1

Algebra sempre uguale? Algebra sempre uguale? Osservazioni e riflessioni sul Osservazioni e riflessioni sul suo insegnamento e suo insegnamento e apprendimentoapprendimento

Luigi TomasiLiceo “Bocchi-Galilei”, Adria (Rovigo)

Centro Ricerche Didattiche “Ugo Morin” Paderno del Grappa (Treviso)

Convegno PRISTEM - Milano 3-4-5 ottobre 2014

Matematica in classe. Giochi, modelli, storia

2

3

Scaletta

La didattica dell’algebra: un articolo ancora

attuale (G.Prodi-V.Villani)Le Indicazioni nazionali e Linee guida

(Aritmetica e algebra) con alcuni commenti Dall’aritmetica all’algebra e viceversa: qualche

esempioCosa ci dicono le prove INVALSI su Aritmetica

e Algebra al termine del I biennio?Conclusioni, considerazioni didattiche

4

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

Algebra sempre uguale?

•Tutti i ragazzi del mondo, dai 13 ai 16 anni passano circa tre anni a studiare l’algebra, come succede da tanto tempo…•Qual è la situazione attuale dell’insegnamento e dell’apprendimento dell’algebra rispetto a qualche decennio fa?•Le tecnologie stanno cambiando qualcosa?•Alcune riflessioni generali e impostazioni, il più possibile calate nella pratica didattica•Qualche esempio didattico sull’insegnamento dell’algebra.

5

Un

art

icolo

ch

e h

a p

rovocato

U

n a

rtic

olo

ch

e h

a p

rovocato

m

olt

a d

iscu

ssio

ne

molt

a d

iscu

ssio

ne

Is Algebra Necessary?by ANDREW HACKER

THE NEW YORK TIMES, SundayReview, July 28, 2012Titolo di un articolo di Andrew Hacker (docente universitario di Scienze Politiche al Queens College di New York)

6

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

Algebra: perché è necessaria?

Tutti sono convinti dell’importanza del

calcolo algebrico.E’ il linguaggio delle matematica, che a sua volta è il linguaggio della scienza, ecc.Ma è un ostacolo, una specie di campo minato; molti studenti si bloccano nello studio dell’algebra A chi non impara l’algebra non si apriranno mai i campi dell’analisi (della matematica? della scienza) e di tutto quel che ne segue…

7

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

8

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

Algebra come porta verso il linguaggio

della matematica … e della scienza

Destinata ad essere alla base di tutti gli apprendimenti della matematica e nello stesso tempo a far da barriera agli studenti che si vogliono avvicinare allo studio della matematica.L’algebra è difficile!

9

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

Insegnamento dell’Algebra: un articolo

importante dal punto di vista didattico

Un riferimento importante per la

didattica dell’algebra è il seguente

articolo, che mantiene anche oggi la

sua validità:

Anche il calcolo letterale può

essere intelligente (rivista Archimede, n.4, 1982)Autori: Giovanni Prodi e Vinicio Villani

10

DID

ATTIC

A D

ELL’A

LG

EB

RA

DID

ATTIC

A D

ELL’A

LG

EB

RA

Un libro fondamentale dal punto di vista didattico

Cominciamo da Zerodi Vinicio Villani (Bologna, 2003)

Domande, risposte

e commenti per

saperne di più sui

perché della

Matematica

(Aritmetica e

Algebra)

11

IL C

LA

CO

LO

LETTER

ALE

IL C

LA

CO

LO

LETTER

ALE

L’insegnamento del calcolo letterale:

un problema didattico

“Nell’attuale prassi dell’insegnamento, a livello delle scuole secondarie superiori, molto spesso il calcolo letterale si traduce in una lunga attività esecutiva e ripetitiva, priva di motivazioni e di applicazioni. Lo si potrebbe paragonare all’istruzione formale che gli eserciti tradizionali riservavano alle reclute…”

