LAS MATEMÁTICAS DETRÁS DEL CUBO RUBIK

UNAM ENP NO. 9 “PEDRO DE ALBA”

HISTORIA- Erno Rubik, profesor de arquitectura en

Budapest, crea el ingenioso cubo en 1974.

- Al inicio lo usó para explicar las

relaciones espaciales a sus alumnos.

- Con el régimen comunista en Hungría,

exportaciones como importaciones eran

controladas firmemente.

- Tanto jugueteros como matemáticos, estaban

encantados con este novedoso invento.

En matemáticas, una permutación es la variación del orden o

de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado

sin elementos repetidos.

Grimaldi, Ralph: «Matemáticas discreta y combinatoria» 0-201-65376-1 , pág.44

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible

de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe

un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3",

"1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

Las permutaciones pueden ser representadas en diagramas de árbol:

3x2x1= 3! 𝟐 × 𝟐 × 𝟐 × 𝟐 = 𝟐𝟒

TIENE:

8 ESQUINAS

8 POSICIONES: 8!

3 ORIENTACIONES: 𝟑𝟖

12 ARISTAS

12 POSICIONES: 12!

2 ORIENTACIONES: 𝟐𝟏𝟐

6 CENTROS

FIJOS

VÉRTICE3 COLORES

ARISTA2 COLORES

CENTRO1 COLOR

CALCULANDO LAS COMBINACIONES POSIBLES

Con los datos anteriores tenemos que:

𝟏𝟐 × 𝟏𝟏 × 𝟏𝟎 × 𝟗 × 𝟖 × 𝟕 × 𝟔 × 𝟓 × 𝟒 × 𝟑 × 𝟐 × 𝟏 = 𝟏𝟐! = 479,001,600

𝟖 × 𝟕 × 𝟔 × 𝟓 × 𝟒 × 𝟑 × 𝟐 × 𝟏 = 𝟖! = 40,320

𝟑𝟖 = 𝟔, 𝟓𝟔𝟏

𝟐𝟏𝟐 = 𝟒, 𝟎𝟗𝟔

De lo que debemos considerar algunas excepciones:

CASOS NO CONSIDERABLES

VÉRTICE DESORIENTADO ARISTA DESORIENTADA ARISTA PERMUTADA

1/3 de posibilidades 1/2 de posibilidades 1/2 de posibilidades

Casos de las aristasCasos de los vértices

Núm. de vértices

Núm. de aristasOrientaciones de los vértices

Orientaciones de las aristasNúm. repetición

Núm. repetición

43, 252, 003, 274, 489, 856, 000Es decir, cuarenta y tres trillones doscientos cincuenta y dos mil tres billones doscientos setenta y cuatro mil cuatrocientos ochenta y nueve millones ochocientos cincuenta y seis mil permutaciones.

Un número que comparado a otras cantidades resulta enorme.

Por ejemplo:

Comparado con la cantidad de habitantes en el planeta tierra, que se estima en

7,347,000,000 (siete mil trescientos cuarenta y siete millones) de habitantes(2015)

Fuente: http://datos.bancomundial.org/indicador/SP.POP.TOTL

Resulta casi 6,000,000,000 (seis mil millones) de veces mas grande.

Con la edad del universo en segundos tendríamos

13,700,000,000 millones de añosFuente: http://radiouniverso.org/resources/mass/cosmologia/la_edad_del_universo.html

• 365 dias del año

• 24 horas al dia

• 60 minutos cada hora

• 60 segundos cada minuto

• 𝟏𝟑. 𝟕 × 𝟏𝟎𝟗 𝟑𝟔𝟓 (𝟐𝟒)(𝟔𝟎)(𝟔𝟎) = 𝟒. 𝟑 × 𝟏𝟎𝟏𝟕 = 430,000,000,000,000,000 segundos

𝟒𝟑, 252, 003, 274, 489, 856, 000 → 𝟏𝟎𝟎 %

𝟒. 𝟑 × 𝟏𝟎𝟏𝟕 → 𝒙 %

• Es decir la edad del universo solo representa apenas el 1% del total de combinaciones.

% =𝟒. 𝟑 × 𝟏𝟎𝟏𝟕 × 𝟏𝟎𝟎

43,252, 003, 274, 489, 856, 000= 𝟎. 𝟗𝟗𝟒𝟏𝟕𝟑𝟔𝟎𝟒𝟓𝟔𝟑𝟔𝟖𝟕𝟔

Algoritmo

En matemáticas, lógica, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, unalgoritmo es un conjunto prescrito de instrucciones.

En la resolución de un Cubo de Rubik un algoritmo podría ser unasecuencia memorizada de movimientos que tiene un efecto deseado en el cubo.

Una solución en 5 pasos

• Primera capa1.Una cara (aristas+esquinas)2.“Corona”

Una solución en 5 pasos

Segunda capa (intermedia)3.Colocar (y girar) aristas

Una solución en 5 pasos

Tercera capa

4.“Cruz”(girar+colocar aristas)

5.Esquinas(colocar+girar esquinas)

Una solución en 5 pasos

Recursos y documentos empleadosUtilizamos principalmente información

obtenida de internet, por ejemplo, el sitio

web oficial del Cubo de Rubik, así como

diccionarios y libros en PDF.

➔Libros.

➔Publicaciones científicas.

➔Páginas web.

➔Imágenes tomadas con fines academicos y

demostrativos

Resultados y

Análisis

ResultadosLos resultados que arrojó nuestra

investigación señalan que el Cubo de

Rubik además de ser un juguete muy

divertido y popular en el mundo es

una buena forma de acercarse a las

matemáticas, comprobamos que hay

temas detrás del juego como

algoritmos y permutaciones que

analizándolos a través del

rompecabezas son más fáciles de

comprender y asimilar.

CONCLUSIONES