Le equazioni di primo grado o lineari

Prof. Walter Pugliese

Le identitàDEF.: Un’identità è un’uguaglianza, dove compaiono espressioni letterali, verificata perqualunque valore attribuito alle lettere contenute nelle espressioni.

Un esempio d’identità è la seguente uguaglianza:4𝑎 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏 ' + 3𝑎' − 4𝑏'

L’espressione di sinistra viene detta primo membro, quella di destra secondo membro.

Per stabilire che la precedente uguaglianza sia un’identità occorre eseguire per entrambe leespressioni calcoli indicati e sommare i termini simili..Confrontando quindi i due membri dell’uguaglianza si può affermare che è un’identità poichèessi contengono gli stessi termini:

4𝑎' + 4𝑎𝑏 = 𝑎' + 4𝑎𝑏 + 4𝑏' + 3𝑎' − 4𝑏'

4𝑎' + 4𝑎𝑏 = 4𝑎' + 4𝑎𝑏Osservazione: in generale, se il concetto d’identità viene applicato a espressioni contenentifrazioni algebriche , si deve tener conto che i loro denominatori devono essere diversi da 𝟎.

Le equazioniDEF.: Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni letterali per le quali si cercano i valori da attribuire a una o più lettere che rendono vera l’uguaglianza.

Esempio:L’uguaglianza 3𝑥 + 5 = 𝑥 − 3 non è un’identità, perché esistono valori di 𝑥 per i quali non è verificata: per esempio 𝑥 = −1, 𝑥 = 0, 𝑥 = 0

', …

Si può dimostrare che esiste un solo valore che rende vera l’uguaglianza data; questo valore è il numero −4 .

Le soluzioni di un’equazioneChiameremo soluzioni o radici i valori, da attribuire alle lettere, che rendono uguali il primo e il secondo membro dell’equazione, chiameremo incognite le lettere per le quali cerchiamo le soluzioni.

Risolvere un’equazione significa determinare tutte le soluzioni, cioè tutti valori che verificano l’uguaglianza. Tali valori costituiscono l’insieme delle soluzioni dell’equazione.

Esempio:L’equazione 𝑥' = 4 ha due soluzioni 𝑥 = 2 e 𝑥 = −2 .Infatti 2 ' = 4 e −2 ' = 4

Per verificare se un numero è soluzione, basta sostituirlo e calcolare separatamente i valori del primo e del secondo membro, per controllare se sono uguali.

I diversi tipi di equazioni

Un’equazione può essere:

• Intera se l’incognita è presente soltanto nei numeratori; per esempio: 2

'= 1 + 7𝑥

• Fratta se l’incognita compare in uno o più denominatori nelle frazioni presenti, per esempio: 0

245= 2

6− 1

Considerando le soluzioni, un’equazione è:

• Determinata se ha un numero finito di soluzioni, per esempio: 𝑥 + 5 = 8 ha per soluzione 𝑥 = 3.

• Indeterminata se ha infinite soluzioni, per esempio: 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥 è vera per ogni valore di 𝑥appartenente all’insieme dei numeri reali; in simboli ∀𝑥 ∈ 𝑅.

• Impossibile se non ha soluzioni, per esempio: 𝑥 + 1 = 𝑥 non ha soluzioni perché la somma fra un numero e 1 non può essere uguale al numero stesso.Considerando le lettere un’equazione è:

• Numerica se oltre all’incognita contiene solo numeri; per esempio : 2𝑥 − 5'= 0

52• Letterale se oltre all’incognita contiene altre lettere che non sono incognite, sono coefficienti

chiamati paramatri e possono assumere qualsiasi valore. Per esempio (𝑥 è l’incognita e 𝑎 è il parametro): 5 + 𝑎 𝑥 − 2𝑎 = 𝑎𝑥 + 4𝑥

La forma normale di un’equazione e il suo grado

Ricordiamo che un polinomio 𝑃 è ridotto in forma normale se in esso non compaiono monomi simili fra loro.Se consideriamo quindi il polinomio 𝑃 = 3𝑥' − 2𝑥 + 5 (polinomio ridotto in forma normale) e poniamo 𝑃 = 0, otteniamo un’equazione scritta in forma normale:

3𝑥' − 2𝑥 + 5 = 0.Il grado dell’equazione è il grado del polinomio ridotto, ossia il massimo esponente con cui l’incognita compare nell’equazione in forma normale. L’equazione precedente è dunque un’equazione di secondo grado.

