El objetivo principal de este captulo esque el alumno utilice adecuadamentelas cuatro operaciones fundamentales(+; -; x; ).Las cuatro operaciones fundamentales,es el instrumento matemtico masantiguo utilizado por el hombre que nospermite resolver problemas de carctercomercial y de la vida diaria.

Ejemplo 1: Un comerciante compracierta cantidad de agendas en S/.1424y los vende todos en S/.2492, ganandoas S/.1,50 por agenda. Cuntasagendas compr y cunto le cost cadauna?

Resolucin:Precio de costo total: S/. 1424Precio de venta total: S/. 2492Entonces: Ganancia total = S/. 1068Como ganancia en cada agenda esS/.1,50Entonces: N de agendas = 1068/1,50

= 712

Ejemplo 2: Un sastre pensconfeccionar 100 camisas en 20 das,pero tard 5 das ms por trabajar 2,5horas menos cada da. Cuntas horastrabaj por da?

Resolucin:El sastre perdi 2,5 horas por da,durante 20 das; es decir: Perdi: 2,5 x20 = 50 horasLas que recupera en cinco das, a razn

de: dhdh /10

550

CALCULO DE DOS NMEROS,CONOCIENDO:

I) LA SUMA Y DIFERENCIASe emplea solamente para

determinar dos cantidades, siconocemos la suma (S) y diferencia (D)de ambos, lo que implica que una de

las cantidades a calcular es mayor quela otra.

N mayor =2

DS N menor =

2DS

II) SUMA Y COCIENTEEn el caso que tengamos como

dato la suma de dos nmeros (S) y elcociente de ambos (q), podemoscalcular ambos nmeros mediante lasiguiente relacin:

III) DIFERENCIA Y COCIENTEEn el caso que tengamos como

dato la diferencia (D) y el cociente deambos (q), podemos calcular ambosnmeros mediante la siguienterelacin:

Nota:Es recomendable saber que el cocientees la relacin del nmero mayor alnmero menor.

* En un enunciado, al decir que:- Un nmero es el triple del otro

significa que su cociente es 3(q = 3).

- Un nmero es la mitad del otrosignifica que su cociente es 2(q = 2).

- Un nmero es los 4/7 de otrosignifica que: q = ......

N menor =1q

SN mayor =

1.qqS

N menor =1q

DN mayor =

1.qqD

Ejemplo 3: En cierto da, las horastranscurridas exceden a las que faltantranscurrir en 6 horas. A qu horaocurre esto?

Resolucin:Sean tiempo transcurrido (t.t) ytiempo no transcurrido.Sabemos que la suma y la diferencia deestos dos tiempos es:S = 24h; D = 6h

t.t. (mayor) =2

624 = 15 horas

Hora: 3 p.m.

Ejemplo 4 :Dos personas tienenS/.900 y S/.300, respectivamente. Seponen a jugar a las cartas a S/.10 cadapartida y al final la primera que haganado todas las partidas, tiene elcudruple de lo que tiene el segundo.Cuntas partidas se jugaron?

ResolucinLa suma total de dinero, entre juego yjuego, no vara.

S = S/.1200Luego de n jugadas: q = 4En ese momento el ganador tiene:

960./14

41200 Sx

habiendo ganado:S/.960 S/.900 = S/.60a S/. 10 cada partida.

N de partidas = n = 610./60./

SS

Ejemplo 5: En aquel entonces tutenas 20 aos ms que yo, que tena laquinta parte de la edad que tenas. Sieso sucedi en 1980, actualmente(2004) que edad tenemos, asumiendoque ya cumplimos aos.

Resolucin:En 1980 la diferencia y el cociente denuestras edades era:D= 20 ; q= 5Tenamos:

Tu (mayor) = 2515520

x

Yo ( menor) = 25 - 20 = 5.

Actualmente tenemos:49 y 29 aos.

MTODOS OPERATIVOSEl propsito de este tema es mostrarlos mtodos usados con mayorfrecuencia, que han demostrado sueficacia frente a otros procedimientos;aunque es necesario reconocer en quecasos se deben aplicar.

METODO DE LAS DIFERENCIAS(Mtodo del rectngulo)Es un mtodo que se aplica aproblemas donde participan doscantidades excluyentes, una mayor quela otra, las que se comparan en dosoportunidades originando,generalmente, en un caso sobrante oganancia y en el otro caso un faltante oprdida.

Ejemplo 1: Un comerciante analiza: sicompro a S/.15 el kilo de carne mefaltara S/.400; pero si slo compro deS/.8 el kilo me sobrara S/.160.Cuntos kilogramos necesita comprary de que suma dispone?

Resolucin:f

Si compro a S/.15 c/Kg ------- S/.400s

S/. 8 c/Kg -------- S/.160

Du = S/. 7 c/Kg Dt = S/.560

Cantidad (Kg) =DuDt

=7./

560./S

S= 80

Dinero disponible =80Kg x S/.8 + S/.160 = S/. 800

Ejemplo 2: Para ganar $28 en la rifade una filmadora se hicieron 90 boletos,vendindose nicamente 75 boletos yoriginando as una prdida de $17.Calcular el costo de cada boleto y elvalor de la filmadora.

Resolucin:g

Si vendiera 90 bol -------- $28p

75 bol -------- $17 = 15 bol = $45

Costo c/boleto =bol1545$

= $ 3

Valor de la filmadora = 90 x 3 - 28= $242

METODO DEL CANGREJO(Mtodo Inverso)Es un mtodo utilizado en problemasdonde interviene una variable a la cualse realiza una serie de operacionesdirectas hasta llegar a un resultadofinal. Se denomina mtodo inverso,porque a partir del dato final se realizanlas operaciones inversas hasta llegar alvalor inicial.

Ejemplo 3: Al preguntarle a Pepitopor su edad, el contest con evasivasdiciendo lo siguiente: si le agregas 10,al resultado lo multiplicas por 5 yenseguida le restas 26 para luegoextraerle la raz cuadrada y por ltimolo multiplicas por 3, obtendrs 24.Cul es la edad de Pepito?

Resolucin:Considerando la edad de Pepito: E; yaplicando las operacionesconsecutivamente, como lo indicado porPepito, tenemos :

E + 10 x 5 26 x 3 = 24

Aplicando operaciones inversas,tenemos:E = 24 3 2 + 26 5 - 10E = 8 aos.

Ejemplo 4: El nivel del agua de untanque en cada hora desciende 2m pordebajo de su mitad, hasta quedar vacoel tanque luego de 3 horas. Quvolumen de agua se ha utilizado,sabiendo que el tanque tiene una basecircular de 5m2.

Resolucin:Considerando el Nivel inicial del agua: HDel problema deducimos que, en cadahora, queda la mitad menos dos metrosde agua.Entonces, en tres horas, queda:H 2 - 2 2 - 2 2 - 2 = 0

Aplicando operaciones inversas, a partirdel final, tenemos:H = 0 + 2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2H = 28 m.

Teniendo en cuenta que el volumen deun tanque circular es:V = Area de la base x altura V = 5 m2 x 28 m

= 140 m3

METODO DE FALSA SUPOSICION(Regla del Rombo)Se aplica cuando en un problemaparticipan un nmero de elementosdivididos en dos grupos cuyos valoresunitarios (o caractersticas) se conoceny adems nos proporcionan el valortotal, que es la resultante de sumartodos los valores unitarios.

Ejemplo 5: En el saln de clase el pesopromedio de cada alumno es de 75 kg yde cada alumna 60 kg, si el peso totalde todos es de 4020 kg. En cuntoexcede el nmero de mujeres al de losvarones, si en total son 60?

Resolucin: Aplicando el mtodo dela falsa suposicin:Supongamos que los 60 alumnos pesan75 Kg c/u. Peso de todos los alumnos sera(Valor supuesto) = 60 x 75 = 4500 KgEste valor excede al real en:4500 4020 = 480 KgEste exceso es por que asumimos quetodos eran varones, por lo que dimosun valor agregado a cada alumna de:75 60 = 15 Kg.

N de alumnas =15480

= 32

N de alumnos = 60 32 = 28 = 32 28 = 4

* Las operaciones efectuadas en lasolucin de este problema se puedenresumir en:

75x -

60 - 4020

60

N Alumnas =607540207560

x= 32

Esta es la regla prctica del mtodo dela falsa suposicin, llamada REGLA DELROMBO, que consiste en ubicar lainformacin del problema en los cuatrovrtices del rombo, de la siguientemanera:

M

NE VT

m

donde:

NE : Nmero total de elementos.M : Mayor valor unitario.m : menor valor unitario.VT : Valor total.

Si se desea calcular el nmero deelementos que tienen el menor valorunitario, se procede de la siguientemanera:

N =mM

VTNExM

Ejemplo 6: En una billetera hay 24billetes que hacen un total de 560soles. Si solamente hay billetes de 50 y10 soles, cuntas eran de cada clase?

Resolucin:

50x -

24 - 560

10

N billetes (S/.10) =1050

5605024

x

= 16N billetes (S/.50) = 24 16 = 8

REGLA CONJUNTA

Es un mtodo que nos permitedeterminar la equivalencia de doselementos.

Procedimiento:

1. Colocar la serie de equivalenciasformando columnas.

2. Procurar que en cada columna nose repitan los elementos; si serepiten cambiar el sentido de laequivalencia.

3. Multiplicar los elementos de cadacolumna.

4. Despejar la incgnita.

Ejemplo 7: Si 4 soles equivale a unalibra esterlina; 3 yenes equivale a 2libras esterlinas; 5 marcos equivale a 6yenes; y 9 marcos equivale a 6pesetas.

Cuntas pesetas equivale a 16 soles?

Resolucin:S/. 4 1 l.e.2 l.e. 3 yenes6 yen. 5 marcos9 mar. 6 pesetasX pes. S/. 16

4.2.6.9.X = 1.3.5.6.16X = 10/3

EJERCICIOS

1. Se ha pagado una deuda de S/. 170con monedas de S/. 5 y S/.2. Elnmero de monedas de S/. 2 esmayor que la de S/. 5 en 15.Cunto suman las monedas de S/.5 y S/. 2?

Rpta ...........................................

2. Un carnicero compr 152 kg decarne a S/. 15 el kg, despus dehaber vendido 32 kg a S/. 18 el kg.guarda la carne por varios das y sele malogra el 30%. A como debevender el kg de lo que le quedapara ganar en total 144 soles?

Rpta ...........................................

3. Compre varios radios porttiles por$2800; vend parte de ellos en$900 a $60 cada radio perdiendo$20 en cada uno. A como debovender cada uno de los restantespara que pueda ganar $ 500 en laventa total?

Rpta ...........................................

4. Un tanque de agua de 540m decapacidad, puede ser desaguadomediante 3 bombas A, B y Ccolocadas equidistantemente dearriba hacia abajo; los caudalesrespectivos son de 3; 10 y5m/min. Si estando lleno el tanquese ponen en funcionamiento lasbombas. En que tiempo serdesaguado totalmente?

Rpta ...........................................

5. Para la eleccin de la Junta Directivadel mejor equipo del mundo TODOSPORT se presentaron tres listas A,B y C, 150 hombres no votaron porC; 170 mujeres no votaron por B;90 hombres votaron por C; 180votaron A y 50 hombres votaron porB. Cuntos fueron los votantes yque lista gan, si 200 votaron porB?

Rpta ...........................................

6. Un mnibus que hace su recorridode Lima a Huaral, y en uno de susviajes recaud en total la suma deS/. 228. El precio nico del pasajees de S/. 6.00, cualquiera que sea elpunto donde baje o suba elpasajero; cada vez que baj unpasajero subieron 3 y el mnibusllego a Huaral con 27 pasajeros sedesea saber el N de pasajeros quellevaba el mnibus al salir de Lima

Rpta ...........................................

7. Hallar el mayor de dos nmerossabiendo que la suma es el mximonmero de 3 cifras y su diferenciaes el mximo nmero de 2 cifras.

Rpta ...........................................

8. En una fiesta en la cual hay 42personas, la primera dama baila con7 caballeros; la segunda dama con8; la tercera con nueve y assucesivamente hasta que la ltimabaila con todos los caballeros.Cuntos caballeros asistieron?

Rpta:..........................................

