Le Tracage

F . L E L O N G F . C O S S I A U X

,,'#: '.lr:.:,

.i.:rr.

ff:ïi,t,, ,: .. 'r

CollectionA Gniet-

Les fol ios encadrés renvoient aux pages synoptiques

- Notions de géométrie descriptive .

- Le point

3 - L a d r o i t e . . . . 1 23 . 1 - D é f i n i t i o n . 1 23 . 2 - D r o i t e s r e m a r q u a b l e s . . . . . . 1 33.3 - Droi tes concourantes et droi tes

paral lè les

4 - L e p l a n . i o4 . 1 - D é f i n i t i o n . . . . 1 64.2 - T races d 'un p lan . 174.3 - Hor izon ta les e t f ron ta les d 'un p lan .19Appl icat ion : point appartenantà un p lan4 . 4 - P l a n s r e m a r q u a b l e s . . . . . . . 2 14.5 - Appl icat ion : surface plane' e l surface gauche . . . .23

5 - lntersect ion droi te/plan . . . . . . .255 .1 - In te rsec t ion dro i te - p lan . .255 . 2 - l n t e r s e c t i o n d e 2 p l a n s ( 1 ) . . . . . . 2 G5.3 - ln te rsec t ion de 2 p lans (2 ) . . . . . .28

5 - Changement de plan6.1 - Déf in i t ion6.2 - Changement de plan frontal

(vraie grandeur de ia droi te) . .6.3 - Changement de plan hor izontal6 .4 - Doub le changement de p lan . .Appl icat ion .

7 - Rotation1 .1 - Rotat io7 .2 - Rotat ioAppl icat ion . 3 l7 .3 - Rota t ion d 'un p lan (1 )7 .4 - Rotat ion d 'un plan (2)7.5 - Rotat ion d 'un plan (5)

8 - Rabattement 428 . 1 - R a b a t t e m e n t d ' u n p o i n t . . . . 4 28.2 - Rabattement d 'une droi te 43

. B

l 1

8.3 - Rabattement d 'un plan de boutsur un plan frontal

8.4 - Rabattement d 'un plan de boutsur un plan hor izontal . .

8 .5 - App l ica t ions

piun

/, tr,

4641

84B5

. 6 8

.68

. 7 0

. 7 2

1 5

9 - Vraie grandeur de la droite(par changement de plan, par rotation,p a r r a b a t t e m e n t ) . . . . . . . 5 2

Application tr / ,J T

10 - Droi te et p lan perpendiculaires . . . . .551 0 .1 - Dro i te perpend icu la i re à un p lan . .5510.2 - P lan perpend icu la i re à une dro i te .5610.5 - Perpend icu la i re commune

à 2 d r o i t e s . . . 5 7

l 1 - D r o i t e s e t p l a n s p a r a l l è l e s . . . . 6 01 1 .1 - Dro i te para l lè le à un p lan . . . . . . .601 1 . 2 - P l a n s p a r a l l è l e s . . . . . 6 1

l2 - Déterminat ion des distances . . . . . . .6212.1 - D is tance d 'un po in t à une dro i te . .6212.2 - Distance d'un point à un plan . . . .641 2 . 3 - D i s t a n c e e n l r e 2 d r o i t e s . . . 6 7

2 0

303 0

| 3 - Détermination des angles1 3 . 1 - A n g l e d e 2 d r o i t e s . . . . .13 .2 - Ang le d 'une dro i te e t d 'un

, - l ^ t ^ ^ , , - ^ ^ i À( le ra pyramloe) ) - l - ) 6 r r o l n n n o m c- - " - , - v v - , , , J n I

. 3 1

. 3 2

. 3 3

. 3 4

13.3 - Ang le de 2 p lansA p p l i c a t i o n . . . . 1 4

l - L e p r i s m e . . . 7 9' I .1 - Ident i té, sect ions planes du pr isme .79

, l .2 - Coude à 2 éléments f rontaux . . . . .801 .3 - Coude que lconque . . .811 . 4 - I n t e r s e c t i o n s . . . 8 21 . 5 - D é v e l o p p e m e n t . . . . . 8 3

2 - L e s p y r a m i d e s . . . . 8 42.1 * lden t i té , sec t ions p lanes

n d ' u n e d r o i t e ( 1 )n d 'une droi te (2)

. 3 5

. 3 5

. 3 6

. 3 8

. 3 9

.40

4I

t t"-

3 - Les hottes à parois planes . . . . .86D é v e l o p p e m e n t . . . . . 8 7

4 - Le cylindre de révolution4.1 - ldentité, developpement, sens

d u t r a c ê . . . 1 .4.2 - Le système régulier degénératrices 914.3 - Les projections particulières

d e s g ê n é r a t r i c e s . . . . . 9 24 .4 -Les coudeset les tés . . . . . . .944.5 - Coude cyl indr ique

à d e u x é l é m e n t s ( 1 ) . . . . . . . 9 54.6 - Coude cyl indr ique

à d e u x é l é m e n t s ( 2 ) . . . . . . . 9 64.1 - Coudes cyl indr iques en plusieurs

é l é m e n t s . . . . . . 9 7 '4.8 - Le < dêcalé, des génératr ices

sur le dêveloppement4 . 9 - L e s s e c t i o n s r e m a r q u a b l e s . . . . . . . 9 9

' .5 - Le cylindre obliqqe à base circulaire .l 00

5.1 - ldent i té, sect ions planesdu cyl indre obl ique

5 . 2 - D e v e l o p p e m e n t . . . . . . . . . . 1 0 1

6 - Le cône de rêvolution . . .1026.1-- Ident i té, dêveloppement . . .1026.2 - Les sect ions remarquables (1) . . . .1 056.3 - Les sect ions remarquables (2) . . . .1046:4 - Les sections remarquables (3) . . . .1 05

7 - Le cône oblique à base circulaire7 .1 - Ident i té, sect ions planes

1 0 6

du cône obl ique . . . .1 067 .2 - Développement du tronc de cône

obl ique à sommet accessible . . . .1071 .3 - Dêveloppement du tronc de cône

obl ique à sommet inacessible

::8 -- Coude conique 1 1 2

@

| | - Les intersections cylindre/cylindre . .1211 1 .1 - Intersection d'une droite et

d 'un cyl indre de rêvolut ion . . . . .12111 .2 - Le développement du pênétré . .1221 1 . 3 - T é à 6 0 . . . . . 1 2 311 .4 - Piquage 90o axes concourants . .124l l . 5 - P i q u a g e 6 0 " a x e s d é c a t ê s . . . . . 1 2 51 1.6 - Næud cyl indr ique (of f shore) . . .1,261 1 . 1 - L e s é p a i s s e u r s . . . . 1 2 8

| 2 - Le cône de révolution @12.1 - lntersection d'une droite

e t d ' u n c ô n e . . . . . . 1 4 412.2 - lmplantat ion sur

le développement . .14612.3 - lntersect ion cône/cyl indre . . . . . .1411 2 . 4 - L e s é p a i s s e u r s . . . . 1 5 6

1 3 - I n t e r s e c t i o n c ô n e / c ô n e . . . . . . 1 6 61 3 . 1 - A x e s q u e l c o n q u e s . . . 1 6 613.2 - Tronc de cône à sommet

inaccessible

'l4 - Intersections sphère/cône [99]1 4 . 1 - A x e v e r t i c a l . . . . . . 1 6 91 4 . 2 - L e s ê p a i s s e u r s . . . . 1 7 0

I 5 - Intersectioirs sphère/cylindre . . . . . .11 41 5 . 1 - A x e v e r t i c a l . . . . . . 1 1 41 5 . 2 * A x e h o r i z o n t a l . . . . 1 1 61 5.5 - Les épaisseurs . . . l 78

16 - Intersectionstore/cylindre . . . @16.1 - Sec t ions remarquab les . . . . . . . .18516.2 - Axes para l lè les . . . . .18616.3 -Axe paral lè le à l 'équateur . . . . . . lBB16.4 - Axes concourants . .1 901 6 . 5 - L e s é p a i s s e u r s . . . . 1 9 2

17 - Les raccordements . . . .20111 .1 - Raccordement de deux sect ions

contenues dans des plansparal lè les . . .201

17 .2 - Raccordement de deux sect ionscontenues dans des plansconcourants . . .

t8 - Les culottes . . . .2161 8 . 1 - T h é o r è m e s . . 2 1 61 8 . 2 - A p p l i c a t i o n ( 1 ) . i . . . . . . . 2 1 7l B . 3 - A p p l i c a t i o n ( 2 ) . . . . 2 1 81 8 . 4 - A p p l i c a t i o n ( 3 ) . . . . 2 2 0

8.1 - Methode des sphères sécantes .

P,2 - Méthodes des sphères tangentes. 1 1 2. 1 1 4

d'a sphère . . l 16.:l - ldentite, sections planes'

, d 'une sphère . . l 1 6!"; Développement approché*. , ' , de la sphère . .117

5I

d e M o n g e . . . . . 1 1 9

3 - Tracés de bissectrices . .244

| - Vraie grandeur de la droite . . .224

2 - Intersection cylindre de rëvolution/P l a n d e b o u t . . . . 2 2 6

3 - fntersection cylindre/cylindre . .228

4 - Développement du tronc de côned e r é v o l u t i o n . . . . 2 3 0

5 - Angle de deux droites . .232

5 - Angle de deux plans . . .234

7 - Calcul des longueurs et des anglesd e s t u y a u t e r i e s ( 1 ) . . . . 2 3 6

I - Calcul des longueurs et des anglesdes tuyauteries (2) 2 3 9

1 - Tracés de perpendiculaires .242

2 -Tracés de parallèles . . . . . . . . .243

4 - Tracés de tangentes au cercle

5 - Raccordements droite/cercle

.245

.246

6 - Tracés de polygones réguliers . . . . . .248

7 - Divisions de droites en parties égales 250

8 - T r a c é s d ' a n g l e s . . . 2 5 1

9 - Tracés d'ovales (méthode de I'ansede panier) . .252

l0 -Tracés de I 'e l l ipse . . . . . . . . . .254

I l - Tracés de tangentes à I 'ell ipse . . . . .255

12 - Tracés d'arcs de cercles de centrei n a c c e s s i b l e . . . . 2 5 6

Surfaces, volumes

Centre de gravité

. 2 5 9

, h l I. . . . z v v

PR€MI€R€ PRRTI€

-o

l

1ùI

o

Caspard Monge (1746 - lBlB) mathématicien français, inventeur de la

GÉOMÉINIE DC'CRIPTIVC

Né à Beaune, Caspard Monge a joué un rôle important sous la Révolution française tant comme savant auservice de la défense de son paAs que comme professeur, en particulier à I'Ecole polgtechnique, créée à soninitiative. Amitrès proche de Bonaparte, qui, devenu Napoléon l*, le ftt comte de Péluse. ll accumula les hon-neurs jusqu'à la chute de I'Emptre. Resté fidèle à I'Empereur, il fut obligé de s'exiler et mourut dans le plusqrand dénuement.-C'est

à l'École militaire de Mézières, où it fut étudiant, assistant puis professeur, que Monge elabora sa géo-

métrie descriptive dès 1 770 ; classée secret mtlitaire, celle-ci ne fut pas ensetgnée publiquement avant I 795L'æuvre mathématique de Monge se caractérise par une sgnthèse profonde entre I'analqse, I'algèbre et lagéométrie. On lui doit en particulier des interprétations géométriques des équations aux dérivées parttelles

en termes de famttles de surfaces. (D'après Encyclopédie ENCARTA@, Microsoft Corporation)

I - NoloNS D€ GéoMéTRK D€scRlPTlv€

En géomêtrie descript ive, mais aussi en traçage graphique ou en dessin technique, on uti l ise les projections

ortÀogonales, c'est-à-dire que les points de différents objets sont projetés perpendiculairement à des plans

de projection. Un plan de projection est une surface imaginaire plane i l l imitée.

@ nepresentation dans l'espace

l l y a 3 principaux plans de projection qui sont :

- le plan horizontal XOY que l'on désigne par

lHl ;- le plan frontalYOZ que l 'on dêsigne par IF] ;- le plan de profi l XOZ que I 'on désigne par [Pf].

Ces plans sont perpendiculaires entre eux, i ls for-ment un référentiel OXYZ.

Les traceurs. les dessinateurs se réfèrent le plussouvent aux deux premiers plans qui partagentl 'espace en quatre dièdres.Un dièdre est I 'angle formé par deux plans.On t ravai l le généra lement dans le premierdièdre.

Comme les épures sont construites sur une sur-face plane, on suppose que le plan frontal estrabattu sur le plan horizontal. Cela donne lareprêsentation suivante.

[Pr] o

GêomêErie descriPtive

I Projection d'un point

Un point A dans I 'espace se projette perpendiculairement par rapport aux plans de projection.

o L' ( impact D sur le plan IF] qe nomme projection frontale, i l est désigné par n a'n.. L' ( impact D sur le plan IH] ie nomme projection horizontale, i l est désigné par u a o.

La droite qui joint la projection frontale ( a')) à la projection horizontale ( a D est nommée < l igne de rappel>.Elle est perpendiculaire à l 'axe 0Y.

I Conventions

Y

o C u *

o E o :o S r :

cote du pointêloignement du pointsituation du point

ilra o cote > d'un ooint.distance qui sépare le point duli t dans le plan frontal [F]horizoîtal IH], se

rection des Z).

éloignement > d'un point,distance qui sépare ledans le plan horizontaldu plan frontal [F], se l i t

{direction des X).

situation >, distance qui sépare le point du plan de[Pfl, est lue dans le sens des Y.

0

-- --

I - Notions de gêomêtria descriptive

il Notation adoptée dans I'ouvrage

o Le point :Un point dans l 'espace sera désigné par une lettre majuscule, suivi ou non de ses coordonnées x,y,z entreparenthèses.

Exemples:A -------------> point A (non défini par ses coordonnées).8(0,2,5)- - - - - - - - - - - - ->point B de coordonnées: xB : 0 ;yB :2;zB :3

)

On peut aussi appeler le point A de cette façon : A (a', a)

o La droite :Une droite dans I 'espace sera désignée par une ou deux lettres majuscules indicées ou non entre parenlhèsessi el le est désignée par deux points.

Exemples:(D) droite appelée (d) non définie par deux points

droite passant par deux points A et B(AB

Nota: pour l 'épure,,on emploie les lettres minuscules entre parenthèses assort ies d'un o'n pour la projectionfrontale.La projection frontale de (D) sera désignée par (d') ;sa projection horizontale par (d).On a donc les équivalences de désignations suivantes :

(Dl : (d), (d') ------------> droite (D) définie par ses projections(AB) : (abJ, (a'b')------------> droite (AB) définie par les projections des points A et B

o Le plan :Un plan sera désigné par une lettre majuscule ( indicée ou non) entre crochets ou par ses éléments de defini-tion entre crochets.

Exemples:tP l ltA,B,C,lt(D), tu)lt(AB), (cD)lt(D), A1

.-----------------------��___________>--___--->----------------___________>

plan appelé Pl non déf in i ,plan défini par trois points A,B,C,plan dêfini par les deux droites (D) et (U),plan défini par les deux droites (AB) et (CD),plan défini par la droite (AB) et le point A.

Gêomêtrie descriptive

Représentation du point sur I'epure

2 L€ PoINT

Un point M est dêfini par ses coordonnées. Posit ionner ce point sur l 'épure.M ( 1 0 , 1 2 , 3 l

En O, le traceur posit ionne sur le référentielune l igne de rappel perpendiculaire à l 'axe(OY) distante de 12 unités du point O.En @, it porte sur cette ligne de rappel un êloi-gnement (X) de t0 unités qui situe la projec-tion horizontale m.En@, it porte sur cette même l igne de rappelune cote (z) de 3 unités qui situe la projectionfrontale m'.

9 - Le point

. _ LR DROIT€

3. I DÉrlrunoru

Une droite est définie par deux points.

o Traces d'une droite

On appelle traces d'une droite, ses points d' intersection avec les plans de projection [Fl et [H].

(D) n tFl 4 trace frontale (q, q') (D) n tHl----> trace horizontale (p, p')

Pour rechercher la trace frontale d'une droite, letraceur recherche sur la droite (D) un point O (q,q')qui a un éloignement nul.

Pour rechercher la trace horizontale d'une droite,le traceur recherche sur Ia droite (D) un point P(p,p ' l qu i a une cote nul le .

/! \ Un. droite (D) peut avoir une trace frontale de cote (Zn') négative ou une trace horizontale d'éloignement

{Xu) négatif.

z


3.2 Dno[ES REMARouABLEs

I Droite frontale

Elle est parallèle au plan frontal de projection [OYZ].Ëlle est vue en vraie grandeur dans le plan frontal deprojection.

Une droite frontale ne possède pas de trace frontale

.I Droite horizontale

Elle est paral lèle au plan horizontal de projection

est vue en vraie grandeur dans le plan horizontal

droite horizontale ne possède pas de trace hori-e .

fronto-horizontale

est parallèle à la fois au plan frontal [OYZ] et au'.horizontal [OXY] de projection.

vue en vraie grandeur dans ces deux plans de

fe fronto-horizontale ne oossède ni de trace, ni de trace horizontale.

3 - Lo droite

I Droite verticale

Elle est perpendiculaire au plan horizontal de projec-tion [O/rY].Elle est vue en vraie grandeur dans le plan frontal deprojection.

Une droite verticale ne possède pas de trace frontale.

I Droite de bout

Elle est perpendiculaire au plan frontal de projection

l)YZl.Elle est vue en vraie grandeur dans le plan horizontalde projection.

Une droite de bout ne possède pas de trace horizon-tale.

I Droite de profil

El le est paral lèle à un plan de profi l .El le n'est pas vue en vraie grandeur dans les deuxplans de projection tFl et tHl.

Les traces d'une droite de profil ne peuvent être obte-nues que par un changement de plan (voir pages 50 à32).

Une droite de profi l ne possède qu'une seule l igne derappel.

I!III'IIiI

II{II

I

j{IIl

lI

Gê,omëtvi a descr i ptive

3.3 Dno[Es coNcouRANTES ET DRotrES pnnRt_t_Èus

f Droites concourantes

Deux droites sont concourantes dansintersections se situent sur la mêmedans deux plans de projection.

l 'espace si leursl igne de rappel

.l Droites parallèles

-/'^''-/ /<*")

- / Y

droites, non de profi l , sont paral lèles dans I 'espace si leurs projections sont paral lèles (ou confonduesune seule projection).

Lorsque les droites sont deprofi l un changement de planest necessaire pour vérifier siles droites sont paral lèles.

Dans le cas présent, el les ne lesont oas.

3 - Lo droite

4 - L€ PLRN

V4.1 DÉrrrurroruUn plan est défini par :

2 droites concourantes

Un plan peut aussi être défini par ses traces.

droite et I point

2 droites parallèles

Traces d 'un p lan

Les traces diun plan sont les droites d' in-tersection de ce plan avec les plans de pro-jection tFl et tHl. La trace frontale est appe-lee (O'1, la trace horizontale (P).Ces deux traces se rejoignent sur I'axe 0Yen un point alpha (o', c)

GëloméEria descriptive

4.2 TnacES D'uN PLAN

Rechercher les traces d'un plan [P] défini par les droites [D1) et (D2) concourantes en U

Méthode : pour rechercher les traces d'un plan, i l faut et i l suff i t de rechercher les traces fron-tale et horizontale de deux droites du olan

Le traceur prolonge la droite (D1) en projection horizontale jusqu'au moment où el le a un éloi-gnement nul (Xm : 0) et projette m en projection frontale sur (dl ') pour obtenir m'(tracefrontale). l l fait de même pour la droite (D2) pour obtenir n'. La trace (O') du plan IP] passe parm'n ' .

X

( d 1 ' )

4 - Le plon

Zn

Q ,

( d l ' ) u

m'

\\

(uz ) \ , ,

( d 1 )

(az) /

t

/ p

0 a ' Yct'

Le traceur prolonge la trace frontale (O') du plan IP] jusqu'au moment où elle rencontre I'axe(OYJ pour obtenir alpha (cr,g'). Puis il recherche la trace horizontale T de la droite (D2). En joi-gnant alpha (cr,c') à la projection t, le traceur obtient la trace horizontale (P) du plan .

Lorsque le point alpha (cr,oc') n tombe > en dehors des l imites de I 'epure, on ne peut pasemployer tout à fait la même mêthode. ll suffit alors de tracer une droite du plan [P] qui restedans les l imites de l 'épure en choisissant un point sur chacune des droites (Dl) et (D2).

Le traceur après avoir recherché latrace horizontale T de la droite (D2), sedonne deux points A et B respective-ment sur (D2) et (Dl) en vérif iant quela trace horizontale C de la droite (AB)< tombe , dans l 'épure.Après avoir recherché cette trace G, ilj o i n t ug , ,à n tD pou r ob ten i r l a t racehorizontale (P) du plan.

or.

vl)

q)

o+,

tr

GêomêErie descriptiv@

4.3 HontzowTALEs,ET FRoNTALES D'uN ptÂN

I Horizontales d'un plan : ce sont des droites, d'un plan, parallèles au plan horizontal (XOYJ.

Le plan est défini par trois points tA,B,Ml.

Toutes les horizontales d'un plan sont paral lèles entre el les et sont paral lèles à la trace hori-zontale du olan,

Frontales d'un plan : ce sont des droites du plan parallèles au plan frontal

plan est défini par deux droites concourantes [(Dl ), (D2)1.

Toutes les frontales d'un plan sont paral lèles entre el les et sont paral lèles à la trace frontaledu o lan.

I

Le

4 - Le plon

$r-i 'I

IiIiI

I Appfication : point appartenant à un pfan

Connaissant une des proiections d'unpoint U appartenant à un plan [p], rechercher l ,autre pro_jection.

l " ' c a s : l e p l a n I P ] est defini par trois points 2" cas : le plan est défini par ses traces

a

tFI

Dans les deux cas, le traceur résout le problème en faisant passer une droite remarquable duplan, horizontale ou frontale, par le point à rechercher. La droite remarquable étant construi-te dans l'autre projection, il ne reste plus qu'à projeter le point sur cette droite remarquable.


4.4 PUaNS REIvIARoUABLES

I Plan vertical

l l est perpendiculaire au

Sa trace frontale (O') est

plan horizontal de projection

parallèle à l'axe 7.

de bout

iculaire au plan frontal de projection.

horizontale (P) est parallèle à l'axe X.

au plan frontal de projection. Toutes lesn frontal sont vues en vraie grandeur

.frontal de projection.

ne possède pas de trace frontale.

vertical particulier

plon

I Plan horizontal

l l est paral lèle au plan horizontal de projection. Toutesles f igures d'un plan frontal sont vues en vraie gran-deur dans le plan horizontal de projection.

Le plan horizontal ne possède pas de trace horizon-tale.

C'est un plan de bout part icul ier.

I Plan de profil

l l est perpendiculaire à l 'axe Y.

I Plan quetconque

Comme son nom I ' indique, ce n'est pas un plan remar-quable. Ses traces {P) et (O') sont incl inées par rapportà l 'axe des Y. Les traces se rejoignent sur I 'axe Y en unpoint alpha (cr, c').

Les f igures contenues dans un plan quelconque nesont pas vues en vraie grandeur, ni dans le plan fron-tal, ni dans le plan horizontal.

GêomêErie descriptive

4,5 AppLrcATroN: suRFAcE PIÂNEET SURFACE GAUCHE

Un plan est defini- 3 points,- I droite et un point,- 2 droites concourantes,- 2 droites paral lèles,

ces deux cas revenant à 3 ooints.

Lorsqu'une figure comporte plus de 3 points, il faut vêrifier si cette surface est plane.

Une surface est définie par les points A,B,C et D. On demande de contrôler si cette surface estp lane.

l* cAs 2" CAS

Le traceur: Le t raceur :- joint les quatre points dans les deuxtions,

joint les quatre points dans les deux projec-t ions,

RAPPEL; lorsque deux droites (non de profil)

- s'aperçoit que deux droites (AB) et (CD) sontparal lèles dans la projection horizontale, maispas en projection frontale,- en déduil que les deux droites ne sont pasparal lèles dans l 'espace et que la surface n'estpas p lane.Dans ce cas, la surface est dite ( gauche ),, ilfaut s' imposer un pl i suivant I 'une ou l 'autrediagonale (la surface est décomposée en deuxtriangles, donc deux surfaces planes).

- voit que deux droites (AB) et (CD) sontfàial.rcles dans les deux projections,- en déduit que la surface est plane.

sont paral lèles dans deux projections, el lessont paral lèles dans l 'espace.

4 - Le plon

On demande de contrôler que les surfaces, définies ci-après par quatre points, sont planes.

5" CAS 4" CAS

b '

/-/-.

-/ -/d

da

c

b

Le traceur contrôle que deux droites, npnadjacentes, de la surface sont concourantes.lci, il prolonge les droites (AD) et (BC) dans lesdeux projections et vérifie si leur intersectionse situe sur une même l igne de rappel.Ce n'est pas le cas, la surface est ( gauche D.

Les droites composant la surface se coupanthors des limites de l'épure, le traceur vérifieque les diagonales de la surface sont concou-rantes.Dans le cas présent, les intersections desdroites (AC) et (BD) sont situees sur unemême l igne de rappel. Le point I est bien I ' in-tersection des deux diagonales.La surface est plane.RAPPEL: deux droites concourantes dêfinis-sent un olan.

GêomêErie descriptive

5,t frurrRsrcloN DRotrE - pLAN

5 - INT€RS€CTIoN DRoIT€ - PLRN

Rechercher I ' intersectiond'une droite (D) et d'un plan [P] défini par deux droites concouranrest(AM), (MB)l ou par trois points tA, M, Bl.

b

tpl n "{P"t

Le traceur fait passer un plan auxil iaire remarquable lPRl (de bout ou vert ical) par la droite (D).Le point recherché l( i , i ' ) appart ient à la fois à I ' intersection des deux plans et à la droite (D).

5 - Int@rsection droito - plon

5,2 lrurcRsEcroN DE DEUX etnrus (l )L'intersection de deux plans est une droite.Pour rechercher l ' intersection de deux plans, i l faut et i l suff i t de rechercher l ' intersection de deux droites d'unplan avec l 'autre plan.

Rechercher I ' intersection de deux plans [P1let IP2] tous les deux dêfinis par deux droitesconcourantes.

tP 1 I défini par lesconcourantes en l.

tP2l défini par lesconcourantes en O.

dro i tes (D1) et (D2)

dro i tes (Ul ) e t (U2)

Une première méthode consiste à amener un des deux plans en bout.Pour ce la le t raceur :- construit une droite remarquable;- implante un nouveau référentiel perpendiculaire à la droite en vraie grandeur et projettedans ce nouveau plan de projection, les plans [P1] et IP2];- dans cette dernière projection, i l détermine I ' intersection des deux plans qu' i l ramène dansles plans de projection [H] et [F].

1." phase : construction d'une droite remarquable, mise en place d'un nouveau rêfêrentiel01X1Y1Z et projection dans ce référentiel du plan [P1].

Le traceur:o' - construit une horizontale (h,h'),

- place un nouveau référentiel 01XlY1Z per-pendiculaire à (h),- projette dans ce réfêrentiel le plan [P1] définipar les points tM,N, l | ,- obt ient le p lan [P1] * sn bout n .

(d1')


2" phase : projeter le planpoints d'intersection T et

lP2l dans le nouveauc.

référentiel et dëterminer les

Z

t '1 (u2'1)

(u1'1)

3" phase : ramener les points d'intersection T et C dans les projections [F] et [H] et tracer ladroite d'intersection.

Le traceur ramène les points d'inter-section sur leurs droites respectivesdans les projections [H] puis [Fl

(d l ' )T appart ient à tU2)C appart ient à (U I )

En joignant les points T et C i lobt ient I ' in tersect ion des deuxprans.

t '1 (u2'1)

(u l '1 )

( d l ' 1 )(d2'1)

(,'2')

(dz)./ .(uP)

ea"(d2')

: :

(dz),/ - (uz)

.y

5 - Intersection droite - plon

5.3 [rurERsEcloN DE DEUX enrus (2)

L'intersection de deux plans est une droite.Pour rechercher l ' intersection, i l faut et i l suff i t de dêterminer deux points communs aux deux plans.

Rechercher l ' intersection de deux plans IP1]et tP2l tous les deux définis par deux droitesconcourantes.

lPl l défini par les droites (Dl) et (D2) concourantesen l .

lP2l défini par les droites (Ul) et (U2) concourantesen O.

Une seconde méthode consiste à couper les deux plans par deux plans remarquables:

- le traceur fait passer un plan remarquable qui coupe les deux plans [(D1,D2] et t(U1,U2)l '- le plan remarquable détermine dans chacun des plans l(D1,D2l et [(Ul,U2)] une droite,- I'intersecbion de ces deux droites dêtermine un point commun aux deux plans,- en répêtant ces opérations, le traceur détermine un second point commun aux deux plans'- ces deux points communs, rel iês, donne l ' intersection des deux plans.

I l. phase: les deux plans [(Dl),(D2)] et t(Ul), (U2)l sont coupés par un plan horizontal

lPHr l

o Le traceur fait passer unplan hor izonta l tPH 1 I qu idétermine dans le Plan [P1]une droite [MN) et dans leplan IP2] une droite (AB).o L'intersection des.droites[MN) et (AB) donne un PointC commun aux deux PlanstPr l , lP2 l .

l

GéÉ/mêvle descriptive

2" phase : les deux ptans [(Dl ), (D2)J et Iru 1), (U2)] sont coupês par un plan horizontal [pH2]

Le traceur repète I'opération prêcédente :

- i l fait passer un plan horizontal tPH2l qui détermine dans le plan [Pt] une droite (KL) et dansle plan (P2) une droite IVWJ,- I ' intersection des droites (KL) et (VW) donne un point E commun aux deux plans [p1],tp2l,- en joignant les points E et c, le traceur obtient l ' intersection recherchée.

