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<."1 ' FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL ~~ lit& ... , ..

UNICAMP DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

I

I Laje sobre solo para funda~ao de resid€mci/

Eng. Luiz Carlos de Almeida

Orientador Prof. Dr. Vinicius Fernando Arcaro

Dissertac;;ao de Mestrado apresentada a Comissao de P6s-Gradua<;ao da

Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Campinas, c~;ro

parte dos requisites para obtenc;;ao do titulo de Mestre em Engenharia CiJ, na

area de Engenharia de Estruturas. 1

I

FICHA CATALOGAAFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DA AREA DE

ENGENHARIA- BAE- UNICAMP

AL64L Almeida, Luiz Carlos de

Laje sobre solo para fundayao de residencia, Luiz Carlos de Almeida. Campinas, SP: [s.n.], 2001.

Orientador: Vinicius Fernando Arcaro. Dissertayiio (mestrado) - Universidade Estadua1 de

Campinas, Faculdade de Engenharia Civil.

1. Lajes de concreto. 2. Placas (Engenharia). 3. Pisos de concreto. 4. Fundayoes (Engenharia). I. Arcaro, Vinicius Fernando. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil. III. Titulo.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

Laje sobre solo para fundac;ao de residimcia

Eng.0 Luiz Carlos de Almeida

Disserta9ao de Mestrado apresentada a banca examinadora constituida por

Prof. Dr. Vinicius Fernando Arcaro

Universidade Estadual de Campinas- UNICAMP- Campinas

Prof. Dr Ne / on de Oliveira Pinto Jr.

Universidade Estadua tle Campinas- UNICAMP- Campinas

,_ f(~\)"1149?

Prof. Dr. Athail Rangel Pulino Filho

Universidade de Brasilia - UnB - Brasilia

Campinas, Outubro de 2001.

Laje sobre solo para fundac;ao de residencias

Resume: Esse texto esta dirigido principalmente para lajes

sabre solo para funda9ao de residencias. Refor9o de a9o e utilizado principalmente para minimizar fissuras devidas a retra9ao do concreto. A analise estrutural para laje sabre

solo e descrita por urn procedimento simples e complete

baseado no programa de computador ANSYS, utilizando o

elemento shell63. As recomenda96es da literatura

estrangeira (principalmente dos EUA) sao enfatizadas para

investiga9ao do solo, analise estrutural e constru9ao de

laje sabre solo. Uma aplica9ao a urn caso real e descrita.

Uma laje sabre solo para funda9ao de residencia e analisada

e fotos dos detalhes da sua constru9ao sao mostrados.

Abstract: This text is mainly directed toward slab on grade

for residential foundations. Steel reinforcement is used

mainly to minimize cracks due to concrete shrinkage. The

structural analysis for slab on grade is described by a

simple and complete procedure based on ANSYS computer

software, using the shell63 element. The recommendations

from foreign (mainly from USA) literature are emphasized

for soil investigation, structural analysis and

construction of slab on grade. A real case application is

described. A slab on grade for residential foundation is

designed and pictures of its construction details are

shown.

I

1 INTRODUCAO 1

~ FUNDAMENTOS PARA 0 DIMENSIONAMENTO DA LAJE 4

2.1 VIGA SOBRE BASE ELASTICA ___________________ 4 2.1.1 fOR<;:A CON CENTRAD A APLICADA EM UMA VIGA INFINITA 6 2.1.2 RAIO DE RIGIDEZ RELA TIVA 7 2.1.3 FOR<;:A CON CENTRAD A APLICADA EM UMA VIGA SEMI-INFINITA 8 2.2 MODELO PARA FOR<;:A POR UNIDADE DE COMPRIMENTO 9 2.2.1 fOR<;:A POR UNIDADE DE COMPRIMENTO LONGE DAS BORDAS 10 2.2.2 fOR<;:A POR UN!DADE DE COMPRIMENTO PER TO DE UMA DAS BORDAS 11 2.3 PLACA SOBRE BASE ELASTICA 11 2.3.1 RAIODERIGIDEZRELATIVA 12 2.3.2 fOR<;:A CONCENTRADA LONGE DAS BORDAS 13 2.3.3 fOR<;:A CONCENTRADA PER TO DE UMA DAS BORDAS 14 2.4 INTEGRAlS PARA 0 CENTRO DO RET ANGULO 16 2.4.1 INTEGRAL It 16 2.4.2 INTEGRAL 17 2.5 INTEGRAlS PARA A METADE DO LADO DO RET ANGULO 18 2.5.1 INTEGRAL It 19 2.5.2 INTEGRAL 19 2.6 DISTRIBUI<;:Ao DA FOR<;:A CONCENTRADA NO QUADRADO 19 2.6.1 LONGE DAS 19 2.6.2 PER TO DE UMA DAS BORDAS 20

,! 0 CONCRETO 22

3.1 PROPRIEDADES DO CONCRETO 22 3.1.1 RESISTENCIA A COMPRESSAO D_O_C_O_N-'C_R_E_T_O _____________ 23

3 .1.2 MODULO DE RUPTURA DO CONCRETO 26 3 .1.3 RESISTENCIA AO CISALHAMENTO DO CONCRETO 26 3.1.4 MODULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO 27 3.2 T!POS E CAUSAS DE FISSURAS 27 3.2.1 MOVIMENTO DO SOLO 28 3.2.2 COMPORTAMENTO TERMICO DO CONCRETO 28 3.2.3 COMPORTAMENTO DE RETRA<;:AO DO CONCRETO 30 3.3 RECOMENDA<;:OES PARA EVITAR FISSURAS 32 3.3.1 MOVIMENTODOSOLO 33 3.3.2 COMPORTAMENTO TERMICO DO CONCRETO 34 3.3.3 COMPORTAMENTO DE RETRA<;:AO DO CONCRETO 34 3.3.4 REFOR<;:O PARA LAJE SOBRE SOLO 36 3.3.5 JUNTAS 41

II

i OSOLO 49

4.1 SUBLEITO_-::----------------------- 49 4.1.1 CLASSIFICA<;:AO DO 49 4.1.2 DENSIDADE 49 4.1.3 IN DICE DE 50 4.2 PREPARA<;:AO DO LOCAL 51 4.2.1 SOLOS EXPANSIVOS 51 4.2.2 SOLOS COLAPSiVEIS 52 4.2.3 APOIOS RIGIDOS E FLEXiVEIS 53 4.2.4 ENCHIMENTO 53 4.2.5 MODULO DE REA<;:AO DO 54 4.3 SUB-BASE 56 4.4 TENSAO VERTICAL NO SOLO 57 4.4.1 TEORIA DE 59 4.4.2 TEORIA DE WESTERGAARD 60 4.4.3 TEORIA DA INCLINA<;:AO 2: 62 4.4.4 EXEMPLO 64

~ EXEMPLOl 66

5.1 ARQUIVO PARA 0 ANSYS _________________ 66 5.2 CARGA DE COL UNA 67 5.2.1 RAIO DE RIGIDEZ 67 5.2.2 fOR<;:A CONCENTRADA PERTO DE UMA DAS BORDAS 68 5.2.3 FOR<;:A CONCENTRADA LONGE DAS BORDAS 70 5.3 CARGA DE PAREDE 72 5.3.1 RAIODERIGIDEZRELATJVA 72 5.3.2 FOR<;:A POR UNIDADE DE COMPRIMENTO PER TO DE UMA DAS BORDAS 73 5.3.3 FOR<;:A POR UNIDADE DE COMPRIMENTO LONGE DAS BORDAS 74

~ EXEMPL02 77

6.1 GEOMETRIA PARA 0 ANSYS ----------------- 77 6.2 DETERMINA<;:AO DA ESPESSURA DA LAJE 79 6.3 RESULTADOS DO ANSYS 80

1 EXEMPL03 84

7.1 FOR<;:AS APLICADAS:==:::------------------- 85 7.2 ARQUIVO PARA 0 ANSYS 86 7.3 RESULTADOS DO ANSYS 93 7.4 FOTOS MOSTRANDO DETALHES DA CONSTRU<;:AO 100

III

§. CONCLUSOES

2 REFERENCIAS

107

108

IV

1 lntrodu~ao

Por laje sobre solo deve ser entendido a defini9ao da

referencia [03] que significa uma laje continuamente

suportada pelo solo, com carga total quando uniformemente

distribuida menor ou igual a 50% da capacidade de suporte

admissivel do solo. A laje pode ser uniforme ou de

espessura variavel, e pode incluir elementos de

enrijecimento como nervuras ou vigas. A laje pode ser de

concreto simples, concreto refor9ado ou concreto

protendido. 0 refor90 de a90 pode ser providenciado para os

efeitos de retra9ao e temperatura ou carregamento

estrutural. Esse texto esta dirigido principalmente para

lajes sobre solo para funda9ao de residencias onde, para

finalidade de refor9o de a9o, a a9ao predominante e a

retra9ao do concreto.

Em geral, considerando a situa9ao atual da constru9ao civil

Brasileira, pode ser dito que uma laje sobre solo para

funda9ao, quer sua finalidade seja ou nao para residencia,

recebe pouca aten9ao tanto durante a fase de projeto quanta

durante a fase de constru9ao. Como consequencia as

recomenda96es que poderiam evitar muitos problemas sao

simplesmente ignoradas. Alias, convem mencionar que uma

Norma Brasileira para projeto e execu9ao de laje sobre solo

nem sequer existe. Entretanto, existe literatura de

excelente qualidade produzida principalmente pelo American

Concrete Institute (ACI) e pela Portland Cement Association

(PCA).

1

Na constru9ao civil Brasileira, a utiliza9ao de laje sabre

solo para funda9ao esta repleta de mitos. Urn desses mitos

estabelece que o sistema composto por estacas e vigas

baldrames seria mais economico. Esse mito esta

particularmente sedimentado e provavelmente foi verdade

decadas atras quando a disponibilidade de concreto usinado

era escassa. Nos dias atuais, laje sabre solo para funda9ao

pode ser projetada e construida com economia e mais

importante ainda e enfatizar que esse sistema proporciona

uma plataforma estavel para o restante da constru9ao.

Antes de iniciar a constru9ao, aten9ao deve ser dada aos

fatores que influenciam diretamente o desempenho da laje: o

tipo de solo, a uniformidade do suporte do subleito, a

qualidade do concreto, o tipo e espayamento das juntas e o

acabamento superficial. 0 ponto que merece grande destaque

e o conhecimento da natureza e caracteristicas do solo

sabre o qual a laje sera construida. Todos esses fatores

sao abordados nesse texto e muitas das principais

recomenda96es aqui contidas, derivadas da pesquisa em

literatura estrangeira, aplicam-se ao projeto e execu9ao de

laje sabre solo, quer sua finalidade seja ou nao para

funda9ao de residencia.

Como o desempenho estrutural da laje depende tanto da

qualidade do concreto como tambem das propriedades do solo

sabre o qual esta apoiada, as recomenda96es da literatura

estrangeira sao enfatizadas para a dosagem, a fabrica9ao, a

aplica9ao e o acabamento do concreto e tambem para a

caracteriza9ao e a prepara9ao do solo para proporcionar urn

suporte uniforme para a laje.

2

Para o calculo estrutural, e importante conhecer o modulo

de rea9ao do solo. Para carregamentos moderados, somente urn

grau limitado de informa9ao geotecnica esta normalmente

disponivel. Entretanto, assumindo uma homogeneidade no solo

do local de interesse, urn valor para o modulo de rea9ao do

solo, pode ser estimado a partir do ensaio CBR (California

Bearing Ratio) para esse solo. A situa9ao ideal de projeto

e o projetista estrutural contar com a colabora9ao de urn

especialista em solo.

A analise estrutural de lajes sobre solo e descrita por urn

procedimento simples e completo, baseado no programa de

computador ANSYS. Os carregamentos sao representados por

for9as por unidade de comprimento - devidas as paredes,

for9as por unidade de area - devido ao peso proprio e carga

acidental e for9as concentradas (foryas distribuidas numa

pequena area) - devidas aos pilares ou rodas de veiculos.

Exemplos de aplica9ao comparando os resultados obtidos pela

teoria da elasticidade com os do programa ANSYS sao

apresentados. Uma aplica9ao a urn caso real - uma laje sobre

solo para funda9ao de residencia e calculada e sao

apresentados detalhes da sua constru9ao.

