Álgebra Lineal (LECO)

www.monteroespinosa.com - Clases de Estadística II – Tfnos: 911 827 576 - 640 869 723 1

Los parámetros poblacionales que vamos a estudiar son

la media , la

varianza 2 y la

proporción P La diferencia entre estadístico y estimador es puramente formal, y usaremos indistintamente uno u otro nombre. Es mejor estimador aquel que tiene un menor ECM. También usaremos la proporción muestral

p como estimador

insesgado de la proporción poblacional P

TEMA 1: INFERENCIA ESTADÍSTICA PARA UNA POBLACIÓN

Conceptos importantes:

- Población. Conjunto de elementos que poseen una característica o propiedad común, y que

constituyen la totalidad de los individuos de interés para nuestro estudio.

- Parámetro poblacional . Valor que caracteriza a la totalidad de la población, como una

media, una varianza, una mediana, etc. En su notación es común utilizar el alfabeto griego: , , , etc.

- Muestra. Cualquier subconjunto de valores observados de la población.

- Muestra aleatoria simple (m.a.s.). Muestreo realizado de forma que todos los elementos de

la población tienen la misma probabilidad de aparecer en la muestra.

- Inferencia estadística. Proceso para obtener conclusiones (de carácter incierto o probable)

sobre la población a partir de la información proporcionada por la muestra.

- Estadístico. Cualquier función de las observaciones muestrales que no contenga parámetros

desconocidos.

- Estimador . Variable aleatoria función de los estadísticos que recoge y resume la

información que sobre la población le suministra la muestra.

- Estimación puntual. Una realización concreta del estimador correspondiente a una muestra

observada 1 2, , , nx x x que proporciona una aproximación al parámetro poblacional objeto de

estudio.

Propiedades de los estimadores.

1) Insesgadez. Un estimador es insesgado si ˆE =

. Y el ˆ ˆsesgo E = −

.

2) Eficiencia. Un estimador 1 es más eficiente que otro estimador 2 1 2ˆ ˆ ˆV V

3) Error cuadrático medio (ECM). Se define el ( )2

ˆ ˆ ˆECM V sesgo = +

Estimadores insesgados más frecuentes:

• Media muestral,

i

i

x

Xn

=

• Cuasivarianza muestral,

( ) ( )2 22

1 1

i i

i ix

x x x n x

Sn n

− −

= =− −

www.monteroespinosa.com - Clases de Econometría - Tfnos 916 837 829 - 672 305 468 2

Recuerda que es

el nivel de significación. Por convenio, tamaño de muestra grande quiere decir

30n

Los extremos del IC

para son la raíz

cuadrada de los extremos del IC para

2

Estimación por intervalo.

Una estimación por intervalo de confianza es un método que proporciona un intervalo de valores

( ) ( )( )1 2,t X t X al que es probable que pertenezca el valor del parámetro. Dicho intervalo presenta dos

límites, inferior y superior, ambos funciones de la información muestral X, de forma que

( ) ( )1 2 1P t X t X = − , donde 1 − recibe el nombre de nivel de confianza.

Parámetro Supuestos (MAS) Intervalo

Población normal, dispersión poblacional

conocida ( )1

2

IC x Zn

−

=

Población normal, dispersión poblacional

desconocida ( )1 1,

2

x

n

sIC x t

n − −

=

Población no normal, tamaño de muestra grande ( )12

xsIC x Z

n −

=

P Población Bernouilli, tamaño de muestra grande ( )12

ˆ ˆ(1 )ˆ x x

x

p pIC P p Z

n −

−=

2 Población normal ( )( ) ( )2 2

2

1 2 2

1, 1,12 2

1 1,

x x

n n

n s n sIC

−

− − −

− − =

Interpretación. Una vez calculados los extremos del intervalo tenemos una confianza de ( )100 1 %−

de que el valor del parámetro desconocido de la población estará en ( ) ( )( )1 2,t X t X

Interpretación frecuentista. Si se consideran todas las muestras posibles X y con cada una de ellas se

construye un IC, en aproximadamente 100 ( )1 − de cada 100 casos el parámetro ( ) ( )( )1 2,t X t X

Observaciones.

