المــقدمــــــة

The Introduction

علم المرونة هو أحد علوم ميكانيك��ا األجس��ام المتص��لة وال��ذي يهتم بدراس��ة

سلوك جزيئات المادة عندما يتم التأثير عليها بقوة خارجية سواء ك��انت ه��ذه

القوة سطحية أو حجمية. ولقد أصبح لعلم المرونة أهمية كبيرة نظ��را لك��ثرة

تطبيقات��ه في الحي��اة العملي��ة وارتباط��ه ببعض العل��وم الهام��ة األخ��رى مث��ل

هندسة المواد وعلوم النانو وتكنولوجيا النانو.

تهتم فق��ط بدراس��ة س��لوك الم��واد ك��انتفي بداي��ة تط��ور نظري��ة المرونة

وخصائصها، من ناحية الشكل والحجم والتغيرات التي تحدث لهم��ا بع��د زوال

، أما اآلن ف��إن الدراس��ة[1 ]تأثير القوى المؤثرة والمسببة للتغير في كليهما

قد تعدت الشكل والحجم فقط وأصبحت تهتم بمتغيرات أخرى.

.R ) كان الع�الم روب�رت ه�وك م1678في عام Hooke)ه�و أول من ع�رف

الجسم المرن وكلمة مرونة حيث وضع أول قانون يربط بين الق��وة الم��ؤثرة

،[2]مقداراالستطالة )االنفعال( الذي ح��دث في الجس��م وعلى جسم مرن

بإعط��اء تص��ور رياض��ي للنظري��ة الخطي��ة للمرونة(Cauchy)ثم قام كوش��ي

[.3]لجسم معزول حراريا

وعلم المرون��ة الحراري��ة ه��و ف��رع ه��ام ج��دا من ف��روع علم الميكانيك���ا

االنفع�االتوالتطبيقي��ة ، ال�ذي يهتم بالت��أثير الح��راري، وعالقت�ه باإلجه���ادات

.[ 4]التي تحدث في األجسام المرنة

1

وض��عت أساس��يات نظري��ة المرون��ة الحراري��ة في النص��ف األول من الق��رن

و (Duhamel) [5]التاسع عشر، وذلك كان على يد كل من العالمين ديوهامل

)6]نويمان �]Neumann أولياها قدرا كبيرا من االهتمام ، ومنذ ذل��ك( اللذين

الحين لم يح��دث أي تق��دم لتل��ك النظري��ة ح��تى النص��ف الث��اني من الق��رن

الماضي.

وتتعامل نظرية المرونة الحرارية م��ع الم��ؤثرات الميكانيكي��ة والحراري��ة على

)5 ]الجسم الم�رن ، وقد ك�ان ديوهامل �]Duhamel �)ه��و أول م���ن ن��اقش

مسائل المرون�ة الحراري�ة في الق�رن التاس��ع عش��ر. وفي ع��امقواعد لحل

استنت�اج المعادالت التي حصل عليها(Neumann[� )6 ] أعاد نويمانم1855

)5]ديوهامل �]Duhamel)باستخ�دام مدخ��ل آخ�ر، وق��د س�ميت نظريتهم��ا

.نظري�ة المرونة الحراري�ة غير المزدوجة

له��ذه النظري��ة من معادل��ة الح��رارة وهي وتتك��ون المع���ادالت الحاكم�ة

مس��تقلة عن الت��أثيرات الميكانيكي��ة ومن معادل��ة الحرك��ة ال��تي تحت��وي على

الحرارة كدالة معلومة, وقد وجد عيبان رئيسان في هذه النظرية:-

- أولهما: أن الحالة الميكانيكية للجسم ليس لها ت��أثير على الح��رارة ، و ه��ذا

غير صحيح فيزيائيا.

- و ثانيهم��ا: أن معادل��ة الح��رارة وهي معادل��ة تفاض��لية جزئي��ة مكافئ��ة وهي

تعني أن سرعة انتشار الحرارة النهائية ، وهذا يتناقض مع التجارب العملية.

بوض��ع أساس��يات نظري��ة المرون��ة(Biot) [7] قام بيوتم1956في عام

وفي ه��ذه النظري��ة تك��ون مع��ادالت المرون��ة مرتبط��ة ،الحراري��ة المزدوجة

2

حيث أن أي تغ��ير في،باالتصال الحراري وهذا يتفق مع التج��ارب الفيزيائي��ة

الحرارة يؤدي إلى انفع��ال الجس��م الم��رن والعكس ص��حيح. وه��ذه النظري��ة

وتتك��ون معادالته��ا من معادل��ة الح���ركة وهي،مفي��دة في ح��االت كث��يرة

وهي وم���ن معادل���ة التوص��يل الح���راري،)معادل�ة تفاضلية جزئي��ة زائدي��ة(

)معادلة تفاضلية جزئية مكافئة( وله�ذه النظرية عيب واحد وهو أن المعادل�ة

،الثانية هي معادلة تفاضلية مكافئة والتي تعني أن��ه إذا ك��ان الوس��ط ممت��دا

إلي م�ا النهاية وتعرض لتأثير حراري أو ميك��انيكي ف��إن ه��ذا الت��أثير س��يكون

وه��ذا يتن��اقض،محسوسا فورا عند نقاط تبعد بعدا النهائيا عن مص��در الت��أثير

مما يجعلنا في حاج��ة إلى معادل��ة طاق��ة جدي��دة من،مع التجارب الفيزيائية

النوع الزائدي.

Lord[� 8] قام لورد و ش��ولمانم1967وفي عام and Shulmanباس��تنتاج

نظرية المرونة الحرارية المعممة في الحال��ة الخاص��ة عن��دما يك��ون الوس��ط

Dhaliwal متماثال ، وقام دليوال و شريف and Shereif بتعميم ه��ذه[10],[9]

وفي ه��ذه النظري��ة أمكن إحالل. النظري��ة لتش��مل األجس��ام غ��ير المتماثلة

ق��انون جدي��د للتوص��يل الح��راري يتض��من كال من الفيض الح��راري ومعدالت��ه

وق��د أمكن في ه��ذه النظري��ة الزمنية محل قانون فوريير لالنتش��ار الح��راري

أيضا التوصل إلى معادلة الحرارة، وهي على صورة معادل��ة تفاض��لية جزئي��ة

زائدي��ة وه��ذا يلغي تن��اقض الس��رعات الالنهائي��ة الموج��ودة في النظري��ات

المزدوجة وغير المزدوجة للمرونة الحرارية.

3

م قام شين وجورتن بوضع نظرية للتوصيل الحراري لألجسام1968في عام

المرنة والتي تعتمد على نوعين مختلفين من درجات الحرارة األولى تس��مى

والثاني��ة تس��مى درج��ة الح��رارة الديناميكيةدرج��ة الح��رارة الموص��لة

للحاالت التي فيها حالة الجسم مستقلة عن ال��زمن ف��إن الف��رق بين درج��تي

ق��ام ڤارينم1973الحرارة يتناسب مع اإلمداد الحراري للجسم . وفي عام

بدراسة التقدم الموجي لوسط تحت ضوء نظريةWarren and Chen و شين

المرون��ة الحرري��ة المرتبط��ة في حال��ة وج��ود درج��تي الح��رارة للوس��ط ولم

[12]حيث ق���ام يوسفم 2006يحدث أي تطويرله��ذة النظري��ة ح��تى ع���ام

Youssefباستنت�اج نظري�ة مرون�ة حراري�ة معمم�ة جدي�دة آخ�ذا في االعتب�ار

ق���انون توصي���ل ح���راري مع���دل حيث يعتم���د عل���ى ن��وعين م���ن درج��تي

الح���رارة مختلفتي���ن تس��مى األولى درج���ة الح��ررة الناتج��ة من التوص��يل

الحراري ، و تسم�ى الثاني�ة درج�ة الح�رارة الدين�اميكية حيث يتناسب الفرق

بين هاتين الدرجتين طرديا مع اإلم�داد الحراري للوسط ، وقام يوس��ف أيض��ا

بإثبات وحدانية الحل لهذه النظرية.

تتكون هذه الرسالة من ثالثة أبواب وهي:

:- " مقدمة في نظرية المرونة الحرارية"الباب األول

(Introduction to Thermoelasticity Theory)

ويعرض ه�ذا الب�اب ك���ل أساسي��ات نظ��رية المرون�ة و ق��وانين الديناميك���ا

الح�رارية، وكيفية ربطها بنظرية المرونة الخطي��ة للوص��ول لنظري��ة المرون��ة

الحرارية ويعرض ك��ذلك ص��ياغة بعض الق��وانين والعالق��ات الخاص��ة والهام��ة4

لهاتين النظريتين. ويحتوي أيضا على عرض مختص��ر لبعض أن��واع النظري��ات

التي ظهرت مثل نظرية المرون�ة الحرارية غير المزدوجة، و نظري��ة المرون��ة

الحرارية المزدوجة، مع ذك��ر عي��وب ك��ل نظري��ة و ك��ذلك ش��كل التط��ور من

نظرية إلى أخرى ، وكيف عالجت النظرية األخيرة أحد القص��ور في النظري��ة

السابقة لها . كما يحتوي هذا الباب أيضا على استنتاج كامل لنظرية المرون��ة

، و توض��يح كي��ف ع��الجت الحرارية المعممة ذات الزمن االس��ترخائي الواحد

أوج��ه القص��ور في النظري��تين الس��ابقتين له��ا . وك��ذلك يحت��وي الب��اب على

استنتاج نظرية المرونة الحرارية ذات درجتي حرارة ، وتوضيح التعديل ال��ذي

حدث في تلك النظرية عما قبلها من تعديل لقانون فوريير للتوصيل الحراري

، حيث اعتمد في ه��ذه النظري��ة على ن��وعين مختلفين من الح��رارة أح��دهما

. حرارة التوصيل ، و األخرى الحرارة الديناميكية

"مسألة في المرونة الحرارية المعممة في بعدين:- الباب الثاني

لنصف فراغ معرض لحرارة من نوع التعلية"

)Two-Dimensional Generalized Thermoelasticity Problem for a Half-

Space Subjected to Ramp-Type Heating(

في هذا الباب, تم ف��رض وس��ط م��رن ذو مع��امالت مرون��ة ثابت��ه يمأل نص��ف

الفراغ و أخذت المعادالت الحاكمة لهذا الوس��ط في ص��ورة نظ��ام مع��ادالت

من نظري��تين في علم المرون��ة وهي نظري��ة المرون��ة الحراري��ة المرتبط��ة و

نظرية المرونة الحرارية المعممة ذات الزمن االسترخائي الواح��د. تم ف��رض

خمول الوس�ط في البداي�ة ومن ثم تم الت�أثير بح�رارة من ن�وع التعلي�ة على

5

السطح العل��وي المالمس للوس��ط. تم اس��تخدام مح��والت البالس و فوري��ير

وفوريير للجيب و لجيب التمام للحصول على الحل بصورة مباش�رة و من ثم

تم ايجاد معكوس محوالت فورييرللجيب و لجيب التمام تحليليا بينما معكوس

محول فوريير و البالس عدديا. تم ع��رض و مناقش��ة الحل��ول بياني��ا م��ع بعض

المقارنات بين النظريتين محل الدراس��ة لتوض��يح أوج��ه االختالف في النت��ائج

بينهم، ولتوضيح تأثير معامل زمن التعلية للحرارة التي تم فرضها على سطح

الوسط.

:- "المرونة الحراريــة المعممــة ذات درجــتي حــرارةالباب الثالث

لوسط غير منتهي يحتوي على فجوة اسطوانية ويتعرض لمصدر

"حراري متحرك

(Two-Temperature Generalized Thermoelastic Infinite Medium with

Cylindrical Cavity Subjected to Moving Heat Source)

في هذا الباب تم بناء نموذج رياضي لوسط مرن متجانس و س��وي الخ��واص

و ممتد إلى ماالنهاية يحتوي على فجوة اسطوانية في سياق نظرية المرون��ة

الحرارية المعممة ذات درجتي حرارة عندما يتع��رض الوس��ط لمص��درحراري

متحرك بسرعة ثابتة بحيث يبدأ من سطح الفجوة وفي اتجاه القطر.وق��د تم

تطبيق صدمة حرارية على س��طح الفج��وة وهي خالي��ة من أي��ة إجه��اد. وبع��د

ذل��ك تم اس��تخدام مح��ول البالس وايج��اد الح��ل في مجال��ه. وفي النهاي��ة تم

ايجاد معكوس محول البالس عدديا كما تم عرض الحلول ومناقشتها بيانيا.