(G.Prodi-V.Villani)

12

IL C

ALC

OLO

LETTER

ALE

IL C

ALC

OLO

LETTER

ALE

L’insegnamento del calcolo letterale: un

problema didattico

“Non si può negare che anche nel

calcolo letterale occorre, con un

opportuno allenamento, creare riflessi

condizionati, in modo che la mente, nel

seguire un ragionamento matematico,

sia solo in piccola parte assorbita dal

funzionamento del meccanismo

algebrico.”(G.Prodi-V.Villani)

13

IL C

ALC

OLO

LETTER

ALE

IL C

ALC

OLO

LETTER

ALE

L’insegnamento del calcolo letterale: un

problema didattico“Ma, nell’insegnamento corrente, troppo spesso si passa il segno, anche perché il calcolo letterale viene somministrato quasi tutto all’inizio della scuola secondaria superiore, anziché essere proposto man mano, in relazione all’ampliarsi delle prospettive teoriche e dei problemi affrontati.

Così l’algebra appare come un meccanismo noioso e inutile, tale da respingere i ragazzi più intelligenti e vivaci.

14

CA

LC

OLO

LETTER

ALE

CA

LC

OLO

LETTER

ALE

L’insegnamento del calcolo letterale: come

renderlo “intelligente”?

La tesi dell’articolo di G. Prodi e V. Villani è che “pur senza poter eliminare completamente dallo studio l’esercizio ripetitivo, il calcolo letterale può essere presentato in modo intelligente, vario e ben graduato.”

Oggi è ancora così?Come è insegnato il calcolo letterale oggi?Come si può rendere intelligente questo insegnamento/apprendimento?

15

IND

ICA

ZIO

NI

NA

ZIO

NA

LI

IND

ICA

ZIO

NI

NA

ZIO

NA

LI Nelle Indicazioni nazionali per i licei (2010) si

legge:

“il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico”

[…] “lo studente acquisirà la capacità di eseguire calcoli con le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica”.

16

IND

ICA

ZIO

NI

NA

ZIO

NA

LI

IND

ICA

ZIO

NI

NA

ZIO

NA

LI Nelle Indicazioni nazionali per i licei (2010) si legge:

Lo studente apprenderà gli elementi di base del

calcolo letterale, le proprietà dei polinomi e le

operazioni tra di essi. Saprà fattorizzare

semplici polinomi, saprà eseguire semplici casi

di divisione con resto fra due polinomi, e ne

approfondirà l’analogia con la divisione fra

numeri interi.

Anche in questo l’acquisizione della capacità

calcolistica non comporterà tecnicismi

eccessivi.

17

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Qualche commento alle Indicazioni nazionali

(2010)

“Il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico” .

Ma c’è continuità tra insegnamento dell’algebra e quello

dell’aritmetica?Molti dicono che c’è un “salto cognitivo”.Nei progetti dei ricercatori in didattica questo salto è affrontato in vari modi, centrati su: simbolismo e generalizzazione, funzioni, modellizzazioni del mondo reale, problem solving, strutture, rappresentazioni multiple.

18

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Commento alle Indicazioni nazionali (2010)

Un commento a questo passo tratto dalle Indicazioni nazionali:

“Lo studente acquisirà la capacità di eseguire calcoli con le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica”.

19

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Commento sulle Indicazioni nazionali e Linee

Guida (2010) su Aritmetica e Algebra

Ciò suggerisce che l’uso delle lettere non debba ridursi al solito calcolo algebrico, ma anzi lo preceda, e serva a esprimere proprietà dei numeri e a rappresentare adeguatamente congetture sui numeri, fornendo anche, quando possibile, la relativa dimostrazione. In quest'ottica, il calcolo algebrico va integrato con il calcolo numerico, di cui è il naturale sviluppo.

