Las Matrices
25
Introducción En este trabajo que plasmare a continuación tratare lo que son Las matrices, tipos y su uso en las ingenierías y en las ciencias computarizadas. En las más diversas disciplinas, como la Física, la Ingeniería, la economía, la psicología o la administración, una gran cantidad de problemas que requieren del uso de muchas variables no podrían ser delimitados, planeados y resueltos por la notación simbólica del álgebra tradicional a causa de los pocos alcances que ésta otorga. La escritura matricial por su agilidad, brevedad y precisión suple esta deficiencia. Las matrices tienen diversas aplicaciones en la ingeniería civil por ejemplo en el cálculo estructural para analizar la capacidad de carga y el diseño de elementos; en ingeniería de tránsito para generar matrices de información en la planificación de transporte y aforos vehiculares; en topografía para realizar resúmenes de datos y cuadricular terrenos para curvas de nivel; en
-
Upload
santa-de-la-cruz -
Category
Documents
-
view
214 -
download
0
description
me gusta esta pagina pues permite el intercambio de información de calidad
Transcript of Las Matrices
Introducción
En este trabajo que plasmare a continuación tratare lo que son Las matrices,
tipos y su uso en las ingenierías y en las ciencias computarizadas.
En las más diversas disciplinas, como la Física, la Ingeniería, la economía,
la psicología o la administración, una gran cantidad de problemas que
requieren del uso de muchas variables no podrían ser delimitados,
planeados y resueltos por la notación simbólica del álgebra tradicional a
causa de los pocos alcances que ésta otorga. La escritura matricial por
su agilidad, brevedad y precisión suple esta deficiencia.
Las matrices tienen diversas aplicaciones en la ingeniería civil por ejemplo
en el cálculo estructural para analizar la capacidad de carga y el diseño de
elementos; en ingeniería de tránsito para generar matrices de información
en la planificación de transporte y aforos vehiculares; en topografía para
realizar resúmenes de datos y cuadricular terrenos para curvas de nivel; en
dibujo asistido por computadora en el software Autocad; en estática para
resolver problemas de equilibrio en el espacio en 3D con operaciones
vectoriales; en hidráulica para hacer referencias del estudio de la pérdida de
energía por accesorios (circuito cerrado) y en el análisis, diseño y
distribución de caudales para la población; en análisis numérico para
resolver sistemas de ecuaciones lineales.
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte
esencial donde los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los
datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y
columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc.
MATRICES
Matrices origen y usos
La teoría de matrices, introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en
campos diversos como el control de inventarios en las fabricas; teoría
cuántica, en física; análisis de costos en transportes y de otras industrias;
problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos, en
sicología y sociología.
Matrices
Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre
paréntesis, cuadrados o líneas dobles.
0 1 2 , 1 0 4 , [1 , 2]
-1 4 3 0 3
Una matriz se representa mayormente por paréntesis o corchetes.
En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o
más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que
pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir
sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes
de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios
parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que
también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
TIPOS DE MATRICES
Tipo de matriz Definición Ejemplo
FILA
Aquella matriz
que tiene una
sola fila,
siendo su
orden 1×n
COLUMNA
Aquella matriz
que tiene una
sola columna,
siendo su
orden m×1
RECTANGULA
R
Aquella matriz
que tiene
distinto
número de filas
que de
columnas,
siendo su
orden m×n ,
TRASPUESTA
Dada una
matriz A, se
llama
traspuesta de A
a la matriz que
se obtiene
cambiando
ordenadamente
las filas por las
columnas.
Se representa
por At ó AT
OPUESTA
La matriz
opuesta de una
dada es la que
resulta de
sustituir cada
elemento por
su opuesto. La
opuesta de A
es -A.
NULA Si todos sus
elementos son
cero. También
se denomina
matriz cero y
se denota por
0m×n
CUADRADA
Aquella matriz
que tiene igual
número de filas
que de
columnas, m =
n, diciendose
que la matriz
es de orden n.
Diagonal
principal : son
los elementos
a11 , a22 , ..., ann
Diagonal
secundaria :
son los
elementos aij
con i+j = n+1
Traza de una
matriz
cuadrada : es la
suma de los
elementos de la
diagonal
principal tr A.
Diagonal principal :
Diagonal secundaria :
SIMÉTRICA
Es una matriz
cuadrada que
es igual a su
traspuesta.
A = At , aij = aji
ANTISIMÉTRIC
A
Es una matriz
cuadrada que
es igual a la
opuesta de su
traspuesta.
A = -At , aij = -
aji
Necesariament
e aii = 0
DIAGONAL
Es una matriz
cuadrada que
tiene todos sus
elementos
nulos excepto
los de la
diagonal
principal
ESCALAR Es una matriz
cuadrada que
tiene todos sus
elementos
nulos excepto
los de la
diagonal
principal que
son iguales
IDENTIDAD
Es una matriz
cuadrada que
tiene todos sus
elementos
nulos excepto
los de la
diagonal
principal que
son iguales a 1.
Tambien se
denomina
matriz unidad.
TRIANGULAR
Es una matriz
cuadrada que
tiene todos los
elementos por
encima (por
debajo) de la
diagonal
principal nulos.
ORTOGONAL
Una matriz
ortogonal es
necesariamente
cuadrada e
invertible : A-1
= AT
La inversa de
una matriz
ortogonal es
una matriz
ortogonal.
El producto de
dos matrices
ortogonales es
una matriz
ortogonal.