6

الباب األول

مقدمة في نظرية المرونة الحرارية

Introduction to Thermoelasticity Theory

7

نظرية المرونة الخطية:: 1-1

(Theory of Linear Elasticity)

في البداية يجب أن نتعرف على بعض التع�اريف والمف�اهيم الهام�ة وال�تي

تس��تخدم في دراس��ة علم المرون��ة بش��كل ع��ام والمرون��ة الحراري��ة بش��كل

خاص:

(:1-1-1تعريف )

):Elastic body(الجسم المرن

يعرف الجس��م الم��رن على أن��ه الجس��م ال��ذي يتغ��ير ش��كله أو حجم��ه أو

كليهم���ا وه���و م���ا يس���مى بالتش���وه)

Deformation ) [2[, ]13] عند التأثير عليه بقوة خارجية.

(:2-1-1تعريف )

:)Perfect elastic body(الجسم التام المرونة

الجسم الذي يستعيد شكله الطبيعي بالكامل بعد زوال القوى الخارجية هو

.[ 2[, ]13] التي أحدثت له التشوه

(:3-1-1تعريف )

:)Homogenous body(الجسم المتجانس

الجسم المتجانس هو الجسم الذي تكون ك��ل جزيئات��ه له��ا نفس الخ��واص

.[2[, ]13]الفيزيائية

(:4-1-1تعريف )

8

(:Isotropic bodyالجسم سوي الخواص )

الجسم سوي الخواص هو الجسم ال�ذي ال تتغ�ير خواص�ه الفيزيائي��ة بتغ�ير

.[2[, ]13االتجاه أو تغير محاوراالسناد]

(:5-1-1تعريف )

(: The stressاإلجهاد )

يعرف اإلجهاد بأنه القوة المؤثرة على وحدة المساحة من الجسم.

(:6-1-1تعريف )

(: The strainاالنفعال )

هو مقدارالتغيرأوالتشوه الذي يحدث في الجسم نتيجة وجود إجهاد )مقدار

االستطالة كمثال(.

(:7-1-1تعريف )

:الرمز التبادلي

.

9

اثنين األقل على تساوى إذامنهم

التبديالت عدد كان إذافردي

التبديالت عدد كان إذازوجي

(:8-1-1تعريف )

: ( Kronecker delta function )دالة كرونكر دلتا

.

سنقوم اآلن بتوضيح بعض العالقات المهمة والتي سنعتمد عليه�ا في دراس��ة

المرونة الحرارية.

أوال: معادلة الحركة لكوشي )القانون األول للحركة(:

نفترض أن اإلزاحة التي تحدث لجزيئات المادة يمكن التعبيرعنها بالمتجة

ومتجه االنفعال )التشوه( الذي يحدث للمادة يمكن التعبيرعنه بدالل��ة انح��دار

،دال��ة متج��ه اإلزاح��ة ، ويكتب على ص��ورة مركب��ات الممت���دات بالرم�ز

.وتكون مركب�ات اإلجهاد في صورة الممت�دات أيض�ا عل�ى الص�ورة

،S، ويح��اط بالس��طح المغل��ق Vنفترض وجود وسط متص��ل يش��غل الحجم

، ومركب��ات الض��غطول��ه كثافةلوح�دة الكتل��ة ويتأثر ب��القوى الخارجية

10

يمثل متج��ه الوح��دة العم��وديحيث أنعلى هذا السطح هي

على السطح الخارجي للوسط، و معادلة الحركة تكون على الصورة األتية:

. )1.1.1)

دوالوتفاضلها الجزئي من الرتبة األولىوسوف نفترض أن الدالة

، وب��ذلك ف��إن نظري�ة التباع�د لج��اوسVمتصلة ووحيدة القيم��ة على الحجم

يمكن تطبيقها على التكامل السابق فنحصل على:

)1.1.2)

تم اختي���اره عشوائي���ا من وس��ط متص��ل، فإن��ه الVحيث أن عنص��رالحجم

يمكن أن ينعدم وبذلك نحص�ل عل�ى:

)1.1.3)

والمعادل�ة السابق�ة تسم�ى الق���انون األول للح���ركة، وهي معروف��ة ب���اسم

الع�الم ك�وشي.

ثانيا: مركبات اإلجهـاد في الجســم سـوي الخــواص و المتجـانس

:متماثلة

من النظرية الخطية وباستخدام مبدأ العزم الزاوي فإننا نحصل على :11

)1.1.4)

وباستخدام نظرية التباعد لجاوس ومعادلة الحركة لكوشي الس��ابقة نحص��ل

على:

)1.1.5)

و منها نحصل على خاصية التماثل لمركبات اإلجهاد ، أي أن :

)1.1.6)

:)قانون هوك(ثالثا: عالقة اإلجهاد باالنفعال

عندما تتغير المساف�ات البينية لجزيئات وسط متصل فإن ال�وسط في ه��ذه

الح�الة يكون في ح�الة انفع��ال، ويس��مى ه��ذا التغ��ير النس��بي ألوض��اع تل��ك

الجزيئ��ات بالتش��وه، وتك��ون العالق��ة بين االنفع��ال ومركب��ات اإلزاح��ة على

[:13]الصورة

تكون متماثلة، أي أن:ويتضح من العالقة السابقة أن مركبات االنفعال

)1.1.7)

12

والعالقة التي تربط مركبات اإلجهاد ومركب��ات االنفع�ال طبق��ا لق��انون ه��وك

[4: ]يمكن وضعها على الصورة التالية العام لجسم مرن

)1.1.8)

Elastic(، تسمى معامالت المرون��ة للوسطحيث أن المركبات الممتدة

cofficients ):و يجب أن تحقق عالقات التماثل اآلتية ،

و ذل��ك21 معام��ل يمكن أن تختص��رإلى 36ويصل عدد هذه المع��امالت إلى المعرفة كما يلي:Wباالستعانة بالدالة

)1.1.9)

يمكن وض��عهاو عندما يكون الوسط سوي الخ��واص ف��إن المع��امالتعلى الصورة األتية:

على الصورة المختصرة : (Hooke’s law) و بذلك يصبح قانون هوك

)1.1.10)

13

والل��ذين يعرف��ان بمع��امليوالمعادل��ة الس��ابقة تحت��وي على ث��ابتين

Lame's)المرون��ة لالمي Coefficients)ويمكن أن تكتب العالق��ة العكس��ية

كمايأتي:

)1.1.11)

يمك���ن أن تعين بقيم��ة وحي���دةيتض���ح م���ن الع���القتين الس���ابقتين أن

، وحتى تنعدم قيمة االنفعالو فقط عندم�اب�داللة

لقيم اإلجهاد المنتهية يجب أن يتحقق الشرطان:

: أساسيات الديناميكا الحرارية:1-2

(Fundamentals of Thermodynamics)

تعرف الديناميكا الحرارية بأنها فرع من فروع الفيزياء تهتم بدراسة ح��االت

]15 ]المادة عند وجود الحرارة، حيث تلعب درج��ة الح��رارة دورا مهم��ا �, �]

14].

(:1-2-1تعريف )

:)Thermodynamical System (النظام الديناميكي الحراري

14

هو مجموع��ة من الم��واد توض��ع تحت الدراس��ة واالهتم��ام، ومحاط��ة بوس��ط

خارجي. فإذا كان النظام في المرونة الحرارية مثل قضيب أو طبقة أو غالف

يتأثر بقوى خارجية وقد يس��مح أو ال يس��مح بالتب��ادل الح��راري م��ع األوس��اط

الخارجية.

(:2-2-1تعريف )

المغلق) (Open(النظام الديناميكي الحراري المفتوح ):Closeو

(Open)يس��مى النظ��ام مفتوح��ا ) إذا س��مح بانتق��ال الم��ادة، ويس��مى مغلق��ا

Close).إذا لم يسمح بانتقال المادة

(:3-2-1تعريف )

:(The state)الحالة

) حوائ�ط وق�د تك��ون (boundary)هي حالة نظام معروف الخواص والحدود

wallsهي األجزاء التي تحدد النظام والتي يحدث خاللها التبادل الح�راري.(و

(:4-2-1تعريف )

:(Adiabatic System)النظام مانع للحرارة

حين ال يسمح بانتقال الحرارة و فيه(Adiabatic)يسمى النظام مانع للحرارة

حركة.

(:5-2-1تعريف )

15

:(Isolated System)النظام المعزول

إذا ك��ان ال يس��مح بانتق��ال الح��رارة، وليس(Isolated) يسمى النظام معزوال

فيه حركة.

(:6-2-1تعريف )

:(Equilibrium)النظام في حالة اتزان

المتغيرات في النظام مثل الحجم والكتلة تس�مى دال�ة الحال�ة ويعتبرالنظ�ام

إذا كانت متغيراته ال تتعلق بالزمن.( Equilibrium)في حالة اتزان

(:7-2-1 تعريف )

(Reversible:)العملية االنعكاسية

العملية االنعكاسية يكون النظام في حالة اتزان مع الوسط الخ��ارجي ط��وال

. الوقت

(:8-2-1تعريف )

(Irreversible:)العملية غير االنعكاسية

في العملية غيراالنعكاسية )الطبيعية( يكون النظام في حالة عدم ات��زان م��ع

الوسط الخارجي طوال الوقت حيث يتم فقد أو اكتساب الطاقة.

(:9-2-1تعريف )

(: Entropy االنتروبي )

16

تعرف االنتروبي على أنها التعادل الحراري داخل النظام.

تعتم��د دراس��ة المرون��ة الحراري��ة على الق��انون األول والث��اني لل��ديناميكا

:[15[, ]14]الحرارية وهما كما يأتي

First(أوال: القـــــانون األول للـــــديناميكا الحرارية Law of

Thermodynamics:(

, )1.2.1)

تمث�ل الطاق�ةE كمية الح�رارة ، وQ تمثل الشغل المبذول ، وتمثلWحيث

تمثل الطاقة الحركية.Kالداخلية ، و

Second(ثانيـــا: القــانون الثـــاني للـــديناميكا الحراريــة Law of

Thermodynamics(:

نجد أن:( Entropy(من خواص االنتروبي

, )1.2.2)

تمث��ل التغ��يرفي االن��تروبيdeالتغ��يرفي االن��تروبي للنظ��ام ، و تمثل

تمثل التغ��يرفي االن��تروبيdiللنظام نتيجة التفاعل مع المحيط الخارجي، و

للنظام نتيجة للتغيرات التي تحدث داخله.

ال��تي تت��دفق إلى النظ��ام من الوس��طQ ترتبط بكمي��ة الح��رارة deوالكمية الخارجي المحيط له بالعالقة اآلتية:

17

)1.2.3)

تمثل درجة الحرارة المطلقة للنظام. Tحيث

فإنها دائما دالة غيرسالبة كما يأتي:diأما الكمية

(Irreversible) للعملية غيراالنعكاسية

(Reversible) للعملية االنعكاسية

ومنها نجد أن :

(Irreversible) للعملية غيراالنعكاسية

(Reversible) للعملية االنعكاسية

و هذا ما يسمى بالقانون الثاني للديناميكا الحرارية.

: الديناميكا الحرارية لتشكل جسم مرن:1-3

(Thermodynamics for Deformed Elastic Body)

وV وهي ال تعتمد على الزمن و حجمه نفترض أن ال�وسط الم�رن كثافته

بتطبيق ق�انون بق�اء الم�ادة نجد أن:

, )1.3.1)

18

:[16]على الصورة األتية وبذلك نحصل على معادلة االتصال

. )1.3.2)

وباستخدام القانون األول للديناميكا الحرارية نجد أن:

)1.3.3)

تمث��ل الفيض qi ، و لوح��دة الكتل تمث��ل ش��دة المص��در الح��راريQحيث

الحرارة التي تنتقل من خالل الوسط عبر السطح وتعرف على أنها الحراري

تمث��ل وxi المحيط به في وحدة الزمن ووحدة المساحة في اتجاه المحور

تمث��ل تمثل مركبات اإلزاح��ة للوس��ط الطاقة الداخلية لوحدة الكتل,

متجه الوحدة العمودي على السطح و للخارج.