20

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Esempi che vanno nel senso delle Indicazioni

nazionali/Linee guida (2010)

Consideriamo un numero naturale n. Che cosa si può dire di n(n+1) ?È sempre dispari? È sempre pari?(INVALSI, prova naz. “III media”, 2011)

Luca afferma che, se n è un numero naturale, allora n(n+1)(n+2) è sempre divisibile per 6. Luca ha ragione? Sì / No. Motiva la tua risposta…………………(INVALSI, Classe II superiore)

21

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Un commento alle Indicazioni nazionali

-L'utilizzo delle lettere precede l'usuale calcolo algebrico ed è inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche (ma anche formule in geometria o altri ambiti), a esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle.-Solo in un secondo tempo si passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo algebrico.-Questo consentirà di consolidare gradualmente nel tempo la competenza nel calcolo numerico e di giungere a una competenza algebrica adeguata nell'arco del primo biennio.

22

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Un commento alle Indicazioni nazionali

Proprio per una forte aderenza alle strutture numeriche si suggerisce, come indicato da Giovanni Prodi, di introdurre i polinomi a partire da formule atomiche e poi le operazioni di somma e moltiplicazione. Soprattutto nelle prime manipolazioni algebriche, è importante mantenere forte il significato delle formule e far capire all’allievo che il calcolo algebrico non è fine a se stesso.

23

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Un commento alle Indicazioni nazionali

•Nell’affrontare le tecniche di calcolo algebrico sarà opportuno individuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il “senso” di una formula in un certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di calcolo formale) che è in parte legata all’addestramento.

•Si pone dunque per l'insegnante il problema della ricerca di un equilibrio fra "meccanismi" e significati, di favorire cioè la necessaria acquisizione di alcuni automatismi, mantenendo viva al tempo stesso la riflessione su quanto si sta facendo.

24

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Un commento alle Indicazioni nazionali

Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza operativa e non dovranno costituire compito eccessivamente ripetitivo;per fare un esempio, gli esercizi di sviluppo (expand nei software CAS) possono essere alternati con gli esercizi di fattorizzazione (factor), per favorire quella ‘reversibilità’ indispensabile per una completa comprensione.Notiamo come, nelle Indicazioni nazionali/Linee guida, ripetutamente si avverta di non eccedere in tecnicismi manipolatori.

25

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

26

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Indicazioni nazionali, I biennio, liceo scientifico

[L’allievo] Studierà i concetti di vettore, di

dipendenza e indipendenza lineare, di

prodotto scalare e vettoriale nel piano e

nello spazio nonché gli elementi del calcolo

matriciale. Approfondirà inoltre la

comprensione del ruolo fondamentale che i

concetti dell’algebra vettoriale e matriciale

hanno nella fisica.

27

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Un commento alle Indicazioni nazionali

Troppo nel I biennio!

Facciamo notare che la parte relativa ai vettori

e alle matrici (da non svolgere

completamente nel I biennio!) è da fare al liceo

scientifico [e pertanto va letta come un

approfondimento];

gli altri indirizzi ne fanno un uso piu’ limitato

alle operazioni tra vettori e al prodotto scalare,

nel secondo biennio.

28

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Difficoltà degli studenti nello studio

dell’algebra

Per capire le difficoltà degli studenti nell’apprendimento dell’algebra può essere utile analizzare le analogie e le differenze tra aritmetica e algebra. L’aritmetica tratta di proprietà dei numeri e calcoli sui numeri mentre l’algebra richiede di ragionare su quantità incognite e percepire la diversità tra situazioni specifiche e situazioni generali.

29

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Differenze e analogie tra aritmetica e algebra

Ci sono differenze che riguardano l’interpretazione di lettere, simboli, espressioni e il concetto di uguaglianza, poiché in aritmetica le lettere sono in genere, abbreviazioni o unità, in algebra esse rappresentano variabili, parametri o incognite.

30

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Differenze e analogie tra aritmetica e algebra

La sintassi del linguaggio algebrico consta

di un gran numero di regole basate su

principi, che, in parte, contraddicono

quelle del linguaggio quotidiano e

dell’aritmetica.

