Les premiers pas de la science

Naissance de la science

Ci-dessus à gauche : sculpture du dieu Pan par FanisSakellariou (1916-2000), aux buttes Chaumont, Paris (don du comité scientifique grec de Genève à la ville); (à droite)

dessin personnel nativité à la grotte de Morgat

1Gwendal Idot, Enseignant mathématiques,

Conférencier Université Paris Loisirs24/07/2014

Feuille de route

I. Les savoirs faire fondamentaux dans la première antiquité.

a. Naissance de la géométrie et premier systèmes de numération.

b. Développement des administrations et savoirs faire fondamentaux. Exemples: 1, 2, 3, 4, 5

c. Cependant pas de science.

II. Les premiers pas de la science en Méditerranée.a. Les fondateurs sont-ils vraiment sages? Thalès,

Pythagoreb. L’académie de Platon critique les sophistes,

néanmoins Aristote découvre une logique encore inconsistante.

c. Lumière sur la Méditerranée et couché de Soleil

Photo unique du puits d’EratosthènePhotos de SyracuseIndex des cartes et des dates.Index des nomsIndex des notionsIndex des idéesBibliographie.



Naissance de la géométrie avec l’essor des grandes civilisations antiques (édifices) au bord de 3 fleuves…

• Pour l’historien grec Hérodote (vers484-425 av. JC) la géométrie trouveses origines 2 000 ans av notreère dans les crues répétées du Nil.

• Pour reconstituer les limites desterrains et construire des anglesdroits, les arpenteurs égyptiensutilisaient des cordes à 13 nœuds (delongueur 12) permettant de formerun triangle rectangle avec lesmesures 3, 4, 5. (Suivant le théorèmede Pythagore on vérifie que 3²+4²=5²)

La traditionnelle « felouque » ci-contre(ci-dessus temple de Philae) et insecterepêché sur le Nil en train de se noyerdans la piscine du bateau (voyage2014).

24/07/2014Gwendal Idot, Enseignant mathématiques,

Conférencier Université Paris Loisirs3

…sur la base de systèmes de numération différents.

• A Sumer : système de position enbase 60 (division de l’année en365 jours, de l’heure en 60minutes, des angles d’un cercleen 360 degrés)

• Inde : origines des chiffres dits« arabes » (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,et 0).

• Egypte : système additif (I, II, III,IIII, IIIII, IIIIII, IIIIIII, IIIIIIII, IIIIIIIII,∩…) que l’on voit sur la table demultiplication au temple Amon-Ré (Luxor), système décimal (sansle zéro)

Ci-contre : tables de multiplication (-2000 ans) au temple de Luxor,temple d’Amon (haut).



Le développement des administrations par l’enseignement des mathématiques…

Unification des moyens de gestion : calendrier;comptabilité; métrologie:

• Les Sumériens avaient aussi une année calendairede 360 jours. 360 étant le plus petit nombre de 24facteurs ce qui le rend commode à diviser en mois,en minutes, en secondes…

• C’est à eux que l’on doit la division d’une journéeen 24 h (60 secondes font une minute, 60 minutesfont une heure), et aussi la division du cercle en360° (c’est encore d’eux que nous vient la mesureen ° des angles)

(haut gauche) bilan d’une exploitation agricole de l’Etatpour une année, très antérieur à la conquête duroyaume sumérien. Tablette sumérienne (3° dynastied’Ur) (Louvre).

(haut droite) devis de travail pour du labour et hersage,avec salaire de l’ouvrier et sceau du scribe. Tablettesumérienne. (Louvre)

Table de division et conversion des fractions (Louvre)(bas)



…témoigne d’un savoir-faire fondamentaux notamment en géométrie

• 2 000 ans av. JC. Babyloniens etEgyptiens résolvent de manièrenarrative des problèmes concrets enutilisant implicitement des propriétésdes figures géométriques assembléesentre elles, sans aucunemultiplication ni division.

• Sur la tablette sumérienne IM55357de 1800 av. JC. initialementconservées au musée de Tell Hamal,Iraq, on pouvait lire, jusqu’en 2003( Disparue pendant le pillage dumusée), les propriétés des trianglessemblables.

Ci-contre on voit un preuvegéométrique d’une identitéremarquable : (a+b)²=a²+2ab+b²



Exemple n°1

Comment résoudre leséquations du 2d degrégéométriquement?

• Exemple pour résoudrex²+12x=45, en faisantappel à un calcul d’aires.

• A partir de la figure ci-contre où lecarré intérieur a pour côté x et lesrectangles extérieurs ont pourcôtés x et 3, et où chaque terme del’équation précédente correspond àune surface (solution sur tableausuivant).

• (indication) On arrive à la figure ci-dessous. (solution algorithmiquedans l’index des notions)



Exemples n°2, et 3

• Problèmes de progression (de suitede nombres) pour la répartition dublé en Egypte dans le papyrus deRhind. Littéralement : « 100 pains en5 personnes; 1/7 des 3 premièresc’est la part des deux dernières.Quelle est la différence? » (Enoncé etsolution dans l’index des notions)

• Le scribe Ahmes dans le papyrus deRhind propose aussi de construire lenombre Pi à partir de l’égalitétraduisant la phrase : » L’aire ducercle de diamètre 9 coudées est celledu carré de côté 8 coudées »(Solution algorithmique donnée enindex des notions).



Exemple 4, et 5

• Ci-contre tablettetémoignant d’une théoriedu polygone régulier(Louvre) II° millénaire avJ.C.

• Les Egyptiens anciens ontdécouvert uneconstruction géométriquede la section dorée qu’ilsappliquèrent même aupyramides. C’est uneconstruction du nombrePhi.



