04/13/23 1

Ìýäýýëëèéí ñèñòåì, àëãîðèòìèéí ¿íäýñ

Ëåêö ¹11

04/13/23 2

Àãóóëãà

1.Íýã õýìæýýñò õ¿ñíýãò2.Îëîí õýìæýýñò õ¿ñíýãò

04/13/23 3

Õ¿ñíýãò áà ò¿¿íèéã áîëîâñðóóëàõ

•Íýã õýìæýýñò õ¿ñíýãòÑàíàõ îé äàõü íýã èæèë Ñàíàõ îé äàõü íýã èæèë òºðëèéí ºãºãäëèéí òºðëèéí ºãºãäëèéí äàðààëëûã íýã õýìæýýñò äàðààëëûã íýã õýìæýýñò õ¿ñíýãò ãýíý.õ¿ñíýãò ãýíý.

04/13/23 4

Íýã èæèë òºðëèéí Íýã èæèë òºðëèéí ºãºãäë¿¿äèéí äàðààëëûã ºãºãäë¿¿äèéí äàðààëëûã ñàíàõ îéí äýñ äàðààëñàí ñàíàõ îéí äýñ äàðààëñàí ¿¿ðýýñ òîãòñîí ìóæèä ¿¿ðýýñ òîãòñîí ìóæèä õàäãàëæ óëìààð ýíý õàäãàëæ óëìààð ýíý ìóæèéí ýõíèé õàÿã áîëîí ìóæèéí ýõíèé õàÿã áîëîí ýëåìåíòèéí äóãààðààð íü ýëåìåíòèéí äóãààðààð íü ò¿¿íèé ýëåìåíòèéã îëæ ò¿¿íèé ýëåìåíòèéã îëæ áîëíî.áîëíî.

04/13/23 5

Õ¿ñíýãò ¿¿ñãýí Õ¿ñíýãò ¿¿ñãýí õýðýãëýõäýý:õýðýãëýõäýý:Íýãä¿ãýýðò: Õ¿ñíýãòèéí Íýãä¿ãýýðò: Õ¿ñíýãòèéí íýð, ýëåìåíòèéí òºðºë áîëîí íýð, ýëåìåíòèéí òºðºë áîëîí ýëåìåíòèéí òîîã ýëåìåíòèéí òîîã òîäîðõîéëæ ºãíº. ¯¿íèéã òîäîðõîéëæ ºãíº. ¯¿íèéã õ¿ñíýãòèéã òîäîðõîéëîõ õ¿ñíýãòèéã òîäîðõîéëîõ áóþó çàðëàõ êîìàíä ãýæ áóþó çàðëàõ êîìàíä ãýæ íýðëýíý. Ýíý êîìàíäààð íýðëýíý. Ýíý êîìàíäààð õ¿ñíýãòèéã õàäãàëàõ õ¿ñíýãòèéã õàäãàëàõ ñàíàõ îéã õóâààðèëäàã.ñàíàõ îéã õóâààðèëäàã.

04/13/23 6

Õ¿ñíýãòèéã òîäîðõîéëîõ Õ¿ñíýãòèéã òîäîðõîéëîõ ¿åä ò¿¿íèé ýëìåíòèéí òîîíû ¿åä ò¿¿íèé ýëìåíòèéí òîîíû áàéæ áîëîõ õàìãèéí èõ áàéæ áîëîõ õàìãèéí èõ óòãûã çààæ ºã÷ óëìààð óòãûã çààæ ºã÷ óëìààð ÿìàð÷ ¿åä õàíãàëòòàé ÿìàð÷ ¿åä õàíãàëòòàé áàéõ ñàíàõ îéã õóâààðèëæ áàéõ ñàíàõ îéã õóâààðèëæ àâäàã.àâäàã.

