UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

LISTADO 9: TRIGONOMETRIAIntroduccion a la Matematica Universitaria - 520145

1) Determine los valores de sin(α), cos(α), tan(α) y cot(α) sabiendo que

1.1) (P) sin(α) = 513 , P (α) ∈ Cuadrante 1,

1.2) cos(α) = 79 , P (α) ∈ Cuadrante 4,

1.3) cos(α) = − 34 , P (α) ∈ Cuadrante 2,

1.4) sin(α) = − 13 , P (α) ∈ Cuadrante 3,

1.5) (P) tan(α) = 247 , P (α) 6∈ Cuadrante 1,

1.6) sin(α) = − 513 , tan(α) > 0.

2) (P) Conociendo sin(α) = 19 , P (α) esta en el primer cuadrante, cos(β) = − 3

5 y P (β) esta en segundocuadrante, determine:

2.1) cos(2α), 2.2) sin(α+ β), 2.3) tan(α), 2.4) cot(β).

3) Determine los siguientes valores

3.1) cos(Arcsin

(56

)),

3.2) (P) tan(Arccos

(23

)),

3.3) Arcsin(cos(−π2))

,

3.4) Arcsin(sin(13π8

)),

3.5) (P) sin(Arcsin

(1213

)+ Arcsin

(45

)),

3.6) cos(Arctan

(− 3

4

)− 2Arccos

(− 4

5

)).

4) Sea x ∈ R− {kπ : k ∈ Z}. Pruebe que para todo m ∈ N se cumple que

cos(x) cos(2x) · · · cos (2mx) =sin(2m+1x

)2m+1 sin(x)

.

5) Determine los valores de x ∈ R para los cuales se cumple que

5.1) sin(x) + cos(x) = −√

2,

5.2) (P) 1 + cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0,

5.3) sin(x) + cos(x) = 1,

5.4) sin2(x) + sin(x) + 1 ≤ 34 ,

5.5) cos(2x) + cos(−x) = 0,

5.6) ln(sin(x)) ≤ 0.

6) Determine los valores de x ∈ [−2π, 2π] para las cuales se cumple que

6.1) sin(x) cos(x) = sin2(x),

6.2) (P) sin(x) = sin(2x),

6.3) cos(2x) + 3 cos(x)− 1 = 0,

6.4) sin3(x)− cos3(x) = 0,

6.5) (P) sin(2x) + cos(2x) = cos(x)− 1,

6.6) sin(2x) = 4 cos(x2

),

6.7) (P) sin2(x)(5− 4 sin2(x)

)= 1,

6.8) sin(x)− sin2(x) = − cos2(x).

7) Pruebe las siguientes identidades trigonometricas:

7.1)sin(t)

1 + cos(t)+

1 + cos(t)

sin(t)= 2csc(t),

7.2) sin(3t) = 3 sin(t)− 4 sin3(t),

7.3) (P) cos(2x) =1− tan2(x)

1 + tan2(x),

7.4) (P) sin2(y2

)=

tan(y)− sin(y)

2 tan(y).

1

LISTADO 9, IMU (520145) 2

8) En la figura a continuacion la ciudad B se encuentra a 30km de A en direccion Este, mientras que C seencuentra a 50km de A en direccion N30oO. La lınea recta entre B y C representa una carretera entre lasdos ciudades, mientras que la lınea intermitente entre A y esta carretera representa un camino que deseaconstruirse.

8.1) Determine la longitud de la carretera entre B y C.

8.2) Determine cual va a ser la longitud del caminoentre A y la carretera que une a B y C.

9) (P) El extremo superior de una escalera se encuentra apoyado a un muro en un punto A a una determinadaaltura del suelo y de tal manera que la escalera forma un angulo de 30◦ con el muro. La escalera resbala ysu extremo superior desciende hasta un punto B formandose entonces un angulo de 60◦ entre la escaleray el muro. Si el largo de la escalera es de 3 metros, ¿cuanto descendio el extremo superior de la escalera?

10) Desde cierta ciudad costera A se observa, a 10km de A y en direccion NαE con α = Arcsin(23

), una isla

P . Un barco parte desde A en direccion sur y en cierto momento de su travesıa se observa desde el lamisma isla P , pero en direccion NβE con β = Arctan

(12

), ¿que distancia ha recorrido el barco hasta ese

momento?

11) (P) Sea f :]−π2 ,

π2

[−→ R tal que ∀x ∈

]−π2 ,

π2

[: f(x) =

1√cos(x)

.

11.1) Determine el recorrido de f .

11.2) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta.

11.3) Defina la funcion f oArccos.

11.4) Restrinja dominio y codominio de f de modo que la funcion resultante tenga inversa y determınela.

12) Sea f : Dom(f) ⊆ [0, π] −→ R tal que ∀x ∈ Dom(f) : f(x) = ln(| tan(x)|).

12.1) Determine dominio y recorrido de f .

12.2) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta.

12.3) Restrinja dominio y codominio de f de modo que la funcion resultante tenga inversa y determınela.

13) Sea f : R −→ R tal que ∀x ∈ R : f(x) = sin(2x+ π

2

).

13.1) Determine perıodo, amplitud y desplazamiento de fase de f .

13.2) Demuestre que ∀x ∈ Dom(f) se cumple que f(x) = 1− 2 sin2 x.

13.3) Determine para que valores de x ∈ [0, 2π] se cumple que f(x) = 12 .

14) Escriba cada una de las siguientes funciones f : R → R como una funcion sinusoidal y determine de ellaperıodo, amplitud y desplazamiento de fase,

14.1) (P) f(x) = 4 sin(2x)− 4√

3 cos(2x),

14.2) (P) f(x) = −2 cos(3x+ π

4

),

14.3) f(x) = 2− 5 sin(4x+ π

3

),

14.4) f(x) = 5 cos(3x+ 8π).

LBA/MGI/MSS/FTO Trimestre 2, 2015