Libro ejercicios

Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

x f(x)

1,9 3,61

1,99 3,9601

1,999 3,996001

... ...

↓ ↓

2 4

x f(x)

2,1 4.41

2,01 4,0401

2,001 4,004001

... ...

↓ ↓

2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L

LIMITES LATERALES

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a − δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), , entonces |f (x) - L| <ε .

El límite de una función en un punto si existe, es único.

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

Ejemplo

Dada la función:

Hallar .

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

LIMITES MENOS INFINITO

Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

LIMITE EN EL INFINITO

Límite cuando x tiende a infinito

Límite cuando x tiende a menos infinito

PROPIEDADES

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Si a > 0

Si 0 < a < 1

http://www.vitutor.com/fun/3/a_10.html#log

Límites de logaritmos

OPERACIONES

Sumas con infinito

Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito

Productos con infinito

Infinito por un número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

Cero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

Cero partido por infinito

Infinito partido por cero

Cero partido por cero

Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero

Un número elevado a cero

Cero elevado a cero

Infinito elevado a cero

Cero elevado a un número

Un número elevado a infinito

Cero elevado a infinito

Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

La regla de los signos y que a-n = 1/a n

LIMITE

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

CALCULO DE LIMITES

Para calcular el límite de una función cuando x ∞ se sustituyen las x por ∞.

Límite de funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:

.

Cálculo de límites cuando x -∞

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

EXPONENCIAL

Si a > 0

Si 0 < a < 1

LOGARITMO

Si a > 0

Si 0 < a < 1

Límites de logaritmos

INDETERMINANTES

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

Tipos de indeterminación

1. Infinito partido por infinito

Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:

1. Por comparación de infinitos.

El numerador tiene mayor grado que el denominador.

El denominador tiene mayor grado que el numerador.

Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado.

http://www.vitutor.com/fun/3/a_14.html

2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

2. Infinito menos infinito

Por comparación de infinitos.


2. Con funciones racionales.

Ponemos a común denominador.

3. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.

3. Cero partido por cero

Función racional sin radicales:

Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.


No tiene límite en x = −1

2. Función racional con radicales:

En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional.

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.

4. Cero por infinito

Se transforma a ó a


5. Cero elevado a cero

6. Infinito elevado a cero

7. Uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.

1er Método:


2º Método:

COMPARACION

f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:

2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

Hallar los límites por comparación de infinitos:

LIMITE DE UN NUMERO PARTIDO DE CERO

El límite puede ser +∞, −∞ ó no tener límite.

Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda como −1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por tanto el límite por la izquierda será: +∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el límite por la derecha será: − ∞.

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x −1.

INDETERMINACION INFINITO PARTIDO INFINITO

Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:


El numerador tiene mayor grado que el denominador.

El denominador tiene mayor grado que el numerador.

Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado.

2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

INFINITO MENOS INFINITO


2. Con funciones racionales.

Ponemos a común denominador.

3. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.

CERO PARTIDO CERO

1. Función racional sin radicales:

Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

No tiene límite en x = −1

2. Función racional con radicales:

En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional.

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.

CERO POR INFINITO

Se transforma a ó a

UNO ELEVADO AL INFINITO

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.

1er Método:

2º Método:

Ejercicios de límites de funciones

1Aplicando la definición de límite, probar que:

2Observa la gráfica de esta función f(x) y calcular estos límites.

Calcular los siguientes límites:

3

Calcular el límite de:

4


5


6


7

alcular el límite de:

Al elevar el binomio del numerador al cuadrado obtenemos x4, y por tanto el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

8


9


El numerador es un infinito de orden superior

10


11


12


13


14


15


16


17


18Calcular:

1

2

3

4

5

6

7

8

Calcular:

1

2

3

4

5

6

7

8

Examen de límites de funciones

1Aplicando la definición de límite, probar que:

tiene límite -1 cuando x 0

Aplicando la definición de límite, probar que:

tiene límite -1 cuando x 0

Calcular los siguientes límites:

2


3


4


El denominador es un infinito de orden superior

5


6


Concepto de sucesión

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

3, 6, 9,..., 3n

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término general

an= 2n-1

a1= 2 ·1 - 1 = 1

a2= 2 ·2 - 1 = 3

a3= 2 ·3 - 1 = 5

a4= 2 ·4 - 1 = 7

1, 3, 5, 7,..., 2n-1

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.

2, 4, 16, ...

Sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Dadas las sucesiones an y bn:

an= a1, a2, a3, ..., an

bn= b1, b2, b3, ..., bn

Suma de sucesiones

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an + bn) + cn = an + (bn + c n)

2 Conmutativa:

an + bn = bn + a n

3 Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ...)

an + 0 = an

4 Sucesión opuesta

(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)

an + (-an) = 0

Diferencia de sucesiones

(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto de sucesiones

(an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an · bn) · c n = an · (bn · c n)

2 Conmutativa:

an · bn = bn · a n

3 Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4 Distributiva respecto a la suma

an · (bn + c n) = an · bn + an · c n

Sucesión inversible

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:

Cociente de sucesiones

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

LIMITE DE UNA SUCESION

Idea intuitiva del límite de una sucesión

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

a1= 1

a2= 0.5

a1000= 0.001

a1000 000 = 0.000001

El límite es 0.

a1= 0.5

a2= 0.66

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1.

a1= 5

a2= 7

a1000= 2 003

a1000 000 = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es ∞.