…Cependant, pas vraiment encore de science au sens moderne.

• Les premiers dictionnaires qui sontapparus ne furent pas desdictionnaires unilingues, maiscertainement bilingues, et encoreproche de simples lexiques. Ilsétaient rédigés par les professeursd’écoles et destinés aux conquérantssémitiques du troisième millénaireav. JC. car ils appréciaient etimitaient les œuvres littérairessumériennes. C’est l’absence dedéfinitions qui empêche la fondationde vraies sciences.

Ci-contre stèle de la victoire de Sargond’Akkad, et dessous tablettesumérienne de vocabulaire bilinguesumérien / akkadien



Les premiers énoncés scientifiques de la géométrie sont en langue grecque

Le premier alphabet pour écrire une langue indo-européenne. Il est utilisé dans de nombreuses notations(trigonométries, algèbre..)

• Ici ne figurent pas koppa (entrepi et rô), ni stigma/digamma(entre epsilon et dzêta) ce quirevient alors à un alphabet à26 lettres.

• Les mêmes signes avec un ‘signifient des chiffres d’abord(de 1 à 10 alpha à iota) puis de10 à 100 (iota à rô) puisjusqu’à 800 (oméga) avec dessignes complémentaires pouraller jusqu’à 9000.

Alphabet grec



Deux fondateurs qui figurent parmi les 7 sages de la Grèce antique (VI°s. av. J.C.) : Thalès (Millet), et …

• Millet est située dans la Ionie avec lacitée antique Didymes célèbre pour lesanctuaire et l’oracle d’Apollon dont letemple est pillé par Darius en -494). LaIonie est la première région grecque oùse sont développé l’art, la science, laphilosophie (l’île de Samos, dontPythagore est originaire, en fait encorepartie). Selon Hérodote les ioniens sontarrivés au cours du 1er millénaire av. J.Cet ils assimilèrent un culte et unsanctuaire déjà existant dédié à ladéesse Nature.

• Le site de la ville antique de Millet surtrouve actuellement sur le territoire duvillage turque de Balat qui a été capitaleottomanne au XIVème siècle.

Aujourd’hui Millet n’a plus accès à la mercomme dans l’antiquité



…Pythagore (Samos), qui aurait châtié un élève découvrant l’irrationalité.

• Voici un petit problème pythagoricien :Polycrate, tyran de Samos, demande unjour à Pythagore le nombre de ses élèvesen ces termes : « Fortuné Pythagore,rejeton héliconien des Muses, dis-moicombien dans ton école tu as d’athlètesque tu dresse aux glorieux exercices de laphilosophie? – Je vais te le dire, Polycrate :la moitié étudie les belles sciencesmathématiques; l’éternelle nature estl’objet des travaux d’un quart; un septièmes’exerce au silence et à la méditation; il y ade plus 3 femmes dont Théano est la plusdistinguée. Voilà le nombre de mesdisciples qui sont aussi ceux des Muses. »

Ci-contre buste de Pythagore, musée du Capitole à Rome,et vue de Métaphonte.



L’ Académie de Platon critique les sophistes (Parménide, Zénon), cependant Aristote découvre une

logique encore toute inconsistante.• L’Académie tire son nom de la terre

où elle est située, au nord-estd’Athènes, près du tombeau du hérosgrec Académos qui évita à Athènesd’être détruite par les frères jumeauxCastor et Pollux, venu libérer leursœur Hélène, enlevée par Thésée, roiathénien, alors qu’il était veuf de 50ans et qu’elle n’avait que 12 ans.Académos disant au Dioscures où setrouvait Hélène évite à la ville d’êtredétruite. (Avant la guerre de Troiedonc car Hélène n’est alors qu’uneenfant dans la légende)

• La logique moderne, dans l’ouvragede Kleene notamment, (Logiquemathématique) a toujours pour rôlede démasquer des sophismes.

(ci-contre) jardins d’Academos.

Gwendal Idot, Enseignant mathématiques, Conférencier Université Paris Loisirs

1424/07/2014

Lumières en Méditerranée…

• A la bibliothèque d’Alexandriedirigée par Eratosthène, ontrouve les Eléments d’Euclidejusqu’à son déclin progressif peuaprès Cléopâtre.

• La renommée d’Archimède deSyracuse pendant la 2è guerrepunique.

• Apollonius un auteur célèbrevenu de Perge (Turquie actuelle).

Ci-contre phare d’Alexandrie, statuede Cléopâtre par Masini Girolamo1882, et reconstitution modested’une étagère de la bibliothèqued’Alexandrie (bas).



Photo unique (2014) du puits légendaire d’Eratosthène en dehors des sentiers

touristiques… • …sur l’île Eléphantine, au

milieu du Nil qui traverse laville d’Assouan (hauteEgypte), face à un templegrec :

• il est et en dehors du sitearchéologique du templegrec, et interdit de visitepublique (sous la protectiondes gardes du musée)…

• …pourtant grâce à luiEratosthène mesura lerayon de la Terre dansl’antiquité.



Légende sur la tombe d'Archimède à Syracuse, que j'ai voulu vérifier…

• …finalement j'ai trouvé undeuxième mystère au lieu deréussir à élucider le premier :

• A-t-il vraiment fait graver uneformule sur sa tombe (calculdu volume d’une sphère)? Est-ce qu’on peut l’identifiercomme telle?

• Est-ce que la véritable mise enscène de la tombe dans la villede Syracuse nous apprendraitautre chose ? (La « lettrevolée » de Lacan)



Photos de Syracuse (2015)

• Baigneur plongeant d’unrocher en forme d’un arcde triomphe.

