บทท�� 4 Limits and continuity

อั�ตราการเปลี่��ยนแปลี่ง (Rates of Change)

ความเร�วเฉลี่��ยขอังว�ตถุ�ท��เคลี่��อันท��ในช่�วงเวลี่าใดๆ หาได#จากระยะทางท��ว�ตถุ�เคลี่��อันท��หารด#วยช่�วงเวลี่าน�&นๆ ซึ่(�งม�หน�วยเป)นหน�วยความยาวต�อัหน�วยเวลี่า

ตั�วอย่�างที่� 1 หาความเร�วเฉลี่��ย จงหาความเร�วเฉลี่��ยในช่�วง 2 ว*นาท�แรกท��ก#อันห*นตกลี่งมาจากหน#าผา

ว ธีที่�า ก#อันห*นท��หลี่�นลี่งมาอัย�างอั*สระจากหน#าผาส-งส-�พื้�&นผ*วโลี่กจะม� ความส�มพื้�นธ์1ระหว�างระยะทางการเคลี่��อันท��ก�บช่�วงเวลี่าเป)น

216ty ด�งน�&นในช่�วง 2 ว*นาท�แรก ความเร�วเฉลี่��ยขอังก#อันห*นหาได#จากระยะทางท��ก#อันห*นเคลี่��อันท��ได# หารด#วยช่�วงเวลี่า ท��เคลี่��อันท�� ในช่�วงเวลี่า 2 ว*นาท�จากt = 0 ถุ(ง t = 2 เราจะได#ความเร�วเฉลี่��ยขอังก#อันห*นเป)น

ความเร�วเฉลี่��ย (Average Speed )

02

)0(16)2(16 22

t

y = 32 ฟุ�ตต�อัว*นาท�

ความเร�วขณะใดขณะหน(�ง(Instantaneous Speed) ความเร�วขณะใดขณะหน(�งขอังว�ตถุ�ท��เคลี่��อันท��เวลี่าใดๆ หาได#จากระยะทางท��ว�ตถุ�เคลี่��อันท��ในในเวลี่าท��ส� &นมากๆหารด#วยช่�วงเวลี่าน�&น

ตั�วอย่�างที่� 2 หาความเร�วขณะใดขณะหน(�งจงหาความเร�วขอังก#อันห*นในต�วอัย�างท�� 1 ท��เวลี่า t = 2

ว ธีที่�า ความเร�วเฉลี่��ยขอังก#อันห*นในช่�วงเวลี่าจาก t = 2ไปย�ง t = 2 + h, h > 0 ค�อั

h

h

t

y 22 )2(16)2(16

ความเร�วขอังก#อันห*นท��เวลี่า t = 2 ค�อัความเร�วเฉลี่��ยเม��อั h 0

(แต�เราไม�สามารถุแทนค�า h=0 ได#โดยตรงต#อังใช่#ว*ธ์�การหาลี่*ม*ต)

ตัารางที่� 1.1 ความเร�วเฉลี่��ยในช่�วงเวลี่าส�&นๆ ท�� t = 2 h

h

t

y 22 )2(16)2(16

ถุ#าให# h ม�ค�าน#อัยๆ จะได#ความเร�วขอังก#อันห*นท��เวลี่า t=2 เป)นด�งตารางท�� 1.1

ty /ความย่าวของช่�วงเวลา(ว นาที่)

(ฟุ�ตั/ว นาที่)

1 80

0.1 65.6

0.01 64.16

0.001 64.016

0.0001 64.0016

0.00001 64.00016

ด�งน�&นพื้บว�าเม��อัค�า h ม�ค�าเข#าใกลี่# 0 ค�าความเร�วเฉลี่��ยจะเข#าใกลี่# 64 ฟุ�ตต�อัว*นาท� การค4านวณทางพื้�ช่คณ*ต

hh

hh

h

hh

h

h

t

y

16641664

64)44(16)2(16)2(16

2

222

เม��อั h เข#าใกลี่# 0 จะได#ค�าความเร�วเฉลี่��ยจ(งม�ค�าจ4าก�ดเป)น 64 + 16(0) = 64 ฟุ�ต/ว*นาท�อั�ตราเฉลี่��ยขอังการเปลี่��ยนแปลี่งแลี่ะเส#นต�ด

ฟุ5งก1ช่�น y = f(x) ม�อั�ตราเฉลี่��ยขอังการเปลี่��ยนแปลี่งขอัง y ต�อั x ตลี่อัดช่�วง ],[ 1 2x x

h

xfxf

xx

xfxf

x

y )()()()( 12

12

12

เป)น

P(x1,f(x1))

Q(x1,f(x12)

xx1 x2=x1+hx=x2-x1=h

y=f(x2)-f(x1)

y

เส#นตรงท��ลี่ากเช่��อัมจ�ด 2 จ�ดขอังเส#นโค#งค�อัเส#นต�ด (secant) ส�วนโค#งด�งน�&นจ(งสร�ปได#ว�าอั�ตราการเปลี่��ยนแปลี่งขอัง จาก x

1 ไปย�ง x

2 ค�อั

ค�าความช่�นขอังเส#นต�ด PQ f

ต�วอัย�างท�� 3 การเปลี่��ยนแปลี่งอั�ณหภู-ม*ขอังแผ�นก�นความร#อันในการอัอักแบบแผ�นก�นความร#อันท��ม�ความหนา 1 น*&วส4าหร�บยานยนต1อัวกาศ แผ�นก�นความร#อันได#ถุ-กตรวจสอับอั�ณหภู-ม* ท��แต�ลี่ะระด�บความลี่(กขอังแผ�นก�นความร#อันด�งแสดงในร-ปท�� แลี่ะอัยากทราบการเปลี่��ยนแปลี่งส-งส�ดขอังอั�ณหภู-ม*ต�อัหน(�งหน�วยความลี่(กขอังแผ�นก�นความร#อันน�&

ว*ธ์�ท4าจากร-ปกราฟุท��ก4าหนดให# จ�ด P จะม�ความช่�นส-งส�ด ด�งน�&ก4าหนดให#จ�ดQเป)นจ�ดท��เลี่��อันได#จาก x=0 ไปส-�จ�ด P ความช่�นขอังเส#นตรง PQ จะเป)นด�งตารางด�งน�&นค�าขอังการเปลี่��ยนแปลี่งส-งส�ดขอังอั�ณหภู-ม*ต�อัหน(�งหน�วยความลี่(กค�อั

60.2

x

เป)นลี่บแสดงว�า อั�ณหภู-ม*ลี่ดลี่งเม��อั x มากข(&น

หร�อัค4านวณโดยลี่ะเอั�ยดได#จาก

777.2)32.068.0(

)10(

x

Figure 1.4: The tangent line at point P has the same steepness (slope) that the curve has at P.

