Lecture 4
-
Upload
billar-title-reaper-manke -
Category
Documents
-
view
214 -
download
1
description
Transcript of Lecture 4
![Page 1: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/1.jpg)
Διάλεξη 4ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ TOY ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΣΤΕΡΕΟΥ/
ΑΚΑΜΠΤΟΥ (RIGID) ΣΩΜΑΤΟΣ-ΙΙ
![Page 2: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/2.jpg)
Θεώρημα Προβολών Ταχυτήτων
Bv�
Av�
2B
1A
2A
Τα μέτρα των προβολών των ταχυτήτων
δύο σημείων πάνω στην ευθεία που ενώνει τα
σημεία είναι ίσα
( )1 2 / / /
/ / / 1 20
A A B B A B A B
B A B A B A B
A A v e v r e
v e r e B B
ω
ω
= ⋅ = + × ⋅
= ⋅ + × ⋅ = +
�� � � � �
�� � � �
1θ
2θ
1B
2
1 2cos cosAv vθ θΒ=
![Page 3: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/3.jpg)
Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής
• Για κάθε σώµα που εκετελεί επίπεδη
κίνηση πάντα υπάρχει ένα σηµείο στο
επίπεδο όπου η ταχύτητα είναι στιγµιαία 0
•Αυτό το σηµείο λέγεται στιγµιαίο κέντρο
µηδενικής ταχύτητας
•Μπορεί να είναι µέσα στο σώµα ή απ’
έξω!
• Η εύρεση αυτού του σηµείου απλοποιεί
την ανάλυση καθώς το σώµα φαίνεται να
περιστρέφεται γύρω από αυτό το σηµείο
στιγµιαία.
![Page 4: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/4.jpg)
Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής
![Page 5: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/5.jpg)
Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής: Εντοπισμός
Εντοπισµός του IC όταν γνωρίζουµε τα , Av ω��
Από τον ορισµό η ταχύτητα ενός σηµείου του σώµατος είναι πάντα κάθετη
στο σχετικό άνυσµα θέσης από το IC στο σηµείο.
Σε αυτή την περίπτωση το IC βρίσκεται στην γραµµή
που είναι κάθετη στο , σε απόσταση /
/A C Ar v ω=v�
Τροχιά IC
που είναι κάθετη στο , σε απόσταση
από το A.
Παρατηρήστε ότι το IC βρίσκεται πάνω και δεξιά
από το Α αφού η προκαλεί CW γωνιακή
ταχύτητα γύρω από το IC.
//A C Ar v ω=
Av�
ω�
Av�
![Page 6: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/6.jpg)
Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής: Εντοπισμός
Μια άλλη περίπτωση είναι όταν είναι γνωστές οι ταχύτητες δύο σηµείων
του σώµατος, έστω , A B
v v� �
Σε αυτή την περίπτωση το IC , βρίσκεται στην τομή
των κάθετων στις ταχύτητες και .Av�
Bv�
Eρώτηση: Tι γίνεται αν δύο σηµεία έχουν
παράλληλες ταχύτητες;
Bv� Τότε το IC βρίσκεται στο άπειρο και η
γωνιακή ταχύτητα είναι 0
![Page 7: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/7.jpg)
Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής
• Αν τα ανύσματα ταχυτήτων των A και B είναι κάθετα
στην γραμμή AB, το IC βρίσκεται στην τομή τυης
γραμμής AB με την γραμμή που ενώνει τα άκρα των
ανυσμάτων ταχυτήτων A and B.
• Αν όμως τα μέτρα των ταχυτήτων είναι ίδια τότε το IC
Παράλληλες ταχύτητες: Εξαιρέσεις
• Αν όμως τα μέτρα των ταχυτήτων είναι ίδια τότε το IC
βρίσκεται στο άπειρο και η γωνιακή ταχύτητα είναι
μηδενική.
![Page 8: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/8.jpg)
Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής
• Αν τα ανύσματα ταχυτήτων των A και B είναι κάθετα
στην γραμμή AB, το IC βρίσκεται στην τομή τυης
γραμμής AB με την γραμμή που ενώνει τα άκρα των
ανυσμάτων ταχυτήτων A and B.
• Αν όμως τα μέτρα των ταχυτήτων είναι ίδια τότε το IC
βρίσκεται στο άπειρο και η γωνιακή ταχύτητα είναι
μηδενική.
Παράλληλες ταχύτητες: Εξαιρέσεις
![Page 9: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/9.jpg)
Στιγμιαίο Κέντρο Περιστροφής
Η ταχύτητα ενός σημείου σώματος που εκτελεί γενική επίπεδη κίνηση μπορεί να
υπολογισθεί εύκολα όταν εντοπιστεί ο στιγμιαίος πόλος μηδενικής ταχύτητας.
Αφού το σώμα περιστρέφεται γύρω από το IC σε
κάθε στιγμή, το μέτρο της ταχύτητας κάθε σημείου
είναι v = ω r, όπου r είναι η ακτινική απόσταση
του IC από το σημείο.
Ανάλυση Ταχυτήτων
του IC από το σημείο.
Η διεύθυνση της ταχύτητας είναι κάθετη στην
αντίστοιχη ακτινική γραμμή.
• Η επιτάχυνση δεν είναι µηδέν. Έτσι αυτό
το σηµείο δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί
ως ένα στιγµιαίο σηµείο µηδενικής
επιτάχυνσης κατά τρόπο ανάλογο της
χρήσης του για την εύρεση της ταχύτητας.
![Page 10: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/10.jpg)
Παράδειγμα Ι
• To στιγμιαίο κέντρο περιστροφής βρίσκεται στην τομή των
καθέτων των ταχυτήτων μεταξύ των A και B .
