Lenguajes y Atomatas

UNIVERSIDAD POLITCNICA DEL

VALLE DE MXICO

Lenguajes y autmatas

Salvador Contreras Hernndez

Enero 2015


Objetivo

Analizar las aplicaciones de un autmata en la vida

real, as como desarrollar una y que dependiendo

de la cadena de entrada realice alguna accin en

particular.


Resultados de aprendizaje:

Plan de asignatura.

Plan de evaluacin.

(Nicenet Link Sharing)


Evaluacin:

Se promedian las actividades de aprendizaje de

cada unidad.

Se deben aprobar todas las unidades para acreditar

la asignatura.

Se asignar una fecha de entrega de las evidencias

de cada unidad para alumnos que no la acrediten.

Historia (I)

En 1930s, A. Turing desarroll una mquina abstracta

denominada Mquina de Turing para el estudio de la

computabilidad.

En 1940s y 1950s, se desarrollan mquinas simples, en

cuanto su funcionamiento, que fueron conocidas como

autmatas finitos, para modelar el funcionamiento del

cerebro.

Tambin en los 1950s, N. Chomsky comienza el estudio

formal de las gramticas (generadoras de lenguajes).

Historia (II)

En 1969, Stephen Cook extiende el estudio de Turing. Cook

separa aquellos problemas que pueden ser solucionados

de aquellos que en principio pueden ser solucionados pero

que en la prctica toman demasiados recursos.

Autmatas finitos y ciertas clases de gramticas formales

son usadas en el diseo y construccin de software.

La Mquina de Turing ayuda a comprender que es lo que

podemos esperar de nuestro software.

Por qu estudiar Lenguajes y

Autmatas?

Autmatas Finitos son modelos tiles para muchos elementos

hardware y software:

Software para disear y chequear la conducta de circuitos digitales.

El analizador lxico de un compilador.

Software para escanear grandes volmenes de texto para

encontrar patrones.

Software para verificar sistemas que tengan un nmero finito de

estados, tales como protocolos de comunicacin o de intercambio

seguro de informacin.


autmatas?

Autmatas son esenciales para el estudio de los lmites de

la computacin:

Qu puede hacer una computadora? Problema de la decibilidad.

Qu puede hacer una computadora eficientemente? Problema de

la tratabilidad.


Autmatas?

Los lenguajes nos permiten comunicarnos con la mquina,

parte de lo que puede hacer la mquina depende del

poder descriptivo del lenguaje.

Compiladores.

Traductores.

Diseo de lenguajes de alto nivel.

Mquinas abstractas

Autmatas Finitos.

Autmatas de Pila.

Autmatas linealmente acotados.

Mquina de Turing.

Definicin informal de autmata

Son sistemas que en todo momento se encuentran en uno de un

conjunto finito de estados.

El propsito de un estado es recordar la historia del sistema.

Puesto que el nmero de estados es finito, el sistema debe ser

diseado para recordar aquello que es importante y olvidar lo

que no.

La ventaja de tener un nmero finito de estados es que el

sistema podr ser implementado con un conjunto fijo de recursos.

Ejemplo de AF

Sistema: Interruptor.

El sistema recuerda si est

conectado (ON) o desconectado

(OFF).

El usuario lo presiona.

Si est en OFF y es presionado

pasa al estado ON.

Si est en ON y es presionado

pasa al estado OFF.

Presin

off on

Presin

Comienzo

Gramticas Formales

Gramtica regulares.

Gramticas independientes de contexto.

Gramticas sensibles al contexto.

Gramtica sin restricciones o de estructura de

frase.

Definicin informal de Gramtica

Es el mecanismo empleado para establecer la estructura de un

lenguaje, es decir las sentencias que lo forman.

Consiste de un conjunto de reglas sintcticas que establecen la

forma en la que se pueden combinar los smbolos del alfabeto:

ORACION es un SUJETO y un PREDICADO.

SUJETO es una FRASE NOMINAL.

FRASE NOMINAL es un GRUPO NOMINAL y un CALIFICATIVO que puede o

no estar.

GRUPO NOMINAL es un ARTICULO que puede no estar y un NOMBRE.

CALIFICATIVO es un ADJETIVO o una CONJUNCIN y una ORACION.

Tipos de Gramticas

N. Chomsky clasifica las gramticas en cuatro tipos:

Gramticas sin restricciones o gramticas de estructura de frases

(Tipo 0).

Gramticas sensibles al contexto (Tipo 1).

Gramticas independientes de contexto (Tipo 2).

Gramticas regulares (Tipo 3).

Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Tipos de Lenguajes

Conforme a la clasificacin de N. Chomsky, los lenguajes se

clasifican en cuatro tipos:

Lenguajes sin restricciones (Tipo 0).

Lenguajes sensibles (o dependientes) al contexto (Tipo 1).

Lenguajes independientes de contexto (Tipo 2).

Lenguajes regulares (Tipo 3).

Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Teora de Autmatas - Lenguajes Formales

(Mquinas abstractas - Gramticas Formales)

equivale

Gramtica

Lenguajes

describe

genera

Mquina

reconoce

genera

Teora de Autmatas - Lenguajes Formales

(Mquinas abstractas - Gramticas Formales)

Gramticas Lenguajes Mquinas

Sin restricciones o de

Tipo 0

Sin restricciones o de

Tipo 0

Mquina de Turing

Sensible al contexto

o de Tipo 1

Sensible al contexto

o de Tipo 1

Autmata

linealmente acotado

Libre de contexto o

de Tipo 2

Libre de contexto o

de Tipo 2

Autmata a pila

Regular o de Tipo 3 Regular o de Tipo 3 Autmata Finito

Cadenas, alfabetos y lenguajes

Un smbolo es una entidad abstracta que no

definiremos. Las letras y los dgitos son ejemplos de

smbolos.

Una cadena o palabra es una secuencia finita de

smbolos.

Por ejemplo a, b y c son smbolos y abcb es una

cadena.


La longitud de una cadena w es el nmero de

smbolos que componen la cadena y se denota por

|w|. Por ejemplo abcb tiene longitud 4.

La cadena vaca se denota por y tiene cero smbolos. La longitud de , | | es 0.


La concatenacin de dos cadenas es la cadena que se

forma al unir dos cadenas. La cadena vaca es la

identidad para el operador de concatenacin, es

decir, w=w=w para toda cadena w.


Alfabeto. Es un conjunto finito de smbolos.

Un lenguaje formal es un conjunto de cadenas de

smbolos tomados de algn alfabeto.


El conjunto vaco y el conjunto formado por la

cadena vaca {} son diferentes, ntese que el segundo conjunto tiene un elemento mientras que el

primero no tiene ninguno.


El conjunto de palndromos sobre el alfabeto {0,1} es

un lenguaje infinito.

Algunos elementos de este lenguaje son: , 0,1,00,11,010 y 110011.


Otro lenguaje es el conjunto de cadenas sobre un

alfabeto fijo . Denotamos a este lenguaje como *. Por ejemplo si ={a}, entonces *={,a,aa,aaa,}.

Si ={0,1}, entonces *={,0,1,00,01,10,11,000,..}

Grafos

Un grafo se denota por G=(V,E), y consiste en un

conjunto finito de vrtices (o nodos) V y un conjunto

de pares de vrtices E llamados aristas.

Considere los siguientes datos y construya el grafo, en

el cual, V={1,2,3,4,5} y E={(n,m)|n+m=4 o

n+m=7}

Grafos

Figura. Grafo

Grafos

Una trayectoria en grafo es una secuencia de vrtices

v1,v2,,vk, k1, tal que existe una arista (vi,vi+1)

para cada i, 1 i k.

La longitud de la trayectoria es k-1. Por ejemplo

1,3,4 es una trayectoria en el grafo de la figura

anterior, como tambin lo es 2 por si mismo. Si

vi=vk, la trayectoria es un ciclo.

Grafos

Un grafo dirigido (o digrafo), que tambin se denota

como G=(V,E), consiste en un conjunto finito de

vrtices V y un conjunto de pares ordenados de

vrtices E, llamados arcos. Denotamos un arco de v

a w como v w.

Grafos

Una trayectoria en un digrafo es una secuencia de

vrtices v1,v2,,vk, k

rboles

Un rbol es un digrafo que posee las propiedades

siguientes:

1. Existe un vrtice, llamado raz, que no tiene

predecesores y del cual parte una trayectoria

hacia cada vrtice.

2. Cada vrtice, diferente de la raz, tiene

exactamente un predecesor.

3. Los sucesores de cada vrtice estn ordenados a

partir de la izquierda.

Conjuntos

Los conjuntos que pueden ponerse en correspondencia

con los enteros se dice que son infinitos contables.

Los nmeros racionales y el conjunto * de las

cadenas de longitud finita, formadas con el

alfabeto , son infinitos contables. El conjunto de

todos los subconjuntos * y el conjunto de todas las

funciones que transforman a los enteros {0,1} son

de la misma cardinalidad de los reales, y no son

contables.

Relaciones

Una relacin binaria es un conjunto de pares. El primer

componente de cada par se toma de un conjunto

llamado dominio y el segundo componente pertenece

a un conjunto (tal vez distinto del primero) llamado

contradominio.

En las relaciones donde el dominio y el contradominio

son el mismo conjunto S, diremos que la relacin es

sobre S.

Si R es una relacin y (a,b) un par entonces podemos

expresar aRb para indicar que a est relacionada

con b.

Relaciones

Propiedades de las relaciones:

1. Reflexiva si aRa para toda a en S

2. Irreflexiva si aRa es falsa para toda a en S

3. Transitiva si aRb y bRc implican aRc

4. Simtrica aRb implica bRa

5. Asimtrica si aRb implica que bRa es falsa

Relaciones

Ejemplo.

La relacin < sobre el conjunto de enteros es

transitiva, asimtrica e irreflexiva.

Transitiva: Si a

Relaciones de equivalencia

Se dice que una relacin R que es reflexiva, simtrica y

transitiva es una relacin de equivalencia.

Una propiedad importante de una relacin de

equivalencia R sobre S es que R divide a S en clases

de equivalencia no vacas disjuntas. Esto significa que

S=S1U S2 U , en donde para cada i y j, i j:

1. Si interseccin Sj=;

2. Para cada a y b en Si, aRb es verdadera;

3. Para cada a y b en Sj, a Rb es falsa.

Tarea

Reporte por escrito de investigacin sobre Autmatas

finitos.

Nicenet.

Lenguajes y Atomatas

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