ลี่*ม*ตขอังฟุ5งก1ช่�น (Limits of Functions)ฟุ5งก1ช่�นบางฟุ5งก1ช่�นอัาจจะหาค�าไม�ได#ท��จ�ดใดจ�ดหน(�ง แต�เราสามารถุหาค�าขอังฟุ5งก1ช่�นเม��อัเข#าใกลี่#จ�ดน�&นมากๆได# ถุ#าฟุ5งก1ช่�นน�&นม�ลี่*ม*ตท��จ�ดน�&นต�วอัย�างท�� 4 พื้ฤต*กรรมขอังฟุ5งก1ช่�นเม��อัเข#าใกลี่#จ�ดใดจ�ดหน(�ง

ฟุ5งก1ช่�น 1

1)(

2

x

xxf

ม�พื้ฤต*กรรมอัย�างไรเม��อั x เข#าใกลี่# 1ว*ธ์�ท4า ฟุ5งก1ช่�นท��ก4าหนดให#ไม�สามารถุหาค�าได#เม��อั x =1 แต�ม�ค�าประมาณ 2 เม��อั x เข#าใกลี่# 1

กรณ�ท�� เราสามารถุแตกอัอักเป)นต�วประกอับย�อัยแลี่ะจ�ดร-ปฟุ5งก1ช่�นใหม�เป)น 1x

1)1(

)1)(1()(

xx

xxxf (เม��อั )1x

ด�งน�&นเม��อั x เข#าใกลี่# 1 จะท4าให#ค�าขอังฟุ5งก1ช่�นม�ค�าเป)น 2

หร�อักลี่�าวว�าลี่*ม*ตขอัง f เป)น2 เม��อั x เข#าใกลี่# 1 หร�อัเข�ยนเป)นสมการได#ว�า

2)(lim1

xfx

21

1lim

2

1

x

xx

หร�อั

น ย่ามโดย่ที่��วไปของล ม ตั (Informal Definition of Limit)

ให# f(x) ถุ-กก4าหนดบนช่�วงเป9ดใกลี่# x

0 แลี่ะ f(x) เข#าใกลี่# L ส4าหร�บท�กค�าขอัง x ท��

เข#าใกลี่# x0 เราเข�ยนเป)นสมการได#ว�าLxf

xx

)(lim

0

(น*ยามน�&ไม�ช่�ดเจนเพื้ราะไม�ทราบว�าใกลี่#เท�าไร)

ตั�วอย่�างที่� 5 ค�าลี่*ม*ตไม�ข(&นอัย-�ก�บค�าขอังฟุ5งก1ช่�นท�� x0

ฟุ5งก1ช่�นในร-ปท�� ม�ลี่*ม*ต 2 เม��อั ถุ(งแม#ว�า หาค�าไม�ได#ท�� x =1 ฟุ5งก1ช่�นม�ลี่*ม*ต 2 เม��อั ถุ(งแม#ว�า ฟุ5งก1ช่�น เป)นฟุ5งก1ช่�นท��ลี่*ม*ตเม��อั ม�ค�าเท�าก�บค�าขอังฟุ5งก1ช่�นท�� x = 1 เราเข�ยนได#ว�า

1x f g1x 2)1( g h

1x )1()(lim1

hxhx

1

1)()(

2

x

xxfa

1,1

1,1

1)()(

2

x

xx

xxgb 1)()( xxhc

2)(lim)(lim)(lim111

xhxgxfxxx

ตั�วอย่�างที่� 6 ฟุ5งก1ช่�นท��ม�ลี่*ม*ตท�กจ�ดถุ#า f เป)นฟุ5งก1ช่�นเฉพื้าะ (identity function) f(x)= x ด�งน�&นส4าหร�บค�า x0ใดๆ

ถุ#า f เป)นฟุ5งก1ช่�นคงท�� (constant function) f(x)= k ด�งน�&นส4าหร�บค�า x

0

ใดๆ

000

lim)(lim xxxfxxxx

kkxfxxxx

00

lim)(lim

x

y

x0

x0

y=x

x

y

x0

ky=k

identity function constant function

บางฟุ5งก1ช่�นอัาจไม�ม�ลี่*ม*ตด�งในร-ป

ต�วอัย�างเช่�น

3lim3

xx

4)4(lim)4(lim27

xx

Identity function

Constant function

ตั�วอย่�างที่� 7 การพื้*จารณาว�าไม�ม�ลี่*ม*ตจงอัธ์*บายพื้ฤต*กรรมขอังฟุ5งก1ช่�นในร-ปเม��อั

0 ,1

0 ,0)(

x

xxUก) ข) ค)

0 ,0

0 ,1

)(x

xxxg

0 ,1

sin

0 ,0)(

xx

xxf

น*ยามท��เท��ยงตรงขอังลี่*ม*ต (Precise Definition of Limit)

ให#f ถุ-กก4าหนดให#อัย-�บนช่�วงเป9ดรอับ x0 ยกเว#นท��

จ�ด x0 เราอัาจกลี่�าวได#ว�า f(x) เข#าใกลี่#ลี่*ม*ต L เม��อั

x เข#าใกลี่# x0แลี่ะเข�ยนเป)นสมการได#ว�าถุ#าส4าหร�บ

Lxfxx

)(lim0

ท�กเลี่ขจ4านวนใดๆ ท�� แลี่#วท4าให#เก*ดค�าท��เก��ยวข#อัง ส4าหร�บท�กค�า x ท4าให#

00

Lxfxx )(0 0

0

Figure 1.11: The relation of and in the definition of limit.ตั�วอย่�างที่� 8 การควบค�มฟุ5งก1ช่�นเส#นตรงค�า x ควรจะม�ค�าอัย-�ในช่�วงใดท��ท4าให#เม��อั แลี่#วค�า y = 2 x –1 จ(งจะอัย-�ภูายในช่�วงระยะ 2 หน�วยขอัง

