��� .������!��������A��&�� ��,�,�� ��������&�� �����,���� ���$�
���������������� ��������������������������� ����� �������������� �����!������ �� ���������� ���,�����,�,�� �����.��� ��� �.����������������������!�����.��� ���������� ,�� ��� �&��� ���� ������� ��� ���� � �&�� ��� � �������� �� ,������ ���� ����������������� ����� � ��
�������������������� �������������!�������� ���������� ����������������������<� ������������������ ��������������������,�,�� ����$�?��������� �������������� ��������� ��������������� ��������� =���(���$������ ��<�������������A�
:��� � ��!��"��#,���� �������� �&�%��
:�#�$�� �� ���!��"��#�(��%�
2� ������ �&�� ��� ��!������ ��� ������(�� !����� .��� ��� ���������� ��� ��� �&�� �� ���,���� ���$� ?�� ��!���� ��� �(���� ��� ������� .��� �,��� ����� ��� ���� ����������!������� ����� #��!����%$�?�����������������!��������� ������� ����� �� ������ ����� �&�����!&������� ��� ���$�
#!�������� 'A� ��� ��!����� �������&�� �� ���,���� �����������!�����,����� ����������� �(��������������%�
• ��(������������������������ �&���'%�������!�����,������;��������������������!����� ���;� ����$����� �� ��� ��������� ������� ��<� ,���(��,�A � � � � � � � � � ���� � �� � � � � � � � �� � � L ∈ ��
• ��(���� ��� ������� ��� ��� ���� � &�� '%� )�������� ������� ���� ��!��������;� �����# ��������� ��%<�,���(��,�A�� � � � � � ��� � �� � � � � � � � �� � � L ∈ �
• ��(���� ��� ������� ���!������� &���'%� ����� !����� ,�� ���� ������� � � �� � �L $������ �� ��� ,������ �� ����� ������� ��� ,���� ��!���� ���� ���������� !�� ����A�� � � � � � ���� � �� � �� � � � � �L ∈ �
��� ������� ���� ������� ����� ������'� ������������ ��,������ �$�2���,���(��,��� ���
� ∈ ����������!�� �&�� ��������������$�
'�����������������!�� �&���������,���� ��������!���� ������;�����������������.��������$�
��
�
���������������� �������������� �
:4:�
• ��(���� ��� ������� ��� �������� &����'%� � ?�� ��,��������� ��������� ����������;� ����(�� � � ����� � �K ∈ �
��� ��� ��� ��� ��� ���� !�� ����<� ��� ,����� ��,��������� ��� ������� ��������� �����,������ �<�,���(��,�A�� ����
� ∈ ���������,���� ��� ����������������$�
?����������������� %�?����A��
¬�� � ����� � �
∧ �� � ����������� �� �
∨ �� � ������������� �
→ �� � ��������� � �
↔ �� � ��������������� �������������� �
������!������ %�?��������������A�
∀�� � ���������������������� �
∃�� � ������������������������ �
?������������������A�)�� ������� ( ) ��� ��$�
#!��������)A������ �"����������� ���������������������������,�������,����������(����������������������������������%��
:��������������� �������������������������� ����$��
:�?�� � � ��� �� � �L ����� �������� � � ��������!�� �&������������������ ��� � � � ��� � � � !� � L �
������� ����$�
:� ���� ��� � ������ ,������� ��� �������� �,�� ���� ;�� ������� ���� ��� ����������������$�
#!��������4A����*��"�)�������� ����������������������!���A�
!��� �� �
� ���� � ��
������ �������,���� ����������������� ���� ��� �� � ����� �����$�
*"�� ������.������� �������,��������������(��<����������.������������������������B�����������������;����������,���� �&�$�
��
�
���������������� �������������� �
:/:�
�
#!�������� +%� #���� ��� ��!����� �� ������� �� �������� (� � ���� �!����� �������������!��"��� �����!��"��� �&!�!'���,� ��"��� � ������� ����� %�
:���������������!&�����������!�������#�������������!��"�������"���%�
:�?�� � ���� ����!&������������!����������� ��A�
�� ��
¬�¬��∧��∨��→��↔�
:�?�� � ��������!&�����������!����������������������4����� ���∀� � ! ���∃� � ! �������!&������������!������$�
��"���� 'A� ��� !�� � -���� � �� � ������� � �� ��!��"*����� ��� �� �� -� ����.��!��"���/�� � "������� �� ��������� � � � � ! "= ���������������#���" � ,� � � � ! "= ����������"���"�%�
�
#!�������� 6A� ��� ���� �@,����&�� ���� ��,� ∀��<� ∃��<� ��� ��������� � � ��� � ���� ���������� �� ������!�������(� �� ��� !&������ � � �� *"����� � ��������� � ��� ��� �����!� � �&�$�
#!��������+A��������!&�����������!������ �<���������������������������������������������������� �����!� ����.������������ �������������� �����!� � �&�$$�����������������������������������������$��
4C������������������!� �����������������,��������� ��� �&�����.�����������������������������
∀� � ��→� ���
� ����� D���E!�!�
!�!�
?��!&������������!�������
��
�
���������������� �������������� �
:6:�
#!��������-A�?���� ��.�������!&�����������!��������������!��"������������������ ��������������������������� $�
���������!��� ���������������,�������,��� ���,�������� �����������������,��� �� �����!� ��������� ��$�)���(��,�<�������!&������∃ → ∀� � � �� � ! !!<����������������������� �����!� � ����$�)����������� �!������$���������!��� �&�����!&�����������!�����<����������� ������������ �&����������� ���,����.���.�������A�
F�� � ��������������������0������������������������������∀���∃�� �����������������������G�
�
��"����*A��������0�� ���%��������
#�����
!!� � ������∀ ��
�:����������������,��� ������������������ �����!� ��������������.������������������� �������������� �����!� � �&�<�,������<��������������������������$�
�1������������,������ ����������������������� �����!� ��������������<�,��� ��������������� �������������� �����!� � �&�<�,��������<�����������������������$��
��
�
���������������� �������������� �
:+:�
Otros Ordenes
���������=������ ��<��@��������������&����������������� �� ������,���� ���$��
?�����������&�� ������������� ������������������&�� �����,���� ����������.�����������(�� ��,���� �������������� ���#������,�,�� �����B�����������������<�����=��.�������� �������� �� �� ���&�� �����,�,�� ���������� ����%$�)�����.��������� ��������� ��������<� ���������<� !�� ����� ��� �����!� ������ ��� ������� ��� ��� ���$� ?���������<� �@������ ����� ������ ���� ������ � .��� ��� �&�� �� ��� ,�,�� ����� �� ,�����!������������!������� ����<�,���(��,�<�������� �&�A�
!����������������������������"#���������������"���$�#���������
����&�� �����,���� ������������ ������!�������������������������,�,�� �����%"&��������,���������������!&�����������������H � � �∧ → H���������������$�
��� ������� �� �������� � �� ��"�� ����� ��� ,������� ��� �����!� � �&�� ������������$��������!���<��������������������������!�����������A�
! !! !! !∀ → ∧ →� ����� !�"�� � �"#�� � ����� !�"�� $%�� �"#�� $%�� �
�������� ��<�������,����� �,�����������������������!&������#��������������� �����������������������,������%$�
?���������<������,������������ �&�������,���� �����!� �������.������������<� ���� ���<��@����������,��� �(�������!������.������.������!����������������������&�� �����,����������$�
��"����4A�����!�����������!���A� '�������������� � ��&��%����&��������������������&�� � � � ! = ������������!����������� ���������� �����!� �����@����� ��������������!�� �����%��
∃ ∀ ∃� � � ��%�& � � � !� ! �
��"���� +%� ��� !����� ��$��� ��������� ����� %��� �� ������ �� � ���� ��� ���(�����/ � ���!����������A� !!� !� ��������� →∀∀∃ �
��� ��� �(��,��� ���������� �,��� ��� !&������� �� �����!� ������ �,�� ���� ������������ ���,���� �����!�� �&�<� ��,����������@����� ��� ��� �������,���� ���������!�� ����$� �����&�� �� .���,�������������,� ��� �����!� � �&�� ��� � �� �� ����������������� ���2�������������
��� ,������� ��� ������!� ��� !&������� �������� ����� �������6� ��� �&�� �� ,�,�� �����#"����� ���%<� ��� ,�� ��������� ��������� ��� � �&�� �� ��� ,���� ���� ��� )������ "����� ����������������&�� �����"�����?�,����$�
/?���� ������.����������� �&��)������� ��� �����)����,�� ���)��,�����������$�
��
�
���������������� �������������� �
:-:�
Interpretación
���������,���� �&���������� ������.���,�������������������������B��������#V%������� #F %� �� ���� !&�����$� )���� ���� ��� �� ������ ���� ��� �����!� ��� �� ���� ��� ��� ���������� .��� �,��� ��� ��� ��� !&�����$� ���� �� ������ �� ��� �����!� ������ ������� ��������!� ��� !�(<� ��������� .��� ��� �����!� ��� ��� ���� ��������<� ������� ��� !�� �&�� ������������,���� ���,�����������$��
������������,���� �&�<� ��� ��!���������"����� ��� ��� ���� �������� ������������������������<� ��� ��������������� ������ ����������� ��� ��!�������� ������� ���!�� �&���� ���,���� ���� ���!����,���� ����$�?���� �����<�,������<� ���������������� � ���� �� ����������������!&����������������������������$�
#!��������1A����������,���� �&���������!&�������� ���������%�
:��� �(�������� ��<��������#�"����������������,���� �&��
:2� ������ ������������� ��������� �∈ ���������������������� �� ∈ $�
:2������� �� ���� ������ ��� !�� �&�� � ��� ������� �� ���� �,�� � �&�� � � � ��� ��� !����
�����
→××× � $�
:2������� �� ���� ������ ��� ,���� ���* ��� ������� �� ���� �,�� � �&�� � � � ��� ��� !����
{ }���→××× ����
� �
6��� ,������� ����� �������� ��� ����,��� ��� ,����� �� ������ ��� �&�$� ��� ,�� ������������������ ��� ����� ������� ��� �&��,���� ������� �������� ����� �������,���� ���<��������������������������� ���������� �&���������;�� ��$�
��
�
���������������� �������������� �
:1:�
��"����6A�?��� ( ) ( ) ( )( )( ) ! ����������� ∧→∧∀= ������������,���� ���������������A�
������������� ��� �� �
#�"����%� 0;��������������� )�������
��� ���� � ��� �= � � '%��
�� = �
������� � � � ��� �
! = � � � ��� ! = ����������� �
� � ��� ! = ��������$��������� � � � �
�� ! = ��%������ &�� �
� � ��� ' ! = > � � � �
�� ! = ���������������#��� �
������� %�
� � ��� ! = ������$����������(� � � �
�� ! = ���������� �
8�(���������,���� �&�� ������!&�������.�����������A�
H��� ��������������;������,��������.��� �������;���,�����7������*���������.��� ��H�
C��������.�����(���������,���� �&�� �� ������A�
H���������������������������������������!����� ��.���(���������,&I��������� �����(��������������!����� �H$�
#!�������� 7A� ���� ���� �����,���� �&�� � ��� ��!������������ ��� ���� !&������ � � ��(� � <��������,��� �� !+�����������������!���-A�
:�?�� � �������,���� ��� ����� ���������� ������!���� � � � � �� � � � !' � �K ����� ���
� � � � � ��
� �
�
� ! � � � != ' � K � ����� ���� �������� �"� � ��� ��� ��������� ��� �,�� ��� ���
�����,���� �&�����������������" $�
:?��� ����������!�����¬( ����� ������
==
=��
��
!