9. Si le pago S/. 15 a cada uno de misempleados, me faltaran S/. 400,pero si slo le pago S/. 8 mesobraran S/. 160. Cuntosempleados tengo?

Rpta:..........................................

10. Un padre va al cine con sus hijos yal sacar entradas de S/. 3 observaque le falta para 3 de ellos, yentonces tiene que sacar entradasde S/. 1,50. As entonces entrantodos y an le sobran S/. 3Cuntos eran los hijos?

Rpta: ........................................

11. Mientras iba al mercado a vendersus sandas un comerciante

pensaba: si los vendo cada uno aS/. 18, me comprar mi terno y mesobrarn S/. 60; pero si los vendo aS/.20 cada uno, me sobraran S/.90luego de comprarme mi terno. Quprecio tiene el terno?

Rpta: .........................................

12.Para ganar S/. 28 en la rifa de unaradio se hicieron 90 boletos,vendiendo nicamente 75 yoriginando una prdida de S/. 17.Cul es el valor de la radio?

Rpta: .........................................

13.A un nmero le sumamos 2; luegolo multiplicamos por 10 al resultadole sumamos 14 y obtenemos 54como resultado final. De qunmero se trata.

Rpta: .........................................

14.Se tiene un nmero de dos cifras alcul se le multiplica por 4, luego sele suma 36, se le divide entre 2,nuevamente lo multiplicamos por 3para al final restarle 33, obteniendocomo resultado final el mximonmero de 2 cifras. Dar comorespuesta la suma de las cifras dedicho nmero.

Rpta:..........................................

15.Paquito ha pensado un nmero en lacul le realiza las siguientesoperaciones consecutivas; le agrega2 a este resultado lo multiplica por 4luego le merma 4, este resultado leextrae la raz cuadrada, luego lodivide entre 2 y por ltimo le quitauno; obteniendo como resultadofinal uno. Cul es el nmero?

Rpta: .........................................

16.Una nia escogi un nmero con elcual realiz las siguientesoperaciones en el orden

mencionado: lo elevo al cuadrado,rest tres a la potencia, dividientre dos la diferencia, elev al cuboel cociente, le agreg nueve a lapotencia, le extrajo la raz cuadradaa la suma y finalmente multiplicopor 9 la raz, obteniendo de estaforma 54. Calcular el duplo delnmero elegido.

Rpta.: ......................................

17.Dos amigos decidieron jugar unapartida de cartas con la condicinque el que pierda duplicar el dinerodel otro. Si cada uno ha perdido unapartida quedndole a cada unoS/.40. Cunto tenan inicialmentecada uno?

Rpta: .........................................

18. A, B, C deciden jugar teniendo encuenta la siguiente regla que elperdedor deber duplicar el dinerode los dems. Pierden en el ordenindicado y al final quedaron comosigue A con S/. 16, B con S/. 24 y Ccon S/. 60. Cunto tena A alprincipio?

Rpta:

19. Tres amigos estn jugando con lacondicin que aquel que pierdadeber duplicar el dinero de losotros dos. Si cada uno ha perdidouna partida quedndole luego de latercera partida con S/. 60 c/u;dgase cunto tena inicialmentec/u.

Rpta:

La facultad de observacin y percepcinde cambios en muchas situacionesvisuales est unida con la lgica y lamemoria. Es necesario por eso,plantearse este tipo de situaciones, talescomo las que aparecen en esta listapreliminar:- Comparar dos objetos para notar

si son idnticos- Encontrar un objeto oculto,

basndose en un modelo.- Enumerar y contar el conjunto de

objetos observados- Descubrir el trazo de un recorrido

oculto.- Elegir un recorrido ptimo entre

varias rutas disponibles, etc.Para algunos de estos problemas sedispone de ciertos mtodos sistemticoso algunas frmulas pre establecidas,mientras que para otros slo podemoscontar con nuestra intuicin eimaginacin para obtener la solucin.Haremos entonces un estudio porseparado de los casos que se conocen.

I. CONTEO DE FIGURASEjemplo 1: Cuntos tringulos se puedenobservar en la figura?

A

B C D E

Resolucin:

Podemos contar de dos formas:

1. Si utilizamos los vrtices paraidentificarlos tendremos lossiguientes tringulos:ABE, ABC, ACD, ADE, ABD y ACE= 6 tringulos

2. Si slo observamos y utilizamosnuestra memoria registramos estasimgenes:

1 2 3 4

5 6

Los nmeros indican los 6 tringulosreconocidos.

Ejemplo 2: Cuntos tringulos hay enla figura?

Resolucin:Asignndole letras a las figuras mspequeas

a b cg

fd e h

Tenemos que la cantidad de tringulosbuscados son:con 1 letra a, b, c, d, g, h 6

2 letras ab; bc; ad; be; cf; de; fg 73 letras abc; cfh 24 letras abde; defg; defh 35 letras bcefh 17 letras abcdefh 1

Total = 20

Ejemplo 3: Cuntos segmentos hayen la siguiente figura?

A B C D E

Resolucin :Si asignamos a cada uno de lospequeos segmentos una letra (e),tenemos:

e e e e

A B C D E

Con 1 letra: 4 segmentosCon 2 letras: 3 segmentosCon 3 letras: 2 segmentosCon 4 letras: 1 segmento.

Total de segmentos:S = 4 + 3 + 2 + 1 = 10

S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Sumando miembro a miembro:2 S = 5+5+5+5 = 20

Es decir que para 4 e, tenemos:

S =2

)5(4= 10

Generalizando, para n espacios,tenemos

Nota: Esta expresin matemticapodemos aplicarla a otras figuras,siempre y cuando cada segmentogenere la figura pedida.

Ejemplo 4: Cuntos tringulos hay enla figura?

Resolucin:Observamos que cada uno de lossegmentos, en la base del tringulo,genera a su vez una figura pedida.Entonces, para n = 5 N

tringulos =2

)6(5= 15

Ejemplo 5: Cuntos cuadrilteros hayen la figura?

Resolucin:Calcularemos primero

los cuadrilteros que habran sin laslneas horizontales interiores y luegolos cuadrilteros que habran sin laslneas verticales interiores.Es decir:

N de cuadrilteros =2

)5(4= 10

N de cuadrilteros =2

)4(3= 6

Luego, al superponerlos, se multiplican

N cuadrilteros = 10 x 6 = 60

N Seg. =2

)1( nn

II. FIGURAS DE TRAZOCONTINUO

Es posible dibujar algunas figuras contrazo continuo, esto es, sin recorrer dosveces la misma lnea y sin levantar ellpiz del papel. Con otros resultaimposible hacerlo.

Ejemplo 6: Cules de las figurassiguientes se puede dibujar con un solotrazo?

a b

c d

Slo las figuras a, b y d se puedendibujar de un solo trazo.La figura c es imposible trazarla, amenos que se repita un segmento.

* Las razones se basan en una teoraque se conoce desde la poca deLeonard Euler (1759) y de la cualextraemos algunos principios.

- Para que una figura se pueda dibujarde un solo trazo; es decir, sin levantarel lpiz del papel y sin repetir ningunalnea, es necesario estar en alguno delos siguientes casos:

Caso I: Todos los vrtices de la figuradada deben ser pares; entendindosecomo vrtice par aquel punto o nudodonde concurren un nmero par delneas.La trayectoria del trazo debe iniciarse enalguno de los vrtices y concluir en elmismo.

Caso II: La figura debe tener slo dosvrtices impares.La trayectoria del trazo debe iniciarse enuno de los vrtices impares y concluir enel otro vrtice impar.

- Cualquier otra situacin diferente alos dos casos, no da lugar a realizarla figura de un solo trazo.

- Si deseamos dibujar de un solotrazo, una figura con mas de dosvrtices impares, repetiremos como

mnimo2

2ilneas; donde i es el

nmero de vrtices impares.

Ejemplo 7: Cules de las siguientesfiguras, se pueden graficar de un trazo,sin levantar el lpiz, ni pasar dos vecespor la misma lnea?

A B C

Ejemplo 8: Como mnimo una araaemplea 5 minutos en recorrer todas lasaristas de un cubo construido dealambre de 60 cms. de longitud. Cules el tiempo que emplea en recorrer unaarista?

Resolucin:Para emplear el mnimo tiempo enrecorrer una arista, la araa debe iniciarun recorrido en uno de los vrtices.Debido a que los 8 vrtices son imparesno podr hacer el recorrido sin repetiralgunos de ellos. el mnimo de aristas que repite en su

recorrido ser:2

28 = 3

recorri: 12 + 3 = 15 aristas

Resolviendo por regla de tres simple,tenemos:

15 aristas 5 min < > 300 seg.1 arista x

x =153001x

= 20 seg

PROBLEMAS PARA RESOLVEREN CLASE

1. Calcular el nmero de tringulosen la figura

Rpta. ....................

2.

Rpta. ....................

3.

Rpta. ....................

4.

Rpta. ....................

5. Calcule el nmero de segmentos

A O 2 0 0 4

Rpta. ....................6.

Rpta. ....................

7.

Rpta. ....................

8.

.

.

.99

1

3

5

2

4...

98

100

Rpta. ....................

9. Calculo del N de cuadrilteros

Rpta. ....................10.

Rpta. ....................

11.

Rpta. ....................

12. Cuntos cuadrados se puedencontar como mximo en untablero de ajedrez?

Rpta. ....................

13. Cuntos cuadrados se:

a) Observan en la siguiente figura

b) Cuntos cuadrilteros que noson cuadrados hay en la figura?

Rpta. ....................

14.Cuntos agudos se pueden contaren las siguientes figuras?

a) b)A

B

C

D

E

F

o

Dar como respuesta a + b

Rpta. ....................

15. Cuntos cubos como mximohay en el siguiente slido?

Rpta. ....................

16. Cuntos cubos se contarn comomximo en el siguiente slido?

Rpta. ....................

17. Para esta torre de 3 pisos se hanutilizado 36 cubos. Cuntoscubos sern necesarios paraconstruir una torre similar de 20pisos?

Rpta. ....................

18. Cuntas de las figuras siguientesse puede dibujar con un solo trazocontino ni pasar dos veces poruna misma lnea?

(I) (II) (III) (IV)

(V) (VI) (VII) (VIII)

Rpta. ....................

19. Aqu mostramos los planos deciertos departamentos. Cul ocuales de ellos se prestan parapasar por todas las puertas deuna sola vez empezando yterminando afuera?

(1) (2)

20. Cuntas rutas mnimasdiferentes se tiene para llegar alpunto B partiendo de A?

B

A

A

B(I) (II)

21. De cuntas maneras puedo leerINGRESO en la siguientedistribucin

I

N N

G G G

R R R R

E E E E E

S S S S S S

O O O O O O O

TAREA DOMICILIARIA

1. En la figura Cuntos tringuloshay?

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

2. Cuntos cuadrilteros hay en lafigura?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

3. En nuestro tablero de ajedreztrazamos la diagonal principal,Cuntos tringulos contaremoscomo mximo?

a) 72 b) 86 c) 98d) 110 e) 126

4. Cuntos cuadrilteros que por lomenos tengan un asterisco hay enla siguiente figura?

a) 36 b) 49 c) 75 d) 81 e) 69

5. Cuntos tringulos hay en lasiguiente figura?

a) 40b) 48c) 52d) 60e) 72

6. Cules de las siguientes figurasse puede dibujar, sin levantar ellpiz del papel, ni pasar dosveces por la misma lnea?(Indicar Si o No)

7. Cuntos sectores circularespresentan en su interior un *?

*

**

*

Rpta. ....................

8. Cuntos cuadrilteros hay comomximo en cada una de lassiguientes figuras?

.

.

.

nn+1

1

2

3

.

.

.

9. Cuntos tringulos se contarnen la siguiente figura?

a) 19

b) 21

c) 23

d) 25

e) 27

10. Cuntos tringulos se puedencontar en la siguiente figura?

a) 15

b) 17

c) 19

d) 21

e) 23

11. Cuntos cuadrilteros hay enesta figura?

a) 35b) 37c) 39d) 41e) 42

12. De cuntas formas se podr leerla palabra UNAC

a) 6

b) 8

c) 10

d) 20

e) 24

Rpta. ....................

