Ley de Darcy_V.01

INGENIERA DE YACIMIENTOS I MSc. Ibonne Mejias

Versin por revisar, V.01 1

FLUJO DE FLUIDO EN UN MEDIO POROSO

1. GEOMETRA DEL YACIMIENTO

La forma del yacimiento tiene un efecto significativo en el comportamiento de flujo. La

mayora de los yacimientos tienen lmites irregulares y la descripcin matemtica rigurosa

de su geometra es posible estudiarla con el uso de simuladores numricos. Sin embargo,

para muchos propsitos de ingeniera, la geometra de flujo actual se puede representar por

uno de las siguientes geometras:

- flujo radial;

- flujo lineal;

- flujo esfrico y hemisfrico.

1.1 Flujo radial En la ausencia de heterogeneidades severas del yacimiento, el flujo dentro o fuera de un

pozo seguira lneas radial de flujo a una distancia sustancial del pozo. Debido a que los

fluidos se mueven hacia el pozo de todas direcciones y cobertura al pozo, el trmino de

flujo radial se usa para caracterizar el flujo de fluido dentro del pozo. La figura 1 muestra

lneas de flujo idealizadas y lneas iso-potenciales para un sistema de flujo radial.

Figura 1. Flujo radial ideal en un pozo (Ahmed & McKinney, 2005).



1.2 Flujo lineal El flujo lineal ocurre cuando los patrones de flujo son paralelos y el fluido fluye en una

sola direccin. Adicionalmente, el flujo de la seccin de rea transversal debe ser constante.

La figura 2 muestra un sistema de flujo lineal idealizado. Una aplicacin comn de las

ecuaciones de flujo lineal es el flujo de fluido en fracturas hidrulicas verticales como se

ilustra en la figura 3.

Figura 2. Flujo lineal (Ahmed & McKinney, 2005).

Figura 3. Flujo lineal ideal en una fractura vertical (Ahmed & McKinney, 2005).



1.3 Flujo esfrico y hemisfrico Dependiendo de la configuracin del tipo de completacin del pozo, es posible tener

flujo esfrico o hemisfrico cerca del pozo. Un pozo con un intervalo perforado limitado

podra resultar en flujo esfrico en la vecindad de las perforaciones como se ilustra en la

figura 4. Un pozo donde solo existe penetracin parcial en la zona de petrleo, como se

muestra en la figura 5, podra resultar en flujo hemisfrico. La condicin podra surgir

cuando hay una conificacin importante de agua.

Figura 4. Flujo esfrico debido a entrada limitada (Ahmed & McKinney, 2005).

Figura 5. Flujo hemisfrico en una penetracin parcial del pozo (Ahmed & McKinney, 2005).

2. NMERO DE FLUIDOS FLUYENDO EN EL YACIMIENTO Las expresiones matemticas que son usadas para predecir el desempeo volumtrico y

el comportamiento de presin de un yacimiento varan en forma y complejidad,

dependiendo del nmero de fluidos que se mueven en el yacimiento. Existen generalmente

3 casos de sistema de flujo:



- flujo de una sola fase (petrleo, agua o gas);

- flujo de dos fases (petrleo-agua, gas-petrleo o gas-agua);

- flujo de tres fases (petrleo, agua y gas).

La descripcin del flujo de fluido y el anlisis subsiguiente de datos de presin llegan a

ser ms difciles cuando aumenta el nmero de fluidos movindose en el yacimiento.

3. LEY DE DARCY La ley fundamental del movimiento de fluidos en un medio poroso es la Ley de Darcy.

La expresin matemtica desarrollada por Darcy en 1956 indic que la velocidad de un

fluido homogneo en un medio poroso es proporcional al gradiente de presin, e

inversamente proporcional a la viscosidad de un fluido. Para un sistema lineal horizontal, la

relacin es:

dxdpk

Aqv == , (1)

v es la velocidad aparente en centmetros por segundo y es igual a q/A, donde q es el caudal

de flujo volumtrico en centmetros cbicos por segundo y A es el rea total de la seccin

transversal de la roca en centmetros cuadrados. En otras palabras, A incluye el rea del

material rocoso como un rea de los canales porosos. La viscosidad del fluido, , se expresa en unidades de centipoise, y el gradiente de presin, dp/dx, en atmsfera por

centmetro; tomado en la misma direccin de v y q. La constante de proporcionalidad, k, es

la permeabilidad de la roca expresado en unidades Darcy.