Osservazione:Per il momento noi ci occuperemo soltanto di equazioni di primo grado (dette anche lineari) in una sola incognita (es.: 3𝑥 − 6 = 0).

Le equazioni equivalenti

Consideriamo le equazioni :4𝑥 − 2 = 10 e 4𝑥 = 12

entrambe hanno come unica soluzione 𝑥 = 3. Diciamo che le due equazioni sono equivalenti.

DEF.: Due equazioni definite nello stesso insieme e contenenti le stesse incognite, si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Per risolvere un’equazione cercheremo di trasformarla in equazioni equivalenti, via via più semplici, fino a giungere a un’equazione in cui sia immediato trovare l’insieme delle soluzioni. Le regole di trasformazione di un’equazione in altre equivalenti sono stabilite da due principi, chiamati principi di equivalenza.

Il primo principio di equivalenzaAggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione, definita in un insieme, uno stesso numero o espressione letterale, definiti nello stesso insieme, otteniamo un’equazione equivalente.

Esempio 1:L’equazione 2𝑥 = 6 ha come soluzione 𝑥 = 3.Addizionando a entrambi i membri 5 otteniamo:2𝑥 + 5 = 6 + 5 ossia 2x + 5 = 11la soluzione di questa equazione è 𝑥 = 3, quindi è un’equazione equivalente a quella data.Esempio 2:Le due equazioni x + 3 = 3 e 𝑥 + 3 + 0

2= 3 + 0

2non sono equivalenti, nonostante la seconda sia stata ottenuta aggiungendo ad entrambi i membri della prima la stessa espressione.La prima ha infatti per soluzione x = 0ma tale valore non appartiene all’insieme di esistenza della seconda equazione.

Le applicazioni del primo principio

Il trasporto:Data un’equazione, se ne ottiene una equivalente se sitrasporta un termine da un membro all’altro, cambiandolo disegno.

Esempio:L’equazione

7𝑥 + 2 = 6𝑥 + 1è equivalente all’equazione

7𝑥 = 6𝑥 + 1 − 2.Infatti entrambe le equazioni hanno come soluzione

𝑥 = −1. Il trasporto del termine 2 da sinistra a destra, cambiandolodi segno, corrisponde all’applicazione del primo principiosecondo il quale si è aggiunto il termine −2 ad entrambi imembri della prima equazione.

La cancellazione:Termini uguali presenti in entrambi i membri di un’equazionepossono essere cancellati, ottenendo un’equazioneequivalente.

Esempio:L’equazione

2𝑥 + 9 = 9 + 4è equivalente all’equazione

2𝑥 = 4.Infatti entrambe le equazioni hanno come soluzione

𝑥 = 2. La cancellazione del termine 9 a sinistra e a destra,corrisponde all’applicazione del primo principio secondo ilquale si è aggiunto il termine −9 ad entrambi i membridella prima equazione.

Il secondo principio di equivalenzaMoltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione, definita in un insieme, per uno stessonumero o espressione letterale, definiti nello stesso insieme e diversi da zero, otteniamo un’equazioneequivalente.

Esempio :'5x = 10 ha come soluzione x = 15, perché '

5A 15 = 10.

Moltiplicando i due membri per 3 e otteniamo l’equazione:3 A '

5x = 10 A 3 ossia 2𝑥 = 30

La soluzione di questa equazione è ancora x = 15, quindi è equivalente a quella data.

Osservazione :Non possiamo dividere i membri di un’equazione per 0 perché la divisione per 𝟎 non hasignificato.Potremmo invece moltiplicare entrambi i membri per 𝟎. Prendiamo per esempio l’equazione3𝑥 = 6, che ha come soluzione x = 2. Moltiplichiamo per 0 i due membri:0 A 3𝑥 = 6 A 0 ossia 0 A 𝑥 = 0Questa equazione ha come soluzione tutti i numeri reali. L’equazione ottenuta non è quindiequivalente a quella data.