Límite finito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión, su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por pequeño que éste sea.

Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.1.

Vamos a determinar a partir de que término la distancia a 0 es menor que 0.001.

A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

http://www.vitutor.com/di/re/r7.html

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an> M.

El límite de la sucesión an= n2 es +∞.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.

a101= 1012 = 10 201

Una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an < −N.

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión an= −n2 es −∞.

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...

Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a −10 000.

a101= −1012 = −10 201

TIPOS

Sucesiones convergentes

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Límite = 0

Límite = 1

Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...

Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.

Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.

Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

an+1 > an

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 ≥ an

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

an+1 < an

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.

an = an+1

5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

an ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ an ≤ K'

Ejemplos de sucesiones

an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

Es creciente.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.

Divergente

bn = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: -1, 0, 1, ...

El máximo es -1.

No está acotada inferiormente.

Divergente

cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

Es decreciente.


Cotas superiores: 2, 3, 4, ...

El máximo es 2.



El ínfimo es 1.

Convergente, límite = 1.

dn= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

No es monótona.

No está acotada.

No es convergente ni divergente.

PROGRESIONES

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

8, 3, -2, -7, -12, ..

an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak + (n - k) · d

a4= -7 y d= -5

an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7 , -12.

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)

-4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

r= 2.

Término general de una progresión geométrica


an = a1 · rn-1

3, 6, 12, 24, 48, ..

an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n


an = ak · rn-k

a4= 24, k=4 y r=2.

an = a4 · rn-4

an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.


Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3, 6, 12, 24 , 48.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

3, 6. 12, 24, 48, ...

48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12

144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Cálculo del término general de una sucesión

1 Comprobar si la sucesión es una progresión aritmética.

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8= -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

2 Comprobar si la sucesión es una progresión geométrica.

3, 6, 12, 24, 48, ...

6 / 3 = 2

12 / 6 = 2

24 / 12 = 2

48 / 24 = 2

r= 2.

an = 3· 2 n-1

3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.

4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

22, 32, 42, 52, 62, 72, ...

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.

bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1

Por lo que el término general es:

an= (n + 1)2

También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.

5, 10, 17, 26, 37, 50, ...

22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...

Hallamos el término general como vimos en el ejemplo anterior y le sumamos 1.

an= (n + 1) 2 + 1

6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ...

an= (n + 1)2 + 2

3, 8, 15, 24, 35, 48, ...

22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ...

an= (n + 1)2 - 1

2, 7, 14, 23, 34, 47, ...

22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ...

an= (n + 1) 2 - 2

4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.

Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.

-4, 9, -16, 25, -36, 49, ...

an= (-1)n (n + 1)2

Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-

1.

4, -9, 16, -25, 36, -49, ...

an= (-1)n-1 (n + 1)2

5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).

Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

an= bn /c n

2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

Tenemos dos sucesiones:

2, 5, 8, 11, 14, ...

4, 9, 16, 25, 36, ...

La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.

an= (3n - 1)/(n + 1)2

SUCESIONES Y PROGRESIONES

Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3 ,..., an

Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término general

an= 2n-1

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones an y bn:

an= a1, a2, a3, ..., an

bn= b1, b2, b3, ..., bn

Suma con sucesiones:

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an + bn) + cn = an + (bn + c n)

2 Conmutativa:

an + bn = bn + a n

3 Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ..)

an + 0 = an

4 Sucesión opuesta

(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)

an + (-an) = 0

Diferencia con sucesiones:

(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto con sucesiones:

(an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)

Propiedades

1 Asociativa:

(an · bn) · c n = an · (bn · c n)

2 Conmutativa:

an · bn = bn · a n

3 Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4 Distributiva respecto a la suma

an · (bn + c n) = an · bn + an · c n

Sucesión inversible

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:

Cociente

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Límite de una sucesión

Es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión

Sucesiones convergentes

Son las que tienen límite.

Sucesiones divergentes

Son las sucesiones que no tienen límite finito.

Tipos de sucesiones

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 > an

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 ≥ an

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

an+1 < an

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.

an = an+1

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

an ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ an ≤ K'

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

Término general de una progresión aritmética


an = a1 + (n - 1) · d


an = ak + (n - k) · d

Interpolación de términos

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.


Suma de términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an

Suma de n términos consecutivos

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Término general de una progresión geométrica


an = a1 · rn-1


an = ak · rn-k

Interpolación de términos

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Suma de n términos consecutivos

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

Producto de n términos equidistantes

Término general de una sucesión

1 Comprobar si es una progresión aritmética.

2 Comprobar si es una progresión geométrica.

3 Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.

4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.

Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.

Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-

1.

5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).

Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

EJERCICIOS

Ejercicios de sucesiones

Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

1an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

Es creciente.