، نحصل على:( 1.3.2)وباستخدام المعادلة

. )1.3.4)

، نحصل على:(1.1.3)باستخدام المعادلة

19

. )1.3.5)

واس���تخدام(1.3.3 )وباس���تخدام نظري���ة التباع��د لج��اوس م���ع المعادل��ة

نصل إلى:( 1.3.5) و (1.3.4)المعادلتين

, )1.3.6)

ويمكن كتابتها كما يأتي:

, )1.3.7)

.[16]والمعادلة األخيرة تسمى قانون الحركة الثاني لكوشي

:[ 16]ويمكننا أن نضع معادالت الحالة لوسط يتبع المرونة الحرارية كمايأتي

)1.3.8)

)1.3.9)

)1.3.10)

)1.3.11)

20

)1.3.12)

دالة تتكون من الطاقة الداخلي��ة للوس��ط واالن��تروبي، وتع��رف كم��اφحيث

يأتي:

. )1.3.13)

.[16[ , ]11 ] (Helmholtz’ function)و تسمى أيضا دالة هيلمهولتز

تأخذ الشكل المختصراآلتي:( 1.3.12)وفي النظرية الخطية ، فإن المعادلة

دوال في الموضع و الحرارة فقط . و وحيث المعامالت

، T,i يجب أن تتغير في نفس الوقت مع تغير إش�ارة qiوحيث أن إشارة

فإن:

.

نحصل على:T و و بذلك لكل قيم

. )1.3.14)

21

والمعادلة األخيرة تسمى بقانون فوريير للتوصيل الحراري ويس��مى المعامل

kij بمعامل التوصيل الحراري)Thermal Conductivity Coefficient).

نظرية المرونة الحرارية غير المزدوجة:1-4

The Theory of Uncoupled Thermoelasticity

في نظرية المرونة الكالسيكية يفترض فيه��ا دائم��ا أن درج��ة ح��رارة الجس��م

تظ��ل ثابت��ة أثن��اء تش��كل الجس��م أو تش��وهه. والتغ��يرالحراري ال��ذي يح��دث

وه��ذه الحرك��ة ال، للجسم يكون ن��اتج من الحرك��ة البيني��ة لجزيئ��ات الجس��م

و بالت��الي ف��إن الجس��م يص��بح في حال��ة إجه��اد. تحت تم��دد،تح��دث بحرية

حراري منتظم لجسم س��وي الخ�واص ف��إذا إفترض�نا عنص��ر حجمي من ه�ذا

موازي للمحاور فإن��هالجسم على شكل متوازي مستطيالت طول حرفه

ولكن ط��ول حرف�ه بعدالتم�دد يتمدد ويظل على شكل مت��وازي مس�تطيالت

وإذا كان التغيرالطفيف في درج��ة ح��رارة الجسميصبح

الحرف( يمكن التعب��يرل فإن التمدد الذي حدث في الجسم )الزيادة في طو

: [16] [,17]عنها كما يلي

22

Thermal للجس��م ) تس��مى معام��ل التم��دد الح��راريحيث expansion

coefficient)وهي تعتم��دعلى ن��وع الجس��م وب��ذلك تك��ون مركب��ات انفع��ال

و الناتجة من التمدد الحراري فقط يمكن كتابتها على الصورة:الجسم

)1.4.1)

وإذا كان التمدد الحادث للحجم )اإلزاح��ة البيني��ة للجزيئ��ات( في حال��ة ثب��وت

درجة حرارة الجسم هو ما يسمى بالتم��دد الم��رن يرم��ز ل��ه بالمركب��ات

فإن االنفعال الكلي الحادث في الجسم يمكن كتابته كما يأتي:

)1.4.2)

حيث أن:

أن مركب��ات االنفع��ال(Neumann) افترض الع��الم نويم��ان م1841وفي عام

بالعالقة : ترتبط بمركبات اإلجهادالمرن

)1.4.3)

23

Lame's) تمث��ل مع��املي المرون��ة لالمي حيث Coefficients)حيث أن

التغير في درجات الحرارة طفيف حتى تظل تلك المع��امالت ثابت��ة، وبالت��الي

نحصل على:(1.4.3(- (1.4.1(من المعادالت

)1.4.4)

حيث يمكن كتابة العالقة السابقة بطريقة أخرى كما يأتي:

)1.4.5)

حيث

Duhamel-Neumann) تس��مى بق��انون ديوهام��ل و نويم��ان1.4.5))و العالق��ة

law) ثم أع��اد نويم��انم1838، حيث تم استنتاجه�ا بواس��طة ديوهام��ل ع��ام

.[17[, ]16 ]استنتاجها بطريقة مختلفة بع�د ذلك

بالتعويض من المعادلة السابقة في قانون الحركة:

)1.4.6)

فإننا نحصل على:

)1.4.7)

24

يمكن كتابتها كما(� 1.4.5)و إذا كان الجسم غيرسوي الخواص فإن المعادلة

يأتي:

)1.4.8)

(.Elastic Coefficient تسمى معامالت المرونة للمادة )حيث

نحصل على:(1.4.6) في المعادلة (1.4.8)و بالتعويض من المعادلة

)1.4.9)

و إذا كان الوسط متجانسا فإن المعادلة السابقة تصبح على الصورة:

)1.4.10)

وسوف نقوم اآلن بإيجاد معادلة تحققها درجة الحرارة، ولذلك سوف نفترض

. الف��رق بين درج��تيS مح��اط بس��طح خ��ارجي مغل��ق Vجس��م ل��ه الحجم

الحرارة بين نقطتين من هذا الجس��م ناتج��ة من الفيض الح��راري على ه��ذا

الحجم، وإذا كانت كمية الحرارة المتدفقة على هذا الجسم في وحدة الزمن

ع�بر الس�طح المغل�ق المحي�ط بالجس�م لوح�دة المس�احة العمودي�ة على المح�ور

]16] هي فإن قانون فوريير للتوص�يل الح�راري يك�ون على[17[,�

الصورة:

)1.4.11)

25

يسمى معامل التوصيل الحراري ، وهو يعتمد على نوع المادة.kحيث الثابت

فإن كمية الح��رارة المتدفق��ة خالل ف��ترة زمنيةعبر عنصر مساحة

تساوي:

)1.4.12)

مح��اط بس�طح خ�ارجيواآلن سنقوم بدراسة االتزان الح�راري في حجم

ويمثل جزءا من الجسم األصلي . كمية الحرارة المتدفقة خالل هذامغلق

تعطى بالعالقة األتية: السطح في فترة زمنية صغيرة

)أي أن المص��در الح��راري يول��د كمي��ةQوإذا كان هناك مصدرحراري ش��دته

في وحدة الزمن لوحدة الكت��ل( فإن��ه ي��ؤثر داخ��ل الجس��م،Qحرارة تساوي

وب��ذلك ف��إن كمي��ة الح��رارة الناتج��ة عن ه��ذا المص��در الح��راري تعطى على

الصورة:

و بالتالي تكون كمية الحرارة الكلية هي:

26

و يمكن تعيين نفس كمية الحرارة للجسم بحساب فرق درجات الحرارة في

كما يأتي: خالل الفترة الزمنيةالمنطقة

للجسم عند ثبوت تمثل الح�رارة الن�وعيةتمثل كثاف�ة الجسم وحيث

االنفعال )أي كمية الحرارة الالزمة لرفع درجة ح�رارة الجسم بمقدارالوح��دة

لوحدة الكتل عند ثبوت االنفعال( ومن ثم:

و بذلك نستنتج أن :

و باستخدام نظرية التباعد لجاوس في التكامل السابق نحصل على:

)1.4.13)

. و هي تمثل معادلة االنتشار الحراري

Fourier’s)و في حالة الجسم غيرسوي الخ��واص يك��ون ق��انون فوري��ير law)

للتوصيل الحراري على الصورة األتية:

27

)1.4.14)

إلى الصورة :(1.4.13)و تتحول المعادلة

)1.4.15)

إن المع�ادالت األس�اسية لنظرية المرونة الح���رارية غ��ير الم���زدوجة تتك��ون

ذلك في حالة الجسم سوي الخ��واص(و1.4.13 ) و(1.4.7 )من المع�ادلتين

و ذل��ك في(�� 1.4.15( و )1.4.9)و المتج��انس بينم��ا تتك��ون من المع��ادلتين

.حالة الجسم غيرسوي الخواص وغير المتجانس

)كم��ا ن��رى أن كال من زوجي المع��ادالت غيرمزدوج��ة ، حيث أن المع��ادلتين

ال تحتويان على أي حد يمث��ل المرون��ة ، فهي مج��رد(� 1.4.15( و)1.4.13

مع��ادالت ح��رارة فق��ط ، و يمكن إيج��اد الح��ل الع��ام له��ا بش��كل منف��ردعن

اليمكن(1.4.7( و )1.4.9)المعادلة المصاحبة لها، وكذلك أي من المعادلتين

حل أي واحده منهما إال إذا كانت دالة الح��رارة معلوم��ة ومن ثم يمكن إيج��اد

دالة اإلزاحة.

والواقع أن هذه المعادالت تتع��ارض م��ع الس��لوك الفيزي��ائي للم��واد المرن��ة،

حيث أن التغيرفي درجات الحرارة ينتج عنه تغير في انفعال المادة و العكس

.

28

و من جانب آخر فإن هذه المعادالت تعني أن التأثير الحراري يمكن أن يصل

إلى ما ال نهاية في نفس اللحظة التي بدأ فيه��ا ه��ذا الت��أثير، وه��ذا أيض��ا يع��د

تناقضا فيزيائيا لخواص المادة المرنة حيث أن تقدم سرعة الموجه الحراري��ة

يجب أن تنعدم على مسافة وزمن كبيران نسبيا عن مكان و لحظة التأثير.

نظرية المرونة الحرارية المزدوجة: 1-5

Theory of Coupled Thermoelasticity

في حالة ما قبل التشوه وعدم وجود و كثافته Vنفترض أن حجم الجسم

أي إجهاد على السطح الخارجي للمادة وكذلك درجة حرارت��ه ثابت��ة وتس��اوي

.

عندما ن��ؤثر على الجس��م بتحمي��ل خ��ارجي وفي وج��ود مص��در ح��راري ف��إن

وبالت��الي ت��زداد قيم��ة، وتبدأ الجزيئات في التح��رك،الجسم يبدأ في التشوه

وتص��بح الزي��ادة في، وترتف��ع معه��ا درج��ة حرارةالجسم،مركبات اإلزاحة

بحيث تحق��ق ه��ذه الزي��ادةهذه الحرارة عن حرارة الجس��م هي

.[11] الشرط

نحصل على:(1.3.13( و )1.3.7)ومن المعادلتين

, )1.5.1)

29

وباستخدام قاعدة السلسلة نجد أن:(1.3.11)و من معادلة الحالة

. )1.5.2)

و بالمقارنة بين المعادلتين السابقتين نجد أن:

)1.5.3)

)1.5.4)

)1.5.5)

. )1.5.6)

نحصل على العالقة:( 1.5.6) و (1.5.4)و باستخدام المعادلتين

. )1.5.7)

للمرونة الحرارية على الصورة: و بوضع مفكوك دالة الجهد

30

)1.5.8)

تمثل طاقة الوضع في حال��ة الثب��ات في الوض��ع الط��بيعي للجس��م،حيث

تمثل كلها دوال في الموضع فقط .والمعامالت

في و حيث أن طاقة الجسم تتالشى عن��دما تنع��دم المركب��ات

.نفس الوقت فإن المعامالت

و بذلك نحصل على:

)1.5.9)

نحصل على :(1.5.3)و باستخدام المعادلة

)1.5.10)

و هي تمث��ل مجموع���ة المع���ادالت المكمل��ة لنظري��ة المرون��ة الح���رارية

)مع��ادالت اإلجه���اد( وهي متحقق���ة للجس���م س��وي الخ��واص وغيرس��وي

Duhamel-Neumann)الخ��واص وه��ذه تس��مى معادل���ة ديوهام��ل ونويم��ان

equation)تس��مى مع��امالت المرون��ة والمع��امالت، والمع��امالت

[.11 ]( Thermal Expansion Coefficientsتمثل معامالت التمدد الحراري)

31

و حيث أن مركبات كل من اإلجه��اد واالنفع��ال متماثل��ة إذن الب��د و أن تك��ون

معامالت المرونة والتمدد الحراري أيضا متماثلة وبالتالي نحصل على:

و

)1.5.7)و باستخدام المعادالت ومعادلة فورييرللتوصيل الح��راري(1.5.9(,�

نحصل على الصورة األتية:

)1.5.11)

والمعادلة السابقة تم وضعها على الصورة الخطية باستبدال دالة الحرارة

.بالحرارة الثابتة

ال تعتم��دعلى يمكن أن نق��ول أن الطاق��ة ال���داخلية(1.3.9)من المعادل���ة

ومنها نحصل على:

. )1.5.12)

(1.5.12)مع المعادلة (� 1.5.9(, )1.5.4(, )1.3.13)و باستخدام المعادالت

نحصل على:

)1.5.13)

32

)1.5.14)

وو لكي تكون المعادلة السابقة في ص��ورة خطي��ة يمكن ف��رض أن

بذلك نحصل على:

. )1.5.15)