La più notevole divergenza tra algebra e

aritmetica dal punto di vista del linguaggio

è di tipo semantico con implicazioni

sintattiche notevoli.

31

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

32

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Primo approccio all’algebra

Abbiamo visto che il primo approccio all'algebra è quello di un ampliamento dell'ambiente dell'aritmetica e di una riflessione sulle sue proprietà.Tuttavia uno dei possibili modi per condurre gli alunni a un corretto uso dell'algebra è quello di proporre l'uso di simboli e la manipolazione su di essi in contesti diversi.

33

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Primo approccio all’algebra e collegamento con la

scuola sec. di I grado

Il collegamento algebra-geometria è presente già nella Scuola secondaria di I grado (“Scuola Media”) attraverso l'introduzione del 'metodo delle coordinate' : proprio con lo studio più ampio e approfondito della geometria analitica, la geometria diventerà per gli alunni nelle scuole superiori un terreno privilegiato di applicazione dell'algebra.

34

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

AR

ITM

ETIC

A E

ALG

EB

RA

Primo approccio all’algebra

Anche da sola la geometria può costituire un interessante terreno di avvio al pensiero algebrico quando ad esempio si lavora sul calcolo di aree e perimetri, in quanto mette a contatto con l'elaborazione e la manipolazione di formule: inoltre essa può fornire un supporto concreto che aiuti la visualizzazione delle proprietà formali.

35

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

Problemi ed equazioni

La nascita dell'algebra è storicamente legata allo studio delle equazioni e alla loro risoluzione.Dal punto di vista didattico le equazioni rappresentano un momento importante in quanto costituiscono uno strumento di soluzione di problemi (“algebra come strumento di pensiero”).

36

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

37

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

Algebra come strumento di pensiero

È dunque utile che l’insegnante presenti le equazioni come uno strumento efficace, ma non unico, per risolvere problemi, valorizzi i metodi elementari di risoluzione, stabilendo un collegamento con gli strumenti risolutivi utilizzati nella Scuola secondaria di I grado (uso di frecce, tabelle, diagrammi di flusso e altre rappresentazioni opportune per favorire la padronanza dei significati) etrovi gli esempi adeguati a “mettere in crisi” questi metodi quando non sono "comodi".

38

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

Problemi ed equazioni: algebra come

strumento di pensiero

Nella soluzione di un problema tramite un'equazione il linguaggio algebrico deve essere visto con una doppia valenza: come traduzione stenografica di una strategia risolutiva e come espressione sintetica su cui operare per trarne informazioni.

39

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

Equazioni Naturalmente è essenziale portare avanti anche alcuni punti fondamentali sul piano teorico quali il significato del termine uguaglianza, le ipotesi nelle quali è possibile operare trasformazioni su una uguaglianza, le questioni relative ad esistenza delle soluzioni, il significato di termini quali identità ed equazione indeterminata, ...In particolare è importante condurre gli allievi a sapere risolvere un'equazione applicando consapevolmente i "principi di equivalenza".

40

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

La scomposizione in fattori (factor)

Fra gli argomenti che nel biennio di scuola superiore possono contribuire all'acquisizione di una buona padronanza del calcolo formale e al tempo stesso presentano la possibilità di mettere in rilievo aspetti teorici interessanti accenniamo ad esempio alla scomposizione di polinomi in fattori, eventualmente irriducibili.Occorre sfatare l’idea che i polinomi si possano tutti scomporre: la probabilità di trovare un polinomio riducibile è nulla! (G. Prodi e V. Villani)

41

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

La fattorizzazione dei polinomi

Si tratta di un argomento che tradizionalmente viene svolto in tutte le scuole e viene spesso considerato ‘difficile’. Infatti, come è noto, non esiste per la fattorizzazione un algoritmo così generale e immediato come per lo sviluppo (expand), anzi l'insegnante deve mettere in evidenza con opportuni esempi il carattere eccezionale della fattorizzabilità almeno per i polinomi in più variabili (G.Prodi-V.Villani 1982).