El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.

Divergente

2an = -1, -2,-3, -4, -5, ... –n

an = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

Es decreciente.


Cotas superiores: -1, 0, 1, ...

El máximo es -1.

No está acotada inferiormente.

Divergente

3an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

Es decreciente.


Cotas superiores: 2, 3, 4, ...

El máximo es 2.



El ínfimo es 1.

Convergente, límite = 1.

4an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

No es monótona.

No está acotada.


5

Monotonía

3, 4/3, 1, 6/7,...

Es monotona estrictamente decreciente.

Límite

a1= 3

a3= 1

a1000= 0.5012506253127

a1000 000 = 0.5000012500006

El límite es 0.5

Sucesión convergente

Cotas

Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.

0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 < a n ≤ 3

6

6

2, − 4, 8, − 16, ...

No es monótona.


No está acotada.

7

7

No es monótona.

Es convergente porque el límite = 0.

Está acotada superiormente, 1 es el máximo.

Está acotada inferiormente, -1 es el mínimo.

Está acotada.

8

8

Monotonía

Es monotona estrictamente creciente.

Límite

a1= 0.5

a3= 0.6666

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1

Sucesión convergente

Cotas

Está acotada inferiormente. 1/2 es el mínimo.

Está acotada superiormente. 1 supremo.

Por tanto la sucesión está acotada.

0.5 ≤ a n < 1

9Hallar el término general de las siguientes sucesiones

1 8, 3, -2, -7, -12, ...

2 3, 6, 12, 24, 48, ...

3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...

5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...

7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...

8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...

9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

10

9

Hallar el término general de las siguientes sucesiones:

1 8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8= -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

2 3, 6, 12, 24, 48, ...

6 / 3 = 2

12 / 6 = 2

24 / 12 = 2

48 / 24 = 2

r= 2.

an = 3· 2 n-1

3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

22, 32, 42, 52, 62, 72, ...

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante.

bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1

Por lo que el término general es:

an= (n + 1)2

4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...

22 +1 , 32 +1, 42 +1, 52 +1, 62 +1 , 72 +1, ...

Hallamos el término general como vimos en el caso anterior y le sumamos 1.

an= (n + 1) 2 + 1

5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

22 +2 , 32 +2, 42 +1, 52 +2, 62 +2 , 72 +2, ...

an= (n + 1)2 - 1

6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...

22 -1 , 32 -1, 42 -1, 52 -1, 62 -1 , 72 -1, ...

an= (n + 1)2 - 1

2, 7, 14, 23, 34, 47, ...

22 -2 , 32 -2, 42 -2, 52 -2, 62 -2 , 72 -2, ...

an= (n + 1) 2 - 2

7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...

an= (-1)n (n + 1)2

8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...

an= (-1)n-1 (n + 1)2

9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

Tenemos dos sucesiones:

2, 5, 8, 11, 14, ...

4, 9, 16, 25, 36, ...

La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos.

an= (3n - 1)/(n + 1) 2

10

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 2.

El denominador es una progresión aritmética de d= 1.

Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.

10Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

10

Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

1

El numerador es constante.


2

El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión aritmética con una d = 1.

3

En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.



4

Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d= 1.


5

Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una d= 1.


Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.

6

Es una sucesión oscilante.

Los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una d= 1.

7

Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una d= 1.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.


8

Es una sucesión oscilante.

El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.

Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.

El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de d= 1 (sin contar los términos pares).

El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.

Los términos pares forman una sucesión constante.

9


El denominador es una progresión geométrica con una r= 2.

10

Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con una d= 1.

El denominador es una progresión geométrica con una r= 3.

Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.

Ejercicios de progresiones aritméticas

1El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

1

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

a 4 = 10; a 6 = 16

a n = a k + (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3

a1= a4 - 3d;

a1 = 10 - 9 = 1

2Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.

2

Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.

a= 3, b= 23;

d= (23-3)/(3+1) = 5;

3, 8, 13, 18, 23.

3Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7 , -12.

4El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

a 1 = − 1; a 15 = 27;

a n = a 1 + (n - 1) · d

27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

5Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

a1= 5; d= 5; n = 15.

a n = a 1 + (n - 1) · d

a15 = 5 + 14 · 5 = 75

S15 = (5 + 75)· 15/2 = 600.

6Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

a1= 5; d= 10 ; n= 15.

a15= 5+ 14 ·10= 145

S15 = (5 + 145)· 15/2 = 1125

7Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.

Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.

a1= 6; d= 2; n= 15.

a15 = 6 + 14 · 2 = 34

S15= (6 + 34) · 15/2 = 300

8Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

360= ( a1 + a4) · 4/2

a4= a1 + 3 · 25

360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2

a1 = 105/2 = 52º 30' a2 = 77º 30'

a3 = 102º 30' a4 = 127º 30'

9El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d

(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64

10Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

Término central x

1º x - d

3º x + d.

x − d + x + x + d = 27

x = 9

(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511/2

d = ± 5/2

13/2, 9, 23/2

23/2, 9, 13/2

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