Liceo Scientifico Statale “G. Galilei” Adria (RO) · Presentazione Il Liceo Scientifico...
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Liceo Scientifico Statale “G. Galilei” Adria (RO) Gianpaolo Valente Progetto Nazionale Lauree Scientifiche: Matematica POLO 4
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Liceo Scientifico Statale
“G. Galilei” Adria (RO)
Gianpaolo Valente
Progetto Nazionale Lauree Scientifiche: Matematica
POLO 4
Il Progetto Nazionale Lauree Scientifiche
per la Matematica
al Liceo “G. Galilei” di Adria:
diario di un’esperienza avvincente
Gianpaolo Valente
Presentazione
Il Liceo Scientifico Statale “G. Galilei” di Adria e stato scelto per l’Anno Scolastico2005/2006 come scuola polo per il Progetto Nazionale Lauree Scientifiche per laMatematica.
Si tratta di un’iniziativa nazionale di notevole importanza, come e dimostra-to dagli attori in gioco: l’Ufficio Scolastico Regionale per il Veneto del Ministerodella Pubblica Istruzione, l’Universita degli Studi di Padova, e con l’apporto diConfindustria.
Lo scopo e rilanciare le iscrizioni ai corsi di laurea della Facolta di Scienze, agendofin dalle Scuole Superiori, per rimotivare i giovani nei confronti di queste discipline.Tale impegno risulta strategico per un Paese come il nostro, che ha raggiunto unalto grado di sviluppo scientifico e tecnologico.
Gli studenti del Liceo “G. Galilei” hanno risposto positivamente al Proget-to, aderendo in molti e con entusiasmo al laboratorio di matematica organizzatonell’Istituto.
A questi ragazzi va il mio piu vivo apprezzamento: hanno saputo avvalersi pie-namente di questa importante occasione di arricchimento per la loro formazioneculturale.
Un ringraziamento va ai docenti dell’Universita di Padova che hanno seguito ilavori del polo di Adria e in particolare ai dottori Andrea Giacobbe ed Olga Bernardi,che sono venuti nell’Istituto a condurre il laboratorio matematico. Sono riusciti acoinvolgere i ragazzi e a trasmettere il loro entusiasmo di giovani ricercatori.
E da considerare anche il valido contributo del gruppo di docenti della scuo-la che hanno seguito l’iniziativa, i professori Beatrice Napolitano, Matteo Nicoli eGianpaolo Valente.
Quest’ultimo, come coordinatore, ha raccolto il materiale prodotto in questaprimo anno del P.L.S. ad Adria, tenendo un diario della loro esperienza.
Il Dirigente Scolasticoprof. ssa Joelle Annibalini
Indice
Introduzione 7
1 L’insegnamento di Matematica e Fisica 8
2 Il P.L.S. al Liceo “G. Galilei” 92.1 Perche i sistemi dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 La progettazione didattica ed organizzativa del Laboratorio del P.L.S. 11
2.2.1 La dispensa preparatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Il ruolo del supporto informatico . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 La comunicazione per promuovere l’adesione degli studenti . . 172.2.4 Gli incontri preparatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 L’attuazione dei laboratori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 La fase finale: la verifica degli obiettivi raggiunti . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Tipologia e contenuti della prova finale . . . . . . . . . . . . . 22
3 Ricadute del P.L.S. sull’attivita curricolare 31
Conclusioni 33
Appendici i
A La dispensa preparatoria per i ragazzi iA.1 Perche proprio i sistemi dinamici? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiA.2 Che cos’e un sistema dinamico? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiA.3 Sistema dinamici discreti: il conto in banca . . . . . . . . . . . . . . iiiA.4 Sistema dinamici continui: esempi dalla fisica . . . . . . . . . . . . . v
A.4.1 Una palla lanciata verticalmente verso l’alto . . . . . . . . . . vA.4.2 L’oscillatore armonico semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
A.5 Altri esempi dalla fisica: sistemi dinamici continui lineari e non lineari viiA.5.1 Il diagramma nello spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . viiiA.5.2 Dimensione e linearita; dipendenza esplicita dal tempo. . . . . viii
A.6 Sistemi dinamici continui 1-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . ixA.6.1 L’approccio geometrico: interpretazione di un’equazione dif-
ferenziale come campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . xA.7 Analisi della stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiA.8 Sistemi dinamici lineari 1-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
A.8.1 La caduta di un grave nell’atmosfera . . . . . . . . . . . . . . xvA.8.2 La crescita di una popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi
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A.9 Ricerca degli zeri di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviiA.10 Come ottenere un sistema dinamico discreto da uno continuo e viceversa xix
A.10.1 Un esempio di soluzione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . xxiA.11 Il metodo delle fasi per l’oscillatore armonico lineare . . . . . . . . . xxii
A.11.1 Il ritratto di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiiA.11.2 L’approccio geometrico per sistemi in 2 dimensioni . . . . . . xxiii
A.12 Dipendenza da parametri: biforcazioni e catastrofi . . . . . . . . . . xxivA.13 Sistemi dinamici discreti e mappe 1-dimensionali . . . . . . . . . . . xxv
A.13.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvA.13.2 Alcune definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxviA.13.3 Analisi geometrica dell’iterazione di una funzione: il diagram-
ma a ragnatela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxviiA.13.4 Comportamento di un sistema lineare discreto 1-dimensionale xxviiiA.13.5 Sistemi dinamici discreti 1-dimensionale non lineari . . . . . . xxix
A.14 La nostra attivita di laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiA.14.1 L’equazione logistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxii
B I lavori dei ragazzi IB.1 Sistemi dinamici: discreti e continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIIB.2 Modelli matematici per la dinamica di una popolazione . . . . . . . . XVB.3 Love Affairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIIIB.4 Sull’effetto farfalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXXIB.5 Crescita cellule tumorali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXXIXB.6 Applicazioni di Feigenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XLIV
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Introduzione
In queste note intendo presentare l’esperienza condotta presso il Liceo ScientificoStatale “G. Galilei” di Adria nell’ambito del Progetto Nazionale Lauree Scientificheper la matematica, nell’anno scolastico 2005/2006.
Il 12 ottobre 2005 ricevetti dall’Ufficio Scolastico Regionale l’incarico di coordi-natore del gruppo di docenti che avrebbero partecipato alla prima annualita per ilpolo di Adria. Il gruppo comprendeva i colleghi professori Beatrice Napolitano eMatteo Nicoli.
Il Progetto Lauree Scientifiche rappresenta un’importante iniziativa curata dal-l’Ufficio Scolastico Regionale, realizzata unendo energie dal mondo della Scuola edell’Universita e col sostegno dell’Impresa, per rilanciare nei giovani l’interesse perle discipline scientifiche.
Potrebbe sembrare che tale opera risulti superflua per un Liceo Scientifico comeil nostro, in cui l’utenza che si iscrive e generalmente motivata nei confronti di questematerie.
Al contrario, anche nella nostra realta locale percepiamo un calo di motivazionedi molti ragazzi per lo studio delle scienze, che coincide con una diminuzione delleiscrizioni a tali percorsi universitari.
In questo contesto, e, a mio avviso, inevitabile ripensare al ruolo delle disciplinescientifiche “dure”, in particolare della Matematica e della Fisica. Per noi insegnanti,laureati in quest’area, forse e necessario fare un atto di umilta e non ritenere auto-matico il fatto che uno studente, seppure di Liceo Scientifico, debba appassionarsialla Matematica e alla Fisica.
In questo diario, presentando il Progetto Lauree Scientifiche ad Adria, intendoevidenziare come un’attivita integrativa, assolutamente nuova, abbia saputo cata-lizzare l’interesse e l’impegno volontario di un gruppo di studenti del nostro Liceo‘G. Galilei”.
Anche nella nostra scuola, rispettando le linee guida nazionali del progetto per laMatematica, e stato realizzato un laboratorio matematico, destinato ad un gruppovolontario di alunni, particolarmente motivati verso la disciplina. L’iniziativa hasuscitato curiosita ed entusiasmo, sollecitando le doti migliori dei nostri studenti.
Come docente coinvolto nel progetto, sono oggi consapevole che tale attivita haavuto ricadute sulla mia azione didattica complessiva.
Parlero in questo diario delle problematiche legate alla scelta degli argomenti,della necessita di pensare e strutturare il lavoro in laboratorio di Informatica, dicome sia stato utile rivedere in alcune parti la programmazione curricolare, peraffrontare argomenti che sono risultati poi utili non solo ai ragazzi direttamentecoinvolti nell’attivita pomeridiana, ma a tutta la classe in cui erano inseriti.
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Preziosi sono stati gli scambi professionali, il lavoro e le discussioni coi colleghiBeatrice Napolitano e Matteo Nicoli; ho potuto approfittare della visione della Ma-tematica del secondo (appassionato di analisi e teoria dei numeri) e dell’esperienza,conoscenza e capacita di comprendere i ragazzi della prima, che mi ha aiutato acommisurare l’approccio didattico alle esigenze e aspettative degli studenti.
Indispensabile e stata naturalmente la collaborazione coi giovani docenti ricer-catori dell’Universita di Padova, i dottori Andrea Giacobbe ed Olga Bernardi, chehanno partecipato con competenza e dedizione al progetto, guidando il laboratoriomatematico di Adria. Desidero ricordare i preziosi consigli dei professori FrancoCardin e Francesco Fasso, e naturalmente del coordinatore regionale del P.L.S. perla Matematica, prof. Benedetto Scimemi, che ci ha sempre incoraggiato nel nostrolavoro.
Come coordinatore locale, ho inoltre potuto apprezzare la competenza, pazienzae sollecitudine del prof. Paolo Jacolino dell’Ufficio Scolastico Regionale, su cui ab-biamo sempre potuto contare non solo per le questioni amministrative, ma ancheper il suo fattivo appoggio e sostegno.
Un sincero ringraziamento va al Dirigente Scolastico del Liceo Scientifico “G.Galilei”, prof. ssa Joelle Annibalini, a cui debbo il mio coinvolgimento nell’iniziativae che ha sempre appoggiato e creduto nell’impegno mio e dei colleghi del gruppo diAdria.
Un grazie particolare va infine ai nostri ragazzi che hanno dato vita, col loroentusiasmo, al nostro laboratorio matematico sui sistemi dinamici.
A tutti loro e dedicato questo libretto, che si conclude proprio con alcuni deilavori che hanno prodotto nell’ambito del progetto, raccolti nell’appendice B.
1 L’insegnamento di Matematica e Fisica
La necessita di rilanciare l’insegnamento della Matematica e della Fisica nella Scuo-la Superiore e un problema molto sentito in Italia da diversi anni. Nonostante lasituazione degli iscritti alle Facolta scientifiche “dure” sia peggiorata da una de-cina d’anni a questa parte, sarebbe sbagliato dire che non e stato fatto nulla perrispondere a questi bisogni.
Se e vero che nella Scuola liceale, pur essendo datati 1952, i programmi tradi-zionali di Matematica e Fisica sono sostanzialmente quelli della Riforma Gentile del1923, gia dagli anni Settanta ed Ottanta, nella Scuola Secondaria Superiore, si sonodiffuse varie sperimentazioni di tipo scientifico.
Nel 1985 venne iniziato dal Ministero della Pubblica Istruzione il Piano Nazio-nale per l’Informatica (P.N.I.) per l’aggiornamento degli insegnanti di Matematica
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e Fisica, al fine di introdurre l’Informatica nella Scuola. Vennero elaborati nuoviprogrammi di Matematica e Fisica, in cui (tranne nelle scuole tecniche ad indirizzoinformatico) si integrava l’insegnamento dell’Informatica. I nuovi programmi furonodapprima formulati nel 1985, poi rivisti con la C.M. n. 24 del 6 febbraio 1991 e laC.M. n. 615 del 27 settembre 1996, per il triennio dei Licei e il secondo bienniodell’Istituto Magistrale (oggi soppresso).
Gia dai primi anni novanta il Liceo Scientifico “G. Galilei” ha aderito al P.N.I.,sia per Matematica che per Fisica, arricchendo cosı la propria offerta formativa.
Anche oggi, la sperimentazione P.N.I. di Matematica, in particolare, riportabuoni successi in termini di iscritti.
2 Il P.L.S. al Liceo “G. Galilei”
Dopo aver ricevuto ed accettato dal Dirigente Scolastico l’incarico di partecipare alprogetto, il gruppo locale si e concentrato sulla scelta degli argomenti, oggetto delLaboratorio matematico. Ci eravamo dati questo compito in occasione delle dueriunioni organizzative di Settembre presso il Dipartimento di Matematica Pura edApplicata dell’Universita di Padova.
Dopo una presentazione dell’iniziativa da parte del coordinatore scientifico prof.Benedetto Scimemi e del responsabile per l’U.S.R. Preside prof. Paolo Jacolino,furono illustrate varie proposte da parte degli Universitari coinvolti nel progetto. Letematiche presentate spaziavano dalla Crittografia, alla Matematica per l’Economia(Ricerca operativa); dalla Psicologia della percezione, alla Matematica statistica estocastica.
Il denominatore comune di tutte, discusso dai partecipanti alle riunioni di Pa-dova, era quello di offrire ai ragazzi argomenti di lavoro che rappresentassero veri epropri problemi in cui i partecipanti ai laboratori potessero esercitare un ruolo daprotagonisti, fin dai primi incontri.
In sintesi, i laboratori di Matematica dovevano avere le seguenti caratteristiche:
a) essere rivolti a gruppi volontari di ragazzi, particolarmente motivati verso ladisciplina, delle classi Quarte o Quinte;
b) svolgersi in orario pomeridiano, al di fuori del normale impegno scolastico,in cinque incontri di tre ore ciascuno, da effettuare in un periodo temporalelimitato (dell’ordine di un mese, un mese e mezzo);
c) privilegiare modalita didattiche alternative alla tradizionale lezione frontale,in cui i ragazzi fossero protagonisti;
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d) richiedere un bagaglio teorico di cui gli studenti fossero gia in gran parte inpossesso, per limitare al massimo la necessita di istruirli con tecniche di lezionefrontale;
e) essere tali da promuovere la comunicazione ed il travaso di esperienze tra idiretti partecipanti e gli altri studenti delle classi coinvolte.
Il nostro gruppo concordo che uno degli argomenti che potevano risultare piuvicini agli interessi degli studenti ed essere piu affini ai nostri interessi erano i si-stemi dinamici. Si decise allora di contattare il prof. Franco Cardin, ordinario diFisica Matematica presso il Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata dell’U-niversita di Padova, proponendo1 per il P.L.S. del polo di Adria “lo studio di sistemidinamici semplici, che ammettano flussi 1- o al piu 2-dimensionali tali da costituire unamodellizzazione matematica nell’ambito della biologia, della fisica o della chimica. Inparticolare, l’esame di sistemi iterativi (discreti) e l’eventuale applicazione a fenomenicaotici o descrivibili tramite strutture frattali”.
Il prof. Franco Cardin, che aveva conosciuto il sottoscritto in occasione dell’e-same da contro-relatore di una tesi di laurea in Fisica Matematica della quale erostato correlatore, si dimostro disponibile ad aiutarci, facendoci conoscere due gio-vani e validi ricercatori, il dott. Giacobbe e la dott. ssa Bernardi, che insieme a noiavrebbero guidato i ragazzi di Adria nei laboratori pomeridiani.
2.1 Perche i sistemi dinamici
Fin da subito, discutendo coi colleghi, ero convinto che non solo era necessariorispondere ai requisiti esposti, ma che era importante motivare i nostri ragazzi apartecipare all’iniziativa.
La mia principale preoccupazione era quella di non ridurre il laboratorio di Ma-tematica ad una esperienza isolata, assolutamente slegata dalla normale program-mazione curricolare.
Speravo che i ragazzi si rendessero conto che avrebbero fatto qualcosa di alter-nativo, forse anche con una dimensione ludica, ma che i contenuti che proponevamopotevano essere utili per il loro corso di studi e per la loro formazione culturale.Avevo ben presente, infatti, i principali obiettivi formativi ed educativi descrittinel P.O.F. del nostro Istituto, specialmente “l’allargamento degli orizzonti socio-culturali; l’accrescimento globale delle capacita progettuali; lo sviluppo armonico del-la personalita, del senso della responsabilita, della coscienza critica; la capacita di
1Di seguito cito dal testo della lettera inviata al prof. Cardin, contattato dal nostro gruppo perla consulenza scientifica.
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valutare le situazioni e di prendere decisioni, soprattutto in riferimento alle sceltescolastiche e professionali.”
Le motivazioni scientifiche della scelta da noi effettuata, cosı come le abbiamoesposte ai ragazzi, si possono leggere a pag. ii, nel paragrafo A.1 della dispensa“Introduzione ai sistemi dinamici” che riporto in appendice a questo libretto.
Si tratta di alcune note preparatorie all’attivita, destinate ai ragazzi, curate dalgruppo locale, e messe a disposizione di tutti nel sito web del nostro Istituto2.
2.2 La progettazione didattica ed organizzativa del Labora-torio del P.L.S.
L’attivita progettuale per i laboratori del P.L.S. e avvenuta su due piani: uno scien-tifico ed uno didattico organizzativo. Il lavoro di coordinamento tra il gruppo localee la componente dell’Universita di Padova e stato per me avvincente, impegnati-vo ma facilitato dalla disponibilita, competenza e passione dimostrata da tutti ipartecipanti.
Cerchero in questo diario di sintetizzare i vari momenti di quella che potreichiamare avventura, la quale e stata per me non solo occasione di arricchimentoprofessionale, ma soprattutto umano; molte sono infatti le emozioni e i ricordi chevengono alla mia mente, ora che tento di trarre un bilancio di quanto e stato fatto.Tali sentimenti derivano dall’aver lavorato in squadra non solo nella fase progettualecon i membri locali ed universitari, ma dall’esperienza effettiva avuta con gli studenti.
Dopo il primo incontro a Padova col prof. Cardin in data 12 ottobre 2005, nelquale discutemmo delle aspettative che avevamo sul lavoro da condurre e sulla possi-bilita di avvicinare i ragazzi al mondo della Fisica matematica, gli aspetti scientificipresero forma con le proposte portate dal dott. Giacobbe nelle riunioni del 21 ottobree nell’ultimo incontro del 21 dicembre.
Nel frattempo, coi colleghi del gruppo locale, iniziammo ad esaminare in modopuntuale alcune questioni chiave, tra cui i pre-requisiti necessari e le modalita perpromuovere l’adesione degli studenti.
Nel piano di lavoro preparato per il Dirigente Scolastico, il gruppo locale aveva in-dividuato “cosa gli studenti dovevano conoscere e saper fare per svolgere proficuamentel’attivita:
1. La nozione di funzione reale di variabile reale f : R −→ R e le sue principaliproprieta.
2L’indirizzo e http://www.galileiadria.it.
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2. Cosa significa l’operazione di composizione di funzioni.
3. Il concetto di grafico di una funzione f : R −→ R.
4. Le Funzioni goniometriche.
5. La Funzione esponenziale.
6. Saper analizzare il cambiamento della natura qualitativa delle soluzioni di problemidi geometria piana, solida o analitica dipendenti da parametri.
7. La nozione di successione e di limite di una successione.
8. Il significato della seconda legge di Newton e la sua applicazione per lo studio disemplici sistemi dinamici, come l’oscillatore armonico semplice.
9. La nozione di condizione iniziale per la soluzione di un problema dinamico.
10. La nozione di funzione reale in piu variabili (mappa) da Rn −→ Rn per n = 2, 3.
11. La nozione di trasformazione lineare (nel piano ed eventualmente nello spazio) ela sua rappresentazione in termini di matrici.
12. La costruzione della tangente ad un punto del grafico di una funzione in terminidella funzione derivata.
13. I numeri complessi e la formula di Eulero.
14. L’Utilizzo di software matematico (e.g. DERIVE) e fondamenti di programmazio-ne.
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15. L’Utilizzo di software per la presentazione e condivisione dei risultati del progetto.”
Tali conoscenze ed abilita riguardano, tra gli altri, aspetti nodali dello sviluppodei programmi nelle classi Quarte e Quinte Liceo Scientifico.
Pur prevedendo una maggiore adesione di studenti dalle Quarte (sia ad ordina-mento tradizionale che P.N.I) e sperando nella partecipazione di alcuni ragazzi diQuinta, il gruppo locale scriveva nella progettazione: “l’argomento scelto (i sistemidinamici) si presta molto bene ad essere trattato secondo differenti livelli di comples-sita. Si intende allora dividere gli studenti in gruppi di lavoro ed affidare loro, dopoun’introduzione generale sull’importanza della nozione di mappa per lo studio di un si-stema dinamico, diversi compiti/attivita di approfondimento, sotto forma di problemi darisolvere. La suddivisione dovrebbe rispecchiare la provenienza (classe quarta o quinta,indirizzo tradizionale P.N.I.) e l’interesse dei ragazzi.”
Veniva anche fornita una possibile suddivisione in argomenti, che riportiamonella Tabella 1:
Classe Argomento4a Studio dell’iterazione di mappe e di sistemi dinamici discreti
(dinamica delle popolazioni): il modello logistico.4a P.N.I. Studio dell’iterazione di mappe nel piano (insiemi di Julia)5a Analisi del comportamento tipico di una funzione reale
di variabile reale col metodo grafico.5a P.N.I. Analisi della relazione tra sistemi dinamici continui e
sistemi discreti. Studio dei bacini di attrazione.
Tabella 1: Ipotesi di suddivisione per classi delle attivita per il laboratorio sui sistemidinamici.
La fase di preparazione prevista dalla progettazione prevedeva i seguenti mo-menti:
• stesura di una dispensa sui sistemi dinamici, di cui mi sono incaricato, da pre-sentare agli studenti prima dell’inizio del laboratorio pomeridiano;
• analisi degli strumenti informatici da adottare per l’attivita, esame e poten-ziamento delle risorse dell’Istituto;
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• predisposizione di iniziative di comunicazione del progetto per favorire l’ade-sione volontaria degli studenti;
• incontri preparatori per la formazione del gruppo di lavoro.
2.2.1 La dispensa preparatoria
Dopo aver analizzato la letteratura sui contenuti scelti ed alcuni precedenti lavori edesperienze didattiche sullo studio dei sistemi dinamici, ho curato una dispensa nellaquale ho cercato di inquadrare l’argomento nel bagaglio di conoscenze e competenzeche i nostri studenti sviluppano nel corso curricolare di Matematica e di Fisica.
In particolare, ho introdotto il metodo delle fasi per lo studio di un sistemadinamico, ricorrendo a concetti che fanno parte anche del programma di Fisica(fluidodinamica) e rivisto fenomeni studiati fin dalla classe terza, come evoluzionidi particolari sistemi dinamici.
Stimolato da una discussione avuta al primo incontro col prof. Cardin, sapendoche l’attivita del laboratorio si sarebbe concentrata sui sistemi dinamici discreti(teoria delle popolazioni), ho cercato di porre in evidenza le relazioni con i sistemidinamici continui. Nella dispensa e stato allora presentato il metodo delle tangentidi Newton per la ricerca degli zeri di una funzione come strumento per la costruzionedi un sistema dinamico. In questo modo, sono stati inquadrati, in una visione piugenerale, contenuti tipici del programma di Matematica P.N.I., a beneficio anche distudenti dell’indirizzo tradizionale o delle classi Quarte.
Essenziale per la stesura della dispensa e stata la collaborazione del gruppo locale,con il quale ho discusso, corretto e migliorato il lavoro, che alla fine e consistito inuna quarantina di pagine. Ci sono stati incontri e scambi informali, culminati nellariunione del 13 gennaio, nella quale la dispensa e stata esposta e revisionata. Preziosisono stati i suggerimenti dei colleghi, che avendo un’ottima conoscenza del livellodei nostri studenti e prevedendo le loro domande e perplessita davanti allo scritto,mi ha consentito di migliorare il materiale per sintesi e chiarezza.
2.2.2 Il ruolo del supporto informatico
La possibilita di fuire del supporto dell’Informatica, utilizzando programmi orientatialla Matematica e assolutamente fondamentale per la realizzazione di un laboratoriomatematico.
Questa terminologia potrebbe apparire contradditoria da un punto di vista logicoe metodologico. La Matematica e una scienza principalmente deduttiva; che sensoha allora accostarle il termine laboratorio, che e proprio del metodo sperimentale
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galileiano e, in generale, delle scienze naturali, in cui gioca un ruolo chiave l’aspettofenomenologico-osservativo?
Facendo anche riferimento ai suggerimenti metodologici contenuti nei program-mi di Matematica P.N.I., e un risultato ormai accettato e condiviso della ricercadidattica sulla Matematica, il valore irrinunciabile rappresentato dall’insegnamentoper problemi.
Il termine viene inteso nella sua accezione piu ampia, cioe come questioni chenon solo scaturiscono dallo studio dei fenomeni naturali o della vita quotidiana,ma anche dagli stessi problemi che nascono facendo matematica. Per questi, efondamentale che gli studenti possano fare esperienze e lavorare per congetture edipotesi: il sussidio informatico non solo libera dal fardello dei calcoli, ma consentedi effettuare verifiche, solo fino a pochi anni fa, impensabili.
Sulla questione riporto quanto scritto nel paragrafo A.13, pag. xxv, delle dispen-se preparatorie: “In effetti, lo studio delle mappe e interessante in se, poiche le mappecostituiscono un formidabile laboratorio per analizzare fenomeni caotici. Le mappe so-no capaci di comportamenti molto piu imprevedibili delle equazioni differenziali; negliultimi 25 anni si sono fatti straordinari passi avanti nel loro studio, grazie soprattuttoalla crescente disponibilita dei computer e della grafica computerizzata. Forse vi potrasorprendere il fatto che oggi, grazie all’attrezzatura informatica del nostro Istituto, sa-remmo in grado di ripercorrere con relativa facilita di calcolo alcune delle piu affascinantiscoperte sul caos ottenute da scienziati come May, Lorenz od Henon.”
