Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek megoldásamegoldása

Gauss elimináció, Cramer-szabályGauss elimináció, Cramer-szabály

Dr. Dr. Kovács SándorKovács Sándor

DE GVKDE GVKGazdaságelemzési és Statiszikai Gazdaságelemzési és Statiszikai

TanszékTanszék

Lineáris egyenletrendszerekLineáris egyenletrendszerek

Egyismeretlenes egyenletrendszerekEgyismeretlenes egyenletrendszerek

megoldása:megoldása:

Lineáris egyenletrendszerekLineáris egyenletrendszerek

Példa: Az édesanya jelenleg 27 évvel idősebb Példa: Az édesanya jelenleg 27 évvel idősebb a lányánál. A lány életkora 6 év múlva az a lányánál. A lány életkora 6 év múlva az édesanya jelenlegi korának az ötöde lesz. édesanya jelenlegi korának az ötöde lesz. Hány éves a lány? Hol van az édesapa most?Hány éves a lány? Hol van az édesapa most?

Lineáris egyenletrendszerekLineáris egyenletrendszerekDefiníció: Definíció: Az alábbi egyenletek halmazát Az alábbi egyenletek halmazát lineáris lineáris többismeretlenestöbbismeretlenes egyenletrendszernekegyenletrendszernek nevezzük: nevezzük:

jx

ija

jbszimbólumok az ismeretlenek

szimbólumok az együtthatók, valós számok

szimbólumok valós számok

Lineáris egyenletrendszerekLineáris egyenletrendszerekmegjegyzés: megjegyzés: A lineáris egyenletrendszert A lineáris egyenletrendszert homogénnakhomogénnak nevezzük ha nevezzük ha

021 kbbb

ellenkező esetben inhomogén az egyeneletrendszer.

Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ellentmondásos, egyébként megoldható.

Ha pontosan egyetlen megoldás létezik, akkor reguláris, ha több megoldás van akkor irreguláris.

Két egyenletrsz. ekvivalens, ha megoldásaik azonosak

Lineáris egyenletrendszerekLineáris egyenletrendszerekmegoldása Gauss eliminációvalmegoldása Gauss eliminációval

Tétel: Tétel: Minden lin. egyenletrsz. véges sok lépésben vele Minden lin. egyenletrsz. véges sok lépésben vele ekvivalens ekvivalens trapéz alakútrapéz alakú lineáris egyenletrendszerré lineáris egyenletrendszerré

alakítható. alakítható.

Az egyenletrsz. Az egyenletrsz. pontosan akkor oldható megpontosan akkor oldható meg, ha a , ha a hozzátartozó trapéz alakú lineáris egyenletrendszer hozzátartozó trapéz alakú lineáris egyenletrendszer azon egyenleteiben, amelynek a azon egyenleteiben, amelynek a bal oldalán csupa 0bal oldalán csupa 0 áll, áll, a a jobb oldali konstansok is 0-valjobb oldali konstansok is 0-val egyenlőek. egyenlőek.

Gauss elimináció meneteGauss elimináció menete

Legyen adott egy (1) alakú lin. egyenletrsz. Tegyük fel, Legyen adott egy (1) alakú lin. egyenletrsz. Tegyük fel, hogy . Az 1. egyenletet osszuk elhogy . Az 1. egyenletet osszuk el . .

Az 1. egyenlet Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez adjuk a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen nem ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az 1. hozzá az 1. . Ezen ekvivalens . Ezen ekvivalens átalakításokkal az alábbi egyenletrsz.hez jutunk:átalakításokkal az alábbi egyenletrsz.hez jutunk:

011 a gyela 11

szereséta

a

11

21

1x

szereséta

ai 11

1

Gauss elimináció meneteGauss elimináció menete

Tekintsük a maradék (3) alakú egyenletrsz.-t, Tekintsük a maradék (3) alakú egyenletrsz.-t, amely k-1 egyenletből és n-1 ismeretlenből áll:amely k-1 egyenletből és n-1 ismeretlenből áll:

Ha (3) megoldható, akkor (2) is, és haHa (3) megoldható, akkor (2) is, és ha megoldása (3)-nak, akkor megoldásai (2)-nek is megoldása (3)-nak, akkor megoldásai (2)-nek is hozzávéve az hozzávéve az értéket. értéket.

nxx ,,2

)''(' 121211 nn xaxabx

Az eljárást megismételjük a (3) Az eljárást megismételjük a (3) egyenletrendszeren, azaz aegyenletrendszeren, azaz az 1. egyenletet osszuk elz 1. egyenletet osszuk el . .