40 x

70 y

ว*ธ์�ท4า เราทราบว�า 40 x 7,2 L ให#หาช่�วงขอังx ท��ท4าให# 27 y

827)12(7 xxy

141

53

1026

2822

282

x

x

x

x

x

ต�วอัย�างท�� 9 ทดสอับน*ยามจงแสดงให#เห�นว�า 235lim

1

x

x

ว*ธ์�ท4า โจทย1ก4าหนด แลี่ะ L = 2 ตามน*ยามขอังลี่*ม*ตท�กค�าขอัง ต#อังม� ท��ท4าให# แลี่ะ

35)(,10 xxfx

0 0 10 x 2)(xf

5/1

15

55235

x

x

xx

จากอัสมการ 2)(xf

ด�งน�&นเราจะได#ว�า 5/

5/10 xแลี่ะ 2)(xf เป)นจร*งหร�อั 235lim

1

x

x

ต�วอัย�างท�� 10 หาค�า เม��อัก4าหนดค�า ให# จากลี่*ม*ต จงหา ท��ม� =1 ท��ท4าให# เป)นจร*ง

21lim5

xx

12150 xx

ว*ธ์�ท4า แก#อัสมการ เพื้��อัหาช่�วง (a, b) รอับ 121 x 50 x

553

102

911

311

1211

121

x

x

x

x

x

x

ด�งน�&นค�าขอัง คืคืคืท��ท4าให# 12150 xx

Figure 1.13: An open interval of radius 3 about x0 = 5 will lie inside the open interval (2, 10).ร-ปต�วอัย�างท��10

การหาค�าลี่*ม*ตแลี่ะลี่*ม*ตด#านเด�ยว (Finding Limits and One-Sided Limits)

เราสามารถุหาค�าลี่*ม*ตโดยใช่#คณ*ตศาสตร1แลี่ะกฎพื้�&นฐานได# กฎขอังลี่*ม*ต

ถุ#า L, M, c แลี่ะ k เป)นเลี่ขจ4านวนจร*ง ม� แลี่ะ Lxfcx

)(lim Mxgcx

)(lim

กฎผลี่รวม MLxgxfcx

))()((lim

กฎผลี่ค-ณ MLxgxfcx

))()((lim

กฎผลี่ค-ณด#วยค�าคงท�� Lkxfkcx

))((lim

กฎผลี่หาร 0M ,)(

)(lim

M

L

xg

xfcx

กฎยกก4าลี่�ง srsr

cxLxf //))((lim

ตั�วอย่�างที่� 1 การใช่#กฎขอังลี่*ม*ต

จากค�ณสมบ�ต* แลี่ะ แลี่ะค�ณสมบ�ต*ขอังลี่*ม*ต จงหาลี่*ม*ตต�อัไปน�&

kkcx

lim cxcx

lim

(ก) )34(lim 23

cx

xx (ข) 5

1lim

2

24

cx

x

xx (ค ) 34lim 2

2

x

x

ว*ธ์�ท4า3lim4limlim)34(lim 2323

cx cxcxcxxxxx

(ก)

34c 23 c

(ข) )5(lim

)1(lim

5

1lim

2

24

2

24

cx

x

xx

x

xx

cx

cx

5

1c

5limlim

1limlimlim

2

24

2

24

c

c

x

xx

cxcx

cxcxcx

(ค ) )34(lim34lim 2

2

2

2

xx

xx

13

34(-2)

3lim4lim

2

2

2

-2x

x

x

ลี่*ม*ตขอังพื้ห�นาม

01

1)( axaxaxP nn

nn

ถุ#า0

11)()(lim acacacPxP n

nn

ncx

ลี่*ม*ตขอังฟุ5งก1ช่�นตรรกยะสามารถุหาได#โดยการแทนท�� 0)( cQ

)(

)(

)(

)(lim

cQ

cP

xQ

xPcx

ถุ#า P(x) แลี่ะ Q(x) เป)น พื้ห�นาม แลี่ะ

ตั�วอย่�างที่� 2 ลี่*ม*ตขอังฟุ5งก1ช่�นตรรกยะ

ถุ#าต�วหารเป)นศ-นย1จะต#อังพื้ยายามก4าจ�ดต�วประกอับร�วม (common factors) อัอักไปเพื้��อัให#ต�วหารไม�เป)นศ-นย1

06

0

5)1(

3)1(4)1(

5

34lim

2

23

2

23

1

x

xxx

การก4าจ�ดต�วหารท��เท�าก�บศ-นย1

ตั�วอย่�างที่� 3 การก4าจ�ดต�วประกอับร�วม จงหา

xx

xxx

2

2

1

2lim

ว*ธ์�ท4า เราไม�สามารถุแทน x = 1 ลี่งไปได#เพื้ราะต�วหารจะม�ค�าเป)นศ-นย1

x

x

xx

xx

xx

xx 2

)1(

)2)(1(22

2

1xถุ#า

ด�งน�&น 31

212lim

2lim

12

2

1

x

x

xx

xxxx

xx

xxxf

2

2 2)(

x

xxg

2)(

ตั�วอย่�างที่� 4 สร#างแลี่ะก4าจ�ดต�วประกอับร�วมจงหา h

hh

22lim

0

ว*ธ์�ท4า เราไม�สามารถุแทน h = 0 ได# แลี่ะ ท�&งเศษแลี่ะส�วนไม�ม�ต�วประกอับร�วมด�งน�&น เจ(งต#อังสร#างต�วประกอับร�วมข(&นโดยค-ณท�&งเศษแลี่ะส�วนด#วยเทอัมคอันจ-เกท 22 h