Per il nostro laboratorio, ci siamo subito resi conto che era necessario disporredi uno strumento in grado di realizzare la ripetizione dell’azione di funzioni su spazinumerici, per un numero molto grande di volte.
Durante la normale attivita curricolare, gli studenti (del P.N.I e non solo), im-parano ad utilizzare due principali software orientati alla Matematica: Cabri -Geometre e Derive. Il primo e la scelta piu diffusa ed avanzata, a disposizionenel mercato, per lo studio dinamico della geometria. Il secondo e un utile assi-stente, con interfaccia amichevole per l’utente, per fare matematica col calcolatore.Nelle ultime versioni DERIVE, nato essenzialmente come tutti i C.A.S. (Compu-ter Algebra System)3 per fare calcolo simbolico, implementa anche un linguaggio diprogrammazione che parzialmente estende quello funzionale. Per queste ragioni eil primo candidato che abbiamo preso in considerazione per svolgere l’iterazione dimappe e funzioni.
Bisogna ammettere che l’utilizzo di questo o quel software e, in qualche misura,frutto di preferenze personali, spesso dettate dall’abitudine. Nonostante il fatto chei membri universitari del gruppo conoscessero bene Mathematica (il dott. Giacob-
3Si tratta di programmi che consentono al calcolatore di svolgere calcoli simbolici e maneggiarein modo esatto espressioni come
√2 o ln 5, ad esempio.
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be era quest’anno titolare del corso di Matematica computazione per la laurea inMatematica in cui si utilizza il software Mathematica), e che io stesso abbia utiliz-zato tale software dal 1991, ci siamo posti seriamente il problema su una possibilealternativa. Ne e scaturito un documento, col quale abbiamo proposto l’acquisto dialcune licenze di Mathematica per il nostro Istituto.
Nonostante tale documento potrebbe essere poco interessante per i non addet-ti ai lavori4, ritengo tuttavia che tocchi una questione rilevante: la questione delruolo della programmazione nell’insegnamento curricolare della Matematica con lostrumento informatico5.
Lo riporto allora qui di seguito: “ I sistemi di computer algebra hanno rivoluzionato l’u-so del calcolatore nella ricerca e stanno attualmente estendendo tale rivoluzione al curriculumdi studi universitario e pre-universitario. Nella nostra scuola e ormai da anni utilizzato profi-cuamente il software DERIVE nella versione 6 per l’insegnamento di Matematica curricolare eP.N.I. Tale programma ha come vantaggio principale un’interfaccia utente molto amichevole,che dovrebbe consentire ai ragazzi di utilizzare le funzionalita di tale assistente di matematica,anche senza imparare comandi specifici del suo linguaggio. Tali comandi vengono introdottitramite l’interfaccia. Cio nonostante, molto spesso il docente deve perdere tempo ad illustrareagli studenti l’utilizzo di moltissimi pulsanti e comandi a tendina, che per di piu tendono avariare da una versione alla successiva (si pensi ad esempio alla dichiarazione della modalitadi utilizzo delle variabili tra la versione 5 e la versione 6). Effettivamente, pero, il maggiore eprincipale ostacolo di DERIVE (solo in parte superato nelle ultime uscite) e, a nostro avviso, lalimitatezza e rigidita del linguaggio di programmazione in esso implementato. Tale linguaggioha una struttura principalmente funzionale; sono stati recentemente introdotte istruzioni pro-cedurali semplici (i cicli). Tuttavia, risulta evidente come per lo studente si tratti di utilizzareun mezzo con due logiche assolutamente differenti e contrapposte: se da un lato (e per lamaggior parte del tempo) si pretende che il DERIVE scriva per noi le istruzioni, nel momentoin cui vogliamo automatizzare una procedura, siamo costretti a convincere lo studente chedeve imparare dei comandi, che per lo piu risultano rigidi e, in qualche modo, nascosti. Taliprocedure risultano poi molto complicate o addirittura non implementabili quando si vuole au-tomatizzare l’ambiente grafico, che in DERIVE e separato dall’ambiente di calcolo algebrico.L’unica lodevole eccezione e il comando SLIDER BAR, che tuttavia risulta ancora poco stabilee talvolta poco affidabile.
Per contrasto, il software MATHEMATICA della Wolfram Research si presenta come un
sistema completamente integrato in cui il calcolo interattivo (numerico e simbolico, presente
anche in DERIVE) si integra perfettamente con strumenti di visualizzazione avanzata e con un
ambiente completo di programmazione. Cio che conta di piu, e, inoltre, che tale ambiente di
4Mi scuso con loro, e li invito a pazientare oppure a saltare la parte riprodotta in caratteripiccoli.
5Bisogna ricordare che i programmi del P.N.I., nonostante siano validissimi ancor oggi, fu-rono stilati in un momento in cui il panorama della diffusione dell’informatica e dei PC eracompletamente diverso da quello attuale; allora si era appena agli albori!
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programmazione offre allo studente la possibilita di avvicinarsi alla programmazione utilizzando
indifferentemente i 3 principali paradigmi (funzionale, procedurale e ad oggetti) ad un livello
molto vicino all’utente. Certamente si debbono imparare dei comandi e delle istruzioni, ma
per svolgere quello che fa DERIVE, questi risultano molto semplici, e per di piu rimangono
gli stessi nelle varie versioni, costituendo essi stessi a buon titolo un linguaggio. L’acquisto
di MATHEMATICA consentirebbe di risolvere il problema dell’integrazione tra Matematica
curricolare e programmazione (esigenza fortemente sentita dalla nostra utenza) e di offrire un
prodotto molto diffuso nel mondo accademico e tecnico, che lo studente ritrovera nei suoi
studi all’Universita. Si segnalano inoltre le potenzialita di Mathematica anche per la computer
graphics e la possibilita di redigere documenti interattivi anche in formato HTML. Inoltre,
rispetto a DERIVE, che risulta sostanzialmente un valido prodotto di nicchia (principalmente
educational), il MATHEMATICA offre una sterminata bibliografia di testi, in cui viene esposto
il suo utilizzo nelle scienze fisico - matematiche ed in applicazioni ingegneristiche. Segnaliamo
tra tutti solo un titolo: COMPUTER SCIENCE with MATHEMATICA di Roman E. Maeder,
Cambridge University Press, (2000) ISBN: 0-521-66395-4.”
Tale richiesta fu appoggiata dai colleghi del Dipartimento di Matematica e Fisicae sostenuta dal Dirigente Scolastico. Venne approvata dal Consiglio di Istituto esoddisfatta in tempo per l’avvio del laboratorio.
2.2.3 La comunicazione per promuovere l’adesione degli studenti
Presupposto essenziale della realizzazione effettiva del Progetto era, naturalmente,l’adesione degli studenti all’attivita. Con lo scopo di acquisire visibilita all’internodel vasto panorama di iniziative del Liceo, realizzammo il 16 febbraio 2006 un in-contro di presentazione presso l’aula magna di via Aldo Moro, destinato ai circa 160studenti delle classi Quarte e Quinte.
Divisi in due turni, nelle due ultime ore di lezione della mattina, i ragazzi hannoassistito alla presentazione del P.L.S., da parte dei docenti universitari dottori Gia-cobbe e Bernardi. In quell’occasione, si sono fatti conoscere i giovani ricercatori cheavrebbero partecipato ai Laboratori pomeridiani, assieme al gruppo locale.
La raccolta delle adesioni e avvenuta in modo, per certi versi, sorprendente.Hanno inizialmente risposto 26 studenti, tutti, tranne una ragazza, appartenentialle classi Quarte del nostro Liceo (5 di 4a A, 2 di 4a B, 6 di 4a C, 12 di 4a D, 1di 5a C). La deludente risposta delle classi Quinte, forse, era dovuta al fatto chei ragazzi dell’ultimo anno di corso erano, in gran parte, proiettati verso l’impegnorappresentato dall’Esame di Stato. Ho verificato poi a posteriori, discutendo coicolleghi del P.L.S. di altre scuole polo, che tale tendenza si era manifestata anchenei loro Istituti.
Sul versante opposto, va sottolineato come, forse per effetto delle dinamiche di
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gruppo, avevano aderito all’iniziativa anche studenti che avevano rendimenti mediin matematica e che, forse per curiosita od emulazione, avevano deciso di parte-cipare. Dico fin da ora che alcuni si sono rivelati delle vere sorprese (in positivo,naturalmente).
2.2.4 Gli incontri preparatori
Come previsto dal nostro piano di lavoro, abbiamo effettuato in orario pomeridianodue incontri preparatori, di carattere prettamente organizzativo, che abbiamo svoltoalla sola presenza della componente locale, nei pomeriggi del 1 e del 6 marzo. Conl’intento di favorire la partecipazione di tutti, e tenendo conto delle classi di appar-tenenza dei partecipanti, abbiamo riaggiustato i nostri programmi di lavoro. Tral’altro, negli incontri, abbiamo presentato le potenzialita del nuovo software (Mathe-matica) acquistato dall’Istituto e abbiamo avvertito i ragazzi che avrebbero potutolavorare con esso o con gli altri supporti informatici a disposizione della Scuola, inparticolare DERIVE e le calcolatrici grafico-simboliche TEXAS TI-89.
Nella fase preparatoria era stato elaborato un manifesto per l’iniziativa che ser-viva ad identificare le aule in cui si svolgevano le riunioni e che riportiamo nellafigura 1.
Soggetto del manifesto era la famosa (per i studiosi di sistemi dinamici) farfalladi Lorenz6, di cui parliamo nella dispensa nel paragrafo A.1, e che ho scelto pureper la copertina di questo libretto.
Tutte le informazioni sugli incontri, cosı come le dispense preparatorie, furonoinserite nel sito web di Istituto.
Sono stati approntati poi dei cartellini di riconoscimento, coi nomi e cognomidei partecipanti ai laboratori. Si trattava di piccoli segni, ma che avevano tuttil’obiettivo di costruire l’appartenenza ad un gruppo, in questo caso di apprendistimatematici.
2.3 L’attuazione dei laboratori
Spiego ora la metodologia e l’organizzazione dei laboratori, che si sono svolti nelperiodo 13 marzo - 12 aprile 2006, strutturati in cinque appuntamenti pomeridianidi tre ore ciascuno.
Nel primo incontro, dopo una breve introduzione comune sull’oggetto dell’at-
6Si tratta della rielaborazione di una figura da me ottenuta al calcolatore col software Mathe-matica 5.2 acquistato dal nostro Istituto. Ringrazio il collega prof. Tieghi, che cura il corso digrafica nel nostro Istituto, per la realizzazione del manifesto.
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Figura 1: Il manifesto del P.L.S. per la Matematica del Liceo “Galilei”.
tivita, si sono formati due aule di lavoro per affrontare le tematiche proposte,utilizzando i seguenti supporti ed ausilı:
A. 1): Il software simbolico Mathematica (docenti impegnati: Giacobbe, Bernardi,Valente). Hanno aderito a tale gruppo i ragazzi che frequentavano i corsi consperimentazione P.N.I. e, in generale, i piu interessati all’Informatica.
A. 2): Le calcolatrici Texas TI-89 (docenti impegnati: Nicoli e Napolitano). Han-no partecipato principalmente i ragazzi del Liceo scientifico ad ordinamentotradizionale.
In entrambe le aule gli studenti sono stati divisi in gruppi di lavoro.Nell’ultima mezz’ora, si e fatto un primo incontro comune per favorire un primo
scambio delle impressioni/esperienze da parte dei ragazzi.Potendo sfruttare una maggiore immediatezza di utilizzo, il secondo gruppo (di
circa 10 persone) si e potuto concentrare da subito su alcuni risultati generali suisistemi dinamici lineari ed affini. Il primo gruppo, invece, ha familiarizzato colnuovo programma di calcolo simbolico. Va sottolineato che gli studenti gia cono-scevano il software DERIVE e che si era insistito con loro nel fornire un metododi utilizzo in cui venivano evidenziate anche le istruzioni specifiche del linguaggio(e.g.: SOLVE([eqn1,eqn2],[var1,var2], Real) direttamente da linea di comando oltreche utilizzando l’aiuto dei menu a tendina) e i primi rudimenti di programmazionefunzionale.
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Tale approccio e stato impiegato anche nel secondo incontro. Si e completato illavoro sulle popolazioni non interagenti con le stesse modalita della prima riunione,in particolare nell’aula 1 e stato effettuato lo studio della dipendenza dai parametridel modello logistico col software Mathematica. Nell’aula 2 si e effettuato lo stu-dio di una successione tramite il diagramma a ragnatela, utilizzando la funzionepredisposta sulle calcolatrici Texas TI-89.
Dalla seconda parte della seconda riunione abbiamo lavorato tutti assieme: iragazzi delle due aule hanno iniziato a confrontare e discutere i risultati ottenuti.Da quel momento, i ragazzi hanno accettato tutti di lavorare in un’unica aula,con l’utilizzo del software Mathematica. Sono state eseguite le proposte di lavorosviluppate nei notebooks7 dai dott. Giacobbe e Bernardi. Spontaneamente, si sonoformati nuovi gruppi misti, con ragazzi che hanno lavorato nelle Aule 1 e 2 deiprecedenti incontri.
Le ragioni psicologiche dell’approccio seguito sono chiare: avevamo costruitodue gruppi, uno piu sicuro sull’aspetto informatico, l’altro che non poteva soffriredi complessi di inferiorita, disponendo prima degli altri di un certo bagaglio teori-co, sviluppato in modo piu rapido con le calcolatrici grafico-simboliche nell’attivitacondotta dai proff. Napolitano e Nicoli.
L’obiettivo raggiunto e stato quello di stimolare lo scambio di esperienze e/ocompetenze acquisite; l’analisi dei modelli proposti veniva condotto sfruttando lenozioni generali apprese dagli uni e le competenze informatiche degli altri.
Solo nell’ultima parte del terzo incontro, il dott. Giacobbe ha guidato una di-scussione sui risultati ottenuti dai ragazzi. Io, invece, ho iniziato ad accennare allarelazione tra sistemi dinamici discreti e sistemi continui, richiamando i contenutidelle note preparatorie.
Gli ultimi due appuntamenti sono stati dedicati alle tematiche piu interessanti,che hanno portato a definire il comportamento caotico di un sistema dinamico.
I ragazzi sono stati in grado di lavorare autonomamente, all’interno dei lorogruppi, per rispondere alle domande poste nei fogli di lavoro di Mathematica prepa-rati dai dott. Giacobbe e Bernardi. A beneficio dei lettori ricapitolo gli argomentioggetto dei vari laboratori nella Tabella 2.
2.4 La fase finale: la verifica degli obiettivi raggiunti
Rispetto alle tematiche scientifiche che avevamo sperato di affrontare in fase diprogettazione, ci siamo resi conto di aver dovuto ridimensionare le nostre attese.Cio nonostante, tutti abbiamo avuto chiara la sensazione, specialmente negli ultimi
7Fogli di lavoro di Mathematica.
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Data incontro Argomento13 marzo Studio di popolazioni isolate. Successioni definite per
ricorrenza: sistemi dinamici lineari ed affini.20 marzo Studio di popolazioni isolate:
modello di Verhlust (anche con variazioni stagionali).successioni definite per ricorrenza con diagrammia ragnatela: il caso non lineare.
31 marzo Studio di popolazioni interagenti: modello predatore–predacon termine logistico sulle prede. Sistemi dinamicinon lineari in dimensione > 1.
3 aprile Studio della mappa logistica.Progettazione di un programma in Mathematicaper i diagrammi a ragnatela.
12 aprile Comportamento caotico della mappa logistica.Analisi del diagramma di biforcazione.
Tabella 2: Scansione dei contenuti dei laboratori del P.L.S..
incontri, che avevamo raggiunto l’obiettivo di formare un gruppo affiatato e coeso,che affrontava con entusiasmo il lavoro. In particolare i ragazzi erano in grado di:
• studiare un problema autonomamente;
• confrontare varie strategie e strumenti informatici (pro e contro);
• formare congetture e porre spontaneamente domande volte ad una generaliz-zazione delle soluzioni ottenute;
• formarsi un’idea propria, anche se talvolta euristica, di nozioni anche complesse(dinamica caotica).
A questo punto eravamo pronti per la sfida finale.Abbiamo richiesto ai nostri studenti, lasciando un tempo congruo con gli impe-
gni della parte finale dell’anno scolastico, di approfondire autonomamente i temi chepiu li avevano interessati, magari scegliendo tra quelli proposti nelle dispense. Vasottolineato che abbiamo suggerito loro di leggerle solo dopo aver completato l’atti-vita sperimentale. Abbiamo inoltre incoraggiato i ragazzi a formare dei gruppi perstudiare gli argomenti scelti e stendere delle relazioni, che potevano anche riferirsidirettamente all’attivita svolta in laboratorio. Tale compito era richiesto al fine delriconoscimento del laboratorio per l’attribuzione dei crediti formativi di Istituto.
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L’appendice B e dedicata ad alcuni lavori fatti dai ragazzi; in positivo va notatoche alcuni di loro si sono impegnati ad approfondire temi, prendendo spunto dallaletteratura citata nelle dispense. Con il sostegno del Dirigente Scolastico, il nostroIstituto ha infatti acquistato alcune copie di volumi scientifici divulgativi, in partico-lare le opere [5, 8, 10, 11] che appaiono nella bibliografia della dispensa preparatoria(App. A, pag. xxxvi).
Le dispense preparatorie presentate nell’appendice A, invece, sono state consi-derate una sorta di programma in vista di una verifica finale per l’attribuzione deicrediti universitari. Il coordinatore scientifico di Padova, prof. Scimemi, mi avevainfatti informato sulla possibilita, offerta agli aderenti al P.L.S., di fruire di creditiUniversitari spendibili nel caso di iscrizione al Corso di laurea in Matematica diPadova. Mi aveva anche affidato l’incarico di preparare una prova finale sotto formadi test a scelta multipla.
Per dare alcuni numeri: dei 26 studenti partecipanti ai laboratori, 17 hannodeciso di affrontare la prova finale e l’hanno superata come illustrero tra breve. Laquasi totalita, 22, ha risposto presentando (in maggioranza in gruppo) gli elaboratiper l’assegnazione dei crediti di Istituto.
2.4.1 Tipologia e contenuti della prova finale
La prova finale di accertamento per l’attribuzione dei crediti universitari e stataeffettuata il 22 maggio 2006. Ho costruito un test sfruttando le potenzialita di unprogramma freeware, reperibile facilmente in internet8, denominato QuizFaber.
I 17 ragazzi che hanno partecipato alla prova hanno risposto ai quesiti del testdirettamente da PC, nell’aula di Informatica del Liceo. Il sistema forniva le do-mande in modo casuale, per minimizzare le possibilita di comunicazione tra le variepostazioni. Al termine della prova, il programma ha automaticamente valutato lerisposte corrette.
Il test a scelta multipla era composto delle seguenti 25 domande9, per cui eraprevisto un tempo massimo a disposizione di 59 minuti:
1. Un sistema dinamico e definito da:
R1: un vettore di stato ed una legge di evoluzione temporale per il vettore di stato
R2: un vettore che rappresenta le condizioni iniziali del sistema ed una successionedi trasformazioni di tale vettore
8Programma prelevabile dal sito dell’autore: http://www.lucagalli.net.9Forniamo in grassetto l’etichetta della risposta corretta tra le quattro proposte R1, R2, R3 ed
R4.
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R3: qualsiasi cosa che evolva nel tempo
R4: un insieme di vettori di stato del sistema
2. Supponete di prendere in prestito da un amico 100 Euro, al tasso di interesse annuodel 4%, senza spese. Per poter diminuire il debito dovrete restituire una sommaannua superiore a
R1: 12 Euro
R2: 4 Euro
R3: 20 Euro
R4: 3 Euro
3. Il sistema dinamico x = sinx
R1: e lineare, continuo, 1- dimensionale
R2: e non lineare, continuo, 1- dimensionale
R3: e lineare, discreto, 2- dimensionale
R4: e non lineare, continuo, 2- dimensionale
4. Il modello di Verlhust o logistico
R1: e un modello che descrive la crescita di una popolazione in un ambiente conrisorse illimitate
R2: e un modello che descrive la crescita di una popolazione in un ambiente conrisorse limitate
R3: e un modello lineare di crescita di una popolazione
R4: descrive una popolazione la cui crescita e illimitata
5. Il sistema dinamico continuo di equazione x = 2x− 1
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R1: ammette come unico punto di equilibrio x = 1/2
R2: ammette due punti di equilibrio, tra cui x = 1/2
R3: non ammette punti di equilibrio
R4: ammette come unico punto di equilibrio x = 1
6. La formula
x0 = 5xn+1 = 5xn
2 − 3xn
R1: definisce un sistema dinamico continuo
R2: definisce un sistema dinamico discreto non lineare
R3: non definisce un sistema dinamico
R4: definisce un sistema dinamico discreto lineare
7. La famosa figura talvolta chiamata albero di fico
Figura 2: Figura dell’albero di fico inserita alla domanda 7 della prova finale per i creditiuniversitari.
R1: rappresenta il diagramma di biforcazione della mappa logistica
R2: rappresenta la mappa logistica
R3: descrive il comportamento del modello di Malthus
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R4: descrive un sistema dinamico continuo
8. Considera il seguente sistema dinamico discreto xn+1 = f(xn) =2xn
1 + 3xn:
R1: Esso ammette come punti di equilibrio x = 0 e x = 1/2
R2: Esso ammette come punti di equilibrio x = 0 e x = 1/3
R3: Esso ammette come punti di equilibrio x = 1/3 e x = 1/2
R4: Non ammette punti di equilibrio poiche e singolare per x = −1/3
9. Il modello che descrive l’andamento di due popolazioni non isolate ed interagenti(tipo lepri-volpi)
R1: e lineare continuo, 2-dimensionale
R2: e non lineare, 2-dimensionale
R3: e lineare, 2-dimensionale
R4: e non lineare 1-dimensionale
10. Qual e il carattere della successione definita per ricorrenza nel modo seguentex0 = 3xn+1 = −xn
, n ∈ N:
R1: e irregolare (oscillante), di periodo 2
R2: e irregolare (oscillante) di periodo 3
R3: e asintoticamente stabile
R4: e asintoticamente instabile
11. Un sistema dinamico continuo 1 - dimensionale e definito da un’equazione di evolu-zione del tipo x = f(x),
R1: dove il primo membro rappresenta il ritmo di variazione della variabile di statox(t)
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R2: dove il primo membro si riferisce all’accelerazione del sistema dinamico
R3: dove il primo membro indica la velocita del sistema dinamico
R4: dove il primo membro e lo stato iniziale del sistema
12. Fissato il vettore di stato iniziale, il ritratto di fase per un oscillatore armonicosmorzato e costituito da
R1: una ellisse nel piano (x, v)
R2: una spirale nel piano (x, v)
R3: non esiste
R4: una retta nel piano (x, v)
13. Un conto in banca puo essere considerato un sistema dinamico assumendo comevettore di stato
R1: il saldo e la capitalizzazione
R2: la capitalizzazione
R3: il tasso di interesse
R4: il saldo (vettore 1-dimensionale)
14. L’oscillatore armonico semplice e un sistema dinamico
R1: periodico, continuo, 1-dimensionale
R2: periodico, discreto, 2-dimensionale
R3: periodico, continuo, 2-dimensionale
R4: lineare discreto
15. Un punto di biforcazione o catastrofe per un sistema dinamico (dipendente daparametri) corrisponde a
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R1: una situazione in cui il sistema si distrugge
R2: un valore dei parametri in corrispondenza del quale vi e un cambiamento re-pentino del comportamento del sistema
R3: una situazione in cui il sistema si divide (biforca) in due parti distinte
R4: un punto di equilibrio stabile o instabile per il sistema
16. Il metodo delle tangenti di Newton
R1: permette di costruire un sistema dinamico discreto a partire da una funzionecontinua
R2: serve a determinare gli asintoti di una funzione
R3: serve a trovare i punti di massimo o minimo di una funzione
R4: non ha alcuna relazione coi sistemi dinamici
17. Che relazione c’e tra la dinamica come parte della fisica e i sistemi dinamici?
R1: Nessuna
R2: I sistemi dinamici sono tipi particolari di sistemi fisici
R3: Lo studio del moto dei corpi definisce particolari sistemi dinamici
R4: Sono la stessa cosa
18. Il diagramma a ragnatela viene utilizzato per
R1: analizzare il comportamento asintotico di un sistema dinamico discreto
R2: analizzare il comportamento asintotico di un sistema dinamico continuo
R3: studiare solo i sistemi dinamici non lineari
R4: studiare solo i sistemi dinamici continui
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19. L’orbita di un sistema dinamico discreto generata da un certo stato iniziale
R1: e l’insieme delle immagini ottenute dall’iterazione della mappa di evoluzione
R2: e definibile solo per sistemi dinamici di tipo astronomico
R3: ha periodo pari all’ordine del sistema dinamico
R4: e continua
20. Che differenza c’e tra un sistema dinamico discreto ed uno continuo?
R1: un sistema discreto e costituito da sottosistemi, un sistema continuo non puoessere suddiviso in parti distinte
R2: il vettore di stato di un sistema discreto e noto solo in istanti di tempo deter-minati, separati uno dall’altro
R3: in un sistema continuo il tempo scorre con continuita, in uno discreto procedea passi successivi, in modo che l’evoluzione del vettore di stato e definita dauna successione
R4: un sistema continuo cambia lentamente, uno discreto varia a salti
21. Il modello di Malthus per la crescita di una popolazione e descritto dall’equazionexn+1 = xn + kxn,
R1: dove k > 0 se il tasso di mortalita annuo supera quello di natalita
R2: dove k < 0 se il tasso di mortalita annuo supera quello di natalita
R3: dove k dipende dalla popolazione iniziale
R4: dove k non puo mai essere nullo
22. La seguente figura rappresenta il ritratto di fase per un sistema di due popolazioniinteragenti, che vivono in un ambiente con risorse limitate
R1: Tale andamento e analogo a quello di un oscillatore armonico lineare
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Figura 3: Figura inserita alla domanda 22 della prova finale per i crediti universitari.