Le applicazioni del secondo principioSe tutti i termini di un’equazione hanno un fattore numerico in comune (diverso da 0), dividendo tutti termini per quel fattore si ottiene un’equazione equivalente.Esempio:Nell’equazione 3𝑥 + 9 = 24, i termini 3,9 e 24 sono tutti divisibili per 3; pertanto possiamo dividere ciascun termine per 3, ottenendo l’equazione

𝑥 + 3 = 8equivalente a quella data.

Se in un’equazione sono presenti termini con coefficientifrazionari si ottiene un’equazione equivalente a coefficientiinteri riducendo tutti i termini allo stesso denominatore emoltiplicando entrambi i membri per il m.c.m.Esempio:Data l’equazione 2

'= 𝑥 + B

56 è il m.c.m. fra i denominatori che compaiono nei duemembri. Scriviamo i termini con denominatore 6:

3𝑥6=6𝑥 + 10

6Applichiamo il secondo principio moltiplicando i duemembri per 6:

6 A 52C= C2D0E

CA 6

Otteniamo l’equazione equivalente a coefficienti interi:3𝑥 = 6𝑥 + 10

Il cambiamento di segnoCambiando segno a tutti i termini di un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente.Esempio:−3𝑥 + 16 = 4. e 3𝑥 − 16 = −4 sono due equazioni equivalenti.Cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione equivale a moltiplicare i due membri dell’equazione per −1

Le equazioni numeriche intere

Le equazioni numeriche intere sono le equazioni a coefficienti numerici in cui l’incognita non è presente in alcun denominatore

Esempio:12𝑥 − 3 =

15

Osservazione:L’aggettivo “intere” è riferito all’incognita e non ai coefficienti che possono essere frazionari.

Risoluzione di un’equazione numerica intera

Applicando i principi di equivalenza, è sempre possibile trasformare un’equazione di primo grado intera in un’equazione equivalente scritta nella forma

𝒂𝒙 = 𝒃(forma normale di un’equazione di primo grado)

Se 𝑎 ≠ 0, per risolvere un’equazione scritta in questa forma, grazie al secondo principio di equivalenza basta dividere entrambi i membri per il coefficiente di 𝑥 , ottenendo :

𝒙 =𝒃𝒂

(soluzione di un’equazione di primo grado)

Risoluzione di un’equazione numerica interaesempio

Risolviamo l’equazione 4𝑥 − 9 + 𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 𝑥 − 3 ' + 2𝑥 + 5

Svolgiamo i calcoli applicando la regola di cancellazione4𝑥 − 9 + 𝑥' − 1 = 𝑥' − 6𝑥 + 9 + 2𝑥 + 5

4𝑥 − 9 − 1 = −6𝑥 + 9 + 2𝑥 + 5Applichiamo la regola del trasporto, spostando nel primo i membro tutti i termini contenenti l’incognita e nel secondo membro i termini noti. Cambiando segno a ogni termine che viene trasportato da una parte all’altra dell’uguale:

4𝑥 + 6𝑥 − 2𝑥 = 9 + 1 + 9 + 5Sommiamo i termini simili

8𝑥 = 24Siamo giunti a un’equazione di primo grado scritta nella forma 𝒂𝒙 = 𝒃Per risolverla, applichiamo il secondo principio di equivalenza , dividendo i due membri per 8 , cioè per il coefficiente di 𝑥:

J2J= '6

Jossia 𝒙 = 𝟑 che è la soluzione dell’equazione

Le equazioni determinate, indeterminate e impossibili

DeterminataSe 𝑎 ≠ 𝑜 l’equazione ha una sola soluzione

𝑎𝑥𝑎=𝑏𝑎→ 𝒙 =

𝒃𝒂

IndeterminataSe 𝑎 = 𝑜 e 𝑏 = 𝑜 abbiamo 0 A 𝑥 = 0Sostituendo a x un qualunque numero, l’uguaglianza è verificata. Infatti, moltiplicando qualsiasi numero per 0 si ottiene 0. Poiché l’equazione 0 A 𝑥 = 0 ha infinite soluzioni, l’equazione è indeterminata e l’insieme delle soluzioni è 𝑅 (∀𝒙 ∈ 𝑹).