22

222222

h

h

h

h

h

h

22

1

)22(

)22(

22

h

hh

h

hh

h

22

1

22

1lim

22lim

00

hh

hhhด�งน�&น

จะเห�นว�า ค�อัความช่�นขอังเส#นตรงท��ลี่ากผ�านจ�ด แลี่ะ บนเส#นโค#ง ในร-ปท�� จากการค4านวณแสดงให#เห�นว�า ค�อัค�าลี่*ม*ตขอังความช่�นขอังเส#นตรงน�& เม��อั

hh /22 )2,2(P

hhQ 2,2 xy

22/1 PQ

x

y

2 2+h

P(2, 2)Q(2+h, 2+h)

h

2+h - 2

ที่ฤษฎีแซนว ช่ (Sandwich Theorem) ลี่*ม*ตอัาจหาได#ด#วยทฤษฎ�แซึ่นว*ช่ ทฤษฎ�น�&อั#างถุ(งฟุ5งก1ช่�น f ซึ่(�งม�ค�าอัย-�ระหว�างค�าขอังฟุ5งก1ช่�น g แลี่ะ h ถุ#า g แลี่ะ h ม�ค�าลี่*ม*ตเด�ยวก�นเม��อั ด�งน�&นฟุ5งก1ช่�น f จะม�ค�าลี่*ม*ตเช่�นเด�ยวก�นก�บฟุ5งก1ช่�นท�&ง 2 ด#วย

cx

x

y

0 c

h

L

g

f

xxhxfxg ),()()(

Lxhxgcxcx

)(lim)(lim

Lxfcx

)(lim

ตั�วอย่�างที่� 5 การใช่#ทฤษฎ�แซึ่นว*ช่

21)(

41

22 xxu

x 0x )(lim

0xu

xก4าหนดให# ส4าหร�บท�กค�า x ท�� จงหา ว*ธ์�ท4า เน��อังจาก จากทฤษฎ�แซึ่นว*ช่

1)(lim0

xux

14

1lim4

1lim2

0

2

0

xxxx

จะได#ว�า

u(x)

41)(

2xxh

41)(

2xxg

ตั�วอย่�างที่� 6 ท��ใช่#ทฤษฎ�แซึ่นว*ช่เพื้*�มเต*ม จากร-ป ก ) เน��อังจาก sin 0limlim

00

ท�กค�าขอัง แลี่ะ0sinlim

0

จะได#ว�าจากร-ปท�� ข ) เน��อังจาก cos10 ท�กค�าขอัง 0)cos1(lim

0

แลี่ะจะได#ว�า 1coslim

0

ล ม ตัด#านเดย่ว (One-Sided Limit)

)(xf

)(xf

f

Lxfax

)(lim

Mxfax

)(lim

น ย่าม ลี่*ม*ตซึ่#าย แลี่ะลี่*ม*ตขวาให# เป)นฟุ5งก1ช่�นท��อัย-�บนช่�วง (a, b) โดยท�� a < b ถุ#า เข#าใกลี่# L เม��อั x

เรากลี่�าวว�า ม�ลี่*ม*ตด#านขวาม�อัเท�าก�บ L ท�� a

ให#

เข#าใกลี่# a จากด#านขวาเข�ยนเป)นสมการได#ว�า

เป)นฟุ5งก1ช่�นท��อัย-�บนช่�วง (c, a) โดยท�� c<a ถุ#า)(xf เข#าใกลี่# M

เม��อั x f

เข#าใกลี่# a จากด#านซึ่#าย เรากลี่�าวว�า ม�ลี่*ม*ตด#านซึ่#ายม�อัเท�าก�บ M ท�� a )(xf

เข�ยนเป)นสมการได#ว�า

ส4าหร�บฟุ5งก1ช่�น xxxf /)(

ในร-ปท�� เราจะได#

1)(lim0

xfx

1)(lim0

xfxแลี่

ะx

y

0

-1

1

ตั�วอย่�างที่� 7 ลี่*ม*ตด#านเด�ยวส4าหร�บคร(�งวงกลี่ม โดเมนขอัง 24)( xxf ค�อั - 2[ , 2 ซึ่(�งม�กราฟุเป)นร-ปคร(�งวงกลี่มด�งแสดงในร-ป

เราจะได#ว�า 04lim 2

2

x

x

04lim 2

2

x

xแลี่ะ

ไม�ม�ลี่*ม*ตท�� -2- แลี่ะ 2+

ที่ฤษฎีที่� 5 ความส�มพื้�นธ์1ระหว�างลี่*ม*ตด#านเด�ยวแลี่ะสอังด#าน)(xf

LxfLxfcxcx

)(lim )(lim Lxfcx

)(lim

ฟุ5งก1ช่�น ม�ลี่*ม*ตเม��อั x เข#าใกลี่# c ก�ต�อัเม��อั ม�ลี่*ม*ตท�&งซึ่#ายม�อัแลี่ะขวาม�อั

แลี่ะ

)(xf

แลี่ะม�ค�าลี่*ม*ตเท�าก�น น��นค�อั

ตั�วอย่�างที่� 8 ลี่*ม*ตขอังฟุ5งก1ช่�น

x

y

0 1 432

1

2

ท�� x = 0 1)(lim0

xfx

)(lim0

xfx

)(lim0

xfx แลี่ะ ไม�ม�

ท�� x = 1 0)(lim1

xfx

1)1( f

1)(lim1

xfx

ท�� x = 2 1)(lim2

xfx

1)(lim2

xfx

1)(lim2

xfx

2)2( f

2)3()(lim)(lim)(lim333

fxfxfxfxxx

1)(lim4

xfx

1)4( f

)(lim4

xfx

)(lim4

xfx

ท�� x = 3

ท�� x = 4 ถุ(งแม#ว�า

แลี่ะ ไม�ม�(ไม�น*ยาม)

ตั�วอย่�างที่� 9 ฟุ5งก1ช่�นท��แกว�งมาก จงแสดงว�า )/1sin( xy ไม�ม�ลี่*ม*ตเม��อั x เข#าใกลี่#ศ-นย1

ว ธีที่�า เม��อั x เข#าใกลี่#ศ-นย1 1/x จะม�ค�ามาก sin(1/x) จะกลี่�บไปมาจาก – 1 ไปย�ง 1 ค�า L หลี่ายค�าเม��อัx เข#าใกลี่#ศ-นย1 ฟุ5งก1ช่�นจะไม�ม�ม�ลี่*ม*ตด#านซึ่#ายหร�อัด#านขวาท�� x = 0