R2: Tale andamento e analogo a quello di un pendolo semplice
R3: Tale andamento e analogo a quello di un oscillatore smorzato
R4: Tale andamento e simile a quello del modello logistico
23. Gli zeri del campo vettoriale x = sinx
R1: sono interpretabili come punti di equilibrio stabile del sistema dinamico
R2: sono interpretabili come punti di equilibrio instabile del sistema dinamico
R3: sono punti critici del sistema dinamico
R4: sono punti di equilibrio del sistema dinamico
24. Il ritratto di fase per un oscillatore armonico semplice e costituito da
R1: una famiglia di ellissi nel piano (x, v)
R2: una famiglia di parabole nel piano (x, v)
R3: una famiglia di iperboli nel piano (x, v)
R4: una famiglia di circonferenze nel piano (x, v)
25. Il sistema dinamico di equazione xn+1 = 2xn − 1
R1: ammette come unico punto di equilibrio x = 1/2
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R2: ammette due punti di equilibrio, tra cui x = 1/2
R3: non ammette punti di equilibrio
R4: ammette come unico punto di equilibrio x = 1
Il risultato della prova, commentato a caldo al termine della stessa, e statogiudicato sorprendente dai ragazzi. I partecipanti si sono meravigliati di essere statiin grado di rispondere correttamente a buona parte dei quesiti utilizzando le ideeche avevano interiorizzato durante la loro pratica di laboratorio. Infatti, molti diloro ammettevano di non aver avuto tempo di effettuare uno studio puntuale deicontenuti della dispensa. Le risposte date alle singole domande sono presentatenella Figura 4.
Figura 4: Riepilogo delle risposte fornite ai quesiti del test.
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3 Ricadute del P.L.S. sull’attivita curricolare
Concludo questo diario accennando alle positive ricadute del Progetto Lauree Scien-tifiche sulla mia attivita didattica curricolare.
Il P.L.S., per la sua particolare valenza, mi ha invitato a riflettere su alcunequestioni, che ritengo fondamentali, relative all’insegnamento di Matematica e Fisica(classe A049) nella Scuola Superiore.
La prima e contenuta in una domanda che ogni insegnante certamente si ponenel suo lavoro: come posso interessare i ragazzi ai contenuti che propongo?
In effetti, pero, sono convinto che questa domanda assuma una prospettiva edun’urgenza diversa se cio che viene proposto ai ragazzi e su base volontaria.
Per un’attivita integrativa come il P.L.S., cio ha significato, come ho descritto,l’individuazione di tematiche che fossero contemporaneamente accattivanti e convalenza scientifica; ha determinato la comunicazione del valore della nostra propostaper l’adesione degli studenti, ed un lavoro puntuale di programmazione per garantirela continuita della partecipazione del gruppo.
Nelle riunioni fatte col Comitato scientifico a Padova, il coordinatore regionaleprof. Scimemi, ricordava spesso che il momento piu delicato sarebbe stato il secondoincontro di laboratorio. Era fondamentale non solo che gli studenti scegliessero divenire al P.L.S., ma che pure ci ritornassero.
Devo affermare, con un pizzico di orgoglio, che abbiamo superato questa prova.I docenti dell’Universita, dottori Giacobbe e Bernardi, sono riusciti ad instaurare unottimo rapporto coi ragazzi. Hanno lavorato con gli studenti, avendo il coraggio diuscire dalla tradizionale prospettiva della didattica universitaria, che come e noto,avviene “ex cathedra”. Non solo: hanno comunicato la loro passione di giovaniricercatori ai nostri ragazzi, che, incontro dopo incontro, hanno saputo sempre piuapprezzarli dal punto di vista scientifico ed umano.
Credo che, in questa situazione, siano contenuti tutti gli “ingredienti” per in-teressare i ragazzi: validita della proposta, fiducia dei ragazzi in chi la presentae capacita di comunicazione. Specialmente al triennio e infatti, secondo me, mol-to utile presentare il percorso didattico che si intende attuare e motivarlo, anchenell’ottica dei futuri impegni universitari.
Per quanto attiene al modo di intendere l’insegnamento della Matematica, a mioparere e fondamentale, specialmente a livello di Scuola superiore, non tralasciaregli aspetti applicativi della disciplina, e i collegamenti disciplinari con le Scienzefenomenologiche, in particolare con la Fisica.
Anche in questo il P.L.S. si e dimostrato molto utile: un conto, infatti, e presen-tare applicazioni come semplici corollari, magari in modo frettoloso, un altro e indi-viduare ambiti applicativi vitali e collocarli nella loro giusta dimensione scientifica.
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Fondamentale, per questo, e stato l’apporto al Progetto del mondo universitario, cheha portato nelle nostre Scuole se non la ricerca, certamente lo spirito di ricercatoriappassionati del loro lavoro.
Il secondo problema, su cui il P.L.S. ha fornito alcune indicazioni, e la questionedell’insegnamento dell’Informatica abbinata alla Matematica.
Se da un lato ritengo auspicabile che il legislatore preveda l’insegnamento del-l’Informatica come disciplina a se stante nei nuovi curricola anche liceali, certamentebisogna ripensare come intendere l’utilizzo delle nuove tecnologie per l’insegnamentodi Matematica e Fisica.
Aggiungo alcune considerazioni generali sull’insegnamento dell’Informatica, fatteda semplice fruitore, certamente non da culture, della materia.
Realizzare l’insegnamento dell’Informatica nella Scuola superiore e, a mio av-viso, complicato. Si tratta di una disciplina in rapidissima evoluzione, per cui glistessi paradigmi di programmazione sono mutati in modo radicale negli ultimi anni.Basta pensare che, ad esempio, quando furono stilati i programmi del P.N.I. i PCfunzionavano con un sistema operativo10 chiamato DOS; al giorno d’oggi, invece, lapiattaforma MicroSoft si e allineata da qualche anno all’interfaccia amichevole delmondo Macintosh, per cui i nuovi PC utilizzano come sistema operativo Windows.
Per questo, il moderno paradigma di programmazione e ormai divenuta la pro-grammazione ad oggetti. In questo contesto, insegnare i rudimenti della programma-zione procedurale, magari il PASCAL, risulta obsoleto. Quello che e piu grave, inol-tre, e che il prodotto11 di un programma in Pascal e un file eseguibile, assolutamenteprivo di quell’interfaccia grafica alla quale i ragazzi sono ormai abituati.
Pertanto hanno preso sempre piu piede, nell’insegnamento della MatematicaP.N.I., i pacchetti applicativi, in particolare CABRI e DERIVE. Essi divengonoutilissimi mediatori nell’insegnamento della disciplina, avendo pero un’interfacciautente moderna ed amichevole.
In questa situazione, che si potrebbe definire in continua evoluzione, si innestaanche la rapida diffusione dei programmi Open source, e di un sistema operativoalternativo, chiamato Linux. Dopo che Linux si e ampiamente diffuso in Italia inambiente accademico e delle ricerca, si inizia a discutere sul suo impiego nelle Scuole.
Ecco allora come il P.L.S. sia stato un utile banco di prova per studiare l’utilizzodi nuovi ausilı informatici per l’insegnamento della Matematica ai nostri ragazzi.Abbiamo verificato come un programma leader, utilizzato nella ricerca in moltissimiDipartimenti di Matematica e di Fisica a livello internazionale, il Mathematica dellaWolfram Research, potesse essere insegnato anche a ragazzi della Scuola superiore
10Per i non addetti ai lavori, potremmo scrivere, con relativo abuso di linguaggio, parlavano ilDOS.
11L’output, direbbe un informatico.
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con esperienza nell’uso di Derive. Come spiegato a pag. 16, tale programma potrebbeessere un valido ausilio per l’introduzione dei rudimenti dei diversi paradigmi diprogrammazione, procedurale, funzionale e ad oggetti.
Il terzo elemento di influenza del P.L.S. sull’attivita didattica curricolare e statala scelta di alcuni contenuti, o il diverso taglio con cui proporli nelle classi.
Per citare i piu importanti, lo studio delle successioni e l’analisi del loro compor-tamento asintotico diviene certamente piu stimolante se si affrontano alcuni esempi,presi dalla dinamica delle popolazioni o dall’economia. Ho visto che trattare il pro-blema dell’ammortamento di un debito contratto o l’andamento di un conto correntecon interessi e spese fisse risulta un buon tema di discussione per gli studenti, ancheper coloro normalmente poco motivati nei confronti della matematica. Alcuni ra-gazzi hanno addirittura approfondito la questione, discutendone anche coi genitoriche lavorano in banca.
D’altro canto, per Fisica, approfondire i collegamenti tra la dinamica dei fluidi(anche secondo il punto di vista euleriano) e lo spazio delle fasi di un sistema dinami-co, consente di rivedere ed inserire in un quadro concettuale coerente la dinamica disistemi, quali l’oscillatore armonico semplice ed il pendolo semplice. Questo approc-cio, normalmente non sviluppato nei testi, consente di trattare in modo adeguatonella classe Quinta i fenomeni transitori in elettrodinamica, come carica e scarica diun condensatore od extracorrenti di apertura e chiusura di un circuito.
Conclusioni
In questo diario ho tentato di tracciare un bilancio della nostra attivita nell’ambitodel Progetto Lauree Scientifiche per la Matematica al Liceo “G. Galilei” di Adria.
Mi rendo conto che forse non e possibile raccontare tutte le sollecitazioni in-tellettuali, le emozioni, l’impegno e le soddisfazioni che sono scaturite da questaesperienza.
Per questo ringrazio il gruppo di colleghi e gli universitari con cui ho avuto lafortuna di collaborare, ma soprattutto i nostri giovani partecipanti, che sono statidavvero i protagonisti dell’iniziativa.
Il mio auspicio e che molti di loro prendano in considerazione la possibilita, cheabbiamo voluto rappresentare con la farfalla di Lorenz, di spiccare il volo versogli studi scientifici e, in particolare, si avvicinino alla matematica, per studiarla osemplicemente utilizzarla, per la loro professione.
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Appendici
A La dispensa preparatoria per i ragazzi
Introduzione ai sistemi dinamicia cura del gruppo locale del Liceo “G. Galilei”
Sommario
In queste note presentiamo alcune idee sui sistemi dinamici che ti potranno risultareutili per affrontare il laboratorio di matematica per il Progetto Lauree Scientifiche.Lo scopo del progetto e convincerti che fare matematica non e solo un semplice eser-cizio intellettuale, destinato a poche persone; e molto di piu. Al giorno d’oggi, taledisciplina risulta essenziale per una comprensione profonda della realta; ragionare inlinguaggio matematico consente di descrivere e studiare moltissimi fenomeni, dallafisica all’ingegneria, dalla biologia all’economia. La potenza della descrizione mate-matica della realta diviene evidente ogni qual volta la teoria diviene predittiva. Infisica fondamentale vi sono molti esempi di cio, tra cui la scoperta dei bosoni vettoriW e Z che valse a Carlo Rubbia il premio Nobel per la Fisica. Piu semplicemente, chitra noi non vorrebbe essere in grado di predire terremoti o inondazioni disastrose?
Abbiamo scelto di parlare di sistemi dinamici, di dinamica deterministica e caoti-ca, poiche siamo convinti che sara possibile ragionare insieme su questioni interessan-ti e delicate come queste, che riteniamo intellettualmente stimolanti. In particolare,vorremmo esaminare se una descrizione matematica della realta consenta comun-que di conoscere in anticipo l’evoluzione temporale di un sistema, noto il suo statoiniziale.
Al termine della nostra attivita di laboratorio, speriamo vorrai rendere partecipidella tua esperienza i tuoi compagni di classe.
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A.1 Perche proprio i sistemi dinamici?
Al giorno d’oggi la dinamica e un argomento interdisciplinare, anche se essa eraoriginariamente una parte della fisica, e come tale tu l’hai studiata nel terzo e quartoanno del Liceo Scientifico.
La dinamica si occupa di tutto cio che e soggetto ad un cambiamento, trattasistemi che evolvono nel tempo. Per stabilire se il sistema in questione si disponeall’equilibrio, ripete il proprio comportamento in cicli o fa qualcosa di piu complicato,e necessaria la dinamica.
Esistono due tipi di sistemi dinamici: quelli la cui evoluzione e descritta da unavariabile tempo continua, e quelli per cui il cambiamento avviene in tappe, divisel’una dall’altra da intervalli di tempo finiti. I primi sono rappresentati da equazionidifferenziali (equazioni che hanno come incognite funzioni e/o derivate di funzioni),i secondi vengono studiati attraverso l’azione ripetuta (detta iterazione) di mappe,dette anche equazioni alle differenze.
In questo laboratorio ci occuperemo di questioni matematiche connesse allostudio della dinamica.
In effetti, fu proprio un matematico, Poincare, che per primo, con un approcciogeometrico, intuı la possibilita dell’insorgere del caos, cioe il fatto che un sistema, inparticolari condizioni, dimostri un comportamento aperiodico dipendente in modosensibile dalle condizioni iniziali, e tale da rendere pertanto impossibile qualsiasiprevisione a lungo termine. L’idea di caos rimase in secondo piano per tutta la primameta del ‘900, fino a che, con l’avvento dei primi calcolatori, gia dagli anni ‘50 fupossibile fare esperienze con equazioni che prima di allora erano inaffrontabili. Neglianni ’60 gli studi di Lorenz [1] sui moti convettivi nell’atmosfera portarono all’ormaiben nota conoscenza sulla impossibilita di predire il tempo atmosferico al di la dipochi giorni. Lorenz fu il primo a rendersi conto che se le soluzioni caotiche delle sueequazioni venivano rappresentate in 3 dimensioni, esse si disponevano su un insiemedi punti a forma di farfalla12; il caos aveva quindi una sua struttura geometrica,che oggi chiameremmo frattale. Anche persone poco appassionate di matematicarisultano attratte dalla infinita regolarita di schemi che appare nei frattali. In realta,caos e frattali sono una parte di un argomento piu esteso noto oggi col nome didinamica. Gli anni del boom per lo studio del caos furono gli anni ‘70 dello scorsosecolo. Nacquero teorie sull’insorgere della turbolenza nei fluidi (Ruelle e Takens);si scoprirono esempi di caos nelle mappe iterate che nascono nella dinamica dellepopolazioni in biologia [3] (May), poi un fisico (Feigenbaum) scoprı che esistono certeleggi universali che governano la transizione di un sistema da un comportamentoregolare ad uno caotico. Successivamente, Mandelbrot codifico e rese popolari i
12E proprio la figura che abbiamo scelto per il manifesto del P.L.S. per il nostro Istituto.
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frattali; con essi produsse bellissimi esempi di grafica computerizzata [5] e dimostrocome potessero venire impiegati in una grande varieta di situazioni.
I sistemi dinamici quindi rappresentano un terreno ideale nel quale anche noipossiamo fare esperienze di matematica, aiutati anche dal calcolatore e da opportunisoftwares orientati alla matematica13.
In questa dispensa desideriamo richiamarti alla memoria alcune conoscenze chehai certamente acquisito nel corso dei tuoi studi. Cercheremo tuttavia di riordi-narle; ti invitiamo a segnalarci eventuali imprecisioni o semplicemente aspetti chevorresti ampliati o approfonditi. Dove possibile, cercheremo (anche col tuo aiuto)di completarli coi riferimenti ai tuoi testi in adozione e di fornirti una bibliografiaessenziale.
A.2 Che cos’e un sistema dinamico?
Come possiamo definire un sistema dinamico? Un modo potrebbe essere quello diaffermare che un sistema dinamico e una funzione che ha un certo modo di com-portarsi, una sua “condotta”14. Potremmo anche affermare che un sistema dinamicosa sempre quello che sta per fare. Direte che le definizioni date finora sono vaghe:in effetti cio e dovuto al fatto che, almeno in linea di principio, qualsiasi cosa evol-va puo essere pensata come un sistema dinamico. Cercheremo allora di illustraredegli esempi che vi possono essere familiari, attirando la vostra attenzione sugli ele-menti fondamentali che costituiscono un sistema dinamico. Anticipiamo che sonoessenzialmente due:
a): Un vettore di stato che descrive completamente lo stato del sistema.
b): Una funzione, cioe una legge, che ci dica, dato lo stato del sistema in un certoistante, quale sara lo stato del sistema negli istanti di tempo successivi.
A.3 Sistema dinamici discreti: il conto in banca
Consideriamo il caso del vostro conto in banca. Se ci pensate, lo stato di questosistema dinamico e determinato da un solo numero, il valore del saldo, oggi espressoin Euro. Diremo allora che il vettore di stato e 1-dimensionale, od anche, che e unvettore ad una sola componente. Per conoscere lo stato del vostro conto in banca epoi necessario conoscere la regola con cui tale stato cambia col tempo. Supponiamo
13Proveremo in particolare ad utilizzare anche il software Mathematica 5.2; con esso uno di noi(G.V.) ha ottenuto la famosa farfalla di Lorenz del nostro manifesto.
14In lingua inglese diremmo una funzione con una certa “attitude”.
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che la capitalizzazione degli interessi del vostro conto avvenga a scadenza annuale15.E chiaro che per questo sistema il tempo deve essere considerato una variabile di-screta, cioe una successione di istanti, separati l’uno dall’altro da un intervallo di unanno. Noto l’interesse annuo del nostro conto, diciamolo r%, e facile scrivere comela funzione di evoluzione agisce sullo stato. Indicando con xk ≡ x(k), k ∈ N, il saldoall’istante k, abbiamo subito il saldo all’istante successivo:
xk+1 =(1 +
r
100
)xk . (1)
Quindi, per completare la descrizione del sistema, oltre all’equazione (1), serve lacondizione iniziale del conto, quella relativa all’istante t = 0, che indicheremo con:
x0 = D , (2)
dove avrete capito che D e il vostro deposito iniziale.In questo semplice esempio e facile calcolare l’ammontare del saldo alla fine
dell’n-esimo anno. Sara sufficiente iterare (cioe ripetere) l’azione della funzione dievoluzione (1) a partire dallo stato inziale (2); si ottiene:
x1 =(1 +
r
100
)D ;
x2 =(1 +
r
100
)x1 =
(1 +
r
100
)2
D ;
x3 =(1 +
r
100
)x2 =
(1 +
r
100
)3
D ;
. . . . . .
xn =(1 +
r
100
)n
D ; (3)
Avrete riconosciuto che in questo modo i saldi xi sono una successione definita perricorrenza16, e che l’ultima espressione ottenuta fornisce la soluzione dell’equazionedi evoluzione del nostro conto in banca.Esercizio 1: Ricavate la soluzione per il saldo del vostro conto in banca, suppo-nendo, oltre alle ipotesi appena introdotte (interesse annuo percentuale pari ad r,capitale iniziale pari a D) che ogni anno siate in grado di depositare una sommapari a b euro, frutto dei vostri risparmi.Esercizio 2: Discutete una situazione simile al caso precedente, nella quale il vostroconto in banca parte in rosso. Bastera porre D < 0 per studiare un piano diammortamento del vostro debito.
15Nel nostro esempio, per semplicita non teniamo conto delle spese, del bancomat, delle carte dicredito, delle imposte ecc.
16Vedi il paragrafo A.13.2 oppure il tuo libro di testo L. Lamberti, L. Mareu, A. Nanni, Corsodi Matematica vol. 1A, parag. 2.12, pag. 52.
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A.4 Sistema dinamici continui: esempi dalla fisica
I conti in banca sono esempi tipici di sistemi dinamici in cui il tempo procede a passi,in modo discreto. Tuttavia, molti sistemi dinamici sono descritti meglio supponendoche il tempo trascorra in modo continuo. E il caso dei sistemi della fisica classica, tracui, una palla lanciata verticalmente verso l’alto e l’oscillatore armonico semplice.
A.4.1 Una palla lanciata verticalmente verso l’alto
Il suo stato ad un certo istante e in questo caso descritto da una coppia di numerireali, che costituiscono un vettore 2-dimensionale. Si tratta dell’altezza h (ad esem-pio) dal suolo e della componente della velocita in direzione verticale v della palla,che assumiamo come positiva se essa sta allontanandosi da terra.
Supponendo che voi conosciate da quale altezza h(0) lanciate la palla e conquale velocita iniziale v(0), ora e evidente che non ha senso chiedersi cosa avvieneall’istante successivo v(1), poiche la variabile tempo qui scorre in modo continuo.La fisica allora ci viene in aiuto, definendo i concetti di velocita istantanea v(t) = ve accelerazione istantanea a(t) = a.
Grazie ad essi, possiamo scrivere17 v = h e a = v, da cui la legge che regola ilsistema dinamico e:
h = vv = −g
h(0) = h0
v(0) = v0, (4)
dove g = 9, 8 ms−2 e il ben noto valore per l’accelerazione di gravita. Sempre dallaFisica, conosciamo la soluzione dell’equazione di evoluzione, data da:
h(t) = h0 + v0t− 1
2gt2 ,
v(t) = v0 − gt .(5)
Esercizio 3: Rappresentate nel piano cartesiano il luogo di punti descritto dalleequazioni parametriche (5) considerando x1 = h per l’asse delle ascisse e x2 = v perl’asse delle ordinate. Di che curva si tratta?
17Per una spiegazione matematica si veda il tuo libro di testo L. Lamberti, L. Mareu, A. Nanni,Corso di Matematica vol. 3A.
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A.4.2 L’oscillatore armonico semplice
Vogliamo ora ricordare uno dei sistemi dinamici piu importanti per la fisica18: sitratta dell’oscillatore armonico semplice. Consideriamo una massa m, appoggiatasu un piano orizzontale, privo di attrito, ed attaccata ad una parete da una mollaideale, di costante elastica k. Supponiamo che quando la coordinata orizzontale x enulla, la molla risulti a riposo.
Figura 5: L’oscillatore armonico semplice.
Se il blocco viene spostato verso destra rispetto alla sua posizione di equilibrio(x > 0), la molla risultando allungata, lo richiama verso sinistra. Viceversa, se ilblocco e posto a sinistra della sua posizione di equilibrio (x < 0), allora la molla ecompressa e spinge il blocco verso destra. In entrambi i casi possiamo scrivere lacomponente lungo l’asse x della forza dovuta alla molla: Fx = −kx. Dalla secondalegge della dinamica, possiamo ricavare la componente dell’accelerazione lungo x:
ax = − k
mx. Indicando con v = ax il ritmo di variazione della velocita e con x = v
la velocita, otteniamo l’analogo delle equazioni di evoluzione ottenute per la palla
nel parag. A.4.1; posto ω2 = − k
msi ha, infatti:
x = vv = −ω2x
x(0) = x0
v(0) = v0, (6)
Anche in questo caso sono note le soluzioni di queste equazioni19:
x(t) = x0 cos ωt +v0
ωsin ωt ,
v(t) = v0 cos ωt− x0ω sin ωt .(7)
18Dal corso di fisica avrete visto come gli stessi atomi possono, in molti casi, essere schematizzaticome degli oscillatori armonici lineari. Va anche ricordato che l’oscillatore armonico e uno deipochi sistemi la cui descrizione quantistica ammette una soluzione analitica esatta, che non fa usodi metodi perturbativi.
19I ragazzi del Quinto anno potranno facilmente verificarne la correttezza.
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A.5 Altri esempi dalla fisica: sistemi dinamici continui li-neari e non lineari
Considerate una particella di massa m, connessa da una molla ideale di lunghezzatrascurabile e costante elastica k all’origine di un sistema di riferimento, e in motolungo l’asse x soggetta ad una forza di attrito viscoso linearmente proporzionale allasua velocita. E facile rendersi conto che la seconda legge della dinamica ~F = m~a,una volta proiettata lungo l’asse x diventa: −γvx − kx = max. Se indichiamo conx e x rispettivamente le componenti della velocita istantanea vx e dell’accelerazioneistantanea ax, otteniamo:
mx + γx + kx = 0 ; (8)
tale equazione si dice differenziale ordinaria del secondo ordine, poiche contiene come
incognite la funzione x(t) e le sue derivate x(t) =dx
dte x(t) =
d2x
dt2, tutte dipendenti
dal tempo t, pensato come variabile continua.Pensate ora ad un pendolo semplice; si tratta di una particella di massa m,
connessa da un filo inestensibile di massa trascurabile e lungo L ad un punto O, edin grado di muoversi in un piano verticale, soggetta alla forza peso ~P = m~g ed allatensione ~T della fune. Proiettando la seconda legge della dinamica lungo un versoretangente τ alla traiettoria della particella stessa, indicato con x l’angolo che il filoforma con la verticale, si ottiene l’equazione: −mg sin x = maτ . Ricordando cheaτ = Lx si ricava l’equazione:
x +g
Lsin x = 0 . (9)
Qual e la differenza tra le equazioni (8) e (9)? Per coglierla e utile rappresentarlegeometricamente grazie ad un semplice espediente: introduciamo due nuove funzionix1 = x(t) e x2 = x(t); ricordando20 che x2 = x(t), otteniamo la seguente formaequivalente per l’oscillatore armonico smorzato:
x1 = x2
x2 = − γ
mx2 − k
mx1
, (10)
per il pendolo semplice invece si ha:
x1 = x2
x2 = − g
Lsin x1
. (11)
20Costruendo il grafico Gv della velocita in funzione del tempo, e facile rendersi conto che l’acce-lerazione e costruita, o meglio, derivata da tale grafico. Infatti, l’accelerazione ad un certo istantet coincide con la pendenza della retta tangente a Gv nel punto di coordinate (t, v(t)).