ImpossibileSe Se 𝑎 = 𝑜 e 𝑏 ≠ 𝑜 abbiamo 0 A 𝑥 = 𝑏, con 𝑏 ≠ 𝑜Questa equazione è impossibile, poiché non esiste un numero che, moltiplicato per 0, dia come risultato un numero diverso da 0.L’equazione quindi non ha soluzioni (∄ 𝒙 ∈ 𝑹)

Data un’equazione numerica nella forma 𝒂𝒙 = 𝒃 , a seconda dei valori assunti da 𝒂 e da 𝒃, l’equazione può essere

Le equazioni fratte

Un’equazione è fratta se l’Incognita compare in almeno un denominatore dei suoi termini.

Esempio:2240

= 0240

e 3 + '22D0

= 0 sono equazioni numeriche fratte.

La risoluzione di un’equazione numerica

fratta

Esempio:𝑥 − 1𝑥

=𝑥 − 3𝑥 + 1

Le due frazioni algebriche contenute nell’equazione hanno significato solo se 𝑥 ≠ 0 e 𝑥 + 1 ≠ 0 cioè 𝑥 ≠ −1

𝐶. 𝐸. 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ −1Riduciamo entrambi i membri allo stesso denominatore (m.c.m. dei due denominatori):

𝑥 + 1 𝑥 − 1𝑥 𝑥 + 1

=𝑥 𝑥 − 3𝑥 𝑥 + 1

Moltiplichiamo entrami i membri per il m.c.m. 𝑥 𝑥 + 1 e semplifichiamo:

𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 𝑥 𝑥 − 3Risolviamo l’equazione trovata:

𝑥' − 1 = 𝑥' − 3𝑥3𝑥 = 1

𝑥 =13

La soluzione trovata soddisfa le C.E. , quindi è accettabile e l’equazione è determinata.

In sintesi, per risolvere un equazione numerica fratta dobbiamo:

• Determinare le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche presenti nell’equazione, che hanno incognita al denominatore;

• Portare tutte le frazioni algebriche a denominatore comune;

• Moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per tale denominatore, in modo da ottenere un’equazione intera;

• Calcolare le soluzioni dell’equazione intera;

• Controllare che tali soluzioni siano accettabili, cioè che soddisfino le C.E.: solo le soluzioni accettabili sono soluzioni dell’equazione fratta.

Equazioni fratte indeterminate e impossibili

Esempio 1:Risolviamo l’equazione:

𝑥𝑥 − 1

=1

𝑥 − 1Le due frazioni algebriche contenute nell’equazione hanno significato solo se 𝑥 − 1 ≠ 0 cioè 𝑥 ≠ 1

𝐶. 𝐸. 𝑥 ≠ 1Applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando entrambi i membri per x − 1:

𝑥𝑥 − 1

(𝑥 − 1) =1

𝑥 − 1(𝑥 − 1)

Otteniamo la soluzione:𝑥 = 1

Poiché la soluzione 𝑥 = 1 non soddisfa le C.E., non può essere accettata quindi l’equazione è impossibile.

Esempio 2:solviamo l’equazione:

1 + 𝑥2𝑥 + 4

−1

𝑥' + 2𝑥+𝑥 + 12𝑥

= 1Scomponiamo in fattori, quando possibile, i denominatori:

1 + 𝑥2(𝑥 + 2)

−1

𝑥(𝑥 + 2)+𝑥 + 12𝑥

= 1

𝐶. 𝐸. 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ −2Riduciamo entrambi i membri allo stesso denominatore (m.c.m. dei due denominatori):

𝑥 1 + 𝑥 − 2 + (𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 2𝑥(𝑥 + 2)

=2𝑥(𝑥 + 2) 2𝑥(𝑥 + 2)

Moltiplichiamo entrami i membri per il m.c.m. 2𝑥 𝑥 + 2 e semplifichiamo:

𝑥 1 + 𝑥 − 2 + 𝑥 + 1 𝑥 + 2 = 2𝑥(𝑥 + 2)𝑥' + 𝑥 − 2 + 𝑥' + 2𝑥 + 𝑥 + 2 = 2𝑥' + 4𝑥𝑥' + 𝑥 + 𝑥' + 2𝑥 + 𝑥 − 2𝑥' − 4𝑥 = 0

0𝑥 = 0L’equazione è indeterminata per 𝒙 ≠ 𝟎𝒆𝒙 ≠ −𝟐

Anche le equazioni fratte possono essere determinate, indeterminate o impossibili.

Le equazioni letterali

Le equazioni letterali presentano, oltre all’incognita, una o più lettere, i parametri.

