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Lezione 6 – Regime stazionario e circuiti resistivi

Corso di Elettrotecnica – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2017/2018 1/22

Lezione n.6

Regime stazionario e circuiti resistivi

1. Circuiti in regime stazionario e circuiti resistivi 2. Resistenza equivalente

2.1 Resistenza serie 2.2 Resistenza parallelo 2.3 Esercizio

3. Circuiti resistivi con un generatore 3.1 Punto di lavoro del circuito 4. Teorema di Millmann 5. Partitori di tensione e di corrente

5.1 Esercizio 6. Serie e parallelo di generatori ideali 7. Trasformazione stella – triangolo

7.1 Esercizio: circuito a ponte

Tag: regime stazionario, circuito resistivo, resistenza e conduttanza equivalente, bipoli connessi in serie, bipoli connessi in parallelo, resistenza serie, resistenza parallelo, teorema di Millmann, partitore di tensione, partitore di corrente, trasformazione stella-triangolo, circuito a ponte, punto di lavoro di un circuito.



1. Circuiti in regime stazionario e circuiti resistivi

Quando in un circuito dinamico i generatori sono costanti e vogliamo calcolare la soluzione di regime, consideriamo i condensatori come circuiti aperti e gli induttori come corti circuiti. Il circuito lo diciamo essere in regime stazionario. In tale regime tutte le grandezze presenti nel circuito sono costanti. In tal caso le grandezze le indicheremo con lettere maiuscole. Un circuito in regime stazionario è costituito unicamente da generatori e da resistenze. Un circuito costituito da soli generatori e resistenze si definisce circuito resistivo. Un circuito resistivo non è detto che sia stazionario in quanto le grandezze possono variare nel tempo. Un circuito resistivo è un circuito adinamico, questo vuol dire che tutte le grandezze presenti in ogni istante dipenderanno dalle altre solo in quello stesso istante. In questo caso trovare la soluzione vorrà dire determinare come le grandezze incognite del circuito dipendono dalle grandezze note dei generatori. Se questi variano nel tempo le grandezze determinate “seguono” i forzamenti nel tempo. Questa considerazione basta per intuire che nella risoluzione di circuiti resistivi non ha senso considerare generatori variabili nel tempo in quanto quello che interessa è individuare la dipendenza delle grandezze incognite dai generatori e non il loro andamento temporale. C’è da dire inoltre che i circuiti resistivi non stazionari descrivono un sistema idealizzato in quanto, in questo caso, si sono trascurati gli effetti capacitivi e induttivi comunque presenti. Questi possono essere trascurati se il regime è lentamente variabile, al limite stazionario. In conclusione per noi “circuito resistivo” è sinonimo di “circuito dinamico in regime stazionario”. Lo studio di un circuito dinamico in regime stazionario si riconduce allo studio di un circuito resistivo. Nel seguito introdurremo una serie di “strumenti” per i circuiti resistivi che ci aiuteranno quando saremo alla ricerca dell’integrale particolare di un regime stazionario di un circuito dinamico. Inoltre c’è da dire che una volta acquisiti questi strumenti, anche il regime sinusoidale sarà facilmente indagato in quanto con il metodo dei fasori si perviene ad un circuito equivalente che può essere studiato con l’approccio del regime stazionario. Vedremo anche che quando calcoleremo la risposta forzata di un circuito dinamico usando la trasformata di Laplace, useremo un circuito equivalente trattabile come quelli in regime stazionario. Quindi studiare i circuiti resistivi è molto importante. 2. Resistenza equivalente

Cominciamo col vedere il concetto di resistenza equivalente. Consideriamo i due morsetti A e B della Fig.1. Si osservi nei circuiti resistivi le grandezze si indicano con la lettera maiuscola.



Fig. 1 _ Circuito nel quale vogliamo calcolare una resistenza equivalente.

