Dependencia e independencia lineal

Dependencia e independencia lineal

16/12/2015116/12/201522Dependencia e independencia linealDependencia e independencia lineal

Dado un conjunto finito de vectores V1,V2,.Vn se dice que estos vectores son linealmente independientes si existen nmeros a1,a2,an.... , tales que:

a1v1+a2v2+.+anvn=O

La nica posibilidad que se cumpla esta ecuacin es que dichos escalares sean todos nulos. caso contrario, se dice que son linealmente dependientes

16/12/20153Dependencia e independencia lineal

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal as:

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio.

Propiedades 16/12/20154

Dependencia e independencia lineal

1.Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinacin lineal de los dems.

2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo tambin lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinacin de los dems, escogiendo solamente unos cuantos, no podrn ser combinacin de los otros.

3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, tambin lo es todo conjunto que lo contenga.

4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y slo si son paralelos.

5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes entre ellos son proporcionales, bien sea directa o inversamente proporcional.

16/12/20155Significacin geomtrica

Geomtricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma direccin

Tres vectores son independientes si y solo si no estn contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinacin lineal de los otros dos (en cuyo caso estara en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector.

16/12/20156 u y j son dependientes por tener la misma direccin.u y v son independientes y definen el plano P.u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo planou, v y k son independientes por serlo u y v entre s y no ser k una combinacin lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensionalLos vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 k16/12/20157

Ejemplo del uso de la frmula f:Son los tres vectores siguientes independientes?

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuacin:

16/12/20158

16/12/2015916/12/201510

Propiedades 16/12/2015111. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los dems

Tambin se cumple el reciproco: si un vector es combinacin lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. 2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y slo si, son paralelos. 3. Dos vectores libres del plano u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

16/12/201512

16/12/201513

16/12/201514

16/12/20151516/12/201516