42

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

La fattorizzazione dipende dal contesto!

Si tratta di una occasione didatticamente importante, in quanto l'esercizio algebrico anche se di tipo puramente sintattico richiede la scelta di un procedimento risolutivo anziché l'applicazione di una regola. Accanto ai raccoglimenti è utile promuovere il riconoscimento dei 'prodotti notevoli'.Più avanti, quando si tratta il problema della divisibilità fra polinomi, è importante affrontare il tema della riducibilità di un polinomio in Q[x] o in R[x].

43

ALG

EB

RA

ALG

EB

RA

Fattorizzazione: un esempio

Il polinomio x2+4 è irriducibile nei reali. Molto spesso si dice: è irriducibile perché è la somma di due quadrati (senza aggiungere che è di secondo grado…)In questo modo si crea una misconcezioneAnche x4+4 è la somma di due quadrati, ma…x4+4= x4+4 +4x2 - 4x2=(x4+4 +4x2 )- 4x2

=(x2+2)2 - 4x2 =(x2+2 +2x )(x2+2- 2x )

44

n …+12 …5 … - 4… …+40 Cosa ottieni?

7 7+12 (7+12)5 (7+12)5 – 47 [(7+12)5 - 47]+40

Pensa un numero intero• somma ad esso 12• moltiplica il risultato per 5• sottrai 4 volte il numero pensato• somma al risultato 40

Che numero hai ottenuto?

Prova ora a “generalizzare” l’espressione scritta, in modo indipendente dal numero pensato

m@

t.ab

elL’uso delle lettere non

si riduca al solito calcolo algebrico, ma

anzi lo preceda e serva ad esprimere le proprietà dei numeri

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

L’ar

itmet

ica

aiut

a l’a

lgeb

ra e

l’al

gebr

a L’

aritm

etic

a ai

uta

l’alg

ebra

e l’

alge

bra

aiut

a l’a

ritm

etic

aai

uta

l’arit

met

ica

5( n + 12) – 4n + 40 = 100 + n

m@t.abel

45L’ar

itmet

ica

aiut

a l’a

lgeb

ra e

l’al

gebr

a L’

aritm

etic

a ai

uta

l’alg

ebra

e l’

alge

bra

aiut

a l’a

ritm

etic

aai

uta

l’arit

met

ica

La gara di calcolo mentale ovvero … altri trucchi “magici”

Considera il prodotto 15·25puoi riscriverlo come (20 − 5)·(20 + 5)quindi per la solita proprietà, hai 20·20 + 20·5 – 5·20 − 5·5dopo le semplificazioni ottieni 20·20 + 20·5 – 5·20 − 5·5

Cioè 202 − 52.

Prova tu ora a “calcolare” in questo modo i prodotti seguenti:28·32 =……………………………………………………………97·103 =……………………………………………………………

