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IntroduzioneProbabilità

Paradossi apparenti

Laboratorio di dinamiche socio-economiche

Giacomo Albi

Dipartimento di MatematicaUniversità di Ferrara

[email protected]

8 marzo 2012

Giacomo Albi Laboratorio di dinamiche socio-economiche


Paradossi apparenti

Seconda parte: EconofisicaLa probabilità e la statistica come strumento di analisi.Apparenti paradossi della probabilitàGiochi d’azzardo: Perchè si perde sempre?Legge dei grandi numeri e Teorema del limite centrale.Fisica applicata all’economia.Leggi di potenza e fenomeni di scala.Distribuzione della ricchezza: curva di Pareto.Laboratorio: Applicazioni.



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Probabilità



Paradossi apparenti

...nella Teoria dei giochi

Nella realtà l’ipotesi di razionalità, informazione perfetta e completa sonoipotesi forti che molto spesso non sono soddisfatte.Da questo è nata una branca della Teoria dei Giochi che studia giochi dove igiocatori non sono perfettamente razionali e dove l’informazione che i singoliagenti hanno è asimmetrica.Per sopperire a questa mancanza di informazioni si vanno a “pescare” glistrumenti nella Teoria delle probabilità.

...nella realtà

La Probabilità è qualcosa con cui ognuno di noi ha a che fare tutti giorni,anche se “probabilmente” non ci facciamo veramente caso. Per esempio nelprocesso che ci porta a una determinata conclusione, mettiamo inevitabilmentein gioco la credenza (la speranza) che determinati eventi si realizzi o meno.E noi facciamo scelte in ogni momento.



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Cosa è la probabilità

La probabilità È quella disciplina matematica che affronta lo studiodi tutti gli esperimenti (casuali), il cui esito non è prevedibile concertezza, ma su cui siamo interessati a dare giudizio.



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Paradosso del compleannoParadosso di Monty Hallil LottoGioco equo

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Paradosso del compleannoQual è la probabilità che in questa aula di N persone, ce ne sianoalmeno due che compiano gli anni lo stesso giorno?Osservazione banale, ma non troppo, se il gruppo di persone èsuperiore a 365 l’evento ha probabilità 1 ( detto anche Lemma deicassetti).Una domanda interessante è come cresce questa probabilità alcrescere del numero di persone, da due sole a 365.



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Paradosso del compleanno

Per risolvere il problema facciamo la seguente osservazione:Calcolare la probabilità dell’evento A = avere almeno due persone con lostesso giorno è pari a calcolare la probabilità dell’evento complementare etoglierlo a 1, ovvero:

P(A) = P(ΩÓ Ac) = P(Ω) − P(Ac

) = 1 − P(Ac).

L’evento complementare è Ac= nessuno compie gli anni lo stesso giorno.

Quindi abbiamo spostato il nostro problema a calcolare la probabilità di Ac

Prendiamo due persone del nostro gruppo allora entrambe avrannoP(Ac

) = 364/365 probabilità di non compiere gli anni lo stesso giorno.Prendiamo tre persone, rispetto alle due già considerate la terza avrà 363/365probabilità di non compiere gli anni lo stesso giorno delle altre due, quindiP(Ac

) = 364/365 ⋅ 363/365.Prendiamo una quarta, una quinta e via così finché non abbiamo consideratotutte le N persone del nostro gruppo.



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Ragionevolmente ognuna delle nostre date di compleanno è indipendentedall’altra, a meno che non ci sia una coppia di gemelli tra noi, quindi laprobabilità di Ac nel caso di N persone è:

P(Ac) =

364365⋅363365⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

365 −N + 1365

.

Quindi P(A) = 1 − P(Ac). Con sole 23 persone abbiamo già più del 50%:

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

N di persone

Pro

bab


almeno una coincideza

nessuna coincidenza



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Il Paradosso di Monty Hall

Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra treporte:dietro una di esse c’è un’automobile, dietro le altre, capre.Scegli una porta, diciamo la numero 1, e il conduttore del gioco a premi, che sacosa si nasconde dietro ciascuna porta, ne apre un’altra, diciamo la 3, rivelandouna capra. Quindi ti domanda: “Vorresti scegliere la numero 2?Ti conviene cambiare la tua scelta originale?Quanto è la probabilità di vincere ora?