Il “sottocircuito a destra” dei morsetti A e B costituito da sole resistenze equivale ad un’unica resistenza che chiameremo Req. Questa può essere definita come rapporto tra la tensione V e la corrente I di Fig.1. Cioè Req=V/I. Il punto è: come calcolare la Req? Cominciamo col considerare due casi semplici. Consideriamo due resistenze prima in serie e poi in parallelo. Questi due casi sono sufficienti a calcolare la resistenza equivalente vista da due morsetti di un qualsiasi circuito resistivo anche se molto complesso. Si procede per riduzioni successive di serie e paralleli fino a giungere ad un’unica resistenza. Tuttavia c’è un caso in cui questo procedimento è costretto ad arrestarsi: quando nel circuito è presente un “triangolo” o una “stella”. Vedremo alla fine di questa lezione come trattare questo caso “anomalo”. Definiamo innanzitutto (l’avevamo anticipato nella Lezione n.2) cosa sono i bipoli connessi in serie ed in parallelo: Due bipoli si dicono connessi in serie, o più brevemente si dicono in serie, quando

hanno un solo morsetto in comune e quando la corrente di un bipolo entrante nel

morsetto comune è uguale a quella dell’altro bipolo uscente dal morsetto comune.

Due bipoli si dicono connessi in parallelo, o più brevemente si dicono in parallelo,

quando ognuno dei due ha i due morsetti in comune all’altro e quando hanno la

medesima tensione.

Il concetto di serie e parallelo di bipoli si può estendere a più di due bipoli. Nel senso che si possono considerare più di due bipoli posti in serie o più di due bipoli posti in parallelo. Stiamo trattando con resistenze. Vediamo di trovare una resistenza equivalente alla serie e poi al parallelo di due resistenze.

A

B

V

I



2.1 Resistenze serie

Fig. 2 _ Resistori in serie e resistenza equivalente. Per i resistori in serie di Fig.2 utilizziamo le leggi di Kirchhoff V=V1+V2, I1=I2. (1) Poi le relazioni caratteristiche V1 =R1I1, V2 =R2I2 (2) Ponendo I1=I2=I, otteniamo quindi V=V1+V2 =R1I1+R2I2=(R1+R2)I=ReqI , (3) Dove abbiamo introdotto la resistenza equivalente Req= R1+R2. (4) Osserviamo che, quanto ottenuto per due resistori, è banalmente vero per un qualsivoglia numero N finito di resistori, ottenendo la relazione più generale:

N

eq ii=1

R = R . (5)

Attenzione a non prendere abbagli: ad esempio la Fig. 3 mostra due resistenze non in serie!

I1 I2

R2 R1

V

V2 V1

I

V

Req



Fig.3 _ Resistenze non connesse in serie! 2.2 Resistenze parallelo

Fig. 4 _ Resistori in parallelo e resistenza equivalente.

Per i resistori in parallelo di Fig. 4 utilizziamo le leggi di Kirchhoff I=I1+I2, V1=V2. (6) Poi, ancora, le relazioni caratteristiche V1 =R1I1, V2 =R2I2 (7) Ponendo V1=V2=V, otteniamo quindi

1 2 1 21 2

1 2 1 2 eq

V V R +R 1I I I V V

R R RR R

, (8)

dove abbiamo introdotto la resistenza equivalente

R2 R1

I

V

Req I1

I2 R2

R1

V2

V1

I



1 2eq

1 2

R RR =

R +R. (9)

Si fa osservare che quanto ottenuto per due resistori, è banalmente vero per un qualsivoglia numero N finito di resistori, ottenendo la relazione più generale:

eq N

i=1 i

1R =

1

R

. (10)

Nel caso del parallelo risulta comodo calcolare la conduttanza equivalente anziché la resistenza equivalente. Risulta infatti

N

eq ii=1

G = G . (11)

È chiaro che possiamo considerare resistenze equivalenti serie e parallelo anche nel caso di circuiti dinamici. 2.3 Esercizio Calcoliamo la resistenza equivalente vista dai morsetti A-B e A’-B’ del circuito considerato in Fig. 5. Osserviamo che quando parliamo di resistenza equivalente dobbiamo sempre specificare a quale coppia di morsetti ci stiamo riferendo. Infatti a seconda della scelta della coppia di morsetti rispetto ai quali vogliamo calcolare la resistenza equivalente le resistenze possono considerarsi in serie e in parallelo tra loro. Nel caso di A-B osserviamo che R4 è in parallelo a R5 e quindi in serie a R3 ed R2, il tutto in parallelo ad R1. In calcoli: R45 = R4 R5 / (R4 + R5), R345 = R45 + R3, R2345 = R345 + R2, Req= R2345 R1/(R2345 + R1) , (12) Nel caso dei morsetti A’- B’ osserviamo che R4 è in parallelo a R5 e quindi in serie ad R1 ed R2, il tutto in parallelo ad R3. In calcoli:



R45 = R4 R5 / (R4 + R5) , R145 = R45 + R1, R2145 = R145 + R2, Req= R2145 R3/(R2145 + R3). (13) Come possiamo verificare le resistenze equivalenti dei due casi sono diverse!!

