Lista 3!!!. 3. Um oscilador criticamente amortecido,partindo da posição de equilíbrio, recebe um...
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Lista 3!!!
3. Um oscilador criticamente amortecido,partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v0. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a 3,68 m, após 1 segundo.(a)Qual é o valor de v0?
(b) Se o oscilador tivesse um deslocamento inicial x0 = 2 m com a mesma velocidade inicial v0, qual seria o valor de x no instante t?
R: (a) v0 = 10 m/s (b) x(t) = e−t (2+12t)
bebtaetvdt
tdx
btaetx
tt
t
22
2
2)(
)(
)(
Vamos construir as equações básicas e impor as condições iniciais propostas.
O caso críticoO caso super crítico
O caso amortecido
axtbaetxt
0)0(0)0()0()0(
2
Em t = 0 : x(0) = 0 a = 0
02
0)1()0(2
)1(
0
)1(2
)1(2
bbbb
bestbaesvtt
Hz12 0
smbe
smb
mstbetx stHz
/10/68.3
68,3)1()(
1
)1(1
Item a: A velocidade inicial será:
Item b: Para uma condição inicial de partida em Xo = 2m temos:
btmetx t 2)(
mtbaetx tHz 2)0()0( )0(1
A condição inicial de partida resulta que a = 2m
smbbmHzsm
bebmHzesmtv HzHz
/1221/10
)0(21/10)0( )0(1)0(1
A velocidade inicial é dada sendo 10m/s, então obtemos o valor de b:
smv
esmtsmaHzev tHztHz
/10)0(
)/10()0(/10)0(1)0( )0(1)0(1
)(/122)( )(1 tsmmetx tHz
4. (Poli 2006) O Gráfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equação horária de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1, 0 Kg preso a uma mola de constante elástica k e imerso em um líquido viscoso, de coeficiente de resistência viscosa.
(a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula, no intervalode tempo mostrado no gráfico?
V = 0
A velocidade é zero quando atangente da curva for zero.Isso corresponde em t = 3 s
t = 3s
(b) A equação horária x(t) pode ser escrita como:
x(t) = e−/2t(a + bt)
Podemos derivar x(t) duas vezes e montar a equação diferencial.
E em seguida mostramos que a identidade vale:
Determine os valores de a e b.
(c) Determine a constante de decaimento e a constante elástica k da mola.
(d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador.
R: (a) t=3s; (b) a = 0, 5 m e b = 0, 5 m/s; (c) = 1 s−1; (d) v0 = −0.75 m/s.
Oscilações livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade.
kxxbxM
)cos()( 1max textx t 2
2
2
M
b
M
k
T
dt
dxbf viscz .
Freqüência angular com dissipação viscosa.
M
b
2 é o atrito viscoso.
)()()(
2
2
tkxdt
tdxb
dt
txdMkxxbxM
teAdt
tdx )(
teAdt
txd 22
2 )(
tAetx )(
ttt kAeebAeMA 2
02 kbM M
k
M
b
M
b
2
22
Vamos testar uma solução com a função:
As suas respectivas derivadas são:
Que, substituídas na equação resulta:
Item b: Solução da Equação do Movimento com Atrito Viscoso
a solução para x será:
tM
b
M
ki
tM
b
eAetx
2
22)(
tM
k
M
b
M
b
Aetx
2
22)(
M
k
M
b quemenor muito é
2
2
2
1 2
M
b
M
k
2)(
11
2titit
M
b eeAetx
A solução fica na forma:
Mas! então o termo da raiz é complexo!
Escrevendo a raiz na forma:
Uma solução parcial será:
Observe que temos duas soluções possíveis!
e fazendo:
M
b
2
)cos()( 1max textx t
2
1 2
M
b
M
k
A solução final tem a forma:
O termo de atrito viscoso é:
2
11
1
titi eetcos
Usando-se a relação de Euler:
A freqüência angular desta oscilação será:
A oscilação esta em estado crítico quando:
M
b
20
Também chamado caso degenerado:
A outra solução é procurar a forma : e repetindo o
processo anterior de derivação sucessiva.
Concluiremos que a segunda solução :
E assim a solução geral do caso degenerado será:
tIII etxtx )()(
tI eBtAtx )()(
BtAtxdt
txdII
II )(0)(
2
2
textx max)(Uma equação dif. de seg. grau tem 2 soluções que no caso degenerado já sabemos uma.
Como será a forma da segunda solução?