El signo negativo de la ecuacin (1) se adiciona debido a que el gradiente de presin

dp/dx es negativo en la direccin de flujo como se muestra en la figura 6.



Figura 6. Presin versus distancia en flujo lineal (Ahmed & McKinney, 2005).

Para un sistema radial-horizontal, el gradiente de presin es positivo (ver figura 7) y la

ecuacin de Darcy se puede expresar en la siguiente forma radial generalizada:

rr

r

rpk

Aqv

== , (2)

donde:

qr : caudal de fuljo volumtrico a r

Ar: rea transversal de flujo a r

( p/ r)r v: velocidad aparente a r

El rea de seccin transversal al radio, r, es esencialmente el rea de la superficie de un

cilindro. Para un pozo penetrado totalmente con un espesor neto de h, el rea Ar se da por:

hrAr 2=



Figura 7. Gradiente de presin en flujo radial (Ahmed & McKinney, 2005).

La Ley de Darcy se aplica solamente cuando existen las siguientes condiciones:

- flujo laminar (viscoso);

- flujo en estado estable;

- fluidos incompresibles;

- formacin homognea.

Para flujo turbulento, el cual ocurre a altas velocidades, el gradiente de presin se

incrementa a caudales ms grandes; requiriendo una modificacin a la ecuacin de Darcy.

Cuando existe flujo turbulento, la aplicacin de la ecuacin de Darcy puede resultar en

serios errores.

3.1 Flujo en estado estable Se dice que es flujo es estado estable cuando la presin a travs de todo el yacimiento

no cambia con tiempo. Puede ocurrir a diferentes tipos de fluidos, en diferentes geometras

de un yacimiento, como se muestran a continuacin:



a) Flujo lineal de fluidos incompresibles.

En un sistema lineal, se asume que el flujo ocurre a travs de un rea transversal

constante, A, donde ambos extremos estn abiertos a flujo. Se asume que no hay flujo

cruzado a los lados, en el tope o en la base como se muestra en la figura 8. Si un fluido

incompresible esta fluyendo a travs del elemento dx, entonces la velocidad del fluido, v, y

el caudal de flujo, q, son constantes en todos los puntos. El comportamiento de flujo en este

sistema se puede expresar por la forma diferencial de la ecuacin de Darcy (ecuacin 1).

Separando variables de la ecuacin e integrando sobre la longitud del sistema lineal:

=2

10

p

p

L

dpkdxAq

,

el cual resulta en:

( )L

ppAkq 21 = .

Se desea expresar la relacin de arriba en unidades de campo, o:

( )L

ppAk,q 210011270 = , (3)

donde:

q : caudal de flujo, BY/d

k: permeabilidad absoluta, md

p: presin, psia

: viscosidad, cp L: longitud (distancia), pies

A: rea transversal, pie2



Figura 8. Modelo de flujo lineal (Ahmed & McKinney, 2005) (Ahmed & McKinney, 2005).

Ejemplo 1.

Un fluido incompresible fluye en un medio poroso lineal con las siguientes

propiedades:

L = 2000 pies, h = 20 pies, ancho (w) = 300 pies

k = 0,1 D, = 15%, = 2 cp p1 = 2000 psia, p2 = 1990 psi

Calcular: i) caudal de flujo en BY/d; ii) velocidad aparente del fluido en pie/da; iii)

velocidad actual del fluido en pie/da.

La diferencia en la presin (p1-p2) en la ecuacin (3) no es solamente por las fuerzas de

empuje en un yacimiento inclinado. Las fuerzas gravitacionales es otra fuerza de empuje

que se debe contabilizar para determinara la direccin y el caudal de flujo. El gradiente

gravitacional del fluido es siempre dirigido verticalmente hacia abajo mientras la fuerza

que resulta de una cada de presin aplicada puede ser en cualquier direccin. La fuerza

causante del flujo entonces sera el vector suma de estas dos fuerzas. En la practica, se

obtiene este resultado introduciendo un nuevo parmetro, llamado potencial de flujo, el

cual tiene las mismas dimensiones de presin, es decir, psi. Su smbolo se denota por . El



potencial de flujo a cualquier punto en el yacimiento se define como la presin a ese punto

menos la presin que sera ejercida por el cabezal del fluido que se extiende a

arbitrariamente a un nivel de datum asignado. Al dejar zi, la distancia vertical desde un punto i en el yacimiento a este nivel del datum:

144i i ip z = , (4)

donde es la densidad en lb/pie3. Expresando la densidad del fluido en g/cm3 en la ecuacin (4), da:

0 433i i y ip , z = , (5) donde:

i: flujo potencial al punto i, psia, pi: presin al punto i, psia,

zi: distancia vertical desde el punto i al nivel del datum seleccionado, : densidad del fluido bajo condiciones de yacimiento, g/cm3.

El datum es comnmente seleccionado al CGP, CAP o el punto ms alto en la

formacin. Usando las ecuaciones (4) (5) para calcular el potencial de flujo i a una localizacin i, la distancia vertical zi se asigna como un valor positivo cuando el punto i esta

debajo del nivel del datum y un valor negativo cuando est por encima del nivel del datum.

En otras palabras:

- Si el punto i esta por arriba del nivel del datum:

144i i ip z = + ,

y su equivalente:

0 433i i y ip , z = + . - Si el punto i esta por debajo del nivel del datum:

144i i ip z = ,

y su equivalentemente:

0 433i i y ip , z =



Aplicando los conceptos generalizados en la ecuacin de Darcy, se tiene:

( )1 20 001127, k AqL

= . (6)

Se debe apuntar que la cada de potencial de flujo (1 - 2) es igual a la cada de presin (p1 p2) solamente cuando el sistema de flujo es horizontal.

Ejemplo 2.

Asumir que el medio poroso con las propiedades dadas en el ejemplo 1, est inclinado

con un ngulo de inclinacin de 5 como se muestra en la figura (9). El fluido

incompresible tiene una densidad de 42 lb/pie3. Responder las mismas preguntas del

ejemplo 1.

Figura 9. Ejemplo de la capa inclinada (Ahmed & McKinney, 2005).

b) Flujo lineal de fluidos ligeramente compresibles.



c) Flujo lineal de fluidos compresibles (gases).

Para flujo de gas viscoso (laminar) en un sistema lineal homogneo, la ecuacin de

estado para gases reales se puede aplicar para calcular el nmero de moles de gas a la

presin p, temperatura T y volumen V:

p VnZ R T

= .

A condiciones estndar, el volumen ocupado por n moles se da por:

sc scsc

sc

n Z R TVp

= .

Combinando las dos expresiones de arriba y asumiendo Zsc = 1, se tiene:

sc sc

sc

p Vp VZ T T

= .

Equivalentemente, la relacin de arriba se puede expresar en trminos del caudal de

flujo a condiciones de yacimiento q, en BY/d, y el caudal de flujo a condiciones de

superficie Qsc, en PCY/d, como:

( )5 615 sc scsc

p Qp , qZ T T

= .

Reordenando:

5 615sc sc

sc

p QZ T qT p ,

= , (7)

donde:

q: caudal de flujo de gas a p en BY/d,

Qsc: caudal de flujo de gas a condiciones normales, PCND (PCND),

Z: factor de compresibilidad del gas,

Tsc, psc: presin y temperatura a condiciones normales en R y psia, respectivamente.

Dividiendo ambos lados de la ecuacin por el rea de seccin transversal e igualando

con la Ley de Darcy, se obtiene:

0 0011275 615

sc sc

sc

p Qq Z T k d p,A T p , d x

= = .



La constante 0,001127 es para convertir las unidades a campo. Separando variable y

reordenando a condiciones de campo: 2

100 00632

pLsc sc

sc gp

Q p T pdx dp, k T A Z

= . Asumiendo que el producto de Zg es constante sobre el rango de presin especfico

entre p1 y p2, e integrando, se da: 2

10

10 00632

pLsc sc

sc g p

Q p T dx p dp, k T A Z

= , o:

( )2 21 20 003164 scscsc g

, T A kQ p pp T Z L= ,

donde:

Qsc: caudal de flujo a condiciones normales, PCND,

k: permeabilidad, md,

T: temperatura, R,

g: viscosidad, cp, A: rea trasversal, pie2,

L: longitud total del sistema lineal, pies.