Fig. 5 – Circuito resistivo.

3. Circuiti resistivi con un generatore

In questo paragrafo richiamiamo l’attenzione su un circuito semplicissimo… il più semplice: un generatore che alimenta una resistenza. La resistenza considerata può essere una resistenza equivalente come quella calcolata nella (12) o nella (13). Immaginiamo di collegare un generatore di tensione o di corrente alla porta A – B o A’ – B’. Consideriamo i circuiti (a) e (b) di Fig. 6. Per la relazione caratteristica del resistore possiamo scrivere: V = Req I. Da questa equazione possiamo ottenere nel caso (a): I = J e V = Req J , (14) e nel caso (b): V = E e I = E / Req. (15)

R2 R3

R1

R5 R4

B

A

A’ B’



(a) (b)

Fig. 6 – Resistenza con un generatore di corrente e di tensione. 3.1 Punto di lavoro del circuito Avendo a che fare con circuiti resistivi e quindi con circuiti adinamico ha senso considerare il piano cartesiano I –V. Vediamo come in tale piano ricaviamo la (14) e la (15) graficamente. Per il circuito di Fig. 6 (a) esaminiamo il grafico di Fig. 7 (a). In tale grafico abbiamo considerato la retta relativa alla relazione caratteristica del resistore V = Req I e quella del generatore di corrente I = J; nella Fig. 7 (b) abbiamo considerato invece la retta relativa al generatore di tensione V = E. Nei due grafici il punto di intersezione delle due rette evidenziato con un punto nero si chiama “punto di lavoro” del circuito.

Fig. 7 (a) – Punto di lavoro del circuito di Fig. 6 (a).

J

I

V

E

I

V V

I

Req Req

J

ReqJ



Fig. 7 (b) – Punto di lavoro del circuito di Fig. 6 (b).

4. Teorema di Millmann

Quando un circuito è riducibile a soli due nodi A e B, è possibile determinare la tensione ai capi dei nodi in modo alquanto semplice grazie al teorema di Millman che ci permette di calcolare la tensione tra due nodi quando il circuito è nella forma di Fig. 8. Il teorema afferma che: la tensione tra i due nodi della rete è data dal

rapporto: al numeratore - la somma algebrica delle tensioni dei generatori divise per

la resistenza del ramo ad esso relativo e i generatori ideali di corrente; al

denominatore - la somma delle conduttanze di tutti i rami tra quelle presenti dove vi

sono generatori ideali di corrente. I segni dipendono dai versi fissati sui generatori. Convinciamoci con un esempio dell’enunciato.

Consideriamo il circuito di Fig. 8. Vogliamo calcolare la tensione VAB. Il circuito in esame rappresenta il caso più generale possibile nel quale ho tutti i tipi di rami ammissibili tra i nodi A e B. Gli esercizi a cui poter applicare la formula di Millman potranno avere configurazioni diverse dalla Fig. 8, l’importante è che abbiano i rami uguali ad uno di quelli presenti nelle Fig. 8. Non è quindi ammesso un lato in cui sia presente un generatore ideale di tensione. In questo caso la tensione VAB sarebbe uguale alla tensione del generatore ideale!

Per determinare la tensione presente tra i nodi A e V nel circuito di Fig. 8, cominciamo con l’imporre che la somma di tutte le correnti presenti nei rami è nulla:

0IIII 4321 . (16)

I

V

E

E/Req



Poi esprimeremo tutte le correnti in funzione della tensione VAB dove questo sia possibili. Scriviamo che:

11

1

V EI

RAB , 2

2

VI

RAB

Inoltre teniamo conto del fatto che I3 = J3 e I4= J4. Sostituendo nella (16) otteniamo:

AB 1 AB3 4

1 2

V E VJ J 0

R R

,

Da cui otteniamo quanto richiesto:

13 4

1AB

1 2

E+J +J

RV

1 1+R R

. (17)

Fig. 8 – Circuito su cui applicare il teorema di Millmann.