3

2 Fundamentos para o dimensionamento da laje

A referencia [12] apresenta seis metodos para a

determina9ao da espessura de uma laje sabre solo, para

diferentes tipos de carregamentos e com a utiliza9ao de

armaduras para redu9ao da espessura da laje. Neste texto

sao consideradas as expressoes da teoria da elasticidade

nos problemas de vigas e placas apoiadas sabre base

elastica. Os carregamentos sao estaticos e bern definidos,

possibilitando com isso sistematiza9ao e simplifica9ao dos

procedimentos. E sugerida a utiliza9ao de programas de

computador para a verifica9ao da resistencia estrutural, em

especial do programa de computador ANSYS [01].

2. 1 Viga sobre base elastica

Defini9ao das variaveis para o problema da viga sabre base

elastica:

k modulo de rea9ao do solo

b largura da viga

h altura da viga

E modulo de elasticidade

cr tensao de tra9ao na fibra extrema

P for9a concentrada

I momenta de inercia da se9ao transversal

A Figura 1 apresenta a vista e a se9ao transversal de uma

viga sujeita a uma for9a concentrada.

4

p p

z

r b y

Figura 1

A tensao normal a se9ao transversal da viga, devido a uma

for9a P concentrada, pode ser obtida da teoria da

elasticidade, supondo material elastica linear, e pode ser

escrita como:

Mx (z) cr, = I Y

Para a se9ao retangular com as medidas indicadas na Figura

1, o momenta de inercia da se9ao transversal pode ser

escrito como:

I = bh3

12

As tensoes criticas na se9ao transversal ocorrem nas fibras

extremas. Substituindo I e y na equa9ao da tensao segue:

Tensao na fibra inferior:

6 +-2 Mx (z)

bh

5

Tensao na fibra superior:

cr, 6

--M (z) bh2 X

A expressao para o momenta fletor sera apresentada supondo

duas possibilidades para a aplica9ao da for9a concentrada,

sendo uma para viga de comprimento infinito e outra para

viga de comprimento semi-infinito.

2.1.1 For~ra concentrada aplicada em uma viga infinita

A referencia [07] apresenta a seguinte expressao para o

momenta fletor numa viga infinita:

Mx (z)

Onde:

1

~ (::3 J 0 ponto de momenta maximo na viga pode ser determinado pelo

seguinte:

dMX dz

p -p, A 0 => - - e cos pZ 2

O=>z=O

6

Portanto, o valor do momenta maximo na viga pode ser

escrito como:

p

4[3

Substituindo o valor do momenta maximo na expressao da

tensao na fibra inferior, a maxima tensao de tra9ao pode

ser escrita como:

6 p (J ----

bh2 4[3

1

[3 = ( ::3 ) => (J ) P ( E ~ 2 b kh5 J

2.1.2 Raio de rigidez relativa

Raio de rigidez relativa e a distancia a partir do ponto de

aplica9ao da for9a concentrada ate o primeiro ponto de

tensao nula. Essa distancia pode ser determinada igualando

a expressao do momenta a zero. Logo:

Mx (z) = 0

cos [3z sin [3z => [3z 1t

4

7

~ - ( 3

k ~ =} z ~ 0. 5968 (Ekh3 i

- Eh3) )

Por distancia relativamente longe das bordas entende-se uma

distancia nao inferior ao raio de rigidez relativa.

2.1.3 Forc;a concentrada aplicada em uma viga semi-infinita

A referencia [07] apresenta a seguinte expressao para o

momento fletor numa viga semi-infinita:

p _A, . R = -- e" Slll pZ

~

Onde:

0 ponto de momento minimo na viga pode ser determinado pelo

seguinte:

dMx

dz

1t 0 =} ~z =

4

Portanto, o valor do momento minimo na viga pode ser

escrito como:

p -" )2. --e 4-

~ 2

8

Substituindo o valor do momenta minima na expressao da

tensao na fibra superior, a maxima tensao de tra9ao pode

ser escrita como:

6 p ~" .J2 ---e '-bh2 ~ 2

2.2 Modelo para forya por unidade de comprimento

Considere uma viga imaginaria de largura b, no interior de

uma laje e ortogonal a uma parede, conforme mostrado na

Figura 2.

viga imaginaria

/ pare de

b

Figura 2

9

Supondo w como sendo o peso por unidade de comprimento da

parede, a for9a concentrada que esta atuando sabre a viga

imaginaria de largura b pode ser escrita como:

P wb

A referencia [13] recomenda que o fator de seguran9a seja

escolhido entre 1.5 e 2.0. Portanto, a tensao admissivel de

tra9ao na flexao deve estar no intervalo:

A seguir serao apresentadas duas possibilidades de

posicionamento da for9a par unidade de comprimento, sendo

uma relativamente lange das bordas e outra relativamente

perto de uma das bordas da laje.

2.2.1 For~a por unidade de comprimento Ionge das bordas

Considerando a expressao obtida para o caso de viga

infinita sabre base elastica:

3~ P ( E ~ 2 b kh5

}

1

P = wb =:> <J ~ 1.1398w(k~5 J A maxima tensao de tra9ao ocorre diretamente sob a linha de

aplica9ao da for9a por unidade de comprimento, na face

10

inferior da placa. Essa expressao permite a determina9ao da

espessura de uma laje sujeita a for9a por unidade de

comprimento relativamente lange das bordas.

2.2.2 For~a por unidade de comprimento perto de uma das bordas

Considerando a expressao obtida para o caso de viga semi

infinita sabre base elastica:

(j ~ r::: --" p ( E j' 3 4 -v2e 4 - --

b kh5

1

P wb=>cr~l.4698w(k~sJ

A maxima tensao de tra9ao ocorre a uma distancia igual ao

raio de rigidez relativa a partir da linha de aplica9ao da

for9a por unidade de comprimento, na face superior da

placa. Essa expressao permite a determina9ao da espessura

de uma laje sujeita a for9a por unidade de comprimento

relativamente perto da borda.

2.3 Placa sobre base elastica

Defini9ao das variaveis para o problema de placa sabre base

elastica:

k modulo de rea9ao do solo

h espessura da placa

E modulo de elasticidade

11

v coeficiente de Poisson

cr tensao de tra9ao na face externa da placa

P for9a concentrada

De acordo com a referencia [16] , uma das considera96es para

a dedu9ao das expressoes apresentadas a seguir, e que a

media do comprimento e largura da area de distribui9ao da

for9a concentrada e maior do que a espessura da laje.


No caso de placa sobre base elastica, de acordo com a

referencia [16] , o raio de rigidez relativa e definido pela

seguinte expressao:

l

Para uma for9a concentrada o momenta radial e maximo e

positive diretamente sob a for9a, produzindo tra9ao na face

inferior. Ao longo de uma linha reta o momenta permanece

positive e decresce para zero na distancia l a partir da

for9a. 0 momenta torna-se negative atingindo urn minima

(tra9ao na face superior) na distancia 21 a partir da

for9a. o valor absolute do momenta negative e

significativamente menor do que o valor do momenta maximo

positive. 0 momenta aproxima-se de zero na distancia 31.

E interessante observar que o raio de rigidez relativa

originado da teoria de placa sobre base elastica e proximo

12

ao raio de rigidez relativa originado da teoria de viga

sobre base elastica.

o~v~o.5=:-(

Eh3 ~

0.5373 k) (Eh

3 ~ 0.5774 kJ

1

z z (

Eh' r 0.5968 k)

2.3.2 For~a concentrada Ionge das bordas

De acordo com as referencias [16] e [17], para uma area de

distribui9ao da for9a concentrada longe das bordas, as

tens6es na face inferior da placa, no ponto (x,y) mostrado

na Figura 3, podem ser escritas como:

Onde:

1' Eh3

Jl = lim (i..!: -ln n) z 0. 57721566490153286060651209008240 n-7= k"'l k

13

I 1 (x, y) = ~ J 1nrdA A A

I2

(x, y) 1 J 2 = - cos OdA AA

r cos e (x - u) ' r sine (y- v)

(x, y)

r

(u, v)

A

Figura 3

2.3.3 Forc;a concentrada perto de uma das bordas

De acordo com as referencias [16] e [17], para uma area de

distribui9ao da for9a concentrada perto da borda, a tensao

na face inferior da p1aca, na dire9ao para1e1a a borda e no

ponto (0,0) mostrado na Figura 4, pode ser escrita como:

12 (1 + v) p [ ( 1-" ) (1 - v) CJx = ( ) 2 - I 1 + 1n 2e 1 - I 2

1t3+Vh 2

v ---B.

2 ~ + B y]

2 1

14

y

A

borda X

Figura 4

Os termos B1 e B2 sao calculados pelas expressoes:

Bl

1-J 1+v-2(1-v)2

a 2W - da 2 0 1 + 4 (1 - v) a 2y2

- (1 - vt a'

os valores a, ~, y sao valores positivos satisfazendo as

rela<;6es:

Alguns valores para B1 e B2 estao mostrados na Tabela 1,

retirada da referencia [16] .

Tabela 1

15

0.15 0.9544 0.3822

0.20 0.9627 0.4131

0.30 0.9830 0.4786

2.4 lntegrais para o centro do retfmgulo

a

(u,v)/

2.4.1 lntegrall1

I 1 = _:I:_ J ln rdA A A

'

1 0 0

I 1 = - J J ln ( u' + v2

) dudv 2ab -b -a

(o, o)

Figura 5

= -2u + 2v arctan u + u ln (u' + v') v

b

16

0

J ln ( u 2 + v 2) du

-a

J v arctan : dv

= -2a + 2v arctan a + a ln (a' + v') v

av v 2 a a' v +-arctan- --arctan-

2 2 v 2 a

o a J v arctan v dv = -b

ab

2

b 2 a +-arctan-

2 b

a' b -arctan-2 a

J ln ( v 2 + a') dv

0

J ln ( v 2 + a2

) dv -b

I = - 1- [-3ab + 1 2ab

= -2v + 2a arctan v + v ln (v' + a') a

-2b + b

2a arctana

+ b ln (b' + a 2)

a b 2 arctan

b + a 2 arctan: + ab ln (b' +a')]

1 [ b a a b ( )] - -3 + - arctan- + - arctan - + ln b 2 + a' 2 a b b a

2.4.2 Integral 12

I2

= _:I:_ J cos' 9dA A A

I,

17

2

f u d -(u2 + v2) u

u u- v arctan

v

a a- v arctan

v

f v arctan : dv = av v' a

+-arctan-2 v 2

o a J v arctan v dv -b

ab b 2 a -+-arctan-

2 2 b

a 2 v --arctan-

2 a

a' b --arctan-

2 a

I, 2.. (ab-ab

ab 2

b2 a a' b) - - arctan- + - arctan-

2 b 2 a

b a a b -arctan +-arctan-2a b 2b a

2.5 /ntegrais para a metade do /ado do retfmgulo

18

a

(o, o)

(u, v) r

Figura 6

2.5.1 lntegrall1

1[ b a a b (' I1

= - -3 + arctan- + -arctan- + ln b 2 a b b a

2.5.2 Integral 12

1 b a a b I 2 = - - - arctan - + - arctan-

22a b2b a

2.6 Distribui~ao da for~a concentrada no quadrado

2.6.1 Longe das bordas

As tensoes na face inferior da placa, no ponto (0,0)

mostrado na Figura 7, podem ser escritas como:

b

19

1t 3 + ln( E) 1

I, = ' I, 4 2 2

(j ~ (1 + v) [ ln (~) + ln (2he-") + ~ - rr] 2rrh2 a 2 4

3P (1 + v) ( 1) (j ~

2 ln 3. 2450-

21th a

y

X a

~

.·

a

Figura 7

2.6.2 Perto de uma das bordas

A tensao na face inferior da placa, na dire9ao paralela a borda e no ponto (0,0) mostrado na Figura 8, pode ser

escrita como:

I, = rr-3

2 - ~ arctan 2 + ln (~a) , I 2 =

1t + 1 5 --- - - arctan 2

2 4

20

12 (1 + v) p [ ( 1-" ) (1 - v) cr = ) -I1 + ln 2e 1 - I 2

1t (3 + v h 2 2

v ---B

2 1 + B ~] 2

21

12 (1 + v) P [ ( 1) a ] )

2 0.41613 + 1n 2.7302- - 0.15657V- B1 + -B2

1t (3 + v h a 21

a

borda X .

a

Figura 8

21

3 0 concreto

3.1 Propriedades do Concreto

A especifica9ao da resistencia a compressao do concreto tern

influencia direta na determina9ao da espessura da laje

sobre solo e nas propriedades das superficies acabadas. A

resistencia a compressao tambem tern influencia na

deforma9ao de retra9ao, na deforma9ao lenta e nas

deforma96es devido a varia9a0 da temperatura ambiente. A

determina9ao e a especifica9ao dessa resistencia sao

fundamentais para o desempenho estrutural da laje.

