Uso de la Ley del Enfriamiento de Newton para determinar un aproximado a la hora de la muerte de una personaEn muchas ocasiones, el poder conocer un aproximado a la hora de la muerte de una persona es de vital importancia para llevar a cabo la investigacin.Esta aproximacin se puede obtener mediante el uso de la Ley del Enfriamiento de Newton que establece que:Si un cuerpo u objeto que tiene una temperatura T0 es depositado en un medio ambiente que se mantiene a una temperatura Ta constante, con Ta T0, con el paso del tiempo, la temperatura del cuerpo tiende a ser igual a la temperatura del medio que lo rodea. Es decir, si T (t) es la temperatura del cuerpo en el tiempo t, entonces T (t) Ta cuando t crece. Esta ley afirma que la rapidez de cambio de la temperatura de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio circundante. Esto es,

donde k es la constante de proporcionalidad.

Pueden presentarse dos situaciones:1. Cuando T0 > Ta, en este caso la temperatura del cuerpo decrece2. Cuando T0 < Ta, en este caso la temperatura del cuerpo aumenta sin importar el caso que se tenga, ya sea enfriamiento o calentamiento, la ecuacin diferencial tendr sentido siempre y cuando k tenga un valor negativo (K < 0).

Problema:La polica descubre el cuerpo de un profesor de ecuaciones diferenciales. Para resolver el crimen es decisivo determinar cundo se cometi el homicidio. El forense lleg al medio da y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de 29.4 grados Celsius. Espera dos horas y observa que la temperatura del cuerpo ha disminuido a 23.3 grados Celsius. Asimismo, observa que la temperatura de la habitacin es constante a 20 grados Celsius. Suponiendo que la temperatura de la vctima era normal en el momento de su fallecimiento (37 grados Celsius), determinar la hora en que se cometi el crimen.

Resolucin:La ecuacin para llegar a la aproximacin del momento del fallecimiento es la siguiente

donde k tiene un valor constante.

Usando los datos obtenidos por el forense se obtiene la ecuacin se convierte en la siguiente:

En este caso se tiene una ecuacin diferencial que puede ser resuelta por separacin de variables

Usando el primer valor de la temperatura obtenido por el forense se obtiene el valor de la constante de integracin c.

Usando el segundo valor de la temperatura se obtendr el valor de la constante k

Puede afirmarse que el procedimiento fue correcto debido a que se lleg a un valor negativo de k.

Los datos obtenidos se introducen en la ecuacin y se obtiene

Considerando que la temperatura del profesor en el momento de su muerte era de 37 grados Celsius:

El valor de t representara el tiempo transcurrido desde la muerte hasta que encontraron su cuerpo y se obtiene simplemente despejando

Se llega a la aproximacin que el profesor de ecuaciones falleci aproximadamente 1 hora con 8 minutos antes de que descubrieran su cuerpo.