Questo metodo in apparenza può sembrare limitato in quanto si devono avere reti della forma rappresentata in Fig. 8, ma se parti della rete di partenza vengono prima trasformate secondo il teorema di Thevenin (vedi Lezione n. 7) ottenendo lati con generatori reali di tensione, si arriva ad una rete semplificata come quella dell’esempio.

R2 R3 R1

E1

J3 J4

VAB

A

B



5. Partitore di tensione e di corrente

Il partitore di tensione riguarda due resistenze poste in serie (unico modo per applicare il partitore!).

Fig. 9 _ Resistenze in serie per il partitore di tensione.

Se conosco il valore di due resistenze poste in serie posso, indipendentemente dal valore della corrente, sapere come si ripartisce la tensione sulle due resistenze. Vediamo come. Utilizzando la resistenza equivalente serie, abbiamo V=V1 + V2 = R1I+R2I = ReqI (18) I=V/Req. (19) Pertanto

11 1

eq

RV R I V

R e 2

2 2

eq

RV R I= V

R . (20)

Attenzione! Il partitore di tensione si può applicare solo nel caso di resistenze in serie. Non, ad esempio, per le resistenze R1 e R2 di Fig.3. Il partitore di corrente riguarda due resistenze poste in parallelo (unico modo per applicare il partitore!). Se conosco il valore di due resistenze poste in parallelo posso, indipendentemente dal valore della tensione, sapere come si ripartisce la corrente tra le due resistenze.

I

R2 R1

V

V2 V1



Fig. 10 _ Resistenze in parallelo per il partitore di corrente.

Utilizzando la resistenza equivalente parallelo V = ReqI (21) Dalle relazioni caratteristiche otteniamo banalmente

eq 21

1 1 1 2

R IV RI = I

R R R +R e eq 1

2

2 2 1 2

R IV RI = = I

R R R +R . (22)

Attenzione anche al partitore di corrente. Deve essere usato solo se le resistenze sono in parallelo. Il concetto di partitore naturalmente può venire usato per sole resistenze anche nei circuiti dinamici. 5.1 Esercizio Consideriamo il circuito di Fig. 11. Vogliamo calcolare la tensione sul resistore R4 utilizzando i partitori di corrente e tensione. Per prima cosa osserviamo che la tensione V è la tensione del resistore equivalente al parallelo di R4 ed R5, pertanto ci conviene considerare la R45=R4R5/(R4+R5). Il circuito è lineare, quindi possiamo utilizzare la sovrapposizione degli effetti. Calcoliamo la tensione V come sovrapposizione di due contributi dovuti rispettivamente al generatore E e J: V = VE + VJ . (23)

I1

I2 R2

R1

V2

V1

I



Fig. 11 – Esercizio con metodo dei partitori di corrente e tensione.

Cominciamo con il calcolo di VE. Dobbiamo spegnere il generatore di corrente (Fig. 11 (a)) quindi considerare un circuito aperto al posto del generatore J. La tensione VE è una “parte” della tensione del generatore E. Infatti questo si trova in parallelo alla resistenza equivalente serie R2+R3+R45; pertanto possiamo applicare il partitore di tensione:

45E

2 3 45

RV E

R +R +R . (24)

Fig. 11 (a)

R2 R3

R1

R5 R4

E

J

V

R2 R3

R1

R45

E

VE



Fig. 11 (b)

Controllate sempre il segno quando applicate il partitore; in questo caso è positivo perché i versi delle tensioni VE ed E sono concordi. Spegniamo ora il generatore di tensione sostituendogli un corto circuito (Fig. 11 (b)) per calcolare il contributo VJ. Osserviamo che la resistenza R45 questa volta si trova, rispetto al generatore di corrente J, in serie alla resistenza R 2 (essendo cortocircuitata la R 1) e la loro serie è in parallelo alla R3. Quindi possiamo applicare il partitore di corrente tra R 3 e R 2+ R 45 e calcolare la corrente del resistore R 45 diciamola IJ:

3J

3 2 45

RI J

R +R +R , (25)

Ed infine calcoliamo la tensione utilizzando la relazione caratteristica del resistore:

. 45 3J 45 J J

2 3 45

R RV R I = I

R +R +R . (26)

6. Serie e parallelo di generatori ideali

Il concetto di bipolo equivalente in serie ed in parallelo, può essere esteso ai generatori di tensione e di corrente ideali. Commentiamo la Fig.12.

