Licenta Matematica _Simon Georgiana-Veronica
-
Upload
ionu-i-veronica-gavrilescu -
Category
Documents
-
view
36 -
download
1
description
Transcript of Licenta Matematica _Simon Georgiana-Veronica
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
2
Curpins
Curpins ................................................................................................................................. 2 Introducere ........................................................................................................................... 3 Capitolul 1 .Noţiunea de măsură în geometria euclidiană ................................................... 4
1.1 Axiomatica spaţiului Euclidian .................................................................................. 4 1.2 Sistemul axiomatic al lui Birkhoff ............................................................................. 8
Capitolul 2. Lungime şi arie plană .................................................................................... 11 2.1 Definiţia lungimii unui arc ....................................................................................... 11 2.2 Existenţa lui .......................................................................................................... 13 2.3 Limita când norma tinde la zero .............................................................................. 16 2.4 Teorema de adunare pentru lungimea arcelor ......................................................... 18 2.5 Aproximarea din interior a ariei unui sector circular ............................................... 20 2.7 Aria unui sector ........................................................................................................ 23
Capitolul 3. Măsura Jordan1 în plan ................................................................................ 25 3.1 Definiţia fundamentală ............................................................................................ 25 3.2 Clasa mulţimilor măsurabile .................................................................................... 27 3.3 Arii de sub graficele funţiilor continue ................................................................... 33 3.4 Măsurarea volumelor: Teoria elementară ................................................................ 36
Bibliografie ........................................................................................................................ 52
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
3
Introducere
Geometria (din grecescul γεωμετρία; geo = pământ, metria = măsură) s-a născut
ca fiind ramura de studiu a matematicii care se ocupă cu relaţiile spaţiale. Este una dintre
cele două ramuri ale matematicii moderne, cealaltă fiind studiul numerelor. În ziua de
azi, conceptele geometriei au fost generalizate către un nivel mai înalt de abstractizare şi
complexitate, şi a fost făcută obiect de studiu pentru metode de calcul şi algebră
abstractă, aşa că multe ramuri moderne ale geometriei mai pot fi recunoscute ca fiind
descendente ale geometriei de la începuturile ei.
Geometria euclidiană este cea mai veche formalizare a geometriei, şi în acelaşi
timp cea mai familiară şi mai folosită în viaţa de zi cu zi. Aşa după cum indică şi
adjectivul euclidiană, aceasta a fost enunţată prima dată de către gânditorul Euclid, din
Grecia antică, în secolul al IV-lea î.Hr.
Lucrarea de faţă expune noţiuni, definiţii, teoreme şi demonstraţii pentru noţiunea
de măsură în planul şi spaţiul Euclidian şi este compusă din trei capitole.
Capitolul 1 prezintă axiomatica lui Hilbert cu cele 5 grupe de axiome, precum
şiaxiomatica lui Birkoff.
În capitolul 2 sunt adăugate informaţii ce ţin de lungimea şi aria plană, în care este
enunţată şi demonstrată teorema de adunare pentru lungimea arcelor.
Capitolul al III-lea ţine de teoria măsurii, unde se defineşte şi se exemplifică noţiunile
măsurii Jordan în plan.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
4
Capitolul 1 .Noţiunea de măsură în geometria
euclidiană
1.1 Axiomatica spaţiului Euclidian
Numim sistem axiomatic (pe scurt s.a.) un ansamblu S =< N;R;A > unde N este
mulţimea noţiunilor primare, R cea a relaţiilor primare, iar A cea a axiomelor unde:
noţiunile şi relaţiile primare sunt simboluri (cuvinte şi semne) abstracte;
axiomele sunt propoziţii construite pe baza noţiunilor şi relaţiilor primare şi
adevărul lor nu se justifică ;
Numim teorie axiomatică a s.a. S ansamblul T(S) =< S;Consec(S) > format din S şi
toate consecinţele sale adică:
noţiuni şi relaţii derivate definite cu ajutorul elementelor lui S,
propoziţii derivate, numite teoreme, obţinute prin aplicarea regulilor de
deducţie logică noţiunilor şi relaţiilor primare şi derivate, axiomelor şi teoremelor.
Datorită evoluţiilor din toate ştiinţele de-a lungul timpului geometria lui Euclid nu mai
corespundea, era necesară o reformulare care a fost realizată de David Hilbert în lucrarea
“Fundamentele geometriei“ în anul 1899. În constucţia logică realizată, David Hilbert nu
face apel la nici un fel de descrieri intuitive ale elementelor cu care operează. El
consideră trei sisteme diferite de obiecte: obiectele primului sistem le numim puncte şi le
notăm cu litere A, B, C,..; obiectele sistemului al doilea le numim drepte şi le notam cu
a, b, c,..; obiectele sistemului al treilea le numim plane şi le notam cu literele α, β, γ, …
punctele sunt numite elementele geometrice pe dreaptă; punctele şi dreptele sunt numite
elementele geometrice în plan; iar punctele, dreptele şi planele sunt numite elementele
geometrice în spaţii.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
5
Definiţie . Sistemul axiomatic: SH se numeşte sistemul axiomatic Hilbert. T(SH) se
numeşte geometria euclidiană a spaţiului iar structura matematică [SH] se numeşte
spaţiul euclidian(3-dimensional).
David Hilbert îşi construieşte sistemul din cinci grupe de axiome corespunzător
celor cinci tipuri de relaţii dintre elementele considerate şi anume:
a) axiome de incidenţă,
b) patru axiome de ordonare,
c) cinci axiome de congruenţă,
d) o axiomă a paralelelor,
e) două axiome de continuitate.
I. Axiome de incidenţă.
I1. Fiind date punctele A şi B există cel puţin o dreaptă incidentă lor.
I2. Pentru orice două puncte există cel mult o dreaptă care le conţine .
I3. Orice dreaptă conţine cel puţin două puncte distincte. Există trei puncte necoliniare.
I4. Pentru punctele A, B, C există cel puţin un plan incident lor. Orice plan este
incident măcar unui punct.
I5. Fiind date trei puncte necoliniare, există cel mult un plan incident lor.
I6. Dacă două puncte distincte ale unei drepte sunt incidente unui plan, atunci
dreapta este inclusă în plan.
Aceste trei axiome sunt acceptate doar în plan, pentru spaţiu mai sunt necesare
urmatoarele:.
I7. Dacă două plane au un punct comun, atunci ele mai au cel puţin un punct comun.
I8. Există patru puncte necoplanare.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
6
II. Axiomele de ordine
II.1 Dacă are loc A-B-C atunci A; B; C sunt distincte, coliniare şi avem şi C-B-A.
II.2 A; B cu A ≠ B C; D; E a.î. avem: C -A-B; A-D-B; A-B -E. Rezultă (AB) ≠Ø.
II.3 Fie A;B;C distincte şi coliniare. Existăuna şi doar una din situaţiile:
A - B - C; C - A - B; A - C - B.
II.4 (Axioma lui Pasch) Fie A; B; C necoliniare şi d ½ (ABC) ce nu conţine vârfurile Δ-
ului ABC. Dacă d separă B şi C atunci d separă C şi A sau d separă A şi B.
III. Axiomele de congruenţă
Se numeşte măsură a segmentelor, o aplicaţie m:SR+
cu proprietăţile:
1) m(AA)=0 (măsura segmentului nul este zero),
2) există un system nenul AB, pentru care m( AB )=1,
3) dacă AB CD , atunci m( AB )m( CD ),
4) dacă A-B-C, atunci m( AB + BC )=m( AB )+m( BC )m( AB )=1, AB -
unitate de măsură.
III.1 Dat segmentul [AB] şi semidreapta (A’ X, !B’ (A’X a. î. [AB] [A’B’]
III.2 Congruenţa segmentelor este o relaţie de echivalenţă i.e. satisface:
a) reflexivitatea: [AB] [AB],
b) simetria: [AB] [CD] [CD] [AB],
c) tranzitivitatea: [AB] [CD] şi [CD] [EF] [AB] [EF] .