04/13/23 7

Àëãîðèòìûí õýëýíä Àëãîðèòìûí õýëýíä õ¿ñíýãòèéã áè÷èõäýý:õ¿ñíýãòèéã áè÷èõäýý:

Õ¿ñíýãòíýð(ýëåìåíòèéí_òîî)Õ¿ñíýãòíýð(ýëåìåíòèéí_òîî);; õýëáýðòýé òîäîðõîéëæ õýëáýðòýé òîäîðõîéëæ áè÷íý. Õ¿ñíýãòèéã åðäèéí áè÷íý. Õ¿ñíýãòèéã åðäèéí õóâüñàã÷òàé íýðëýæ õóâüñàã÷òàé íýðëýæ òýìäýãëýõ áà ýëåìåíòèéí òýìäýãëýõ áà ýëåìåíòèéí òîîã íàòóðàë òîî ýñâýë ºìíº òîîã íàòóðàë òîî ýñâýë ºìíº òîäîðõîéëñîí òîãòìîëîîð ºãíº. òîäîðõîéëñîí òîãòìîëîîð ºãíº.

04/13/23 8

Æèøýý íü: Æèøýý íü:

Õ¿ñíýãò À(50), Õ¿ñíýãò À(50), B(10);B(10);

ýíä õàðãàëçàí 50, 10-ýíä õàðãàëçàí 50, 10-í ýëåìåíòòýé õ¿ñíýãòèéã í ýëåìåíòòýé õ¿ñíýãòèéã òîäîðõîéëæ áàéíà.òîäîðõîéëæ áàéíà.

04/13/23 9

Õ¿ñíýãòèéí íýð íü Õ¿ñíýãòèéí íýð íü õ¿ñíýãòèéí ýõíèé õ¿ñíýãòèéí ýõíèé ýëåìåíòèéí õàÿã áîëîõ ýëåìåíòèéí õàÿã áîëîõ ó÷ðààñ ò¿¿íèé ó÷ðààñ ò¿¿íèé òóñëàìæòàéãààð äóðûí I òóñëàìæòàéãààð äóðûí I äóãààðòàé ýëåìåíòèéã äóãààðòàé ýëåìåíòèéã îëæ àâàõ áîëîìæòîé.îëæ àâàõ áîëîìæòîé.

04/13/23 10

Àëãîðèòìä òîäîðõîé óòãàòàé Àëãîðèòìä òîäîðõîé óòãàòàé òîãòìîëûã òîäîðõîéëæ òîãòìîëûã òîäîðõîéëæ õýðãýëäýã. õýðãýëäýã.

Àëãîðèòìûí õýëýíä òîãòìîëûã Àëãîðèòìûí õýëýíä òîãòìîëûã

íýð=óòãà;íýð=óòãà;

õýëáýðòýé èëýðõèéëëýýð õýëáýðòýé èëýðõèéëëýýð òîäîðõîéëæ óëìààð ýíý òîäîðõîéëæ óëìààð ýíý íýðèéã òîãòìîë óòãûí îðîíä íýðèéã òîãòìîë óòãûí îðîíä áè÷èæ àøãèëàíà. áè÷èæ àøãèëàíà.

04/13/23 11

Òîãòìîë àøèãëàõ íü Òîãòìîë àøèãëàõ íü àëãîðèòìûí ¿éëäë¿¿äýä àëãîðèòìûí ¿éëäë¿¿äýä òîãòìîë óòãûã îëîí äàõèí òîãòìîë óòãûã îëîí äàõèí áè÷èõã¿é áàéõ, áè÷èõã¿é áàéõ, ñàíàìñàðã¿é àëäàà ñàíàìñàðã¿é àëäàà ãàðãàõûã áàãàñãàõ, ãàðãàõûã áàãàñãàõ, øààðäëàãàòàé ¿åä øèíýýð øààðäëàãàòàé ¿åä øèíýýð óòãà õÿëáàð ñîëüæ áîëîõ óòãà õÿëáàð ñîëüæ áîëîõ äàâóó òàëòàé.äàâóó òàëòàé.