R2 R3

R1

R45

J

VJ

IJ



Nel primo caso applicando la II legge di Kirchhoff banalmente troviamo che i due generatori in serie equivalgono ad un unico generatore il cui valore è la somma dei due. Nel secondo caso il generatore di corrente impone la sua corrente in entrambi i generatori posti in serie, mentre la tensione V rimane indeterminata essendo V=VJ+E con VJ indeterminata. Nel terzo caso si ha una incompatibilità. I generatori impongono ognuno la propria corrente entrando in conflitto. Ma questo non ci è nuovo. Nella mia teoria posso usare i generatori ideali, che sono elementi ideali appunti, ma devo stare attenta a non collegarli insieme in modo da farli essere in conflitto.

Fig. 12 _ Connessione serie di generatori ideali.

Commentiamo la Fig. 13 che darà risultati duali della Fig. 12. Il primo caso è banale!

Incompatibile!

E1

E2

E=E1+E2

E

J

J

J2

J1



Nel secondo caso la corrente IE del generatore di tensione è indeterminata e quindi lo è I, mentre la tensione è fissata dal generatore di tensione. Nel terzo caso ancora abbiamo una situazione incompatibile. Infatti i generatori di tensione chiudono una maglia entrando in conflitto con i loro valori e questo non è ammesso dal mio modello.

Fig.13 _ Connessione parallelo di generatori ideali. È chiaro che connessioni serie e parallelo di generatori ideali possono essere considerate anche in regime dinamico. Basterà considerare l’equivalenza per ogni istante temporale. 7. Trasformazione stella - triangolo

Vi sono alcuni casi in cui non è possibile trovare una resistenza equivalente in quanto non è possibile procedere alla riduzione serie o parallelo. È il caso di Fig. 14.

Incompatibile!

E

E2

E J

J=J1+J2 J2 J1

E1



Volendo calcolare la resistenza equivalente vista ai morsetti A-B non è possibile procedere con serie e paralleli. Ciò è dovuto alla presenza di stelle e triangoli nella connessione di cui si vuole calcolare la resistenza equivalente. Le resistenze R12, R13 e R23 formano un triangolo così come le resistenze R12, R14 e R24. Le resistenze R13, R12 e R14 formano una stella così come le resistenze R12, R24 e R23. Per ovviare a questo problema si procede effettuando una “trasformazione” da triangolo in stella o viceversa. Ad esempio se trasformiamo il triangolo R12, R13 e R23 in una stella (R1, R2 e R3) possiamo poi procedere al calcolo della resistenza equivalente complessiva.

Fig. 14 – Esempio di connessione di resistenze non riducibili ad una resistenza equivalente.

Una volta ottenuto il circuito di Fig. 15 è facile calcolare la resistenza equivalente basta fare: R1 serie con R14, parallelo con R2 serie R24, il tutto in serie a R3. Si osservi come, nella Fig. 15 si può osservare la comparsa di un nuovo nodo, il 5, corrispondente al centro stella della stella equivalente al triangolo originario. Questo modo di procedere si può generalizzare a tutti i casi in cui vi sono stelle o triangoli che intralciano la riduzione. Introduciamo allora delle espressioni di trasformazione tra stella e triangolo a cui riferirsi quando necessita. Innanzitutto diciamo che una stella e un triangolo ai loro tre morsetti sono equivalenti se i valori delle resistenze della stella e quelle del triangolo stanno tra loro in una certa relazione. Vogliamo trovare questa relazione.

R24

R12

R14

1

4

2

R13 R23

A

B

3



Fig.15 – Circuito di Fig. 14 dove è stata effettuata una trasformazione triangolo – stella.

In riferimento alla Fig.16, dove abbiamo rappresentato una configurazione a triangolo e una a stella, calcoliamo i legami tra le resistenze (R1, R2, R3) e (R12, R13, R23).