A resistencia ao desgaste (abrasao) do concreto, de uma

laje sobre solo, esta diretamente relacionada com a

resistencia a compressao do concreto. Pesquisas da Portland

Cement Association [13] tern mostrado que a resistencia ao

desgaste (abrasao) aumenta com a redu9ao da quantidade de

agua ou com urn aumento na quantidade de cimento, ou ambos,

tanto urn como outro tambem aumentam a resistencia a compressao do concreto. A qualidade rica da argamassa e que

e importante; a solidez e a dureza do agregado graudo

come9am a ficar importantes somente ap6s o desgaste da

superficie da argamassa.

Durante a execu9ao da laje, a concretagem e o acabamento

superficial sao igualmente importantes tanto quanta a

resistencia do material, porque essas opera96es produzem urn

efeito significativo sabre a qualidade de camada fina (de

1.5 a 3.0 mm) na superficie superior da laje. Na fabrica9ao

22

do concreto deve-se cuidar especialmente dos seguintes

fatores: resistencia a compressao, quantidade minima de

cimento, tamanho maximo do agregado graudo, slump e uma

pequena quantidade de ar incorporado.

3.1.1 Resistencia a compressao do concreto

A referencia [13] recomenda para resistencia minima a compressao do concreto aos 28 dias para os projetos de

lajes sobre solo urn valor igual a 27.0 MPa ou 31.0 MPa no

caso de concreto protendido. Resistencias inferiores podem

ser adequadas para resistirem aos carregamentos mas serao

inadequadas para resistirem ao desgaste de utiliza9ao. E tambem prudente exigir uma resistencia do concreto de 12.0

MPa antes de autorizar o transito de constru9ao sobre a

laje, essa resistencia e usualmente obtida aos 3 dias ap6s

a concretagem, para concretos de resistencia minima de

acordo com o recomendado acima.

3.1.1.1 Quantidade minima de cimento

A concretagem da laje necessita em particular de quantidade

de cimento para uma trabalhabilidade apropriada, essa

quantidade de cimento e adotada como sendo a especifica9ao

minima necessaria.

Com a utiliza9ao de tecnologias modernas, alta resistencia

do concreto tern sido obtida, com quantidade de cimento cada

vez menor. Quando somente a resistencia a compressao e o

criterio de decisao, menor quantidade de cimento significa

maior economia na execu9ao do concreto. Entretanto, a

23

resistencia a abrasao depende da dureza superficial do

concreto tanto quanta a sua resistencia interna e, desse

modo, necessita de maior quantidade de cimento. Uma

quantidade minima de cimento pode ser especificada, de modo

a garantir a trabalhabilidade, para maxima resistencia a abrasao, como tambem, uma adequada resistencia interna.

Segundo a referencia [13) , a quantidade de cimento nao deve

ser inferior ao apresentado na Tabela 2. Sempre que for

possivel, a utiliza9ao de agregados com tamanhos maiores

possibilitam a ado9ao de quantidades menores de cimento.

Tabela 2

38.0 278

25.4 308

19.1 320

12.7 350

09.5 362

3.1.1.2 Tamanho maximo do agregado graiido

0 grau que a fissura9ao de retra9ao pode ser reduzido com o

uso de concreto que contenha a gradua9ao adequada dos

agregados com tamanho maximo do agregado graudo compativel

com a forma de aplica9ao e acabamento da laje. Tamanhos

maiores do agregado permitem reduzir a quantidade de agua

no concreto tornando mais eficiente a redu9ao da retra9ao

da pasta de cimento. o tamanho maximo do agregado mostrado

na Tabela 2 pode ser utilizado desde que nao exceda 1/3 da

espessura da laje e nem 3/4 do espa90 livre entre as barras

da armadura.

24

3.1.1.3 Slump

As primeiras causas do fraco desempenho do concreto da laje

sao grandes slumps e uma consequente retra9ao, segrega9ao e

exuda9ao. Se for para a laje acabada ser nivelada, de

aparencia uniforme e com resistencia a abrasao, e

importante que todos os lotes de concreto tenham slumps os

mais pr6ximos possiveis. Na aplica9ao de concretos com

baixo slump (de 5 a 10 em) e comum a utiliza9ao de

equipamentos mecanicos para o adensamento desse concreto,

tais como reguas vibrat6rias que se ap6iam nas laterais da

forma. Quando tais equipamentos sao utilizados na

concretagem de laje, menos agua e acrescida no local e

desse modo a resistencia superficial de utiliza9ao e

aumentada. Baixo slump do concreto acarretara uma grande

contribui9ao para: maior velocidade de aplica9ao e

adensamento; redu9ao no tempo de acabamento; redu9ao da

fissura9ao; elimina9ao de defeitos superficiais. Segundo as

referencias [04) e [10) urn slump maximo de 12.5 em e

recomendado para lajes comerciais e 10.0 em para lajes

industriais.

3.1.1.4 Ar incorporado no concreto.

Uma pequena quantidade de ar propositadamente incorporado e

usual em muitos concretos de lajes para reduzir a exuda9ao

e aumentar a plasticidade. Uma quantidade total de 2% a 3%

e recomendada pela referencia [04) .

25

3.1.2 Modulo de ruptura do concreto

A resistencia a tra9ao do concreto na flexao e denominada

de modulo de ruptura e e determinada pelo ensaio de uma

viga de concreto simples carregada em tres pontos, de

acordo com o procedimento descrito na referencia [06] . Os

valores do modulo de ruptura podem ser estimados em fun9ao

de urn coeficiente multiplicando a raiz quadrada da

resistencia a compressao. Os valores desse coeficiente

variam, sendo que valores menores sao utilizados para

concretos com seixos rolados e valores maiores para

concretos com pedra britada. 0 modulo de ruptura do

concreto pode ser estimado segundo a referencia [02] por:

~ = 7. s.J( (lbf/in')

~ 0.622B.j( (MPa)

~=1.9893.j( (kgf/cm2)

Urn carregamento aplicado numa laje causa flexao que produz

tanto tensao de compressao como de tra9ao. Dos dois tipos

de tensao, a tensao de tra9ao e a mais critica porque seu

valor aproxima-se da resistencia a tra9ao na flexao do

concreto.

3.1.3 Resistencia ao cisalhamento do concreto

Na flexao em lajes, a resistencia ao cisalhamento do

concreto e raramente importante. Cisalhamento na flexao em

26

lajes nao necessita ser verificado pois nao tern sido

encontrado valor significative. Cisalhamento devido a pun9ao, podera ser importante para cargas de colunas

(for9as concentradas), especialmente quando existe uma

pequena base de apoio. Quando for necessaria a verifica9ao

da pun9ao, a referencia [12] recomenda as especifica96es

para lajes armadas em duas dire96es, que podem ser

encontradas na referencia [02] .

3.1.4 Modulo de elasticidade do concreto

Para concreto de peso normal, o modulo de elasticidade pode

ser estimado segundo a referencia [02] por:

Ec = 57000/i: (lbf/in2)

3.2 Tipos e causas de fissuras

Fissuras nas lajes sobre solo podem aparecer em virtude do

movimento do solo, do comportamento termico do concreto ou

do comportamento de retra9ao do concreto, segundo as

referencias [10] , [12] e [13] . Fissuras devidas aos

carregamentos nao deveriam existir no caso das lajes sem

armadura, pois as mesmas sao dimensionadas com tensoes de

tra9ao inferiores a resistencia a tra9ao do concreto na

flexao (modulo de ruptura) .

27

3.2.1 Movimento do solo

Levantamento e assentamento sao os dois tipos de movimento

do solo que podem provocar fissuras nas lajes sabre solo.

3.2.1.1 Levantamento

Fissuras causadas por levantamento podem ser identificadas

por saliencias verticais, fissuras correndo paralelo a uma

parede exterior, ou fissuras exibindo urn padrao em forma de

X num pequeno compartimento. E dificil distinguir fissuras

causadas por levantamento daquelas causadas por

assentamento.

3.2.1.2 Assentamento

Fissuras devido ao assentamento podem aparecer em forma

semi-circular na borda das lajes, fissuras emaranhadas ao

longo das bordas, lajes quebrando em pequenos peda9os com

cerca de 50 em de lado, ou fissuras diagonais atraves dos

cantos das lajes. Lajes que foram sobrecarregadas ou

possuem fraco suporte do solo irao assentar devido ao

adensamento do solo. Uma laje de 10.0 em de espessura pode

ser bastante rigida em urn solo firme, mas ira fissurar

facilmente em solo fraco.

3.2.2 Comportamento termico do concreto

28

A variaqao da temperatura no concreto pode provocar

fissuras nas lajes sobre solo de tres maneiras diferentes.

3.2.2.1 Varia«;ao de temperatura sazonal

se o concreto e lanqado no verao, ele pode experimentar uma

diminuiqao de temperatura durante o inverno cerca de 30

graus Celsius, o que podera causar a contraqao de cerca de

1.0 em numa laje de 30.0 m de extensao. Esse movimento de

contraqao podera fissurar a laje.

Se por outro lado o concreto e lanqado no inverno, neste

caso ele pode experimentar urn aumento na temperatura

durante o verao, que podera causar expansao de 1.0 em numa

laje de 30.0 m de extensao. Esse movimento de expansao

podera curvar a laje.

3.2.2.2 Varia«;ao de temperatura diaria

variaqao de temperatura diaria provoca urn gradiente de

temperatura atraves da espessura da laje. 0 sol aquece a

superficie superior, o que causa a expansao do concreto

perto dessa superficie, e a laje desenvolve uma forma curva

onde o centro esta mais alto do que as bordas. Se a

superficie superior esta mais fria que a inferior, a laje

tera uma forma curva onde as bordas estao mais altas do que

o centro.

3.2.2.3 Calor de hidrata«;ao

29

Hidrata9ao e o mecanismo pelo qual o cimento enrijece e

depois ganha resistencia. Calor de hidrata9ao e o calor

gerado internamente pelo concreto durante o processo

quimico de hidrata9ao do cimento.

Urn tipo de fissura comum que ocorre durante a primeira

noite ap6s o concreto ser lan9ado e causada pela combina9ao

do calor de hidrata9ao com a temperatura ambiente.

Comumente o concreto e lan9ado de manha e a tarde, com urn

sol quente a temperatura do concreto aumenta, especialmente

proximo da superficie superior. Internamente, o concreto

gera uma consideravel quantidade de calor devida ao

processo de hidrata9ao, no final do primeiro dia, o

concreto pode estar bern quente podendo atingir temperaturas

da ordem de 50 graus Celsius. Temperaturas frias do

anoitecer inicialmente reduzem a temperatura na superficie

superior, e esse concreto esfriado contrai. Esse movimento

de contra9ao podera fissurar o concreto, pois este ainda

nao atingiu uma resistencia capaz de suportar o movimento.

3.2.3 Comportamento de retra~ao do concreto

Durante o processo de cura e endurecimento do concreto tres

tipos de fissuras podem ocorrer nos elementos de concreto.

A forma9ao das fissuras esta diretamente relacionada com o

modo que o concreto perde o excesso de agua utilizada na

sua fabrica9ao e independe da atua9ao dos carregamentos.

3.2.3.1 Fissuras fragmentadas

30

Essas fissuras aparecem na superficie superior da laje onde

uma fina camada de pasta de cimento perdeu agua muito

rapidamente. As fissuras sao muito delicadas e pouco

profundas.

3.2.3.2 Fissuras de retra~;ao phistica

Fissuras de retra9ao plastica aparecem quando muita agua

evapora enquanto o concreto esta fresco, ou plastico na sua

consistencia. Essas fissuras possuem uma forma distinta.

Elas sao bastante largas na superficie, com profundidade

atingindo de 2.5 em a 5.0 em, com comprimento variando de

15.0 em a 1.50 m, geralmente com desenvolvimento paralelo

umas as outras e nao se prolongando para as bordas da laje.

3.2.3.3 Fissuras de retra~;ao por evapora~;ao

Fissuras de retra9ao desenvolvem-se depois do concreto

endurecido. Elas podem aparecer aleatoriamente ou possuirem

urn padrao uniforme. Para os casos de lajes com cantos

reentrantes, e praticamente certo o aparecimento de

fissuras originadas nesses cantos.