04/13/23 12

Õàðèí òîãòìîëûí íýðèéã Õàðèí òîãòìîëûí íýðèéã óòãà îëãîõ ¿éëäëèéí ç¿¿í óòãà îëãîõ ¿éëäëèéí ç¿¿í òàëä áè÷èæ øèíý óòãà òàëä áè÷èæ øèíý óòãà îðóóëæ áîëîõã¿é, ººðººð îðóóëæ áîëîõã¿é, ººðººð õýëáýë àëãîðèòì äîòîð õýëáýë àëãîðèòì äîòîð ò¿¿íèé óòãûã ººð÷èëæ ò¿¿íèé óòãûã ººð÷èëæ áîëîõã¿é áàéäãààðàà áîëîõã¿é áàéäãààðàà õóâüñàã÷ààñ ÿëãààòàé. õóâüñàã÷ààñ ÿëãààòàé.

04/13/23 13

Òîãòìîëûã àøèãëàæ Òîãòìîëûã àøèãëàæ õ¿ñíýãòèéí õýìæýýã õ¿ñíýãòèéí õýìæýýã òîäîðõîéëîõ íü òîäîðõîéëîõ íü èë¿¿ òîõèðîìæòîé áàéäàã. èë¿¿ òîõèðîìæòîé áàéäàã.

Æèøýý íü: Æèøýý íü: maxn=20maxn=20;;òîãòìîëòîãòìîë

õ¿ñíýãò õ¿ñíýãò a(maxn), c(maxn);a(maxn), c(maxn);

04/13/23 14

Õî¸ðäóãààðò:Õî¸ðäóãààðò:Àëãîðèòì, ïðîãðàìä Àëãîðèòì, ïðîãðàìä

õ¿ñíýãòèéí ýëåìåíòèéã õ¿ñíýãòèéí ýëåìåíòèéã çààæ áè÷èõäýý õ¿ñíýãòèéí çààæ áè÷èõäýý õ¿ñíýãòèéí íýð, ýëåìåíòèéí íýð, ýëåìåíòèéí äóãààðûã ºãíº. Äóãààðûã äóãààðûã ºãíº. Äóãààðûã ºãºõ人 à1,…ai,…an; ºãºõ人 à1,…ai,…an; a(1),..a(i),…a(n); a[1],…a[i],a(1),..a(i),…a(n); a[1],…a[i],…a[n] ãýõ ìýò ÿíç …a[n] ãýõ ìýò ÿíç á¿ðèéí õýëáýðýýð áè÷äýã.á¿ðèéí õýëáýðýýð áè÷äýã.

04/13/23 15

Ãóðàâäóãààðò: Õ¿ñíýãòýíä Ãóðàâäóãààðò: Õ¿ñíýãòýíä óòãà îëãîõûí òóëä óòãà îëãîõûí òóëä ýëåìåíòèéí óòãûã íýã ýëåìåíòèéí óòãûã íýã íýãýýð íü îðóóëàõ ¿éëäýë íýãýýð íü îðóóëàõ ¿éëäýë

þìóó ýñâýë ýëåìåíòýä þìóó ýñâýë ýëåìåíòýä íýã íýãýýð íü óòãý îëãîõ íýã íýãýýð íü óòãý îëãîõ ¿éëäëèéã ãîëäóó àøèãëàíà. ¿éëäëèéã ãîëäóó àøèãëàíà.

04/13/23 16

Æèøýý íü: õýðýâ Æèøýý íü: õýðýâ maxnmaxn=20;=20;

õ¿ñíýãòà(maxn);õ¿ñíýãòà(maxn);áºãººä n<=20 áàéõ n áºãººä n<=20 áàéõ n

ºãºãäñºí áîë ºãºãäñºí áîë I:=1, n ¿åä_äàâò à1:=0;I:=1, n ¿åä_äàâò à1:=0;äàâòàëòààð à õ¿ñíýãòèéí äàâòàëòààð à õ¿ñíýãòèéí

ýëåìåíò¿¿ä òýã ýëåìåíò¿¿ä òýã óòãàòàé óòãàòàé áîëîõ òóë õ¿ñíýãòèéã áîëîõ òóë õ¿ñíýãòèéã öýâýðëýõ ãýæ öýâýðëýõ ãýæ íýðëýäýã. íýðëýäýã. I:=1, n ¿åä_äàâò îðóóë(ai);I:=1, n ¿åä_äàâò îðóóë(ai);