Item b:Para t = 0 temos x = 0.5
t = 0
x = 0
tetBAtx )()(
5.05.0)0()0( 0 AeBAx
5.00))1(5.0()1( 1 BeBssx s
Para t = 1s temos x = 0
tettx )5.05.0()(
Item c:Se v(3) = 0
05.0))3(5.05.0(2
)( 3)2/(3)2/( eetx
115.02
sEXTRAIR O VALOR DE GAMA e o k da mola :
A VELOCIDADE SERÁ:
smeex /75.05.0))0(5.05.0(2
1)0( 0)2/1(0)2/1(
M
k
2
0),(1),(
2
2
22
2
t
txy
vx
txy
A equação de d´Alembert
A solução da equação de d´Alembert tem a forma y(x,t) = f(x±vt)onde o sinal (–) significa que a propagação será progressiva () e(+) regressiva () e v é a velocidade de propagação da onda.A busca da sua solução implica em se impor condições de contorno.
A solução y(x,t) = f(x±vt)pode ser simples ou muitocomplexa!
20. (Poli 2006) Uma corda uniforme, de comprimento 20 m e massa 2 Kg, está esticada sob uma tensão de 10 N.
Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude 3 cm e frequencia de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima.
(a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda da ondatransversal progressiva que é produzida na corda.
(b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de umponto da corda situado a uma distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade.
(c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.
smmKg
NFV /10
/1,0
10
Se a massa é 2Kg e o comprimento 20m a densidade linear da corda é :1
1,020/2
KgmmKg
A velocidade é dada por:
Vf O comprimento de onda é dado por:
Onde : 15 sf
smsf /105 1
m2
11
1
10 522
12
22
)cos(),(
ssf
mm
k
tkxAtxy
0),(1),(
2
2
22
2
t
txy
Vx
txy
Uma solução geral da equação de d´Alembert é:
A amplitude A é 3cm 0,03m e a fase se obtém impondo y(0,0) = 0,015m(
3cm
2m
2/2kTAI A potência média é :
mAsT
mk
015,0 5
s 101
1
12. Considere duas partículas A e B cada uma com massa m conectadas por uma mola de constante elástica k e comprimento natural. Cada partícula está ligada a dois suportes C e D por duas molas com as mesmas características da primeira mola.Os dois suportes são separados por uma distância 3b, como mostrado na figura (a). Em um dado instante de tempo t o deslocamento das partículas A e B é x e y a partir da posição de equilíbrio resultando nas forças mostradas na figura.
Calcule as frequências de oscilação do sistema.
0)(
0)(
21222
2
12121
2
xxkkxdt
xdm
xxkkxdt
xdm
c
c
0)(
0)(
1222
2
2121
2
xm
kx
m
kk
dt
xd
xm
kx
m
kk
dt
xd
cc
cc
0)(
0)(
1222
2
2121
2
xm
kx
m
kk
dt
xd
xm
kx
m
kk
dt
xd
cc
cc
0
0
2222
22
1212
12
qdt
qd
qdt
qd
2
221
221
1qq
xqq
x
0 0 2222
22
1212
12
qdt
qdq
dt
qd
m
kk
m
k c )2( 21
2
2
212
211
qqx
qqx
tCtCtq
tCtCtq
24232
12111
sincos)(
sincos)(
tCtCtCtCtx
tCtCtCtCtx
242312112
242312111
sincossincos)(
sincossincos)(
m
kk
m
k
c )2(
2
1
0)0( )0( 0)0( )0(
sincossincos)(
sincossincos)(
22
11
242312112
242312111
dt
dxBx
dt
dxAx
tCtCtCtCtx
tCtCtCtCtx
Modo Simétrico
Modo Anti - Simétrico
11. Duas partículas de mesma massa, igual a 250 g, estão suspensas do teto por barras idênticas, de 0,5 m de comprimento emassa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica 25 N/m. No instante t = 0, a partícula 2 (figura abaixo) recebe um impulso que lhe transmite uma velocidade de 10 cm/s.
Determine os deslocamentos x1(t) e x2(t) das posições de equilíbrio das duas partículas (em cm) para t > 0.
R: x1(t) = 1,13 sen(4,43t) − 0,34 sen(14,8t) x2(t) = 1,13 sen(4,43t) + 0,34 sen(14,8t)
k/mK )(
/ )(
212202
22
20211
202
12
xxKxdt
xd
lgxxKxdt
xd
)( 21 xxkFmola x2
0Grav. -m-mgx/mg- F
212212202
22
211211202
12
2
1q )(
2
1q )(
xxxxKxdt
xd
xxxxKxdt
xd
Kqdt
qd
gqdt
qd
2 0
0
022222
22
01202
12
)cos()( 0
)cos()( 0
22222222
22
10111202
12
tAtqqdt
qd
tAtqqdt
qd
)(q)(q)( )(q)(q)( 212211 tttxtttx
smscmdt
dxmNk
mkgm
/10,0/10)0(
/25
5,0 250,0250
2
212211 2
1q
2
1q xxxx
Dr. Sebastião Simionatto FEP 2196 - 2009