LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN · PDF fileLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN ... Bilangan 0 merupakan...
Transcript of LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN · PDF fileLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN ... Bilangan 0 merupakan...
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
Sebelum memasuki materi, perhatikan himpunan-himpunan berikut:
a) Himpunan bilangan asli: 1,2,3,4,5,... .
b) Himpunan bilangan bulat: ..., 2, 1,0,1,2,... .
c) Himpunan bilangan rasional: | , , 0p
p q qq
.
Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan real, dinotasikan
. Dari sini akan kita peroleh bahwa:
.
Dalam bab ini semua elemen yang kita bicarakan adalah elemen himpunan semua bilangan real.
A. Notasi interval:
Misalkan diberikan ,a b , maka:
1. , |a b x a x b
2. , |a b x a x b
3. [ , ) |a b x a x b
4. ( , ] |a b x a x b
5. ( , ) |a x a x
6. [ , ) |a x a x
7. , |b x x b
8. ( , ] |b x x b
RANGKUMAN MATERI
B. Persekitaran dan titik limit
Definisi:
Jika p (himpunan semua bilangan real) dan bilangan 0 , himpunan
( ) ,N p p p
x p x p
x x p
x x p
Disebut persekitaran (neighborhood) titik p. Dalam hal ini disebut jari-jari (radius)
persekitaran tersebut.
Contoh:
1. 2
1,5
p . Persekitaran 1 dengan radius 2
5 adalah
2
5
2 2 5 2 5 2(1) 1 , 1 ,
5 5 5 5 5 5
3 7 3 7,
5 5 5 5
N
x x
.
2. 1
2,2
p . Persekitaran 2 dengan radius 1
2 adalah
1
2
1 1 2 1 2 1(2) 2 , 2 ,
2 2 2 2 2 2
1 3 1 3,
2 2 2 2
N
x x
.
3. 3, 1p . Persekitaran 3 dengan radius 1 adalah
1(3) 3 1, 3 1 2, 4 2 4N x x
4. 5, 4p . Persekitaran 5 dengan radius 4 adalah
4(5) 5 4, 5 4 1, 9 1 9N x x
5. ,2 2
a b b ap
. Persekitaran
2
a b dengan radius
2
b a adalah
2
( )2
,2 2 2 2
,
b a
a bN p N
a b b a a b b a
a b
x a x b
Definisi:
Diketahui ,A p . Titik p disebut titik limit A, jika 0 berlaku
( )N p A p atau ( )N p p A .
Dengan kata lain:
Titik p disebut titik limit A, jika setiap persekitaran titik p memuat x A dengan x p .
Catatan: Titik limit suatu himpunan belum tentu anggota himpunan tersebut.
Contoh :
1. Diberikan 2, 3 7,8A . Perhatikan bahwa:
a) Setiap titik 2, 3 | 2 3 ..., 1,...,0,...,1,...,2,...,3p x x merupakan titik
limit himpunan A, sebab untuk setiap 0 berlaku ( )N p A p .
b) Terlihat bahwa -2 titik limit himpunan A meskipun 2 A .
Dari a) dan b) dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada interval tertutup [-2,3] adalah titik
limit himpunan A.
c) Titik 7 dan 8 masing-masing bukan titik limit himpunan A meskipun 7, 8 A karena ada
0 , misal 1
5 sehingga
1
5
1 1(7) 7 7 ,7 7
5 5
4 16 ,7 7
5 5
1 1...,7,7 ,7 ,... 7
7 6
7 7
N A A
A
A
dan
1
5
1 1(8) 8 8 ,8 8
5 5
4 17 ,8 8
5 5
1 1...,8,8 ,8 ,... 8
7 6
8 8
N A A
A
A
.