θω
cosl
v
AC
v AA == ( ) ( )
θ
θθω
tan
cossin
A
AB
v
l
vlBCv
=
==
• Οι ταχύτητες των σημείων στην ράβδο είναι σαν να
περιστρέφονται γύρω από το C.
15 - 10
περιστρέφονται γύρω από το C.
![Page 11: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/11.jpg)
Παράδειγμα ΙΙ
Ένα σύστημα συνδέσμων εκτελεί κίνηση όπως στο σχήμα.
Η ταχύτητα του στηρίγματος είναι vD, is 3 m/s.
Βρείτε τις γωνιακές ταχύτητες των συνδέσμων ΑΒ και BD.
Λύση
Εντοπισµός του στιγµιαίου κέντρου µηδενικής ταχύτητας του συνδέσµου BD και
επίλυση για τις γωνιακές ταχύτητες.
Λύση
![Page 12: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/12.jpg)
Παράδειγμα ΙΙ
•Αφού το σηµείο D κινείται προς τα δεξιά, αναγκάζει τον σύνδεσµο AB
να περιστρέφεται CW γύρω από το σηµείο Α .
• Το στιγµιαίο κέντρο µηδενικής ταχύτητας για το BD βρίσκεται στην τοµή
των γραµµών που είναι κάθετες στα vB and vD.
• Παρατηρείστε ότι η vB είναι κάθετη στο AB. Για αυτό το λόγο το
στιγµιαίο κέντρο µηδενικής ταχύτητας βρίσκεται πάνω στην ευθεία του
συνδέσµου AB.
![Page 13: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/13.jpg)
Παράδειγμα ΙΙ
Αφού το µέτρο του vD είναι γνωστό, η γωνιακή
ταχύτητα του συνδέσµου BD µπορεί να βρεθεί από
v = ω r .
rB/IC = 0.4 tan 45° = 0.4 m
rD/IC = 0.4/cos 45° = 0.566 m
vD = ωBD rD/IC .
ωBD = vD/rD/IC = 3/0.566 = 5.3 rad/s
ωAB = vB/rB/A = (rB/IC)ωBD/rB/A = 0.4(5.3)/0.4 = 5.3 rad/s
Ο σύνδεσμος AB περιστρέφεται γύρω από το A.
![Page 14: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/14.jpg)
Παράδειγμα ΙΙΙ
Λύση:
• To σημείο C βρίσκεται σε επαφή με την
σταθερή κάτω ράγα και ταυτόχρονα έχει
μηδενική ταχύτητα. Αυτό είναι και το
στιγμιαίο κέντρο μηδενικής ταχύτητας.
• Υπολογίζουμε την γωνιακή ταχύτητα γύρω
από το C βάσει της ταχύτητας στο A.
15 - 14
Το διπλό γρανάζει κυλάει πάνω
στην κάτω οδοντοτή ράγα. Η
ταχύτητα του κέντρου του είναι
1.2 m/s.
Υπολογίστε (a) την γωνιακή
ταχύτητητα του γραναζιού και (β)
τις ταχύτητες της πάνω ράγας R
και του σημείου D του γραναζιού.
• Υπολογίζουμε τις ταχύτητητες στα B και D
βάσει της περιστροφής των γύρω από το
C.
![Page 15: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/15.jpg)
Παράδειγμα ΙΙΙ
• Η γωνιακή ταχύτητα γύρω από το C βάσει της
ταχύτητας στο A.
srad8m 0.15
sm2.1====
A
AAA
r
vrv ωω
• Ταχύτητες στα B και D βάσει της περιστροφής τους
15 - 15
• Ταχύτητες στα B και D βάσει της περιστροφής τους
γύρω από το C.
( )( )srad8m 25.0=== ωBBR rvv
( )ivR
��
sm2=
( )
( )( )srad8m 2121.0
m 2121.02m 15.0
==
==
ωDD
D
rv
r
( )( )sm2.12.1
sm697.1
jiv
v
D
D��
�
+=
=
![Page 16: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/16.jpg)
Παράδειγμα ΙV
2 - 16
Στην θέση που δίνεται, ο σύνδεσµος AB
έχει γωνιακή ταχύτητα 4 rad/s CW.
Υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα των
συνδέσµων BD και DE.
![Page 17: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/17.jpg)
Παράδειγμα ΙV
Διεύθυνση( ) (0.25 m)(4 rad/s) 1 m/sB ABAB ω= = =vΤαχύτητα στο B:
1 0.06 mtan 21.8
0.15 mβ −= = °
vD
vB
Διεύθυνση του D
ωωωωAB= 4 rad/s
ββββ
![Page 18: Lecture 4](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042821/563db8b0550346aa9a96069f/html5/thumbnails/18.jpg)
Παράδειγμα ΙV
vB
Bββββ
Το στιγµιαίο κέντρο C είναι στην τοµή των
γραµµών κάθετων στις ταχύτητες vB and vD.
C 0.1 m 0.1 m0.25 m
tan tan 21.8°
0.25 m 0.25 m0.2693 m
cos cos21.8°
BC
DC
β
β
= = =
= = =100 mm
vD
D
cos cos21.8°β
1 m/s (0.25 m) BDω=
4 rad/sBDω =Υπολογισµός ωDE
0.25 m( ) (4 rad/s)
cosD BDv DC ω
β= =
1 m/s 0.15 m( )
cos cosD DE DEv DE ω ω
β β= ⇒ = ⇒ 6.67 rad/sDEω =
( )B BDv BC ω= ⇒
Υπολογισµός του ωBD