(d l ' ) (u l ' ) IeHz](d? ' )

[pHr]

5 - Intesection droite - plon

(' - CHRNG€M€NT D€ PLRN

6.1 DÉrtrurloru

* Changement de Plan frontal

ffi Changement de Plan horizontal

Lorsque I 'on effectue un changement de plan frontal,on change de référentiel. Les points M et N sont pro-je tés perpendicu la i rement au nouvel axe (0 lY l ) '

Cependant, si les points M et N peuvent avoir un êloi-gnement différent (X1m, X1n), i ls conservent leur cote( Z m ' e t Z n ' ) .

Lorsque I 'on effectue un changement de plan horizon-tal, on change de référentiel. Les points U et B sontprojetés perpendiculairement au nouvel axe (01Y1 ) 'Cependant, si les points U et B peuvent avoir une cotedifférente (71u' , Z1b'J, i ls conservent leur êloignement(Xu et Xb).

(t.2 cUaNcEMENT DE pr^N FRoNTAL (vnrur cRANDEUR DE m onore)

U,ne droite est vue en vraie grandeur dans un plan de projection, lorsqu'elle est parallèle à cepran.

Par un changement de plan frontal, rendre une droite quelconque <frontale >.

Vraie randeur

m'1

Pour effectuer un changement de plan, le traceur :f . implante un nouveau rêférentiel 0iK1y1Z,

,2. lend la droite (MN) frontale en plaçant le nouvel axe OlYl paral lèle à la projection horizon-tale (mn),

3. projette les points M et N perpendiculairement à ce nouvel axe ol yl,g/r. reporte dans le nouveau plan frontal o1y1z les cotes des points M et N.

cette nouvelle projection, la droite (MN) est <frontale D et vue en ovraie grandeur u.

6 - (hongement de plon

6.3 CHnNGEMENT DE pLAr\ HoRrzoNrnl {vnnir cRRrvoEUR DE I-n onoref

Une droite est vue en vraie grandeur dans un plan de projection, lorsqu'el le est paral lèle à ceolan.

Par un changement de plan horizontal, rendre une droite quelconque < horizontale >

21

ffiffi

Pour effectuer un changement de plan, le traceur:f . implante un nouveau référentiel 0l XYI Z 1,2. rend la droite (UB) horizontale en plaçant le nouvel axe 0lY1 paral lèle à la projection fron-

tale (u'b'),3. projette les points U et B perpendiculairementà ce nouvel axe 01Y1,4. reporte dans le nouveau plan frontal 01XYl les éloignements des points U et B.Dans cette nouvelle projection, la droite (UB) est n horizontale D et vue en (vraie grandeur r.

"r

uL

È/ / \ v ra iesrandO1

)ur

b 1

3 :Z

0

,u ^t

b '

Y

-x

-oX

u

X


6.4 DoUBLE CHANGEMENT DE PLAN

Le problème est identique au changement de plan frontal ou horizontal, i l suff i t de conserverl 'épure des deux derniers référentiels.l l en sera de même si l 'on doit effectuer d'autres changements de plan après le référentiel02Y2 Z1 X1 .

6 - Chongement de plon

Application

ffiffi

l ) Une droite est vue en vraie grandeur dans un plan de projection, lorsqu'el le est paral lèle à ceplan.2) Une droite est vue en bout dans un plan de projection, lorsqu'el le est perpendiculaire à ceplan.

Amener I 'axe (MN) d'un cyl indre vu en bout par changement de plan.

rue en

b

1 . Le traceur effectue tout d'abord un pre-mier changement de plan pour rendre ladroite vue en < vraie grandeur > (voirméthode ci-avant Page 31J.

2. ll effectue ensuite un second change-ment de plan pour rendre la droite MNperpendiculaire â un nouveau plan de pro-jection. Pour cela le traceur:

2.1. implante un nouveau référent ie l02x1Y222:2.2. rend la droite MN vue ( en bout D enplaçant le nouvel axe 02Y2 perpendiculai-re à la droite en vraie grandeur;2.3. projette les points M et N perpendi-culairement à ce nouvel axe 02Y2:2.4. reporte dans ce nouveau plan hori-zontal 02X1Y2 les nouveaux éloignements(Xl m et Xl n) des Points M et N.

3. dans cette dernière projection l 'axe ducvlindre est vu < en bout >.

7 - ROTRTIoN

7,l Rormoru D'uNE onorre (l )Méthode générale : On effectue toujours la rotation d'objets autour d'un axe vu en bout.

L'axe de rotation étant situé sur la droite,rendre un segment de droite quelconque dans l 'espace :

Frontal

1 . Le traceur fait passer, par un point situé surla droite [exemple le point (B)) du segment, unaxe de rotation ( vert ical ).

Horizontal

1 . Le traceur fait passer, par un point situé surla dror te (exemple le point (B)) du segment , unaxe de rotation u de bout o.

2. Le traceur effectue une rotation du seg-ment jusqu'au moment où le point (A) a unélo ignement égal à ce lu i de (B) .Pendant la rotation, le point (A) et tous lespoints situés sur le segment de droite conser-vent leur cote.

2, Le traceur effectue une rotatioh du seg-ment jusqu 'au moment où le point [A) a unecote égale à ce lu i de [B) .Pendant la rotation, le point (A) et tous lespoints situés sur le segment de droite conser-vent leur ê lo isnement .

axe de rotation

7 - Rototion

7.2 RorRroN D'uNr onorr (2)

Méthode générale: On effectue toujours la rotation dlobjets autour d'un axe vu en bout.

L'axe de rotation étant situé hors de la droite,rendre un segment de droite quelconque dans I 'espace :

Frontal

1 . Le traceur fait passer, en dehors de la droi-te. un axe de rotation < vertical >.

Horizontal

1 . Le traceur fait passer, en dehors de la droi-te, un axe de rotation n de bout u.

il

2. Le traceur joint I'axe de rotation au seg-ment par une l iaison perpendiculaire puiseffectue une rotation jusqu'au moment où lal iaison est perpendiculaire à I 'axe 0Y.Pendant la rotation, les points (A et B) conser-vent leur cote.

2. Le traceur joint l'axe de rotation au seg-ment par une l iaison perpendiculaire puiseffectue une rotation jusqu'au moment où lal iaison est perpendiculaire à I 'axe 0Y.Pendant la rotation, les points (A et B) conser-vent leur éloignement.

axe\ /-

i x /


Application

Soit à traiter le problème suivant:

intersection d'un cylindre de rêvolutiond'axe (MN) et d'une sphère de centre 0.

L'axe du cyl indre est quelconque.

ià,i.T-:

le traceur fait passer, par le centre de la sphère, un axe de rotation < de bout >,i l joint ensuite I 'axe de rotation à l 'axe du cyl indre (MN),i leffectue une rotation pour rendre I 'axe du cyl indre n horizontalu.

77I

-W

7 - Bototion

l i

7.3 RoraroN D'uN emru (l )

Rendre un plan quelconque [Pl dêfini par ses traces I(P],(O')1, n de boul>.

La méthode se résume à rendre une droitehorizontale du plan quelconque, < de bout >.Pour cela le traceur :

f . imolante un axe de rotation n vert ical >.

2. recherche I'intersection M de cet axe < ver-t ical> avec le plan quelconque, en faisant parexemple passer un plan frontal [F] par l 'axe'

3. joint l 'axe de rotation à la trace horizontaledu plan [P] par une l iaison perpendiculaire.

4. effectue une rotation de la trace jusqu'aumoment où la l iaison est paral lèle à I 'axe (0Y).

5. détermine ainsi le nouveau point alpha (ol,( t 1 ' ) .

6. joint o1 à M, qui n'a pas bougé pendant larotation, ce qui détermine la nouvelle tracefronta le (O'1) .

GêomêErie doscriptive

7,4 RoraroN D'uN enru (2)

Rendre un plan quelconque [Pl défini par trois points [A,B.C], < vert ical >.

La méthode se résume à rendre une droitefrontale du plan quelconque < vert icale >.

Pour cela le traceur :

f . imolante un axe de rotation n de bout > ;

2. recherche I'intersection I de cet axe < debout > avec le plan quelconque, en faisant parexemple passer un plan de bout [PDB] parl'axe de rotation ;

3. joint l'axe de rotation à la droite frontale (F)du plan [P] par une l iaison perpendiculaire;

4. effectue une rotation de la droite jusqu'aumoment où la liaison est parallèle à I'axe (OYJ.

5. Les points C et N conservent leur êloigne-ment pendant la rotation. Le traceur obtient decette façon les projections horizontales cl etn 1 . La trace {P} et le point alpha du plan renduvert ical sont définis en joignant les points cl,nl au point i . La trace (O') est perpendiculaireà l'axe [0Y).

397 - Rototion I

Fq

7.5 Rormoru D'uN ernrrr {3)

Rechercher l:intersection d'un cylindre,de révolution coupê par un plan [Pl défini par.troispoints T, U et V.

La méthode se résume à rendre le plan IT, U, Vi o de bout >. pour cela le traceur :

f . implante un axe de rotation < vertical ), passant par l;axe dù èylindre ;2. joint les 3 points T, U, V et recherche I ' intersection I du plan quelconque tT,U,Vl avec I 'axede rotation en faisant passer un plan ( vertical " IpV].

Gêomâùie descriptive

S.trace une horizontale (H) du plan tT,U,Vl et la joint à l 'axe de rotation par une l iaison per-oendiculaire.

4. effectue une rotation de ladro i te (H) jusqu 'au moment où lal iaison est paral lèle à l 'axe (0Y).

5. les points K et L conserventleur cote pendant la rotation. Letraceur obtient de cette façonles projections frontales k1' etl1 ' . La trace (P) et le point alpha(cr, cr') du plan rendu u de bout usont définis en joignant les pro-ject ions k l ' e t l i ' à la pro ject ioni'. La trace P est perpendiculaireà I'axe (0Y).

417 - Rototion I

I'axe

8 - RRBRTT€M€NT

8, I lRngnrrEIvlENT D'uN PoINT

Méthode générale : on effectue toujours le rabattement de figur.es, autour d'un axe soit frontal, soit hori-

zontal.

Pour rabattre le Point U sur un Planhorizontal, on doit instal ler une char-nière horizontale (H). Lorsque le planest rabattu. on retrouve dans celui-cila distance o X n du point à la charniè-re en vraie grandeur.

Règle du triangle rectangle:

Sur l 'épure, le rabat tement d 'unpoint est situé :

1. sur la perpendiculaire menée de laprojection du point u sur la projectionhorizontale de la charnière (h) ;

2. à une distance de la charnièreY egate à l 'hypoténuse d'un tr iangle

rectangle ayant pour cÔtes de I'angledroit :- la distance de la projection ho-ri-zontale du point u à celle de la char-nière.- la différence des cotes du point u' àIa charnière (h').

Gëomê|cie descriPtive

8.2 lRnenrrEMENT D'uNE DRotrE

Méthode générale : on effectue toujours le rabattement de figures, autour d'un axe soit frontal, soit hori-zontal.

Rechercher la vraie grandeur du segmentde droite (U,T) par rabattement.

charnière

% Le t raceur :

l . implante une charn ière hor izonta le (h ' ) ;

2. prolonge la projection frontale (u', t ' ) du seg-ment de dro i te (U,T) jusqu 'au moment où e l lerencontre en M la charnière [h') ;

3. projette l ' intersection M en projection hori-zontale sur le segment de droite (u,t) ;

4 . or iente, à par t i r du point m, la charn ière [h ] .

I - Robottomont

chi

u

mrrnière (h ' )

L'

+ O

t

*o.,

m

)../

u l

Y

5. appl ique la règ le du. t r i -angle rectangle (voir )pour obtenir le rabattementu l du point U.

6. projette le point T perpen-diculairement à la charnière(h) sur le segment (m,u1).

l l applique ainsi une methodedite des alignements,Lorsque des points sont ali-gnés dans deux projections,ils sont êgalement alignês surla vraie grandeur.

charnière

Gêomêtrla descriptive

-|?nenrreMENT D'uN ,p[AN DE Bour suR uN ptAN FRoNïAL

Un prisme droit à base pentagonale estcoupé par un plan [P] < de bout u définipar ses traces (o P) et (a'O').

On demande de rechercher la vraiegrandeur de I ' intersection du orisme etdu p lan [P] .

VG de lasection

[_e rabattement d'un plan n de bout > s'effectue autour d'une charnière < frontale u part icul ière(o').Pendant le rabattement tous les points conseryent leur éloignement.

Le traceur, po_ur obtenir la vraie grandeur de la section, projette les points, perpendicutaire-ment à I 'axe (o'), dans le plan rabattu, où i ls conservent leur éloignement.

8 - Bobottemont

8.4 lTnenTTetMEwT D|Uw PIAN DE BOUT SUR UN PLAN HoRIzoNTAL

Un prisme droit à base pentagonale estcoupé par un plan [Pl n de bout u dêfinipar ses traces (cr P) et (c[,'O').

On demande de rechercher la vraiegrandeur de I ' intersection du prisme etdu p lan [P] .

Le rabattement d'un plan u de bout u s'effectue autour d'une charnière < de bout u (h', h).Pendant le rabattement tous les points conservent leur éloignement.

Le traceur, pour obtenir la vraie gr,andeur de la section :- imptante une charnière (h, h'} o de bout, ;- fait pivoter, autour de (h'), les diffêrents points de cette section jusqu'au moment où ils ontune cote égale à celle de (h') ;- projette alors les points, perpendiculairement à I'axe (0Y), dans la projection horizontale, oùi ls conservent leur êloignement.

@êomézria descriplive

S,AppucmoNs

Une pyramide creuse, d'épaisseur négligeable, a pour base un pentagone régulier situê dansun plan [P] défini par ses traces (a p) et (cr'O').

Le rayon du cercle circonscrit au pentagone est de 50 mm.Le centre (o,o') du cercle circonscrit a pour éloignement 50 mm et pour cote 70 mm.Un côté du pentagone est horizontal : celui dont la cote est minimale.Le sommet T de la pyramide est sur une l igne de rappel située à 85 mm à droite de la l ignede rappel de O.Le sommet de la pyramide a pour cote 45 mm et pour éloignement 20 mm.

Travail demandé :I . construire les projections de la base pentagonale, de centre O ;2.tracer les projections frontale et horizontale de la pyramide.

o Pour construire les projectionsdu centre O. le traceur:

-fait passer un plan [F] d'éloigne-ment 50 mm qui coupe le plan [Pl etdétermine une frontale qui contientle centre o';-fait passer un plan [H] de cote70 mrn qui coupe le plan [P] etdétermine une hor izonta le ouicontient le centre o.

L'intersection de la droite horizonta-le (h) et du plan frontal [F] déterminela posit ion de la projection o.

Le traceur projette ensuite cette pro-jection horizontale sur le plan IH'].

$1,I

(h)=[P] n tHl

I - Robottement

o pour construire les projections frontale et horizontale de la pyramide, le traceur effectue :

- le rabattement du plan [P] pour tracer la base pentagonale en vraie grandeur,- le relèvement du plan [P] pour obtenir la projection horizontale de la base de la pyramide,- la projection frontale de la pyramide,- la construction du sommet T de la pyramide,- les projections frontale et horizontale de la pyramide,- ponctue les deux Projections.

Rabattement du plan [Pl pour tracer la vraie grandeur de la base

Le traceur :

- effectue le rabattement du point O autour d'une horizontale du plan IP] particulière, u la

trace (P),), en appliquant la méthode du triangle rectangle (voir page 42),- trace un cercle de rayon de 50 mm et de centre o1,- inscrit le pentagone dans ce cercle, en respectant la condition qu'un côté soit parallèle à (P)

et le plus près de celle-ci,- ponctue l 'épure.

Géoméçie doscriptive

Relèvement du plan [Pl pour obtenir la projection horizontale de la base

Le t raceur appl ique la méthodedes a l i gnemen ls ( vo i r page44) :

Y - i l j o i n t o1à d1 e t p ro longeI "

jusque sur la trace (P),- i l jo in t le po in l i de la t race aupoint o en projection horizon-t e l o o t n r ^ i ô t t ô r ' l 1 n a r n a n r i i r r r -

v r v v l

lairement à la lrace pour obte-n i r la pro ject ion hor izonta len d o ,* i l obt ient rr f r pât" symétr ie.

I e f r e r -o t r r n rn r ^à r l o r { o mômo nn r r rv , v r u v v | , u v v u '

les autres points et en joignantceux-ci, i l obtient la projection hori-zontale de la base de la ovramide.

8 - Robottement

Construction de la proiection frontale de la base de la pyramide

Le traceur :- détermine une droite hori-zontale (h) du plan [P] paral lèleà la trace (P) passant par a,- détermine la projection (h')de cette horizontale,- projette le point a sur (h').

Le traceur applique la mêmeméthode pour déf in i r lesautres points en projectionfrontale.

(n')/a-e

( t r ' ) /c-d

(h) /b-e

(h ) /c -d

5.ob Géométrie descriptive

trreles|0n

Construction du sommet T de la pyramide

Le t raceur :

- construit une l igne de rappelà 85 mm à droite de la l igne derappel du point O (o, o'),- porte sur cette ligne de rap-pel une cote de 45 mm pour

y posit ionner la projection t ' ,- - porte sur cette même l igne

de rappel un éloignement de20 mm pour pos i t ionner laprojection t.

Le t raceur :

- joint la projection t ' aux dif-férentes projgctions frontalesdes points de la base,- joint Ia projection t aux diffê-rentes projections horizontalesdes points de la base.- ponctue les deux projectionsde la pyramide.

5t8- Robottement I

]ù - VRRI€ GRRIIID€U.R D€ LR DRoIT€

vLes cas, les plus courants, de la recherche de la vraie grandeur d'un segment de droite sont :

PAR CHANGEMENT DE PI.AN

PAR ROTATION

axe de rotationde bout

Horizontal

Axe verticalAxe de bout

tr= P""iE

al I a

X

Dans ces quatre cas, on se rend compte que I 'on peut construire un tr iangle rectangle dont l 'hypotênuse cor-respond à la vraie grandeur du segment de droite.

PAR RABATTEMENT

Dans le tr iangle rectangle [a,u,m]

- ( a , u D : ( c u : d i f f é r e n C e d e Spoint U et la charnière,

cotes entre le

projection horizontale,

< m,u I D correspond à la vraie grandeurde droite.

charnière (h'- ( u , m D :

- ( a , m D :

du segmentY

Dans ce dernier cas, comme dans les quatre pré-cédenls, la vraie grandeur du segment de droiteest I 'hypoténuse d'un tr iangle rectangle.

en tire donc une règle :

ie grandeur d'un segment de droite est I 'hypoténuse d'un tr iangle rectangle dont :

côté est égal à la projection frontale du segment de droite,tre côté est égal à la différence des éloignements des deux extrémités du segment de droite

côté est égal à la projection horizontale du segment de droite,tre côté est égal à la diffêrence des cotes des deux extrémités du segment de

règle, surtout dans sa deuxième uti l isation, est très prisée par les traceurs pour la recherche des vraiesdes segments de droites des :

(surtout obliques),composées,dites conoïdales.

le calcul de la vraie grandeur d'une droite (voir page 224).

9 - Vroie grondeur de lo droite

Application

Rechercher la vraie grandeur de la génératrice d'un tronc de cône oblique.

s' t . 3'

p_q4t&_ a dua!)

a0)

h

I E

vraie randeurt c 3

horizontale de C3

Le traceur:- implante deux axes perpendiculaires généra-lement au niveau de la projection frontale,- porte sur I'axe vertical la différence des cotesentre C et 3,- porte sur I'axe horizontal la projection hori-zontale du segment C3,- obtient, avec I'hypotênuse, la vraie grandeurdu segment C5 recherche.

vraie grandeur/ du segment NB

tion horizontale de C3

Le traceur peut egalement obtenir la vraie gran-deur d'une partie du segment de droite. Le pointN étant situé sur C3, il lui suffit de projeter paral-lèlement à I'axe 0Y la projection n' sur la vraiegrandeur C5 pour obtenir la vraie grandeur deN3 ou de NC.

Géomêviè descriptlva

T O - DROIT€ €T PLRN P€RP€NDICULIîIR€S

VI O. t Dnorr pERpENDTcULATRE À uw prÂN

,:

Théorème: une droite est perpendiculaire à un plan [P] quelconque à deux condit ions:- sa projection frontale est perpendiculaire à une frontale du plan [Pl,- sa projecl ion horizontale est perpendiculaire à une horizontale du plan [P].

Mener, par un point M donné, la perpendiculaire à un plan [P] defini par trois points et recher-cher le pied de la perpendiculaire ( intersection de la perpendiculaire et du plan).

s

i-

an-rintral-'aie

de1 . Construire une horizontale (h, h') passant 2. Construire une frontale (f, f ' ) du plan.par C. Tracer à part ir de m la perpendiculaire Tracer à part ir de m' la perpendiculaire àà cette horizontale. cette frontale.

La droite (D) est la perpendiculaire

Pour le pied de la perpendiculaire, voir page 25.

recherchée.

5510 - Droite et plon porpendiculoires I

lO.2 Pmru pERpENDtcULAtRE À urue DRotrE

Par un point E donnê appartenant à la droite (Â), mener un plan IP] perpendiculaire à cel le -c i .

1 . Tracer une frontale (f, f') passant par E. Laprojection frontale est perpendiculaire à ô'.

2.Tracer une horizontale (h', h) passant parE. La projection horizontale est perpendicu-laire à ô.

Le problème est résolu, le plan [Pl est défini par deux droitesconcourantes (F) et (H) passant par E.

GêoméVia descriphive

3 PrnperuDrcutatRE coMMUNe À ogux DRotrES

Elever la perpendiculaire (AB) commune à deux droites (D j) et (D2)

(d2' )

(d l ' )

Y

La construction de la perpendiculaire commune à deux droites (D1) et (D2) se résume enquatre phases:

1. prendre un point lquelconque sur (D2) et mener la dro i te (U) para l lè le à (D1) (vo i r auss ipage 15) (D2) et (U) concourantes définissent te ptan [p] ;

2. par l , mener la droite (V) perpendiculaire au plan IP] (voir page 55) (D2) et (V) concourantesdéfinissent le plan [O) ;

3. dêterminer l ' intersection B de la droite (D1)et du plan [O] (voir page 25)

4. mener par B, la droite (C) paral lèle à la droite (VJ. Cette droite (C) coupe (D2) au pointA. Ladroite (AB) est la perpendiculaire commune aux deux droites (D j)et (D2).

I0 - Droite et plon perpendiculoires

f-

@ erenare un point I sur'(D2) et mener par I la parallèle (u) à la droite (Dl).

@ ear l, mener la droite (V) perpendicutaire au ptan [pl.

(d l )

Y

(d1)

(f)

d2)

a) Tracer une frontale (f, f') du plan [P]. Cettefrontale coupe (D2) en M (m, m') et (U) en N(n,n ' ) .b) Tracer, en projection frontale, la perpendi-culaire à (f ') , on obtient (v').

(d l )

Y

(dl)

a) Tracer une horizontale (h, h') du plan [Pl.Cette horizontale coupe (D2) en C (c, c') et (U)en E (e, e').b) Tracer, en projection horizontale, la per-pendiculaire à (h), on obtient (v).

s8- Génnêfrie descriptive

(v ' )(d2 ' )

(d l ' )

Y

(d l )

Ieon]

I '

@ Oeterminer l'intersection B de ta droite (Dt) et du ptan [Ot.

(d1 ' )

Y

(d1)

@ tvtener par B, la droite (G) parallèle à la droite M. Cette droite (G) coupe (D2) au

tPt.(u)

per'

point A. AB est la perpendiculaire commune recherchée.

l0 - Droite et plon perpendiculoires

I I DROIT€S €T PLRNS PRRRLLÈL€S

| | .l DnorE pnRnuÈlg À uw PLAN

Construire une droite paral lèle à un plan [P] défini par deux droites concourantes.

Théorème: Toute droite paral lèle à une droi le d'un plan est paral lèle à ce plan.

Y

Le traceur construit une droite (D) parallèle à la droite (MB)

Nota: le traceur aurait pu construire une droite paral lèle àautre droite du olan. Les solutions sont inf inies.

du p lan.

la droite

Z(d ' )

b '

X

(d)

b

m

Gêomêtrie descriplive

(AM) du plan ou à toute

| | .2 PnruspnRRlr-Èus

Par un point donné (u',lP2l para l lè le à un p landroites concourantes.

u) construire un plan[P1] déf in i par deux

Construire un plan [P2l paral lèle à un planlPll défini par ses traces.

Théorème : Deux p lans sont para l lè leslorsque I 'un d'eux contient deux droitesconcourantes oaral lèles à I 'autre.

Le traceur :- dess ine une dro i te (D1)para l lè le à la dro i -te (AM) du p lan [P1] ,- prend un point U sur (D1)et constru i t unedroite (D2) paral lèle à la droite (MB) passantoar U.

Théorème : Deux p lans sont para l lè leslorsque leurs traces de même nom sont paral-lèles et récioroouement.

Le traceur construit des traces (R) et (S')paral lèles réciproquement aux traces (P) et(O ' ) du p lan [P1 ] .

6 ll'l - Droites et plons porollèlos I

(d2)

Nota: Pour ces deux cas les solutions sont inf inies

I2 DéT€RMNnTloN D€S DISTIqNC€S

l2.l Dtsrarucr D'uN porNT À urur DRorrE

Rechercher la distance d'un point M à une droite (D)

Elle se décompose en deux phases :- rendre le plan [P] contenant la droite (D) et le point M vu en vraie grandeur,- mener la perpendiculaire à la droite (D) à part ir du point M.

I l* phase: rendre le plan [P] contenant la droite (D) et le point M vu en vraie grandeur.

1 . Le traceur implante une droite IHJ passant par M et concourante avec la droite (D) en E.Le plan [P] est défini par t(D),(H)1

GêamêVio descriptive

2. Le traceur rabat le plan [P] défini par les droites (D) et (H) autour de la projection (h) etobtlent la vraie grandeur du plan [P].

I 2" phase : mener la perpendiculaire à la droite (D) à partir du point M

63 1l9 - Déterminotion des distonces I

12.2 DlsrqNrcE D'uN potNTÀ uw ptÂN

Rechercher la distance d'un point M à un plan défini par 3 points IA,B,Cl

Elle se décompose en trois phases :- recherche de la perpendiculaire (D) au plan [Pl passant par M,* recherche de l ' intersection I du plan [P] et de la perpendiculaire (D),- recherche de la vraie grandeur du segment de droite ( lM).

. l l* phase: recherche de la perpendiculaire (D) au plan [p] passant par M.

I . Construire une horizontale (h, h') du planlA,B,Cl passant par C. Tracer â partir de m laperpendiculaire (d) à cette horizontale.

2. Construire une frontale (f, f') dulA,B,C]. Tracer à part ir de m' la perpendicu:laire (d') à cette frontale.

6*'I G êomêtri e. dasci ptive

La droite (D) est la perpendiculaire recherchée.

I 2" phase: recherche de l'intersection I du plan [p] et de la droite (D).

Ieon]

(h ' )

I

(a')l '

(h)

Le traceur fait passer un plan auxil iaire < de bout ), [PDB] par la droite (D). Le point recherché| ( i , i ' ) appart ient à la fois à I ' intersection des deux plans et à la droite.

(d)i

X

65l9- Dé[erminotion desdistqncos I

F-Fçæ---

I 3s:phase : recherche de la vrale:grandeur du segment de droite (lM).

Méthode par changement de plan

Méthode par rotation

vratedu

. : . , ? ' ' . " 1 . ' . - .

| 2.3 Drsrnrucr ENTRE DEUX DRotrES

Les droites (D1)et (D2) représentent les axes de deux tuyauteries cyl indriques. Le diamètredu cy l indre d 'axe (D1) est de 1 200 mm extér ieur , ce lu i du cy l indre d 'axe (D2J est de B0O mmextérieur.On demande de vérif ier si le passage des deux tuyauteries peut se faire sans coll ision.

Après avoir appliquê la méthode de recherche de la perpendiculaire commune à deux droites(voir pages 57 à 59), le traceur recherche la vraie grandeur du segment de droite (AB) lci, i lappl ique la méthode du changement de p lan f ronta l (vo i r méthode page 31) .

Dans ce cas, le passage des deux tuyauteries se fait sans coll ision, puisque la dimension entreles axes est de 1 391mm, c 'est -à-d i re supér ieure à la somme des deux ravons t6OO + 40Ol .

67l9 - Détorminotion des distonces I

I3 DéT€RMINRTION DeS RNGL€S

l3.l AwclE DE DEUX DRorrES

Rechercher l 'angle formé par les deux droites (D1)et (D2) concourantes en l.

Le problème revient à rendre le plangranoeur.

[Pl contenant les deux droites (D 1) et (D2) vu en vraie

(d1 ' )

(h ' )

(d2 ' )

Y

(d1)

(d2)

On ne peut voir un plan quelconque en vraie grandeur sans le voir au prêalable < en boutPour cela, i l faut et i l suff i t de voir une droite du plan ( en bout D.Le traceur implante une droite remarquable dans le plan, dans ce cas, une droite u horitale,, (H) et par un changement de plan frontal, la rend vue (en bout>. L'axe (01Yl)placé perpendiculairement à la projection horizontale (h) vue en VC.

68l-i

N,

Gêomêlrla doscripElve

i\

Le traceur peut obtenir ensuite la vraie grandeur du plan soit:

l'" solution : par rabattement du plan IPI

Le t raceur rabat le p lan autourde la dro i te (H) (m1, n l ) . l l fa i t p ivoter le p lan jusqu 'au momentoù i l est para l lè le à l 'axe (01Yl) .Pendant le rabattement, le point I conserye son éloignement Xl, les points M et N ne chan-gent pas de posit ion. L'angle entre les deux droites (Dl)et (D2) est celuiformé par les projec-t i o n s ( i l , m l ) e t ( i 1 , n l ) .

