LE CIRCONFERENZELE CIRCONFERENZE

Dato un punto O e un segmento r si dice circonferenza di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano tali che OP=r.

CIRCONFERENZA E CIRCONFERENZA E CERCHIOCERCHIO

Dato un punto O e un segmento r si dice cerchio di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano tali che OP≤r.

TEOREMATEOREMAESISTE UNA SOLA CIRCONFERENZA PASSANTE PER 3 PUNTI NON ESISTE UNA SOLA CIRCONFERENZA PASSANTE PER 3 PUNTI NON

ALLINEATIALLINEATI

DIAMETRI E CORDEDIAMETRI E CORDELa circonferenza ha un centro di simmetria, che è il centro della

circonferenza, e nella figura è indicato con O. Il segmento che ha come estremi due punti della circonferenza è

detto corda. Nella figura il segmento CD è una corda. Se una corda passa per il centro allora è detta diametro. Nella figura

il segmento AB è un diametro.

Teorema

ANGOLI AL CENTROANGOLI AL CENTRO Ognuno degli angoli che ha come lati due raggi è detto angolo al centro. In Ognuno degli angoli che ha come lati due raggi è detto angolo al centro. In

figura COD è figura COD è l’angolo al centrol’angolo al centro. . Le parti della circonferenza delimitate dai due punti C, D appartenenti alla Le parti della circonferenza delimitate dai due punti C, D appartenenti alla

circonferenza è detta circonferenza è detta arcoarco. In figura uno degli archi di circonferenza è . In figura uno degli archi di circonferenza è segnato non tratteggiato, mentre l’altro è segnato tratteggiato. segnato non tratteggiato, mentre l’altro è segnato tratteggiato.

Se come corda si prende un diametro allora l’arco è detto Se come corda si prende un diametro allora l’arco è detto semicirconferenzasemicirconferenza. La parte di cerchio delimitata da un angolo al centro . La parte di cerchio delimitata da un angolo al centro prende il nome di prende il nome di settore circolare.settore circolare.

Osservazione:Osservazione:Ad ogni angolo al centro corrisponde una corda Ad ogni angolo al centro corrisponde una corda e un arco. e un arco. Ad ogni corda corrisponde un angolo al centro e Ad ogni corda corrisponde un angolo al centro e un arco. un arco. Ad ogni arco corrisponde un angolo al centro e Ad ogni arco corrisponde un angolo al centro e una corda. una corda.

POSIZIONI RECIPROCHE TRA POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTA E CIRCONFERENZARETTA E CIRCONFERENZA

Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza minore del raggio si dice che la retta è Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza minore del raggio si dice che la retta è secantesecante. .

In questo caso la retta interseca la circonferenza in due punti. In questo caso la retta interseca la circonferenza in due punti. Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza uguale al raggio si dice che la retta è Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza uguale al raggio si dice che la retta è

tangentetangente. . In questo caso la retta interseca la circonferenza in un punto dettoIn questo caso la retta interseca la circonferenza in un punto detto punto punto di tangenzadi tangenza. .

Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza maggiore del raggio si dice che la retta è Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza maggiore del raggio si dice che la retta è esternaesterna. .

In questo caso la retta non interseca la circonferenza. In questo caso la retta non interseca la circonferenza.

Osservazioni

ANGOLO ALLA ANGOLO ALLA CIRCONFERENZACIRCONFERENZA

Si dice angolo alla circonferenza l’angolo che ha il vertice sulla Si dice angolo alla circonferenza l’angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza oppure uno circonferenza e i due lati secanti la circonferenza oppure uno secante e l’altro tangente. secante e l’altro tangente.

Angolo al centro e angolo Angolo al centro e angolo

alla circonferenza. alla circonferenza.

Due rette secanti passanti per C.Due rette secanti passanti per C.

Angolo al centro e angolo alla Angolo al centro e angolo alla

circonferenza. circonferenza.

Una retta secante e una Una retta secante e una

tangente passanti per C. tangente passanti per C.