El
determinante
de una matriz
ortogonal vale
+1 ó -1.
NORMAL Una matriz es
normal si
conmuta con su
traspuesta. Las
matrices
simétricas,
antisimétricas
u ortogonales
son
necesariamente
normales.
INVERSA
Decimos que
una matriz
cuadrada A
tiene inversa,
A-1, si se
verifica que :
A·A-1 = A-1·A
= I
Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un
álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con
números lo hacemos con matrices.
ORDEN DE UNA MATRIZ
Es el número que designa, en una matriz cuadrada, el número de filas o
columnas.
Matriz numérica: Conjunto de números colocados en filas y en columnas.
mxn
• Matriz de orden (m,n): Conjunto de números reales, dispuestos en filas
m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un
elemento, que se distingue entre los otros, por su posición.
• Subíndices: Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar
su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica
la columna.
• Orden de la matriz: El número de filas y columnas de una matriz
determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por
un par de números naturales; m y n.
Figura 1.1
Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la
primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].
Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la
primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].
Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas
y n columnas.
Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así
porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.
Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su
posición, la cual queda definida por su fila y su columna.
Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 (figura 1.1), sería de
la siguiente forma:
am, n es a2,3
m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo
mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.
DIAGONAL DE UNA MATRIZ
En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las
entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser
nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:
Ejemplo:
Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior
e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.
Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.
CONDICION PARA SUMAR MATRICES
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra
matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término
genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de
tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Propiedades de la suma de matrices
A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
A + B = B + A (propiedad conmutativa)
A + 0 = A (0 es la matriz nula)
La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,
recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como:
A–B = A + (–B)
Uso de las matrices en ingeniería
Las matrices son el fundamento del análisis estructural. Permiten trabajar
con arreglos (matrices) de muchas ecuaciones con múltiples incognitas,
permitiendo hacer cálculos bastante complejos. Obviamente se trabajan por
computadora porque tomaría mucho tiempo hacerlo manualmente; pero es
indispensable entender los procedimientos y para eso se estudian matrices
con ejercicios más sencillos.
En ingeniería civil, por ejemplo, las matrices se usan para modelar
cualquier tipo de estructura, formada por muchos elementos cada uno de
ellos con diferentes características en cuanto al material, forma, fuerzas que
soporta, etc. De esta forma se pude por ejemplo determinar en un edificio
qué materiales deben usarse, en qué cantidad, con qué dimensiones, con
qué resistencias, para que el edificio funcione de manera segura y de
albergue a muchas personas, soportando por ejemplo un terremoto sin
venirse al suelo. Procedimientos similares se hacen en otras disciplinas con
diferentes estructuras, máquinas o aparatos.
INGENIERÍA CIVIL:
Dentro de la Ingeniería Civil se ocupan las matrices en diversos
aspectos como:
El diseño estructural se resuelve mediante matrices.
Los problemas de dinámica estructural se resuelven mediante matrices.
Los análisis avanzados de elemento finito se resuelven mediante matrices.
Los análisis de redes de flujo en mecánica de suelos se resuelven mediante
matrices.
El cálculo estructural para analizar la capacidad de carga y el diseño de
elementos.
En ingeniería de tránsito para generar matrices de información en la
planificación de transporte y aforos vehiculares.
En topografía para realizar resúmenes de datos y cuadricular terrenos para
curvas de nivel.
Aplicación de matrices en informática
Tenemos los siguientes en diferentes áreas:
-resolver circuitos eléctricos
-resolver sistemas de ecuaciones
-analizar fallas en telecomunicaciones
-encriptar códigos
-analizar probabilidades de corredores de bolsa
-almacenamiento de información óptima en sistemas
-ayuda para graficar funciones cruzadas
-matrices de markov
-analizar redes eléctricas
-modelar sistemas mecánicos
-resolver flujos de carga (ing. eléctrica)
-analizar crecimiento de poblaciones
En la programación:
• BASIC: Se trata de un lenguaje de programación de alto nivel
desarrollado por los estadounidenses John Kemeny y Thomas Kurtz en el
Dartmouth College a mediados de la década de 1960.
• puede utilizarse para definir una secuencia de instrucciones para su
procesamiento por un ordenador o computadora.
• Pascal (informática), Se trata de un lenguaje compilado y estructurado,
basado en el lenguaje ALGOL, que simplifica su sintaxis a la vez que
incluye nuevos tipos de datos y estructuras, como subrangos, tipos de datos
enumerados, archivos, registros y conjuntos.
• C (Informática), lenguaje de programación desarrollado en 1972 por el
estadounidense Dennis Ritchie en los Laboratorios Bell.
• Programación lineal.
Conclusión
Una matriz es un conjunto ordenado de elementos que están dispuestos en
filas y en columnas, intersecándose para relacionar dichos elementos. Para
establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un
álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con
números lo hacemos con matrices.
Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los
elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la
fila a la que pertenece y el segundo j la columna.
Por ejemplo, las matrices se usan en ingeniería para modelar cualquier tipo
de estructura, formada por muchos elementos cada uno de ellos con
diferentes características en cuanto al material, forma, fuerzas que soporta,
etc.
Bibliografía
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad6/Matrices/u6matte20.pdf
https://prezi.com/rr721ubjvacw/matrices-y-sus-aplicaciones-en-la-
ingenieria/
https://www.mooc-list.com/course/matrices-y-sus-aplicaciones-una-
introducci%C3%B3n-unav?static=true