/sinลี่*ม*ตขอัง ฟุ5งก1ช่�น /sinม�ลี่*ม*ตท�� เป)น 1 แต�ไม�น*ยามท��0 1

พื้*ส-จน1 พื้ท OAP < พื้ท OAP < พื้ท OAT

sin2

1 2

12

1 2 tan2

1))(tan1(

2

1

tan2

1

2sin

2

1

cossin

1

แต� 1coslim0

x

ด�งน�&น 1sin

lim0

x

ด#วย

Figure 1.24: The graph of f () = (sin )/.ตั�วอย่�างที่� 10 การใช่# 1sin

lim0

จงแสดงให#เห�นว�า (ก) 01cosh

lim0

hh (ข) 5

2

5

2sinlim

0

x

xx

ว ธีที่�า(ก ) โดยใช่#ส-ตรคร(�งม�ม )2/(sin21cosh 2 h

0-(1)(0)

sinsin

lim

)2/(sin2lim

1coshlim

0

2

00

h

h

h hh

(ข ) จ�ดร-ปฟุ5งก1ช่�น

5

2)1(

5

22

2sinlim

5

2

5)(

2sin)(lim

5

2sinlim

0

52

52

00

x

x

x

x

x

x

x

xx

ลี่*ม*ตอัน�นต1 เป)นการว*เคราะห1กราฟุขอังฟุ5งก1ช่�นเม��อั x โดยด-จากเส#นก4าก�บในแนวนอัน

แลี่ะแนวต�&งเช่�น ฟุ5งก1ช่�น xxf /1)( ส4าหร�บ 0x เป)นด�งร-ปด�งน�&น

0x

เม��อั 0/1lim)(lim

xxf

xx

เป)นเส#นก4าก�บในแนวนอัน y = 0

แลี่ะเม��อั x/1

xxfxx

/1lim)(lim0

เป)นเส#นก4าก�บในแนวต�&ง x = 0

น ย่าม ลี่*ม*ตเม��อั x

)(xf ม�ลี่*ม*ตเป)น L เม��อั x เข#าส-�อัน�นต1 Lxfx

)(lim ถุ#าLxf

x

)(lim แลี่ะ Lxf

x

)(lim

ตั�วอย่�างที่� 1 ลี่*ม*ตขอัง 1/x แลี่ะ k เม��อั

x

จงแสดงว�า ก) 01

lim1

limx

xx x (จากร-ปเป)นจร*ง)

kkkxx

limlimข) (ตามกฎลี่*ม*ตขอังฟุ5งก1ช่�นคงท��)

กฎส4าหร�บลี่*ม*ตเม��อั x

ค�ณสมบ�ต*ลี่*ม*ตขอังการรวม การค-ณ การหาร การค-ณด#วยค�าคงท�� แลี่ะการยกก4าลี่�งขอังฟุ5งก1ช่�น จะเหม�อันก�บกฎขอังลี่*ม*ตท��ค�าใดๆตามท��กลี่�าวมาแลี่#ว

ตั�วอย่�างที่� 2 การใช่#ทฤษฎ�ลี่*ม*ตอัน�นต1

xx xxx

1lim5lim)

15(lim

505 (ก ) (กฎการรวม)

(ข) xxx x

113lim

3lim

2-x

xx xx

1lim

1lim3lim

-x

0003

(กฎการค-ณ)

(หารเศษแลี่ะส�วน ด#วย x2 )

ตั�วอย่�างที่� 3 ต�วเศษแลี่ะส�วนม�อั�นด�บขอังเลี่ขยกก4าลี่�งเท�าก�นลี่*ม*ตขอังฟุ5งก1ช่�นตรรกยะเม��อั xควรหารตลี่อัดด#วยต�วแปรท��ม�ก4าลี่�งส-งส�ด

3

5

03

0-05

)/2(3

)/3()/8(5lim

23

385lim

2

2

2

2

x

xx

x

xxxx

Figure 1.27: The function in Example 3.

ร-ปต�วอัย�างท�� 3

00-2

00

)/1(2

)/2()/11(lim

12

211lim

3

32

3

x

xx

x

xxx

ตั�วอย่�างที่� 4 เม��อัเลี่ขยกก4าลี่�งขอังเศษน#อัยกว�าส�วน

ตั�วอย่�างที่� 5 เม��อัเลี่ขยกก4าลี่�งขอังเศษมากกว�าส�วน

)/4(7

)/3(2lim

47

32lim

2

x

xx

x

xxx

ก)

)/10()/3(2

)/7(4lim

1032

74lim

22

3

xx

xx

xx

xxxx

ข)

Figure 1.29: The function in Example 5(a).ร-ปต�วอัย�างท�� 5 ก) ร-ปต�วอัย�าง

ท�� 5 ข)1032

742

3

xx

xxy

เส#นก4าก�บแนวนอันแลี่ะแนวต�&ง: ลี่*ม*ตอัน�นต1 ฟุ5งก1ช่�น xxf /1)(

เส#นก4าก�บแนวนอัน

เส#นก4าก�บแนวต�&ง

0/1, xx

0/1lim

xx

0/1, xx

0/1lim

xx

เม��อั

เม��อั

เส#น y = 0 ค�อัเส#นก4าก�บแนวนอันขอังกราฟุขอัง f

x

xfxx

1lim)(lim

00

เม��อั xx /1,0 x

xfxx

1lim)(lim

00

เม��อั xx /1,0

ด�งน�&นเส#น x = 0 ค�อัเส#นก4าก�บแนวต�&งขอังกราฟุขอัง f

น ย่าม เส#นก4าก�บแนวนอันแลี่ะแนวต�&ง เส#น y = b เป)นเส#นก4าก�บแนวนอันขอังกราฟุขอังฟุ5งก1ช่�น )(xfy

ถุ#า bxfx

)(lim bxfx

)(limหร�อั

)(lim xfax

)(lim xfax

เส#น x = a เป)นเส#นก4าก�บแนวต�&งขอังกราฟุขอังฟุ5งก1ช่�นหร�อั

)(xfy ถุ#า

ตั�วอย่�างที่� 6 หาเส#นก4าก�บ จงหาเส#นก4าก�บขอังโค#ง 2

3

x

xy

ว ธีที่�า หาพื้ฤต*กรรมขอังฟุ5งก1ช่�นเม��อั x แลี่ะ 2x

2

11

2

3

xx

xy 1)

2

11(lim

xx

)

2

11(lim

2 xx

ด�งน�&น เส#นก4าก�บในแนวนอันค�อั y =1 แลี่ะเส#นก4าก�บในแนวต�&งค�อั x =-2

ร-ปต�วอัย�างท�� 6

y =1

x =-2

ตั�วอย่�างที่� 7 โค#งท��ม�เส#นก4าก�บหลี่ายเส#น

xxy

cos

1sec

x

xxy

cos

sintan

0cos x

โค#ง แลี่ะ จะม�เส#นก4าก�บแนวด*�งมากมายท��ค�าขอัง ด�งร-ป

xy sec xy tan

ตั�วอย่�างที่� 8 เส#นก4าก�บแนวนอันขอัง xey

โค#ง xey จะม�เส#น y = 0 เป)นเส#นก4าก�บ

ไม�ม�)