! !
(�#"
(�#"��
�
�
��
+����������!��� �&�������,���.������!&��������������������������������$�?�����������<�,���(��,�<� � � ��' �� � �K �����������������<��������� �&��������!&�����������(��������!�� �&��������,��������������.���,����������� � � ��' �� � �K ������������$�����@,����&�� ��� ���
������ � � � � �� � ! � � �' � K $� 0� ��� =�� ��������� ���� ��� �&�� ,���� �� �,�� ��� �����@,�������������������$�
-"�� ������.���� �� !��������������������������<�.���,���������B�������������$�
��
�
���������������� �������������� �
:7:�
:?��� ����������!�����( )∧ ����� ������ ==
=�������������
! ! !
�
�� )�(�#"��
��
��
:?��� ����������!�����( )∨ ����� ������ ==
=�������������
! ! !
�
�� )�(�#"��
��
��
:?��� ����������!�����( )→ ����� ������ ==
=�������������
! �! !
�
��� )�(�#"��
��
��
:?��� ����������!�����( )↔ ����� ������ =
=�������������
! ! !
�
� )�(�#"��
��
��
:?��� ����������!����∀�( � ! ����� ���
��� ∈=
=�������������
������!! !
�
�� �**(�#"��
�
��
:?��� ����������!����∃�( � !����� ��A�
��� ∈=
=�������������
�$���!! !
�
�� �**(�#"��
�
��
#����������,���������������������<�( * ! ����!��������������������������,��� ����������,���������!&������+ ���%�
�����,������������ ������������������� ����� ��������������!��� �&�$�?����������������!����<�,���� �� �������������������!&������������������ =�.�������!��������������<��� ��������������$�0&����������!���� ��� �����,� ��������&�� �����,�,�� �������&�� ����������5<���������?������,������� �������������,������������,���� ��������������,�������.��� ���� ������ ,�,�� ����� ,���� ��,���� �&�� ��� ������� #, � -%$� ��� ��!��� �&�����,��������;����������,���� �� ������ �� !<����=� =<�������������������� ���<����@����������������$�
��"���� 3%� ���� ��� !&������ ( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ������������ ¬→∧∃∀= <� ���������,���� �&�� � �,�������!&�����������A�
����A { }�����=� �
���������A�� � �= =� �� ���
��� ����A� � � �� ! = −) �
� � � � � � � � �� � � ! != + + +�*+,�� �� � � �
��
�
���������������� �������������� �
:'5:�
)���� ���A�� � � � �� � ! " "= ≤ �
� � � � � � �� ! " "= = =� � �
)���� �� �������������������!&������,�������������,���� �&����� =�.���������,����������@���������.��� ��,��� ( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧ ���
?�� �������,��045%�
�% ?����� ����� �<��� �����<�,���(��,�<� �J'$���� ���,��������������� ������������.����<���������.������������������F A�
( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧
�
�% �)�����.���,�����J'������ ��,��<������� �������������������$�)�����J*���������A�
( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧ �
�
2��������������V �������� ������ =�.���������������������#������=���� ��������%��������������� ���������������������$�
�� 4� *�
�� '�
�� ��
��
�� 4� 4�
�� *�
�� ��
��
'� '� '� '� 4� '�
'� *� '� '� 4� *�
��
�
���������������� �������������� �
:'':�
% )����04)%�
�� ,45%�
( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧ �
�
�#������=���� ������������������<���� =�.�������;��������������%�
�% )����046%�
�� �,45%�
( ) ( )( )( ) ( )( )! ��� �� ��������� ¬→∧ �
� � � �
������=���� �������������������,������������.���=� ��� V ����!&�����<���������������!&��������(����������,���� �&��� �� ! = V �
�� '� 4�
�� *�
�� ��
��
�� *� 4�
�� *�
�� ��
��
*� '� *� '� 4 '�
4� '� 4� '� 4 '�
��
�
���������������� �������������� �
:'*:�
��"����7%��������!&������� � �� � � � � �= ∀ ∃ ∧ � !! ! �����������,���� �&�� � A�
����A { }�����=� �
���������A�� � = ��
��� ����A��
. � �� !
/ 0
0 1
1 /
)���� ���A� { }!��� !���� =�� <� { }���=�� �
?��,����� �,�����.��<��������� ��<�,���� � = �����@���������;���������� �.���=����V ����!&�����$�)������<�� �� ! = F$�
#!��������58%����������,���� �&�� � ��������!&������� �������"�����,����� ����� �� ! = V $�
#!��������55%�����!&������� �����*�����������&��������������,���� �&�� � ��������������� �$�
"�� ������ .��� ����@��������!������������,���� ����<��� �����,������ =�.����� �������!&��������������������������������������������$��
#!��������5)%�����!&������� ���� ��� !����������@�����������������,���� �&�� � �.������������������� �
#!�������� 56%�����!&������ � � ��� �� ��� !������ �� �������������� ������@������������������,���� �&�� � .������������������� $�
�
��
�
���������������� �������������� �
:'4:�
���� !&������ ,����� ���A� �����!� ����� � �������!� ����$� ��� ��,� ��,� ���� ��� !&�����������!� ����<�����.������.�����������,��������V �#���������%$�)������<�����!&������������������������ �(����������������!� �����$��
���"��5A�����!&������������*�����������&������������ �&��¬� ������ ��� !�����$�
#" A�?��������������.�������� ���.���� �� ! = V �,�������������,���� �&���$�)������<�� �� !¬ = F�,�������������,���� �&�<������@������������������,���� �&������.���� �� ! = V $�
��
�
���������������� �������������� �
:'/:�
��������� � ���������� ������
��������� ��-�.��� �������%��������� ������ { }���� ��� �� ������� ����� ����/�.��
���������� ������������ �������������%������ ������������ ���������#�� �� !����
��������������� ����������������������� ��������0���������������� /�
1�� ������� ��� ��� ���� ����������� �� �+ #,� ������� ���� ���
�==== ! ! ! �� ���� ������ � � ��������� � �� ! = V� 2�������������� ��� ����3�
������������������������ ����������"�������������"/�,����������������������+���
������������ � ��������������������������������������������� ��������� V ����
�����������������������������������������������V!/�
4�� ���������� ��� �� ����� { } ���� � ���� �� � ��� �������� ��������������
,�����{ }���� ��� �� ����������%������������������������������� �/�
.���������������5������������������ ������������� ������������������ ���
�������������/�
���"��)A� ���� � ���� �� � ���� ��� ��������&����� ���� � →∧∧∧ ��� �����������
#"%������������ �&��������������������,�����A�
5$:�?�� ���� � ���� �� � ��������� ���� � →∧∧∧ ��� ����������$�
���� � →��� �� � ������������� ������@��������������,���� �&�� � �.��� ��,���
.��� �=∧∧∧ ! �� �� ���� � � ��������� .��� � �� ! = F$� ��� �� ��� ��� ��� ��� .���
�==== ! ! ! �� ���� ������ � ���� �� ! = F$������ ��� ���������� ��,���.����
���� � ���� �� � ��
)�1?�� ���� � →∧∧∧ ��� ��������������� ��� ���� � ���� �� � �
2�� ���� � →∧∧∧ ��� � ��*���������� ��������������������������������
�==== ! ! ! �� ���� ������ � � ������� �� $�� � �� ! = V(� ���� ������
���� � ���� �� � �
��
�
���������������� �������������� �
:'6:�
6� ��������� �� ��� ������� ��� ������ ��� � ������ �#����� �� ������ ���� �#������ ���
���������/��
.������������� � ��� ���� ������ �������������������������������/�
2��� �������"���������A�� � � � �→ ≡ ¬ ∨ �
2��� ������#�����"���������A� ( ) ( )������ →∧→≡↔ �
�
�
�
#!��������59A�?���� ��.������!&������� � ���� ����$������� �������"����#���������,�� � �≡ �&� � �⇔ %����,�������������,���� �&���<���� ��,���.���� � � �� � ! != �
6������ �� ( ) ���� ≡∨∧ � ( ) ���� ≡∧∨ �
� �∧ ≡F F� �∨ ≡V V�
1���������������� � �∧ ≡V � � �∨ ≡F �
1�/��������������� � �∧ ¬ ≡ F� � �∨ ¬ ≡ V �
2����������� � � �∧ ≡ � � � �∨ ≡ �
7���/����������� � � � �∨ ≡ ∨ � � � � �∧ ≡ ∧ �
7���/�6�������� ( ) ( ) ������ ∧∧≡∧∧ � ( ) ( ) ������ ∨∨≡∨∨ �
7���/�,����������� ( ) ( ) ( )������� ∨∧∨≡∧∨ � ( ) ( ) ( ������� ∧∨∧≡∨∧�
8��������,��*���� ( ) ���� ¬∧¬≡∨¬ � ( ) ���� ¬∨¬≡∧¬ �
,��������� ��
2������� �!�
¬¬ ≡� � � �
��
�
���������������� �������������� �
:'+:�
�, ���#�: ����������������!������ %�
( ) ( )������ ¬∀≡¬∃ � ( ) ( )������ ¬∃≡¬∀ �
��"���� ;%� ��� !����� 2� ������� ��� &�� �� ��%� ���� ���!����������A¬∃ ∧ ¬� �-, � �%,&� � ! !!�
� 2,�� �������������������������������.�����������A�
� ( ) ( ) ( )! ! ! ! ! ! ��%,&���-,���%,&���-,���%,&���-,� →∀≡∨¬∀≡¬∧¬∀ �
� .���,������������ �A�H������������������������H$�
������"������������!������ A�
!� !� ���������� ∀∀≡∀∀ � !� !� ���������� ∃∃≡∃∃ �
!� !� ���������� ∃∀�∀∃ �
<���%������������������� ��,���;�� ������������������������<����.���!� !� ���������� ∀∃�/∃∀ $�
?����������������������,���� �&�A�3������4*������<�� �"��4 ������������� �
�����������������,�� ��������!����A��
��������%������ ���������������$���� �����������������$���� ��&�������������������%������ ��
=������ �������������
( ) ( )( ) ( ) ( )( )����������� ∃∨∃≡∨∃ �
�
( ) ( )( ) ( ) ( )( )����������� ∀∧∀≡∧∀ �
<���%�0���� ��,���� ����������� �� ����� � �,����� �� ����� � "����� ��A
( ) ( )( ) ( ) ( )( )����������� ∃∧∃≡/∧∃ <�,���(��,�<�,������������,���� �&��� ��4����������� ��4� ���������5���0����������A� '������ �����������5�� � .��� '�������������������������5�� �
�����������!���A� ( ) ( )( ) ( ) ( )( )����������� ∀∨∀≡/∨∀ <��(��,�A�
3������6������������ ��4�������$���� ��4�������������
��� !����� !���� ��� ���������� ����� ��$��� � ������� �� ��� �.���������� �� !���� ��������������������$��������������������� �
��
�
���������������� �������������� �
:'-:�
=������ �������������� ��������%�
( ) ( )( )�������� ∨∃≡∃∨ � ( ) ( )( )�������� ∨∀≡∀∨ �
( ) ( )( )�������� ∧∃≡∃∧ � ( ) ( )( )�������� ∧∀≡∀∧ �
#����������,��� ������%�
��
�
���������������� �������������� �
:'1:�
Formas Normales
#!��������53%�?���� ��.�������!&������� ������������"��<��"�����0�&�<'�������������!�����
.������ ������� �
����� ���� ��� ���� �����!� ������#∀ ∃� %���. ��������!&���������� �����!� �����$�
��� �� ��� ��� � � � � ����� � � �
L � ��� ����������!������� �<���������� .��� . � ��������
"����/��������!&�����$�
2� ������ �&��������� ���������������������.��� ���.�����!&������ �������,���������������!�������������!&�������.������������������0�����)����@�$�?�����!&��������!����� ������� #�������� ���������� ������%� ��� �,�� ����� ��� ����� 0� ������� ���������� ����>��������,��� �,��������!&��������� �����!� �����@����� ����,�� ������������������$�
���"��6%�)���� ���.�����!&������ ���������� �� ������,���� �������,������� ����������!&�������.������������������0�����)����@�$�
#"%� ��� ������� �&�� ������� ��� ���� ��� &�� ��� �����!������� ��� !&������ ���������������������������������.������� ����������� �&���������<�������������!&��������������0�����)����@�$�
���,�������������������A��
:�3������������������ �������������������������� �����!� ���$�
:�������������������,�� � �&��#↔%<������������ ( � ( ( �↔ ≡ → ∧ → ! ! �
:�����������,�� � �&�A�� ( � (→ ≡ ¬ ∨ �
:2,�� ��� ������ ��� �� C����� �� �� ���� �����!� ������ ��� !���� .��� �������� ������&���!� ������!&���������&�� ��$�
:� )����� ��� �����!� ����� ��� ,��� �,�� ��� ��� !&������ �,�� ���� ���� ������ ��� �����!� �����$�
2� ������ �&�� ��� ��!������� ��� ����� 0����� � ��(������� �� ��� ����� 0��������������$�)�������<������������������������������ �&�A�
�
��
�
���������������� �������������� �
:'7:�
∧="
�
"/�
����������������!&������ / / / �� �∧ ∧ ∧L � ∨="
�
"/�
����������������!&������ / / / �� �∨ ∨ ∨L �
#!��������57%���� ��������������!&��������&�� �� � � � �� � � � !� � K � #����� ��������� ��������� �����%������!&��������&�� ���������¬� � � �� � � � !� � K #���������������������%���
#!�������� 5;%� � ����!&������ � � �����������"��<��"�������������&�<�'� ��� ��������
�(�� �&��!�������������!����� ��
��
∨∧== "'
'
�
"�
"
��<������ ���� �"' ��������������$�
#!�������� 5>%� �����!&������ � � �������� ���"��<��"���#� ,������&�<#'� ��� ��������
������ �&��!�������������!����� ��
��
∧∨== "'
'
�
"�
"
��<������ ���� �"' ��������������$�
���"��+%�)���� ���.�����!&������ ����������,������� ����������!&�������.������������������0�������(�������#����������%$�
#"%� ����.����� !&������ ��� ,����� �����!����� ��� ���� !&������ ��� ����� 0�������(������� #����������%� �.����������������������� ������ �����C�����������,�,���������������������$�
#!��������)8%�����!&�����������������"��<��"��������������&�� ,������'���0�(������ ������0�)�#�0)%<�����������������0�������(������� #����������%�����������0�����)����@�$�
���"��9%�����.�����!&������ ����������,����������!������������!&�������&�� ��������.���������������������0�)��
#"%�?�������!�������!&����������0)��������������������4��������������!&����������0)��<��������������������/���������!�����������������0��
#!��������)5%�����!&������ ������������������"��<��"�����2?��"�&�<2'��������������0�)����������� �����!� ��������������������$�
)���� �������� ���� !&������ �� ����� 0����� ��� ?I���� ��� �� ������ ��,������ ��� �����!� ������ �@����� �����$� ��� !&������ �������� �� ����� �&�� ������� �.���������� �� ����������<�����.���������.�������!� ����$���
2� ������ �&����������������������������I������ �&��,������,��������� �����!� �������@����� �������������!&������ ������$�
��
�
���������������� �������������� �
:*5:�
@������"��& ?��"�/�����'�
'$:�?����� �����,������ �����!� �����@����� ����� ��������,�������.������$�
*$:�?���������� ���&<�!��������$�
4$:�?����� �����!� �����@����� ������������,��� �,��#������!����∃�� � !%<������,����������������� �����!� ����,������������ ��������#.��������� � ! %$�
������B��������,���'$�
/$:�?���@�������� �����!� ������������������ ������ ���� �����!� �����@����� ����������!���A� !���� ���� ��������� �� �� ∃∀∀∀ � ��,������ ��� ��������� �����!� �����@����� ��������� #�%� ,�� ���� ������ !�� �&�� ��� ���� ���������� ������������ ����������# ���� ��� �� � %$�K�������������!���A� !!��� ���� ������ ��� ����������� ���∀∀∀ $�
������B��������,���'$�
���"�� 3%� ���� ���.����� !&������ ��� �&�� �� ��� ,���� ���� ��� ,����� �� ������ ����!&�������&�����������������������������0��������?I���$����
#"%�C�������� ��� �������� ���������<� ��� ,����� ������� ���� !&������ �.���������� ��������0�������(�������)����@��#�0�)%$�)��������������!&����������0?������ ��������,��������� �����!� �������@����� ���������;�����,����4���/��������������������$���
?����������������,���4<�����!&������������!����∃�� � ! ���������!� ����� ������@������������� ������������������ .��� �����!� �� � $�)����� .������������ �������� � ��������������������<������������ �����������.��������!� ���<����� ���� � ! �����������!� ����$�
?�� ��� �������� ��� ,��� /<� ������� ��� ����� .��� �����!� �� � � ��,�������� ��� ��� �������
���� ��� �� � <$� ?�� �� ����� ���� !�� �&�� �� <� .��� ������� ���� ����� �� !��� �� ����� � $�
���� ��<� ��� !&������ !!��� ���� ������ ��� ����������� ���∀∀∀ � ����� �� ����������!� ����$�
���������� �&�����������������������������$�
"�� ������ ��� ��!���� ��� ������ ∀ ∃� �� � � � ! � �� ∃ ∀� �� � � � ! $� ?�� ��� ���� ��� ���������������,���� �&�A�H7 �"��J������� ����� ���H����������A�
∀ ∃� �� � � � ! �J�H!������������������$���� .��������������!� ����� ��7 �"� ������������=�������� �������!�� �&��� �� �����,������.�������� ������ ����
∃ ∀� �� � � � !� JH'����� �$���� &�� ���� ���� ��� ����� � $� ��� ����� ��� �������.�������!� ����� ��7 �"���� ��������� �������� �����,������.�������� ������ �����$�
�
��
�
���������������� �������������� �
:*':�
#!�������� ))%�����!&�����������������"������ ��� ������������0?��� ��� ��,��������� �����!� ������������������������ �(�� �����,�� ���;$�
��"����>%�������������,�����������������������!����A� !�����&���������5��������������8"%��������$�����������������������&����%�����9�$���$�
)����!������������!����<�������A�
:�: ���J�@���������=������� :- ��J�@���������!���!��� :�� ��J�@����������������
:�2#@<�%J�@��,�������� :�7 �"���J�@� � ���� :�+ ��J�@�������,�����(��������
K�����������!&�����A�
( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(����������)� →∀∧∧∃→∨∀ �
)���������!��������!&�������������������������������<����,�������������A�
'$:�3������������������ �����A�
( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(����������)� →∀∧∧∃→∨∀ �
'$:����������→ �
( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(����������)� ∨¬∀∧∧∃∨∨¬∀ �
*$:������� ������� ����$�
( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(����������)� ∨¬∀∧∧∃∨¬∧¬∀ �
4$:�)����� �����!� ���������,��� �,��������!&�����$�?����������0)$�
( ) ( ) ( )( )( )( )!� !� ! ! ! ����(��������)��� ∨¬∧∧∨¬∧¬∀∃∀ �
/$:�)������������������0�<��,�� ����,�,���������������������$�?����������0�)$�
�
1��������������������.����������������0?<����,��������������� ����� ����� �(������� ��������$�
¬: ��∨� ���∧ ¬: ��∨� �"���∧ ¬: ��∨¬+ ;�∨7 �";��∧ ¬- ��∨� ���∧ ¬- ��∨� �"���∧ ¬- ��∨¬+ ;�∨7 �";��
∀�∃�∀;
��
�
���������������� �������������� �
:**:�
6$:�K������ �����!� �������@����� �����$�?����������0?�
�
+$:�?�,������ �����!� ������������������������ ������ ����� �(������� ��������<���������<�����������������$�
( )( ) �
�
���
∨¬∨¬∨¬∨¬∨¬∨¬∨¬∨¬
!� ! !!� � ! !!� !
!�� ! !!� � ! !!� !