Existem dois motivos que contribuem para a perda de umidade

do concreto e por conseguinte causar a retra9ao. A

explica9ao para essa retra9ao esta relacionada com a

existencia de dois diferentes tamanhos de vazios no

interior do concreto. 0 primeiro deles e composto por poros

microsc6picos chamados vazios de capilaridade, que foram

criados pela agua da mistura inicial. 0 segundo deles,

vazios menores, chamados vazios de gel, existem no concreto

31

dentro das particulas de cimento hidratadas. Quando agua

evapora dos vazios de capilaridade, for9as de capilaridade

aparecem e colocam a agua em tensao de tra9ao. Portanto, os

s6lidos estao em tensao de compressao e a retra9ao ocorre.

Quando agua evapora dos vazios de gel, as particulas de

cimento hidratadas tornam-se menores e retra9ao adicional

ocorre.

Perda de agua de maneira uniforme no concreto nao ocorre em

laje sabre solo porque somente uma superficie esta exposta

a evapora9ao. Urn gradiente de umidade existe atraves da

espessura da laje onde a parte superior esta mais seca do

que a inferior, logo retra9ao sera maior na parte superior.

Essa condi9ao resulta na laje tendo uma forma curva.

Quando o movimento de curvatura e impedido, as tens6es na

parte superior da laje sao maiores do que se a laje

estivesse livre para curvar-se, logo fissuras ocorrem mais

cedo. Devido ao fato dessa curvatura nao poder ser evitada,

fissuras de retra9ao por evapora9ao em lajes sobre solo

podem ser somente minimizadas, mas nao evitadas.

3.3 Recomenda9oes para evitar fissuras

As referencias [10], [12] e [13] apresentam recomenda96es

para evitar a forma9ao de fissuras nas lajes sobre solo.

Essas fissuras podem ser devidas ao movimento do solo, ao

comportamento termico do concreto ou ao comportamento de

retra9ao do concreto.

32

3.3.1 Movimento do solo

Levantamento e assentamento sao os tipos de movimenta9ao do

solo que devem ser evitados e para tanto, algumas

recomenda96es podem ser executadas para combater a forma9ao

de fissuras em laje sabre solo.

0 fator critico que evita que solos de argila expansiva

causem problemas com levantamento e ter a certeza de que o

solo argiloso esta umido, com teor de umidade acima da

6tima, antes do concreto ser lan9ado. Molhar a argila para

atingir a umidade adequada pode levar dias e desse modo e aconselhavel ter urn especialista em solos acompanhando a

execu9ao desse trabalho.

Lajes para garagem ou passeios perto de uma casa, devem ser

livres para flutuar em cima do solo em oposi9ao a serem

ligadas nas funda96es, por isso, e recomendavel a execu9ao

de uma junta de isolamento preenchida com material de

enchimento.

Uma camada de brita graduada compactada com 10.0 em de

profundidade fornecera urn suporte firme e uniforme para a

laje, evitando os movimentos de assentamentos. Se uma brita

graduada nao for utilizada, o subleito deve fornecer urn born

suporte mesmo quando estiver molhado. Uma laje com 12.0 em

de espessura e 50% mais resistente a flexao do que uma laje

com 10.0 em de espessura.

Armaduras proporcionam urn beneficia marginal na preven9ao

de fissuras devidas a movimenta9ao vertical do solo.

33

3.3.2 Comportamento termico do concreto

Para minimizar a forma9ao de fissuras devidas ao

comportamento termico do concreto juntas devem ser

executadas na laje. Os tipos de juntas recomendadas em [12]

e [13] sao juntas de contra9ao, juntas de expansao e juntas

de constru9ao.

Juntas de contra9ao devem ser executadas no mesmo dia que a

laje for concretada e tern por finalidade facilitar a

ocorrencia de fissura9ao nos locais onde foram instaladas.

Juntas de expansao sao necessarias para permitir que a laje

possa expandir-se livremente sem curvar-se e devem ser

executadas com materiais compressiveis. Juntas de

constru9ao sao executadas nos locais onde sao necessarias

as interrup96es de concretagem da laje e devem ser

programadas previamente.

Refor9o de a9o e recomendado para a limita9ao da fissura9ao

devida ao comportamento termico do concreto.

3.3.3 Comportamento de retra.;;ao do concreto

Fissuras fragmentadas sao evitadas por metodos adequados de

acabamento da laje como a aplica9ao de socagem leve, nao

trabalhando demais a superficie e nao adicionando cimento

seco a superficie para absorver agua exsudada. Se

necessaria, a agua exsudada deve ser aspirada ou arrastada.

Fissuras de retra9ao plastica podem ser evitadas com

cuidados no lan9amento e acabamento da laje como manter a

34

temperatura do concreto tao baixa quanto possivel. A

concretagem dever ser o mais rapido possivel evitando expor

o concreto jovem a parte quente do dia, come9ando o

lan9amento do concreto ao entardecer ou mesmo ao anoitecer.

Fissuras de retra9ao por evapora9ao podem ser minimizadas

por urn concreto bern dosado, uma cura adequada, juntas de

contra9ao e reforyos.

Barreiras de vapor sao usadas primariamente para deter a

ascensao da umidade do solo atraves da laje. Barreiras de

vapor aceitaveis sao:

(a) Camada de brita 1 com 10.0 em a 15.0 em de espessura.

(b) Lona plastica de espessura 0.25 mm coberta com uma

camada de areia de 2.5 em a 5.0 em de espessura.

(c) Lona plastica de espessura minima 0.25 mm.

0 sistema preferido e (a) e (b) juntos. 0 sistema (c) pode

resultar em uma quantidade excessiva de fissuras na laje

para urn concreto com slump alto. Portanto, use o sistema

(c) somente com concreto de slump baixo, ou seja, 7.5 em no

maximo.

A areia serve para proteger o plastico da movimentayao dos

operarios, permitir a drenagem do excesso de agua do

concreto fresco e ajudar no processo de cura fornecendo

umidade para o concreto. Para evitar que o lanyamento do

concreto afaste a areia, esta deve estar represada. De

preferencia, o concreto deve ser lan9ado em cima de

concreto previamente lan9ado.

35

0 objetivo da cura e permitir o concreto ganhar

resistencia. Para isso, a temperatura deve estar acima de 4

graus Celsius e agua deve estar presente dentro do concreto

para hidratar o cimento. 0 melhor metodo de cura e inundar

o concreto, mas uma alternativa e usar uma cobertura de

controle da evapora9ao pulverizada no concreto fresco. Esse

metodo tenta conter a agua de mistura dentro do concreto e

e moderadamente eficaz. Uma superficie aspera requer uma

taxa de cobertura maior do que uma superficie lisa.

Enquanto a agua estiver contida dentro do concreto, nao

ocorre retra9ao por evapora9ao. Eventualmente o teor de

umidade no concreto diminui, e entao a retra9ao come9a.

Segundo a referencia [13], o metodo mais simples e seguro

para minimizar a maioria das fissuras em lajes sobre solo e

seguir rigorosamente as recomenda96es sobre espa9amento das

juntas de contra9ao.

3.3.4 Reforc;o para laje sobre solo

Laje sobre solo sem a utiliza9ao de refor90 e aceitavel,

desde que as juntas de contra9ao sejam executadas e

espa9adas adequadamente e que o suporte no solo seja

uniforme. Os tipos de refor9os utilizados para combater a

fissura9ao sao de barras de a9o ou telas soldadas, fibras

de a90 ou fibras de nylon misturadas no concreto.

3.3.4.1 Refon;o com barras de a~o ou telas soldadas

36

Fissuras na laje podem ocorrer mesmo com a utiliza9ao de

refor9o com barras de a9o ou telas soldadas. A finalidade

do refor90 e controlar a abertura e espa9amento das

fissuras. A referencia [10] recomenda uma quantidade de

refor9o que proporciona eficacia parcial no controle da

abertura das fissuras. Essa quantidade e equivalente a utiliza9ao de barras com 10.0 mm de diametro espa9adas a

cada 45.0 em nas duas dire96es para as lajes de 10.0 em de

espessura, e barras com 12.5 mm de diametro espa9adas de 60

em para lajes de 12.0 em de espessura. Alternativamente e

aceitavel o uso de tela soldada de malha quadrada com

espa9amento entre fios igual a 10.0 em e diametro dos fios

igual a 4.2 mm. E tambem aconselhavel essa quantidade de

armadura para solos com possiveis movimentos de

assentamento para evitar saliencias verticais na laje.

Mesmo com a utiliza9ao do refor90 com armadura, juntas de

contra9ao ainda sao necessarias e o seu espa9amento pode

ser maior do que aquele para lajes nao refor9adas. Nas

referencias [12] e [18] sao apresentados metodos para

dimensionamento do refor9o de armadura em fun9ao do

espa9amentos das juntas de contra9ao.

o refor9o (barras ou telas soldadas) deve estar posicionado

proximo da superficie superior da laje para minimizar a

abertura das fissuras, porque a maior retra9ao ocorre nessa

superficie. A disposi9ao do refor90 deve ser na metade

superior da laje e garantida a sua permanencia nesta

posi9ao durante a concretagem com a ajuda de espaQadores

(caranguejos). Quando existir a camada de areia, os

espa9adores devem ser apoiados abaixo dessa camada. Para

lajes com espessura maior ou igual a 12.0 em, as barras

37

devem ser colocadas 5.0 em abaixo da superficie superior da

laje.

3.3.4.2 Fibras de a~o

Refor9o com fibras de a9o melhoram algumas caracteristicas

do concreto, como por exemplo a tenacidade, a resistencia a fadiga e o controle da fissura9ao por retra9ao. As fibras

sao adicionadas na betoneira, em peso por volume de

concreto, na quantidade de 18.0 kgf/m3 a 30.0 kgf/m3, de

acordo com a referencia [10] . Procedimentos normais de

lan9amento e acabamento sao usados. Juntas de contra9ao sao

necessarias, mas o espa9amento pode ser maior do que aquele

para lajes nao refor9adas. Fibras de a9o sao altamente

recomendadas.

A Figura 9 mostra uma distribui9ao regular de fibras de

a9o, com diametro d e comprimento 1, nas tres dimensoes

espaciais dentro de urn volume de concreto.

38

al

Figura 9

o volume de fibras dentro de urn cubo imaginario de lado

igual a al pode ser escrito como:

v,

A rela9ao entre o volume de fibras e o volume de concreto

nesse cubo imaginario, pode ser escrita como:

p = :;, ( ~ J => a = [ !; ( ~ Jl~ Da referencia [11] pode ser inferido o seguinte:

a;:; o.4sif3

39

1

[ ~; ( ~ JT ::; 0 . 4 5:if3 ~ p 2: ----o:-1t ( dl )2

4(0.45)3

Considerando ~ como o peso especifico do a9o da fibra, o

minima peso de fibras de a90 por unidade de volume de

concreto, pode ser escrito como:

QJ 1tYs 2: 4 (o .45)' (~ J

A referencia [11] sugere o seguinte:

p 2: o.oo25 1 l

> 60 d

Considerando urn valor para o peso especifico do a9o, as

recomenda96es podem ser unificadas nas expressoes:

Q> 2: 68003 ( ~ J kgf/m3 I l

::; 60 d

Q> 2: 18.9 kgf/m3 I l > 60

d

E interessante observar que urn procedimento para controlar

as fissuras devidas a retra9ao do concreto pode ser

imaginado impondo se que a for9a causada pela retra9ao do

concreto seja menor ou igual a for9a de escoamento plastico

da se9ao da fibra de a9o.

40

1 :<:::

d

0 concreto misturado com fibras de aqo, na quantidade

superior a 1% em volume (cerca de 75 kgf/m3), forma urn

composto que apresenta aumento no valor do modulo de

ruptura quando comparado com o concreto simples [09] .

3.3.4.3 Fibras de nylon ou polipropileno

Fibras de nylon ou polipropileno nao proporcionam qualquer

beneficia no controle de fissuras de retraqao por

evaporaqao, mas possuem valor no controle de fissuras de

retraqao plastica. As fibras sao adicionadas na betoneira,

em peso por volume de concreto, na quantidade de 0.6 kgf/m3

a 0.9 kgf/m3, de acordo com a referencia [10].