Ajustando psc = 14,7 psi y Tsc = 520 R en la expresin dada:

( )2 21 20 111924sc

g

, A k p pQ

T Z L= (8)

Es esencial notar que estas propiedades del gas Z y g son fuertemente funciones de la presin, pero se han removido de la integral para simplificar la forma final de la ecuacin

de flujo para gas. La ecuacin de arriba es valida para aplicaciones donde la cada de

presin es menos que 2000 psi. Las propiedades del gas se deben evaluar a presiones

promedio como se define abajo: 2 21 2

2p pp = (9)



Ejemplo 3

Un gas natural con una gravedad especfica de 0,72 esta fluyendo en un medio poroso

lineal a 140F. Las presiones aguas arriba y aguas abajo son 2100 psia y 1894,73 psia,

respectivamente. El rea de seccin transversal es constante a 4500 pies2. La longitud total

es 2500 pies, con una permeabilidad absoluta de 60 md. Calcular el caudal de flujo de gas

en PCY/d (psc = 14,7 psia, Tsc = 520 R). La viscosidad del gas est dada por 0,0173 cp.

d) Flujo radial de fluidos incompresibles.

En el sistema de flujo radial, todos los fluidos se mueven hacia el pozo productor en

todas direcciones. Sin embargo, debe existir una presin diferencial para que exista

movimiento de fluidos. De all si un pozo productor de petrleo, el cual implica un flujo de

fluidos a travs de la formacin al pozo, la presin en la formacin al pozo debe ser menor

que la presin en la formacin a algunas distancia del pozo.

La presin en la formacin en el pozo productor se conoce como presin de fondo

fluyente (pwf).

Considere la figura 10, la cual ilustra esquemticamente el flujo radial de un fluido

incompresible hacia un pozo vertical. Se considera que el espesor de la formacin es

uniforme, h, y permeabilidad constante, k. Debido a que el fluido es incompresible, el

caudal de flujo, q, debe ser constante a cualquier radio. Debido a la condicin de flujo en

estado estable, el perfil de presin alrededor del pozo se mantiene constante con el tiempo.

pwf representa la presin de fondo fluyente a un radio del pozo, rw, y pe denota la presin

externa al radio externo o radio de drenaje. La ecuacin de Darcy generalizada por la

ecuacin se puede usar para determinar el caudal de flujo a cualquier radio, r:

0 001127r

q k dpv ,A dr= =

donde:

v: velocidad aparente del fluido, BY/d pie2;

q: caudal de flujo a r, BY/d;

k: permeabilidad, md;

: viscosidad, cp;



0,001127: factor de conversin para expresar la ecuacin en unidades de campo;

Ar: rea transversal a r.

Figura 10. Modelo de flujo radial (Ahmed & McKinney, 2005).

El signo menos no se requiere para sistema radial como se muestra en la figura (10); ya

que el radio se incrementa en la misma direccin de la presin. En otras palabras, como el

radio se incrementa desde el pozo, la presin tambin aumenta en esa direccin. A

cualquier punto en el yacimiento, el rea de seccin transversal donde ocurre el flujo sera

el rea de un cilindro, el cual es 2 r h, o: 0 001127

2r

q q k dpv ,A r h dr = = = .

El caudal de flujo para un sistema de petrleo se expresa normalmente en unidades en

superficie; es decir, barriles en tanque (BN) en vez de unidades de yacimiento. Usando el

smbolo Qo para representar el flujo de petrleo cuando se expresa en BNPD, entonces:

o o oq Q= ,



donde o es el factor volumtrico en BY/BN. El caudal de flujo en la ecuacin de Darcy se puede expresar en BNPD, dado:

0 0011272

o oQ k dp,r h dr

= .

Integrando esta ecuacin entre dos radios, r1 y r2, cuando la presin son p1 y p2, se

tiene: 2 2

1 1

0 0011272

r po

o or p

Q dr k, dph r = . (10)

Para un sistema incompresible en una formacin uniforme, la ecuacin (10) se puede

simplificar a: 2 2

1 1

0 0011272

r po

o or p

Q dr k, dph r = .

Desarrollando las integrales, se tiene:

( )( )2 12 1

0 00708o

o o

, k h p pQ

ln r r = .