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Il sistema (10) e detto lineare, poiche tutte le equazioni di destra appaiono allapotenza 1, mentre il sistema (11) e detto nonlineare. Normalmente, il pendolosemplice viene affrontato al Liceo introducendo l’approssimazione di piccolo angolo
x. Dal limite fondamentale21 limx→0sin x
x= 1 si deduce che, per piccoli angoli x
(espressi in radianti) e lecito sostituire sin x con x ed ottenere l’equazione del pendololinearizzata. Il difetto di tale trattazione e che descrive le piccole oscillazioni delpendolo attorno alla posizione di equilibrio. Non e tuttavia in grado di fornire unatrattazione di moti nei quali la massa m raggiunga la sommita della sua traiettoria.In realta il pendolo semplice puo essere risolto analiticamente in modo esatto (lovedrete all’Universita). Tuttavia deve esserci una via piu semplice ... dopo tutto efacile descrivere il moto di un pendolo: a bassa energia si hanno oscillazioni avantied indietro, mentre ad alta energia possono esserci volteggi per il punto piu alto.
A.5.1 Il diagramma nello spazio delle fasi
L’idea base e abbastanza semplice: supponiamo di conoscere una soluzione del si-stema pendolo per una particolare condizione iniziale22. Tale soluzione sarebbecostituita da una coppia di funzioni x1(t) e x2(t) che rappresentano la posizione ela velocita del pendolo ad ogni istante successivo. Se rappresentiamo in uno spazioastratto, detto Spazio delle fasi tali coppie (x1, x2) di valori dipendenti dal parame-tro tempo t, otterremo una particolare traiettoria nello spazio delle fasi. E facileanche rendersi conto che tale spazio e completamente riempito di traiettorie, poicheciascun punto puo rappresentare una condizione iniziale e quindi l’inizio di un motopossibile.
In realta l’importanza dell’utilizzo dello spazio delle fasi e che vedremo come,dato il sistema, sia possibile disegnare le traiettorie e da queste trarre informazionisulla natura della soluzione dell’evoluzione.
A.5.2 Dimensione e linearita; dipendenza esplicita dal tempo.
Osserviamo infine che gli esempi (10) e (11), il primo lineare e il secondo non lineare,sono entrambi 2-dimensionali, in quanto lo spazio delle fasi e descritto da coppie di
21I ragazzi di Quinta avranno certamente gia parlato della questione. I ragazzi di Quarta pro-babilmente avranno riflettuto sul fatto che, in una circonferenza di raggio unitario, se un angolo alcentro x viene misurato in radianti, allora esso fornisce anche la lunghezza dell’arco corrispondente.Tale valore si confonde con la misura della corda intercettata da x se l’angolo al centro e moltopiccolo.
22Per condizione iniziale intendiamo lo stato iniziale rappresentato dal vettore 2-dimensionale(x1(0), x2(0)).
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numeri reali (posizione e velocita della particella). Un ultimo esempio particolar-mente istruttivo e quella dell’oscillatore armonico forzato; si tratta di una situazionesimile a (8), in cui e presente una forza che, dall’esterno, stimola il sistema; nel casoperiodico si ha:
mx + γx + kx = F cos Ωt . (12)
Anche in questo caso si puo ottenere una descrizione nello spazio delle fasi, al prezzodell’introduzione di una nuova funzione x3 = Ωt. Il corrispondente sistema (dettonon autonomo) diventa:
x1 = x2
x2 = − γ
mx2 − k
mx1 +
F
mx3
x3 = Ω
, (13)
In questo modo la traiettoria nello spazio delle fasi (questa volta 3–dimensionale),risulterebbe non dipendere dal tempo. Ora le condizioni iniziali sono tre numeri x,x e t, necessari a predire il futuro dal presente.
Ma a cosa e dovuto il vantaggio dei sistemi lineari su quelli non lineari? I sistemilineari possono essere divisi in parti; ciascuna parte puo essere risolta separatamentee le soluzioni possono essere combinate per avere la risposta finale. Tuttavia, quandoparti di un sistema interferiscono o cooperano o competono23, nascono interazioninon lineari. In Fisica la non linearita e vitale nel funzionamento di un laser, nellaformazione della turbolenza in un fluido, o nelle superconduttivita in una giunzioneJosephson.
Durante il Liceo tu hai studiato o studierai, per la maggior parte, sistemi li-neari. In ottica ondulatoria ed in elettromagnetismo hai piu volte sentito parlare diprincipio di sovrapposizione degli effetti. Il fondamento matematico di tale principiorisiede nella linearita dei sistemi dinamici che descrivono i fenomeni elettromagnetici.Vedremo che sistemi lineari in n = 1 dimensioni manifestano crescita o decadimentoo equilibrio. Sono necessari sistemi lineari in almeno n = 2 dimensioni per avereoscillazioni, come vedremo nel parag. A.11.
Anticipiamo anche che, nel caso discreto di mappe iterate, vedremo pure casinon lineari, che evidenzieranno fenomeni ancor piu interessanti.
A.6 Sistemi dinamici continui 1-dimensionali
Consideriamo il sistema dinamico descritto dalla seguente equazione differenziale:
x = f(x) , (14)
23Cio avviene anche in dinamica delle popolazioni, quando due specie, di tipo preda-predatorevivono in uno stesso territorio; studieremo tale situazione nel nostro laboratorio.
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in cui x(t) e una funzione a valori reali del tempo t, e f(x) e una funzione liscia(i.e. continua e derivabile quanto si vuole) a valori reali di x. Tale sistema dinamicoviene detto 1-dimensionale. Per evitare confusioni, si ricordi che per noi la parolasistema verra intesa sempre nel senso di sistema dinamico. Pensiamo inoltre che ilnostro sistema sia autonomo, cioe che la funzione f(x) non dipenda esplicitamentedal tempo.
A.6.1 L’approccio geometrico: interpretazione di un’equazione differen-ziale come campo vettoriale
Cerchiamo ora di condurre per mano il lettore verso un’interpretazione geometricadell’equazione (14); all’inizio forse qualcuno avra l’impressione si tratti di una co-struzione artificiosa. In realta, siamo convinti che se il nostro lettore avra un po’di pazienza, dopo poco si rendera conto dei vantaggi di tale costruzione. Questoe uno di quei casi in cui un disegno e molto piu utile di una formula per capirecome vanno le cose (nel nostro caso, quali siano le caratteristiche della soluzione delnostro sistema). Illustriamo questo fatto con un semplice esempio: consideriamocome funzione f(x) la funzione non lineare sin x. Studiamo cioe il sistema
x = sin x . (15)
In effetti il nostro esempio e motivato dal fatto che si tratta di uno dei pochi casinon lineari che possono essere risolti direttamente; la soluzione x(t) che corrispondealla condizione iniziale x = x0 per t = 0 e abbastanza complicata:
t = ln
∣∣∣∣csc x0 + cot x0
csc x + cot x
∣∣∣∣ ; (16)
certamente, tale soluzione e di interpretazione non immediata. L’abbiamo scrittanon per far spaventare il nostro lettore, ma per cercare di convincerlo che forse valela pena che continui a leggere le nostre note e vedere che c’e una via piu conveniente(che si applica anche nei casi in cui non e affatto immediato o addirittura impossibilericavare l’analogo di (16)).
Pensiamo allora a t come al tempo, ad x come la posizione di una immaginariaparticella in moto lungo l’asse reale omonimo all’istante t, ad x come la velocitadi tale particella al medesimo istante. In questo caso diremo che l’equazione (15)fornisce un campo vettoriale sulla retta: esso determina infatti il vettore velocita x inogni punto x. Per avere un’idea del campo vettoriale, possiamo allora fare il graficodi x in funzione di x, e tracciare delle frecce sull’asse delle x per rappresentare ilvettore velocita in ciascun punto x. Naturalmente, le frecce punteranno verso destraquando x > 0 e verso sinistra quando x < 0.
x
Figura 6: Esempio di rappresentazione del sistema dinamico 1-dimensionale x = sin x.
Lo stesso campo vettoriale puo essere introdotto anche con un’analogia che civiene dalla fisica: pensate ad un fluido ideale in regime stazionario, che scorre lungol’asse x con una velocita che varia da punto a punto, secondo la legge (15). Nei puntiin cui la velocita si annulla, non c’e flusso; tali punti sono detti allora punti fissi peril campo vettoriale24. E facile rendersi conto che nel nostro caso si hanno due tipi dipunti fissi: i punti fissi stabili (detti anche attrattori o pozzi), e i punti fissi instabili(detti anche repulsori o sorgenti); la differenza diviene manifesta guardando al versodelle frecce nella figura 6.
Adesso che abbiamo a disposizione questa visione geometrica o fisica del sistema,possiamo capire la natura delle soluzioni di (15). Bastera pensare alla posizioneiniziale x0 di una particella di fluido ed immaginare come essa sia trascinata dallacorrente descritta dal nostro campo vettoriale. Se all’inizio la nostra particella havelocita positiva, cioe se si ha per t = 0 la condizione x > 0, allora si sposta adestra e per tempi lunghi (diremo asintoticamente) si avvicina al piu vicino puntofisso stabile. Allo stesso modo, se a t = 0 si ha x < 0, la particella si avvicina al piuvicino punto fisso stabile alla sua sinistra. Se invece x = 0, allora la particella restanella posizione x. La forma qualitativa delle soluzioni del sistema dinamico dato,corrispondente a diverse condizioni iniziali e riassunta nella figura 7.
Tale ragionamento puo naturalmente essere esteso a qualsiasi sistema del primoordine con campo delle velocita f(x). Il fluido immaginario e detto fluido di fase el’asse delle x, lo spazio delle fasi. Il flusso va verso destra se f(x) > 0, verso sinistrase f(x) < 0. Per trovare la soluzione di (14) a partire dalla condizione iniziale x0,basta porre una particella immaginaria (che diremo punto di fase) in x0 e guardarecome viene trasportata dalla corrente. Al passare del tempo, il punto fase si muovelungo l’asse x secondo la funzione x(t), che diremo traiettoria con punto base x0.
Una figura come la (7), che mostra tutte le traiettorie qualitativamente differentidel sistema, verra detta ritratto di fase. L’aspetto del ritratto di fase e controllatodai punti fissi del campo vettoriale x∗, definiti dalla condizione f(x∗) = 0. In termi-ni della equazione differenziale di partenza, tali punti fissi rappresentano soluzioni
24Vedremo, nel caso di sistema dinamico discreto, la definizione di punto fisso per un’equazionedi evoluzione nel parag. A.13.2.
xi
Figura 7: Ritratto di fase per il sistema dinamico nonlineare di Fig. 6.
2 4 t
-2 Π
-
3 Π
2
-Π
-
Π
2
Π
2
Π
3 Π
2
2 Π
x
all’equilibrio, poiche se all’inizio la particella si trova in x = x∗, allora restera semprein tale posizione: x(t) = x∗ , ∀t > 0.
Un punto di equilibrio si dice stabile se perturbazioni sufficientemente piccole apartire dallo stesso tendono a smorzarsi nel tempo. Viceversa, gli equilibri insta-bili sono tali per cui, col passare del tempo, tali perturbazioni divengono sempremaggiori. Notiamo che la definizione appena data ha una natura locale, poiche siriferisce a perturbazioni abbastanza piccole. Se le perturbazioni a partire da unpunto di equilibrio tendono comunque a smorzarsi, indipendentemente da quantograndi siano, allora il punto di equilibrio si dira globalmente stabile.
A.7 Analisi della stabilita
Dobbiamo ammettere che l’analisi geometrica che abbiamo appena cercato di esporrefornisce solo un buon quadro qualitativo dell’andamento di un sistema dinamico.Non ci dice ad esempio, l’istante in cui la velocita e maggiore, oppure la scala ditempo caratteristica in cui avviene un fenomeno di crescita o di calo, come quellodescritto nel ritratto di fase della Fig. 7.
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Tuttavia, con semplici ragionamenti che fanno uso delle derivate, e possibilecapire come vanno le cose25.
Consideriamo un punto fisso x∗ per il campo vettoriale f(x), definito, comeabbiamo visto, dalla condizione f(x∗) = 0. Ci chiediamo se e possibile capire dal-l’andamento della Fig. 6 se tale punto fisso e stabile oppure instabile per il sistema.Seguendo l’analogia idrodinamica che abbiamo spiegato, forse vi siete accorti chenelle vicinanze di un pozzo (punto fisso stabile, pallino nero in figura) il grafico edecrescente, mentre vicino ad una sorgente (punto fisso instabile, pallino bianco infigura) il grafico e crescente. Da cio segue subito che in tali punti fissi, la derivataprima di f(x) e rispettivamente negativa o positiva26.
Questa informazione puo essere utilizzata per studiare il comportamento dellasoluzione dell’equazione (14) nelle vicinanze27 di un suo punto fisso x∗. Indichiamocon z = x − x∗ una piccola perturbazione attorno a x∗; se deriviamo rispetto altempo otteniamo subito28
z =dz
dt=
d(x− x∗)dt
= x .
Allora l’equazione (14) puo essere scritta come:
z = x = f(x) = f(x∗ + z) . (17)
A questo punto facciamo un’approssimazione, che sara tanto piu buona quanto stia-mo vicini al punto fisso x∗ o, equivalentemente, tanto piu piccolo rimane z. Sosti-tuiamo la nostra funzione f(x) con una nuova funzione g(x) che abbia la proprietadi avere per grafico la retta tangente al grafico di f(x) nel punto P ∗. Tale funzionee proprio:
g(x) = f(x∗) + f ′(x∗)(x− x∗) . (18)
Riesprimendo l’equazione sopra in termini della variabile z che rappresenta la per-turbazione, otteniamo allora29:
g(z) = f(x∗) + f ′(x∗)z = f ′(x∗)z , (19)
25Per i ragazzi del Quarto anno: non spaventatevi! Siamo sicuri che anche voi sarete in gradodi capire le idee che vi stiamo proponendo.
26Sempre per i ragazzi di Quarta: la derivata prima di una funzione reale di variabile reale f(x),calcolata in un punto x del suo dominio, e la pendenza della retta tangente al grafico della funzionenel punto P ≡ (x, f(x)). In un sistema monometrico, la pendenza e la tangente trigonometricadell’angolo formato tra tale retta tangente e il semiasse positivo delle x.
27Per i ragazzi di Quinta: in un intorno di x∗.28Infatti la derivata della funzione costante x∗ e nulla.29Per i pignoli: abbiamo chiamato la funzione della nuova variabile con un nome diverso, g.
xiii
dove l’ultima uguaglianza deriva dal fatto che x∗ e punto fisso per il sistema.Finalmente, siamo in grado di riscrivere l’equazione (14) sostituendo f con g:
z = f ′(x∗)z . (20)
Abbiamo ottenuto un’equazione lineare; vedremo nel paragrafo successivo esem-pi di tali sistemi dinamici lineari, alcuni dei quali siamo sicuri avete studiato ostudierete qui al Liceo.
A.8 Sistemi dinamici lineari 1-dimensionali
Iniziamo dall’esempio che tutti i ragazzi del Quinto anno avranno gia visto o stu-dieranno tra breve: il processo di carica di un condensatore. Come sapete, uncondensatore e un sistema fisico in cui si realizza il fenomeno dell’induzione elet-trostatica completa; serve ad immagazzinare una certa quantita di carica elettrica,che indichiamo con Q. Quando il condensatore e carico, ai suoi capi si realizza unadifferenza di potenziale, che indichiamo con V . La capacita C di un condensatore e
data dal rapporto costante C =Q
V. Per caricare un condensatore, esso viene nor-
malmente collegato in serie ad una resistenza e ad una batteria, in grado di fornireun d.d.p. costante V0. Il circuito e rappresentato in figura 8, assieme con il graficoche descrive l’analisi geometrica del sistema dinamico. Notate che il processo dicarica avviene chiudendo l’interruttore.
Figura 8: Carica di un condensatore e grafico per lo studio del processo.
Q .
R
C V0 Q
Scrivendo l’equazione per l’unica maglia di cui e costituito il circuito otteniamo:
−V0 + RI +Q
C= 0 . (21)
Poiche durante la carica del condensatore, ad un certo istante t, la corrente chefluisce nel circuito e uguale alla variazione istantanea della carica accumulata sulle
xiv
armature, vale la ben nota relazione
I(t) = limt→t
Q(t)−Q(t)
t− t= Q(t) , (22)
e facile ottenere l’equazione che descrive la dinamica del sistema, in termini dellafunzione Q(t):
Q = − 1
RCQ +
V0
R≡ f(Q) . (23)
In Fig. 8 si vede a destra il diagramma che rappresenta l’evoluzione temporale delsistema. Vi invitiamo ora a verificare che il sistema ha un unico punto fisso stabileQ∗ = CV0. Se preferite esprimere il tutto in termini di perturbazioni rispetto a talepunto fisso, ponendo z = Q−Q∗ ottenete l’equazione (l’analoga della (20)):
z = −z
ττ = RC ; (24)
dove abbiamo introdotto quella che i fisici chiamano la costante di tempo τ delcircuito. La soluzione dell’equazione corrispondente alla condizione iniziale di caricanulla (Q0 = 0) ci e nota dalla fisica30:
Q(t) = Q0
1− e
−t
τ
, (25)
ed e rappresentata nella figura 9.A questo punto invitiamo i lettori a ricercare, nel ritratto di fase del sistema
non lineare mostrato in figura 7, un andamento simile a quello della carica delcondensatore; sara interessante confrontare la condizione iniziale di quel caso conquella di condensatore scarico, in riferimento alla posizione del piu vicino punto fissostabile per la funzione sin x.
A.8.1 La caduta di un grave nell’atmosfera
Ma e necessario scomodare l’elettrostatica per ritrovare un sistema dinamico linearedel primo ordine? In effetti, gia durante lo studio della meccanica i ragazzi delQuarto anno avranno studiato il caso del moto di caduta di un grave soggetto anchead una forza di attrito viscoso, direttamente proporzionale alla velocita. In quel
30I ragazzi di Quinta potranno facilmente verificare che si tratta della soluzione giusta. Vacomunque sottolineato che per comprendere il messaggio che vorremmo dare, questi sono solodettagli tecnici.
xv
Figura 9: Quantita di carica Q presente sulle armature di un condensatore in funzione del tempot durante il processo di carica.
t
Q
caso, dalla seconda legge della dinamica, ~F = m~a = md~v
dtproiettata lungo un asse
x, diretto come la verticale discendente, si ottiene:
mg − γv = mv , (26)
dove g = 9, 8 ms−2 e l’accelerazione di gravita e γ e una costante, dipendente dalmezzo (aria) in cui si muove il corpo e dalla sua forma31. L’equazione (26) puofacilmente essere posta nella forma:
v = − γ
mv + g . (27)
Lasciamo a voi il compito di trovare la soluzione; provate prima a pensare alla fisicadel problema. Esiste una velocita limite: quanto vale? Provate ora a fare la stessacostruzione geometrica che abbiamo fatto per la carica del condensatore. Anchequi trovate un diagramma lineare, con un punto fisso stabile. Sareste in grado diindovinare qual e il ritratto di fase in questo caso?
A.8.2 La crescita di una popolazione
In effetti, non e neppure necessario studiare la fisica per trovare esempi di sistemidinamici lineari del primo ordine. Partiamo da lontano: vi siete mai chiesti percheil numero e di Nepero e cosı caro ai matematici? Provate a riprendere in mano ilvostro testo del quarto anno e cercate di vedere come e introdotto tale numero. I
31Ovviamente lasciar cadere un pallone da rugby con l’asse verticale od orizzontale determinacoefficienti diversi. Quando vi aspettate sia maggiore?
xvi
ragazzi di quinta sapranno gia la definizione piu rigorosa di limite di una successione:
e = limn−>∞
(1 +
1
n
)n
. (28)
Tutto molto bello... ma come e possibile inventarsi una cosa tanto strana ... Nondiamo volutamente la risposta qui, perche vorremmo che foste voi a farvi un’ideadella questione. Tuttavia richiamiamo un problema molto famoso in biologia, chestudieremo anche nel nostro laboratorio. Si tratta del modello piu semplice possibileper la crescita di una popolazione di organismi32, di cui vogliamo studiare il numeroN (che chiameremo popolazione come funzione del tempo t). Detto r il ritmo dicrescita, il sistema dinamico e descritto dall’equazione:
N(t) = rN(t) . (29)
Ormai avrete capito che questo modello predice una crescita esponenziale. Dal puntodi vista della biologia, si tratta di un approccio assolutamente non soddisfacente,ma vedremo nel corso del nostro laboratorio come si possono migliorare le cose.
A.9 Ricerca degli zeri di una funzione
In questo paragrafo, intendiamo costruire un sistema dinamico discreto a partire daun problema che fa parte integrante del programma dei ragazzi delle Classi Quin-te con sperimentazione P.N.I.. Si tratta della soluzione numerica approssimata diun’equazione, col metodo delle tangenti di Newton. Partiamo, come sempre, da unesempio: risolvere nel campo reale l’equazione
x− cos x = 0 . (30)
In effetti, anche i ragazzi delle Quarte sono in grado di dare un’interpretazione gra-fica del problema. Tuttavia, per determinare le coordinate (in particolare l’ascissa)dell’intersezione tra il grafico della prima bisettrice y = x e della funzione y = cos x,il metodo grafico e decisamente insoddisfacente.
Poniamo allora la questione in modo generale. Intendiamo cercare gli zeri con-tenuti in un intervallo I = [a, b] ⊂ R di un’equazione del tipo:
g(x) = 0 , (31)
32Diamo qui la versione a tempo continuo del problema; nelle dispense tratteremo la versionediscreta fra breve; tale versione risultera altrettanto importante.
xvii
essendo g una funzione reale di variabile reale, che soddisfa all’ipotesi g′(x) 6= 0, pertutti gli x ∈ I33.
Il metodo inizia cercando di indovinare una soluzione per lo zero della funzione34:sia x0 il nostro primo tentativo per fornire la soluzione dell’equazione (31). Nel casofossimo incredibilmente fortunati, potremmo trovare35 g(x0) = 0 e il nostro lavorosarebbe finito. In caso contrario, possiamo usare una ben precisa procedura pertrovare una soluzione “migliore”. Noto x0, abbiamo calcolato g(x0) 6= 0. Costruiamola retta tangente al grafico della funzione g nel punto P0 di coordinate (x0, g(x0)).Troviamo l’equazione:
y = g(x0) + g′(x0) (x− x0) ; (32)
notate che il coefficiente angolare della tangente e uguale al valore della derivataprima della funzione g, calcolata nel punto di tangenza. Sappiamo bene che, sfor-tunatamente, la curva si discosta dalla tangente (32), tuttavia possiamo trovarel’intersezione di tale retta con l’asse delle x, di equazione y = 0. Ricaviamo allora ilvalore
x1 = x0 − g(x0)
g′(x0). (33)
Se ora consideriamo questa una migliore scelta per la nostra soluzione, possiamoripetere la costruzione della retta tangente al grafico di g, questa volta nel punto P1
di coordinate (x1, g(x1)). La intersezione della nuova tangente con l’asse delle x eora:
x2 = x1 − g(x1)
g′(x1). (34)
Credo ora sia chiaro che in questo modo abbiamo costruito un sistema dinamicodiscreto, con funzione di evoluzione X cosı definita:
xn+1 = xn − g(xn)
g′(xn)≡ xn + X(xn) . (35)
Osserviamo inoltre che x∗ e uno zero per g se e solo se x∗ e un punto di equilibrioper il sistema dinamico discreto36 che abbiamo costruito tramite il metodo delletangenti di Newton.
33Sara interessante studiare le condizioni a cui deve soddisfare g affinche la soluzione dell’equa-zione esista e sia unica. Con riferimento ad I, considerate per ora che sia g(a)g(b) < 0 e g′′(x) 6= 0,∀x ∈ I. Per le persone interessate, la questione viene approfondita nel volume 3B del Libro ditesto di Matematica.