13. Cuntos tringulos y cuntoscuadrilteros hay en la figura?

a) 12; 10b) 10; 18c) 12; 12d) 8; 10e) 12; 8

14. Se tiene monedas de las mismasdimensiones. El nmero mximode monedas tangentes dosadasque pueden colocarsetangencialmente alrededor de unade ellas es:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

U

A

N

N C

A

U

C

CA U N

UC N A

CONCEPTO: Es un procedimientomatemtico que sirve para transformar,sujeto a ciertas reglas, una o variascantidades en otras; basndonos en elprincipio de valor numrico; es decir,cambiando letras por nmeros.

OPERADOR: Es un smbolo arbitrarioque sirve para representar a unadeterminada operacin matemtica yesta sujeto a una determinada regla dedefinicin.

OPERACIN MATEMATICA: Consisteen la asociacin de una pareja denmeros para obtener uno nuevo quees resultado de la operacin. Laadicin, sustraccin, multiplicacin ydivisin son ejemplos de operacionesmatemticas. Se pueden definirnuevas operaciones asignndolesun operador que las distinga de las queya conocemos, emplendose por logeneral un asterisco (*) o cualquierotro smbolo. No debemos olvidar quecada nuevo operador debeacompaarse de la regla o ley deformacin que la define.

ESTRUCTURA:Operador

a * b = a + b + ab

Operacin binaria Ley de formacin

Ejemplo 1: Si se define la operacina b segn la regla siguiente:

a b = a + b + 2abHallar: 3 5

Resolucin:Para operar 3 5 ;reemplazamos a = 3 y b = 5; en laregla de definicin dada: 3 5 = 3 + 5 + 2( 3 x 5 )

= 8 + 2(15) = 8 + 30 = 38 NOTA:

Si se trata de operar ( 1 2 ) 4,se procede por partes y desde lossmbolos de coleccin; es decir,empezando por la pareja entreparntesis.

OPERACIONES DEFINIDAS PORTABLAS:En lugar de una ley de formacin, paraobtener el resultado, la operacinbinaria puede presentar estosresultados en una tabla.

Ejemplo 2: Para nmeros enterosdefinimos las siguientes operaciones:

a * b = a2 b ;a b = 3 - b2; ya b = 2a +3b

Si x * x = 12 ;y y = - 10 ;

Hallar el valor de x y ; para x e ypositivos

Resolucin:Aplicando la operacin a* b en x * x,tenemos:x2 - x = 12x2 - x 12 = 0( x 4 ) ( x + 3 ) = 0 x = 4; x = -3

Aplicando la operacin a b en y y ,tenemos:3y y2 = - 10y2 3y 10 = 0(y 5) (y + 2) = 0 y = 5 ; y = -2 como x e y deben ser positivos:

x y = 4 5 = 2 (4) + 3 (5) = 23

Ejemplo 3: Dada la tabla

* 7 5 2

3 7 5 4

8 8 3 1

9 10 1 2

Hallar: ( 8 * 7 ) * 5 * 2

Resolucin:Partimos de la operacin binaria a * bde modo que el primer elemento seubica en la primera columna y elsegundo elemento en la primera fila.Por lo que el resultado de 8 * 7 seubica en la interseccin de estosnmeros.

* 7

8 8

Es decir que: 8 * 7 = 8 nos queda ( 8 * 5 ) * 2Procediendo de manera semejante,tenemos que 8 * 5 = 3Finalmente: 3 * 2 = 4

Ejemplo 4:Se define la operacin a b, segn latabla adjunta.

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 3 4 5

3 3 4 5 6

4 4 5 6 7

Hallar:( 4 7 ) ( 6 3 )

Resolucin:

En la tabla no encontramos el resultadopara 4 7 ; pero como los elementosdistribuidos en el interior de la tablason resultados de una ley de formacinpara una operacin binaria, nuestratarea ser ahora hallarla.

De la tabla observamos que:

1 3 = 3 que proviene de 1 + 3 - 12 4 = 5 2 + 4 14 3 = 6 4 + 3 1

Generalizando:a b = a + b - 1

4 7 = 4 + 7 1 = 106 3 = 6 + 3 1 = 8

Finalmente: 10 8 = 10 + 8 1 = 17

OPERACIONES COMO FUNCIONES:Probablemente se recordar la tpicafrase f de x; de ciertas tareasescolares, que usualmente escribimosf(x); esta notacin es la funcin.No parece evidente pero cada operadores una funcin en la que empleamos xpara indicar lo que ingresa como dato yf(x) para indicar lo que se obtiene (elresultado)

As, la operacin:

= 2 x2 + 1

Se puede escribir:

f (x) = 2 x2 + 1

Del mismo modo:

X#Y =5

23 YX

Se puede escribir:

f(X,Y) =5

23 YX

x

Ejemplo 5: Si definimos:f (x ) = 2x2 + 1Hallar: f(1) + f(0)

Resolucin:Por comparacin hacemos que:Si x = 1 f(1) = 2.12 + 1 = 3

Si x = 0 f(0) = 2.02 + 1 = 1Luego: f(1) + f(0) = 3 + 1 = 4

Ejemplo 6: Si F(2x + 1) = x - 1Hallar: F(3x 2)

Resolucin:

En este tipo de problemas seguiremosel siguiente procedimiento:- Igualamos los dos argumentos

2x + 1 = 3x - 2- Despejamos el x que nos dan en

funcin de la x que nos piden

2x = 3x - 3

x = 233 x

- Finalmente, reemplazamos en lafuncin que nos danEs decir:

F(3x 2) =2

33 x-1 = 2

53 x

OPERACIONES COMPUESTASConsiste en combinar dos o masoperadores, con sus respectivas leyesde formacin, incluyendo en una deellas una operacin desconocida; la cualhay que definirla empleando lasoperaciones dadas.Ejemplo 7: Se define en los R:

= a(a + 24)

= 4x - 40

Calcular

Resolucin:

Al no tener definida la operacintringulo, debemos despejar de lasegunda expresin, aplicando laprimera; es decir:

= + 24

Pero por definicin de la segundaoperacin, tenemos:

4 x 40 = + 24

2

+ 24 = 4 X - 40

2

+ 24 + 144 = 4 X 40 + 144

2

+ 12 = 4 X + 104

+ 12 = 1044 X

= 2 26X - 12

Aplicando la regla de formacin deesta nueva operacin:

= 2 2623 - 12 = 2 x 7 12

= 2

a

x

23

x x x

x

X

X

X

x

X

X

X

23

X

Ejemplo 8: Se define las operaciones

= 2n 5

= 2

Hallar x, en:

= -

Resolucin:Reemplazando la primera operacin enla segunda, tenemos:

= 2 ( 2n 5 ) = 4n 10

Entonces, resolviendo por partes

= 4 (6) 10 = 14

Reemplazando en

= = 2(14) 5 = 23

Luego:

= 2 (3) 5 = 1

Reemplazando en:

= = 4 (1) 10 = - 6

Por lo tanto:

= 23 ( - 6 ) = 29

Finalmente; aplicando , tenemos

2x 5 = 29 x = 17

OPERACIONES BINARIASConsiste en la asociacin de un par deelementos de un conjunto para obteneruno nuevo, que es resultado de laoperacin.

Pueden emplearse diferentes signospara indicar una operacin binaria; lasms usadas son: *; .

* Cuando el resultado de la operacines un elemento del conjunto departida se dice que el conjunto escerrado (C) respecto a la operacindefinida; en caso contrario se diceque el conjunto es abierto (A)respecto a la operacin.

Ejemplo: en el campo de lN3 + 4 = 7 lN C3 - 4 = -1 lN A3 x 4 = 12 lN C3 4 = 0,75 lN A

* Propiedades:

1. Conmutativa: a,b M

a*b = b*a

2. Asociativa: a,b,c M

(a*b)*c=a*(b*c)

3. Distributiva: a,b,c M

a*(b#c) = (a*b) # (a*c)

En este caso la operacin * esdistributiva respecto a la operacin #

4. Elemento neutroa M e/a* e = a

e : elemento neutro

En el caso de la adicine = 0 a + 0 = a

En el caso de la Multiplicacine = 1 a x 1 = a

n

6

6 14

3

n

n n

x 6 3

3 1

x

5. Elemento inverso

a M a-1/a *a-1 = e

a-1 : Elemento inverso

En el caso de la adicin.a-1 = -a a+(-a) = 0

En el caso de la multiplicacin

a-1 =a1

a.a1

= 1

Ejemplo 9: Se define la operacin *mediante la sgte. tabla:

* a b C da c d A bb d a B cc a b C dd b c D a

Hallar x en: a-1 * b-1 = x * c

Resolucin:

1o Calculamos el elemento neutro

a * = a = c

2o Marcamos en la tabla c

* a b c da c d a bb d a b cc a b c dd b c d a

3o Hallamos los inversosrespectivos

a-1 = ab-1 = dc-1 = cd-1 = b

a-1*b-1 = x * ca*d = x * c

b = x * c x = b

Ejemplo 10: Si se define la operacinmediante la tabla adjunta

* 5 6 7

5 5 6 7

6 6 7 5

7 7 5 6Hallar: (5-1 * 6-1) * 7

Resolucin1o Calculamos el elemento neutro

5 * = 5 = 5

2o De la tabla obtenemos los inversosde 5 y 6

5-1 = 561 = 7 (5-1 * 6-1) * 7 = (5*7) * 7

= 7 * 7 = 6

EJERCICIOS

1. Si: p # q = 2q 5pHallar:E = (3#7) # (2#6)

Rpta: ..............................

2. Si (x + 1) * 2y = x(y + 1)Hallar: 3 * 6

Rpta : .............................

3. Si: m * n = 2m + 3n - 1Hallar x, en :(x 1) * (2x + 2) = 15Rpta: ..............................

4. Si:

a & b =3

ba ; a > b

a & b =4

ab ; a < b

Hallar:E = ( 17 & 8 ) & ( 11 & 31 )

Rpta: ..............................

5. Si: f(x) = x3 - 1

g(x) = 2x + 1Hallar:

E = f (g ( f ( g ( -1 ) ) ) )

Rpta: ..............................

6. Si: # a b c da a a a ab a b c dc a c c ad a d a d

Hallar (a # c) # a + (b # d) # c[ (a # b) # ( c # d )] # d

Rpta: ..............................

m2n 3mn7. Si: m # n =

14nHallar:E = 7 # { 7 # [ 7 # ( .... ) ] }

Rpta: ..............................

8. Si: = 2 ;

Adems

= (a2 + 5a ) / 3; y

a * b = a . b-1

Hallar:

*

Rpta: ..............................

9. Si: f(n) = n f(n-1) ;

Adems f(6) = 7200

Calcular: f(2) f(1)

Rpta: ..............................

10. Si:a * b2 = 2 ( b * a2 ) - ab

Calcular:

62*3E

Rpta: ..............................

11. Si: = 4a

= (a-1)2 + 4

Calcular: 10 * 87

Rpta: ..............................

12. Si:

=2

)1( nn

Calcular X , en:

= 21

A = 2 X + 1

Rpta: ..............................

13. Si: P(x) = x2 + xy + xz + yz

Calcular:)().().( oPzPyP

Rpta: ..............................

14. Hallar: f ( f (5 ))

Sabiendo que:

P[ f (x+1) = x-1 , y

P(x-2) = x-3

Rpta: ..............................

a a

a

13

a * b

a

n

A

15. Si:= x2 - 9

= x (x+6)

Calcular:

E = + -

16. Sea la tabla: 3 4 5

3 A 5 74 5 V 115 7 11 R

Calcular: A + V + R

Rpta: ..............................

17. Se define: a * b3 = a b2

Calcular: ( 4*27) * (6 2 * 512)

Rpta: ..............................

18. Sabiendo que:

= 3x +2

= 9x 10

Hallar la expresin equivalente a

Rpta:..............................

19. Si se define la operacinmediante la tabla adjunta

* 3 4 5 6

3 6 3 4 5

4 3 4 5 6

5 4 5 6 3

6 5 6 3 4

Hallar x en:

(x-1*3)-1*(6-1*4-1)-1 = 5-1

Rpta: ..............................

x

x

2 2 2

x-1

x + 1

- 8x+2

En este captulo vamos a plantearsituaciones en los que solonecesitaremos una pequea dosis deconcentracin para dar con la respuestadebida; sin necesidad de recurrir a lateora matemtica, sino al sentidocomn.