Fig.16 – Tre resistori connessi a triangolo (a sinistra) e a stella (a destra).

R23

R12

R13

1

3

2

R24

R2

R14

1

4

2

R1

R3

A

B

3

I1 I2

I3

I1

I3

I2

V13triangolo V13stella

5

R2

R3

R1

1

3

2



Abbiamo bisogno di tre equazioni che legano le tre terne di parametri. A tale scopo imponiamo l’equivalenza delle due configurazioni (a stella e triangolo) in tre casi diversi.

Fig. 17 – Tre resistori connessi a triangolo e a stella alimentati con un generatore di corrente.

1 caso) Colleghiamo un generatore di corrente, come abbiamo fatto nella Fig. 17, tra i morsetti 1 e 2, diciamolo I12, e lasciamo il morsetto 3 fluttuante:

. , - , 0IIIII 3122121 (26)

2 caso) Colleghiamo un generatore di corrente tra i morsetti 2 e 3, diciamolo I23, e lasciamo il morsetto 1 fluttuante:

. , - , 0IIIII 1233232 (27)

3 caso) Colleghiamo un generatore di corrente tra i morsetti 1 e 3, diciamolo I13 e lasciamo il morsetto 2 fluttuante:

. , - , 0IIIII 2133131 (28)

R23

R12

R13

1

3

2

I1 I2

I3=0

I3=0

V13triangolo V13stella

R2

R3

R1

1

3

2

I12 I1 I2

I12



Imponiamo l’equivalenza per la prima configurazione (caso 1): Le tensioni stella13V e triangolo13V imponiamo che siano uguali, cioè:

triangolostella 1313 VV .

Essendo:

13 1 1V R Istella

e 12 3113 1

12 23 13

R RV I

R +R +Rtriangolo.

si ottiene la relazione cercata:

12 131

12 23 31

R RR = .

R +R +R (29)

Imponendo, inoltre, l’equivalenza per le altre due analoghe configurazioni si ottengono le altre due relazioni:

12 232

12 23 13

R RR = ,

R +R +R (30)

23 133

12 23 31

R RR = .

R +R +R (31)

In definitiva la trasformazione triangolo – stella è dato dalle relazioni (29), (30) e (31). Per la trasformazione stella – triangolo è necessario invertire le relazioni trovate. Si ha:

1 212 1 2

3

R RR =R +R + ,

R (32)

2 323 2 3

1

R RR =R +R + ,

R (33)

1 313 1 3

2

R RR =R +R + .

R (34)



7.1 Esercizio: circuito a ponte Consideriamo il circuito a ponte di Fig. 18. Vogliamo calcolare il valore della tensione V24 sulla resistenza R24. Dati: E=10Volt, R12=R13=R23=R14=R24= meno di risolvere scrivendo tutte le equazioni di Kirchhoff per il circuito, dobbiamo procedere ad una trasformazione stella-triangolo se vogliamo utilizzare i partitori di tensione e corrente. Facciamo riferimento alla Fig. 19 dove abbiamo operato la trasformazione triangolo stella. Dalle (29), (30) e (31):

12 311

12 23 31

R R 2R = ,

R +R +R 3 12 23

2

12 23 31

R RR = 1 ,

R +R +R 23 31

3

12 23 31

R RR = 2 .

R +R +R

A questo punto possiamo considerare le resistenze serie:

1 14

11R +R

3 ; 2 24R +R 6 e il loro parallelo eq

66R

29 .

Fig. 18 – Circuito a ponte.

R24

R12

R14

1

4

2

R13 R23

3

E

V24



Fig. 19 – Circuito di Fig. 18 con sostituzione stella triangolo. Con il partitore di tensione possiamo calcolare la tensione sulla Req:

eq

eq

3 eq

R 165V E

R +R 31Volt .

Possiamo infine applicare ancora un partitore di tensione tra R2 e R24:

2424 eq

2 24

R 275V V

R +R 62Volt .

L’esercizio è risolto. Si propone allo studente di risolvere il seguente quesito: come devo scegliere il valore delle resistenze affinché nel resistore R12 di Fig. 18 non circoli corrente. Questa condizione si verifica in caso di “ponte equilibrato”.

R24

R2

R14

1

4

2

R1

R3

3

E

V24

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