Esempio:L’equazione, nell’incognita 𝑥,

WD0 2'W

= BW X45CX

è letterale intera

In genere, le soluzioni dell’equazione dipendono dai valori attribuiti ai parametri.

La risoluzione di un’equazione letterale interaRisolviamo l’equazione, nell’incognita 𝑥, con parametro 𝑎:

𝑎𝑥 − 3𝑎 = 2𝑥Portiamo al primo membro i termini con l’incognita e al secondo membro gli altri:

𝑎𝑥 − 2𝑥 = 3𝑎Raccogliamo 𝑥 a fattor comune:

𝒂 − 𝟐 𝒙 = 𝟑𝒂(forma normale di un’equazione di primo grado cioè del tipo 𝒂𝒙 = 𝒃)

DISCUSSIONEPrima di dividere i due membri per 𝑎 − 2 dobbiamo porre la condizione:

𝑎 − 2 ≠ 0 ossia 𝒂 ≠ 𝟐In tal caso l’equazione è determinata e la soluzione è:

𝑥 =3𝑎𝑎 − 2

Cioè la soluzione dell’equazione è una funzione di 𝑎 : se 𝑎 = 5, la soluzione è x = 5; se 𝑎 = 3, la soluzione è x = 9 e così via.

Per analizzare il caso 𝒂 = 𝟐 , sostituiamo 2ad 𝑎 nell’equazione 𝑎 − 2 𝑥 = 3𝑎 e troviamo:2 − 2 𝑥 = 3 A 2 → 0𝑥 = 6 → l’equazione è impossibile

CONCLUSIONESe 𝒂 ≠ 𝟐 , l’equazione è determinata e la soluzione è 𝑥 = 5W

W4'Se 𝒂 = 𝟐 , l’equazione è impossibile

La risoluzione di un’equazione letterale frattaUn’equazione letterale fratta ha l’incognita che compare in almeno uno dei denominatori dei suoi termini.Oltre alle eventuali C.E. per parametri presenti nei denominatori, dobbiamo quindi tener conto delle c.e.dovute alla presenza dell’incognita al denominatore.

Esempio:Risolviamo la seguente equazione, nell’incognita 𝑥 e nel parametro 𝑎:

WD0W24W

= 0'W

→ WD0W 240

= 0'W

Determiniamo le C.E. del parametro e dell’incognita:C.E. parametro 𝑎 ≠ 0 C.E. incognita 𝑥 ≠ 1

Riduciamo i due membri allo stesso denominatore (m.c.m.) e applichiamo il secondo principio di equivalenza2(𝑎 + 1)2𝑎(𝑥 − 1)

=𝑥 − 1

2𝑎(𝑥 − 1)2 𝑎 + 1 = 𝑥 − 1𝑥 = 2𝑎 + 2 + 1𝒙 = 𝟐𝒂 + 𝟑

DISCUSSIONE: Osservando le condizioni di esistenza dell’incognita 𝑥 dobbiamo porre:𝑥 ≠ 1→ 2𝑎 + 3≠ 1→ 2𝑎 ≠ −2→ 𝑎 ≠ −1

CONCLUSIONE:• Se 𝑎 = 0 l’equazione perde di significato• Se 𝑎 = −1 l’equazione è impossibile• Se 𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑎 ≠ −1 l’equazione è determinata e la soluzione è 𝑥 = 2𝑎 + 3

Equazioni e problemi

Problema 1:Un mattone pesa un kg più mezzo mattone. Quanto pesa il mattone?

Peso mattone = 𝑥Peso di mezzo mattone= 2

'equazione: 𝒙 = 𝟏 + 𝒙

𝟐

2𝑥2=2 + 𝑥2

2𝑥 = 2 + 𝑥𝒙 = 𝟐

Equazioni e problemiProblema 2 (video su libro):Per natale i nonni prelevano in banca € 1800 per i regali ai nipoti. Dopo pochi giorni, con il 27 % di ciò che è rimasto sul conto, acquistano un’automobile. Nel conto restano € 13286. Quanto c’era prima dei due prelievi? Qual è stata la spesa per l’auto?