Veremos problemas sobre:- Test de decisiones.- Cortes y Estacas.- Parentesco (Relaciones familiares)- Mximos y Mnimos. Certezas- Orden de Informacin- Razonamiento lgico.- Razonamiento Inductivo-Deductivo.

TEST DE DECISIONES:Est formado por problemas con unaparente caos en su redaccin, dondeexisten muchos datos en desorden, losque pueden ser ordenados por logeneral en cuadros.

Ejemplo 1: En un club se encuentrancuatro deportistas cuyos nombres son:Juan, Mario, Luis y Jorge. Los deportesque practican son: natacin, bsquet,ftbol y tenis. Cada uno juega sloun deporte.- El nadador, que es primo de Juan, es cuado deMario y adems es el ms joven del grupo.- Luis que es el de ms edad, es vecinodel bsquetbolista, quien a su vez es unmujeriego empedernido.- Juan que es sumamente tmido conlas mujeres y es 7 aos menor que eltenista. Quin practica bsquet?

Resolucin:Analicemos con cuidado:

Si el nadador es primo de Juan,entonces Juan no es nadador.

Como el nadador es cuado deMario, entonces Mario no esnadador.

Como el nadador es el ms joven,Luis no puede ser nadador (ya quees el de ms edad).

Luis no juega bsquet, ya que esvecino del basquetbolista.

Juan es menor que el tenista, luegoJuan no es el tenista.

Juan no juega bsquet, ya que elbasquetbolista es mujeriego y Juanes tmido.

Colocando en un cuadro todo loanalizado, tendremos:

Natacin Bsquet Ftbol Tenis

Juan NO NO NOMario NOLuis NO NOJorge

Como cada personaje practica slo un deporte, encada columna debe haber un SI y en cada filatambin; Esto hace que si una fila y columnatienen en este caso tres veces NO, el cuartocasillero se completa con SI.

Entonces el cuadro completo ser:Natacin Bsquet Ftbol Tenis

Juan NO NO SI NOMario NO SI NO NOLuis NO NO NO SIJorge SI NO NO NO

Por lo tanto, el que practica bsquet esMario.

CORTES Y ESTACAS:Si tuviramos una varilla de 12 cm,necesitamos hacer un corte para logrardos piezas iguales, o dos cortes paralograr tres piezas iguales o tres cortespara lograr cuatro piezas iguales.Representamos esto grficamente:

12

6 6

N de Cortes = 1 =6

12- 1

12

4 4 4

N de Cortes = 2 =4

12- 1

12

3 3 3 3

N de Cortes = 3 =3

12- 1

En el ltimo ejemplo, 12 es la LongitudTotal (Lt) de la varilla y 3 es la Longitudde cada pieza o Longitud Unitaria (LU),de modo que en general:

* El N de CORTES que podemoshacer en una varilla estar dado por lasiguiente relacin:

* Para considerar el hecho de colocar postes oestacas, cada cierta distancia; como en el caso decortes, lo consideramos grficamente:

12

6 6

N ESTACAS = 3 N ESTACAS=6

12+1

12

4 4 4

N Estacas = 4 =4

12+ 1

12

3 3 3 3

N Estacas = 5 =3

12+ 1

En general :

LT.......

LU LU LU

Ejemplo 2: Un joyero cobra S/.5 pordividir una barra de hierro en dospartes. Cunto se tendr que pagar sidebe partirla en 7 pedazos?

Resolucin:Con 1 corte obtenemos 2 pedazos

2 cortes 3 pedazos3 cortes 4 pedazos: :

6 cortes 7 pedazos Pago = 6 x 5 = S/.30

PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO

Algunos problemas lgicos - deductivosinterrogan sobre el nmero deintegrantes de una familia, sobre untipo especifico de relacin familiar, etc.La resolucin, en algunos casos,consiste en tener presente que cadauno de nosotros, dentro de nuestrafamilia, desempea diferentes roles;as, se puede ser al mismo tiempopadre, hijo, hermano, esposo, etc.Ejemplo 3: En una familia se notan 2esposos, 2 hermanos, 3 sobrinas y 3hermanas. Al menos, cuntas personasconforman esta familia?

N CORTES =LuLt

- 1

N ESTACAS =LuLt + 1

Resolucin:Por lo menos , Al menos sirven paraexpresar la mnima cantidad.

2 hermanos

2 esposos

3 hermanas3 sobrinas

Mnimo n de personas = 6

PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS YMINIMOSEjemplo 4: Una urna tiene 15 bolasnegras, 12 rojas y 9 amarillas. Cul esla mnima cantidad que debo sacar paratener al menos una de cada color?

Resolucin:Supongamos que la primera bola quese extrae es negra (son las que mashay); luego necesito sacar una roja yfinalmente una amarilla para tener unade cada color; pero la prxima puedeseguir siendo negra y assucesivamente.Por lo tanto, las primeras bolas que seextraen son las 15 de color negro; lassiguientes sern las 12 de color rojo yfinalmente se sacar una de coloramarillo. Bolas extradas = 15 + 12 + 1 = 28

ORDEN DE INFORMACINLos principales casos son:

a) Ordenamiento vertical: se aplicapara el ordenamiento de alturastamaos, edades, puntajesobtenidos por personas, entre otros.

Ejemplo 5: Judith es mayor que Susy.Soledad es menor que Jessica. Susy esmenor que Soledad. Quin es la menor?

Resolucin:Judith

Jessica

SoledadSusy

La menor es Susy.

b) Ordenamiento horizontal: seaplica para ordenamiento depersonas en una hilera o sentadosen butacas o uno al lado de otro;para autos en hilera, entre otros.

Ejemplo 6: Seis amigos: A, B, C, D, E,F; se sientan en seis asientoscontiguos en el cine. A se sienta junto ya la izquierda de B; C est a la derechade A, entre F y D; D est junto y ala izquierda de E; F est a la izquierdade E. Quin ocupa el cuarto asiento, silos contamos de izquierda a derecha?

Resolucin:Ubicando de acuerdo a la informacin,tenemos:

Izquierda DerechaA B F C D E

el 4 asiento es ocupado por C

c) Ordenamiento circular: se aplicacuando un conjunto de seres seordenan alredor de una mesacircular o eliptica, o juegan a laronda.

Ejemplo 7: Seis amigos estnsentados alrededor de una mesaeliptica. Si se sabe que Luis no estsentado al lado de Enrique ni de Jos.Fernando no est al lado de Gustavo nide Jos. Enrique no est al lado deGustavo ni de Fernando. Pedro estsentado junto a Enrique, a su derecha.Quin est sentado a la izquierda deEnrique.

PAPAMAMA

MAMAMAMA

TIO

3 HIJAS

Resolucin:Ubicando de acuerdo a la informacintenemos:

JOS es el que est sentado a laizquierda de Enrique.

RAZONAMIENTO LGICO:A continuacin abordaremos problemasque no requieren de alguna teoramatemtica compleja, slo nuestrosentido lgico.

Ejemplo 8: Maana ser el ayer delantes de ayer del maana del sbado.Que da fue ayer?

Resolucin:Empezamos por el final; es decir:Maana del sbado : Domingo.Antes de ayer del domingo: ViernesAyer del viernes : Jueves.

Maana ser juevesHoy es Mircoles.

Ayer fue MARTES.

RAZONAMIENTO INDUCTIVOEs aquel tipo de razonamiento quepartiendo de casos particulares llega auna conclusin en general:

Ejemplo 9: Cuntos tringulossimples, en total, hay en la figura?

Resolucin:Si asignamos letras a las figuraspequeas, ellas slo seran lostringulos simples.

Contando, en forma acumulada, porfilas, tendremos:

Hasta la fila: Total de tringulos:

1 1 = 12

2 4 = 22

3 9 = 32

4 16 = 42

: :20 202

Tendremos en total 400 tringulossimples.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Es aquel tipo de razonamiento quepartiendo de una conclusin general sellega a verificar una premisa particular.Ejm 10: Los hijos de la seoraCarmela son inteligentes. Laura, es hijade la seora Carmela.

E

F

L

G

P

J

1

2

19

3

20

Laura es inteligente.EJERCICIOS

1. Tres hombres se encuentran en lacalle: el seor Prado, el seorIglesias y el seor Mercado.El seor Prado dice:

- Uno de nosotros vive al costadode un prado, otro al costado deuna iglesia, y otro al costado deun mercado, pero ninguno viveal costado del sitio que lleva sunombre

- Pues es verdad, dice el hombreque vive al costado de unmercado

Podras decir al costado de qu viveel seor Iglesias?

Rpta:

2. Ral, Carlos, Pedro y Miguel tienendiferentes ocupaciones:

- Ral y el profesor estn enojadoscon Miguel.

- Carlos es amigo del ingeniero- El mdico es muy amigo de

Pedro y del Ingeniero.- Ral desde muy joven se dedic

a vender abarrotesCul es la ocupacin de Pedro?

Rpta:

3. Manuel es 4 aos menor queAlberto, Ral es un ao mayor quePedro, Ral es 2 aos menor queJuan y Alberto es 7 aos mayor queJuan. Al restar la edad de Alberto yla edad de Pedro, obtenemos:

Rpta:

4. Se sabe que las profesiones deAdela, Carmen, Katty y Sonia sonarqueloga, abogada, odontloga yprofesora, aunque nonecesariamente en ese orden.Adela est casada con el hermanode la abogada. Carmen y laprofesora van a trabajar en lamovilidad de la abogada. Lassolteras de Katty y la arqueloga

son hijas nicas. Carmen y Soniason amigas de la odontloga, lacual est de novia. Quin es laabogada?

Rpta:

5. En una reunin del directorio deuna empresa se encuentran: elpresidente, el vicepresidente, elsecretario y un trabajador de laempresa, cuyos nombres (nonecesariamente en ese orden) son:Emilio, Ricardo, Samuel e InocencioSe sabe:

- Samuel y el trabajador son muyamigos.

- Ricardo es primo del secretario- Emilio y el vicepresidente no se

llevan bien- El presidente y el trabajador son

amigos de Inocencio.- El secretario se llama EmilioQuin es el presidente y quin es eltrabajador?

Rpta:

6. Cuatro amigos viven en un edificiode cuatro pisos. Arturo vive en elprimer piso, Mario vive ms abajoque Jorge y Willy vive un piso msarriba que Mario. En que piso viveJorge?

Rpta:

7. En cierto campeonato de ftbol (auna sola rueda) la siguiente tablamuestra las respectivas posicionesde cada equipo.

Equipos PJ PG PE PP PuntosAA 6 6 0 0 18BB 6 5 0 1 15CC 6 2 1 3 7DD 6 2 0 4 6EE 5 1 2 2 5FF 5 1 1 3 4GG 6 0 2 4 2

Al nico que derroto EE fue:

Rpta:

8. Armando, Benito, Carlos y Danielpractican los siguientes deportes:natacin, atletismo, ftbol y tenis, yviven en los distritos de Los Olivos,Brea, San Borja y Miraflores. Sesabe:

- Carlos no vive en los Olivos ni enBrea.

- El atleta vive en los Olivos- Armando vive en Miraflores- Daniel es futbolista- El nadador nunca ha emigrado

de San BorjaQu deporte practica Armando?

Rpta:

9. A una fiesta fueron invitadas tresparejas de esposos y de ellos setiene la siguiente informacin:

- Hay dos colombianos, dosbolivianos y dos panameos(varn o mujer)

- Alberto es colombiano y laesposa de Miguel es panamea.

- No hay dos hombres de la mismanacionalidad.

- No hay una pareja de esposos dela misma nacin.

Qu nacionalidad tiene Miguel yque nacionalidad tiene la esposa deRoberto?

