Abstract — Communication techniques based on multiple-input multiple-output (MIMO) have been heavily exploited in the past decade, in order to obtain high capacity communication systems, aim to dealing with increasing spectrum scarcity scenarios. In this context, the semidefinite relaxation (SDR) signal detection strategy is promising due to its very near-optimal maximum-likelihood (ML) performance combined with polynomial complexity. However, the SDR detector has proved insufficient for systems with high order modulation, exactly where the recent pre-detection technique by lattice reduction (LR) has demonstrated excellent results in terms of performance-complexity. This paper investigates the performance-complexity tradeoff of the SDR detector under high order modulation in uncorrelated MIMO channels aided by lattice reduction technique applied in the pre-detection stage.

Keywords — Semidefinite relaxation (SDR), lattice reduction (LR), MIMO channels, high order modulation, QAM.

I. INTRODUÇÃO necessidade de maior mobilidade aliada às características de altas taxas de transmissão, fizeram com

que novas tecnologias de transmissão/recepção de informação fossem desenvolvidas visando principalmente a otimização dos sistemas de comunicação. Dentro deste cenário, destacam-se técnicas que utilizam eficientemente a combinação de diferentes tipos de diversidade, tais como diversidade espaço-tempo, espaço-tempo-frequência, detecção multiusuário, entre outros [1], [2]. Este trabalho analisa sistemas de comunicação que utilizam a diversidade espacial, ou seja, emprega múltiplas antenas transmissoras e receptoras (MIMO - multiple-input multiple-output). O intuito deste estudo é investigar técnicas de detecção para sistemas MIMO e que atrativas do ponto de vista desempenho e complexidade, tendo em vista sua utilização em futuras gerações da telefonia móvel, tais como a 4,5G, por exemplo.

Atualmente, em sistemas MIMO duas famílias de detectores com boas figuras de mérito desempenho x complexidade têm se destacado: aquela baseada na decodificação esférica (SD - sphere decoding) e aquela família de detectores baseada na relaxação semidefinida (SDR). Se por um lado os detectores SD atingem a mesma solução do detector ML (maximum likelihood), porém com menor complexidade em cenários com relação sinal-ruído (SNR - signal-to-noiseratio) relativamente alta, em contrapartida, estes não se mostram muito eficientes em problemas de grande dimensão, i.e, em constelações de alta ordem, ou ainda em baixa SNR; nestas situações, a complexidade esperada é exponencial [3], i.e., da mesma ordem do detector ótimo ML.

  Este   trabalho   recebeu  apoio   financeiro  da  Fundação  Araucária   (Fundação  de  Amparo  à  Pesquisa  do  Estado  do  Paraná).  

A.  M.  Mussi   é  Professor  Assistente  do   Instituto  Federal  do  Paraná   (IFPR),  Assis  Chateaubriand,  PR,  Brasil,  alex.mussi@ifpr.edu.br  

T.  Abrão  é  Professor  Associado  do  Depto  de  Engenharia  Elétrica  (DEEL)  da  Universidade   Estadual   de   Londrina,   Londrina,   PR,   Brasil,   taufik@uel.br,    abrao@ieee.org  