▪ Se denomina error del intervalo a la mitad de su longitud, es decir, ( ) ( )2 1

2

t X t Xerror

−=

▪ Si la confianza aumenta, la longitud del intervalo crece.

▪ Si la dispersión aumenta, la longitud del intervalo crece.

▪ Si el tamaño muestral aumenta, la longitud del intervalo disminuye.


Este tipo de contraste no se estudia en vuestra asignatura Para los contrastes bilaterales existe una tercera forma de realizar el contraste: usando un intervalo de confianza.

TEMA 2. CONTRASTE DE HIPÓTESIS EN UNA POBLACIÓN.

Una hipótesis estadística sobre un parámetro poblacional es una conjetura sobre los valores concretos

que pueda tomar.

Un contraste o test de hipótesis es una regla de decisión mediante la cual optamos por una u otra

hipótesis a la luz de la información proporcionada por una muestra extraída de la población objeto de

estudio. A una de las hipótesis se la denomina comúnmente hipótesis nula 0h y a la segunda, hipótesis

alternativa 1h . La asignación del término nula o alternativa es arbitraria si bien, tradicionalmente, se

denomina nula la hipótesis que implica el valor existente del parámetro o la que suponemos más estable,

siendo precisa una elevada evidencia para rechazarla.

Tipos de contrastes.

- Contrastes con hipótesis simples. 0

1 1

:

:

oh

h

=

=

- Contrates con hipótesis compuestas.

• Contraste bilateral 0

1 0

:

:

oh

h

=

• Contraste unilateral derecho 0

1 0

:

:

oh

h

• Contraste unilateral izquierdo 0

1 0

:

:

oh

h

Procedimiento para realizar un contraste. Los contrastes de hipótesis se pueden hacer de dos formas distintas. En primer lugar, calculando un

estadístico de contraste; unos valores críticos, Vc, que separan la región crítica o de rechazo, RC, de la

región de aceptación, RA, y tomando la decisión analizando en que región cae el estadístico.

El segundo procedimiento es a través del P-VALOR o nivel de significación marginal. El P-VALOR es

el nivel de significación mínimo a partir del cual se empieza a rechazar la hipótesis nula, y por lo tanto la

decisión se tomará de la siguiente forma:

0

0

Rechaza

Norechazo

P VALOR h

P VALOR h

− →

− →


El valor crítico lo buscaremos en las tablas de las distribuciones. Debido a su poca precisión, con las tablas de las

distribuciones t y

2 solo podemos

acotar el p-valor

Estadístico y valores críticos correspondientes.

Parámetro Supuestos Estadístico Valor crítico

> <

Población normal, dispersión

poblacional conocida

0

x

x

n

−

2

Z Z Z−

Población normal, dispersión

poblacional desconocida

0

x

x

s

n

−

1,2

nt −

1,nt −

1,nt −−

Población no normal, tamaño de

muestra grande

0

x

x

s

n

−

2

Z Z Z−

P Población Bernouilli, tamaño de

muestra grande ( )0

0 0

ˆ

1

p p

p p

n

−

−

2

Z Z Z−

2 Población normal

( ) 2

2

0

1 xn s

−

1,1 1,2 2

2 2

n n

y

− − −

2

1,n − 2

1,1n − −

P-valor y región crítica correspondiente.

Parámetro Tipo de

contraste Cálculo del p-valor (según corresponda) Región crítica

o P

2Pr ob Z Est

12Pr nob t Est− Est Vc

> Pr ob Z Est


< Pr ob Z Est


2

2 2

1 12min Pr ,Prn nob Est ob Est − − ( )

1,1 1,2 2

2 2,n n

Est

− − −

> 2

1Pr nob Est − Est Vc

< 2

1Pr nob Est − Est Vc

Observaciones.

- El estadístico de contraste depende de los valores muestrales. El valor crítico es un cuantil de

cierta distribución que separa la región de rechazo de la región de aceptación y que depende del

nivel de significación escogido para realizar el contraste.

- Se puede pensar en la región crítica como la regla de decisión para determinar en qué casos

rechazamos la hipótesis nula.