• Tombe d’Archimède (où laformule du calcul duvolume d’une sphère qu’ilconsidérait comme saplus fameuse découverte,aurait été gravée).



Photos de Syracuse

• Première coloniegrecque face à lapresqu’île Ortygie.

• Bains romains datantd’après la conquête.



Photos de Syracuse

• Club de Waterpolo à Ortygie.

• Théâtre grec (où ontjoués Eschyle etEuripide entre autres)



Photos de Syracuse

• Baignades

• Ancien temple, site archéologique.



…et couché de Soleil.

• Claude Ptolémée (90-168 ap. JC.), Hérond’Alexandrie (1er siècleav. JC.), Diophante (200-284 ap. J.C.) vontencore exercer uneforte influence sur lesmilles années quisuivront, bien qu’on nesache presque rien des2 derniers.



Index des dates et cartes

• 19ème siècle et 18ème avant JC. :La majorité des tablettesmathématiques cunéiformesparvenues jusqu’à nous datede cette période, dite l’époquepaléo-babylonienne. Cecorpus inclut une quantitéimportante de textes scolairesdestinés a la formation desscribes. (Repères: 23-22ème s. av.J-C. s’est formé l’empire deSargon d’Akkad en conquérantdes Sumériens. Puis, le royaumede Babylone avec la premièredynastie le règne d’Hammu-rabi1792-1750 sera fondé sur lesruines de l’empire de Sargon).




• -3300 av J.-C, la civilisation de lavallée de l’Indus:– Système de poids et mesures

utilisant le système décimal.– Technologie de la brique– Sensibilité aux formes

géométriques.– Invention du concept zéro.– Invention du jeu des échecs (?)

• Plus tard aussi : – Utilisation précoce des théorèmes

de Pythagore; quadrature d’unrectangle (Védique)

– Introduction du zéro. Utilisationsprécoces du triangle de Pascal, dessuites de Fibonaci; (Jaïniste)

• -3000 av. J.-C. la civilisation Sumer invente :– l’arpentage– La technologie de la brique.– L’écriture cunéiforme sur tablettes.– La géométrie.– Numérotation sexagésimale.

• Plus tard aussi– Utilisation précoce des théorèmes

de Pythagore– Introduction du zéro à Babylone,

lié à une innovation comptable.




• Thalès (-625 -547 av. J.C.) vécu àMillet avant les premières invasionsperses. Millet fut reconstruite, audébut de l’apogée de la civilisationgrecque, à la suite d’une série devictoires contre les perses en -479 av.JC, car les Perses avaient détruit laville en -494.

Carte ci-contre : Extension de l’empirePerse dans la période 556-334 avantque la Grèce n’atteigne l’apogée de sacivilisation. Les colonies grecques enLidye antique, (la « Ionie ») sont leberceau de la civilisation occidentale,et il est situé aujourd’huiprincipalement en Turquie avec lesanctuaire d’Apollon à Didymesnotamment.



Index des noms

• Abu Kamil (vers 850-930 av. JC)mathématicien égyptien propose leproblème suivant « Un ouvrier gagne6 dirhams par jour travaillé et doitrendre 4 dirhams pour chaque jour oùil ne travaille pas. A la fin du mois,son salaire et sa dette s’équilibrent.Combien de jours a-t-il travaillé? »(Ce qui reviendrait aujourd’hui àrésoudre 6x=4(30-x), où x est lenombre de jours travaillés.)

• Ahmes (scribe). Auteur du papyrusde Rhind datant de -2000 av. JC (-1650?) qui contient des problèmesde suite et une première méthode deconstruction du nombre Pi.découvert par Rhind au 19 è siècledans la région de Thebes (ville deactuelle de Louxor)



Index des noms

• Apollonius de Perge : (-262-190) est originaire de Pergé,l’actuelle Aksu en Turquie à 17km à l’est d’Antalya. Il meurt àAlexandrie. Dans son ouvrage sur les Coniques raisonne surplusieurs figures en même temps et montre ainsi l’efficacitédes coniques pour résoudre des problèmes qui demandentde montrer que des aires sont égales, des longueursproportionnelles. Descartes, Newton n’auront de cesse derésoudre le problèmes posés par Apollonius.

• Archimède de Syracuse (-287,- 212) donne (ou cache aussiparfois) les preuves des propriétés qu’il découvre et qui sontinhérentes aux figures géométriques étudiées. C’estArchimède qui introduit la notion de centre de gravité d’untriangle (Comment une idée peut-elle avoir un centre degravité?). Et, c’est encore lui qui permet de comprendre lanotion de barycentre qui est réinvestie par lesmathématiques modernes. On rappelle une propriétéd’Archimède : soit b un nombre naturel non nul. Pour toutnombre a ( entier naturel), il existe un nombre k (entiernaturel) tel que kb > a. De plus, en utilisant une double suite,celle des périmètres des polygones inscrits et exinscrits dansun cercle de rayon 1, après 96 itérations, Archimède parvientà encadrer une valeur de Pi entre 220/71 et 22/7. Il est aussil’inventeur de la formule qui permet de calculer le volumed’une sphère V= 4𝝅R³/3 (qu’il aurait faite inscrite sur satombe).

Vue d’Alexandrie (haut) et de Syracuse (bas)



Index des noms

• Aristote: il a créé la discipline Logique avec son ouvrage sur laRhétorique (-329,-323), cependant il a ensuite dédaigné lesujet, comme cela a été remarqué par des auteurs tels queBernard Ruyer dans Logique (1990). Le mot « logiquement »prend même un sens péjoratif dans les écrits d’Aristote, unsens opposé à raisonnable et intelligible: « argumenterlogiquement » signifie parfois argumenter à la manière desplatoniciens, c’est-à-dire en faisant des raisonnements vides.