TEOREMATEOREMA

In una circonferenza l’angolo al centro è il doppio In una circonferenza l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenzadell’angolo alla circonferenza..

IPOTESI: BOC angolo al centro e BAC angolo alla IPOTESI: BOC angolo al centro e BAC angolo alla circonferenza. circonferenza.

TESI: BOC≅2BAC.TESI: BOC≅2BAC.

TEOREMATEOREMA

O è esterno all’angolo BAC. O è esterno all’angolo BAC.

COD≅2CAD e BOD≅2BAD. COD≅2CAD e BOD≅2BAD.

Da ciò segue che:Da ciò segue che:

BOC≅BOD−COD≅2BAD−2CAD≅2(BAD−CAD)≅2BAC.BOC≅BOD−COD≅2BAD−2CAD≅2(BAD−CAD)≅2BAC.

Corollario

COROLLARIOCOROLLARIO

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti tra loro.

I triangoli inscritti in una circonferenza aventi come lato il diametro sono tutti rettangoli.

POSIZIONI DI DUE POSIZIONI DI DUE CIRCONFERENZECIRCONFERENZE

Circonferenze Esterne Circonferenze Tangenti

EsternamenteCirconferenze Secanti

Circonferenze Tangenti

InternamenteCirconferenze Interne Circonferenze Concentriche

POLIGONI INSCRITTI E POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTICIRCOSCRITTI

Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza.

In questo caso si dice che la circonferenza è circoscritta al

poligono.

Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.

In questo caso si dice che la circonferenza è

inscritta nel poligono.

POLIGONI REGOLARIPOLIGONI REGOLARIUn Un poligono regolarepoligono regolare è un poligono avente tutti i lati e tutti è un poligono avente tutti i lati e tutti

gli angoli congruenti.gli angoli congruenti.Osservazioni: Osservazioni:

• • Tutti i poligoni regolari hanno tanti assi di simmetria quanti sono i loro lati. Tutti i poligoni regolari hanno tanti assi di simmetria quanti sono i loro lati.

• • Tutti i poligoni regolari con un numero pari di lati hanno un centro di simmetria. Tutti i poligoni regolari con un numero pari di lati hanno un centro di simmetria.

• • Tutti i poligoni regolari sono inscrivibili in una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il Tutti i poligoni regolari sono inscrivibili in una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il

centro della circonferenza circoscritta ed è detto centro del poligono regolare. centro della circonferenza circoscritta ed è detto centro del poligono regolare.

• • Tutti i poligoni regolari sono circoscrivibili a una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria Tutti i poligoni regolari sono circoscrivibili a una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria

è il centro della circonferenza inscritta ed è detto centro del poligono regolare. è il centro della circonferenza inscritta ed è detto centro del poligono regolare.

Dato un poligono regolare si considerinoDato un poligono regolare si considerino

la circonferenza inscritta e lala circonferenza inscritta e la

circonferenza circoscritta ad esso. circonferenza circoscritta ad esso.

Il raggio della circonferenza inscritta Il raggio della circonferenza inscritta

è detto è detto apotema del poligono regolareapotema del poligono regolare..

In figura l’apotema del poligono In figura l’apotema del poligono

regolare è il segmento OH. Il raggio dellaregolare è il segmento OH. Il raggio della

circonferenza circoscritta è detto circonferenza circoscritta è detto raggioraggio

del poligono regolaredel poligono regolare. In figura il raggio. In figura il raggio

del poligono regolare è il segmento OE.del poligono regolare è il segmento OE.