III.3 (adunarea segmentelor) Dacă avem A - B -C şi A’-B’- C’a.î. [AB] [A’B’] şi
[BC] [B’C’] atunci [AC] [A’C’] .
III.4 Fie unghiul AOB, dreapta d, semiplanul π' delimitat de d în planul π
şi semidreapta (O'X pe d. Atunci ! semidreapta (O'Y în π' a.î. AOB XO'Y.
III.5 Fie ΔABC; ΔA'B'C' a.î. [AB] [A'B'] ; [AC] [A'C'] ; A = A'.
Atunci B B'.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
7
IV.1 (axioma lui Arhimede) Pentru orice A;B;C;D cu A ≠ B n Є N* a.î.
n [AB] > [CD].
IV.2 (axioma lui Cantor) Fie dreapta d şi pentru orice n Є N segmental
sn = [AnBn] d. Dacă: i) s0 s1 . . . sn . . . ,
ii) nu există un segment nenul [CD] inclus în toţi sn, atunci !M interior tuturor
segmentelor sn.
V. Axioma paralelelor
V. Dacă două drepte d şi d’ sunt intersectate de o secantă s în punctele A şi B, în aceste
puncte unghiurile formate se vor grupa câte două şi se vor numi:
alterne interne ( 1, 2); ( 3 , 4 );
alterne externe ( 5, 6); ( 7, 8);
corespondente ( 1, 6 ); ( 3, 8 ); ( 2, 5 ); ( 4, 7).
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
8
● Afirmaţii echivalente cu axioma paralelelor ●
1) (Varianta clasică) Fie A exterior dreptei d. Atunci există o unică paralel㸠prin A la d.
2) (Farkas Bolyai) O perpendiculară şi o oblică pe acceaşi dreaptă sunt concurente.
3) (Farkas Bolyai) Orice triunghi admite cerc circumscris.
4) Punctele situate în acelaşi semiplan determinat de dreapta d şi situate la distanţe egale
faţă de d sunt coliniare.
5) Relaţia de paralelism este tranzitivă.
6) Teorema lui Pitagora a triunghiurilor dreptunghice.
1.2 Sistemul axiomatic al lui Birkhoff
Avantaje:
- număr mai mic de axiome
- practic din punct de vedere didactic
Notam cu S – spaţiul pe care îl organizăm
B1 – Două puncte distincte determină o singură dreaptă puncte coliniare.
B2 – Trei puncte necoliniare determină un singur plan puncte coplanare.
B3 – Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparţin unui plan, atunci dreapta este
conţinută în acel plan.
B4 - Dacă două plane distincte se intersectează, atunci intersecţia acestora este o dreaptă.
B5 – Orice dreaptă coţine cel puţin două puncte distincte.
Orice plan conţine cel puţin trei puncte necoliniare.
S conţine cel puţin patru puncte necoplanare
Obs. Axiomele B1-B5 sunt echivalente cu I1-I8 din sistemul aziomatic SH.
Definitia 1. Se numeşte sistem de coordonate pe dreaptă a o aplicaţie bijectivă f : a R
cu proprietatea P, Q a, (P,Q) = | f(P) – f(Q) | .
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
9
Teorema 1. Funcţia distanţă are proprietăţile:
a) (P,Q) 0, (P,Q) = 0 P=Q
b) (P,Q) = (Q,P) , P, Q S .
B6 – (Axioma riglei) Orice dreaptă a poate fi înzestrată cu cel puţin un sistem de
coordonate.
Teorema 2. (de aşezare a riglei) Dacă O si A sunt două puncte ale dreptei a, atunci există
un singur sistem de coordonate f : a → R, aşa încât f(O) = 0 si f(A) 0.
” a fi între” , A – B – C (A,B) + (B,C) = (A,C) , segment punct interior unui
segment
semidreaptă deschisă de origine O
d+
= { X a | f(X) 0 }
d- = { X a | f(X) 0 }
masura unui segment m(|AB|) = (A,B)
xP = f(P) – coordonata punctului P in sistemul de coordinate f
Teorema 3. Orice segment nenul are un unic mijloc.
B7 – (Axioma de separare a planului) Pentru orice plan şi orice dreaptă a ,
mulţimea { - a} se descompune în două submulţimi nevide şi disjuncte astfel încât,
P si Q aparţin la submulţimi mdisjuncte dacă si numai dacă există pe a un punct
X între P si Q.
Obs. În baza axiomelor B1 – B6 , axioma B7 este echivalentă cu axioma lui Pash
( SHI-II SB1-7).
Definitia 1. Se numeşte unghi o pereche de semidrepte cu aceeaşi origine.
Unghiuri : propriu, nul, alungit
Triunghi
B8 – m(AOB) = 0 AOB este unghiul nul
m(AOB) =180 AOB este unghiul alungit
B9 – (axioma de construcţie a unghiului propriu) Pentru orice dreaptă a, h o semidreaptă
a sa şi u(0, 180), într-un semiplan determinat de dreapta a există o semidreaptă unică
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
10
k aşa încât m (h,k) = u.
B10 – (axioma adunării unghiurilor) Daca B este un punct interior unghiului
AOC, atunci m(AOC) = m(AOB) + m(BOC) .
B11 – (axioma suplementului) Daca O este între A si C atunci pentru orice punct B
|AC| avem: m(AOB) + m(BOC) = 180.
B12 – (axioma LUL) În triunghiurile ABC si A’B’C’ dacă avem:
|AB| |A’B’|, |AC| |A’C’|, m(BAC) = m(B’A’C’)
|BC| |B’C’|, m(ABC) = m(A’B’C’) , m(ACB) = m(A’C’B’)
Teorema 3. Într-un triunghi ABC avem |AB| |AC| ACB ABC.
Teorema 4. Într-un triunghi o latura este mai mică decât suma celorlalte două
(A,C) (A,B) + (B,C)
Obs. Axiomele grupelor III si IV din SH sunt consecinţe ale axiomelor B1- B12 T
({ N, R , B1 – B12}) – geometria absolută.
B13 – Fiind dată o dreaptă a şi un punct exterior A, în planul determinat de dreaptă şi
punct, exista cel mult o dreaptă prin punctul A la dreapta a.
SB = {N, R , B1 – B13} se numeşte sistemul axiomatic al lui Birkhoff
Metateorema 1. SB SH
Metateorema 2. SB este necontradictoriu, independent, complet si categoric
- Considerăm cunoscute necontradicţia aritmeticii şi construcţia numerelor reale
- Construim un model G:
Numim punct din G terna ordonată de numere reale A=: (x1,x
2,x
3) = (x
i)
Notam cu M = { (a1,a2,a3,a4)=(ah) | rang║a1a2a3║=1, ai R, i=1,2,3,4 }
(ah) ~ (bh) R a.i. ah = bh , h=1,2,3,4
P = M/~ = { = [ah] } – mulţimea planelor modelului G.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
11
Capitolul 2. Lungime şi arie plană
2.1 Definiţia lungimii unui arc
Fie dat un arc pe un cerc C:
Figura 1
Să luăm un şir de puncte
În ordine, de la A la B, pe un arc pentru fiecare pereche succesivă de puncte şi ,
să trasăm segmentul , ca în figură. Reuniunea acestor segmente se numeşte o linie
frântă închisă; suma lungimilor lor se noteaza cu .
Astfel spus, = + +… = .
Sunt mai multe moduri de a define lungimea arcului . Dacă dorim doar să enunţam o
definiţie, fără a avea intenţia de a o utiliza, problema e simplă. Convenim să utilizăm
puncte egal depărtate . Lungimea a liniei frânte este determinată de n
şi deci putem defini lungimea prin .
Pentru a justifica aceasta, trebuie să explicăm ce înţelegem prin şi trebuie să arătăm
că limita de mai sus există, pentru orice arc circular.