Frecuentemente los dos radios de inters son el radio del pozo, rw, y el radio de drenaje,

re. Entonces:

( )( )

0 00708 e wfo

o o e w

, k h p pQ

ln r r = , (11)

donde:

Qo: caudal de flujo, BND;

pe: presin externa, psia;

pwf: presin de fondo fluyente, psia;

k: permeabilidad, md;

o: viscosidad del petrleo, cp; o: factor volumtrico del petrleo, BY/BN; h: espesor, pies;

re: radio de drenaje o externo, pie;

rw: radio del pozo, pie.



El radio externo (drenaje), re, generalmente se determina del espaciamiento de los

pozos de acuerdo al rea tipo. Por ejemplo para un crculo sabemos: 2

eA r= . En la prctica, generalmente no se conoce con precisin el radio del pozo ni el radio

externo. Afortunadamente, estas constantes entran en la ecuacin como un logaritmo; as

que el error en la ecuacin sera menor que si slo se usaran los radios.

La ecuacin (11) se puede re-arreglar para resolver para la presin, p, a cualquier radio,

entonces se tiene:

( )0 00708

o o owf e w

Qp p ln r r, k h

= + . (12)

Ejemplo 4.

Un pozo de petrleo en el Campo UNI-01 se produce a un caudal estabilizado de 600

BND a una presin de fondo fluyente de 1800 psia. Anlisis de pruebas build-up indicaron

que la zona de petrleo se caracteriza por una permeabilidad de 120 md y un espesor

uniforme de 25 pies. El pozo drena de un rea de aproximadamente 40 acres. Se dispone de

la siguiente informacin adicional:

rw = 0,25 pie, o = 1,25 BY/BN, o = 2,5 cp Calcular el perfil de presin (distribucin) y listar las cadas de presin a travs de

intervalos de 1 pies desde rw a 1,25 pies, 4 a 5 pies, 19 a 20 pies, 99 a 100 pies y 744 a 745

pies.

Algunos autores han sugerido que la presin promedio del yacimiento, py, la cual se

reporta en resultados de pruebas de pozos, se debera usar en clculos de balance de

materiales y en la prediccin de caudal de flujo. Craft & Hawkins (1959) mostraron que la

presin promedio se localiza cerca del 61% del radio de drenaje para la condicin de flujo

en estado estable.

Sustituyendo 0,61 re en la ecuacin (12), se tiene:

0 610 61

0 00708o o o e

@r , re y wfw

Q , rp p p ln, k h r

=

= = + ,

o en trmino de caudal de flujo:



( )( )

0 007080 61

y wfo

o o e w

, k h p pQ

ln , r r = , (13)

o:

( )( )

0 007080 5

y wfo

o o e w

, k h p pQ

ln r r , =

. (14)

Golan & Whitson (1986) sugirieron un mtodo para aproximar el rea de drenaje de

pozos productores de un yacimiento comn. Estos autores asumieron que el volumen

drenado por un solo pozo es proporcional a su caudal de flujo. Asumiendo propiedades del

yacimiento constante y espesor uniforme, el rea de drenaje aproximado de un solo pozo,

Aw, es:

o,ww T

T

qA A

q =

, (15)

donde:

Aw: rea de drenaje de un pozo,

AT: rea de total del campo,

qT: caudal de flujo total del campo,

qo,w: caudal de flujo del pozo.

e) Flujo radial de fluidos ligeramente compresibles.

f) Flujo radial de fluidos compresibles (gases).

La forma bsica diferencial de la Ley de Darcy para flujo laminar horizontal es valida

para describir el flujo tanto para sistema de petrleo como gas. Para un flujo radial de gas,

la ecuacin de Darcy toma la forma:

( )0 001127 2gr

g

, r h k dpqdr

= , (16)

donde:

qgr: caudal de flujo de gas a r, BY/d;

r: distancia radial, pie;

h: espesor de la zona, pie;

g: viscosidad del gas, cp;



p: presin, psi;

0,001127: constante de conversin a unidades de campo.