• Cléopâtre : Le premier incendie qui aurait atteint labibliothèque d’Alexandrie fut causé par accident par Césarvenu soutenir Cléopâtre dans son accession au trône, dans unclimat de guerre civile, son bateau est encerclé dans le port, ildécide de mettre feu aux navires qui l’encercle, et le feu sepropage au quartiers proches du port, jusqu’à la bibliothèque,selon Plutarque. Antoine, après la mort de César, donnerades milliers de livres à Cléopâtre plus tard pour compenser laperte causée par César. Cléopâtre, une descendante desPtolémée d’ascendance grecque et extrêmement cultivée,était très affectée par cette perte. Après la mort deCléopâtre et de Marc Antoine, Alexandrie devient uneprovince romaine sous la domination d’Auguste (neveu deCésar) premier empereur romain qui ne subventionne pas labibliothèque comme elle l’avait été du temps des Ptolémée(les romains ont été aussi traumatisés par la résistanced’Archimède à Syracuse).

(gauche) portrait d’Aristote, au Louvre, d’après un original en bronze de Lysippe (portraitiste attitré d’Alexandre le Grand); (droite) Alexandre, Louvre



Index des noms

• Diophante d’Alexandrie (200-284 ap.J.C.) : On ne sait presque rien sur lavie de Diophante sinon qu’il vécu àAlexandrie, comme Héron. Lorsqu’unproblème comporte deux inconnues,mais qu’on ne peut poser qu’uneseule équation, on obtient ce qu’onappelle aujourd’hui une « équationcartésienne » de droite, et il peut yavoir une infinité de solutions, mais iln’est pas encore sûr qu’on trouveraparmi elles un couple de solutions (x,y) tel que x et y soient des entiersnaturels. Diophante, qui a écrit lesArithmétiques, a mis au point destechniques pour résoudre ce typed’équations, appelées « équations deDiophante » ou « équationsindéterminées ».



Index des noms

• Euclide. vers 300 av. JC, Euclide écrit les Eléments degéométrie. chez Euclide il n’y a pas de notion de problème, nid’utilisation technique des figures géométriques, mais desdéfinitions un peu figées, alors que chez Archimède etApollonius on sent une puissance dynamique en marche.Toutefois chez Euclide : des modèles de démonstration pourla postérité jusqu’à nos jours qui justifient entre autre desthéorèmes de Pythagore ou de Thalès (La proposition II dulivre 6 des Eléments d’Euclide énonce une généralisation duthéorème de Thalès), étudie les solides de Platon, et prouveque la raine carré de 2 est un nombre irrationnel, par unedémonstration par l’absurde. Sur Euclide on ne sait presquerien, sauf 2 faits discutables selon Heath, le spécialiste anglais: Euclide vécut après Platon, et avant Archimède et il travaillaà Alexandrie (et il tiendrait sa formation peut-être de l’écoleplatonicienne). Il définit l’égalité de deux figures : « Lesgrandeurs qui s’ajustent les unes sur les autres sont égalesentre elles ». Il définit aussi la « Divine proportion » : « Unedroite est coupée en extrême et moyenne raison quand elleest tout entière relativement au plus grand segment ce que leplus grand est au plus petit »/ En arithmétique on enseigne ànos collégiens la division euclidienne, et l’algorithme d’Euclidepour déterminer le PGCD de 2 nombres. Au XIX°s.Lobatchevski proposa plusieurs modèles de géométrievérifiant les premiers axiomes d’Euclide, et où le 5ème

postulat est faux. C’est le début de la géométrie noneuclidienne. 5ème postulat d’Euclide: « Par un point du plan,il passe une et une seule parallèle à une droite donnée ».



Index des noms

• Eratosthène de Cyrène. Directeur de labibliothèque d’Alexandrie. Conseiller auprèsdu pharaon. Eratosthène calcule rayon de laTerre. Ci-contre photographie du puitsd’Eratosthène qui lui a permis de calculer lepérimètre de la Terre 250 av. JC. Il est situésur l’île Eléphantine à Assouan, devant letemple grec, normalement interdit de visite(photo 2014). Par ailleurs, notamment dansles temples ptolémaïques (ex: templesd’Horus à Edfou, et de Seth à Kom Ombo) desnilomètres permettaient de mesurer leniveau du Nil pour calculer les impôts.

Ci-contre le puits d’Eratosthène sur l’îleEléphantine à Assouan (2014), qui lui permisde mesurer le rayon de la Terre 250 ansavant J.C.



Index des noms

• Héron d’Alexandrie (1er siècle av. JC.):Il est à l’origine d’une formulepermettant de calculer la surfaced’un triangle, sans connaître lahauteur ( S= [p(p-a)(p-b)(p-c)]^(1/2),avec a, b, c les côtés du triangle et ple périmètre. )

• Homère (-800, -700 av. JC.). Lacélèbre cette réponse faite à Hésiodedemandant combien de Grecscomposaient l’armée d’expédition dusiège de Troie: « Il y avait sept feuxaux vives flammes, à chaque feucinquante broches , et à ces brochescinquante rôtis. Autour de cesviandes se trouvaient trois fois centsGrecs ». (Réponse: 315 000 Grecs)



Index des noms

• Luxor : Le temple d’Amon àLuxor présente une table demultiplication vieille de 5000ans et d’autres tablesattribuant des numéros à deshiéroglyphes.