2'solution: par changement du plan

Le traceur effectue un autre changement de plan (horizontal) et projette les points M, N et Iperpendiculairement au nouvel axe (02Y2) (02Y2 est placé paral lèlement à m'1, n'1). l l repor-te les êloignements (Xl) dans le nouveau référentiel.l l obtient ainsi les droites en vraie grandeur et I 'angle entre les deux droites (Dl)et (D2).

-E:: -

('9l3 - Déterminotion das ongles I

n bout

)w1 l

| 3.2 ArucuD,UNE DROITEET D,UN PIAN

Rechercher I 'angle forme par la droite (U) et le plan [p] défini par les droitesconcourantes en l.

et (D2)

La méthode se résume à rechercher I 'angle formé par la droite (U) et une droite perpendicu-laire au plan issue d'un point pris sur la droite (U). El le se décompose en trois phases :

- prendre un point M sur la droite (U),- abaisser une droite (V) perpendicutaire au plan t(Dt), (D2)1, à part ir du point M,- rechercher l 'angle formé par les droites (U) et M.

I | * phase : prendre un point M sur la droite (U).12" phase (A): tracer une frontale du plan t(Dl), (D2)l et abaisser une perpendiculaire âcette frontale.

(d l ' )(" ' ) Le t raceur :

- prend un point M quelconquesur Ia droite IUJ,- construit une droite frontalequicoupe en projection horizonta-le (Dl ) en A et (D2) en B,- projette les points A et Bprojection frontale pour obte(f ') ,- abaisse, à part ir de m', la perpendiculaire à (f ') ,- obtient de cette façon (v').

( f ' )

(d2')

Y

(d1)

70I GêomêEriedescriptive

(d2)

il 2" phase (B): tracer une horizontale du plan [(Dl), (D2)1 et abaisser une perpendiculai-re à cette horizontale.

Z

(d2 ' )

I 3" phase: rechercher I'angle formé par les droites (U) et M.

pe

Hrta-

en3nrn

peri

Nota : Par souci de lecture. lesconstruct ions antér ieures ont é téeffacees et les droites {Dl), (D2) rac-courcies.

Le t raceur recherche l 'angle desY droites (U) et M par rabattement du

plan [P 1 ] contenant cel les-ci. Pourcela i l :

- construit une droite horizontale (H)et rabat le p lan [P1] sur le p lan [H] enappliquant la méthode du tr ianglerectangle (voir page 42).

- obtient ainsi l 'angle recherchê quiest formé par les droites (m 1 g) et( m 1 r )

l3 - Déterminotion d@s ongles

72I

t 3,3 Arucrc DE DEUX prANS

L'angle de deux plans est appelé < dièdre u. Le n recti l igne du dièdre D ou ( angle de pl iage upour les structures métal l iques est obtenu par un plan perpendiculaire à I 'arête (droite d' in-tersection des deux plans).Une droite perpendiculaire à un plan de projection est vue ( en bout n dans ce plan.l l n'est pas possible de placer un plan de projection perpendiculaire à une droite, si cette droi-le n'est pas vue en vraie grandeur.

Rechercher l 'angle dièdre forméayant une droite commune (AB).Le plan [P1] est défini par [A, B,Le plan [P2] est défini par [A, B,

par les p lans [P1]et [P2] déf in is tous deux par 3 points et

M l .N l .

La méthode consiste àun plan de projection pere à I 'arête.Cette arête n'etant pas vue en vragrandeur, un premier changede plan est nécessaire pour I 'aner en vraie grandeur. Un deuxièchangement de planre à l'arête permettra de voir< en bout r.

Le traceur, pour appliquerméthode, posit ionne :I . un nouveau reférentiel 0l / l / lZdont l 'axe 01Y1 est para l lè le à I 'des projections de la droite ( ici, àprojection frontale) et projettequatre points definissant les 2 pldans le nouveau référentiel.obtient de cette façon l'arête vue

Gêomêtria descriptive

vraie grandeur {voir aussi page

et

vu en bout

arete vue en bout

vu en borrt

2. un nouveau référentiel 02X2Y2Z1, dont I'axe 02Y2 est perpendiculaire à la projection(a1, bl) et projette les quatre points définissant les deux plans dans ce nouveau référentiel. l lobtient ainsi l 'arête et les deux plans vus en bout. Ce qui lui donne le < recti l igne du dièdre oou < la vraie grandeur de l 'angle de pl iage n.

'nnerrlai-

vraiernentame-[èmeculai-r l l o - r i

cette

Y 1 2 1 ,I l 'une:,i, à la[e lesprânsrtiel. llgue eno Zô}

73Il3 - Déterminotion des onglas

Application

Une < trémie > raccorde' les sections rectangulaires ABCD et MNOR contenues dans des plansnon paral lèles. El le est constituée de quatre faces 1 ,2,3,4 soudées suivant les arêtes AM, BN,CO et DR.

On demande

1 . vérifier si les quatre faces sont planes ;2. déterminer l 'angle dièdre des éventuelles( surfaces gauches n.

l i

On peut dire que les faces I et 3 sontcontiennent (M,R) et (A,D) pour la face lbout>, donc el les sont paral lèles. Deux(voir page 16).Ouant aux faces 2 et 4 ne possédant pas de droites parallèles, le traceur vêrifie que les dêuxdroites qu'elles contiennent sont concourantes. Pour cela, il trace les diagonales de la face 2dans les deux projections et vérifie que les intersections se situent sur une même ligne de rap-pel. lci, ce n'est pas le cas donc Ia face 2 est une ( surface gauche, fvoir page24).Les faces 2 et 4 étant symétriques, la face 4 est également ( gauche D.

des surfaces planes. En effet, deux droites, qu'elleset (N,O) et (B,C) pour la face 3, sont des droites < dedroites paral lèles dans I 'espace définissent un plan

hffi*ry

Gêomêtr�le d,escriptive

Pli rentrant ou

ESd o

an

UXi z

ip-

Pour réaliser les ( surfaces gauches > 2 et 4, le traceur impose un pl i suivant une diagonale etdécompose Ia face en deux tr iangles (3 points : un plan). l l a le choix, cependant : un pl i sui-vant une diagonale donnera un angle rentrant, tandis que, suivant l 'autre diagonale, i l obtien-dra un angle sortant. Comment faire le choix de la diagonale pour obtenir I 'angle souhaité ?

Contrat : la trémie doit avoir des angles sortants.

Le traceur s' impose une diagonale, dans ce cas-ci (A,N) (voir ci-dessous). l l coupe la face parun plan vert ical [PV] et recherche la vraie grandeur de la section par un changement de planfrontal.Le changement de plan lui indique que l 'angle est rentrant (ce qui ne correspond pas aucontrat].Le traceur va inverser la diagonale pour réaliser la trémie suivant I 'arête (BM).

,/ l\

/ : \ La vraie grandeur de la section ne donne pas la vraie grandeur de I 'angle dièdre, ce n'estqu'une indication quant au sens de pl iage.

75Il3 - Déterminotion des ongles

angle dièdre -- 164.5".d"

arête en

Recherche de l'angle dièdre

Le traceur, pour rechercher I'angle dièdre :

- choisit quatre points : les deux points définissant I 'arête (M et B) et un point dansplan formant I'angle dièdre soit les points A et N ;- en A, recherche la vraie grandeur de l 'arête par changement de plan horizontal, entant un nouveau référentiel OlXYlZl dont l 'axe 01Yl est paral lèle à la projection frontalela dro i te [BM);- en B, recherche la vue < en bout > de I'arête par un nouveau changement de plan frontal,implantant un référentiel O2X2Y2Z1 dont l'axe 02Y2 est perpendiculaire à la projection h

zonta le (b l m1) .

A ,n plan étant défini par trois points, les quatre points doivent être projetés oblment dans les deux nouvelles projections

û

d '^

Gê,omêvia descriptive

TRn9RGC GRfIPHIOUC

I L€ PRISM€

. t loerultÉ, sEcloNS ptÂNES DU pRtsME

Le prisme est un solide constitué de plans organisés autour d'une base polygonale.

Prisme droit Prisme oblique

L'axe du prisme passe par le centre de gravitê de la base polygonale.Les plans sont paral lèles à l 'axe.Une arête du prisme est l ' intersection de deux plans, exemple : arête (A-B)

P1

/ . , | , \

\ ^ 7lP l l es t pe rpend icu la i re àl 'axe du prisme.l lcontient une section égale àla section normale.

lP2l est paral lèle à I 'axe dupnsme.l l contient deux droites quisont ses intersections avecles parois du prisme.

lPSl est quelconque par rap-port à l 'axe du prisme.l l contient une section poly-gonale qui se détermine à l 'ai-de des projections du prisme.

Le traceur uti l ise couramment des tubeslaminês qui sont des prismes droits àsection carrée, rectangulaire ou hexago-nale.Le rayon intérieur (R) à une valeur com-prise entre 5 et 5 fois l 'épaisseur (E).Si le traceur veut traiter ces rayons dansson epure, i l doit considérer le prismecomme une surface composée de par-t ies planes et de port ions de cyl indresde révolution.

naissance ou fin de rayon

1 - Le prisme

1.2 Couog À DEUX ÉlÉrvrgrurs FRoNTAUX

Le coude est réalisé à partir2 0 0 x 2 0 0 x 5 .Les rayons de carre sont de

de profi ls creux de

20 mm EXT.

o o

Le chanfrein est d'angle constant. La pre-mière passe de soudage peut s'effectuerdans les mêmes condit ions d'accès surtoute la périphérie.

Le prisme droit est l imité par le plande bout [P].

l l est impossible de respecter un angleconstant de 30" entre ce plan [P] etles parois verticales (A) et (B), les nais-sances de chanfreins n'étant pas aumême niveau.

Le traceur est obligé de considerer les rayons de carre comme étant des quarts de cyl ide révolution.Les naissances de rayons, en projection, correspondent aux génêtratrices confondues avecaxes de ces port ions cyl indriquesL'amenée en V-C de ces génératrices lui permet de définir la progression du chanfrein.

80I Troçoge grophique

| .3 CoUDE ouELCoNouE

. Le traceur traite des prismes aux arêtes vives.

o L' intersection des de.ux solides appart ient au planbissecteur des axes en V-C, en (02-Y2-22)

o l l ne fait intervenir les rayons decarre que lorsqu' i l dispose des V-C.

rgle'l etrais-; a u

Y - - -

.-Oo

l l

a ' l- - - { I

d'1

8rI

o oo

Contra i rement aux sur facescylindriques, pour lesquelles let raceur peut implanter desgénératrices en n' importe quell ieu de l 'enveloppe, le prismeimpose ses arêtes.

Le traceur doit les repérer soi-gneusement à part ir d'une sec-t ion normale pour les projeterdans les différentes vues.

I - Le prisme

t .4 ITTERSECTIoNS

o o

La vue suivant (F),en (02-Y2-X2), del ' 6 l 6 m o n f n Â n 6 f 1 6

' L V U " U L ' u

de (A) est une vuetrès propice pourdéterminer exacte-ment les points (1)et (3).

L' intersection de deuxplans a pour or ig inel ' in tersect ion de leurtrace de même nom.

L' intersectiondes traces desparois des prismesest une métho-de très intéres-sante.

o oo

VérificationL 'ext rémi té desaxes se trouve tou-jours au centre degravité du polygo-ne de base ou deconlact

Troçoge grophique

Paroi BZ Trace H de 82

5 DÉveloPPEMENT

(A) est un prisme réunissant deux sections carréescontenues dans des plans horizontaux.o La réalisation se fera en deux éléments pl iés.o Les soudures seront orévues sur carre auxarêtes (1) e t (3) .

La section normale dupr isme appar t ient auplan IP1 ] , perpendicu la i -re à l 'axe en V-C.Elle permet de mesureren (O 1 -X 1 -Y 1 ) la distan-ce exacte qui sépare lesarêtes.

N

Les valeurs dimensionnelles obte-nues sur le développement à I 'aidedes mesures effectuées sur la sec-t ion normale doivent correspondreà celles du polygone de base.

IIII

_ t _IIII

o o

L'axe du pris-me est fron-tal, toutes lesarêtes sonten V-C enp r o j e c t i o nfrontale.

S

Tracé INT

Â R o

/2 q

S

\ \

ion normalecel les du po

À

\

Tracé INT

I - Le prismo

2 L€S PVRRMID€S 2.2

2.1 foerurrÉs, sECTtoNS pLANES DE LA pyRAMtDE

o La pyramide est un solide à parois planes et à base polygonale.o Les plans qui constituent les parois de la pyramide ont un point commun : le sommet (S) dela pyramide.o Une arête de la pyramide est I ' intersection de deux plans, exemple : arête (S-A).o La pyramide est régulière si le polygone de base est régulier.

Ouelconque dro i te Oue lconque ob l ique

Les p lans IP1] e t [P2] sontpa ra l l è l es à l a base , i l scont iennent les sect ions (S1)et (S2) homothét iques dupolygone de base.

Un p lan [P3] , passant par lesommet (S), est défini pardeux dro i tes para l lè les (D1)et (D2) l l cont ient deuxdroites (S-A) et (S-B) desdeux parois laterales.

Le plan [P4] est quelconquel l cont ient une sect iongonale définie par les projections de la pyramide.84

I Troçoge grophiquo

DÉvEloppEMENT

(A) est une pyramide régulière droite à base carrée tronquée par unplan de bout.o La réalisation se fera en deux éléments ol iés.o Les soudures seront prévues sur carre aux arêtes (S-Al et (S C).

c ,6 ' I

o oo

La pyramiderégulière droiteà base carréeest très avanta-geuse :- l o c r r n l t r ê

Y q s L , v

arêtes sontégales,- les quatredièdres (A), (B),(C) et (D) sontégaux.

Vérificationo Le rabat tement en V-C, en (Ol-Xl -Y] ) ,de la section définie par le plan de boutpermet de contrôler les résultats obtenussur le développement .o Les côtés (1 2), (A,B) et (5-4), (C-D) sonrrespectivement paral lèles

2

Tracé INT Tracé INT

I - Les pyromides

3 - L€S HoTT€S n PRRoIS PLRN€S

La hotte à parois planes est un solideassez voisin de la pyramide.Attention, el le ne possède pas desommet, les sect ions qu 'e l le réuni t nesont pas homothétiques.

Les sections à réunir peuvent etre contenuesdans des plans paral lèles ou concourants.

t, Les surfaces sont touiours olanes.

o ' o 3 ' s 1 '

t ' " 1 ' S crée une port ion decylindre de révolu

t ion d 'axe (0-01) .

Les sections (S3) et (S4) présentent des raccords circu-laires de différents rayons.

o Le centre (04) du raccord de la section (S3) se confonden P-H avec l 'angle (S2) de la section (S4). Cette situationcrée une port ion de cône de révolution d'axe (52-04).

o L'angle (S) de la section (S5) est également le sommetd 'une por t ion conique obl ique d 'axe (S-0) .

o L'angle (Sl) de la section (S4) est également le sommetd 'une autre por t ion conique obl ique d 'axe (Sl -01) .

o Les raccords de centre (02) pour (S3) et de centre (03)pour (S4), de rayons égaux, créent une port ion de cyl indreobl ique d 'axe (02-03) .

I pc r on t rpc ( ô 1 I o t ( ô l

sont confondus enP-H. Cette situation

86

l,/ \\

tÀ'/ l s 3

- Troçogo grophique

LOPPEMENT

La section (S1) prêsente un raccord circulaire dont la naissance et la f in de rayon sont situées

en [B) et (C).Cette situation crée une port ion de cÔne oblique de sommet (2).

T , 2 ,4 ' m ' n ' 3 '

o

Toutes lesdroites ontl a mêmedi f f érencede cote, i lest com-mode derechercherles V-C.

m4 bn anm3

Le tracé du développement conslste aassocier la V-C des Parois.Le t raceur ut i l ise des d iagonales qul

décomposent les surfaces en tr ianglesfaci les à tracer.

Sa démarche est la suivante.l l trace la l iaison (M-N), Puis, à^ . r r L r u L vv

I 'a ide d'un compas, les V-C (M-4),(N-41

ll obtient le Point (4J.De ce point, toujours au compas, i l trace lesV-C de (4-E), (M-E), i l obtient le point (E) etainsi de suite.

b 'b

d2

Tracé INT

3 - Los hottos à Porois Plonos

4 - L€ CYuNDR€ D€ RéVoLUTIoNw

Piquage 90o ouverture Piquage décalé

Lidentité, le développement, le sens du tracé

Le système régulier de génératrices

Les coudes et les tés

Le coudecylindrique

à deux età plusieurs

éféments #ffiOFF SHORE

décalé sur le

Cylindretronqué

' Coude2 éléments

Intersection d'une droite et d'un cyfindre

Piquage 90"050

l i l I

tdtT;lrril-l| " 5 t t à lI H l

Piquage 6O"

Piquage 9O"Tangente à la courbe d'intersection

Vue en bout de la tangente

!GElË,,

Té 90 'p iquage

&4 - Le cglindre de révolution

4.1 loerulrÉ, pÉvrloppEMENl sENS ou rnncÉ

rHwO @

Le cylindre de révolution est une surfacegénérée par une droite paral lèle à unaxe, s'appuyant sur une directr ice circu-laire centrée et perpendiculaire à cetaxe, décrivant une trajectoire de j60..l l est déf in i :- par la hauteur (H) de la droite : lalongueur de la génératrice du cyl indre,et- soit le diamètre (D) de la directr ice,- soit le rayon (R) de la sphère tangen-te dont le centre (0J appart ient à I 'axedu cy l indre.

mlt@t - lo

Le développement d 'un cy l indre derevolution l imité par deux plans per-pendiculaires à son axe est un rec-tangle :- de largeur (Hl : la longueur de lagénératrice,- de longueur (L) : chemin parcourupar la générat r ice; so i t rc .D.

Les bords (Bl) et (82) de la tôle se réuniront au roulage pour for-mer une seule génératrice : la génératrice de l iaison.

B ]

B2

I

La rose d'orientationposit ionne les piquages(T1) , (T2) , (T5) par rap-port à la référence (0')qui correspond ici à ragenêratrice de l iaison.

Le traceur est face à laréférence [0 " ) , lespreds sur le p lan quicont ient la sect ion deréférence (SR).

o Lorsqu ' i l est à l ' lNT,les générat r ices évo-luent de gauche à dro i -te de (0 ' ) , vers (T1) ,(90 " ), etc.

o Lorsqu'i l est à I 'EXT,toujours de gauche àdroite les génératricesévoluent de (0"), vers(270") , (T5J etc .

DT l : nD .45 DT2360

DT3 : nD .225360

: n D . 1 2 0360

T 1 o, DTt

t u? , D r3

t '9 Dr2


R P\w

LE sysrÈve RÉcuueR DE cÉruÉnnrRtcEs

us courte Génératrice la plus

- Le cyl indre (A) est l imité par deux ptans tptl , tp2lperpendiculaires à son axe. Ses génératrices onttoutes la même longueur. Son développement est unrecrangte.Le cyl indre (B) est l imité à sa part ie supérieure par leplan [P3] et par la surface cyl indrique à sa part ie infé-rieure.Ses génératrices ont des longueurs différentes.

Le traceur divise la section normale* en i 2 divi,sions égales.l l considère une génératrice à chacun des pointsdéfinis.La longueur de chaque génêratrice se mesure enprojdction frontale (valeurs OZJ.* La section normale est la section du cylindredêfinie par un plan perpendiculaire à son axe.

l l est commode d' implanter les génératrices sur le développement, la longueur æD estdivisée en 12 part ies égales. Les gênératrices (o), (3), (6), (9) correspondent aux refé-rences de la rose d'orientation.(R) est le rayon des cercles osculateurs,R :-I-. l ls couvrent une grande part ie dela courbe sinusoïdale. slncr

4 - Le cglindro de révolution

4.3 Les pnolECTfoNS pARTtcuuÈRes ors cÉwÉnnrRtcEs

Deux droitessont orthogo-nales dans I 'es-n : rp c . i p l l p c çe

proJettent, surun p lan , su i -vant un anglede 90o , e t queI 'une d 'ent re^ l l ^ ^ ^ ^ +c i l ç ) u ) L u t l

V-C.

Une droite est perpendiculaireà un plan si el le est orthogona-le à deux droites non paral lèlesde ce p lan.(A-B) est une frontale.(C-D) est une horizontare.

Certaines êpures imposent au traceur de repré-senter le système régulier de génératrices sur desprojections où l 'axe du cyl indre n'est pas en V-C.

RAPPEL

e Le système régulier de génératrices s'ob-tient en divisant la section normale ducylindre en parties égales.

. La section normale d'un cylindre est la sec-tion définie par un plan perpendiculaire àson axe.

-ï

. Les points (a') et (b') sont sur les génératrices ducontour apparent en projection frontale.(A-BJ est une frontale.

Les points (c) et (d) sont sur les génératrices ducontour apparent en projection horizontale.(C-D) est une horizontale.

[A-B) en projection frontale est en V-C et ner-pendicu la i re à I 'axe du cy l indre.

(C-D) en projection horizontale est en V-C etperpendicu la i re à l 'axe du cy l indre.

(A-B) et (C-D) sont concourantes en (O) et défin issent un p lan perpendicu la i re à I 'axe ducy l indre.


- L'épure amène le traceur à uti l iser un chan-gement de plan frontal en (O1 -Y1-21).

- l l inslal le un système rêgulier de génératricesen projection horizontale, où el les sont confon-dues deux à deux, et applique le décalé sur laprojection frontale

1fi-du

- L'épure amène le traceur à uti l iser unchangement de p lan hor izonta l en (O1-X1-Y 1 ) .

- l l instal le un système régulier de généra-tr ices en projection frontale, où el les sontconfondues deux à deux, et applique ledécalé sur la proiection horizontale.

4 - Le cglindre do révolution

"wn

4.4 Les couDES er us rÉs

Deux cylindres de révolution sont tangents à une sphère inscrite lorsque les diamètres sont êgaux etleurs axes concourants.

L'intersection de deux solides tangents à une même sphère est une base de Monge.Elle se projette selon une droite lorsque les axes des deux solides sont en V-C.

Troçoge grophique

5 Couoc cyLtNDRtouE À DEUX Ér_Érvlerrrrs (l )

(A) et (g) sont deux éléments tubulaires de même diamètre et d'axesconcourants. lls sont donc tangents à une sphère de centre (OJ.

La base de MONCE se projette selon une droite, passant par les inter-sections des génératrices du contour apparent, lorsque les axes des deuxsolides sont en V-C.

Lorsque deux solides sont tangents à une même sphère ;- ce sont des solides de révolution,- leur intersection est une base de MONCE.

L'axe du cyl indre (A) est amenéen V-C sur le plan frontal (O-y-Z)par rotation.

La base de MONGE n'est tracéeque lorsque les génératrices ducontour apparent des deuxcy l indres sont en V-C.

101t

Les courbes sinusoïdales quitent les deux cyl indres sontfaitement complémentaires.

l im i -par-

L'épure est simple et precise.l l est parfaitement inuti le de tracer les pro-jections frontale et horizontale init iales ducylindre (A), seul son axe est nécessaire.

4/

@

/

@

T ace tirltl lt tl_.---a--.-.

\\

\\

T acé \T

1 1 1 0

4 - Lo cylindre de révolution

4.6 CouoE cylrNDRrour À DEUX ÉlÉverurs (2) 4,

(A) et (B) sont deux élements tubulaires de même diamètre et d'axesconcourants. lls sont donc tangents à une sphère de centre (O).

La base de MONCE se projette selon une droite, passant par les inter-sections des génératrices du contour apparent, lorsque les axes des deuxsolides sont en V-C.

Lorsque deux solides sont tangents à une même sphère :- ce sont des solides de révolul ion,- leur in tersect ion est une base de MONCE.

Les axes et les généralr ices des cyl indres(A) et [B) sont en V-C sur le changement deplan f ronta l (O1 -Y1 -21 )

e.

1 1 1 0 9

Les courbes sinusoTdales quitent les deux cyl indres sontfaitement complémentaires.

l i m i -par-

96-

\Z'/ o ' . \ , ,

- - / \

II

Tracé INT

Tracé INT

V Couots cyLtNDRtouESEN PLUStEuns ÉIÉwTENTS

Le coude cylindrique est un ensemblecomposé de cylindres de révolution.ll est réalisé pour réunir deux sectionscirculaires de même diamètre.ll est fréquemment utilise en ven-tilation et en calorifugeage descourbes à souder en tuyau-terie.

Le coude représenté est dit : coude àtrois éléments, bien qu' i l en comoortequatre.Ceci v ient de ce que les é léments d 'ex-trémité (A) correspondent à la moit iê desé lémpntc (R l o t fC)

i w v ( l / / v L t v j .

Le coude est caractérisé oar:- le rayon (R) qui situe les deux sections circulaires,- le diamètre (d) de ces sections,- la valeur (o) du dièdre,- Ie nombre d'éléments cyl indriques qui le constituent. Plus ce nombre est important et plus

le coude se rapproche des caractérist iques des courbes à souoer.

-->

t/',/\

t / ' \

Li,'l_,\_-/

(NJ étant le nombre d'élé-ments du coude, le traceurdivise le dièdre en N x 2 divi-sions égales. Les premièresdemi-dro i tes coupent lesaxes des cyl indres d'extrémi-té en (A) et (B).

Un arc de cercle de centre(O), passant par (A) et (B),définit le point (C). Les axesdes éléments intermédiairespassent par (A-C) et (C-B).

Le tracé des génératrices ducontour apparent procèdeexactement de la mêmedémarche.

97

. . D r '

/

4 - Le cglindre de révolution

4.8 Lr < oÉcnr-É D DES cÉrrlÉnnrRtcEs suR LE oÉveloppEMENT

Les éléments tubulaires sont définis par lescoordonnées des centres des sphères aux-quelles ils sont tangents (points d'épuredes axes).

La démarche de l 'épureest exactement la memelorsque les é lémentstubulaires sont rel iés pardes courbes à souder.

\\

La rotation Oe t'axNde (AJ a pour sens :(0) vers (9),(6),(3).

o L'axe du cylindre [B) est en V-Gen (O1-Y1-21) .

. La vue en bout de l 'axe de (B) en(O2-X2-Y2) permet la rotationl 'axe de (C) pour I 'amener paralau p lan (O1-Yl -21) , où i l se pro jet -te, dès lors, en V'C.

o La vue en bout de l 'axe de (B) e(O3-X3-Y3) permet la rotationl 'axe de (A) pour I 'amener paralau p lan (O1-Yl -Z l ) , où i l se pro jet -te, dès lors, en V-C.

La rotation de I 'axe de (a pour sens :(Ol vor< f<l (Â) fq)J \ v / , ( v J , t v r .

Manchon < immobi le > .Sa transformee (æD)divisée en 12 part ies egapour constituer lerégulier dede référence, pour leet la valeur desments résultant des rotions.

d î _ nD.435 0 u

æD.50J O U

98I

Courbe de l ' intersection A-B

Courbe de l ' intersection B-CTroçoge grophiquo

(-"e

9 Lrs sEcloNSREMAROUABLES

tP l l es t t an -gent : i l contientune génératricede contact.

Le plan est parallèle à l'axe du cylindre.

[P2] est sécant :i l contient deuxgénératrices.

Le p lan [P5] est quel -conque par rapport àI 'axe :

P2.G

ende:leet-

endeèleiet-

lP3l est sécant [--T--let contient I'axe | | |

::f,',ili':*,1 | | |F: i ! r ï l i Id e u x e é n . e - l I fratr ices du Ic o n t o u r / ' - D \a p p a r . - n t " . ( i \0 r a m e - l - T - -t r a l e m e n t \ i /opposées.

Le plan [P4] estperpendicu la i reà l 'axe : P4il contient unesection circulai-re, normale ducy l indre, dontle diamètre estégal à celui desa directr ice.

i l cont ient une e l l ipsedont le grand axe estdéf in i par I ' in tersec-t ion des génératricesdu contour apparentet du plan, et le petaxe est égal au dia-m À f r o r l r r r r r l i n r ] r ar ! r v L r u u u v y r r r r u r u .

L'onglet cyl indrique est une part icularité des surfaces cyl indriques l imitées par des plans quel-conques par rapport à leur axe. l l se développe à I 'aide d'un système régulier de génératricescomme un cyl indre de révolution.

n æD.35^ : _360

99I

.\Y,

4 - Lo <ylindre de révolution

5 L€ cyLtNDR€ oBueu€ lt BRS€ ctRCULRtR€

5.1 loElltÉ, sECTtoNS pLANES DU cyLtNDRE oBLtouE

Le cyl indre oblique est une surface réunissantdeux sections circulaires parallèles nonperpendiculaires à I'axe.I l est déf in i oar :- le diamètre (D) des sections circulaires,- la hauteur (H) qui sépare les sections,- I 'angle (crJ ou la situation (Sl des sections

c i rcu la i res.

La section normale du cylindre oblique estune el l ipse vue suivant (F) en (O 1 -X 1 -Y1 ).

Le cyl indre oblique est une surfacetrès complexe à réaliser. l l ne peutêtre mis en forme qu'en deux élé-ments par ol is successifs.

Le p lan tP I I estpara l lè le aux p lansqui cont iennent lessect ions c i rcu la i res( S 1 ) e t ( S 2 ) .

l l contient une sec-t i on c i r cu la i re demême diamètre.

Le p la n tP2l estpara l lè le à l 'axe ducy l indre obl ique.

l l cont ient deuxgênératrices paral-lè les à I 'axe.

o La sphère de centre (O) contient la section circu-l a i re (S1 ) en un p lan [P3 ] .o Elle détermine une section circulaire (Si) demême d iamèt re que (S1 )e t (S2 ) .

o (S t ) et (S3) sont deux sections antiparallèles.r00

I Troçoge grophique

I----f----

.2 DÊvILoPPEMENT

Les points (10) et ( l 1) d iv isent le quar td'el l ipse en quatre part ies êgales.Le système régulier de génératrices établidepuis la section circulaire de base ne divi-se pas la section normale en part ieségales.l l est très compliqué de déterminer lesvaleurs, sur I 'el l ipse, sêparant les points(0 ) , (1 ) , (2 ) . . .