2. Diberikan 1 1 1 1 1 1 1 1
| , , , ,.... 1, , , ,....1 2 3 4 2 3 4
B nn
. Perhatikan bahwa:
a) Setiap x B bukan merupakan titik limit himpunan B karena jika diambil suatu persekitaran
1 1 11
2 2 4 dari titik 1p maka
1
4
1 11 1 1 ,1 1
4 4
3 5, 1
4 4
4..., ,... 1
4
...,1,... 1
1 1
N B B
B
B
B
.
b) Bilangan 0 merupakan satu-satunya titik limit himpunan B meskipun 0 B . Jelas bahwa
1inf 0n N
n
dan untuk setiap bilangan 0 berlaku (0) 0N B .
Latihan: Semesta pembicaraan untuk soal-soal berikut adalah himpunan semua bilangan real .
1. Tentukan persekitaran dari titik 9 dengan
a) Jari-jari 1
b) Jari-jari 3
c) Jari-jari 5
d) Jari-jari 7
e) Jari-jari 9
2. Tentukan persekitaran dari titik -3 dengan
a) Jari-jari 2
b) Jari-jari 4
c) Jari-jari 6
d) Jari-jari 8
e) Jari-jari 10
3. Tentukan titik limit dari himpunan:
a) A = (1,7]
b) B = (2,5)
c) C = [0,1)
d) D = [0,1) {2}
e) Himpunan semua bilangan rasional | , , 0p
p q qq
f) Himpunan semua bilangan asli 1,2,3,4,5,...
C. Limit Fungsi
Definisi
Diketahui dan dua fungsi : ff D dan : gg D dengan f gD D .
Fungsi , , ,f f g fg dan f
g berturut-turut didefinisikan sebagai berikut :
(i). .f x f x untuk setiap fx D .
(ii). f g x f x g x untuk setiap f gx D D .
(iii). .fg x f x g x untuk setiap f gx D D .
(iv).
f xfx
g g x untuk setiap : 0f g gx D D x D g x .
Definisi
Diketahui fungsi : ff D dan c titik limit fD . Bilangan L disebut limit fungsi f di
c ditulis lim ( )x c
f x L
, jika untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga jika fx D
dan 0 x c maka f x L .
Dengan kata lain :
Jika fx D N c dan x c berakibat f x N L dikatakan f x berlimit L untuk
x c dan ditulis lim ( )x c
f x L
.
Ilustrasi:
Sumber gambar: wikipedia
Catatan :
Limit fungsi f di c dapat didefinisikan hanya untuk c yang merupakan titik limit fD .
Perhatikan :
(i). fx D N c dan x c , ,fx D c x c x c .
(ii). ( )f x N L f x L .
Sehingga diperoleh Teorema berikut
Teorema
Diberikan fungsi : ff A D dengan c titik limit fD .
lim ( )x c
f x L
0, 0 fx D dan 0 x c
berakibat f x L .
Definisi
Diketahui fungsi : ff D dan a titik limit fD .
(i) Jika ada bilangan real k sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0
sehingga berlaku f x k untuk setiap , fx a a D maka dikatakan f x
mempunyai limit kanan k untuk x a dan dituliskan dengan lim ( )x a
f x k
.
(ii) Jika ada bilangan real l sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0
sehingga berlaku f x l untuk setiap , fx a a D maka dikatakan f x
mempunyai limit kiri k untuk x a dan dituliskan dengan lim ( )x a
f x l
.
Teorema
Diberikan fungsi : ff D dengan a titik limit fD .
lim ( )x a
f x l
(ada) lim ( ) lim ( )x a x a
f x f x l
.
Contoh:
1. Tunjukkan bahwa 2
lim 3 4 10x
x
!
Penyelesaian:
Misalkan diberikan sebarang 0 . Kita akan menentukan 0 sedemikian sehingga jika
0 2x maka berlaku 3 4 10x .
Perhatikan bahwa:
3 4 10 3 6 3 2 3 2x x x x
akan berlaku jika 23
x
, sehingga kita pilih 03
.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap 0 terdapat 03
sedemikian
hingga jika 0 2x maka berlaku 3 4 10x , atau terbukti bahwa
2
lim 3 4 10x
x
.