Rpta:

10.Tres parejas de esposos asisten almatrimonio de un amigo. Ellos sonJorge; Alberto y Oswaldo y ellasson: Rosa, Maribel y Lourdes. Unade ellas fue con un vestido negro,otra de azul y la otra de rojo. Laesposa de Jorge fue de negro;Oswaldo no bail con Maribel enningn momento. Rosa y la delvestido azul fueron al matrimonio deLourdes. Alberto es primo deLourdes. Jorge y el esposo deLourdes siempre se renen con elhermano de Alberto. Entonces escierto que:

Rpta:

11. Tres estudiantes de Historia,Economa e Ingeniera vivenen Chiclayo, Lima y Arequipa.

El primero no vive en Lima, niestudia Ingeniera.

El segundo no vive en Chiclayo yestudia Economa

El Historiador vive en Arequipa.Qu estudia el tercero y dndevive?

Rpta. ..........................................

12.Colocar en las casillas los dgitos del1 al 8, de modo que 2 nmerosconsecutivos no sean contiguos, nipor un lado ni por el vrtice. Cules la suma de las casillas conasterisco (*)?

Rpta. ..........................................

13.Se tiene 9 bolas de billar, de unmismo tamao y de un mismo peso,a excepcin de una bola que pesams. Empleando una balanza de dosplatillos sin pesas, cuntas pesadasdeben hacerse como mnimo paraencontrar esa bola?

Rpta. ..........................................

14.Expedicin : Planeta LBilogo : Profesor KInforme : El tercer da vimos

seres extraos, aunque tienen veintededos en total, como nosotros,tienen una extremidad menos y undedo ms en cada extremidad, loque les da, por cierto, un aspectoespantoso Cuntas extremidadestienen los seres del planeta L?

Rpta. ..........................................

*

*

15. Seis hombres y dos muchachastienen que cruzar un ro en unacanoa, en cada viaje puede ir unode los hombres o las dosmuchachas, pero no un hombre yuna muchacha a la vez. Cul esel nmero de veces que la canoatiene que cruzar el ro, encualquier sentido, para pasen atodos?

Rpta. ........................................

16. Milagros al acordarse de unapersona se puso a pensar de lasiguiente manera: Yo lo conoc unviernes, a los tres viernessiguientes discut con l y lo dejede ver, lo extrao mucho porqueson cinco viernes que no lo veoQu fecha lo conoci si hoy esDomingo 13 de Mayo?

Rpta. .......................................

17. Seis personas juegan al pkeralrededor de una mesa circular.Luis no est sentado al lado deEnrique ni de Jos; Fernando noest al lado de Gustavo ni de Jos;Enrique no est al lado de Gustavoni de Fernando. Si Pedro estjunto a Enrique, quin est alfrente de Luis?

Rpta. .......................................

18. En un aro de 10m de longitud sedesea realizar cortes cada metrode longitud Cuntos cortes seefectuarn?

Rpta. .......................................

19. Para encerrar un terrenorectangular se sabe que sepueden colocar 8 y 12 columnaspor lado y a cada 4m, colocandouna columna en cada vrticeCul es el permetro del terreno?

Rpta. .......................................

20. Sobre una mesa hay 3 naipes enhilera.Si sabemos que:

- A la izquierda del rey hay un As- A la derecha de una jota hay un

diamante.- A la izquierda del diamante hay

un trbol- A la derecha del corazn hay una

jota.Cul es el naipe del medio?

Rpta. ......................................

PLANTEO DE ECUACIONESPara resolver un problema relativo anmeros o cantidades desconocidas sedebe expresar una informacin escritaen idioma normal, en el simplificadoidioma de las proposicionesmatemticas, las cuales nos permitenoperar con ms comodidad y rapidezque otros procedimientos. Esto implicarealizar una especie de traduccin desituaciones de la vida real, alsimbolismo matemtico, tarea queconstituye el argumento ms til entodo el proceso de solucin.A continuacin presentamos un listadode frases tpicas que suelen apareceren los problemas, y a un costado surespectiva traduccin matemtica:

El resultado de sumarun nmero a 7 7 + X

La suma de algnnmero y 13 + 13

El resultado de restara 18 algn nmero 18 - Z

Dos veces la suma deun nmero y 5 2( + 5)

Ntese que cada vez que nos hemosreferido a un nmero o algn nmero,en la traduccin matemtica, sta se harepresentado por una letra (X,Y,Z) o unsmbolo: ; Ahora, cuando tengas que traducir unafrase a una ecuacin, debes determinarel significado de cada parte y asimismotendrs que reconocer qu es lo quevas a reemplazar por una variable.

Ejemplos:Un nmero, aumentado en 5 da como suma 23

n + 5 = 23S/.6 menos que el costo de un sombrero es S/. 17

-6 x x - 6 = 17

Procedimiento para resolver problemasLa experiencia nos permite proponerque lo esencial para resolver unproblema planteando ecuaciones,consiste en la habilidad para seguircada uno de los siguientes pasos:1) Representacin de las cantidades

desconocidas o incgnitas porvariables (x, y, z, ... etc.).

2) Planteo de las ecuaciones querelacionan a las incgnitas con losdatos del problema.

3) Solucin de las ecuacionesplanteadas; esto es, determinar losvalores de las variables.

4) Prueba o verificacin de los valoresobtenidos para ver si cumplen lascondiciones del problema.

No est dems afirmar que las etapasde representacin y planteo, requierenla mayor concentracin posible, pues alrealizarlas correctamente se asegurauna solucin del problema. Es por esoque a estas etapas les daremos mayornfasis en los ejemplos quepresentaremos a continuacin.

Ejemplo 1El cuadrado de un nmero, disminuidoen 9 equivale a 8 veces el exceso delnmero sobre 2.Hallar el nmero.

Resolucin:Sea N el nmero buscado einterpretando la informacin, tenemos:N - 9 = 8 (N-2)N - 9 = 8N 16N - 8N + 7 = 0

(N-7) (N-1) = 0N-7 = 0 N 1 = 0

N = 7 N = 1Ejemplo 2El exceso de 8 veces un nmero sobre60 equivale al exceso de 60 sobre 7veces el nmero. Hallar el nmero.

ResolucinSea N el nmero.Del primer prrafo obtenemos:

8N - 60Del segundo prrafo obtenemos:

60 7NLas cuales son equivalentes 8N 60 = 60 7N

15N = 120N = 8

Ejemplo 3Compr el cudruple del nmero decaballos que vacas, si hubieracomprado 5 caballos ms y 5 vacasms, el nmero de caballos sera 2veces mayor que el nmero de vacas.Cuntos caballos compr?

ResolucinDel primer prrafo encontramos:Caballos: 4xVacas : xDel segundo prrafo obtenemos:Caballos: 4x + 5Vacas: x + 5

Caballos sera 2 veces mayor que vacas

34x + 5 = 3(x+5)4x + 5 = 3x + 15

x = 10 caballos comprados son:

4(10) = 40

Ejemplo 4En cada da, de lunes a jueves, gan $6ms que lo que gan el da anterior. Siel jueves gan el cudruplo de lo quegan el lunes, Cunto gan elmircoles?

ResolucinDe la informacin obtenemos que:

Lunes : xMartes: x + 6Mircoles: x + 12Jueves: x + 18Adems lo del jueves es el cudrupledel lunes; Es decir:

x + 18 = 4x3x = 18x = 6

El mircoles gan: 6 + 12 = S/. 18

Ejemplo 5El largo de una sala excede a su anchoen 4 m. Si cada dimensin aumentara 4m, el rea aumentara al doble. Hallarlas dimensiones de la sala.

Resolucin

Haciendo el esquema de una sala, parala primera condicin, tenemos:

x

x + 4A1 = x (x + 4)

Si las dimensiones aumentaran en 4 mtendramos:

x + 4

x + 8

A2=(x+4 )(x+8)Del dato tenemos que: A2 = 2A1

(x + 4) (x + 8) = 2x (x + 4)x + 8 = 2x

x = 8 dimensiones 8 m y 12 m.

Ejemplo 6Una mecangrafa escribe 85 palabraspor minuto. Empieza su trabajo a las8:00 am; y 40 minutos despus,empieza otra mecangrafa que escribe102 palabras por minuto.A qu hora habrn escrito estas elmismo nmero de palabras?

ResolucinLa 1 mecangrafa escribe 85 palabraspor minuto, entonces:

en x minutos escribir: 85xLa 2 mecangrafa escribe 102palabras por minutos, y empieza 40min despus, entonces:en (x-40) min escribir: 102 (x-40)Como las mecangrafas han escrito elmismo nmero de palabras:

102 (x-40) = 85x102x 4080 = 85x

17x = 4080x = 240 min (4 horas)

hora 8 a.m. + 4 h = 12 m

Ejemplo 7En un aula los alumnos estnagrupados en bancas de 6 alumnos porbanca. Si se les coloca en bancas de 4alumnos por banca se necesitaran 3bancas ms. Cuntos alumnos hay enel aula?

ResolucinSea N el nmero de alumnos en el aulay x el nmero de bancas.Al agruparlos de 6 en 6 tenemos:N = 6xAl agruparlos de 4 en 4 tenemos:N = 4(x+3)Como son iguales entonces

6x = 4x + 122x = 12

x = 6Finalmente N = 6.6 = 36 alumnos

Ejemplo 8Con 950 ladrillos se han hecho trestabiques. En el primero entran unatercera parte ms que el segundo, y eneste la cuarta parte de los que entranen el tercero. Cuntos ladrillos seemplearon en cada tabique?

ResolucinSi la cantidad de ladrillos en el segundotabique consideramos como 3x,entonces la tercera parte ser x; por lotanto:Segundo tabique: 3xPrimer tabique: 3x+ x = 4xLos ladrillos del segundo tabique son lacuarta parte de los del tercer tabique;esto quiere decir tambin que lo que

hay en el tercero es el cudruple de loque hay en el segundo; es decir:4(3x) = 12x.

Grficamente

1 2 3

Sumando todos los ladrillos debemostener 950.4x + 3x + 12x = 950

19x = 950x = 50

Primer tabique : 200Segundo tabique : 150Tercer tabique : 600

Ejemplo 9Se tiene tres nmeros tales que elsegundo es 4/5 del primero, el terceroes del segundo y el producto de lostres nmeros es 3840. Hallar el menor.

ResolucinSea N1, N2 y N3 los tres nmeros

54

NN

N54N

1

212

43

NN

N43N

2

323

De esta proporcionalidad obtenemosque:N2 = 4KN1 = 5kN3 = 3KEl producto es 3840 (5K) (4K) (3K) = 3840

60K3 = 3840K3 = 64K = 4

el menor es N3 = 3 (4) = 12Ejemplo 10Se reparte 3000 soles entre 4 personasde tal manera que a la primera lecorresponda 400 soles ms que a la

4x3x

12x

segunda; a sta, 4/5 de lo que lecorresponde a la tercera; y sta 100soles ms de lo que le corresponde a lacuarta. Cunto recibi la segundapersona?

ResolucinAl repartir los S/. 3000 entre 4personas y empezando el anlisis entrela 2da y 3era persona, luego entre la 1era

y la 2da y finalmente entre la 3era y la 4ta

tendremosP1 = 4k + 400P2 = 4K

3000 P3 = 5KP4 = 5k 100

4k+400+4k+5k+5k100 = 300018k = 2700

k = 150 La segunda persona recibi:

4(150) = S/. 600

Ejemplo 11De un tonel de 140 litros se extraetanto como 4 veces no se extrae, de loque queda se extrae tanto como no seextrae. Cunto queda en el tonel?

ResolucinGraficando un tonel e interpretando laprimera condicin, tenemos:

4x + x = 1405x = 140x = 28

140 Ha quedado 28 litros

Graficando en un tonel lo que aquedado e interpretando la segundacondicin, tenemos:

y + y = 28 y = 14

Queda en el tonel 14 litros.

PROBLEMAS PARA

RESOLVER EN CLASE

1. Traducir a su respectiva expresinmatemtica.a) El triple, de un nmero

aumentando en 8b) El triple de un nmero,

aumentado en 8c) Lo que gana Ana es dos ms de

lo que gana Bettyd) Ana gana dos veces lo que gana

Bettye) Ana gana dos veces ms lo que

gana Bettyf) Un nmero es dos veces menos

que otro nmerog) La edad de Mara excede a la de

Diana en 19h) Lo que tiene A excede a B, tanto

como 100 excede al doble de Bi) La suma de cuatro impares

consecutivos equivale al dobledel mayor, mas 6.

j) El doble, del cuadrado de unnmero disminuido en 6 equivaleal exceso de 105 sobre elmximo nmero de dos cifras.

k) El cuadrado, del doble de unnmero disminuido en 3

2. Al resolver un problema que sereduce a una ecuacin de segundogrado un estudiante comete unerror en el trmino independientede la ecuacin y obtiene comoraces 8 y 2. Otro estudiante cometeun error en el coeficiente deltrmino de primer grado y obtienecomo races 9 y 1. La ecuacincorrecta es:

Rpta:........................