����(�������������
����(�)�����)����)�
#!�������� )6%� ���� �������� L��� ��� ���� �������� .��� ������ �� �� =� ��� ��������
,�����<� ��� ������ ������!���A� ����� ���� �← � ����������������,������ � � ��� � �� ����� ������������ �������������������������������� ����������������� �������$�
?��� = '<������������A�B�(������H� H�
���� ��������L���������������,��������� � �� ���������(� ������������!����H ����� ��� �← H�
#!��������)+%�?���������� ���������� ��������������,��o� ����� ��������.��������������������$�)����!��� �&�<���� ���������� �������������!� ������ ������ �&��
¬: ��∨� � ����∧ ¬: ��∨� �"� ����∧ ¬: ��∨¬+ ;�∨7 �";��∧ ¬- ��∨� � ����∧ ¬- ��∨� �"� ����∧ ¬- ��∨¬+ ;�∨7 �";��
∀�∀;
��
�
���������������� �������������� �
:*4:�
Algoritmo de Resolución
Introducción
8� ��������� �� ��� ��������� ��� ��� ,�����<� ��� ��� ,������� ,����� ��� ,�������� ����������� ��� ����� �&�� ,���� �&�� �� ��� ,�,�� ����� ���������� ��� ������� ��� �� �,�����$�
��������������,��������,����������������������������� �&����������,�����&�� �����,���� ���<� ��� ���� �� ����� ��� ,��� ,����� ��� ���!� � �&�� ��� ��������� ����������������� ����$�
��� �������� ���������������;�� �� ������ �����!���� ��� ��� ������<� ��������� ��������,��� ��A������������ �������$�)�����������������5�����������������#����������5��
������������/��
Resolución Proposicional
����������������������������������� ������������������������-��
2�� � ���$�� ���"��%�-����-�,�$�� ���"���-������C-������ � ������������$�� ���"����*�-����C-���
��"����)5A�?����������A�H������)���������,���H���H?����������� ������������������B�����B��(�H$�?��,��������� ���.��A�H"�)���������,��������������������������B��(�H$�
����������<����,�������!����������A�( � �∨ ∨ �������������A�( � � ( � �→ ∨ ≡ ¬ ∨ ∨ �
����������������� �&����!�����A�� � � �∨ ∨ ∨ ��
#!��������6+%���������� ���������������� �������.����@���������������������!����.��� & �∈ ���� ¬ ∈& ��<� ��� �������� � ������ �� ��� ,� �� � � � ����� �� ��
�A { }( ) { }( )&�&����& ¬−∪−= ����� ! $�?���� ��.���������� �������*� ��� �� ����� $�
�
���"��3�&��� � ������������������� �������'%�������������������� ������������ ��� ��� ����&�� ����������$������ ���{ } ( )���� �� ����� � �
#"%� ?���� &&&&� ������ ∨∨∨∨= � � � �� ��&&&&� ������ ∨∨∨∨¬= � � ��� ���������
���������$��
����������������������� �����,� ����������� � & &&&&&&��� ������������ !� ∨∨∨∨∨∨= �� �
���� ����������� �&����������������!� ���������� ���������,�,�����,���$2$�3���������'7+6$�?����� �(������� �������������������!� ����<������������������ �����,���� #������������,�����%$�?����� �(������� �����!� �����,��������� ��������,����<�,���� ��������� ��.�����������������,�� ��������� �,���$�
��
�
���������������� �������������� �
:*/:�
)�� ��� ������� *<� ,����� .��� { } ( )���� �� ����� � � ��� �.���������� �� ,����� .���
( )���� ������ →∧ ����������$�?�,&������.����@��������������,���� �&��.������=� �������<���������� �&����������������A�
�)����� .��� ��������� ������ ������ �&�<����!&��������,����� ������� �� �� ����� ����,������������<������ ��<����!&����������*����$�
���"��7%�?������������������*� ���������������� ������� ���������� ��<����� ����������� �������������������!� �����$�
#"%� ?��;������������ �������<���� ���������� ��� *� ������������ ��� ��� ����&�� �� ��������<�,������<����!&�����A�� �� �∧ → r ����������$�)�����.���r ����������������<�,����.��������,�� � �&������������<�� �� �∧ ��������.������������������$������ ��<������������!� �����$�
������������������� �&�� =�.������������ �(������� �������������������!� ����<�,������������ ������,�������� ��������������������� �� ������������������$�?��������������� ���������� ��<���� �(��������������!� ����$���� ��� ������<������������������>������� �(������� �������������������������� ����������,�������� ��������$��
�
@������"����� ������������� ��������
�������%���� �(������� ���������7
2�����%���� ������7�����������!� �����
'$:�8�� ������ ���������� � �� �� ∈ �������.����@������������������.��� ��,���.���& �∈ ����¬ ∈& �� �
*$:�?������� �������A�
� 4$:���� ������ � �& � !� � ����>��������� �(����7
� /$:�?���� � �& � !� � = r ����� ���2@��C����� ����.���7������ ��� !�������
� 6$:�?���<�2>������ � �& � !� � ���7���B�������'�
4$:�?��������� �������A�2@��C����� ����.���7���� ��� ��� !�������
��"���� ))%� � ?���7��� ���������� �(���� ��� ��������� { }������� ∨¬∨¬¬∨¬ ��� <� ���,��������������.���7�����������!� �����,������� �&�$�)�������A�
��∨��''�∨�M �∨��'��∧∧∧∧�¬��∨��*'�∨�M �∨��*��→��''�∨�M ��∨��'��∨��*'�∨��*��
�� ��
��
��
��
D�������������E�
��
�
���������������� �������������� �
:*6:�
:�?����������������� ���� ��������#¬ � %� ����� �������#¬ ∨ ¬ ∨� � � %<����������¬ ∨ ¬� � $�
:�?������������=������ ����������������� ������������� ��������#¬ ∨� � %���������A�¬� �
:�?������������=������ ���������������� �����,����������������������� ���������� ���o�
)�����.����������������� ���������� ��<�7�����������!� ����$�
2� ������ �&�� ��� ,����������� ���� ������ ���������� �� �������� ,���� ��� ������� �&�� �������������� �,�������������������������� �&��,�,�� �������������������� � �,����������������� ���!������������� �&���������$�?��,�����,�!���������������N8��:2���74O$�2�����<��@���������!�������������������������� �,������ �&���������;����������������<�� ����N?,��� =�������7'O�
��"����)6%�?������ �(������� ��������� { }�������� ∨¬∨¬¬∨¬= ��� <�,���� ����������������������� �,����7������ ������.������ �(������� ����������.�������������!&��������������0�������(������<��������� ��<� ( ) ( ) ( )������� ∨¬∨¬∧¬∧∨¬∧ $����������������� !������ ��� �������� ��� ����� ������� � ����,�������� ��� ���� ��� ��������!����!� �����������������!���$���������������� �����A�
�
!�
!¬ ∨� �
!¬ ∨ ¬ ∨� � � !¬�
�
�
�
F F
F
F
¬�
¬�
¬�
���
�"��5%�?����� �(������� �������������������!� ����<����� ������������������ ����!��������������������,���������!���<�����������<�������� ��<�*�������!����$�
�"��)%������������!�����!����!� ����������������������� ������������� �(����.�������������*� ����� ������������
�"�� 6%� ��� ��������7� �� ����� �� ������ ���!���� �� ���������� ��� �(���� ������ �,�������� ��� ��� ���������� .��� �,��� ��� ��� ��� ����� .��� ��� ������ ��� ����� ���� ������������ �=������$�
#"%�)�����.������ ��������7����!����!� ��������������<����������������������������������������������������������,���� �&��,�� ���� ����,�����������$�2�����<������������������������������������ #,�����.���7�������������� �&�%� ���� ���<����������������������������� �,���������$�
#!��������69%�?�������������������!������������������������������ � �������=�(������������!���$�
�"��+%���������������!���<������.����&�������������<�������@�������������������������!���� ��$�
#"%� )����� .��� ��� ����� ��� !���� ��� !����� �� ���� ������ ��� ����������� ��� ��� ��� ��<��� ������������������������;������������������� �����=�(�$�
��
�
���������������� �������������� �
:*+:�
�"��9%������������!���� ��������� �����,����������� �&��������� ����������� ������������ ��� =�(�$� ��� ���������� ��� �� =��� ��������� ��� !����!� ��� ,�� ��� ��� �� �<� �����������<�,������������������� �����$�
#"%���������������!���� ����� ���.�����<����������������.����� �����.��������A�
F�� �& !
"
!�
� = V !¬
=�
� F
F�� � !%
' 0
�
:�)�����.�������������!����!� &��'�����;�� �.��� ���������������9����,� ������������
��������%<���� ���������'������ ������������������¬� �# �,���������,����.�����������%$�
:�)��������������&���������<���� ���������0������ ������������������%#���� �,���������
,����.�����������%�
)��������'����
0�����������������,� ����%$������.���������A�
0'0'�
00
''��,#����,#�����
��,#����
��,#����99!�
9
9∨=
��
∨=∨¬=
�
��������� 9<��'��������������<�,������� �,#�� �
'9 ������������ �����������<� ��
�,#�� �'
9 ��� ������������������%������ ���������������������������� �$������������!���<� �,#�� �
09 �������������������� �� ���� �$�)������<� � � � �,#�� � �,#�� �
� ' 0 ' 0 � ! 9 9= ∨ �
��������������������������"����� ��<��������"�������������!����,���������������������
'����
0�
��� ������<�,����� ������ .������ ���������� ����!����!� �������� ��,�� ������ ������,������ ���� ��� ��� ��!���� ��<� �� �(��,�<� ���� ����� ��� �(���� ��� ���������{ }������ ∨¬¬∨¬ ��� (���������������� <�(���� ���������������������A�
!�
�
�
�
!¬ ∨� �
!¬ ∨� �
!¬�
¬�
¬�
¬�
!¬�F F
F
F
�
��� ���������� ���������� +��� -���� #¬�%� .���!����!� �� ������ /�,�������� ��!����!� ����������� ���<�������*$�
�
��
�
���������������� �������������� �
:*-:�
�
�
���"��;�&��"���������@������"����C ������������ �������'%�?����� �(������� �������������������!� ���������� ��<��,�� ����������������������� �&�<������ �������� ���������� ��$�
#"%������� �(������� ����������������!� �����<����������������� �����������������!���� #�����'%<� ��������@������� �������������������!���� ��� #�����/%� ����� ���� ���,����� !����� ��� ���������� ��� ���� ��� =�(�� #����� 6%� �� �>������ ��� �(���$� ?�� ��� ����������������������� �,������������ �(���<��������������������� ����������,�.��>� .��� ��� �������� #,����� .��� ��� �� ������� ��� ��� ��� !���� �����%� �<� �� ��� �(���� ��� �������!� ����<� �@������� ��� ����� ��� ��� ��� ��!���� ��<� $$$<� ��,������� ���,� ������������������������������� � �����������.��� ����,����������� ���������� ��$�
Resolución General
���������=������ ��<�������������������� �&����������,�����&�� �����,���� �������,���������������������������� �&���������������������� �&��,�,�� �����.����� �������� ,��� ,����� ��� ���!� � �&�� ��� ��������� ��������� �������� ����$� ��� �� �����<� ,������<���!�����.� ���������������� �&��,������!������� ������ �&��.� ����������!� ������� ��������$�����������!����������� � �,������,������������ ����������� �&����������������������� ������� ����� �,�����$�
#!�������� 63A� ���� �� ��������� σ � ��� ��� �(���� !����� ��� ��� !����{ }�� �-�-�- :��:�: ���� � ������ ���� -" ����������������<� ���� � " �������� ����������������-" �����������������- - -�� �� � �L ����������������������$�
#!��������67A�����0�� ����������� ����<����������������� �(�� �&��������� �&��������������$�����0�� ���� �"���������� ��������������
#!��������6;A��?��� { }�� �-�-�- :��:�: ���� �=σ ���� ������@,����&�<����� ��������!�������
�� ����������'�,��σ �<��������,�� ( )�σ <�� ������@,����&��.����������������������������������������� �����,��� �&�����������������-" ����'�,������ ����� � " ���#" �= �� �K %$��
��"���� )+A� ?��� � � � � � �= � � !! � �� { }! :�: ��� �=σ � ���� ���
( ) !! !� � ���� �� =σ $�
2�� ���������
���� �������� �&�� ����� ��� �� ������ .��� ��� ,��������� �����!����� !&������$� �������� �� ,��� �,��� ������� �������� ����� ���� �<��������� �@,�� �&�<���� ��� ����������� �� ������!�������� ��� ��� �(���� ��� �@,�������<� =� ����� .��� ���� �@,�������� �������������� �� ��������� ��� ��$��
�
���� �� �������������* ������������ ������ � " ��� �����������������$�
?�� ( )�σ ��� ��������������������� ��� ( )�σ ���������� ��������* �������'��
��
�
���������������� �������������� �
:*1:�
#!�������� 6>%�?���� � { } ������ :��:�: ����� �=σ ��� { }�� #�#�#� :��:�: ����� �=σ ������������ ����<������ ��������"�� �������� �� �������� �σ σ� �o ��������������� �&�A�
���� �� !"-�.�� { }����� :!� :� =σ ��� { }�� ��� :�:�:� =σ �����������
#!��������+8A������������ �&����!������,����� �(������ ������������� �� ������������.��&��������� �&�����������������������,��ε $�
��"����)3A�?��� { }����� :!� :� =σ ��� { } ��� :�:� =σ $��
{ } � ���� :�:!� :�� =σσ � /�
#!�������� +5A������ ����@,�������<� � ��� �<������ ��.������������� � ����@����������������� �����σ����σ� �������.��� ( )�� �σ= ��� ( )�� �σ= $������ ������� ��.���'�������������������-��.���-��������������������'�
��"����)7A� � � � � � � � � !� !� ! �������������������� � � � � � % � � !� !� ! $�?���������<�
7"�� ������.���������� ��������,��� � �: $�
( ) ( ) ( ){ } { }'' #������� ::��:�: ������� �� σσσ � ���� ' �= �K <�
{ }�' ���� ��� �� �∉ ��������������������������� ( )"" �� �:σ �.��� ��,���� ( )"" �� �σ= $�
{ }�� �� :!� :�� =σσ � 7�
�
�
)�,����������������,�� �&�����?������� �����
:�@ ��������%�σ σ σ σ σ σ� � � � � �o o o o ! != �,��������������������� �����σ σ σ� � �� � ��
�����,�,������,����������������,�� ������������� �,�� �&��������������� ������
1� ��"���� <����%� ��� �������� �&�� �� ��� ��,��� σ ε ε σ σo o= = � ,���� ������������ �&��σ $�
:�<�� ��,�����������������""�������$�
:� ( )( ) ( )�� ���� σσσσ �= �,��������������������� �����σ σ� �� ��������@,��������� $�
�
?���� � � � � �= � � !!<����� ��A�
σ� ! !� � !!� � � � � � �= ��� ( ) !! �!� ! �� � ���� =σσ �
�����������!���A�σ σ� �o ! !� � !!� � � � � = �
�
�
�
��
�
���������������� �������������� �
:*7:�
� � � � ! ����������������������� � � � ! $�
#!��������+)A�?���� ������@,����&����,���� �(�����������������.����,��� ������'������ �� ��������� �� ���"���"����� ,���� '� ��� ���� �������� �&�� ��� ��� !����{ }�� ���� :��: �� � ����� .��� { } ��� � ⊆��� � ��� � ' � ����������������������������� ���.�����,������ �����,�
��
�
���������������� �������������� �
:45:�
#!��������+6A������� �(����!���������@,�����������,���� { }����� ��� �� �= ��������������� �&�� ω $� ?�� �� �� .��� ω � ��� ��� ���!������� ,���� � � ��� ���,� �� ��� �,�� ��� ����������� �&�<���� �(��������������$������ ��<���A� ( ) ( ) ( )���� ωωω === ��� �
��"����);A�?��� { }!� !�!� �������� = <����� ��� { }������� :!� :�:=ω ����
������!� ��������<����.��� ( ) ( ) !!� �� ������ == ωω �
#!��������++A�?���� ��.���������!� ����ω �,������� �(����!���������@,�����������,������� ��� ���!������� "* � �����#���%� ��� ,���� ���.����� ��� ���!� ���� ′ω � � �@����� ������������ �&��σ �.��� ��,��� ′ =ω ω σo $���!�������������<�������!� ����������������,����� ����������� ��������!� �����������,�������������,����������!� �����$�
�(��,�� )>A� ?��� { }!!� � !!�� !� �-����%����� = <� ���,����� �,����� .���
{ }��-%��� :�:!� :=ω � ��� ��� ���!� ���� ���� �������� .��� ���.����� ���
���!� ���$�)���(��,��������!� ���� { }��-%����� :�:�:!� :=′ω �,������������������
,���������ω ��,�� ��������������� �&�� { }�� :=σ $������ ��<���� ��,���.��� ′ =ω ω σo $��
�������(��,���������<����,������������������A� { }��%-��� :�:!� :� =ω ���������� ��.���������!� �����������;�� �����������������$�?�������������,�������������.���ω ��� ω� ������� ���� ������,�� ��� �������� �������� ������������� { }%- : ��� { }-% : <� ����
.��A� { }-% :� �ωω = ��� { }%- :� �ωω = <���,������<����� ���������.��� �������������,�� ����������������������������������$�
���"�� >A� ?�� ω�� �� ω� � ��� ��� ���� ��� ��� �(���� ��� �@,�������� 7<� ���� ��� �����@,��������ω� !� ���ω� !� �������������$�
Unificación
��� � �,��������!� � �&�������������L��������.���,������&<����������������'745<���������������������������,���� �� �����������!� ����������� �����$�?���������<�������3�����<����'7+6<�.�����������������������>���,�����,�� ������������������,����������������� ,�� ����� �&�$� ��� �������� ��� 3������ ��.������ ����,� �� ��,� ���@,��� �������<����������� ��<����=���������������������!�����,������(��������!� � ��$�)���� ��� ����������� ��������� ���� �������� ��� ���!� � �&�� �� ���� �,�� � ����� �� ���� ��,�<�� ����NP���=��17O$�
�
�
�
?���������<� � ��� �(���� { }!! � !�!� 1������� � � �� ��� ���!� �����,�.���������������������������� <������!� ��$�
�
�
��
�
���������������� �������������� �
:4':�
#!��������+9A������� �(��������@,�����������,���� { }����� ��� �� �= <������!����
������������ ��#� �������� � � ���� ������ � ��� � � �� ��� ������,�� ( )�� <� ����� �(���������������������������!���A�
��"����68A�?��� { }!!� !� !��!� !�!� !� ����������������� = <�,�����.�������������@,����������� � �������������<������� ������,������ �(���� � ' � �������� ��,�� ����������������������� �(������ �$�?�������A��
'5?�� ��������� �@,�������� ���������<� ���� .��� ������ !������� ,�� ���� ������ ������ #���,���� ����!�� �&�%���������������������;�����������������<������� ≥ ' �
�
2� ������ �&�����,��������������������"�������!��������(�.������� ������������� �(����!���������@,����������������������������������@,��������������!� �����$���� ��� ���������!����.��������@,�����������������!� �����$��
������������������ �,��������������������!���$�?�,&������.������.����������!� �������@,�������<������������,������� ��������,�������.���������� ����������������@,�������$����,�����������������(�����=� ���������� =��=�����.�������� ������������������ ��!�������$� ��� ���� �����<� ��� ��������� ���!� ��� ���� ��� ����@,���������� �������$� ?�� ��� ,������� ���!� ��<� ��� ,� ��� ����;�� �� ���� ��� �@,�������� ������,�� ������ ��� ������ �������� �&�<� � ��� �<� ���� �@,�������� �� ��� ���!� ������ �� ��� � ���$����������,��������� �� ������!����������������@,�������<���� �,�� �&���������������������� ����������������$�
)���� ��� ��� ��, �&�� ���� �������� ��� �� ������ ��!����� .� � ��� ��� �(���� ������ ��,�� ���$�
:�?��� �����������<����� ���� � ! = ∅�
:�?���A�
:�?�������@,������������ ���������H���������H'5<������ ��<�� ����������!���A�
� { }!��� �!���� !���� ������������ � �� ������������� ����= �
?�� ��!���� { } '''' ���� ��� �� �= � � �� � � � � ' ! != � ,���� ��� ����� 9� ���� .���
� � ' ! ≠ ∅ �
?����� � � ! = $�
�
��
�
���������������� �������������� �
:4*:�
� { }! � ��� = <�.�����������������<�������� ��,�� ���������������� �(������ �$�
� { }���� !� � = �<������� ���������� ��,�� ���������<��.��<� ��������������<��������
�@,�����������������<�.������� { }������ !� ! �� == �
��������9�.��� ��,���.���� � ' ! ≠ ∅ ����*��<�,������<� { }������� !� ! ! � == �
@������"�������!��������
�
'$:���� ������ �&�A�0 -= '<�σ ε'-= �
*$:�?��σ 0 � ! � ����������������!&��������&�� ���#Q�L���������!� ���,��σ 0 �Q%�
� � � ���� ��A�?��������������σ 0 �.������������������� �
� � � ���A� ( )( )��� 00 σ=- �
4$:�?������0 ��@�������������������������� ������������$���������������������������� ��A�
� � { }�-00 :� �σσ =+ �
� � 0 0= +��
� � B��������,���*$�
� ������A��?��������������.������ �(����� ���������!� ����$�
�
�
�����������������!� � �&��,��������� ���������������������� �&��������,���4<����� .���,�������@�������������,������������ �����=��� ��� ���� ����� ���� �$�?���������<�����,�� � �&�� ��� ���.����� ���� ,��� ��� ,�� ��� �������� ������� �@,�������� .��� �&����!����������������������������������$������ ����.���������������������<����.����������������;����!�������������������� �����,�� � �&������,���4���������������������$�
�
�
�
��
�
���������������� �������������� �
:44:�
��"����65%�2��
� { }!� !!� !� ��������� = ��
��"����6)%�2�� { }!! !� � !!!� �� ������������� = �
������,���4�������������������!� � �&�<����������� ����� =�.������.������� ������� ������������������$����� =�.������ � �� ��H =�.������ ����� ���H# ��� =� I%$�2� ������ �&������������(��,����������$�
� ��5%�0 = ' (�σ ε' = ��
� ��)%�{ }���� !� ' =
�
� ��6%��2��������- �= �,�� � �= ! �� { }! :� ���=σ (�0 = ��
� ��)%� { }!! !� !!� !� ! � ����������� =σ (� { }! !� � ����� = �
� ��6%�<���������������������������������� ��.���0"�������!� �����$�
�
� ��5%�0 = ' (�σ ε' = ��
� ��)%�{ }��� �' =
�
� ��6%�2���������4/(��4��� { }�� :� =σ (�0 = ��
� ��)%� { }!! !� � !!!� �� ! � ������������� =σ (� { }! �� ���� = �
� ��6%�2�������%��40(��4B&,'�� { }! :�:� �����=σ ��?4)�
� ��)%� { }! !� � !!!� !� � ! � �������������� =σ �� { }! �� ���� = �
� ��6%�2���������4,(��4�&�'��{ }! :!!� :�:� ���������=σ
(�?46��
� �� )%�{ }!!! !!� � ! � ��������� =σ
� �����������2����� ,�������� σ� �$�� �*����"����� ��
�
��
�
���������������� �������������� �
:4/:�
��"����66%�2��� { }!! � !�� �������� = $�
��"����6+A�?��� { }!� �!�� !�� !��� ����''� −−= ��� �������������� �� $�
�
)���'A�0 = '<�σ ε' = $�
)���*A� { }��� �' = �
)���4A�?��� �����4�"�4��� { }�� :� =σ <�0 = ��
)���*A� { }!! � !�� ! � �������� =σ <� { }! �� ���� = �
)���4A�)�����.������,��� ������ ��<���� �(����0"�������!� ����$
3������ ������&� ��� �� .��� ��� � �� �����"�� �� ���!�������� .��� �����������������!� � �&��,���������������������������� �(��������@,��������������!� ������,���������� ��.������ �(������������!� �������� ��������� ��$��
��� �������� ������!� � �&��,������������ �� �����������!� �����$�������,��� ������ ���<��������,�����(� � �&��,����������������������!�� �&���@,��� �������������������������������$��
��
�
���������������� �������������� �
:46:�
Algoritmo de Resolución General