Por sua vez, detectores SDR apresentam complexidade polinomial associada a desempenhos promissores, o que os tornam bastante atrativos. A estratégia de relaxação semidefinida pode resolver uma série de problemas além daqueles inerentes aos sistemas de comunicação digitais [4], [5]. Na área de telecomunicações, estes detectores foram inicialmente propostos para constelações de baixa ordem, como BPSK (binary phase shift-keying), em ambiente de múltiplo acesso por divisão de código (CDMA) [6], [7]. Porém, recentemente, o interesse de aplicação se voltou para canais MIMO. Inicialmente, a técnica SDR foi proposta para detecção em constelações BPSK/QPSK (quadrature phase shift-keying) [8], [9]. Envidando-se intensos esforços de pesquisa no intuito de se utilizar eficientemente constelações de ordem mais elevadas, tais como a −M QAM ( −M ary quadrature amplitude modulation) de alta ordem ( 16≥M ) surgiram diversos trabalhos. Em [10] propõe-se a detecção de símbolos sujeitos a modulação 16-QAM em canais MIMO. Uma aproximação para o detector proposto em [10] foi desenvolvida em [3], no intuito de se operar com constelações de mais alta ordem, como por exemplo 64-QAM. Adicionalmente, o sistema proposto trouxe um significante aumento de desempenho. Em [11], [12] utilizam-se símbolos 16-QAM e 64-QAM, contudo, são propostos sistemas para qualquer constelação 4q −QAM ( 1q ≥ ). O artigo de [13] traz uma análise teórica do uso do SDR em sistemas MIMO para detecção de sinais −M i QAM em região de baixa SNR.

Recentemente, uma outra técnica tem atraído grande atenção de pesquisadores na área de comunicações digitais; trata-se da técnica de Redução Treliça (LR - lattice reduction) [14]. Esta é aplicada na fase de pré-detecção tendo em vista auxiliar a separação do sinal da interferência mais ruído. A técnica LR tem demonstrado características de baixa complexidade conduzindo a uma melhoria de desempenho do sistema de comunicação quando utilizada em conjunto com qualquer outro método de detecção de sinais.

Em comunicações digitais, a constelação de sinais é geralmente descrita por uma treliça, como as constelações

−M QAM. A técnica LR explora a estrutura desta treliça para a obtenção de uma descrição do sinal a partir de uma base de sinais (quase-)ortogonal de menor dimensão da original, reduzindo assim a complexidade da etapa de detecção dos sinais, acompanhado de uma substancial melhoria de desempenho. Por ser uma estratégia utilizada na fase de pré-detecção, esta pode ser aplicada em conjunto a quaisquer tipo de detector.

Dois algoritmos se destacam para a implementação do esquema redução treliça: o algoritmo LLL, em homenagem ao seus criadores, A. K. Lenstra, H. W. Lenstra e L. Lovász [15], e o algoritmo de Seysen [16]. O algoritmo LLL tem demonstrado maior viabilidade em termos de custo

A.M. Mussi and T. Abrão, Senior Member, IEEE

Lattice-Reduction Aided SDR-MIMO Detector

A

computacional por apresentar complexidade polinomial em qualquer configuração de operação de sistema e de canal [17], sendo por este motivo adotado neste trabalho. O algoritmo LLL gera uma matriz real e unimodular que transforma a matriz dos coeficientes de canal em uma nova matriz equivalente, porém empregando uma base de sinais (vetorial) reduzida e mais próxima da ortogonalidade [18].

Estudos e análises de desempenho recentes de sistemas de comunicação MIMO sugerem que a redução treliça empregada no auxílio à detecção de sinais torna-se interessante quando constelações de alta ordem são utilizadas, pois, alcançam soluções com baixa complexidade computacional [19], [20]. Justamente nestes cenários, com elevadas ordens de modulação (16-QAM, 64-QAM ou até mesmo 256-QAM), o desempenho do detector SDR original mostra-se insatisfatório quando comparado ao detector ótimo ML [10], [21]. Em [22], é sugerida de forma pioneira a utilização da técnica LR na pré-detecção para tratar o problema de canais MIMO sub-determinados. Portanto, o uso do detector SDR-MIMO auxiliado por LR potencialmente constitui uma solução bastante promissora.