3.3.5 Juntas

A funqao basica das juntas na laje sabre solo e acomodar os

movimentos de contraqao ou expansao da laje e desse modo

prevenir ou controlar as fissuras do concreto, sem que

ocorram danos a laje do ponto de vista estrutural e de

durabilidade, permitindo a adequada transferencia de

41

esfor9o entre as placas contiguas. A transferencia de

esfor9o, tambem chamada transferencia de cisalhamento, e

geralmente fornecida pelo intertravamento dos agregados,

barras de a~o ou junta macho-femea.

A maioria das fissuras nas lajes e resultado de tres a~oes:

mudan9a de volume devida a retra~ao, tensao provocada pelo

carregamento e flexao da laje. Fissuras podem ser o

resultado conjunto das tres a~oes. Fissuras irao aparecer

em qualquer tempo e em qualquer lugar onde a tensao no

interior de concreto for superior a sua resistencia.

Medidas de controle sao tomadas para induzir o concreto a

fissurar em urn local pre-determinado, que sera uma linha

reta ao longo da junta.

Tres tipos de juntas sao utilizados: juntas de isolamento,

juntas de controle, juntas de constru9ao.

3.3.5.1 Juntas de isolamento

Juntas de isolamento, tambem denominadas de juntas de

expansao, sao executadas em todos os locais onde e

desejavel permitir movimentos independentes entre a laje e

outras partes do edificio, tais como colunas, paredes ou

bases de maquinas. Esse tipo de junta permite movimentos

horizontais ou verticais entre a face da laje e as outras

partes do edificio porque nao existe contato, vinculo ou

mecanismo de liga~ao atraves da junta. A Figura 10

apresenta urn detalhe tipico para a junta de isolamento.

42

selante

laje

material compressivel

Figura 10

Colunas sobre sapatas isoladas sao separadas da laje por

uma junta de isolamento de forma circular ou quadrada. A

forma quadrada deve ser girada em rela9ao a se9ao da coluna

e ter seus cantos coincidindo com juntas de controle ou de

constru9ao, como mostrado na Figura 11.

construcao

~ isolamento

\ controle

Figura 11

43

No caso de ocorrer trafego de veiculos sabre uma junta de

isolamento, cuidados especiais deverao ser tornados para a

devida transferencia de esfor9o.

3.3.5.2 Juntas de controle

Juntas de controle, tambem denominadas juntas de contra9ao,

com apropriado espa9amento eliminam a causa das fissuras

aleat6rias e incontrolaveis. Elas permitem movimentos

horizontais da laje. Juntas de controle sao normalmente

executadas atraves de urn corte com uma ferramenta

apropriada no mesmo dia da concretagem, na profundidade de

1/4 da espessura da laje. 0 objetivo da junta de controle e

formar uma se9ao fragil na laje tal que a fissura ocorra ao

longo dessa junta e nao em outro lugar, como mostrado na

Figura 12.

corte

h laje

Figura 12

Transferencia de esfor9o atraves da junta de controle e

realizada pelo intertravamento formado ao longo da fissura.

Com espa9amentos longos das juntas ou cargas elevadas sabre

a laje, barras lisas de a9o, com uma extremidade livre para

deslizar no interior da laje, sao utilizadas como sistema

44

de transferencia de esfor9o. A referencia [13] apresenta na

Tabela 3 os diametros e espa9amentos das barras de

transferencia em fun9ao da espessura da laje.

Tabela 3

18.0 22.0 36.0 30.0

20.0 25.0 36.0 30.0

22.0 28.0 40.0 30.0

25.0 32.0 40.0 30.0

A barra de transferencia deve estar com a metade de seu

comprimento lubrificado para impedir a aderencia com o

concreto, deve estar pintada para impedir a corrosao da

propria barra e deve ser posicionada no meio da altura da

laje, como mostrado na Figura 13.

corte

h laje --_ barra transferencia

Figura 13

Quando for utilizada armadura para controlar a abertura das

fissuras, esta deve ser interrompida em todas as juntas.

45

A referencia [10] apresenta a Tabela 4 para o

das juntas de contra9ao em lajes sem refor9o executadas no

interior ou exterior de urn edificio. Qualquer laje

concretada a ceu aberto e considerada como sendo uma laje

exterior.

Tabela 4

Espessura (em) 10. 0 12. 5 15. 0

Interior (m) 5.0 6.0 7.5

Exte 3.0 4.0 4.5

A utiliza9ao de fibras de a9o misturada no concreto permite

aumentar o espa9amento das juntas.

Patios e passeios sao geralmente de espessura 8.0 em e

deveriam ter urn espa9amento de junta de contra9ao em torno

1.80 m. Para concreto com seixo rolado os limites da Tabela

4 devem ser reduzidos em cerca de 1.00 m.

0 melhor desenho para as juntas e quando divisoes quadradas

forem feitas. Para divisoes retangulares, a rela9ao entre

os lados do retangulo nao deve exceder 1.5. Nos cantos

reentrantes devem ser colocadas juntas de contra9ao.

3.3.5.3 Juntas de constrw;ao

Juntas de constru9ao normalmente determinam cada etapa de

concretagem da laje, marcam onde concreto novo toea o

concreto existente.

46

Para lajes com cargas elevadas barras de transferencia de

esfor9o sao utilizadas na face interrompida da laje

conforme Figura 14.

h laje --_ barra lisa

Figura 14

Quando uma concretagem for interrompida por 30 minutos ou

mais, uma junta de interliga9ao de constru9ao deve ser

inserida para evitar a forma9ao de uma junta fria. Uma

junta de interliga9ao de constru9ao na execu9ao de laje e uma junta de topo com barras de a9o, com aderencia,

interligando as faces da laje, conforme Figura 15.

h laje --_ barra corrugada

Figura 15

A referencia [13] apresenta a Tabela 5 com o diametro e

espa9amento das barras para juntas de interliga9ao de

47

constru9ao. Toda armadura na laje e continua atraves da

junta de interliga9ao de constru9ao.

Tabela 5

12.5 12.5 75.0 75.0

15.0 12.5 75.0 75.0

18.0 12.5 75.0 75.0

20.0 12.5 75.0 75.0

22.0 16.0 75.0 75.0

25.0 16.0 75.0 75.0

Juntas de constru9ao nao funcionarao como juntas de

contra9ao quando detalhes de projeto requisitarem tornar

aspera uma face do concreto ou existir barras de refor9o

ligando o concreto novo e o existente.

Urn tipo de juntas de constru9ao sao as juntas de expansao,

executadas com urn material compressivel instalado na

profundidade total da laje, com espa9amento variando entre

15.0 m a 30.0 m.

48

4 0 solo

4.1 Subleito

0 subleito e o terreno natural graduado e compactado, sobre

o qual a laje sera construida. 0 subleito e tao importante

quanto a propria laje para garantir que a laje desempenhe a

fun9ao para o qual foi projetada. 0 subleito como

encontrado naturalmente pode ser melhorado pela drenagem,

compacta9ao ou estabiliza9ao do solo. 0 ponto mais mais

importante e assegurar que as condi96es de apoio sejam

uniformes para a laje. Por causa da rigidez da laje, as

for9as aplicadas sao distribuidas em grandes areas e as

pressoes no subleito sao normalmente baixas.

4.1.1 Classificac;;:ao do solo

A classifica9ao adequada do terreno do subleito deve ser

realizada para identificar os potenciais problemas do solo.

A referencia [05] (Classification of soil for Engineering

Purposes) apresenta urn sistema para classificar solos

minerais e organo-minerais para prop6sitos de engenharia

baseado na determina9ao das caracteristicas dos tamanhos

das particulas, limite de liquidez e limite de

plasticidade. Essa classifica9ao, tambem conhecida como

classifica9ao unificada, e de uso comum no dimensionamento

de lajes sobre solo.

4.1.2 Densidade

49

A resistencia do solo, isto e, a capacidade de suporte e

resistencia ao movimento ou consolida9ao, e importante para

o desempenho das lajes, particularmente para suportar

for9as elevadas. A resistencia do solo e influenciada pelo

grau de compacta9ao e pelo teor de umidade. A compacta9ao e

urn metodo proposital para aumentar a densidade do solo. E

uma opera9ao de baixo custo que melhora as propriedades

estruturais do solo.

4.1.3 lndice de plasticidade

Quando urn solo pode ser enrolado em finas tiras, ele e

chamado de plastico. Muitos solos finos e granulares

contendo argilas minerais sao plasticos. 0 grau de

plasticidade do solo e expresso pelo indice de plasticidade

(IP), que e a diferen9a entre o limite de liquidez (LL) e o

limite de plasticidade (LP) . 0 limite de liquidez (LL) e a

quantidade de umidade presente quando o solo muda do estado

plastico para estado liquido. o limite de plasticidade (LP)

e a quantidade de umidade presente quando o solo muda do

estado semi-solido para o estado plastico.

IP = LL - LP

De acordo com a referencia [12] , solos com indice de

plasticidade (IP) entre 7 e 13 come9am a tornar-se

potencialmente perigosos. Urn solo com essa caracteristica

pode destruir o que seria uma boa laje e deve portanto ser

removido ou melhorado. Guias atuais para o melhoramento do

solo sao fornecidos pelas referencia [14] e [15] .

50

4.2 Preparat;ao do local

Para que nao existam varia96es das condi96es de suporte do

solo sob a area da laje, cuidados especiais devem ser

tornados na prepara9ao do subleito. As maiores causas da nao

uniformidade de suporte que devem ser controladas sao as

seguintes: solos expansivos, solos colapsiveis, varia9ao

entre pontos de apoios rigidos e flexiveis e o material de

enchimento.

4.2.1 Solos expansivos

De acordo com a referencia [13] , a maioria dos solos

razoavelmente expansivos que podem causar distor96es nas

lajes e classificada como argilas de alta plasticidade

(CH), siltes de alta plasticidade (MH) ou argilas organicas

(OH) . Ensaios simples no solo determinam indices que servem

como guias usuais para identificar o apropriado potencial

de mudan9a de volume dos solos. A Tabela 6 apresenta uma

rela9ao aproximada entre expansao e plasticidade.

Tabela 6

2% a 4% 10 a 20

> 4% > 20

A contra9ao ou expansao do solo com grandes varia96es de

volume no subleito criara condi96es de apoio nao uniformes,

podendo resultar na distor9ao da laje. A compacta9ao de

solos altamente expansive e muito seco, pode contribuir

51

para a expansao e amolecimento do solo do subleito devido a

urn futuro aumento do teor de umidade. Quando o subleito de

solo expansive esta muito umido na epoca da concretagem da

laje, o posterior secamento e encolhimento do solo podera

deixar sem condi96es de apoio partes da laje.

Com opera9ao de gradeamento, mistura ou movimenta9ao no

solo do subleito e possivel obter condi96es uniformes de

apoio na parte superior do subleito. A compacta9ao de solo

expansive em 95% da densidade 6tima, com 1% a 3% acima do

teor de umidade 6tima, minimiza possiveis perdas de

condi96es de apoio devido a qualquer acrescimo futuro no

indice de umidade e proporciona a estabilidade uniforme que

e necessaria para urn born desempenho da laje.

Para for9as elevadas na laje ou condi96es pobres do solo do

subleito uma detalhada investiga9ao deve ser realizada por

especialista em solos.

4.2.2 Solos colapsiveis

Solos colapsiveis sao geralmente depositos soprados pelo

vento de siltes, dunas de areia e cinza vulcanica.

Tipicamente sao soltos mas estaveis, com pontos de contato

bern cimentado com urn agente soluvel em agua, de modo que

certas condi96es de carregamento e umidade produzem urn

colapso resultando em grande assentamento. A densidade e urn

dos parametros mais significativos na estimativa do

colapso. A referencia [08] sugere que a densidade seja

usada em conjunto com o limite de liquidez para estimar o

52

potencial de colapso. Essa sugestao, na forma de equa9ao e

a seguinte:

Yseco 17 · 3 - 0. 186 (LL - 16) (kN/m3

)

Onde LL e o limite de liquidez em percentagem. Quando a

densidade in situ e menor do que a dada pela equa9ao

anterior, o solo e susceptivel ao colapso.

4.2.3 Apoios rigidos e flexiveis

Cuidados especiais devem ser tornados com as escava96es e

aterros para prevenir pontos localizados rigidos ou

flexiveis no solo. Condi96es de apoio nao uniformes, de

qualquer forma, nao podem ser obtidas simplesmente pela

coloca9ao de material granular no ponto mole. 0 teor de

umidade e a densidade do solo trocado devem ser similares

ao do solo adjacente. Para areas de transi9ao de tipo de

solo ou mudan9as abruptas de condi96es do mesmo, o solo

trocado deve ser misturado com o solo das vizinhan9as por

opera96es de terraplanagem para formar uma zona de

transi9ao com condi96es de apoio uniforme.