نجد أن:( 1.5.15( و )1.5.11)من المعادلتين

. )1.5.16)

و في حالة الجسم سوي الخواص يمكن أن نعوض بالمعامالت كما يأتي:

. و

و منها نحصل على صورة المعادلة الحرارية في حالة الجسم سوي الخ��واص

كما يأتي:

. )1.5.17)

المعادل��ة تص��بحو في حالة إذا كان معامل التوصيل الح��راري ث��ابت

السابقة كما يأتي:

33

. )1.5.18)

على الصورة:(1.5.10)و في حالة الجسم سوي الخواص تصبح المعادلة

)1.5.19)

تمثل معامل التمدد الحراري. و حيث

(1.5.10)و لكي نجد معادلة تحققه�ا مركب��ات اإلزاح�ة نع�وض من المعادل�ة

فنحص��ل على معادل��ة الحرك��ة للجس��م المتج��انس(1.1.3)في المعادل��ة

وغيرسوي الخواص على الصورة:

)1.5.20)

:و في حالة الجسم سوي الخواص تصبح المعادلة السابقة على الصورة

)1.5.21)

المع��ادالت األساس��ية لنظري��ة المرون��ة الحراري��ة المزدوج��ة تتك��ون من

للجس���م غ���ير س���وي الخ���واص، ومن(1.5.16) و(1.5.20)المع���ادلتين

للجسم سوي الخواص.(1.5.21) و(1.5.17)المعادلتين

ويتض��ح من أي زوج من تل��ك المع��ادالت أنه��ا مرتبط��ة، و به��ذا تم عالج أح��د

القصور الموجود في النظري��ة غ��ير المزدوج��ة، حيث أص��بح للت��أثير الح��راري

عالقة بالتأثير الميكانيكي، ومع ذلك مازال هناك عيب في تلك المع��ادالت لم34

(هي1.5.17( )1.5.16)تعالجه هذه النظرية، وهوأن المعادلتين الح�راريتين

ومن( parabolic partial differential equation)معادالت تفاضلية جزئية مكافئة

سمات الحل لهذا النوع من المعادالت أنه إذا حدث تغير ما في حالة الجس��م

عند أي نقطة منه ف�إن ه�ذا التغ�ير يص�ل في نفس اللحظ�ة إلى م�ا ال نهاي�ة

وهذا يتناقض مع السلوك الفيزيائي للمواد ، حيث أن الموج��ات ال��تي تح��دث

في المادة س��واء ك��انت حراري��ة أو ميكانيكي��ة يجب أن تك��ون ذات س��رعات

منتهية أو محدودة .

لذا كان يجب إيجاد نوع آخرمن المعادالت لتالفي هذا العيب، وهوما تم فعليا

في نظرية المرونة الحرارية المعممة. وعلى ال��رغم من أن نظري��ة المرون��ة

الحرارية المزدوجة تتن��اقض م��ع ف�روض الفيزي�اء فق��د ظه�ر له�ا العدي��د من

التطبيقات التي استندت إليها النظرية، وعلى سبيل المث��ال ال الحص��ر إثب��ات

، وك��ذلك مب��دأ(Weiner[)18] وحدانية الحل له��ذه النظري��ة على ي��د فين��ير

وقام(� .Nickell and Sackman) [19]التغيرعلى يد كل من نيكل وساكمان

وكذلك أوجد الحل بحل مسألة صدمة حرارية(� Hetnarski) [20]هيتنارسكي

]و الح��ل األساس��ي للمس��ألة في [�� 21] فيبواسطة متسلسلة من ال��دوال

22.]

و من ال��ذين ش��اركوا بابح��اثهم في نظري��ة المرون��ة الحراري��ة المزدوج��ة

(Takeuti)ت��اكيوتي ) و[24(]Nowacki) ون��واكي ]23[ (Ignaczak)آيجن��ذاك

و لقد قام هؤالء العلماء بحل مسائل مختلفة وTanigawa[ ( )25])وتانيجاوا

35

]Hetnarski )وهيتنارس��كي (�� Bahar)متنوعة. و ك��ذلك ق��ام ) باه��ار �)26)]

بينهما.بتطوير الحل باستخدام طريقة فضاء الحالة في البحث المشترك

ــزمن االســترخائي1-6 : نظرية المرونة الحرارية المعممة ذات ال

الواحد

Theory of Generalized Thermoelasticity with One Relaxation Time

كما ذكرنا عند عرض النظريتين السابقتين أن هناك عيبا رئيسيا فيهم��ا، وه��و

أن الحل الذي ينتج عن المعادالت الحاكمة لكلت��ا النظري��تين ينتش��ر بس��رعة

غير منتهية عند تزايد الموجة الحرارية مم�ا يتن��اقض م��ع الس��لوك الفيزي��ائي

للمواد، وهذا العيب يتضح جليا في ذات المعادالت.

Lord) [8] قام العالم�ان ل�ورد و ش�ولمانم1967في عام and Shulman)

بتطوير نظرية الم�رونة الح���رارية بم��ا يس��مى بالص��وت الث��اني في الم���واد

ا س��ميت )نظري��ة المرون��ة الحراري��ة المعمم��ة ذات ال�زمن���الصلبة، وهي م

Dhaliwal and[� )10]االسترخائي الواحد(. ثم قام العالمان داليوال وشريف

Sherief ��)بتعميم هذه النظرية لتشمل الوسط غيرس��وي الخ��واص. و ق��د تم

تعديل قانون فوريير للتوصيل الحراري إلثبات تلك النظري��ة وس��مي )ق��انون

فوريير المعدل للتوص��يل الح��راري(. وفي معظم الح��االت ال�تي يك��ون فيه��ا

الوسط غيرسوي الخواص، فإن معادلة الحالة التي تربط اإلجهاد واالنفعال و

الحرارة تكون على الصورة:

)1.6.1)

36

Couplingتمثل مع��امالت االرتب��اط )حيث parameter و )θتمث��ل الزي��ادة

الصغيرة في درجة الحرارة.

والقانون األول للديناميكا الحرارية يمكن و ضعه كما يأتي:

)1.6.2)

وSعنصرا عشوائيا من حجم المادة ومحاط بس��طح مغل��ق Vحيث

ρ تمثل الطاق��ة الداخلي��ة لوح��دة الكت��ل، وUتمثل مركبات متجه السرعة ، و

تمثل مركبات متجه القوى Fi تمثل كثافة المادة وهي ال تعتمد على الزمن و

تمث��ل تمث��ل متج��ه الفيض الح��راري ، والخارجي��ة لوح��دة الكت��ل، و

مركبات متجه الوحدة العمودي على السطح و للخارج .

وباستخدام نظرية التباعد لجاوس و معادلة الحركة:

)1.6.3)

وباستخدام التماثل نجد أن:

)1.6.4)

على المعادلة:(1.6.2)فإننا نحصل من المعادلة

37

)1.6.5)

و باستخدام معادلة االنتروبي و التي على الصورة:

)1.6.6)

تمثل درجةT0 حيث T0+ θ تمثل درجة الحرارة المطلقة ، و تساوي Tحيث

حرارة الجسم وهي ثابتة.

نحصل على:(1.6.6)و ( 1.6.5)ومن المعادلتين

وباستخدام قاعدة السلسلة يمكن كتابة المعادلة السابقة كما يأتي:

)1.6.7)

يجب أن يك��ونdηو من الق��انون الث��اني لل��ديناميكا الحراري��ة ف��إن المق��دار

وبذلك نحصل على: eij و T تفاضله كلية في

)1.6.8)

)1.6.9)

38

وباستخدام إحدى خ��واص التفاض��ل الج��زئي لل��دوال المتص��لة حيث العالق��ة

اآلتية تتحقق:

نصل إلى المعادلة اآلتية:(1.6.9) و(1.6.8)و كذلك باالستعانة بالمعادلتين

)1.6.10)

نحصل على:(1.6.7) في المعادلة (1.6.10)و بالتعويض من المعادلة

)1.6.11)

نفرض أن :

)1.6.12)

وهي تمثل الح��رارة النوعي��ة لوح��دة الكت��ل في غي��اب االنفع��ال وفي درج��ة

.(T=T0) حرارة قريبة جدا من درجة حرارة الجسم

و بع�د إج�راء ،(� 1.6.11) في المعادل��ة (1.6.12)ب�التعويض من المعادل�ة

التكامل نحصل على:

39

)1.6.13)

و T=T0 عن��دما η=0 سوف نختار الثابت بحيث يجعل(1.6.13)في المعادلة

eij=0.

على الصورة اآلتية:(1.6.13)و بذلك تصبح المعادلة

)1.6.14)

log بإيج��اد مفك��وك الدالة (1+θ/To)كمتسلس��لة ق��وى في المق��دار θ/To ،

وإهمال المقادير التي لها أس أكبرمن واحد نحصل على:

)1.6.15)

في الصورة الخطية كما يأتي:(1.6.6)و يمكن وضع المعادلة

)1.6.16)

فإننا نحصل على :( 1.6.15)وباستخدام المعادلة

)1.6.17)

وسوف نفترض اآلن الصورة العامة لق��انون فوري��ير للتوص��يل الح��راري في

[:27]الصورة اآلتية

40

)1.6.18)

Relaxation يمثل ال��زمن االس��ترخائي)حيث timeويعتم��د على خ��واص )

المادة.

))و بحساب التباعد لجاوس للمعادل��ة الس��ابقة والتع��ويض ب��ه في المعادل��ة

نصل إلى المعادلة :1.6.17

)1.6.19)

نعوض من المعادلة ui و للحصول على معادلة تحققها مركبات متجه اإلزاحة

و باستخدام تعريف االنفعال:(1.1.3)في المعادلة ( 1.6.1)

, )1.6.20)

نحصل على المعادلة :

)1.6.21)

و(1.6.19)و في حالة الجسم المتجانس والسوي الخواص تأخذ المعادلتان

الشكل اآلتي:(1.6.21)

)1.6.22)

41

)1.6.23)

حيث

والمعادالت السابقة تكتمل بمعادلة اإلجهاد اآلتية :

. )1.6.24)

والمع��ادالت األساس��ية لنظري��ة المرون��ة الحراري��ة المعمم��ة تتك��ون من

للجس���م غ���ير المتج���انس وغيرس���وي(1.6.21)و(��� 1.6.19)المع���ادلتين

للجسم المتجانس وس��وي(1.6.23) و (1.6.22)الخواص ، ومن المعادلتين

الخواص.

ويتضح من ذلك أن أي زوج من تلك المع��ادالت مرتبط��ة ، و به��ذا تم عالج

أح��د القص��ور الموج��ود في النظري��ة غ��ير المزدوج��ة ، حيث أص��بح للت��أثير

الح��راري عالق��ة بالت��أثير الميك��انيكي . أم��ا العيب الث��اني ال��ذي ظه��ر في

النظريتين السابقتين و هو أن المعادلة الحرارية معادل��ة تفاض��لية جزئي��ة من

فإن المعادلة الحرارية(parabolic partial differential equation)نوع المكافئ

في ه��ذه النظري��ة س��واء ك��انت للجس��م المتج��انس أو غ��ير المتج��انس هي

Hyperbolic)معادلة تفاض��لية جزئي��ة من الن��وع الزائ��دي partial differential

equation). تتنبأ بقيمة منتهية لسرعة تقدم موجة الحرارة

في عام(Lord and Shulman[� )8]بداية من عمل كل من لورد و شولمان

م ، ف��إن الكث��يرمن الم��ؤلفين س��اهموا في نظري��ة المرون��ة الحراري��ة196742

المعممة ذات الزمن االس��ترخائي ال���واحد . تم إثب��ات وح���دانية الح���ل تحت

و(� Ignaczak[� )28[,]27] في (Ignaczak)ش�روط مختلفة على يد آيجناذاك

)29]شريف ودالي��وال �]Sherief and Dhaliwal �)[ 30و ش��ريف](Sherief).