#!�������� +3A� ����� ��� ��������� ��� �� �� � ���� ���������� �����<� ������ .��� & �� �∈ � ��¬ ∈& �� � �����������������.���,�������������!� ����,���������ω $�?���� ������ ���.�������� �� � �����*� ��� � � ����� ��� �����!������� � �������� ��� ,� �� � � ������� &� � ,� &� �
����� �������A��
��"����63A�?�������� ��������A�� � �� = ! ���� � �� = ¬ ! $����!�� ���������;�� �����������<������������������ { }�� :=ω ����������������� � � � !� � = o���������� ���������� ��$�
��"����67%�?������ �(����{ }! !!� ����� ¬ $��
��� �&�� �� ��� )������ "����� ��� �������� ��� ����� �&�� ��.������ ��� ,��� ,����� ������!� � �&�� ��� ��� ���������� ,�� ��� .��� ��� ��������$� 2� ������ �&�� ��� �@,���� ������!��� ����� ���� �������� ��� ����� �&���������� �����!� � �&���� ��� ���������� .������ ������������,�� ��������� �,���$�
{ } { }! ! ! ! !� ������� ��&�&���� && ¬−−= ωωωω � �
�
��"����69A������ ���������� ����������
� � � � � � � � � � �� = ∨ ∨ ¬ !� !! � ! ! ���� � � � � � � � � � �� = ¬ ∨ !!� !! !� ! �
�������������������& � � � � �� = !� !! ���& � � � � � �� = !!� !! ������ ���������������
{ }����� :!� :=ω �
���� ��<������������������������ ����,� ���� &� ���&� �����A�
� � � � � � � � � � � � � � � �& &� � � �� � ! !� ! !! !!� != ∨ ¬ ∨ �
?������������ .��<� ������ ���������������� ��������� ������ �(���������� ���������� ��<����� ������� �(��������������!� ����$��������(��,�<������ ���� .������ �(����{ }! !� ���� ¬ �����������!� ��������.�����,�����������!&������∀ ∧ ¬�� � � � ! ! $�
)����.������� ������� �,����#����,��$�/*%<����� ������������������������������������ �;�$����� ����������������������� ������������ ���!�������������<������=��� ��������������<���������������������������������,��������������������������<������ ��<�����,�� �������������� �&������������������,��������������� ����������������$�?���� ������.��� ���� ���������� ��� ���� �������� ������ �����!� ����� ��,�� ��������� ��� !���� ���������������������������������������������� ��������������!� ������������� �(���$�
��
�
���������������� �������������� �
:4+:�
@������"����� ��������������
�������%���� �(������� ���������7
2�����%���� ������7�����������!� �����
'$:�8�� ������ ���������� � �� �� ∈ ������������
*$:�?������� �������A�
� 4$:���� ������ � � � !� � ����>��������� �(����7
� /$:�?���� � � � !� � = r ����� ���2@��C����� ����.���7������ ��� !�������
� 6$:�?���<�2>������ � � � !� � ���7�B�������'�
4$:�?��������� �������A�2@��C����� ����.���7���� ��� ��� !�������
''��� ,� ��� ��� ������������<� �� ����� �!�������� �� ��� =�.��� ��� ����� ���$���� ����,��������������!� � �&��������������� �������A� � � � � � !! !∨ ¬ $����� ����������,�����������!&������∀ ∨ ¬� � � � � � !! !! �.��������������$�
�
���� ��������� � � �� = !! ��� � � �� = ¬ ! ���,���������� �������������.��������!� ������������������������� =�.������ ����� ���$�?���������<�����������������������������<���������A��
� � � �-
� �= !!���� � �-
� �= ¬ !��
����������������� { }! : �� ���=ω <�.����A�� � �- -
� !� � =o�
)����� .��� ��� ������� ��� �������� �� ��<� ��� �(���� { }! !!� �� ����� � ���
�������!� ����<� �� ��� �(���� �������A� { }! !!� ����� � ����� �� ����� �������!� ����$� ����������������� ��� �<���� .��<���� �(���� �������<������������ ��������� �����!� � �&����������������������������<������A�
! !! ������� ¬∀∧∀ �
���� �(���<���<��������������<��������!� ����''$�
4����5���� �� �������� ������������������������ ���������%����������#���������
������������� ����������������������#�)�!��������#�������������������������������
��#�������������;���������������������#�������3/�6���������� �����������������
������������������������� �-�
�
��
�
���������������� �������������� �
:4-:�
��"����6;A�2� ������ �&�������� �������� �,��������������������� ����� �(���A��
'� ¬ ∨ ∨� � � � � � � � ! ! � !! � � �
*� ¬ ∨ ∨� � � � � � � ! ! !! � � �
4� 2 � ! � � �
/� � � ! � � �
6� ¬ ∨� � � 2 � � ! ! � � �
+� ¬ ∨ ¬2 � � � ! ! � � �
-� ¬ ∨ ¬2 � � � ! ! � � �
1� ¬� � ! � { }�� : � <�− �
7� � � � � � ! !!∨ � { }�� : � � )− �
'5� � � � !! � ε � = (− �
''� � � � � � � ! � !!∨ � { }�� : � � )− �
'*� � � � � � !! � ε � = ��− �
'4� 2 � � !!� { }! : ��� � > ��− �
'/� ¬� � � !! � { }! : ��� � ? ��− �
'6� o� ε � �' �)− �
)�����.���������������� ���������� ����������������������������,���4����� ����.������ �(���������#����������������!� �����
'*0���������� ��� �� �� .��� ��� ��!��� ���������� �,���$� ��� �� ��<� �,���� ,������!��� ������������ ����������� ���������� ��$�
��
���
¬∨¬¬∨¬∨¬∨∨¬∨∨¬
! ! !� ! !� !� !� !�
!!� ! ! !!� � ! !
���2���2�2������2
����������������
��������������':-� ����� ������������������ ������������� �(���$�2� ������ �&��#�������1���'6%��,��� �����������������������������#���������%�(���� ������������������������;�������� ������������������$�
��� ��������� ,��� ��������� ��� ��������� .������ �������� ��� ����������� .����������� ���,��� �,���������� �&����� ������������,�� ��������� �,���'*$�
��
�
���������������� �������������� �
:41:�
���"��58�&��� � ���������������������� �������'%�?��� ��������������������������� ����� ���� ���� ��� ��� ����&�� ������������ $�
?�,&������.��������������������� ��� ��� ����&�� ������������<����� ��<�������������������������������������������A�
�
#"%�)�����.��������������� �&�������!� ��,���� �������������������������������@,����&�$���������� ������ ���.������@,����&��'����� ��� ��� ����&�� �����'"������ ��<�,���� ���.������������� �&��σ ���� ��,���.��� ( )�� σ� �
���,���� ��������������� &� ����&� ���������������� �&��ω �������� ����� ��,�����.����
( )�� �� ω� �
( )�� �� ω� $��N'O�
2=���������,�����.��� ( ) ( ) ��� �∧ �� ωω �
?�������A�� & ��� � �= ∨ ���.���� & ��� � �= ¬ ∨ �#3� � ������.���& �� �∈ ���.���¬ ∈& �� � %�
�������� ������ ���,���������������������������������������� $�
?��ω �������������� &� ���&� ����� ���ω ω ! !& &� �= ��
! ! ! ��� ��&� ωωω ∨= �
ω ω ω ! ! !� & ��� � �= ¬ ∨ J¬ ∨ω ω ! !& ��� � �
)������,����<�
{ } { }! ! ! ! !� ������� ��&�&����� && ¬−−== ωωωω � Jω ! !�� ��� �∨ ��
=> �/�∨> )7/�?∧=¬> �0�∨> )70�?→> )7/�∨> )70�
�� ��
����
��
���� F�F�
��
�
���������������� �������������� �
:47:�
( )( ) ���
���
��
�
�
��
��
ωω
�
:�)����� .��� ��� ������������� ��<� ���,������ ��������� ��,�,�� ����� �������V F: $�?��=�����������.�������,�� ���������������������� �&���������� �(�������,�,�� ����� �������!� ������ ��� ������� ��� �������� �� ��� #������� ��� �,������,�,�� ����%$�
���"��55�&�"�����������'%��?��������� ����� ����������������������� ��������σ����σ� � ��� �������� �����������.�� ′ =� �� � �σ ! ��� ′ =� �� � �σ ! ����������������������� �;��������������������������������� ′ω ��������� �������� ′� ����� ����@�����#,������������%����� ��������� �������������� �����ω ���σ ��������.���� ��������������������������� �����������������ω ��� ( )�� σ=′ �# ′� �������������� ������� %$�B ���������.�����������!�����A�
�� ��
σ� σ�
′ =� �� � �σ ! ′ =� �� � �σ !
′�
�� � ′ω
��������
������-
�� ��
σ� σ�
′ =� �� � �σ ! ′ =� �� � �σ !
′�
�
�� � ω
σ
�
�
ω !&� ���,���������������F<����.�������@,����&������,������ � =����������!�����#������.�������V%$������������!���<����, �,���������������V �,����=�����!���������@,����&������������� � =���$�)������<����!&����������������,���������������F ��������������$�?�� ��,���.��A�
( ) ( ) ��� �∧ �� ωω ��<��������� ��ND�����E�: ������������!������O���������A�
������ ��������� .��� ��� �������� ��� ����� �&�� ��� ,�� ��������� �,���� ��� ���������� ��� .��<� ����� ��� �(���� ��� ��������� ��� �������!� ����<� �� ������� ��� ���������� ��$�
���,�������������������������� �&����A�
:� �������������������� ���L�������<� ������ �(���� ��� �������������������!� ��������� ����@����������� �(����!�������� ������������� ����������!� ����$�
��
�
���������������� �������������� �
:/5:�
:�������������������� ���������� ����������� �(������� ������������� �������@���,������������������ �(��������������� ��������<�,������ ���������,�������������������� �&�$�
��A��?�,&������.��A�
{ } ���� ��&&&� ��∨∨∨= �
{ } ���� ��&&&� � �� +++ ¬∨∨¬∨¬= �
���� &" � �������������������.������!� ����<��� ��� ��� � ��,��������������������������������� ���� ���������<�,�����.���������.����@������ ���������������������� ���� �������� > ' ���� > ' $�
?�� ��,�����.��A�
{ } ! ! ! ! �������� ��&&�� σσσσ ��∨∨==′ �
{ } ! ! ! ! �������� ��&&�� � σσσσ �� ++ ¬∨∨¬==′ �
′ω � ��� ��� ���� ��� ��� ���������A� { }! �!� !� �!� ������ � &&&& ++ σσσσ �� � �� �����������������A�
′ = ′ ′� �� ��ω σ ω σ !! !!� � � �U � � � � � � N*O�
)����� .��� σ���� σ� ����������������������� �;���� σ� � !� ��� σ� � !� ����, <������������ �&�� ( )�� σσω ∪′� ������������!� �������{ }� &&&& ++ ����� �� �� ����.��A�
( ){ }=∪ ++ � &&&& ����� ���� ��σσ{ } =∪∪∪∪ ++ ! �!� !� �!� ���������� � &&&& σσσσσσσσ ��
{ }! �!� !� �!� ������ � &&&& ++ σσσσ �� �
R����� �(�����������!� �����,�� ′ω $�
?���@�����������!� ���<��@�������������<� ����ω ����������� { }� &&&& ++ ����� �� �� <����� ��<�,�������!��� �&��������� ��,�����.��<�,���� ���.�����������!� ���� #�������� ��� ( )�� σσω ∪′� %��@����������������� �&��σ �����.����
( ) ωσσσω �� =∪′�� � � � � � � � � N4O�
?���� �� ��= ∪ω ω ! !� � ������������������������ �����,� ����ω<����� ��A�
( ) =�σ �
σ ω ω ! !!�� ��� �∪ = �
σ ωo !�� ��� �∪ = � � � � � � #�,�� ����N*O%�
��
�
���������������� �������������� �
:/':�
( )( )���� ���� ∪∪′ σσω � J�
( )( ) ( )( ) =∪′∪∪′������ ���� σσωσσω �� �
#)�����.���������� ����������������������� �;�<������������ �&��σ���&���!� ���������� �� ������ �!� �� ����� ��� � � #��� ������ !���<� σ� � �� �!� ��� �� ���%<� ,�� ����A�σ σ σ� � � � �∪ = ! !�� �� ���σ σ σ� � � � �∪ = ! !�� �� %�
J ( )( ) ( )( ) =′∪′���� ���� σωσω � � � � �
� #�,�� ����ND�����E�: ������������!������O%�
J� ′� �
)������� ( ) �� ′=σ <������ ��<� ′� �������������� ������� �
��"���� 6>A� ?��� � � � � � � � 3 � �� = ∨ ∨ � ! !� ! ! � �� � � � � � � � � �� = ¬ ′ ′ ∨ ¬ ′ ′ !� !! � ! � �� ������������ ����A� { }! :!� :� ������=σ ��� { } ��� :�:�
′′=σ $�?��������������.����A�
�
��
�
���������������� �������������� �
:/*:�
���"��5)�&��"����������,��� �,���������� �&���������%A�?����� �(������� ������������ �������!� ����<� ���� ��<� �,�� ���� ��� �������� ��� ����� �&�� �������� ��� �������� ��� ���������� ��$�
�
� � � � � � � � � �� = ∨ ∨ � ! !� ! ! � � � � � � � � �� = ¬ ′ ′ ∨ ¬ ′ ′ !� ! � !