4.2.4 Enchimento

Para melhorar o subleito ou para levantar nivel do perfil

existente deve-se colocar urn material estavel que pode ser

perfeitamente compactado. Entulho de constru9ao ou

demoli9ao de pavimentos devem primeiro ser passados atraves

de urn britador para elimina9ao dos peda9os grandes que

53

podem causar dificuldades na compactayao. Valas de

tubula96es devem ser preenchidas com solo semelhante

aqueles das vizinhan9as das valas e compactado em camadas.

Toda aten9ao deve ser dada para restabelecer tanto quanta

possivel a uniformidade original do subleito. Uma

compacta9ao inadequada no preenchimento de valas no

subleito pode acarretar futuros problemas de assentamento e

ruina prematura do solo.

4.2.5 Modulo de rea~ao do solo

E facil aceitar que as tensoes na laje sao diretamente

influenciadas pelas condi96es de apoio do subleito. o

modulo de rea9ao do solo e a razao entre a pressao e o

respective deslocamento de uma placa de urn de diametro

padronizado.

A Tabela 7, adaptada da referencia [03], apresenta uma

estimativa para os limites de varia9ao do CBR em fun9ao do

tipo de solo classificado de acordo com a referencia [05]

(Classification of soil for Engineering Purposes).

G = pedregulho (gravel)

s = areia (sand)

M = sedimento (silt)

c = argila (clay)

w = bern graduado

p = pobremente graduado

u = uniformemente graduado

L baixa a media compressibilidade

H = alta compressibilidade

54

o ~ organico

Tabela 7

MH 2.5 8.0

OL 2.0 8.0

ML 3.0 15.0

CL 3.0 15.0

sc 10.0 20.0

su 10.0 20.0

SP 15.0 25.0

SM 20.0 40.0

sw 20.0 40.0

GC 20.0 40.0

GU 25.0 50.0

GP 35.0 60.0

GM 40.0 80.0

GW 60.0 80.0

Os valores do modulo de rea9ao do solo refletem o subleito

sobre condi9oes elasticas com pequenos deslocamentos. 0

modulo de rea9ao do solo pode ser estimado atraves da

equa9ao obtida por urn ajuste de curva passando por alguns

pontos do abaco apresentado na referencia [03] . A Figura 16

mostra os pontos e a curva ajustada.

55

606

500

• 400 ~ • •

300 •

200 ~

• 100 •

• • 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 CBR

Figura 16

k = 2.495(lnCBR)3 + 89.78(lnCBR)- 35.06 (lbf/in')

1 lbf/in' ~ 2. 767991 * 10-2 kgf/cm3

4.3 Sub-base

A sub-base e uma camada fina de material granular colocado

em cima do subleito preparado. A sub-base nao e obrigat6ria

para lajes sobre solo. Entretanto, quando urn subleito de

suporte uniforme nao e produzido por opera96es de

gradeamento e compacta9ao, uma sub-base de material

granular ira fornecer urn apoio uniforme atraves da

minimiza9ao dos defeitos do subleito. A sub-base tambem

proporciona uma quebra da capilaridade e uma plataforma de

trabalho estavel para os equipamentos de constru9ao.

56

A referencia [13] afirma que ensaios realizados pela

Portland Cement Association mostram que aumentar a sub-base

alem de 10 centimetros resulta em pequeno acrescimo na

capacidade de suporte do subleito e nao permite apreciavel

redu9ao na espessura da laje para uma dada condi9ao de

carregamento. E raramente necessaria ou econ6mico aumentar

a capacidade de suporte do subleito atraves de uma grossa

sub-base. Beneficios consideraveis no desempenho e na

redu9ao da espessura da laje podem ser obtidos com

tratamento de cimento da sub-base.

Areia, cascalho, pedra britada ou uma combina96es desses

materiais pode ser utilizado como material granular para a

sub-base. Conforme recomendado na referencia [13], urn

material satisfat6rio para a sub-base ira reunir as

seguintes propriedades: o tamanho maximo e menor que 1/3 da

espessura da sub-base, no maximo 15% passam pela peneira

#200, IP ~ 6% e LL ~ 25%.

4.4 Tensao vertical no solo

Para uma estimativa do limite de influencia da tensao

vertical provocada por urn carregamento uniforme sabre uma

area circular pode ser impasto que a tensao vertical, no

ponto central da area circular, seja igual a uma pequena

parcela da tensao vertical provocada pelo peso proprio da

superficie semi-infinita.

A Figura 17 apresenta as variaveis envolvidas na

determina9ao da tensao vertical no ponto (r,z) provocada

57

por uma for9a pontual p sobre uma superficie semi-infinita,

homogenea, isotr6pica e elastica.

p

z

r

Figura 17


determina9ao da tensao vertical provocada por um

carregamento uniforme q sobre uma area circular de raio R,

no ponto central da area circular e na profundidade z.

dq R

q

z

r

Figura 18

58

4.4.1 Teoria de Boussinesq

Como mostrado na Figura 17 e de acordo com a referencia

[08], a tensao vertical provocada por uma for9a pontual p

pode ser escrita como:

3 3pz ( 2 -- z +

21t

Como mostrado na Figura 18, a tensao vertical provocada por

urn carregamento uniforme q pode ser escrita como:

R

<J = 3qz3 J(z2

0

Para uma estimativa do limite de influencia desse

carregamento, pode ser imposto que essa tensao vertical

seja igual a uma pequena parcela da tensao vertical

provocada pelo peso proprio da superficie semi-infinita.

cr a:yz

59

= ayz

q

Definindo:

R y =

z

Segue:

(y - ~ t ( 1 + y' )' - y 2 0

4.4.2 Teoria de Westergaard

Westergaard considera a superficie como semi-infinita,

homogenea, isotr6pica, elastica e com coeficiente de

Poisson !!·

Como mostrado na Figura 17 e de acordo com a referencia

[08] , a tensao vertical provocada por uma for9a pontual p

pode ser escrita como:

<J pz.,Ja ( , ')-~ az + r 2

21t a

A referencia [08] apresentada a Tabela 8 que mostra a

varia9ao do coeficiente de Poisson para diferentes tipos de

solos.

60

Tabela 8

0.10 0.30

arenosa 0.20 0.30

0.30 0.35

Are 0. 30 0.40

Como mostrado na Figura 18, a tensao vertical provocada por

urn carregamento uniforme q pode ser escrita como:

R 3

cr = qzFaJ(az2 + r'r" rdr

0





cr a:yz

1

1- -;===~1 + (=zfa J ayz

= q

Definindo:

61

y

Segue:

4qfa

ayR

3x2 = 4 + l-2--'7~'-'_+_3-'-~-2 ~_,_28_1-'-~-' _+_7_6_8 + 641 + (-2--'7~'-'--_3'-W_,~,_8_1=-~'-+_7_6_8 + 641

x+ ~ 2W 4+-x

y = 2

4.4.3 Teoria da inclina~rao 2:1


determinaqao da tensao vertical provocada por urn

carregamento uniforme q sobre uma area circular de raio R,

na profundidade z. A tensao vertical pode ser escrita como:

62

R

q

z

z R+

2

Figura 19

(j =

(j = q





cr = ayz

1 ayz

q

63

Definindo:

z y =

2R

Segue:

q

2U'{R

y'+2y'+y-p 0

1 1

3y (

27P + 3~81P' + 12p J (27P - 3~8W + 12p J -2 + + 1 + + 1 2 2

4.4.4 Exemplo

Considere uma laje com area igual a 75.9 m2, sujeita a urn

carregamento uniforme igual a 0.11 kgf/cm2• 0 peso

especifico do solo e igual a 1.8 tf/m3• 0 raio da area

circular equivalente e igual a 4.92 m. Os resultados estao

mostrados na Tabela 9.

Tabela 9

f.l = 0.3

0.05 6.27 5.75 5.22

0.10 4.34 3.79 3.38

64

1 a .151 3. 351 2. 861 2. 561

65

5 Exemplo 1

Laje sobre solo, com espessura igual a 10 em, na forma

retangular com lados medindo 300 em x 450 em. 0 modulo de

rea9ao do solo e igual a 5.54 kgf/cm3• A resistencia a

compressao do concreto e igual a 250 kgf/cm2•

h 10 em

k ~ 5.54 kgf/cm3

( 250 kgf/cm2

~ 1.9893~ ~ 31.45 kgf/cm 2

a= 0.5~ ~ 15.73 kgf/cm2

Ec = 15119~ ~ 239052 kgf/cm2

v 0.20

5.1 Arquivo para o ANSYS

! ENTERS THE MODEL CREATION PREPROCESSOR

/PREP7

! DEFINE KEYPOINTS

K, 1, -225.0, -150 0, 0.0

K, 2, 225.0, -150.0, 0.0

K, 3, 225 0, 150 0, 0.0

K, 4' -225.0, 150.0, 0.0

66

! DEFINE ELEMENT TYPE

ET I 1 I SHELL63

! DEFINE ELEMENT REAL CONSTANTS

R, 1, 10 • 0 I I 5. 54

! DEFINE MATERIAL PROPERTY

MP, EX,

MP,PRXY,

1, 2.39052E+05

1, 0. 20

! DEFINE AREA BY CONNECTING KEYPOINTS

A, 1, 2, 3, 4

! SPECIFY THE DIVISIONS AND SPACING RATIO ON UNMESHED LINES

LESIZE, ALL, 15.0

! GENERATE NODES AND ELEMENTS

AMESH, ALL

! DEFINE CONSTRAINTS

D, 1, UX, 0.0

D, ~ UY, 0.0

FINISH

5.2 Carga de co/una

Considere a for9a aplieada pela eoluna igual a 1000 kgf

distribuida numa plaea de base 30 em x 30 em.

P = 1000 kgf , a = 30 em


1

1 = [ 12 ( 1E~h'v') k J ~ 4 5 em

67

5.2.2 Forc;a concentrada perto de uma das bordas

A maxima tensao de tra9ao ocorre na face inferior da placa,

na borda e na dire9a0 paralela a borda.

cr"" 12

+ ~ ~ [0.41613 + ln(2.7302~)- 0.15657V- B1 + ~B2 ] 1t (3 + v h a 21

0.9627

0.4131

cr"" 13.61 kgf/cm2

A Figura 20 mostra a discretiza9ao da laje e a posi9ao da

area de distribui9ao da for9a concentrada.

68

Figura 20

A Figura 21 mostra a tensao na dire9ao x na face inferior

da laje. A tensao de tra9a0 maxima esta aproximadamente 14%

acima do valor obtido pela equa9ao da teoria de placa sob

base elastica.

69

Figura 21

5.2.3 For~a concentrada Ionge das bordas

ANSYS 5.'1 OCT 9 2001 16:30:50 NODAL SOLUTION 5TEP=1 SUB =1 TINE=1 SX (AVG) RSYS=O PourerGraphica EFACETGl AVRES=IIat Dl!R =.029667 Sl!N =-15.5'\lil

-15.5'12 -12.088 -8.63'1 -5.191 -1.?2:7 1.7Z'i' 5.181 8. 634

12.oee 15.5'11!

A maxima tensao de tra9ao ocorre diretamente sob a for9a,

na face inferior da placa.

3P(l+v) ( 1) a "" 2 ln 3. 2450-2nh a

a"" 8.94 kgf/cm2

A Figura 22 mostra a discretiza9ao da laje e a posi9ao da

area de distribui9ao da for9a concentrada.

70

Fi.gura 22

A Figura 23 mostra a tensao principal na face inferior da

laje. A tensao de tra9ao maxima esta aproximadamente 3%

acima do valor obtido pela equa9ao da teoria de placa sob

base elastica.

71

Figura 23

5.3 Carga de parede

ANSYS 5.'1 OCT 9 2001 17:20:40 NODAL SOLUTION

5TEP=l SUB =1 TIH=l S:l (AVG) Power Graphic:;, EFACET=1 AVRI:S~Kat

DI'!!X .0110'.16 SKill =-1.111

-1. lll .036671 1.184 2.332 3.49 '!. 62:8 5. 7?6 6.9Z3 8.071 9.219

Considere a for9a aplicada pela parede igual a 10 kgf/cm.

w 10 kgf/cm


1

z z o • 5 96 8 ( Et J z 4 8 em

72

5.3.2 For~a por unidade de comprimento perto de uma das bordas

A maxima tensao de tra9ao ocorre a uma distancia igual ao

raio de rigidez relativa a partir da linha de aplica9ao da

for9a por unidade de comprimento, na face superior da

placa.