[)31]طريقة فض��اء الحال���ة تم تطويره���ا بواس��طة ك���ال من أن��ور و ش��ريف

Anwar and Sherief ��)لمس��ألة في بع��د واح��د ل���وسط يحت��وي على مص��در

)32]حراري و شريف �]Sherief)لع�دة مس�ائل تحتوى على ع�دة مص��ادر

Sherief) [33]حراري�ة . شريف و أن�ور and Anwar �)قاما بتط�وير طريق�ة

تم حل العديد من التطبيقات بواسطة أن��ور فضاء الحالة لمسألة في بعدين ،

و شريف(Sherief) [35] وشريف [� 34] في(Anwar and Sherief)و شريف

Sherief)و أنور and Anwar) [)42]و ش�ريف وع�زت [41[–]36] فيSherief

and Ezzat)[ 43 و شريف و حمزة](Sherief and Hamza . )

(El-Bary)وعب��د الب��اري (� El-Magraby) م��ع المغ�ربي (Youssef)قام يوسف

بح��ل العدي��د من التطبيق��ات على نظري��ة المرون��ة الحراري��ة المعمم��ة ذات

. [50[ –]44]الزمن االسترخائي الواحد وذات الزمنين االسترخائيين

: نظرية المرونة الحرارية المعممة ذات درجتي حرارة1-7

Theory of Two-Temperature Generalized Thermoelasticity

) [51] قام ش��ين و ج��ورتنم1968في عام Chen and Gurtin)بوض��ع

نظري��ة للتوص��يل الح��راري لألجس��ام المرن��ة ، و ال��تي تعتم��د على ن��وعين

)مختلفين من درج��ات الح��رارة األولى تس��مى درج��ة الح��رارة الموص��لة

43

Conductive temperatureوالثاني��ة تس��مى درج��ة الح��رارة الديناميكية ،)(

Thermo dynamic temperatureعن��دما تك��ون حال��ة الجس��م مس��تقلة عن .)

ال��زمن، ف��إن الف��رق بين درج��تي الح��رارة الس��ابقتين يتناس��ب م��ع اإلم��داد

الحراري للجسم ، وفي غياب ه��ذا اإلم��داد الح��راري ينع��دم ه��ذا الف��رق بين

درجتي الحرارة. ثم بين شين بعد ذلك أن هذا الفارق يظل موجودا حتى في

عند اعتماد الجسم على الزمن.

(Warren and Chen ) [52[� ,� ]53] قام ڤارين و شينم1973وفي عام

بدراس��ة التق��دم الم��وجي لوس��ط تحت ض��وء نظري��ة المرون��ة الحراري��ة

المزدوجة في حال��ة وج�ود درج��تي الح��رارة للوس��ط ولم يح��دث أي تط��وير

)12]، حيث ق��ام يوسفم 2006له��ذه النظري��ة ح��تى ع��ام �]Youssef)

باستنتاج المعادالت الحاكمة لوسط مرن تحت ضوء نظرية المرونة الحرارية

المعممة ذات الزمن االسترخائي الواحد، وفي وجود درجتي الحرارة السابق

ذكرهما مع إثبات وحدانية الحل لهذه النظرية.

و يمكن إيج��اد المع��ادالت الحاكم��ة له��ذه النظري��ة بتع��ديل ق��انون فوري��ير

[:12 لتصبح كما يأتي](1.6.18)للتوصيل الحراري في المعادلة

)1.7.1)

تمث��ل ح��رارة التوص��يل في يمثل معام��ل التوص��يل الح��راري، وحيث

الوسط وهي تحقق العالقة اآلتية:

44

)1.7.2)

(The two- temperature parameter) يسمى معامل درجتي الحرارة

تتحول إلى الصورة: (1.6.19)و بهذا التعديل فإن معادلة الحرارة

)1.7.3)

تظ��ل كم��ا هي حيث تعتم��د على الح��رارة(�� 1.6.21)و معادل��ة الحرك��ة

الديناميكية وهي كما يلي:

)1.7.4)

و في حالة الجسم سوي الخواص والمتجانس فإن المعادالت الس��ابقة تأخ��ذ

الشكل اآلتي:

)1.7.5)

, )1.7.6)

حيث

45

و كذلك المعادلة المكملة للنظ��ام وهي تمث��ل معادل��ة اإلجه��اد ، تعتم��د أيض��ا

على الحرارة الديناميكية للوسط وتكون على الصورة االتية:

)1.7.7)

46

الثاني الباب

مسألة في المرونة الحرارية المعممة في بعدين لنصف فراغ معرض لحرارة من نوع

التعلية

Two-Dimensional Generalized Thermoelasticity

Problem for a Half-Space Subjected to Ramp-

Type Heating

47

المقدمة:2-1

Introduction)

(

في هذا الباب, تم ف��رض وس��ط م��رن ذو مع��امالت مرون��ة ثابت��ه يمأل نص��ف

الفراغ و أخذت المعادالت الحاكمة لهذا الوس��ط في ص��ورة نظ��ام مع��ادالت

ع��ام يش��مل نظري��تين في علم المرون��ة وهي نظري��ة المرون��ة الحراري��ة

المزدوج��ة و نظري��ة المرون��ة الحراري��ة المعمم��ة ذات ال��زمن االس��ترخائي

الواحد. تم فرض خمول الوسط في البداية وبعد ذلك تم الت��أثير بح��رارة من

ن��وع التعلي��ة على الس��طح العل��وي المالمس للوس��ط. تم اس��تخدام مح��ول

البالس و فوريير وفوريير للجيب و لجيب التمام للحصول على الح��ل بص��ورة

مباش��رة و من ثم تم ايج��اد معك��وس مح��ول فوري��يرللجيب و لجيب التم��ام

تحليليا بينما معكوس محول فوري��ير و البالس ع��دديا . تم ع��رض و مناقش��ة

الحلول بيانيا مع بعض المقارنات بين النظريتين محل الدراسة لتوضيح أوج��ه

االختالف في النتائج بينهم وأيضا لتوضيح ت��أثير معام��ل زمن التعلي��ة للح��رارة

التي تم فرضها على سطح الوسط.

صياغة المعادالت األساسية:2-2

Baisc equations and formulation ( (

( للجس��م المتج��انسCTEفي س��ياق نظري��ة المرون��ة الحراري��ة المرتبط��ة )

[:-54وسوي الخواص تكون المعادالت الحاكمة للوسط على الصورة اآلتية ]

48

)2.1)

, )2.2)

. )2.3)

( المط��ورة بواس��طةGTEوفي سياق نظري��ة المرون��ة الحراري��ة المعمم��ة )

لورد و شولمان للجسم المتجانس وسوي الخ��واص تك��ون معادل��ة التوص��يل

( على الصورة اآلتية:-2.2الحراري )

)2.4)

( بنفس الصورة دون تغيير.2.3( و)2.1بينما تظل المعادلتين )

[.54 ](عندما نضع 2.2(تكافئ المعادلة )2.4حيث أن المعادلة )

صياغة المسألة:2-3

(Formulation of the problem)

بحيث يك��ون الس��طح العل��وينفرض وسط مرن يمأل نص��ف الف��راغ

متأثرا بتحميل حراري أو تحميل ميكانيكي أوكالهماالمالمس للوسط

. يف��ترض أنحيث y و اإلح��داثي tبش��كل يعتم��د على ال��زمن

49

يكون الجسم في البداية في حالة خمول وال يوج��د ت��أثير ب��أي ق��وى خارجي��ة

[.54)قوى حجمية( كما ال يوجد أي مصدر حراري داخله ]

طبقا للفروض السابقة فإن مركبات اإلزاحة تكون على الصورة التالية:

, , .

حيث أن:

( نحصل على المعادلة التالية:2.4من المعادلة )

. )2.5)

وتحقق أيضا أن : وتحقق الشرطحيث

نحصل على المعادالت التالية:(2.1(و من المعادلة

50

)2.6)

)2.7)

( نحصل على عالقات اإلجهاد على الصور التالية:3. 2ومن المعادلة )

, )2.8)

, )2.9)

, )2.10)

, )2.11)

. )2.12)

حيث أن:

.

51

وللتبسيط س��يتم تغي��ير المتغ��يرات ال��تي في المع��ادالت الس��ابقة باس��تخدام

[:-54المتغيرات الالبعدية اآلتية ]

, ,

, .

و تمثل وتمثل سرعة الموجه الطولية و حيث

معامل اللزوجة الحرارية.

( تصبح على2.12(-)2.5وباستخدام العالقات السابقة فإن المعادالت )

الصورة:

, )2.13)

)2.14)

)2.15)

52

)2.16)

, )2.17)

, )2.18)

. )2.19)

حيث أن:

. و

( الموجودة فوق المتغيرات و ذلك للتبسيط.primeو قد تم حذف الشرطة )

الصياغة في مجال محول البالس:2-4

(Formulation in the Laplace transform domain)

يعرف محول البالس و الذي يستخدم عادة في تحوي��ل ال��دوال ال��تي تحت��وي

على الزمن كما يلي:

,

53

( تتحول المعادالت إلى2.19(-)2.13بتطبيق محول البالس على المعادالت )

الصورة التالية:

, )2.20)

)2.21)

)2.22)

)2.23)

, )2.24)

, )2.25)

. )2.26)

الصياغة في مجال محول فوريير:2-5

54

(Formulation in the Fourier transform domain)

[:54يعرف محول فوريير األسي كما يلي ]

,

حيث

[:54و يعرف معكوس تحويل فوريير األسي كما يلي ]

.

و يحقق التحويل الخواص التالية:

,

.

(-)2.20بتطبيق التحويل السابق تعريفه وهو فوريير األسي على المعادالت )

( تتحول المعادالت إلى الصورة اآلتية:2.26

55

)2.27)

)2.28)

)2.29)

)2.30)

)2.31)

)2.32)

)2.33)

الصياغة في مجال محول فوريير للجيب وجيب التمام:2-6

( Formulation in the cosine and sine Fourier transform domain)

يعرف محول فوريير لجيب التمام كما يلي:

56

,

حيث يكون التحويل العكسي له على الصورة:

.

كما يعرف تحويل فوريير للجيب على الصورة:

,

و يكون التحويل العكسي له كما يلي:

.

و يحقق التحويالن العالقات التالية:

,

,

57

.

( نحص��ل على المع�ادالت2.33(-)2.27و بتطبيق ما س��بق على المع��ادالت )

التالية:

)2.34)

, )2.35)

)2.36)

حيث أن:

, ,

, .

( نحصل على:2.36(-)2.34و بحل المعادالت )

58

, )2.37)

, )2.38)

, )2.39)

حيث أن:

,

,

,

,

,

59

,

,

,

,

,

,

,

,

تعرف كما يلي:حيث

60

,

,

,

حيث أن:

,

.

ايجاد معكوس محوالت فوريير للجيب وجيب التمام:2-7

(The inversion of the cosine and sine Fourier transforms)

باس��تخدام معك��وس مح��والت فوري��ير للجيب و جيب التم��ام للمع��ادالت )

[:54( نحصل على المعادالت اآلتية ]2.39(-)2.37

, )2.40)

61

, )2.41)

. )2.42)

[:54و اآلن يمكن استخدام العالقتان المشهورتان التاليتان ]

,

.

و بذلك نحصل على المعادالت التالية:

, )2.43)

)2.44)

. )2.45)

)2.30و بالتعويض في المعادالت ) �– ( نحص��ل على عالق�ات اإلجه�اد2.33(�

كما يلي:

62

)2.46)

)2.47)

)2.48)

)2.49)

المعادالت الس��ابقة تمث��ل الح��ل الع��ام في مج��ال مح��ولي البالس و فوري��ير

وال��تي تمث��ل , , األسي و ه��ذا الح��ل يعتم��د على قيم الكمي��ات

.الشروط الحدية على السطح المالمس للوسط عند

التطبيق:2-8

Application( (

63

اليجاد الحلول النهائية يجب تطبيق الش��روط الحدي��ة المناس��بة للوس��ط كم��ا

الذي يشغله الوسط الم��رنذكرنا سابقا لذلك سنفرض أن نصف الفراغ

[:54يعرف على الصورة ]

.

( يتأثر حراريا بحرارة من نوع التعلية بحيث تعتمدx = 0سنفرض أن السطح )

كما يلي:y و المسافة tعلى الزمن

, )2.50)

دال��ة التعلي��ةوتعرف كم��ا ي��أتي وyأي دال��ة في المتغ��يرحيث

Ramp-type) Function) [54]-:

, )2.51)

باراميتر يدل على طول الف��ترة الزمني��ة ال��تي تم خالله��ا رف��ع درج��ةt0حيث

ثابت.الحرارة و

بتطبيق محولي البالس و فوريير األسي على المعادلة السابقة نحصل على:

, )2.52)

64

حيث

.

أي أنالتعتم��دعلى المس��افة على الس��طح نف��رض مركب��ة اإلزاحة

و أن ه��ذا الس��طح متص��ل بس��طح ص��لب بم��ا يكفي لمن��ع

, أي أنy و على أي��ة مس��افة t وذلك عند أي��ة لحظ��ة زمني��ة حدوث اإلزاحة

.

بتطبيق محولي البالس و فورييراألسي نحصل على:

, )2.53)

. )2.54)

( نحص��ل على الح��ل في مج��ال2.54(-)2.52و بتطبيق الش��روط الس��ابقة )

محولي البالس و فوريير األسي كما يلي:

, )2.55)

, )2.56)

65

, )2.57)

)2.58)

)2.59)

)2.60)

)2.61)

حيث أن:

66

,

,

,

,

,

,

,

,

,

67

,

,

,

.