Următoarea definiţie este totuşi mai convenabilă. Fie P mulţimea tuturor
numerelor care sunt lungimile liniilor frânte înscrise în .
Atunci:
Fie Pentru a justifica aceasta, trebuie să demonstrăm următoarea
propoziţie.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
12
Teorema 1. P are un majorant.
Va rezulta ca P are o margine superioară sup. Demonstraţia este uşoara, pe baza
următorului rezultat preliminar. Fie un triunghi isoscel cu .
Figura 2
Afirmăm că dacă şi , atunci ST>QR.
Să presupunem că ca în figură, şi să luăm U între R şi T cu .
Atunci . Aşadar .
Vom arăta că Evident este ascuţit, deoarece este un unghi de la baza unui
triunghi isoscel. Aşadar este obtuz şi deci este ascuţit. Deci . Rezultă
că .
Să ne întoarcem la arcul nostru de cerc. Construiţi un pătrat care să conţină cercul în
interiorul său (fig. 3). Să proiectăm fiecare punct pe un pătrat, ca în figură.
Altfel spus, este punctul unde intersectează pătratul. Aşadar
. Rezultă că este întodeauna mai mic decât . Deci este
întodeauna mai mic decât perimetrul pătratului.Perimetrul pătratului este majorantul pe
care-l căutam.
Type
equation
here.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
13
Figura 3
Aceasta justifică definiţia
Evident, un cerc nu este un arc. Putem defini însă lungimea unui cerc într-un mod analog,
construind un poligon înscris cu vârfurile .
Vom nota:
cu perimetrul
cu mulţimea tuturor perimetrelor ;
vom defini apoi lungimea cercului prin
2.2 Existenţa lui
Dorim să demonstrăm acum existenţa numărului . Pentru aceasta, trebuie să
arătăm că raportul dintre circumferinţa şi diametru este acelaşi pentru orice cerc. Aceasta
este o afirmaţie despre margini superioare şi pentru a o demonstra, avem nevoie de un
rezultat preliminar.
Fie o mulţime mărginită de numere pozitive şi fie un număr pozitiv. Atunci
este mulţimea tuturor numerelor de forma , unde aparţine lui .
De exemplu,
dacă şi ,
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
14
atunci
dacă .
Această “înmulţire” este asociativă. Adică deoarece
De exemplu, aveam întodeauna
Lema 1. Dacă este un majorant al lui , atunci este un majorant al lui Justificare
dacă
Lema 2. Dacă este un majorant al lui , atunci este un majorant al lui .
Demonstraţie. Deoarece aceasta rezultă din Lema 1.
Aceste leme ne dau următoarea teoremă:
Teorema 1.
Demonstraţie. Fie Atunci este un majorant al lui . Din Lema 1,
este un majorant al lui Să presupunem că mulţimea ar avea un majorant
Atunci este un majorant pentru , din Lema 2. Aceasta este însă imposibil, deoarece
este marginea superioară a lui .
Putem demonstra acum teorema ce stabileşte existenţa lui . Avem nevoie de
teorema următoare.
Teorema 2. Fie doua cercuri cu razele şi circumferinţele .
Atunci . Altfel spus, raportul dintre lungimea cercului şi diametrul său este
acelaşi pentru orice cerc. Acest raport comun este notat cu .
Denonstraţie. Putem presupune, fără a restrânge generalitatea, că am ales două
cercuri concentrice. Pe figură am indicat a i-a latură a unui poligon înscris în
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
15
Figura 4
Fiecărui poligon de acest fel îi corespunde un poligon înscris în , obţinut prin
proiecţia spre exterior (sau spre interior) din centrul comun
Avem deci . Aşadar
Dacă perimetrele poligoanelor noastre sunt , atunci avem
Fie unde ca de obicei.
Atunci . Conform teoremei precedente pentru
avem :
Împărţind ambele părţi cu 2, obţinem egalitatea cerută de teoremă.
O teorema analoagă are loc pentru arce de cerc.
Teorema 3. Fie arce cu aceaşi masură în grade, în cercuri cu raze r şi
r’, respectiv. Fie p şi p’ lungimile lui . Atunci
Figura 5
Acest raport se numeşte masură în radiani a arcului dacă este un arc mic,
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
16
atunci este măsura în radiani a unghiului . Teorema ne spune ca măsura în
radiani depinde doar de unghiul său de măsura în grade a arcului şi este independent de
raza cercului.
Demonstraţia este identică în esenţă cu cea a teoremei precedente.
2.3 Limita când norma tinde la zero
Deoarece ştim că putem găsi un număr în mulţimea P, oricât de
apropiat de P. Mai precis, dacă este un număr pozitiv, există atunci , astfel încât
.
Trebuie însă să putem face o afirmaţie mai tare decât aceasta despre numerele
şi supremul lor. Pentru a obţine pe cât mai aproape de p, nu trebuie să fie necesar să
alegem linia frântă înscrisă într-un anume mod special. Trebuie să fie adevărat că este
aproape de p ori de câte ori laturile liniei frânte închise sunt suficient de scurte. Vom
preciza această idee în teorema următoare.
Fie vârfurile liniei frânte , înscrise în arcul Prin
norma liniei frânte , înţelegem cel mai mare dintre numerele . Altfel spus,
norma unei linii frânte este lungimea celui mai lung segment al său. În acest limbaj,
afirmaţia pe care vrem s-o demonstrăm poate fi enunţată aşa:
Teorema 1. Fie un arc de lungime , unde P este mulţimea
lungimilor a liniilor frânte înscris e . Pentru orice număr pozitiv e , există un număr
pozitiv d, astfel încât dacă are norma mai mică decât d, atunci .
Deoarece întodeauna avem inegalitatea înseamnă că
, altfel spus are distanţa la p mai mică decât e.
Demonstrţie: Fie o linie frântă înscrisă, cu lungimea astfel că (Ştim
că există aşa ceva, deoarece ).
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
17
(1) Fie acum o linie frântă înscrisă arbitrară, de lungime . Fie linia frântă
obţinută utilizând toate vârfurile lui şi toate vârfurile lui ; notăm cu
lungimea lui . Punctele marcate cu x sunt vârfurile lui ; cele marcate cu o
sunt vârfurile lui . Capetele A şi B sunt marcate în ambele feluri deoarece
ele trebuie să fie vârfuri la ambele. Toate punctele marcate cumva sunt
vărfurile lui .
Figura 6
Prin aplicări repetate ale inegalităţii triunghiului, avem:
=>
(atunci când se intercalează un nou vârf, lungimea liniei frânte creşte).
Nu putem afirma că Se poate foarte bine intâmpla ca să fie mai scurtă
decât , deoarece poate “scurta” peste vârfurile lui (vezi fig. 6), aici
. Lungimea lui este mai mică decât suma lungimilor laturilor
corespunzătoare şi din .
Problema este de câte ori se poate “scurta” şi cât se câştigă de fiecare dată.
Numărul de scurtări care poate apărea este sigur mai mic decât n, deoarece nu sunt decât
cel mult n-1 posibilităţi pentru fiecare Q.
La fiecare scurtare se câştigă .
Aceasta nu este mai mare decât PR, deoarece este cea mai lungă latură a lui .
Dacă are norma k, atunci . Aşadar sunt cel mult n-1 scurtări, iar la distanţa
câştigată de fiecare dată .Câştigul total este .
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
18
Figura 7
Ştim că . Ceea ce dorim să obţinem este că sau
. Problema noastră este rezolvată: fie .
Dacă are norma k mai mică decât d, atunci este mai mică decât e, ceea
ce şi doream.
Teorema 1: Spunem că tinde către p, atunci când norma lui tinde la zero.
2.4 Teorema de adunare pentru lungimea arcelor
Una din axiomele noastre pentru măsura unghiurilor a fost axioma aditivităţii. Aceasta
spune că dacă punctul C este în interiorul lui atunci rezultă că
.