• Mahavira est unmathématicien hindou duIX°av J.C. Une figure dujaïnisme (599-527 av. J.C.).(Représentation ci-contre)

• Oppert (Jules) (1825-1905),archéologue qui a redécouvertla civilisation sumérienne(Photo ci-contre).



Index des noms

• Platon (427-348 av. JC.) : Citation : « Nul n’entre icis’il n’est géomètre » frontispice de l’Académie. Il adéfini 5 solides comme des polyèdres réguliers dansson dialogue du Timée : tétraèdre, cube, octaèdre,dodécaèdre, icosaèdre. Les solides de Platon sontétudiés dans les Eléments d’Euclide, et Descartespuis Euler mettront en évidence plusieurs de leurspropriétés remarquables. Archimède, quant à lui,définira 13 solides comme des polyèdres convexessemi-réguliers (qui peuvent tous être construits àpartir des solides de Platon en opérant dessymétries variées). Par ailleurs, dans le dialogueMénon, Platon met en scène le problème dePythagore concernant l’irrationalité de √2 . Onpeut ajouter qu’ Une relation à laquelle Platon s’estbeaucoup intéressée 3³+4³+5³=6³. Si l’oncherche d’autres rapports du même genre onpose une équation indéterminée du 3ème degré:x³+y³+z³+t³=0. On pourrait montrer « sans trèsgrande difficulté » qu’il y a une infinité dequadruplets de nombres entiers positifs ounégatifs qui satisfont cette relation.

Ci-contre de gauche à droite: Parménide (le maître deZénon d’Elée) , le « Platon du Louvre », et (àdroite) le Socrate du Louvre (CentraleMontemartini)



Index des noms

• Ptolémée (90-168 ap. JC.) Claude : unromain originaire de Thèbes (Luxor),né en 90 et il meurt à Canope en 168,et vécu à Alexandrie. Il a écritl’Almageste, où il établit le théorèmesuivant: « Dans un quadrilatèreconvexe inscrit dans un cercle, leproduit des diagonales est égal à lasomme des produits des côtésopposés ». Le mathématicienirlandais J. Casey (1820-1891)publiera un généralisation de cethéorème. Le système astronomiquegéocentriste de Ptolémée a eu uneinfluence considérable sur tout leMoyen Age.

Ci-contre gravure du XVIème



Index des noms

• Pythagore (Samos) : né à Samos vers -569, il meurten Italie à Métaphonte vers -494. C’est un athlètedans sa jeunesse : il emporte tous les combats deboxe aux jeux Olympiques à 17 ans (57ème

olympiade). Plus tard c’est à Crotone qu’il fonde sonécole de sagesse, puis il fonde d’autrescommunautés similaires en Italie et en Grèce,défendant des lois aristocratiques, mais les émeutespopulaires menacent, et il se réfugie à Métaponteoù il meurt finalement. L’école de Pythagoredécouvrit l’irrationalité de √2, et c’est Euclide qui ladémontra. Par ailleurs on appelle nombres dePythagore les triplets a, b, et c qui vérifient larelation a²+b²=c². Exemple : 3²+4²=5². Il existe uneinfinité de nombres entiers positifs qui remplissentcette condition.

• Russell : Citation : « At the age of eleven, I beganEuclid, with my brother as my tutor. This was one ofthe great events of my life, as dazzling at first love. Ihad not imagined that there was anything sodelicious in the world » Bertand Russell.



Index des noms

• Syracuse est le siège des romains lors de la2ème guerre punique, Archimède a fait sesétudes à Alexandrie, et il est né à Syracuse etentre comme ingénieur au service du roipour protéger la ville contre les romains. Ilmeurt en -212, lorsque la ville est prise parMarcellus.

• Thalès (Millet): né dans cette ville vers -625et mort au même endroit vers -547, il fut l’undes « 7 sept sages » de la Grèce antique (laliste la plus ancienne des 7 sages est donnéepar Platon dans le dialogue Protagoras).Selon la légende il aurait calculé la hauteurde la pyramide de Khéops en mesurant lalongueur de son ombre et la longueur d’unbâton. « Ne te porte jamais caution » (Ἐγγύα,πάρα δ᾽ ἄτα) serait la devise de Thalès, carles 7 sages ont chacun une devise.

Ci-contre vue de Syracuse



Index des noms

• « Thèbes » est le nom queles grecs ont donné à laville actuelle de Luxor (à nepas confondre Thèbeségyptienne et Thèbes enGrèce, la ville qui aurait euun roi nommé Œdipe quilibéra la ville du sphinxmenaçant)

• Willard Libby (Prix Nobel en1960) inventeur du procédéutilisant le carbone 14permettant de dater lesobjets en archéologie .



Index des noms

• Zénon d’Elée (-490 -430) :sophiste disciple deParménide. Un défi auxparadoxes de Zénon,comme celui d’Achille et latortue, pourrait être leflocon de Von Koch (1904)qui a une structure fractaledont le périmètre est infiniet l’aire est finie.

Ci-contre : Construction duflocon de Von Koch, où onpart d’un triangleéquilatéral.



Index des notions

• Algèbre serait née avec les besoins de la vie courante :arpentage des terres, échanges commerciaux, calculs desalaire, partage d’héritage.