0lim

x

xe

แนวนอัน ด�งแสดงในร-ป

x

xe

lim(

)(xfy x

)/1( xfy 0x

เราสามารถุท��จะหาพื้ฤต*กรรมขอัง เม��อั โดยการหาลี่*ม*ตขอัง เม��อั

ตั�วอย่�างที่� 9 การใช่#การแทนท�� จงหา

ว ธีที่�า เราให# t = 1/x เราทราบว�า เม��อั ด�งน�&น

t

0t x

0)sin(lim)1

sin(lim0

tx tx

)/1sin(lim xx

ตั�วอย่�างที่� 10 การใช่#การแทนท�� จงหา x

xe /1

0lim

ว ธีที่�า เราให# t = 1/x เราทราบว�าt 0x

0limlim /1

0

t

t

x

xee

ด�งน�&นเม��อั

หาลี่*ม*ตอัน�นต1ด#วย ทฤษฎ�แซึ่นว*ช่ตั�วอย่�างที่� 11 หาลี่*ม*ตเม��อั x เข#าใกลี่# 0 หร�อั

จงหาเส#นก4าก�บขอังโค#ง x

xy

sin2 โดยใช่#ทฤษฎ�แซึ่นว*ช่

x 0xว ธีที่�า หาพื้ฤต*กรรมขอังฟุ5งก1ช่�นเม��อั แลี่ะเม��อั ( ต�วหารเป)น 0)0x 1

sinlim

0

x

xx

เม��อั ด�งน�&นจ(งไม�ม�เส#นก4าก�บในแนวต�&งท��จ�ดก4าเน*ด เม��อั x เน��อังจาก

xx

x 1sin0 แลี่ะ 0

1lim

xx

ด�งน�&นจะได#ว�า 0sin

lim x

xx ตามทฤษฎ�แซึ่นว*ช่

ด�งน�&น 202sin

2lim

x

xx

ร-ปต�วอัย�างท�� 11

y =2

น*ยามท��แม�นย4าขอังลี่*ม*ตอัน�นต1 )(xf 0x

)(lim

0

xfxx

0 Bxfxx )(0 0 เข#าส-�ค�าอัน�นต1บวกเม��อั x เข#าใกลี่#

ถุ#าท�กเลี่ขจ4านวนจร*งบวก B ท��ท4าให#หร�อัแลี่ะ

)(xf 0x

)(lim0

xfxx

0 Bxfxx )(0 0 เข#าส-�ค�าอัน�นต1ลี่บเม��อั x เข#าใกลี่#

ถุ#าท�กเลี่ขจ4านวนจร*ง- B ท��ท4าให#หร�อัแลี่ะ

แบบจ4าลี่อังพื้ฤต*กรรมปลี่าย (End behavior model) กรณ�ท��ค�า x ใหญ่�มาก เราสามารถุจ4าลี่อังพื้ฤต*กรรมขอังฟุ5งก1ช่�นท��ซึ่�บซึ่#อันได#

43xy

65323 234 xxxxy

43xy

65323 234 xxxxy

การว*เคราะห1ให# 65323)( 234 xxxxxf แลี่ะ 43)( xxg

1

2

3

51

3

21lim

3

65323lim

)(

)(lim

432

4

234

xxxx

x

xxxx

xg

xf

x

xx

แสดงว�า g(x) สามารถุแทน f(x) ได#เม��อั |x|ม�ค�ามากน ย่าม แบบจ4าลี่อังพื้ฤต*กรรมปลี่าย (End behavior model)

ฟุ5งก1ช่�นg เป)นแบบจ4าลี่อังพื้ฤต*กรรมปลี่ายขวาขอัง f ถุ#า1

)(

)(lim

xg

xfx

ฟุ5งก1ช่�นg เป)นแบบจ4าลี่อังพื้ฤต*กรรมปลี่ายซึ่#ายขอัง f ถุ#า1

)(

)(lim

xg

xfx

ตั�วอย่�างที่� 13 การหาแบบจ4าลี่อังพื้ฤต*กรรมปลี่าย (End behavior model)xexxf )( xxg )(

f xexh )( f ให# จงแสดงว�า ค�อัแบบจ4าลี่อังพื้ฤต*กรรมปลี่ายขวาขอัง

แลี่ะ ค�อัแบบจ4าลี่อังพื้ฤต*กรรมปลี่ายซึ่#ายขอังว ธีที่�า ด#านขวา

11limlim)(

)(lim

x

e

x

ex

xg

xf x

x

x

xx

ด#านซึ่#าย 11limlim)(

)(lim

xxx

x

xx e

x

e

ex

xh

xf

เพื้ราะว�า 0lim xx e

x

เพื้ราะว�า 0lim

x

e x

x

ร-ปต�วอัย�างท�� 13

ตั�วอย่�างที่� 14 การหาเส#นก4าก�บแนวลี่าดเอั�ยง

จงหาเส#นก4าก�บแนวลี่าดเอั�ยงขอังกราฟุขอัง 47

32)(

2

x

xxf

ว ธีที่�า จากการหารต�วเศษด#วยต�วส�วน เราจะได#

)47(49

115

49

8

7

2

47

32)(

2

xx

x

xxf

ฟุ5งก1ช่�นเช่*งเส#น g(x)

หายไปเม��อั|x| ม�ค�ามาก

49

8

7

2)( xxg

ด�งน�&นเส#นก4าก�บแนวลี่าดเอั�ยงขอังกราฟุขอัง f ค�อั 49

8

7

2)( xxg

ความต�อัเน��อัง (Continuity)

x

y

0 1 432

1

2

ฟุ5งก1ช่�นต�อัเน��อังเป)นฟุ5งก1ช่�นท��ค�าขอังฟุ5งก1ช่�น จะแปรผ�นอัย�างต�อัเน��อังก�บต�วแปรอั*สระ จะไม�ม�การกระโดดจากค�าหน(�งไปอั�กค�าหน(�ง