التحويل العكسي لمحولي البالس و فوريير األسي:2-9

The inversion of Laplace and Fourier transforms( (

الس��ابق تعريف��ه يجب عم��ل التحوي��لإليجاد الحل النهائي في المج��ال

]2.61(-)2.55العكسي لمحولي البالس و فوريير األس��ي للمع��ادالت ) �)

54.]

في البداية نقوم بعم��ل التحوي��ل العكس��ي لمح��ول فوري��ير األس��ي لدال��ة

باس��تخدام الص��ورة ] حتى نحص��ل على الدالة

55.]

)2.62)

68

تمثالن الجزء الزوجي والجزء الفردي للدالة

على الترتيب وقد أمكن ايجاد هذا التكامل عدديا في نفس البرنامج الذي قام

.بعمل التحويل العكسي لمحول البالس باستخدام لغة الفورتران

وإليجاد محول البالس العكسي س��وف نس��تخدم طريق��ة عددي��ة تعتم��د على

تمث��ل[.بهذه الطريقة ف��إن الدالة55مفكوك متسلسلة فوريير ]

والتي يمكن تقريبها كما يلي: التحويل العكسي للدالة

)2.63)

عدد صحيح كبير بما فيه الكفاية ، وهو يمثل ع��دد الح��دود الم��أخوذةNحيث

يمثل عددا موجبا ص��غيرا ويع��بر عن درج��ة الدق��ة1من متسلسلة فوريير و

المطلوبة في التقريب بحيث تحقق الشرط اآلتي:

, )2. 64)

69

��ل النق��اط الش��اذة في الدال��ةc و بارامترموجب أكبرمن الج��زء الحقيقي لك

ل علي��ه طبق��ا لبعض والخي��ار األمث��ل له��ذا الب��ارميتر حص��

وق��د تم اس��تخدام لغ��ة الف��ورتران إليج��اد الح��ل].55[المعاييرالموجودة في

العددي لمعكوس محول البالس.

النتائج العددية و المناقشة:2-10

Numerical results and discussion( (

إليجاد الحل في الصورة النهائية لم يتبقى سوى تحديد شكل الدال��ة

لذلك تم فرضها على الصورة:

)2.65)

تمث��ل دال��ة الخط��وة ذات الوح��دة وتس��مى دال��ة هيفيس��يدحيث

((Heaviside unit step function.

:و بعد استخدام محول فوريير األسي تصبح على الصورة

, )2.66)

يعني أن الح��رارة الم��ؤثرة على الس��طح الح��ديوهذا الفرض للدالة

2rللوسط على صورة صدمة حرارية تتواجد فقط في شريط محدود عرض��ة

وتنعدم في األماكن األخرى.yومتماثل حول محور 70

لقد تم استخدام مادة النحاس كوسط مرن لتط��بيق النت��ائج العددي��ة علي��ه و

[54تعطى معامالته بالقيم التالية ]

, , ,

, ,

, , ,

, , , .

tلقد تمت الحسابات العددية عن��د قيم��ة ال�زمن = = 1 و 0.15 حيث تم1

حساب توزيع دوال الحرارة و اإلجه��اد و اإلزاح��ة عن��د أوض��اع و قيم مختلف��ة

سواء للزمن أو األبعاد أو قيمة زمن التعلية و من ثم تم عرض النتائج بيانيا.

من الرسومات التي تم عرض النتائج بها لوحظ أن النتائج لكل ال��دوال مح��ل

ولكن اعتم��دت أيض��ا الدراسة لم تكن تعتم��د فق��ط على المتغ��يرات

.toعلى قيمة زمن التعلية للصدمة الحرارية على سطح الوسط

ونالحظ من الرسوم البيانية النتائج التالية:

نجد أن هناك فرق واضح وصريح في الس��رعاتy=0(: عندما 1-2-الرسم)1

في سياق النظري��تين حيث أن��ه في نظري��ة المرون��ة الحراري��ة المعمم��ة ) )

GTEتكون سرعة الموجة الحرارية منتهية في حين أنها في نظرية المرون��ة

نجد أن سرعة الموجة الحرارية غ��ير منتهي��ة مم��اCTEالحرارية المزدوجة) )

71

يجعل نظرية المرونة الحرارية المعممة ذات زمن استرخائي واح��د متوافق��ة

مع الخواص الفيزيائية للم��ادة. بالنس��بة للنظري��تين نج��د ت��أثير زمن التعلية

يكون منحنى الحرارة متن��اقص وفي حال��ة حيث أنه في حالة

يكون منحنى الحرارة متزايد.

( وذل��ك عن��دما1-2(: يوضح نفس النتائج في الرسم البي��اني )2-2-الرسم)2

ولكن في هذا الرسم يعقد مقارن��ة بين المنحني��ات عن��دما

(.L-Sوذلك في نموذج)

نجد أن منحنى الح��رارة في النم��وذجين يأخ��ذ(: عندما3-2-الرسم) 3

نج���د أن منح���نى الح���رارة في ولكن عن���دماقيم مختلف���ة عن���د

النموذجين متطابقين.

وذل��ك في(: يوضح منح��نى توزي��ع الح��رارة عند4-2-الرسم)4

ل��ه ت��أثير كب��ير في( والتي نالحظ فيها أن الزمن اإلس��ترخائي L-Sنموذج )

كبيرة نج��د أنقيمة درجة الحرارة ويمكننا أن نالحظ أنه عندما تكون قيمة

منحنى الحرارة يتناقص حتى يتالشى.

ولقيم(: يوضح منحنى توزيع الح��رارة عن��دما 5-2-الرسم)5

( والتي نالح��ظ فيه��ا أن منح��نى درج��ةL-S وذلك في نموذج )مختلفة من

72

أق��ل من الف��ترة الحرارة يصل إلى حالة االستقرار في فترة زمنية قصيرة

.الزمنية

في نم��وذج )(: يوضح منحنى توزيع اإلجهاد لقيم مختلفة ل���6-2-الرسم)6

L-S وذلك عندما )y=0 , y=1حيث نجد أن القيمة المطلقة لإلجهاد تزيد وذلك

ولكي نوضح ذلك نج��د أن��ه عن��دماعندما يتناقص قيمة زمن التعلية

وال��ذي يس��بب مي��ل أك��ثريصل الجسم إلى أعلى قيم��ة للح��رارة عن��د

للجزيئات ألن تتحرك في اتجاه معاكس لمستوى السطح وبذلك نحصل على

قيمة أعلى لإلجهاد ولكن في اتجاه سلبي.

وذل��ك لقيم مختلف��ة(: يوضح منحنى توزيع اإلجه��اد عن��د 7-2-الرسم)7

نج��د أن منح��نى في النظري��تين وال��تي نالح��ظ فيه��ا أن��ه عن��دمامن

فإن منحنى اإلجهاد فيولكن عندما اإلجهاد يأخذ قيم مختلفة عند

النموذجين غالبا مايكون متطابقين.

(: يوض���ح الرس���م الت���الي منح���نى توزي���ع اإلجه���اد عن���دما8-2-الرس���م)8

( حيث نالح����ظ في����ه أن ال����زمنL-Sوذل����ك في نم����وذج )

االسترخائي له تأثير كبير في قيم��ة اإلجه��اد حيث أن��ه عن��دما تك��ون قيم��ة

( نج��د أن س��رعة موج��ة اإلجه��اد تتالش��ى عن��د قيم0.06كب��يرة مثال عن��دما )

.صغيرة في

73

(: يشير إلى منحنى توزي��ع اإلجه��اد في أزمن��ة مختلف��ة من 9-2-الرسم)9

( ونظري��ة المرون��ة الحراري��ةCTEفي نظرية المرون��ة الحراري��ة المزدوج��ة )

( نج��د أن منح��نى توزي��ع اإلجه��ادL-S( حيث أن��ه في نم��وذج )GTEالمعممة )

.أقل من الفترة الزمنية يصل لحالة االستقرار في فترة زمنية قصيرة

على(: يوض��ح منح��نى توزي��ع اإلزاح��ة ل���12-2( و)10-2-الرس��م)10

حيث(عن��دماL-S في نم��وذج)الت��والي وذل��ك لقيم مختلف��ة من

ف��إن قيم��ة. وأن��ه عن��دمانالح��ظ أن اإلزاح��ات تزي��د عن��دما يتن��اقص

( نج��د أن منح��نى اإلزاحة12-2 تقل. أما في الرسم)النقاط العظمى ل�

وعلي��ه ف��إن الجزيئ��ات ليس له��ا خي��ار أن تعم��ل أي يتالشى عندما

م��ع إزاح�ة فقط خيار واحد هو أن تتح��رك نح��و اتج��اه حركة عند

فقط .

و عن��دما (: يوض��ح منح��نى توزي��ع اإلزاح��ة 11-2-الرسم)11

( حيثL-S(,)CTE وذل��ك في س��ياق النم��وذجين )وذل��ك لقيم مختلف��ة من

.نالحظ أن القيم العظمى لإلزاحة تزيد عندما تقل قيمة زمن التعلية

عن��دما (: يوض��ح منح��نى توزي��ع اإلزاح��ة 13-2-الرس��م)12

( حيث نالح�ظ أن هن��اكL-S(,)CTE في النمزذجين)وذلك لقيم مختلفة من74

فرق صغير وبسيط في قيم اإلزاحة تمت مالحظته حيث أن النق��اط العظمى

.لإلزاحة تزيد عندما تقل قيمة زمن التعلية

الخالصة:2-11

)Conclusion (

تم من خالل هذا العم��ل دراس��ة الح��رارة و اإلجه��اد و اإلزاح��ة لجس��م م��رن

متجانس و سوي الخواص يمأل نصف الفراغ في بعدين وتم فرض شكل عام

للمع��ادالت الحاكم��ة للوس��ط في س��ياق نظري��تين من نظري��ات المرون��ة

الحرارية وهي المزدوجة و المعممة ذات الزمن االسترخائي الواح��د ومن ثم

تم عمل مقارنات بيانية للنتائج في ض��وء تل��ك النظري��تين حيث يمكن الق��ول

فيt0بأن سرعة تق��دم الموج�ات في ف��ترة زمن التعلي�ة الص��غيرة للح��رارة

سياق نظريات المرونة الحرارية الكالسيكية )المرتبط��ة( تختل��ف عن قيمته��ا

في النظري���ات الحديث���ة )المعمم���ة( حيث أنه���اغير منتهي���ة في النظري���ات

الكالسيكية بينما تكون منتهية في النظريات المعممة.

كبيرة فإن سرعة تقدم الموجات في جمي��عt0عندما تكون فترة زمن التعلية

النظريات محل الدراس��ة تك��ون قريب��ة ج��دا من بعض��ها وق��د ال يك��ون هن��اك

اختالف بينهم.

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

الباب الثالث

المرونة الحرارية المعممة ذات درجتي حرارة

لوسط غير منتهي يحتوي على فجوة

اسطوانية و يتعرض لمصدر حراري متحرك

Two-Temperature Generalized Thermoelastic

Infinite Medium with Cylindrical Cavity

Subjected to Moving Heat Source

89

المقدمة:3-1

Introduction( (

قام يوس��ف بح��ل العدي��د من النم��اذج الرياض��ية في س��ياق نظري��ة المرون��ة

م. 2006الحرارية المعممة ذات درجتي حرارة والتي تم إستنتاجها عام

[ بح��ل نم��وذج رياض��ي لجس��م56فعلى سبيل المثال قام يوسف و الح��ربي]

مرن غير منتهي يحت��وي على فج��وة كروي��ة وذل��ك باس��تخدام طريق��ة فض��اء

الحالة وكانت ه�ذه هي الم��رة األولى ال��تي يتم اس��تخدام ه��ذه الطريق�ة في

تطبيق يعتمد على اإلحداثيات الكروية وقد افترض يوسف والح��ربي في ه��ذا

النموذج أن الوسط يتعرض لتحميل حراري من نوع التعلي��ة ثم ق��ام بمقارن��ة

النتائج العددية التي حصل عليها بالنتائج السابقة لنظرية المرون��ة ذات درج��ة

[ تم حل نم��وذج آخ��ر لوس��ط57[ وباالشتراك مع اللهيبي]56حرارة واحدة ]

مرن في بعد واحد وفي سياق هذه النظرية بين كيف ع��الجت ه��ذه النظري��ة

نقط عدم االتصال في دال�تي اإلجه��اد واإلزاح�ة وال�تي لم يكن هن��اك تفس��ير

فيزيائي لهذه النقط الحرجة.