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Soluzione:

La risposta si trova disegnando l’albero del gioco:

quindi Cambiare la porta dà i 2/3 di probabilità di vincere mentre Tenere 1/3.Osservazione: In termini di TdG la strategia Cambiare domina fortementeTenere la scelta .



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Teorema di BayesDati due eventi A e B possiamo calcolare la probabilità di A dato Bconoscendo la probabilità di B dato A e viceversa.

P(A∣B) =P(B ∣A)P(A)

P(B)



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:

con Bayes:

Definiamo i seguenti eventi: A1 = L’auto si trova dietro la porta 1 e C = Ilpresentatore apre una porta con una capra .Vogliamo calcolare la probabilità che P(A2∣C) = 1 − P(A1∣C) ovvero laprobabilità di trovare un auto cambiando scelta.Osserviamo che P(A1) = 1/3 e P(C) = 1 (Il conduttore conosce cosa c’è dietrole singole porte).Usiamo il teorema di Bayes:

P(A1∣C) =P(C ∣A1)P(A1)

P(C)=1 ⋅ 1/3

1=13.

Dove P(C ∣A1) = P(C) = 1 dato che i due eventi sono indipendenti.Quindi: P(A2∣C) = 1 − P(A1∣C) = 2/3.



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Il Lotto alle otto

Vengono estratti 5 numeri tra l’1 e il 90 senza reimmissione, nel senso che unnumero una volta estratto non viene reimesso nell’urna.Il gioco consiste nell’indovinare una combinazione (singolo, ambo, ternaquaterna, cinquina) estratta giocando 5 numeri. Qual è la probabilità di vincitanei diversi casi, su una ruota?

La probabilità di indovinare un numero su cinque giocati è: 590 .

La probabilità di fare ambo è: 590 ⋅

489 =

2801 .

La probabilità di fare terna è: 590 ⋅

489 ⋅

388 =

111748 .

La probabilità di fare quaterna è: 590 ⋅

489 ⋅

388 ⋅

287 =

1511038

La probabilità di fare cinquina è: 590 ⋅

489 ⋅

388 ⋅

287 ⋅

186 =

143949268



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Tassa sulla speranza

Nel gioco del Lotto in caso di vincita prevede il seguente sistema di vincite, afornte di un euro giocato:

Numeri indovinati Vincita Lorda Probabilità1 11,23 1/182 250,00 1/400.53 4500,00 1/117484 120000,00 1/5110385 6000000,00 1/43949268

Il gioco del Lotto è un chiaro esempio di gioco non equo.Per essere equo a fronte di una vincita di ambo il giocatore dovrebbe ricevere400,5 euro (netti). Invece ne riceve 250,00 a cui va tolto anche il 6%.Il matematico e statistico Bruno de Finetti, a proposito del lotto e dei giochibasati sulla sorte, li definì come una “tassa sugli imbecilli” .



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Gioco Equo

In probabilità, prende il nome di gioco equo quel gioco di probabilità che pagaal vincitore una vincita equa, cioè pari all’importo giocato moltiplicato per ilreciproco della probabilità di vittoria.In termini di vincita attesa un gioco è un gioco equo se la vincita attesa è zero.Se p è la probabilità di vincere il gioco e q = 1 − p la probabilità di perdere e Sla somma che paghiamo per giocare la vincita attesa è:

0 = V (p,q) = (Ve − S) ⋅ p − S(1 − p)Ð→ Ve = S/p

Dove Ve è la vincita equa

Scommessa equa

Due giocatori A e B fanno una scommessa e puntano rispettivamente SA e SB .La probabilità che vinca A è p e la probabilità che vinca B invece è q = 1 − p.Quanto devono scommettere i giocatori affinché la scommessa sia equa?Lavincita attesa per entrambi i giocatori deve essere 0:

0 = VA(p,q) = SB ⋅ q − SA ⋅ p Ð→ SA/SB = (1 − p)/p


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