3. Se tienen 48 palitos de fsforo,divididos en 3 grupos, del primergrupo se pasan al segundo tantospalitos como hay en este; luego delsegundo grupo se pasan al tercerotantos palitos como este tiene, y lo

4x

x

Y

y

mismo se hizo del tercero alprimero, quedando los tres gruposcon la misma cantidad de palitos.Cuntos palitos tena el primergrupo al inicio?

Rpta:........................

4. Encontrar un nmero impar, tal queal agregarle sus cuatro imparesconsecutivos nos d un total de555.

Rpta:........................

5. Un kilo de manzanas cuestan 3soles ms medio kilo de manzanas.Cunto cuesta el kilo y medio?

Rpta:........................

6. El producto de tres nmeros enterosconsecutivos es 24 veces el nmerocentral. Calcular su suma.

Rpta:........................

7. En un corral hay gallinas y conejos,y el nmero de patas es 14 ms 2veces el nmero de cabezas.Cuntos conejos hay?

Rpta:........................

8. En una fiesta haban 68 personas;Un primer caballero bail con 7damas; el segundo con 9, el tercerocon 11 y as sucesivamente hastaque el ltimo bail con todas.Cuntas damas haban?

Rpta:........................

9. Un comerciante tena determinadasuma de dinero. El primer ao segast 100 libras y aument el restocon un tercio de este. El aosiguiente volvi a gastar 100 lbs yaument la suma restante en untercio de ella. El tercer ao gast denuevo 100 lbs y despus de quehubo agregado su tercera parte, elcapital lleg al doble del inicial.Hallar el capital inicial.

Rpta:........................10. Un grupo de abejas igual a la raz

cuadrada de la mitad de todo elenjambre se pos sobre cierta flor,dejando atrs a 8/9 de todo elenjambre y slo una revoloteaba entorno a una flor atrada por elzumbido de una de sus amigas.Cuntas abejas forman elenjambre?

Rpta:........................

11. Entre 4 hermanos tienen 30manzanas. Si el nmero demanzanas del primero seincrementa en 1, el del segundo sereduce en 4, el del tercero seduplica y el del cuarto se reduce ala mitad, todos tendrn la mismacantidad. El primero y el tercerotenan juntos.

Rpta:........................

12. Al dividir un nmero de 3 cifras,entre otro de 2 cifras, se obtiene 11de cociente y 25 de residuo. Se lestoma el complemento aritmtico yse les vuelve a dividir, esta vez seobtiene 7 de cociente y 19 deresiduo. Hallar la suma de las cifrasdel dividendo.

Rpta:........................

13. Una persona fabrica un nmerodeterminado de sillas. Si duplica suproduccin y vende 60, le quedanms de 24 sillas; luego fabrica 10ms y vende 28, quedndoleentonces menos de 10 sillas. Sealecuntas sillas se fabricaron.

Rpta:........................

14. Un nmero entero consta de 3dgitos. El dgito de las centenas esla suma de los otros dos, y elquntuplo de las unidades es igual ala suma de las decenas y de lascentenas. Hllese este nmerosabiendo que si se invierten losdgitos resulta disminuido en 594.

Rpta:........................15. Una persona se pone a jugar con

cierta suma de dinero en laprimera vuelta duplica su dinero ygasta luego S/. 100. En lasegunda vuelta gana el doble de loque tiene y gasta luego S/. 400.En la tercera vuelta triplica sudinero y gasta luego S/. 500. Sian le quedan S/. 1000, cuntotena inicialmente?

Rpta:........................

16. Cuatro personas: A, B, C y D, sepusieron a jugar teniendo encuenta las siguientes reglas:

El que pierda el primerocuadruplicar el dinero de cadauno de los dems .

El segundo perdedor aumentarS/. 50 a c/u de los dems.

El tercero aumentar S/. 20 acada uno de los dems.

El cuarto aumentar S/. 30 a cadauno.

Se sabe que perdieron en el ordenalfabtico y al finalizar la cuartapartida cada uno qued conS/150, S/180, S/120 y S/40 ,respectivamente. Cunto tena Cal principio ?

Rpta:........................

17. En una playa de estacionamientohay 20 vehculos entre autos ymotos. Si cada auto lleva unallanta de repuesto, y en total secuentan 73 neumticos. Cuntosautos hay?

Rpta:........................

18. Al vender una articulo pens ganarla mitad de los me cost, pero almomento de vender tuve querebajar la mitad de lo que pensganar, por lo que gan S/. 600menos de lo que me cost.Cunto me costo?

Rpta:........................

19. El nmero de alumnos de un salnpuede ubicarse en filas de 9. Perosi se ponen dos alumnos menos encada fila hay que poner dos filasms. Cuntos alumnos hay?

Rpta:........................

20. Dos cirios de igual altura seencienden simultneamente, elprimero se consume en cuatrohoras y el segundo en tres horas.Si cada cirio se quem en formaconstante, cuntas horas despusde haber encendido los ciros, laaltura del primero es el doble dedel segundo?.

Rpta:........................

21. En una reunin se cuentan tantoscaballeros como tres veces elnmero de damas. Si luego deretirarse 8 parejas el nmero decaballeros que an quedan esigual a 5 veces el nmero dedamas, cuntos caballeros habaninicialmente?.

Rpta:........................

22. Un matrimonio dispone de unasuma de dinero para ir al teatrocon sus hijos. Si compra entradasde 8 soles le faltara 12 soles y siadquiere entradas de 5 soles lesobrara 15 soles Cuantos hijostiene el matrimonio?.

Rpta:........................

23. Lo que cobra y lo que gasta unprofesor suman 600. Lo que gastay lo que cobra esta en la relacinde 2 a 3. En cunto tiene quedisminuir el gasto para que dicharelacin sea de 3 a 5.

Rpta:........................

Este tema corresponde esencialmenteal planteamiento de ecuaciones.La solucin a este tipo de problemainvolucra reconocer cada uno de lossiguientes elementos:

- SUJETOS: Debemos identificar elnmero de sujetos que intervienen.

- TIEMPO (verbo): debemos tenerpresente que la accin del problemase desarrolla en distintos tiempos.Hace 5 aosActualmenteDentro de 8 aos.

- CONDICIONES: relacin entre lospersonajes, en el tiempo.Hace 5 aos tu edad era el triplede la edad que tengoDentro de 10 aos mi edad ser eldoble de la que tenas hace 3 aos.

PROBLEMAS SOBRE EDADES

TIPO I:CUANDO INTERVIENE LA EDAD

(E) DE UN SOLO SUJETO

Analicemos en tres tiempos:Hace m aos Dentro de n aos

E m E E + nPasado Presente Futuro

Ejemplo 1Dentro de 20 aos Pedro tendr eldoble de la edad que tena hace 10aos. Qu edad tendr dentro de 2aos?

Resolucin:Edad actual: EEdad dentro de 20 aos: E + 20

Edad hace 10 aos: E - 10

Podemos plantear:E + 20 = 2(E 10)E + 20 = 2E - 20

E = 40Dentro de 2 aos tendr 42 aos

Ejemplo 2Si al cudruplo de la edad que tendrdentro de 10 aos, le restamos el triplede la edad que tena hace 5 aosresulta el doble de mi edad actual. Queedad tena hace 5 aos.

Resolucin:Edad actual: EDentro de 10 aos: E + 10Hace 5 aos: E - 5 Planteando la ecuacin:

4(E + 10) 3(E 5) = 2E4E + 40 3E + 15 = 2E

E = 55 Hace 5 aos tena 50 aos

Ejemplo 3Pedro tiene 45 aos. Dentro de cuntosaos tendr el doble de la edad quetena hace 15 aos?

Resolucin:Edad actual: 45 aosHace 15 aos tena: 45 15 = 30 aosEl doble de esa edad es: 2(30) = 60 aosEl tendr 60 aos dentro de:

60 45 = 15 aos

TIPO II:CUANDO INTERVIENEN LAS

EDADES DE DOS O MS SUJETOS

Es conveniente para la solucin de estetipo de problema el uso de un cuadro.Por ejemplo, analicemos para tressujetos en tres tiempos y luegocompletamos el cuadro:

TIEMPOS

PASADO PRESENTEFUTUROSU A 30JE B 15TO C 42

S

HACE 5 DENTROAOS 8 AOS

Se observa que:- La diferencia de edades entre dos

personas, en el transcurso del tiempono vara.

Ejemplo 4El le dice a Ella: Yo tengo el triple de laedad que tu tenas cuando yo tena laedad que tu tienes. Cuntos aostienen ambos, si sus edades suman 50aos?

Resolucin:Empleando un cuadro para 2personajes, en dos tiempos, tenemos:

Pasado Presente.

EL y 3x

ELLA x y

Aplicando diferencia de edades, en elpasado y el presente, y teniendo encuenta que no vara, tenemos:y x = 3x yy + y = x + 3x

2y = 4xy = 2x

Del dato, que sus edades actualessuman 50 aos:

3x + y = 503x + 2x = 50

x = 10

El tiene 3x = 3(10) = 30 aosElla tiene y; es decir: 20 aos

Ejemplo 5Dentro de 20 aos, la edad de Maraser a la de Diana como 4 es a 3. Cules la edad de ambas si hace 13 aos laedad de Mara era el quntuplo de la deDiana?

Resolucin:Empleando cuadro de doble entrada,para dos personajes y tres tiempos.Partiendo de la informacin en el futuro(dentro de 20 aos), tenemos:

Pasado Presente Futuro

Mara 4k

Diana 3k

Con este dato completamos el cuadro,para el presente y el pasado (hace 13aos).

Pasado Presente Futuro

Mara 4k 33 4k 20 4k

Diana 3k - 33 3k 20 3k

Teniendo en cuenta que hace 13 aosla edad de Mara era el quntuplo del deDiana, planteamos la siguienteecuacin:

4k 33 = 5(3k 33)4k 33 = 15k 165

11 k = 132k = 12

Edad de Mara = 4(12) 20= 28 aos

Edad de Diana = 3(12) 20= 16 aos

Ejemplo 6Roberto tiene 24 aos; su edad es elsxtuplo de la edad que tena Bettycuando Roberto tena la tercera partede la edad que tiene Betty. Qu edadtiene Betty?

Resolucin:Pasado Presente

Roberto x 24 = 6.4

Betty 4 3x

Aplicando diferencias de edades osumando en aspa, tenemos:

4x = 28x = 7

Edad de Betty = 3x = 3(7)= 21 aos

Ejemplo 7Hallar la edad de un padre y la de suhijo sabiendo que hace 8 aos la edaddel primero fue el cudruple de la delsegundo; dentro de 12 aos slo serel doble de la de su hijo.

Resolucin:De acuerdo a los datos, emplearemos uncuadro para dos personas en tres tiempos

Hace8 aos

Presente

Dentrode12 aos

Padre

Hijo

P=4H P=2H

- Digamos que hace 8 aos el hijo tena xaos; en tanto que el padre tena 4x.

- En la actualidad el hijo tendr x+8 yel padre 4x + 8

- Dentro de 12 aos tendrn x + 20 y 4x+ 20.

Ubicando esta informacin en el cuadrotenemos:

Hace8 aos

Presente

Dentrode12 aos

Padre 4X 4X + 8 4X + 20

Hijo X X + 8 X + 20

De la segunda condicin:

P = 2H4x + 20 = 2(x + 20)4x + 20 = 2x + 40

2x = 20x = 10

Edad del Padre = 4(10) + 8= 48 aos

Hijo = 18 aos

Ejemplo 8Jos le dice a Pablo: Yo tengo el doble de laedad que tu tenas cuando yo tena la edad quetienes; pero cuando tu tengas la edad que yotengo, la suma de nuestras edades ser 63aos. Hallar ambas edades actuales.