- El p-valor es una probabilidad asociada al estadístico de contraste. Como se puede observar, la

forma de calcularlo depende del tipo de contraste. Sin embargo, la regla de decisión para

contrastar con el p-valor es siempre la misma en todos los casos.


Conviene remarcar que los contrastes que empleamos son de máxima potencia para un determinado nivel de significación.

Errores en los contrastes.

• ERROR DE TIPO I o bien error de

primera especie: se comete cuando se

rechaza la hipótesis nula siendo cierta.

• ERROR DE TIPO II o bien error de

segunda especie: se comete cuando se

acepta la hipótesis nula siendo falsa.

• POTENCIA DEL CONTRASTE. Probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo esta falsa.

• NIVEL DE CONFIANZA. Probabilidad de aceptar la hipótesis nula siendo esta cierta.

Observaciones.

- La potencia del contraste y el ERROR II solo se pueden calcular para un valor numérico concreto

de la hipótesis alternativa. Por lo tanto, en contrastes con hipótesis compuestas lo que se podría

calcular es la función de potencia.

- La función de potencia particularizada para el valor de la hipótesis nula da lugar al nivel de

significación.

- El nivel de significación (Error I) es elegido por el investigador.

- Si disminuye, aumenta (y viceversa).

- Si aumenta el tamaño muestral, y disminuyen.

- Un ejemplo de una gráfica de una función de potencia para un contraste unilateral derecho sería:

Acepto 0h Rechazo 0h

0h cierta Sin error

1 −

Nivel de confianza

Error I

Significación

0h falsa Error II

Sin error 1 −

Potencia del contraste


En vuestra asignatura no se estudia el caso de poblaciones normales con dispersiones poblacionales desconocidas y distintas.

TEMA 3. COMPARACIONES ENTRE DOS POBLACIONES.

En este tema intentamos comparar los parámetros de dos poblaciones a través de la información

proporcionada por dos muestras. Usando los procedimientos de los temas previos calcularemos intervalos

de confianza y realizaremos contrastes.

Intervalos de confianza para la comparación de dos poblaciones.

Parámetro Supuestos (MAS) Intervalo

x y −

Muestras pareadas,

diferencia normal

i i iD x y= − ( )1 1,

2

Dx y n

sIC D t

n − −

− =

Poblaciones normales,

dispersiones poblacionales

conocidas ( )

22

12

yxx y

x y

IC x y Zn n

−

− = − +

Poblaciones normales,

dispersiones poblacionales

desconocidas e iguales ( ) 2

1 2,2

1 1

x yx y pn n

x y

IC x y t sn n

− + −

− = − +

Poblaciones no normales,

tamaños de muestra

grandes ( )

22

12

yxx y

x y

ssIC x y Z

n n −

− = − +

x yp p− Poblaciones Bernouilli,

tamaños de muestra

grande ( ) ( )1 0 0

2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1x y x y

x y

IC p p p p Z p pn n

−

− = − − +

2

2x

y

Poblaciones normales

2 22

21 2 2

1, 1, 1, 1,12 2

,

x y x y

x xx

y y yn n n n

s sIC

s F s F

−

− − − − −

=

donde ( ) ( )2 2

21 1

2

x x y y

p

x y

n s n ss

n n

− + −=

+ − y 0

ˆ ˆˆ x x y y

x y

n p n pp

n n

+=

+

- La interpretación es análoga a la del tema 1, solo que ahora hablaremos de la diferencia de

medias, de la diferencia de proporciones y del cociente de varianzas.

- Cuando los mismos agentes (individuos, empresas, etc..) forman parte de las muestras de ambas

poblaciones, nos encontramos ante muestras pareadas (emparejadas, apareadas). Si los agentes

son distintos en ambas muestras, estaremos ante muestras independientes.


Contrastes para la comparación de dos poblaciones.

Estadístico y valores críticos correspondientes.