• Interpretare geometricamente l’equivalenza di due formule

• esprimere con parole e con formule le regolarità osservate

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

Eseguire operazioni tra numeri • a mente • con gli usuali algoritmi

scritti• con strumenti valutando quale strumento può essere più opportuno

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

46

baS 3

Quadrato di un binomio

abbaba 2222

abS 3

21 aS

22 bS

a b

a

b 2baS

S = a2 + b2 + ab + ab

=

a2+b2+2ab

Alg

ebra

geo

met

rica

Alg

ebra

geo

met

rica

47

a2

(a-b)2

a·ba·

bb2

Quadrato di un binomio

abbaba 2222

a-b b

a

ba-

b

a

S=(a-b)2

S= a 2 b2+- a·b - a·b =

a2-2ab+b2

Alg

ebra

geo

met

rica

Alg

ebra

geo

met

rica

48

Quadrato di un trinomio

bcacabcbacba 2222222

caS 6 cbS 8

baS 4

21 aS abS 5

22 bS

2cbaS

a b c

a

b

c

S= a2 + b2 + c2 + 2ab +

23 cS

bcS 9

acS 7

2ac + 2bc

Alg

ebra

geo

met

rica

Alg

ebra

geo

met

rica

49

V=ab2 V=a2 b

V=a2 b 3aV

Cubo di un binomio

32233 33 babbaaba

3baV

3bV

V=

ab2

V=ab2

baV 2

2233 33 abbabaV b a

b

a

Alg

ebra

geo

met

rica

Alg

ebra

geo

met

rica

50L’ar

itmet

ica

aiut

a l’a

lgeb

ra e

l’al

gebr

a L’

aritm

etic

a ai

uta

l’alg

ebra

e l’

alge

bra

aiut

a l’a

ritm

etic

aai

uta

l’arit

met

ica

Dall’aritmetica all’algebra e viceversa(calcolo mentale)

L’espressione

10012 – 9992

vale

a) 2000 b) 2

c) 4000 d) 4

10012 – 9992 = (1001-999)*(1001+999)=...

51L’ar

itmet

ica

aiut

a l’a

lgeb

ra e

l’al

gebr

a L’

aritm

etic

a ai

uta

l’alg

ebra

e l’

alge

bra

aiut

a l’a

ritm

etic

aai

uta

l’arit

met

ica

Dall’aritmetica all’algebra e viceversa

Un fattore del numero

1334 – 1324

vale

a) 2 b) 5

c) 7 d) 9

1334 – 1324= (1332-1322) (1332+1322)=

(133+132) (133-132) …=265*1*…

52L’ar

itmet

ica

aiut

a l’a

lgeb

ra e

l’al

gebr

a L’

aritm

etic

a ai

uta

l’alg

ebra

e l’

alge

bra

aiut

a l’a

ritm

etic

aai

uta

l’arit

met

ica

Dalla congettura, all’argomentazione, alla dimostrazione:i simboli per esprimere, comunicare, generalizzare e risolvere problemi

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito?

6 6' 1 1

100 100

(1 )(1 )

p p

p x x

53L’ar

itmet

ica

aiut

a l’a

lgeb

ra e

l’al

gebr

a L’

aritm

etic

a ai

uta

l’alg

ebra

e l’

alge

bra

aiut

a l’a

ritm

etic

aai

uta

l’arit

met

ica L’algebra aiuta

l’aritmetica

La base di un rettangolo R è aumentata del 40% mentre la sua altezza viene ridotta del 50%.

L’area del rettangolo R’ così ottenuto, è diminuita o aumentata?

Di quale percentuale?40 50

' 1 1100 100

(0,6)(1,5) 0,9

A a b

ab A

54

LE P

RO

VE

INV

ALS

ILE

PR

OV

E IN

VA

LSI

Cosa ci dicono le prove INVALSI sull’aritmetica e

sull’algebra?

55

Gli studenti non trasferiscono all’ambito numerico il raccoglimento a fattor comune. Il calcolo simbolico è un campo di esperienza recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. L’algebra non è strumento di pensiero.

Non risp A B C D 2,4 35,0 1,9 22,0 38,7

Cla

sse

II s

up.

– 20

11P

RO

VE

INV

ALS

IP

RO

VE

INV

ALS

I

56

È difficile non essere d’accordo con quanto riportato sul Quaderno INVALSI

• Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito più specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale.

• Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le proprietà dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare l’algebra come strumento di pensiero.

57

Commento (Quaderno INVALSI)• Solo poco più del 20% degli

studenti riconosce che 1037 +1038 = 111037, nonostante le altre opzioni possibili dovessero risultare palesemente scorrette, in base a semplici e immediate considerazioni sugli ordini di grandezza dei numeri in gioco.