1

0" ""' 1.4698w (k:s) "" 11.91 kgf/cm2

A Figura 24 mostra a discretiza9ao da laje. Observe que a

for9a por unidade de comprimento esta posicionada na borda

da laje.

Figura 24

73

A Figura 25 mostra a tensao na dire9ao y na face superior

da laje. A tensao de tra9ao maxima esta aproximadamente 11%

abaixo do valor obtido pela equa9ao da teoria de viga sob

base elastica.

Figura 25

ANSY:S 5.'1 OCT 9 2001 16:42:14 NODAL SOLUTION STEP=l SUB =1 Til'JE=1 SY (AVG)

RSYS=O PotrerGraphica I!:FACJ!:T"l AVRES=Kat DI'!R =.05545'7 Slm =-lCI.65i SI'!R =10.65"1

-1().65"1 -8.2:66 -5.919 -3.551 -1. 194

1.18'1 3.551 5.919 8.286 10.654

5.3.3 For~a por unidade de comprimento Ionge das bordas

A maxima tensao de tra9ao ocorre diretamente sob a linha de

aplica9ao da for9a por unidade de comprimentof na face

inferior da placa.

1

cr ""1.1398w(k:5 J ""9.24 kgf/cm2

74

A Figura 26 mostra a discretiza9ao da laje. Observe que a

for9a por unidade de comprimento esta posicionada longe das

bordas da laj e.

Figura 26

A Figura 27 mostra a tensao na dire9ao y na face inferior

da laje. A tensao de tra9ao maxima esta aproximadamente 3%

abaixo do valor obtido pela equa9ao da teoria de viga sob

base elastica.

75

Figura 27

ANSYS 5.'1 OCT 9 2001 16:50:04 NODAL SOLOTIOI\l STEP=l SUB =t TINE=l SY RSYS=O

(AVG)

PotrerGraphics EFACET~l

AVRES=I'l:at Dm< =.0152?'1 SI!N =-6.Sl5l

-6.5!9 -6.992 -4.994 -2.99? -.999951G .996856 2.99? 4.994 6.992 6.99

76

6 Exemplo 2

Coluna longe das bordas em laje sobre solo. A espessura da

laje e igual a 15 em. 0 modulo de rea9a0 do solo e igual a

8.30 kgf/cm3• A resistencia a compressao do concreto e igual

a 350 kgf/cm2• A for9a aplicada pela coluna e igual a 10000

kgf distribuida numa placa de base 30 em x 30 em.

h = 15 em

k ""'8.30 kgf/cm3

( = 350 kgf/cm2

fr 1. 9893-Jf.: ""' 37.22 kgf/ cm2

a 0. 5~ ""' 18.61 kgf/cm2

Ec = 15119-Jf.: ""' 282851 kgf/cm2

v 0.20

P = 10000 kgf , a = 30 em

6.1 Geometria para o ANSYS

77

xi 8i I - nx

yj = 8j I - nY

r = ~i2 + ·2 J

r<n1 =>h=h 1

j

~!-Figura 28

s i s ~

s j s nY

nl < r < nz => h = (h2 - hJ r + (hl n2 - h2nJ (n2 - nJ

i

78

6.2 Determina~ao da espessura da laje

Utilizando a expressao para for9a concentrada longe das

bordas, a Tabela 10 apresenta a for9a admissivel para a

for9a aplicada pela coluna em fun9ao da espessura da laje.

p z

3(1 +v)ln(3.245o~)

1

Tabela 10

h (em) p (kgf) .. 1 fern)

15.0 4049 56.2

25.0 9277 82.5

27.5 10871 88.6

30.0 12574 94.5

Para suportar a for9a de 10000 kgf, conclui-se que a laje

deve ter uma espessura igual a 27.5 em. A maxima tensao de

tra9ao ocorre diretamente sob a for9a, na face inferior da

placa, na dire9ao radial a partir do ponto de aplica9ao.

3P (l + v) ( 1) cr""' 2

ln 3.2450-21th a

79

cr z 17.12 kgf/em2

6.3 Resultados do ANSYS

Os resultados mostrados a seguir foram ealeulados supondo

os seguintes valores para a diseretiza9ao e espessuras:

27.5 em 1 h 2 15.0 em

15 em I n 1 10

20 1 I\ 20

A Figura 29 mostra a diseretiza9ao da laje e a posi9ao da

area de distribui9ao da for9a eoneentrada.

80

Figura 29

A Figura 30 mostra a varia9ao de volume dos elementos da

discretiza9ao.

81

Figura 30

I!NSYS 5. "1: OCT 9 ZOOl 17:07:01 ELEBENT SOLUTION 5TEP=1 SUB =1 TI!!!I:=l VOLU TOP Dl'!X =,0Zi:J04 Sl!N •3375 Sl'!X =6188

A Figura 31 mostra a tensao principal na face inferior da

laje. A tensao de trayaO maxima esta aproximadamente 8%

acima do valor obtido pela equayao da teoria de placa sob

base elastica.

82

Figura 31

ANSYS 5.'1: OCT 9 2001 11:10:35 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 Til!l=1 51 (AVG) Power<Traphic::~

EFAC:ET=1 AVRES•I!:at DI'!X =. 02 2304 Sl'IN =-11. 111

-ll.lll -?.82:5 -'1.539 -1.252 2.034

5.32: 6.606 11.893 15.179

16.465

83

7 Exemplo 3

Aplica9ao a urn caso real para avaliar os esfor9os ern urna

laje sabre solo para urna residencia, cuja planta corn

rnedidas ern metros esta rnostrada na Figura 32.

Figura 32

A espessura da laje e igual a 10 ern. 0 solo foi descrito

como ML na classifica9ao unificada corn LL = 29% e LP = 23%.

Para essa classifica9ao, o modulo de rea9ao do solo varia

aproxirnadarnente de 2.00 kgf/crn3 ate 7.00 kgf/crn3 eo valor

4.00 kgf/crn3 foi considerado na analise. A resistencia a compressao do concreto e igual a 250 kgf/crn2

• Refor9o corn

fibras de a9o, na quantidade de 25 kgf/rn3, forarn utilizadas

para o controle da fissura9ao por retra9ao.

h 10 ern

84

k "" 4. 00 kgf/cm3

( 250 kgf/cm2

~ = 1.9893Ji: ""31.45 kgf/cm2

cr 0.5~ ::::: 15.73 kgf/cm2

Ec 15119Ji: ::::: 239052 kgf/cm2

v 0.18

7. 1 Fort;as aplicadas

A soma das for9as aplicadas na dire9ao vertical, no sentido

de cima para baixo, incluindo 0 peso proprio da laje, e

igual a 83047 kgf. A area da laje e igual a 75.9 m2.

Portanto, uma pressao media igual a 0.11 kgf/cm2 esta sendo

aplicada no solo.

Peso especifico do concreto:

Yc "" 2. 32 * 10-3 kgf/cm3

For9a por unidade de comprimento aplicada por paredes de

concreto com altura 270 em e espessura 10 em:

w "" 6 . 3 kgf I em

85

For9a por unidade de comprimento aplicada na paredes

externas devida a a9ao do vento sobre o telhado:

w ::::: 2. 0 kgf/cm

Pressao uniforme aplicada na laje para simular carga

acidental:

p ::::: 2. 0 * 10-2 kgf/cm2

A laje de forro foi calculada em separado supondo apoiada

livremente nas paredes. As for9as de rea9ao vertical

obtidas dessa maneira foram aplicadas na laje sobre solo.

7.2 Arquivo para o ANSYS

/TITLE, SLAB-ON-GRADE

SOIL IS A SANDY SILTS (ML) WITH LIQUID LIMIT EQUAL TO 29% AND

PLASTIC LIMIT EQUAL TO 23%. THE RANGE FOR SUBGRADE MODULUS IS

FROM 2.00 KGF/CM3 TO 7.00 KGF/CM3. THE ALLOWABLE TENSILE STRESS

FOR THE CONCRETE IS 15.73 KGF/CM2.

! PARAMETERS

CY =2.39052E+05 CONCRETE YOUNG'S MODULUS

CW_=2.32E-03 CONCRETE UNIT WEIGHT

WT_=10.0 WALL THICKNESS

WH =270.0 WALL HEIGHT

LD =35.0 DIVISION LENGTH ON UNMESHED LINES

WL =2.0 UNIFORM LOAD (FORCE/LENGTH) ON EXTERIOR WALLS DUE ROOF ACTIONS

LL =2.0E-02 UNIFORM LIVE LOAD (FORCE/AREA), ASCE 7-95

ENTERS THE MODEL CREATION PREPROCESSOR

/PREP7

! DEFINE KEYPOINTS

0. 0' 0. 0' 0. 0

K, 2, 1155. 0, 0. 0' 0. 0

86

K, 3' 270.0, 90.0, 0.0

K, 4' 400. 0' 90.0, 0.0

K, 5' 760.0, 90.0, 0.0

K, 6, 760.0' 315.0, 0.0

K, 7' 1055.0, 315. 0, 0.0

K, 8' 1155. 0' 315.0, 0.0

K, 9' 0. 0' 425.0, 0.0

K, 10, 270.0, 425.0, 0.0

K, 11, 400.0' 425.0, 0.0

K, 12, 760.0, 425.0, 0.0

K, 13, 555.0, 590.0, 0.0

K, 14, 760.0' 590.0, 0.0

K, 15, 1055.0, 590.0, 0.0

K, 16, -50. 0' 0. 0, 0.0

K, 17, -50.0, 590.0, 0.0

K, 18, 1205.0, 0. 0' 0.0

K, 19, 1205.0, 590.0, 0.0

! DEFINE ELEMENT TYPE

ET, 1, SHELL63

! DEFINE ELEMENT REAL CONSTANTS

R, 1, 10.0, , , , 4.00

! DEFINE MATERIAL PROPERTY

MP, EX,

MP,DENS,

MP,PRXY,

1, CY

1, cw

1, 0.18

! DEFINE AREA BY CONNECTING KEYPOINTS

A, 1, 2' 8' 7, 6, 5, 4' 3' 10, 9

A, 3' 4' 11, 10

A, 4, 5' 6, 12, 11

A, 6' 7, 15, 14, 12

A, 14, 13, 17' 16, 1, 9, 10, 11, 12

A, 2' 18, 19, 15, 7' 8

! SPECIFY THE DIVISIONS AND SPACING RATIO ON UNMESHED LINES

LESIZE, ALL, LD

! GENERATE NODES AND ELEMENTS

AMESH, ALL

! DEFINE CONSTRAINTS

D, 1, UX, 0.0

D, 1, UY, 0.0

SPECIFY ACCELERATION

87

ACEL, 0 . 0 , 0 . 0 , 1 . 0

FINISH

! ENTERS THE SOLUTION PROCESSOR

/SOLU

! SPECIFY THAT FORCE LOADS ARE ACCUMULATED

FCUM, ADD

! NODAL FORCE DUE WALL WEIGHT

FZ_=-WH_*WT_*CW_*LD_

! SELECT A SUBSET OF KEYPOINTS

KSEL, S, KP, , 1, 15

! SELECT LINES CONTAINING THE SELECTED KEYPOINTS

LSLK, S, 1

! SELECT NODES ASSOCIATED WITH SELECTED LINES

NSLL, S, 1

! SPECIFY FORCE LOADS AT NODES

F, ALL, FZ, FZ

! SELECT A SUBSET OF NODES

NSEL, ALL

! SELECT A SUBSET OF LINES

LSEL, ALL


KSEL, ALL

! NODAL FORCE DUE ROOF ACTIONS ON EXTERIOR WALLS

FZ_=-WL_*LD_


KSEL, s, KP, '

1

KSEL, A, KP, '

2

KSEL, A, KP, 13

KSEL, A, KP, '