• Algorithme de Babylone. Il s’agit d’abord d’une tablette de -1700 av JC. La tablette YBC 7289 (conservée aux Etats Unis).Sur la tablette on distingue un carré et une diagonale. A côtéon trouve des inscriptions cunéiformes. On peut lire etidentifier les nombres 1 24 51 10 (?). En base soixante lesnombres 1 24 51 10 veulent dire 1 + 24/60+ 51/60²+10/60^3. Ce qui vaut 1,41421296 qui est une approximationde la racine carrée de 2 (la longueur de la diagonale du carréde côté 1 justement). Le procédé ? Des itérations successives,à partir d’une première valeur grossièrement approchéecomme 1. Prenez la moyenne entre chaque terme et elquotient de 2 par ce terme et vous obtiendrez : 1; 3/2;17/12;… (car 3/2= (1+2/1)/2, et 17/12 = (3/2+ 3/(3/2))/2).Cela revient à étudier la suite de premier terme U0 =N, etde récurrence: Un+1 =1/2(Un+2/Un ). Résultats : Pour N = 2,N=3, N=4 ( avec 100000 itérations) on obtient une valeurapprochée de la racine carrée ( 1,4142136; pour N=2). Demême pour les autres nombres, et N=4 donne 2,évidemment.

• Arpentage. Les arpenteurs babyloniens savent utiliserl’homothétie pour réduire sur leur plan les mesures faites surle terrain en changeant d’unités et en conservant lesproportions, et les angles orientés, le parallélisme. Etinversement, ils savent passer de la conception sur le plan à laréalisation à l’échelle.

Ci-contre dans une rue de Paris, des élèves d’un lycée parisien font de l’arpentage. Les arpenteurs sont lespremiers à avoir découvert et utilisé les règles de la géométrie en Inde, en Irak, et en Egypte dansla haute antiquité.



Index des notions.

• Angles correspondants:Une utilisation pourcalculer le rayon de laTerre par Eratosthène.

– Définition : Ce sont les angles qui sont du même côtéd’une sécante de deux droites, et si l’un est interne,l’autre est externe, et réciproquement : si les deuxdroites sont parallèles, ils sont égaux.

– Le Soleil à Assouan (lettre A) est au zénith (une fois paran, quelques instant, pendant le solstice d’été pour unpoint du tropique du Cancer), donc (D), symbolisantles rayons du Soleil passe par le centre de la Terre O.Au même instant à Alexandrie (lettre B), un rayon(D’), parallèle à (D), fait un angle a avec la verticale.Comme (D)//(D’), l’angle AOB = a (ce sont des anglescorrespondants). Eratosthène mesure a = 7,15°, puis ilmesure la distance AB = 800km.

– Comme la longueur d’un arc est proportionnelle àl’angle au centre on peut écrire 360/ P = 7,15/800. Parun produit en croix on obtient P=360.800/7,15 = 40300 km.

– Avec la formule P=2PiR calculant la circonférence d’uncercle, on obtient R= P/2Pi = 40300/(2x3,14…) =6400km pour le rayon de la Terre.



Index des notions

• Astronomie : Des temples inscrits aupatrimoine de l’Unesco, en 1972 avant laconstruction du barrage de Nasser, ont dûêtre déplacés , comme le templepharaonique d’Abou Simbel dont laréalisation architecturale témoigne aussid’une connaissance précise étendue et del’astronomie utilisée au service du pouvoir(de Ramsès ).

• Crues du Nil : Depuis 1972 (constructiondu barrage de Nasser) les crues du Nilparaissent maîtrisées (la naissance de lagéométrie en Egypte semble lié auxquestions de répartition des terres aubord du Nil après chaque inondation). Lesterres sont collectivisées et irriguées pardes pompes tous les km (données par lesjaponais notamment).

Photos: selfie à Abou Simbel (2014) et Le plus vieuxcalendrier égyptien (temple de Seth à KomOmbo) (bas)



Index des notions

• Le crible d’Eratosthène :algorithme permettant detrouver les premiers nombrespremiers. Ce sont les nombresdivisibles par 1 et par eux-mêmes uniquement. Commentchercher les nombres premiersinférieurs à 100? On écrit tous lesnombres entiers de 1 à 100.– On raye 1 qui n’est pas premier.– On entoure 2 qui est premier. On raye tous

les nombres multiples de 2 (donc 4,6,8…).– On entoure 3 qui est premier.– On raye tous les nombres multiples de 3

(donc 6,9,12…).– On continue 5 n’est pas rayé, ni 7…etc.– La liste des nombres premiers inférieurs à

100 est donc 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,73, 79, 83, 89, 97



Index des notions

• Datation au carbone 14 : Pour daterun objet les archéologues fontsouvent le test du carbone 14. Ilsrésolvent un problème de suitegéométrique. Les êtres vivants(hommes, animaux, végétaux)retiennent dans leurs tissus un« cousin » du carbone 12 (un« isotrope ») : le carbone 14. Laproportion entre ces deux carbonesreste constante dans l’organismevivant. Après la mort, alors que lecarbone 12 reste fixé, le carbone 14se désintègre car il est radioactif. Ondoit cette découverte au chimisteaméricain. Willard Libby (Prix Nobelen 1960). Le carbone 14 sedésintègre à raison de 1,24 % tous les100 ans..



Index des notions• Datation difficile: selon le contexte les sites

archéologiques peuvent être vandalisés pourdes raisons idéologiques (ex: les souvent lesCoptes dans l’antiquité en Egypte martyriséspar les romains en basse Egypte, et seréfugiant dans des temples ensevelis enhaute Egypte ont eu des gestes iconoclastessur les gravures murales anciennes,représentations contraire à leurs croyances;les squatters dans la forêt de Fontainebleauau sud de Paris; les djihadistes à Palmyre en2015) : effacer les traces pour retirer de lamémoire des générations suivantes.