[ بف��رض وس��ط م��رن يمأل نص��ف58وفي نموذج رياض��ي آخ��ر ق��ام يوس��ف]

الفراغ في بع��دين و المع��ادالت الحاكم��ة للوس��ط أخ��ذت في س��ياق نظري��ة

المرونة الحرارية المعممة ذات درجتي حرارة عندما يتعرض لتحميل ح��راري

من نوع التعلي��ة والنت��ائج العددي��ة ال��تي حص��ل عليه��ا تمت مقارنته��ا بالنت��ائج

السابقة والتي كانت في سياق النظريات الكالسيكية.

90

[ أيضا بفرض نم��وذج رياض��ي لوس��ط م��رن يمأل59ثم قام بسيوني ويوسف]

نصف الفراغ في بعد واحد وتم فرض المعادالت الحاكمة للوس��ط في س��ياق

نظرية المرونة الحرارية المعممة ذات درج�تي ح�رارة لم��ادة كهروإجهادي�ة )

piezoelectricمرنة عندما يتعرض لصدمة حرارية وتم ايج��اد النت��ائج العددي��ة )

عندما يكون الوسط خالي من اإلجهاد الكهربائي وفي وج��ود لدراس��ة الت��أثير

الذي يحدثه هذا النوع من اإلجهاد في المواد المرنة.

بناء النموذج الرياضي:3-2

نفرض أن هناك وسط خامل اليت��أثر ب��أي ق��وى حجمي��ة خارجي��ة وغ��يرمنتهي

بم��ادة تام��ةيحتوي على فجوة اس��طوانية بحيث يمأل المنطق��ة

[. 47المرونة ومتجانسة ]

م���عzالمح���ور ( بحيث ينطبقr,,z)باس���تخدام اإلح���داثيات االس���طوانية

محورالفجوة االسطوانية. و من التماثل تصبح المسألة في بعد واحد فق��ط و

فقط.r و المسافة tتعتمد كل دوال الحالة على الزمن

طبق��ا لالفتراض��ات الس��ابقة تك��ون المع�ادالت الحاكم��ة للوس��ط في نظري��ة

[:47المرونة الحرارية المعممة ذات درجتي حرارة كما يلي ]

معادلة الحركة :

. )3.1)

91

معادلة اإلنتقال الحراري:

. )3.2)

بفرض أن الوسط يحتوي على مصدرحراري متحرك على الصورة األتية:

, )3.3)

الس��رعة ال��تي يتح��رك به�ا وهيv تمثل ش��دة المص��در الح��راري و حيث

سرعة ثابتة مع الزمن وهذا يعني أن المصدر الحراري يب��دأ الحرك��ة من على

. ليتحرك خالل المنطقة r = Rسطح الفجوة االسطوانية

بذلك تصبح معادلة االنتقال الحراري على الصورة:

, )3.4)

92

حيث

العالق��ة ال��تي ترب��ط بين الح��رارة الديناميكي��ة وح��رارة االنتق��ال تص��بح على

الصورة:

, )3.5)

The two-temperatureثابت غير سالب ويسمى بثابت درجتي الحرارة)حيث

parameter )

معادالت اإلجهاد تكون كما يأتي:

, )3.6)

, )3.7)

, )3.8)

, )3.9)

حيث أن:

93

. )3.10)

.

وللتبس��يط وايج��اد الح��ل ألي ن��وع من الوح��دات س��وف نق��وم باس��تبدال

[:47المتغيرات البعدية في المسألة بالمتغيرات الالبعدية التالية]

, , , ,

, , , , ,

حيث أن:

, .

( ستصبح على الصورة التالية, حيث تم ح��ذف3.10-3.4( و )3.1المعادالت)

( وذلك للتبسيط.primeالشرطة )

, )3.11)

و التي يمكن كتابتها على الصورة:

94

, )3.12)

كما يمكن الحصول على معادلة االنتقال الحراري على الصورة:

, )3.13)

, )3.14)

, )3.15)

, )3.16)

, )3.17)

حيث أن:

95

, , ,

, .

المعادالت الحاكمة للنموذج الرياضي في مجال محول البالس:3-3

) The Govering Equation in Laplace transform domain(

باستخدام محول البالس المعروف على الصورة:

,

بتط��بيق المح��ول الس��ابق على ط��رفي المع��ادالت الس��ابقة نحص��ل على

المعادالت األتية:

, )3.18)

, )3.19)

)*( تمثل دالة بيس��ل المعدل��ة من الن��وع الث��اني والرتب��ة الص��فرية )Koحيث

Bessel function.)

, )3.20)

96

, )3.21)

, )3.22)

, )3.23)

. )3.24)

( نحصل على: 3.20( في المعادلة )3.19بالتعويض من المعادلة )

, )3.25)

( نحصل على: 20. 3( في المعادلة )25. 3بالتعويض من المعادلة )

, )3.26)

97

حيث أن :

( نحصل على:3.18( مع المعادلة )3.26( و )3.25 باستخدام المعادلتين )

, )3.27)

حيث أن :

,

,

.

( نحصل على:3.27( و )3.26 من المعادلتين )بحذف

. )3.28)

حيث أن :

98

, ,

.

و هي تحقق نفس المعادلة, أي أن:بنفس الطريقة يمكن الحصول على

, )3.29)

حيث أن:

.

( المحدد في الماالنهاية يكون على الص��ورة3.29( و)3.28حل المعادلتين )

[47 :]

, )3.30)

حيث أن:

كما نحصل على:

99

, )3.31)

جميعها تعتمد فقط على البارامتر القادمA1, A2, B1, B2, C1 , C2حيث الثوابت

تمثل جذور المعادلة.و , sمن محول البالس

. )3.32)

( نحصل على:3.27باستخدام المعادلة )

)3.33)

. )3.34)

و بذلك نحصل على:

. )3.35)

( نحصل على: 3.35( مع المعادلة )3.24باستخدام المعادلة )

100

, )3.36)

)*( تمثل دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني و الرتب��ة األولى وق��دمK1حيث

[:47تم استخدام العالقة المعروفة لدالة البسيل األتية ]

, )3.37)

و بذلك نحصل على دالة الحرارة الديناميكية على الصورة:

, )3.38)

-3( في المعادالت )3.38( و )3.36(, )3.35و بالتعويض من المعادالت )

( يمكن الحصول على دوال اإلجهاد كما يأتي:3.21( - )23

101

)3.39)

)3.40)

)3.41)

تطبيق الشروط الحدية على الوسط:3-4

)Application (

إليجاد الح��ل النه��ائي في مج��ال مح��ول البالس س��نفرض أن س��طح الفج��وة

خالي من أي إجه��ادات و يتع��رض لص��دمة حراري��ةالداخلي عندما

كما يأتي:

. )3.42)

102

Heaviside unit step دالة هيفيسايد )دالة الخطوة ذات الوحدة()حيث

function ثابت ويساوى شدة الصدمة الحرارية وبعد اس��تخدام مح��ول( و

البالس نجد أن:

. )3.43)

و حيث أن سطح الفجوة خالي من اإلجهاد نحصل على:

. )3.44)

و بعد استخدام محول البالس على الشرط الحدي السابق نحصل على:

. )3.45)

باستخدام الشروط الحدي��ة الس��ابقة نحص��ل على نظ��ام المع��ادالت الجبري��ة

األتية:

, )3.46)

, )3.47)

حيث أن:

103

,

,

,

,

و بحل النظام السابق نحصل على:

, )3.48)

)3.49)

104

و أخيرا نحصل على الحل النهائي في مجال محول البالس كما يأتي:

)3.50)

)3.51)

)3.52)

)3.53)

105

)3.54)

)3.55)

106

. )3.56)

معكوس محول البالس:3-5

)The inversion of Laplace transform (

و اليجاد الحل في الصورة النهائية البد من عم��ل التحوي��ل العكس��ي لمح��ول

البالس لكل الدوال الس��ابقة وس��وف يتم اس��تخدام نفس الطريق��ة ال��تي تم

إس��خدامها في الب��اب الث��اني و ذل��ك باالس��تعانة ببرن��امج لغ��ة الف��ورتران و

[.55الحاسب اآللي ]

الحلول العددية ومناقشتها:3-6

)Numerical results and discussion (

لقد تم استخدام مادة النحاس كوسط مرن لتط��بيق النت��ائج العددي��ة علي��ه و

:-[47تعطى معامالته بالقيم األتية ]

, , ,

, ,

107

, , , , ,

, , , , .

بع��د ايج��اد النت��ائج العددي��ة وعرض��ها بياني��ا وج��دنا أن دوال ح��رارة االنتق��ال

tوالحرارة الديناميكية و اإلجهاد واالنفعال واإلزاحة التعتمد فقط على ال��زمن

ومقدار س��رعة ولكن تعتمد أيضا على معامل درجتي الحرارة rوالمسافة

المصدر الحراري.

ونالحظ من المنحنيات النتائج األتية:

حيث أن��ه في وج��ود درج��ةيتضح تأثير معامل الفرق بين درج��تي الح��رارة (1

حرارة واحدة تكون قيمة النقطة العظمى أكبر منها عند وجود درجتي حرارة

كم��ا في منح��نى ح��رارة اإلنتق��ال والح��رارة الديناميكي��ة واالنفع��ال وك��ذلك

بالنس��بة للقيم��ة المطلق��ة للتقط��ة العظمى في اإلجه��اد كم��ا في األش��كال

( أما منحنى توزي��ع اإلزاح��ة فنالح��ظ أن5-3( و)3-3( و)2-3( و)1-3البيانية )

قيمة النقطة العظمى فيه للمنحنى تزيد عند وج��ود درج��تي ح��رارة كم��ا في

( .4-3الشكل )

أم��ا( نجد أن سرعة المصدرالحراري تك��ون موج��ودة في الف��ترة 2

فإن الطاقة تنعدم ويحصل الهب��وط المف��اجئ في المنح��نىفي حالة

( .5-3( و)4-3( و)3-3( و)2-3إلى أن تنعدم كما في األشكال البيانية )

108

( نالحظ ت��أثير التغي��ير في س��رعة المص��در الح��راري حيث أن��ه كلم��ا زادت3

كلم��ا زادت قيم��ة النقط��ة العظمى في منح��نى س��رعة المص��در الح��راري

توزيع حرارة االنتقال والحرارة الديناميكية واإلزاح��ة وزادت القيم�ة المطلق��ة

(6-3للنقطة العظمى في منحنى اإلجهاد القطري كما في األشكال البياني��ة )

( أما بالنسبة لمنحنى االنفعال فإنه كلما قلت سرعة10-3( و)9-3( و)7-3و)

ف�إن قيم�ة النقط�ة العظمى تزي�د كم�ا في الش�كل البي�اني)المصدر الحراري

3-8. )

يمكن أن نالحظ أن هناك فرق ملحوظ في النتائج لكل مجاالت الدراسة بين

نموذج نظرية المرونة الحرارية المعممة ذات حرارة واحدة للورد و شولمان

ونموذج يوسف لنظرية المرونة المعممة ذات درجتي حرارة. كما يوجد أيض��ا

فرق ملحوظ وواضح في النتائج لجميع مجاالت الدراس��ة عن��دما تتغ��ير قيم��ة

سرعة المصدر الحراري.

الخالصة:3-7

(Conclusion)

النتائج التي خرج به��ا ه��ذا الب��اب توض��ح م��دى الف��رق بين النم��وذجين مح��ل

الدراسة وهما نموذج ل��ورد و ش��ولمان لنظري��ة المرون��ة الحراري��ة المعمم��ة

ذات درجة حرارة و احدة و نموذج يوسف لنظرية المرونة الحرارية المعممة

ذات درج��تي ح��رارة و يوض��ح أيض��ا أن��ه من المهم و الض��روري الفص��ل بين

موجتي حرارة التوصيل والحرارة الديناميكية حيث يكون ذلك أقرب للسلوك

الفيزيائي الذي تسلكة جزيئات الجسم المرن. كما يوض��ح ه��ذا العم��ل أيض��ا109

ت��أثير س��رعة المص��در الح��راري الموج��ود في الوس��ط على س��رعة تق��دم

الموجات الحرارية والموجات الميكانيكية.

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

قائمة المراجع

LIST OF REFERENCES

[1] S. P. Timoshenko and J. N. Goodier, Theory of Elasticity,Third

Edition, Mcgraw-Hill Book Company, Auckland, 1970.

[2] Y. C. Fung, Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall

International Inc., London, 1968.

[3] A. L. Cauchy, Bulletin De La Socie't'e Philomathique, Paris, 1923.