34In lingua inglese si dice un guess, una supposizione.35Ma cio e decisamente improbabile!36Per la definizione di punto di equilibrio per un sistema discreto, si veda il parag. A.13.2.
xviii
A.10 Come ottenere un sistema dinamico discreto da unocontinuo e viceversa
Ritorniamo ora al sistema dinamico continuo 1-dimensionale, descritto dall’equazio-ne di evoluzione (14), e supponiamo che sia noto lo stato iniziale x(t0) = x0 . Sedecidiamo di calcolare le sue soluzioni in modo approssimato, possiamo sostituirealla variabile continua indipendente t ∈ R una variabile discreta n ∈ Z. Fissiamo oraun incremento finito, abbastanza piccolo h = ∆t della variabile tempo. Possiamoallora definire per ricorsione la successione
xn+1 − xn
h= f(xn) , x0 = x0 . (36)
Ricordiamo ora che si puo pensare che l’equazione (14) si riferisca al moto stazio-nario di un fluido lungo l’asse x, con velocita pari a f(x) nel punto x del condotto.Immaginiamo ora di viaggiare assieme ad un punto dello spazio delle fasi, trasportatidalla corrente. Se inizialmente ci troviamo in x0, e la velocita locale e f(x0), se cimuoviamo per un breve intervallo di tempo h = ∆t, ci sposteremo approssimativa-mente di una distanza f(x0)∆t. Naturalmente stiamo facendo un’approssimazione,perche e ragionevole che, seppur di poco, la velocita cambi durante lo spostamento.Tuttavia, per h piccoli, la nostra approssimazione e buona, per cui avremo per lanuova posizione raggiunta:
x(t0 + h) ≈ x1 = x0 + f(x0)h . (37)
A questo punto basta ripetere il ragionamento. L’approssimazione ci ha condotto aduna nuova posizione x1; la nostra nuova velocita e qui f(x1); un nuovo spostamentoin avanti, per un tempo nuovamente uguale ad h ci fara avanzare a x2 = x1+f(x1)h,e cosı via. Abbiamo cosı esposto il piu semplice schema di integrazione numericadell’equazione differenziale (14). Esso e noto anche col nome di metodo di Eulero.Visualizziamo il metodo di Eulero rappresentando in grafico x verso t.
Nella figura 10, la curva mostra la soluzione esatta x(t), i pallini bianchi i va-lori x(tn) = xn, calcolati ai tempi discreti tn = t0 + nh, mentre i pallini neri sonoi valori approssimati ottenuti dal metodo di Eulero. Come si vede, in poco tem-po l’approssimazione peggiora, a meno che h sia molto piccolo. In effetti, esistonodiverse versioni migliorate del metodo di Eulero; cio nonostante, il caso sempliceche abbiamo esposto contiene gia le idee essenziali dell’approssimazione numerica.Le formule normalmente utilizzate sono tuttavia piu complicate. A titolo di esem-pio, riportiamo solo la successione ottenuta col metodo di Runge–Kutta; dopo aver
xix
Figura 10: Metodo di Eulero: soluzione esatta ed approssimata a confronto.
definito le seguenti quantita:
k1 = f(xn)h ,
k2 = f
(xn +
1
2k1
)h ,
k3 = f
(xn +
1
2k2
)h ,
k4 = f
(xn +
1
2k3
)h ,
un buon valore (anche per h = ∆t non troppo piccoli) di xn+1 e dato da:
xn+1 = xn +1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) . (38)
Concludiamo il paragrafo, riconsiderando la discretizzazione (36) dell’equazione(14). Sia Ψ un qualche cambiamento (sufficientemente regolare) della variabile tem-po t, cioe s = Ψ(t). Il cambio di variabile trasforma la (14) in un’equazione del tipox = ζf(x), con ζ > 0. Se siamo solo interessati ai valori della x che determinanola successione (36), non e restrittivo allora porre, fin dall’inizio, h = 1. A questopunto, se data la funzione reale di variabile reale37 g(x) dalla quale abbiamo scritto
37Tali risultati si estendono al caso di funzioni g : Rm → Rm, o a campi vettoriali f in n > 1dimensioni, ma qui non li tratteremo.
xx
la successione di Newton (35), ci poniamo il problema di trovare il campo f(x) dicui la successione e la riduzione discreta, e sufficiente scegliere:
fNEW(x) = − g(x)
g′(x). (39)
Da cio si vede che x∗ e uno zero per g se e solo se x∗ e un punto di equilibrio peril campo vettoriale fNEW.
A.10.1 Un esempio di soluzione numerica
Un esempio di sistema dinamico continuo 1-dimensionale che esamineremo nella suavariante discreta (la mappa logistica) e dato dall’equazione non lineare:
x = x(1− x) . (40)
Per determinare numericamente la soluzione, possiamo rappresentare il campo dellependenze del sistema nel piano (t, x).
Figura 11: Campo delle pendenze per il modello logistico continuo (a sinistra) e soluzione ottenutacol metodo di Runge-Kutta con passo h = ∆t = 0.1, per diverse condizioni iniziali (a destra).
2 4 6 8 10t0.5
1
1.5
2x
2 4 6 8 10t0.5
1
1.5
2x
In figura 11, a sinistra, si vede un modo nuovo di interpretare l’equazione (40):
per ogni punto (t, x), l’equazione fornisce la pendenzadx
dtdella soluzione del moto
che passa per quel punto; tali pendenze sono rappresentate da piccoli segmenti. Ladeterminazione della soluzione si riduce allora al problema di disegnare la curva chee localmente sempre tangente al campo delle pendenze. Nella figura 11 si vedonoalcune possibili soluzioni che partono da diverse condizioni iniziali nel piano (t, x).
xxi
A.11 Il metodo delle fasi per l’oscillatore armonico lineare
A.11.1 Il ritratto di fase
Ritorniamo all’esempio da noi introdotto nel paragrafo A.4.2. In quel caso, e notala forma analitica delle soluzioni; pertanto il problema di determinare il ritratto difase del sistema, si riduce a rappresentare la curva parametrica descritta dalle (7)nel piano (x, v). Lasciamo a voi come esercizio di ricavare l’equazione cartesiana perla curva; si trova:
ω2 x2 + v2 = ω2 x02 + v0
2 , (41)
che riconoscerete essere un’ellisse, rappresentata in figura 12, per v0 = 0 e x0 < 0.
Figura 12: Ritratto di fase per l’oscillatore armonico semplice.
x
v
HcLHaL
HbL
HdL
Dalle figure 13 e 12 e facile convincersi che quando x ha valore minimo (negativo)x0 , corrispondente alla situazione iniziale di massima compressione della molla, lavelocita e nulla. Nell’istante successivo, mentre il punto di fase viaggia lungo l’orbita,la massa m e portata in punti dove x aumenta e la velocita v e ora positiva: la massa espinta verso la sua posizione di equilibrio. Ma quando la la massa raggiunge x = 0,essa ha la massima velocita positiva (posizione b in figura), per cui la oltrepassa(x > 0). La massa ora rallenta e si arresta nell’istante in cui raggiunge l’altraestremita dell’oscillazione, dove x e massima e v = 0. A questo punto la massa etirata nuovamente verso sinistra e completa il ciclo. Lasciamo a voi ora di risponderealle seguenti domande:Esercizio 4: Supponete che il vostro oscillatore armonico ad un certo punto inizia dissipare energia, si comporti cioe come un sistema reale. Cosa vi aspettate per ilsuo ritratto di fase?Esercizio 5: Forti della interpretazione fisica data nell’esercizio precedente, dimo-strate che la condizione ω2 x2 + v2 = ω2 x0
2 + v02 = costante e equivalente alla
conservazione dell’energia meccanica.
xxii
Figura 13: Fasi del moto dell’oscillatore armonico semplice.
A.11.2 L’approccio geometrico per sistemi in 2 dimensioni
A questo punto qualche lettore forse si chiedera se e possibile utilizzare l’approcciogeometrico introdotto nel paragrafo A.6.1 per sistemi dinamici 2-dimensionali, comel’oscillatore armonico. Cio risulta fondamentale per studiare i sistemi dinamici 2-dimensionali non lineari, per i quali in generale non esistono soluzioni analitichecome nel caso dell’oscillatore armonico semplice. Tale esempio tuttavia ci e ancoramolto utile, per cercare di dare la risposta.
Anche nel caso 2-dimensionale, e utile visualizzare il campo vettoriale in terminidel moto di un fluido ideale immaginario. Sara sufficiente considerare il caso di unfluido in moto stazionario sul piano di fase, con velocita vettoriale avente componenti(x, v) = (v,−ω2x). Allora, per trovare la traiettoria che parte dallo stato iniziale(x0, v0), basta porre una particella immaginaria o punto di fase e guardare come etrasportata dalla corrente. La situazione e descritta in figura 14.
La corrente, come si vede, gira attorno all’origine; questo e un punto particolare,
xxiii
Figura 14: Interpretazione geometrica per il campo di fase dell’oscillatore armonico.
che assomiglia all’occhio di un ciclone: un punto di fase posto in quella posizionevi rimarrebbe per sempre, poiche (x, v) = (0, 0) quando (x, v) = (0, 0). Pertantol’origine e un punto fisso. Cio nonostante, un punto di fase che partisse da qualsiasialtra posizione, si metterebbe a girare attorno all’origine e ritornerebbe ad un certomomento nella posizione iniziale. Tali traiettorie formano delle cosiddette orbitechiuse. Ma che relazione c’e tra le orbite chiuse e i punti fissi e il problema fisicodi partenza, cioe la massa attaccata ad una molla ideale? La risposta e semplice. Ipunti fissi corrispondono ad punti di equilibrio statico per il sistema; le orbite chiusecorrispondono a moti periodici, cioe ad oscillazioni della massa.
A.12 Dipendenza da parametri: biforcazioni e catastrofi
Con l’esempio appena studiato abbiamo visto che aumentando le dimensioni del-lo spazio delle fasi la dinamica del campo vettoriale diventa piu ricca, appaionoinfatti soluzioni periodiche, che abbiamo chiamato cicli. Nel caso di sistemi dina-mici continui in una dimensione38, come abbiamo visto, o le soluzioni si dispongonoall’equilibrio o tendono a ±∞. Cio nonostante, i sistemi 1-dimensionali risultanointeressanti non appena il campo vettoriale dipende da dei parametri. In particola-re, i punti fissi possono essere creati o distrutti o cambiare la loro stabilita. In altreparole, cambiando la struttura del campo vettoriale, varia la natura qualitativa dellasoluzione del nostro problema dinamico, cioe il tipo di moto che si determina a par-tire da un certo stato iniziale39. Nello studio della dinamica, molto spesso appaiono
38Facciamo qui riferimento a situazioni generiche, strutturalmente stabili; non consideriamo icasi marginali corrispondenti al passaggio tra regimi dinamici differenti; si veda, a proposito, ilparagrafo A.13.5.
39In effetti, nel vostro corso di studi avete certamente studiato esempi di problemi di secondogrado (di geometria sintetica od analitica) dipendenti da un parametro. Tipicamente, allora eravateinteressati a contare le soluzioni reali del problema, al variare di un parametro, che descriveva una
xxiv
dei parametri, che hanno una precisa interpretazione fisica. Un fenomeno moltointeressante, noto col nome di biforcazione od anche catastrofe si ha quando unavariazione continua del parametro determina un cambiamento repentino e disconti-nuo delle proprieta del sistema. Per darvi un’idea di questo fenomeno guardate lafigura 15. Essa contiene una serie di 8 famose40 figure sviluppate da Fisher (1967) (si
Figura 15: Un esempio di catastrofe nella percezione visiva.
veda ad esempio [9], pag. 11), legate ad un repentino cambiamento nella percezionevisiva. La prima figura in alto a sinistra rappresenta una faccia, mentre l’ultima inbasso a destra si riferisce certamente ad una donna. Se guardiamo le figure una dopol’altra da sinistra e destra e dall’alto in basso, ci accorgiamo che, pur cambiando dipoco, ad un certo momento la nostra percezione cambia all’improvviso: da faccia adonna.
A.13 Sistemi dinamici discreti e mappe 1-dimensionali
A.13.1 Premessa
Nel paragrafo A.3 abbiamo gia parlato di sistemi dinamici discreti. Si tratta dicasi in cui il tempo e visto come una variabile discreta anziche continua. In alcuni
classe di casi geometricamente possibili.40Lavoro originale: G.H. Fisher, Preparation of ambiguous stimulus material in Perception and
Psychophysics, 2 pag. 421–422, 1967.
xxv
contesti scientifici risulta naturale considerare il tempo discreto: si pensi ad esempioall’elettronica digitale, ad alcune parti delle scienze economiche e delle finanze, enello studio di certe popolazioni animali nelle quali le generazioni successive non sisovrappongono. In particolare, nel nostro laboratorio di matematica voi studierete,tra l’altro, modelli matematici (in particolare l’equazione logistica) che si applicanoallo studio delle popolazioni. Per fare cio richiamiamo la vostra attenzione su alcunisemplici concetti relativi all’iterazione di mappe.
In effetti, lo studio delle mappe e interessante in se, poiche le mappe costituisconoun formidabile laboratorio per analizzare fenomeni caotici. Le mappe sono capacidi comportamenti molto piu imprevedibili delle equazioni differenziali; negli ultimi25 anni si sono fatti straordinari passi avanti nel loro studio, grazie soprattutto allacrescente disponibilita dei computer e della grafica computerizzata. Forse vi potrasorprendere il fatto che oggi, grazie all’attrezzatura informatica del nostro Istituto,saremmo in grado di ripercorrere con relativa facilita di calcolo alcune delle piuaffascinanti scoperte sul caos ottenute da scienziati come May [3], Lorenz [1] odHenon [2].
Vi anticipiamo che quello che vi chiederemo di fare non sara di studiare nuoviconcetti. Quello che vi inviteremo a fare sara di sperimentare da voi l’affascinantee, per alcuni versi, imprevedibile comportamento delle mappe. Grazie a questaattivita, siamo convinti che intuirete molte cose e sarete poi in grado di ragionaresu concetti difficili ed affascinanti come il rapporto tra comportamento caotico edeterministico.
A.13.2 Alcune definizioni
Considerate una mappa 1-dimensionale, cioe una funzione continua F : R ⊇I −→ I, di un sottoinsieme I della retta reale in se stessa. Possiamo definireuna successione nel modo seguente:
x0 ∈ I (condizione iniziale)xn+1 = F (xn) ,∀n ≥ 0 (legge di ricorrenza)
(42)
Le successioni del tipo (42) si dicono definite per ricorrenza o induzione e la funzioneF si chiama funzione generatrice.
I punti della successione x0, x1 = F (x0), x2 = F 2(x0), . . . , xn = F n(x0), . . . , co-stituiscono l’orbita, Ω(x0), generata dal valore assegnato x0. Notiamo che con lascrittura F n, intendiamo l’iterata n-esima della funzione F , cioe:
F n = F F . . . F︸ ︷︷ ︸n volte
(43)
xxvi
Per lo studio del sistema dinamico discreto risultano fondamentali gli elementi x ∈ Iche soddisfano all’equazione:
F (x) = x ; (44)
essi si dicono punti fissi o di equilibrio della funzione F . Avrete gia capito che laragione del loro nome risiede nel fatto che l’orbita generata da un punto fisso x, siriduce al punto stesso, cioe Ω(x0 = x) = x. Da un punto di vista geometrico, lesoluzioni dell’equazione (44) possono essere interpretate come le ascisse degli even-tuali punti di intersezione tra il grafico di F e delle funzione identita y = x. Avendoin mente l’analogia col sistema continuo oscillatore armonico, e naturale ora definirela nozione di orbita periodica come una successione del tipo:
x0 , x1 , x2 , . . . , xp−1 , xp = x0 , x1 , x2 , xp−1 , x0 , x1 . . . (45)
con x0 6= x1 6= . . . 6= xp−1 e xp = x0. L’intero p si dice il (minimo) periodo dell’orbitae i punti della stessa sono periodici di periodo p.Esercizio 6: Dimostrate che i punti x0, x1, . . . , xp, di un’orbita periodica di periodop sono fissi per l’iterata p-esima di F .
A.13.3 Analisi geometrica dell’iterazione di una funzione: il diagrammaa ragnatela
Nel caso di mappe 1-dimensionali e possibile ricorrere ad un metodo grafico moltoutile, detto diagramma a ragnatela41, per studiare l’iterazione. Consideriamo ilgrafico di F e, partendo da x0, ricaviamo x1. Esso e l’ordinata del punto sul graficodi F che ha ascissa x0. Per trovare ora x2 e necessario riportare sull’asse delle ascissetale valore. per farlo, e sufficiente muovere parallelamente all’asse delle ascisse ilpunto del grafico (x0, x1), fino ad incontrare la prima bisettrice. Individuato infigura il punto di coordinate (x1, x1) basta ora spostarlo parallelamente all’asse delleordinate fino ad incontrare il grafico di F nel punto (x1, x2). A partire da talepunto, ripetendo il procedimento appena descritto, possiamo ottenere x3, e cosıvia. Si osservi che nella figura la successione di punti sul grafico tende al punto diintersezione tra la retta y = x e y = F (x).
Le equazioni del tipo (42) definiscono un sistema dinamico discreto 1-dimensionale.Come nel caso continuo, tale sistema si dira lineare o non lineare a seconda dellanatura della funzione F .
41E denominato cobweb diagram nei testi in lingua inglese.
xxvii
Figura 16: Il diagramma a ragnatela per la funzione F = x−1/2.
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
A.13.4 Comportamento di un sistema lineare discreto 1-dimensionale
Vogliamo ora analizzare il comportamento di un generico sistema lineare discreto1-dimensionale, di cui abbiamo fornito un esempio particolare nel paragrafo A.3.Consideriamo il sistema la cui funzione di evoluzione e f(x) = ax + b, con a, b ∈ R.Dalla definizione ricorsiva:
xn+1 = axn + b , (46)
lasciamo a voi come esercizio42 di provare che il termine n-esimo della successione(di valore iniziale x0) puo essere scritto come:
xn =
anx0 +
(an − 1
a− 1
)b se a 6= 1
x0 + nb se a = 1. (47)
Durante la nostra attivita di laboratorio, avrete modo di “intuire sperimental-mente”, usando il calcolatore, quale sia il comportamento asintotico di un sistemadinamico lineare come quello dell’eq. (47), cioe il limite a cui tende xn per n → +∞.I ragazzi del Quinto anno potranno facilmente dimostrare i risultati, che per tuttiriassumiamo nella tabella 3, in cui risulta essenziale distinguere tre casi, a seconda
42Vi sara utile ricordare l’espressione della somma dei primi n termini di una progressionegeometrica di ragione a e termine iniziale 1.
xxviii
che sia |a| < 1, oppure |a| = 1, oppure |a| > 1. Nel risultato esposto, un ruolo
particolare e assunto dal punto x =b
1− a. Si tratta del punto fisso per la funzione
F (x), cioe del valore per cui F (x) = x. Anche nel caso discreto vale quindi unanozione di stabilita del tutto simile a quella introdotta nel paragrafo A.6.1 per isistemi dinamici continui. Ricordiamo tuttavia che l’unica differenza sta nel fattoche, nel caso di un’equazione di evoluzione continua del tipo x = f(x), i punti fissiper il campo f(x) sono quelli per cui f(x) = 0.
Naturalmente, la costruzione geometrica del diagramma a ragnatela si applicaanche al caso lineare. Potrete allora comprendere il contenuto della tabella, appli-cando tale tecnica per il grafico di F , che, come ben sapete, rappresenta una rettanel piano cartesiano.
A.13.5 Sistemi dinamici discreti 1-dimensionale non lineari
Nel paragrafo A.7 avevamo trattato il problema della stabilita nel caso 1-dimensionalecontinuo. Avevamo utilizzato una procedura di linearizzazione. Una tecnica analogasi puo applicare anche nel caso discreto. Supponete che x sia un punto fisso per F ,cioe che si abbia F (x) = x. E ormai chiaro che se xn = x, allora l’orbita rimarrain x per tutte le successive iterazioni. Per studiare la stabilita di x, consideriamoun’orbita vicina, che indicheremo con xn = x + ηn e chiediamoci se tale orbita vieneattratta o respinta da x. In altre parole, la deviazione ηn aumenta o diminuisce alcrescere di n? Bastera sostituire:
x + ηn+1 = xn+1 = F (x + ηn) = F (x) + F ′(x)ηn + O(ηn2) , (48)
dove col simbolo O(ηn2) intendiamo43 che nello sviluppo in serie di Taylor di f
trascuriamo i termini quadratici in η. Ricordando che x e un punto fisso, si ottienel’equazione discreta linearizzata:
ηn+1 = F ′(x)ηn (49)
Se e lecito trascurare i termini quadratici in η, l’equazione linearizzata dipende dalmoltiplicatore (detto anche autovalore) λ = F ′(x), che rappresenta la pendenza dellaretta tangente al grafico di f nel suo punto fisso x. Si tratta allora di un sistema1-dimensionale, per cui possiamo applicare l’analisi della tabella 3 per a = λ e b = 0.Se |λ| = |F ′(x)| < 1 allora ηn → 0 per n → ∞, e il punto fisso x e linearmentestabile. Viceversa, se |λ| = |F ′(x)| > 1 il punto fisso e instabile. Sebbene queste
43Per i ragazzi di V PNI! Per gli altri, si tratta sempre di approssimare il grafico della funzionecon una retta, come descritto nel caso continuo.
xxix
a b x0 Comportamento di xn per n → +∞
|a| < 1 → b
1− a
|a| > 1 6= b
1− adiverge
=b
1− arimane fisso in
b
1− a
a = 1 b 6= 0 diverge
b = 0 rimane fisso in x0
a = −1 6= b
2oscilla: x0, b− x0, . . .
=b
2rimane fisso in
b
2
Tabella 3: Comportamento asintotico del sistema discreto 1-dimensionale xn =axn−1 + b, e condizione iniziale x0, in dipendenza dei parametri reali a e b. Nel casoin cui una casella e vuota si intende “nessuna ulteriore condizione”.
.
xxx
conclusioni circa la stabilita locale siano basate sulla linearizzazione, si potrebbeprovare che valgono44 per la mappa non lineare F . E comunque necessario osservareche la linearizzazione non dice nulla a proposito del cosı detto caso marginale, per cui|λ| = 1. Sono proprio i termini trascurati di tipo O(ηn
2) che determinano la stabilitalocale45. Concludiamo il paragrafo introducendo un’importante definizione: datoun punto fisso attrattivo x per un sistema dinamico, diciamo bacino di attrazionel’insieme delle condizioni iniziali x0 per le quali xn → x se n →∞.
A.14 La nostra attivita di laboratorio
Vorremmo ora parlare dell’oggetto principale della nostra attivita di laboratorio dimatematica connessa al Progetto Lauree Scientifiche. Queste brevi note si propone-vano, tra l’altro, di farvi riflettere sui collegamenti che il tema dei sistemi dinamicinaturalmente instaura tra molti contenuti dei nostri corsi istituzionali di matema-tica e di fisica. Come avete visto, si va dalle applicazioni della seconda legge diNewton, alla dinamica dei fluidi ideali; dalle successioni definite in modo esplicitoa quelle definite per ricorrenza; dallo studio di argomenti del calcolo differenziale,come derivate e limiti, a problemi di analisi numerica, come la determinazione ap-prossimata degli zeri di una funzione. Il filo rosso che collega tutte queste nozioni,apparentemente molto diverse tra loro, e l’idea di evoluzione temporale di un siste-ma. Se queste dispense sono riuscite a farvi pensare che varra la pena investire unpo’ del vostro tempo a studiare i sistemi dinamici, allora avremo raggiunto lo scopo.Se, viceversa, dopo averle lette (piu o meno frettolosamente) penserete “Ma siamomatti? E troppo difficile per noi! Ci sara troppo da lavorare...” allora vi chiediamodi ripensarci. Vi assicuriamo che non dovrete assolutamente sapere tutto cio che quista scritto, per affrontare il Progetto. Al contrario, noi speriamo che cammin facen-do, dopo esservi divertiti durante la nostra attivita, vi verra voglia (o la curiosita)di leggere, magari in parte, queste note. Se non credete a noi, vorremmo concluderequesta dispensa riportando quanto scrisse Robert M. May nel suo famoso lavoro [3]pubblicato sulla rivista Nature46: In spite of the practical problems which remain to
44E necessario ipotizzare che la funzione F abbia derivata continua, sia cioe di classe C1.45Anche nel caso continuo, la situazione in cui F ′(x∗) = 0 risulta determinata dalle derivate di
ordine successivo. Essa risulta significativa in teoria delle biforcazioni, quando il sistema dinamicodipende da un parametro di controllo. I casi marginali corrispondono a situazioni critiche, nellequali si ha un repentino cambiamento della dinamica del sistema; si veda il paragrafo A.12.
46Ecco la nostra libera traduzione: A dispetto dei problemi pratici che rimangono da essere ri-solti, le idee sviluppate in questa rassegna hanno ovvie applicazioni in molte aree. Le applicazionipiu importanti, tuttavia, possono essere nell’insegnamento. [...] Vorrei insistere affinche la gentefosse, diciamo, introdotta allo studio dell’equazione (3) molto presto nella sua formazione mate-matica. Questa equazione puo essere studiata fenomenologicamente iterandola su un calcolatore, o
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be solved, the ideas developed in this review have obvious applications in many areas.[...] I would therefore urge that people be introduced to, say, equation (3) early intheir mathematical education. This equation can be studied phenomenologically byiterating it on a calculator, or even by hand. Its study does not involve as muchconceptual sophistication as does elementary calculus. Such study would greatly en-rich the student’s intuition about nonlinear systems. I piu attenti avranno subitopensato: ma cosa intendeva May con equazione (3)? Si tratta di una famosissimaequazione che descrive l’evoluzione di un sistema dinamico discreto, nota col nomedi equazione logistica:
xt+1 = axt(1− xt) . (50)
Non intendiamo qui svelarvi tutto su di essa, visto che sara anch’essa esaminata nelnostro laboratorio del Progetto Lauree Scientifiche, pero pensiamo valga decisamentela pena anticipare qualcosa47...