El caudal de gas tradicionalmente se expresa en PCY/d. Refirindose al caudal de gas a

condiciones estndar (superficie) como Qg, el caudal de gas qgr bajo condiciones de fondo

fluyente se puede convertir a condiciones de superficie aplicando la definicin del factor

volumtrico del gas g a qgr como: gr

gg

qQ = ,

donde:

5 615sc

gsc

p Z T, T p

= (BY/PCN),

o,

5 615sc

g grsc

p Z T Q q, T p

= , (17)

donde:

psc: presin a condiciones normales, psia;

Tsc: temperatura a condiciones normales, R;

Qg: caudal de flujo de gas, PCND;

qgr: caudal de gas a r, BY/d;

p: presin a r, psia;

T: temperatura del yacimiento, R;

Z: factor de compresibilidad del gas a p y T.

Combinando la ecuacin (16) y (17), se tiene, y separando variables:

( )0 001127 25 615

scg

sc g

, r h kp Z T dpQ, T p dr

= .

Asumiendo que Tsc = 520 R y psc = 14,7 psia:

20 703gg

T Q dr p, dpk h r Z

= . (18)

Integrando la ecuacin (18) desde las condiciones del pozo (rw y pwf) a cualquier punto

en el yacimiento (r y p), se obtiene:



20 703w wf

prg

gr p

T Q dr p, dpk h r Z

= . (19) Imponiendo las condiciones de la Ley de Darcy en la ecuacin (19), es decir, flujo en

estado estable; lo cual requiere que Qg es constante a cualquier radio, y formacin

homognea, lo cual implica que k y h sean constantes, se obtiene:

20 703wf

pg

w gp

T Q r pln , dpk h r Z

= . (20) El trmino:

2

wf

p

gp

p dpZ ,

se puede expandir de la siguiente forma:

0 0

2 2 2wf

wf

pp p

g g gp

p p pdp dp dpZ Z Z

= . Reemplazando la integral en la ecuacin (20) con la forma expandida:

0 0

2 20 703wfpp

g

w g g

T Q r p pln , dp dpk h r Z Z

= . (21)

La integral ( )0

2p

gp Z dp es llamada pseudo-potencial del gas real o pseudo-presin del gas real y generalmente se representa por ( )m p o . As: ( )

0

2p

g

pm p dpZ

= = . (22)

La ecuacin (22) se puede escribir en trminos de la pseudo-presin del gas real como:

[ ]0 703g ww

T Q rln ,k h r

= ,

o:

0 703g

ww

T Q rln, k h r

= + . (23)



La ecuacin (23) indica que un grfico de vs. ln(r/rw) dara una lnea recta con una pendiente de gQ T 0 703 k h/ , y un valor del intercepto de w como se muestra en la figura (11). El caudal de flujo entonces se da por:

[ ]( )

0 703 wg

w

, k hQ

T ln r r = . (24)

En el caso particular cuando r = re, entonces:

[ ]( )

0 703 e wg

e w

, k hQ

T ln r r = , (25)

donde:

e: pseudo-presin del gas real evaluado de 0 a pe, psi2/cp; w: pseudo-presin del gas real evaluado de 0 a pwf, psi2/cp; k: permeabilidad, md;

h: espesor, pies;

re: radio de drenaje, pie;

rw: radio del pozo, pie;

Qg: caudal de flujo del gas, PCND.

Figura 11. Grfico de vs. ln(r/rw) (Ahmed & McKinney, 2005).



Debido a que el caudal de gas se expresa comnmente en MPCPD, la ecuacin (25) se

puede expresar como:

[ ]( )1422

e wg

e w

k hQ

T ln r r = , (26)

La ecuacin (26) se puede expresar en trminos de la presin promedio del yacimiento,

en vez de la presin inicial del yacimiento como:

( )1422 0 5y w

ge w

k hQ

T ln r r , =

. (27)

Para calcular la integral en la ecuacin (27), los valores de 2 gp Z son calculaos para varios valores de presin, p. Entonces se grafica 2 gp Z vs. p en coordenadas rectangulares y el rea bajo curva se calcula numricamente o grficamente, donde el rea

bajo la curva de p=0 a cualquier presin p, representa el valor de correspondiente a p.

Ejemplo 5.

Los datos PVT de un pozo de gas en el Campo Uni-02S se muestra en la siguiente

tabla:

El pozo esta produciendo a una presin de fondo fluyente estabilizada de 3600 psia. El

radio del pozo es 0,3 pies. Se disponen de los siguientes datos adicionales:



k = 65 md, h = 15 pies, T = 600 R

pe = 4400 psia, re = 1000 pies

Calcular el caudal de gas en MPCND.

