Linear Relaxation for Hub Network Design Problems
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Linear Relaxation
for Hub Network Design Problems
東京大学 齋藤廣大東京大学 松浦史郎東京大学 松井知己
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Hub Network
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Hub Network Problem
ここで扱う問題:ハブ空港は与えられている。各非ハブ空港は , 唯一のハブ空港に接
続。非ハブ空港間の輸送はハブを経由する。全てのハブ空港対は直接繋がっている。目的関数:総輸送費用の最小化
研究内容:非凸 2 次計画としての定式化線形緩和問題→ Hitchcock 型輸送問題計算実験
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定式化
H , N :ハブ空港 , 非ハブ空港 の集合cij :空港 i から j への単位輸送費用
wij :空港 i から j への需要量
min. ∑(p,q)∈N×N wpq (∑i∈H cpi xpi
+ ∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj + ∑j∈H cjq xqj )
s. t. ∑i∈H xpi =1 (∀p∈N), :どこかに接続
xpi∈ { 0,1 }(∀ (p,i)∈N×H).
xpi =1⇔ 非ハブ p はハブ i に接続する
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目的関数
∑(p,q)∈N×N wpq
(∑i∈H cpi xpi
+ ∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
+ ∑j∈H cjq xqj )
∑ 全ての非ハブペア (p,q) (p から q への需要 )
(p から接続するハブ i へ
+ ハブ i からハブ j へ
+ q に接続するハブ j から q へ )
p
ij
qcij
cpi
cjqhub
hub
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2 次項の線形化
fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
gpq(x) :関数 fpq(x) の整数点での関数値の,下側凸包をとった関数
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x1
x2
fpq
11
x1
x2
gpq
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線形化と連続緩和
min. ∑(p,q)∈N×N wpq (∑i∈H cpi xpi
+ ∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj + ∑j∈H cjq xqj )
s. t. ∑i∈H xpi =1 (∀p∈N),
xpi∈ { 0,1 }(∀ (p,i)∈N×H).
線形化+連続緩和min. ∑(p,q)∈N×N wpq (∑i∈H cpi xpi
+ gpq(x) + ∑j∈H cjq xqj )
s. t. ∑i∈H xpi =1 (∀p∈N),
1≧xpi 0≧ (∀ (p,i)∈N×H).
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Primal Approach
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1
2
3
4
1
2
3
4
p q
線形化
線形化= Hitchcock 型輸送問題fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
hub 空港 hub 空港
非 hub空港
非 hub空港
xp1 =1 xq3 =1
fpq(x)= c13
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1
2
3
4
1
2
3
4
p q
線形化
線形化= Hitchcock 型輸送問題fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
hub 空港 hub 空港
非 hub空港
非 hub空港
xp3 =1 xq2 =1
fpq(x)= c32
11
1
2
3
4
1
2
3
4
p q
線形化
線形化= Hitchcock 型輸送問題fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
hub 空港 hub 空港
非 hub空港
非 hub空港
xq2 =1
fpq(x)= c32
0.2
0.3
0.5
0.7
0.2
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
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1
2
3
4
1
2
3
4
p q
線形化
線形化= Hitchcock 型輸送問題fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
hub 空港 hub 空港
非 hub空港
非 hub空港
xq2 =1
fpq(x)= c32
0.2
0.3
0.5
0.7
0.2
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
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線形化
fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
gpq(x) :関数 fpq(x) の下側凸包をとった関数
=下記の Hitchcock 型輸送問題の最適値
min. ∑ (i,j)∈H×H cij yij
∑ i∈H yij = xqj (∀j∈H ) ,
∑ j∈H yij = xpi (∀i∈H ) ,
yij 0 ( (≧ ∀ i,j)∈H×H ) .
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輸送問題の内包
輸送問題の内包
Hub 空港非 hub 空港
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Dual Approach
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線形不等式
fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
gpq(x) :関数 fpq(x) の整数点での関数値の,下側凸包をとった関数
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x1
x2
fpq
11
x1
x2
gpq
これらの線形不等式を直接記述する .
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線形不等式
fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
gpq(x) :関数 fpq(x) の下側凸包をとった関数
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x1
x2
gpq
これらの線形不等式を直接記述する .
線形不等式 ⇔ Hitchcock 型輸送問題の 双対許容端点解
線形不等式の列挙⇔ 双対許容端点解の列挙
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双対許容端点解
線形不等式の列挙⇔ 双対許容端点解の列挙
定理 [Balinski] 非退化の仮定のもとでは , n×n Hitchcock 型輸送問題の双対許容端点解は 2n-2Cn-1 存在する .
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等式不等式系のサイズ
fpq(x)=∑ (i,j)∈H×H cij xpi xqj
gpq(x) :関数 fpq(x) の下側凸包をとった関数
. 変数 等式制約 不等式制約 (k : hub の数)Primal k2 2k ー 1 k2
Dual 0 0 2k-2Ck-1
k=2 4 3 0. 0 0 2 .
k=3 9 7 0. 0 0 6 .
k=4 16 7 0. 0 0 20 .
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既往の研究との関連
Primal Approach Skorin-Kapov, Skorin-Kapov, O’kelly[1994]ハブが固定されていない問題について,定
式化を提案.ハブの変数を固定すると,Primal Approach と同じ定式化になる
Dual ApproachSohn and Park [1998]ハブが 2 個で固定されているとき,線形不
等式系で整数解多面体を記述(多項式時間解法). Dual Approach での不等式系を採用
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計算機実験
CAB data: O’kelley : アメリカ 25空港間データ
25 空港から 3 つを選んで Hub 空港として計算機実験を行った.
すべての計算実験例において,線形緩和問題を解く事で整数最適解が選ばれた .
Primal Approach と Dual Approach では, Primal Approach の方が計算機時間は早い.
どの問題も 5~8 分程度で解ける. (lp solve)
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おわり