A.14.1 L’equazione logistica
La dinamica della popolazione di molte specie animali e caratterizzata dal fatto chenon vi e sovrapposizione tra generazioni successive, cosı la crescita della popola-zione avviene in tappe discrete. Per gli organismi primitivi queste tappe possonoessere molto brevi, in tal caso un modello dinamico con tempo continuo, puo essereun’approssimazione ragionevole. Tuttavia, la durata delle varie tappe puo cambiaremolto, da specie e specie. Per la nascita di un moscerino della frutta da una pu-pa basta un giorno, per delle cellule sono sufficienti delle ore, mentre per virus ebatteri addirittura molto meno. L’equazione (50) mette in relazione la popolazioneall’istante t + 1-esimo con la popolazione all’istante precedente, t-esimo. Per sem-plicita, assumiamo nella nostra descrizione che la popolazione venga descritta alladistanza temporale di un anno.
Cio porta ad un sistema dinamico discreto, in cui la funzione da iterare e nonlineare, cioe proprio F (x) = ax(1 − x). In realta, risulta piu comodo pensare cheun certo ambiente abbia una certe popolazione massima sostenibile di una dataspecie, rappresentata dalla variabile adimensionale xt. Tale variabile rappresenta ilrapporto tra la popolazione reale e la popolazione massima alla t-esima generazio-ne. Possiamo pertanto pensare che dobbiamo iterare la funzione F (x) sull’intervallo[0, 1]. Il numero a denota il tasso di crescita relativo della popolazione, che suppo-niamo non dipendere dal tempo. Esso viene chiamato capacita biologica specifica.
perfino a mano. Il suo studio non richiede concetti cosı sofisticati come il calcolo differenziale. Untale studio arricchirebbe enormemente l’intuizione dello studente sui sistemi non lineari.
47Questa breve introduzione e ripresa dal paragrafo I moscerini della frutta e il caos in [8], pag.170.
xxxii
La forma della funzione F che da luogo all’equazione logistica (50) si basa sull’ideache, quando in un dato ambiente la popolazione e scarsa e non vi e competizioneper lo spazio vitale o la ricerca del cibo, allora ogni generazione cresce rispetto allaprecedente di un fattore a, secondo una progressione geometrica. Tuttavia, al cre-scere della popolazione, le risorse di cibo tendono ad esaurirsi, pertanto aumenta lacompetizione, che riduce il tasso di crescita di una quantita ax2, sempre piu rilevanteal crescere della popolazione. Nel 1976, l’ecologo matematico R. May osservo chel’apparente semplicita della funzione F (x) e ingannevole.
Essa presenta infatti ogni sorta di comportamento dinamico complicato, al va-riare della capacita biologica specifica a. La dipendenza sensibile della natura dellasoluzione della (50) dal parametro a e un esempio di biforcazione, del tipo di quellache abbiamo descritto nel paragrafo A.12. Nel nostro laboratorio, esplorerete speri-mentalmente tale varieta di comportamenti. In particolare vi renderete conto, cheper valori particolari del parametro a, nasceranno orbite aperiodiche: cio vorra direche, ad esempio, se in un certo anno la popolazione sara piccola, i cinque anni se-guenti sara grande, seguira poi un anno di popolazione media e quindi alcuni anni dipopolazione piccola, seguita da un anno di boom demografico e via dicendo. Sare-mo di fronte a sequenze arbitrarie di alti e bassi, senza alcuna regolarita apparente,come quelli descritti in figura 17.
Figura 17: Un esempio di soluzione aperiodica dell’equazione logistica per a = 3.9.
10 20 30 40 50t
0.2
0.4
0.6
0.8
xt
Questo e un esempio di caos deterministico. Quel che sorprese May non fuil fatto che le popolazioni reali siano imprevedibili, ma il fatto che un modello cosısemplice come l’equazione logistica (dopo tutto la funzione F (x) = ax(1−x) ha comegrafico una parabola!) abbia un comportamento tanto selvaggio. I tipi di dinamicadelle popolazioni che sono possibili nell’equazione logistica sono descritti dal famoso
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diagramma di biforcazione, divenuto ormai un’icona del caos. Il diagramma riportain ascissa i valori del parametro a ed in ordinata alcuni valori di x quando, per unnumero abbastanza grande di iterazioni, la dinamica si stabilizza.
Figura 18: Il diagramma di biforcazione dell’equazione logistica per valori del parametro dicontrollo 3.4 < a < 4.
Figura 19: Il diagramma di biforcazione dell’equazione logistica per valori del parametro dicontrollo 3.847 < a < 3.857.
Riportiamo da ultimo due figure, dalle quali si puo vedere che il diagrammadi biforcazione ha inaspettate proprieta di autosimilarita. Osservate che lo stessodiagramma per valori diversi del parametro di controllo a ha una struttura che siripete (Fig. 18 e 19).
A questo punto molte sono le domande che ci possiamo porre: come e possibileche una semplice equazione di evoluzione come quella logistica, la cui natura e
xxxiv
intrinsecamente deterministica, non consenta di rispondere alla domanda per la qualee stata introdotta, cioe risulti incapace di predire l’andamento della popolazione dellanostra specie?
Puo avvenire qualcosa di simile in Fisica, nel senso che la seconda legge di Newtonper la dinamica classica, pur essendo deterministica, possa risultare in taluni casiincapace di predire l’evoluzione del nostro sistema dinamico? O posta altrimenti,esiste una dipendenza non banale dell’evoluzione del sistema dallo stato iniziale dellostesso?
E che significato ha la struttura di autosimilarita del diagramma di biforcazioneesposto nelle due ultime figure? Si tratta di frattali?
Se siete curiosi di rispondere a solo una di queste domande allora e proprio ilcaso per voi di partecipare al P.L.S.!
xxxv
Riferimenti bibliografici
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[2] M. Henon, A two-dimensional mapping with a strange attractor, Comm. Math.Phys. 50, 69 (1976).
[3] R. M. May, Simple mathematical models with very complicated dynamics,Nature 261, 459 (1976).
[4] P. Collet e J-P. Eckmann, Iterated maps on the interval as dynamical systems,Birkhauser editore, Boston, 1980 (ISBN: 3-7643-3026-0).
[5] H.-O. Peitgen e P.H. Richter, La bellezza dei frattali, Bollati Boringhieri, 1987(ISBN: 88-339-0420-2).
[6] S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus Book Publ.,Cambridge Mass., 1994 (ISBN: 0-7382-0453-6).
[7] E. R. Scheinermann, Invitation to Dynamical Systems, Prentice Hall CollegeDiv., New Jersey, 1995 (ISBN: 0-1318-5000-8).
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[9] J. D. Murray, Mathematical Biology I: An introduction III ed. Springer Verlag,N.Y., Berlin, Heidelberg, 2001 (ISBN: 0-387-95223-3)
[10] J. Gleick, Caos, La nascita di una nuova scienza, R.C.S. Libri, BUR Scienza,V ed., 2005 (ISBN: 88-17-25875-X).
[11] A. Vulpiani, Determinismo e Caos, Carocci editore, Roma, 2005 (ISBN: 88-430-3216-X).
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B I lavori dei ragazzi
In questa seconda appendice presento gli elaborati svolti autonomamente dai ragazzidel P.L.S. per la Matematica al Liceo “G. Galilei” di Adria. Si tratta di lavori che glistudenti erano stati invitati a produrre a conclusione del loro impegno nei laboratoripomeridiani dedicati allo studio dei sistemi dinamici.
Fu lasciata loro la piu ampia liberta, sia per quanto riguarda la formazione deigruppi di lavoro, sia sul taglio da dare al loro approfondimento.
Come si vedra, alcuni (i primi due contributi) hanno svolto una relazione sul-l’attivita svolta nel laboratorio pomeridiano, riorganizzando ed ordinando il ma-teriale prodotto. Di questi, il secondo ha posto maggiore attenzione sugli aspetticomputazionali (programmazione in Mathematica).
Alcuni studenti hanno invece preferito lavorare singolarmente, sviluppando al-cuni argomenti particolari, tra cui un modello dinamico che descrive il corteggia-mento (Love affairs) e lo studio dei fenomeni caotici nell’accrescimento delle celluletumorali.
Altri studenti hanno attinto alla letteratura consigliata, sviluppando alcuni ar-gomenti esposti nel testo classico di Gleick (l’effetto farfalla e l’universalita delleapplicazioni di Feigenbaun).
Seppur di natura compilativa, questi elaborati dimostrano interesse, impegno esono a mio avviso un buon risultato, soprattutto perche sono stati sviluppati incompleta autonomia da studenti di classe quarta Liceo Scientifico.
A parte qualche minimo cambiamento (essenzialmente di formattazione) sonoriprodotti qui di seguito nella forma in cui sono stati presentati.
Si noteranno caratteri diversi da quelli di questo scritto48, poiche per facilitare iragazzi, li abbiamo incoraggiati a produrre gli elaborati con il pacchetto commercialeOFFICE, a disposizione nel laboratorio di informatica del nostro Istituto.
Desidero infine nominare, uno per uno, tutti i partecipanti al laboratorio mate-matico del Liceo Galilei. In ordine alfabetico: Alessi Filippo, Andriotto Danie-le, Barbuiani Marco, Belluco Rita, Bertasi Federico, Casellato Francesco,Cassari Francesco, Cisotto Luca, Crestale Claudia, Donolato Luca, FerroSara, Forzato Giacomo, Frigato Mauro, Girardi Marco, Lunardi Giada,Marzolla Alberto, Melis Federico, Paganin Paola, Passerella Valentina,Pilotto Maria Chiara, Pilotto Michele, Ragaglia Isidoro, Rossi Matteo,Siviero Laura, Tomasi Alessandro, Zerbin Andrea, Zerbin Matteo.
48Per il quale ho utilizzato LaTeX2e.
I
Progetto Lauree Scientifiche
INTRODUZIONE AI SISTEMI DINAMICI
Nei giorni 13/03/06, 21/03/06, 31/03/06, 03/04/06, 12/04/06 si sono svolti gli incontri del laboratorio di matematica per il Progetto Lauree Scientifiche, coordinato dai professori B. Napolitano, M. Nicoli e G. Valente con la collaborazione di due docenti dell’Università di Padova. Durante queste riunioni abbiamo affrontato, in particolare, l’argomento relativo ai sistemi dinamici, il cui scopo è quello di studiare un fenomeno in relazione alla sua evoluzione nel tempo. Definendo il concetto di sistema dinamico, possiamo evidenziare due elementi costitutivi fondamentali:
1. un vettore di stato che descrive completamente lo stato del sistema 2. una funzione, cioè una legge che ci dica, dato lo stato del sistema in un certo
istante, quale sarà lo stato del sistema negli istanti di tempo successivi, ovvero un’equazione di evoluzione con la quale si possa predire il “futuro” del sistema.
Abbiamo studiato due tipi di sistemi: quelli discreti, nei quali il tempo è considerato una variabile discreta, cioè una successione di istanti separati da intervalli regolari (per esempio il saldo di un conto in banca, valutato ogni mese). Nei sistemi continui, invece, il tempo di evoluzione del fenomeno deve essere considerato una variabile che scorre in modo continuo (esempi di sistemi continui vengono della fisica classica: il pendolo e l’oscillatore armonico). Per comprendere il meccanismo dei sistemi dinamici non ci siamo limitati a studiarne solo la teoria, ma grazie all’utilizzo del programma “Mathematica” abbiamo potuto constatare l’ importanza che la matematica riveste nella realtà. Questa, infatti, è in grado di descrivere molti fenomeni con i quali quotidianamente veniamo a contatto: dal campo della ingegneria a quello della biologia, dalla medicina alla fisica e alla economia. Il “Mathematica” si è rivelato uno strumento utile a tale scopo, permettendoci di comprendere facilmente la natura di fenomeni complessi come l’andamento della crescita della popolazione e l’interazione fra popolazioni differenti. Valutiamo globalmente positiva l’esperienza che abbiamo vissuto e ne offriamo un breve resoconto nelle pagine che seguono. 1. I SISTEMI DISCRETI
IL MODELLO MALTHUSIANO E DI VERLHUST Il modello di Malthus e di Verlhust possono essere considerati due esempi di sistemi lineari discreti unidimensionali. Durante il primo incontro di “PLS” è stato studiato il modello maltusiano, indicandolo in questo modo:
III
f(x)=(1+k )x (1) Attraverso questo successione (definita per ricorsione) e per mezzo del Mathematica abbiamo potuto studiare come, data una popolazione iniziale x[0] = x0, questa si comporti al variare del parametro k, denominato coefficiente di accrescimento. Se k è molto piccolo, ovvero tende a zero, allora la funzione diventa f(x) = x, quindi la popolazione non cresce; mentre se k è molto grande, la popolazione tende a crescere in maniera esponenziale, senza mai arrestarsi.
10 20 30 40 50
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
=Figura1= IN SINTESI:
• Se k→ + ∞ => la popolazione esplode (cresce all’infinito); • Se k→ 0 => la popolazione non cresce.
Durante il secondo incontro abbiamo, invece, preso familiarità con il modello di Verlhust, il quale, pur essendo apparentemente simile a quello precedente, si comporta in certe situazioni in modo differente. Lo abbiamo definito in questo modo: f(x)=(1+k) x-h x2 (2) L’elemento h x2 rallenta la crescita della popolazione, essendo h è chiamato coefficiente logistico. Tale funzione è stata analizzata al variare di h. Se h = 0 allora ritroviamo il modello maltusiano; se h è molto piccolo, ovvero vicino allo zero, allora la popolazione cresce in maniera esponenziale; se, invece, h è molto grande la popolazione cresce fino ad un certo punto, poi tende a stabilizzarsi, raggiungendo quindi il livello di saturazione (“equilibrium”).
20 40 60 80 100
50000100000150000200000250000300000
20 40 60 80 100
20000
40000
60000
80000
20 40 60 80 100
200
400
600
800
1000
=Figura2=
IV
Anche se in maniera alquanto approssimativa, si può vedere come nel primo grafico la popolazione cresca all’infinito (h=0); nel secondo h tende allo zero, quindi la funzione cresce in maniera esponenziale; nell’ultimo la popolazione cresce, ma , dopo poco, si stabilizza e raggiungendo il livello di saturazione. Nelle ascisse sono stati riportati gli anni e nelle ordinate il numero di individui. IN SINTESI:
• Se h→ + ∞ => la popolazione cresce e raggiunge il livello limite; • Se h→0 => modello di Malthus.
Si può inoltre vedere che, data xn = (k+1) xn-h x2
se xn = x tale che x = kx + x-hx2 => kx-hx2=0 quindi x(k-hx)=0
le cui soluzioni sono:
x=0 (s1)
e
x = k/h (s2)
IN SINTESI • Se h→ + ∞ => nella s2 , al crescere di h, x ≈ 0; • Se h→0 => s2 perde di significato.
25 50 75 100 125 150 175 200
20000
40000
60000
80000
100000
=Figura3=
Questo grafico rappresenta lo studio di più popolazioni secondo il modello di Verlhust (con h>0), il quale è stato integrato con il diagramma di campo vettoriale. Successivamente, abbiamo considerato h e k al variare del tempo ed abbiamo notano che, se h >0, la funzione tende sempre all’equilibrio, l’unica differenza consiste nella presenza di piccole oscillazioni, quasi impercettibili.
V
20 40 60 80 100
200
400
600
800
1000
Figura4= DINAMICA DI DUE POPOLAZIONI INTERAGENTI Durante il terzo incontro abbiamo abbandonato i sistemi lineari e ci siamo avventurati con quelli non lineari in due dimensioni. Abbiamo preso in considerazione due popolazioni di animali (lepri e volpi) non isolate, ma che interagiscono tra di loro e definito tale funzione: f[x_,y_]:= ax-h x2-bxy , cy+dxy (3) dove ax-hx2 è l’equazione di evoluzione delle lepri; -bxy indica l’incontro tra lepri e volpi in cui le lepri muoiono; cy indica le volpi e dxy le volpi che crescono dopo l’incontro con le lepri. Studiando tale funzione, abbiamo potuto notare che le due popolazioni interagendo raggiungono un punto di equilibrio, ovvero centro di equilibrio (il puntino nero al centro della spirale nel disegno 5).
1110 1111 1112
962
963
964
=Figura5=
Se h varia o se una delle due popolazioni iniziali (oppure entrambe) varia, il grafico risultante non cambia in maniera significativa. Si può affermare che il grafico non è
VI
sensibile alle variazioni e che quindi il livello di saturazione limite non cambia. Parliamo dunque di sistema non sensibile alle variazioni. Grazie all’utilizzo del Mathematica siamo stati in grado di realizzare il grafico vettoriale dell’interazione fra le due popolazioni di animali. Prima abbiamo creato un grafico costituito da soli vettori, poi lo abbiamo sovrapposto all’immagine 5. Questo è il risultato che abbiamo ottenuto.
500 1000 1500 2000 2500 3000
1000
2000
3000
4000
5000
=Figura6=
Successivamente, abbiamo studiato l’andamento del grafico delle singole popolazioni (questa volta non interagenti fra di loro) al variare del tempo ed abbiamo notato che ognuna delle due varia in maniera significativa al trascorrere degli anni. Aumentando il tempo, però, entrambe le popolazioni tendono all’equilibrio, ovvero non cresco e non calano, ma si stabilizzano su un determinato valore.
50 100 150 200
500
1000
1500
2000
2500
3000
=Figura7= Il sistema di equazioni che ci permette di studiare tale fenomeno è così definito:
x = ax-hx2-bxy y = cy+dxy (4)
VII
2. Sistemi dinamici continui DEFINIZIONE Come per gli altri sistemi dinamici, anche i sistemi continui sono funzioni definite da una condizione iniziale ben precisa e da una legge che indica in ogni istante quale sia lo stato del sistema, permettendo anche di prevedere quale sarà l'andamento futuro del sistema stesso negli istanti di tempo successivi. Tuttavia, mentre nei sistemi dinamici discreti il tempo procede "a passi" (ovvero si considerano blocchi di tempo uno dopo l'altro), nei sistemi continui il tempo trascorre in modo, come dice il nome, continuo. Infatti consideriamo istante per istante, secondo per secondo, l'evolversi del sistema continuo. DIFFERENZA TRA SISTEMI CONTINUI LINEARI E NON LINEARI I sistemi dinamici continui possono essere divisi in due differenti tipi: quelli lineari e quelli non lineari. I sistemi lineari possono essere considerati uniformemente, senza che le parti del sistema possano interagire tra di loro (è il caso della popolazione isolata che cresce in maniera esponenziale secondo il modello di Maltus). Questo tipo di sistemi può essere diviso in parti, e ciascuna parte può essere risolta separatamente per ottenere poi la risposta finale. In molti casi, tuttavia, possono nascere iterazioni non lineari: queste sono solite comparire quando le parti di un sistema continuo interferiscono, cooperano o competono fra di loro. In questi casi, si possono ottenere alla fine numerosi effetti, e in natura ve ne sono molti esempi, sia in ambito fisico sia per quanto riguarda la dinamica delle popolazioni. LA FISICA E I SISTEMI DINAMICI CONTINUI LINEARI La maggior parte dei casi in cui il tempo trascorre in maniera continua è descritta dalla fisica classica, sia per quanto riguarda i casi lineari che per quelli non lineari (questi ultimi rientrano ad esempio nel meccanismo di funzionamento dei laser). Sistemi continui lineari sono ad esempio l'oscillatore armonico, il moto di una palla lanciata verticalmente e il moto di un pendolo. In tutti questi casi, il tempo viene considerato in maniera continua, ovvero viene considerato istante per istante: si ricorre infatti ai concetti di velocità istantanea e accelerazione istantanea. Nel caso della palla lanciata verticalmente verso l'alto il sistema dinamico è descritto in ogni istante da una coppia di numeri reali che costituiscono un vettore a due dimensioni (l'altezza h e la componente della velocità v in direzione verticale della palla). In questi esempi non ha senso chiedersi cosa avvenga ad un istante successivo t(1) (come invece possiamo fare per sistemi dinamici discreti ), perché il tempo trascorre in maniera continua. Come in tutti i sistemi dinamici è indispensabile definire la condizione iniziale del sistema. Per descrivere il moto di una palla lanciata verticalmente verso l'alto, abbiamo come configurazione iniziale:
VIII
h(0) = h0 v(0) = v0 Mentre le equazioni che ci descrivono il moto sono: h(t) = h0 + v0 t -(1/2) g t2
v(t) = v0 - g t Per quanto riguarda l'oscillatore armonico la configurazione iniziale é data: x(0) = x0 v(0) = v0 Le leggi che descrivono l'evoluzione del sistema sono: x(t) = x0 cos w t + (v0 /w ) sin w t v(t) = v0 cos w t - x0 w sin w t Abbiamo qui descritto due casi di sistemi dinamici ad andamento continuo della fisica classica. Anche per essi è possibile descrivere il diagramma nello spazio delle fasi. IL DIAGRAMMA NELLO SPAZIO DELLE FASI Supponiamo di conoscere il sistema che descrive il moto di un pendolo semplice. In ogni istante, le soluzioni sono date della coppia di funzioni x1(t) e x2(t) che rappresentano la posizione e la velocità del pendolo in ogni istante successivo. Se rappresentiamo le coppie ( x1, x2) in uno spazio astratto (detto appunto spazio delle fasi), otteniamo una particolare traiettoria che descrive l'evolversi del sistema dinamico. E' evidente che le coppie siano valori dipendenti dal tempo, che noi immaginiamo trascorra all'infinito in maniera continua. Ammesso ciò, ci si rende conto che lo spazio delle fasi è completamente riempito di traiettorie, poiché ogni punto può rappresentare una condizione iniziale, cioè l'inizio di un moto possibile. L'importanza del diagramma delle fasi é che, data una certa traiettoria, è possibile trarre da questa informazioni sulla natura del sistema che essa rappresenta. LA MAPPA LOGISTICA Durante il quarto incontro del Progetto Lauree Scientifiche abbiamo trattato sistemi discreti costruendo di essi una rappresentazione utile a capirne l’andamento asintotico. Abbiamo preso in considerazione una parabola di equazione y = m x (1-x), e la retta y = x bisettrice del primo e del terzo quadrante; inizialmente abbiamo posto m = 3 e preso un punto (x0; 0) e lo abbiamo iterato, ovvero lo abbiamo riportato, modificandone le coordinate di conseguenza, dalla parabola alla retta, e dalla retta di nuovo alla parabola per un certo numero di iterazioni. Si è venuta a creare una costruzione a ragnatela.
Questo è il disegno preparatorio
della parabola e della retta. =Figura 8=
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
IX
=Figura9=
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
In questo grafico abbiamo iterato il nostro punto iniziale e posto m un po’ più grande di 3, quindi notiamo che la ragnatela non raggiunge un punto fisso, ma si crea una sorta di buco attorno al quale saltella. Successivamente abbiamo preso m un po’ più piccolo di 3: in questo caso la ragnatela tende ad un punto di equilibrio. IN SINTESI Se m < 3 allora la costrizione tende ad un punto fisso (“equilibrium”); Se m > 3 allora nella costruzione si crea un “buco”. =Figura 10=
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Questo è il risultato che abbiamo ottenuto ponendo m < 3. Successivamente, abbiamo studiato altri casi in cui la soluzione di equilibrio attrae orbite di ordine 2, poi di ordine 4 e abbiamo visto che si creano varie biforcazioni. Abbiamo capito, quindi, che il sistema può avere infinite biforcazioni , ma dopo un
X
certo valore limite (ovvero per m = 3.75 nel nostro caso; N.B.: m = 3 è un valore assolutamente generico) si crea una situazione caotica. Riportiamo quindi i vari grafici che abbiamo ottenuto e la mappa logistica finale in cui si possono notare le varie biforcazioni del nostro sistema e la zona in cui, dopo quel determinato valore limite, si crea il caos.
Questa è una delle varie prove che abbiamo fatto
=Figura 11=
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.4
0.6
0.8
1
=Figura 12=
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
=Figura 13= =Figura 12=
=Figura 13=
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.8
0.4
0.6
0.2
1
XI
La mappa logistica Proponiamo il metodo per ricavare gli zeri di una funzione tramite il metodo delle tangenti di Newton che può essere usato durante lo studio di un sistema dinamico.
=Figura14= Metodo delle tangenti di Newton
Esistono, all’interno dell’analisi matematica, diversi metodi per determinare gli zeri di una funzione, ovvero dove essa si annulla. Analizziamo qui di seguito quello delle tangenti di Newton, che permette, inoltre, di costruire un sistema dinamico discreto a partire da una funzione continua. Prendiamo in considerazione l’equazione 0)( =xf (continua e derivabile in un intervallo , con ) e supponiamo di aver accertato graficamente l’esistenza e l’unicità di una radice
],[ ba 0)( ≠′ xfr in tale intervallo . ],[ ba
L’idea è di costruire una successione che sia convergente ad
nxr affinché ogni possa essere c
un’approssimazione di nx onsiderato
r stessa. Si parte da [in fig. ax =0 3.00 =x ] e “si linearizza l’equazione in quel punto”; si sostituisce cioè a
l’equazione della retta tangente al grafico di nel punto , ovvero
0)( =xf)(xfy = f
))(,( 00 xfx ))(()( 000 xxxfxfy −′+= e anziché calcolare , si risolve l’equazione
la quale ammette come
radice
0)( =xf0))(()( 000 =−′+ xxxfxf
)()(
0
001 xf
xfxx
′−= [in fig.: 961192.01 =x ].
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x
-3
-2
-1
1
2
3
4
5y
Il procedimento si ripete con al posto di risolvendo
cioè l’equazione
1x 0x
0))(()( 111 =−′+ xxxfxf che ha come soluzione )()(
1
112 xf
xfxx′
−= [in
fig.: ]. Iterando n-volte il procedimento, si giunge alla seguente successione per ricorrenza:
04.22 =x
XII
ax =0 ; )()(
1
11
−
−− ′−=
n
nnn xf
xfxx
E’ intuitivo che nel caso rappresentato in figura per +∞→n ; qui è convessa (ma potrebbe anche essere concava) in e
rxn → )(xf],[ ba )(xf ′ non si annulla mai.
