1

Reologia 2015

Leonardo Alejandro Medina Rodríguez

Tarea 3: Capitulo 8 “Líquidos poliméricos”

𝐸𝑐. 8𝐵. 5 − 1

𝐸𝑐. 8𝐵. 5 − 3

Capítulo 8

8B.5

Problema 8B.5

8B.5 Flujo en una rendija de un fluido de Bingham. Para suspensiones y pastas espesas se encuentra que no

ocurre flujo hasta que se alcanza cierto esfuerzo crítico, el 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 (limite elástico), y luego el fluido

circula de tal forma que parte de la corriente está en “flujo de tapón”. El modelo más simple de un fluido con

valor de cedencia es el modelo Bingham:

𝜂 = ∞ cuando 𝜏 ≤ 𝜏0

𝜂 = 𝜇0 +𝜏0

𝛾 cuando 𝜏 ≥ 𝜏0

donde 𝜏0 es el esfuerzo cedente, el esfuerzo por abajo del cual no ocurre flujo y 𝜇0 es un parámetro con

unidades de viscosidad. La cantidad 𝜏 = 1

2𝝉𝝉 es la magnitud del tensor de esfuerzo.

Encontrar la velocidad de flujo másico en una rendija para el fluido de Bingham (véanse el problema 2B.3 y el

ejemplo 8.3-2). La expresión para el esfuerzo cortante 𝜏𝑥𝑧 como una función de la posición 𝑥 en la ecuación

2B.3-1puede sacarse de aquí, debido a que no depende del tipo de fluido. Se observa que 𝜏𝑥𝑧 es precisamente

igual al esfuerzo cedente 𝜏0 en 𝑥 = ±𝑥0, donde 𝑥0 está definido por

𝜏0 = ℘0 − ℘𝐿

𝐿𝑥0

a) Demostrar que la ecuación superior de 8B.5-1 requiere que 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑥 = 0 para 𝑥 ≤ 𝑥0, ya que 𝜏𝑥𝑧 =

−𝜂𝑑𝑣𝑧/𝑑𝑥 y 𝜏𝑥𝑧 es finito; entonces, esta es la región de “flujo tapón”. Luego demostrar que, como para

𝑥, positivo se tiene 𝛾 = −𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑥 , y para 𝑥 negativo se tiene 𝛾 = +𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑥 , la ecuación inferior de la

ecuación 8B.5-1 requiere que

𝜏𝑥𝑧 = −𝜇0 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑥 + 𝜏0 𝑝𝑎𝑟𝑎 + 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ +𝐵

−𝜇0 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑥 − 𝜏0 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝐵 ≤ 𝑥 ≤ −𝑥0

Solución

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Tarea 3: Capitulo 8 “Líquidos poliméricos”

Para 𝑥 ≤ 𝑥0(por ejemplo, en la región donde el esfuerzo producido no se excede), 𝜂 = ∞(según la primera

ecuación de 8B.5-1). Pero la expresión del tensor de esfuerzo está dada por: 𝜏𝑥𝑧 = −𝜂𝑑𝑣𝑧/𝑑𝑥. Ya que el tensor

de esfuerzo es finito, el gradiente de velocidad debe ser igual a cero. Esto es la región de flujo pistón.

Para 𝑥 ≥ 𝑥0(por ejemplo, en la región donde el esfuerzo producido es excedido), se deberá utilizar la segunda

ecuación de 8B.5-1. Esto quiere decir que en la región donde 𝑥 ≥ 𝑥0, la velocidad deberá decrecer en la

dirección positiva de 𝑥, por lo que se requiere que 𝛾 = −𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑥 así 𝛾 será positivo. De manera similar, cuando

𝑥 ≤ −𝑥0, la velocidad se incrementara en la dirección positiva de 𝑥, por lo que es necesario que 𝛾 = +𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑥

para garantizar que 𝛾 sea positivo. Por lo tanto tenemos que:

𝜏𝑥𝑧 = −𝜇0

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑥− 𝜏0 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝐵 ≤ 𝑥 ≤ −𝑥0

𝜏𝑥𝑧 = −𝜇0

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑥+ 𝜏0 𝑝𝑎𝑟𝑎 + 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ +𝐵

Ya que el flujo es simétrico alrededor del plano 𝑥 = 0, necesitamos resolver para la distribución de velocidad

solo en una mitad de la rendija. Elegiremos la región 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐵.

b) A fin de obtener la distribución de velocidad para +𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ +𝐵, la relación superior de la ecuación

8B.5-3 se sustituye en la ecuación 2B.3-1 y se obtiene la ecuación diferencial para 𝑣𝑧. Demostrar que

esto puede integrarse con la condición límite de que la velocidad es cero en 𝑥 = 𝐵 para obtener

𝑣𝑧 = ℘0 − ℘𝐿 𝐵

2

2𝜇0𝐿 1 −

𝑥

𝐵 2

−𝜏0𝐵

𝜇0 1 −

𝑥

𝐵 𝑝𝑎𝑟𝑎 + 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ +𝐵 8𝐵. 5 − 4

𝜏𝑥𝑧 = ℘0 − ℘𝐿

𝐿 𝑥 2𝐵. 3 − 1

Solución

Sustituyendo la relación superior de la ecuación 8B.5-3 en 2B.3-1

−𝜇0

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑥+ 𝜏0 =

℘0 − ℘𝐿

𝐿 𝑥 →

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑥= −

℘0 − ℘𝐿

𝜇0𝐿𝑥 +

𝜏0

𝜇0 → 𝑑𝑣𝑧 = −

℘0 − ℘𝐿

𝜇0𝐿𝑥 +

𝜏0

𝜇0 𝑑𝑥

Integrando la ecuación diferencial

𝑑𝑣𝑧 = −℘0 − ℘𝐿

𝜇0𝐿 𝑥 𝑑𝑥 +

𝜏0

𝜇0 𝑑𝑥 → 𝑣𝑧 = −

℘0 − ℘𝐿

2𝜇0𝐿𝑥2 +

𝜏0

𝜇0𝑥 + 𝐶 𝐸𝑐. 1

Aplicando la condición limite sin deslizamiento en la pared de la rendija 𝑧 = 𝐵, 𝑣𝑧 = 0 , obtenemos