[4] I. S. Sokolnikoff, Mathematical Theory of Elasticity, Second Edition,

Mcgraw-Hill Book Company, New york, 1956.

[5] J. M. Duhamel, Second memoire sur les phenomenes Thermo-

Mechanique, J. de L'Ecole Polytechnique,15)1837).

[6] K. Neumann, Vorlesungen Uber Die Theorie Der Elasticitat, Meyer,

Breslau, 1885.

[7] M.A. Biot, Thermoelasticity and Irreversible Thermo-Dynamics, J.

Appl. Phys.,27)1956)240-253.

121

[8] H.W. Lord and Y. Shulman, A Generalized Dynamical Theory of

Thermo-Elasticity, J. Mech. Phys. solid,15)1967)299-309.

[9] R.S. Dhaliwal and H. H. Sherief, On Generalized Thermoelasticity,

ph. d. thesis, University of Calgary, Canada, 1980.

[10] R.S. Dhaliwal and H.H. Sherief, Generalized Thermoelasticity for

Anisotropic Media, quart. J. Appl. math,33)1980)1-8.

[11] R.B. Hetnarski, Thermal Stresses, vol. I, North-Holland, Amsterdam,

1986.

[12] H.M.Youssef, Theory of Two-Temperature Generalized

Thermoelasticity, IMA J. Applied Mathematics ,71)3))2006) 383-390.

[13] J. D. Achenbach, Wave Propagation in Elastic Solids, North-Holland

Publishing Company, Amsterdam, 1984.

[14] F.C. Andrews, Thermodynamics: Principles and Applications, John-

Wiley and Sons Inc., New York, 1971.

[15] E.A.Guggenheim, Thermodynamics,Classical and Statistical,

Handbuch Der Physik, 3, 1959.

122

[16] J. L. Nowinski, Theory of Thermoelasticity with Applications,

Sijthoff & Noordhoff International Publishers, Alphen aan Den Rijn,

1978.

[17] W. Nowacki, Dynamic Problems of Thermoelasticity, Noordhoff

Publishing, International Leyden, 1975.

[18] J.H. Weiner, A Uniqueness Theorem for The Coupled Thermoelastic

Problem, Quart. J. Appl. Math.,15)1957)102-105.

[19] R.E. Nickell and J.L. Sackman, Variational Principles for Linear

Coupled Thermoelasticity, Quart. J. Appl. Math,26)1968)11-26.

[20] R.B. Hetnarski, Coupled One-Dimensional Thermal Shock Problem

for Small Times, Arch. Mech. Stos.,13)1961)295-306.

[21] R.B. Hetnarski, Solution of The Coupled Problem of Thermoelasticity

in The Form of Series of Functions,Arch. Mech.

Stos.,16)1964)919-941.

[22] R.B. Hetnarski, The Fundamental Solution of The Coupled

Thermoelastic Problem for Small Times, Arch. Mech.

Stos.,16)1964)23-32.

123

[23] J. Ignaczak, Dynamic Thermoelastic Problem of a Spherical Cavity,

Arch. Mech. Stos.,11)1959)399-408.

[24] W. Nowacki, A dynamical Problem of Thermoelasticity, Arch. Mech.

Stos.,9)1957)325-334.

[25] Y. Takeuti and Y. Tanigawa, A new Technique for Coupled Plane

Thermal Stress Problems, J. Strain Analysis,17)1982)133-138.

[26] L.Y. Bahar and R.B. Hetnarski, State Space Approach to

Thermoelasticity, J. Thermal Stresses,1)1978)135-145.

[27] J. Ignaczak, Uniqueness in Generalized Thermoelasticity, J. Thermal

Stresses,2)1979)171.

[28] J. Ignaczak, A note on Uniqueness in Thermoelasticity with One

Relaxation Time, J. Thermal Stresses,5)1982)257-263.

[29] H.H. Sherief and R.S. Dhaliwal, A uniqueness Theorem and a

Variational Principle for Generalized Thermoelasticity, J. Thermal

Stresses,3)1980)223-230.

[30] H.H.Sherief, On Uniqueness and Stability in Generalized

Thermoelasticity, Quart. Appl. Math.,45)1987)773-778.

124

[31] M.N. Anwar and H.H. Sherief, State Space Approach to Generalized

Thermoelasticity, J. Thermal Stresses,11)1988)353-365.

[32] H.H.Sherief, State Space Formulation for Generalized Thermoelasticity

with One Relaxation Time Including Heat Sources,J. Thermal Stresses,

16)1993)163-180.

[33] H.H. Sherief and M.N. Anwar, State Space Approach to

Two-Dimensional Generalized Thermoelasticity Problems, J. Thermal

Stresses,17)1994)567-590.

[34] M.N. Anwar and H.H.Sherief, Boundary Integral Equation

Formulation of Generalized Thermoelasticity in a Laplace Transform

Domain, Appl. Math. Modelling,12)1988)161-166.

[35] H.H. Sherief, Fundamental Solution of The Generalized Thermoelastic

Problem for Short Times, J. Thermal Stresses,9)1986) 151-164.

[36] H.H. Sherief and M.N. Anwar, Problem in Generalized

Thermoelasticity, J. Thermal Stresses,9)1986)165-181.

[37] H.H. Sherief and M.N. Anwar, Two-Dimensional Problem of a

Moving Heated Punch in Generalized Thermoelasticity, J. Thermal

Stresses,9)1986)325-343.

125

[38] M.N. Anwar and H.H. Sherief, A problem in Generalized

Thermoelasticity for an Infinitely Long Annular Cylinder, Int. J.

Engng. Sci.,26)1988)301-306.

[39] H.H. Sherief and M.N. Anwar, A problem in Generalized

Thermoelasticity for an Infinitely Long Annular Cylinder Composed of

Two Different Materials, Acta Mechanical, 80)1989)137-149.

[40] H.H. Sherief and M.N.Anwar,Generalized Thermoelasticity Problem

for a Plate Subjected to Moving Heat Sources on Both Sides, J.

Thermal Stresses,15)1992) 489-505.

[41] H.H. Sherief and M.N.Anwar, A two Dimensional Generalized

Thermoelasticity Problem for an Infinitely Long Cylinder, J. Thermal

Stresses,17)1994) 213-227.

[42] H. H. Sherief and M.A. Ezzat, Solution of The Generalized Problem of

Thermoelasticity in The Form of Series of Funcions, J. Thermal

Stresses,17)1994) 75-95.

[43] H. H. Sherief and F. A. Hamza, Generalized Thermoelastic Problem of

a Thick Plate Under Axisymmetric Temperature Distribution, J.

Thermal Stresses,17)1994) 435-453.

126

[44] N.M.El-Magraby and H.M. Youssef, State Space Approach to

Generalized Thermoelastic Problem with Thermo-Mechanical Shock,

J. Applied Mathematics and Computation,156)2004) 577-586.

[45] H.M.Youssef, State-Space Approach in Generalized Thermoelectricity

for an Infinite Layer Material with Variable Thermal Conductivity,

Sixth Amupan-African Congress of Mathematicians (Pacom,Tunisia),

)2004).

[46] H.M.Youssef, The Dependence of The Modulus of Elasticity and

TheThermal Conductivity on The Reference Temperature in

Generalized Thermoelasticity for an Infinite Material with a Spherical

Cavity, J. Applied Mathematics and Mechanics, 26)2005), No.4,470-

475.

[47] H. M. Youssef, Generalized Thermoelasticity of an Infinite Body

with a Cylindrical Cavity and Variable Material Properties, J.

Thermal Stresses, 28)2005) No. 5,521-532.

[48] N.M.El-Magraby and H.M.Youssef, A two-Dimensional

Thermoelasticity Problem for Thermo Mechanical Shock with Two

Relaxation Times, J. Applied Mathematics and Computation (AMC),

120)2005)172-184.

127

[49] H.M. Youssef, Thermal Shock Problem of a Generalized

Thermoelastic Layered Composite Material With Variable Thermal

Conductivity, J. Mathematical Problem in Engineering, 87940)2006)

1–14.

[50] A.A.El-Bary and H.M. Youssef, Thermal Shock Problem for One

Dimensional Generalized Thermoelastic Layered Composite Material,

J. Mathematical and Computational Applications,11)2006)No. 2,103-

110.

[51] P. J.Chen, and M.E. Gurtin, On a Theory of Heat Conduction

Involving Two Temperatures.19)1968)614-627.

[52] W. E. Warren and Chen, P. J., Wave Propagation in The Two-

Temperature Theory of Thermoelasticity. Acta Mech. 16)1973)21-33.

[53] P. J.Chen, and M.E. Gurtin, and W. O. Williams, On The

Thermodynamics of Non-Simple Elastic Matrials with Two

Temperatures. 20)1969)107-112.

[54] H.M Youssef, Two-Dimensional Generalized Thermoelasticity

Problem for a Half-Space Subjected to Ramp-Type Heating, Euro. J.

Mech.-A/Solids,25)2006) 745-763.

128

[55] G. Honig and U. Hirdes, A method for The Numerical Inversion of

Laplace Transform, J. Comp. Appl. Math.,10)1984)113-132.

[56] H.M Youssef and A.M. Al-Harby, State-Space Approach of Two-

Temperature Generalized Thermoelasticity of Infinite Body with a

Spherical Cavity Subjected to Different Types of Thermal Loading, J.

Archive of Applied Mechanics,77)9))2007) 675-687.

[57] H.M Youssef and E .A. AL-Lehaibi, State-Space Approach of Two-

Temperature Generalized Thermoelectricity of One-Dimensional

Problem, Int. J. Solids and Structures,(IJSS), 44)2007) 1550-1562.

[58] H.M. Youssef, Two-Dimensional Problem of Two-Temperature

Generalized Thermoelastic Half-Space Subjected to Ramp-Type

Heating, J.Computational Mathematics and Modeling, 19)2008)No. 2.

[59] E.A. Bassiouny and H.M. Youssef, Two-Temperature Generalized

Thermopiezoelasticity of Finite Rod Subjected to Different Types of

Thermal Loading, J.Thermal Stresses, 31)2008) 233-245.

129

Summery

This work is concerning with the elastic material, the material which deformed

when it is acted by an external forces. Almost all engineering materials possess to a

certain extent the property of elasticity and the Thermoelasticity is a branch of applied

Mechanics that investigates the interaction between the strain and the temperature fields

based on thermodynamics of irreversible processes. In the introduction, we presents a

review of the historical development of the theory of Thermoelasticity and show a

literature survey on the main subject of this theses.

This theses consists of three chapters as follows:

In the first chapter, we show the review of the classical theory of linear elasticity

and of the essentials of the theory of thermodynamics such as the first and the second

laws. Contains also the derivation of the basic equations of the theory of uncoupled

Thermoelasticity showing its basic shortcomings, the derivations of the basic equations

of the coupled theory of Thermoelasticity showing how this theory has eliminated one of

the two shortcomings of the theory of uncoupled Thermoelasticity and how this theory

still predicts infinite speeds of propagation of heat waves contradictory to physical

observations, the derivations of the basic equations of the generalized theory of

Thermoelasticity with one relaxation time and shows how this theory has dealt with the

shortcomings of both the uncoupled and the coupled theories of Thermoelasticity, the

derivations of the basic equations of the two-temperature generalized Thermoelasticity

with one relaxation time and finally, the basic equation of magneto Thermoelasticity.

130

In the second chapter, we considered a half-space filled with an elastic

material, which has constant elastic parameters. The governing equations are taken

in a unified system from which the field equations for coupled thermoelasticity as

well as for generalized thermoelasticity can be easily obtained as particular cases. A

linear temperature ramping function is used to more realistically model thermal

loading of the half-space surface. The medium is assumed initially quiescent.

Laplace and Fourier transform techniques are used to obtain the general solution for

any set of boundary conditions. The general solution obtained is applied to a specific

problem of a half-space subjected to ramp-type heating. The inverse Fourier

transforms are obtained analytically while the inverse Laplace transforms are

computed numerically using a method based on Fourier expansion techniques. Some

comparisons have been shown in figures to estimate the effect of the ramping

parameter of heating with different theories of thermoelasticity.

In the third chapter, a problem of thermoelastic interactions in an elastic

infinite medium with cylindrical cavity thermally shocked at the bounding surface of

it and subjected to moving heat source with constant velocity has been solved. The

governing equations are taken in the context of two-temperature generalized

thermoelasticity theory )Youssef model). The analytical solution with direct

approach in the Laplace transforms domain has been obtained. The derived

analytical expressions have been computed for specific situations. Numerical results

for the dynamical and conductive temperatures, stress, strain and displacement are

represented graphically with comparisons by one temperature generalized

thermoelasticity )Lord-Shulman model).

131