Il processo di linearizzazione di 0)( =xf può avvenire anche partendo da , tuttavia la velocità di convergenza aumenta, nel caso appunto di funzioni concave o convesse derivabili almeno due volte, a partire da un punto tale che abbia lo stesso segno di .
bx =0
0x )( 0xf)( 0xf ′′
Formalizziamo il procedimento fin qui analizzato: sia tale che ]),([2 baCf ∈• esiste un solo tale che ),( bar ∈ 0)( =rf •• e >0 oppure 0)( ≠′∈∀ xfx )( 0xf ′′ )( 0xf ′′ <0 allora la seguente successione
ax =0 se >0 )()( afaf ′′oppure
bx =0 se >0 )()( bfbf ′′
e )()(
1
11
−
−− ′−=
n
nnn xf
xfxx converge a r per +∞→n
Dimostrazione Esaminiamo il caso quando e )(af )(af ′′ sono positive. Abbiamo dunque che
>0 e <0 , . Ne segue che )( 0xf ′′ )(xf ′ ],[ bax∈∀ n∀ ≥1, < <1−nx nx r . La successione , monotona crescente e limitata, è convergente al limite ≤ nx l r . Passando al limite di
)()(
1
11
−
−− ′−=
n
nnn xf
xfxx si ottiene, poiché e f f ′ sono continue,
)()(lflfll′
−= da cui
0)( =lf ⇒ rl =Gli altri casi si dimostrano in modo analogo. Esercizio Consideriamo l’equazione . Confrontando i grafici di e
si ottiene che esiste un’unica radice 02)( =−= − xexf x xey −=
xy 2= r
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
ycompresa tra 0 e 1. Abbiamo <0 2)( −−=′ − xexf ]1,0[∈∀x >0 xexf −=′′ )( ]1,0[∈∀x inoltre >0 e 1)0( =f 21)1( −= ef <0. Per il calcolo di r poniamo dunque:
00 =x 2
21
11
1 +−
+=−
−
−−
−
− n
n
xn
x
nn exe
xx
Usando una comune calcolatrice troviamo, considerando sei cifre decimali dopo la virgola:
1x = 0,333333
2x = 0,351689
XIII
3x = 0,351733
4x = 0,351733 Da in poi le sei cifre si stabilizzano. Notiamo, quindi, che . 3x 610922,12 −− ⋅≈− xe x
Un buon risultato solo dopo tre iterazioni. OSSERVAZIONE: il calcolo delle approssimazioni , deve essere, in generale, prolungato fino a che i decimali del risultato non variano più (conformemente al grado di precisione dato).
,...,, 321 xxx
L’equazione )()(
1
11
−
−− ′−=
n
nnn xf
xfxx può essere considerata come un sistema dinamico
discreto, la cui funzione di evoluzione X è così definita: )( 11 −− += nnn xXxx
dove )()()(
1
11
−
−− ′
−=n
nn xf
xfxX osserviamo che è una radice per se e solo se è
un punto di equilibrio per il sistema dinamico discreto.
*x )(xf *x
Si definisce punto di equilibrio (o punto fisso) di una funzione quel numero che viene trasformato in se stesso da .
FF
Elaborato degli alunni: Belluco Rita
Forzato Giacomo Paganin Paola
Passerella Valentina Pilotto Maria Chiara
Rossi Matteo
XIV
Zerbin Matteo, Melis Federico, Crestale Claudia
Modelli matematici per la dinamica di una popolazione
Introduzione Il Liceo Scientifico "G. Galilei" è stato scelto come Scuola Polo al Progetto Nazionale Lauree Scientifiche per la Matematica. Lo scopo dell’attività, rivolta ad un gruppo di ragazzi volontari delle classi Quarte e Quinte è promuovere l’interesse degli studenti verso le lauree delle Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali, con particolare attenzione, verso il corso di laurea in Matematica. Nei cinque incontri organizzati dalla prof.ssa Beatrice Napoletano, dal prof. Matteo Nicoli e dal prof. Gianpaolo Valente, in collaborazione con i professori universitari dott. Andrea Giacobbe e dott.ssa Olga Bernardi, sono stati affrontati vari argomenti attinenti in certi casi ai sistemi dinamici e alla dinamica deterministica e caotica. È stato possibile ragionare insieme su tali questioni, e siamo riusciti a comprendere che una descrizione matematica della realtà consente di conoscere in anticipo l’evoluzione temporale di un sistema, noto il suo stato iniziale. Il gruppo di lavoro è stato suddiviso inizialmente in due parti, uno dedito al campo teorico sotto la guida della prof.ssa Beatrice Napoletano e del prof. Matteo Nicoli, l’altro indirizzato al campo pratico con l’aiuto del prof. Gianpaolo Valente, del dott. Andrea Giacobbe e della dott.ssa Olga Bernardi. Prima della conclusione dell’attività giornaliera ci si incontrava per discutere di quanto appena appreso, al fine di poter unire la teoria con la pratica in maniera più rapida ed interessante attraverso la partecipazione diretta degli studenti. L’attività di laboratorio è stata concentrata sullo studio della crescita delle popolazioni secondo vari modelli (Malthus, Verlhust, con variazioni stagionali, con popolazioni interagenti,…) e sull’evoluzione di un sistema dinamico discreto,descritto attraverso l’equazione logistica. L’equazione logistica Generalmente, quando si studia la dinamica della popolazione di molte specie animali, si tende a utilizzare un modello dinamico con tempo continuo, considerando la possibilità che vi sia la sovrapposizione tra generazioni successive. Tuttavia, la durata delle tappe che determinano la crescita delle popolazioni può variare. Consideriamo, ad esempio, l’equazione x t+1 = a x t (1 – xt ) che mette in relazione la popolazione all’istante t+1-esimo con la popolazione dell’istante precedente t-esimo, nella distanza temporale di un anno. Tutto ciò porta a prendere in considerazione un sistema dinamico discreto, in cui la funzione da iterare risulta avere la forma: F(x) = a x(1-x). In realtà, può risultare più facile considerare che per una data specie, ci sia un valore massimo della popolazione sostenibile in un certo ambiente; tale valore massimo può essere rappresentato con la variabile dimensionale xM. Ponendo ora X t = x t / xM , la
nuova variabile adimensionale rappresenta il rapporto tra la popolazione reale alla t-esima generazione e la popolazione massima. A questo punto è sufficiente iterare la funzione F(X) sull’intervallo [0; 1]. Il numero a rappresenta il tasso di crescita relativo della popolazione, che supponiamo non debba dipendere dal tempo. Tale numero viene chiamato capacità biologica specifica. Tuttavia
XV
è necessario sottolineare che la forma della funzione F(X) che dà luogo all’equazione logistica X t+1 = a X t (1 – Xt ), si basa sull’idea che, quando in un certo ambiente la popolazione è scarsa e non vi è competizione, ad esempio per lo spazio vitale o la ricerca del cibo, allora ogni generazione cresce rispetto alla precedente di un fattore a. Tuttavia, crescendo la popolazione, le risorse di cibo tendono ad esaurirsi, di conseguenza tende ad aumentare la competizione, che riduce il tasso di crescita di una quantità a Xt
2, sempre più rilevante al crescere della popolazione. Ma la semplicità della funzione F(X) è ingannevole. Essa presenta infatti ogni sorta di comportamento dinamico complicato, al variare della capacità biologica specifica a. La dipendenza rilevabile della natura della soluzione dell’equazione logistica X t+1 = a X t (1 – X t) dal parametro a è un esempio di biforcazione. A supporto di tale considerazione, può essere utile aggiungere che, per particolari valori del parametro a, potranno nascere orbite aperiodiche; ciò vorrà dire che, ad esempio, se in un certo anno la popolazione sarà piccola, nei cinque anni seguenti sarà grande, seguirà poi un anno di popolazione media e quindi alcuni anni di popolazione piccola, seguita da un anno di un grande sviluppo demografico e via dicendo. Saremo di fronte a sequenze arbitrarie di alti e bassi, senza alcuna evidente regolarità. Tutto ciò è un esempio di caos deterministico. In definitiva, dunque, sorprende l’imprevedibilità del modello (apparentemente semplice) dell’equazione logistica, che tuttavia rappresenta in maniera concreta l’uguale imprevedibilità che caratterizza la crescita delle popolazione reali. Riportiamo di seguito il diagramma di biforcazione della mappa logistica nella variabile adimensionale X, per diversi valori del parametro a:
Per ottenere questo grafico di biforcazione, sono state inserite le seguenti istruzioni del programma Mathematica: f[a_,x_]:=a,a x (1-x); pop[a_]:=Drop[NestList[f,a,0.6,1000],900]; punti=Flatten[Table[pop[m],m,2,4,0.001],1];
XVI
ListPlot[punti,PlotStyle→PointSize[0.001],RGBColor[1,0,0],AxesLabel→"Par. a","X"] Il Modello di Verlhust Nel 1837 il matematico-biologo olandese Verlhust propose di introdurre un termine che tenesse conto della competizione fra individui della stessa specie. Si utilizza un termine − h x2, dove h è una costante, dato che la media statistica del numero di incontri fra due individui per unità di tempo è proporzionale a x2. Si considera così come funzione da iterare : F(x) = (1+k) x – h x2
In generale, la costante h sarà molto piccola rispetto a (1+k) x , in maniera tale che quando (1+k) x non è troppo grande il termine − h x2, è trascurabile rispetto a (1+k) x, e la popolazione cresce esponenzialmente. Quando (1+k) x diventa molto grande, il termine − h x2 non è più trascurabile, e determina il rallentamento del rapido tasso di crescita della popolazione. Lo studio delle popolazioni è una branca della biologia che applica le conoscenze matematiche e che consente, attraverso dei calcolatori, di poterne prevedere l’evoluzione nel tempo. Il suo metodo di calcolo prevede dei dati iniziali e una funzione che regoli l’evoluzione delle popolazioni. Un esempio di ciò è il modello di Verlhust. La precedente funzione F(x) = (1+k) x – h x2 infatti mostra l’evoluzione di una popolazione dopo aver assegnato determinati valori alle costanti. Di seguito sono riportati esempi di come, variando k, varino gli andamenti della popolazione stessa, passando da un’evoluzione semplice che porta all’equilibrio, oppure ad un andamento periodico o addirittura al caos.
10 20 30 40 50Anni
400
600
800
1000
Pop.
Esempio di andamento della popolazione a partire da 150 individui, con k=1 e h=0.001
XVII
10 20 30 40 50Anni
1800
1900
2000
2100Pop.
Esempio di andamento della popolazione a partire da 150 individui, con k=2 e h=0.001
10 20 30 40 50Anni
1000
2000
3000
4000
Pop.
Esempio di andamento della popolazione a partire da 150 individui, con k=3 e h=0.001 Per ottenere i grafici appena riportati sono state inserite le seguenti istruzioni del programma Mathematica: <<Graphics`Colors` F[ x_ ]:= (1+k) x – h x2
lista=NestList[F,150,50]; ListPlot[%,PlotStyle→Red, PlotJoined→True]
XVIII
Utilizzando gli stessi metodi, lo studio può essere allargato a due popolazioni contemporaneamente. Per esempio Flores nel 1998 propose un modello di competizione tra un’utopica convivenza tra l’uomo di Neanderthal e l’uomo moderno. Le funzioni che indicano come evolvono le popolazioni sono queste: f 1(x) = a x - h x 2 - s b x y, f 2(x) = c y - k y 2 - d x y, dove f 1 mostra come evolve la popolazione dei Neanderthal e f 2 quella dell’uomo moderno. Si nota quindi che a, b, c, d, h, k, ed s sono i parametri. I valori di a e c rappresentano il tasso di accrescimento delle due specie, h e k sono dei coefficienti logistici che regolano l’aumento della crescita in modo che essa si stabilizzi raggiunto un certo livello, b e d sono i coefficienti che descrivono l’incontro degli uomini delle due popolazioni, s la differenza di mortalità delle stesse popolazioni. In poche parole, con queste due funzioni si regola l’evoluzione delle singole popolazioni non come se fossero isolate, ma interagendo tra loro. Stabilite le costanti, che possono comunque variare stagionalmente nel tempo, e deciso il numero iniziale di individui per specie, si può calcolare la loro l’evoluzione temporale. Consideriamo dapprima il seguente caso, descritto nel linguaggio del Mathematica dal codice: a =1.3; c=0.95; h= 10^(-5); s = 0.1; b = 0.01; d= – 0.00001; k=0; f[x_,y_]:= a x - h x^2 – s b x y , c y - d x y; listatutta=NestList[f,7000,300,300]; ListPlot [ listatutta , PlotStyle→ Red , PlotJoined->True , AxesLabel->"Neanderthal","Moderno" ]
4500 4750 5000 5250 5500 5750Neanderthal
240
250
260
270
Moderno
Per rappresentare l’andamento delle due popolazioni nei primi 150 anni basterà considerare le istruzioni (in blu l’uomo di Neanderthal, in rosso l’uomo moderno):
XIX
neanderthal2=Table[listatutta[[i,1]],i,300]; moderno2=Table[listatutta[[i,2]],i,300]; MultipleListPlot[neanderthal2,moderno2,PlotStyle→Blue,Red, PlotJoined→True,SymbolShape→None, AxesLabel->"Anni","Popolazione"]
50 100 150 200 250 300Anni
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Popolazione
I grafici precedenti indicano che, attribuendo determinati valori alle costanti, le popolazioni evolvono, arrivando in un determinato momento ad una situazione di equilibrio In questo caso invece i grafici mostrano come una specie può portare l’altra all’estinzione, con l’uso di altri valori per le costanti. Per esempio: Neanderthal[0]=1500; Moderno[0]=500; a=3.00986; b=0.885 ; d=5 10^(-5); c=0.355; s=-2; f[x_,y_]:=x (a-d (x+y)-b), y(c-d (x+y)-s b) lista=NestList[f,1500,500,50000]; ListPlot[lista,PlotStyle→Red,PlotJoined→True]
XX
Se invece guardiamo l’andamento delle due popolazioni, otteniamo:
Il codice corrispondente è ora: MultipleListPlot[Neanderthal2,Moderno2,PlotStyle→Blue,Red,PlotJoined→True, SymbolShape→None,AxesLabel→"Anni","Pop.",PlotLabel→" Neanderthal: blu; Moderno: rosso"]
XXI
Alessandro Tomasi
LOVE AFFAIRS INTRODUZIONE Il Liceo Scientifico Statale “G. Galilei”, ha aderito nell’A.S. 2005/2006 al Progetto Nazionale Lauree Scientifiche per la matematica, di cui codesta istituzione è Scuola Polo per la provincia di Rovigo; l’attività è promossa dal MIUR, Ufficio Scolastico Regionale del Veneto e dall’Università degli studi di Padova. All’interno del nostro laboratorio di matematica per il Progetto Lauree Scientifiche, che si è svolto in cinque incontri, abbiamo avuto la possibilità di analizzare esempi di sistemi dinamici, di dinamica deterministica e caotica. In particolare, abbiamo discusso alcuni sistemi che attraverso una descrizione matematica della realtà permettevano di conoscere in anticipo l’evoluzione temporale dei sistemi stessi, noti i loro stati iniziali. Le nostre esperienze sono state realizzate attraverso l’uso del calcolatore e del software Mathematica 5.2. Un sistema dinamico è una funzione che ha un certo modo di comportarsi, una sua “condotta” (dall’inglese “attitude”). I suoi principali elementi sono essenzialmente due:
a) Un vettore di stato che descrive completamente lo stato del sistema. b) Una funzione, cioè una legge, che ci dica, dato lo stato del sistema in un certo
istante, quale sarà lo stato del sistema negli istanti di tempo successivi. Più in generale, un sistema dinamico è una successione di eventi che ammette una descrizione: una palla che rotola, un satellite che gira intorno alla terra, l’acqua che scorre lungo un fiume. In linguaggio matematico, l’insieme degli eventi che possono succedere si chiama spazio delle configurazioni Q, l’evento che si sta verificando si chiama configurazione ed è un punto x di Q. Un sistema dinamico è una legge che muove i punti di Q. Generalmente, i sistemi dinamici sono continui: il tempo fluisce in modo continuo e le evoluzioni sono curve nello spazio. Noi ci siamo occupati di sistemi dinamici discreti: la configurazione viene osservata come se scattassimo istantanee al sistema ogni secondo. L’applicazione che, ad (fotogramma 0) associa (fotogramma 1) è una funzione f di Q in Q. In matematica f si chiama funzione, o mappa. Quindi: la legge di evoluzione che regola il sistema dinamico è una mappa f : Q
0x
1x
→→Q. Se è una configurazione al tempo 0 allora f ( ) = è la configurazione al tempo 1. Studiare il sistema dinamico vuol dire determinare gli
eventi futuri. Le mappe f potranno dipendere da parametri (agenti esterni come variazioni stagionali…).
0x 0x
1x
Nei nostri incontri abbiamo più precisamente trattato: - dinamica delle popolazioni: abbiamo analizzato il modello Maltusiano e quello di Verlhust, che trattano una sola popolazione. La legge f è una mappa di R in R dove un numero reale è la popolazione ad un certo istante. Dato che le popolazioni non sono mai isolate, abbiamo studiato anche i modelli di interazione tra popolazioni; - mappa logistica: abbiamo preso il modello di Verlhust e agendo sui parametri, abbiamo visto quanto si complica la situazione e si arriva al caos.
XXIII
Per poter studiare più agevolmente i sistemi dinamici l’ingrediente principale sono delle configurazioni speciali: quelle di equilibrio. Una configurazione è di equilibrio se f(x)=x. Se ci si trova in quella configurazione non ci si muove più. Gli equilibri possono essere instabili, stabili od attrattivi. Se l’equilibrio è stabile si capisce cosa succederà (dinamica delle popolazioni), se l’equilibrio è instabile si genera il caos. Ciò che collega tutte queste nozioni, apparentemente molto diverse tra loro, è l’idea di evoluzione temporale di un sistema e proprio per questo ho avuto l’occasione di concentrare la mia attenzione su un particolare tipo di sistema lineare: il modello per le dinamiche delle “relazioni amorose” (dall’inglese “love affairs”). Prima di affrontare questo modello è utile una breve introduzione sui sistemi lineari. SISTEMI LINEARI Generalmente un sistema lineare in due dimensioni è un sistema nella forma: x ax by= + , y cx dy= + , dove a ,b, c, d sono parametri. Ricordando il prodotto di una matrice per un vettore, il sistema può essere scritto nella forma più compatta x A x= , dove
a bA
c d⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎠
⎟ ed x
xy
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Così un sistema è lineare se 1x e 2x sono soluzioni e lo sono anche qualsiasi combinazione lineare c1 1x + c2 2x . Osserviamo che 0x = quando 0x = , così * 0x = è sempre un punto fisso per ogni scelta di A. Le soluzioni di x A x= possono essere
visualizzate come traiettorie che si muovono sul piano xy
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, chiamato piano di fase.
Spieghiamo ora come trovare gli autovalori e gli autovettori. Gli autovalori di una matrice A sono dati dall’equazione caratteristica det(A-λI)=0 , dove I è la matrice identità. Per una matrice 2 x 2:
A = dcba
L’equazione caratteristica diventa:
det = 0 . λ
λ−
−dc
ba
XXIV
Espandendo i prodotti dei determinanti:
02 =∆+−τλλ (1) dove =τ traccia(A) = a + d ,
∆ = det(A) = ad – bc ; si ha inoltre:
242
1∆−+
=ττλ ,
242
2∆−−
=ττλ . (2)
Questi sono le soluzioni dell’equazione quadratica (1). In altre parole, gli autovalori dipendono solo dalla traccia e dal determinante della matrice A. La situazione tipica è, per gli autovalori, di essere distinti: 21 λλ ≠ . In questo caso, un teorema dell’algebra lineare garantisce che i corrispondenti autovettori v1 e v sono linearmente indipendenti e perciò descrivono tutto il piano (Figura 1). In particolare, ogni condizione iniziale x può essere scritta come una combinazione lineare di autovettori: x .
2
0
22110 vcvc +=
Figura 1
XXV
CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI FISSI Ecco il tipo e la stabilità di tutti i differenti punti fissi in un singolo diagramma:
Verde: nodi instabili. Azzurro: spirali instabili. Viola: spirali stabili. Giallo: nodi stabili.
2 Gli assi sono la traccia τ e il determinante diagramma sono contenute nelle seguenti fo
)4(21 2
2,1 ∆−±= ττλ , 21λλ=∆
La prima equazione è la (2). La seconda el’equazione caratteristica nella forma (λ −Figura 2 possiamo fare le seguenti osservazi- Se ∆ < 0 , gli autovalori sono reali e hanpunto sella. - Se ∆ > 0 , gli autovalori sono o reali con l(spirali e centri). I nodi soddisfano al vincoalla condizione < 0. ∆−42τ La parabola = 0 è la linea di confindegeneri giacciono su questa parabola. La sda
∆−42τ
τ . Quando τ < 0, entrambi gli autovalori hanstabile. Nodi e spirali instabili hanno 0>τdove gli autovalori sono puramente immagin- Se ∆ = 0 , almeno uno degli autovalori isolato. C’è anche un’intera linea di punti fissi, comse A = 0 . La Figura 2 mostra i punti di sellatipi di punti fissi essi si trovano nella region
XX
Figura
∆ della matrice A . Tutte le informazioni del rmule:
, 21 λλτ +=
la terza possono essere ottenute scrivendo )(1λ λλλ =− )2 02 =∆+−τλ . Riguardo la
oni: no segni opposti; perciò il punto fisso è un
o stesso segno (nodi), o complessi coniugati lo > 0 e le spirali soddisfano invece ∆−42τ
e tra i nodi e le spirali; i nodi stella e i nodi tabilità dei nodi e delle spirali è determinata
no parti negative reali, cosi il punto fisso è . I centri stabili si trovano sulla linea τ = 0 , ari. è zero. Quindi l’origine non è punto fisso
e la Figura 3, oppure un piano di punti fissi, , i nodi, e le spirali che sono i più importanti e aperta del piano ( , )τ∆ .
VI
Centri, stelle, nodi degeneri e punti fissi non isolati sono casi borderline che si trovano lungo le curve nel piano ( , )τ∆ . Affari di cuore La storia seguente illustra l’idea di amorose, per l’appunto “love affaires” (Romeo è innamorato di Giulietta, ma nfidanzata incostante. Più Romeo la amaquando Romeo si scoraggia e ci rstranamente attraente. Romeo, d’altro focoso quando lei lo ama, si raffredda qAssegniamo: R(t) = l’amore/odio di Romeo pe J(t) = l’amore/odio di Giulietta p Valori positivi di R e J significano ammodello per il loro romanzo trasversale
.R = a J
= − b R .J
dove i parametri a e b sono positivi, perIl triste risultato della loro relazione è, sistema dinamico che governa la situaRomeo e Giulietta riescono ad ottenetempo (Figura 4).
Figura 3
un modello per le dinamiche delle relazioni Strogatz 1988). ella nostra versione della storia, Giulietta è una , più Giulietta vuole scappare e nascondersi. Ma ipensa, Giulietta comincia a trovare Romeo lato, si comporta in modo a lei simile: diviene
uando lei lo odia.
r Giulietta al tempo t er Romeo al tempo t .
ore, valori negativi significano odio. Quindi il è:
essere coerenti con la storia. ovviamente, un ciclo infinito di amore e odio; il zione ha un centro in (R,J) = (0,0). Alla fine, re l’amore simultaneamente per un quarto del
X
Figura 4
XVII
Adesso consideriamo le previsioni per gli innamorati governate del sistema lineare generale:
.R = a R + b J
= c R + d J .J
dove i parametri a, b, c, d possono avere entrambi i segni. Una scelta dei segni specifica gli stili romantici. Come è stata chiamata da uno studente di Strogatz, la scelta a > 0 , b > 0 significa che Romeo è un “amante appassionato” (“eager beaver”), poiché egli si emoziona per l’amore di Giulietta per lui, ed è inoltre stimolato dai suoi sentimenti affettuosi per lei. È divertente assegnare un nome agli altri tre stili romantici e predire gli esiti per la varie coppie. Per esempio, può un “cauto innamorato” (“cautious lover”) (a < 0, b > 0) trovare un vero amore con un amante innamorato ? Che cosa succede quando due identici “cauti innamorati” si mettono assieme ? Soluzione: Il sistema è:
.R = aR + bJ
= bR + aJ .J
con a < 0 , b > 0 . Qui a è una misura di prudenza (entrambi cercano di evitare di scaraventarsi l’uno sull’altra) e b è una misura di istintività (entrambi sono eccitati dalle avances dell’altro). Ci aspettiamo che l’esito dipenda dal peso relativo di a e b . Osserviamo che cosa accade. La matrice corrispondente è.
A = abba
che ha
02 <= aτ , , 22 ba −=∆ 044 22 >=∆− bτ Da questo momento, il punto fisso (R,J) = (0,0) è un punto di sella se e un punto stabile se . Gli autovalori e i corrispondenti autovettori sono:
22 ba <22 ba >
ba +=1λ , , 1 (1,1)Tv = ba−=2λ , , 2 (1, 1)Tv = −dove con T indico il trasposto del vettore (riga). Dal momento che a + b > a – b , l’autovettore (1,1) , misura la varietà instabile quando l’origine è un punto di sella. La figura 5 mostra il ritratto di fase per i due casi.