Toutes les génératrices sont paral lèles à l 'axeet en V-C en projection frontale.Elles se reportent sur le développement à par-t ir de la section normale.

La longueur du développement correspond àla transformée de la section normale el l ip-t ioue.

Dans le cas de cette épure :a l b : 1 , 4 1 4 f : 3 , 8 3 3 5

L= 542,05

(0 a été obtenu par différence tabulaire entreles rapports 1 ,4 el 1 ,5.

Le traceur trouvera beaucoup d'avantages endécomposant la courbe el l ipt ique en une suc-cession de droites.ll transforme I'ellipse en polygone.l l rapproche son tracé du procédé de mise enforme par pl is successifs en implantant desgénératrices supplémentaires. Les deux demi-développements sont identiques.

o oo

Le cumul de toutesces dro i tes r isqued'entraîner beau-coup d' imprécisions.Le traceur ajusterason développementpour respecter lalongueur de la trans-formée.

5 - La cglindre oblique

(' L€ CÔN€ DE RéVOLUTION

6.1 foerultÉ, oÉvrloppEMENT

Le cône de révolution est une surface génêrêe par.une droite conservant un point fixe sur un axe,lesommet (S), s'appuyant sur une directricere centrée et perpendiculaire à cet axe,une trajectoire de 360'.La surface conique est donc constituée d'une nsupérieure et d'une nappe inférieure.

Les génératrices de la nappeconique sont toutes égales, leurIongueur est (C).Le développement de cettenappe, le f lan capable, s' inscritdans un disque circulaire derayon (C).

La longueur de l 'arc , de 180 ' à180' , sur le développementest egale à la circonférence (rD)de la section circulaire (SR) dela nappe conique.2ES _ 360 a1tu d,

360nDZIL \J

Le traceur est face à la référence (1 B0 '), les piedssur le plan qui contient la section de référence (SR).. Lorsqu'il est à I'extérieur, les génératrices évoluent de

d r o i t e à g a u c h e d e ( 1 8 0 o ) , v e r s ( 2 7 0 . ) , ( 0 " ) , ( 9 0 . ) ' � �o Lorsqu'i l est à l ' intérieur, les génératrices évoluent toujours de droite à gauche de

vers (90 ' ) , (0") , (270 ' ) .# T,roçoge grophique

LEs secroNs REMARoUABLES (l )

lPl l et [P2] sont des plans perpen-diculaires à l 'axe en V-C de lanappe conique.l ls contiennent les sections circu-la i res (S1) et (S2) .

tPS l es t un p lan que l -conque par rapport à I 'axede la nappe conique.l l cont ient une sect ionel l ip t ique.

Le grand axe de l 'el l ipse ases extrémités aux inter-sections des génératricesdu contour apparent de lanappe conique et du p lantPsl

Le petit axe appart ient àun plan horizontal IPH] quipasse pa r l e m i l i eu dugran0 axe.La longueur du demi-petitaxe est mesurée :- soit sur le rabattement

de la section (SH) enprojection frontale,

- so i l en nro iect ion hor i -zontale.

Les plans tPll , IP2l et [P5] sont dêfinis respectivement par les droites paral lèles (D1-D2), (D3-D4) et (D5-D6).Tous trois passent par le sommet (S) de la nappe conique.(D1), (D3) et (D5) appart iennent aux plans horizontaux qui contiennent les sections circulairesdes nappes coniques : ce sont les traces horizontales des plans.

o (D1) est tangente à la section circulaire en (T) : [P1] contient une génératrice de contact (S-T).

o (D3) est sécante, el le coupe la section circulaire en (A) et (B) : [P2] contient les génératrices(S-A) et (S-Bl.

o (D5J est sécante et passe par le centre de la section circulaire qu'el le la coupe en (C) et (D) :[P3] contient les génératrices (S-C) et (S-D) du contour apparent en projection frontale.

6 - Le cône de révolution

(r.3 Lrs secloNs REMARouAeT_es (2)

Le traceur uti l ise des plans horizontaux perpendiculaires aux axes en V-c.Chaque plan contient une section circulaire qui permet de déterminer la différence d'eloigne-ment, par rapport à I 'axe, des points (A), (B) ou (c) de construction des courbes.

Le plan [P] est paral lèle à une généra-tr ice du contour apparent de la surfaceconioue.

La vue suivant (F)V-C de la sectionnappe inférieure.

du plan [P] fournit laparabolique de la

Le p lan [P1 ]sec t i onneles deux nappes de lasurface conique. l l nepasse pas par le som-mer (s).La vue suivant (Fl) duplan [Pl I fournit la V-Cde la section hyperbo-l ique de la surfaceconique.

r04r Troçoge grophique

4 Lrs sEcloNS REIVtARouAaus {3)

(C) est une surface cylindrique de révolution derayon (R), son axe est confondu avec celui de lanappe conique.

Le cyl indre détermine une section circulaire (Sl)de rayon (R), perpendiculaire aux axes.

Les deux surfaces, cYlindre derévolution et nappe conique, sonttangentes à la sPhère de centre(O) de rayon (RlJ. s

Le centre (O) se situe àI ' intersection des axes.

.>-Ouelle que soit la valeur de I 'angleo, le cyl indre détermine toujoursune section Plane de la naPPeconique.

Si les axes des deux surfaces nesont pas confondus, cette sectionest une el l ipse.

Elle se projette selon un cercle derayon (Rl) dans la vue suivant [F)qui correspond à la vue en boutde I 'axe du cyl indre.

\ o'1--\--

6 - Le cône de révolution

7 L€ côN€ oBlteue ,n gRs€ ctRcuLRtR€

7. t foeruïTÉ, sEcrfoNs ptANES ou côrur oBLtouE

Le cône oblique est engendré par une droite conser-vant un point fixe, le sommet (SJ, effectuant un par-cours de 360' autour d'une section circulaire.L'axe du cône oblique passe par le centre (O) de Iasection (SB) et le sommet (S).L'axe du cône oblique n'est pas perpendiculaireau plan qui contient la section circulaire.

Les géneratrices (S-1) et (S-2) du contour apparenten projection horizontale, sont les tangentes à la sec-t ion (SB) issues du sommet (S).

I---r-- Le cône oblique est une surface très com-plexe à rêaliser. Il ne peut être mis en formequ'en deux éléments par pl is successifs.

, ' Le plan IPl j est paral lèleau plan qui contient lasection (SB).l l contient une sectioncirculaire homothé-t ique à (SB).

Le p lan tP2Idefini par les pa

d l '

Lil

lèles (D 1 ) et (D2),passe par lemer [s).l l déf ini t les génétrices (S3) et (du cône obl ique.

o La sphère de centreen un p lan IP3] .

contient la section (S

o Elle détermine une section circulaire (SA)

t06- Troçoge grophique

o (SB) et (SA) sont deux sections

2 DÊvptoppEMENT DU TRoNc oE côrue oBLtouE À sowrwET AccESstBLE

, i l

id||i,.li

o oo

Le tronc de cône obliqueprésente un plan frontalde symétrie qui contientles génêratrices (S6) et(s0)

Le traceur progresse deproche en proche de part et

, d'autre de l 'axe de svmê-o tr ie. l l si tue les ooinis de

La génératrice (S0) estla genêratrice de l iaison.La génêratrice (S6) reprê-sente I'axe de symétrie dudêveloppement , po int dedépart du lracé.

r b : æ D 1 1 2

1i la base aux intersectionsdes rayons (RB) et (Rn)

10 mesurés sur le diagramme desV-C, --

I l l peut ensuite tracer les genéra-6 tr ices du développement et situer

i les points de la section supérieureavec les rayons (rn), également mesu-

rés sur le diagramme des V-C.Les deux éléments seront séparés en (56).

o o

Cette methode, la seuleuti l isable, est imprécise.

' Le traceur reporte lesvaleurs (RB) en tant quecordes des arcs succes-sifs qui constituent lacourbe.l l est indispensable qu' i lréajuste la longueur dela courbe f inale en fonc-t ion de la valeur æD.

7 - la <ône oblique

7.3 DÊvELoppEMENT DU TRoNc DE côNE oBLrouE À sovrvrr TNAccESSTBLE

On demande de développer le tronc de côneoblique à base circulaire coupé par un plan debout.Le sommet est situé hors des limites de l'êpure.

Le traceur effectue le développement en deux phases distinctes :

1. i l dêveloppe le tronc de cône defini par les deux bases paral lèles,2. il enlève la partie superflue du tronc de cône.

I l' phase : développement du tronc de cône défini par deux bases parallèles

Pour implanter un système de generatrices, le traceur partageun même nombre de divisions, reunit ces points deux à deux

les deux sections circulairèSet les repère.ïq8

I Troçoge grophiqua

VG des diagonales VG des génératrices

t 2 3 4 5 6 7

l / l \ l / l \ t / t \ lt / t \ t / t \ / t \ lA B C D E F G

Le traceur développe le tronc de cône oblique l imité par les deux sections circulaires en tra-vail lant par tr iangulation. l l recherche les vraies grandeurs des génératrices et des diagonales,puis ,l . i l reporte, sur une droite, une longueur êgale à la vraie grandeur de la génératrice Al . A par-t ir de A, i l trace un arc de cercle de rayon R1 égal à la VC de la diagonale A2; à part ir de l , i ltrace un arc de cercle de rayon rl égal à la corde 1 -2 prise en projection horizontale.L' intersection des deux arcs de cercle donne le point 2.2. l l trace, à part ir de 2, un arc de cercle de rayon R2 égal à la VC de la géneratrice 2B; à par-t irde A, i l trace un arc de cercle de rayon 12 êgal à la corde A-B prise en projection horizon-tale. L' intersection des deux arcs de cercle donne le point B.En 3, i l trace, à part ir de 2, un arc de cercle de rayon R5 égal à la VC de la diagonale 2C: àpart ir de B, i l trace un arc de cercle de r3 égal à la corde B-C prise en projection horizontale.L' intersection des deux arcs de cercle donne le point C.l l applique la même méthode jusqu'à I 'obtention du développement complet. puis i l vérif ie, surle développement, les longueurs développées des deux sections circulaires.

7 - le <ône oblique

I 2" phase: enlever la partie superflue

Demi-développement du tronc de cône oblique

Le traceur contrôle et recti f ie, si besoin est, les longueursdéveloppées des bases. l l ne laisse subsister sur le déve-loppement que les genératrices et i l indique le sens demise en forme.

VG des génératrices

r 3 b

Le traceur reporte au compas, surles génératrices du développement,les longueurs des génératrices dulronc de cône oblioue.

Zbaee circulaire

IPDBI

ec

I t 0I Troçoge grophique

8 - couD€ coNteu€

e

8. t MÉruooE DES spHÈRrs sÉcnrurrs

On demande de raccorder les tuyauteries A et B parun coude conique comportant 5 élêments.

La méthode employée sera ce l le des sphèressécantes.

Théorème: Un cÔne et une sphère qui ont un cercle commun (C1) (exemple base du cône),se coupent suivant un second cercle (C2J.

Le théorème peut aussi se l ire de cettefaçon : lorsque deux sections circu-laires de diamètres différents sont ins-cript ibles dans une sphère, la surfaceobtenue est une surface conioue.

Le traceur doit inscrire les 5 élémentsdans des sphères. Pour cela, i l diviseI 'angle c en 6 part ies égales ( lespoints 1, 3, 5 sont les centres dessphères :- I se trouve sur la médiatrice élevée

à Ia base (ab) de centre O,- 5 se situe de même sur la médiatr i-

ce élevée à la base (gh),- le centre 3 de la sphère se situe sur

un rayon éga l à l 1J .

i l2I Troçoge grophique

l l trace ensuite une sphère de rayon R1 : 1a ou 1b et de centre 1 , une autre sphère de ravonR3 : 59 ou 5h et de centre 5.

Les éléments sont des portions decônes obliques.

Le traceur termine la construction du coude entraçant une sphère de centre 3 dont le rayon R2est moyen proport ionnel entre Rl et R3.R2 : (Rl + R3) 12.Les intersections des sphères lui donnent lesbases communes aux d i f férents raccordsconioues.

I - Coude conigue

8.2 MÊTHoDE DES SPHÈRES TANGENTES

On demande de raccorder les tuyauteries A et B parun coude conique comportant 4 éléments.

La mêthode employée sera celle des sphêres tan.gentes.

Le cône quitangente â une sphère est dit < de révolution r.Le solide qui tangente à deux sphères de diamètres différents est un cône de révolution.

I l* phase

Le t raceur :- divise I'angle a en 4 parties égales,- trace, en 0, un cercle de rayon R0 égal au rayon du cylind- trace, en 4, un cercle de rayon R1 égal au rayon du cyl ind

@

Lt4F

Chaque élément doit être tangent à deux sphères.sont nécessaires pour obtenir quatre éléments.

Troçoge grophique

I 2" phase

Le t raceur :- détermine les rayons des sphères intermédiaires à l 'aide d'un graphique (application du

théorème de Thalès) voir f igure ci-dessus, à droite,- dessine les sphères en respectant la progressivité,- tangente aux sphères deux à deux, pour obtenir le contour apparent de chaque élément.

Détail A

I 5" phase

Le traceur joint les intersections desde contour apparent pour obtenir lesmunes (el l ipt iques).

génératricesoases com-

/fr tu, bases communes ne passent pas par les centres des sphères.

o oo

Pour obtenir une meil leure préci-sion lorsque les génératrices decontour apparent sont presquedans le même alignement, i l estintéressant d'ut i l iser la méthodeci-dessus.

8 - Coude coniquei l5

ID LR SPHÈne

g.l foerultÉ, sECTtoNS pLANES D'uNE spHÈng

La sphère est une surface de révolution engen-drée par une section demi-circulaire, tournantautour d'un axe.Tous les points situés sur la surface sphériquesont à la même distance, le rayon (R) desphère, d'un point intérieur: son centre (O),

La sphère est définie par son c(O) et son rayon (R).

Le plan horizontal dêfinit unecirculaire de centre (O 1 ') qui se prote en V-C sur le olan horizontal.

Le plan frontal définit uneculaire de centre (O2) quien V-C sur le plan frontal.

sectionse pro

Un plan de bout définit une sectionculaire de centre (O1') qui se projen V-C sur le changement de planx 1 - Y l )

l t 6-

De par ses caractêrist iques géomê-tr iques, la sphère constitue I 'enveloppela plus performante vis-à-vis descontraintes provoquées par les pres-sions intérieures ou extérieures.El le est couramment employée enchaudronnerie-tuyauterie, notammenten qualité de fonds des réservoirs.

Tioçoge grophique

.2 DÊvrLoppEMENT AppRocHÉ or n spruÈRe

On demande de développer la demi-sphère constituée d'une calotte et d'une zone sphériques.

Lorsque la demi-sphère est de dimen-sions moyennes et de faible épaisseur,el le est décomposée en deux éléments :- une calotte sphérique,- une zone sphérique.

calotte

Le traceur définit unsphère qui l imite à lasage et la rétreinte.

tronc de cônefois, lors de la

moyen (enveloppant> laconformation. I 'emboutis-

t ronc de conemoyen

Développement de la calotte

On demande de développer" la demi-sphère constituée d'une calotte sphérique et de 7 girons.

Lorsque la demi-sphère est degrandes d imensions et de for teépaisseur, el le est dêcomposêe enplusieurs éléments :- une calotte sphérique- des girons (généralement 7).

Développement du tronc de cône

calotte

9 - Lo sphèrei l 7

ætF

[T8r

Sur l'épure, le traceur:- partage le segment 1,5 en part ies égales (4 sur l ,exemple),- fait passer par les points 2-3-4 des prans parai lères à ra base,- trace en projection horizontale les sections circulaires obtenues dans la sphère,- reporte en projection frontale les points A, B, c, D, E, F, c, H, l , et J ( intersections des sec_

tions circulaires et de la septième division du cercleJ,- joint et prolonge la corde passant par les points 2 et 3 pour obtenir le sommet Sj d'un

cône.- joint et prolonge la

cône,- joint et prolonge la

cône.

corde passant par les points 3 et 4 pour obtenir le sommet s2 d'un

corde passant par les points 4 et 5 pour obtenir le sommet S1 d,un

Sur le développement, le traceur:- porte sur une droite (D) Ies vraies grandeurs entre les points

l 'a rc,- dessine :

2-3 ,3-4 ,4-5 pr ises sur

' à part ir de 2, un arc de cercle de rayon R3 pour obtenir le sommet S3,' à part ir de 3, un arc de cercle de rayon R2 pour obtenir le sommet 52,' à part ir de 4, un arc de cercle de rayon R 1 pour obtenir le sommet S l- trace, à partir de :o Sl des arcs de cercles de rayons RO : S j_5 et Rj :. 52 un arc de cercle de rayon R2,. S3 un arc de cercle de rayon R5 :

- por te sur les d i f férents arcs de cerc les, de par t e t d 'aut re des points 1,2,3,4, e t 5 , les lon_gueurs des arcs de cercles lsJ, c4H, E3F,c2D prises en projection horizontale,- porte, sur la droite passant par 1, la longueur de I 'arc de ceicle A1B prise en projection H.

YG des ùcs entreles points de I à 5

Troçoge grophique

I O - BRS€S D€ MONG€

quadriques * , circonscrites à une même troisième, se coupent suivant deux courbes planes tC I I , tC2l quint par les intersections des 2 courbes de contact de chaque surface t l i l , t l2l avec la surface inscri le.

c 1 l - l c 2, / ! \ L.s sol ides tangents â unesphère sont toujours des solidesde révolution.

c l l - l c2 Les courbes [C1], tC2l ,t l l l , t l2 l sont aussi appe-lées bases de Monge.

Les deux solides tangen-tent à un el l ipsoTde.

c l l - l c2

quadrique, toute surface du type :

, paraboloïde, hyperboloïde.

I 0 - Boses de Monge

I I L€S INT€RS€CIoNS cYLINDR€/cYLINDR€

v| | .l lrure nsrcroN D'uNE DRotrE ET D'uN cyLtNDRE or RÉvoLUTtoN

D 1P 1

a .a

( \

h \ lb.

o L'axe du cyl indre est horizonto-frontal.

o La droite pénétrante (D1) est vert icale.Le plan [P1], paral lèle à l 'axe du cyl indre,contient la droite et définit deux généra-tr ices du cyl indre.La droite pénètre le cylindre en (A), elleen sort en (B).

1 '

1 '

o L'axe du cylindre est horizonto-frontal,

o La droite pénétrante (D2) est frontale.Le plan [P2], paral lèle à I 'axe du cyl indre,contient la droite et définit deux généra-tr ices du cyl indre.La droite pénètre le cyl indre en (C), el le ensort en (D).

La droite est définie par deux de ses points (A) et (B).La droite et le cylindre sont quelconques dans le repère (OX-OY-OZ)

Le cylindre est projeté enV-C en (O1-Y l -21 ) , pu i s enraccourci total en (O2-X2-Y2)

Seule la vue en bout deI 'axe du cyl indre en (O2-X2-Y2) permet de tracer lep lan [P1 ]pa ra l l è le à l ' axe ,d'une part et contenant ladroite (A-B) d'autre part.

l 2 lI

o oo

ConclusionOuel que soit le cas de f igure,le traceur aura toujours avan-tage à examiner le cyl indrepénétré en raccourci lotalpour gérer les situations d' in'tersections.

I I - Les inÈersections cylindre/cylindre

| | .2 Lr oÉveroPPEMENr ou pÉruÉrnÉ

T -t -

(A) est un cylindre de révolution d'axevertical.La soudure longitudinale se situe àI 8 0 ' .

(D) est une droite quelconque dansI'espace.Son prolongement pénètre le cylindre(A) en (P) et en sort en (Pl).

Le traceur utilise un plan vertical [PV]qui contient la droite (D).Ce plan définit deux génératricesdans le cyl indre, el les contiennent lespoints (P) et (P l ) .

Les points (P) et (Pl) sont implantêssur le développement à part ir dedeux références :

1 . la section de référence ; les valeurs(H) et (H 1) sont mesurées sur l 'épure,en V-C en projection frontale,

2. la génératrice de liaison ; la gênê-ratrice qui contient le point (P) est â47 ' de 180" ( la soudure) , vers 90o,celle qui contient le point (Pl) est à' /7

.5" de 1 B0 " vers 270 ' .

r r n D . 1 7 , 5.)ou

n D . 4 7360

.ô. /i r8,o"

T

H

P Tracé EXT

tT

Ë l

T1

P1

190' 90' 00 1270"

Troçoge grophique

(A) et (B) sont deux cylindres de révolutionmètres égaux.

Les axes appart lennent à un plan frontal.

de dia-

I f . 3 T É À 6 0 "

nDl2

I

II

I

IIII

6 divisions égales

o oo

L'épure est très simple :- I ' in tersect ion est te l le

que le pénétrant (A) estun cyl indre de révolutionl imité par deux plans debout,

- les d iv is ions égales quidéfinissent le systèmerégulier de génératricesdu pénétrant (A) , lecréent également sur lepenétré (B),

- la vue de prof i l en (O1-Y1-71) est ainsi rendueinut i le .

o oo

Les < pointes > du dévelop-pement de (A) aux généra-trices (9) et (3) contrarientle roulage qui ne s'opèrepas sur une large zone.

'l 'l - Les int@rsections cylindre/calindre

| | .4 Plounce90" nxES coNcouRANTS

(A) et (B) sont des cylindres de révolution.Les axes appart iennent au même plan frontal et sontorthogonaux.

ratrices dupor t à(ex : cr l0) ,déterminer

T 1 0 :

uti l ise des planse x : I P F 1 0 l ) q u i. les génératricesnt et déterminent)nétré.

x situent les géné-pênétré par rap-ses références,et permettent deles valeurs (T) :

æ D . a l 0--=60-

t24I

{A) est le cylindre pénétrant, (B) est te cylindre pênétre

Ce cas part icul ier d' intersection présente oeuxplans de symétrie, tPl l tP2l, qui passent par lesaxes des cyl indres et faci l i tent le traçage.

z

ô

zl t

7

34

5 6

I1 0

\ "

t"I

\-Jgo"

f'.-/

o

X

-ç

H 1 0 -

7--

,,L"(PFl O tf =

1 80. X I

\ ^ l :ontaux (ex :ontiennent leLu penétrant €elles du pénét

es angles o sit

f,TI

8 - - tu

Section de référence

o oo

Les valeurs des angles ctpeuvent être mesuréessur l 'épure, mais le tra-ceur avisé les détermi-nera par les relationstrigonométriques,

r r a a Z À o

s i n c l Q : t u v r u w

Rméthode très avanta-geuse pour les casindustriels qui amènentà traiter des épures degrandes dimensions.

Troçoge grophique

AXES oÉcnlÉs

(A) est un cylindre de révolution d'axe frontal.(B) est un demi-cyl indre de révolution d'axe hori-zonto-fronta l.

est le cyl indre pênétrant,est le cyl indre pénétré.

tA)(B)

Prounce60"

Le traceur uti l ise des plans frontaux qui contiennentles gênératrices du pénétrant et déterminent cel lesdu pénétré, exemple : PFB.Les angles o situent les gênératrices du pénetré parrapport à ses références, (ex : a I et cr S), et per-mettent de déterminer les valeurs (T).

T R æ D . c r 5' r 3 6 0

o oo

Les valeurs des angles a peuvent être mesuréessur l 'épure, mais le traceur avisé les détermine-ra par les relations tr igonométriques,

s inoB _ ( r . cos39 ' )+10 s ins5 _ ( r . cos60 ' ) -10

R - - ' -

R

Le penétrant présente deux génératrices part icul ières :- el les sont en contact avec le pénétré sur sa génératrice

(0") du contour apparent en projection frontale,- el les n'appart iennent pas au système regulier et sont

situêes grâce aux angles (om).Le traceur doit les implanter sur la projection frontale, oùloutes les génératrices sont en V-C, et sur le développe-

T a æ D . c r B360

I 1 - Los int@rs@ctions <glindre/<glindre

| | .(t Ncuo cyuNDRtour (orr suone)

(A), (B) et (C) sont trois tuyauteries @ 114,3 ep 4,5.

La base de Monge se projette selon une droite passant par lesintersections des génératrices du contour apparent, lorsque lesaxes des deux solides sont en V-C.

Ces cyl indres sont tangents à une sphère de centre (O).

Lorsque deux solides sont tangents à une même sphère :- ce sont des solides de révolution.- leur intersection est une base de MONCE.

\(ç)

??

.t." Le traceur doit examiner les cyl indres palcouples ayant leurs axes en V-C pourvoir traiter leurs intersections selonbases de Monge.

- le couple (A-B) :les cyl indres sont en V-Cfrontale en (O-Y-Z).

- le couple (B-C) :les cyl indres sont en V-C en projecfrontale (O2-Y2-22), obtenue aprèschangement de plan à part ir de la prt ion de profi l (O1-X1-21) où le cyl indreest en raccourci total.

- le couple (A-C) :les cyl indres sont en V-C en profrontale (O3-Y3-23), obtenue aprèschangement de plan à part ir de lation horizontale (O-X-Y) où le cylindreest en raccourci total.

l'%I Troçoge grophique

Le traceur a représenté la courbe drinteqec$iop(B-C) en couleur, puis celle de l'intersection (A-C)en noir, sur le développement du masque dereproduction de (CJ.

l l est évident que la gênératrice (2) qui est d'abordarrêtee par le cylindre (C) en (2C), ne peut être pro-longée jusqu'en (28).Le découpage du masque passera donc par lespremiers points rencontrés par les génêratrices.

l l est indispensable que les projectionsuti l isêes pour les développements repré-sentent les génératrices dans la posit ionréelle qu'el les occupent sur la surfacecylindrique.

b (Le traceur établi t le système régulier degénératrices du cylindre (C) entre les pro-jections (O-X-Y] eT (O.3-Y .3-2.3).l l dispose de la valeur (22) du pied de lagénératrice (2).La projection du pied des génératricesdans les diffêrentes vues permet de lesinstal ler dans leur posit ion réelle sur lasurface cyl indrique.Contrôle; Les différentes valeurs [Yn), en(O.2-X.2-Y.2) doivent al igner les pieds desgénératrices sur une section normale.

I I - Les intersections cylindre/cAlindre

Tracé INT

0 I 2 3 4 5 6 7 I 9 l 0 t l 0

o oo

La reprêsentation d'une section normaledans les diffêrentes projections est unemanière intéressante de réaliser le décalédes génératrices.

ffi*

| | .7 Lrs ÉpnssEuRs

| | .7.1 Le vocabulaire

Les épures simplificatrices gèrent la fibre neutre des surfacesqui, dans la plupart des cas, est située à la moit ié de l 'êpais-SEUT.

l l va de soi que, dans ces condit ions, lors des assemblages,l 'épaisseur pose de gros problèmes au chaudronnier.Les règles actuelles en soudage, la détermination des modesopératoires qui mettent un accent part icul ier sur la géométriede la préparation des bords, ne permettent plus au traceurd' ignorer l 'épaisseur.

Les tôles ou les profilés

La surface cylindrique

Chaque génératrice présente 3 fibres, une fibreextérieure (F-EXT), une fibre neutre {F-N) située àdemi-épaisseur et une f ibre intérieure (F-lNT).

Le chanfrein naturei

Nous considérerons que la tranche demeurependiculaire à la peau lors de la mise en formetroncs de cône.

Le chanfrein d'angle constant

Le traceur gère les F-lNT et F-EXT pour chaqueratrice de façon à assurer un angle cr constanttoute la périphérie de I ' intersection.

L'angle c est formé par le plantranche laissée perpendiculairetôle.

Troçoge grophique

de contact et laà la peau de la

128I

i - -T-- t ' !

ri |

\ \ \ "

i-;-g=$-1

11.7,2 Cyfindre de révolution - Plan de bout

uation : un cyl indre de révolution l imité par un plan oblique à son axe, tranche perpendiculaire à la peaula surface (le flan capable est oxycoupé).droite (D) situe les génératrices de transit ion vis-à-vis desquelles les f ibres en contact avec le plan sont : en

les f ibres interieures, en aval. les f ibres extérieuresdroite (D) doit avoir pour origine I ' intersection de l 'axe du cyl indre et du plan sécant et etre perpendicu-

à la gênératrice de transit ion.

Demi-développementf ibre neutre

tracé par transformée de

Cénératrices de transition

o

La droite (D), perpendiculaireà la géneratrice de transit ion,est egalement perpendiculai-re à I 'axe du cvl indre.

Courbe sinusoidale, limite des fibres neutres arrêtées par le plan

Courbes l imites des fibres INTet EXT arrêtées par le plan de bout [P]

6

la

'l | - Los int@rs@ctions cglindre/cglindre

| | .7.3 Coude cyfindrique

o oo

Le chanfrein estd'angle constant.La première passede soudage peuts'effectuer dans lesmêmes condi t ionsd'accès sur toute lapéripherie.

itI

o oo

La section de rem-pl issage du jo in tvar ie ; par exemple,pour cette configura-t ion :

51: 44 mm252 : 1 16 mm' �

Tracé EXT

Demi-développement tracê par transformée de lafibre neutre

Les droites (D) appart iennent au plan sécant.Elles ont pour origine l ' intersection de l 'axe et du plan et passent par I 'extrémité des F-INTElles sont amenees en V-c sur la projection frontale par rotation.t30

I

La l igne C1, na issance du chan-frein, n'est pas une droite.Chaque génératrice doit êtreconsultée pour déterminer lalongueur de sa fibre EXT.

Troçoge grophique

| .7.4 Tangente à fa courbe

L'intersection de deuxplans passe par l ' inter-section des traces demême nom.