A Fontainebleau des feux de bivouac menacent aussi lesgravures du mésolithique. Pour les protéger, leursemplacement ne sont pas indiqués aux touristes. lechemin de la vallée close et le chemin du pied du Mont.Tandis qu’un exemple de gravure Mésolithique sur laroche un peu endommagé par les feux de campeurs setrouve à proximité, au rocher des Potets. (Accès à laforêt par le parking de la croix St-Jérôme au Nord-Est deNoisy-sur-Ecole.)



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• Edifices architecturaux : les 3 grandescivilisations ont comme point commun laressemblance entre les édificesmonumentaux : en Iran les ziggourats à Uruk,Assur, et Ninive, Suse représentantes de lacivilisation Sumer antique ; en Egypte la 1er

pyramide à degrés d’Imhotep à Saqqarah(proche du Caire) sous la III° dynastiecomplexe funéraire pour Djeser ; en Inde unédifice de plusieurs dizaines de milliers debriques à Mohenjo-daro (sud du Parkistanactuel) complexe urbain pour 100 000habitants au milieu de l’Indus.

Ci contre : Tombeau de Ramses à Abou Simbel oùl’on remarque que l’astrologie et l’astronomiesont inséparables, car mis au service dupouvoir. Ce qui n’a pas empêché uneconnaissance en astronomie dotée d’uneprécision d’horlogerie.



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• Equations du 2d degré poséescomme problème géométrique etleur « solution narrative »(algorithme): (solution ci-contre del’exemple énoncé ci-dessus avec lesfigures correspondantes)

• Equation du 1er degré posée par unproblème concret dans un papyrusdaté de 1650 av. JC. « On doit diviser100 miches de pain entre dix hommescomprenant un navigateur, uncontremaître et un gardien, tous troisrecevant double part. Que faut-ildonner à chacun? ». (Réponse : on pose 7x+ 14x =100, tout simplement ! Mais j’aurais puposer l’équation autrement 100 = 3.2x + 7x, ce quine veut pas dire pareil)

– On prend : x² = l’aire du carré central,– 12x= l’aire des 4 rectangles de côtés

x et 3,– 45 = la somme de l’aire du carré

central et de l’aire des 4 rectangles.– D’où: x² +12x -45 =0 équivaut à x²

+12x -45 + 6² +45 = 6² + 45, (méthodedite de « complétion du carré »lorsqu’on ajoute (b/2)² -c des deuxcôtés de ax²+bx+c=0, où encore« forme canonique »). J’obtiensx²+12x+36 = 81. Or 4x9=36 c’est l’airedes 4 petits carrés, d’où 81représente l’aire du grand.

– Le côté du grand carré vaut donc 3xet l’aire du grand carré 9x².

– On demande la ou les solutions de(x+6)²=81. Or, x²+12x+36 = (x+6)² =9x² = 81. Ce qui équivaut à x² = 9 soitx = 3 (ou -3 mais ici une solutionnégative est exclue).



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• Equation de Diophante.Exemple avec un problèmerusse : « Vous devez acheter19 roubles un pull, maisvous n’avez que des billetsde 3 roubles, et la caissièren’a que des billets de 5roubles. Pouvez vous payervotre achat avec l’argentdont vous disposez? ».(Diophante ne cherchait qu’unesolution. Réponse : Le problème seramène à résoudre 3x-5y=19. On peut tracerla droite qui a cette équation cartésienne, etobserver pour tout x entier positif quand est-ce qu’on obtient une première valeur y entierpositif.)



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• Mise en équation d’un problème, et traduction du langagenaturel en langage algébrique. De nos jours nous ne sommesplus surpris de trouver la lettre x comme inconnue dans uneéquation comme x² +2x - 80= 0. Cette équation pourraitêtre traduite en problème d’arpenteur: « Quelle est lalongueur des côtés d’un champ carré sachant que si onl’agrandit en prolongeant un de ses côtés de 2, la surface del’ensemble sera égale à 80? » Ce symbolisme a commencé àfonctionner vraiment seulement à partir du 17ème siècle.

• Papyrus de Rhind datant de -2000 av. JC (-1650?) écrit par lescribe Ahmes (qui fait lui-même référence à un ouvragemathématique de -3000 av. JC.) découvert par Rhind au 19 èsiècle dans la région de Thebes (actuelle Luxor).

• Le papyrus de Moscou datant de -1850. Le papyrusmathématique de Moscou est le plus ancien, tandis que lepapyrus de Rhind est le plus grand. Découvert par WladimirGolenischeff au Caire. Exemples de problèmes qu’il donne :L’aire d’un rectangle est 12. La largeur vaut les trois quarts dela longueur. Quelles en sont les dimensions? (Réponse : A=12= l.L,et l=3L/4 d’où 3L²/4=12, d’où L= 4 (ou -4, impossible pour une longueur)). l=3 Un côté d’un triangle rectangle vaut deux fois et demiel’autre côté et l’aire vaut 20. Quelle en sont les dimensions?(Idem, x=8^(1/2) et y=5x/2)



Index des notions

• Problème de progression (papyrusde Rhind) : Traduction que l’on peutexprimer ainsi: « Partager 100boisseaux de blé entre 5 personnes dela façon suivante : la deuxièmerecevra en plus de la première autantque la troisième recevra en plus de ladeuxième, que la quatrième recevraen plus de la troisième, et que lacinquième recevra en plus de laquatrième. En outre, les deuxpremières personnes doivent avoirensemble 7 fois moins de blé que lestrois autres. Combien faut-il donnerde blé à chaque personne? «

(Ci-contre la solution avec le symbolisme actuel)

• °1) Poser les équations. – a) J’appelle U0, U1, U2, U3, U4 la part de blé

distribuée à chaque personne,– C’est une de premier terme U0 et suite

arithmétique de raison p, qui comporte 5termes U0, U1, U2, U3, U4 et de formule derécurrence Un+1= Un + p

– 100 = U0+ U1+ U2 +U3 +U4

– équivaut à 20= U0 + 2p

– b) Je traduis le début de l’énoncé : U0 + U1 =(U2 +U3 +U4 ) / 7

– équivaut à : 11U0 -2p =0

– J’obtiens un système de deux équations dupremier degré à deux inconnues.