Este trabalho desenvolve uma análise do compromisso desempenho-complexidade do método de relaxação semidefinida (SDR) associada à aplicação da redução treliça ao processo de detecção de sinais MIMO. Observe-se que o emprego combinado e eficiente das técnicas LR e SDR na detecção de sinais de comunicação sem fio em canais MIMO tem caráter inovador, sendo esta a principal contribuição deste trabalho. O artigo está dividido em seis partes. Além desta seção introdutória, a Seção II. descreve o modelo de sistema MIMO adotado. Já a Seção III. traz uma revisão da técnica de detecção SDR. A aplicação da técnica LR ao problema de detecção MIMO baseada na relaxação semidefinida é tratada na Seção IV. A Seção V. traz resultados de desempenho, em termos de taxa de erro de símbolo, obtidos via simulações computacionais Monte-Carlo, enquanto que na Seção VI. é analisada a complexidade dos algoritmos de detecção MIMO sob alta ordem de modulação abordados, tendo em vista a obtenção de um quadro comparativo mais justo do compromisso desempenho-complexidade dos métodos de detecção SDR-MIMO.

II. MODELO DE SISTEMA

Considere um sistema MIMO uniusuário com M antenas transmissoras e N antenas receptoras, sendo N M≥ . Após

modulação por amplitude em quadratura de ordem 2p=M , os símbolos M -QAM, de período sT , e definidos por

{ }ms a bj∈ ± ± , com ( /2 1), 1,3, ,2 pa b −= … e

1,2, ,m M= … são demultiplexados em M canais paralelos e transmitidos simultaneamente através das M antenas transmissoras, caracterizando um sistema MIMO com ganho de multiplexação máximo igual a min{ , }M N . O sinal modulado é transmitido e atravessa o canal MIMO sem fio para alcançar cada uma das N antenas receptoras. Denota-se o coeficiente complexo de canal entre a m -ésima antena transmissora e a n -ésima antena receptora por ,n mh .

Considerando um modelo em banda-base de tempo discreto e canal MIMO com desvanecimento Rayleigh plano, o sinal à entrada da n -ésima antena receptora é dado por:

(1) onde nη representa o ruído aditivo branco Gaussiano complexo com média zero e amostras independentes com:

20[ ] s

nMENηγ

= =E

(2)

sendo sE a energia média dos símbolos transmitidos, γ a

SNR média por antena receptora e [·]E o operador esperança estatística. Os sinais recebidos nas N antenas receptoras, (1), são convenientemente reescritos na forma vetorial como:

= +y Hs η (3)

sendo y o vetor recebido 1N × ; H representa a matriz do canal MIMO, dimensão N M× ; s é o vetor dos símbolos transmitidos, dimensão 1M × , e η é o vetor de ruído aditivo branco Gaussiano complexo 1N × . Considerando sinais recebidos em banda-base equivalente, a detecção da informação no lado do receptor pode ser formulada como um problema de otimização combinatória. Assim, a detecção ótima é um problema de otimização combinatória, descrito pela função de máxima verossimilhança (ML), o qual é baseado na minimização da distância Euclidiana entre o sinal recebido e todos os possíveis símbolos-candidatos υ . Assim, o problema ML em cenários MIMO pode ser descrito na forma discreta [23] através de:

I

Q

2ML

{ } ,{ }

minℜ ∈ℑ ∈

= −υυ

s y Hυ$AA

‖ ‖

(4)

sendo {·}ℜ e {·}ℑ os operadores parte real e parte

imaginária do argumento, respectivamente; IA e QA representam o conjunto de valores discretos assumidos pelas componentes em fase e em quadratura da constelação utilizada, respectivamente. Por simplicidade, adota-se neste trabalho modulação −M QAM quadrada, i.e.,

I Q= =A A A .

III. DETECTOR SDR

O detector SDR é baseado na técnica de relaxação convexa de um dado problema, em que este é simplificado através de uma expansão da região de aplicabilidade (feasible set) usando uma relaxação de algumas restrições. A solução estimada para um dado problema é então obtida mapeando-se a solução do problema convexo otimizado no problema real. Isto geralmente é feito através de estratégias simples como a aproximação rank-1 ou técnicas de randomização. Recentemente, foi mostrado na literatura que técnicas de randomização atingem melhores compromissos desempenho × complexidade [5], sendo também comprovado neste trabalho.