Projection frontalede I'intersection

Règle : la tangente en un point de la courbe d' intersection de deux surfaces est la droite d' in-tersection des plans tangents aux deux surfaces en ce point qui leur est commun

trace fron

PB= plan tansent à lBsurfacê B, pasjant par 2.

A= plansurface A,

tangent à lapassant par ?.

trace horizontale de PB

\t_ | ,%i,o'coks- 4 ^ v N -

, , - - �a \ re l iO ! ! - ? '

{21çÇ''-çeui- P4''..iiû!v:éâ1!-

ô ! Oa9--1

o-

t t

o oo

l l esl inuti le de rechercher lesintersections frontale et hori-zontale des traces. Une seulesuffit.I a r hn i v nô r r l - Â f rÂ f a i t gn

} / v u L v L , u

fonction des disposit ions del 'épure.

'l I - Las inÈ@rs@ctions cglindre/cAlindre

t 3 l

| | .7.5 Vue en bout de fa tangente à la courbe

La.v-c, en(o:2-Y2-22), de la tangente à la courbe en (2), puis sa vue en bout, en (os-y3-x3),amènent à une projection des surfaces cylindriques (A) et (B) très intéressantes du point devue du traitement de leur éoaisseur.

c.3

o o

L'épure r isque d'être très denselorsque les axes ne sont pas concou-rants et que le traceur est amené àexaminer un grand nombre de généra-trices. .

læin' Troçoge grophiqua

Une droite est perpendiculai-re à un plan si el le est ortho-gonale à deux droites nonparallèles de ce plan.

X

Deux droites sont orthogonales dans Le corol laire : un plan est perpendiculaire à unel 'espace si el les se projettent, sur un droite si deux droites non paral lèles de ce plan sontplan, suivant un angle de 90', et que orthogonales à cette droite.I 'une d'entre el les est en V-C.

+Y

t33-

m-2 : RAn . 1 ' - 2 . 1 ' -

I

o oo

Les droites (M-2) et (N-2) sont orthogonales à la tangente.Elles définissent un plan IM-2-N] perpendiculaire à cettetangente.ll suffit de tracer la projection en V-G de ce plan pourobtenir la vue en bout de la tangente.

I I - Les intersections cglindre/cylindre

| | .7.6 Piquage 90" axes concourants

Le cylindre (A) est un élément de supportage.Le cyl indre (B) ne comporte pas d'ouverturede pénétration.

L'épure représente les projections du cyl indre A en f ibres lNT, ce sont les premières encontact, et du cyl indre B en f ibres EXT.

Le chanfrein est d'angle constant.La première passe de soudage peuts'effectuer dans les mêmes condit ionsd'accès sur toute la périphérie.

o oo

La rose de situation permet dedéterminer immédiatement lesvaleurs cr en y apportant les V-C desdroites {MN).

0 1 2 3 4 6 6

Demi-développement tracé par transforméede la f ibre neutre.

I34T Troçoga grophique

11.7.7 Piquage 90", supportage

Le cyl indre (A) est un élément de supportage.Le demi-cyl indre (B) ne comporte pas d'ou-verture de oénétration.

o oo

Le chanfrein est d'angle constant.La première passe de soudage peuts'effectuer dans les mêmes condit ionsd'accès sur toute la pêriphérie.

L'épure représente les projections du cyl indre A en f ibrescontact, et du cyl indre B en f ibres EXT.

ce sont les oremières en

Tracé EXT

I | - Les int@rs@ctions cglindre/cAlindre

| | .7.8 Piquage 90" axes décafés

Le cylindre (A) est un élément desupporrage.Le cylindre (B) ne comporte pasd'ouverture de pênétration.

o oo

Le chanfre in est d 'angleconstant.La première passe de souda-ge peut s'effectuer dans lesmêmes condi t ions d 'accèssur toute la pêriphérie.

L'épure représente les projections du cyl indre A en f ibres lNT, ce sont les premières encontact, et du cylindre B en fibres EXT.

des V-GM-N

t ?

i i \---__l_-Ï--

Nri

AD

L{

e 1 0 1 1 0 1 2 3 4 5 6 ? 8 9

La F-EXT de la génératrice (3) est plus longue que la F-tNT.CetteFituation donne naissance à deux géneratrices de transition, la F-lNT et la F-EXI sont demême longueur, situêes à I ' intersection des courbes sur le développement.

L'usinage du chanfrein passera progressivement d'une situation positive en (S) vers une situa-t ion perpendiculaire à la peau de la tôle aux génératrices de transit ion, puis en negative versles gêneratrices (9).

.136I

e

n5

/ - ,

r--;l-J'-+

9 1 0 1 1 0

Troçoge grophique

1.7.9 Piquage 60" axes concourants r , T

Le cylindre (A) est un êlement de supportage.Le cylindre (B) ne comporte pas d'ouvertured o n 6 n 6 t r e t i n n

o o

Le chanfrein est d'angle constant.La première passe de soudage peuts'effectuer dans les mêmes condit ionsd'accès sur toute la périphérie.

L'épure represente les projections du cyl indre A en f ibres lNT, ce sont les premières encontact, et du cylindre B en fibres EXT.

Cette configuration esl vraiment limite.L'usinage du chanfrein, puis la soudureaux approches de la géneratrice inté-rieure sont très délicats.

o oo

Les génératrices (4) et (B) sontdes génératrices particulières.Leurs fibres INT et EXT ont lamême longueur et satisfont auxcondit ions de chanfreinage.

I I - Les int€rsections cylindre/cglindre

æF

t38-

1.7.f O Ouverture de pénétration

Le plan [PSl contient I 'axe et la génératrice (5) du cyl indre (A) et la tangente (tg5) a ia nappeintérieure du cylindre (B). (tg}) n'est pas ta tangente à ta courbe d'inteisectioiae ûq et @)La droite (N-5), rayon (R) de (B), est une orthogonale au plan tangent tptgSl.La droite (M-5), rayon (r) de (A), est une orthogonale à ta génératrice (5).La V-C du plan tM-S-Nl fournit la V-C de l 'angle formê entre la génératrice (5) et le plan tan-gent à (B) passant par le point d' intersection (5).

La situation est la même pour le point (2).

$*u$$$Troçoge grophique

Les sections de (B)reprêsentent desel l ipses où l 'épais-seur n'apparaît pasen V-C, mais l 'ut i l isa-t ion des tangentes(TCn) simplif ie consi-dérablement la rêso-lut ion en n'entraînantqu'une inf ime erreur.

Cette démarche peutêtre employée quelleque soit la configura-t ion de l 'assemblageet la géométrie deschanfreins.

I

I

J

I- .J_

(A) est un piquage cyl indriquepénêtrant, sans usinage part icu-l ier vis-à-vis de l ' intersection.

Le chanfrein pratique sur le pénétré (B) est d'angleconstant.La première passe de soudage peut s'effectuer dansles mêmes condit ions d'accès sur toute la périphérie.

\N"'awi__\,1N

K

Diasramme des V-Gd-es droites M-N

I I - Les int@rs@ctions cAlindre/calindre

o oo

Dans la plupart des cas industriels, le rapportd/D est beaucoup plus petit , ce qui a poureffet de diminuer relativement le volume demétal à enlever pour usiner le chanfrein.

Dans tous les cas, le traceur aura avantage àréaliser un masque de reproduction en maté-riau souple, de manière à reproduire I 'ouver-ture de pénêtration et la l igne de naissancedu chanfrein sur le pénétré (B) après sa miseen forme.

| | .7,l I Piquage 90", génératrices intermédiaires

tA) et (B) sont des cyl indres de A EKf 100 ep 15,leurs axes sont concourants.Leur intersection est envisagée comme suit :. pour (A) ;

contact des F-EXT pour les génératrices (0) et (6),contact des F-lNT pour les génératrices (3) et (9),changement progressif pour les gênératrices inter-médiaires.

o pour (B) ; contact sur la nappe INT partout.

[Pl est un plan de bout passant par I ' inter-section de la F-EXT de (A) (en (0)) et de la F-INT de (B) et l'intersection des axes, (SA) et(SB) sont les sections de (A) et (B) qu' i lcontient.

Les genératrices intermé-diaires de (A) se situentsur une e l l ipse dont legrand axe a pour valeurson @ EXT et le petit axecelle de son Z lNT.

les sont implantées surcette el l ipse à l 'aide desplans axiaux passant parun système régulier degénératrices de (A).

Le système rêgulier de génératrices de (A) êvo-lue sur une el l ipse et passe de l 'EXT en (0) et (6)à l ' lNT en (3) et (9).


| | ,7 .l2 Té piquage 90", chanfrein

(A) est le cylindre pénétrant,(B) est le cyl indre pénétre.

Le chanf re in est d 'anpleconstant.La première passe de soudagepeut s'effectuer dans les mêmescondit ions d'accès sur toute lapériphérie.

+

L'usinage pour lechanfre in dupenétrant (A)evolue de 0" fpasd'enlèvement dematière) auxgénératrices (0)et (6) jusqu 'à 30 'pour (4) e t (12) .

Le traceur exami-nê f pc oân6 re -

t r ices ( l ) , (2) , (3) ,(4) par un chan-gement de planpour cnacuned'e l les.

- 0 ' en (0) ,- 7 , 5 ' e n ( 1 ) ,- 1 5 " e n ( 2 ) ,- 22 ,5 ' en (3 ) ,- 30 ' en (4) .

l l applique une progression arithmétique surles génératrices de (0) à (4), qui se répeterapour chaque quadranl, et qui a pour référen-ce la perpendiculaire conduite à part ir de latangente à I 'el l ipse, projection de la nappeINT de (B) :

I I - Los inters@ctions cAlindre/calindret 4 l

| | ,7.t 3 Té piquage 90"

T^ æD' u - - - j -

+

r a n D . 6 8 , 22 1 ^J O U

T l æ D . 3 9 . 5t l

560

Le traceur applique uneprogress ion ar i thmé-t i q u e , 0 o , 1 0 o , 2 0 ' e t30 " entre les pênêra-trices (O) et (3).

La V-C des plans [Mn-n'N n l , e x : [ M l - l - N 1 ] , l u ipermet d'examiner lessections de l 'assembla-ge contenues dans lesplans ax iaux passantpar les génératrices d'unsystème regulier.

Deux imprécisions :

. les génératrices (0) et (6) de (A) ne sontpas concernées par le chanfrein et neprêsentent pas de point d'arrêt de lacourbe,

e les valeurs (T), (O) sont mesurées sur desdroites alors qu'en réali té el les devraientl 'être sur les el l ipses des sections de (B).

142r

Mais les masques de reproductionainsi tracés pour les tuyauteries per-mettent une approche très appré-ciable pour situer les naissances dechanfrein.

Troçoge grophique

I2 L€ cÔN€ D€ RéVoLUTIoN

,_1+s Axes

/. | ffi concouranrs, |

----\r-lt t \ l/ 1 r

ww

L'identité, le développement, le sens du tracéLes sections remarquableslntersection d'une droite et d'un cônelmplantation sur le développement

ïangente à la courbe d'intersectionVue en bout de la ta

Ouverture

Les axes sont orthogonaux Les axes sont concourants

Axes nonconcourants

lI

Ii

'te - Le cône de révoluiion {LlIII

| 2.1 frurrRsecrfoN D'uNE DRotrE ET D'uN côtvE

ll La droite pénétrante (A) est horizonto-frontale.

Le traceur uti l ise unplan horizontat [P] quicont ient la dro i tepénétrante (^) etdétermine une sec-t ion c i rcu la i re derayon (r l dans lanappe conique.

Le point ( l) appart ientàJa,.section circulaireet à la droite (ô) :c'est le point d' inter-section de la droitepénetrante et de lanappe conique.

S

P / \ ,

/

I

\

v_(

ô

S

\. ,I

ô

\

\\

S a

L ,

x

I La droite pénétrante (^) est verticale.

Le traceur uti l ise unplan vert ical [Pl l , quicontient la droite (Â).

Ce plan détermine etcontient la génératri-ce (S- 1 ).

Le point (l) appartientà la génératrice (S-l)et à la droite (ô) :c'est le point d' inter-section de la droite etde la nappe conique.

Vérification: La projection hori-zontale de la génératrice [S- j),et sa projection frontale (S'-1')passent par le point ( l).

Vérification: La section (S)nie par le cyl indre de rayondoit contenir le point ( l).

wr Troçoge grophique

Le traceur construit un plan IP] àI'aide d'une droite (D) parallèleà la droite pénétrante (^) et pas-sant par le sommet de la nappeconioue.

il ta droite pénétrante (^) est frontale dans l'espace.

Le traceurconstru i t unplan [Pl à I 'aided'une droite (D)c o n c o u r a n t een (A) à la droi-le pénélrante(^) et passantpar le sommetde la nappeconique.

, ' , : !

S

\

\->Vérification :Les pro ject ions hor i -zontale ( l) et frontale(l ') doivent se situer surla même l igne de rap-pel .

Dans les deux épures, le plan [Pl passant par le sommet de la nappe conique définit deuxgénératrices (S-1 ) et (S-2).

Le point ( l) appart ient à Ia génératrice (S-1) et à la droite (ô) : c'est le point d' intersection de ladroite et de la nappe conique.

'l 2 - Le côno de révolution

r45

| 2.2 frvrplnNrqroN suR rc oÉveloppEMENT

La droite (^) est une horizonto-frontale qui pénètre la nappe conique en (l).Le point d' intersection ( l) appart ient à la génératrice (S_ j j .

Le traceur mesure la V-Gde (S-l) en projetant, per-

La valeur (d) peut être mesurêe sur laprojection horizontale et transcrite surle développement à l 'aide d'un régletsouote.Mais le traceur avisé calculera l 'anglea 2 avec les êquations suivantes :

g l : 9 0 - a r c s i n eî

E:æl ElqtI u | | a q"2 |

O P \

S

Troçoge grophtque

12. 3 lrurERsecrloN cÔruE/cYLINDRE

12.3.t Axes orthogonaux (l )

Le plan IP] est perpendiculaire à l 'axe du cône etparal lèle à celui du cYlindre.l l contient une section circulaire du cÔne et deuxgénératrices du cYlindre.

et est paral lèle à l 'axe du cyl indre.l l est tangent au cyl indre et dêfinit lagénératrice l imite et son intersection avêcle cône.

I''

Le sommet du cÔne est indis-pensable pour situer la génêra-tr ice l imite.

l9 - Le côna de révolution147I

L'épure est précise el rapide.La méthode s'aPPlique Parfaite-ment à un tronc de cône à som-met inaccessible.Chaque plan horizontal traitedeux génératrices du sYstèmerégulier du cyl indre.

FE- :'

| 2.3.2 Axes orthogon aux (2)

Le plan [P] passe par le sommet du côneet est paral lèle à I 'axe du cyl indre.

Lorsqu'i l est tangent au cyl indre, i l dêfi-nit la génératrice l imite ; lorsqu' i l estsécant, i l contient deux génératrices ducylindre et deux génératrices du cône, etdéfinit leur intersection.

Les génératrices du cylindre sontcourci total dans la vue de orofi l(o1 -x1 -z l ) .

Le traceur utilise des plans passant pAf.r t 7 sommet du cône et contenant les gé

trices du cyl indre. Ces plans sont donc0 6 lement vus en bout dans la vue de profi l .

Les traces horizontales des plans sont palèles aux génératrices du cylindre ettracées en projection horizontale ention des différences d'éloignements quisituent par rapport à l 'axe du cône.

Les intersections des traces et de la basecône sont à I 'origine de ses génératricesprojection horizontale.

en r€suiva

r48I

L'épure est très chargée; dans ce cas où les axes du cône et du cvl indne sont pas concourants, i l faut tracer un plan sécant pour chaqueratrice du cvlindre.

Troçogo grophique

2.3.3 Tronc de cône à sommet inaccessible

Deux dro i tes sontconcourantes dansI'espace si leur inter-section se situe sur lamême l igne de rappel,dans deux p lans deprojectlon.

Le plan [P] passant par le sommet du cône estdéfini par les deux droites concourantes (D) et( D 1 ) .

Un p landéf in idroitesrantes.

n o r r f ô t r ov v u L v L , v

par deuxconcou-

iII

It

II

1 el-]

o oo

Le plan tP1s'appuie surune géneratricedu tronc decône et passepar le sommet.La droite (D 1 )est issue dusommet ettrouve sa tracehorizontale (C)sur ce l le duplan auquelelle appartient.

o oo

C'est la seuleméthode graphiqueappl icable à cet teconfiguration.L'épure est réduiteau maximum.

o o

Les nombreux tra-ces sont concentrêsen projection hori-zontale.L 'épure réc lamebeaucoup de soinset un repérage sys-tématique.La situation de lagénératrice l imiteainsi que I 'arrache-ment , Ie casêchéant , restentf lous.

'| 9 - Le c6na de révolution

| 2.3.4 Axes concourants ( I )

La courbe d' intersection d'un solide de révoru-t ion et d'une sphère, dès lors que I 'axe du soli-de passe par le centre O de la sphère, est tou_jours une section circulaire.

La même sphère définit deux sections circu-laires (S2) et (S5) dans ta nappe conique.

Les sections (S2) et (S3) appart iennent à tanappe conique et à la sphère.

Troçoge grophique

Le centre O de lasphère se situe à I ' in-tersection des axesdu cône e t ducylindre.

Elle définit une sec-t ion circulaire dansle cône et une autredans le cyl indre.

Une sphère de centre (O), Oe rayon (R) défi-n i t une sect ion c i rcu la i re (S t I dans lecyl indre.

La section (S 1) appart ient au cyl indre et à lasphère.

(l l ) et (12) sont les points d' intersection dessections circulaires du cône et du cyl indre.l ls appart iennent à ces deux solides. ce sontdes points de la courbe d' intersection.

'e;"i.,.- ^

Le traceur uti l ise des sphèresauxil iaires dont les rayonssont compris entre R mini,pour lequel la sphère est tan-gente au cône et définit uncercle de contact (CCJ, et Rmaxi passant par la généra-t r ice la p lus é lo ignee ducylindre.

@ tt etantit le système rêgulier de généra-tr ices, el les aboutissent sur des part ies incer-taines de la courbe d' intersection et le déve-loppement du cyl indre est très simple.

Chaque sphère définit deux sectionscirculaires dans le cône, sauf la sphè-re mini tangente au cône, et une sec-t ion circulaire dans le cvl indre.

o o

l l est impossible de tracer lessphères de manière à cequ'el les intéressent un systèmerégul ier de générat r ices ducylindre.Deux solutions s'offrent au tra-ceur :

@ l l instal le des génératrices issues de cha-cun des points de construction de la courbed'intersection, ce qui lui assure la plus hauteprécision, mais complique sensiblement ledéveloppement du cyl indre.

o oo

Ce problème ne se pose paspour le dêveloppement ducône.Le traceur fera passer lesgénêratrices par les points deconstruction de la courbe sansl o r n m n l i n r r o r

l9 - Le cône de révolution

I Z.l.ô Axes non concourants {Zl

L'intersection de deux solides tangents à unememe sphère est une base de Monge. Elle seprojette selon une droite lorsquè les axesdes deux solides sont en vraie grandeur.

Le plan [P] passe par le sommet du cône etcoupe la base de Monge aux points A et B.Ces points définissent les génératrices (S1),{S2). Le plan [P] définit égatement deux génê_ratrices du cyl indre pénêtrant.

Laxe du cyclindre fictif qui crée lacelui du cône sont concourants.

La base de Monge est Uéêe par lec-Alindre fictif dont I'ue est parattète g,d celui du cAlindre pênétmnt.

\ c.\

.+', " i

Lorsque les condit ionssont réunies, cet teméthode des bases deMonge est, de loin, la :plus rapide et efficace.

Troçoge grophique

base de Monge et

| 2.3.(, Axes parallèf es

Méthode des plans horizontaux Méthode des plans verticaux

o oo

L'épure. est préc ise et rap ide. Laméthode s'applique parfaitement à untronc de cône à sommet inaccessible.Les plans horizontaux sont creês pardes surfaces cyl indriques qui contien,nent les génératrices du cyl indre péné-trant.

o oo

Cette méthode est à appliquer dansl 'épure ci-contre pour situer les gêné-ratr ices l imites (CL) contenues dans lesplans tangents au cyl indre.Les génératrices maxi et mini appar-t iennent au plan [P] qui contient lesaxes des deux solides.

| 2 - Le <ône de révolution

W{c" '

| 2.3.7 Axes quelconques

Deux droites sontparal lèles dans I 'es-pace si el les se pro-je t tent se lon deuxparallèles dans deuxplans de projection.

Un plan peut êtredef in i par deuxdroites paral lèles.

Le plan IP] passantpar le sommetcontient deux géné-ratr ices du cône.

Le plan IP] est défini par une droite (T) passantpar le sommet du cône et paral lèle à l 'axe ducvlindre.

Le plan [P] parallèleà l 'axe contient deuxgénératrices du cy-l indre.

L'épure est précise et dêfinit parfaitement I'arrachement,cas échéant.

La vue suivant (fl en (O1-Xl-Yl), qui correspond à la vuebout du cylindre, est excellente pour déterminer lestrices limites.

o oo

L'étendue de l 'épure,toujours très impor-tante, est fonction del 'angle cr, cyl indre/cône.

ffi


12.3.8 Axes quefconques avec arrachement

Le plan tangent au cône contient lesdeux génératrices du cyl indre qui l imi-tent l 'arrachement. I

Le plan tangentau cône est lan-gent à la baseÀ ^ À / ^ 6 ^ ^utr rvrur rË,8.

o o

Cette conception n'est querarement rencontrée dansdes cas d'habil lage ou de^ ^ l ^ - ; f ,Ldrur i luË,udË, t r .

\ - 7 - - -- ' ! I , - -

t l \/ \ \o o

La mise en forme ducylindre est très délicate,Si le sol ide pénétré n'est pasde rêvolution la base deMonge ne peut êt reemployée.l l faut traiter le problème enut i l isant des p lans d iver-gents. L'épure devient trèsétendue et délicate.

'| 2 - Le <ône de révolution

| 2.4 Les ÉpnrssEURS

12.4.t Tronc de cône de révolution/plan de boutSituation : un tronc de cône de révolution, l imité par un plan oblique à son axe, tranche perpendiculaire à lapeau de la surface (le flan capable est oxgcoupé).La droite (D) situe les génératrices de transition vis-à-vis desquelles les fibres en contact avec le plan sont enamont, les f ibres intêrieures, en aval, les f ibres exterieures.La droite (D) doit avoir pour origine l ' intersection de l 'axe du tronc de cône et du plan sécant et etre perpen-diculaire à la génératrice de transit ion.

Le plan horizontal

La droite (D) esten V-C sur leplan frontal. El lesitue les extré-mités des F-EXTet F- lNT desgéneratrices detrans i t ion parleur pro ject ionsur le p lan debout [Pl.

La gênératrice de transition situeparfaitement les fibres EXT et INTà rechercher en V-C.

Demi-developpement r otracé par transformée de Ia fibre neutre

t56I Troçoge grophique

| 2.4.2 Coude conique ( | )

Lorsque l 'épure représente lecoude conique en f ibre neutre, leséléments sont l imi tés par desdroites passant par les intersec-t ions des génératrices du contourapparent. Ce sont des bases deMonge.

o o

Ces bases de Monge sontinuti l isables lorsqu' i l s 'agitde t ra i ter l 'épaisseur dessolides.Chaque génératrice estlimitée par une droiteissue du centre de lasphère tangente.

La V-C, en (O 1 -Y1-21), de la tangenteà la courbe d' intersection en (A), puissa vue en bout, en (O2-Y2-X2), confir-me le contact des fibres INT et EXTsur une droite issue du centre (O)de la sphère.

o o

Les générat r ices (S.2-4.2) e t (S1.2-A.2) ontquali té de gênératricesde contour apparent .Elles ne sont pas en V-C.L'épaisseur est en V-C.

'f 9 - Le côna de révolution

12.4.3 Coude conique (2)

o o

La section de remplissage du jointvarie ; par exemple, pour cette confi-guration :

51 :175 mm' � 52: 420 mm,

o oo

Le chanfrein est d'angle constant.La première passe de soudage peuts'effectuer dans les mêmes condit ionsd'accès sur toute la périphêrie.

Le traceur amène chaque généra-tr ice en V-C par rotation.Les droites (D) sont issues du cen-tre de la sphère tangente et s'ap-puient sur les F-lNT.

o o

Chaque génératrice doitê t re consul tée pourdéterminer la longueurde sa fibre EXT.

t58I

.Demi-developpement tracétransformée de la fibre neutre.

Troçoge.grophique

12.4.4 Tangente à la courbe

L' in tersect ion dedeux p lans passepar I ' in tersect iondes traces de mêmenom.


I'A = plan tangent à la

Interseetion de PA et duhorizontal Plan frontal de référence

trace frontale de PB

Plan horizontalI de référence

Trace horizontale de PA

PB = plan tansentà la surface B, passànt par 4

trace frontale de PA

o o

Le plan tangent au cône estquelconque.l l est nécessaire de rechercherles intersections des traces fron-tale et horizontale.

12 - La cône de, révolution

12.4.5 Vue en bout de la tanqente à la courbe

La V-C, en (O1-Y1-21), de latangente à la courbe en 4,puis sa vue en bout, en (O2-Y2-X2), amènent à une projec-lion très intéressante des sur-faces A et B du point de vuedu traitement de l 'épaisseur.

L'épaisseur du cylindre (A) estmatérialisée par la droite (ô).

(ô) est une orthogonale à latangente.

Elle apparalt en V-C en (O2-X2-Y2) lorsque la tangente estvue en bout.

r60-

â!Yg

Troçoga grophique

,liIl

li

lo oo

Le traceurconstru i t unplan orthogo-nal à la tan-gente à lacouroe pas-sant par lepoint (4).ll utilise deuxdroites concou-rantes en (4) :

(RA), rayon ducy l indre (A) ,orthogonal àla tangente [V-G en (Ol-Xl -zt l).

(^B), droiteissue du point(4) passantpar I 'axe ducône.

Pour être orthogonale à la tangente t par le point (4J, la droite (AB) doit se projeter enV-C, suivant un angle de 90o avec

Cette situation s'obtient par rotati

jection de cette tangente.

du cône, (S'-B') devenant généralr ice du contour appa-rent en (S'-8"), (4') devenant (4")

(^B) en V-C est en pointi l lés sur la projection frontale en (4"-N4').

El le est tracée perpendiculairement à la nouvelle projection frontale de la tangente qui seconfond avec (S' 'B"J, pour déterminer le point (N4').

o oo

Le plan [N4 - 4' M4] est orthogonal à latangente en [4).ll suffit de tracer la projection en V-Gde ce plan pour obtenir la vue enbout de la tangente.

L'épure représente les projections du cylindreA en F. INT.

l9 - Le c6ne de révolution

12,4.(t Axes concourants et orthogonaux

Le cylindre (A) est un élêment de suppor-rage.Le tronc de cône (B) ne comporte pasd'ouverture de pênétration.

o

Le chanfrein est d'angle constant.La première passe de soudage peuts'effectuer dans les mêmes condi-t ions d'accès sur toute la périphê- '

r ie.

L'épure représente les projections du cyl indre A en f ibres lNT, ce sont les premières encontact, et du tronc de cône B en fibres EXT.

n10 n2

6

D

4

m7 m5

Demi-développement tracé par transforméede la f ibre neutre.

n8'n4'

u9'n3'

n10'n2'

n l1 'n l ' .

V-G des droit€s

5

4

3

1 9

1 1

o 1 2 A 4 5 6

| 2,4,7 Axes quelconques

Le cyl indre (A) est un élément de supportage.Le tronc de cône (B) ne comporte pas d'ouverture depénétration.

o o

Le chanfrein est d'angle constant.La première passe de soudage peut s'effectuer dansles mêmes condit ions d'accès sur toute la oériphé-rie.

L'épure représente les projections du cyl indre A en f ibres INT - ce sont les premières encontact - et du tronc de cône B en f ibres EXT.

I

J Y

2 \ 0

8

t 7

o

5

I,

V-G des droites M-N9 1 0 1 1

Le décalé des axes oblige le traceur à construire les plans perpendiculaires aux tan-gentes pour toutes les génératrices.N.B. : Cette épure n'en représente qu'une part ie.

I

III

- ln C ln4 l

Développement tracé partransformée de la fibre neutre

l9 - Le cône de révolution

12.4.8 L'ouverture de pénétration

L'épure gère les fibres INT du penétré (B) et les fibres EXT du pénétrant (A).Ce ne sont plus les tangentes à la courbe d' intersection qui sont uti l isées mais les tangentes(TC2) et (TGs), etc. aux ellipses créées par les projections de (B). Elles sont concourantes àI'axe de (A) et peuvent être orientées vers le centre de l'ouverture de pénétration sur le dêve-loppement de [B). El les appart iennent aux plans tangents à (B) passant par les points respec-tifs.

o oo

\=/ ,Les sections de (B) représentent des ;ell ipses où I 'epaisseur n'apparaît pas ,^^ \ t r .g t I v - \ J .

L'uti l isation des tangentes (TCn) sim- :pl i f ie considérablement la résolutionen n'entraînant qu'une infime erreur.

o oo

cette démarche peut être employée quelle que soit la configura-t ion de l 'assemblage et la géométrie des chanfreins.

$*il*il*il*iltM

- Troçoge grophique

(A) est un piquage cyl indrique pénétranl,sans usinage part icul ier vis-à-vis de l ' inter-section.iir

- , \

i-\ o oo

Le chanfrein pratiqué sur le pénétrê(B) est d'angle constant. La premièrepasse de soudage peut s'effectuerdans les mêmes condit ions d'accèssur toute la périphérie.

ml1

o

5

4

a

o 2

11 1 n1l n1

0

I

II

Projection horizontale simplifiée

Développement part iel de (B) tracé partransformée de la fibre neutre.

