Lezione 6: il campo magnetico prodotto da correnti continue il potenziale vettore Il campo magnetico...
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Lezione 6: il campo magnetico prodotto da correnti continue il potenziale vettore
Il campo magnetico prodotto da correnti continue
Osservazioni sperimentali: Orsted: correnti elettriche danno
luogo a campi magnetici;
Legge di Biot-Savart: linee di B sono cerchi
concentrici al filo
o= 4 10-7 N/A2
20
2 r
riB
r
iB
r
iB
2
0
rE
o
4
1
relazione simile a quella trovata per il campo elettrico prodotto da un filo uniformemente caricocambia la direzione: campo elettrico E è radiale campo magnetico B è circolare
idsB
rBdsB
0
2
Legge della circuitazione di Ampere
vale per qualsiasi curva
che abbracci la corrente
21
0
iii
idsB
tot
tot
principiosovrapposizione
0
i
dsB
3,2i
1
3
2
se non concatena corrente
concidsB 0 validita` generale
correnti stazionariecircuiti di forma qualsiasi
Correnti stazionarie originano campi magneticiLe linee di campo non hanno origine nè termine (curve chiuse)
conco
l
ildB 0l
ldE
campo conservativo (il lavoro e` nullo)
campo non conservativo(il lavoro dipende dal percorso)
y
H
x
HHrot
x
H
z
HHrot
z
H
y
HHrot
xyz
zxy
yzx
)(
)(
)(
Il rotore del vettore H può essere associato al calcolo di un lavoro, ad una circuitazione.
N.B. Campo conservativo: il lavoro su un qualsiasi circuito chiuso è nullo
il campo e` irrotazionale
Circuitazione e Rotorevettore
dHrotdsH )(
Significato fisico del rotore:
teorema di Stokes
0Hrot
proprieta` del rotore: 0)( Hrotdiv
CSdef
ldHS
limnHnHrot 1
)(0
In coordinate cartesiane:
zyx HHHzyx
kji
Hrot
SC
n
Correnti spaziali
= densita` di corrente
j
dBrotdsB
djdsB
djiconc
0
jBrot
0correnti
stazionarie
Applicazioni della legge di Ampere: Solenoide
avvolgimento cilindrico di filo conduttore n spire per unita` di lunghezza
interno
rl
esterno
inB 0 costante e rettilineo
0B
Sperimentalmente importante:crea campi magnetici rettilinei, costanti e confinati nello spazio(nella NMR si entra in un solenoide!)
Il Potenziale Vettore
campi magnetici stazionari
jBrot
Bdiv
0
0
campi elettrici stazionari
00
Erot
Ediv
gradE
)0)(( gradrotArotB
)0)(( Arotdiv
= potenziale scalare[] = Volt
= potenziale vettore[] = Tesla m
Potenziale vettore: funzione complicata da calcolarenon univocamente determinata (come anche ):
i risultati devono essere indipendenti dalla scelta di :
vincolo sul potenziale
tutto l’elettromagnetismo puo` essere scritto in termini di potenziali ed A,
dimenticandosi dei campi
)( gradArotArotB
0Adiv
dVr
jA
dVr
V
V
12
0
120
4
4
1
simmetria di formalismo potenziale elettrostatico-potenziale vettore magnetico
Il potenziale vettore e` originato dalle correnti
(come il campo B)
jA
jBrot
ArotB
02
0
2
2
2
2
2
22
2)()(
z
A
y
A
x
AA
AAdivgradArotrot
iiii
Il potenziale scalare e` originato dalle cariche
(come il campo E)
0
2
0
Ediv
gradE
2
2
2
2
2
22
2)(
zyx
graddiv
0 j
0
r12i
dl
B ??
Legge di Ampere-Laplace
ArotB
dVr
jA
V
12
0
4
)4
(12
0 dVr
jrotB
V
(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
11111 ),,(
z
A
y
AzyxB yz
x
2/1221
221
221
112 )()()(
zzyyxxr
3
12
120
4 r
rdlIB
dVr
rzyxj
dVr
zzzyxj
r
yyzyxj
dVrz
zyxjry
zyxjzyxB
x
yz
yzx
312
122220
312
212223
12
21222
0
121222
121222
0111
),,(
4
),,(),,(4
1),,(
1),,(
4),,(
correnti in circuiti filiformi:prima legge
di Ampere-Laplace
e` una legge formale: per verificarla sperimentalmente dovrei tagliare il filo! 3
12
120
4 r
rdlIBd
Il dipolo magnetico
dipolo magnetico spira piana di piccole dimensioniil campo B ha stessa forma del campo E di un dipolo elettricocomportamento dipolo magnetico e` analogo a dipolo elettrico
calcolo di A in analogia con elettrostatica:Ax e generato da jx
equivale a potenziale scalare prodotto da xj00
30
30
4)(
4
1)(
r
ybaP
baqp
r
rpP
= densita` di carica lineareS= sezione del filo
SI
S
110
0
qp - +
04
4
30
30
z
y
x
Ar
xabIA
r
yabIA
non ci sono correnti nella direzione z
AreaIabIA
350
)(34
1
r
p
r
rrpE
gradE
304
1)(
r
rpP
qp - +
momento di dipolo elettrico
350 )(3
4
)(
rr
rrB
ArotB
momento di dipolo magnetico
nabI
30
4 r
rA
sorgenti diverse (dipolo e spira) originano campi uguali solo a grandi distanze, lontano dalle sorgenti
Dipolo magnetico in un campo magnetico
hh
dldl
dldl
il circuito non subisce un moto traslatorio (si vede sperimentalmente) ogni tratto di circuito subisce una forza F(in direzione e verso differente)
il circuito risente di una coppia di forze di momento M:
seconda legge di Laplace per un circuito chiuso:
c
BdliBdliBdliF 0
FhM
sendlhBidM
BdiF
BBniSM
BsenSiM
superficie infinitesima racchiusa dai due segmenti di circuito dl. )(senhddS
campo magnetico su un ago magnetizzato:
rotazione dell’ago fino ad allineamento con Bago subisce un momento M:(analogamente a spira percprsa da corrente)
Principio di Equivalenza di Ampere
BM
e` costante caratteristica dell’ago magnetizzato
BniSMBM
azione di un campo magnetico
su ago magnetizzato
con momento
azione di un campo magnetico
su spira percprsa da corrente i
iS
campo magnetico generato dal magnete iS
campo magnetico generato dalla spira