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Tarea 3: Capitulo 8 “Líquidos poliméricos”

0 = −℘0 − ℘𝐿

2𝜇0𝐿𝐵2 +

𝜏0

𝜇0𝐵 + 𝐶

Despejando la constante de integración 𝐶

𝐶 =℘0 − ℘𝐿

2𝜇0𝐿𝐵2 −

𝜏0

𝜇0𝐵

Sustituyendo la constante de integración en Ec. (1)

𝑣𝑧 = −℘0 − ℘𝐿

2𝜇0𝐿𝑥2 +

𝜏0

𝜇0𝑥 +

℘0 − ℘𝐿

2𝜇0𝐿𝐵2 −

𝜏0

𝜇0𝐵 +𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ +𝐵

Que también puede ser escrita de la siguiente manera

𝑣𝑧 =℘0 − ℘𝐿

2𝜇0𝐿 𝐵2 − 𝑥2 +

𝜏0

𝜇0

𝑥 − 𝐵

𝑣𝑧 =℘0 − ℘𝐿

2𝜇0𝐿

𝐵2

𝐵2 𝐵2 − 𝑥2 +

𝜏0

𝜇0

−𝐵

−𝐵 𝑥 − 𝐵

𝑣𝑧 = ℘0 − ℘𝐿 𝐵

2

2𝜇0𝐿 𝐵2

𝐵2−

𝑥2

𝐵2 +

𝜏0 −𝐵

𝜇0

𝑥

−𝐵−

𝐵

−𝐵 =

℘0 − ℘𝐿 𝐵2

2𝜇0𝐿 𝐵2

𝐵2−

𝑥2

𝐵2 −

𝜏0𝐵

𝜇0 𝐵

𝐵−

𝑥

𝐵

Finalmente

𝑣𝑧 = ℘0 − ℘𝐿 𝐵

2

2𝜇0𝐿 1 −

𝑥

𝐵 2

−𝜏0𝐵

𝜇0 1 −

𝑥

𝐵 para +𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ +𝐵

Y

𝑣𝑧 = ℘0 − ℘𝐿 𝐵

2

2𝜇0𝐿 1 −

𝑥0

𝐵 2

−𝜏0𝐵

𝜇0 1 −

𝑥0

𝐵 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥0

c) Luego, la velocidad de flujo másico puede obtenerse a partir de

𝑤 = 𝑊𝜌 𝑣𝑧

+𝐵

−𝐵

𝑑𝑥 = 2𝑊𝜌 𝑣𝑧

𝐵

0

𝑑𝑥 = 2𝑊𝜌 𝑥 −𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐵

𝑥0

8𝐵. 5 − 5

La integración por partes permite que la integración se realice más fácilmente. Demostrar que el resultado final

es

𝑤 =2

3

℘0 − ℘𝐿 𝑊𝐵3𝜌

𝜇0𝐿 1 −

3

2

𝜏0𝐿

℘0 − ℘𝐿 𝐵 +

1

2

𝜏0𝐿

℘0 − ℘𝐿 𝐵 3

Comprobar que, cuando el esfuerzo cedente tiende a cero, este resultado se simplifica al resultado del fluido

newtoniano en el problema 2B.3.

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Tarea 3: Capitulo 8 “Líquidos poliméricos”

Solución

La velocidad de flujo másico es obtenido de

𝑤 = 𝑊𝜌 𝑣𝑧

+𝐵

−𝐵

𝑑𝑥 = 2𝑊𝜌 𝑣𝑧

+𝐵

0

𝑑𝑥

Esta integral puede dividirse en dos parte, una para la región 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥0 y otra para +𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ +𝐵 y ellas

pueden evaluarse utilizando los perfiles de velocidad que se vieron en (b). La mejor manera de resolver la

integral es integrarla por partes.

𝑤 = 2𝑊𝜌 𝑣𝑧𝑥 0𝐵 − 𝑥

𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐵

0

𝑤 = 2𝑊𝜌 𝑥 −𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝐵

𝑥0

= 2𝑊𝜌 𝑥 ℘0 − ℘𝐿

𝜇0𝐿𝑥 −

𝜏0

𝜇0 𝑑𝑥

𝐵

0

Integrando

𝑤 = 2𝑊𝜌 ℘0 − ℘𝐿 𝑥

3

3𝜇0𝐿−

𝜏0𝑥2

2𝜇0

𝑥0

𝐵

= 2𝑊𝜌 ℘0 − ℘𝐿 𝐵

3

3𝜇0𝐿−

𝜏0𝐵2

2𝜇0−

℘0 − ℘𝐿 𝑥03

3𝜇0𝐿+

𝜏0𝑥02

2𝜇0

Factorizando

𝑤 =2

3

℘0 − ℘𝐿 𝐵3𝑊𝜌

𝜇0 1 −

3

2

𝜏0𝐿

℘0 − ℘𝐿 𝐵 +

1

2

𝜏0𝐿

℘0 − ℘𝐿 𝐵 3

Si 𝜏0 = 0 la ecuación anterior toma la forma de la de (c) 2B.3 el término entre ⬚ es el efecto del 𝜏0.