σ� = � � � � � � � : !� : !� : !l q σ� = ′ ′� � � : � :m r
′ = ∨� � � � � � � � !� !! !! ′ = ¬ ∨ ¬� � � � � � � � !� !! � !
′ = ∨ ¬� � � � � !! � !
�� � ε
�
?���������������� �������� �&�<��@����������� �������� � � ������������� ����� �� � ������ { }����������� :!� :!� :!� : ′′′=ω �.����������������.����A�
� � � � � � � � � �� = ∨ ∨ � ! !� ! ! � � � � � � � � �� = ¬ ′ ′ ∨ ¬ ′ ′ !� ! � !
σ�σ�
′ =� �� � �σ !′ =� �� � �σ !
′ = ∨ ¬� � � � � !! � !
� � � � � � �= ′ ∨ ¬ ′ !! � !
�� � ω
σ = ′� :m r
�
�
������������������� �&��.��������������������������� �,�����A�
��
�
���������������� �������������� �
:/4:�
��A�?���7� ��� �(���� ��� ����������������!� �����<����� ��� ������������ ���������� ����������.������� ���A�
7�����������!� ������
� � � �#,���������������L�������%��
�@����������� �(����!�������� ������������� ������7�������!� ������
� � � � #��,�������������� �&��,�,�� ����%�
�@��������������� �&�������� �(������� ������������� ������7������ ���������� ��$�
� � � � #������������� �&�%�
�@��������������� �&������ �(����7��� �������������� ���������� ��$�
<��@A�������;��������,�� � �&�<�,����,�����,�� ������������������� �&�<������,���.������� ������������7����������������������� �;�$��
?�������������������������<����������������� �,���<����<�,���(��,�<���� �(���A�{ }!! !� ����� ¬ �����������!� ����<�����������<� � � ! ��� � � � !! ���������!� ��������������.����������� �������������
��
�
���������������� �������������� �
://:�
Estrategias de resolución
#!��������+7%��������������������������&��������@���������������� �,���������� �����.������!�.��������� �(������� ��������$�
���� �������� .��� ������� ����������� %���� ��� ��;���������� �;�.����� ��� ��� �������� �� ��<�,�����.��������������%������,�������������������� ���������������� �&�$�)������<������������������������� �������������������� �&����� ��������� ������������,���$�
��"���� +8%� ��� �(���� { }! !� ! !!� ! !� �������������� ¬∨¬∨¬= � ����������!� ����<�����������<�,�������������<����,����������������������� �������<�,�����.��������� �������������������,���* � ���$�
#!�������� +;%� ���� ��������.�� ��� ���� �������� .��� �����������������������������!�������� ������������$��
��"����+5%���� �������� � � � �∨ ¬ ∨ ∨ ¬ ��������������$8$�
���,����� ��������� ���������������������� �(������� ������������!� ������ ��� �&����� �����!� ��������� ���� �(���$� ��� �(���� ��� ��������� ,������ ���� �����!� ���������,�����������������.����������>��������������$������������!���<���� �(������� ��������� �������!� ����� �������� ������ �������!� ����� ���.��� ��� ��������� ����� ����
1�� �0����� ��� �������� �� ��� ��� �������� ��� ������������ �� ���� �������
������������$��������������������5������#�������3����������%�����������������/�
*��;�� ������� ��������� ��� ����������� ������ ��� ���5�#� �� ��#����� ��3� ����
���;������������������������� ��������������������/��
,������ ��� ���������� ���� �������� ��� ��������� ���������� ��� ����������
�������-� @A�0� ���� ��#������ ��� ����������� �� ������ ��0� ��������� ��� ����5� ��
�������� �B/�
8����������� ������������ �������� �� �������� ��������������������������
����� ���� ��� ������ �� ���������� � ��� ��� ���%����� ��� �������������� ���5�� ��
��#�������3!������������������������������������������/�
4�� ��� ��� �������%�� ��� �� �����5�� �� ��� �� ����� ��� �������� �� ���� ������
��������� �����������������������������������������#����������������������������$����
��� ��� ������ ��� �$������ ��� �� ��#����� ��3/� .�� ������� ���� ���;�� ������ ����
������������ ���� ����������� �� ��� ������ ������ �������� ��� �� �$�����/� 6�
��������� ���������������������������������������������#�������������������%��
��$���/�
Estrategias de Borrado
4�� �������� ��� ������� ���#� ��� �0����� ��� �� ���� ��� �������� ��� ������ ���
��#���������������������������5��/�.�����;����#���������������������������
�$�������������#�������3������������� ����������#����;����������������/�
1������� �������#�������������������������
������� �&���������������
��
�
���������������� �������������� �
:/6:�
���������$����,�����<�,������<������������������������������ �(������� ���������,����.�����������������������,� �������;�.�������������������������!� ������������� �(���$�
"�� ������.����������������������� �������������������@� �������� �,�����������,����,���� �,�� ������������� �&�� ������������$�0� ���,����������������������������� ��� �����,��������,�.�����������!� �����$��
��"����+)%���� �(���� { }! !� !� ! ������� ¬∨¬ �����������!� ����$�?���������<������������������,������� ����������� �(��������������������������!� ����$�
#!��������+>%����� ��������7� �� �"������� ��������3�����@����������������� �&��σ �����.��� �� ⊆! σ $�
��"���� +6%� ��� ��� �(���� { }! !� !� ! ! !� ! �� �1�-������� ¬∨¬∨¬∨ $� ��� �������� ! ! ���� ¬∨ ����������� ! ! ! 1�-��� ∨¬∨ �,�����.������ �������������������
��� �,�� ��� ��� �������� �&�� { }-��� :�: � �� ��� ,������� �������<�������� ������ ������ �������� �������$�������!���<����,������������������������� �������<�����������������������!� ������������� �(���$�
?��,��������������.���������� ��������3������� �(������� ����������������������,�����<����� ������ �(������� �����������������������3��������!� �����������&�������� �(��������������� ��������������$����� ��������������������,���������<�,������<�������������������!� ������ ��� �&����������!� ������������� �(���$�
��� �� ������ �������� .��<� �������� ��� ��������� ���� ,� ��� ��� ����� �&�<� ��� ,���������������������������� ���������.��������������$8����������������������������������������������� �������� =�.����� ��� �(���� ��� ��������� �������� ���� �� ��� �������������������������������� ��������� �&�$�
C �����������������
#!��������98%����������������������������� ���������������� ����������������������,������������� �����������������# ������&���������%$�
���� ����������� �������������������������,�� � �&���������������������� �&�������� ���������������������������������$�
��"����++%�?��� { }�������� ¬∨¬∨¬∨= ��� $�2� ������ �&������,�� �������������������������� �&����������<�,�������<�������� ���������,������ �������������������������.��������������������������������$�
'$:� � �∨ � � �*$:�¬ ∨� � � � �4$:�¬ ∨� � � � �/$:�¬��6$:�¬� � �
� � !� ) �� �
+$:�¬� � �� � !� ) �
-$:�� � �� � !� > �� �
1$:�% �� � !� < �
7$:��� �� � !� ? �� �
'5$:��� �� � !< ? �
�
"�� ������.����������������������������������� �(����������.������,������������������������������� �&������������ ����$�)���(��,�<����� ���������'���*�,�������
�
=����������� �����,����������� � �∨ $�?����������������� ������������������ ����������,������������������,�.������������������ ���������.�������������������������$�
1������� �����.������������
��
�
���������������� �������������� �
:/+:�
��� ,� ���������� ��� ����� �&�� ������� ��� ����� �&�� ��������� ��� ��� ����� �����,����������<�����������<�����������!� ������$�"�� ������.���������� �������������������� ������ ����������������<�����������������������������������.������ ���������������$�������!�������,� ����������������������;�.��������� ���=� ������ ���������� ��������������!� ��� ��$�
���!������������<����,� ���������������!���� ������������� ����� �&���������������<� ��� �������<� �,����$� )�� �(��,�<� ��� �(����
{ }��������� ¬∨¬¬∨∨¬∨= ��� �����������!� ����<�����������<��������� �&��������������� ���������� ���������� ���,�.������������������ ��������������������$�
)�� ������<� ����������������!����� ��� ��������� �� ���������L��� # ��������� �������������,������ ����@��%����,��������������.��������� �(������� ���������L�������������!� ����<����� ��� ����������� ����� ���������� ��� �,�� ��������������������� ����� �&����������$�
#!��������95%����� ������������������������������������� ����������������������,������������� ������������ �(����������������������$�
���� ����������� �������������������������,�� � �&���������������������� �&�������� �����������������������������������$���"����+9%�?��� { }�������� ¬∨¬∨¬∨= ��� $�2� ������ �&������,�� ��������������������� ����� �&������������<�,�������<� ��� ���� ����� ����,������ ��������� ����������������.����������������,������� ����� �(������� ������� ��������A��
'$:� � �∨ � � �*$:�¬ ∨� � � � �4$:�¬ ∨� � � � �/$:�¬��6$:�� �∨ � �������� � !� � �
+$:� � �∨ �������� � !� � �
-$:�¬� � �� � !� ) �� �
1$:�� �� � !� < �
7$:��� �� � !) = �
�
?��,��������������.����������� �&��������������������� �&����������������������������,���������!���� �������������������.������ ��������������������,������� ��������� ���������� ��<� �������������� �$�
���� ��� ��� �������������������.����������� �&���������������� �,�����,���� ���������L��<�,����� �,���������������$���� �����(��,�<����,������������������,�������������$�
Resolución de Entrada
Resolución Lineal
8� �������� �� ������ ����0�� �������� ����� �������� �� ���� �������� ���
��������!�������������5�� ��������������� �������������������������������
��� ��� ��� ��� ��#������ � ��������� ���������� �� ���%����� ������� ��� ������ �� ��� ���
���������������������/��
��
�
���������������� �������������� �
:/-:�
#!��������9)%�?�������� �(������� �����������7������������������ �(���$����� ������� ���������� ���� � �������� ������ �� �� � � �� 2� ���� ��*� ���� �������� ����� ������ ��� ������ ���������������!���� ����� ��� �' �= �������.���,���� �����4@"/"���"�A/A�
� #'%��"+� ���������������������" ������������������������������� ���������" �#�������� ���������������%<���
� #*%������ �" ���,������ ������#���������� ������������������%������������,����������" $��
��� ����� �&�� ������� ���� ��� ������ ���� ��,� �� ������� .��� ,��������� ���� ��!���� ��������������$����� ����� �&��������� ������� ������ ������������ �(������� ���� #����������*� �������/�%���,��� ������ ��������������������� ����� �����.��������������������!������,������� �(���� ��� ��������� { }��������� ¬∨¬¬∨∨¬∨= ��� $�"�� ������.��� ���� ���������<����,� ������,�����<� �������������� ���������������������������������� ������������ �(������� ����������������,�����$�
� �∨
�
�
r
�
¬�
¬ ∨� � � �∨ ¬ ¬ ∨ ¬� �
���� ����� �&����������������� =��� ����� �������;������ ������������� ����,�������������,������������� ����������������������������� �(������� ���$�
?��,��������������.����������� �&������������ �,����$�2�����<�������� ������,����� ����������� ������������� �(������� ���� �� ��������� ���������.��������� �(������� �������������������!� ������� � �∪ l q�����������!� ����<����� �������� ���������� ���������� ����������������� �&��������������� �� �� �������� �����$�)������<������������.������ �(������� �������������������!� ����<�������� ������,����� ������������������� �� ��������� �����$�
�
Resolución Ordenada
8��������� ����*,��*����#,&,��"-��������������������������� �����������������
��������������#�����������������������%�������������������������/�8��������� ��
� ��� ��� ����5� ���� ��� ������� ������� ��� ��� ��#����/� 8��� ��������� ���� �����������
��������������������������#���������������������������������������������� ����#�����
����������3����������������������������������������!����������������������������������
������� ����#���������������3��������������������������������������!/��
��
�
���������������� �������������� �
:/1:�
��"����+3%�?��� { }�������� ¬∨¬∨¬∨= ��� $�2� ������ �&������,�� ��������������������� ����� �&�� �������� #��� =��� ������� ��� ���������� ��� ���� �������� ,�� �������!�� �� %A�
'$:� � �∨ � � �
*$:�¬ ∨� � � � �
4$:�¬ ∨� � � � �
/$:�¬��
6$:�� �∨ � �� � !� � �
� �
+$:�� � �� � !� > �
-$:��� �� � !) < �
�
��� ��������6�������;�� ���������������������������� ���������'���/$����� ���������'���4�������������,�����.����������������� �,�������������������,������$�)��������������&�����, � �������������� ��������� *��� /�������� ��������� 4��� /$��������������������� �������� 6<� ��������� ����� �������� 4�,����,��� ������ �������� +<���� ���� ��������� ����� ��������/�,����,��� ������ ���������� ��$�
�������� �&���������������������!� ������#�������(��,�<������������ ���������� ������������ ���,��� ��� ����� �&�%$����!������������<���� ����� �&��������������� �,����$�?���������<����=�����������.������ ����� �&���������� ������ �,�����,���� ���������L��$�
�
������������������,����������,��� �,������������������������� �&�<� ��������>���.������,��� �,����� ������������������� �&��������� ��������������� ����� �&������������;���������������������������������� �(�������� ���������L��$����,���� ����<����������������)������ �&���&�� ������������������� �&����������������� � ���� ������� �&��?��#2��������������������������#�������7�����%�.��������!������������������������ �&�$�
��
�
���������������� �������������� �
:/7:�
Prueba de Teoremas por Resolución
���� ��� ���� ,�������� �,�� � ����� ��� ��� ���������� ,���� ��� ��"��������� �"������'4�!������������� �&��������� ������������$��
�������.��������!������,����� �(������� ��� ��� �����&�� ���#�������%�.������ ������� �� ,������ ��� ��� �(���� ��� ���� ��� !&������� #�@����%� ��������� ������� �����!���� ��$�����@������� �&������������������������ ���!����������������!����������������� ���� � ����� .��� ,�� ������� ��� �,��� �&�� ��� ��� ���������$� ?�� ������&� .��� �������������������� �,� ������������ ������������� �(��������@�����������!&�������� =�.�����������!&���������� ��� ��� ����&�� ���������@����$��
��� �� ������,���� ����������������(��!�����������������������������,�����@,��������������������������$����'755<�L�������� ����������.������,���������������@������������������������������ �<����!����.���,����������������������������� �����&���� ��������$�
?��� ������<� ��� '74'<� �S���� ������&� .��� ���.����� �������� ��!� ������������������� ��,���� ���������������������������������;�������������������� �,���$������ ��� �������!&������� ���������������������!� �����������,������������������$��
0� �@����<� ,�� ����<� ��� ,� ��������� �������� ,���� �� ����� ��� ���� !&������ ��� ��� ��� ����&�� �������� �(��������@������������������ �� ������,���� ���<�����=��.���������� ������������,������������� �������$�?���������<��@�������������������� ���&��,������� �(�������������� ����� �� ���,�,�� ���������������� ��� ������ �����<� ����� ���=�� �,�� �������������� ��=����������� �,������,������������������$��
��"���� +7%� 2� ������ �&�� ��� ��������� ���� ��������� ������������ ��� ���� ,�������@������� �&�� ������������ ����;��������������� ������ ,��� ����� �������,��� �$��)���� ���� ��� �������� ��� �������� 5<� ��� !�� �&�� # � � ! " "= +� � �� ��� ,���� ���A�
"�����������"!�� ������#% � += ��� "�����������"!�� ���������*%��� ⋅= �
'$:� !�'� ��#% � �
*$:� ( )! !� �!�� �#�#�#% ����#% � ∨¬ � � �! !� ++=++ ���� �
4$:� ���*%��� � � � !' ' � �
/$:� ( )( )��#����*%����-�#% �-�����*%��� ��!�� !�� ∨¬∨¬ �� � � � �∗ + = ∗ + !� �
�
'4��� �,��� �&�� ����&�� ���������������������,��������,����� ������<� ���,�������� �,��� �&����� �� ��.���������������������� ����.�������� &�,������ ������������� �� ��$� ��� �(��,�� ��� ������� � ���������� ��� ��� ��!���� ��� ������ ��� �� ��� ��� ���!�� �&�����������#������ �&���������!&�����%����,� ����� �� ������������������������,���������������#������ �&��������� �������%�
��
�
���������������� �������������� �
:65:�
2�,�������������@��������������<����,������������������������������������������ ����� ������������ ����;����$� )���(��,�<�,���� ������ ����@���������;����T� ���,��� �� ,�� ��� ����� ���� ������ �� ��$� ?�� ,���������� ��� � ����&�A� ��� ,��� �� �������������� � ����A�
( )( )( )'�� #�����*%����∃ �
)���� �,�����<�����>�������������� �&��������� � ����&����� �(������� ����������<��������,�� �������� �&��������������� ���������� ��<�������� ��.����@����������;���$�
��
�
���������������� �������������� �
:6':�
Bibliografía
�
CD��E6����(�F� */�D��E6���
.���, ��"��&+���"�+���+�� �%�,�+��",��,�
7��������G���2���/�� � � � �((�!��N������16O� �� �������
��$������������2���������!����� ��� � � � � #'716%�
�
CH��������;��=?F� */�I/�H��������;���/J/���������
���"��&+��%�*��"��#+��+���"�"�"�&+���,&&"�,��,�
*����K������7�����;�����2��/� � � �(=?!�
�N�?"�74O� ���� ��?"�������� �����
*)���+�*��/"+�����7��������3��� �������2�����������3�!���� ��A��?"E�������'�?�**�U�'-$�0''5$��C����'774�
�NP���=��17O�P�����P���=��
����������6�B���������%�����������2�C���,������?������<�B�$�*'�0$�'<�C����'717$�,,$�7*:'*/� �
�NPV���I��-7O�3$�PV���I��
��$�����*������������$0��=�L�����$������ �&����,�>��A��&�� �<�)������ �&������������� ���2���!� ���$�#'7-7%�
�NP�����7*O�?�������P��������
3��������3���������$��*��$�����$2�����:U������ � � � � #'77*%
�N�����1-O�� �=��U����������
-�������������$��*��$�����$�?,�������B������$�*��$���$�� � � � #'71-%�
�
C*�����==F�,����*�����,����./�L �����
�� �%�"��+1"��+���"�++
M;��D��%���:��������7�����;�����������2��/� �(==!��N0������75O���!�0�����<�����C��������I��
��$��"*��$�����$��*����$�=��U�����W�?��� � � � � #'775%�
�
��
�
���������������� �������������� �
:6*:�
C.�����;��������(�F�N/�.�����;��������H/�6��������
8���-�6������������������������.�������
6������EL ������7�����;���������� � � �((�!�
N?��������1+O�����?�������<��=���?=�,���!5������*����$�=��C���)����$�*��$���$�7/� � � � #'71+%�
�
��
�
���������������� �������������� �
:64:�
Índice Alfabético
H =�.������ ����� ���H� 44�
��!����� *�
@������"����� �������������� 4+�
@������"�� �� � ������������� �������� */�
�������"�������!�������� 4'�
2�������������!� � �&�� 4*�
*"����� /�
������� *�
*��"�� 4�
���/����������*� ���� **�
=�.������ ����� ���� 4+�
�����0� ������� '1�
��*� �������/�� /-�
��*� ����A���� **�
��#�������3� 4+�
��*� �������.�� **�
����������������� 46�
��*� ��� �� ����� � *4�
�,���� 46�
��,���� 47�
��"������ ��� @������"�� ��C ������������ �������� *-�
�,������ ���� ,��� �,�� �������� �&�� /*�
�,�� �&������������� ����� *1�
��"��������� �"������� /7�
�������� � 4�
��(���������� ������ 4'�
��(��������� ��,�� ���� 4'�
��������������� ���!������� *�
��������������� ����������� 4�
��������� �� ."���� � ����� ���� � *�
��������� �� ."���� � ��������� � *�
��� ��� ����&�� �� '/�
������ �&�� '*�
�������� '/�
������!������ � 4�
�������������*� ���� **�
������� �&��������� �� /7�
��"����� -�
�.������� ����&�� �� '6�
�������������������� �&�� //�
�@,����&�� *-�
�@,����&�����,��� *-�
�@,������������������ 4'�
�0�� '7�
�<�� '7�
��
�
���������������� �������������� �
:6/:�
�0� '7�
�<#� '7�
�0)� '1�
�0?� '7�
���"������ ��� *'�
�����0�������(������� '7�
�����0�������(�������)����@�� '7�
�����0��������?I���� '7�
�����0��������������� '7�
�����0���������������)����@�� '7�
�����0�����)����@�� '1�
!��"�������"���� /�
!��"����������� 6�
!&�������������!� ����� '*�
!&�����������!� ����� '*�
!&������������� '*�
!&������������!������� /�
�S���� /7�
A�B�� **�
L�������� 45�
L������� /7�
������ ��� *-�
�� ��������* ���� *-�
�����,���� �&�� -<�1<�'/�
������������� �&�� /5�
�������� '7�
���������������� '7�
��������,������ '7�
������������ //�
������� *�
����������������� � *�
����������������� � *�
������� �� �������� � �� ��������� +�
������� �� �������� � �� ��"������� +�
������� �� �������� � ��2����������� +�
������������ �������� *�
"����/� '1�
����� '*�
���������!������ *6�
�������� **�
��� =� I� 44�
��!���� '1�
,������ �&���&�� �� '�
��/���"����� '/�
��������� /�
�������������� �&�� *4�
3���� �&��,�,�� ����� *4�
� ������ *4<�46�
� ��������������� /+�
3������ 45�
2���� �������������� 4�
��
�
���������������� �������������� �
:66:�
�������� �&�� *-�
�������� �&������ �� *-�
�������� �&�����������������*7<�45<�46�
�������� �&���� ��� *1�
�� ������� /6�
��������.�� //�
������� ��� �,������,�,�� ����� 47�
����������L�������� 47�
���"�������!�������� 4/�
���.�� /7�
� �"���� 4�
���� 45�
���!� � �&�� 45�
���!� ���� 45�
���!� ���������������� 45�
������������!&������ 1�
����������������!�������� /�
��������������� /�
���������������� /�
��������� 45�
���������� *1�
�
��
�
���������������� �������������� �
:6+:�
Información de Contacto
�
� ���������� ��*������������.��� ����������!��"*�����&����������'�
VVV$�����$�����$���
G� ��"�����������=�,�� �����X���$�����$���
#��������*��/�������� �!������X�����$���
