LAPORAN TUGAS AKHIR -...
Transcript of LAPORAN TUGAS AKHIR -...
ANALISIS STABILITAS LOKAL DAN
KONTROL OPTIMAL PADA TERAPI
OBAT DALAM PENGOBATAN KANKER
LAPORAN TUGAS AKHIR
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
Oleh:
Nur Aina Maziun 1206 100 010
Pembimbing:
Drs. Kamiran, M.Si
Drs. M. Setijo Winarko, M.Si
1.1 Latar BelakangI. PENDAHULUAN
Kanker adalah salah satu penyakit berbahaya yang menyebabkanbanyak kematian setiap tahun. Kanker berawal dari pertumbuhansel tubuh secara tidak normal dan tidak terkontrol sehinggakemudian tampak menjadi “benjolan” yang disebut ”tumor“.
Untuk menangani hal tersebut sudah dikembangkan teknologimedis baru oleh para ilmuwan seperti terapi gen danimunoterapi, tetapi teknik tersebut jarang digunakan. Jadipenangganan secara kemoterapi masih diterapkan
Kemoterapi adalah proses penyembuhan yang dalam hal ini menggunakanobat-obatan yang bertujuan untuk membunuh atau memperlambatpertumbuhan sel-sel Kanker. Kemoterapi harus dilakukan dengan hati-hatikarena tidak hanya membunuh sel-sel tumor, tetapi juga membunuhsebagian dari jaringan-jaringan yang sehat atau mengakibatkan kerusakanyang serius pada jaringan yang sehat.
Pada penelitian ini dibahas analisis stabilitas lokal dan kontrol optimal pada
terapi obat dalam pengobatan kanker dengan menggunakan bang – bang
control dan singular control untuk masalah pertumbuhan kanker.
LANJUTAN…
1.2 Rumusan Masalah
1. Menganalisis model pertumbuhan kanker sehingga jumlah sel-sel kanker dapat dikendalikan dan jumlah kemoterapi yang dilakukan oleh pasien dapat optimal
2. Mensimulasikan bentuk optimal control yang didapatkan dengan software MATLAB
Berkaitan dengan latar belakang yang ada, maka permasalahan dari tugasakhir ini adalah
1.3 Batasan Masalah
Dalam pembahasan tugas akhir ini, permasalahan dibatasi bahwapenyelesaian optimal control pada model sel-sel kanker tidak diselesaikansecara numerik. Dengan asumsi sebagai berikut:
.
1. Model pertumbuhan kanker tidak mencakup karakteristik spasial darijaringan tubuh.
2. Simulasi dilakukan dengan menggunakan DOTcvp toolbox MATLAB 7.5.3. Lama perawatan pada interval waktu tertentu
1.4 Tujuan Penelitian
1. Mendapatkan persamaan optimal control model pertumbuhan kankersehingga jumlah sel-sel kanker dapat dikendalikan dan jumlah kemoterapiyang dilakukan oleh pasien dapat optimal
2. Mensimulasikan optimal control yang didapatkan dengan menggunakansoftware Matlab
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah untuk memberikan informasibahwa penyelesaian optimal control yang diperoleh dapat menjadi suatu solusiyang optimal dalam pengaturan dosis obat, sehingga dapat dilakukan kontrolyang tepat terhadap terapi yang diberikan kepada penderita Kanker.
II. TINJAUAN PUSTAKA2. 1 Model Pertumbuhan Kanker
. . . (2.1)
dengan yang merupakan pengaruh kemoterapi terhadap sistem
NFTNcNbNrN 1422 )1(
TFTNcITcTbTrT 23211 )1(
IFIdITcT
TIsI 311
)(
udvu 2
u
i eauF 1)(
[2]
2.2 Titik Setimbang dan Kestabilannya [3].
Titik Setimbang Sifat
Stabil
Stabil Asimtotis
Tidak Stabil
Untuk sistem taklinear, akar karakteristik diperoleh dengan melinearkanterlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk sistem linear.
Titik setimbang dari sistem teklinear
titik simpul
titik pelana
titik fokus
Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode untukmenunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien daripersamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secaralangsung.
2.3 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz [10]
2.4 Masalah Optimal Control [11]
Secara umum, formulasi pada permasalahan optimal control adalah1. Mendiskripsikan secara matematik artinya mendapatkan metode
matematika dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalambentuk variabel keadaan).
2. Spesifikasi dari performance index.3. Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan (state) dan atau
kontrol.
2.5 Pontryagin Minimum Principle dengan Kontrol Terbatas
Perhatikan permasalahan berikut ini:
kendala
,
ft
t
ff dtttutxfttxJ
0
),(),(),(min
ttutxgx ),(),(
00 )( xtx btua )(
Nilai fungsi Hamiltonian tttxtvH ),(),(),( sebagai berikut
),,(),,(),(),(),( vxtgvxtftttxtvH
Karena kontrol )(tu terbatas, maka Fungsi Hamiltonian-Lagrange tttxtvL ),(),(),(
diperoleh dari nilai fungsi Hamiltonian tttxtvH ),(),(),( ditambah pengali Lagrange
k
ktttxtvHtttxtvL ),(),(),(),(),(),(
Fungsi tersebut optimal jika memenuhi persamaan
1. Kondisi stasioner
0),,(),,(
tuxgtuxf
u
Luu (2.2)
2. Persamaan keadaan
Lx
x
L
dengan00 )( xtx dan 0)( ft
Dari Persamaan (2.2) dapat diperoleh bentuk optimal control )( *u
.
2.6 Bang-bang control dan Singular control
Bang-bang control dan Singular control muncul ketika persamaan Hamiltonianbergantung secara linear dengan kontrol dapat dinyatakan dalam bentuku
, utxuH ),,()(
Jika kontrol mempunyai batas atas dan batas bawah , makauntuk meminimalkan diperlukan untuk membuat sebesar dan sekecilmungkin, bergantung pada tanda yang didefinisikan sebagai fungsiswitching, yang dapat ditulis :
maxmin uuu ),(uH u
),,( tx
0),,(
0),,(
0),,(
)(
min
sin
max
txjikau
txjikau
txjikau
tu g
Kontrol akan menghasilkan busur singular yang optimal jika :1. Persamaan Hamiltonian 0)( H
2. Kondisi Kelley yang dinyatakan oleh persamaan sebagai berikut :
,1,0,0)1(
2
kH
dt
d
uu
k
k Kondisi ini disebut juga kondisi Generalisasi Legendre-Clebs.
III. METODE PENELITIAN
Studi Pendahuluan
Penyelesaian optimal control
Analisis Kestabilan Lokal
Simulasi
Analisis hasil simulasi
Penarikan kesimpulan dan pemberian saran
Bebas Penyakit Endemik
IV. HASIL PENELITIAN4.1 Analisis Stabilitas
4.1.1 Daerah Penyelesaian Model
Berdasarkan analisis keterbatasan dari model (2.1), daerah penyelesaian modeladalah :
11
3 0,1
0,10:),,(d
sI
bTNITN
4.1.2 Penormalan Model
1
2
44
2
1
22
3
3
3
2
1
2
2
22
2
2
2
11
1 ˆˆˆˆ
bb
r
cc
ttt
r
rr
rb
cc
IIx
d
dd
r
scc
TTx
r
r
cc
NNx
s
rITbN 2
2ˆ,
1ˆ,ˆ 2
ˆ rt dengan dan
.
Hasil penormalan diperoleh sebagai berikut :
11
1
2214111 )1( xFrxxcxxx
22
1
2213322222 )1( xFrxxcxxcbxrxx
33
1
23321
2
323
)1(1 xFrdxxxc
x
xxx
4.1.3 Daerah Penyelesaian Model
Berdasarkan analisis keterbatasan dari model bentuk normal, daerahpenyelesaian model didapat sebagai berikut :
1
321
3
321
10,
10,10:),,(
dx
bxxxxx
Titik Setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu sehingga titik-titiksetimbang diperoleh dari dan Jika tidak ada pengaruhobat maka didapat :
4.1.4 Titik Setimbang dari Model Bentuk Normal
,01 dt
dx02
dt
dx.03
dt
dx
,
11
1,0,0
322221
2
xxdxxc
x
,
2212121
21,21332,0
xxdxxc
x
rb
xcxcr
,
11
1,0,1
22221
2124
xxdxxc
xxc
dan
22221
2133224
11
1,,1
xxdxxc
x
rb
xcxcrxc
Dalam hal ini ada dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit(disease-free equilibrium) dan titik setimbang endemik.
Bebas Penyakit 02 x
dE
1,0,01
.1
,0,12
dE
Endemik 02 x
)(,,03 afaE
)(,),(4 bfbbgE
denganrb
xcxcra 1332
untuk 3E dan rb
xcxcrb 1332
untuk 4E
4.1.5 Matriks Jacobian Model Bentuk Normal
3
3
3
2
2
2
1
1
1
x
Z
x
Y
x
X
x
Z
x
Y
x
X
x
Z
x
Y
x
X
J
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
J
21
2
2312
2
3
221332223
14241
110
2
021
4.1.5.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Bebas Penyakit
dE
1,0,01
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
J
21
2
2312
2
3
221332223
14241
110
2
021
dd
cd
dcJ 0
0
11
10
0
0
1
1
2
0
110
01
0
001
1
2
dd
cd
dc d
dc
3221 ,1
,1 011 tidak stabil
Bebas Penyakit
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
J
21
2
2312
2
3
221332223
14241
110
2
021
dE
1,0,12
dd
cd
cd
cr
c
EJ
110
00
01
1
32
4
2
0
110
00
01
1
32
4
dd
cd
cd
cr
c
dcd
cr
332
21 ,,1
10 R 10 R
2E 2Estabil tidak stabil
dengandcc
drR
32
0
Endemik )(,,03 afaE 323 ,,0 xxE
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
J
21
2
2312
2
3
221332223
14241
110
2
021
dxcx
xxc
x
x
xcxcrbxrxc
xc
EJ
21
2
2312
2
3
2232223
24
3
110
2
001
)(
0
110
2
001
21
2
2312
2
3
2232223
24
dxcx
xxc
x
x
xcxcrbxrxc
xc
01 241
xcA3E tidak stabil
Endemik )(,),(4 bfbbgE 3214 ,, xxxE
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
J
21
2
2312
2
3
221332223
14241
110
2
021
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
EJ
21
2
2312
2
3
221332223
14241
4
110
2
021
)(
0
110
2
021
21
2
2312
2
3
221332223
14241
dxcx
xxc
x
x
xcxcxcrbxrxc
xcxcx
4EStabil, berdasarkan initial valuepada pembahasan berikutnya
4.2 Penyelesaian Kontrol Optimal
)()(),(min 2 ff txtTvxJ
ftt 0
dengan kondisi batas:
075.0)(),,( 1 txvtxk
0)0( xx
4.2.1 Penyelesaian Model Pertumbuhan Kanker dengan Teori Kontrol Optimal
Dengan menggunakan bang-bang control dan Singular control maka diperoleh :
0
0
0
0
)( sin
v
v
v
g
H
H
H
jika
jika
jika
va
tv
dengan :42
333222111
24333333222222111111
sin
4
xdxaxaxa
e
dxaxaxaxaxaxa
vx
g
4.3 Simulasi4.3.1 Analisis Hasil Simulasi
Percobaan pertama yang dilakukan dengan mensimulasikan optimal controltanpa menggunakan obat dengan kata lain , maka akan didapat hasilseperti berikut
0b
Final state values :
001357178.4001639517.5001361455.4
3
2
1
exexex
Percobaan kedua dilakukan dengan mensimulasikan optimal control dengan obatyang diberikan, nilai dan . Pada gambar 4.2 dapat ditunjukkanpengaruh obat kepada pasien.
75.0a 07.0b
cost function akhir 00000000.0)(min ftJ
Final state values :
002790839.5000545518.1010317050.9001943748.9
4
3
2
1
exexexex
Percobaan ketiga dilakukan dengan mensimulasikan optimal control yang diberikan,nilai konsentrasi obat dua kali lipat dari nilai konsentrasi obat sebelumnya yaitu
dan . Hal ini dilakukan untuk melihat pengaruh penambahankonsentrasi obat dalam darah terhadap cost function dan ketiga sel tersebutseperti berikut :
75.0a 14.0b
0.00044975)(min ftJcost function akhir
Final state values :
001275519.7000086191.1004499142.4001477768.9
4
3
2
1
exexexex
V. Kesimpulan dan Saran5.1 Kesimpulan
1. Pada analisis stabilitas lokal dapat diketahui bahwa :diperoleh 2 titik setimbang yang stabil yaitu dan
2. Pada optimal control dapat diketahui bahwa :Kontrolnya berupa bang – bang control dan singular control yang bergantungpada nilai fungsi switching pada interval waktu yang berbeda – beda, yangdinyatakan sebagai berikut
dE
1,0,12
.)(,),(4 bfbbgE
0
0
0
0
)( sin
v
v
v
g
H
H
H
jika
jika
jika
va
tv dengan : 42
333222111
24333333222222111111
sin
4
xdxaxaxa
e
dxaxaxaxaxaxa
vx
g
4vH
3. Hasil simulasi menunjukkan keefektifan kontrol dengan pemilihansehingga tercapai jumlah yang optimal dari sel-sel normal dan sel-sel imundengan sel-sel tumor dan cost function yang minimal. Pada penelitian inidengan memilih nilai yang lebih tinggi, terlihat masa pemulihan semakinlama dan hasil yang diperoleh kurang optimal. Dalam penambahan konsentrasiobat tersebut juga harus memperhatikan efek yang akan ditimbulkan karenakemoterapi tidak hanya membunuh sel-sel tumor tetapi juga bisamenyebabkan terbunuhnya sel-sel normal dan sel-sel imun walaupun dalamyang jumlah minimal termasuk memperhatikan kondisi tubuh pasien.
07.04 x
4x
5.2 Saran
Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai cara meminimumkanjumlah obat dan menghilangkan residu yang terdapat dalam tubuhpasien, maka agar dapat memperoleh hasil yang lebih baik penulismenyarankan untuk melanjutkan pada tahapan tersebut.
VI. DAFTAR PUSTAKA[1]. Bryson, A. E. dan Ho, Y. C. 1975. Applied Optimal Control. New York: Taylor
& Francis Group.[2]. De Pillis, L.G. , Radunskaya, A.E. 2003. “The Dynamics Of An Optimally
Controlled Tumor Model: A case study”. Journal of Mathematicaland Computer Modelling, Vol 2003 No. 37 pp 1-23.
[3]. Finisio dan Ladas. 1998. Differential Equations with Modern Applications.2st edition. Wadsworth, New York: Inc.
[4]. Itik, Mehmet, Salamci , Metin U. , Banks, Stephen P. 2009. “Optimal Controlof Drug Therapy In Cancer Treatment”. Journal of Nonlinear Analysis, Vol2009 No. 71 pp 1-14.
[5]. Kamien, M. I. dan Schwartz, N. L. 1981. Dynamic Optimization : TheCalculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management.1st edition. North Holland, Amsterdam: Elsevier Science Publishing Co, Inc.
[6]. Murray, J.M. 1990. “Optimal Control For A Cancer Chemotherapy ProblemWith General Growth and Loss Functions”. Journal of MathematicalBiosciences, Vol 1990 No. 98 pp 1-14.
[7]. Naidu, D. S. 2002. Optimal Control Systems. USA: CRC Presses LLC.[8]. Putri, R. 2009. Kontrol Optimal Pada Model Tumor Anti Angiogenesis.
Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS.
Lanjutan…….[9]. Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009. Computational Optimal Control: Tools and
Practice. UK: John Wiley & Sons Ltd.[10]. Subiono. 2008. Matematika Sistem. Versi 1.0. Surabaya: Jurusan Matematika
FMIPA ITS.[11]. Subiono. 2010. Optimal Kontrol. Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA ITS.[12]. Wikipedia. 2010. Cancer. <URL http://en.wikipedia.org/wiki/cancer>. Diakses pada
tanggal 25 Februari 2010.[13]. Wikipedia. 2010. Tumor. <URL http://en.wikipedia.org/wiki/tumor>. Diakses pada
tanggal 25 Februari 2010.