• È plausibile supporre che se la domanda avesse fornito (anziché l'espressione numerica 1037 + 1038) l'espressione simbolica x37+ x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando così l'espressione equivalente corretta x37(1 + x).

58

Commento (Quaderno INVALSI)• In ogni caso la presenza di un

numero così rilevante di risposte errate in domande che ricalcano esercizi tipici della prassi didattica, svolti sia nel primo, sia nel secondo ciclo di scuola secondaria,

• invita a una riflessione sull’opportunità didattica di molte attività di manipolazione simbolica fini a se stesse

• che sembrano avere come risultato, per tanti studenti, quello di inibire strumenti di controllo semantico (in questo caso più che sufficienti per determinare la risposta corretta).

59

Cla

sse

II s

up.

– 20

12

Se il contesto è quello delle ‘lettere’ gli allievi individuano più facilmente la proprietà delle operazioni a cui fare ricorso.

I registri numerico ed algebrico sembrerebbero costituire, per molti, campi di esperienza separati.

PR

OV

E IN

VA

LSI

PR

OV

E IN

VA

LSI

60

PR

OV

E IN

VA

LSI

PR

OV

E IN

VA

LSI

Ma già alla fine del I Ciclo (“III Media”) i problemi non mancano…[da Prova nazionale, Matematica 2012, “3^Media”]

61

Mat

emat

ica-

Per

cors

o d

idat

tico

p

rop

ost

o d

alla

CII

M

Un percorso didatticodi Matematica proposto da un Gruppo di lavoro nominato dalla CIIMhttp://www.umi-ciim.it/materiali-umi-ciim/secondo-ciclo/

62

Mat

emat

ica-

Per

cors

o “

sin

teti

co”

Aritmetica e algebra15 h (A1): Aritmetica (fino ai numeri razionali). Algebra (uso delle lettere fino ai prodotti notevoli)

Relazioni e funzioni5h (R1): Introduzione al concetto di funzione.

Raggruppamenti comuni10h* (C1): Equazioni e disequazioni di I grado (in comune tra Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni)10 h* (C2): Lettura tabelle, rappresentazione grafica di dati e grafico di funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni, Geometria e Dati e previsioni).5h* (C3): analisi di diverse funzioni (in comune tra Relazioni e funzioni e Dati e previsioni)

Geometria20 h (G1): Recupero, consolidamento e approfondimento delle conoscenze pregresse sulle figure del piano. Proprietà essenziali di triangoli e poligoni attraverso procedimenti costruttivi e argomentativi.

Dati e previsioni15 h (D1): Indagine statistica (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti)

Un percorso “sintetico” proposto per il Primo anno

63

Mat

emat

ica-

Per

cors

o “

sin

teti

co”

Un percorso “sintetico” proposto per il Secondo annoAritmetica e algebra10 h (A2): Introduzione intuitiva dei numeri reali e delle loro rappresentazioni. Operazioni coi numeri irrazionali.

Relazioni e funzioni15 h (R2): Consolidamento del concetto di funzione. Analisi delle funzioni lineari e delle funzioni f(x) = |x|, f(x) = a/x, f(x) = x2.

Raggruppamenti comuni5 h* (C4): Applicazioni della similitudine (in collegamento tra Geometria e Aritmetica e algebra). Rette nel piano cartesiano, rappresentazione di oggetti algebrici (In collegamento tra Geometria, Aritmetica e algebra e Relazioni e funzioni).5h*(C5): Approfondimenti di statistica (in collegamento tra Dati e previsioni e Geometria).10 h*(C6): Approfondimenti su Equazioni e Disequazioni (in collegamento tra Relazioni e funzioni, Aritmetica e algebra e Geometria).

Geometria20h (G2): Il ruolo del teorema di Pitagora, approfondimenti su un numero limitato di temi per arrivare alla dimostrazione attraverso l’argomentazione.Equivalenza nel piano e misura di superfici. La similitudine nel piano, il teorema di Talete (in modo intuitivo).