Parámetro Supuestos Estadístico Valor crítico

> <

x y −

Muestras

pareadas, dif.

normal

i i iD x y= −

D

D

D

s

n

−

1,2

nt −

1,nt −

1,nt −−

Pobl. normales,

dispersiones

poblacionales

conocidas

0

22yx

x y

x y d

n n

− −

+

2

Z Z Z−

Pobl. normales,

disp. pobl.

desconocidas e

iguales

0

1 1p

x y

x y d

sn n

− −

+

2,2x yn n

t + −

2,x yn nt + − 2,x yn nt + −−

Poblaciones no

normales,

tamaños de

muestra grandes

0

22yx

x y

x y d

ss

n n

− −

+

2

Z Z Z−

x yp p−

Poblaciones

Bernouilli,

tamaños de

muestra grande ( )

0

0 0

ˆ ˆ

1 1ˆ ˆ1

x y

x y

p p d

p pn n

− −

− +

2

Z Z Z−

2

2x

y

Poblaciones

normales

2

2x

y

s

s

1, 1,2x yn n

F − −

y

1, 1,12x yn n

F − − −

1, 1,x yn nF − − 1, 1,1x yn nF − − −

donde ( ) ( )2 2

21 1

2

x x y y

p

x y

n s n ss

n n

− + −=

+ − y 0

ˆ ˆˆ x x y y

x y

n p n pp

n n

+=

+

- El cálculo del p-valor y de las regiones críticas se hace de forma análoga a sus correspondientes

en el tema 2.

- Obviamente, si el contraste es bilateral también tenemos la opción de realizarlo con un intervalo

de confianza.

- Al comparar dos poblaciones, cuando el contraste es unilateral hay dos alternativas igualmente

correctas tanto para hacerlo unilateral izquierdo como unilateral derecho. Esta particularidad no

se produce en los contrastes con una sola población.


TEMA 4: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Se considera el estudio conjunto de dos caracteres sobre una determinada población de tamaño N que

representaremos mediante las variables X e Y.

• Independencia estadística.

El interés en el análisis conjunto de dos caracteres es obtener conclusiones acerca de la posible relación

de dependencias entre ellos. Pueden existir distintos tipos de relaciones entre las variables X e Y:

Perfecta: se dice que las variables están relacionadas funcionalmente.

Estadística: Si la relación no es exacta, sino que hay en ella un componente aleatorio.

Independencia: Cuando no existe relación alguna entre las variables.

• Medidas de relación lineal.

- Covarianza.

( )( )1 1

( )( )

( , )1 1

n n

i i i i

i iXY

x x y y x y n x y

Cov X Y Sn n

= =

− − −

= =− −

La covarianza XYs permite conocer el tipo de relación (si existe) entre dos variables:

▪ Si 0XYs , la relación será directa entre las variables (a mayores observaciones de una le

corresponden mayores observaciones de la otra).

▪ Si 0XYs , la relación será inversa entre las variables (a mayores observaciones de una le

corresponden menores observaciones de la otra).

▪ Si 0XYs = , no se puede concluir que no exista relación entre ambas, si bien se puede afirmar

que las variables no presentan relación lineal en la muestra.

Observación: Si dos variables son independientes, su covarianza vale 0. El recíproco no es cierto.

- Coeficiente de correlación lineal.

xy

x y

sr

s s=


Hay que tener presente que cuanto más próximo a cero esté el coeficiente de correlación, peor será la relación lineal entre las variables

Recuerda que U es

el término de error o perturbación, y representa los factores que influyen en Y además de X

Propiedades :

▪ Si | | 1r = , todos los puntos de la nube de dispersión están sobre la recta, lo que supone una

correlación lineal perfecta. Si 1r = , hay correlación perfecta positiva; si 1r = − , hay correlación

perfecta negativa.

▪ Si r está próximo a 1 indica una buena correlación lineal positiva.

▪ Si r está próximo a -1 indica una buena correlación lineal negativa.

▪ Si r está próximo a 0 indica mala relación lineal o ausencia de relación lineal.

▪ Si las variables X e Y son independientes, 0r = .

- Coeficiente de determinación.

2

2 2

2 2

xy

x y

sR r

s s= =

Propiedades :

▪ 20 1R → Cuanto más cerca esté de 1, mejor es el ajuste, y cuanto más cerca esté de 0,

peor será el ajuste.