A principal motivação para se empregar detector SDR advém do fato deste ser capaz de encontrar soluções próximas ao detector ML, porém em tempo polinomial. Além disso, quando modelado na forma descrita em (1), com amostras de ruído Gaussianos complexos independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) e sob a condição de sobredeterminação ( N M≥ ), o detector SDR pode atingir o mesmo ganho de diversidade do detector ML, i.e., / 2N≈ . Ou seja, na região de alta SNR o detector SDR terá uma probabilidade de erro de símbolo que decai na mesma taxa que o detector ML ótimo [24].

O detector SDR opera mais convenientemente com valores reais, embora tal conversão acarrete a duplicação na dimensão do problema de otimização original. Desta forma, reescrevendo-se (3) em uma descrição de valores reais tem-se:

{ }{ }

{ } { }{ } { }

{ }{ }

{ }{ }

ℜ ℜ −ℑ ℜ ℜ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ℑ ℑ ℜ ℑ ℑ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

y H H s ηy H H s η

Adicionalmente, a partir de (4) pode-se obter uma descrição equivalente do problema de otimização:

2 T T T T2 − = − +y Hυ υ H H υ y Hυ y y‖ ‖

(5)

Uma vez que o último termo de (5) não depende do vetor-

candidato υ , pode-se obter MLs$ equivalentemente como:

MLT T Tmin 2

∈= −

υs υ H Hυ y Hυ$

A

(6)

Ou na forma matricial:

T TT

ML Tmin 1

10∈

⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − ⎣ ⎦⎣ ⎦υ

υH H H ys υ

y H$

A

(7)

Assim, o problema da detecção ML pode ser solucionado resolvendo-se o seguinte problema de otimização combinatório equivalente:

Tmin

s.t. 1, ,2 1ix i M∈ = … +x

x Lx

A `

(8)

T TTT

Tsendo: ; 1

0⎡ ⎤− ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎣ ⎦

H H H yL x υ

y H

Introduzindo-se a variável T=X xx , o problema pode ser re-escrito como:

,

2

min tr( )

s.t. diag( ) ;(2 1,2 1) 1;0;

é rank1.

M M∈+ + =

X xLX

XXXX

A

±

(9)

onde 0X± indica que X é simétrico e positivamente semidefinido.

Observe que o problema de otimização em (8) é ainda não-convexo (característica rank 1 de X [9]) e equivalente ao problema da detecção ML em (6), no sentido de que sabendo-se a solução de um dos problemas, pode-se facilmente calcular a solução para o outro. Infelizmente, ambos constituem

problemas do tipo NP-completo. No entanto, a componente que faz com que o problema em (8) seja muito complexo é mais explícita do que em (6). Sem a restrição rank-1 em X , o problema em (8) seria convexo [9]. A técnica usada no detector SDR baseia-se na relaxação da restrição de rank-1. Desta forma, o problema de otimização é reescrito em sua versão relaxada como:

,min tr( )

s.t. diag( ) ;(2 1,2 1) 1;0.

L LI SM M≥ ≥

+ + =

X xLX

I X IXX±

(10)

sendo 2minL aI a

± ∈=

A; 2maxL aS a

± ∈=

A e I uma matriz-

identidade. Um esquema SDR bastante utilizado em problemas de

detecção de alta ordem, i.e., sob constelações acima de 16-QAM, baseia-se em [3], também denominado SDR com restrições Bound Constrained SDR (BC-SDR) [12]. O detector SDR analisado aqui baseia-se na solução do problema dado em (10). Como este problema é convexo, pode ser resolvido em tempo polinomial, o que é a principal vantagem deste tipo de detector, usando técnicas como o método elipsóide ou método dos pontos interiores (IP). Este método tem se mostrado mais eficiente na solução do problema de detecção relaxado.

Um algoritmo bastante difundido na resolução de (10) sob constelações de baixa ordem (BPSK e QPSK) baseia-se em [4], [9]. No entanto, neste trabalho, para constelações de mais alta ordem 16≥M , fez-se uso do SeDuMi [25], o qual constitui um moderna ferramenta matemática (solver) para programação semidefinida (SDP - semidefinite programming).