Figura 8
Teoremă: . O teoremă corespunzătoare are loc pentru lungimea
arcelor.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
19
Figura 9
Teorema 1. Fie şi arce pe acelaşi cerc, care au în comun doar punctual B.
Fie lungimile arcelor şi şi fie s lungimea lui . Atunci .
Demonstraţia este un exerciţiu uşor referitor la utilitatea marginii superioare şi
limitei când norma tinde la 0.
Să presupunem că astfel că . Fie
Fie o linie frântă înscrisă în , de lungime , astfel că . Fie o linie
frântă înscrisă în , de lungime , astfel că . Punând aceste două linii
frânte cap la cap, obţinem o linie frântă de lungime => .
Deoarece este înscrisă în , rezultă că Pe de altă parte, prin
adunare obţinem .
Aşadar şi , ceea ce este contradictoriu.
Să presupunem că , astfel că Fie astfel
încât . Fie d un număr pozitiv astfel încât dacă este înscrisă în şi
are lungimea , iar norma este mai mică decât d, atunci .
Altfel spus, este oricât de aproape dorim de s, dacă are norma suficient de mică.
Fie acum o linie frântă înscrisă în , de normă mai mică decât d, astfel ca B
să fie un vârf al lui . Fie lungimea lui . Atunci poate fi împărţită în două
linii frânte , una înscrisă în şi alta în . Dacă lungimile
acestor linii frânte sunt , avem:
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
20
Aşadar, , dar => ceea ce contrazice alegerea
făcută.
2.5 Aproximarea din interior a ariei unui sector circular
Până acum, în acest capitol, matematica a fost exactă şi completă. Am definit
lungimea unui arc de cerc şi am demonstrat apoi teorema pe baya acestei definţii.
Vom ataca problema ariilor plane, în particular pentru sectoare circulare, într-un mod
ceva mai direct. Vom calcula mai întâi numeric ariile unor astfel de figuri, printr-o
metodă care, fără îndoială, este familiară cititorului, într-o formă sau alta. Vom vedea
exact ce trebuie să presupunem pentru a justifica tot calculul făcut. Apoi, în capitolul
următor, vom dezvolta teoria ariilor plane, suficient de general pentru a o aplica la
figurile plane elementare şi vom arăta că, în această teorie, formulele ariilor din acest
capitol devin adevărate teoreme. Acest tratament indirect nu va implica prea multă
pierdere de timp. În schimb, are avantajul că în capitolul următor teoria va fi mai uşor
de înţeles, având mai întâi analizată situaţia într-un caz particular şi posedând o idee
generală asupra felului cum ar trebui să funcţioneze teoria.
Figura 10
Printr-un sector circular înţelegem o figură ca mai sus. Mai exact, dacă este un
arc al cercului cu centrul în C şi rază r, iar K este reuniunea tuturor razelor , unde
P este în , atunci K este un sector; r se numeşte raza sa, iar arcul de frontieră.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
21
Dacă utilizăm tot cercul (îm locul unu arc ), atunci reuniunea razelor este
cercul plus interiorul său. O astfel de figură se numeşte disc. Vom începe studiul
nostru cu demonstraţia următoarei teoreme.
Teorema 1. Fie K un sector circular de rază r şi arcul de frontieră de lungime s.
Există un şir de regiuni poligonale regulate K1, K2, … , Kn. Toate conţinute in K, astfel
încât , unde , aria lui .
Demonstraţie: Vom începe prin a înscrie o linie frântă cu toate laturile
congruente, de lungime :
Figura 11
În figură, r este raza cercului. Evident că toate triunghiurile sunt
congruente. Aşadar ele au toate aceeiaşi înalţime (măsurată din C pe latura opusă
). Această înalţime comună se numeşte apotemă şi se notează cu . Aşadar
aria fiecărui triunghi va fi . Fie regiunea poligonală care este reuniunea
acestor triunghiuri. Atunci .
Fie s lungimea arcului . Vrem să vedem ce se întâmplă cu şi , când
. Numărul este lungimea liniei frânte înscrise,adică => .
Deoarece rezultă din principiul cleştelui că
.
Norma liniei frânte înscrise este şi , rezultă că .
Am utilizat aici faptul că lungimea unei linii frânte înscrise tinde la s, când norma ei
tinde la 0.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
22
Examinând triunghiul tipic , vedem că şi .
Deoarece , rezultă că .
Oţinem .
Teorema este complet demonstrată.
2.6 Aproximarea din exterior a ariei unui sector circular
Există un şir de regiuni poligonale, fiecare conţinând sectorul K, astfel încât
.
Teorema 1. Fie K un sector circular cu raza r şi cu arcul de frontiera de lungime
s; fie, de asemenea, e un numar pozitiv arbitrar. Există atunci o regiune poligonala L,
care conţine pe K, astfel încât .
Pentru a găsi o astfel de regiune poligonala, trasăm un sector circular cu
acelaşi centru şi cu raza
Figura 12
În figură, linia frântă înscrisă în cercul mai mic este aceeaşi ca mai înainte; am
indicat de asemenea şi linia frântă corespunzătoare, înscrisă în cercul mai mare. Pentru a
doua linie frântă, norma este , iar apotema . Fie L regiunea poligonală înscrisă în
sectorul mai mare, atunci .
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
23
Fie lungimea lui . Avem , de unde şi .
Prin asemănare avem şi ,
deci:
Tot raţionamentul precedent este adevărat pentru orice şi pentru orice n.
Trebuie acum să alegem pe astfel ca şi apoi să alegem pe n astfel ca să
avem .
(1) Dorim ca , aceasta va fi adevărat dacă
.
Luăm care să satisfacă această condiţie.
(2) Deoarece pentru un anume n. un astfel de n dă o
regiune L ce conţine pe K.
2.7 Aria unui sector
Putem arăta acum că dacă există p teorie acceptabilă a ariilor, atunci aria unui
sector trebuie să fie dată de formula .
Ideea de acceptabilitate se exprimă prin presupunerile următoare.
Presupunerea 1. Exista o functie – arie , definită pe o clasa de figuri. Clasa
conţine cel puţin toate regiunile poligonale, toate sectoarele circulare şi toate discurile.
Presupunerea 2. Dacă se dă o regiune poligonală K, atunci este aria lui K în
sens elementar.
Presupunerea 3. (Monotonia). Dacă L şi K sunt în şi , atunci
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
24
Cu aceste trei presupuneri, putem demonstra formula noastră. Fie Atunci
pentru orice n. Deci
Nu se poate ca Dacă ar fi aşa, fie şi fie L .
Atunci Ar rezulta , ceea ce este imposibil.
Nu există o teorie acceptabilă a ariilor în care formula să nu fie
adevărată.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
25
Capitolul 3. Măsura Jordan1 în plan
3.1 Definiţia fundamentală
Este destul de uşor să definim o funcţie-arie pentru care cele trei presupuneri pe care le-
am făcut în secţiunea precedentă să fie îndeplinite.
Definiţia este următoarea: Mai întâi, fie α aria obişnuită pentru regiuni poligonale. Fie
acum K o mulţime de puncte în plan; să notăm cu PI mulţimea tuturor regiunilor
poligonale P care sunt incluse în K şi fie NI mulţimea tuturor numerelor αP, unde P este
în PI. Să punem K= sup .
Numărul mI K1
(se numeşte măsura interioară a lui K. Dacă se întâmplă ca să nu
existe regiuni poligonale conţinute în K, atunci convenim ca mI K = 0. Astfel măsura
interioară a unui punct sau a unui segment este întotdeauna = 0.
Să presupunem acum că mulţimea K este conţinută cel puţin într-o regiune
poligonală. Fie PE mulţimea tuturor regiunilor poligonale care conţin pe K şi NE
mulţimea tuturor numerelor αP, cu P în PE. Să punem K = inf .
Am notat cu infNE marginea inferioară a mulţimii NE. Numărul infNE se numeşte
măsura exterioară a lui K.