2. Tunjukkan bahwa 1
1lim 1x x
!
Penyelesaian:
Misalkan diberikan sebarang 0 . Kita akan menentukan 0 sedemikian sehingga jika
0 1x maka berlaku 1
1x
.
Perhatikan bahwa:
1 1 1 1 1 11 1
1
x xx
x x x x x
Apa yang akan kita lakukan pada x? Jika kita putuskan 1
12
x maka berlaku 1 3
2 2x
sehingga 1
2x . Oleh karena itu
1 11 1 2 1x x
x x
sehingga kita pilih 1
min , 03 2
.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian
hingga jika 0 1x maka berlaku 1
1x
, atau terbukti bahwa 1
1lim 1x x
.
Latihan:
1. Buktikan bahwa 1
lim 1x
x
!
2. Buktikan bahwa 1
lim2 2x
x
!
3. Buktikan bahwa 2
lim 1 3x
x
!
4. Buktikan bahwa 3
lim 1 2x
x
!
5. Buktikan bahwa 1
lim 3 4 1x
x
!
6. Buktikan bahwa 2
2lim 1x x
!
7. Buktikan bahwa 3
6lim 2x x
!
8. Buktikan bahwa 2
1 1lim
2 4x x !
9. Buktikan bahwa 2
2 1lim
3 3x x !
10. Buktikan bahwa 2
1lim 1x
x
!
Contoh:
D. Teorema Yang Ada Pada Limit
Berikut adalah aturan-aturan yang ada pada limit suatu fungsi:
Jika f(x) = k, maka x alim
f(x) = k,
dengan k konstanta, k dan a real
Jika f(x) = x, maka x alim
f(x) =a
x alim
{f(x) g(x)} = x alim
f(x) x alim
g(x)
x alim
k.f(x) = k.x alim
f(x), k konstanta
x alim
{f(x).g(x)} = x alim
f(x) . x alim
g(x)
x alim
x a
x a
lim f(x)f(x), lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
x alim
{f(x)}n =
n
x alim f(x)
E. Limit Aljabar
Di sini kita akan membahas bentuk-bentuk tak tentu
0, ,
0 dari nilai suatu limit, yang
nantinya akan diubah fungsinya atau menggunakan bantuan L’Hospital sedemikian rupa sehingga
memiliki nilai dan limit fungsinya ada.
1. Bentuk 0
0
Dengan aturan L’Hospital diperoleh:
x a x a
F(x) F '(x) F '(a)lim lim
G(x) G'(x) G'(a)
1. 2
x 1
x 1lim ...
x 1
Jawab:
Karena jika disubstitusi menghasilkan bentuk 0
0 maka digunakan aturan L’Hospital sehingga
diperoleh:
2
2
x 1 x 1 x 1
1x 1 turunannya 2x; x 1 turunannya
2 x
Selanjutnya diperoleh:
x 1 2xlim lim lim4x x 4
1x 1
2 x
Cara lain:
2 2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1x 1 x 1x 1 x 1lim lim lim lim 1 1 1 1 4
x 1 x 1 x 1 x 1
2.
x 3
x 4 2x 1lim ...
x 3 Jawab:
Karena x 3
x 4 2x 1 0lim
x 3 0
, maka digunakan dalil L’Hospital, sehingga didapat:
1 2
2 x 4 2 2x 1
x 3
1 2 1lim 7
1 142 7 2 7
3. 2
2x 4
48 3xlim
5 x 9
...
Jawab:
2 2 2 22 2
2 22 2x 4 x 4 x 42 2
2 2 2
2x 4 x 4
2
48 3x 5 x 9 48 3x 5 x 948 3x 5 x 9lim lim lim
25 x 95 x 9 5 x 9 5 x 9
48 3x 5 x 9 3 5 x 9lim lim
16 x 1
3 5 4 9 3 5 25 3 5 530
1 1 1
4. x 3
2x 2 2lim
3x 3
...