Capitale iniziale (prima dei due prelievi) = 𝑥 Primo prelievo = € 1800Ciò che è rimasto sul conto dopo il primo prelievo = 𝑥 − 1800Secondo prelievo = costo auto = 27% di ciò che è rimasto sul conto dopo il primo prelievo = 'Z

0EE𝑥 − 1800

Ciò che resta sul conto dopo i due prelievi= 13286

equazione: 𝒙 − 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟐𝟕𝟏𝟎𝟎

𝒙 − 𝟏𝟖𝟎𝟎 = 𝟏𝟑𝟐𝟖𝟔

𝑥 − 1800 −27100

𝑥 +27100

A 1800 = 13286

𝑥 −27100

𝑥 = 1800 − 486 + 13286100𝑥 − 27𝑥

100=180000 − 48600 + 1328600

10073𝑥 = 1460000

𝑥 =1460000

73𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 (capitale iniziale)

Costo auto = 'Z0EE

𝑥 − 1800 = 'Z0EE

20000 − 1800 = 'Z0EE

18200 = 27 A 182 = 𝟒𝟗𝟏𝟒

Equazioni e problemiEsempio 3:Cerchiamo due numeri naturali tali che la loro somma sia 20 e uno superi il doppio dell’altro di 26.

Primo numero (supponiamo il maggiore)= 𝑥Secondo numero= 20 − 𝑥

equazione: 𝒙 = 𝟐 𝟐𝟎 − 𝒙 + 𝟐𝟔𝑥 = 40 − 2𝑥 + 26𝑥 + 2𝑥 = 663𝑥 = 66

𝒙 = 𝟐𝟐 (primo numero)

Secondo numero = 20 − 𝑥 = 20 − 22 = −𝟐

Poiché il secondo numero non è un numero naturale , come richiesto dal problema, il problema non ammette soluzione ossia è impossibile.

Equazioni e problemiProblema 4:La somma delle lunghezze di due segmenti AB e CD è 41 cm. Il segmento AB supera di 8 cm la metà del segmento CD. Determina la misura dei due segmenti.

𝐴𝐵 = bc'+ 8 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 41

Ponendo 𝐶𝐷 = 𝑥 ledueprecedentirelazionidiventano:

𝐴𝐵 = 2'+ 8 𝐴𝐵 + 𝑥 = 41

Sostituendoilvaloredi𝐴𝐵 ottenutodallaprimarelazionenellaseconda,siottiene:

equazione:𝒙𝟐+ 𝟖 + 𝒙 = 𝟒𝟏

x + 16 + 2x2

=822

3𝑥 = 82 − 163𝑥 = 66

𝑥 =663

𝒙 = 𝟐𝟐 (lunghezzadelsegmento𝑪𝑫)

Lunghezza del segmento 𝑨𝑩: 𝑨𝑩 = 𝒙𝟐+ 𝟖 = 𝟐𝟐

𝟐+ 𝟖 = 𝟏𝟗

Equazioni risolvibili mediante la legge di annullamento del prodotto

La legge di annullamento del prodotto afferma che: Se un prodotto è uguale a zero allora almeno uno dei fattori sarà uguale a zero.

Esempio 1:Risolviamo la seguente equazione:

𝑥 − 4 2𝑥 + 1 = 0L’equazione data è un prodotto uguagliato a 0. Utilizzando la legge di annullamento del prodotto, l’equazione data ha le stesse soluzioni di

𝑥 − 4 = 0 ∨ 2𝑥 + 1 = 0da cui:

𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = −12

Le soluzioni dell’equazione data sono quindi due.

Equazioni risolvibili mediante la legge di annullamento del prodotto

Esempio 2:Risolviamo la seguente equazione:

𝑥6 − 4𝑥5 − 𝑥' + 4𝑥 = 0Scomponiamo in fattori il primo membro dell’equazione. Raccogliamo 𝑥a fattor comune:

𝑥 𝑥5 − 4𝑥' − 𝑥 + 4 = 0Raccogliamo parzialmente:

𝑥 𝑥' 𝑥 − 4 − 1 𝑥 − 4 = 0𝑥 𝑥 − 4 𝑥' − 1 = 0

Scomponiamo 𝑥' − 1 in una somma di due monomi per la loro differenza:𝑥 𝑥 − 4 𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 0

Applichiamo ora la legge di annullamento del prodotto:𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = −1 ∨ 𝑥 = 1

L’equazione data ha quindi quattro soluzioni.