Dati e previsioni15 h (D2): Studio di alcuni elementi fondamentali di calcolo delle probabilità fino alla prima introduzione della probabilità condizionata (con tutti i possibili collegamenti con gli altri ambiti).

64

Conoscenze Abilità Competenze Attività

Equazioni e disequazioniEquazioni e disequazioni di primo grado: metodi numerici (tabelle), grafici (piano cartesiano), simbolici “Relazioni e funzioni”, funzioni lineari

Sviluppare il significato di variabile e di equazione, comprendendone il ruolo nei diversi contesti.Tradurre agilmente dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa.Impostare e risolvere problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni e sistemi di primo e secondo grado.Risolvere per via grafica, numerica o algebrica equazioni, disequazioni, sistemi di primo grado; saper verificare la correttezza dei risultati.

Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi

analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico

1F - Allineamenti – esploriamo le funzioni lineari (m@t.abel)Risolvere, per via grafica e algebrica, problemi che si formalizzano con equazioni e disequazioni di primo grado, individuare relazioni significative fra grandezze di varia natura, utilizzare consapevolmente notazioni e sistemi di rappresentazione vari per indicare e definire relazioni e funzioni, leggere in un grafico o in una tabella numerica le proprietà qualitative delle funzioni2F - Equazioni e disequazioni di primo grado (m@t.abel) 3F - Risparmiare sulla bolletta del telefono (m@t.abel)Impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso equazioni, disequazioni, sistemi di primo e secondo grado. Risolvere, per via grafica o algebrica, problemi che si descrivono mediante equazioni, disequazioni, funzioni4 – Fare matematica con i documenti storici – equazioni (IPRASE)Documento ricco di spunti e attività. La parte specifica sulle equazioni si trova a pagina 51, Sono riportati esercizi e problemi – proposti nella storia – che in alcuni casi possono essere risolti senza impostare un’equazione, altri invece che richiedono una rilettura attenta per la comprensione del testo.5F – Una bilancia virtuale per risolvere equazioni (applet scaricabile dal sito:http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html?open=instructions&from=category_g_4_t_2.html)Bilancia virtuale, funziona solo con i numeri interi positivi.6F – Esercizi sulle equazioni (Ma.Co.Sa)7F – Problemi sui sistemi lineari (Ma.Co.Sa)P

erco

rso

“ana

litic

o” –

Arit

met

ica

e al

gebr

a

65

Consigli per Consigli per Aritmetica e AlgebraAritmetica e Algebra È importante mantenere forte, soprattutto nelle

prime manipolazioni algebriche, il significato delle

formule e far capire all’allievo che il calcolo

algebrico non è fine a se stesso.

Nell’affrontare le tecniche di calcolo

algebrico sarà opportuno individuare il

giusto equilibrio fra la ricerca del valore

semantico (il ‘senso’ di una formula in un

certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di

calcolo formale) che è in parte legata

all’addestramento.

66

……e sconsiglie sconsigli

Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro

valenza operativa e non dovranno costituire compito

eccessivamente ripetitivo

Invitare gli allievi ad analizzare tabelle di valori e a

esprimere con parole e con formule le regolarità

osservate (eventualmente anche mediante

rappresentazioni grafiche), a fare previsioni … un

utile strumento di lavoro è il foglio elettronico o la

costruzione di alcuni semplici algoritmi

implementabili sul calcolatore.

6767

Conclusioni

Algebra sempre uguale?NO, la didattica è cambiata…Rispetto a qualche tempo fa, abbiamo idee più chiare sul modo di realizzare un percorso didattico dall’aritmetica all’algebra e viceversa e le tecnologie ci offrono possibilità sempre più grandi.Le Indicazioni nazionali propongono di operare in questo senso.Necessità di formazione didattica dei docenti (laurea magistrale, TFA e oltre)!