Há diversos métodos que mapeiam a solução do problema convexado em uma solução estimada associada ao problema original não-convexo, como por exemplo, a aproximação rank-1 [5], [24] ou técnicas de randomização [5], [10]. Particularmente, a técnica de randomização foi adotada neste trabalho por se tratar de uma forma de aproximação comumente utilizada na literatura, tendo demonstrado bons resultados de desempenho em cenários com elevado número de antenas no transmissor e receptor [5].

A. Randomização: Neste trabalho, utilizou-se um procedimento de

randomização Gaussiana baseado em [10]. O respectivo pseudo-código é descrito no Algoritmo 1.

Na Fig. 1 ilustra-se um diagrama simplificado do sistema MIMO com detecção por relaxação semidefinida, sendo que no bloco "Estratégia de aproximação para solução real", neste trabalho utiliza-se a estratégia de randomização Gaussiana.

ALGORITMO 1 RANDOMIZAÇÃO GAUSSIANA 1. Fatoração de Cholesky na matriz solução de (8):

* T=X U U (11) 2. Seja iu a i-ésima coluna de U 3. Gera-se r como sendo um vetor aleatório

uniformemente distribuído em uma esfera unitária, dimensão (2 1)M + .

4. Determina-se gx como sendo: T

T2 1

slicer , 1, ,2 1i

ig

M

i M+

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

u rxu r

L

(12)

( )slicer · é a aproximação para o valor mais próximo na constelação utilizada.

5. Calcula-se k como sendo: T

g, 1, ,i g gk i S= =x Lx L (13)

6. Repetem-se os passos 3, 4 e 5 por gS vezes.

7. Escolhe-se o vetor gx que minimizou k . 8. Estimativa para os símbolos transmitidos na forma real

é obtida via vetor gx , com exceção da última posição: µ , ,2 1,

ii gs i M= =x L (14)

IV. DETECTOR SDR COM PRÉ-DETECÇÃO POR LR

Emprega-se a técnica LR na fase de pré-detecção MIMO, gerando uma matriz unimodular que multiplicada pela matriz dos coeficientes de canal possibilitará a obtenção de uma matriz de canal transformada cujas colunas resultam mais próximas da condição de ortogonalidade. Isto se deve ao fato da matriz unimodular representar uma base de sinais de menor ordem daquela originalmente contida na matriz de canal. Em seguida, a matriz de canal reduzida é utilizada na detecção por relaxação semidefinida, podendo ser agregada ao SDR uma técnica de estimação de baixíssima complexidade para a

solução do problema não-convexo *x da Fig. 1; por exemplo, a utilização da técnica de busca local (LS).

Esta consequente redução na complexidade para a realização da detecção se deve ao fato de que os sinais recebidos nas N antenas receptoras provenientes das M antenas transmissoras resultam mais separáveis entre si, devido à transformação realizada no bloco de redução treliça, ou seja, os M vetores-coluna da matriz de canal transformada resultam mais próximos da ortogonalidade. O vetor de símbolos estimados é então remapeado a seu domínio original utilizando a inversa da matriz unimodular.

Inicialmente, o vetor de símbolos transmitidos na forma real, s , é transformado utilizando a matriz unimodularT , dimensão 2 2M M× , obtida através do algoritmo LLL, gerando o vetor z :

1−=z T s (15)

Observe-se que sendo T uma matriz unimodular, T e 1−T serão compostas somente por valores inteiros e o

determinante de T é igual a 1 ou 1− . De forma análoga, a matriz dos coeficientes de canal H é

transformada utilizando a matriz unimodular T no intuito de se obter uma matriz H% de base reduzida:

=H HT% (16) Finalmente, o vetor de sinais recebidos na forma real nas

N antenas receptoras resulta, semelhante a (3): 1( )( )−= + = + = +y Hz η HT T s η Hs η%

(17) A função-objetivo do problema de otimização SDR com

redução treliça incorporado (LR-SDR) pode ser descrita como: min t r( )W

JW

(18)

T TTT T

Tcom: ; 1 ;

0⎡ ⎤− ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎣ ⎦

H H H yJ w z W ww

y H

% % %%

Aplicando a decomposição em blocos à matriz W de

posto 1, tem-se:

1,1 1,2

2,1 2,2

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

W WW

W W

(19)

1 T 1 T1,1

11,2

T 1 T2,1

2,2

sendo: ( ) ;

;

( ) ;1.