Dacă P ∈ PI şi P' ∈ PE, atunci P ⊂ K ⊂ P' şi P ⊂ P' , deci αP ≤ αP'2.
Rezultă că orice element din NI este mai mic sau egal decât orice element din NE. Cele
două mulţimi de numere arată deci ca în figurile de mai jos. Figurile sugerează că trebuie
să avem: K ≤ K
1 Se presupune că mulţimea este majorată (sau că mulţimea K este inclusă într-o regiune poligonală; vezi mai
jos).
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
26
Figura 13
Într-adevăr, aceasta este întotdeana adevărat. Dacă am avea mEK < mI K, ar exista
o regiune poligonală P, inclusă în K, astfel încât mEK < αP ≤ mI K.
Pe de altă parte αP este un minorant al lui NE, deoarece αP ≤ α P' pentru orice P'
în PE. Aşadar mEK nu ar fi marginea inferioară a lui NE, ceea ce ar fi contradictoriu.
Aşadar mI K ≤ mEK.
Dacă are loc egalitatea, spunem că mulţimea K este măsurabilă în sensul lui Jordan
şi vom defini măsura lui K prin mK = mI K = mEK.
Deoarece în această carte vom vorbi doar de un singur fel de teorie a măsurii,
vom spune pe scurt că mulţimea k este măsurabilă dacă mI K = mEK.
Avem următoarele teoreme:
Teorema 1.Orice regiune poligonală P este măsurabilă şi mP = αP.
Demonstraţie. P aparţine lui PI., deoarece P ⊂ P; dacă P' ⊂ P, atunci α P' ≤ α P.
Aşadar mI P = α P
Analog, P aparţine lui PE, deoarece P ⊃ P; dacă P'⊃ P, atunci α P' ≥ α P.
Aşadar mEK= α P. Deci mP = mEP = mI P = α P,ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema 2.Măsura exterioară este monotonă. Altfel spus, dacă A ⊂ B, atunci
mEA ≤ mEB
Teorema 3. Măsura este monotonă. Altfel spus, dacă A şi B sunt măsurabile şi A
⊂B, atunci mA ≤ mB.
Teorema 4. Orice sector circular K este măsurabil. Dacă el are raza r şi lungimea
arcului de frontieră s, atunci mK = rs.
Demonstraţie. Rezultatele secţiumii precedente ne spun că
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
27
mI K ≥ rs şi mEK ≤ rs. Deoarece mI K ≤ mEK, rezultă că mI K = mEK = rs,
ceea ce trebuia demonstrat.
Teorema 5. Orice disc K este măsurabil şi mK = πr 2,unde r este raza lui K.
3.2 Clasa mulţimilor măsurabile
Fie M clasa tuturor mulţimilor măsurabile din plan. ( Am utilizat aici, ca de obicei,
cuvântul clasă ca un sinonim pentru cuvântul mulţime.) Vom arăta că această clasă are
următoarele proprietăţi simple:
Teorema 1. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M , atunci M1 ∪ M2 aparţine lui M.
Teorema 2. Aditivitatea finită. Dacă fiecare din mulţimile M1, M2,… Mn aparţine lui M ,
atunci reuniunea lor este de asemenea în M.
Teorema 3. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M, atunci M1 - M2 aparţine lui M.
Teorema 4. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M, atunci M1 ∩ M2 aparţine lui M.
Teorema 5. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M şi M1 ∩ M2 = ,
atunci: m(M1 ∪ M2) = m M1 + m M2.
Teorema 6. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M şi M1 ⊂ M2, atunci m(M1 - M2) = m M1 - m M2.
Teorema 7. Dacă M1 şi M2 aparţin lui M şi m(M1 ∩ M2) = 0 ,
atunci: m(M1 ∪ M2) = m M1 + m M2.
Lema 1. Fie M o mulţime măsurabilă în plan. Atunci pentru orice număr pozitiv e există
două regiuni poligonale P şi P', astfel ca
P ⊂ M ⊂ P' (1)
şi
α P' - α P < e (2)
Demonstraţie. Fie P, astfel încât P ⊂ M şi
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
28
α P > mI M -
Luăm apoi P', astfel încât M ⊂ P' şi
α P' < mEM +
Atunci - α P < - mI M + ;
prin adunare, obţinem: α P'- α P < e .
Reciproca este de asemenea adevărată.
Lema 2. Fie M o mulţime de puncte în plan. Să presupunem că pentru orice număr
pozitiv e există două regiuni poligonale P şi P', astfel ca
P ⊂ M ⊂ P' (1)
şi
α P'- α P < e. (2)
Atunci M este măsurabilă.
Demonstraţie.Fie date două astfel de regiuni P şi P'; avem
mEM ≤ α P', α P ≤ mI M.
Aşadar - mI M ≤ - α P,
şi mEM - mI M ≤ α P'- α P < e.
Deoarece mEM - mI M < e pentru oice număr pozitiv e şi mEM - mI M ≥ 0, rezultă că
mEM - mI M trebuie să fie = 0.
Aşadar M este măsurabilă, ceea ce trebuia demonstrat.
Vom demonstra acum Teorema 1. Fie M1 şi M2 două mulţimi măsurabile. Fie
e un număr pozitiv arbitrar.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
29
Figura 14
Să luăm P1 şi P'1 pentru M1, ca în Lema 1, astfel ca
P1 ⊂ M1 ⊂ P'1
şi α P'1 - α P1 <
Să luăm apoi P2 şi P'2 pentru M2, astfel ca
P2 ⊂ M2 ⊂ P'2
şi α P'2 - α P2 <
Fie P= P1 ∪ P şi P' = P'1∪ P'2 , atunci α P' - α P ≤ (α P'1 - α P1) +( α P'2 - α P2).
Pentru a vedea de ce se întâmplă aşa, să considerăm o figură mai simplă:
Figura 15
Figura 16
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
30
Aici α P' - α P este aria dintre linia întreruptă şi linia plină din figura de mai sus. Aceasta
este ≤ decât suma diferenţelor
α P'1 - α P1 , α P'2 - α P2
Acelaşi principiu se aplică şi în cazul general. Într-adevăr, pentru o
triangulare convenabilă a lui P'1∪ P'2 fiecare dintre diferenţele.
α P' - α P , α P'1 - α P1 , α P'2 - α P2
este suma ariilor unei colecţii de regiuni triunghiulare şi fiecare triunghi care contribuie
la α P' - α P trebuie să contribuie cel puţin odată ( şi uneori de două ori) la
(α P'1 - α P1) +( α P'2 - α P2).
Aşadar α P' - α P < + = e ,şi deci M1∪ M2 este măsurabilă, ceea ce trebuia
demonstrat.
Teorema 2 rezultă din Teorema 1, aşa cum am arătat mai înainte.
Pentru Teorema 3 folosim aceleaşi figuri. Pentru a arăta că M1- M2 este măsurabilă,
să formăm o triangulare a lui P'1∪ P'2 în care fiecare din regiunile P1, P’1, P2, P'2 este
reuniunea unor regiuni triunghiulare, care se intersectează doar în vârfuri şi laturi. Fie P'
reuniunea tuturor regiunilor triunghiulare care sunt în P'1, dar nu sunt în P2, iar P
reuniunea tuturor regiunilor triunghiulare care sunt în P1 dar nu sunt în P'2. Atunci P şi P'
arată cam aşa:
Figura 17
Frontierele lui P şi P' sunt desenate cu linie plină, iar restul este punctat
pentru a ne reaminti cum erau definite P şi P'. Reamintim că e a fost un număr pozitiv
arbitrar, cu α P'1 - α P1 < şi α P'2 - α P2 < .
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
31
Evident, α P' - α P ≤ (α P'1 - α P1) +( α P'2 - α P2) şi α P' - α P < + = e ;deci M1-
M2 este măsurabilă, ceea ce trebuia demonstrat.