LA CIRCONFERENZALA CIRCONFERENZA……In linea generale si ipotizza che l'uso della ruota fosse In linea generale si ipotizza che l'uso della ruota fosse anticipato da quello della slitta, in seguito si inventò il anticipato da quello della slitta, in seguito si inventò il

rotolamento dei pesi su dei tronchi d’albero.rotolamento dei pesi su dei tronchi d’albero.Secondo gli studiosi la ruota fu inventata Secondo gli studiosi la ruota fu inventata

nell'antica Mesopotamia (dai Sumeri) nel V millennio a.C. per nell'antica Mesopotamia (dai Sumeri) nel V millennio a.C. per la lavorazione di vasellame. Gli Inca e altre culture la lavorazione di vasellame. Gli Inca e altre culture

occidentali sembrano essersi avvicinate al concetto di ruota, occidentali sembrano essersi avvicinate al concetto di ruota, che appare in alcuni giocattoli in pietra, senza farne però un che appare in alcuni giocattoli in pietra, senza farne però un uso moderno. La ruota sembra non essere stata conosciuta uso moderno. La ruota sembra non essere stata conosciuta nell‘Africa e in Australia prima del contatto con il resto del nell‘Africa e in Australia prima del contatto con il resto del

mondo.mondo.

Ruota a raggi risalente al 2000 a.C. esposta al Museo Nazionale dell’Iran, a Teheran

……NELLA VITA DI TUTTI I GIORNINELLA VITA DI TUTTI I GIORNI Le circonferenze sono usate nel Le circonferenze sono usate nel

giardinaggio per tracciare archi e cerchi.giardinaggio per tracciare archi e cerchi.

Sono anche usate in architettura nella Sono anche usate in architettura nella sezionesezione

delle colonne e in alcune piazzedelle colonne e in alcune piazze

CIRCONFERENZA NELLO SCICIRCONFERENZA NELLO SCI

Applicando allo sci una pressione descrive una “carvatura” che diminuisce la frenata dello sciatore aumentando la sua velocità di percorrenza

Eratostene e la misura della Eratostene e la misura della circonferenza terrestrecirconferenza terrestre

Eratostene sapeva che  a mezzogiorno del solstizio d'estate il sole è perfettamente alla zenit della città di Assuan. Eratostene  misurò invece l'ombra proiettata da un obelisco, che alla stessa ora dello stesso giorno proiettava ad Alessandria situata a circa 840 km a Nord di Assuan. Verificò quindi che i raggi del sole discostavano dalla verticalità per un cinquantesimo dell'angolo giro, pari a 7,2°.

Eratostene partiva dal presupposto che la distanza del sole fosse tanto grande da far si che i suoi raggi arrivassero praticamente paralleli e che la terra fosse sferica condividendo appieno le teorie di Parmenide di Elea che fu il primo ad affermarlo per iscritto. Per questo motivo la differenza di inclinazione doveva dipendere dalla curvatura della superficie terrestre e quindi il dato ottenuto corrispondeva alla distanza angolare delle due città. Poiché 7,2° corrispondono a 1/50 dell'angolo di 360°, ciò significa anche che la distanza effettiva tra le due città, ritenuta di 5000 stadi, è un cinquantesimo della circonferenza terrestre. Dunque tale circonferenza misura:

50x5000 stadi = 250.000 stadi

La lunghezza media di uno stadio romano  ai tempi di Eratostene corrispondeva a 185,25 metri attuali per cui ne risulterebbe una circonferenza pari a 46.312 km. Ma considerando che l'unità di misura di lunghezza era il piede, (“pes” 29,64 cm), che l'altezza del sole si misurava con le ombre e che non era possibile controllare la differenza di longitudine tra Alessandria e Assuan (quest'ultima leggermente più a Est di Alessandria di circa 3°) si può senz'altro concludere che la misura della Terra ottenuta da Eratostene si avvicinò in modo sconcertante al valore corretto di 46.076 km.

TOMOGRAFIATOMOGRAFIA

Modellizzazione di una sezione di seno::

Le due circonferenze delimitano lo strato di pelle; in rosso abbiamo le vene; in verde una ghiandola; in bordeaux un tumore.

Realizzato daRealizzato da

CARLINI MARCO CARLINI MARCO & &

DI FRANCO MANUELDI FRANCO MANUEL