Resolucin:Empleando cuadro para dos personas y en trestiempos; as como ubicando la informacin dela primera condicin del problema, tenemos:

Pasado Presente

Futuro

Jos Y 2X

Pablo X Y

De la segunda condicin: nuestrasedades sumarn 63 aosSi Pablo tendr 2x, entonces Jostendr 63 2x

Pasado Presente

Futuro

Jos Y 2X 63 - 2X

Pablo X Y 2X

Por diferencia de edades (no cambiacon el transcurso del tiempo):

- Tiempos pasado y presentey x = 2x y

2x = 3y .... (I)- Tiempos presente y futuro

2x y = (63 2x) 2x2x y = 63 4x

y = 6x 63 ..... (II)

Reemplazando en (I) tenemos2(6x 63) = 3x12x 126 = 3x

x = 14En (II):y = 6(14) 63 = 21

las edades son:Jos: 2(14) = 28 aosPablo : 21 aos

TIPO III:USO DEL CRITERIO ARITMTICO

Aplicaremos la siguiente relacin:

Ejemplo 9Una persona naci en ab19 y en

ba19 cumpli (a+b) aos. En qu aocumpli a(b) aos?

Resolucin:EmpleandoEdad = Ao Ref. Ao Nac.Tenemos: a + b = ba19 ab19

descomponiendo polinmicamente:a+b = 1900+10b+a(1900+10a+b)a+b =1900+10b+a190010a-b

desarrollando encontramos que:10a = 8b

5a = 4b

Teniendo en cuenta que a y b sonnmeros de una cifra, esta igualdadcumple para: a = 4 y b = 5

Ao de Nacimiento: 1945

Para saber en que ao cumpli a(b)aos, es decir: 4(5) = 20 aosesta edad la sumaremos a su ao denacimiento; es decir:1945 + 20 = 1965

Ejemplo 10Una persona tiene en 1988 tantos aoscomo el producto de las dos ltimascifras del ao de su nacimiento. Cules su edad actual (2004),considerando que este ao ya celebrsu onomstico?

Resolucin:

Considerando ao de nacimiento: ab19Tendremos que:

a(b) = 1988 ab19a(b) = 1988 1900 10a b

ordenando10a + b + a(b) = 8810a + b(1 + a) = 88Esta igualdad cumple para:a = 6 y b = 4ya que:10(6) + 4(1 + 6) = 88 Ao de nacimiento: 1964 Edad actual = 2004 1964

= 40 aosEjemplo 11Un profesor naci en ab19 y en 1990tuvo (a + b) aos. En que ao lleg atener (2a + b) aos?

Resolucin:Edad = Ao de ref. Ao de nac.

a + b = 1990 ab19a + b = 1990 1900 10a bordenando11a + 2b = 90esta igualdad cumple para:a = 8 y b = 1porque 11(8) + 2(1) = 90 Ao de nacimiento: 1981 Lleg a tener: 2a+b =2(8)+ 1 = 17en: 1981 + 17 = 1998

E = Ao de referencia Ao de nac.

Ejemplo 12Juan le dice a Jos: Cuando t tenas 7aos menos de la edad que yo tengo,yo tena 3 aos menos de la edad quet tienes y cuando tenga el doble de laedad que tu tienes, nuestras edadessumarn 66 aos. Qu edad tieneJos?

Resolucin:Como el problema relaciona a trestiempos, entonces hacemos el esquemapara el primer prrafo:

Pasado Presente FuturoJuan y-3 xJos x-7 y

Segn el segundo prrafo tenemos:Pasado Presente Futuro

Juan x 2yJos y 66-2y

De los dos esquemas, aplicandodiferencia de edades, tenemos:(y-3)-(x-7) = x-y x = y+22y-(66-2y) = x-y x = 5y-66Igualando:5y 66 = y+24y = 68y = 17 Jos tiene 17 aos

PROBLEMAS PARA RESOLVER ENCLASE

1. Si al doble de mi edad actual, se lequita mi edad aumentada en 10, setendra 19. Qu edad tengo?

Rpta:.....................................

2. La tercera parte de la edad de Maraes 13 aos ms que la edad deNorma y el quntuplo de la edad deNorma es 25 aos menos que laedad de Mara. Hallar la edad deNorma.

Rpta:.....................................

3. Si Ricardo hubiera nacido en el ao19ba en el ao 2030 tendra baaos. Sin embargo naci en el ao19aa. Cuntos aos tena en elao 1999?

Rpta:.....................................

4. La edad de Carlos en 1975 eratanto como la mitad de las dosltimas cifras del ao de sunacimiento, que edad tieneactualmente (2004) si ya celebr sucumpleaos.

Rpta:.....................................

5. Diego y su abuelo tenan en 1928tantos aos como indica las dosltimas cifras del ao de sunacimiento. Cual era la edad delabuelo cuando naci Diego.

Rpta:.....................................

6. Bertha tena en 1962, tantos aoscomo el producto de las dos ltimascifras del ao de su nacimiento.Cul era su edad en aquel ao, sien un ao ms su edad ser unnmero cuadrado perfecto?

Rpta:.....................................

7. Elsa es 6 aos mas joven que Ivan.Hace 3 aos Ivan tena el triple dela edad que Elsa tena entonces.Encontrar la edad de Ivan.

Rpta:.....................................

8. Miguel tiene 5 aos menos queDoris. Hace cuatro aos la suma desus edades era 21 aos. Qu edadtiene Doris?

Rpta:.....................................

9. Denise es 3 veces mayor de edadque Clara. Hace 5 aos la suma desus edades era 40 aos. Qu edadtiene Clara?

Rpta:.....................................

10. Juan tiene 2 aos ms que suhermano Roberto y la edad delpadre es el cudruplo de la edad desu hijo Roberto. Si hace 5 aos lasuma de las edades de los tres era47 aos. Cuntos aos tieneactualmente el Padre?

Rpta: ..................................

11. La edad de un Padre supera en 5aos a la suma de las edades desus 3 hijos. Dentro de 10 aos suedad ser el doble que la delprimero, dentro de 20 aos su edadser el doble del segundo y dentrode 30 aos ser el doble que la deltercero.Cul es la edad del hijo menor?

Rpta:.....................................

12. La edad actual de un hijo es los 4/9de la edad de su padre, si dentro de5 aos, la mitad de la edad delpadre ser igual a la del hijo. Cules la edad del Padre?

Rpta:.....................................

13. Romeo le dice a Julieta: Tu tienes18 aos pero cuando tu tengas laedad que yo tengo, la suma denuestras edades ser 48 aos.Qu edad tendr Romeo dentro de8 aos?

Rpta:.....................................

14. Un padre le dice a su hijo: Hace 8aos mi edad era el cudruplo de laedad que tu tenas, pero dentro de8 aos nicamente ser el doble.Cul es la edad actual del hijo?

Rpta:.....................................

15. Too le dice a Alex: Cuando tutenas 7 aos menos de la edad queyo tengo, yo tena 3 aos menos dela edad que tu tienes y cuando

tenga el doble de la edad que tutienes, nuestras edades sumarn 66aos. Qu edad tiene Too?

Rpta:.....................................

16. Un discpulo le dice a su maestro:Cuando tu tenas el triple de laedad que yo tengo, yo tena laonceava parte de la edad que tutienes, pero cuando t tengas elcudruplo de la edad que tengo yo,la suma de nuestras edades ser 80aos.Qu edad tiene el discpulo?

Rpta:.....................................

17. Dentro de 8 aos la suma denuestras edades ser 42 aos; perohace n aos la diferencia denuestras edades era de 8 aos.Hace cuntos aos la edad de unoera el triple de la del otro?

Rpta:.....................................

18. Cuando transcurran desde hoytantos aos como los aos quepasaron desde que nac hasta laedad que tena hace 10 aos,tendr el cuadrado de la edad quetena hace 9 aos. Cuntos aostena hace 3 aos?

Rpta:......................................

19. Sal le dice a Erick: Tengo el triplede la edad que tu tenas cuando yotena la mitad de la edad que tienesy cuando tengas la edad quetengo, yo tendr el doble de la edadque tenas hace 12 aos. Cuntosaos suman sus edades actuales

Rpta:...................................

Los problemas referentes a mvilesconsideran a carros, trenes, aviones opersonas; asimismo, hacen mencin ametros por segundo, kilmetros por hora oa cualquier otra terminologa relacionadacon el movimiento.

Estos problemas se resuelven bsicamentecon la frmula:distancia = rapidez x tiempo, quecorresponde a un movimiento uniforme.

Adems:

e

t

e = .t. =te t =

e

e = espacio o distancia recorrida = rapidez empleadat = tiempo empleado

Definiciones Importantes:

a) Rapidez (): Caracterstica fsica de unmvil que nos informa que tan rpidoeste mvil pasa de una posicin a otra.Se expresa en unidades de longitiempo (e/t); ejemplos: m/s,km/h.

b) Velocidad ( v ): Es un magnitudvectorial que nos indica la rapidez conla que se mueve un objeto (mvil) y ladireccin en que lo hace.Para la solucin de estos problemasdebemos tener cuidado que lasunidades sean consistentes; por ejemplosi la rapidez esta expresada en m/s, eltiempo debe estar en segundos y ladistancia en metros.

Ejemplo 1:Cinco horas demora un auto en viajar deLima a Huancayo a razn de 80 km/h. Sicada 10 km en la carretera que une ambasciudades se desea colocar un bandern,Cuntos banderines se requieren,considerando que debe haber uno alprincipio y otro al final?

ResolucinDebemos primero calcular la distanciaentre Lima y Huancayo, para lo cualcontamos con la rapidez con que viaja elauto y el tiempo que emplea; por lo tanto:

d = x t =hkm80 x 5 h

d = 400 km

Clculo del nmero de banderines acolocar; para lo cual tenemos:dT = 400 kmdu = 10 km

N banderines = 41110400

Rapidez Promedio:Se refiere a la distancia total recorridadividida entre el tiempo total empleado

TotalciatanDisp

Quin llegarprimero a la PRE?

PRE-UNAC

30K/h 10m/stud porm/min;

TotalTiempo

Ejemplo 2:Un auto viaja de una ciudad A a otra B,distantes 500 km, a razn de 100 km/h yregresa hacia A con una rapidez de 50km/h. Hallar la rapidez promedio duranteel viaje de ida y vuelta.

100 km/hA B

50 km/h

500 km

ResolucinTiempo de viaje de ida:

ti = h5h/km100

km500

Tiempo de viaje de regreso

tr =h/km50

km500 =10h

tiempo total = 5 + 10 = 15 h.

Distancia total recorrida = 500 + 500= 1000 km.

prom = h/km3266

3200

h15km1000

Tiempo de encuentro:

Si dos mviles parten simultneamente dediferentes puntos y viajan en la mismadireccin pero en sentidos opuestos, una elencuentro del otro, se encontrarn en untiempo te, definido por:

te =12 vv

d

donde:te : tiempo de encuentrod : distancia que los separa al inicio

2; 1: rapidez con la que viajan losmviles.

Ejemplo 3:La distancia entre dos ciudades es de 400km. Un auto parte de la ciudad A hacia B arazn de 50 km/h y en el mismo instanteparte de B hacia A otro auto a razn de 30km/h. Despus de cunto tiempo seencontrarn y a que distancia del puntoB?.

Resolucin

VA = 50 km/h VB = 30km/hte

A dA dB B

400 km

Clculo del tiempo de encuentro:

te = h5h/km80

km400h/km)3050(

km400

Clculo de la distancia de B hasta el puntode encuentro:

dB = VB x te = 30 km/h x 5 h

= 150 km

Tiempo de Alcance:

Si dos mviles parten simultneamente yviajan en la misma direccin; en el mismosentido y el segundo viaja con mayorrapidez, entonces lo alcanzar el primeroen un tiempo ta, definido por:

ta =12 vv

d

donde:ta : tiempo de alcanced : distancia que los separa al inicio

V1 V2

d

V2 V1

e

2; 1: rapidez con la que viajan losmviles.

Ejemplo 4:La distancia entre dos ciudades A y B, esde 200 km. Un auto parte de la ciudad Ahacia otra C, situada a 350 km al Este de B,a razn de 50 km/h; en el mismo instanteparte de B otro auto hacia C; a razn de 30km/h. Despus de cunto tiempo alcanzarel mvil que parti de A al que parti de By a que distancia de C ?