Pentru a demonstra că M1 ∩ M2 este măsurabilă, vom lucra doar cu mulţimi, fără a
folosi geometria sau algebra. Figura de mai jos va face să fie mai uşor de urmărit ceea ce
se întâmplă.
Figura 18
Fie M1∈ M, M2∈ M. Din Teorema 1, avem că M1 ∪ M2∈ M
Din Teorema 3 rezultă că M2 – M1 ∈ M, M1 - M2 ∈ M.
Aşadar, din Teorema 1, avem (M1 - M2 ) ∪ (M2 – M1 ) ∈ M.
Aplicând din nou Teorema 3, avem (M1 ∪ M2 ) – ((M1 - M2 ) ∪ (M2 – M1 )) ∈ M.
Aceasta demonstrează Teorema 4, deoarece mulţimea de mai sus este chiar
M1 ∩ M2.
Pentru Teorema 5, care spune că dacă M1 şi M2 nu se intersectează, atunci:
m (M1 ∪ M2 )= m M1 + m M2 .
Să observăm mai întâi că dacă P este o regiune poligonală din M1 ∪ M2,
atunci :
P= P1 ∪ P2, unde P1 ⊂ M1 şi P2 ⊂ M2.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
32
Figura 19
Aşadar α P = α P1+ α P2 ≤ m1 M1 + m1 M2.
Atunci m1(M1 ∪ M2) ≤ m1 M1 + m1 M2,deoarece m1(M1 ∪ M2)este marginea inferioară a
mulţimii de numere α P.
Pe de altă parte, fiind dat un e > 0, putem găsi P1 ⊂ M1 şi P2 ⊂ M2 , astfel încât
α P1 > m1 M1 - , α P2 > m1 M2 -
Avem atunci α P > m1 M1 + m1 M2 - e
Şi m1(M1 ∪ M2) ≥ m1 M1 + m1 M2 - e, pentru orice e > 0.
Aşadar m1(M1 ∪ M2) ≥ m1 M1 + m1 M2 .
Toate cele trei mulţimi sunt măsurabile. Aşadar m1(M1 ∪ M2) = m1 M1 + m1 M2 ceea ce
trebuia demonstrat.
Demonstraţia Teoremei 6. Fie M1 ⊂ M2; avem M2 =(M2 – M1 ) ∪ M1 şi cele două
mulţimi din dreapta nu se intersectează.
Aşadar m M2 = m (M2 – M1 )+ m M1
astfel că m (M2 – M1 )= m M2 - m M1, ceea ce trebuia demonstrat.
Demonstraţia Teoremei 7. Fie m(M1 ∩ M2)= 0;
dorim să arătăm că m (M1 ∪ M2) = m M1 + m M2.
Să observăm mai întâi (figura următoare) că M1 – M2= M1 - (M1 ∩ M2)
şi M2 – M1 = M2 - (M1 ∩ M2).
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
33
Figura 20
Aşadar
m (M1 - M2)= m M1 - 0 şi m (M2 – M1 )= m M2 -0.
Cum
M1 ∪ M2= (M1 - M2) ∪ (M1 ∩ M2) ∪ (M2 – M1 )
Avem că
m (M1 ∪ M2) = m M1 + m M2 + 0
ceea ce trebuia demonstrat.
3.3 Arii de sub graficele funţiilor continue
Măsura Jordan este teoria necesară pentru a completa studiul unei probleme din
analiza matematică elementară. Să presupunem că avem o regiune R, cuprinsă între
graficele a două funcţii continue.
Figura 21
Am presupus că f(x) ≤ g(x), a ≤ x ≤ b şi că R ={ (x,y) | a ≤ x ≤ b şi f(x) ≤ y ≤ g(x) }.
Calculăm de obicei aria lui R cu formula: mR = dx.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
34
Deducerile obişnuite ale acestei formule nu sunt demonstraţii în nici un sens, deoarece
ele nu folosesc nici o definiţie corectă a ariei. Aceste deduceri sunt însă convingătoare.
Acum când ştim câte ceva despre măsura Jordan, este uşor de văzut că acestea arată că
integrala definită dă măsura Jordan acestei regiuni. Situaţia de aici este asemănătoare cu
cea de la cerc.
Tratarea elementară devine corectă, în momentul în care dăm definiţia pe care o
utilizează în mod tacit.
Figura 22
Pentru a vedea aceasta, să considerăm mai întâi cazul când R este regiunea de sub o
singură funcţie continuă pozitivă f(x), aşa cum este cazul în figura de mai sus.
Avem f(x) ≥ 0, a ≤ x ≤ b şi R ={ (x,y) | a ≤ x ≤ b şi 0 ≤ y ≤ f(x) }
Ca în definiţia integralei definite, să luăm un şir crescător de puncte
a = x0 < x1 < ….< xn = b din intervalul (a,b). Fie Δ xi lungimea celui de al i -lea
interval. Fie mi minimul lui f(x) pe acest interval şi Mi, maximul lui f(x) pe acest
interval.(În figură am indicat m1 şi M1). Atunci este suma ariilor
dreptunghiurilor înscrise ( cu baza se sus linie întreruptă, în figură), iar este
suma ariilor dreptunghiurilor circumscrise (desenate cu linie plină în figură).
Sunt mai multe feluri de a defini integrala definită; nu vom reface aici toată teoria.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
35
În orice caz, rezultă că ≤ ≤ .
Pentru o funcţie continuă putem face diferenţa - , oricât de mică vrem,
cu condiţia ca numerele Δ xi să fie toate suficient de mici.
Aşadar, pentru orice e > 0, există un şir a = x0 < x1 < ….< xn = b, pentru care
- .
Prima sumă este aria α P a unei regiuni poligonale din R, iar cea de a doua este aria
unei regiuni poligonale P', care conţine pe R. R este măsurabilă: m1R = mER. Deoarece
integrala este un majorant pentru numerele α P, avem m1R ≤ .
Analog, integrala este un minorant pentru numerele α P' şi deci ≤ mER.
Deoarece m1R = mER = mR , rezultă că mR = , ceea ce trebuia demonstrat.
Aria unei regiuni trebuie să depindă doar de mărimea şi de forma ei şi nu de modul în
care este plasată relativ pe axe. Altfel spus, aria unei regiuni trebuie să fie invariantă la
deplasări rigide. Aceasta nu este clar dacă folosim integrale definite pentru a defini aria.
Complicaţia este că aceeaşi regiune poate fi descrisă într-un număr infinit de moduri ca
regiunea dintre graficele a două funcţii continue.
Figura 23
Aici R1 şi R2 sunt izometrice. Putem spune că :
dx = dx
Motivul este că ambele integrale dau răspunsul exact la aceeaşi întrebare. Dacă însă
definiţia măsurii este enunţată astfel încât să depindă de sistemul de coordonate, rămâne
problema de a demonstra prin analiză matematică faptul că integralele au aceeaşi
valoare; acesta nu este un procedeu practic.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
36
Teoria măsurii a fost generalizată de Henri Lebesgue, astfel încât să se poată
define aria unei clase şi mai largi de figure. Măsura Jordan este însă suficientă pentru
matematica elementară.
3.4 Măsurarea volumelor: Teoria elementară
3.4.1 Axiomele fundamentale ale teoriei volumelor
Teoria volumelor, construită în spiritul capitolului precedent, este dificilă din
punct de vedere tehnic. O astfel de muncă nu este justificată, deoarece oricine urmăreşte
o teorie atât de elaborată poate studia direct măsura Lebsgue şi nu măsura Jordan, prima
fiind mult mai utilă matematicii avansate.
Să presupunem deci că avem dată o clasă de muţimi de puncte în spaţiu, numite
mulţimi măsurabile. Să presupunem că avem dată şi o funcţie de la în
mulţimea numerelor reale negative. Daca , atunci se va numi volumul lui M.
Primele două axiome sunt necesare pentru a şti că toate corpurile elementare, al
căror volum ne propunem să-l calculăm, au într-adevar volum.
V-1. Orice mulţime convexă este în .