04/13/23 17

äàâòàëòààð à õ¿ñíýãò òîîí äàâòàëòààð à õ¿ñíýãò òîîí óòãàòàé áîëíî. Òýãýõäýý óòãàòàé áîëíî. Òýãýõäýý I:=1, n ¿åä_äàâò îðóóë (ai); I:=1, n ¿åä_äàâò îðóóë (ai); õýëáýðèéí äàâòàëò ìàø îëîí õýëáýðèéí äàâòàëò ìàø îëîí õýðýãëýãääýã ó÷èð ò¿¿íèéã õýðýãëýãääýã ó÷èð ò¿¿íèéã îðóóëîðóóë(ai;I=1,n) ãýæ (ai;I=1,n) ãýæ òîâ÷èëíî.òîâ÷èëíî.

Öººõºí ýëåìåíòòýé Öººõºí ýëåìåíòòýé õ¿ñíýãòýíä óòãà îëãîõäîî õ¿ñíýãòýíä óòãà îëãîõäîî á¿õ óòãûã òîî÷èí áè÷èõ á¿õ óòãûã òîî÷èí áè÷èõ àðãûã õýðýãëýæ áîëíî.àðãûã õýðýãëýæ áîëíî.

04/13/23 18

ĺðºâä¿ãýýðò: ĺðºâä¿ãýýðò: Õ¿ñíýãòèéã õýâëýæ Õ¿ñíýãòèéã õýâëýæ

ãàðãàõäàà ìºí ãàðãàõäàà ìºí ýëåìåíò ýëåìåíò ýëåìåíòýýð íü ãàðãàõ ýëåìåíòýýð íü ãàðãàõ

¿éëäëèéã ¿éëäëèéã àøèãëàíà. I:=1, n àøèãëàíà. I:=1, n ¿åä_äàâò ãàðãà(ai);¿åä_äàâò ãàðãà(ai);

áóþó òîâ÷îîð: áóþó òîâ÷îîð:

ãàðãà(ai; I:=1, n); ãàðãà(ai; I:=1, n); õýëáýëòýé áàéíà. õýëáýëòýé áàéíà.

04/13/23 19

Íýã õýìæýýñò õ¿ñíýãòèéí Íýã õýìæýýñò õ¿ñíýãòèéí æèøýý :æèøýý :

Æèøýý íü1: Íàòóðàë òîî n, m Æèøýý íü1: Íàòóðàë òîî n, m áà õî¸óëàà áóóðàõààð áà õî¸óëàà áóóðàõààð ýðýìáëýãäñýí à1, à2,…àn áà ýðýìáëýãäñýí à1, à2,…àn áà b1, b2,…bò áîäèò òîîí b1, b2,…bò áîäèò òîîí äàðààëàë ºãºãäñºí áîë ýíý 2 äàðààëàë ºãºãäñºí áîë ýíý 2 äàðààëëûí ýëåìåíò¿¿äýýñ äàðààëëûí ýëåìåíò¿¿äýýñ òîãòîõ ºñºõººð ýðýìáëýãäñýí òîãòîõ ºñºõººð ýðýìáëýãäñýí ñ1,ñ2,…ñn+m äàðààëëûã ñ1,ñ2,…ñn+m äàðààëëûã ¿¿ñýã. ¿¿ñýã.

ÀðãÀðã m,n, à1, à2,…àn áà m,n, à1, à2,…àn áà b1, b2,…bò b1, b2,…bò ¿ð ä¿í¿ð ä¿í ñ1,ñ2,…ñn+m ñ1,ñ2,…ñn+m

04/13/23 20

àëãæ_1àëãæ_1

mn=20;mn=20;

õ¿ñíýãò à(mn), b(mn), c(2*mn);õ¿ñíýãò à(mn), b(mn), c(2*mn);

îðóóë(n); îðóóë(ai; i:=1, îðóóë(n); îðóóë(ai; i:=1, n);n);

îðóóë(m); îðóóë(bi; i:=1, îðóóë(m); îðóóë(bi; i:=1, m);m);