▪ Si lo multiplicas por 100 te indica el porcentaje de variación de Y que está explicado por la

variación de X.

• Regresión lineal

La regresión permite modelizar la relación de dependencia entre dos variables. Se pretende obtener la

curva que mejor se ajusta a la nube de puntos del gráfico de dispersión de las variables. Nosotros nos

vamos a centrar en el caso de regresión lineal, es decir, cuando la curva es una recta.

0 1Y X U = + +


A estos estimadores se les denomina MCO porque minimizan la suma del cuadrado de los errores.

1. Representamos los datos que hemos obtenido con la observación (nube de puntos)

2. Tratamos de encontrar la curva que más se aproxima a los datos

3. Intentamos minimizar el error

Modelo de regresión lineal simple. El modelo a ajustar viene dado por la expresión:

0 1ˆ ˆY X = +

1 se denomina pendiente del modelo o coeficiente de regresión lineal de Y sobre X. 0 es el término

constante u ordenada en el origen.

El estimador de la constante, 0 , y de la pendiente, 1 , llamados estimadores de mínimos cuadrados

ordinarios (MCO), tienen las siguientes expresiones:

0 1 1 2ˆ ˆ ˆ xy

x

sY X

s = − =


Varianza residual.

A partir de la regresión obtenemos para cada valor real xi de X e iy de Y:

ˆ iy , valor estimado de Y

ie , error o residuo (diferencia entre el valor real y el estimado)

La varianza de los errores (varianza residual) es

2

2 1

2

n

i

iR

e

sn

==−

, que es un estimador insesgado (y también

MCO) de la varianza de los errores, 2

U .

El estimador MV (máximo verosímil) de la varianza de la perturbación, 2

U , va a ser distinto (en

particular, menor) que el estimador MCO:

2 2

, ,ˆ ˆ

2U MV U MCO

SCR SCR

n n = =

−

Descomposición de la varianza.

2 2 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i i i

SCT SCM SCR

y y y y y y− = − + −

Donde:

SCT: es la Suma Total de Cuadrados

SCM: es la Suma de Cuadrados del Modelo ó Suma Explicada de Cuadrados

SCR: es la Suma de Cuadrados Residual, 2

iSCR e=

Hipótesis del modelo de regresión lineal simple.

- Linealidad. La relación existente entre X e Y es lineal.

- Homogeneidad. 0iE u =

- Homocedasticidad. La varianza de los errores es constante 2

iV u =

- Independencia. , 0i jE u u =

- Normalidad. Los errores siguen una distribución normal ( )20,iu N


A representa un número A estos estadísticos se les denomina “estadísticos t”, dado que siguen una distribución t de student

• Inferencia sobre el modelo de regresión

Intervalos de confianza para los parámetros del modelo

- Intervalo de confianza para la pendiente ( )1

21

1 22,2

ˆ1

R

nx

SIC t

n S

−

−

=

−

- Intervalo de confianza para la constante ( )0

21 2

0 22,2

1ˆ1

Rnx

xIC t S

n n S

−

−

= + −

- Intervalo de confianza para el error ( ) ( )

2

2 2

1

2 2

2, 2,12 2

2 2,

u

R R

n n

n s n sIC

−

− − −

− − =

Contrastes para los parámetros del modelo 1

:

:

o i

i

h A

h A

=

- Estadístico de contraste para la pendiente

( )

12

2

2

ˆ

1

n

R

x

At

S

n S

−

−

−

- Estadístico de contraste para la constante

( )

02

22

2

ˆ

1

1

n

R

x

At

xS

n n S

−

−

+

−

Contrastes para la varianza del error

2

2

1

:

:

o U

U

h A

h A

=

- Estadístico de contraste ( ) 2

2

2

2 R

n

n S

A −

−

Observación: Las regiones críticas (reglas de decisión) y los valores críticos para los contrastes con los

parámetros del modelo de regresión son análogas a las utilizadas en el tema 2.

Álgebra Lineal (LECO)

Documents

Transcript of Álgebra Lineal (LECO)