− −

−

−

=

=

==

W T xx T

W T x

W x TW

O problema de otimização SDR auxiliado por redução

treliça pode ser sintetizado como:

T1,1

2,2

min tr( )

s.t. diag( ) ;1;

0.

L LI S≥ ≥=

WJW

I TW T IWW ±

(20)

A solução convexa *W (e, portanto, *w ) é obtida iterativamente empregando-se o método de Randomização com gS iterações, conforme discutido anteriormente. Assim,

o vetor z pode ser obtido de *w , com exceção da última posição, como:

µ *, 1, ,2i iz w i M= = L (21) Ao final, a solução do problema de detecção original,

composto pelo vetor de símbolos transmitidos estimados, pode ser obtida simplesmente aplicando-se a transformação:

LR-SDRˆ ˆ=s Tz (22) A Fig. 2 ilustra o diagrama simplificado do sistema MIMO

por relaxação semidefinida auxiliado por redução treliça.

Figura 2. Diagrama simplificado do sistema MIMO com detector LR-SDR.

V. RESULTADOS NUMÉRICOS DE SIMULAÇÕES

As simulações realizadas neste trabalho seguem o método Monte Carlo (MCS - Monte Carlo Simulation) [26], [29]. O desempenho do sistema MIMO de alta ordem de modulação foi avaliado operando no modo de ganho de multiplexação sob canais Rayleigh plano empregando-se os dois tipos de detectores SDR, com e sem o auxílio da redução treliça, discutidos na seção anterior. A Tabela I reúne os principais valores dos parâmetros de simulação empregados.

TABELA I. PARÂMETROS DE SIMULAÇÃO UTILIZADOS.

PARÂMETRO VALOR ADOTADO # ANTENAS TX M = 8; 16 # ANTENAS RX N = 8; 16

ORDEM DE MODULAÇÃO M =16; 64; 256 ITERAÇÕES DE RANDOMIZAÇÃO Sg = 300

SNR[dB] SNR = [0; 45] dB REALIZAÇÕES MCS POR PONTO trials = [100; 500]

CANAL RAYLEIGH PLANO DESCORRELACIONADO

A quantidade de iterações do algoritmo de randomização

(Sg) foi adotada a partir do estudo realizado em [26], com resultados numéricos ilustrados na Fig. 3. Esta figura mostra o desempenho do detector SDR clássico comparado ao detector MIMO clássico V-BLAST (vertical Bell laboratories layered space-time) [27]. Conclui-se que a quantidade de iterações necessárias para convergência do algoritmo de randomização é diretamente relacionada ao número de antenas transmissoras e receptoras. A quantidade de Sg=300 iterações nas simulações foi adotada como uma margem de segurança, para adequação a todos cenários de simulação propostos no presente trabalho.

A Fig. 4 traz o desempenho em termos de taxa de erro de símbolo (SER - symbol error rate) para os detectores SDR clássico e o LR-SDR proposto com modulação 16-QAM. Foram utilizadas 300 iterações no algoritmo de randomização por amostras Gaussianas em ambos detectores. Nota-se que para esta ordem de modulação, a aplicação da técnica LR auxiliando o detector SDR não trouxe significativa melhora no desempenho.

Figura 3. Estudo do número de iterações necessárias para a convergência do algoritmo de randomização aplicado ao detector SDR, com SNRdB = 14dB.