I:=n, j:=m;I:=n, j:=m;

k:=1, n+m ¿åä _äàâòk:=1, n+m ¿åä _äàâò

{õýðýâ I>=1 áîë {õýðýâ I>=1 áîë e:=ai ýñâýë e:=bi;e:=ai ýñâýë e:=bi;

04/13/23 21

õýðýâ j>=1 áîë d:=bi õýðýâ j>=1 áîë d:=bi ýñâýë d:=ai; ýñâýë d:=ai;

õýðýâ e<dõýðýâ e<d

áîë áîë {Ck:=e; i:=i-1 }{Ck:=e; i:=i-1 }

ýñâýë ýñâýë {Ck:=d; j:=j-1}{Ck:=d; j:=j-1}

};};

ãàðãà(Ñê; K:=1, ãàðãà(Ñê; K:=1, n+m)n+m)

òºãñ.òºãñ.

04/13/23 22

Îëîí õýìýýñò õ¿ñíýãò

Ìàòðèöèéã ñàíàõ îéä Ìàòðèöèéã ñàíàõ îéä ìºð¿¿äèéí äàðààëàë áîëãîí ìºð¿¿äèéí äàðààëàë áîëãîí õàäãàëõàä õî¸ð õýìæýýñò õàäãàëõàä õî¸ð õýìæýýñò õ¿ñíýãò ãýæ íýðëýíý.õ¿ñíýãò ãýæ íýðëýíý.

04/13/23 23

Ìàòðèöèéã ñàíàõ îéä Ìàòðèöèéã ñàíàõ îéä ìºð¿¿äèéí äàðààëàë áîëãîí ìºð¿¿äèéí äàðààëàë áîëãîí õàäãàëõàä õî¸ð õýìæýýñò õàäãàëõàä õî¸ð õýìæýýñò õ¿ñíýãò ãýæ íýðëýíý.õ¿ñíýãò ãýæ íýðëýíý.

Ìàòðèö íü íýã õýìæýýñò Ìàòðèö íü íýã õýìæýýñò õ¿ñíýãò ìýí ó÷ðààñ íýã õ¿ñíýãò ìýí ó÷ðààñ íýã õýìæýýñò õ¿ñíýãò õýìæýýñò õ¿ñíýãò õ¿ñíýãòýýñ òîãòñîí õ¿ñíýãòýýñ òîãòñîí õ¿ñíýãòèéã õî¸ð õ¿ñíýãòèéã õî¸ð õýìæýýñò õ¿ñíýãò ãýíý õýìæýýñò õ¿ñíýãò ãýíý

04/13/23 24

Ñàí àõ î é a11 a12

….. a1n a21 ….. a2n ….. am1 ….. amn

Õî¸ð õýìæýýñò Õî¸ð õýìæýýñò õ¿ñíýãòõ¿ñíýãò

õ¿ñíýãòèéí íýðõ¿ñíýãòèéí íýð

íýãä¿ãààð ìºðíýãä¿ãààð ìºð

õî¸ðäóãààð ìºðõî¸ðäóãààð ìºð

m ä¿ãýýð ìºðm ä¿ãýýð ìºð

04/13/23 25

Õî¸ð õýìæýýñò õ¿ñíýãòýýñ Õî¸ð õýìæýýñò õ¿ñíýãòýýñ òîãòñîí õ¿ñíýãò,òîãòñîí õ¿ñíýãò, ãóðâàí õýìæýýñò õ¿ñíýãòýýñ òîãòñîí õ¿ñíýãò ãýõ ìýò÷èëýí n-1 õýìæýýñò õ¿ñíýãòýýñ òîãòñîí õ¿ñíýãòèéã òîäîðõîéëæ n õýìæýýñò õ¿ñíýãò ãýæ íýðýëäýã áà õî¸ð áà ò¿¿íýýñ äýýø õýìæýýñò õ¿ñíýãòèéã îëîí õýìæýýñò õ¿ñíýãò ãýæ íýðëýíý.