0 6

1 5

2 4.l

n10'n2'

n11'n l '

V-G des droitesl (N- n10 nZ

o oo

Dans tous les cas, le traceur aura avanta-ge à réaliser un masque de reproductionen matériau souple de manière à repro-duire I'ouverture de penétration et la lignede naissance du chanfrein sur le pénêtré(B) après sa mise en forme.

19 - Le c6na de révolution

I3 INT€RS€CIoN CÔN€/cÔN€

r66r

| 3.1 Axrs ouELcoNOUES

O fu traceur uti l ise des planspassant par tes sommets (S) et(S1) des deux nappes coniques(A) et (B). Ces ptans pourrontcontenir des génératrices desdeux nappes. (ô'J est leur tracefrontale, (a) est Ia trace horizon-tale de (ô).

@ t t const ru i t le p tan [p2] à I 'a i ,de de (D-2) , une hor izonta le du n,plan, passant par le point (2) dela génératrice (S-2) de (A).(S'2) appart ient donc au plantP2l. a

@ Lu trace horizontale du planlP2l passe par (o) et est paral lèleà I 'horizontale (D,2) en V-C enprojection horizontale.

@ Cette trace coupe la base ducône (B) en (M).(S 1 -M) est une génératrice de(B), el le coupe (S-2) de (A) en (t) a'qui est un point de la courbed'intersection.

d = a

Cette méthode est la plus( sobre > en surface, el leest aussi très précise,horizontales des plans [Pn]sont commodes à tracer.

Troçoge grophique

| ?.2 Tnoruc

WF

or côrue À sorvrver TNAccESSIBLE

Deux droites sontc o n c o u r a n t e sdans I 'espace s ileur in tersect ionse s i tue sur lam â m a l i c n a r l al l r u r l r u r r É r r u u u

rappel dans deuxplans de projec-t ion.

Le plan [P] passant par le sommet du côneest défini par les deux droites concourantes(D) et (Dl ).

Un plan peut être dêfi-n i par deux dro i tesconcourantes.

o

Le plan [P] s'ap-pu ie su r unegénérat r ice dutronc de cône etpasse par le som-met.La dro i te (Dl )estissue du sommetet trouve sa tracehorizontale (C) surce l l e du p lanauquel elle appar-t ient.

o oo

Seule méthode graphiqueapplicable à cette configu-ration. L'épure est réduiteau maximum.Le traceur uti l ise un planhorizontal de référencepassant par le sommet(s 1 ').De cette manière, toutesles génératrices de (B) ontleur trace horizontale en( s1 )

Les nombreux tracés sontconcentrés en projectionhorizontale.L'épure réclame beaucoupde soins et un repéragesystématique.La situation de la généra-t r ice l imi te , a ins i que l 'ar -rachement, le cas échéant,restent flous.

l3 - Les inters@(tions cônalcône167

I4 INT€RS€cTIoNS sPHÈR€/CÔN€T 5 INT€RS€CTIoNs spHÈR€/cYLINDR€

les sections d'une sphèrelJépaisseur des solides :le vocabulaire

Le plan tangent à lasphère

r68Troçoge grophique

I4 INT€RS€cTIoNS SPHÈR€/CÔN€

v| 4.1 Axe venlcAl

oa

, 8 0

(A) est un cône de révolution d'axe vert ica..

(B) esl un fond hêmisphérique.

[PP] esl un plan de profil. ll se projette suivant (O1-21'Y1 ) et contient les génératrices (0) et (6).[PVl est un plan vert ical. l l se projette suivant (O2-22-Y2) et contient I 'axe du cône et le

centre de la sphère. l l définit les génératrices (S1), la plus longue, et (S2), la plus courte.o [PF1l est un plan frontal. l l définit les génératrices (5) et (9).

Pour compléter l 'épure, let raceur ut i l ise des p lanshorizontaux IPHl.

l ls se situent, en (OZ), entreles points d ' in tersect iondes génératrices (S 1 ) et(s2)

l ls définissent des sectionsc i rcu la i res (SS) dans lasphère et dans le cône (SC).Les intersections de cessections circulaires appar-t iennent à la courbe d' in-tersection des solides

o o

Les génératrices dutronc de cône abou-t issent sur des par-t ies incertaines de lacourbe d ' in tersec-t ion.

l4 - Intersections sphère/cône

| 4.2 LEs ÉprussEURS

14.2,t Plan tangent à la sphère

NB: l l est plus simple d'appréhender la méthode à la page 1' lB au chapitre sur les intersec-t ions sphère/cyl indre.La tangente à la courbe d' intersection d'une surface conique et d'une sphère n'est d'aucuneuti l i té.ll faut traiter chaque génératrice de la surface pénétrante et le plan tangent à la sphè-re en leur point de contact.

. (O-2) est un rayon de la sphère de centre (O).

. (D-F) est une frontale orthogonale à (O-2).o (D-H) est une horizontale orthogonale à (O-2).. (D-F) et (D-H) sont concourantes en 2, el les définissent un plan orthogonal au rayon (O-

le plan tangent à la sphère en son point (2).(1.1') est le point d' intersection du plan IP2] et de l 'axe de la surface conique.

La vue en bout de ce plan, la représentation de la génératrice (2) de la surface coniqcette vue, amènent à une proiection très intéressante des surfaces du point de vue dument de l 'éoaisseur.r70

^ \,?\

") '

q'�?'

l- -rroçog@

gropnrque

(O-S) et (O-2) sont deuxrayons de la sphère. l ls for-ment un tr iangle isocèle (O-s-2).La flèche (F2) est la différen-ce de cotes entre le point (2)et le sommet (S) de la sphè-re. El le forme un tr iangle rec-tangle avec le rayon (R2) etpermet de déf in i r I 'angleformé par le plan tangent àla sphère et la génératriceconcernée de la surfaceconique.

Ce problème est posé par les fonds frêquemmentut i l ises en chaudronner ie :- fonds CRC, le rayon de la calotte sphérique, Ri,

est égal au diamètre extérieur De,- fonds PRC, Ri est toujours supêrieur ou égal à De.Exemple: De : 3100, Ri : 4400.

o o

l-a génératrice (A-2)n'est pas en V-G en(A. l ' -2 . t ) .l l faut l 'amener paral lè-lement à (Oi -Y1-21),en (4.1"), par rotationdu cône, pour I 'obteniren V-C ainsi que cellede la dro i te (1.1 ' -2 .1 ' l

qui appart ient au plantangent à la sphère.Le rayon (RCn) de lasection circulaire de lasurface conique varie àchaque génératrice.

o o

L'ut i l isat ion de laf lèche (F) permet autraceur de s'affranchirdu centre (O) de lasphère par fo is b ienéloigne en distance dupiquage à traiter.

l4 - IntersecLions sphère/cônet 7 l

1l4.2-2 Axe vertical

Le tronc de cône (A) est un élémentde supportage.Le fond GRC ne comporte pas d'ou-verture de pênétration.

o o

Cette configuration est vrai.ment l imite.L'usinage du chanfrein, puis lasoudure aux approches de lagênérat r ice in tér ieure sonrtrès dêlicats.

L'épure represente les projections du tronc de cône A en fibres lNT, ce sont les oremières encontact, et du fond CRC en fibres EXT.

Le tronc de cône est projetéfibres lNT.Le traceur doit amener les

o oo

Le chanfrein estd'angle constant.La première passede soudage peuts'effectuer dans lesmêmes condi t ionsd'accès sur toute lapériphérie.

Développement trace par transformee de lafibre neutre

d' intersection sur la généradu contour apparent, pardu cône, et les projeter

wù- Troçoge grophique

lairement sur la f ibre neutre.

14.2.t Ouverture de pénétration

(A) est un piquage tronconique pênétrant, sansusinage part icul ier vis-à-vis de l ' intersection.(B) est un fond CRC.

Le chanfrein pratiqué sur le penétré (B) estd'angle constant.La première passe de soudage peut s'effec-tuer dans les mêmes condit ions d'accès surtoute la périphérie.

L'épure gère les f ibres EXT du pénétrant (AJ et les f ibres INT du fond cRC.

Le point (14)se s i tue àI ' i n t e r s e c -t ion de I 'axede (A) et duplan [P4] .La droite(14-4) , enV-C, appar-t ient au plantP4l

Les droites ( ln-N)sont tracées sur la par-

t ie sphêrique du fond àpartir du centre (l) de l'ouver-

ture de pénétration et passentpar un système régulier de géné-ratr ices (12 divisions sur une sec-t ion du tronc de cône).

, r 1

o o

La sphère n'est pas une surfacedeveloppable.Le traceur devra intervenir surle fond, en traÇage en I 'air, avecune imprêcision relative au rap-port dimensions du cône/De.

'14 - Inlersections sphère/cône

I5 INT€RS€cTIoNS SPHÈR€/cVLINDR€

l5.l Axr vEnïcAL

(AJ est un cyl indre de révolutiond'axe vert ical.(B) est un fond hémisphérique.

La droite (AB) est une verticale.(B) est le point d' intersection dela droite et de la sphère.

1 . Le traceur matérial ise un planfrontal [PF] contenant la droite(A-BJ vue en bout.2. La section (S) de la sphèredêfinie par ce plan est reprêsen-tée en projection frontale, el lecontient le point (b').

La section circulaire (S),contenue dans un p lanfrontal (PF), trouve sondiamètre dans le p lanhorizontal qui contient lecentre (O) de la sphère.

$rUÈ{æ Troçoge grophique

Le traceur uti l ise des plans frontaux passant par un systèmeChaque plan, sauf (0) et (6), contient deux géneratrices.Ces plans déterminent des sections circulaires, en projectionmité des génératrices.

régulier de genêratrices.

frontale, qui contiennent I 'extre-

F oô r F o

no.+îo @ x$æo

Les génératrices (Sl) et (S2)sont des génératrices supplé-menta i res déf in ies par unplan vert ical qui contient I 'axedu cylindre et le centre (O) dela.demi-sphère.

(S1)est la générat r ice la p luslongue.(S2) est la génératrice la pluscourte.

n l P F 4 , 8l -

La sphère n'est pas unesurface développable.L'ouverture de pénétra-t ion dans le fond hémi-sphérique se fera parcontournage du cyl in-0re.

Developpement du cyl indre, trace EXT

'| 5 - Intersections sphère/cylindre

,----l-€r l

| 5.2 Axr rnoNTo-HoRfzoNTAL

(A) est un piquage cylin-drique d'axe horizontal.(B) est un fond hémisphé-rique.

La droite (AB) est une horizontale.(B) est le point d' intersection de la droite et de la sphère.

1. Le t raceur matêr ia l ise un p lan hor izonta l [PH1]contenant la dro i te (a ' -b ' ) .2. La section (S) de la sphère définie par ce plan est représentee en projection horizontale, el lecontient le point (b) qui est ensuite projeté en (b').

ïroçoge grophique

Ép-^'

b' I pnt

La section circulaire (S),contenue dans un o lanhorizontal, trouve son dia- imètre dans le plan frontal ,(PF) qui contient le centre.:(O) de la sphère.

t r ; . : i

Le traceur uti l ise des.planl horizontaux passant par un système regulier de génératrices.Chaque plan, sauf (9) et ( j) , contient deux gêneratrices.l ls determinent des sections circulaires, en projection horizontale, qui contiennent l ,extrêmitédes génératrices.

z e

Les génératrices {S 1 )et (S2) sont des géné-rat r ices supplémen-taires définies par unplan [P0] qui contientI 'axe du cyl indre et lecentre (O) de Ia demi-sphère.

l l ut i l ise une projec-t ion de prof i l dessol ides, se lon (O t -Z1-X1), et des ptansf ron taux [pF1 ] e ttPF2l .

(S 1 ) est la génératriceIa p lus longue.(S2) est la géneratricela plus courte.

1 1 0 1 2 3 4 s 2

s l7 1 1

6 0

R I

5 1

4

X1

circulaire 6-0

o o

Le traceur aviséutilisera cette pro-ject ion pour ré-soudre l 'épure.l l fera l 'économiede la projectionhorizontale.Développement du cgtindre, tracé EXT

La sphère n'est pas une surface déve_loppable.L'ouverture de pénétration dans lefond hémisphér ique se fera oarcontournage du cyl indre.

1 5 - lntorsections sphère/cAlindre

t 5.3 Lrs ÉpnlssEURS

| 5.3.1 Plan tangent à fa sphère

La tangente à la courbe d' intersection d'une surface cyl indrique et d'une sphère n'est d'aucu-ne uti l i té.ll faut traiter chaque génératrice de la surface pénétrante et le plan tangent à la sphè-re en leur point de contact.

o (O-2) est un rayon de la sphère de centre (O).o (D-F) est une frontale orthogonale à (O-2).o (D-H) est une horizontale orthogonale à (O-2).o (D-F) et (D:H) sont concourantes en 2, el les définissent un plan orthogonal au rayon (O-

le plan [P2l tangent à la sphère en son point (2).

(1.1') est le point d' intersection du plan [P2] et de I 'axe de la surface cyl indrique en (Ol -Yl -

La vue en bout de ce plan, la représentation de la géneratrice (A-2) de la surface cylinden cette vue, amènent à une projection très intéressante des surfaces du point de vue dutement de l 'êpaisseur.

ï,78I

{-9

" = '%'t'.. j

\ l-Qk

Troçogo grophique

(O-S) et (O-2) sont deux rayons de lasphère.l ls forment un tr iangle isocèle (O-S-2).

La flèche (F2) est la différence de cotesentre le point (2) et le sommet (S) de lasphère.Elle forme un triangle rectangle avec lerayon (R2) et permet de dêfinir I'angleformé par le plan tangent à la sphère etla génératrice concernée de la surfacecylindrique.

La génératrice (A-2) se trace parallèle-ment à la droite (S'F2). Ces deux droitessont en V-C.(1 .1 ' -2 .1 " ) es t l a V -C de l a d ro i t e (1 .1 ' -2.1 ') qui appart ient au plan tangent à lasphère.p2) est la V-C de l 'angle formé par lagénératrice (A-2) et le plan IP2].

arc

p

n

ln

\>4È

rn

nfe

dn

n

o oo

L'uti l isation de la f lèche (F) permet au traceur des'affranchir du centre (Ol de la sphère parfois bienéloigné en distance du piquage à traiter.Ce problème est posé par les fonds fréquemmentuti l isés en chaudronnerie :- fonds CRC, le rayon de la calotte sphérique, Ri,

est égal au diamètre extérieur De,- fonds PRC, Ri est toujours supérieur ou égal à

De.Exemple ; De : 31 00, Ri : 4400.

I 5 - Intersections sphèra/cçlindre

| 5.3,2 Axe verticaf

Le cyl indre (A) est un élément de supportage.Le fond CRC ne comporte pas d'ouverture de pénétration.

o o

Le chanfrein est d'angle constant.La première passe de soudage peut s'effectuer dansles mêmes condit ions d'accès sur toute la périphérie.Dans la plupart des cas, le rapport d/De est si faibleque le traceur peut assimiler la courbe d' intersection àune droite tracée selon la corde de I 'arc l imité par lesgénératrices du contour apparent du pênétrant.

L'épure représente les projections du cyl indre A en f ibres lNT, cecontact, et du fond CRC en fibres EXT.

les premières en

Développement tracé par transformée dela f ibre neutre

sont

r5

ffior Troçoge grophique

æ

| 5.3.3 Ouverture de pénétration

(A) est un piquage cyl indrique pénétrant, sans uslnageparticul ier vis-à-vis de l ' intersection.

Le chanfrein pratiqué sur le pénétré (B) est d'angleconstant.La première passe de soudage peut s'effectuerdans les mêmes condit ions d'accès sur toute lapériphérie.

L'épure gère les fibres EXT du pénétrant (A) et les fibres INT du fond CRC.

r6

^ ^ a i Ê , , n À5 U 5 t L U g d

l ' i n t e r s e c -t ion deI'axe de (A)et du plantP4l.La droite(t4-4), enV-C, appar-t ient auplan [P41.

Les droites (ln-N) sont tracées sur lapart ie sphérique du fond à part ir ducentre (l) de l'ouverture de pénétrationet passent par un système régulier degénératrices (12 divisions de la section(d))

-To l

I

t8rI

La sphère n'est pas une surface dévelop-pable.Le traceur devra intervenir sur le fond, entraçage en I 'air, avec une imprécision relati-ve au rapport d/De.

'| 5 - Intorsections sphère/cylindre

ry

15.3.4 Axe horizontal

L'épure représente le centre {O) de la demi-sphère pour faci l i ter la compréhension.Le point {M) permet de tracer le rayon (O-8) de la sphère sans uti l iser son centre.Le traceur a résolu le problème de l ' intersection en uti l isant des plans horizontaux.

(O-B) est la projection horizontale du rayon de la sphère(O'-8") est la V-C de ce rayon(m") est projeté en (m) pour obtenir les projections frontale et de profil du rayon (g'-M') et(8 . r ' -M .1 ' � )

FB = R-CF8R8 = R-S8Tgcr = F8/R8

lPSl est le plan tangent à la sphère en son point (B).( l) est le point d' intersection de ce plan et de l 'axe du cvl indre

ffi

ffi

r82- Troçoge grophique

tube'Q 7l4.3x9o o

o

Les dimensions nepermettent pas detracer la sphèrequi définit la calot-te du fond CRC.

L'êpure représente les projections du tube et du fond GRC en F-EXT.

F2 = R.cf2R2 = R-s2Tga,2 = F2lR2

, A if,\fk

NZI- j ; l

A

o oo

Cette méthode, simple et rapide, permet au traceur d'examiner chaque gênératrice etson intersection avec le plan tangent à la calotte sphérique du fond CRC.Il peut, en liaison avec les Descriptifs des Modes Opératoires de Soudage de I'entrepri-se, le cas échéant, définir un chanfrein à I ' intêrieur du fond dans la zone comprise entreles points (4) et (8) par exemple

I 5 - Intersoctions sphère/calindre

l ( t I NT€RS€CTIONS TOR€/CVLI N DR€

Sections remarquables du tore

L'épaisseur des sofides :fe vocabufaire

Tangente à la courbed'intersection


| 6.1 Seclols REtvtARouABLES

Le tore est une surface derévolution engendrée parune section circulaire dediamètre tD) , tournantdans un plan perpendicu-laire à un axe, l'équateur,en conservant une distan-ce constante d'une valeur(R) par rapport à cet axe.Un plan méridien d'untore contient son axe et lasection circulaire qui I 'en-gendre.

r - T - /

\ 1 - , 2---r\ t - /

o o

Le tore est couramment employé en chaudronnerie-tuyauterie sous la forme de courbes à souder, port ionsde tore de 45 o, 90 o ou I 80 ' .La norme NF A 49-186 donne les d imensions jusqu 'à :D : 4 1 9 , R : 6 1 0 .Attention: Le traceur doit intégrer les intervalles de tolé-rance qui sont de l 'ordre Dt4 et Rt I 0 pour les grandesdimensions.

/'î--- L'équateur contient une section du toredont les dimensions corresoondent auxvaleurs (Rl et (D)

Un plan paral lèle à l 'équateur contient unesect ion semblable dont les d imensionssont reconnues en projection frontale.

o o

Le cyl indre de révolution est un al l iéinattendu pour déterminer des sectionspropices dans un tore.Les différents diamètres (Dl descylindres déterminent des sections circu-laires concentriques dans le tore.L'axe du cyl indre doit être confonduavec celui du tore.

Une sphère, dont le centre (O)est situé sur I 'axe d'un tore.détermine deux sections circu-laires dans ce tore.

t 85l6 - Intersections torelcylindre -

| 6.2 AxEs pnRnlGus

(A) est un piquage cyl in-drique d'axe vert ical.(B) est une courbe àsouder assimilée à une^ ^ r f i ^ n r l a f ^ r ô C e

90'dont l 'équateur estcontenu dans un planhorizontal.

L'axe du cyl indre estpara l lè le à ce lu i dutore.

II

- t _II

i

La droite (A-BJ est une verticale parallè-le à l 'axe du lore.(B) est le point d' intersection de la droi-te et du tore.1.Le p lan mér id ien IPM] l cont ient ladroite [4, B) et la seclion circulaire dutore où abouiit cette droite. Le rabatte-menl de cette section fournit la valeur(ZP).

2. Le traceur fait passer un cylindre derévolution de rayon (RP) par la droite (4,BJ :

L' intersection de la gênératrice ducontour apparent du cyl indre et de lasection du tore contenue dans le planfrontal [PF] définit la valeur (ZP) et lepoint (b') en projection frontale.

Deux méthodes sont disponibles:

a) À t 'aiOe du plan méridien quiest amene en extrémité de lacourbe à souder par rotation pourdégager l 'épure aux points d' in-tersection.

b) À l 'aiOe des géneratrices ducontour apparent des cyl indresde construction.

L'épure est chargée et les géntrices se superposent à cel les dupiquage à traiter.

1.86I Troçoge grophique

Développement du cglindre, tracé EXT

Y____>

o oo

L'ouverture depénétrat ion dansle tore sera tracéepar contournagedu cy l indre.

o oo

Le traceur a établi le système régulier de gênératrices du cyl indre à part ir du diamètrecontenu dans le plan méridien IPM1]. Cette disposit ion permet d'ut i l iser un minimum decylindres, sauf pour (3) et (9), i ls contiennent chacun deux génératrices.(S1) et (S2) sont deux génératrices supplémentaires en contact avec la part ie la plus éle-vée du tore qui se confond avec l 'axe de giration en projection horizontale.

'| 6 - Intorsoctions tore/cglindre

188I

16.3 Axr pnnnuÈu À (ÉounrEun

(A) est un piquage cylindriqued'axe fronto-horizontal.(B) est une courbe à souder assi-milée à une portion de tore de90'dont l 'équateur est contenudans un plan horizontal.

L'axe du cyl indre est paral lèle âl 'équateur.

La droite (AB) est une horizontale parallèle à l'équateur du tore.(B) est le point d' intersection de la droite et du tore.1. Le traceur material ise un plan horizontal [PHl] contenant la droite (a'-b').2. La section du tore définie par ce plan est reprêsentée en projection horizontale, el le contientle point (b) qui est ensuite projeté en (b').

' I

I

\ l---r--_ I ___/2o o

o

l l est inuti le detracer le cercleintérieur de lasection définiedans le tore.C'est en ce l ieuque sort irait ladroite (A-B).

Troçoge grophique

2

1 5

0 6s1 s2

t L 7

10

O s l 1 1 1 0 I I 7 s 2 6

Déve loppe me nt du cA I i n dre,tracé EXT

6s2

5 7

, [ 8

2 7 0

1 1 1310

*I

+

+ -

/

a UCUn PfODleffiê.'.=.Ë:ff

(S 1 ) et (S2) sont deuxgénératrices supplê-mentaires apparte-nant à I 'équateur dutore.

o o

La courbe d'intersec-t ion, et corol lairementcel le du developpe-ment, presentent unpoint maximum entreles génératrices (4) et(s)La tangente à la cour-hp cn rp no in t êSt

perpendiculaire à I 'axedu cyl indre.La dêtermination decette tangente estlongue et compliquée,la très faible améliora-t ion du trace descourbes ne la justi f iepas.

o o

L'ouverture de péné-tration dans le toresera tracée parcontournage ducylindre.

l6 - lntersections tore/cylindre

| 6.4 Axes coNCouRANTS

IAJ est un piquage cyl indrique.

(B) est une courbe à souder assimi-lée à une port ion de tore de 90'.

Les axes sont concourants en (l).

- t l tt ^I ( B )

-'z-l-..-:- ."

' t \t )

L'axe du cyl indre est contenu dans un plan meridien.Le traceur choisit une projection des solides où ce planméridien est frontal, donc l'axe du cylindre en V-G.l l peut uti l iser des sphères auxil iaires de centre (O) en (l).

Une sphère de centre (O) et derayon (R) dêfinit une section cir-cu la i re (SC1) dans le cy l indre.

La même sphère définit deuxsect ions c i rcu la i res (ST 1 ) e t(ST2) dans le tore.

Les intersections des sections(SC 1 ), (ST 1 ) et (ST2l siruenrdeux points de la courbe d' inter-section des deux solides.

M;F

o

Le plan méridien contientI 'axe et deux gênératricesdu contour apparent ducylindre, et une sectioncirculaire du tore.L' intersection peut êtrerésolue en une seule vuede ce p lan.

Troçoge grophique

Le traceur uti l ise des sphères auxil iaires dont les rayons sont compris entre R maxi, pourlequel la sphère est tangente au tore et définit un cercle de contact (CT), et R mini passant parles intersections des génératrices du contour apparent du cyl indre et de la section circulairedu tore.

I

Sphères (S)Sections tore (ST)

Chaque sphère (S) définitdeux sect ions c i rcu la i res(STJ dans le tore, et une sec-t ion circulaire (SC) dans lecvl indre.

Sections cylindre (SC)

\ l\ l\ |\

_l

-l

o

\ |\ l

\ l\ |\o l

o o

I l est impossib le de t racer lessphères de manière à ce qu'el lesintéressent un système régulier degénératrices du cyl indre.Deux solutions s'offrent au traceur :1. l l établi t le système rêgulier degénératrices, el les aboutissent surdes part ies incertaines de la courbed'intersection, et le développementdu cyl indre est alors très simple.2. l l instal le des géneratrices issuesde chacun des points de construc-t ion de la courbe d' intersection, cequi lui assure la plus haute précision,mais compl ique sensib lement ledéveloppement du cyl indre.

l6 - IntersecÈions tore/calindro

| 6 , 5 .1 Axes paraffèfes - Tangente à la courbe

L'intersection de deux plans ,passe par l ' intersection destraces de même nom.


Règle : La tangente en un point de la courbe d' intersection de deux surfaces est la droite d' in-tersection des plans tangents aux deux surfaces en ce point qui leur est commun.

te à la courbe d'intersection de A et B passant par 2

Plan horizontal de référence

t à la surface B, passant

Trace horizontale de PB


Intersection des traces

PA = plan tangentà la surface A,passant par 2 l l est inuti le de rechercher

Ies intersections des tracesfrontale et horizontale.Une seule suff i t .Le choix peut etre fonctiondes d isposi t ions de l 'épure.

Troçoge grophique

16.5.2 Axes parallèles - Vue en bout de la tangente

Deux droitessont orthogo-nales dansl 'espace siel les se pro-jettent, sur unplan, su ivantun angle de9 0 " , e t q u eI 'une d 'ent reel les est en

Une droite est perpendiculai-re à un plan si el le est ortho-gonale à deux droites nonparallèles de ce plan.[A-B) est une frontale.(C-D) est une horizontale.

La V-G, en O2-Y2-22, de la tan-gente à la courbe en 2, puis savue en bout, en O3-Y3-X5, amè'nent à une projection très inté-ressante des surfaces A et B dupoint de vue du traitement del'épaisseur.

Y

o o

L'épure est t rès dense etréclame de nombreux chan-gements de plans frontaux.

r6 - Inrersecrions rore/carindre

I

o oo

Les rayons (RA)et (RB) sontorthogonaux à latangente.l ls dêfinissent unplan [M-2-N] per-pend icu la i re àcette tangente.

ll suffit de tra-cer la projectionen V-G de ceplan pour obte-nir la vue enbout de la tan-gente.

iI

La rose de situation permet de déterminerimmédiatement les valeurs a.


II

I

i

l6.5.tAxes parallèfes - Épure

(B) est une courbe à souder assimilée à uneportion de tore de 90'.(A) est un piquage cyl indrique d'axe paral lèle àl 'axe du lore.

o oo

Le chanfrein est d'angle constant d'unevaleur de 60 ' .La première passe de soudage peut s'ef-fectuer dans les mêmes condit ions d'ac-cès sur toute la périphérie.

L'épure représente les projections du cyl indre A en f ibres lNT, ce sont les premières encontact. et du tore B en fibres EXT.

Diagramme des V-C

LI

0 1 1 s 1 1 0 I I 7 6

Demi-développement tracé par trans-formée de la fibre neutre

La génératrice (6) n'est pas un axe de symétrie.S1 et 52 sont des génératrices supplémentaires appartenant au plan méridien du tore passantpar l 'axe du cyl indre.Ce sont les génératrices les plus longues.

r95-

lI

n7'*7 ^t-,

%%

ô9

w

l6 - Intersections tore/cglindra

| 6.5.4 Axe équatoriaf

(A) est un piquage cyl indrique d'axe équatorial.

(B) est une courbe à souder assimilée à une port ion detore de 90" .l l n'y a pas d'ouverture de pénétration dans le tore.

,'7

t a t '

r lI Il ,

o oo

Le chanfrein est d'angle constant d'une valeur de45".La première passe de soudage peut s'effectuerdans les mêmes condit ions d'accès sur toute lapériphérie.

Trace frontale de PB

A, passant par 2

= plan tangent à la

II

o oo

L'axe de (A) appartient àl 'êquateur, la droite (M-N)est une frontale en V-C en(m-n').

Plan frontal de réfêrence

La démarche eststr ictement lamême lorsquel 'axe du cyl indre(A) est parallèle àl 'équateur.Mais les droites(M-N) ne sontplus en V-C enprojection fron-ta le .

---i-l -

r96I Troçoga grophique

III

I

I(P' lI

L'épure représente les projections ducontact - et du tore B en fibres EXT.

1 1 1

t o 2

cvlindre A en fibres INT - ce sont les premières en

m 5 . 1 'm 2 . l '

n2.'l'

j,fil t

ii

9 3

8 4

1 5

6

6 7 8 9 1 0 1 1 0

Demi-déveloPPement tracê Partransformée de la fibre neutre

Pour les gênératrices de (3) à (9), la longueur de la fibre EXT est pratiquement égale à

cel le de la f ibre lNT.La di f férence est s i faible que le l raceur peut considérer une tranche perpendiculaire à

lô - Int@rs@ctions tore/calindre

| 6,5.5 Axes concourants - Tangente à fa courbe

-lII

\ |''-{

I

t o Z

(B) est une courbe à souder assimilee à une oor-t ion de tore de 90 ' .(A) est un piquage cyl indrique dont l 'axe estconcourant à celui du tore en (l).

t1 1 '

Plan horizontal de référence

Intersection des

Trace horizontale de PB

Trace frontale de PA

PA : planà Ia surface A,passant par 4

4 .2

ra en V-C

PIan frontal de référence


I

rb en V-G

Le chanfrein est d'angle constant.La première passe de soudage peut s'ef-fectuer dans les mêmes condit ions d'accèssur toute la periphérie.