14

KSEL, A, KP, ' 15

! SELECT LINES CONTAINING THE SELECTED KEYPOINTS

LSLK, S, 1

SELECT NODES ASSOCIATED WITH SELECTED LINES

88

NSLL, S, 1


F, ALL, FZ, FZ

! SELECT A SUBSET OF NODES

NSEL, ALL

! SELECT A SUBSET OF LINES

LSEL, ALL


KSEL, ALL

CONCRETE CEILING WEIGHT


F, 1, FZ, 169.08

F, 2, FZ, 203.97

F, 3, FZ, -157.18

F, 4, FZ, -61.783

F, 5, FZ, -94.415

F, 6, FZ, -88.583

F, 7, FZ, -70.346

F, 8, FZ, -44.825

F, 9, FZ, -5.1176

F, 10, FZ, -2.3065

F, 11, FZ, -24.692

F, 12, FZ, -36.498

F, 13, FZ, -33.076

F, 14, FZ, -25.099

F, 15, FZ, -14.316

F, 16, FZ, -4.2784

F, 17, FZ, 3.0038

F, 18, FZ, 6.5353

F, 19, FZ, 5.4739

F, 20, FZ, -.41987

F, 21, FZ, -9.6393

F, 22, FZ, 15.752

F,

F,

23, FZ,

24, FZ,

-4.6803

3.4759

F, 25, FZ, -19.437

F, 26, FZ, -55.651

F, 27, FZ, -78.741

F, 28, FZ, -84.482

F, 29, FZ, -109.95

F, 30, FZ, 94.397

F, 31, FZ, -99.513

89

F, 32, FZ, -91.198

F, 33, FZ, 63.691

F, 34, FZ, -149.65

F, 35, FZ, 309.35

F, 36, FZ, 17.311

F, 37, FZ, -104.89

F, 38, FZ, 122.06

F, 39, FZ, 117.26

F, 40, FZ, -107.93

F, 41, FZ, -93.778

F, 42, FZ, -44.487

F, 43, FZ, -66.319

F, 44, FZ, -335.88

F, 45, FZ, -164.94

F, 46' FZ, -157.92

F, 47, FZ, -234.99

F, 48, FZ, -260.62

F, 49' FZ, -240.54

F, 50, FZ, -248.01

F, 51, FZ, -242.72

F, 52, FZ, -226.76

F, 53, FZ, 176.95

F, 54, FZ, -124.83

F, 55, FZ, 284.45

F, 56, FZ, -498.35

F, 57' FZ, -183.29

F, 58, FZ, -184.87

F, 59, FZ, -214.75

F, 60, FZ, -214.57

F, 61, FZ, -217.61

F, 62, FZ, -145.93

F, 63, FZ, -39.540

F, 64, FZ, 283.59

F, 65, FZ, -110.78

F, 66' FZ, 134.82

F, 67, FZ, -170.76

F, 68, FZ, -188.97

F, 69, FZ, -194.92

F, 70' FZ, -182.17

F, 71, FZ, -161.71

F, 72, FZ, 131.27

F, 73, FZ, -78.790

F, 74, FZ, 578.80

F, 75, FZ, -24.715

F, 76, FZ, 53.695

F, 77' FZ, 309.53

F, 78, FZ, 105.90

F, 79' FZ, -157.97

90

F, 80, FZ, -195.26

F, 81, FZ, 176.72

F, 82, FZ, -176.11

F, 83, FZ, -170.19

F, 84, FZ, 160.71

F, 85, FZ, -153.27

F, 86, FZ, -129.04

F, 87, FZ, -188.07

F, 88, FZ, 329.19

F, 89, FZ, 12.727

F, 90, FZ, -72.932

F, 91, FZ, -103.12

F, 92, FZ, -117.93

F, 93, FZ, 120.72

F, 94, FZ, -89.601

F, 95, FZ, -147.46

F, 96, FZ, -142.66

F, 97, FZ, -48.243

F, 98, FZ, -84.934

F, 99, FZ, -88.865

F, 100, FZ, -91.888

F, 101, FZ, -93.616

F, 102, FZ, -93.658

F, 103, FZ, -93.773

F, 104, FZ, 92.747

F, 105, FZ, -89.290

F, 106, FZ, -85.568

F, 107, FZ, 11.826

F, 353, FZ, 75.014

F, 354, FZ, -26.042

F, 355, FZ, 97.451

F, 356' FZ, -134.05

F, 357, FZ, 150.02

F, 358, FZ, -160.96

F, 359' FZ, 162.45

F, 360, FZ, 153.90

F, 361, FZ, -128.15

F, 362, FZ, 155.47

F, 363, FZ, 38.158

F, 364, FZ, .63675

F, 365, FZ, 42.782

F, 393, FZ, 186.54

F, 394, FZ, 139.18

F, 395, FZ, 106.40

F, 396, FZ, -129.71

F, 397, FZ, 215.67

F, 398' FZ, -54.616

F, 399' FZ, -83.209

91

F, 400, FZ, -115.67

F, 401, FZ, -128.69

F, 402, FZ, -131.98

F, 403, FZ, -124.41

F, 404, FZ, -104.76

F, 405, FZ, 73.723

F, 406, FZ, 12.188

F, 516, FZ, 125.12

F, 517, FZ, 404.25

F, 518, FZ, 74 .171

F, 519, FZ, -71.432

F, 520, FZ, 104.02

F, 521, FZ, -107.75

F, 522, FZ, -96.060

F, 523, FZ, 36.081

F, 524, FZ, 25.899

F, 525, FZ, -87.230

F, 526, FZ, -49.236

F, 527, FZ, -71.066

F, 528, FZ, -74.601

F, 529, FZ, -73.944

F, 530' FZ, 67.098

F, 531, FZ, -52.677

F, 532, FZ, -20.481

F, 533, FZ, -62.255

F, 534, FZ, 81.155

F, 535, FZ, -84.483

F, 536, FZ, -115.36

F, 599, FZ, 69.620

F, 600, FZ, 30.608

F, 601, FZ, 17.053

F, 602, FZ, 14.429

F, 603, FZ, 18.129

F, 604, FZ, -10.992

UNIFORM LIVE LOAD (FORCE/AREA), ASCE 7 95

! SPECIFY SURFACE LOADS ON ELEMENTS

SFE, ALL, 2' PRES, LL

! STARTS A SOLUTION

SOLVE

FINISH

92

7.3 Resultados do ANSYS

1

I I I I I -------1 I I I I I I I I I

I I I

__________ I I I I I ~--

1

I I I I

__________ I I ~

: __ Lx__ -----------------

SLAB-ON-GRADE

Figura 33

-----

I I I I I I I I I I I I I I I I I

93

SLAll-ON-GRADE

Figura 34

94

SLlil-ON-GRADE

Figura 35

ANSYS S.'i SEP 26 2001 16:26:05 NOD.U. SOLUTION

STEP=l SUB =1 Tll'IE=l sx l<SYS=O

(AVG)

PolrerGr:aphica EFACET=l AVRES=JIIat Dl!X =.092483 S!.'IN =-1~.111 sn =12 .1'11

-12. Hl -9.443 -6.?45 -4.047 -1.349 1.3'19 4.04? 6.?45

9.443 J.Z,Hl

95

SLA:S-ON-GRADE

Figura 36

ANSYS 5.4 SEP :Z8 2001 16:26:29 NODAL SOLUTION 5TEP=1 SUB =1 TINE=1 sx P.SYS=O

(AVG)

PotilerGraphic:s I!FACET"l AVRES=B:a.t: Dm< =.082483 51!1'1 =-1~.1"1 Sm< =12 .141

-12. l'll -9.443 -6.745 -4.04? -1.::149 1. 349 '!. 0'17 6.745 9.443 12 '141

96

SLAl!- ON-GRADE

Figura 37

.!INSYS 5. 'I SEP 28 2001 16=27:34 NODJ.L SOLUTION STEP=l SUB =1 Tll!E=1 SY l<SYS=O

(AVG)

Power Gr aphica EFAC:ET~l

AVRES=l!:at DJI!X =.0€12483 Sl'!N =-1~.517 SJI!X =12.97

-12.97 -10.088 -7.206 -4.323 -1.'1'11 1. i:'ll 4.32:3 7. 206 1o.oaa 16.97

97

SLJ.B-ON-GIU.DE

Figura 38

ANSYS 5.4 SEP 28 2001 16:28:01 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIIl!E=1 SY I<SYS=O

(AVG)

Por.;erGraphica EFACET•l AVRES=Kat DI!!R =.082483 SI!N =-ll:.Sl7 SI!!X =12.9?

-12.97 -10.086 -7.206 -4.~23

-1.441 1. '1:41 4.32:3 7. 206 10.088 12 .9?

98

SLA:B-01\1-GRADE

Figura 39

ANSYS 5.'1 SEP :Z6 2001 16:28:41 NODAL SOLUTION 5TEP=l SUB =l TIJ!E=l Sl (AVG) Power Gr eapl::lic::~ EFAC:ET=1 AVRES~ll:at

DNX =.082:483 SEN =-.02 SNX =13.057

-.02 1. '!:33 2.686 4.339 5.?92 7.245 6.698 10.151 11.604

13.057

99

SLAB-ON-GRADE

F:i.gura 40

7.4 Fotos mostrando detalhes da constru~ao

ANSY:S 5."1: 5EP 28 2001 16!29:09 NODAL SOLUTION 5TEP=1 5U8 =1

TII'IE=l Sl (AVG) Power Gr &pbic:~ EFACET=l AVRE:S•J[at Dl!X =. 082483 SEN =-.02

Sl!X = 13 • 057

-.02: 1.1:33 2.886 4. 339 5.79::

?.2"1:5 8.698 10.151 11.604

13.057

100

Figura 41

Figura 42

101

Figura 43

Figura 44

102

Figura 45

Figura 46

103

Figura 47

Figura 48

104

Figura 49

Figura 50

105

Figura 51

Figura 52

106

8 Conclusoes

A utiliza9ao do programa ANSYS para a analise estrutural de

laje sobre solo e urn procedimento simples e complete. A

geometria e todos os tipos de carregamentos sao incluidos

com facilidade na analise. 0 elemento finito SHELL63 inclue

o modulo de rea9ao do solo nas suas caracteristicas. E particularmente atraente a possibilidade de verificar

visualmente se as tensoes no concreto estao dentro dos

limites admissiveis.

os resultados obtidos atraves do programa ANSYS estao

pr6ximos aos encontrados atraves das expressoes da teoria

da elasticidade. Isso sugere que essas expressoes podem ser

usadas para o pre-dimensionamento ou mesmo dimensionamento

em casos simples de geometria e carregamento.

A utiliza9ao de laje sobre solo pode ser a indica9ao

preferencial, bastando que o solo nao seja do tipo que

apresenta grandes varia96es de volume com o teor de

umidade. E uma solu9ao tecnica de baixo custo e de grande

facilidade de execu9ao.

107

9 Referencias

[01] ANSYS Inc., 275 Technology Drive, Canonsburg, PA.

[02] American Concrete Institute, Building code

requirements for structural concrete (ACI 318-99), 1999.

[03] American Concrete Institute, Design of slabs on grade

(ACI 360R-92) I 1997.

[04] American Concrete Institute, Guide for concrete floor

and slab construction (ACI 302.1R-96), 1996.

[05] American Society for Testing and Materials, Standard

practice for classifications of soils for engineering

purposes (ASTM D2487-00), 2000.

[06] American Society for Testing and Materials, Standard

test method for flexural strength of concrete (ASTM C78-

94), 1994.

[07] Boresi, A. P. and Schmidt, R. J. and Sidebottom, 0.

M., Advanced mechanics of materials, John Wiley & Sons,

1993.

[08] Bowles, J. E., Foundation analysis and design, McGraw

Hill, 5th edition, 1995.

[09] Hanna, A. N., Steel fiber reinforced concrete

properties and resurfacing applications, Portland Cement

Association/ 1977.

108

[10] Haynes, H., Avoid cracks in concrete slabs on grade

(videotapes and summary notes), Moyer Publishing, 1998.

[11] N. V. Bekaert, Steel wire fibre reinforced concrete

structures with or without ordinary reinforcement (Dramix

guideline), 1995.

[12] Ringo, B. C. and Anderson, R. B., Designing floor

slabs on grade, The Aberdeen Group, second edition, 1996.

[13] Spears/ R. E., Concrete floors on ground, Portland

Cement Association, second edition, 1983.

[14] US Army Corps of Engineers, Guidelines on ground

improvement for structures and facilities (ETL 1110-1-185),

1999.

[15] US Army Corps of Engineers, Soil stabilization for

pavements (TM 5-822 14), 1994

[16] Westergaard, H. M., New formulas for stresses in

concrete pavements of airfields, Transactions ASCE, Volume

113, 1948.

[17] Westergaard, H. M., Stress concentrations in plates

loaded over small areas, Transactions ASCE, Volume 108,

1943.

[18] Wire Reinforcement Institute, Innovative ways to

reinforce slabs on ground (TF 705-R-01), 2001.

109

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