Jawab:
Karena x 3
2x 2 2 0lim
03x 3
, maka digunakan dalil L’Hospital:
x 3
2 1
2 2x 2 2lim 13 3
62 3x
5. Nilai 3
2x 2
x 8lim
x 2x
adalah ...
Jawab:
Karena 3
2x 2
x 8 0lim
x 2x 0
, maka digunakan dalil L’Hospital:
2
x 2
3x 3 4lim 6
2x 2 4 2
6. x 4
t 2lim
t 4
...
Jawab:
x 4 x 4 x 4
t 2 t 2 1 1lim lim lim
t 4 4( t 2)( t 2) ( t 2)
7. a b
a a b blim
a b
...
Jawab:
2
a b a b a b
a a b b ( a b)(a a b b)lim lim lim(a a b b) 2b b 3b
a b ( a b)
8. 2
2x 1
x 3 x 1lim
1 x
...
Jawab:
Karena 2
2x 1
x 3 x 1 0lim
1 x 0
, maka digunakan dalil L’Hospital:
2
x 1
2x 11 112 x 3 2lim
2x 2 4
9. x 0
f(a x) f(a)lim
x
...
Jawab:
Karena x 0 x 0
f(a x) f(a) f(a 0) f(a) 0lim lim
x 0 0
, maka digunakan dalil L’Hospital
x 0
f '(a x) ( 1)lim f '(a 0)( 1) f '(a)
1
10. 2n
x 1
x xlim
1 x
...
Jawab:
Karena 2n
x 1
x x 0lim
1 x 0
, maka digunakan dalil L’Hospital:
2n 1
x 1
2nx 1 2n 1lim 1 2n
1 1
2. Bentuk tak tentu
n n 1
m m 1x
ax bx ... clim L
px qx ... r
Maka:
Untuk n = m a
Lp
Contoh:
Contoh:
Untuk n > m L
Untuk n < m L 0
1. 3 2
3x
2x x 5lim ...
x 5x 6
Jawab:
3 2
3x
2x x 5 2lim 2
x 5x 6 1
2 x
xlim
1 x 1 x
...
Jawab:
x
xlim
1 x 1 x digunakan dalil L’Hospital, sehingga:
x x
1 1lim lim
1 1 1 1
2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x
1
1 1
2 2
1
3. Bentuk tak tentu
Rumus cepat:
2 2
x
b plim ax bx c ax px q
2 a
1.
2 2
xlim 4x 3x 2 4x 2x 4 ...
Jawab:
Cara Cepat:
2 2
xlim 4x 3x 2 4x 2x 4
3 2
2 4
5
4
Cara Biasa:
2 2
2 22 2
x x
2 2
2 22 2
2 2x
2 2
2 2x
2x
4x 3x 2 4x 2x 4
lim 4x 3x 2 4x 2x 4 lim 4x 3x 2 4x 2x 4
4x 3x 2 4x 2x 4
4x 3x 2 4x 2x 4lim
4x 3x 2 4x 2x 4
4x 3x 2 4x 2x 4lim
4x 3x 2 4x 2x 4
5x 6lim
4x 3x 2 4x
2
2 2x
2 2 2 2 2 2
x
2 2
2x 4
5x 6
x xlim4x 3x 2 4x 2x 4
4x 4x 4x 4x 4x 4x
65
xlim3 2 2 4
4 4x x x x
5 0
4 0 0 4 0 0
5
4 4
5
4
2. 2
xlim x(4x 5) 4x 3
...
Jawab:
Catatan:
2 2
x
b plim ax bx c ax px r
2 a
2 2 2
x x
5 0 5lim x(4x 5) 4x 3 lim 4x 5x 4x 0x 3
42 4
3. 2
xlim x x 2x
...
Jawab:
2 2 2
x x
0 ( 2)lim x x 2x lim x x 2x 1
2 1
4. 2 2
xlim 2x 5x 8 2x 2x 1
...