El caudal de gas se puede aproximar, moviendo el trmino 2 gp Z fuera de la integral como una constante. Se debe sealar que el producto 2 gp Z se considera constante solamente bajo un rango de cada de presin menor que 2000 psi. La ecuacin

(26) se puede re-escribir como:

( )2

1422

e

wf

p

ge w gp

k h pQ dpT ln r r Z

= . Extrayendo el trmino 2 gp Z de la integral e integrando, se tiene:

( )( ) ( )

2 2

1422e wf

gg e wavg

k h p pQ

T Z ln r r= , (28)

El trmino ( )g avgZ se evala a una presin promedio que esta definida por la siguiente expresin:

2 2

2wf ep pp+=

Ejemplo 6.

Usando los datos dados en el ejemplo 5, resolver el caudal de gas usando el mtodo

sugerido. Compare con el mtodo exacto.

g) Flujo multifsico.

Cuando diferentes fluidos se mueven simultneamente en un sistema poroso horizontal,

el concepto de permeabilidad efectiva de cada fase y las propiedades fsicas asociadas se

deben usar en la ecuacin de Darcy. Par un sistema radial, la ecuacin de darcy

generalizada se puede aplicar a cada yacimiento de la siguiente forma:



20 001127o oo

h dpq , kdr

= ,

20 001127w ww

h dpq , kdr

= ,

20 001127g gg

h dpq , kdr

= ,

donde:

ko, kw, kg: permeabilidad efectiva al petrleo, agua y gas respectivamente, md;

o, w, g: viscosidad del petrleo, agua y gas respectivamente, cp; qo, qw, qg: caudal de flujo para el petrleo, agua y gas respectivamente, BY/d.

Usando los conceptos ya explicados con anterioridad en la ecuacin de Darcy y

expresando el caudal de flujo en condiciones estndar:

0 00708 rooo o

k dpQ , h kdr

= , (29)

0 00708 rwww w

k dpQ , h kdr

= , (30)

0 00708 rggg g

k dpQ , h kdr

= . (31)

El factor volumtrico del gas esta expresado en:

0 005035gZ T,

p = , (BY/PCN).

Fase de petrleo

( ) ( )( )

0 00708 ro e wfo

o o e w

, h k k p pQ

ln r r = (32)

Fase de agua

( ) ( )( )

0 00708 rw e wfw

w w e w

, h k k p pQ

ln r r = (33)



Fase de gas

( ) ( )( )1422

rg e wg

e w

h k kQ

T ln r r = (34)

o,

( ) ( )( ) ( )

2 2

1422e wfrg

gg e wavg

h k k p pQ

Z T ln r r= , (35)

En numerosos clculos de ingeniera de petrleo, es conveniente expresar el caudal de

flujo de cualquier fase como una relacin de otra fase de flujo. Dos importantes relaciones

de flujo son la relacin agua-petrleo instantneo (RAP) y la relacin gas-petrleo

instantneo(RGP). La forma de Darcy generalizada se puede determinar para determinar

ambas relaciones de flujo.

La relacin agua-petrleo se define como la relacin del caudal de agua al caudal de

petrleo. Ambos caudales son expresados en barriles de tanque por da, o:

w

o

QRAPQ

= ,

o,

rw o o

ro w w

kRAPk

= , (36)

donde RAP viene expresado en BN/BN.

La RGP instantnea se define como el flujo total de gas (es decir, gas libre y gas en

solucin), dividido por el caudal de petrleo, o:

o s g

o

Q R QRGP

Q+= ,

o:

gs

o

QRGP R

Q= + (37)

donde:

RGP: relacin gas-petrleo instantneo, PCN/BN;

Rs: solubilidad del gas, PCN/PCY;



Qg: caudal de flujo de gas libre, PCND;

Qo: caudal de flujo de petrleo, BND.

Sustituyendo ecuaciones, tenemos:

rg o os

ro g g

kRGP R

k

= + (38)

BIBLIOGRAFA Ahmed, T. y Mckinney, P. (2005). Advanced reservoir engineering. Elseiver. Usa.

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