• ° 2) Résoudre le système:– Ce qui me permet de déduire U0 = 5/3– Puis, la part des autres (10+5/6 ; 20; 29+1/6;

38+1/3)



Index des notions

• Quadrature du cercle : Problème deconstruction dans le papyrus de Rhind(énoncé ci-dessus avec la figurecorrespondante, on arrive à la figure ci-contre). En voici l’algorithme permettantune solution approximative donnée par lescribe : L’aire du carré = 64,l’aire du disque=63,62

1. On crée un cercle de centre A, passant par un point B, et on trace (AB)en faisant apparaître le point C tel que BC soit le diamètre.

2. On trace une droite (BD) telle que D ne soit pas sur (BC), et sur (BD) onplace un point E quelconque et on trace le cercle de centre E et derayon EB,

3. On place le point F tel que BF soit le diamètre du cercle de centre E,puis on recommence à partir de F à tracer un cercle de rayon FE…etc.

4. On place ainsi le points E, F, G, H, I, J, K, L, M sur (BD)5. On trace ensuite (CM) et la parallèle à (CM) passant par L. Et, on place

N le point d’intersection de cette parallèle avec (BC).6. On mesure d(C,N)7. On cache tous les autres points sauf A et B, la droite (AB), et le cercle

de centre A et passant par B.8. On trace le cercle de centre A et de rayon CN*4, puis on place O le

point d’intersection de ce cercle avec (AB)9. On trace les perpendiculaires à (AB) passant par O et A. P et Q sont les

intersections entre la perpendiculaire passant par A et le cercle derayon AO.

10. On trace les parallèles à (AB) passant par Q et P. Elles ont commepoints d’intersection avec la perpendiculaire passant par O les points Ret S. On termine le carré RSTU

11. Comparer l’aire du cercle de centre A et de rayon AB et l’aire du carréRSTU.



Index des notions.

Théorème de Thalès• Enoncé : Etant données deux droites (D) et

(D’) sécantes en A, M et N deux points de(D) distincts de A, M’ et N’ deux points de(D’) distincts de A, si (MM’) et (NN’) sontparallèles, alors AM/AN= AM’/AN’=MM’/NN’

• Corollaire : Dans un triangle, si une droitepasse par le milieu d’un côté, et est parallèleà un 2° côté, alors elle coupe en son milieu le3°

• Réciproque : Etant données (D) et (D’) droitessécantes en A, et M, N deux point de (D)distincts de A, et M’, N’ deux points de (D’)distincts de A. Si AM/AN=AM’/AN’, alorsA,M,N et A, M’, N’ sont alignés dans le mêmeordre et (MM’)//(NN’)

• Corollaire: Dans un triangle, si une droitepasse par les milieux de deux côtés, alors elleest parallèle au 3° côté

Théorème de Pytagore

• Enoncé: Si ABC est untriangle rectangle en A,alors BC²=AB²+AC²

• Réciproque: Si les côtésd’un triangle ABC vérifientBC²=AB²+AC², alors letriangle est rectangle en A.



Index des idées et bilan.

• Les savoirs faire fondamentaux acquis despremières civilisations en mathématiquesn’en font pas encore une science, par défautde dictionnaires et de définition. Lespremiers énoncés scientifiques sont en grec.

• Les sages grecs (Thalès, Pythagore) ne sontpeut-être pas « sages » comme on l’imagine.

• L’académie de Platon critique les sophistesnon sans mal, et Aristote trouve une logiqueinconsistante dont il se désintéresse lui-même.

• Les lumières d’Alexandrie sont éclipséesaprès la conquête romaine car Archimède autilisé son savoir contre les romains.

• Les derniers mathématiciens dont on ne saitpresque rien, ont pourtant eu une trèsgrande influence.

Ci-contre Selfie devant le « ministère desfinances » d’Ortygie (2015)



Bibliographie

• Bachelard : « Husserl reconnaissait que ce qui rendpossible la science c’est, heureusement, non pas laréflexion qui pénètre l’essence des choses maisl’instinct scientifique. » (Bachelard, la préface aulivre de J. Cavaillès Sur la logique)

• J.-L. Brahem, Histoires de géomètres et degéométrie, éditions Le Pommier 2011.

• Husserl : le phénoménologue des sciences E.Husserl considère que l’origine de la Géométrierevient à Platon et non à un « Thalès imaginaire »(L’origine de la géométrie).

• Kramer (Samuel Noah) archéologue qui a faitconnaître la civilisation sumérienne par son livrecélèbre L’histoire commence à Sumer (1957)

• Michel Jansen, historien de l’urbanismecontemporain, dans une vidéo sur youtube, il pensequ’une révolution du mode de transport expliquel’apparition des 3 grandes civilisations de l’antiquité: passage d’une civilisation rurale développéeutilisant les transports terrestres (bœufs) à unecivilisations urbaines qui sont à la fois des centresadministratifs utilisant le bateau et maîtrisant l’eaudes fleuves.



Les premiers pas de la science

Science

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