Jawab:
2 2
xlim 2x 5x 8 2x 2x 1
dengan menggunakan cara cepat diperoleh:
b q 5 2 3 3
242 a 2 2 2 2
Latihan: hitunglah!
1.
2
2
6lim ...
2x
x x
x
2. 4
6lim ...
8 2x
x
x
3.
2
22
3 2lim ...
4x
x x
x
4. 1
1lim ...
1x
x
x
5.
3
42
8lim ...
16x
x
x
6. 3
3lim ...
12 3x
x
x
7.
2
6
2 72lim ...
6x
x
x
8.
2
4
16lim ...
2 8 4x
x
x
9.
2
2
4 4 8lim ...
2x
x x
x
10.
2
24
3 4lim ...
16x
x x
x
11. 0
4lim ...
4 4x
x
x x
12.
3
2
8lim ...
3 6x
x
x
13.
2
0
4lim ...
1 1x
x
x x x x
14.
3 2
3 20
7 6lim ...
4 3x
x x x
x x x
15.
2
27
2 35lim ...
49x
x x
x
16. 6
6lim ...
3 2 2 4x
x
x x
17. 22
2 1lim ...
4 2x
x
x x
18. 2 22 2
1 1 2lim ...
2 2 3x x x x x x
19.
2
20lim ...
1 1x
x
x
20.
2
3
2 2 12lim ...
1 5 1x
x x
x
Contoh:
F. Limit Trigonometri
Beberapa rumus bantu:
1. sin2x + cos
2x = 1
2. sin 2x = 2 sin x cos x
3. cos 2x = cos2x - sin
2x
4. 1 - cos 2x = 2 sin2x
5. 1 + cos2x = 2cos2x
1.
x 0
sin2xlim ...
3x
Jawab:
x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
sin2x sin2x 2 sin2x 2 sin2x 2 2 2lim lim . lim . lim .lim 1.
3x 3x 2 2x 3 2x 3 3 3
2. 2x 0
1 cos2xlim ...
3x
Jawab:
2
2 2x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
1 cos2x 2sin x 2sinx sinx 2 sinx sinx 2 2lim lim lim lim .lim .1.1
3x 3x 3x.x 3 x x 3 3
3. 2
x4
1 sin2xlim
cos 2x
...
Jawab:
2 2x x x x 2
4 4 4 4
1 sin2x 1 sin2x (1 sin2x) 1 1 1 1lim lim lim lim
cos 2x 1 sin 2x (1 sin2x)(1 sin2x) (1 sin2x) 1 sin 1 1 2
4. x 1
1 1sin 1 cos 1
x xlim
(x 1)
...
Jawab:
x 0 x 0
x 0 x 0
sinx xlim 1 lim 1
x sinx
tgx xlim 1 lim 1
x tg x
x 0
sin mx mlim
nx n ;
x a
sin m(x-a) mlim
n(x-a) n
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
1 1 11 12sin 1 cos 1sin 1 cos 1
2 x xx xlim lim
(x 1) (x 1)
1 1 1 x 1sin2 1 sin2
2 x 2 x 1 1lim lim lim 2 1
(x 1) (x 1) 2 x
5. 2
2x 0
x(cos 6x 1)lim
sin3x tan 2x
...
Jawab:
2 2 2
2 2 2x 0 x 0
x(cos 6x 1) x( sin 6x) 1 ( 1) (6) 36lim lim 3
sin3x tan 2x sin3x tan 2x 3 (2) 12
6. x 0
cotxlim
cot2x ...
Jawab:
1
tanx
1x 0 x 0 x 0tan2x
cotx tan2x 2lim lim lim 2
cot2x tanx 1
7.
2x 1
(x 1)(x 3)sin(x 1)lim
(x 1)(x 2)
...