ตั�วอย่�างที่� 1 การหาความต�อัเน��อังfจงหาจ�ดท��ฟุ5งก1ช่�น ในร-ปม�ความต�อัเน��อัง แลี่ะจ�ดท��ไม�ต�อัเน��อัง

ว ธีที่�า ฟุ5งก1ช่�น จะต�อัเน��อังท�กจ�ดในโดเมน [0, 4] ยกเว#นท�� x = 1, x = 2 แลี่ะ x = 4

f

)0()(lim0

fxfx

)3()(lim3

fxfx

2,1,40 cc )()(lim cfxfcx

จ�ดท�� ท�� x

=0 ท�� x = 3 ท��

เหต�ผลี่ต�อัเน��อัง

จ�ดท��f ไม�ต�อัเน��อัง ท�� x

=1 ท�� x = 2 ท�� x = 4

ท��c<0, c>4

)(lim1

xfx ไม�ม�

1)(lim2

xfx

)2(1 f แต�1)(lim

4

xf

x)4(1 f แต�

ไม�อัย-�ในโดเมนขอัง f

น ย่าม ความต�อัเน��อังท��จ�ดใดๆ

xc ba

ต�อัเน��อังจากซึ่#ายต�อัเน��อังจากขวา ต�อัเน��อังจากซึ่#ายแลี่ะจากขวา

ท��จ�ดภูายในฟุ5งก1ช่�น )(xfy ม�ความต�อัเน��อังท��จ�ดภูายใน c ถุ#า )()(lim cfxf

cx

ท��จ�ดปลี่ายฟุ5งก1ช่�น )(xfy ม�ความต�อัเน��อังท��จ�ดปลี่ายด#านซึ่#ายม�อั aหร�อัม�ความต�อัเน��อังท��จ�ดปลี่ายด#านขวาม�อั a ขอังโดเมนขอังฟุ5งก1ช่�น ถุ#า

)()(lim afxfax

)()(lim bfxfbx

หร�อั

ตั�วอย่�างที่� 2 ฟุ5งก1ช่�นต�อัเน��อังตลี่อัดโดเมนฟุ5งก1ช่�น ม�ความต�อัเน��อังท�กจ�ดในโดเมน [-2, 2] ท�� x = -2 ม�ความต�อัเน��อังขวา แลี่ะท�� x = 2 ม�ความต�อัเน��อังซึ่#าย

24)( xxf

ตั�วอย่�างที่� 3 ฟุ5งก1ช่�นไม�ต�อัเน��อังแบบกระโดด

ฟุ5งก1ช่�นข�&นบ�นไดหน(�งหน�วย U(x) ด�งแสดงในร-ปม�ความต�อัเน��อังขวาท�� x = 0 แต�ไม�ม�ความต�อัเน��อังซึ่#ายหร�อัต�อัเน��อังท��จ�ดน�&เน��อังจากฟุ5งก1ช่�นม�การกระโดดท�� x = 0 x

y

0

1

y=U(x)

การที่ดสอบความตั�อเน'�อง (Continuity test) )(xf

f(c) f

)(lim xfcx

f

)()(limcx

cfxf

ฟุ5งก1ช่�น จะม�ความต�อัเน��อังท�� x = c ถุ#าม�ค�ณสมบ�ต*3 ข#อัด�งต�อัไปน�& หาค�าได# ( c อัย-�ในโดเมนขอัง )

หาค�าได#( ม�ลี่*ม*ตเม��อั )

(ค�าลี่*ม*ตเท�าก�บค�าขอังฟุ5งก1ช่�น)

1.

2.

3.

cx

จงพื้*จารณาร-ปกราฟุขอังฟุ5งก�นต�อัไปน�& แลี่#วระบ�จ�ดท��ม�ความต�อัเน��อังแลี่ะจ�ดท��ไม�ต�อัเน��อังขอังฟุ5งก1ช่�น

Figure 1.50: The function in (a) is continuous at x = 0; the functions in (b) through ( f ) are not.

ต�อัเน�อัง ไม�ต�อัเน�อังท�� x=0ไม�ต�อัเน�อังท�� x=0 ไม�ต�อัเน�อังท�� x=0

ไม�ต�อัเน�อังท�� x=0 ไม�ต�อัเน�อังท�� x=0

• ฟุ5งก1ช่�นพื้ห�นาม (polynomials)• ฟุ5งก1ช่�นตรรกยะ (rational functions)• ฟุ5งก1ช่�นราก (root functions) ( n เป)นเต�มบวก> 1)• ฟุ5งก1ช่�นตร�โกณม*ต* (trigonometric functions)• ฟุ5งก1ช่�นตร�โกณม*ต*ผกผ�น (inverse trigonometric functions)• ฟุ5งก1ช่�นเลี่ขช่�&ก4าลี่�ง (exponential functions)• ฟุ5งก1ช่�นลี่อัการ*ท(ม (logarithmic functions)

ฟุ5งก1ช่�น ท��ต�อัเน��อังท�กจ�ดในโดเมน

,n xy

ค�ณสมบ�ต*ขอังฟุ5งก1ช่�นต�อัเน��อัง

f g ถุ#าฟุ5งก1ช่�น แลี่ะ ต�อัเน��อังท�� x = c ด�งน�&นการรวมก�นต�อัไปน�&ขอังฟุ5งก1ช่�นจะม�ความต�อัเน��อังท�� x = c เช่�นก�น

gf

gf

gf

,fk

0)(,/ cggf

1. ผลี่รวม (Sums)2. ผลี่ต�าง (Differences)3. ผลี่ค-ณ (Products)

4. ผลี่ค-ณค�าคงท�� (Constant multiples)

5. ผลี่หาร (Quotients)

k เป)นต�วเลี่ขใดๆ

ประกอับก�น (Composites))sin( 2xy

xy cos

)(xf )(xg )(cf

fg O cx ))(( cfg

ฟุ5งก1ช่�นประกอับขอังฟุ5งก1ช่�นต�อัเน��อังจะม�ความต�อัเน��อัง เช่�นแลี่ะจะต�อัเน��อังท�กจ�ดในช่�วงท��ก4าหนด

ต�อัเน��อังท�� x = c แลี่ะ ต�อัเน��อังท�� x = ด�งน�&น จะต�อัเน��อังท�� x = c ลี่*ม*ตเม��อั ค�อัถุ#า

Figure 1.53: Composites of continuous functions are continuous.ตั�วอย่�างที่� 3 การใช่#ทฤษฎ�การประกอับ