04/13/23 26

N õýìæýýñò õ¿ñíýãòèéí N õýìæýýñò õ¿ñíýãòèéí ýëåìåíò íü n òîîíû èäåêñòýé ýëåìåíò íü n òîîíû èäåêñòýé áàéíà. ¯¿íèéã aij, aijk, aijkl áàéíà. ¯¿íèéã aij, aijk, aijkl ãýõ ìýò áè÷íý.ãýõ ìýò áè÷íý.

Îëîí õýìæýýñò õ¿ñíýãòèéã, Îëîí õýìæýýñò õ¿ñíýãòèéã, íýã õýìæýýñò õ¿ñíýãòòýé íýã õýìæýýñò õ¿ñíýãòòýé àäèëààð íýð áîëîí èíäåêñ àäèëààð íýð áîëîí èíäåêñ á¿ðèéí àâ÷ áîëîõ õàìãèéí èõ á¿ðèéí àâ÷ áîëîõ õàìãèéí èõ óòãûã ºã÷ òîäîðõîéëíî.óòãûã ºã÷ òîäîðõîéëíî.

04/13/23 27

Æèøýý íü: Æèøýý íü:

Õ¿ñíýãò íýð (ìºðèéí_òîî, Õ¿ñíýãò íýð (ìºðèéí_òîî, áàãàíûí_òîî )áàãàíûí_òîî )

maxn=20maxn=20

õ¿ñíýãò a(50, 20), õ¿ñíýãò a(50, 20), b(5,10);b(5,10);

õ¿ñíýãò c(maxn, 5), õ¿ñíýãò c(maxn, 5), b(10,maxn);b(10,maxn);

04/13/23 28

Îëîí õýìæýýñò õ¿ñíýãòýíä Îëîí õýìæýýñò õ¿ñíýãòýíä óòãûã îðóóëàõ áà ãàðãàõäàà óòãûã îðóóëàõ áà ãàðãàõäàà äàâòàëò àøèãëàäàã.äàâòàëò àøèãëàäàã.

Æèøýý íü: Æèøýý íü: max=10;max=10;

õ¿ñíýãò a(max, max);õ¿ñíýãò a(max, max);

̺ð áàãàíûí òîî ºãºãäñºí áîë ̺ð áàãàíûí òîî ºãºãäñºí áîë

I:=1, n ¿åä_äàâòI:=1, n ¿åä_äàâò

04/13/23 29

j:=1, m ¿åä_äàâò îðóóë (aij)j:=1, m ¿åä_äàâò îðóóë (aij)

Ýíý äàâòàëòûã òîâ÷èëæ Ýíý äàâòàëòûã òîâ÷èëæ

Îðóóë (aij; I:=1, n; j:=1, m);Îðóóë (aij; I:=1, n; j:=1, m);

¯¿íòýé àäèëààð ãàðãàõ ¯¿íòýé àäèëààð ãàðãàõ ¿éëäëèéã ãàðãà(aij; I:=1,n; ¿éëäëèéã ãàðãà(aij; I:=1,n; j:=1, m);j:=1, m);

áè÷íý.áè÷íý.

04/13/23 30

Îëîí õýìæýýñò õ¿ñíýãòèéí æèøýý :

Æèøýý íü 2: ªãºãäñºí a(n,n) êâàäðàò ìàòðèöèéí õºíäëºí äèàãîíàëààñ õîéøèõ ýëåìåíò¿¿äèéí min îë.

Àðã n- íàòóðàë òîî ¿ð ä¿í (a min)

04/13/23 31

Àëãæ2 mn=5;Àëãæ2 mn=5;

õ¿ñíýãò a(mn, mn);õ¿ñíýãò a(mn, mn);

îðóóë (n);îðóóë (n);

îðóóë (aij; I:=1,n; j:=1, îðóóë (aij; I:=1,n; j:=1, n );n );

amin:=a1n;amin:=a1n;

I:=2, n ¿åä_äàâòI:=2, n ¿åä_äàâò

õýðýâ aij<aminõýðýâ aij<amin

áîë amin:=aijáîë amin:=aij

ãàðãà(amin) òºãñ.ãàðãà(amin) òºãñ.