Jawab:
2 2x 1 x 1
(x 1)(x 3)sin(x 1) x 3 sin(x 1) 2 2lim lim 1
(x 2) (x 1) 9 9(x 1)(x 2)
8. Nilai 2x 0
tan2x tan3xlim
5x
adalah ...
Jawab:
2x 0 x 0 x 0
tan2x tan3x tan2x tan3xlim lim lim
5x x 5x
2 3
1 5
6
5
9. 2
x 0
x sinx tanxlim
1 cos2x
...
Jawab:
Dengan L’Hospital:
x 0
4x 4lim
2sin2x 2 2
1
Cara lain:
2 2 2 2
2 2 22x 0 x 0 x 0 x 0
x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx 1 1lim lim lim lim 1
1 cos2x 2sin x 2sin x 2sin x 2 21 1 2sin x
10. Nilai dari x 0
1 cos xlim
x sin 2x
adalah ...
Jawab:
2 1 1 12 2 2
x 0 x 0 x 0
1 cos x 2sin x sin x sin x 1 1 1lim lim lim 2 2
x sin 2x x sin 2x x sin2x 2 4 4
Latihan: Hitunglah!
1. 0
sin 5lim ...
tan 3x
x
x
2. 0
sin 7lim ...
2x
x
x
3. 0
sin 5lim ...x
x
x
4. 0
3lim ...
2sin 2x
x
x
5. 0
lim ...sin 4x
x
x
6.
2
sin2
lim ...
2
x
x
x
7.
2
3sin2
lim ...
tan2
x
x
x
8. 0
3sin5 3sin3lim ...
3x
x x
x
9. 0
sin10 sin 4lim ...x
x x
x
10. 20
cos10 cos 2lim ...
5x
x x
x
11. 20
cos cos3lim ...
2x
x x
x
12.
2
1 cos 2lim ...
4 2 sin2
x
x
x x
13.
2
2 2coslim ...
2 2 sinx
x
x x
14.
8
cos 4lim ...
cos 2 sin 2x
x
x x
15.
16
3cos8lim ...
cos 4 sin 4x
x
x x
16. 0
1 cos 2lim ...
1tan
2
x
x
x x
17. 30
sin3 sin3 cos 2lim ...
3x
x x x
x
18. 2
20
1 cos 2lim ...
3 12 12x
x
x x
19.
2
cos3 coslim ...
sin 2 cos 2x
x x
x x
20. 0
sin 2lim ...
3 2 9x
x
x
G. Kontinuitas
Perhatikan gambar fungsi pada himpunan bilangan real berikut!
Fungsi 2 4
2
xf x
x
seperti pada gambar grafik di atas, untuk x = 2 akan diperoleh bahwa
0
20
f (bentuk tak tentu) sehingga grafiknya terputus di x = 2. Dalam hal ini dikatakan bahwa
fungsi f(x) diskontinu di x = 2. Sedangkan untuk interval | 2x x dan | 2x x
grafiknya berkesinambungan, dan dalam hal ini dikatakan bahwa fungsi f(x) kontinu di 2x .
Selanjutnya, secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di titik x = c, jika dipenuhi:
a) limx c
f x
ada
b) Nilai f c ada
c) limx c
f x f c
Jika pada suatu fungsi f(x) diskontinu di titik x = c dan dapat dibuat sedemikian hingga
limx c
f x f c
, maka dikatakan bahwa diskontinuitas di titik x = c ini dapat dihapuskan.
Contoh:
Tentukan dikontinuitas fungsi bilangan real berikut:
a) 3
2
8
4
xf x
x
b) 3
2
1
1
xf x
x
Penyelesaian:
a) Fungsi rasional 3
2
8
4
xf x
x
akan diskontinu jika penyebutnya adalah nol. Perhatikan
bahwa
2 4 0 2 2 0 2 2x x x x x
sehingga f(x) akan diskontinu di titik x = -2 atau x = 2. Selanjutnya, perhatikan bahwa:
23
22 2
2
2
2 2 48lim lim
4 2 2
2 4lim
2
12
4
3
x x
x
x x xx
x x x
x x
x
yang artinya bahwa diskontinuitas di titik x = 2 dapat dihapuskan dengan menetapkan
definisi f(2) = 3. Di lain pihak, untuk x = -2 dapat diperoleh bahwa:
23
22 2
2
2
2 2 48lim lim
4 2 2
2 4lim
2
4
0
x x
x
x x xx
x x x
x x
x
sedangkan
3
2
2 8 162
02 4f
tidak terdefinisi, sehingga diskontinuitas di titik x = -
2 tidak dapat dihapuskan.