V-2. Dacă M şi N sunt în , atunci sunt în 3
Celălalte axiome privesc funcţia volum v.
V-3. v este monotonă. Altfel spus, dacă .
V-4. Dacă atunci .
Dacă v este o funcţie volum care satisface aceste condiţii, atunci putem obţine mai multe
funcţii de acest tip, înmulţind pe v cu o constantă pozitivă. Pentru a “determina unitatea
de volum”, enunţăm următoarea axiomă:
V-5. Volumul unui paralelipiped este produsul înălţimii sale cu aria bazei.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
37
Figura 24
Figura şi formula ne reamintesc că orice faţă a unui paralelipiped poate fi privată
ca bază.
Reamintim că regiunile triunghiulare cu aceeiaşi bază şi înălţime au mereu aceeaşi
arie. Presupunerea noastră finală pentru volum este analogul acestui fapt:
V-6. Principiul lui Cavalieri 3. Fie figuri în spaţiu. Fie un plan. Dacă
atunci se vor numi secţiunile transversale corespunzătoare prin
, respectiv.
Să presupunem că:
(1) ;
(2) ;
(3) Orice secţiune transversală prin K este măsurabilă în planul său;
(4) Orice secţiune transversală prin K’ este măsurabilă în planul său;
(5) Secţiunile transversale corespunzătoare D şi D’ ale lui K şi K’ au aceiaşi măsură în
planul lor. Atunci .
Figura 25
3 Bonaventura Cavalieri (1958-1647), mathematician Italian, considerat (datorită teoriei “indiviyibilităţilor”) ca un
profesor al teoriei calcului integral. (N.T.)
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
38
Ipoteza (5) este hotărâtoare; fără ea, principiul lui Cavalieri nu ar putea fi
adevărat. Sunt necesare însă şi celălalte patru ipoteze. De fapt, dacă avem
, nu rezultă că orice secţiune transversală a lui K este măsurabilă în planul ei.
De asemenea, dacă toate secţiunile transversale prin K sunt măsurabile în planurile
lor, nu rezultă că şi K ar fi măsurabilă; analog pentru K’.
3.5 Secţiuni transversale prin conuri şi piramide
Fie D un disc (circular) într-un plan E şi V un punct care nu este în E. Conul
cu baza D şi varful V este reuniunea tuturor segmentelor , unde P aparţine lui D.
Înălţimea conului este distanţa perpendiculară h de la V la E.
Figura 26
Fie acum un plan paralel cu E , de aceeaşi parte a lui E ca şi V, la distanţa
perpendiculară faţă de E. Fie C centrul lui D şi r raza sa. Pentru fiecare punct B
din D, fie punctul în care intersectează . Fie mulţimea tuturor punctelor de
felul lui B’. Vom numi secţiunea transversală prin con la înălţimea k.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
39
Figura 27
Teorema 1. este un disc de rază .
Demonstrţie. Fie ca în figura dinainte. Fie B un punct din D şi fie B’
punctual corespunzător din D’. Deoarece , orice plan care intersectează , le
intersectează după drepte paralele. Aşadar .
Prin urmare şi şi ,
rezultă următoarea: .
Dacă rezultă că şi reciproc. Prin urmare este discul de rază
, ceea ce trebuia demonstrat.
Folosind formula , obţinem următoarea:
Teorema 2. Fie K un con cu aria bazei a şi înălţimea h. Fie secţiunea prin K la
înălţimea k. Atunci .
Demonstrţie. Ştim că , unde r este raza bazei, iar r’ este
raza lui . Aşadar , ceea ce trebuia demonstrat.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
40
Dacă folosim o regiune triunghiulară ca bază, în locul discului, putem face o
discuţie similară ce conduce la o teoremă similară.
Figura 28
Fie T o regiune triunghiulară în planul E şi fie V un punct care nu este în E.
Piramida cu baza T şi vârful V este reuniunea tuturor segmentelor , unde P este în T.
Înălţimea piramidei este distanţa perpendiculară h de la V la E.
Fie planul paralel la E, de aceeaşi parte a lui E ca şi V, astfel încât distanţa
perpendiculară între E şi să fie .
Figura 29
Fie frontiera lui T şi fie A’, B’ şi C’ punctele unde intersectează pe
. Fie regiunea triunghiulară corespunzătoare lui . Avem atunci:
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
41
Motivul este că dacă un plan intersectează două plane paralele, intersecţiile sunt două
drepte paralele.
Aşadar:
,
, .
Din aceste paralelisme, rezultă asemănările dorite:
Deci din teorema de asemănare L.L.L. Ariile regiunilor
corespunzătoare T şi sunt legate prin formula
Avem teorema următoare:
Teorema 3. Fie o piramida cu aria bazei a şi înălţimea h. Fie secţiunea la
înălţimea k, atunci
3.5.1 Prisme şi cilindri
Să considerăm o pereche de planuri paralele , o mulţime şi o
dreaptă L care intersectează pe într-un singur punct:
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
42
Figura 30
Prin fiecare punct P din să construim un segment , paralel cu L, cu P’ în .
Reuniunea K a tuturor acestor segmente se numeşte cilindru; este numită bază
inferioară, iar L directoarea sa. Intersecţia a cilindrului cu se numeşte bază
superioară. ( este mulţimea tuturor punctelor P’.). Distanţa perpendiculară între
se numeşte înălţimea cilindrului.
Dacă este un disc, atunci K se numeşte cilindru circular. Dacă este o
regiune poligonală, atunci K se numeşte o prismă. Dacă L este perpendicular pe ,
atunci K se numeşte cilindru drept. Dacă baza unui cilindru este o regiune
paralelogramică, atunci el se numeşte paralelipiped. Dacă P şi Q sunt puncte din , iar
P’ şi Q’ sunt punctele corespunzătoare din , atunci nu este greu de văzut că
este parallelogram.
Demonstraţie. Dreptele sunt paralele, deoarece ambele sunt paralele cu L
(în afară de cazul când una este =L, când rezultă aceeaşi concluzie). Aşadar
sunt coplanare; să notăm cu E planul lor. Planul E intersectează fiecare din planele
; aceste intersecţii sunt două drepte paralele, , Rezultă că este
un paralelogram. Avem deci următoarea teoremă:
Teorema 1. În orice cilindru, baza inferioară şi cea superioară sunt izometrice.
Demonstraţie. În definiţia cilindrului, am utilizat corespondenţa între baza
inferioară şi cea superioară. Deoarece laturile opuse într-un paralelogram sunt
congruente, avem întodeauna
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
43
Prin urmare, corespondenţa noastră este o izometrie.
În particular:
Dacă cilindrul este circular, cele două baze sunt întodeauna discuri cu aceeaşi
rază.
Dacă cilindrul este o prismă cu baza triunghiulară, atunci cele două baze sunt
congruente.
Dacă cilindrul este o prismă a cărei bază este o regiune poligonală oarecare, atunci
cele doua baze, fiind izometrice, au întodeauna aceeaşi arie.
Toate acestea rezultă din Teorema 1; ideea de bază nu are nimic de-a face cu forma
bazei.
Printr-o secţiune transversală orizontală într-un cilindru, înţelegem intersecţia
cilindrului cu un plan paralel cu baza.
Figura 31
Teorema 2. Toate secţiunile transversale orizontale într-un cilindru sunt
izometrice.
Aceasta rezultă imediat din Teorema 1. Pentru a vedea aceasta, trebuie doar să
observăm că orice secşiune transversală orizontală B este baza superioară a unui cilindru
cu baza .
Din Teorema 2 obţinem acelaşi gen de conluzii speciale pe care le-am obţinut din
Teorema 1, adică dacă baza este un disc, atunci toate secţiunile orizontale sunt discuri de
aceeaşi rază; dacă baza este un triunghi, atunci toate secşiunile orizontale sunt
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
44
congruente; dacă baza este o regiune poligonală atunci toate secţiunile orizontale sunt
regiuni poligonale cu aceeaşi arie.