Figura 4. Desempenho SER para os detectores SDR e LR-SDR com modulação 16-QAM.

No entanto, a aplicação da técnica LR-SDR na detecção de símbolos de ordens de modulação superiores traz um ganho de desempenho em relação à técnica SDR convencional saliente à medida que M é incrementado, especialmente na região de médio e alto SNR. Observe-se a melhoria no ganho de desempenho do LR-SDR da Fig. 5 para ordem de modulação mais elevada, 64-QAM. Assim, para esta ordem de modulação, o uso da técnica de LR auxiliando o detector SDR trouxe significativa melhoria no desempenho SER na região de alta SNR, i.e., acima de 25dB. Percebe-se que o aumento da ordem de modulação de 16-QAM para 64-QAM resultou em melhoria do desempenho, corroborando a eficácia da aplicação da técnica LR na redução da interferência inter-antenas, bem como os resultados obtidos para outros tipos detectores [19], [20].

Finalmente, a Fig. 6 apresenta o desempenho MCS para os detectores SDR e o LR-SDR com modulação 256-QAM. Sob elevada alta ordem de modulação, o uso da técnica de LR auxiliando o detector SDR trouxe melhoria ainda maior no desempenho SER nas regiões de média de alta SNR.

Portanto, o ganho de desempenho atingível pelo LR-SDR sobre a técnica de detecção quase-ótima SDR em canais MIMO é progressivamente maior à medida que a ordem de modulação M cresce, às custas de um moderado incremento

na complexidade introduzido pela etapa de redução treliça (matriz de transformação T ) aplicada no transmissor e receptor, Fig. 2. A próxima seção discute o incremento de complexidade introduzida pela etapa LR e mostra que há uma melhoria no compromisso desempenho-complexidade obtida com o LR-SDR sobre a técnica de detecção SDR MIMO convencional.

Figura 5. Desempenho SER para os detectores SDR e LR-SDR com modulação 64-QAM.

Figura 6. Desempenho SER para os detectores SDR e LR-SDR com modulação 256-QAM.

VI. ANÁLISE DE COMPLEXIDADE

A análise de complexidade desta seção é quantificada em termos do número de operações matemáticas reais. Considera-se aqui que uma "operação real", equivale à complexidade de uma multiplicação, divisão, adição ou subtração real. Todos os números complexos e outras operações são transformadas ou aproximadas, considerando estas quatro operações reais básicas. Assume-se que uma multiplicação e divisão complexas equivalem, respectivamente, a seis e onze operações reais. Cada adição ou subtração complexa equivale a duas operações reais [30].

Para o cálculo de autovalores e autovetores foi utilizada a função "dsyev" do LAPACK [31], por ser um algoritmo amplamente utilizado na literatura, com bons resultados no cálculo de autovalores e autovetores de uma matriz simétrica

real. Para a geração de distribuições uniformes, utilizou-se o método congruencial [29].

Foram analisadas as complexidades computacionais dos algoritmos SDR clássico e do LR-SDR proposto, em termos das quantidades de operações reais, ambos utilizando randomização Gaussiana com gS iterações e M N= ; as complexidades estão sintetizadas na Tabela II. Importante notar que a ordem da constelação não interfere na complexidade de ambos algoritmos. Esta característica é proveniente da adoção neste trabalho do algoritmo Bound Constrained SDR [3], [12].

TABELA II. COMPLEXIDADE DOS DETECTORES MIMO SDR E LR-

SDR. DETECTOR MIMO OPERAÇÕES REAIS

SDR CLÁSSICO + RANDOMIZAÇÃO

16 383 212 2

3 3M M M+ + +

( )28 26 10 . gM M S+ + +

LR-SDR + RANDOMIZAÇÃO

18 433 241 1

3 3M M M+ + −

( )28 26 10 . gM M S+ + +

Observe-se na Fig. 7 que o incremento na complexidade do

detector LR-SDR proposto em relação ao SDR clássico é marginal com o aumento do número de antenas transmissoras-receptoras, M . Ambos detectores apresentam uma complexidade polinomial cúbica, 3( )MO . Com os coeficientes polinomiais apresentados na Tabela II e sob mesmo número de randomizações gS , a complexidade para

ambos os detectores SDRs é praticamente indistinguível até cerca de 10M = antenas. Sendo que uma diferença marginal na complexidade aparece apenas quando 15M > .