b) Analog dengan a) di atas, fungsi rasional 3
2
1
1
xf x
x
akan diskontinu jika penyebutnya
adalah nol. Perhatikan bahwa
2 1 0 1 1 0 1 1x x x x x
sehingga f(x) akan diskontinu di titik x = -1 atau x = 1. Selanjutnya, perhatikan bahwa:
23
22 2
2
2
1 11lim lim
1 1 1
1lim
1
3
2
x x
x
x x xx
x x x
x x
x
yang artinya bahwa diskontinuitas di titik x = 1 dapat dihapuskan dengan menetapkan
definisi 3
12
f . Di lain pihak, untuk x = -1 dapat diperoleh bahwa:
23
21 1
2
1
1 11lim lim
1 1 1
1lim
1
1
0
x x
x
x x xx
x x x
x x
x
sedangkan
3
2
1 1 21
01 1f
tidak terdefinisi, sehingga diskontinuitas di titik x = -1
tidak dapat dihapuskan.
Latihan:
Selidikilah sifat kontinuitas fungsi-fungsi berikut ini:
1. f(x) = x2 + x di titik x = -1
2. f(x) = 4x2 - 2x +12 di titik x = 2
3. 1
xf x
x
di titik x = -1
4. 2
2xf x
x
di titik x = 2
5. 6 9
3
xf x
x
di titik x = 3
6. 3 3, 2
2, 2
x x
xf x
di titik x = 2
7. Di mana saja titik 2
5 4
3 10
xf x
x x
diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya!
8. Di mana saja titik 3
2
27
9
xf x
x
diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya!
9. Tentukan di titik mana saja diskontinuitas fungsi berikut dapat dihapuskan atau tidak dapat
dihapuskan beserta alasannya!
a) 3
2
64
16
xf x
x
b) 3
2
1
3 2
xf x
x x
c) 3
2
8
2
xf x
x x
d) 3
2
27
2 3
xf x
x x
e) 3
2
125
4 5
xf x
x x
10. Dengan grafik, di titik mana saja (jika ada) fungsi berikut diskontinu:
x untuk x < 0
f(x) = x2 untuk 0 1x
2 – x untuk x > 1
11. Tentukan nilai a dan b agar fungsi
x2 – x + 3 untuk x < 0
f(x) = a untuk 0 1x
bx + 1 untuk x > 1
1. 2
x a
x (3 a)x 3alim
x a
...
Jawab:
Akan dicari nilai 2
x a
x (3 a)x 3alim
x a
Turunkan pembilang dan penyebutnya, maka didapat hasil:
x a
2x 3 alim 2a 3 a a 3
1
2. Jika 2
1f(x)
2x , maka
t 0
f(x t) f(x)lim
t
adalah ...
Jawab:
Diketahui 2
1f(x)
2x , akan dicari nilai
t 0
f(x t) f(x)lim
t
, maka:
3
3t 0
f(x t) f(x) 1lim f '(x) x
t x
3. 2 2
x 2
2x 8 x 2xlim
x 2 2x 4
...
Jawab:
2 2
x 2 x 2 x 2
2x 8 x 2x 2(x 2)(x 2) x(x 2) xlim lim lim 2(x 2) 8 1 9
x 2 2x 4 x 2 2(x 2) 2
4. 2
x 0
x sinx tanxlim
1 cos2x
...