จงแสดงว�า2

sin2

x

xxy ม�ความต�อัเน��อัง

ว ธีที่�า เน��อังจาก เป)นฟุ5งก1ช่�นต�อัเน��อัง (กฎการค-ณ การยกก4าลี่�ง แลี่ะการหาร)2

sin2 x

xx

แลี่ะ เป)นฟุ5งก1ช่�นต�อัเน��อัง ด�งน�&น เป)นฟุ5งก1ช่�นต�อัเน��อังด#วย2

sin2

x

xxy|| xy

xy xy 2

sin2

x

xxy

ทฤษฎ�บทค�าระหว�างกลี่างขอังฟุ5งก1ช่�นต�อัเน��อัง )(xfy

)(af )(bf

0y )(af

)(bf )(0 cfy

ฟุ5งก1ช่�น ต�อัเน��อังบนช่�วงป9ด [a, b] แลี่ะ

ถุ#า เป)นค�าใดๆค�าหน(�งระหว�าง แลี่ะ ด�งน�&น ส4าหร�บ c ท��อัย-� x

y

ba c

f(a)

f(b)

y0

0

จะให#ค�าได#ท�กๆ ค�าระหว�าง

ในช่�วง [a, b]

ร-ปขอัง ฟุ5งก1ช่�น

42,3

21,22)(

x

xxxf

0)1( f

3)4( f

จะไม�ให#ท�กค�าระหว�าง แลี่ะ

จะไม�ม�ค�าระหว�าง 2 แลี่ะ 3เพื้ราะไม�เป)นฟุ5งก1ช่�นต�อัเน��อัง

เส#นส�มผ�ส (Tangent Lines)

O

P

L

x

yL

P

C

x

yL

P

C

x

y L

P C

เส#นส�มผ�สวงกลี่มค�อัเส#น L ท��ส�มผ�สวงกลี่มแลี่ะต�&งฉากก�บร�ศม�ขอังวงกลี่มท��จ�ด Pแต�จะเป)นอัย�างไรถุ#าเส#น L ส�มผ�สก�บเส#นโค#งอั��น C ท��จ�ด P โดยท��วไปแลี่#ว เราอัาจให#ความหมายขอังเส#นส�มผ�สอัย�างใดอัย�างหน(�งต�อัไปน�&

1. L ผ�าน P ต�&งฉากก�บเส#นจาก P ไปย�งจ�ดศ-นย1กลี่าง C

2. L ผ�านเพื้�ยงจ�ดเด�ยวขอัง C น��นค�อั P3. L ผ�านจ�ด P แลี่ะอัย-�เพื้�ยงด#านเด�ยวขอัง

C

กรณ�ไม�ใช่�เส#นส�มผ�ส

น*ยามขอังเส#นส�มผ�สสามารถุก�บเส#นโค#งท��วไป ต#อังใช่#การเคลี่��อันเข#าใกลี่# โดยการพื้*จารณาพื้ฤต*กรรมขอังเส#นต�ดเม��อัจ�ด Q เคลี่��อันเข#าหาจ�ด P ตามเส#นโค#ง ด�งร-ปแลี่ะค4านวณหาลี่*ม*ตขอังความช่�นขอังเส#นต�ดเม��อั Q เคลี่��อันตามเส#นโค#งเข#าหาจ�ด P ถุ#าม�ลี่*ม*ต ค�าความช่�นขอังเส#นส�มผ�สท��จ�ด P จะเท�าก�บค�าลี่*ม*ต

P

Q

P

Q

เส#นต�ดเส#นส�มผ�ส เส#นส�มผ�ส

ตั�วอย่�างที่� 1 เส#นส�มผ�สโค#งพื้าราโบลี่า จงหาความช่�นขอังพื้าราโบลี่า ท��จ�ด P(2, 4) แลี่#วเข�ยนสมการเส#นส�มผ�สก�บพื้าราโบลี่าท��จ�ดน�&

2xy

ว ธีที่�า ลี่ากเส#นต�ดผ�านจ�ด P(2, 4) แลี่ะจ�ด Q(2+h, (2+h)2) แลี่#วหาความช่�นขอังเส#นต�ด PQ จากน�&นหาความช่�นขอังเส#นต�ดเม��อั Q เคลี่��อันตามเส#นโค#งเข#าใกลี่#จ�ด P

ความช่�นขอังเส#นต�ด h

hh

h

h

x

y 4442)2( 222

4

42

hh

hh

4)4(lim0

hh

ค�อัเส#นตรงท��ผ�านจ�ด P ท��ม�ความช่�นเท�าก�บ 4 ม�สมการเป)น

44

)2(44

xy

xyx

y y=x2

2 2+h

P(2,4)

Q(2+h,(2+h)2)

x=h

y=h2-4Tangent line

f (x0 + h) – f (x0)hh0

limน ย่าม ความช่�นแลี่ะเส#นส�มผ�ส (Slope and Tangent Line) ความช่�นขอังเส#นโค#ง )(xfy ท��จ�ด ))(,( 00 xfxP ค�อั

h

xfhxfm

h

)()(lim 00

0

เส#นส�มผ�สก�บเส#นโค#งท�� P ค�อัเส#นตรงท��ลี่ากผ�านจ�ด P ด#วยความช่�น m

ตั�วอย่�างที่� 2 ความช่�นแลี่ะเส#นส�มผ�สขอัง y = 1/x(ก ) จงหาความช่�นขอังโค#ง y = 1/x ท�� x = a(ข ) จ�ดใดม�ความช่�นเท�าก�บ -1/4(ค ) จะเก*ดอัะไรข(&นก�บเส#นส�มผ�สขอังโค#งท��จ�ด (a, 1/a) เม��อั a เปลี่��ยนแปลี่ง

ว ธีที่�า(ก ) xxf /1)( ความช่�นท�� (a, 1/a) ค�อั

20

0

00

1

)(

1lim

)(

)(1lim

11

lim)()(

lim

ahaa

haa

haa

h

haha

h

afhaf

h

h

hh

(ข ) 2,4

112

aa จ�ดท��ม�ความช่�น= -1/4 ค�อั (-2,-1/2),(2,1/2)

(ค ) ความช่�นจะเป)นลี่บเสมอัแลี่ะม�ค�ามากข(&นเม��อั a ม�ค�ามากข(&น