Az 1. egyenlet Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az 1. adjuk hozzá az 1. . Ezen ekvivalens . Ezen ekvivalens átalakításokat addig ismételjük míg a (4) alakú átalakításokat addig ismételjük míg a (4) alakú egyenletrszerhez jutunk:egyenletrszerhez jutunk:

Gauss elimináció meneteGauss elimináció menete

vela 22

szereséta

a

22

32

2x

szereséta

ai 22

2

Példa Gauss eliminációraPélda Gauss eliminációraHatározzuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldását:

Az ismeretlenek együtthatóit és a jobboldali konstansokat az alábbi egyszerű alakba rendezzük:

Példa Gauss eliminációraPélda Gauss eliminációra

Ekvivalens átalakításokkal megoldjuk az egyenletrendszert

Az 1. sor 2-szeresét a 2. sorhoz adjuk, az új 2. sort leírjuk

A 3. sorból kivonjuk az 1. sort, az új 3. sort leírjuk

A 3. sor 6 szorosához adjuk a 2. sor 5 szörösét, az új 3. sort leírjuk

Példa Gauss eliminációraPélda Gauss eliminációraHatározzuk meg az egyenletrendszer megoldását:

Megoldás:1

1

3

3

2

1

x

x

x

Cramer-szabályCramer-szabályTekintsük az alábbi n egyenletből és n darab ismeretlenből állólineáris egyenletrendszert:

Legyen A az egyenletrendszer együtthatómátrixa, és tegyük fel, hogy A determinánsa nem 0. Ekkor

|| A

dx ii

ahol annak az mátrixnak a determinánsa, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát kicseréljük

esnn rebbbb T

n ),...,,( 21

id

Példa Cramer-szabályraPélda Cramer-szabályra

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

5

5

1

b

Először kiszámoljuk az A determinánsát:

21

021

01

12)3(

02

101

021

102

131

A

1432)04(1)10(3)20(1

Mivel A nem 0 ezért megoldható Cramer-szabállyal az egyenletrsz.

Példa Cramer szabályraPélda Cramer szabályraA vektort kicseréljük az A megtrix megfelelőoszlopaival, az így kapott mátrix determinánsával kapjuk a megoldásokat:

Tnbbbb ),...,,( 21

31 d

12 d

13 d

Példa Cramer szabályraPélda Cramer szabályra

A megoldások:

31

3

1

025

105

131

||1

1

A

dx

11

1

1

051

152

111

||2

2

A

dx

11

1

1

521

502

131

||3

3

A

dx

1

1

3

3

2

1

x

x

x

Példa Gauss EliminációraPélda Gauss Eliminációra

Egy vállalkozó 4 növényt termel, melyek fajlagos (1 ha-ra eső) erőforrás szükséglete, illetve a felhasznált erőforrások :

Hány hektáron termeljék az egyes növényeket?Oldjuk meg a feladatot Gauss eliminációval, írjuk fel az egyenlet-Rendszer mátrixos alakját!

Példa Gauss EliminációraPélda Gauss Eliminációra

A vállalkozó a 4 növényt x,y,z,v hektáron termeli, ekkor a felhasznált erőforrásoknak egyeznie kell a kapacitásával:

Példa Gauss EliminációraPélda Gauss Eliminációra

A feladat megoldása:

Megoldás: X=1;Y=2;Z=3;V=1

A 2. sor – 2 x 1. sor

A 3. sor – 1. sor 3 x 3. sor – 2 x 2. sor