@

îioçoge grophique

passant par 4à la surface B

L'epure représente les projections du cylindre A en fibres INT - ce sont les premières encontact - el du tore B en fibres EXT.

3 2 1 0 1 1 1 0 9

Demi-développement tracê par transforméede la fibre neutre

'l 6 - Intersections tore/calindre

| 6.5.6 Piquage tangent - Genre cufotte

(A) est un piquage cyl indrique d'axe vert ical, diamètre et éoais-seur sont égaux à ceux de la courbe à souder.(BJ est une courbe â souder assimilée à une port ion de tore de9 0 " .

La configuration propose un assemblage par soudure inté-rieure sur un chanfrein d'angle constant de 60..L'accès est diff ici le et subordonné aux dimensions des élé_ments.

L'épure présente l 'évolution des f ibres INT avecune tranche perpendiculaire à la peau.

Au point (0), i t n'y a qu'un seul ptan [pFOl tan-gent aux deux solides.l l n'est pas possible, dans cette configuration,d'examiner l ' intersection des génératrices enuti l isant Ia tangente à la courbe et la rose desituation (référence aux épures précédentes).

Le traceur peut approcher la solu-t ion en examinant les sect ionscontenues dans les plans méridiensIPM 1 I et [PM2], erc.

g€0I

L'essentiel de la courbe d' in-tersection se concentre surune faible part ie du cyl indre,genératrices (0, 1, 2, 3).

La reproduction des l ignes denaissance de chanfrein à I ' in-térieur des solides n'est pasévidente et reste, de toutefaçon, très imprécise.

Troçoge grophique

I7 L€S RIICcoRD€M€NTS

V| 7 .l l?ncconoEMENT oe 2 sEcloNs coNTENUES DANS DES

l7.l . l Polygone - Cercle

ffi

PL{NS

On demande de :- raccorder les deux sections contenues dans des

plans paral lèles, l 'une est polygonale, l 'autre cir-culaire de cenlre O,

- développer le raccord.

â\l " \Ul lv

Un plan est defini par :

- une droite et un point,- deux droites paral lèles.

Raccorder les deux sections contenues dans des plans oaral lèles.

La méthode se décompose en 5 phases :

o dissocier les élêments de la base polygonale (segments de droites),o appliquer des plans tangents aux deux sections pour definir des surfaces planes,o analyser les surfaces restantes.

I l' phase : le traceur repère les extrémités des segments des droites composant labase polygonale

Zl o

,,-J--.'_r l_r\ " l l\ t /\--,'

Le traceur décompose la base polygo-nale en quatre segments de droites :- segment de droite NP,- segment de droite PR,- segment de droite RS,- segment de droite SN.

l7 - Les roccordemenls

I 2" phase : appliquer des plans tangents aux deux sections

Le plan tangent I P ]est déf in i par lesdeux droites paral-lè les (Dl ) e t (D21.

Le t raceur :- applique un plan t(D1), (D2)1 sur le côtê (NP) de la base polygonale et le fait pivoter jusqu'au

moment où le plan tangente à la section circulaire,- détermine le point de tangence en abaissant du centre O une perpendiculaire à la droite

(D2).

Le point de tangence d est joint aux extrémités np du segment de droite. Ceci définit une sur-face plane (une droite et un pointJ.

Le traceur répète ces opérations autant de fois qu' i l y a de segments de droites sur la basepolygonale.

g02I Troçoge grophique

I 5'phase : analyser les surfaces restantes

p

Les quatre surfaces planes étant définies,il lui reste quatre points à raccorder âquatre arcs de cercle :- N avec l'arc AD,- P avec I 'arc DC,- R avec I 'arc CJ,- S avec l'arc JA.Ces quatre surfaces sont des portions de

r cônes obliques, voir définit ion page 106.

Développer le raccord

- implante les soudures (il est préférable, pour la conformation, de réaliser la pièce en plu-sieurs parties),

- divise chaque arc de cercle en parties égales et trace des gênératrices,- recherche les vraies grandeurs des gênératrices (méthode du triangle rectangle).

l7 - Les roccordemenEæ!s

Développement

N p

Le traceur :- reporte sur une droite la vraie grandeur de

NP,- à part ir du point N, dessine un arc de

cercle de rayon ND,- à part ir de P, dessine un arc de cercle de

rayon PD.l l obtient la surface plane NPD.

Puis :- à part ir de N, i l trace un arc de cercle de

rayon NC (R1) ,- à part ir de D, i l trace un arc de cercle de

rayon r1 égal à la corde cd de la projectionhorizontale.

L' intersection des deux arcs de cercles luidonne le ooint C.

- à part ir de N, i l trace un arc de cercle derayon NC (R2),

- à part ir de C, i l trace un arc de cercle oerayon 12 égal à la corde cb de la projectionhorizontale.

L' intersection des deux arcs de cercles luidonne le ooint B.

- applique la même méthode pour détermi-ner le po int A,

- dessine la courbe passant par les pointsDCBA et contrôle la longueur développee

L D = æ . D 1 4Ensuite i l trace :- du point A un arc de cercle de rayon AM et

du point N un arc de cercle de ravon NM.

Le traceur travail le de la même manière pourdévelopper la part ie opposêe.

l l vérif ie de nouveau la longueur développée :LD = 6 'P12

et indique le sens de mise en forme (TRÈSTMPORTANT).

Tl veut dire : conformer avec le tracé à I'inté-rieur de la pièce.

2UI Troçoge grophique

:'æe++i:'-,' -

| 7 .l .2. Ellipse - Cercf e

On demande de :- raccorder les deux sections contenues dans

des plans paral lèles, I 'une est el l ipt ique,l 'autre circulaire de centre O,

- développer le raccord.

aoaao

La méthode se décompose en cinq phases

diviser I 'el l ipse en part ies égales,appliquer des plans tangents à chacun des points de l 'el l ipse pour obtenir des génératrices,tracer une triangulation en chevrons,rechercher la vraie grandeur des genératrices et des diagonales,développer le raccord.

I l *- et ]" Phages : diviser I'ellipse en parties égales, appliquer un plan tangent aupoint 6 de l'ellipse

- calcule la longueur développée de l lel l ipse, la divise en 12 part ies égales et reporre, parqua,rt, la position des points sur I'ellipse,

- trace une tangente au point 6 de I'ellipse (voir méthode page254), abaisse à cette tan-gente une perpendiculaire issue du point O. La perpendiculaire coupe le cercle au point F.F6 est une génératrice du raccord.

ilIII

ss!,1II

l7 - Las roceordements

I 3" et 4" phases : tracer une triangulation en chevrons, rechercher les waies gran-deurs des génératrices et des diagonales

D E/ l ' . . I/ l \ l

| \ 1 , , '

4 5

Diagramme

Le traceurimplante une tr iangulation en chevrons selon le diagramme ci-dessus,recherche les vraies grandeurs des génératrices et diagonales (methode du tr iangle rec-tangle).

I 5'phase : développer le raccord

Le traceur implante les soudures (i l est préférable, pour la conformation, de réaliser la pièceen plusieurs part ies). lci , le traceur a placé deux soudures, l 'une en Al, l 'autre en C7. On netraitera que d'une seule part ie du developpement.

GI

\ I\ l\ r

7

F

6

B C/ l " I

/ l \ l' | \ 1 ,2 3

- oTl I p l r l îènr ên .v - "- reporte sur une droite la vraie grandeur de la génératrice 1A,- trace :. à part ir de 1, un arc de cercle de rayon Rl égal à la V-C de la diagonale lB,. à part ir de A, un arc de cercle de rayon r1 êgal à la corde ab de la projection horizontale.L' intersection des arcs de cercle lui donne le ooint B.

O ' , dess ine:. à partir de B, un arc de cercle de rayon R2 égal à la V-c de la génératrice 82,. à part ir de 1, un arc de cercle de rayon 12 égal à la corde 1-2 de la projection horizontale.L' intersection des arcs de cercles lui donne le point 2.


développer le raccordI 5" phase (suite) :

(g t. traceur dessine :- à partir de B, un arc de cercle de rayon R3 égal à la V-C

de la diagonale 82,- à partir de 2, un arc de cercle de rayon r3 égal à la corde

2-3 de la projection horizontale.L' intersection des arcs de cercles lui donne le point j .

Développement définitif

A É.nere, z

Le traceur continue ces mêmes opérations jusqu'à l 'obtention du demi-développement.l l joint les points obtenus par des courbes et vérif ie que les longueurs developpees corres-pondent à cel les calculées :- pour le cercle : n . Dl2,- pour l 'el l ipse voir page 239.

ll indique te sens de mise en forme (TRÈS IMPORTANT.I.

CTI : Cintrer Tracé lntérieur

2

o

Ii CTI

l7 - Les roccordements

| 7 .2 l?ncconorMENT DE DEUX sEcnoNs coMENUEs DANs DES pr-ANS coNCouRANrs

17.2.1 Polygone - Cercfe

On demande de

raccorder les deux sections contenues dans desplans concourants, l 'une est polygonale, I 'autrecirculaire de centre O.développer le raccord.

0Deux droites sont concou-rantes dans I 'espace si leurinterseclion se situe sur lamême l igne de rappel dansdeux plans de projection.

Un plan peut être défini pardeux droites concourantes.

Raccorder les deux sections contenues dans des plans concouranrs.


o dissocier les éléments de la base polygonale (segments de droites),. appliquer des plans tangents aux deux sections pour dêfinir des surfaces planes,o analyser les surfaces restantes.

l " phase : dissocier les éléments de la base polygonale:

Z

Le traceur décompose la basepolygonale en quatre segments dedroites :

- segment de droite AB,- segment de droite BC,- segment de droite CD,- segment de droite DA.

::gggn ïroçoge grophique

I 2'phase : appliquer-des plans tangents aux deux sections

Le plan tangent [Pl est definipar les deux droites concou-rantes (Dl )et (D2) .

intersection

X

Le traceur :- appl ique un

moment oùplan [(Dl),(D2)lsur' le côté (AB)de ta base polygonale et le fait pivoter jusqu'auIe plan tangente à la section circulaire {el l ipse en projection horizontale).

Pour déterminer le point de tangence T, le traceur:recherche I ' intersection M des droites (Dl)et (D2) en projection frontale (m'),projette le point M en projection horizontale (m) sur (D1),trace une tangente (D2) à l 'el l ipse à part ir du point m.

Le point de tangence T est joint aux extrémités ab du segment de droite. Ceci définit une sur-face plane (une droite et un point).Le traceur répète ces opêrations autânt de fois qu'il y a de segments de droites sur la basepolygonale, sauf pour les côtés (BC) et (DA) qui sont parallèles à la droite d'intersection desdeux plans. Pour ces droites, le traceur abaisse des perpendiculaires à part ir du centre O auxcôtés considérés.

Par cette méthode i l y a obligation de tracer des tangentes à une el l ipse par un pointextérieur à cel le-ci.

'l 7 - Les roccordemenbs

l 2" phase : appliquer des plans tangents aux deux sections (suite)

Le traceur :- app l i queunp lan t (D1) , (D2) l su r l ecô té (AB)de labasepo lygona lee t l e fa i t p i vo te r j usqu 'au

moment où le plan tangente à la section circulaire.Pour déterminer le point de tangence T, le rraceur :- rabat la section circulaire sur le plan horizontal,- recherche I ' intersection M des droites (D1)et (D2) en projection frontale (m'),- projette le point M en projection horizontale (m) sur (d1),- trace, à part ir du point m, une tangente (d2) à la section circulaire rabattue,- le point est ramené ensuite dans les projections frontale et horizontale.

Le point de tangence T est joint aux extrémités ab du segment de droite. Ceci définit une sur-face plane (une droite et un point).Le traceur répète ces opêrations autant de fois qu' i l y a de segments de droites sur la basepolygonale, sauf pour les côtés (BC) et (DA) qui sont paral lèles à la droite d' intersection desdeux plans. Pour ces droites, le traceur abaisse des perpendiculaires à part ir du centre O auxcôtés considérés.

Troçoge grophiquo

I 5'.phase : anailyser les,sunfaces'rèstantes

0

Les quatre surfacesplanes étant dêfinies, illui reste quatre pointsà raccorder à quatrearcs de cercle :- A avec l 'arc 1-T1,- B avec I 'arc Tl -7,- C avec I'arc 1-12,- D avec I 'arc T2-1.ces quatre surfacessont des portions decônes obl iques (vo i rdêfinit ion page 106).

t l '

a ' /d ' b ' \ c

tt

o1

t2

x

Développer le raccord

traceur :implante les soudures {i l est préférable, pour la conformation, de rêaliser la pidce en plu-sieurs part ies),divise chaque arc de cercle en parties êgales sur la section rabattue,ramène les points dans les projections frontale et horizontale,trace des génératricesrecherche les vraies grandeurs des génératrices (mêthode du triangle rectangle).

A Les différences de cotes changent pour chaque génératrice.

Pour le développement, le traceur procède de la même façon que page 204.

17 - Les roccordements

J 2" phase (autre méthode) : appliquer des plans tangents aux deux sections

Le plan tangent [Pl est defini par lesdeux droites concourantes (D j ) et(D2)

Le traceur a aussi la possibi l i té de construire son épure en inversant les deux bases. La basecirculaire reposant sur le plan horizontal [XOy].

(d2')

Le traceur :- app l i queunp lan t (D l ) , (D2) l su r l ecô té (CB) de labasepo lygona lee t l e fa i t p i vo te r j usqu 'au

moment où le plan tangente à la section circulaire.Pour déterminer le point de tangence T, le traceur :- recherche l ' intersection M des droites (D j)et (D2) en projection frontale (m,),- projette le point M en projection horizontale (m) sur (dl),- trace à part ir du point m une tangente (d2) à la section circulaire.

Le point de tangence T est joint aux extrémités cb du segment de droite. Ceci définit une sur-face plane (une droite et un point).Le traceur répète ces opérations autant de fois qu'il y a de segments de droites sur la basepolygonale, sauf pour les côtés (BF) et (CE) qui sont paral lèles à la droite d' intersection desdeux plans. Pour ces droites, le traceur abaisse des perpendiculaires à part ir du centre o auxcôtés considérés.

2r2r

Par cette méthode, on trace la tangente à un cercle et non à une el l iose.La section circulaire est vue en vraie grandeur (uti le pour le développement).l l n'y a que deux différences de cotes pour l 'ensemble des vraies grandeurs.

Troçoge grophique

On demande de :

raccorder les deux sections circulaires conte-nues dans des plans concourants, respective-ment de centres Ol et 02,développer le raccord.

17.2.2 Cercle - Cercle

Deux droites sont concou-rantes dans l'espace sileur intersection se situesur la même l igne de rap-pel dans deux plans deprojection.Un plan peut être definipar deux droites concou-rantes.

Raccorder les deux sections contenues dans des plans concourants.


o diviser une des deux sections circulaires en parties êgales (gênéralement la plus grande),o appliquer des plans tangents aux deux sections pour définir des génératrices,o développer le raccord par triangulation.

I l'" phase : diviser la plus grande des deux sections circulaires en parties égales

l l

- lI

l7 - Les roccordemenEg,Ë

S 2" phase : appliquer des plans tangents aux deux sections

Le plan tangent [Pl est défini par les deuxdro i tes concourantes (Dl )et [D2) .La jonction des points de tangence F et 6donne une génératrice (une droite est définiepar deux points). Cette génératrice appart ientà tP l .

Le plan tangent [PI estdêfini par les deux droitesconcourantes (Dl ) et (D2)

(d2 ' )

6''o2'

^,, / l \ \ 1,,

o2

l 6 gr\ t / ,

(d2)

X

j

m

Y

Le traceur :- applique un plan t(D1),(D2)l au point F de la section circulaire inférieure et le fait pivoter

jusqu'au moment où le plan tangente à la section circulaire supérieure.Pour déterminer le point de tangence 6, le traceur :- rabat la section circulaire supérieure,- recherche I ' intersection M desdroites (Dl)et (D2) en projection frontale (m'),- projette le point M en projection horizontale (m) sur (Dl),- trace une tangente (D2) à la section circulaire rabattue à part ir du point m.

Le point de tangence 6 est joint au point F. Ceci définit une génératrice.Le traceur répète ces opérations autant de fois qu' i l y a de divisions sur la base circulaire.

1t\/ ; \ Les plans tangents sur la petite base ne donnent pas des divisions égales.

Troçoge grophique

I 5' phase : développer le raccord par triangulation

Eaie grandeurdes diagonales

raie grandeudês génératrices

? lzu l ta t o

I6 g

G F E D C

Les différences de cotes changentpour chaque génératrice.

pour le dêveloppement le traceur applique la méthode de la tr iangulation en chevrons (voir

p a g e s 1 0 8 , 1 0 9 ) .

g

Le traceur contrôle les longueurs dêveloppées des deux bases et indique le sens de mise en

forme.215

l7 - Les roccordaments -f

T8 - t€S CULoTT€S

t 8, t TnÉonÈnaes

On appelle quadrique, toute surface du type :cyl indre,cône,sphère,ellipsorde, paraboloïde, hyperboloide.

On appelle conique, toute surface plane du type :cercle,el l ipse,parabole, hyperbole.

I 1". théorème:Lorsque deux quadrlques (1 ) ont une courbeplane commune [C1] , e l les se coupent su i -vant une deuxième courbe plane [C21. [Ci Iet [C2] sont deux coniques (2).[C2] est vue en raccourci total lorsque lesdeux solides ont leur axe vu en V-C.L' intersection des deux solides A et B est

Y obtenue en joignant I ' intersection des géné,ratr ices de contour apparent.

J 2" théorème :Lorsque deux quadriques ont une base com-mune, el les sont tangentes en deux points Met N qui sont les intersections des deuxlignes d' intersection.Ces l ignes d' intersection sont les coniques[C1] et [C2] vues en raccourci total.

droitesparallèles

( l )

(2)

+

ïroçoge grophique

| 8.2 Appr_lcnnorv (l )

On demande :- de raccorder les cylindres C et D

au cyl indre E par une < culotte >composée des élements A et B.

- de développer les deux éléments.

Remarque: Les axes des deuxsolides sont en V-C.

I l'" phase

Le traceur :- joint les contours apparents des

cylindres C et E pour obtenir l 'elé-ment A,

- joint les contours apparents descylindres D et E pour obtenir l 'élé-ment B,

- prolonge les contours apparentsextêrieurs pour déterminer n',

- joint les points m' et n', intersec-tion des contours apparents de Aet B pour l imiter les sol ides A etB.

J 2" phase

Le traceur :- l imite les sol ides A et B,- développe les deux solides (voir

pages 1 01, 1 08 et I 09) .

gIrl8 - tes culottes f

t 8,3 Appucmoru (2)

On demande :- de raccorder les cyl indres C et D au cyl indre E

par une < culotte > composee des élêments A etB ,

- de développer les deux éléments.

Remarque : Les axes des deux solides sont en V-C.

\ / ' \

\ / '@I - v _II

I l'" phase

Le traceur :- joint les contours apparents des cyl indres C et E pour obtenir l 'élément A,- joint les contours apparents des cyl indres D et E pour obtenir l 'elément B.Le point de concours des génératrices extêrieures ( tombant D en dehors de l 'épure faitun plan horizontal IH] par le point 02'. Ce plan IH] détermine dans le sol ide B une sectionculaire de centre 01 .


( t1 ' )

r f l

J 2" phase

- Le t raceu r fa i t passe runp lan lP l l , dé f i n i pa r lesd ro i tespa ra l l è les (T l )e t (T2 ) , t angen tauxdeux solides A et B qui lui dêterminent le point M (celui-ci est un des points d' intersectiondes l ignes d:intersection, voir 2. théorème page 2l 6).

- Le point N est obtenu par symétrie.- Les points M et N sont projetês en projection frontale (m' et n') et joints au point u' (inter-

section des génératrices de contour apparent intérieur).Remarque: (T2) est la tangente commune aux sections circulaires de centres Ol et 02.

I 3" phase

Le traceur :- l imite les sol ides A et B,- développe les deux solides (voir pages

1 0 1 , 1 0 8 e r 1 0 9 ) .

18 - Les culottes

| 8.4 Appucmoru (3)

On demandecylindres C etune ( culotte Dments A et B.

de raccorderD au cyl indre Ecomposée des

lesparelê-

t - \ / ,

I l'" phase

Le traceur :- joint les contours apparents des cyl indres C et E pour obtenir l 'élément A,- joint les contours apparents des cyl indres D et E pour obtenir l 'élêment B.Le point de concours des génératrices extêrieures ( tombant ) en dehors de l 'épure, le tr- fait passer un plan horizontal [H] par le point 02' . Ce plan [H] détermine dans le sol ide

une.section circulaire de centre 01 .- applique 2 plans tangents aux solides pour déterminer les points M et N.220

I Troçoge grophiquo

IH]

J 2' phase

Le traceur ramène le plan contenant la conique n en bout r (de trace horizontale mn) :- i l implante un nouveau reférentiel 01YlZ1 perpendiculaire à la projection horizontale (mn)

(rappel : un plan est vu < en bout n lorsqu'une droite de ce plan est vue u en bout' ,),- i l projette les centres des bases circulaires (01,05, O4) et construit la nouvelle projection

frontale,- il joint les contours apparents des bases,- i l joint les points (m' 1 , n' 1 ) à la projection u' 1 pour obtenir I ' intersection des deux solides.

\ z 'r \ / t

m ' r / n

l8 - Les culottes

Troisième portie

TRn9RGC PRR CRICUI

I - VRRI€ GRRND€UR D€ LR DRoIT€

I Approche du problème

o Dans le triangle rectangle I :

nous pouvons écrire :

(mnJ ' - ( i n ) , + ( im) ,

r Dans le triangle rectangle 2 :

nous pouvons écrire :

(m' l n '1) ' � : (vn '1 ) ' � + (vm' l ) '

comme (vn' l) : (mn), remplaçons dans la 2"équat ion (vn '1) par (mn), nous obtenons :

(m'1 n' l) ' � : (mn)' � + (vm'l ) ' � ou

( m ' 1 n ' 1 ) ' : { i n ) ' � + ( i m ) ' � + ( v m ' l ) ,

(formule 1)

I Vraie grandeur de la droite

Dans les triangles étudiés :

( im) : éloignement de M - éloignement de I ou ( im) : XM - Xl(in) : situation de N - situation de I ou {tN) : yN - yl(vm'l) : cote de M - cote de V ou [VM) : ZM - ZV

Remplaçons (im), ( in), (vm'l) par leurs valeurs dans la formule 1 :

(m'1n'1)' : (dif férence des situations)' + (différence des éloignements)2 + (différence des cotesl,

ou (m'1 n'�l;' : IYN - Yl)' + (XM - Xl), + (zM - zv),

comme (m'1 n'1) : vraie grandeur de la droite, la formule ordonnée pour calculer la vraie grandeur d'une droi-te (MN) s'écrit :

VG de (MN) = (XN-XM)'� + (YN-YM;, + (ZN -2M1,

224I Troçoge por colcul

Ê:__==

I Application numérique

æ

Une hotte est définie par la figure ci-contre.

On demande de calculer la vraie grandeurde I'arête (UC).

0

Z ' 1 6 0 0

",f--,1 u n

rO

. ' / d ' b ' \ c '

a

o

, ! 0D

l "r--;

d

X1000

I

2400c

Donnêes :X U : I B O O

x c : 2 2 0 0

Y U : 3 0 0 0

Y C : 3 4 0 0

z u : 1 5 0 0

Z C : O

I Application de la formule :

VG de (MN) = (XN - XM)' + (YN -YM)' + (ZN -ZM1z

Remplaçons, dans la formule, M par U et N par C; el le devient :

VG de (UC) = (XC-XU)'� + (YC-YU1' + (ZC-ZUI'

VG de (UC) =

VG de (UC) =

VG de (UC) =

VG de (UC) = 1693

VG de (UC) =\Æ 570 ooo

I - Vroie grondeur de lo drolte

2 INT€RS€cTIoNCVLINDR€ D€ R€VOLUTION/PLRN D€ BOUT

V

226I

Données :

R :H _

c t :

B : 360' / nbre de génératrices (en degrés)P : 2 æ / nbre de génératrices (en radians)1, : position de la soudure

t

X l : R * n * F / 1 8 0 { a n g l e e n d e g r é s ) X l

Yl : Z1 de l 'épure : H - R * cos(p + y) * tano

Troçoge por colcul

: R * p ( a n g l e e n r a d i a n s )


Données :

R : B 0 m mH : 2 4 0 m ma : 3 2 "p : 360" / nbre de génératricesy : 3 0 0 '

Nombre de génératrices : 12Ê - 3 6 0 ' I 1 2 : 3 0 "p variera de 300" à 660' de 30 en 50 desrés

x l : 80 * 3 ,1415921 * 30 . / 180 .

Y1 : Z1 de I ' epu re :240 - 80 * cos (30 ' + 300" ) * t an 52 "

: 4 1 , 9 m m

: r 96,7 mm

X1

Y1

9 - Intersection cylindre de révolution/plon de bout

, INT€RS€cTIoN cYLINDR€/cYuNDR€

Données :

P -

r -

h :a :L :v :ô -

,d\Æ/ 5\ ( e D peut avoir une valeur négative.

I Formules pour les calculs

o Cylindre pénétrant

Variables :

cr : fonction du nombre de gênératrices

p : A c o s ( ( r + c o s a + e ) / R )

228I

Xgd : 2 * n * r * a l 360 ou r * n * c r l jBO (ang le en deg rés )Xgd : r * o (angle en radians)

Ygd : (h - R * sin B + r * sin' * cosy) /sin y(angles en degrés ou en radians)

o Cylindre pénétré (trou de pénétrationJ

X: t : 2 * n * R - B/360 ou R * n* g I 1BO (angle en degrês)

Xt : R * p (angle en radians)

Yt : a + R * s in B * tan (90. -g - ( r * s in a/s iny) (anglesen degrés)Yt : a + R * s in p * tan ( (pr r 2) 'y ) - ( r * s in * /s in y) (angres en radians)

Troçoge por colcul

ffi Application numérique

Données :

R : 5 0r - Z ( \

h : 1 2 0a : 6 0L : 1 6 0

T : 6 0 'e : 1 0

Formules pour les calculs

o Cylindre pénétrant

x l : 2 * 3 , 1 4 1 5 9 2 1 * 3 0 * 3 0 t 3 6 0Y 1 : ( h - R * s i n F + r * s i n c r * c o s y J / s i n yY l : ( i 2 0 - 5 0 * s i n 4 3 , 9 7 l ' + 5 0 * s i n 3 O o

o Cylindre pénétré (trou de pénétration)

Variables :

a , : 5 0 "

B : Acos ((r * coscr + e) / R)B : Acos ( [30 * cos 30" + 10) / 50)p : Acos ( (50 . 0 ,86602 + 10)) / 50)p : 4 3 , 9 7 7 "

X1

Y1* cos 60 " ) / s i n 60 '

X t 1 : 2 * æ * R - p / 5 6 0 x t 1 : 2 * 3 , 1 4 1 5 9 2 1 * 5 0 * 4 3 , 9 7 1 1 3 6 0

Y t l : a + R * s i n B * t a n ( 9 0 " - î - ( r * s i n s / s i n B ) ( a n g l e s e n d e g r ê s )Y t l : 60 + 50 * s in43 ,977o * t an (90 " - 60 . ) , ( 30 * s in 5O ' / s i n 60 . )

1 R 7

1 0 7 . 1

xr l : 38,4

Yt1 : 62,1

2293 - Intersoction cglindre/cylindre -

4 DéV€LoPP€M€NT DU TRoNC D€ CÔN€ D€ RéVoLUTIoN

il Formules de développement

Données: D :

Calcul de I 'angte | : tangente î : Uo t Z

d -

-d t 2) / h) ou ( (R - r ) / h)

n -

t a n i : ( R - r ) / h :

C : R / s i n y :

g : r / s i n y

- ^ ^ Ac [ : 5 b U . S l n T :

â n : â r n

360 x

n : nombre d'élements â,: l-lC l : 2 t C . s i n â n t 2 l : 2 1

C2 : 2 le. s ln ân t 2 l : 21

F : C ( 1 - c o s â l n l 2 J :

f : e ( t - c o s â n / 2 ) :

W : C - ( g . c o s à n t 2 ) :

_ ^t : c o s u n l 2 { C - d :

Troçoge por colcul

t

t

1

1

)

)

)

)

230I

d'où f

c: l- lo :


Formules de développement

Données : D : 3 2 0 0

Calcu l de l 'angle i : tangente i :

d : 2 9 5 0

- d t2) / hJ ou ( (R - r l / h l

0 , 1 5 6 2 5

h : 8 0 0

( ( D t 2

C : R / s i n y : 1 6 0 0 / 0 , 1 5 4 3 7 6 8 8 . .

r a n T :

g : r / s i n y

â : s o o . s i n i :

â n : â r n

(3 200t2) - (2 950t2)800

1 475 / 0 ,15 431 688. ,

n : nombre d'éléments

360 x 0 ,1 54 676 BB

n - ?