3.5.2 Volumele prismelor şi cilindrilor
Pentru a putea utiliza axioma de aditivitate V-4, avem nevoie de teorema
urmatoare:
Teorema 1. Daca şi M este o mulţime mărginită într-un plan, atunci
.
Demonstraţi:M-fiind mărginită, este inclusă într-o regiune dreptunghiulară R din planul
său. Fie Atunci pentru orice număr pozitiv h, M este inclus într-un plan
paralelipiped K, cu
Evident ca vK este oricât de mic vrem, dacă h este destul de mic. Mai precis,
pentru orice e > 0, avem , dacă , atunci
Pentru orice e > 0. Rezultă că vM = 0.
Teorema 2. Fie K o prismă dreaptă, de înălţime h, cu baza de regiune
treiunghiulară T.
Figura 32
Atunci
Demonstraţie. Să construim dreapta K’ cu baza T’, astfel ca să fie un
paralelogram, iar să fie un paralelipiped. Daca atunci
Din principiul lui Cavalieri rezultă că
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
45
Aşadar
Deci ceea ce trebuia demonstrat.
Mai general, avem teorema următoare:
Teorema 3. Fie K o prismă dreaptă, cu baza inferioară B şi înălţimea h.
Atunci
Figura 33
Demonstraţie: B este regiunea unei colecţii finite de regiuni triunghiulare
Aşadar K este reuniunea unei colecţii finite de prisme , care au baze. Ştim din
Teorema 2 că pentru fiecare i. În plus
deoarece fiecare intersectează pe celelalte după o mulţime de volum = 0.
Aşadar
Teorema 4. Fie K o prismă arbitrară (dreaptă sau nu). Atunci vK este produsul
dintre înălţimea sa şi aria bazei sale.
Demonstraţie. Fie K’ o prismă dreaptă, cu aceeaşi arie a bazei ca şi K şi cu
aceeaşi înălţime. Din Teorema 3,
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
46
Figura 34
Din principiul lui Cavalieri
Aşadar ceea ce trebuia demonstrate.
Pentru cilindri cu baze circulare, formula volumului şi demonstraţia acesteia sunt
aceleaşi.
Teorema 5. Fie K un cilindru cu înălţimea h şi cu baza un disc de rază r.
Atunci
Pentru a demonstra aceasta, să luăm o prismă dreaptă L, cu aria bazei şi cu
înălţimea h. Atunci
Conform Teoremei 2 toate secţiunile orizontale ale lui K şi L au aceeaşi arie.
Aşadar, din principiul lui Cavalieri, avem ceea ce trebuia demonstrat.
3.5.3 Volumele piramidelor şi ale conurilor
Teorema 1. Să considerăm două piramide cu bazele în acelaşi plan şi cu vârfurile
de aceeaşi parte a acestui plan. Dacă ele au aceeaşi arie a bezelor şi aceeaşi înălţime,
atunci au şi acelaşi volum.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
47
Figura 35
Demonstraţie. Fie aria comuna a bazelor egala cu a şi înălţimea egala cu h.
Secţiunile transversale de înălţime k au aceeaşi arie şi anume
Din principiul lui Cavalieri, cele două piramide au acelaşi volum.
Figura 36
Putem calcula acum volumul unei piramide, folosind următorul procedeu
ingenios. Să considerăm mai întâi o prismă dreaptă K cu baza triunghiulară, ca în figura
de mai sus. Figura de mai jos arată cum se poate exprima prisma ca reuniunea a trei
piramide triunghiulare:
Figura 37
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
48
Avem că Dacă privim pe ca piramide cu “vârful” A,
atunci ele au bazele de aceeaşi arie; ele au şi aceeaşi înălţime deoarece înălţimea
fiecaruia din ele este distanţa perpendiculară din A pe planul ce conţine pe B, C, E, şi F.
Dacă din teorema precedentă, avem
Să privim pe ca piramidele cu “vârful” F. Atunci au bazele de
aceeaşi arie, deoarece şi au aceeaşi înălţime, deoarece înălţimea fiecareia
este distanţa perpendiculară de la F la planul ce conţine pe A, B, D şi E. Din teorema
precedentă, avem
Deoarece se intersectează între ele doar după mulţimi plane, cu
volumul =0, avem
Figura 38
Să presupunem că am pornit cu o piramida L, cu baza triunghiulară. Fie
piramida cu aceeaşi bază şi aceeaşi înălţime, dar cu muchia perpendiculară pe planul
bazei (ca în fig.23.14). Fie K prisma dreaptă cu aceeaşi bază şi aceeaşi înălţime ca şi .
Atunci
Aşadar unde a şi h sunt aria bazei şi înălţimea lui L. Avem
deci următoarea teoremă:
Teorema 2. Volumul piramidei este o treime din produsul ariei bazei sale cu
înălţimea sa.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
49
Figura 39
Dacă folosim din plin principiul lui Cavalieri, formula corespunzătoare pentru
conuri devine banală. Fie dat un con cu aria bazei şi înălţimea h (fig. 23,17).
Să luăm o piramidă arbitrară cu baza în acelaşi plan, cu aceeaşi arie a bazei a şi
aceeaşi înălţime h. În desenele din figura 23.17, secţiunile transversale la aceeaşi înălţime
au aceeaşi arie; secţiunile transversale de înălţime k au aria
Din principiul lui Cavalieri, conul şi piramida au acelaşi volum. Deoarece ştim că
volumul piramidei este avem urmatoarea teoremă:
Figura 40
Teorema 3. Volumul conului este o treime din produsul ariei bazei sale cu
înălţimea sa.
3.5.4 Volumul sferei
Pentru a afla volumul sferei, mai întâi îi circumscriem un cilindru, astfel:
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
50
Figura 41
Fie K o sferă cu interiorul ei; fie C cilindrul circumscris şi fie astfel încât
Ştim cum să aflăm pe vC:
Aşadar, dacă putem afla pe vL, vom putea calcula vK prin scădere .
Pentru a calcula pe vL, vom utiliza principiul lui Cavalieri la fel ca şi în ultimele două
secţiuni, adică vom găsi o figură al cărei volum îl ştim şi care are aria secţiunilor
transversal aceeaşi cu cea a lui L.
Aria unei secţiuni transversal în L este uşor de calculate. Figura 41 arată o
secţiune transversală vertical în sferă şi cilindrul circumscris. Aşadar cilindrul apare ca
un dreptunghi, iar sfera ca un cerc. Secţiunile transversal prin L la înălţimea h sunt figuri
de tipul:
Figura 42
Raza exterioara este r, iar cea interioară este din teorema lui Pitagora.
Aşadar aria secţiunii lui L la înălţimea k este:
πK2.
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
51
Să considerăm acum figura de mai jos. În dreapta este desenată o secţiune transversală
verticală a lui .
Figura 43
Secţiunea transversală a lui la înălţimea k este un disc de rază k. Aşadar aria
secţiunii transversale la înălţimea k este
Deci , dar
Aşadar , deci
Pentru referinţă, enunţăm aceasta ca o teoremă:
Terema 1. Volumul sferei de rază r este
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA, BRAŞOV LUCRARE DE LICENŢĂ Facultatea de Matematică şi Informatică student: Simon Georgiana-Veronica
52
Bibliografie
1. Ionescu Rodica, „Poziţiile relative ale dreptelor şi planelor în spaţiul Euclidian”,
Editura Sfântul Ierarh Nicolae;
2. Edwin E. Moise, „Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior”,
Bucureşti, Editura didactică şi pedagogică, 1980;
3. Răducanu Dorina, „Introducere în teoria măsurii şi integrării”, Editura Albastră,
2008;
4. Crâşmăreanu Mircea, „Axiomatica Hilbert a spaţiului Euclidian”, Iaşi,
Universitatea „Alezandru Ioan Cuza”, Facultatea de Matematică;
5. Robin Hartshorne, „Geometry: Euclid and Beyond”.