Resolucinta

ta

VA = 50 km/h VB = 30 km/h

A B CdB

200 km

Clculo de tiempo de alcance:

ta = h1020200

h/km)3050(km200

Distancia recorrida por B:

dB = km300h10xhkm30

Se da el alcance a 50 km de C.

Ejemplo 5:Un Tren de 120 metros de longitud sedemora en pasar por un puente, de 240metros de largo, 6 minutos. Cul es larapidez del tren?

Resolucin

120 m 240 m

La distancia total que recorre eltren para cruzar es:

240 m + 120 m = 360 mEn un tiempo de 6 min (360 seg)

= segmsegm /1

360360

Ejemplo 6:Luis viaj de Lima a Huancayo empleando8 horas. Si al regreso aumenta su rapidezen 15 km/h llegando en 6 horas, cul es ladistancia total recorrida?.

ResolucinA la ida recorre una distancia D con unarapidez de km/h llegando en 8 h.

D = 8 ....... (I)

A la vuelta recorre la misma distancia Dcon una rapidez de ( + 15) km/h llegandoen 6 h.

D = 6(+15) ....... (II)

Como (I) y (II) son iguales,tenemos:

8 = 6 ( + 15)8 = 6 + 902 = 90 = 45 km/h

distancia total recorrida = 2DEn (I) = 2 (8.45) = 720 km.

Ejemplo 7La distancia entre T y L es de 550 km.Abner sale de T a L y Josu de L a T,ambos simultneamente a las 10 pm. Elmnibus en que viaja Abner recorre a unpromedio de 90 km por hora y el de Josu

a 85 km por hora A qu hora y a qudistancia de T se cruzarn?

Resolucin = 90 km/h = 85 km/h

T L

550 km

Para saber a que hora se cruzan,aplicaremos tiempo de encuentro:

te = h/km)8590(

km550 3.14h 3h09 min.

Se cruzarn a:10 pm + 3 h 9 minutos

1:09 am

DT = 90 x 3.14 = 282 km 857m

Ejemplo 8:Un ladronzuelo corre a razn de 8m/s. Unpolica que se encuentra a 150 m dedistancia empieza a perseguirlo y lograalcanzarlo luego de 4 min. Con qu rapidezcorri el polica.

ResolucinAplicando tiempo de alcance

ta = vepd

ta = 4 min

(4 x 60) seg =s/m)8Vp(

m150

240 = ,8Vp

150

simplificando

8 =8Vp

5

8 p 64 = 5

p =869 m/seg = 8,62 m/s

Ejemplo 9Vladi sale de su casa con una rapidez dea km/h y dos horas ms tarde Fuji salea buscarlo siguiendo la misma ruta, conuna rapidez de a+b km/h. En cuntashoras lo alcanzar?

Resolucin

Vladi en 2 horas le ha tomado unaventaja de:d = . t d = 2a

Que fuji debe descontarlo en:

ba2

a)ba(a2

VvVfdta

.

Ejemplo 10Dos motociclistas parten de un punto A, enel mismo sentido, a razn de 30 y 50 km/h.Que tiempo deber transcurrir para queestn separados 100 km?

ResolucinCon los datos hacemos el siguientediagrama:

ts

Conforme pasa el tiempo el motociclistaque viaja con mayor rapidez se vaseparando ms. Para determinar el tiempoque emplean para estar separados 100 kmaplicamos:

d

"a" km/h

"Fuji"

"Vladi"

2a

B CV2= 50 Km/hA

V1= 30 Km/h

100 km

ts

ts = h5h/km)3050(

km100VV

ds

12

Ejemplo 11Dos ciclistas estn separado por 200 metrosy avanzan en sentidos contrarios convelocidades de 15 y 10 m/s separndosecada vez ms. En qu tiempo estarnseparado 3400 m?

ResolucinCon los datos efectuamos el siguientediagrama:

Ambos ciclistas, el que parte de A hasta Cy el que parte de B hasta D, emplean elmismo tiempo para separarseadicionalmente:

3400 200 = 3200 m

seg128s/m)1510(

m3200VV

dtsBA

ts = 2 min con 8 seg.

Ejemplo 12Una auto parte de Piura a las 5 pm y llegaa Lima el da siguiente a las 2 pm otroauto sale de Piura a las 7 pm y llega a Limael da siguiente a las 9 am. A qu hora elsegundo auto pas al primero?

Resolucin

Analicemos bajo el siguiente esquema:

Ambos autos recorren la misma distancia,D entre Piura y Lima, empleandodiferentes tiempost1 = 21 horast2 = 14 horas

la rapidez con la que viajan son:

1 =21D ; 2 =

14D

Como el auto 1 parti dos horas antes queel auto 2, le toma una ventaja dequivalente a:

d = . t =21D .2 d =

21D2

El auto 2 que es ms veloz lo alcanzar y lopasar en un tiempo ta:

ta =

42D21D2

42D2D3

21D2

21D

14D

21D2

d

12

ta = h4Dx2142xD2

el 2 auto pas al 1 a las:

7 pm + 4 h = 11 pm

ts ts

B DAC

VA = 15m/s VB = 10m/s

200 m

3400 m

D

P L

5 pm 2 pm

D

P L

7pm 9 am

EJERCICIO

1. Una persona viaja en auto de Lima aHuaraz con una velocidad constantede 60 Km/h y el regreso lo hace a80 km/h. Si en total ha empleado 14horas, cuntos kilmetros arecorrido?

Rpta.:..................

2. Un alumno del CentroPreuniversitario, viajando enmnibus a razn de 40 km/h,generalmente llega a tiempo; sinembargo un da lleg con un retrasode 10 minutos, debido a que elmnibus slo pudo desarrollar 30km/h. A qu distancia del CentroPreuniversitario toma el mnibus elestudiante?

Rpta.:..................

3. Una persona sale de su casa todoslos das a la misma hora y llega a sucentro de trabajo a las 8 a.m. Un dasali atrasado 25 minutos y duplicasu rapidez y an as llega con 10minutos de atraso. Cunto tiempodemora normalmente?

Rpta.:..................

4. Dos autos con velocidades de 60m/s y 40 m/s, se introducen por unmismo lado de un tnel, uno deellos, aparece 2 segundos despusque el otro. Cul es la longitud deltnel?

Rpta.:..................

5. Un tren de 200m de longitud y otrode 250m viajan sobre vas paralelasa 72 Km/h y 90 Km/h. Hallar:a) En qu tiempo se cruzan, si

viajan en sentidos opuestos?b) En qu tiempo el ms rpido

pasa al otro, si viajan en elmismo sentido?

Rpta.:..................

6. Un bote a motor desarrolla unarapidez de 40 km/h en aguastranquilas. Si el mismo bote marchaen un ro, en contra de la corrientedurante 2 horas avanza 60 Km.Luego da la vuelta y viaja ro abajodurante una hora y se detiene. Aqu distancia del punto de partidase detuvo?

Rpta.:..................

7. En el siguiente grfico, despus deque tiempo el mvil 1 distar de Btanto como el mvil 2 distar deA?

1 = 6m/s 2 = 8m/s

A B

Rpta:.....................

8. Los mviles estn igualmentedistanciados y pasansimultneamente como indica elgrfico, en el mismo sentido convelocidades: a, b y c. Luego de untiempo se encuentran en un mismopunto. Hallar la velocidad de b enfuncin de a y c.

Rpta.:..................

9. Un automvil que viaja a 60 Km/hpasa por un punto A; otro automvilque viaja a 40 km/h pasa, en elmismo instante, por un punto B. Elpunto B est situado a la derechadel punto A y entre estos dos puntoshay una distancia de 80 km. Ambossiguen la misma direccin y elmismo sentido. Se desea saber a

6 8

280m

a b c

qu distancia del punto A, seencontrarn.

Rpta.:..................

10.Un tren parte a las 8:20 para hacerun recorrido de 500 Km; lo queefecta en 16h 40 min. Quvelocidad debe llevar un segundotren que parte 2h 58 min despusque el primero, para que alcance aste en una estacin situada a 356km del punto de partida?

Rpta.:..................

11.Dos autos arrancan del mismo puntoviajando en sentidos opuestos. Lavelocidad de uno es de 80 km/hhacia el norte y la del otro es 70km/h. hacia el sur. En cuntashoras llegan a separarse 375Km?

Rpta.:..................

12.Un carro sale de A hacia B a 80km/h y regresa a 50 km/h, despusde 16 horas. Si el carro se detuvoen B por 2 horas y 1 hora en elcamino de regreso. Determinar ladistancia AB.

Rpta.:..................

13.Viajando a 40 km/h un piloto llega asu destino a las 16 horas; viajandoa 60 km/h llegara a las 14 horas. Sidesea llegar a las 15 horas, a quvelocidad debe ir?

Rpta.:..................

14.Abel sali en su carro con unarapidez de 40 km/h. Dos horasdespus Mara sali del mismo lugarmanejando por la misma carretera a50 Km/h. Cuntas horas habamanejado Mara cuando alcanz aAbel?

Rpta.:..................15.Sale un tren hacia el norte con

velocidad de 30 km/h, luego de 10

min, sale otro tambin hacia el nortey con la misma velocidad. Con quvelocidad en km/h constante venaun tren desde el norte, si se cruzcon el primer tren en cierto instantey luego de 4 min con el segundotren

Rpta.:..................

16.Una liebre perseguida por un galgose encuentra a 80 saltos delante delgalgo. La liebre da 4 saltos mientrasel galgo da 3; pero 5 saltos de galgoequivalen a 7 saltos de la liebre.Cuntos saltos dio la liebre antesde ser alcanzada por el galgo?

Rpta.:..................

17.Dos barcos parten de dos orillasopuestas de un ro, siguiendo unadireccin perpendicular a las orillasy se encuentran por primera vez a120 metros de una orilla, llegan yvuelven al punto de partida,producindose el nuevo encuentro a150 metros de la otra orilla. Hallar elancho del ro

Rpta.:..................

18.Cuando un bote a motor navegaaguas arriba, en un ro, durante 3horas y apaga el motor durantemedia hora, puede retornar al puntode partida en 2 horas. Cuntotiempo podr demorarse en retornarsi repite la experiencia pero ahoraaguas abajo?

Rpta.:..................

Captulo relacionado en gran parte conel tema de planteo de ecuaciones yRazonamiento Lgico.Los relojes y su utilidad para lamedicin del tiempo son motivo de unagran variedad de problemas y acertijosque para un mejor estudio se tratacomo tema aparte, teniendo en cuentalos siguientes objetivos especficos

1. ANALIZAR Y COMPRENDER LARELACIN ENTRE EL TIEMPOTRANSCURRIDO Y EL TIEMPO NOTRANSCURRIDO, PARA UNTIEMPO DETERMINADO.

Gu

Ejemplo 1Qu hora es cuando la partetranscurrida del da es igual a las 3/5de lo que falta para terminar el da?

ResolucinUn da: 24 horasTiempo transcurrido: xTiempo que falta transcurrir: 24-x

Grficamente

Planteando una ecuacin, tenemos:

parte transcurrida es53

(falta para

terminar)

x =53

(24 - x)

5x = 72 3x8x = 72 x = 9 Hora = 9 h. = 9 am

Otra forma:53

rtranscurrifaltaque.tdotranscurritiempo

3k + 5k = 24k = 3

Hora = 3(3) = 9 horas

Ejemplo 2:A que hora de la maana el tiempo quemarca un reloj es igual a 5/4 de lo quefalta para las 12 del medioda.

ResolucinEn el primer ejemplo el intervalo detiempo involucrado era todo el da (24horas); en este caso es slo el medioda; es decir:

45

.tfaltaqueTiempodoTranscurriTiempo

9k = 12 k = 4/3 Las Horas transcurridas son:5 (4/3) = 20/3 = 6 2/3 h6 Horas 40 min. Hora que marca el reloj = 6:40 am.

Tiempo Total

TiempoTranscurrido

Tiempo noTranscurrido

Quhora es?

x 24 - x

0 h 24 h

3k 5k

24 h

0 h 12 h

5 k