Jawab:
Karena merupakan bentuk 0
0, maka dengan L’Hospital dapat kita peroleh:
x 0
4x 4lim
2sin2x 2 2
1
Cara lain:
2 2 2 2
2 2 22x 0 x 0 x 0 x 0
x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx 1 1lim lim lim lim 1
1 cos2x 2sin x 2sin x 2sin x 2 21 1 2sin x
5.
x 3
x 3lim ...
x 3
SOAL DAN PEMBAHASAN TAMBAHAN
Jawab:
x 3 x 0
x 3x 3 1 3lim lim
x 3 62 3x 3 x 3
6. Nilai 1
x2
2x 1lim
2 4x 6
...
Jawab:
1 1x x
2 2
2x 1 2 2 2lim lim 2
2 2 12 4x 6 04x 6 1
4 62
7. Nilai 2x 0
1 cosxlim
5x
...
Jawab:
Digunakan dalil L’Hospital:
2x 0 x 0
1 cosx sinx 1lim lim
5x 10x 10
8. xlim (2x 1)(x 2) x 2 1
...
Jawab:
2 2
x xlim (2x 1)(x 2) x 2 1 lim 2x 3x 2 2x 2 2x 1
Dengan menggunakan cara cepat diperoleh:
2b q 3 2 2 3 2 4 32 1
4 42 a 2 2 2
9. x 0
sinaxlim
sinbx ...
Jawab:
x 0
sinax alim
sinbx b
10. x ~lim x a x b x
= ...
Jawab:
2 2
x xlim x a x b x lim x (a b)x ab x
Dengan menggunakan cara cepat diperoleh:
b p (a b) 0 a b
22 a 2 1
1. Jika 2
1 xf(x)
2 x 3
maka
x 1limf(x)
…
2.
2
x 1
2x 3 x 1 x 1lim
x 1
…
3. x
xlim
x x x
sama dengan ...
4. 2x
xx 1
3 9lim
2 3 6
…
5. x 0
sin2x tg3xlim
1 cos2x cos4x
sama dengan ...
6. x 0
1 cos3xlim ...
1 cos4x
7. 2 2
2x 0
7x sin2xlim ...
tg 2x sinx tg5x
8. 2
x
2x 1lim
5x 3
…
9. Agar x 1
p(x 1) q 3 3lim
x 1 2
maka nilai
p + 2q = …
10. x 0
xtg5xlim
cos2x cos7x
…
11. 2
xlim 4x 4x 5 (2x 3)
…
12. Nilai
x 0
1 cos2xlim
1xtg x
2
…
13. Nilai 2
x 3
x x 6lim
4 5x 1
…
14. x 1
x 2x 1lim ...
x 1
15. Nilai dari
2 2
xlim 2x 3x 1 2x 2x 5 ...
16. Nilai dari x 0
xtgxlim ...
1 cos2x
17.
4
2t 2
4t 4t 72lim
t 2 t 3t 2
18. x 0
sin8x sin6xlim ...
4xcos8x
19. x 0
1lim ctg2x cos4x cos2x ...
x
20. 2 2
2 2x
ax 3x 1 9x 3x 1lim 1
4x 2x 2 4ax 2x 2
,
maka nilai a sama dengan
21. x k
2x 2klim
sin2(x k) 4k 4x
…
22. 2
2x 0
sin3x tg 5xlim
5x tg3x
…
23. 2x 1
5x 1 4xlim
x 1
…
24.
3
2x 2
t 8lim
t t 6
= ...
25. 2 2
x 2
2x 8 x 2xlim
x 2 2x 4
= ...
26. Nilai 2x 2
x 2lim
x x 6
= ...
27. x 0
x xlim
x x
= ...
28. 2x 0
tan xlim
x 2x = ...
29. 2
2x 3
3x 5x 12lim
x 9
= ...
30.
x ~
4 5x 2 xlim
2 x 1 x
= ...
SOAL LATIHAN TAMBAHAN