XXVIII
Se , la relazione giunge sempre a lezione sembra essere che l’eccessiva cau
22 ba >
Se , gli innamorati sono più temer22 ba <In questo modo la relazione è esplosiva. relazione diventa o una festa d’amore, otraiettorie si avvicinano alla linea R = reciprocamente ricambiati.
X
Figura 5
conclusione con una reciproca indifferenza. La tela possa portare all’apatia. ari, o forse più sensibili l’uno con l’altra. A seconda dei loro sentimenti iniziali, la loro ppure una guerra. In entrambi i casi, tutte le J , così alla fine i loro sentimenti divengono
XIX
Progetto Lauree Scientifiche
Relazione di:
Barbuiani Marco, Frigato Mauro, Marzolla Alberto Un sistema dinamico è un modello matematico di una situazione che cambia, si muove (come espresso dalla parola dinamica, di origine greca). Può trattarsi del moto orbitale della Terra, come del movimento di un congegno meccanico. È sempre difficile introdurre un corso di matematica, perché non si possono descrivere i contenuti senza fare uso di definizioni e risultati che saranno spiegati in seguito. Noi vogliamo introdurre la nozione più generale di sistema dinamico, senza presupporre le definizioni dettagliate dei singoli casi; non sarà possibile dare le definizioni complete di alcuni tipi di sistema dinamico (per esempio integrabile, conservativo) che presuppongono altre nozioni. Nel nostro percorso ci hanno aiutati e coordinati i prof. G. Valente, B. Napolitano e M. Nicoli, supportati anche dall’aiuto di due docenti del Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata dell’università degli studi di Padova, i prof. A. Giacobbe e O. Bernardi, che con la loro esperienza ci hanno aiutato a fare nostri questi concetti. Successivamente il gruppo formato da 25 persone all’incirca è stato suddiviso in due sottogruppi, uno dei quali, lavorando con le calcolatrici Texas TI-89, si è occupato dell’aspetto teorico di questi sistemi, mentre l’altro, con l’aiuto dei computer, si è occupato dell’utilizzo del programma di informatica Mathematica. Nell’ultima fase del lavoro i due sottogruppi si sono riuniti, e attraverso la loro fattiva collaborazione, si è giunti alla realizzazione di un lavoro completo e ben organizzato.
XXXI
Questo è un resoconto degli apprendimenti teorici, basilari e necessari per una miglior comprensione dei risultati ottenuti che altrimenti non avremmo potuto interpretare al meglio comprendendoli a pieno. Si è proceduti per gradi, partendo dalla nozione di successione e così via, per riuscire a raggiungere il nostro obiettivo: la comprensione e l’elaborazione dei grafici a ragnatela. Si definisce successione una funzione o applicazione definita in un sottoinsieme S dei numeri naturali N che ha valori in R:
ƒ: S N R
n ƒ(n) = an
essa viene definita come una funzione che ha per dominio un sottoinsieme dei numeri reali e da un punto di vista grafico può essere rappresentata in un piano cartesiano nel quale i punti hanno coordinate (n;an).
E’ possibile descrivere una o più grandesistema dinamico) a passi costanti delladinamico discreto) tramite una speciale le a0 è assegnato an+1 =ƒ (an) viene defin
a1 = ƒ (a0) è possibilesuccessiondell’eleme
a2 = ƒ (a1) a3 = ƒ (a3) La formula che definisce il termine ennesin una successione definita per ricorrenza
Y
. 2
. 1 0
1 2 x
XXXII
Ad esempio:N R N an =n2 0 0 1 1 2 4 … … …
zze (sistema) che evolvono (un variabile temporale (un sistema gge ricorsiva.
ita successione ricorsiva
conoscere ogni elemento della e sulla base della conoscenza nto precedente
imo nota la condizione iniziale x0 è:
xt = at x0
Si definisce sistema dinamico discreto del primo ordine una funzione del tipo:
xt+1 = ƒ (xt) Detta equazione alle differenze, dove:
t = 0,1,2,… xt è una successione definita per ricorrenza mediante la funzione
generatrice ƒ
Una soluzione di un’equazione alle differenze è una successione di x, che soddisfa, per ogni t ≥ 0, l’equazione alle differenze stessa. Si definisce invece sistema dinamico discreto lineare una funzione caratterizzata da una equazione alle differenze del tipo:
xt+1 = axt , con a ≠ 0
Il modello di Malthus è un esempio di sistema dinamico discreto lineare, il quale è particolarmente utilizzato nello studio delle popolazioni. Definiamo: x0 la popolazione iniziale, con n il tasso di natalità e con m il tasso di mortalità; possiamo notare che in assenza di fattori esterni:
xt+1 = xt + nxt - mxt
xt+1 = (1+n-m)xt
xt+1 = axt , con a = 1+n-m
• Se 0<a<1,cioè n<m, la popolazione si estinguerà esponenzialmente • Se a >1,cioè n>m, la popolazione aumenta esponenzialmente
Un sistema dinamico discreto lineare affine è invece caratterizzato da un’equazione alle differenze del tipo:
xt+1 = axt + b Tra le infinite soluzioni esiste una e una sola soluzione che sia costante; in questo caso l’equazione diventa
xt+1 = xt
XXXIII
quindi x = ax + b
da cui x = b / (1 – a)
Se si parte da tale valore, il sistema dinamico non evolve ma è stazionario. Se a = 1 xt+1 =axt + b
xt+1 = xt + b , con b > 0
xt+1 = xt , per ogni t ≥ 0
xt + b = xt in questo caso non ci sono punti di equilibrio. Vogliamo ora dimostrare la stabilità di un punto di equilibrio:
xt = at (x0 – b/ (1 –a)) + b/ (1- a)
xt+1 = axt + b
x0 condizione iniziale
x1 = ax0 + b
x2 = ax1 + b = a (ax0 +b) + b
= a2x0 + a2b + ab + b
xt = atx0 + b (at – 1 + … + 1)
= atx0 + b/ (1 - a) – b/ (1 - a)
= at (x0 – b/ (1 - a)) + b/ (1 – a)
posto E = b/ (1 - a):
xt = at (x0 – E ) + E
• Se x0 = E la soluzione è una successione di valore costante • Se a è compreso tra -1 e 1,allora at tende a 0 e il sistema converge a
E,comunque si fissi la condizione iniziale in questo caso si dice che E è un punto di equilibrio stabile (oppure che è attrattore), perché attrae successioni il cui valore iniziale è diverso da x0 = E. In questo caso E è un attrattore globale, nel senso che qualunque sia la condizione iniziale del sistema, il sistema evolve convergendo ad E
Se a > 1, il sistema volge esponenzialmente. Il punto di equilibrio si dice instabile; se si parte da E il sistema rimane fermo, ma se vi è una piccola perturbazione alla condizione iniziale vi è poi una catastrofe.
XXXIV
Successivamente abbiamo ritenuto importante soffermarci su un altro concetto secondo noi importante, legato al concetto di caos incontrato nello studio della dinamica dell’evoluzione di popolazioni. Di seguito se ne riporta un piccolo resoconto.
Effetto farfalla I fisici amano pensare che tutto ciò che si deve fare è dire:
“Queste sono le condizioni; e ora,che cosa accadrà subito dopo?” Richard P.Feyman
La meteorologia fu probabilmente il campo in cui si svilupparono inizialmente le prime e rudimentali idee a proposito del concetto di caos. Edward Lorenz, studioso al M.I.T. (Massachussets Institute of Tecnology), osservava le più diverse condizioni ambientali mutare continuamente, senza riuscire comunque a seguirne o meglio anticiparne l’evoluzione tramite l’ausilio del suo computer, un Royal McBee, e dei suoi modelli che giravano dentro quell’insieme di circuiti e valvole elettroniche, ingombrante quanto una stanza e rumorosissimo, e come se non bastasse tanto delicato da rompersi quasi ogni settimana. Ma il limite più grande probabilmente era la carenza di velocità e di memoria sufficienti per fornire una simulazione realistica del comportamento dell’atmosfera e degli oceani. Tuttavia riuscì ad elaborare un modello composto di dodici equazioni che descrivevano i rapporti tra pressione temperatura e velocità del vento, poco realistico e troppo idealizzato, ma non ripetitivo: gli eventi potevano essere descritti con scrupolosità matematica, ma non si ripetevano mai due volte uguali. Lorenz comprese che l’essenziale non erano le statistiche, come massime e minime delle temperature, ma piuttosto il modo in cui le configurazioni atmosferiche mutavano nel corso del tempo; e realizzò questo con l’aiuto del Royal McBee, rappresentante di quell’ “universo macchina” di cui Lorenz era il “dio”. Gli scienziati erano concordi nel dire che le condizioni meteorologiche erano decisamente più complicate di altri campi come lo studio dei moti dei corpi celesti, nonostante fossero governate dalle stesse leggi. Forse un computer più potente avrebbe potuto svolgere dunque il ruolo dell’intelligenza suprema immaginata dal filosofo matematico settecentesco Laplace. Lorenz riuscì ad ottenere risultati sempre migliori con la sua opera di programmazione e con l’evoluzione tecnologica dei computer: otteneva modelli dalle caratteristiche sempre più ”terrestri”, sebbene ancora non potessero essere assimilati alle reali condizioni. Il pregio di quei modelli
XXXV
era prevedere cambiamenti verosimili e di contenere l’imprevedibilità: quando lo scienziato si accorse che immettendo quasi gli stessi dati iniziali il proprio modello produceva grafici metrologici sempre più diversi mano a mano che si allontanavano dall’istante iniziale pensò che ci fosse qualcosa di sbagliato nel suo modello, ma si rese conto che quella scoperta aveva qualcosa di enormemente importante che i suoi colleghi avrebbero compreso più tardi. Benché le sue equazioni fossero parodie grossolane della meteorologia terrestre, egli credeva che cogliessero l’essenza dell’atmosfera reale. Da quel momento decise che la previsione meteorologica a lungo termine fosse impossibile. Tuttavia in quegli anni la scienza, trasportata da grande ottimismo si lanciò verso imprese inverosimili dando per scontate cose assolutamente imprevedibili. Von Neumann notò che i sistemi dinamici complicati avevano punti di instabilità. Da questo dedusse erroneamente di poter stimolare questi punti critici del sistema dinamico “atmosfera”, pilotando in un certo senso il tempo. Anche alcune commissioni di scienziati tentarono di perseguire questo suo scopo, almeno per quanto riguarda la parte della predizione. Ciò che indusse tutti in errore era la convinzione che solamente alcuni punti fossero instabili, ignorando la condizione di caos, ossia l’instabilità di ogni punto. In quegli anni la creazione di modelli per mezzo di computer era riuscita a trasformare la previsione del tempo da arte a scienza. Tuttavia le predizioni al di là di due o tre giorni erano mere speculazioni, quelle di sei o sette giorni pressoché inutili. Perché dunque accadeva questo? Ebbene la risposta sta proprio nell’effetto farfalla. Ossia per piccoli fenomeni meteorologici ogni previsione si deteriora rapidamente. Errori incertezze e piccole imprecisioni si moltiplicano a cascata attraverso una catena di elementi di turbolenza dai più piccoli ai più grandi, provocando una catastrofe nel sistema, che raggiunge il caos. Anche le moderne previsioni presentano in linea teorica gli stessi limiti anche se ora meno importanti, tant’è vero che nemmeno oggi con satelliti e sensori terrestri saremmo in grado di predire con assoluta esattezza i mutamenti dal momento che per noi sarebbe impossibile anche la semplice rilevazione dei dati in modo perfetto: e questo porta come già spiegato alla moltiplicazione delle incertezze per l’effetto farfalla e a situazioni verosimili ma non certe. Per questo motivo questo effetto è conosciuto più precisamente con il nome tecnico di “dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali”.
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Una strofa molto semplice, quasi una sorta di filastrocca facente del folklore è molto esemplificativa del concetto sopra citato:
Per colpa di un chiodo si perse lo zoccolo; per colpa di uno zoccolo si perse il cavallo; per colpa di un cavallo si perse il cavaliere; per colpa di un cavaliere si perse la battaglia; per colpa di una battaglia si perse il regno!
Furono utilizzati vari modelli, anche meccanici, per tentare di studiare le situazioni in cui poteva crearsi il caos a causa dell’effetto farfalla, tra cui uno per l’osservazione della convezione dei fluidi, ed una ruota meccanica mossa dalla caduta di acqua. Nel primo il fluido analizzato seguiva un determinato movimento circolare generato dal calore trasferito dal basso verso l’alto; nel momento in cui però il fluido veniva riscaldato maggiormente aveva inizio un’instabilità originando un’oscillazione che procedeva avanti e indietro lungo le celle. Con un calore ancora più elevato il sistema diveniva irregolare e turbolento. Il secondo invece era la famosa ruota di Lorenz, il primo vero e proprio sistema caotico scoperto dallo studioso. Esso è costituito da una ruota con agganciati dei secchi con un piccolo forellino sul fondo. Analogamente al sistema precedente – si noti l’analogia tra la ruota e i moti circolari e tra calore e quantità d’acqua, tra il primo e il secondo modello – il moto è sorprendentemente complicato: richiede una certa quantità minima di spinta per superare l’attrito e mettersi in moto (prima era necessario un calore minimo per superare la viscosità), e la caduta dell’acqua costante non porta, come ci si aspetta, ad una stabilizzazione a lungo andare. Infatti se la caduta del liquido è veloce la rotazione diviene caotica, a causa degli effetti non lineari intrinseci del sistema. Inoltre, i secchi, passando sotto l’acqua si riempiono a seconda della velocità con cui si muove la ruota (allo stesso modo un fluido che circola velocemente ha poco tempo per assorbire calore). Di fronte a tutto questo Lorenz pervenne ad una conclusione diversa da quella di un comune fisico che avesse presupposto un flusso d’acqua regolare: egli anziché immaginare una condizione stazionaria, inserì nel suo computer tre equazioni, con tre variabili che descrivevano completamente il moto del sistema. Il computer stampò le terne dei valori mutevoli delle tre variabili. Immaginando di identificare i valori di ciascuna terna come le coordinate spaziali di punti, ottenne una figura tridimensionale che divenne in seguito famosissima con il nome di “attrattore d Lorenz”.
XXXVII
Questa sorta di doppia spirale consiste nel luogo dei punti identificati da quelle terne di valori. Si ripete all’infinito, in traiettorie anche molto simili ma mai due volte identiche. Era la prima vera rappresentazione grafica del caos di un sistema. Proprio da questa forma simile alle ali di una farfalla derivò il nome di questo fenomeno. Alcuni associarono questa rappresentazione anche alla mascherina di un barbagianni. Sarebbe bello poter approfondire ulteriormente l’argomento con altre nozioni riguardo la storia della scienza che ha portato all’intuizione dell’effetto farfalla, riguardo l’effetto farfalla stesso ed il concetto di caos ma probabilmente i nostri strumenti non sono ancora così progrediti per tale scopo. Il nostro intento in questo nostro “percorso” è stato quello di esporre quelle che sono state le notizie e le nozioni più interessanti apprese a seguito della lettura consigliata dal prof. G. Valente: un saggio di James Gleick concernente questi e molti altri argomenti concatenati alle medesime tematiche.
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“Progetto Nazionale Lauree Scientifiche”
Relazione di Luca Cisotto
Il Liceo Scientifico Galileo Galilei di Adria è stato scelto come polo per il Progetto Nazionale Lauree Scientifiche nel campo della matematica. Tale progetto, sostenuto dall’Università degli Studi di Padova, aveva innanzitutto il desiderio di avvicinare gli studenti interessati alla Facoltà di Scienze della suddetta Università ed inoltre lo scopo di riuscire a far conoscere agli alunni uno studio della Matematica partendo da un approccio pratico invece di seguire la procedura “standard” delle normali lezioni, che prevede un fondamento teorico per una successiva fase di applicazione. Grazie al contributo di due professori provenienti da Padova, il dottor Giacobbe e la dottoressa Bernardi e dei nostri insegnanti è stato per noi possibile avvicinarsi ai sistemi dinamici in modo curioso e divertente, e conoscere le equazioni logistiche che descrivono l’evoluzioni di sistemi e popolazioni fra loro interagenti e non. Inizialmente è stato fatto un lavoro divulgativo in cui agli studenti veniva fatta una presentazione teorica dell’argomento per essere divisi poi in due gruppi: uno di questi affrontava lo studio da un punto di vista maggiormente teorico e l’altro svolgeva calcoli al computer tramite il programma “Mathematica” grazie al quale era possibile rappresentare l’iterazione di due popolazioni per notare come degeneravano o crescevano, procedendo man mano allo studio di fenomeni maggiormente complessi. • Crescita delle cellule tumorali e applicazione all’epilessia Personalmente, ritengo che gli incontri effettuati siano stati molto interessanti e per questo ho deciso di approfondire una tematica molto attuale sfruttando le conoscenze apprese: lo sviluppo delle cellule tumorali, argomento che fu affrontato nel 1994 dagli scienziati Cross e Cotton. Essi intendevano descrivere queste cellule partendo dall’equazione di evoluzione:
Nt+1 = r Nt (1-Nt / k) r > 0, k > 0, dove “r” è il coefficiente di accrescimento mentre “k” definito coefficiente logistico, venne da loro posto =1. La scelta della normalizzazione di Nt ad 1 significa che Nt deve essere interpretato come la frazione di cellule della popolazione totale che possono essere mantenute nella cultura. Inoltre, gli studi fatti ci consentono di sapere che per r < 3 la popolazione Nt aumenta fino a raggiungere una situazione stabile data da ( r-1 ) / r, tale fatto è ben visibile nella figura 1 sottostante:
XXXIX
0 10 20 30 40 50
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Per valori di r > 3 il grafico cambia in modo significativo ed appaiono soluzioni periodiche dando origine al caos per r > rc ( r critico). Quando il parametro “r”, che ricordiamo essere l’indice di crescita delle cellule tumorali, si trova nel regime caotico, la popolazione di cellule, ad un qualsiasi istante t, dipenderebbe criticamente dalle condizioni iniziali. Nella figura 2 qui sotto, Nt si avvicina alla soluzione periodica ma nei primi periodi esibisce una curva di crescita pressoché sigmoidea.
0 10 20 30 40 50
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Supponendo che il ritmo di crescita di tali cellule sia differente, ma che in tutte sia tale da essere r > rc, esse mostrano un comportamento caotico; un notevole interesse dal punto di vista dello studio patologico è nella dimensione totale del tumore, cioè nel numero di cellule. Cross e Cotton considerarono inizialmente 5 cloni e sommarono le loro popolazioni per ottenere la popolazione totale, un esempio di quanto detto è dato da questo grafico:
XL
0 10 20 30 40 50
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
In tale rappresentazione iniziamo a vedere l’inizio di una sorta di “appiattimento” del comportamento caotico e il tentativo di apparizione di un regime simile a quello in figura 1 Quest’ultimo effetto è ancora più chiaro se si esaminano 400 cloni, come possiamo vedere dal grafico esso è ancora più evidente:
0 10 20 30 40 50
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Le clonazioni multiple sono molto comuni nella crescita dei tumori e gli esempi precedenti ci hanno dimostrato come queste possano oscurare un comportamento di tipo caotico, tuttavia è bene ricordare che nella dimostrazione di questi abbiamo considerato valori alquanto insoliti come ad esempio una crescita del parametro “ r “ costante per tutto il tempo di osservazione.
XLI
In effetti lo studio di modelli di crescita in cui il coefficiente di accrescimento non sia costante sarebbe molto complicato in quanto, essendoci una struttura di età diversa, ogni clone avrebbe un regime di crescita caotico. La crescita delle cellule tumorali è solamente uno degli esempi di regime caotico, infatti molti processi biologici sono di questo tipo, anche l’epilessia (patologia cronica del sistema nervoso caratterizzata da crisi convulsive ricorrenti, nei quali gli attacchi possono essere dovuti a un danno cerebrale provocato da differenti tipologie di traumi) per esempio si comporta con uno sviluppo non determinato; un aspetto rilevante consiste nel fatto che in molti sistemi caotici vi siano delle esatte intermittenze fra regioni di caos e regioni ordinate, come mostrato in figura: Questi sono iterazioni asintotiche per l’equazione discreta xt+1 = xt + r xt (1-xt) con 1,9 < r < 3, e nella biforcazioni ottenute, è possibile vedere questa alternanza fra modello deterministico e caotico, rilevando inoltre anche alcune inaspettate proprietà di autosimilarità della stessa. Alcuni scienziati hanno ipotizzato che l’epilessia possa essere un esempio di caos, con tali considerazioni un ulteriore e più attenta analisi dell’elettroencefalogramma ha fornito nuovi sviluppi all’interno del processo genetico epilettico, con un uso possibile nella diagnosi e nel trattamento dell’epilessia. Interessanti studi relativi al ruolo del caos nell’attività del nostro cervello dimostrano come in condizioni di benessere il nostro sistema fisiologico si comporta in realtà con un regime imprevedibile, questo perché il comportamento caotico consente dei vantaggi funzionali e una maggiore flessibilità di quelli periodici e questo permetterebbe all’organismo sano di rispondere ai diversi stimoli esterni senza subire danni. In particolare, gli scienziati Iasemidis e Sackellares studiarono un migliaio di neuroni che interconnettono e sottoposero il sistema di equazioni alla perturbazione per cercare di capire come avvengono le comunicazioni fra parti del cervello ad andamento regolare e caotico, quindi fra malato e sano, il loro scopo era quello di utilizzare i risultati per cercare di curare i pazienti con parziali convulsioni. Abbiamo visto come il caos influenzi molto la nostra vita anche in fatti del tutto impensabili, non solo per quanto riguarda la crescita e lo sviluppo di popolazioni. Lo studio di questi fenomeni è stato molto stimolante poiché sinceramente non pensavo che la matematica potesse avere delle applicazioni così svariate e differenti, e sono molto contento di aver avuto la possibilità di approfondire questi studi.
XLII
Liceo Scientifico Galileo Galilei, Adria
di
Giada Lunardi, Andrea Zerbin, Isidoro Ragaglia, Marco Girardi Questo progetto è rivolto ai ragazzi del triennio per avvicinarli alle Facoltà scientifiche. Nell’anno scolastico 2005/2006 il tema trattato in una serie di cinque incontri (per un totale di quindici ore) è stato quello riguardante i sistemi dinamici. Grazie all’aiuto di docenti interni all’istituto e al contributo di due docenti universitari, si sono affrontate problematiche sia relative all’aspetto teorico sia riguardanti l’utilizzo di un software, nel nostro caso “Mathematica”. Durante la prima lezione il gruppo degli alunni che partecipavano al progetto si è diviso: una parte ha seguito una lezione prettamente teorica, l’altra ha iniziato ad acquisire le informazioni di base per l’utilizzo del Mathematica. Nella lezione teorica, si sono date le definizioni di successione, ottenuta anche con metodo ricorsivo, e di sistema dinamico, lineare e affine. Nel frattempo, il gruppo che utilizzava il Mathematica cominciava lo studio di popolazioni. Nelle lezioni successive, i due gruppi si sono uniti, comunicandosi vicendevolmente le competenze acquisite. Si sono viste varie tipologie di grafici, tra cui il diagramma a ragnatela. Questo evidenzia la presenza di un punto di equilibrio, che può fungere o da attrattore o da repulsore del sistema. In particolar modo, noi ci siamo interessati alla curva di Feigenbaum, mediante le cui biforcazioni si evidenziano facilmente i raddoppiamenti del periodo. È interessante notare come per valori di k maggiori di 3.58, il sistema degeneri nel caos.
XLIII
L’applicazione logistica ha la forma: x k x(1-x) Tale funzione è definita per valori di x compresi tra 0 e 1 e per valori di k compresi tra 0 e 4. Fra i molti caratteri di questa applicazione, quella che ci interessa è la cascata dei raddoppiamenti di periodo. La rappresentazione grafica di tale funzione è una curva, il cui nome è “fico”, in onore di Feigenbaum (in tedesco “albero di fico”). Il vero e proprio grafico del fico compare per valori del parametro k compresi tra 3 e 4: per tali valori infatti, la curva inizia a presentare dei punti di biforcazione, al seguito dei quali la curva inizia a presentare 2 diramazioni per ogni punto.
Rappresentazione grafica della curva di Feigenbaum dove, per valori di k
uguali a 3 e 3.5, si ottengono le prime due biforcazioni.
XLIV
Un esempio di soluzione aperiodica dell’equazione logistica per k = 3.9. Il diagramma riporta in ordinate i valori di x e in ascisse il tempo.
Se ingrandiamo il grafico nello spazio corrispondente ai valori di k compresi tra 3.5 e 4, otteniamo delle copie approssimate dell’intero fico. Se scegliamo pezzi sempre più piccoli e li ingrandiamo l’immagine che ci risulta può stabilizzarsi, nel senso che versioni successive cominciano ad apparire quasi identiche. Questo processo è la rinormalizzazione del sistema. Ogni proprietà nella geometria infinitesimale dell’originale può essere ritrovata nella geometria finita dell’oggetto rinormalizzato. Il rapporto di scala tra una biforcazione e l’altra è di 4,6692016090. L’intuizione di Feigenbaum fu che da qualsiasi applicazione si parta, sia essa l’applicazione logistica, quella trigonometrica o qualsiasi altra, la dinamica la porta ad avvicinarsi sempre più all’applicazione omonima. Così le sue proprietà, che dipendono solo dagli stati avanzati del procedimento di ingrandimento, vengono ad assomigliare sempre di più a quelle dell’applicazione di Feigenbaum. Tutto ciò perché in questo sistema dinamico di applicazione c’è un solo attrattore, cioè il numero 4,6692016090.
XLV