C l : 2 t C . s i n â n t 2 l : 2 1 1 0 3 6 4 . s i n 1 3 , 8 9 3 9 1 9 ' l

C 2 : 2 1 e . s i n â n t 2 1 : 2 t 9 5 5 4 . s i n 1 3 , 8 9 3 9 1 9 ' l

F : C (1 - cos àn I 2 ) : 10 364 (1 - cos 15 ,893 919 ' )

f : e (1 - . o r ân l 2 ) : g 554 (9 554 . cos 13 ,893 919 ' )

W : C - ( g . c o s & n l 2 ) : l O 3 6 4 - ( 9 5 5 4 . c o s 1 3 , 8 9 3 9 1 9 ' )

E : c o s à n I 2 ( C - d : c o s 1 5 , 8 9 3 9 1 9 ' . ( 1 0 3 6 4 - 9 5 5 4 )

@l-4 5BB II 3 o 3 l

F-lfToB,

_l

t ? B r l

d'ou i : EBBo 6sr r-".l

L _

É -

o ( :

crfi :

1 0 3 6 4

9 554

55 ,575 611 . . "

2 t , 787 838 . . '

4 - Dêveloppement du tronc de cône de révolution

5 - RNGL€ D€ D€UX DRoIT€S

il Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre algébrique calculé par la relation :+ + + - > / \ - + - >Vl . V2 : lM l l . i l V2 / / . cos (V l ,V2 ) t tV j l l , l l V2 l l : no rmesdesvec teu rs .

Le produit scalaire permet, par exemple, de déterminer l 'angle entre deux droites.

I Formule

ou

On t i re de (1)

+En remplaçant Vl

.->

AB

X B - X A

Y B - Y A

ZB -ZA

r r îe r r :

I RappelLe produit scalaire de deux vecteurs est obtenu par les formules suivantes :

vi . vl : trt r r fi// cos r#l (r)+ - >V1 . v2 : (x ] . x2) + (y1 .y2) + (21 .22) (2)

_Acos (V1 , V2) : - > +

i l v l i l . i l v 2 i l+

. V2 par sa valeur prise dans (2) on obtient :

,4. (,_ > _ ; . , x l . x 2 ) + ( y t . y 2 ) + ( 2 1 . 2 2 )c o s ( V 1 , V 2 ) : -

i l v l i l . i l v 2 i l

+ +v ] . v 2

232I Troçoge por <olcul

I

il Application numérique

- + +

Vl AB

+ +V2 AC

i l v 1 i l : i l A B l :

i l v 1 i l : i l A B 1 1 : @

503030

503050

1 25562

639 1

5

+V 1

+v2

- 5 b

2532

1 3o l

- z J

ilv2 il : il+

ilv2 il : il

A C i l : v ( X C - X A ) ' + ( Y C - Y A ) ' + ( Z C - Z \ Y

: 5 5 , 6 1 4

: 6 7 , 1 9 3

: 0 , 0 6 1 8 1 6

+

AC l l : v (13 ) ' + (6 i ) ' + ( -25 ) '

*\cos (V l ,V2) :

*/\cos (V l ,V2) :

*\cos (V l ,V2) :

(x l . x2) + (y l .y2) + (21 .22)+ +

i l v 1 i l . i l v 2 i l

( - 3 B x 1 3 ) + ( 2 5 x 6 1 ) + ( 3 2 x - 2 5 )

5 5 , 6 1 4 x 6 7 , 1 9 3

{-494) + (1525) + ( -800)

5 5 , 6 1 4 x 6 7 , 1 9 3

-A( v ] , v2 ) : B6 ,4ss 9 .

!

I1;tiù

233 |-

II

7 - Angle de devr droites

(' RNGL€S D€ D€UX PLIîNS

il Rappel

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire au plan contenant les deux premiers.

. + + +

V l A V 2 : W l

+AB

+

W1

X B ' ) ( A : x ]YB -YA : y l7 8 - Z A : z 1

+AC

X C - ) ( A : x 2Y C - Y A : y 27 C - Z A : z 2

y l . 22 - y2 .2121.x2 - 22.x1x1.y2 - x2.y1

x ly lz 1

x2y2z2

I Angle de deux plans

Pour déterminer l 'angle de deux plans, i l suff i t de construire les vecteurs Wt et F2 perpendiculativement à chacun des plans considérés, puis de rechercher l 'angle formé par ces deux vecteurs

rres--+W 1

234I

Différence d'écritureentre produit scalaireet produit vectoriel.

respec-5

et W2.

Troçoge por colcul

t Application

a 'b ' c 'd '

e'h '

I. s o o l ^ Ë|--.------lË

(,

h n

a d

@NN

o h

+EF

+

+ilw2il :

Nous recherchons

-A

Soit à déterminer l 'angle formé par lqlplaq 1 et 2.Le plan 1 sera défilgcar les vecteurs EF et EA, le plan 2 parles vecteurs EA et EH.

Coordonnées des points :Y0

E I

f

èNous al lons donc construire deux vecteursWl

- 3 2 57 5 0500

+ + - - >W l : E A A E F

- 5 5 000

èW1

( 7 5 0 x 0 ) - ( 0 x 5 0 0 )( 5 0 0 x - 5 5 0 ) - ( 0 x - 3 2 5 )( - 3 2 5 x 0 ) - ( 7 5 0 x - 5 5 0 )

( 7 5 0 x 0 ) - ( - 1 1 0 0 x 5 0 0 )( 5 0 0 x 0 ) - { 0 x - 3 2 5 )( - 3 2 5 x - 1 1 0 0 ) - ( 7 5 0 x 0 )

et fr2 respectivement perpendiculai

+ + +W2 : EAAEH

+

HE

0- 2 7 5 0 0 04 1 2 5 0 0

550 0000

357 500

-+

EA+

EA

res aux p lans 1 et 2 .

750s00

01 1 0 0

0

02 7504 125

ou..>

w25 500

05 575

4 957,633

(5 500)' + (O)' � + (3 575)' � : A q R q 7 7 <

+ +

ensuite l 'angle formé par les vecteurs W.l et W2

( 0 x 5 5 0 0 ) + ( - 2 7 5 0 x 0 ) + ( 4 1 2 5 x 3 5 7 5 1cos (wl , w2) :

4 957 ,633 x 6 659,773

-ècos (Wl , W2) : -0 ,453 457 7 . .

+ +

t w l , w 2 ) : 1 1 6 , 9 6 5 '

2356 - Êngles de deux plons I

Angle des deux plans :

7 - CRLCUL D€s LoNGUcURS €T DeS RNGL€SD€S TUYRUTGRKS (l )

I ContratUne ligne de tuyauterie est définie par les points d'épure suivants

On demande de déterminer :

- les longueurs de tubes nécessaires à la fabrication de la l igne,- les angles des courbes à souder, aux points B et C,- l 'angle de décalage (angle de montage) entre les ptans [ABC] et tBCDl.

I Résolution

1. Le préparateur calcule les vraies grandeurs entre les points d'épure AB, BC et CD (voir page 224).

rr is rr :+

l l A B i l : @

r r {c r r -@+

l t c D i l : @

AB et BC

BC et CD

Données:- tube de d iamètre: 88,9 mm- courbe à souder 3dg, rayon de courbure : I 14,5 mm

- 1 0 6 3 m m

: 1 0 1 9 , 8 m m

: 1 1 8 7 , 4 m m

2. Le préparateur uti l ise les produits scalaires (voir pages 232,233) pour calculer les angles entre les tuyau-teries.

,^Angle ABC

,^.Angle BCD

->

CD

-800-700

0

5001 000

400

OU200800600

-200-800-600

OU.'.>

BC

+CB

-8-70

q

t 04

+BA

2

B6

.)-8

236I Troçoge por colcul

OU OU

*Àcos (BA, BC) :

/\cos (BA, BC) :

*Acos (cB, cD) :

(x1 . x2) + (y l . y2) + (21 .22)

i l B A i l . i l B C

( - B x 2 ) + ( - 7 x B ) + ( 0 x 6 )

1 0 , 6 3 x 1 0 , 1 9 8

( 5 x - 2 ) + ( 1 0 x - B ) + ( 4 x - 6 )

(dimensions en dm)

(dimensions en dm)

- *(BA, BC) : 131,62"

3\(cB, cD) : 160,30 '1 0 , 1 9 8 x 1 1 . 8 7 4

3' Le préparateur déduit des longueurs entre points d'épure, les tongueurs des points d'épure aux points detangence.

Longueur AE : AB - EBLongueur FM : BC - (BF + MC)Longueur ND : CD - CN

{

H Calcul de EBtan â

â : , t B O . - r 3 1 , 6 2 " ) r 2 :

E B : 1 1 4 . 5 x t a n 2 4 , 1 g "

A ,., axes des tuyauteries ont étérabattus dans un même olan.

â = (r so. - angre (rlr , t

El = raVon de courbure

\

: E B / E I E B : E t . r a n c ,

2 4 , 1 9 " E t : 1 1 4 , 5 m m

E B = 5 1 , 4 m m

BF = pg = 51 ,4 mm

A E = 1 0 6 3 - S l , 4 = | O l 1 , 6 m mLongueur AE = A B . E B

7 - (olculctos longueurs et ctos ongles des rugourerios (l) ?3h

t Calcul de CN

^ , / \p : (180" - angle BCD) I 2

Le calcul de CN s'effectue de la même façon que pour EB

: (180 ' - 160 ,30 " ) t 2

t a n B : C N / O N^

C N : O N . t a n p

C N : 1 1 4 , 5 x t a n 9 , 8 5 ' : 1 9 , 9 m m

Longueur ND = CD - CN

Longueur FM = BC - (BF + MC)

R _ O Q q , oY

- J , v J

cN : cM : 19 ,9 mm

= | f 8 ' 1 , 4 ' 1 9 , 9 = I 1 6 7 , 5 m m

= | 019,8 - (51,4 + 19,9) = 948,5 mm

ND

FM

4. Le préparateur uti l ise les produits vectoriels (pages 234,235) pour rechercher I 'angle de montage.

+ + +Wl : V1 / \V2

+ + +W2 : V3 /\V2

( - 7 x 6 ) - ( 8 x 0 )( 0 x 2 ) - ( 6 x B )( - 8 x 8 ) - ( 2 x - 7 )

-42

48t r^

C D : V 3

28-2220

+ ...>

A B : V ]-8

1

0

+

--> -+

B C : V 2

z

B6

2I^

+W1

+ +

B C : V 2

+

i lw l i l : 81 ,04

+

ilw2il : 40,84

50+

->

w2( 1 0 x 6 ) - ( 8 x a )( 4 x 2 ] r - ( 6 x 5 )( 5 x 8 ) - ( 2 x 1 0 )

/\+ " >

cos (Wl , W2) :

-a\

Angle de montage = (Wl, W2)

( - 4 2 x 2 8 ) + ( a 8 x - 2 2 ) + ( - 5 0 x 2 0 )

81 ,04 x 40 ,84

+i lw2 i l :w

: - 0 , 9 7 6 5 3 1

=[GeËj

238I

( - 4 2 ) ' � + ( 4 8 ) ' � + ( - 5 0 ) ' �

Troçoge por colcul

8 - CRLCUL D€S LoNGU€URS €T D€S IINGL€SD€S TUVRUT€R|€S (2)

La l igne de tuyauterie peut être réalisée entièrement par cintrage de tube (sans courbe à souder). Dans cecas, le préparateur calcule les longueurs des part ies droites et des part ies cintrées, les addit ionne oourconnaltre la longueur totale ( longueur dêveloppée) de la l igne de tuyauterie.

ffi ContratUne l igne de tuyauterie est définie par les points d'épure suivants :

Donnêes :- tube de diamètre : 88,9 mm- rayon de cintrage : 250 mm

Les données sont identiques au problème précédent sauf pour le rayon de courbure qui est de 250 mm.

Les longueurs entre points d'épure et les angles sont donc identiques :

l l AB l l , : 1 065 mm l lBC l l : 1 019,8 mm i l CD i l : 1 iB7 ,4 mmA n g l e Ê : 1 s j , 0 2 " n n e L e ô : - i o o , s o "

- A n g r e d e d é c a r a g e : j 6 7 , 5 6 .

Le préparateur calcule les longueurs des part ies droites en deduisant des longueurs entre points d'épure, leslongueurs des points d'epure aux points de tangence.

239I * (olcul des longueurs ot des onglos des tuyouteries (9) I

A ,., axes des tuyautenes ontété rabattus dans un même olan

EB : 250 . tan 24,19" E B : 1 1 2 , 3 m m CN : 250 . t an 9 ,85 '

Le préparateur calcule les longueurs des part ies courbes :

c o u r b e E F : 2 5 0 . n . 4 8 , 3 8 / 1 8 0 : 2 1 1 m m c o u r b e M N : 2 5 0 . n .

Le préparateur addit ionne le tout pour connaÎtre la longueur développée :

AE + EF+ FM + MN + ND : 950 ,7 + 211 + 864 .1 + 86 + 1 144 :

A E : 1 0 6 3 - 1 1 2 , 3 : 9 5 0 , 7 m m N D : I 1 8 7 , 4 - 4 3 , 4 : 1 1 4 4 m m F M : t O i g , B - ( 1 i 2 , 3 + 4 2 , 4 )C N :4 ^ :

1 9 , 1 0 1 1 8 0 : 8 6 m m

3 255.8 mm

43,4 mm864,1 mm

Quotrième portie

coîtTRucfl ont GÉomÉrruou ct

I - TRRcés pe P€RPcNDIcULRIR€S

Tracer la médiatr ice d'un segmentde droite.

Élever la perpendiculaire en unpoint C d'une droite (D).'1. définir 2 points A et B à égaledistance du point C.2. le problème revient maintenantau cas prêcédent.

Abaisser une perpendiculaire, àpart ir d'un point F, à une droite(D).

l . du point F, tracer un arc decercle qui coupe la droite (D) en Aet en B.2. le problème revient ensuite auc a s 1 .

tracer une perpendiculaire à l 'extrémité d'une demi_droite.

Méthode: dans un demi-cercle on inscrit toujours un angle droit.

1 . prendre un point quelconque C.2. tracer un arc de cercle de rayonCE qui coupe la demi-droite en F.

3. joindre FC et prolonger pourcouper l 'arc de cercle en M.

4. la droite EM est la perpendicu-laire recherchée.

y c

242I Constructionsgéométriques

Voir page 245

2 - TRRcés pe PRRRLTÈtes

ffiftt

ilil i i

VCONTRAT

100

On demande de t racer une dro i te (D1) para l lè le à ladroite (A,B) à une distance de 100 mm.

CONTRAT

rraÉrHopr100

A B

Le t raceur :- élève des perpendiculaires aux points A et B,- trace à part ir des points A et B des arcs de cercles

de rayon 100 mm. l l obt ient les points C et D.- la droite (C,D) est la droite (D1) recherchée.

On demande de tracer une droite passant par lepoint A et I ' intersection des droites ( Dl ) et ( D2) quise situe hors des l imites de l 'éoure.

(D )

(D1)(D2)

MÉTHODE

Le traceur construit deux paral lèles (D3J, (D4) dontl 'une passe par le point A. Ces paral lèles coupent lesdro i les (Dl )et (D2) en MN etVW. l l t race une d iago-nale (MW) du trapèze obtenu.

Le traceur dessine, à part ir du point A, une paral lèle àla dro i te (Dl ) qu icoupe (MW) en l . De ce point , i l t raceensuite une paral lèle à (D2) qui coupe (VW) en B.La droite (AB) est la solution au problème posé.

243-9 - Trocés de porollèles

-I

éæ€iw'

, -. TflncÉs pc Btss€crntc€s

On demande de tracer la bissectrice.de l 'angle défini par les demi-droites (D1) et (D2), de som-met O.

1 . Tracer un arc de cercle de centre O derayon quelconque, mais suff isamment grand,qui coupe les demi-droites en A et B.

2.Tracer, à part ir de A et de B, descercles de rayon R qui se coupent en

arcs deT.

ohd

.W

o

o

3. La droite (OT) est la bissectrice recher-chée.

Pour tracer la bissectrice à deux droites [D1),(D2) dont l ' intersection < tombe > hors oel 'épure, i l suff i t de tracer deux paral lèles, àégales distances, à ces droites pour obtenir lesommet O. Ensuite le problème revient aucas précédent.244

I Constructions géométriques

4 - TRRcés pe TRNG€NT€S RU

Un angle inscr i t amême valeur que lamoil iê de I 'angle aucentre d'un même arcsous-tendu.

a : p l 2

Donc, dans un demi-cercle, on inscrittoujours un angle droit.

RAPPEL; la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon OA.

Tangentes à un cercle

1 . Passant par un point A situé sur le cercle | 2. Passantpar un point B extérieur au cercle

Tangentes à deux cercles

1. Tangentes extérieures 2. Tangentes intêrieures

2454 - Trocés de tongentes ou cercle I

5 -- RRcCoRD€M€NTS DRoIT€/c€RcL€

on demande de raccorder les droites (Dl)et (D2) par un arc de cercle de ravon R.

(D2)

l.et(D1)

Le traceur construit des paral lèles auxdroites (Dl) et (D2) à une distanceégale à R.L' intersection de ces paral lèles luidonne le centre O de l 'arc de cercle.Les points de tangence T1 et T2 sontobtenus en abaissant, à part ir de O,des perpendiculaires aux droites (D1)er (D2).

Raccorder la droite (D) avec le cercle (C) de centre A et de ravon Rl par un arc de cercle deravon R.

(D)

Le traceur construit une paral lèle à ladroite (D) à une distance egale à R.l l dessine un arc de cercle de centreA et de rayon R2.R 2 : R ] + RL'intersection de la paral lèle et deI 'arc de cercle lui donne le centre Ode I 'arc de raccordement.Le point de tangence Ti est obtenuen abaissant, à part ir de O, la per-pendiculaire à (D). T2 est obtenu enjoignant les centres A et O.

246,I Constru(tions géométriques

On demande de raccordq-ç les cercles,(Çl ').et (C2).respectivement de rayons Rl, R2 et decentresA et B, par un arc de cercle intéÈieUr de ravon RS.

Le traceur dessine, à part ir de A, unarc de cercle de rayon égal àRl + R3, et à part ir de B, un arc decercle de rayon égal à R2 + R3.L' intersection des deux arcs decercles lui donne O centre de l'arcde raccordement.Les points de tangence Tl et T2sont obtenus en joignant les cêntresO à A e t O à B .

Raccorder les cercles (Cl) et (C2) respectivement de rayons Rl, R2 et de centres Ol, 02 parun arc de cercle extérieur de rayon R3.

Le traceur dessine, à part ir de Ol,un arc de cercle de rayon égal àR3 - Rl , et à part ir de 02, un arc decercle de rayon égal à R3 - R2.L' intersection des deux arcs decercles lui donne O5 centre de l 'arcde raccordement.Les points de tangence Tl et T2sont obtenus en joignant les centres0 1 à 0 3 e t 0 2 à 0 5 .

5 - Boccordemenls droiÈe/cercle

(' - TRRCéS PE POLYGON€S NéOULI€RS

VTRTANGLE ÉoulnrÉRRl

a t \_ t _ _

\ l . t

PENTAGONE

248r Constructions géométriques

HEXAGONE

lR,// i \'l

HEPTAGONE

lffi^

OCTOGONE

' 2496 - Trocés de polggones réguliers

-

uFL

I DMSToNS D€ Drlorr€s €N pRRTr€s éGnL€s

on demande de diviser un segment de droite (MN) en cinq part ies égales.

NM

À part ir de M, le traceuroblique ( D) sur laquelle i lquélconques au compas.

dessine une droiteporte cinq divisions

Pour diviser un segment de droite quelconque en part ies égales, i l estméthode des mediatr ices. Lorsque cela n'est pas possible (division en 1 I ,t ies), i l suff i t de se rapprocher d'un mult iple de 2.

Contrat:On demande de diviser un segment AD en quinze part ies égales.

A

Le traceur calcule la quinzième part ie du segment, ajoute la valeurte et partage la longueur totale en seize part ies égales en traçant

Le traceur joint la cinquième division au pointN. l l trace des paral lèles à N5 passant par lesp o i n t s 1 , 2 , 3 , 4 .

p lus a isé d 'u t i l iser la1 3 , 1 5 , 1 7 , e t c . p a r ,

D

trouvée au segment de droi-des médiatr ices.

Le traceur calcule la quinzième part ie du seg-ment, ajoute la valeur trouvée au segment dedroite. l l trace ensuite la mêdiatr ice au seg-ment AE. l l obtient le point B mil ieu du seg-ment AE.

Le traceur recommence l 'opération pour lessegments AB et BE et ainsi de suite jusqu'àl 'obtention des seize divisions. Le segment ADest alors divisé en quinze part ies égales.

e50Ë Constructions géométriquas

8 - TRRCéS ,D,RNGL€S

ffi Tracer un angre de 27,5'

Util isation du rapport tr igonométrique : tangente d'un angle.

Dans un tr iangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le quotient du côté opposé à cetangle sur le côté adjacent.

Exemple :

t a n Â : B c / A B

Le traceur s' impose une valeur AB, mult iple de 1 00, pour faci l i ter les calculs. l l détermrne ainsile côté BC.

B C : A B . t a n Â

Résolution du problème :

Le t raceu rs ' impose AB : 200 (1 )Ensuite le traceur calcule BC et le porteAC, i l obtient l 'angle recherché (3).

Â : a n g l e à t r a c e r

B C : 2 0 0 . t a n 2 1 , 5 o t a n 2 1 , 5 " : 0 , 5 2 0 5 . . . . B C :

I 'extrémité B(2). En joignant

2 0 0 x 0 , 5 2 0 5 . . . . : 1 0 4 , 1

A : 2 1 , 5 "perpendiculairement à

I - Trocés d'onsres lllj'n

lD - TRRcés D'ovRL€s (méEho de de |onse cfe ponier)v

ses deux'axes (AB et CD), par la méthode dite de I 'o anse deTracer un ovale connaissantpanier o.

1. Joindre les extrêmités AAXCS.

et C des deux

3. Tracer la médiatr ice du segment AE. Cettemédiatr ice coupe les deux axes en 02 et OS.02 et O3 sont les centres des arcs de cercresde I 'ovale.

It c

.4- " i\z____Trc

i"

o35. Les deux autres centres et les ooints oetangence sont obtenus par symêtrie.

;2. Enlever à AC, à part ir de C, la différencedes deux demi-axes.

4. Le point de tangence T1 est obtenu engnant les centres O3-O2.

282- Constructions géométriques

Problème résolu

Cnlcur- ou pÉRllrÈrRr D'uN ovALE (rvrÉrHooE DE mrusr or enrulrn)

Donnêes: grand axe : 2a petit axe : 2b

I Formules

t a n c r : b / a (en degrés)

{ât+ b-t + (a - b) {â4-bt + (b-a)R :

2 sin cr 2 c o s c r

Longueur de I 'ovale :

L : I 2 ( R . æ . 2 a ) I 1 8 0 1 + [ 2 ( r . n . 2 ( 9 0 - o ) ) / l 8 0 l


Exemple:

grand axe : 200 mm petit axe - 120 mm

tan o : 60 / 100 : 0,6 ---------------> cr : 30,963 756...'

./r oo, + 6tr + (t oo - 60)R : R : 1 5 2 , 2 m m

2 s in (30,963 756' . . )

./loo, + 6tr + (60 - too)r : r : 44,7 mm

2 cos (30,963 756" . . )

L : t 2 ( 1 5 2 , 2 . n . 2 x 5 0 , 9 6 3 ' . . ) / 1 8 0 ' l + [ 2 . m . 2 ( 9 0 - 3 0 , 9 6 3 " . . ) / 1 8 0 ' l : 5 1 5 , 1

C [ :

r -

253 ]

: l9 - Trocés d'ovoles (méthod@ de l'onse du ponier)

t 0 - TRRcés pe u€LLtPs€V

254I

Méthode des foyers Métho(

L'el l ipse est le l ieu géométrique des points dont lasomme des distances â deux points F1 - F2, nommésfoyers, est constante (égale au grand axe (AB)).L'ellipse est une courbe plane fermée, symetrique parrapport à deux axes perpendiculaires (AB) r (CD)

F l M + F 2 M : A B

Calcul du périmètre d'une ellipse

Les formules qui suivent permettent d'obtenir une longueur approchéeDans ces formules : a : demi-grand axe et b : demi-petit axe.

l . L : 2b .1 ; f dépend du rappor t a / b .

2 .L : P l . f ( a + b ) dans l aque l l e f dépend du rappor t (a - b ) / ( a + b )

Méthode des cercles concentriques

r , 000 3 , 1 4 1 6 1 , 0 9 0 3,284 5 1 , 9 0 0 4,665 7 2,800 6,308 B

r , 0 1 0 3 ,157 3 1 . 1 0 0 5 ,500 5 2 ,000 4,844 2 2,900 6.495 3

1 , 0 2 0 3 , 1 7 3 2 1 ,200 3,462 9 2 , 1 0 0 5 ,024 0 3,000 6,682 4

1 , 0 3 0 5 , 1 B B 9 r , 3 0 0 3,628 2 2,200 5 ,204 9 3 , 1 0 0 6 ,870 1

r , 0 4 0 3 , 2 0 4 1 1 , 4 0 0 3 ,196 1 2,300 5 ,386 B 3,200 7,058 2

1 , 0 5 0 3 ,220 6 1 ,500 2,400 5 ,569 6 3,300 t , 246 9

r , 060 3 ,236 5 r , 6 0 0 4 ,138 6 2,500 3,400 7 ,435 I

1 , 0 7 0 3 ,252 5 1 ,700 4 , 3 1 2 7 2,600 5 ,937 B 5,500 7,625 4

1 , 0 8 0 3,268 s 1 , 8 0 0 4,488 5 2 ,100 6 , 1 2 3 0 3,600 7 , 8 1 5 3

1 , 0 2 2 6 1 , 2 1 6 0

1 ,002 5 1 , 0 4 0 4 1 , 2 7 3 2

1 , 0 r 0 0 1 ,063 5 1 , 1 6 1 B

Constructions géométriquas

Méthode des foYers

Le point est situé sur I 'el l iPse.La tangente extérieure à l'ellipse est labissectrice extérieure de I'angle formepar les deux raYons focaux.

t l

Méthode des cercles concentriques

Le point est situé sur l 'el l iPse.Tc : tangente au cercleTe : tangente à I 'el l iPse

CA : grand axe

Parallèle à une droite extérieure à l 'el l ipse.

255 l1

Par un point extérieur à I 'el l ipse.

l'l - Trocés de tongentes à I'ellipso

I2 - TftIrcéS-D,'ffiics:'Bei€Gff(tss DG CÉNTR€ INRcc€SSIBL€

I Contratïracer un arc de cercle passant par les points (A), (B) et (C).

I Méthode graphique

Point de

la courbe

est variable, àR est quelconque, mais doit être le plus grand possible pour une meil leure précision. r lemployer autant de fois que I'on souhaite de points.L:intersection des droites Al et Cl donne un ooint de la courbe.

I Méthode par calcul, connaissant la corde, la flèche et le rayon

J:

€onstructions géométriques

SURFACES VOLUMES

{tll " l

,T]--J.Ê_j

S = â . b

S = â . b

S = â . b l 2

S = b . h l 2

S = ( B + b l l 2 . h

S = æ . f 2

S = æ . a . b

S = æ . D 2

S = f i 2 . D . d

V = S . l

A

:sV = S . l

V = S ( L + l ) 1 2

v = ( s . h l t 3

S : surface de base

v = ( s . h ) t 3

V = ( æ . D ' ) / 6

V = ( æ ' . D . d ' � ) 1 4

| , dI r--T

ml\ l :r ' .+/l D l

a

b

,rr I-t--,,,(

I

II

S : surface de base ou d'une section normale

CENTRE DE GRAUTÉ

Formuloire

Des f ignes Des volumes

l,e triangle

Le paralléloglamme

h B + 2 bO G = - x -

3 B + b

Le demi-cercle

6 = point d'inter-section des bissec-trices des angles(ABC), (BAC) et(BCA)

OG = 0,636 r

Des surfaces

La pyramide

La demi-sphère

M G = s ' - m ' l 4

m : centre de gravitédu polggone de base

O G = h / 4

G : point d'inter"section des diago-nales

G : point d'inter-section desmédianes

OG = O,424 r

2r . sinaO G =

3a

u en radians

?-t- T*

/-T-\-l'Él-\l'tr\j7l

l\l/l R l

2r sin3 crO G = - x

3 c-sincr . cos<r

a en radians

Le secteur circulaire

260I

La demi-circonférence

Le trapèze

Le tronc de cône

hO G = - x

4

R ' � + 2 R r + 3 r 2

R 2 + R r + 1 2

l--r-!

(2R - h)'

3 R - h

3O G = - x

4

Le se!;ment sphérique

CENTRE DE GRAVITE D'UNE SURFACE OUELCONOUE

Le traceur décompose le poly-gone quelconque (A-B-C-D-E)en 3 triangles (A-B-C), (A-C-D)et (A-D-E) dont il détermineles centres de gravitê en (1),(2) et t5).

l l trace le funiculaire en ff i àpart ir du point polaire IPEen reportant les segments(S1), (S2) et (S3) perpendicu-laires à (O-X) et d'une lon-gueur en rapport avec la sur-face qu' i ls représentent. Lesvaleurs (E et M sont quel-conques.

I l por te para l lè lement lesrayons polaires sur les l ignesde rappel issues des centresde gravité qu' i ls encadrent.

L ' in tersect ion des rayonspolaires extrêmes (X0) et(X3) fournit la position en ffidu centre de gravité du poly-

PX gone.Le tracé est identique pourI'axe [YJ. ll s'agit de la mêmefigure tournée de 90'.

Le traceur peut considérer chaque surfacecomme êtant une masse provoquant uneforce (F) passant par son centre de gravite.La résultante des forces des 3 surfacespasse par le centre de gravité du polygone.

(Sl . X1) + (S2 . X2) + (S5 . X3)

( S 1 + 5 2 + S 5 )

( S l . Y l ) + ( S 2 . Y 2 ) + ( S 3 . Y 3 )

( S 1 + 5 2 + S 3 )

Cette méthode est applicable à tousles cas de figures : sections des profi-lés, etc.

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Le Tracage

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