Figura 7. Complexidade em termos de operações reais para os algoritmos

de detecção MIMO SDR e LR-SDR proposto considerando Sg = 300 randomizações.

Se consideramos uma situação com M = N = 20 e Sg = 300, de acordo Tabela II, chega-se a uma quantidade de

aproximadamente 1,17.106 operações reais com o detector “SDR Clássico + Randomização”, enquanto que 1,18.106 operações reais são necessárias quando o detector “LR-SDR + Randomização” é empregado, ou seja, um acréscimo apenas marginal na complexidade devido a inclusão da etapa LR. Estas seriam as quantidades de operações reais mínimas necessárias por tempo de símbolo detectado.

VII. CONCLUSÕES

A proposição do detector SDR MIMO auxiliado por LR na pré-detecção foi analisada e o ganho do compromisso desempenho-complexidade em relação ao detector SDR MIMO clássico explicitado. A formulação do problema e sua implementação resultaram em figuras de mérito que corroboraram as vantagens expostas na literatura com a utilização do LR na pré-detecção.

Para constelações 16-QAM, a melhoria de desempenho em termos de SER do LR-SDR em relação ao SDR foi marginal. No entanto, à medida que a ordem da constelação cresce, o gap no ganho de desempenho é incrementado, com custo zero no aumento de complexidade. Assim, para constelações 64-QAM, a melhoria de desempenho do LR-SDR face ao SDR torna-se significativa em regiões de alta SNR. Para constelações 256-QAM, o LR-SDR mostrou progressivo ganho de desempenho com complexidade constante, caracterizado por expressiva melhoria de desempenho nas regiões de média e alta SNR em relação ao SDR clássico. Estimadores de parâmetros de canal usualmente requerem altos valores de SNR [32]. Desta forma, o uso combinado de um estimador de canal com a detecção por relaxação semidefinida auxiliado por redução treliça pode aliar bons resultados tanto na etapa de estimação de canal quanto na etapa de detecção de sinais.

A análise de complexidade demonstrou que o uso da técnica LR na pré-detecção não resultou em aumento de complexidade relevante em relação ao SDR MIMO clássico. O detector LR-SDR também apresenta complexidade polinomial de ordem cúbica, com um aumento considerável no coeficiente de segunda ordem.

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Alex Miyamoto Mussi é mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Londrina, PR. Possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Londrina (2010). Atualmente, é professor do ensino básico, técnico e tecnológico do Instituto Federal do Paraná - Câmpus Assis Chateaubriand. Tem experiência na área de Engenharia Elétrica. Atua principalmente nos seguintes temas: DS/CDMA, Detectores Multiusuário, Telecomunicações. CV-Lattes: http://lattes.cnpq.br/2680855556705824 Taufik Abrão (IEEE Member' 97) received his B. S., M. Sc. and Ph. D., all in Electrical Engineering, from the Polytechnic School of the University of São Paulo (EPUSP), Brazil, in 1992, 1996, and 2001, respectively. He is currently an Associate Professor at the Electrical Engineering Department of the State University of Londrina (UEL), Brazil. In 2007 and 2008, he was a visiting professor at the Department of Signal Theory and Communications of the Polytechnic University of Catalonia (TSC/UPC), Barcelona, Spain. His research interests include multi-user detection, MC-CDMA and MIMO systems, resource allocation, heuristic and convex optimization aspects of MC-CDMA systems, and 4G systems. He is the author or co-author of more than a hundred research papers published in specialized periodicals and symposia. http://www.uel.br/pessoal/taufik/ and http://lattes.cnpq.br/8709809037223235